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Respuesta en frecuencia
HUACHO 20 de Julio de 2015
UNIVERSIDAD : JOSÉ FAUSTINO SANCHEZ CARRIÓN
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La forma más natural de observar y analizar el comportamiento y
desempeño de los sistemas dinámicos, es a través del dominio del
tiempo.
Respuesta en frecuencia
Motivación:
Ejemplos de esto es cuando se dice que un sistema responde másrápido que otro, o cuando se dice que el tiempo de establecimiento de
tal sistema es de 0.! se"undos. Entre otros ejemplos.
#in embar"o a medida que los sistemas se presentan más complejos
$en dimensi%n, parametrizaci%n, identificaci%n, etc&, sus
comportamientos son más dif'ciles de determinar anal'ticamente.
(na forma de contrarrestar estos inconvenientes es analizar tales
sistemas complicados con técnicas de respuesta en frecuencia
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Respuesta en frecuencia
Los métodos de respuesta en frecuencia en los sistemas de control,
proveen un conjunto de análisis y )erramientas "ráficas que no estánlimitadas por el orden del sistema o por otras complejidades.
El análisis de respuesta en frecuencia:
• #e puede utilizar en funciones con alto "rado de incertidumbre.• #e puede utilizar en sistemas con retardo que no tienen funciones
racionales.
• Las pruebas de respuesta en frecuencia son fáciles de realizar.
• #e pueden determinar fácilmente funciones de transferencia complejas.
• Es un método alternativo para el diseño y control de sistemas lineales.
• *asi siempre e+iste una correlaci%n entre la respuesta en frecuencia y
la respuesta transitoria en el tiempo.
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Respuesta en frecuencia
La respuesta en frecuencia se basa en la respuesta en estado
estacionario de un sistema ante una entrada senoidal. (n sistema lineal
invariante en el tiempo, si es afectado por una entrada senoidal deamplitud R y frecuencia , su salida se"uirá siendo senoidal de la
misma frecuencia pero probablemente con otra ma"nitud C y fase0ω
0ω
φ
φ
Entrada Salida
Sistemat sen Rt r 0)( ω = )()( 0 φ ω += t senC t c
t
t sen Rt r 0)( ω = )()( 0 φ ω += t senC t c
Figura1. Sistema lineal afectado por entrada senoidal y respuesta en el tiempo.
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Respuesta en frecuencia
La transformada de Laplace de la salida del sistema de la fi"ura es-
)()()( s R sG sC =como es un análisis senoidal, se cambia la variable compleja s por ω j
)()()( ω ω ω j R jG jC =
donde cada componente tiene ma"nitud y fase, ejemplo
)()()( ω ω ω jC jC jC ∠=
La relaci%n de la salida entre la entrada en el ré"imen
senoidal permanente se llama funcin de !"ansfe"encia sen#idal - )( ω jC )( ω j R
)(
)()(
ω ω ω j R
jC jG =
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Respuesta en frecuenciaGráficas polares
Es una representaci%n de la ma"nitud y án"ulo de fase de en
coordenadas polares al variar el valor de de cero a infinito.
)( ω jGω
La funci%n de transferencia senoidal puede ser vista-
• En su representaci%n de ma"nitud y fase-
)()()( ω ω ω jG jG jG ∠=
• En e+presarse en términos de sus parte real e ima"inaria.
[ ] [ ])(Im)(Re)( ω ω ω jG jG jG +=
Re
Im[ ])(Re α ω jG
)( ω jG)( α ω jG
0ω α ω
)( α ω jG∠[ ])(Im α ω jG
∞→ω
Figura 2.Gr!i"a #olarde .)( ω jG
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Respuesta en frecuencia
5
75)(
+= s
sGEjemplos de gráficas polares:
btener la "ráfica polar de
S#lucin. *omo primer paso se cambia a variable compleja s por ω j
ω ω ω
j j jG
+=
+=
5
75
5
75)(
El si"uiente paso es separar el valor real y el ima"inario $solo para
facilitar el cálculo&. /ara esto se multiplica y divide por el complejoconju"ado del denominador de )( ω jG
225
75375
5
5
5
75)(
ω
ω
ω
ω
ω ω
+−=
−−⋅
+= j
j
j
j jG $ se !iene
[ ] [ ]22
25
75
25
375)(Im)(Re)(
ω
ω
ω ω ω ω
+
−
+
=+= j jG jG jG
para plasmar este resultado en la "ráfica polar, es necesario evaluar )( ω jG
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Respuesta en frecuencia
en diferentes frecuencias desde )asta . #e evaluarán solo
para al"unas de las frecuencias.
0=ω ∞→ω
0=ω Si enton"e$%
[ ] [ ] 15)0(25
)0(75
)0(25
375)0(Im)0(Re)0(
22 =
+
−
+
=+= j jG jG jG
Si ∞→
ω
[ ] [ ] 00)(25
)(75
)(25
375)(Im)(Re)(
22 j j jG jG jG −=
∞+
∞−
∞+
=∞+∞=∞
Si 5=ω
[ ] [ ] 5.75.7)5(25
)5(75
)5(25
375
)5(Im)5(Re)5( 22 j j jG jG jG −=+
−+
=+=
!75.2=ω Si
"#51#.!25.11)!75.2(25
)!75.2(75
)!75.2(25
375)!75.2(
22 j j jG −=
+
−
+
=
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Respuesta en frecuencia
Si !!025.=ω
"#51#.!75.3)!!025.(25
)!!025.(75
)!!025.(25
375)!!025.( 22 j j jG −=
+−
+=
ependiendo de la e+periencia y de lo complicado de la "ráfica polar, se
necesitarán más o menos frecuencias a evaluar.
Re
Im
!!025.=ω
∞→ω 0=ω
5=ω !75.2=ω
Figura 2. Gr!i"a#olar de .
5
75)(
+= s
sG
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Respuesta en frecuencia
*riterio de estabilidad de 1yquist
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Respuesta en frecuencia
Fundamentos: Transformación de contornos en el plano s
Su#onga &ue $e &uiere tran$!ormar una $erie de 'alore$ de s en el #lano s(donde todo$ ello$ !orman una tra)e"toria "errada o "ontorno * +( utili,ando la!un"i-n
/1 1 21/1
$lano s
$lano F ( s)
Γ 12)( += s s F
ω j
σ
jv
u
Cada #unto o elemento del "ontorno en el #lano $( tiene $u re#re$enta"i-n enel #lano F ( s). Se e'alan todo$ lo$ #unto$ del "ontorno ) $e otiene un"ontorno en el #lano F ( s). En e$te "a$o( el "ontorno en el #lano F ( s) "on$er'ala mi$ma !orma &ue el "ontorno del #lano s( *ran$!orma"i-n "on!orme+.
12)( += s s F
Amo$ "ontorno$ $e "on$ideran &ue tienen un $entido #o$iti'o.
*riterio de estabilidad de 1yquist
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Respuesta en frecuencia
A3ora( $e tran$!orma el mi$mo "ontorno en #lano $( utili,ando otra !un"i-nde tran$!orma"i-n%
1/1
$lano s
$lano F ( s)ω j
σ
jv
u
3)(
+
=
s
s s F
a
b
d
c
a
b
d
c
En e$te "a$o la tran$!orma"i-n e$ no "on!orme #ero "on$er'a el $entido#o$iti'o.
E4i$te una "ara"ter$ti"a mu) intere$ante &ue o"urre "uando el "ontorno del#lano s en"ierra a "ero$ o #olo$ la !un"i-n%1./ Si el "ontorno en el #lano s en"ierra a un "ero de la !un"i-n( el "ontorno enel #lano F (s) en"ierra al origen en el mi$mo $entido del "ontorno en #lano s
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Respuesta en frecuencia
2./ Si el "ontorno en el #lano $ no en"ierra a ningn "ero o #olo de la!un"i-n( el "ontorno en el #lano F (s) no en"ierra al origen.
1/1
$lano s
$lano F ( s)
ω j
σ
jv
u
3
)(+
=
s
s s F
a
b
d
c
a
b
d
c
./ Si el "ontorno en el #lano s en"ierra a algn #olo de la !un"i-n( el"ontorno en el #lano F (s) en"ierra al origen en $entido "ontrario.
/
$lano s
$lano F ( s)
ω j
σ
jv
u
3)(
+
=
s
s s F
a
b
d
c
a
b
d
c
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Respuesta en frecuencia
6./ Si el "ontorno en el #lano s en"ierra a un "ero ) un #olo de la !un"i-n( el"ontorno en el #lano F (s) no en"ierra al origen.
/
$lano s
$lano F ( s)
ω j
σ
jv
u
3
)(+
=
s
s s F
a
b
d
c
a
b
d
c
odo$ e$to$ re$ultado $on "on$e"uen"ia del #rin"i#io del argumento *teoremade Cauchy +.
2eorema de *auc)y $/rincipio del ar"umento&. Si un "ontorno en el#lano s rodea % "ero ) $ #olo$ de F ( s) ) no #a$a a tra'7$ de ningn #olo o"ero de F ( s) "uando el re"orrido e$ en la dire""i-n del mo'imiento del relo8 alo largo de "ontorno( el "ontorno "orre$#ondiente en el #lano F ( s)( rodeaal origen de di"3o #lano( 'e"e$ en la mi$ma dire""i-n.
sΓ
f Γ P Z N −=
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Respuesta en frecuencia
0)(
)()(1)(
1
1=
+Π
+Π=+=
=
=
k mk
ini
s s
s sk s P s F
El criterio de 1yquist
Sea la e"ua"i-n "ara"ter$ti"a
9ara &ue el $i$tema $ea e$tale( todo$ lo$ "ero$ de F ( s) deen de e$tarlo"ali,ado$ en la #arte i,&uierda del #lano $. 9or tal moti'o $e e$"ogen un
"ontorno en el #lano $ &ue en"ierre toda la #arte dere"3a del #lano ) #ormedio del teorema de Cau"3) $e determina &ue "ero$ e$tn dentro de .E$to $e logra gra!i"ando en el #lano F ( s) ) o$er'ando el nmero derodeo$ al origen.
sΓ sΓ f Γ
Sin emargo e$ m$ "omn utili,ar el #olinomio en la,o aierto $(s) #or $errelati'amente m$ $en"illo( enton"e$%
⇒+= )(1)( s P s F )(1)()(& s P s F s F =−=
)01( j+−Con e$te "amio de 'ariale$ lo$ rodeo$ $e anali,an $ore el #unto
del #lano F ( s)
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Respuesta en frecuencia
F ( s)
/1
Contorno de :)&ui$t.
Gr!i"a #olar de P ( s).
∞
$lano s $lano F ( s)ω j
σ u
jv
*riterio de estabilidad de 1yquist
Un $i$tema de retroalimenta"i-n e$ e$tale $i ) $olamente $i( el "ontorno . en el #lano P ( s) no rodea el #unto */1 ; j 0+ "uando el nmero de #olo$
de P ( s) en la #arte dere"3a del #lano $ e$ "ero.
P Γ
Un $i$tema de "ontrol "on retroalimenta"i-n e$ e$tale $i ) $olamente $i( enel "ontorno el nmero de rodeo$ al #unto */1 ; j 0+ en el $entido "ontrarioal mo'imiento del relo8 e$ igual al nmero de #olo$ de P ( s) "on #arte$ reale$
#o$iti'a$.
P Γ
P Γ s
Γ
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Respuesta en frecuencia
Estabilidad relativa y criterio de 1yquist
El "riterio de e$tailidad de :)&ui$t $e de!ine en t7rmino$ del #unto .
en la gr!i"a #olar. <a #ro4imidad a e$e #unto determina la e$tailidad relati'ade un $i$tema.
)01( j+−
/1 u
jv
d
El mar"en de "anancia $e de!ine "omo el re"#ro"o de la ganan"ia . #ara la !re"uen"ia en &ue el ngulo de !a$e al"an,a 1=0>( e$ de"ir
"uando.
El margen de ganan"ia e$ el !a"tor #or el "ual $e tendr &ue multi#li"ar laganan"ia del $i$tema #ara &ue el lugar geom7tri"o #a$e a tra'7$ del #unto
.
)( ω jGH .0=v
).01( j+−
d
1?argen de ganan"ia @
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Respuesta en frecuencia
Otra medida de la e$tailidad relati'a e$ el %a"&en de fase( &ue $e de!ine"omo el ngulo de !a$e &ue $e dee girar el lugar geom7tri"o #ara
&ue el #unto de magnitud unitaria #a$e a tra'7$ del #unto. en el #lano
)( ω jGH
1)( =ω jGH )01( j+− ).( ω jGH
/1 u
1)( =ω jGH
jv
f mf φ =
?argen de !a$e *mf )
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Respuesta en frecuencia
Ejemplo-Reali"e la gr!i"a de :)&ui$t ) determine el rango de e$tailidad de%
)5)("()( ++= s s s
K sG
S#lucin9ara reali,ar el "ontorno #rimero $e di'ide el "ontorno en "uatro tramo$% sΓ pΓ
$lano s∞→ jω
∞
σ
sΓ
+= 0ω
∞−→ jω
−= 0ω
ramo 1 *1+. Se e'ala la !un"i-n de$de la!re"uen"ia 3a$ta ( *gr!i"a #olar+.0=ω ∞→ω
ramo 2 *2+. e$de la !re"uen"ia a la!re"uen"ia . En e$te "a$o $e "amia
la 'ariale s de la !un"i-n #or dondere#re$enta un radio de 'alor in!inito ) e$una e'alua"i-n angular de B0 a /B0.
∞→ jω ∞−→ jω
θ j
eΓ Γ θ je
ramo *+. Se e'ala la !un"i-n de$de la!re"uen"ia 3a$ta ( *e$#e8o de
la gr!i"a #olar+.
−= 0ω ∞−→ jω Contorno sΓ
1T
2T 3T "T
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Respuesta en frecuencia
ramo 6 *6+. e$de la !re"uen"ia a la!re"uen"ia . En e$te "a$o $e "amia la'ariale s de la !un"i-n #or dondere#re$enta un radio de 'alor mu) #e&ueDo )
e$ una e'alua"i-n angular de /B0 a B0. Eltramo $e di$eDa #ara rodear a #o$ile$ "ero$ o#olo$ en el origen de la !un"i-n a e'aluar.
−→ 0ω +→ 0ω
θ ε je ε θ je
2. Se "amia en la !un"i-n la 'ariale $ #or ) $e otiene la gr!i"a #olarω j
ω ω ω ω ω ω ω
ω
20"5)5)("()(
)5)("()(
223 j j
K
j j j
K jG
s s s
K sG
+−−−
=++
=⇒++
=
$e $e#ara la #arte real e imaginaria utili,ando el "om#le8o "on8ugado deldenominador
)20(#
)20(#
)20(#)(
22
22
22 ω ω ω
ω ω ω
ω ω ω ω
−−−−−−⋅
−+−=
j
j
j
K jG
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Respuesta en frecuencia
ω ω ω
ω
ω ω ω
"00"1
)20(
"00"1
#)(
35
2
2" ++
−
−++
−
=
K j
K jG
9ara otener la gr!i"a #olar $e e'ala la e"ua"i-n re$ultante de$de3a$ta
0=ω ∞→ω
0=ω ∞−−=
++−−
++−= j
K K j
K G
"00
#
)0("00)0("1)0(
))0(20(
"00)0("1)0(
#)0(
35
2
2"
∞→ω
00)("00)("1)(
))(20("00)("1)(
#)0(35
2
2" j K j K G +−=
∞+∞+∞∞−−
+∞+∞−=
:ota. Si $e tienen duda$ a"er"a de la$ e'alua"ione$( $e re"omienda utili,ar'alore$ mu) #e&ueDo$ #ara a#ro4imar ) 'alore$ mu) grande de
#ara a#ro4imar "uando
0=ω ω
.∞→ω
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Respuesta en frecuencia
Enton"e$ $e tiene el #unto de ini"io ) el #unto !inal en la gr!i"a #olar.
0=ω
∞→ω
"omo a la !re"uen"ia el 'alor e$ !inal
e$ ( $e tiene &ue la gr!i"a #olar llegaa "ero #or el "uadrante $u#erior i,&uierdo.Como $e ini"i- en el "uadrante in!eriori,&uierdo( e4i$te un "ru"e #or el e8e real ) $u'alor $e otiene al igualar a "ero la #arteimaginaria de la e"ua"i-n re$ultante%
00 j+−
∞→ω
ω ω ω
ω
"00"1
)20(0
35
2
++−−=
K j
20=ω →−= 2200 ω
) e$ta !re"uen"ia $e e'ala en la #arte real
"00)20("1)20(
#)Re(
2" ++−= K
ω
10
1)Re( K −=ω
Se otiene otro #unto #ara lagr!i"a. Con ello$ $e diu8a demanera a#ro4imada la gr!i"a#olar. *:ota% #ara una me8ora#ro4ima"i-n de la gr!i"a( $e#ueden e'aluar m$
!re"uen"ia$+
∞− j
10 K −
Figura. Gr!i"a #olar.
jv
u
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Respuesta en frecuencia
2. Se "amia en la !un"i-n la 'ariale s #or ) $e e'ala de$de B0 a/B0
θ jeΓ
)5)("()(
++= s s s
K sG)5)("(
)(+Γ +Γ Γ
= θ θ θ ω j j j eee
K jG→
In!initoIn!inito
#e&ueDo
#e&ueDoθ
θ θ θ θ ω 3
3 0
))(()( j
j j j j e
e
K
eee
K jG −≈
Γ ≈
Γ Γ Γ =
$lano s∞→ jω
∞
σ
sΓ
+= 0ω
∞−→ jω
−= 0ω
Contorno sΓ
2T
El #unto en el #lano $ ma#ea al #unto. en el#lano F ( s).
#0 jeΓ '#0)'#0(3 00 =− je
El #unto en el #lano $ ma#ea al #unto. en el#lano F ( s).
0 je∞'2"00−
El #unto en el #lano $ ma#ea al #unto. en el#lano F ( s).
30−∞ je'#00
Se e'alan todo$ lo$ #unto$ #o$ile 3a$ta
dedu"ir &ue el tramo 2 !orma en el #lano F ( s)
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Respuesta en frecuencia
tre$ media$ 'uelta$ de radio "ero em#e,ando en B0 "on dire""i-nanti3oraria. jv
u
0=radio
9lano F ( s)( tramo 2.
23. E$ el e$#e8o de la gr!i"a #olar *tramo 1+−
= 0ω
−∞→ω
∞ j
10 K −
jv
u
9lano F ( s)( tramo 2.
24. Se "amia en la !un"i-n la 'ariale s #or ) $e e'ala de$de /B0 aB0
θ ε je
)5)("()(
++=
s s s
K sG
)5)("()(
++=
θ θ θ θ
ε ε ε ε
j j j j
eee
K eG
mu) mu) #e&ueDo relati'( grande
R f i
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Respuesta en frecuencia
θ θ θ
θ
ε ε ε j
j j j e
e
K
e
K eG −∞≈==
)5)("()(
$lano s∞→ jω
∞
σ
sΓ
+= 0ω
∞−→ jω
−= 0ω
Contorno sΓ
2T
El #unto en el #lano s ma#ea al #unto . en el#lano F ( s).
'#0−eε '#0e∞
El #unto en el #lano s ma#ea al #unto .
en el#lano F ( s).
'"5−eε '"5e∞
P Γ
∞− j
−= 0ω
∞
∞ j$lano F(s)
Contorno . ramo 6. P Γ
R t f i
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Respuesta en frecuencia
0=ω
∞→ω
∞− j
10
K
−
Figura. Gr!i"a de :)&ui$t.
jv
u
2
23
24
2
1−
Criterio de Nyquist %Como el $i$tema no tiene #olo$ine$tale$ en la,o aierto( #ara &ue $eae$tale $e ne"e$ita &ue no 3a)a rodeo$al #unto /1. Enton"e$ el rango de
e$tailidad e$100 ≤≤ K
R t f i
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Respuesta en frecuencia
ia"ramas de 5ode
R t f i
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Respuesta en frecuencia
<o$ diagrama$ de ode $on una re#re$enta"i-n de la magnitud ) !a$e deuna !un"i-n en e$tado $enoidal #ermanente al 'ariar la !re"uen"ia de "ero a
in!inito. Sea la e"ua"i-n "ara"ter$ti"a0)()(1 =+ S H sG
9or $er e$tado $enoidal #ermanente( $e "amia s #or .
)()()( ω ω ω j H jG j P =
Como la 'ariale s e$ "om#le8a $e tiene magnitud ) !a$e.
)()()()( ω ω ω ω j H jG j H jG ∠
ω j
E$to$ 'alore$ "amian mientra$ $e 'ara la !re"uen"ia . 9ara gra!i"ar lamagnitud de ( $e 3a"e u$o de la norma de magnitud%
)(log20 ω jG Ma =
ω
9or ra,one$ de $en"ille, $e traa8a me8or "on el #olinomio en la,o aierto.
)( ω jG
el 'alor del ngulo de !a$e $e otiene de#endiendo del elemento a anali,ar
R t f i
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Respuesta en frecuencia
<a #rin"i#al 'enta8a al u$ar ode e$ &ue $e #uede anali,ar "ada elementode una !un"i-n de tran$!eren"ia #or $e#arado ) el e!e"to total del $i$tema(
$e otiene $im#lemente $umando la$ magnitude$ ) ngulo$ de !a$e detodo$ ello$.
<a 'enta8a anterior re$alta m$ "uando e$ ne"e$ario agregar otro$elemento$ al $i$tema. En e$to$ "a$o$ #ara otener la nue'a gr!i"a de
ode no e$ ne"e$ario re"al"ular todo el $i$tema( $im#lemente $e $uman alo$ elemento$ )a anali,ado$.
Elemento$ $i"o$ de una !un"i-n de tran$!eren"ia
1. Elemento$ de 'alor "on$tante *Ganan"ia+2. Elemento$ integrale$ ) deri'ati'o$. Elemento$ de #rimer orden6. Elemento$ "uadrti"o$
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Respuesta en frecuencia
1)(
±ω j
db j
ω ω
log201
log20 −=
d! j ω ω log20log20 =
1. Elemento$ de 'alor "on$tante *Ganan"ia+
K d! log20= ?agnitud en de"ielio$
°= 0φ ngulo de !a$e
2. Elemento$ deri'ati'o$ e integrale$
eri'adore$
°= #0φ
Integradore$
°−= #0φ
↑ω
∞
↑ω
∞
Re
Re
Im
Im
#ara todo rango de ω
#ara todo rango deω
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Respuesta en frecuenciaSi e4i$ten m$ de un deri'ador o integrador%
dbn j n
ω ω
log20)(
1log20 −=
d!n j n ω ω log20)(log20 =eri'adore$
n×°= #0φ
Integradore$
n×°−= #0φ #ara todo rango de
ω
#ara todo rango de ω
-20
0
20
40
60
M a g n i t u d e ( d B )
100
10190
135
180
225
270
P h a s e ( d e g )
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
-60
-40
-20
0
20
M a g n i t u d e ( d B )
100
101-270
-225
-180
-135
-90
P h a s e ( d e g )
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
R t f i
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Respuesta en frecuencia
. Elemento$ de #rimer orden
d! j 221log201log20 τ ω ωτ +=+
Cero de #rimer orden
ωτ φ 1tan−=
10-2
10-1
100
101
102
0
45
90
P h a s e ( d e g )
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
0
10
20
30
40
M a g n i t u d e ( d B )
System: sys
Frequency (rad/sec): 1
Magnitude (dB): 3.01
ω ω j jG +=1)( 1=τ
τ ω 1
== cortede frecuenciac
e la !igura%
cω
Resp esta en frec encia
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Respuesta en frecuencia
d! j
22
1log201
1
log20 τ ω ωτ +−=+
9olo de #rimer orden
ωτ φ 1tan−−=
10-2
10-1
100
101
102
-90
-45
0
P h a s e ( d e g )
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
-40
-30
-20
-10
0
M a g n i t u d e ( d B )
System: sys
Frequency (rad/sec): 1
Magnitude (dB): -3.01
cω
ω ω
j jG
+=
1
1)( 1=τ
τ ω 1
== cortede frecuenciac
e la !igura%
Respuesta en frecuencia
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Respuesta en frecuencia
. Elemento$ de $egundo orden
+
−=
+
+
2
2
2
22
21log2021log20ω
ω ζ
ω
ω
ω
ω
ω
ω ζ
nnn
j j
Cuando no $e #uedan de$"om#oner en do$ elemento$ de #rimer orden( $e
normali,an de la $iguiente !orma%
−= −
2
2
1
1
2
tan
n
n
ω
ω
ω ω ζ
φ
12
21)(
±
+
+=
nn
j j jGω
ω
ω
ω ζ ω
Cero$ de $egundo orden
nc ω ω =
Respuesta en frecuencia
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Respuesta en frecuencia
+
−−=
+
+
2
2
2
2
2 21log20
21
1log20
ω
ω ζ
ω
ω
ω
ω
ω
ω ζ
n
nn
j j
−−= −
2
2
1
1
2
tan
n
n
ω
ω
ω
ω ζ
φ
9olo$ de $egundo orden
nc ω ω =
Respuesta en frecuencia
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Respuesta en frecuencia
-20
0
20
40
60
80
M a
g n i t u d e ( d B )
10-1
100
101
102
0
45
90
135
180
P h a s e ( d e
g )
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Cero$ de $egundo orden
3== nc ω ω
!1=ζ
7.0=ζ
5.0=ζ
3=ω
#
#)(
2 ++= s s
sG
#
#3)(
2 ++=
s s sG
#
#2.")(
2 ++=
s s sG
Respuesta en frecuencia
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Respuesta en frecuencia
-80
-60
-40
-20
0
20
M a
g n i t u d e ( d B )
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
10-1
100
101
102
-180
-135
-90
-45
0
P h a s e ( d e g )
9olo$ de $egundo orden
3=ω
3== nc ω ω
!1=ζ
7.0=ζ
5.0=ζ
#
#)(
2 ++=
s s sG
#3
#)(
2 ++=
s s sG
#2."
#)(
2 ++=
s s sG
Respuesta en frecuencia
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Respuesta en frecuencia
E'e%(l#% Otener el diagrama de ode del $i$tema
)13!)(5()3(12 22 +++ + s s s s
s
:ormali,ando%
)113
!
13)(1
5
1(
)13
1(
!5
3!
22 +++
+
s s
s s
s
Se tienen 5 elemento$( Una "on$tante( un "ero en /( un dole integrador(un #olo en /5 ) #olo$ "uadrti"o$. Se u$"an la gr!i"a de ode de "ada
uno ) de$#u7$ $e $uman.
Respuesta en frecuencia
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Respuesta en frecuencia
!53!
13
1+ s
21 s
15
1+ s
113
!
13
2
++ s s
Elemento$ ind.
A#orta"ione$ indi'iduale$ en magnitud. ) ngulo
-80
-60
-40
-20
0
20
40
M
a g n i t u d e ( d B )
10
-1
10
0
10
1
10
-180
-90
0
90
P h a s e ( d e g
)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Respuesta en frecuencia
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Respuesta en frecuencia
-200
-150
-100
-50
0
50
M
a g n i t u d e ( d B )
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3-360
-315
-270
-225
-180
P h a s e ( d e g
)
Bode Diagram
iagrama de ode *Re$ultante+