La música del universoensayo sobre la noción de armonía en PlatónCésar González Ochoa
Introducción
El estudio de la noción de armonía está necesariamente asociado al de otras nociones con las
cuales configura un conjunto difuso, una especie de constelación; es decir, todo un complejo de
nociones que sabemos que están relacionadas, pero de las cuales es difícil establecer la naturaleza
de sus relaciones. Entre éstas están el orden, la mediación, la proporción, la analogía, todas ellas
vinculadas, explícitamente o no, con la idea de interpretación del mundo, incluso podemos decir
del universo.
De todas esas nociones, la que está en los cimientos y soporta a todas es la de orden. De hecho,
cuando buscamos las bases de la estructura tanto física como conceptual del mundo, lo primero
en que pensamos es en el orden, y este orden no puede sino estar asociado de alguna manera con
los números; es decir, se trata de un orden matemático. Podría pensarse que esta aseveración es
válida sólo en los límites de las civilizaciones occidentales, pero puede fácilmente demostrarse
que, a lo largo de la historia, todas las grandes culturas, sea la hindú, la sumeria, la babilonia, la
griega o la maya, entre muchas otras, basaron su idea del mundo, su comprensión del universo,
en un orden sostenido por los números. Todas ellas buscaron, además, las secretas
correspondencias entre el orden cósmico y el orden de la vida humana; en otras palabras, trataron
de determinar los términos que median entre los aspectos relativos al cosmos y los aspectos
relativos a lo humano y de establecer entre ambos una relación de proporción; para decirlo de un
modo más conciso, todas esas civilizaciones trataron de ponerlos en armonía, de armonizarlos.
No obstante, el orden encontrado o el orden construido dentro de los límites de una cultura no
necesariamente es el mismo para las otras; por tanto, no podemos postular la existencia de un
orden único, un orden que sea el verdadero y el correcto para todas las culturas y todas las
épocas; ni siquiera es posible postularlo para culturas coetáneas: el orden en el cual se basaron los
babilonios, por ejemplo, no es el mismo que el de los egipcios. Y no es por azar que aparezcan
ahora los nombres de estas dos grandes culturas, ya que desde el tercer milenio antes de Cristo
pueden observarse en las manifestaciones de ambas algunas huellas de un orden numérico. Será,
sin embargo, hasta el apogeo de la cultura griega –época cuando surge una civilización nueva,
basada en las ciudades-estado y en una nueva clase de individuos, los ciudadanos libres– cuando
se comience a investigar de manera racional el universo para encontrar el orden que lo rige.
Fueron, pues, los griegos quienes intentaron sistemáticamente una interpretación matemática de
la naturaleza. Aunque sabemos que la búsqueda proviene de tiempos más remotos, se acostumbra
pensar en Pitágoras como el primero que quiso descubrir ese orden matemático, ya que, según la
tradición, fue él quien aplicó el término “cosmos” al universo percibido: del caos original,
mediante la creación, nace el cosmos. El término “cosmos”, que entre otras cosas significa
“orden”, no agota sus sentidos con esta única palabra ya que une la noción de orden o disposición
o perfección estructural con la belleza.
Aunque el objetivo de este trabajo es el análisis de la noción de armonía en los escritos de Platón,
no es posible dejar de decir unas palabras acerca de cómo se entendía esa noción por parte de sus
antecesores, sobre todo por los pitagóricos. Al menos desde los tiempos de Homero esta palabra
tiene el significado de relación entre las diferentes partes de un todo; es, como dice en la Odisea
(v. 248), el acoplamiento o la adecuación de las cosas entre sí; incluso se denomina así a la
clavija que las une. Poco tiempo después se asimilará la idea de armonía a la música y quedará
indisolublemente ligada al número.
Con los pitagóricos se introduce un cambio en los objetivos de la filosofía: de ser una curiosidad
o ser la búsqueda del progreso en el conocimiento, la filosofía se convierte en un modo de vida,
en la búsqueda de las relaciones correctas con el universo. Como señala Guthrie, “para los
pitagóricos la parte más importante de la filosofía era la que meditaba sobre el hombre, sobre la
naturaleza del alma humana y sus relaciones con otras formas de la vida y con el todo”.1
Se pueden resumir los rasgos principales de la doctrina pitagórica en los siguientes puntos:
a) cada alma individual proviene de la naturaleza divina, a la cual se asemeja y a la que, al final,
regresa purificada en el curso de las sucesivas encarnaciones;
b) la comunidad de naturaleza entre la divinidad y el alma humana es equivalente a una analogía
entre lo que denominaban macrocosmos y el ser humano, el microcosmos; el mismo principio de
orden constituye la naturaleza esencial tanto del universo, considerado como criatura viviente,
como del hombre;
c) por tanto, la unidad del todo debe ser finita y limitada, ya que de otra manera no podría ser
reproducida análogamente en el individuo;
d) se descubrió que la analogía entre el todo y la parte consiste en una proporción o razón igual
1 W. K. C. Guthrie, Historia de la filosofía griega, v. I, p. 180.
entre sus elementos, y esa proporción se entendió como un ajuste, es decir como una armonía.2
Aun cuando presenta dos aspectos separados —el religioso y el filosófico— el pitagorismo se
presenta como un sistema unitario. Para comprenderlo es necesario darse cuenta del fondo
religioso del cual surgió, en el cual es fundamental la noción de parentesco de todos los aspectos
de la vida, del universo en su totalidad. Guthrie insiste en este parentesco al decir que
si el mundo era un ser vivo, eterno y divino, y vivía por respirar en el aire o hálito del infinito que lo rodeaba, y si el hombre también vivía mediante la respiración (cuya prueba era que el alma humana en sí era aire) el parentesco natural entre el hombre y el universo, microcosmos y macrocosmos, tiene que ser estrecho.3
La filosofía pitagórica manifiesta el triunfo del logos, entendido por una parte como lo inteligible,
como lo determinado, como lo sujeto a medida, y, por otra, como la razón de las cosas respecto al
todo. Con los pitagóricos se acentúa la capacidad de reducir todas las cosas a sus características
mensurables; también la insistencia en el concepto de proporción, tanto entre sus partes, en su
estructura interna, como en su relación con el todo. Toda la filosofía pitagórica descansa en las
ideas de límite y de orden, de peras y cosmos; a través de ellas se establece el puente que une lo
religioso y lo filosófico: en primer lugar, el mundo está ordenado, es un cosmos; dentro de él todo
se encuentra ligado por lazos de parentesco y, como ya se dijo, el alma humana está en conexión
con el universo. En consecuencia, la tarea de la filosofía es comprender la estructura del universo
y, con ello, llegar a entender lo divino presente en el alma humana.
Un término muy utilizado por los griegos tanto en música como en física y en filosofía es el de
armonía –de hecho, es un término que se origina en la lengua griega (, derivado del
verbo , que significa “juntar”). En el vocabulario de Homero ya está presente esta
noción; su concepción de armonía es de aquello que une las diferentes partes de un todo; así
entendido, se presupone lógicamente que existe una relación entre dichas partes, lo cual sería el
origen de la idea misma de medida ya que, como señala Edgar de Bruyne, “cada parte tiene que
‘guardar medida’ en el conjunto y no traspasar sus propios límites, en perjuicio del resto; de esta
manera se realiza la medida dentro de un mismo conjunto y nace la armonía”.4
En el Timeo, Platón postula la idea pitagórica de que es posible encontrar la relación de lo
humano con lo divino si estudiamos el cosmos y tratamos de determinar su orden, su estructura.
Una de las enseñanzas que se obtienen de la lectura de este diálogo es que, así como el universo
2 Como no existen textos escritos por Pitágoras o sus discípulos, la reconstrucción de estos principios se basa en la más antigua fuente del pitagorismo, que es Aristóteles, especialmente su Metafísica.
3 W. K. C. Guthrie, op. cit., p. 197.4 Edgar de Bruyne, Historia de la estética, v. I, p. 255.
está compuesto de elementos materiales ordenados puesto que están gobernados por una razón
divina, así también todos los seres humanos son estructuras formadas de la misma materia y que
reproducen los mismos principios de orden; de allí la noción de microcosmos, de que los seres
humanos puedan ser considerados como pequeños mundos.
La búsqueda del orden o de la armonía es especialmente importante en la obra de Platón; y esa
armonía la busca en el sistema planetario, en la sociedad y en su manifestación espacial, la
ciudad. En el Timeo y en algunos pasajes de la República encontramos los aspectos relativos al
orden de los planetas y la búsqueda de las leyes que lo rigen, leyes que, como él propone, son las
mismas que operan en todo el cosmos. En la República y en las Leyes se expone la concepción de
orden en la polis (ciudad o estado); en esos diálogos se pone de manifiesto que en la ciudad, de la
misma manera que en el individuo, lo más importante es la presencia de la justicia; sea la justicia
social o sea la justicia individual, en ambos casos se relaciona con el orden de los elementos que
intervienen ya sea en la ciudad, ya sea en el individuo. De hecho, los elementos que conforman la
ciudad son los individuos; por lo tanto, el orden consistiría en que cada uno de ellos esté situado
en el lugar que le corresponde y realice las funciones que le han sido asignadas de manera que
“cada individuo no debe ejercer más que un solo oficio en la sociedad, aquel para el cual la
naturaleza le ha dado la mayor aptitud”; en estas circunstancias, la justicia consistiría “en
ocuparse de sus menesteres sin ocuparse de los de los demás”.5
Platón no habla de la ciudad en términos generales, pero tampoco se refiere solamente a una
ciudad concreta; en realidad, describe –o, más bien, casi podría decirse que diseña– al menos tres.
En el Timeo esboza el esquema de una antigua Atenas, la cual habría sido construida de acuerdo
con las normas expresadas en los libros II-IV de la República. En el Critias y en las Leyes
encontramos descripciones más detalladas: en el primero se vuelve a hablar de la antigua Atenas,
además de la Atlántida, mientras que en el segundo diálogo aparece la ciudad de Magnesia. Su
meta es encontrar la ciudad perfecta;6 es decir, aquella que contenga las cuatro virtudes
fundamentales: justicia, sabiduría, valor y templanza, cada una de ellas asociada con uno de los
elementos de la ciudad.
La sabiduría reside en la porción menos numerosa de la ciudad, en los que gobiernan y que están
en posesión de la sabiduría, sofia; según establece Platón en la República, “una ciudad
constituida según la naturaleza y considerada en su conjunto, debe el nombre de sabia a lo que
5 Platón, República 433a. A partir de aquí todas las citas a este libro se incluyen en el texto.6 Dice Platón: “Si nuestra ciudad está bien constituida, debe ser perfecta”, República 427e.
está a su cabeza y la gobierna, y finalmente a la ciencia que allí reside”. (428e-429a) A ese grupo
menos numeroso le toca la ciencia que, “sola entre todas, amerita el nombre de sabiduría”. El
valor está presente en otro grupo de la sociedad, los guerreros, y mediante este término se quiere
expresar la opinión recta y disciplinada acerca de lo que se debe temer o acerca de lo que no se
debe temer; y las cosas que deben temerse “deben ser las mismas y de la misma naturaleza que
las que el legislador ha indicado en su plan de educación”. (429c) La templanza, tercera virtud, es
la que en griego se llama sofrosyne y que “a primera vista se parece, más que las precedentes, a
un acorde o a una armonía (συμφονια y άρμονία) [...] Es una especie de orden y dominio sobre
los placeres y las pasiones”. (429e) Esta virtud debe estar presente en todas las partes; de esa
manera, cuando Sócrates pregunta en cuál de los grupos de ciudadanos –gobernantes o
gobernados– debe residir la templanza, él mismo responde que en los dos, porque
si el valor y la sabiduría, que no residen más que en una parte de la ciudad, la hacen, respectivamente, sabia y valerosa, la templanza se comporta de otra manera: ésta se extiende absolutamente a la ciudad entera y produce el acorde perfecto entre todos los ciudadanos, cualquiera que sea la clase, baja, alta o media, o el rango, o su inteligencia, su fuerza o su número, sus riquezas o cualquier otra ventaja del mismo género; de manera que tenemos plenamente el derecho de decir que la templanza es ese concierto, ese acorde natural de la parte inferior y de la parte superior, para decidir cuál de las dos debe mandar en la ciudad o en el individuo. (431e-432a)
De la misma manera que en el alma colectiva de la ciudad la templanza es la armonía, es decir, el
acuerdo (el acorde) total y mutuo entre todas las partes del edificio social, gobernantes y
gobernados, así también en cada uno de los individuos la templanza estará manifestada por la
armonía entre las partes superiores e inferiores del alma. Este acorde o armonía podía expresarse
como el conocimiento de las propias limitaciones y flaquezas, a la luz de lo cual el hombre se
hace modesto, apacible, moderado y sabio; es esto lo que quiere indicar el término sofrosyne, y
de allí que su traducción más precisa sea la de templanza.7 La cuarta virtud es la justicia, y de ella
dice Platón:
lo que queda en la ciudad, fuera de las tres virtudes que hemos examinado, templanza, valor y sabiduría, es lo que les ha dado a todos la potencia de nacer, y los conserva una vez nacidos, en tanto que permanece en ellos. Hemos dicho que la virtud que quedaría cuando hubiéramos alcanzado las otras tres sería la justicia. (433b-c)
La justicia es la fuerza que empuja a cada individuo a cumplir la tarea que la sociedad le ha
impuesto; ella, junto con la sabiduría, el valor y la templanza, conduce al perfeccionamiento de la
ciudad. Por tanto, existe justicia en la sociedad cuando los distintos elementos que la componen
cumplen con sus distintas funciones; en palabras de Platón:
la ciudad es justa cuando las tres clases de espíritus que la componen hacen cada una lo que tienen que
7 Cfr. I. M. Crombie, Análisis de las doctrinas de Platón, v. I, p. 109.
hacer; por otra parte, la ciudad es temperada, valerosa y sabia, gracias a ciertas disposiciones y cualidades que corresponden a esas mismas clases. (435b)
Si en el alma de un individuo se encuentran esas mismas cualidades, se trata entonces de una
persona justa, porque su alma “existen las mismas partes y en el mismo número que en la
ciudad”; (441c) y, cuando cada una cumple su función, entonces el hombre es justo. En una de
sus intervenciones en este diálogo, hacia el final del libro IV, Sócrates señala que en el individuo
existen tres tipos de vidas o tres tipos de temperamentos: la vida de la sabiduría, la vida del honor
y la vida de los apetitos sensibles, que podemos llamar simplemente material. Estas tres vidas
corresponden en cierta manera a los llamados tres estados o tres órdenes de la ciudad: los
gobernantes, que constituyen la inteligencia y que son los que aprecian las cosas del intelecto; los
guerreros o soldados, que son el “espíritu” de la ciudad y corresponden a los que buscan la gloria;
y los productores, que atienden y satisfacen las necesidades de supervivencia material de la
sociedad entera.
Así, si existen tres elementos en cada individuo, el hombre justo será, de manera análoga a la
polis justa, aquel en el cual los tres elementos se encuentren en la proporción correcta; es decir,
aquel en el cual los tres elementos estén relacionados de manera que el resultado de esa
combinación sea que cada uno haga el trabajo para el cual está más capacitado. El elemento
racional debe gobernar; el elemento emotivo debe mantener y consolidar la autoridad; y el
elemento material debe cuidar que el todo se alimente y se reproduzca bajo los cuidados de la
razón. Si la razón gobierna, el hombre poseerá todas las virtudes morales: será sabio, porque
comprenderá los verdaderos intereses; será valiente porque sabrá temer lo que la razón indica que
debe temerse; será temperado porque en él la razón no entrará en pugna con los otros elementos,
porque todas sus pasiones y apetitos habrán sido dominados para que acepte la forma de vida
establecida por la razón.
Una vida feliz es una vida autodisciplinada y austera. Y para ser feliz se requiere una educación
que armonice el valor y la dulzura; la finalidad de la educación es producir ciudadanos que
reúnan dulzura y fuerza, sensibilidad y valor, actividad intelectual y fuerza moral; en resumen, la
finalidad es poner estos pares de elementos en armonía uno con otro, y esa armonía es la que
“hace al alma temperante y valerosa”. (410c) Todo ello se consigue a través de moldear el cuerpo
por medio de la gimnasia y el alma por la música. El cultivo del cuerpo y del alma en armonía
produce los guardianes de la ciudad, sabios y valerosos. En esta categoría de guardianes
(mencionados por primera vez en en este mismo diálogo en 374e), Platón incluye a la vez
soldados y gobernantes; cuando es necesario distinguirlos, llama a los guerreros auxiliares o
defensores (414b), y a los gobernantes, arcontes. Si se logra encontrar esa mezcla de dulzura y
fuerza para formar su juventud, la ciudad puede estar segura de su salud. (412b)
Las matemáticas tienen también un papel fundamental en la formación de la juventud; la
ignorancia de la aritmética le parece a Platón un hecho no de hombres, sino de cerdos.8 Sólo
quienes estén ejercitados en el arte de las matemáticas serán capaces de ver que los cuerpos
celestes se ajustan, igual que todas las cosas del mundo, al patrón de movimiento que les impone
la razón, patrón que es el mismo que el que produce las armonías en la música. Con el dominio
de las matemáticas llegan a comprender la lección maestra, y esa lección es que la razón es
suprema en el cosmos.
Si la salud de la sociedad tiene como condición necesaria el orden –es decir, el hecho de que cada
individuo debe estar en el lugar que le corresponde y realizar, por tanto, las funciones para las
cuales está capacitado– ello trae como consecuencia que ningún hombre pueda beneficiarse
aisladamente o llegar por sí mismo a la felicidad, ya que el bien personal no contribuye a la
felicidad de la sociedad. El equilibrio y la armonía se consiguen cuando todo y todos se ajustan al
orden general; dicho en términos musicales, cuando todos se afinan; y si un hombre no puede por
sí solo ajustarse a ese orden, lo mejor que puede hacer es someterse al gobierno de otro.
De las cuatro virtudes presentes en una ciudad justa, la responsable de la armonía es la
templanza, ya que, en tanto que virtud política (de la polis), ésta comprende tres componentes: la
sumisión de lo peor a lo mejor, la sumisión de las pasiones a la razón, y el acuerdo para decidir
quién debe gobernar. En realidad, las dos primeras se reducen a una sola, que no puede ser
primordial, ya que ambas son resultado de la tercera; ésta, por el contrario, no es producto de las
otras dos. De allí que Platón haya decidido inclinarse sólo hacia la templanza, y considerarla
como la responsable de la armonía.
La misión fundamental de Platón parece ser, al menos en estos libros, cómo desarrollar un
sistema armónico; pero en esa época todavía no existe una teoría musical consistente con los
principios pitagóricos ya que no se ha encontrado aún un sistema en el cual los tonos estén
igualmente espaciados en la escala; para lograr el tan buscado “igual temperamento” se requería
de un conocimiento matemático que todavía no estaba disponible.
Siempre se ha dicho que Platón analiza en sus diálogos el sistema astronómico, la educación, el
arte de gobernar, el alma misma del individuo, etc., usando el sistema de armonía musical como
8 Leyes 747b y 819d.
modelo; es decir, que estudia todos esos sistemas desde una perspectiva musical. Sin embargo,
queda la pregunta de cómo podría haber usado como modelo una teoría armónica que todavía no
existía. Es decir, de qué manera podría haber utilizado una teoría aún no existente para explicar,
por analogía, el comportamiento del sistema de los planetas o el sistema político. Tal vez sería
mucho más coherente pensar que la tarea de Platón ha sido tratar de conseguir esta teoría
armónica, y que el Timeo, la República, las Leyes, el Critias, entre otras de sus obras, configuran
un verdadero tratado de armonía. Es ésta la hipótesis que se quiere presentar en este escrito.
Si tomáramos en serio estas cuestiones, tendríamos que aceptar que Platón intenta, por medio de
sus alegorías políticas y astronómicas, construir una teoría del igual temperamento, y que dichas
alegorías no son sino aproximaciones sucesivas a la solución, cuyos elementos se encuentran, por
ejemplo, en las regulaciones sobre el matrimonio, o en las normas que rigen la selección de los
guardianes, ambas en la República; también en las normas que rigen las ciudades de Atlántida y
Magnesia, expuestas en el Critias y en las Leyes; en la alegoría sobre el tirano, en la descripción
de la antigua Atenas, en las dos versiones del sistema planetario que aparecen en el Timeo y en
Critias. Las páginas que siguen intentan desarrollar estas ideas.
Por todo lo dicho en páginas anteriores se pone de manifiesto la necesidad de desarrollar lo que
presupone la noción de sofrosyne, o, para darle un aspecto más técnico y menos filosófico, la
noción de armonía, puesto que es posible hablar de templanza respecto de la ciudad o del alma
del individuo desde perspectivas morales o éticas sin tener que recurrir a la aritmética o a la
geometría; sin embargo, no es posible hacer algo similar si pensamos en esa misma templanza
desde el punto de vista de la música. Trasladada a la música, la templanza puede considerarse
como el temperamento, incluso como la afinación. Pero, como sabemos por las actuales teorías
de la música, existen varios sistemas de afinación: el sistema de afinación llamado pitagórico,
que es aquel en el cual intervienen los dos primeros números primos, 2 y 3, basado, por tanto, en
la octava, la cuarta y la quinta;9 este sistema se usa, como se mostrará en el desarrollo de este
trabajo, en la República, para describir los grados de infelicidad del tirano. Otro sistema es el de
afinación justa, que se basa en la octava, la quinta y la tercera mayor, y que aparece en el mismo
diálogo, en el sistema de arreglo de los matrimonios. Un sistema más sería el que divide la octava
exactamente en doce tonos iguales, y que es el llamado bien temperado. De este último, Platón no
ofrece ejemplos, ya que se trata precisamente del sistema que está intentando encontrar, el cual
sólo fue posible conseguirlo cuando se dispuso del conocimiento y manejo de los números
9 Estas nociones se tratan por extenso en páginas posteriores.
irracionales. Sin embargo, esta idea de la división en tonos iguales está expresada por Platón
cuando dice que la moderación, es decir, la templanza, tiene por función “afinar” la ciudad,
“haciendo que el débil, el fuerte y los que están en el medio canten el mismo canto”. (República
432a)
Si limitamos el estudio a las maneras a través de las cuales Platón quiere conseguir la armonía en
sus modelos de ciudad, vemos que en la antigua Atenas desarrolla un sistema de afinación
pitagórica (o sea, pone allí en práctica lo expresado en el Timeo: hacer intervenir sólo las series
de potencias de 2 y de 3); en la descripción de la Atlántida hace intervenir, además del 2 y del 3,
al 5; por tanto, desarrolla el sistema de afinación justa. Finalmente, en la descripción de la ciudad
de Magnesia, el esquema se hace más complejo, pues allí se introduce, además, el número 7;
desarrolla, por tanto, el sistema de afinación llamado de Arquitas. Si dejamos ahora de lado todas
las consideraciones técnicas, lo que interesa destacar en este momento es cómo, a través de la
exposición de diferentes sistemas políticos, Platón intenta llegar, por aproximaciones sucesivas, a
algo que las matemáticas de su tiempo no le permitieron: el sistema de afinación bien temperada,
con todos los intervalos iguales.
En este trabajo se pretende una exploración del concepto de armonía elaborado por Platón; ello
presupone el análisis de las ya mencionadas alegorías a través de las cuales se expresa, de
acuerdo con la hipótesis ya señalada, el acorde, la templanza, la armonía. La primera alegoría que
se analiza es la de los planetas; y esa primacía se debe a que en la explicación del sistema
planetario se encuentran las bases de la armonía del cosmos; para estudiar este sistema es
necesario un pequeño rodeo a través de la noción de proporción y de otras nociones igualmente
básicas de la matemática griega. También es necesario otro pequeño rodeo por algunas nociones
elementales de la teoría musical, cuyo desarrollo es comprensible –espero– a partir de las bases
que aquí se exponen. A pesar de todas las precauciones, la lectura de las páginas que siguen sí
presupone una dificultad que es el manejo de las cuatro operaciones fundamentales de la
aritmética, imposible de evitar. Platón prohibía entrar en la academia a quienes no supieran
geometría; sin embargo, el estudio elemental de la armonía como el que aquí se plantea no
requiere ni de toda la aritmética ni de toda la geometría, sino sólo de algunos de sus conceptos
más elementales.
Pero antes de entrar de lleno en esas consideraciones aritméticas que gobiernan la armonía y la
proporción, haremos un breve recorrido por la visión platónica del universo expuesta en el Timeo,
en la cual se postula la necesidad de un modelo para su producción y su comprensión; también se
pone de manifiesto en este diálogo fundamental de Platón una condición para la existencia de la
relación: la necesidad de una tercera cosa para que dos cosas cualesquiera –sea que pertenezcan
al individuo, al mundo terreno, o a la esfera de los planetas– puedan establecer algún tipo de
relación; como existe una imposibilidad general de tener relaciones directas, es necesario, por
tanto, establecer o estatuir esta relación siempre a través de una cosa intermedia. Veremos, pues,
en primer lugar la mediación.
La mediación
Las ideas de Platón sobre el mundo y sobre la naturaleza contenidas en el Timeo parten de la
afirmación de que nada viene a la existencia sin una causa, sin un hacedor. Como afirma Platón,
“todo lo que nace, nace necesariamente por la acción de una causa, pues es imposible que lo que
es pueda nacer sin causa”.10 Por tanto, el universo, al ser un objeto físico, tiene una causa, y su
agente es el artesano divino o Demiurgo. Este demiurgo, este artesano es eso mismo, una causa.
Platón no la define de manera precisa, pero parece afirmar que funciona como una causa
eficiente, como un poder para producir movimiento; aunque, como señala Rivaud en el prólogo a
este libro, “la causalidad de la que se habla no es la potencia creadora que la [...] teología
cristiana atribuirá a la divinidad”.11 El demiurgo obtiene nuevas formas, pero no las obtiene de la
nada, sino de una armoniosa mezcla de elementos ya existentes, combinados según ciertas
normas de orden y belleza, y según los lineamientos de un patrón o un modelo. Es decir, el
demiurgo sólo crea orden y belleza, y lo hace de acuerdo con un modelo prexistente. Cuando el
demiurgo tomó todo lo visible, “vio que no estaba en un estado de reposo sino de discordante y
desordenado movimiento, y puso orden en el desorden, pues lo primero [el orden] es en muchas
formas mejor que lo último [el desorden]”. (29d) Al poner orden, es decir, al hacerlo pasar del
estado de caos al de cosmos, formó un mundo material y, de acuerdo con el modelo ideal y
eterno, lo convirtió en una criatura viviente, a imagen de “la Criatura Viviente de la cual todas las
demás criaturas vivientes son porciones”.
En varios pasajes de Platón (por ejemplo, en la República 427d y 500e, y en las Leyes 801b)
parece advertirse como principio general el hecho de que sea necesario buscar el modelo según el
cual ha sido construida toda cosa. Para el caso del universo existente, también fue preciso, por
tanto, utilizar un modelo; en el Timeo está planteada la pregunta sobre cuál fue dicho modelo.
Platón concibe dos modelos opuestos: uno que es eterno, que no nace y no está sometido al
devenir, y otro que no es nunca pero que no cesa de nacer. Ambos poseen su propia forma de
aprehensión: “El primero es aprehendido por el intelecto y el razonamiento, pues es idéntico
constantemente a él mismo. El segundo es objeto de la opinión unida a la sensación no razonada,
pues nace y muere pero no existe nunca realmente”. (27d-28a) Para la creación del mundo, el
Demiurgo eligió el primero, el modelo eterno, puesto que “si el mundo es bello y el obrero es
10 Platón, Timeo 28a. También las citas del Timeo aparecen, a partir de ahora, incluidas en el texto.11 A. Rivaud, “Notice”, introducción a Platón, Oeuvres Complètes, t. X, Timée-Critias, p. 36.
bueno, es claro que fijó su mirada en el modelo eterno”. (29a) Este modelo escogido se menciona
como una criatura viviente; se trata, en la argumentación de Platón, obviamente de un ser vivo y,
por tanto, de un ser que debe tener cuerpo y alma, pues,
[…] habiendo decidido formar el mundo lo más semejante posible al más bello de los seres inteligibles, a un ser perfecto en todo, el Dios ha hecho un ser viviente único y visible, que tiene una naturaleza de la misma clase que él. (30d)
Con respecto al cuerpo –que es el cuerpo del Todo– dice lo siguiente: todo lo existente necesita
ser de forma corporal, visible y tangible, y para ello se requiere de la presencia del fuego y la
tierra, pues “sin fuego nada podría ni siquiera llegar a ser visible, ni tangible sin alguna solidez,
ni sólido sin tierra”;(31d) de allí que el cuerpo del Todo tuviera necesidad, antes que nada, del
fuego y de la tierra. La tradición de la cual Platón es heredero hablaba de cuatro elementos,
mientras que Platón hasta ahora sólo ha mencionado dos; para introducir los dos restantes recurre
a una de las nociones clave del pensamiento platónico: la de proporción. Para establecer una
relación entre dos cosas –dice– se requiere de una tercera que las ligue,
[…] pues es necesario que en medio de las dos haya un enlace que las aproxime. Ahora bien, de todas las uniones, la más bella es aquella que da a sí misma y a los términos que une la unidad más completa. Y es la progresión la que naturalmente la realiza de la manera más bella. Ésta se tiene cuando en tres números, lineales o planos, el del medio es tal que el que está primero es, por relación a él, como ese medio mismo es por relación al último. (31b-c)
De esta manera es una progresión de tres números y los tres forman una unidad perfecta. Sin
embargo, esto es válido cuando se trata de sólo tres términos, pues, como dice Platón, si el mundo
fuera plano y sin espesor, bastaría con esta “mediedad” única.12 Pero ahora estamos en presencia
de sólidos, es decir, tenemos que tratar con cuatro términos; de allí que haya que recurrir a otro
tipo de proporción, la proporción geométrica; por tanto, cuando las dos cosas que se unen son
tridimensionales, es decir, sólidos, son necesarios dos términos medios, pues “para armonizar los
sólidos nunca basta una sola mediedad: son necesarias siempre dos”; (32a) por ello puso el agua
y el aire entre el fuego y la tierra, estableciendo la siguiente proporción: el aire es al agua como el
fuego al aire, y el agua es a la tierra como el aire al agua.
Por estas razones y de estos materiales, tales en clase y cuatro en número, el cuerpo del Cosmos fue armonizado con la proporción y traído a la existencia [...] Así, unido en identidad con él mismo, llegó a ser indisoluble por cualquier otro agente distinto de quien lo unió“. (32b)
La forma que le asignó es la esférica, la que tiene la mayor afinidad: como este ser viviente “debe
contener en sí mismo todos los seres vivientes, la figura que le conviene es la que comprende en
sí misma todas las figuras”. Y la figura esférica es, “de todas las figuras, la más perfecta y la más
12 Es éste, precisamente, el término que Platón utiliza: μεσοτης, que significa literalmente mediedad.
completamente semejante a ella misma”, (33b) y, como ya se sabe, lo semejante es mil veces más
bello que lo desemejante. A este cuerpo le fue impuesto un movimiento; de los siete movimientos
posibles, escogió el que concierne “al intelecto y a la reflexión“, es decir, el que realiza “sobre sí
mismo una revolución uniforme, en el mismo lugar”. (34a)
Pero, además de cuerpo, el todo tiene alma; en lo que se refiere al Alma del Mundo, las dos
esencias mencionadas, la que es siempre y nunca cambia, y la que no deja de cambiar –es decir,
lo Mismo y lo Otro– no aparecen ya como modelos, sino ahora como sus ingredientes. El
demiurgo colocó el alma en el centro del cuerpo y la “extendió por todas partes, envolviendo
también el exterior de este cuerpo”. (34b) El alma del mundo fue formada con la mezcla de lo
Mismo y de lo Otro; pero, además de éstos (del ser que es invisible y que permanece siempre
igual, y del ser transitorio y divisible), el artífice mezcló un tercer ingrediente, salido de lo
Mismo y de lo Otro, y los combinó en una forma única, “armonizando por fuerza con lo Mismo
la sustancia de lo Otro, que difícilmente se deja unir. Mezcló las dos primeras con la tercera y de
las tres hizo una sola”. (35b) Con la mezcla de esas tres entidades formó el alma del mundo. Esa
mezcla fue dividida en porciones de acuerdo con un procedimiento que recurre otra vez a la
proporción, combinando progresiones aritméticas, geométricas y armónicas.13
Más adelante se indicará la manera en que se dividió la mezcla; por ahora baste mencionar ciertos
aspectos de la relación entre la conformación del alma del mundo y la visión platónica del
universo. En la ya mencionada mezcla hizo una división longitudinal, lo cual dio como resultado
algo así como dos cintas, que fueron unidas en sus extremos para formar dos anillos o ruedas;
posteriormente puso estas ruedas una dentro de la otra, pero no de manera paralela, sino de
manera que sus planos formaran un ángulo recto, como el formado por el ecuador y uno de los
meridianos. En palabras de Platón: “habiendo cruzado las dos mitades una sobre la otra, haciendo
coincidir sus puntos medios, como una Chi, las curvó para unirlas en un círculo, uniendo entre sí
los extremos de cada una en el punto opuesto a su intersección”. (36b-c) Y las envolvió con el
movimiento uniforme que gira en el mismo lugar; y con los dos círculos hizo que uno fuera
exterior y el otro interior;
[…] al movimiento del círculo exterior lo designó como el movimiento de la sustancia de lo Mismo, y al del círculo interior, como el de la sustancia de lo Otro. El movimiento de lo Mismo se orientó según el lado de un paralelogramo, de izquierda a derecha; el de lo Otro, según la diagonal, de derecha a izquierda. (36c)
Finalmente, de la rueda interior, mediante un proceso que no se describe en el diálogo, surgieron
13 Estos conceptos serán desarrollados en páginas posteriores.
siete ruedas de distintos tamaños, aunque todas ellas relacionados armónicamente; estas ruedas
giran con velocidades distintas, también armónicamente relacionadas, “cuyas razones de una a
otra son las de los enteros naturales”. (36d)
Evidentemente, el resultado es un esquema del universo, donde el círculo mayor es la órbita
celeste de las estrellas fijas, y los siete círculos menores son los del sol, la luna y los restantes
cinco planetas que giran alrededor de la tierra. Estamos ante una imagen del universo, aunque no
sea tan desarrollada como la que se presenta en el esquema posteriormente propuesto por
Ptolomeo, en el cual se asumen y se amplían muchas ideas platónicas. Cuando el demiurgo vio
que el mundo se movía y vivía, se llenó de gozo y pensó en cómo hacerlo más semejante todavía
a su modelo; lo que le faltaba era darle también cierta semejanza respecto a su carácter de eterno.
Sin embargo, ese atributo de eternidad es imposible de asignar a un mundo engendrado, por lo
cual su autor decidió hacer sólo una imitación de dicho carácter y, “al organizar el cielo, hizo de
la eternidad, inmóvil y una, esta imagen eterna que progresa según la ley del Número, esta cosa
que llamamos el tiempo”. (37e) De hecho, el sol, la luna y los cinco astros llamados errantes, es
decir, los planetas, tienen existencia solamente para determinar y preservar los números del
tiempo, puesto que, según interpreta Copleston, “el tiempo es el movimiento de la esfera, y el
demiurgo dio al hombre el resplandeciente sol para proporcionarle una unidad con qué medir el
tiempo”.14 El divino artesano construyó, entonces, el cuerpo de cada uno de los astros y colocó
cada uno de ellos en las siete órbitas generadas por la sustancia de lo Otro.
Uno de los aspectos interesantes que conviene destacar desde ahora es que el demiurgo platónico
no es un creador; del Timeo se deduce que el demiurgo toma unos materiales ya existentes y hace
con ellos su obra; en otras palabras, no es responsable de su existencia, sino sólo de su orden.
Pero aun así, es comprensible que durante la Edad Media se haya visto al platonismo como una
doctrina compatible con la noción cristiana de dios creador, donde el dios platónico sería el bien
trascendente, o el Demiurgo que forma el universo para el bien y desea que “todas las cosas
lleguen a ser lo más semejante posibles a él mismo”.
El demiurgo ordena cosas ya existentes, cosas “ausentes de razón o medida”; y tales cosas son
precisamente los mencionados elementos: tierra, aire, agua y fuego, todos ellos compuestos de
partículas invisibles. Esta concepción de la naturaleza como un todo formado de partículas no fue
inventada por Platón, sino que ya había sido propuesta antes para explicar cómo era posible el
cambio en un mundo en el que las cosas retenían su identidad. Los pitagóricos suponían que
14 F. Copleston, Historia de la filosofía, v. 1. Grecia y Roma, p. 255.
todos los objetos estaban constituidos por puntos o unidades de existencia, por tanto, “que los
objetos naturales estaban formados de estos puntos combinados de acuerdo con las distintas
formas geométricas”.15 Los pitagóricos, en realidad, confundieron los puntos geométricos con las
más pequeñas partículas físicas. El atomista Demócrito, por su parte, estableció que los puntos
geométricos no tenían magnitud y defendió la idea de que las partículas últimas del mundo no
eran puntos geométricos, sino unidades físicas indivisibles, es decir, átomos. Todo el universo
estaba formado de átomos que se movían al azar en un vacío infinito; tales átomos variaban en
tamaño, forma, orden y posición; en sus movimientos formaban vórtices donde se formaron los
primeros cuatro elementos; después se formaron otros cuerpos por adherencia mecánica de
átomos semejantes. Platón heredó de pitagóricos y atomistas la idea de que lo inteligible,
permanente y real, en la cambiante variedad del mundo físico, era expresable sólo en términos
matemáticos.
Es interesante para los propósitos de este trabajo hablar de los cuatro elementos considerados por
Platón como componentes mínimos: tierra, fuego, aire y agua. El punto de partida de Platón es
considerar esos cuatro elementos como cuerpos y, por tanto, como poseedores de espesor o
profundidad. La profundidad, por su parte, debe estar delimitada por una superficie plana, y todo
plano rectilíneo está formado por triángulos. (Timeo 53c) Todos los triángulos tienen como origen
dos tipos de triángulos, ambos rectángulos: uno de estos triángulos –dice Platón– tiene en cada
lado la mitad de un ángulo recto marcado por lados iguales, mientras que el otro tiene el ángulo
recto dividido en partes desiguales por lados desiguales”; (53d) es decir, uno es isósceles y el otro
escaleno. El triángulo isósceles sólo tiene una especie, mientras que el escaleno tiene un número
indefinido de ellas, aunque el triángulo más bello es aquel que “con dos de ellos se puede formar
el tercer triángulo, que es equilátero”. (54a) Tres de los elementos se generaron del escaleno, y el
cuarto del isósceles.
A la tierra se dio forma cúbica, “porque de las cuatro especies la tierra es la más difícil de mover
y el cuerpo más plástico”; (55e) es el cuerpo con bases más estables y por ello es el único
elemento formado por triángulos isósceles. De los otros tres, el agua es el menos móvil y el fuego
el más móvil; el aire es intermedio. Igualmente, dice,
[…] asignamos el más pequeño cuerpo al fuego, el mayor al agua y el intermedio al aire; y nuevamente, el más agudo, al fuego; el segundo, al aire, y el tercero al agua. De estas formas, la que tiene más pocas bases debe ser necesariamente la más móvil, puesto que es de todas maneras la más punzante y la más aguda de todas; y debe ser también la más ligera, puesto que está compuesta del menor número de partes idénticas. (56a)
15 A. C. Crombie, Historia de la ciencia: de san Agustín a Galileo, v. I, p. 40.
Finalmente, si la tierra está formada por cubos, la pirámide es la forma de las partículas de fuego;
el octaedro, de las del aire, y el icosaedro, de las del agua. Estos corpúsculos son tan diminutos
que no son perceptibles. Por otro lado, “respecto a las proporciones numéricas que gobiernan sus
masas y movimientos y demás cualidades, debemos concebir que el dios realizó éstos con
exactitud [...] y ordenó todo en proporción armoniosa”.
Hasta este punto, Platón ha distinguido dos grandes formas: la que podríamos llamar el modelo,
que es “inteligible y siempre uniformemente existente”, y la segunda, la copia de este modelo,
que es “visible y sujeta al devenir”. De esas dos primeras especies, “una habíamos supuesto que
era la especie del Modelo, especie inteligible e inmutable; la segunda, copia del Modelo, estaba
sujeta al nacimiento y era visible”. (48e) Y si al principio pensaba que con estas dos era
suficiente, después cree que es necesaria una tercera, que sería algo así como una nodriza o como
un receptáculo para todo nacimiento. Se requiere, pues, la presencia de una tercera que sería el
lugar donde todo lo que es llega a ser, el espacio de existencia; esta tercera cosa, a la que llama
receptáculo o nodriza, es algo de muy difícil aprehensión. Las dos primeras son descritas con una
relativa amplitud en varias ocasiones; por ejemplo, la primera es, según el Timeo,
la Forma idéntica a sí misma, que no es generada y es indestructible, que no recibe en sí misma cualquier otra forma de otro lugar, ni pasa a cualquier otra, es invisible y en todos los aspectos imperceptible por los sentidos, y es el objeto de contemplación de la Razón;
la segunda cosa “es esa que es nombrada según la anterior, similar a ella, perceptible por los
sentidos, generada, siempre móvil, nacida en algún lugar y salida de él para desaparecer,
aprehensible por la Opinión con ayuda de la Sensación”. La tercera es tratada con menor
amplitud; sólo dice que es el “lugar eterno, que no admite destrucción y que proporciona espacio
para todas las cosas que han nacido”, sólo es aprehensible por “una especie de razonamiento
bastardo”.
En lugar de pretender elaborar un razonamiento de ese tipo, hay que señalar otra característica
con la cual Platón define las tres especies señaladas: la primera es lo que llega a ser (es decir, el
punto de partida); la segunda es eso a lo que se llega a ser (el punto de llegada), y la tercera la
fuente de la cual lo que llega a ser es copiado y producido. “Conviene comparar el receptáculo
con una madre, el modelo a un padre y la naturaleza intermedia entre los dos a un hijo”. (50d)
Hablar de ese receptáculo o Madre es casi imposible ya que no posee propiedades en sí mismo;
más bien debe ser capaz de recibir las propiedades de lo que en él ocurre. Pero, por otro lado, las
cosas que allí ocurren están en constante cambio y sólo nos encontramos con procesos; dice
Platón que no podemos señalar una cosa y decir “esto es fuego”, porque todo está en continua
transformación y no se puede decir que algo que cambia es fuego, sino solamente que tiene la
propiedad de lo ígneo; al cambiar el fuego, dicha propiedad desaparece de lo que era ígneo.
“Eso” que era ígneo es lo que sólo se puede aprehender a través de un razonamiento bastardo. En
el receptáculo surgen las instancias de las propiedades, pero como es el material último de todo lo
que existe, no tiene propiedades; de allí su semejanza con la idea de espacio, que es algo y es
nada, pues existe pero no se percibe. Es un medio plástico que no consta de ninguno de los cuatro
elementos, sino que es el lugar donde se manifiestan las propiedades que tendrán tales elementos
después de la obra ordenadora del demiurgo.
Como el universo es tridimensional, hay una cierta necesidad interna de que sus contenidos sean
también tridimensionales; por otro lado, la razón exige que los sólidos, que son las partículas de
las cuales cada elemento está formado, sean regulares. Finalmente, es necesario que los
elementos estén en continuo cambio, de acuerdo con leyes naturales, de manera que puedan
combinarse para formar otros elementos. Ésta sería la razón de postular dos tipos de unidades
inferiores bidimensionales –los triángulos– con los cuales se construyen cuatro partículas
tridimensionales: pirámide, cubo, octaedro e icosaedro. En consecuencia, lo que se obtiene al
configurar el espacio en sólidos regulares son los elementos: tierra, aire, agua y fuego; éstos son,
pues, productos del ordenamiento y no de lo que se ordena. Crombie lo resume del modo
siguiente:
El Artífice se encuentra con tres tipos de necesidades: fáctica, físicomatemática y teleológica. La necesidad fáctica consiste en la existencia de un continuo tridimensional caótico y todo lo que haya que hacer se ha de hacer en él. La necesidad fisicomatemática consiste en las maneras en que se puede llenar un continuo tridimensional con sólidos regulares y en las propiedades dinámicas que han de poseer los sólidos regulares. La necesidad teleológica consiste en la restricción ejercida sobre la voluntad del Artífice por hechos tales como que el orden es preferible al desorden y que los seres inteligentes son preferibles a la materia inerte. Debido a que el orden es preferible al desorden y debido a que se enfrenta a un continuo tridimensional, está forzado a crear en él sólidos regulares.16
De esta breve reseña de los principios rectores del universo según la concepción de Platón
interesa destacar, para los propósitos de este trabajo, en primer lugar la noción de mediación; se
trata de la idea de que no existen relaciones directas entre una cosa y otra, particularmente en lo
que toca a las relaciones entre seres que pertenecen a jerarquías distintas. Ya hemos visto que
Platón afirma que, para que dos cosas puedan conjuntarse, se requiere de una tercera, y esto
también es válido para la necesaria relación entre el demiurgo y los seres vivientes. Si queremos
conocer qué tipo de relación se establece entre ambos, tenemos que examinar la manera en que
los segundos fueron generados; no fueron producidos de manera directa por el demiurgo, sino por
16 I. M. Crombie, Análisis de las doctrinas de Platón, t. II, p. 225.
los dioses inferiores, ellos sí creados por aquél.
Todo había sido hecho a semejanza del modelo, pero el trabajo no estaba concluido, pues el
universo creado no comprendía a todos los vivientes que debían nacer en él; por ello la semejanza
entre este universo y el modelo era sólo parcial. Así, “en la medida en que el intelecto percibe las
formas comprendidas en lo Viviente, sabe cuáles y cuántas son, el dios pensó que el mundo debía
contener las mismas en igual número”. De acuerdo con Platón, existen cuatro de estas formas: la
especie celeste de los dioses, la especie alada que vuela, la especie acuática, y la que camina y
vive en la tierra. La primera fue hecha por el dios y es la más brillante, la más bella y la que
posee la sabiduría; ésta se encuentra distribuida circularmente por todo el cielo.17 Pero las otras
especies no podían ser fabricadas por el divino artesano, por más que su existencia fuera una
necesidad lógica, casi matemática, para la existencia del Todo. De allí que encomendara esa tarea
a los dioses inferiores, los cuales, como nacieron o fueron creados, “no son ni inmortales ni
incorruptibles del todo”. A ellos les dice:
Tres especies mortales faltan todavía por nacer. Si no nacen, el cielo quedará inacabado, pues no comprenderá en sí mismo todas las especies vivientes. Y es necesario que las comprenda, si quiere ser absolutamente perfecto. Pero si yo las hago nacer, si participan de la vida por mi, serán iguales a los dioses. Con el fin de que, por un lado, esos seres sean mortales y que, por otro lado, el Todo sea realmente el Todo, apliquen ustedes su naturaleza para fabricar a los seres vivos... (41b-c)
Para la elaboración de las tres especies mortales se usó el mismo cuenco donde se formó el Alma
del Mundo, y los materiales con que se fabricaron fueron los restos de materiales usados en la
producción del Alma del Mundo, “aunque ya no con una pureza uniforme e invariable, sino en un
grado segundo o tercero de pureza”. (41d) Pero no solamente hay diferencia en el grado de
pureza de los materiales, sino también en la manera de unirlos: los dioses creados, imitando a su
propio hacedor, tomaron porciones de fuego y tierra y agua y aire y los unieron; pero ahora no
pegaron las porciones con esos lazos indisolubles con que ellos mismos fueron unidos, sino con
numerosos clavos, invisibles por su pequeñez; y entonces construyó cada uno de estos dioses
varios cuerpos, uno para cada individuo; y dentro de estos cuerpos colocaron las revoluciones del
Alma inmortal.
Y no sólo en este momento de la creación aparece la noción de mediación sino en todos. Al
referirse concretamente a la relación entre dios y el hombre, Platón ya había establecido en otro
de sus diálogos, el Banquete, que ésta es una relación no inmediata, sino que se realiza a través de
17 Cada uno de los dioses tiene dos movimientos: “uno se produce en el mismo lugar y según relaciones invariables (pues cada uno medita siempre en sí mismo los mismos pensamientos relativos a los mismos objetos), y el otro que se realiza hacia adelante y está dominado por la revolución de lo Mismo y de lo semejante”. (Timeo 39e–40a-b)
algún medio o puente; en fin, de una tercera cosa de algún tipo. La necesaria presencia de tres
cosas es a lo que Lewis llama “principio de la triada”, el cual florecerá a lo largo de todo el
pensamiento medieval, poniendo terceras cosas entre todas las parejas posibles: la razón y los
instintos, el alma y el cuerpo, el rey y el pueblo, etc. Este principio de la triada llegó a la Edad
Media y épocas posteriores a través, claro está, de terceros o mediadores, entre los que podemos
señalar a Apuleyo, quien vivió en el siglo II dC. En uno de sus ensayos llamado Sobre el dios de
Sócrates, Apuleyo habla de ciertas criaturas, de naturaleza intermedia entre los dioses y los
hombres, a los que denomina demonios y los considera como la única vía para establecer
relaciones entre ambas especies.18 Tales demonios ocupan un lugar preciso del espacio, pero,
antes de ver de qué clase de lugar se trata, es necesario apelar a un segundo principio heredado
del platonismo; es el que Lewis llama “principio de plenitud”, y consiste en que hay una
exigencia de la razón que impide la existencia de algún lugar del universo desaprovechado o
deshabitado. Por lo tanto, cada una de sus porciones debe tener sus criaturas apropiadas; es decir,
tanto la tierra como el aire y el éter poseen cada uno su clase especial de criaturas, de manera que
ninguna de tales porciones está vacía. Los demonios tienen como su lugar la región comprendida
entre la tierra y la órbita de la luna, es decir, el aire (las aves, aunque vuelen, se consideran
habitantes de la tierra). Los demonios tienen cuerpo, aunque éste no es visible pues tiene una
consistencia menor que la de las nubes; pero son animales racionales precisamente por tener un
cuerpo; según dice Lewis, son animales racionales aéreos del mismo modo que los seres
humanos son animales racionales terrestres; incluso los dioses son animales racionales etéreos.19
El hecho de que Platón llame en el Timeo “criaturas vivientes” incluso a los más elevados
espíritus creados, es el origen de considerar que éstos poseen corporeidad.
El traductor de una de las versiones del Timeo, Calcidio, también se refiere a los demonios en el
comentario que acompaña a su traducción, pero con ese nombre abarca tanto a las criaturas
etéreas como a las aéreas, y las primeras dice que son aquellas a las “que los hebreos llaman
ángeles”. En este autor también están presentes los dos principios mencionados por Lewis, el de
la tríada y el de la plenitud: piensa que el éter, el aire y la tierra están habitados; además, puesto
que por un lado existen criaturas estelares, celestes, inmortales y divinas, y por otro lado existen
criaturas perecederas, terrestres, temporales y mortales, necesariamente tendrá que existir entre
18 Los dioses se distinguen de los hombres “por la elevación de su morada, la eternidad de su vida, la perfección de su naturaleza, la ausencia total de relaciones directas con nosotros ...” Pero, “existen potencias divinas intermedias, que habitan el espacio aéreo, entre las alturas del éter y los bajos fondos terrestres, y que comunican a los dioses nuestros deseos y nuestros méritos. Estos seres han recibido de los griegos el nombre de demonios...” (Apulée, Du dieu de Socrate, pp. 127-133)
19 C. S. Lewis, La imagen del mundo, p. 31.
ambos tipos algo intermedio que los conecte, tal como lo establecen las leyes de la proporción.
En síntesis, la concepción del universo derivada del platonismo, la cual es el modelo de mundo
que se mantuvo vigente durante, al menos, el primer milenio de nuestra era, reposa de manera
especial en esa noción de mediación, en la existencia de terceras cosas que sirven para relacionar
dos cosas previas. De allí la necesidad de analizar con más detalle esta idea y el concepto
matemático asociado con ella, el de proporción.
La armonía y el número
Como se dijo antes, la primera definición de armonía —que podemos encontrar en Homero— es
la de relación entre las partes de un todo. En términos generales, establecer una relación armónica
significa acoplar, adaptar o ajustar una cosa a otra; el término mismo, armonía, se deriva del
verbo que significa juntar. Tal vez una de las formulaciones más amplias de la definición de
armonía de Platón sea la de A. Rivaud; para él, “la armonía es, de manera general, lo que acerca y
mantiene unidos, a pesar de su oposición, los elementos contrarios de que están formados las
cosas”.20 Esta definición sigue de cerca la de Filolao, (c. -450?) quien piensa que la armonía nace
de la relación entre las oposiciones y es la que establece la unidad de las diversas partes que
componen un todo. Por esta razón piensa que la armonía puede ser determinada y calculada de
manera matemática. Si nos situamos en el terreno de la música antigua, la armonía se considera
como la forma en que se articulan los elementos, es decir, los sonidos y los intervalos. Esta
definición es válida, sin embargo, dentro de los límites de la teoría musical griega, ya que
modernamente se entiende de manera diferente: como encadenamiento vertical de los acordes.
También hemos señalado anteriormente que la tradición postula a Pitágoras como el primero que
investigó cómo está constituido el orden del cosmos, es decir, las relaciones entre los elementos
que lo componen. Pitágoras aplicó sus conocimientos geométricos (se habla de él incluso como
padre de la geometría) a la naturaleza, y las relaciones que encontró lo condujeron a pensar que la
verdad última de la estructura del universo estaba en los números. “Todo está dispuesto conforme
al número”, dice un fragmento del Hierós Logos o Discurso sagrado atribuido por Jámblico a
Pitágoras; tanto para éste como para sus discípulos, los números tenían un significado místico,
pues, mientras que los fenómenos eran secundarios, los números constituían una realidad
independiente; por lo tanto, lo único significativo de los fenómenos era la manera en que
reflejaban el número. Pero los números no sólo explicaban el mundo físico, sino que también
representaban cualidades morales y otro tipo de abstracciones (incluso no sólo las representaban,
sino que, para ellos, eran esas cualidades). El número era, pues, en resumen, responsable de la
armonía, el principio divino que regía la estructura del mundo.21
20 A. Rivaud, Platon et la musique, Revue d'histoire de la philosophie III, 1929, cit. por J. Chailley, La musique grecque antique.
21 Aristóteles asegura que, para los pitagóricos, “las cosas en sí son números”, o “imitan” o “representan” números (Metafísica 987b 28). También señala que ellos asumían “que los elementos de los números eran los elementos de todas las cosas” y que “la totalidad del cielo era armonía y número”. (986a 1)
Ya hemos hablado en la introducción sobre los rasgos principales de la doctrina pitagórica: la
analogía entre el alma individual y el alma del mundo, es decir, la analogía entre macrocosmos y
microcosmos; el hecho de que el mismo principio de orden constituya la naturaleza del universo,
considerado como un organismo viviente, y de la criatura particular; finalmente, que la analogía
entre el todo y la parte consiste en una proporción, la cual se entendía como un ajuste, es decir,
como una armonía. El principio de orden, como se verá más adelante, consiste en poner en acción
el principio del límite frente a lo ilimitado, y, por tanto, es el productor de la armonía que es
esencialmente numérica. Es en este sentido que los pitagóricos sostienen que los números son la
realidad primaria.
Para mostrar las relaciones entre número y armonía, es decir, para calcular la armonía, se utilizó
ampliamente el monocordio, que era una caja sonora con una cuerda y un puente móvil; con este
instrumento se medían los tonos y los intervalos. Al pulsar la cuerda, que tiene una longitud
determinada y que para nuestros propósitos designamos como la unidad, se produce un sonido
que llamamos una tónica; si la cuerda tiene el doble de esa longitud, es decir, si su longitud está
en una relación 2:1 respecto a la primera, la nota que se produce estará a la distancia de una
octava de la tónica; si la cuerda es una mitad mayor que la original, es decir, 1+1/2=3/2 , el tono
estará a una distancia de un intervalo de quinta; y si la cuerda es un tercio mayor (1+1/3=4/3) la
nota producida estará a un intervalo de cuarta.22
Esto muestra que todo el sistema armónico estaba basado en las razones que se dan entre los
cuatro primeros números: 1, 2, 3, 4. Descubrir esto, descubrir que las consonancias musicales se
pueden expresar matemáticamente mediante las razones de los cuatro primeros números enteros;
entender la íntima relación entre el sonido, la longitud de la cuerda (es decir, un elemento
espacial) y el número, todo ello tuvo que originar la perplejidad y la admiración en Pitágoras y
sus discípulos, pues todo parecía indicar que habían encontrado la llave que abría la puerta de las
inexploradas regiones de la armonía universal.
No ha llegado hasta nosotros una teoría del número que proceda directamente de los pitagóricos;
el único tratado de la antigüedad data del siglo II de nuestra era, y es la Introducción a la
aritmética de Nicómaco de Gerasa, autor también de un Manual de armonía. En el siglo IV,
Jámblico compiló los escritos de Nicómaco sobre el número con el título Theologumena
aritmeticae, el cual fue traducido por Boecio y tuvo gran influencia en la Edad Media. Nicómaco,
22 Todos estos aspectos de la armonía y los intervalos musicales serán tratados extensamente en las siguientes secciones.
fiel seguidor del pitagorismo, piensa que, si el cosmos está ordenado, entonces el número es la
esencia eterna de la realidad; dice: “El caos primitivo, falto de orden y de forma y de todo lo que
diferencia según las categorías de la cualidad, de la cantidad, etc., fue organizado y ordenado
según el número”.
Nicómaco habla de dos tipos de número: el número divino o número idea, y el número científico;
el primero como el modelo ideal del segundo. Sin embargo, como en el mundo material las
únicas cosas permanentes son las formas, y la estructura de las cosas es su única realidad, el
número divino será entonces el arquetipo director de todo el universo. La razón por la cual separa
el análisis de los tipos de número proviene del hecho de que los griegos no tenían cifras o
símbolos exclusivos para representar los números; la introducción de los números arábigos y del
sistema decimal facilitó el cálculo, pero su uso hizo olvidar que la teoría del número, por un lado,
y el uso de los números para calcular, por otro, son dos cosas distintas.23 Sólo se volvió a ver esa
diferencia con la teoría de conjuntos y con los desarrollos de Cantor y Russell.
Nicómaco de Gerasa define el número científico de dos maneras: como una multitud limitada (es
decir, como conjunto numerable finito), o como combinación de mónadas o de unidades.
(Arithmetica introductio I, vii, 1) Esas unidades pueden ser puntos, planos o sólidos; como
puntos, dan origen al mundo de los números “figurados”, geométrico y algebraico. El origen de
este argumento es la tetractys, cuyo descubrimiento se atribuye a Pitágoras; se trata de la
sucesión de los cuatro primeros números naturales que intervienen en el sistema armónico. La
tetractys se piensa de dos maneras: como sucesión (1, 2, 3, 4) y como conjunto cuya suma es la
década (1+2+3+4=10), que es el cuarto número triangular, el cual se ilustra en la siguiente
figura:24
•
• •
• • •
• • • •23 Cfr. Matila Ghyka, El número de oro, II, pp. 23 y ss.24 Otros números triangulares planos, aparte del 10, son 1, 1+2, 1+2+3, 1+2+3+4, etc.; o sea 1, 3, 6, 10, 15, etc.; en
general, son los que obedecen a la fórmula n(n+1)/2 . Números triangulares sólidos son: 1, 1+3, 1+3+6, 1+3+6+10, etc., o sea: 1, 4, 10, 20; en general, n(n+1)(n+2)/1x2x3 .
La tetractys tiene, entonces, las cualidades de la década, y tiene también las “cualidades
dinámicas del crecimiento triangular, base a su vez de la generación de todos los números
triangulares planos o sólidos”.25 También, como se ha señalado, la tetractys participa de las
cualidades armónicas de la progresión, ya que la razón 4:2 o 2:1 representa el intervalo de octava,
la razón 3:2 representa el de quinta, y la razón 4:3 representa el de cuarta. Nicómaco llama a la
década “el todo”, “pues sirve de medida para el todo como una escuadra y una cuerda en manos
del Ordenador”. Así, bajo la forma del número puro, en cuanto década, la tetractys se convierte
en símbolo del universo.
Esta serie de los cuatro primeros números puede, por tanto, considerarse desde varios puntos de
vista: está formada por la unidad, el primer número par, el primer número impar y el primer
número cuadrado; también es la serie formada por el punto, la línea, el primer plano (triangular),
y el primer polígono (cuadrado); finalmente, es la serie del tono, de la octava, de la quinta y de la
cuarta.26 Dice Nicómaco:
Como el todo era una multitud ilimitada, se necesitaba un orden. Ahora bien, como en la década es donde preexistía un equilibrio natural entre el conjunto y sus elementos, he ahí el por qué mediante su Razón el dios ordenador se sirvió de la década como un canon para el todo y he ahí el por qué las cosas, desde el cielo a la tierra, tienen para los conjuntos y las partes sus razones de concordancia basadas en ella y ordenadas por ella.27
El origen o principio del número, así como de todas las cosas es, dice Nicómaco, haciendo una
directa referencia a Platón, lo Mismo y lo Otro; es decir, la cualidad de ser la misma cosa y la
cualidad de ser otra cosa. En términos generales, los pitagóricos identifican la idea de Uno con la
de identidad, igualdad y simpatía, y la de Dos con la de desigualdad. De la unidad se derivan los
principios de lo impar y de lo par, que se hicieron equivalentes a los principios de lo limitado y lo
ilimitado. Había dos razones para esta identificación. La primera está en Aristóteles,28 quien dice
que la suma de los números impares sucesivos, comenzando a partir del uno, da como resultado
25 M. Ghyka, ibid., p. 36.26 Edgar de Bruyne, Historia de la estética, I, p. 51.27 Nicómaco de Gerasa, Introduction to Arithmetic I, vii, 1. Filolao, matemático del siglo V a. C., decía de la década:
“Consideremos los efectos y la naturaleza del número conforme al poder que reside en la decena. Es grande, poderoso y autosuficiente, principio primero y guía de los dioses, del cielo y del hombre. Sin él todo es ilimitado, oscuro e inescrutable. La naturaleza del número ha de ser punto de referencia, guía y orientación de toda duda o dificultad. Si no fuera por el número y por su naturaleza, nada de cuanto existe podría ser comprendido por nadie, ni en sí mismo ni con relación a otras cosas [...] Ni la armonía ni la naturaleza del número admiten falsedad alguna. La falsedad y la envidia sólo son compatibles con lo ininteligible y lo irracional”. (cit. por B. Farrington, Ciencia griega).
28 Física 203a13.
siempre la misma figura definida, un cuadrado: 1+3=4, 1+3+5=9, 1+3+5+7=16, etc., pero la
suma de los números pares sucesivos da como resultado una figura oblonga de forma variable:
2+4=6, 2+4+6=12, etc. La segunda razón está en el hecho de que cada número par puede
representarse por dos líneas paralelas de puntos, y el proceso de división por el paso de una
flecha entre estas líneas. Si el número entero es par, el proceso puede continuar indefinidamente,
pero se detiene y se limita por la introducción de la unidad, que convierte el número en impar.29
Así, pues, el principio de todas las cosas, de todas las estructuras múltiples distintas, se basa en
dos principios: un principio de unidad por el cual cada cosa es ella misma, y un principio de
pluralidad, por el cual es distinta de las demás. El principio de lo mismo determina lo que la cosa
debe ser; el otro principio es todo el resto, lo indeterminado, lo indefinido. Por tanto, todo lo que
existe supone una síntesis de lo indeterminado y de lo determinado. La primera forma en que se
muestra la pluralidad es el dos: no dos unidades o dos cosas, sino simplemente la dualidad, como
primera pluralidad en cualquier campo: en aritmética, dos puntos se oponen a un punto; en
geometría, dos puntos determinan la primera línea; en la teoría de la proporción, la dualidad
produce inmediatamente la relación 2:1. Dice sobre esto Edgar de Bruyne:
en el orden cualitativo de las ideas, Dyas difiere de Monas [...] El Dyas ontológico es el principio u origen, en el orden metafísico, de lo uno y lo múltiple, de lo mismo y de lo otro; en la aritmética, de lo grande y lo pequeño, de lo igual y de lo desigual; en geometría, de lo que es largo y corto (la línea), ancho y estrecho (el plano), alto y bajo (volumen); en la música, de lo simple, de lo doble, etc.30
Pero no basta hablar de unidades aisladas sino que es necesario introducir las relaciones entre
tales unidades, las relaciones entre números, es decir, las razones. Logos significa, entre otras
cosas, relación, razonamiento, pero también razón en sentido matemático. No deja de ser
interesante que una palabra que se traduce como razonamiento o como juicio (incluso también
como discurso), sirva también para expresar una relación entre cantidades. Según M. Ghyka, una
razón, que es una comparación de magnitudes o de los números que las miden, una razón es
la proyección en el plano matemático de la operación elemental del juicio: percepción exacta de las relaciones entre las cosas o las ideas (es una medida, un “peso” ideal). La comparación entre dos o más razones, y la percepción de su equivalencia, de su armonía, de su “analogía” –operación ya más sintética de la inteligencia, que armoniza, que enlaza diversos juicios o percepciones elementales– tiene también como proyección esquemática, en el plano de los números, la ecuación de la proporción.31
En este contexto, se utiliza el término “analogía” como equivalente al de proporción.
En nuestra pobre música terrena, nosotros utilizamos el diapasón, el intervalo 1:2; pero la serie
29 Cfr. H. Tredennik, introducción a Aristóteles, The Metaphysics, pp. xvi-xvii.30 E. de Bruyne, Historia de la estética, I, p. 51.31 M. Ghyka, op. cit.
establecida por Platón es mucho más amplia, ya que comprende todas las gamas posibles, hasta el
intervalo 27, puesto que lo que él quiere describir es la armonía celeste, la armonía del Alma del
Mundo. En este gesto se percibe el poder que los antiguos daban al número como portador de
orden, medida y belleza. Belleza –dice Rivaud– “invisible al profano, que sólo el filósofo, nutrido
de matemáticas y hábil para el cálculo, sabe percibir”.32 El número se convierte, pues, en la parte
más importante de las que componen el Alma del Mundo, lo único inmortal de las almas de los
mortales.
Las ideas pitagóricas y platónicas dieron como resultado dos variantes en períodos sucesivos,
antes y después de la introducción de la notación arábiga y el uso del álgebra. En el período
anterior al uso de guarismos, la geometría fue la rama matemática dominante; de allí que la Edad
Media haya favorecido el enfoque geométrico, mientras que el Renacimiento prefirió el
numérico, es decir, el aritmético. Las proporciones aritméticas, cuyo modelo es el conjunto de las
razones de la escala musical, están formadas por números enteros o por fracciones simples; es
decir, están formadas por razones inconmensurables. La razón de dos magnitudes es
conmensurable o inconmensurable según que exista o no una medida común a ambas
magnitudes.33 La actitud medieval hacia la proporción es geométrica; la actitud renacentista, en
cambio, está determinada por otra aproximación orgánica a la naturaleza, que implica un
procedimiento empírico de medición y quiere mostrar que todas las cosas se relacionan mediante
el número. En esta visión métrica del mundo la racionalidad es una condición; en la
aproximación geométrica muy difícilmente se plantea el problema de la medida, porque se tiene
la certeza de que la verdad está detrás de las apariencias.
Aunque en la mayor parte de estas páginas trataremos con las razones aritméticas que se dan
entre los primeros enteros naturales, conviene tratar algunos aspectos de la proporción
geométrica. En geometría, el segmento de recta determinado por dos puntos es el elemento más
simple al cual se puede aplicar la idea de relación. Para que pueda hablarse de proporción, se
requiere un tercer punto del segmento de manera que podamos pasar de la unidad a la dualidad.
FIG. 1
En la figura anterior, un segmento de recta se delimita por A y B, con el punto C entre ambos; si
a y b son las longitudes de los dos segmentos resultantes, y c la longitud total, se tienen entonces
32 A. Rivaud, “Notice”, introducción al Timeo, op. cit33 Una relación inconmensurable sería, por ejemplo, la que existe entre el lado y la diagonal de un cuadrado (1:√2 ,
o sea, 1:1.4142...); otro ejemplo es la relación entre el lado del triángulo equilátero y su altura. (1:√3, es decir, 1:1.732...) Razón asimétrica la llama Aristóteles; hoy la llamamos irracional.
las razones a/b, b/c y a/c, y sus inversas, b/a, c/b y c/a. Las proporciones más sencillas se
obtienen igualando dos razones de las seis anteriores, lo cual da un total de quince. De estas
quince proporciones, seis se descartan porque conducen al resultado de que el todo es igual a una
de sus partes. Otras dos son imposibles, pues la primera da un cociente menor que la unidad
cuando el numerador es el segmento total, y la segunda genera un cociente mayor que uno
cuando el denominador es el mismo segmento. Las siete restantes contienen combinaciones
idénticas donde figuran las razones inversas; al eliminarlas quedan cuatro; dos de ellas (a/c=b/c y
a/b=b/a) llevan al resultado a=b, la partición simétrica; una más (a/b=c/a) muestra que, como
c=a+b, entonces a/b=(a + b)/a, con los dos miembros mayores que la unidad. La última es
a/b=b/c, o a/b=b(a + b), donde b es mayor que a.
En resumen, de las cuatro proporciones, dos dividen el segmento de recta en partes iguales,
mientras que las otras dos lo dividen en partes desiguales. Podemos tomar un solo caso que
englobe estas dos últimas: a/b=c/a=(a+b)/a. Se trata, de hecho, de una proporción que contiene
sólo dos magnitudes, a y b, ya que la tercera es la suma de ambas; es la “partición asimétrica más
directa, más general y más en armonía con la transposición lógica del mínimo esfuerzo”.34
Esta proporción, cuya forma es ab=(a+b)/a, y a la cual el monje boloñés Luca Paccioli llamó
divina, a la que Kepler consideró como uno de los dos tesoros de la geometría (el otro es el
teorema de Pitágoras), da como resultado el llamado número de oro. Es muy probable que los
matemáticos griegos anteriores a Platón ya la hubieran conocido; con toda seguridad fue usada
por Eudoxo, quien murió a mediados del siglo IV aC. Su denominación como “sección áurea”, sin
embargo, parece datar del siglo XIV.
Euclides, en sus Elementos de geometría, alude a esta proporción en los teoremas 5 y 6 (se refiere
a ella con el nombre de “razón extrema y media”), y con ello alude a la división de una línea en
dos partes de manera que la porción mayor está en proporción respecto a la menor, de la misma
manera que el segmento total lo está respecto a la porción mayor. Si en la expresión
a/b=(a + b)/a se divide numerador y denominador del segundo miembro por b y se sustituye a/b
por x, el resultado es la ecuación cuadrática x2- x - 1 = 0, cuyas raíces son x1=(1 + √5)/2 y
x2=(1 − √5)/2. La segunda solución es negativa y corresponde a un punto fuera del segmento. El
síntesis, el resultado es a/b=1.61803398875..., número irracional, es decir, inconmensurable
cuyas características son muy especiales. Sir Thomas Cook, en su libro The Curves of Life,
34 Matila C. Ghyka, Estética de las proporciones en la naturaleza y en las artes, p. 26.
propone expresar dicho número con la letra griega Φ. Algunas de sus características son:
Φ=1.618033...;
1/Φ=0.618... = Φ-1; Φ= 1+1/Φ;
Φ2=2.618... = Φ+ 1;
Φ3= Φ(Φ+1)= Φ2+Φ;
Φ4=Φ(Φ2+Φ) = Φ3+Φ2;
en general, Φn = Φn − 1 + Φn − 2.
Estos valores pueden representarse gráficamente como se ilustra en la siguiente figura.
FIG. 2
De todo esto puede decirse que una progresión geométrica, cuya razón es Φ, tiene una propiedad
única: un término cualquiera de ella es igual a la suma de los dos precedentes. De allí que la serie
1, Φ, Φ2, Φ3, Φ4...,Φn sea a la vez multiplicativa y aditiva, es decir, participa al mismo tiempo de
la naturaleza de una progresión geométrica y de una progresión aritmética. Otra serie que posee
la misma propiedad aditiva es la llamada sucesión de Fibonacci, que consiste de los términos
siguientes: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,...; también aquí, cada término es igual a la
suma de los dos anteriores. Tanto esta serie como la de Φ están relacionadas, pues la serie de
Fibonacci tiende, en el límite, al valor de Φ, es decir, a 1.618...: 55/34=1.6173, 89/55=1.61818,
144/89=1.6178, etc.
Las proporciones que toman cuenta números conmensurables son especialmente importantes en
música. La música es, para san Agustín,35 la “ciencia de la buena modulación”. Y es ciencia, no
arte, ya que, en la concepción antigua y medieval, arte significa destreza práctica que se obtiene a
través de la experiencia, mientras que ciencia es la capacidad para explicar el procedimiento por
medios racionales; en este caso, la verdadera comprensión de la música, la que conoce las leyes
de su naturaleza, que las aplica a la creación musical y que puede describirlas, es a lo que Agustín
llama la ciencia de la música.
San Agustín habla de modulación, término que viene de “módulo”. La ciencia de la música se
interesa por la relación de las unidades musicales según una medida o módulo, de manera tal que
esa relación pueda expresarse por medio de razones aritméticas simples, como las que hay entre
los términos de la tetractys: 1:2, 2:3 y 3:4, razones que son los intervalos de las consonancias de
octava, de quinta y de cuarta. Según Agustín, la importancia de estos intervalos no se deriva de
35 San Agustín, De Musica, p. 1083.
sus cualidades acústicas o de sus efectos estéticos, sino del hecho que son ecos audibles de la
perfección del número, en especial, de esos primeros cuatro números. Sin el principio del
número, el universo regresaría al caos.
San Agustín utilizó toda la mística pitagórica y neoplatónica del número para la interpretación del
universo cristiano y estableció una cosmología que se mantuvo vigente prácticamente durante
toda la Edad Media. Como se ha dicho, las consonancias musicales son un simple eco de la
verdad teológica y el hecho de que los sentidos humanos disfruten de las armonías –el oído en el
caso de la armonía musical, la vista en el de la armonía arquitectónica– constituye una mera
respuesta intuitiva a la realidad última con la cual nuestra naturaleza se encuentra en armonía.
Hay coincidencia entre san Agustín y Platón tanto en la desconfianza hacia el mundo de las
imágenes como en la confianza en la validez de las relaciones aritméticas, que se pueden percibir
por el oído y por la vista. Si el valor musical de las consonancias proviene de la dignidad de las
razones en que se basan, de la misma manera, la belleza de las proporciones visuales se debe a
que se fundamentan en las mismas razones aritméticas. De allí que la geometría y la música
tengan un valor privilegiado dentro del conjunto de las artes liberales ya que ambas tienen una
función anagógica, es decir, una capacidad para conducir a la mente desde el mundo de las
apariencias hasta la contemplación del orden divino. Una de las más precisas expresiones de lo
anterior se debe a Teón de Esmirna; para él,
la armonía une todas las oposiciones, reconcilia los contrarios. No se limita a los ritmos y melodías, sino que crea música en todo lo que es “sistema” u ordenación. La armonía domina al mundo (por el orden); el Estado, por la buena legislación (eunomía); la familia, por la sabia prudencia. Mantiene juntos el alma y el cuerpo, la familia y la sociedad, y los hace uno.36
Platón consideraba a la música y a la arquitectura como hermanas, ya que ambas eran hijas del
número; Boecio, en su tratado De arithmetica, dice que las proporciones que producen las
consonancias perfectas se perciben tan fácilmente por la vista como por el oído, pues “los sonidos
afectan el oído de un modo que es en gran medida el mismo en que las impresiones ópticas
afectan el ojo”. Igual que para Platón y san Agustín, Boecio tampoco piensa que la belleza
pertenezca al mundo de las realidades empíricas; las armonías que percibimos por los sentidos
son indicios de la armonía superior; sin embargo, por su función anagógica, pueden conducir al
alma a la experiencia de Dios.
Según Agustín, existe modulación desde el momento en que un movimiento está sometido al
número, a la medida. Es ésta una de las bases de su tratado De musica; en otro tratado, en De
36 Citado por Edgar de Bruyne, Historia de la estética, I, p. 344.
ordine, establece que tanto la arquitectura como la música están sometidas a las mismas leyes de
orden, y que este orden está gobernado por el número. Un movimiento sin orden requiere de la
determinación.
La armonía cósmica rige las correlaciones de los elementos de todas las composiciones,
comenzando por el orden de los cuerpos celestes: todo existe y se mueve de acuerdo con
proporciones exactas; las proporciones más simples y las más agradables son las que se
establecen entre los cuatro primeros números; son las que gustan al ojo y al oído, y son las que
encontramos en ese poliedro perfecto que es el cubo. Ya Filolao había observado que el cubo, con
doce aristas, ocho ángulos y seis planos, era la proyección espacial de los intervalos elementales
de la música: la octava, 12/6 o 1/2; la quinta, 12/8 o 3/2; y la cuarta, 8/6 o 4/3. En las figuras
planas tenemos el cuadrado (1:1) y el doble cuadrado (2:1); los rectángulos que les siguen en
sencillez son aquellos en que sus lados están en relación 2:3 y 3:4, las mismas relaciones que las
de los intervalos de octava, quinta y cuarta.
Sin entrar en muchos detalles, vamos a pasar revista a algunos elementos de la proporción en
arquitectura, para pasar inmediatamente a la música, la parte más problemática. El más antiguo
tratado sobre arquitectura griega es el de Vitruvio, constructor romano de la época de Augusto.
Uno de sus méritos es haber puesto de manifiesto el uso griego del módulo, y de relacionarlo con
la proporción y con la simetría.
La arquitectura griega, según Vitruvio, descansa en los principios de taxis, diathesis, euritmia,37
simetría, conveniencia y economía.38 Taxis, que significa orden, es la determinación de las
diferentes partes y su orden en la totalidad del edificio, según su uso y dimensión. Esta
distribución está determinada por una cantidad proporcional, que es una escala tomada de las
partes del edificio mismo. Diathesis, nombre del segundo principio, significa, en términos
amplios, separar las mercancías unas de otras para su venta, o las cláusulas de un contrato, o los
pasajes de un discurso; corresponde a lo que la retórica latina designa con el nombre de
dispositio. En palabras de Vitruvio, “es el ensamble de los detalles y, a partir de este ensamble, el
efecto elegante de la obra y sus dimensiones, junto con una cierta calidad o carácter”.39 Con la
euritmia se produce la apariencia agradable; es el adecuado despliegue de los detalles en su
contexto, el cual “se alcanza cuando los detalles de la obra son de una altura adecuada a su
anchura, de una anchura adecuada a su longitud; en una palabra, cuando todo tiene una
37 Algunos comentaristas de Vitruvio, como Granger, traductor al inglés, traducen eurythmia por proporción.38 Vitruvius, On Architecture, Libro I, ii.39 Ibid., I, ii, 2.
correspondencia simétrica”.40 La simetría es el resultado de la armonización de las partes del
edificio en su totalidad; es resultado de que cada una de las partes esté en proporción con el todo.
En conclusión, tanto la euritmia como la simetría están determinadas por el módulo. En el
segundo libro Vitruvio es más explícito cuando señala que
la disposición (compositio) de los templos depende de la simetría, cuyas leyes el arquitecto debe conocer perfectamente. La simetría surge de la proporción (que en griego se llama analogía). La proporción consiste en tomar un módulo fijo en cada caso, tanto para las partes del edificio como para el todo, por medio del cual se pone en práctica el método de la simetría. Porque sin simetría y sin proporción ningún templo puede tener un plano regular.41
La palabra módulo, en griego embates, significa coturno; es decir, el botín que usaban los actores
trágicos cuando caminaban con pasos solemnes y medidos; el término embaterion era un canto de
marcha con ritmo muy marcado. Cuando Vitruvio traduce embates por modulus, es decir, por
medida, pensaba seguramente en el verbo modulari, que significa cantar o actuar con medida, y
en el adjetivo modulatus, que corresponde a lo que comprendemos como “rítmico”.42 Si el
arquitecto se sirve de la unidad de medida justa, del embates, obtendrá la modulación, es decir, la
medida y el ritmo en su obra.
En el templo griego se usó como unidad el radio de la base de la columna, o el ancho del triglifo,
para fijar las proporciones de las partes del edificio y para determinar así el conjunto, en relación
unas con otras, de acuerdo con las leyes armónicas. Dice Vitruvio que la “anchura debe ser igual
a la mitad de su longitud”;43 por tanto, su proporción debía ser la de la octava, proporción
utilizada extensamente para los edificios sagrados en todas las culturas de la antigüedad, y que
está presente en las más antiguas concepciones del universo. Un ejemplo especialmente
importante en las culturas occidentales es el templo de Salomón, edificado alrededor del año 960
aC. En el capítulo seis del libro de Reyes se lee: “La Casa que edificó el rey Salomón a Yahveh
tenía sesenta codos de largo veinte de alto y veinticinco de alto.44 El Ulam delante del Hekal de la
Casa tenía veinte codos de largo en el sentido del ancho de la Casa, y diez codos en el sentido del
largo de la Casa”. (vers. 2-3) El Ulam es el vestíbulo y el Hekal es el sancta, o tabernáculo, de
cuarenta codos de longitud. Y continúa:
40 Ibid., I, ii, 3.41 Ibid., II, i, 1.42 Cfr. Macody Lund, Ad Quadratum.43 Vitruvius, On Architecture, V, 1, 4.44 Este número, 25, contradice el argumento que se intenta sostener aquí; sin embargo, dice el anotador que, según
la edición en hebreo, la altura es de treinta codos. La diferencia entre las dos alturas se debe a que esos 25 codos se miden en la sala del Sancta Sanctorum, que tenía una plataforma de cinco codos de altura. En este sistema de medidas, un codo es igual a 45 cm, equivalente a dos palmos, y éste, a su vez, sería igual a tres cotos de 7.5 cm. Cada coto es igual a tres pulgadas.
Construyó los veinte codos del fondo de la Casa con planchas de cedro desde el suelo hasta las vigas, formando así por la parte interior el Debir, el Santo de los Santos; cuarenta codos tenía la Casa, es decir, el Hekal, delante del Debir. (vers. 16-17)
Este Santo de los Santos, Sancta Sanctorum, es la estancia destinada a custodiar el Arca de la
Alianza, donde sólo el Sumo Sacerdote tenía acceso, y estaba separada del Hekal por un velo;
esta sala “tenía veinte codos de largo, veinte codos de ancho y veinte codos de alto”. (v. 19-20)
Dejemos aquí las consideraciones sobre la armonía visual para pasar a examinar de manera más
cercana las bases de la armonía musical, comenzando por las leyes aritméticas que rigen la
noción de proporción. Éste será el tema de la siguiente sección.
La proporción
Euclides, en el libro V de sus Elementos de geometría, establece que “una razón (ratio, logos) es
una especie de relación respecto al tamaño de dos magnitudes de la misma clase”. Dos pares de
magnitudes que están relacionadas según la misma razón son proporcionales; y a la igualdad
entre estas dos razones la llama proporción.45 Esta primera definición sirve para delimitar las
nociones de razón y de proporción; la primera es una relación entre dos cantidades, mientras que
la segunda es la igualdad de razones entre dos pares de cantidades. Algebraicamente, la
proporción se expresa como: a/b=c/d.
Nicómaco de Gerasa también define la proporción como la combinación de dos o más razones;
para él, una razón es “la relación mutua que existe entre dos términos”; y esa combinación de
razones es una proporción; una combinación de dos o más razones daría, al menos, cuatro
términos, pero, como dice el mismo Nicómaco,
[…] tres es el más pequeño número de términos que puede componerla, aunque pueda ser una serie mayor, sometida a la misma razón o la misma diferencia. Por ejemplo, 1:2 es una razón donde hay dos términos, y 2:4 es otra razón similar; de aquí que 1, 2, 4 sea una proporción, porque es una combinación de razones, o de tres términos que están en la misma razón uno de otro.46
Esta proporción a la que Nicómaco se refiere puede expresarse de manera algebraica como
1/2=2/4 (así como también 1:2::2:4); como en ella los términos medios son iguales, se trata de un
tipo particular de proporción, llamada continua; la proporción continua, dice Euclides en el
mismo libro V, es una proporción de tres términos, y éste es el menor número posible para que
pueda existir proporción.
La definición de Nicómaco es más compleja. Dice: “se llama proporción continua cuando el
término medio es comparable con los que están a ambos lados; con el mayor como consecuente,
con el menor como antecedente”; por ejemplo, 1, 2, 4 es una proporción continua con respecto a
la cualidad, porque 4:2 es igual a 2:1, y al contrario, 1:2 es igual a 2:4. La proporción 1, 2, 3 es
una proporción continua respecto a la cantidad, porque la cantidad en que 3 excede a 2 es igual a
aquella en que 2 excede a 1, e inversamente, 1 es menor que 2 de la misma manera que 2 es
menor que 3.
La proporción de cuatro términos es la discontinua o disyunta. Jámblico reserva el término
45 Euclides, Elementos de geometría, Libro V.46 Arithmetica introductio, II, xxi, 2-3
“analogía” para la proporción continua, mientras que a la de cuatro la llama “análogon”. Según
Nicómaco, existen diez tipos de proporciones,47 aunque los principales son los tres primeros, ya
conocidos por Pitágoras. Según Jámblico,
en los días antiguos, en tiempos de Pitágoras y de los matemáticos de su escuela, había sólo tres medias, la aritmética, la geométrica y una tercera que se llamaba entonces subcontraria, pero que fue redenominada armónica por el círculo de Arquitas e Hipaso, porque parecía proporcionar razones armoniosas.48
Se describirán aquí las tres proporciones a la manera de Nicómaco, la cual no es, sin embargo,
más que una reelaboración de la manera en que lo hacían los antiguos griegos.
Se tiene una proporción aritmética cuando tres o más términos mantienen la misma diferencia
cuantitativa entre números sucesivos, pero no la misma razón entre los términos. Dicho en otras
palabras, cuando el segundo término excede al primero por la misma cantidad en que el tercero
excede al segundo. Un ejemplo de proporción aritmética es la formada por la serie 2, 3, 4.49
La progresión geométrica es la única que para Nicómaco es en sentido estricto una proporción; es
decir, es la única en que sus términos están en la misma razón: el primer término es al segundo
como el segundo es al tercero. Un ejemplo de proporción geométrica es la formada por la serie 1,
2, 4. En ella los tres números están en proporción mutua por el hecho de que las diferencias entre
los términos están en la misma razón que los términos mismos respecto a sus adyacentes.
La proporción armónica es aquella en la cual el término mayor es al menor como la diferencia
entre el término mayor y el medio es a la diferencia entre el término medio y el menor. Por
ejemplo: en la serie 3, 4, 6, el término mayor, 6, excede al medio por un tercio de él mismo,
mientras que el menor, 3, es más pequeño que el término medio, 4, también por una tercera parte
de él mismo. Otro ejemplo es la serie 2, 3, 6; aquí, 6 excede a 3 por una mitad, que es la misma
fracción por la cual 2 es excedido por 3. Nicómaco señala una propiedad curiosa de esta
proporción: cuando los extremos se multiplican por el término medio (por la media) y se suman
los resultados, la suma es igual al doble del producto de los extremos entre sí. Así, para el
segundo ejemplo tenemos 6·3+2·3=2·(6·2).
Otra forma de describir las tres proporciones es la de Arquitas.50 Para él, la proporción aritmética
47 Los diez tipos de proporción son (en forma de progresión): primera, 1, 2, 3; segunda, 1, 2, 4; tercera, 3, 4, 6; cuarta, 3, 5, 6; quinta, 2, 4, 5; sexta, 1, 4, 6; séptima, 6, 8, 9; octava, 6, 7, 9; novena, 4, 6, 7; y décima, 3, 5, 8. (Nicómaco, Arithmetica introductio, II, xxviii, 11)
48 Jamblico, On Nicomachu's Introduction to Arithmetics. Algunos fragmentos de esta obra están reproducidos en Greek Mathematical Works, v. I. Media o mediana es el término intermedio de cualquier clase de proporción.
49 Si una serie de números como ésta no tiene la apariencia de una proporción, es porque los griegos escribían las proporciones, de cualquier tipo que fueran, bajo la forma de una progresión o serie.
50 Citado por Porfirio en su Comentario sobre la armonía de Ptolomeo, en Greek Mathematical Works I:113
es aquella en la cual los tres términos están en proporción en virtud de alguna diferencia: el
primero excede al segundo por la misma cantidad que el segundo excede al tercero; en otras
palabras, los términos a y c están en proporción aritmética, si la media entre los dos, es decir, b
(llamada media aritmética) es tal que a-b=b-c. La proporción geométrica es aquella en la cual el
primer término es al segundo como el segundo al tercero; es decir, b será la media geométrica
entre a y c si a/b=b/c. La proporción subcontraria, que también se llama armónica, es aquella en
la cual el primer término excede al segundo por una porción de aquél que es igual a la porción del
tercero en la que el segundo término excede al tercero; en términos aritméticos, b es la media
armónica entre a y c si (a − b)/a=(b − c)/c, de modo que 1/c-1/b=1/b-1/a, y por tanto, 1/c,1/b y
1/a forman una progresión aritmética.
Encontrar la media o mediana entre dos términos –es decir, el término intermedio que da
nacimiento a la proporción– es lo mismo que llenar el intervalo entre esos dos términos extremos;
en otras palabras, equivale a armonizar. La proporción más elemental, es decir, la que se formaría
al considerar los dos primeros números, 1:2, como extremos, es la que en música origina el
intervalo de octava, el cual basta para distinguir las diferentes armonías según su altura. Y esta
distancia entre un sonido y otro del doble de altura –es decir, lo que es realmente el intervalo de
octava– se llena con los intervalos llamados de quinta y de cuarta, que dividen la octava en dos
partes desiguales, aunque consideradas como armoniosas. Por eso, la acción de llenar un
intervalo, de poner un término intermedio, se llama armonizar. El problema de cómo armonizar,
de cómo llenar los intervalos de la serie del Timeo, será tratado en la siguiente sección.
Platón, en la República, dice que el problema armónico en general consiste en poner en
proporción los intervalos por medio de términos que se den en razones definidas con los términos
iniciales, con el fin de obtener la consonancia o el acorde de intervalos.51 Y cuando Platón habla
del problema armónico en general, se tienen que tomar estas palabras literalmente; es decir, ya se
trate de intercalar el término medio de un silogismo, ya se trate de relacionar dos imágenes por
medio de una metáfora, o de reunir, por medio de la analogía, las formas, las superficies o los
volúmenes arquitectónicos, en todos los casos se trata de armonizar, y todas estas operaciones son
análogas a la creación de la armonía musical que los pitagóricos toman como modelo, y que
Platón en el Timeo, y Vitruvio en sus Diez libros de arquitectura nos refieren. En el Timeo se
habla extensamente de las nociones de proporción y de armonía, aplicadas sobre todo a términos
51 Dice M. Ghyka: “En la teoría griega de la armonía musical, el intervalo es el conjunto formado por dos tonos y la razón que los une. Llenar el intervalo es, en este caso, poner entre dos tonos otros unidos a los dos primeros por razones sencillas tales que del nuevo intervalo comprendido entre dos tonos consecutivos, resulte el acorde o consonancia (sinfonía) de los intervalos”. (El número de oro I, p. 30)
tridimensionales; de allí que la proporción geométrica sea la más utilizada. Como se sabe, en una
proporción de este tipo, y que además sea continua, como la formada por a, b, c, el término
central es la media geométrica de los otros dos y, por tanto, es igual a la raíz cuadrada del
producto de los extremos: b=√ac. De esta proporción continua “fluye la semejanza (homotecia)
de las figuras en geometría, y la analogía de los planos o de los volúmenes en arquitectura”.52
Como se dijo antes, cuando Platón se refiere a la armonía de las cosas, dice que no es posible que
dos cosas puedan conjuntarse sin una tercera, pues se necesita un enlace intermedio para
conectarlas. Y el mejor de los enlaces es ése que une de manera más perfecta en la unidad a él
mismo y a las cosas que enlaza; y para efectuar esto de la mejor manera está la propiedad natural
de la proporción. A través de esta “propiedad natural” se quiere armonizar el todo, el cuerpo del
Todo; es decir, se trata de poner orden en el caos, donde “todas las cosas estaban en un estado
carente de razón o medida”. La pregunta pertinente aquí es qué clase de cosas necesitaban orden;
es decir, de qué cosas habla Platón.
También ya se dijo que Platón, en el Timeo, dice que todo lo que existe debe existir de forma
corporal, visible y tangible; y como nada es visible sin fuego, ni tangible sin solidez, ni sólido sin
tierra, entonces los primeros elementos para la construcción del cuerpo del todo son el fuego y la
tierra; son ésos los términos que es necesario armonizar, los extremos cuyo intervalo es necesario
llenar. Si el cuerpo del Todo tuviera una existencia plana, sin profundidad, bastaría un solo
término medio para unir los otros dos términos; pero el cuerpo del Todo no es plano sino sólido,
es decir, tridimensional, y para armonizar sólidos no basta un solo término medio, sino siempre
dos. Esos dos términos medios fueron el aire y el agua; con su ayuda se construyeron las dos
razones que la proporción iguala; la primera es la que se forma con los términos fuego y aire, es
decir, fuego : aire; la segunda se forma con los términos agua y tierra; por lo tanto, agua : tierra.
Con estos materiales, “el cuerpo del Cosmos fue armonizado y llevado a la existencia”.
Al cuerpo del Todo el demiurgo le asignó la forma perfecta, la de la esfera, y lo puso a girar sobre
sí mismo; este cuerpo fue envuelto por el Alma del Mundo, que se extendió por todas partes, “y
como un círculo girando en otro círculo, estableció un cielo único y solitario, capaz por su
excelencia de acompañarse consigo mismo, de bastarse a sí mismo, de no necesitar nada más”.
En páginas anteriores recordamos que el demiurgo tomó como elementos primarios lo Mismo y
lo Otro para formar una tercera parte, y con ésta y los dos primeros obtuvo otra mezcla que
distribuyó en varias porciones de acuerdo con los términos de una progresión compleja, que es la
52 M. Ghyka, op. cit., p. 32.
siguiente: 1, 2, 3, 4, 9, 8, 27.53 Esta progresión compleja está a su vez formada por dos
progresiones geométrica simples: una de razón 2 (1, 2, 4, 8) y una segunda de razón 3 (1, 3, 9,
27). Hecho esto, el demiurgo procedió a llenar los intervalos entre los términos y lo hizo con
ayuda de lo que Platón denomina μεσότης, palabra que denomina una serie de tres términos que
forman una progresión continua –es decir, una proporción– pero que literalmente significa
“mediedad”. Para definir el intervalo que existe entre dos términos consecutivos de una
mediedad, Platón apela a nociones no de la aritmética o de la geometría, sino de la música; es
decir, determina el intervalo por diferencias no entre números, sino entre sonidos. Si a cada
término de la progresión hacemos corresponder un tono definido de la escala musical, un
intervalo (diástema) será el conjunto formado por dos tonos de altura desigual o, como dice
Euclides en los Elementos de geometría, por dos tonos desigualmente agudos o graves. En estas
condiciones, un intervalo se compone no sólo de los tonos de desigual altura, sino también de la
relación matemática que los une, es decir, el logos.
En el lenguaje matemático griego, mesotes es tanto la serie de tres términos que forman una
proporción continua, como el término central que une los términos extremos de esa proporción.
Pero debemos recordar que existen tres clases de progresiones del tipo AzB, donde z es la
mediedad entre A y B: z es la media aritmética en el caso de que tenga el valor de (A + B)/2, es la
media armónica si tiene el valor de 2AB/(A + B), y es la media geométrica si es igual a √AB. Los
pitagóricos sólo utilizaron las dos primeras medias, aritmética y armónica; la última, la media
geométrica, no se utilizó en música porque los antiguos no habían podido resolver el problema de
la irracionalidad; si se hubiera utilizado, la media geométrica de la octava que va desde un Do
hasta el siguiente Do estaría situada en Fa#. Al usar la media aritmética, ésta divide la misma
octava en un intervalo de cuarta y uno de quinta (de Do a Fa, intervalo de cuarta, y de Fa a Do,
intervalo de quinta); si se usa la media armónica, la misma octava queda dividida en un intervalo
de quinta más uno de cuarta (de Do a Sol, intervalo de quinta, y de Sol a Do, intervalo de cuarta).
A diferencia de la media geométrica, tanto la aritmética como la armónica han desempeñado un
papel fundamental en la historia de la teoría musical.54 Recordemos, finalmente, que los cuatro
primeros números naturales configuran para los pitagóricos la sagrada tetractys, cuya suma es
diez; con esos cuatro números y con las mencionadas proporciones construirán todo el sistema
armónico, la imagen del mundo por excelencia.
Podemos ahora volver a tomar los términos de la progresión compleja utilizada por el demiurgo
53 Platón, Timeo 35b-c.54 J. Chailley, La musique grecque antique, pp. 44-45.
platónico para dividir el Alma del Mundo; ésta es: 1, 2, 3, 4, 9, 8, 27, que, como ya se mencionó,
está formada por dos progresiones simples, una de base 2, es decir, construida con las potencias
de 2: 1, 2, 4, 8 (en otros términos, 20, 21, 22, 23) y la otra de base 3: 1, 3, 9, 27 (o sea, 30, 31, 32,
33). Si se hace corresponder a cada término un tono musical, el intervalo será la distancia entre
dos tonos y el logos que los une. El problema armónico consiste en llenar esos intervalos con
otros términos que estén en una relación precisa con los términos extremos; como se ha visto, a
esta operación es a lo que se le llama armonizar, y su resultado es la consonancia (συμφονια) de
los intervalos, o acorde.
En un mismo intervalo existen dos relaciones, dependiendo del sentido en que se considere dicho
intervalo; por ejemplo en el primer intervalo, 1:2, están las relaciones 1:2 y 2:1; la segunda es
mayor y se llama προλογος, la primera se llama υπο-λογος. Por tanto, en esta progresión se
encuentran seis intervalos (1:2, 2:3, 3:4, 4:8, 8:9, 9:27) y doce relaciones (1:2–2:1, 2:3–3:2,
3:4–4:3, 4:8–8:4, 8:9–9:8, 9:27–27:9). Estas relaciones pueden ser de tres tipos: la primera es
cuando la relación mayor es un múltiplo de la menor; es el caso de 1:2 – 2:1, o representado
como fracción: 1/2 – 2/1; otros casos: 4/8 – 8/4, 9/27 – 27/9; la segunda es cuando la relación
mayor equivale a la unidad, más una porción alícuota; por ejemplo, 3/2=1+1/2; 4/3=1+1/3;
9/8=1+1/8; y la tercera cuando la relación mayor equivale a la unidad, más una porción no
alícuota. Este tercer caso no está tomado en cuenta por las teorías armónicas griegas. Las tres
relaciones del segundo tipo, aunque provienen de la teoría musical musical griega, son más
conocidas por sus nombres latinos; éstos son los siguientes: 1+1/2 es el λόγος ήμιόλιος o ratio
sesquialtera; 1+1/3 es el λόγος έπίτριτος o ratio sesquitertia; 1+1/8 es el λόγος έπόγδοος o ratio
sesquioctava.55
Para calcular los intervalos de la compleja progresión de Platón se requiere llenar los intervalos;
en primer lugar el que va de 1 a 2. La media aritmética de este primer intervalo de la serie de
potencias de dos es: (1+2)/2=3/2, y la media armónica del mismo es 2(1x2)/(1+2)=4/3; por tanto
el intervalo 1:2, al llenarse con ambas mediedades queda como 1—4/3—3/2—2. Pero 4/3=1+1/3
y 3/2=1+1/2; es decir, el primero es la ratio sesquitertia y el segundo la ratio sesquialtera. En
resumen, la serie para el intervalo 1:2 está formada por la secuencia: 1—[1+1/3]—[1+1/2]—2. Si
se toma ahora el intervalo entre los términos 2 y 4, la mediedad armónica es: 8/3(=2+2/3); para el
intervalo entre 4 y 8 es: 16/3(=5+1/3). La mediedad aritmética para el intervalo de 2 a 4 es 3, y
para el intervalo entre 4 y 8 es 6.
55 Cf. A. Rivaud, “Notice”, introducción a Platón, Oeuvres Complètes, t. X, Timée-Critias, p. 45, y Edgar de Bruyne, Historia de la estética, I, pp. 58-59. La explicación detallada puede encontrarse en Nicómaco, I, xxi y ss.
En el caso del primer intervalo de la serie de las potencias de tres, 1:3, la mediedad aritmética es
(1+3)/2=2, y la armónica es 2(1·3)/(1+3)=6/4=3/2=1+1/2. Así, el primer intervalo de la serie de
potencias de tres es: 1—[1+1/2]—2—3. Para el intervalo entre 3 y 9 es: 9/2(=4+1/2); y para el
intervalo entre 9 y 27 es: 27/2(=13+1/2). La mediedad aritmética en la serie de los triples para el
intervalo entre 3 y 9 es 6; y 18 para el intervalo entre 9 y 27.
Si se combinan ambas mediedades, la aritmética y la armónica, el resultado son dos series, una
serie para los intervalos dobles y otra para los triples. Estas series son las siguientes:56
Dobles: 1 — 43 — 32 — 2 — 83 — 3 — 4 — 163 — 6 — 8
Triples: 1 — 32 — 2 — 3 — 92 — 6 — 9 —272 — 18 — 27
Al analizar estas series se descubre que, en la progresión de los dobles, la relación entre la media
armónica y la media aritmética es de 9/8, es decir, 3/2 corresponde a los 9/8 de 4/3 (en otros
términos, 3/2=9/8·4/3), 3 corresponde a los 9/8 de 8/3 (3=9/8·8/3), y 6 corresponde a los 9/8 de
16/3 (6=9/8·16/3). En la progresión de los triples, la relación entre las medias es de 4/3 (2 es 4/3
de 3/2, 6 es 4/3 de 9/2, 18 es 4/3 de 27/2). Para no utilizar fracciones,57 se usa 6 como
denominador común y con esto se obtienen las dos series con números enteros:
Dobles: 6—8—9—12—16—18—24—32—36—48
Triples: 6—9—12—18—27—36—54—81—108—162
Según Platón, el demiurgo
[…] llenó los intervalos dobles y triples, tomando porciones de la mezcla primitiva y disponiendo allí esas partes de tal manera que, en cada intervalo, hubiera dos mediedades. La primera sobrepasa los extremos o es sobrepasada por éstos por la misma fracción de cada uno de ellos. La segunda sobrepasa los extremos por una cantidad igual a aquella por la cual ella misma es sobrepasada. De esas relaciones nacen, en los intervalos designados, nuevos intervalos de uno más un medio, uno más un tercio y uno más un octavo. (Timeo 36a)
Para continuar la argumentación se requiere tener una comprensión clara de cómo hizo esto el
demiurgo. Al analizar con detalle la serie de los dobles, se pone de manifiesto que las distancias
entre los términos consecutivos, es decir, su intervalo, son: entre 6 y 8, es 2 (o sea, un tercio de 6,
del primer término); entre 8 y 9 es 1, o sea un octavo del primero; entre 9 y 12 es 3, o sea un
tercio de 9; entre 12 y 16 es 4, un tercio de 12; entre 16 y 18 es 2, un octavo de 16; entre 18 y 24
es 6, un tercio de 18; entre 24 y 32 es 8, un tercio de 24; entre 32 y 36 es 4, un octavo de 32; y
entre 32 y 48 es 12, un tercio de 36. En síntesis, en todos los casos el intervalo es igual a la
56 Los guiones largos entre los términos de la serie no tienen otra función que separarlos.57 Platón insiste en repetidas ocasiones en la necesidad de evitar fracciones y usar sólo números enteros. Dice
Sócrates en la República: “De seguro tú sabes la forma de los hombres adiestrados en estas cosas. Si en el argumento, alguno intenta cortar el uno en sí mismo, ellos ríen y no lo permiten. Si trata de desbaratarlo en moneda pequeña, ellos multiplican...” (525d)
tercera parte del término menor, con excepción de los intervalos 8:9, 16:18 y 32:36, donde el
intervalo es de un octavo.
Si se toma como unidad de medida el menor de los intervalos, es decir, 1/8, es posible entonces
dividir todos los demás intervalos con ayuda de esta fracción. En este caso, y siempre para la
serie de los dobles, se tiene:
6 — 6+6/8 — (6+6/8)+(6 + 6/8)/8 — 8 — 9 — 9+9/8 — (9+9/8)+(9 + 9/8)/8 — 12 — 12+12/8 —
(12+12/8)+(12+12/8)/8 — 16 — 18 — 18+18/8 — (18+18/8)+(18+18/8)/8 — 24 — 24+24/8 —
(24+24/8)+(24+24/8)/8 — 32 — 36 — 36+36/8 — (36+36/8)+(36+36/)/8 — 48
Al hacer las operaciones (con 8 como denominador común):
48 — 54 — 54+54/8 — 64 — 72 — 81 — 81+81/8 — 96 — 108 — 108+108/8 — 128 — 144 — 162
— 162+162/8 — 192 — 216 — 216+216/8 — 256 — 288 — 324 — 324+324/8 — 384;
finalmente, al reducir otra vez las fracciones, se llega a la serie de los dobles desarrollada de
acuerdo con las instrucciones de Platón:
384 — 432 — 486 — 512 — 576 — 648 — 729 — 768 — 864 — 972 — 1024 — 1152 — 1296 —
1458 — 1536 — 1728 — 1944 — 2048 — 2304 — 2592 — 2916 — 3072
Si se hacen las mismas operaciones en la serie de los triples se obtiene otra serie:
1—3/2—2—3—9/2—6—9—27/2—8—27
serie que queda, al reducirla:
2—3—4—6—9—12—18—27—36—54
Por tanto, entre los términos 3 y 4, entre 9 y 12 y entre 27 y 36, el intervalo es menor que en los
demás casos; mientras en el resto el intervalo equivale a la mitad del primer término, en los
señalados es sólo de una tercera parte. Con el mismo procedimiento que en la serie de los dobles
e intercalando intervalos de 13, se llega a la siguiente serie (después de eliminar las fracciones):
6 — 8 — 9 — 12 — 16 — 18 — 24 — 27 — 36 — 48 — 54 — 72 — 81 — 108 — 144 — 162
Otra vez el intervalo menor es de 8/9, es decir, una octava parte del primer término en todos los
intervalos menores. Al reducir toda la serie a este tipo de intervalos, se tiene:
6 — 6+6/8 — (6+6/8)+(6+6/8)/8 — 8 — 9 — 9+9/8 — (9+9/8)+(9+9/8)/8 — 12 — 12+12/8 —
(12+12/8)+(2+12/8)/8 — 16 — 18 — 18+18/8 — (18+18/8)+(18+18/8)/8 — 24 — 27 — 27+27/8 —
(27+27/8)+(27+27/8)/8 — 36 — 36+36/8 — (36+36/8)+(36+36/8)/8 — 48 — 54 — 54+54/8 —
(54+54/8)+(54+54/8)/8 — 72 — 81 — 81+81/8 — (81+81/8)+(81+81/8)/8 — 108 — 108+1088 —
(108+108/8)+(108+108/8)/8 — 144 — 162
Al reducir, la serie de los triples queda finalmente como:
384 — 432 — 486 — 512 — 576 — 648 — 729 — 768 — 864 — 972 — 1024 — 1152 — 1296 —
1458 — 1536 — 1728 — 1944 — 2304 — 2592 — 2916 — 3072 — 3456 — 3888 — 4374 — 4608
— 5184 — 5832 — 6561 — 6912 — 7776 — 8748 — 9216 — 10368
Cuando se unen ambas series, la de dobles y la de triples, y se eliminan los números duplicados,
se llega la serie final:
384 — 432 — 486 — 512 — 576 — 648 — 729 — 768 — 864 — 972 — 1024 — 1152 — 1296 —
1458 — 1536 — 1728 — 1944 — 2048 — 2187 — 2304 — 2592 — 2916 — 3072 — 3456 — 3888
— 4374 — 4608 — 5184 — 5832 — 6912 — 7776 — 8748 — 9216 — 10368
Si se dispone esta serie completa en una tabla, se obtienen tres columnas: en la primera están los
términos de la serie platónica original; en la segunda están los términos con los cuales esa serie se
llena; y en la tercera, los intervalos entre estos últimos términos.
1 384 4 1536
8:9 8:9
432 1728
8:9 8:9
486 1944
243:256 243:256
512 2048
8:9 2048:2187
576 2187
8:9 243:256
648 2304
8:9 8:9
729 2592
243:256 8:9
2 768 2916
8:9 243:256
864 8 3072
8:9 8:9
972 9 3456
243:256 8:9
1024 3888
8:9 8:9
3 1152 4374
8:9 243:256
1296 4608
8:9 8:9
1458 5184
243:256 8:9
5832 8748
tono+leimma 243:256
6912 9216
8:9 8:9
7776 27 10368
8:9
En esta tabla aparecen tres clases de intervalos: 8:9, que es el tono; 243:256, llamado leimma; y
2048:2187, llamado apotomé, los cuales serán analizados en la siguiente sección. Si se hace
corresponder las notas de la escala musical con los términos de la serie completa, el resultado
aparece en la siguiente tabla:
384 Do 1296 La 3888 Mi
432 Re 1458 Si 4374 Fa#
486 Mi 1536 Do 4608 Sol
512 Fa 1728 Re 5184 La
576 Sol 1944 Mi 5832 Si
648 La 2048 Fa 6912 Re
729 Si 2187 Fa# 7776 Mi
768 Do 2304 Sol 8748 Fa#
864 Re 2592 La 9216 Sol
972 Mi 2916 Si 10368 La
1024 Fa 3072 Do
1152 Sol 3456 Re
Una vez que se han delimitado todos los intervalos de la serie por medio del desarrollo de las
series de las potencias de dos y de las potencias de tres, tal como Platón lo establece en el Timeo,
ya se tienen las herramientas para entrar a algunas cuestiones relacionadas con la armonía
musical. Para ello es necesario revisar algunas nociones de la teoría musical de los griegos.
Acerca de la teoría musical griega
Dice Platón: “Con ayuda del intervalo de uno más un octavo, el Dios llenó todos los intervalos de
uno más un tercio, dejando subsistir de cada uno de ellos una fracción tal que el intervalo restante
estuviera definido por la relación del número 256 al número 243. Y así, la mezcla en la cual había
hecho esas divisiones, pudo ser empleada en su totalidad”. (Timeo 36b) La división de los
intervalos de un tercio con intervalos de un octavo no ofrece ningún misterio, pues es el
procedimiento que usamos aquí en la serie de los dobles; pero en el párrafo de Platón aparecen
dos nuevos números, 256 y 243, que hasta ahora no se habían presentado. Para entender de dónde
vienen, es necesario analizar con mayor detalle los intervalos menores con los cuales se llenan los
diferentes intervalos.
Si se analizan las tablas al final de la sección anterior, en el primer intervalo 1:2, el de la octava,
se observa que la relación entre los dos primeros términos, 384 y 432, es la misma que entre 8 y
9; por tanto, se trata de un intervalo de un tono. Lo mismo para el caso de los intervalos 432:486,
512:576, 576:648, y 648:729; en todos ellos hay tonos completos. Pero en los intervalos 486:512
y 729:768 su distancia es más pequeña, por tanto, son menores que un tono. En ambos casos se
encuentra la relación 243:256, intervalo llamado leimma, que significa resto, y que se ha
identificado como un semitono, aunque en realidad es mucho menor que la mitad de un tono. En
consecuencia, el intervalo de octava se llena con cinco tonos y dos leimmas.
En el intervalo de 2 a 3 (2:3) están los términos 768 y 864, que están en la proporción 8:9; por
tanto, forman un tono; 864:972 también forman un tono; 972:1024 están en la proporción
243:256, es decir, una leimma; 1024:1152 está en proporción 8:9. En resumen, el intervalo de
quinta, 2:3, se llena con tres tonos y una leimma.
El intervalo 3:4 se llena con un tono entre 1152 y 1296; un tono entre 1296 y 1458; y una leimma
entre 1458 y 1536. Total, dos tonos y una leimma.
El intervalo 4:8 se llena con cuatro tonos (1536:1728, 1728:1944, 2304:2592 y 2592:2916), tres
leimmas (1944: 2048, 2187:2304 y 2916:3072) y una nueva fracción, 2048:2187, que no puede
reducirse más y que recibe el nombre de apotomé (άπο-τομή).58
58 Se trata de un nombre usual en los Elementos de geometría de Euclides, el cual aparece sobre todo en las secciones sobre números irracionales. Rivaud introduce en la serie un número que no pertenece a ella, el 6144; de allí que los elementos que llenan los intervalos no sean exactamente los mismos. Incluso así, hay un error, pues, en lugar de que el último intervalo tenga “siete tonos, cuatro leimmas y una apotomé”, como él dice, tendría ocho
El intervalo 8:9 es por definición un tono. Y el intervalo 9:27 se llena con 7 tonos (3456:3888,
3888:4374, 4608:5184, 5184:5832, 6912:7776, 7776:8748, y 9216 : 10368), 2 leimmas
(4374:4608 y 8748:9216); la fracción que falta, la que está entre 5832 y 6912, es igual a la suma
de un tono y una leimma.
Esta serie completa es mucho más extensa que nuestra gama musical, donde sólo está presente el
primer intervalo, la octava, con cinco tonos y dos leimmas, dividida en cuarta y quinta. Pero la
armonía del Alma del Mundo comprende todas las gamas, hasta la 27, y sobrepasa infinitamente
las limitadas armonías de nuestra imperfecta música.
Los griegos sólo admitieron tres intervalos consonantes elementales: la octava (δια πασων), la
quinta justa (δια πέντε) y la cuarta justa (δια τεσσάρων), que es la inversión o complemento a la
octava de la quinta, más las consonancias compuestas por la adición de una octava a las
consonancias simples.59 Sobre la base de esas tres consonancias, los griegos construyeron el
sistema (συστημα), o sea, la escala estructurada de sonidos de que se puede disponer para
construir melodías. A continuación se muestra el sistema con los nombres griegos de las notas y
los intervalos.
FIG. 3
De esas tres consonancias, la octava es para nosotros la base de toda referencia, pues, como dice
Chailley,60 “nuestro razonamiento musical desde hace cuatrocientos o quinientos años es
esencialmente ’armónico’, en el sentido moderno de la palabra, y en este orden de razonamiento,
la octava es el dato inicial”. Pero esto no era así para los griegos; para ellos la primera
consonancia era la de la cuarta, unidad de base y referencia fundamental, “el más pequeño
intervalo consonante admitido por el oído”, según dice Reinach. La octava es un descubrimiento
posterior y no interviene en la constitución de los intervalos fundamentales. Por ello la unidad de
análisis del sistema griego era el tetracorde.
Un tetracorde sería la distancia entre los dos sonidos que limitan un intervalo de cuarta justa, Mi
y La, por ejemplo. De acuerdo con las concepciones griegas, la voz humana, para pasar de uno de
esos sonidos al otro, sólo puede intercalar naturalmente dos sonidos intermedios, cuyas notas,
tonos y tres leimmas (por la fracción igual a la suma de tono y leimma). En resumen y de acuerdo con la tabla anterior, los intervalos comprendidos entre 486 y 512, 729 y 768, 972 y 1024, 1458 y 1536, 1944 y 2048, 2187 y 2304, 2916 y 3072, 4374 y 4608, 8748 y 9216 corresponden a la fracción 243 : 256, es decir, a un leimma; el intervalo entre 2048 y 2187 es una apotomé; el intervalo entre 5832 y 6912, es decir entre Si y Re, es la suma de un tono más una leimma; todos los demás intervalos corresponden a un tono completo, es decir, a la fracción 8:9.
59 Théodore Reinach, La musique grecque, p. 78.60 J. Chailley, op. cit., p. 26.
unidas a las dos de los extremos, forman el tetracorde, elemento primario de las gamas griegas.
Un grupo de tetracordes, al menos dos, forman una escala o un sistema. Si se piensa en un
instrumento de ocho cuerdas para abarcar este mínimo sistema, se tendría configurado el
diapasón según aparece en la figura anterior.
La octava, como es de todos sabido, es el marco de todo el sistema melódico occidental, pero no
era así en el mundo antiguo; para los griegos, el intervalo principal es el tetracorde, es decir, el de
cuarta. Si entre los tonos que limitan un intervalo de cuarta, Mi y La por ejemplo, se intercalan
naturalmente dos sonidos intermedios, este conjunto formado por los dos tonos extremos y los
dos tonos intermedios es el tetracorde, el cual era, como se dijo, el elemento primario, la célula
constitutiva de todas las gamas musicales. Los dos tonos extremos de un tetracorde, los que
producen el intervalo de cuarta, son sonidos fijos; los intermedios son móviles pues su entonación
depende de factores como el “género” de cada acorde. Un grupo de tetracordes, al menos dos,
forma una escala o, como la llamaban los griegos, un sistema.
En un principio, la música estaba limitada a la octava, puesto que el instrumento más popular, la
lira, contaba con siete cuerdas, es decir, era de siete notas. Pero había varias formas de construir
la escala de la lira de acuerdo con el área geográfica. Ya en la Grecia clásica se llega a una cierta
normalización de las notas móviles en el interior del tetracorde, y ello se hace atendiendo a tres
tipos o géneros el diacrónico, el cromático y el enarmónico.
El diacrónico es el más cercano a nuestro sistema y también es el que más se aproxima a la teoría
griega de los intervalos, ya que, según Chailley,61 “es el único que se puede justificar por
intervalos previstos por la teoría de las consonancias, a saber, dos tonos enteros 9:8 insertados en
el marco de una cuarta 4:3”. De allí su nombre, διατονοϛ, es decir, que procede por tonos. De
manera aproximada, puede describirse el tetracorde diatónico bajo la forma de una sucesión de
intervalos que van, de lo agudo a lo grave, según la serie tono–tono–semitono, por ejemplo
La–Sol–Fa–Mi. En realidad, la división no es exacta, pues en el extremo más grave queda un
intervalo diferencial. que es lo que antes se asoció con el intervalo llamado leimma o resto
(256:243), menor que la mitad de un tono.
En el género cromático, la segunda nota es atraída hacia el extremo grave, por lo que el intervalo
entre la primera y la segunda nota es de una tercera menor; los otros dos intervalos son de medio
tono. Como ejemplo de tetracode cromático está el formado por las notas La–Solb–Fa–Mi.
61 Ibid., op. cit., p. 29.
En el género enarmónico la atracción hacia el extremo grave alcanza la segunda y la tercera notas
del tetracorde y las sitúa muy cerca del límite inferior. Los intervalos, entonces, son: tercera
mayor–cuarto de tono–cuarto de tono. Ejemplo de tetracorde enarmónico: La–Fa (igual a
Solbb)–Fa semibemol (o Mi semisostenido)–Mi.
Los tetracordes se agrupan para formar sistemas complejos; en esa agrupación intervienen
solamente las notas fijas y los tetracordes se llenan de acuerdo con los géneros. Chailley propone
una notación que tiene la ventaja de ser indiferente al género y según la cual los sonidos móviles
no se representan como notas, sino como x la nota aguda, y como + la grave. Así, por ejemplo, el
tetracorde ilustrado en la figura siguiente
FIG. 4
se lee de tres maneras distintas; en primer lugar, en género diatónico:
FIG. 5
en segundo, en cromático:
FIG. 6
finalmente, en enarmónico:
FIG. 7
Dos tetracordes pueden unirse usando como enlace la nota inferior de uno y la superior del otro;
si ambas notas son la misma, entonces se forma un heptacorde por conjunción, como aparece en
la figura siguiente:
FIG. 8
Aquí, la nota que une los dos tetracordes, La, está en el centro del sistema; de allí su nombre,
μεση. En cuanto a las notas extremas, éstas se denominan νητη la aguda (a pesar de que la
palabra nete significa “la que está más abajo”) e υπατη, la grave (hypate significa “la más
elevada”). Esta situación paradójica se debe a que la equivalencia entre alto y agudo y entre grave
y bajo es ajena al pensamiento griego. Nicómaco habla de una tradición heredada de los egipcios
según la cual la nete corresponde a la luna, que es el planeta más bajo, el más cercano a la tierra.
En general, de acuerdo con esa tradición, la escala de armonía de las esferas es descendente a
medida que se aleja de la tierra, de manera que la correspondencia entre los planetas y las notas,
según Nicómaco, se ilustra como sigue:
FIG. p. 9
de lo cual se deduce que, en el género diatónico, la sucesión por quintas descendentes
corresponde a la sucesión de los nombres de los días de la semana: luna, marte, mercurio, júpiter,
venus, saturno y sol.62
En síntesis, el heptacorde tiene las notas que se muestran a continuación, y que varían según cada
género: dos tetracordes
diatónico cromático enarmónico
nete Re Re Re Re
paranete x Do Si Sib
paramese63 + Sib Sib Sibb
mese La La La La
hypermese64 x Sol Solb Solbb=La
parhypate + Fa Fa Fab
hypate Mi Mi Mi Mi
La tradición pitagórica atribuye a su fundador la transformación del heptacorde en octocorde, en
el cual se incluye la consonancia de cuarta, la de quinta y la de octava. Para ello fue necesario
empujar el tetracorde agudo un tono hacia arriba y, en lugar de unirse por la misma nota, los dos
tetracordes se separaron por el intervalo de un tono, que se llamó tono disyuntivo. El octocorde se
ilustra en el pentagrama siguiente:
FIG. p. 10
el cual se traduce en cada género como se ilustra en la tabla mostrada a continuación:
diatónico cromático enarmónico
NETE Mi Mi Mi Mi
paranete x Re Reb=Do# Rebb=Do
trite + Do Do Dob
paramese Si Si Si Si
62 Cf. J. Chailley, op. cit., p. 39.63 La paramese se conoce también con el nombre de trite. 64 También conocida con el nombre de lichanos.
MESE La La La La
lichanos x Sol Solb=Fa# Solbb=Fa
parhypate + Fa Fa Fab
HYPATE Mi Mi Mi Mi
Entre la paramese y la mese –entre Si y La– está un tono completo que separa los dos tetracordes.
Ése es el tono disyuntivo.
En la escala fundamental, cada uno de los dos tetracordes recibe un nombre, así como cada una
de las cuatro notas que lo forman (y que corresponden a las cuerdas de la lira). Así, el tetracorde
de las disyuntas comprende las notas nete, paranete, trite y paramese, y el tetracorde de las
medias comprende las notas mese, lichanos, parhypate e hypate.
Más tarde, por adiciones sucesivas, el número de cuerdas de la lira, o lo que es lo mismo, el
número de notas de la escala, se aumentó a quince: al lado más grave del tetracorde de las medias
se añadió el tetracorde de las hypates, y después, para dar la octava grave de la mese, se añadió
otro tono, llamado proslambanómenos y que significa sobreañadido. Por el otro extremo de la
escala, por el agudo, se añadió el tetracorde de las hyperbolés o sobreagudas, cuyo tono más alto
es también la octava superior de la mese. Por tanto, la mese se encuentra en el centro matemático
de la escala ampliada.
No se sabe con precisión cuándo ocurrieron las varias etapas de esta transformación, pero se cree
que se realizó en dos etapas; tal vez en la primera se añadió el tetracorde grave, seguido del tono
exterior, proslambanómenos. La segunda sería la adición simétrica del tetracorde agudo. Con las
dos etapas se obtendrían dos sistemas: el pequeño, descendente de Re a La, llamado pequeño
sistema conjunto
FIG. 11
y el segundo, el grande, de quince notas o gran sistema disyunto:
FIG. 12
Los dos sistemas reunidos forman el sistema completo, el cual se asume que adquirió su forma
definitiva hacia el siglo III aC. Este sistema que comprende una doble octava de La a La, se
representa como sigue: (sólo se muestran las notas fijas donde A es el tetracorde de las
hiperbolés, B el de las disyuntas, C el de las medias, D el de las hypates, E el tetracorde de las
conjuntas y F es el proslambanómenos).
FIG.13
Vamos ahora a regresar a la noción central de este trabajo, a la de armonía. Sin embargo, existe
otro elemento musical que no se puede dejar de tratar y es lo que se conoce como el
temperamento. Este elemento es el que permite relacionar las metáforas celestes, familiares y
civiles de Platón, y, sobre todo, la templanza o sofrosyne, revisadas en la primera parte de este
trabajo, con la noción general de armonía. Vamos a hacer una breve revisión del temperamento en
la siguiente sección.
Sobre el temperamento
No es posible, en estas notas elementales, entrar en mayores detalles respecto al desarrollo
histórico de las escalas, pero sí sería de interés mencionar cómo se ajustan las cuerdas de los
instrumentos a las notas. Para ello tenemos que regresar a la noción de armonía. Se mencionó
antes que, fuera de todo contexto musical, armonía significa el acoplamiento o ajuste de una cosa
a otra, mientras que, en el terreno musical, armonía designa, entre las varias acepciones, el ajuste
o afinación de las notas de un instrumento. Dice Barker,65 “lo que se crea por medio de la
afinación (tuning) es un acoplamiento de notas, una estructura de relaciones que puede usarse
para formar las bases de las melodías”.
En su muy documentado libro sobre la historia de los sistemas de afinación, M. Barbour66
comienza hablando de los tres grandes sistemas de la antigüedad entre los cuales está en primer
lugar el pitagórico. Este sistema, como sabemos, se basa en la octava y en la quinta, primeros
intervalos de la serie armónica, con los cuales es posible afinar todas las notas de la escala
diatónica en sucesiones de quintas y de octavas, o, por lo mismo, todas las notas de la escala
cromática.
El siguiente sistema es el de Aristoxeno, quien planteó la cuestión de una manera nueva en su
disputa contra los pitagóricos. Según él, son más importantes las apreciaciones de los músicos
que los resultados de los cálculos numéricos y, por tanto, el juicio del oído es superior a las
razones aritméticas. En la escala pitagórica, como hemos señalado, un intervalo de cuarta está
formado por dos tonos y una fracción, la leimma; Aristoxeno
propuso que este intervalo de cuarta estuviera formado exactamente por dos tonos y un semitono. De esta manera, al postular un sistema musical compuesto solamente de tonos y de mitades de tonos, Aristoxeno postula implícitamente un acorde de la lira idéntico al de nuestra gama temperada [...] es decir, que divide la octava en doce semitonos sensiblemente iguales [...] En otros términos, identifica, como nosotros, los sonidos de Sol# y Lab. Este sistema, que falsea ligeramente las consonancias de cuarta y de quinta, tiene la inmensa ventaja de reducir el número de cuerdas de los instrumentos.67
De allí que los teóricos musicales del siglo XVI, ampliamente estudiados por Barbour, hayan
considerado a Aristoxeno como el precursor del “igual temperamento”.68
65 Andrew Barker, Greek Musical Writings, v. I. The Musician and his Art, p. 164.66 J. Murray Barbour, Tuning and Temperament. A Historical Survey.67 Th. Reinach, op. cit., p. 21.68 Se denomina igual temperamento a la división de la octava en un número igual de partes, específicamente, en
doce semitonos, cada uno de ellos con razón de 12√2.
El tercer gran sistema es el de Claudius Ptolemaeus, más conocido por sus trabajos geográficos; a
él se debe un principio importante de afinación: ésta es mejor cuando el oído y la razón están de
acuerdo. Su sistema coincide con el de la llamada afinación justa, es decir, con el sistema basado
en los primeros cinco intervalos de la serie armónica –octava, quinta, cuarta, tercera mayor y
tercera menor.
A primera vista, es extraño mencionar a Aristoxeno y a Ptolomeo en un trabajo sobre Platón; se
piensa que no hay mucha relación entre ellos, puesto que los primeros se basaban menos en las
matemáticas y más en el oído, al contrario de lo que pasaba con Platón. La razón de ponerlos
juntos estriba en que, en ambos casos, pero por caminos diferentes, la meta es la división de la
escala en intervalos iguales. En contra de lo que piensan muchos teóricos de la música, McClain
dice que la República de Platón “encierra un tratado sobre el igual temperamento”.69 [H] Y este
problema del temperamento es crucial, pues surge de la inconmensurabilidad entre las razones de
octava, cuarta y quinta que dan los tonos. Las potencias de 2, que definen octavas, son números
pares, y por ello nunca coinciden con las potencias de tres, números nones, que son las que
definen las quintas y las cuartas; finalmente, ni las potencias de 2 ni las de tres coinciden con las
potencias de 5, que son las que definen las terceras, mayores y menores.
El problema de la división de la octava en partes iguales (es decir, de una escala bien temperada)
no podía resolverse con los conocimientos matemáticos griegos de los tiempos de Platón, ya que
sólo podían usarse razones formadas por números racionales puesto que, si se quisiera dividir la
octava en doce partes iguales, cada una de estas partes –es decir, cada semitono– tendría el valor
de 12√2, que es un número irracional. La teoría moderna del igual temperamento divide el ciclo de
la octava, definida por la razón 1:2, en 1200 unidades logarítmicas llamadas cents, de manera que
cada semitono es igual a 100 cents. Geométricamente, la octava se puede representar por un
círculo, y dividida en doce semitonos iguales, se representa como sigue:
FIG. 14
Igualmente, los intervalos que quinta y de cuarta, que subdividen la octava, también pueden tener
una representación de este tipo:
FIG. 15
de manera tal que si se agrupan los dos ciclos, es decir, simultáneamente en sentido ascendente y
69 Ernest G. McClain, The Pythagorean Plato, p. 5. El desarrollo de los instrumentos de teclado transformó los problemas teóricos planteados por Platón en problemas prácticos en tiempos de Bach. El igual temperamento conseguido en el clave bien temperado de hecho realizó el sueño platónico.
en sentido descendente, tenemos:
FIG. 16
En sentido ascendente se tienen las notas La, Re, Mi y La, y en sentido descendente las notas La,
Mi, Re y La. Entre La y La se tiene la proporción de la octava, 1:2 y, si, para evitar fracciones,70
se usa la proporción equivalente 6:12, la media aritmética estará en 9 y la media armónica o
subcontraria en 8. La media aritmética corresponde a la nota Re en el sentido ascendente, y a Mi
en el descendente, mientras que la media armónica corresponde a Mi en sentido ascendente y a
Re en descendente. En términos de McClain,
la media aritmética subdivide la octava en una quinta perfecta de razón 2:3 (=6:9) y una cuarta perfecta complementaria de razón 3:4 (=9:12), esto es, con la razón mayor entre los números más pequeños. La media armónica invierte el orden de los intervalos en una dirección “subcontraria” (6:8=3:4 y 8:12=2:3) para establecer la simetría inversa perfecta que caracteriza la aritmética de Platón.71
De estas razones de cuarta y de quinta se obtiene la llamada proporción musical 6:8::9:12, la cual,
según se dice, fue llevada de Babilona a Grecia por Pitágoras, y en ella se pueden ver con
claridad las mencionadas relaciones de octava, de cuarta y de quinta:
FIG. 17
No obstante, esta forma lineal de representación puede llevar a equívocos, ya que los números
funcionan de manera recíproca; es decir cuando se aplican a secuencias que suben o bajan de
tono pueden considerarse, o bien como razones de longitud de onda o de frecuencia, o bien como
múltiplos y submúltiplos de una unidad de longitud de la cuerda. En el ejemplo, si tomamos La
como referencia, Re y Mi asumen los valores de media aritmética y de media armónica cuando se
consideran en sentido ascendente, pero los invierten cuando se ven de manera descendente:
6 : 8 :: 9 : 12
en sentido ascendente: La Re Mi La
en sentido descendente: La Mi Re La
Es verdad que Re y Mi invierten sus papeles como media aritmética y como media armónica,
pero debido a la capacidad de convertirse en un ciclo, es conveniente representar la octava
circularmente en lugar de hacerlo de manera lineal. En un círculo de tonos, el principio y el fin
70 Ya hemos visto que Platón establece que en todos los casos deben evitarse las fracciones y usarse sólo números enteros. Cfr. República 525d.
71 Ernest G. McClain, The Myth of Invariance. The Origins of the Gods, Mathematics and Music: From the Rg Veda to Plato, p. 27.
coinciden de modo que el tono de referencia, La en este caso,
[…] funciona visualmente como la media geométrica entre las medias aritmética y armónica simétricamente situadas, cuyas propias posiciones se alterarían según que los tonos se piensen como múltiplos o como submúltiplos, y se unan a tonos que suban o bajen.72
Además de las ya mencionadas subdivisiones de la octava en quinta, 2:3, y cuarta, 3:4, existen
otras como la tercera mayor, 4:5 y la tercera menor, 5:6. Pero quien construye, afina o toca algún
instrumento, sabe que la octava no puede subdividirse igualmente por razones como las
señaladas, las cuales se derivan de números racionales; por ello, en la escala bien temperada se
divide el espacio de la octava en 12 partes iguales, de manera que cada una de esas partes de
112de octava, que es a lo que llamamos semitono, tiene un valor numérico de 12√2
(aproximadamente 1.059463), por lo cual cada intervalo de menor tamaño será siempre un
número múltiplo de semitonos, el más pequeño intervalo del sistema. Así, existen dos
posibilidades de expresar los intervalos de los tonos: primero, como ya se ha visto, como razones
de enteros (1:2, octava; 2:3, quinta; 3:4, cuarta), y segundo, como unidades logarítmicas de 100
cents por semitono (es decir, con la octava igual a 1200 cents). Existe otra posibilidad: la de
expresar la octava por medio de un círculo, y cada uno de los tonos por un número de grados,
para formar lo que McClain llama el “mandala” de tonos. El uso de esta forma de representación
proporciona mayor comprensión del problema, pues allí el principio y el fin coinciden y, por
tanto, La puede representar la media geométrica de las medias aritmética y armónica,
simétricamente situadas, y cuyas posiciones se alternan según el punto de vista ascendente o
descendente.
Esto nos permite relacionar la teoría griega de la música con la creación del Alma del Mundo tal
como está expuesta en el Timeo. Dice allí (50d) que Dios es el inamovible 1, el punto de
referencia que funciona como esa media geométrica entre cada número y su recíproco; de allí
que, como afirma McClain, el número uno “simbolice a Dios por su absoluta invariancia”.
Se ha mencionado en páginas anteriores que en muchas mitologías antiguas se encuentran casos
de hermafroditismo del creador, representado por la unidad, la unidad divina, quien, por un
proceso de división que casi podría entenderse como mitótico, produce una hija. En esas
circunstancias, puede procrear a través de la hija, el principio femenino. No es extraño, pues,
pensar que si el creador es 1, invariancia absoluta, la hija sea 2. El número 2 tiene en la alegoría
platónica un papel femenino porque es receptáculo o matriz; corresponde así a la octava, de la
cual nacen todos los demás tonos. Sin embargo, esa matriz por sí misma es estéril, sólo puede
72 Ernest McClain, The Pythagorean Plato, p. 10.
originar, como dice Sócrates en la República, ciclos de esterilidad, ya que la multiplicación y
división por 2 no puede introducir nuevos tonos. El principio de la madre está simbolizado por la
octava, es decir, por el círculo sin división: cada revolución del círculo equivale, en un sentido, a
una multiplicación por dos y, en el otro, a una división entre dos. Dicho en palabras de McClain,
“las potencias de 2 (2n) generan identidades cíclicas, esto es, dejan invariable la relación musical
del ciclo de la octava”.73 Para introducir nuevos tonos se requiere la presencia de números nones,
con lo que justifica su denominación de “machos”; los números pares, hembras, son
genéticamente pasivos, por producir sólo octavas sin división. Los nones, en cambio, permiten
que la unidad sea dividida: si nos limitamos, como en la teoría musical de los griegos, a las
razones llamadas superparticulares o epimóricas (es decir, a las que se forman por dos enteros
consecutivos o que difieren por la unidad), entonces cada número impar funciona como la media
aritmética para una razón superparticular: 3 será la media entre 1 y 2, 5 entre 2 y 3, 7 entre 3 y 4,
etc. Así, si 1 es la referencia, el inamovible, y 2 es la madre o receptáculo, simbolizado por el
círculo sin división, (Timeo 50d) la media aritmética será 3, el hijo. Pero si, como se ha visto
antes, en lugar de usar 1 y 2 como los números que forman la razón de octava, se usa 6 y 12,
entonces esta media aritmética será 9. Esta media tiene un hermano gemelo, derivado del
significado recíproco del 3, el cual funciona como la media armónica. Por tanto, en la llamada
proporción musical 6:8::9:12, las medias armónica y aritmética, 8 y 9, son hermanas, de acuerdo
con lo que Platón expresa en la República 461d. Regresemos por un momento a la representación
en forma de círculo:
FIG. 18
El círculo de tonos simboliza la moderna escala bien temperada y constituye un emblema –visual
y acústico– para las periodicidades del universo: el tiempo cíclico, el movimiento circular de los
cuerpos celestes, los doce meses lunares. Cada segmento sería equivalente al intervalo de un
semitono. Por tanto, este círculo sólo puede relacionarse con el igual temperamento.
La estructura cíclica de la octava es la invariante de todo sistema de afinación y, dispuesta como
círculo de tonos, funciona como una matriz de la cual nacen los tonos derivados. Si representa el
mundo, entonces las dos mitades del mundo estarán separadas por el diámetro, que tonalmente se
localiza en Mib=Re#, directamente opuesto a La, el tono de referencia, que tiene un valor
aritmético de √2. Los números nones introducen nuevos tonos (ya que los pares, como se
estableció antes, sólo generan “ciclos de esterilidad”, círculos completos); el “divino número
73 Ernest McClain, The Myth of Invariance, p. 20.
masculino”, el 3, genera “rayos” que caen muy cerca de los rayos ideales generados por el igual
temperamento: la razón 2:3, un intervalo de quinta, vale unos 702 cents,74 por lo cual está a 2
cents del tono temperado, es decir a 0.6 grados75 en la circunferencia; su complementario, el
intervalo de cuarta, 3:4, está más o menos a 498 cents, también a seis décimos de grado del tono
bien temperado. El 5, “número masculino humano”, genera rayos menos aproximados, pues el
intervalo de tercera mayor, 4:5, vale 386 cents, es decir, está a 4.2°, y la tercera menor, su
complementaria, 5:6, vale 316 cents, 4.8° separada del tono igualmente temperado. Si volvemos a
la llamada proporción musical 6:8::9:12 que equivale, en sentido creciente a La, Re, Mi y La, y
decreciente, La, Mi, Re y La, y a su representación circular, podremos continuar con la
argumentación.
FIG. 19 (p. 95 libro)
Recordemos que en esta proporción 6:8::9:12, el número 9 es la media aritmética dentro del
módulo de la octava, y 8 es la media armónica; la media aritmética subdivide la octava en una
quinta y una cuarta complementaria, 2:3 y 3:4. La media armónica invierte el orden de los
intervalos: primero una cuarta (pues 6:8=3:4) y luego una quinta (pues 8:12=2:3). También
hemos visto que los griegos entendían estas medias como límites fijos de tetracordes, dentro de
los cuales se intercalaban tonos móviles dependientes del género. En la música occidental en
general, estos tonos generados por el número primo 3 se conocen como los tonos dominante y
subdominante.
Los dos tetracordes de la figura anterior se llenan con los sonidos móviles generados por el
número primo 5. Este número “humano masculino”, como lo llama Platón, funciona como media
aritmética en el intervalo de quinta 2:3, que se expande a 4:5:6 para evitar, como siempre, las
fracciones. Pero el problema entonces, como señala McClain,76 es “descubrir de cuántas maneras
las razones 4:5 y 5:6 pueden entrar en la razón 3:4, la cual ocurre dos veces en la proporción
musical 6:8::9:12”. Las razones 4:5 y 5:6, tercera mayor y tercera menor, respectivamente,
producto de la intervención del número 5, dan por resultado cuatro patrones diferentes, en
función de si se consideran dichos intervalos después del primer tono o antes del segundo.
Vamos a tomar primero el intervalo de tercera mayor, 4:5. Si consideramos en primer lugar que
este intervalo viene inmediatamente después del primer tono, tendremos entonces la siguiente
74 Para convertir razones en cents, se resta el logaritmo del número menor del logaritmo del mayor, y el resultado se multiplica por 1200/log2 , o sea aproximadamente por 3986.3.
75 Para convertir cents en grados, se multiplica el número de cents por 360/1200 = 0.3.76 E. McClain, The Myth of Invariance, p. 23.
progresión: 6, 6(5/4), 8, 9, 9(5/4), 12.77 Al reducir las fracciones, obtenemos la serie: 24, 30, 32,
36, 45, 48, que corresponde, en orden creciente y decreciente, a los intervalos siguientes:
24 30 32 36 45 48
creciente: La do# Re Mi sol# La
decreciente: La fa Mi Re sib La
6 : 8 :: 9 : 12
Si consideramos ahora que el intervalo 4:5 está inmediatamente antes del segundo tono,
tendremos la serie: 6, 8(5/4), 8, 9, 12(5/4), 12.78 Al hacer las operaciones y reducir las fracciones,
tenemos: 30, 32, 40, 45, 48, 60, que da lugar a los siguientes intervalos:
30 32 40 45 48 60
creciente: La sol# Mi Re do# La
creciente: La sib Re Mi fa La
6 : 8 :: 9 : 12
La combinación de los intervalos de la tercera mayor da por resultado la siguiente escala:
FIG. 20
Si ahora tomamos el intervalo de la tercera menor, 5:6, el resultado será también dos patrones
simétricos, como en el caso anterior. Primero, se toma en consideración que la tercera menor está
inmediatamente después del primer término de cada proporción. Con ello se obtiene una
progresión del tipo: 6, 6(6/5), 8, 9, 9(6/5), 12, la cual, al reducirse se obtiene:
30 36 40 45 54 60
creciente: La do Re Mi sol La
decreciente: La fa# Mi Re si La
6 : 8 :: 9 : 12
Finalmente, si el intervalo de tercera menor se piensa como antes del segundo tono, se obtiene: 6,
8(5/6), 8, 9, 12(5/6), que es igual a la progresión siguientes, con sus respectivas escalas:
77 Para sumar las fracciones, por estar operando con logaritmos, se multiplica.78 La resta logarítmica es una división, y en este caso dividir entre 5/4} es igual que la multiplicación de por 4/5.
36 40 48 54 60 72
decreciente: La sol Mi Re do La
creciente: La si Re Mi fa# La
6 : 8 :: 9 : 12
El resultado, expresado en el pentagrama, es el siguiente:
FIG. 21
Si se expresa esto por medio de círculos de tonos se tiene, para la tercera mayor:
FIG. 22
Y para la tercera menor:
FIG. 23
Estos cuatro patrones combinados contienen un total de once tonos diferentes que podemos
disponer en una escala y su recíproca. Esas escalas y sus números correspondientes son:
30 32 36 40 45 48 54 60
normal: La sib do Re Mi fa sol La
recíproco: La sol# fa# Mi Re do# si La
Los once tonos de estas dos escalas, reunidos, constituyen nuestra escala cromática; los enteros
más pequeños que pueden definirla están en la relación 360:720. Esta escala se divide en 360
unidades, lo cual coincide con el año de 360 días de los calendarios antiguos de gran diversidad
de culturas. La escala cromática y los números que la definen, en orden creciente y menguante,
son:
La sib si do do# Re Mi fa fa# sol sol# La
360 384 400 432 450 480 540 576 600 648 675 720
720 675 648 600 576 540 480 450 432 400 384 360
y se representan en el círculo de tonos de la siguiente manera:79
79 La división del círculo en 360 unidades no corresponde a su división en grados, sino que hay que recordar que tales unidades están definidas logarítmicamente.
FIG. 24
Aunque en este trabajo no nos proponemos una exploración exhaustiva de todos los aspectos de
la música griega, sí es conveniente introducir otra noción, la de modo. El origen de los modos
estriba en que en la música griega se encontraban mezcladas diversas corrientes que provenían de
diferentes lugares, tales como el lado occidental de la Grecia continental, el lado oriental de la
misma, los territorios de Asia Menor, etc. Este carácter sincrético se manifiesta de manera muy
palpable en la presencia de los modos.
Según Reinach, las melodías griegas generalmente estaban limitadas a una octava, que era
precisamente la gama de la lira. Así pues, si toma en consideración solamente al género
diatónico, la octava estará formada por siete intervalos de cinco tonos completos y dos intervalos
de medio tono. El orden en que suceden los tonos y los semitonos sería lo característico del
modo.80 Para la música de épocas posteriores, sin embargo, el modo no podía definirse sólo por el
orden en que se suceden los intervalos de su octava, sino que se hacía necesario establecer en esa
octava un tono principal al cual subordinar armónica y melódicamente los demás tonos. Ese tono
principal o nota es lo que ahora conocemos como la tónica. Para nosotros, el octocorde modal
comienza y termina con la tónica, y nuestros dos modos son los llamados mayor y menor: el tono
mayor es aquel cuyos intervalos aparecen tal como están dispuestos en la octava situada entre Do
y Do; es decir, t-t-s-t-t-t-s (t significa tono y s semitono); el tono menor es aquel cuyos intervalos
están dispuestos tal como los encontramos en la octava de La a La; es decir, t-s-t-t-s-t-t. Por tanto,
Re mayor, por ejemplo, quiere decir que se reproducen los mismos intervalos que hay entre Do y
Do, pero en la escala de Re a Re, lo cual genera la escala Re – Mi – Fa# – Sol –La – Si – Do# –
Re. Y la tonalidad de Sol menor, por ejemplo, significa que se reproducen los intervalos que hay
entre La y La en la octava de Sol a Sol, lo cual produce la escala siguiente: Sol – La – Sib – Do –
Re – Mib – Fa – Sol.
Sin embargo, como señala Chailley, esta definición de modo es insuficiente para los “modos”
gregorianos, y falsa para la música griega y para la oriental. Esta definición de modo es la que se
elaboró en el siglo XVIII bajo el impulso de Rameau, quien llega incluso a identificar “tono” con
“modo”. Si sobrepasamos el marco escolar de esta forma de ver el modo, tendríamos que verlo
como la organización estructurada en la cual intervienen muchos otros elementos, tales como el
timbre o la tesitura, así como algunos procedimientos de ornamentación.
Así determinado, un “modo” es fácilmente reconocible y adquiere una personalidad que permite
80 Théodore Reinach, La musique grecque, pp. 26-27.
atribuirle un papel social o religioso o mágico: de allí la noción de ethos (ηθος) que ocupa un lugar tan importante en la “ética” platónica [...] un modo caracteriza un sentimiento, una hora del día, una categoría social, etc.81
En la República, Platón habla de ciertas “armonías” (άρμονίαι), y hacía notar ciertos caracteres y
emociones asociados con ellas, aunque su característica principal es estar constituidas por
diferentes secuencias de intervalos. Es decir, tales armonías son lo que podemos entender como
“modos”. En ese diálogo, Sócrates evalúa las armonías, presentadas por Glaucón, de la siguiente
manera: dice que los llamados modos mixolydio y sintonolydio son “apropiados para los
lamentos”; por tanto, dice que esos modos deben ser proscritos de la ciudad. A los dos modos
siguientes, el jonio y el lidio, Sócrates no les atribuye vigor y dice que son apropiados sólo para
los bebedores; por tanto también los rechaza. Los únicos modos que pueden tolerarse en la ciudad
son el dorio y el frigio, puesto que poseen, por un lado, carácter grave y religioso y, por el otro,
un aspecto viril y guerrero. La admisión en la ciudad de estos dos únicos modos tendrá una
especial importancia en las concepciones de armonía, según veremos en la próxima sección.
Estas “armonías”, que estaban asociadas con un carácter moral, no eran “un simple aspecto de la
octava, cuyo reconocimiento fuera sólo posible por especialistas”; tampoco eran “una simple
transposición en la altura, noción esencial para el ejecutante, pero indiferente para el auditorio”.82
La descripción de esas harmoniai aparece seis siglos después, cuando seguramente ya no se
usaban más. Arístides Quintiliano las describe de dos maneras, por tonos y por intervalos, y las
escalas que describe “son escalas enarmónicas, irregulares con relación al sistema clásico, y sólo
a ellas puede y debe aplicarse lo dicho por Platón o posteriormente a propósito del ethos de los
modos”.83 Tales modos son los siguientes:
Lidio:
FIG. 25
La disposición de intervalos en el modo lidio es q, d, t, q, q, d, q (donde q=cuarto de tono,
d=ditono, t=tono; el signo + antes de la nota designa una alteración de un cuarto de tono). Esta
estructura abarca una octava completa.
Dorio:
81 J. Chailley, La musique grecque antique, pp. 107-8.82 Ibid., op. cit., p. 110.83 Ibid., op. cit.
FIG. 26
Los intervalos en el modo dorio tienen la estructura t, q, q, d, t, q, q, d, que abarca una octava más
un tono.
Frigio:
FIG. 27
El esquema de intervalos del modo frigio es: t, q, q, d, t, q, q, t. La estructura abarca una octava
completa, y la única diferencia respecto al dorio es el desplazamiento de su nota más alta.84
Hay otros tres modos en el texto mencionado de Platón: el jonio (también llamado iastio), el
mixolydio y el sintonolydio, pero que no importan para los propósitos de este trabajo; además,
excepto el mixolidio, los otros dos desaparecieron sin dejar ninguna huella. Sócrates está de
acuerdo en que permanezcan en la república únicamente dos modos, el dorio y el frigio; los
esquemas de intervalos son los siguientes: para el dorio, t s t t t s t t, y para el modo frigio, t s t t t
s t.
Una peculiaridad del modo frigio es que el patrón de tonos y semitonos es el mismo, ya sea que
se tome en sentido creciente, ya sea en decreciente:
FIG. 28
En lo que toca al modo dorio, podemos comprobar que los once tonos de la escala cromática
encontrados anteriormente y dispuestos en forma ascendente, corresponden precisamente a los
tonos que configuran el modo dorio; la escala recíproca del modo dorio es equivalente a nuestro
moderno modo mayor:
30 32 36 40 45 48 54 60
dorio La sib do Re Mi fa sol La
recíproco La sol# fa# Mi Re do# si La
Con esta breve excursión sobre los modos, podemos ahora concluir respecto a las nociones de
armonía y retomar el modelo del Timeo para establecer cómo el demiurgo establece la armonía
del universo.
84 Cf. Andrew Barker, Greek Musical Writings, v. I. The Musician and his Art, p. 165, y Jacques Chailley, op. cit., pp. 110-113.
La armonía del cosmos
En la última recomendación que hace Pitágoras a sus discípulos –que según dice Arístides
Quintiliano es: “trabajen el monocordio”– está expresada su convicción de que la música es un
fiel reflejo de la armonía del cosmos gracias al equilibrio de las proporciones. En consecuencia,
una lección del Timeo es que el conocimiento de la música conduce al conocimiento del cosmos;
por tanto, con el desarrollo de la noción de mesotes y de los números de la sagrada tetractys se
construye el sistema armónico que es la “imago mundi por excelencia”.85
Ya hemos hablado del carácter hermafrodita de la unidad divina; sin embargo, como al dios sólo
le es posible crear a través del principio femenino, tiene que dividirse para producir el número 2,
que en la alegoría de Platón corresponde a la matriz, al receptáculo. El número 2 corresponde a la
octava, que es la matriz de todos los tonos, pero que, no obstante, por sí misma es estéril, pues
sólo genera ciclos de esterilidad, círculos sin división, correspondientes a la multiplicación o
división por 2. Los tonos de la escala requieren de la presencia de los números masculinos 3 y 5.
Todos los enteros unidos por las razones generativas, dentro de una octava, son hermanos; sólo
con la presencia de estos números –dice Sócrates– la paternidad es segura, pues para los tonos
generados por otras razones, es decir, por afinaciones diferentes, es incierta. De allí que una de
las más importantes funciones de los legisladores sea la de arreglar matrimonios para conservar la
disposición de los intervalos. (República 459-460, Leyes. 773).
En las Leyes, por ejemplo, se especifica que el número primo 3 genera “ciudadanos de clase de la
más alta propiedad”, definidos por los intervalos de quinta, 2:3, y de cuarta, 3:4, los cuales son
las mayores subdivisiones de la octava. El número primo 5 produce “ciudadanos de clase de la
segunda más alta propiedad”, que son las terceras mayores, 4:5, y las terceras menores, 5:6, las
cuales subdividen los intervalos de quinta. El número primo 7 genera “ciudadanos de la clase de
la tercera más alta propiedad”, que son los tonos séptimos 6:7 y 7:8, y que son los que subdividen
el intervalo de cuarta. Aunque Sócrates no lo menciona, la opinión de McClain86 es que de allí se
deduce que los números primos mayores generan los ciudadanos de la clase de los esclavos.
Según Platón, (República 546a-d) toda aristocracia, incluso la mejor, degenera en el transcurso
del tiempo en una tiranía, a través de las etapas intermedias de timocracia, oligarquía y
85 J. Chailley, op. cit., p. 45.86 The Pythagorean Plato, p. 14.
democracia. De la misma manera, cualquier sistema armónico que use relaciones entre enteros (y
éste es el caso del sistema de Platón, que usa los primeros seis de la serie de los números
naturales) degenera, a menos que el número de tonos sea limitado. La degeneración consistiría en
la no concordancia entre series: la serie de quintas perfectas (2:3), por ejemplo, podría concordar
con la serie de la octava, (1:2), sólo si alguna potencia de 2 coincidiera con alguna de 3, lo cual
es, como hemos visto, una imposibilidad. De la misma manera, las terceras no pueden concordar
con las octavas o con las quintas.87 En la teoría platónica del Estado, ello se traduce en la
imposibilidad de fundar un Estado basado en modelos que carezcan de un principio interno de
regulación o de limitación.
La teoría política de Platón es tan rigurosamente musical como su teoría del universo o su
astronomía; no solamente la legislación está cimentada en un modelo matemático y musical, sino
también el sistema de los planetas. Vamos ahora a regresar al sistema planetario, tal como se
expresa en el Timeo, para mostrar la pertinencia del uso, en este campo, del modelo musical al
cual nos hemos referido.
Hemos visto que el demiurgo formó el mundo de materiales ya existentes; no insistiremos en
ello. Lo que importa para los propósitos es recordar la manera cómo formó las dos partes del
mundo, el alma y el cuerpo. El alma del mundo fue formada con la mezcla de lo Mismo y de lo
Otro: con lo Mismo, es decir, el ser que es invisible y que permanece siempre igual, y con lo
Otro, o sea, el ser transitorio y divisible, el artífice mezcló un tercer ingrediente, salido de lo
Mismo y de lo Otro, y combinó los tres en una forma única, “armonizando por fuerza con lo
Mismo la sustancia de lo Otro, que difícilmente se deja unir. Mezcló las dos primeras con la
tercera y de las tres hizo una sola”. (Timeo 35b) Con esta mezcla formó el alma del mundo, y lo
hizo distribuyéndola en varias porciones de acuerdo con los términos de una progresión
compleja, 1, 2, 3, 4, 9, 8, 27, que ya se analizó extensamente en las primeras secciones de este
trabajo. Esta progresión compleja está a su vez formada por dos progresiones geométricas
simples: una de razón 2 (1, 2, 4, 8) y una segunda de razón 3 (1, 3, 9, 27). En consecuencia, las
porciones del alma del mundo pertenecen a dos progresiones del tipo punto–línea–plano–sólido,
desarrolladas a partir de los números primos 2 y 3 (20, 21, 22, 23 y 30, 31, 32, 33). Las potencias
de 2 definen tres octavas consecutivas, mientras que las potencias de 3 definen tres doceavas
consecutivas, equivalentes a cuatro octavas, más una sexta mayor.
87 Dicho en otros términos, la concordancia ocurriría cuando las potencias de 2, de 3 y de 5 coincidieran; es decir, cuando 2p=3q=5r. Y ello sólo puede ocurrir cuando las potencias son iguales a cero, los cual nos genera la unidad, símbolo de Dios.
Lo que sigue en la descripción de Platón es la inserción de las medias aritmética y armónica. Los
enteros más pequeños que pueden representar estas medias en el intervalo de la octava son los
números de la llamada proporción musical, que se representa por 6:8::9:12. Es decir, las
porciones del Alma del Mundo introducida por Platón tienen que multiplicarse por seis para
evitar fracciones, como ya se estableció; por tanto, la serie de las triples comienza con 6:18, y sus
medias aparecen en la proporción 6:9::12:18. La media aritmética entre 6 y 18 es 12, siendo la
razón 6:12=1:2, una octava, y la razón 12:18=2:3, una quinta. De aquí que el número 9 funcione
como media armónica, invirtiendo de esta manera el orden interno de los intervalos, 6:9=2:3, una
quinta, y 9:18=1:2, una octava.
Después se tiene que llenar un intervalo de cuarta con tonos completos. Cuando Platón dice que
el intervalo de cuarta, 4:3, se llena con dos tonos enteros 9:8 y deja un resto, la leimma, establece
con ello la fórmula del tetracorde dórico, que es el siguiente:
FIG. 29
Para una progresión de este tipo, los enteros más pequeños que la cumplen son 192:216:243:256.
Para completar la octava es necesario añadir un segundo tetracorde, con la razón de quinta (3:2);
para ello se requiere multiplicar por 3/2. La serie completa será:
192 : 216 : 243 : 256 : 288 : 324 : 364.5 : 384
Como se deben evitar las fracciones a toda costa, se multiplican todos los elementos por dos; por
tanto, la serie de la octava con sus respectivos intervalos y tonos correspondientes, vista en ambos
sentidos, es la siguiente:
FIG. 30
Así, la progresión formada por las porciones del Alma del Mundo es tal que permite representar
la escala en la cual aparecen todos los tonos e intervalos de la música de las esferas (aunque aquí
nos hemos limitado al primer intervalo pero ya antes lo hicimos para la escala completa); pero
también es posible representarlos de acuerdo con lo sugerido por Crantor88 en su comentario al
Timeo: en forma de Λ, lambda mayúscula. Nicómaco, en la Introducción a la aritmética, (II, iii,
4) muestra una tabla triangular en la que de izquierda a derecha se presentan las potencias de 2,
mientras que las potencias de 3 están a lo largo de la hipotenusa del triángulo. La tabla de
Nicómaco es la siguiente:
88 Crantor fue un contemporáneo de Platón, miembro de la Academia. Fragmentos de su obra fueron publicados por Kayser a fines del siglo XIX.
1 2 4 8 16 32 64 128 256 512
3 6 12 24 48 96 192 384 768
9 18 36 72 144 288 576 1152
27 54 108 216 432 864 1728
81 162 324 648 1296 2592
243 486 972 1944 3888
729 1458 2916 5832
2187 4374 8748
6561 13122
19683
En las columnas verticales, las parejas de números aparecen de acuerdo con la razón 2:3, es decir,
son quintas perfectas. Esa disposición triangular de Nicómaco se puede transformar en la Λ por
medio de un simple giro de la tabla de manera que el número 1 quede situado en el vértice; la
siguiente figura muestra la disposición en forma de lambda:
FIG. 31
El resultado será entonces que los productos enteros de los primos 2 y 3 estarán dispuestos en
progresiones geométricas a lo largo de tres ejes: octavas, 1:2, a lo largo de la diagonal que va del
vértice hacia la izquierda; doceavas, es decir, triples, 1:3, a lo largo de la diagonal que va del
vértice hacia la derecha; y quintas, 2:3, a lo largo de las líneas horizontales. En esta disposición
lambda, la media aritmética de cualquier doble está inmediatamente a la derecha del número
menor, y la media armónica, inmediatamente a la izquierda del número mayor. Por ejemplo, la
media aritmética del intervalo 12:24 está a la derecha de 12 (o sea 18) y la media armónica, 16, a
la izquierda de 24. De la misma manera, la media aritmética de cualquier triple está a la izquierda
del mayor, y la media geométrica está a la derecha del menor. Por ejemplo, en el intervalo triple
6:18 la media aritmética será 12, y la armónica, 9. Esta tabla genera ya sea los enteros requeridos
para un tetracorde, ya sea para toda la escala, o incluso para toda la gama de términos obtenida
para la armonía de las esferas.
La siguiente acción del demiurgo fue hacer con la mencionada mezcla de los elementos
primordiales una división longitudinal, lo cual dio como resultado algo así como dos cintas, con
las cuales, “habiendo cruzado las dos mitades una sobre la otra, hizo coincidir sus puntos medios,
como una χ”. (Timeo 36b-c) Se puede pensar que la lambda previamente construida constituye la
mitad inferior de la χ a la que se refiere Platón; y como todos los números tienen, según su
concepción, significados recíprocos, la mitad superior de la χ será un reflejo de la inferior,
formada por sus recíprocos. La χ completa será, entonces:
FIG. 32
En la χ platónica está representado el movimiento oblicuo del sistema planetario con respecto a
las estrellas fijas: los planetas siguen un movimiento paralelo al plano de la eclíptica, mientras
que el círculo de las estrellas fijas es paralelo al ecuador. Así, el círculo de lo Mismo gira hacia la
izquierda, “siguiendo la diagonal de un paralelogramo”, como está establecido en el Timeo, e
incluye en él las potencias 2n, por lo cual solamente produce, como ya se había establecido,
ciclos de esterilidad, de acuerdo con la metáfora expresada por Sócrates en la República. El
círculo de lo Otro, formado por los triples (3n), las potencias de 3, se mueve hacia la derecha,
“siguiendo el lado del paralelogramo”, por medio de intervalos que, según se observan en la χ
anterior, son de quinta, de 3:2.
Cada desplazamiento hacia la derecha es una traslación aritmética que resulta de la multiplicación
por 3/2 y que equivale a una transposición musical de un intervalo de quinta. Así, si limitamos la
χ tres filas hacia arriba y tres hacia abajo de la unidad, comenzando con el término 127,
tendremos: 1/27; 1/27(3/2)=1/18; que es precisamente el término siguiente; 1/18(3/2)=1/12; y
1/12(3/2)=1/8. Si se establece una correspondencia entre este último término, que pertenece a las
potencias de 2 (2−3), con la nota La, el tono de referencia arbitrariamente elegido, entonces el
tono a la izquierda, a una quinta de distancia, será Mi, y el que sigue, también a una quinta, es Si,
y el último de la fila, a una quinta, es Fa.
En la siguiente fila el primer término es 1/9; el segundo es 1/6, igual al producto de 1/9(3/2) (es
decir, desplazado un intervalo de quinta); y el tercero es 1/4(=1/6(3/2)). Este último término, 1/4,
por ser también múltiplo de 2(2−2), es también La; por tanto, 1/6 corresponde a Mi, y 1/9 a Si. Si
hacemos la misma operación con las restantes filas de la χ el resultado es el siguiente:
FIG. 33
La diagonal que va de izquierda a derecha, la del círculo de lo Otro, incluye solamente octavas.
Al hacerlo girar “siguiendo la diagonal de un paralelogramo”, se generan las potencias de dos,
positivas y negativas, con lo cual se producen los ciclos de esterilidad. Al tomar la otra diagonal,
la del círculo de lo Mismo, la cual consiste en las potencias de tres y que define doceavas
musicales, y someterla a un desplazamiento hacia la derecha, también “siguiendo el lado de un
paralelogramo”, el resultado se muestra enseguida:
FIG. 34
Este movimiento se realiza a través de intervalos de quinta, 3:2, y cada desplazamiento equivale a
una multiplicación por 3/2, que deja el patrón original intacto.
El demiurgo decide posteriormente dividir el círculo interior, el círculo de lo Otro, en siete
círculos desiguales; con ello produce siete progresiones de octavas 2n, todas distintas entre sí. Ser
distintas quiere decir que están basadas en tonos o notas diferentes, y cada uno de ellos
corresponde al diámetro de la órbita (circular) de cada uno de los planetas.
Al dividir el círculo en siete partes, Platón asume implícitamente que la armonía del cosmos
puede describirse con una escala diatónica de siete tonos. Los siete círculos corresponden a los
intervalos dobles y triples, y esto en un doble sentido: “cada secuencia de octavas contiene los
significados recíprocos de los dobles 1:2:4:8, y las siete diferentes secuencias de octava
mantienen siempre entre ellas el significado recíproco de los intervalos triples, 1:3:9:27”.89 De
acuerdo con la χ representada por tonos, se tiene la serie La – Si – Mi – La – Re – Sol – Do.
Esta serie de notas constituye la escala diatónica que Platón asimila a la armonía celestial.
Finalmente, respecto a las velocidades de esos siete círculos internos, Platón menciona que el
demiurgo asignó a tres de los siete círculos velocidades similares, y a los otros cuatro, distintas,
por un lado, de la velocidad de los tres primeros y, por el otro, de las velocidades de cada uno de
los demás; sin embargo, cada una de tales velocidades debía estar siempre “de acuerdo con la
razón”. Si recordamos lo que hemos revisado anteriormente acerca de la teoría musical griega,
cada octava debe tener tres tonos fijos, los cuales funcionan como marco de los tetracordes (que
aquí hemos arbitrariamente asumido como La – Re, el primero, y Mi – La, el segundo, es decir, la
escala La — Re — Mi — La, correspondientes a los números de la proporción musical
6:8::9:12), y cuatro tonos móviles, dos en cada uno de los tetracordes, como se estableció al
hablar de los modos.
Para concluir, es importante discutir brevemente los modelos de ciudad que aparecen en la obra
de Platón, ya que, por todo lo anterior, existen suficientes indicios para asumir que con su
descripción expresa ideas acerca de los sistemas armónicos. Platón muestra al menos tres
89 E. McClain, The Pythagorean Plato, p. 60.
modelos de ciudad: en el Timeo esboza el retrato de una antigua Atenas, que habría sido
construida según las normas expresadas en los libros II-IV de la República; en el Critias aparece
una descripción más desarrollada de esa misma ciudad. La ciudad de la Atlántida también se
menciona en el Timeo, pero su descripción se encuentra en ese mismo diálogo inconcluso. En las
Leyes aparece una tercera ciudad, Magnesia. Vamos a revisar algunos pasajes donde se muestran
aspectos de esas ciudades, comenzando por la Antigua Atenas.
Platón establece que los dioses “se distribuyeron la tierra entera, por regiones y sin disputa”, ya
que este reparto fue realizado por Dike.90 Dos de estos dioses, Hefesto y Atenea, hermanos de
padre y que compartían su amor por la ciencia y el arte, también compartieron una misma porción
de tierra. Con sus descendientes,91 los dioses organizaron la ciudad, la cual contaba con una
acrópolis en el centro, situada en la cima de una colina; allí, “la periferia, incluso las pendientes
de la Acrópolis, estaban ocupadas por los artesanos y los agricultores [...] Pero sólo los guerreros
ocupaban la parte superior, separados del resto por una muralla”. (112b) En la acrópolis, las
habitaciones comunes de los guerreros estaban al norte, donde tenían refectorios para el invierno.
La parte sur estaba formada por “jardines, gimnasios y refectorios, que abandonaban en la
estación cálida. Había una fuente única que [...] daba a todos un agua generosa, igualmente sana
en invierno y en verano”. (112c-d) Finalmente, el número de tales guerreros, hombres y mujeres,
“que eran a la vez los guardianes de los conciudadanos y los jefes libremente aceptados por los
demás helenos”, se mantenía constante en “alrededor de veinte mil”.
De la descripción de la Antigua Atenas habría que señalar, primero, que fue generada por los
hijos gemelos de Zeus, y que Zeus, como antes se dijo, representa la unidad divina. Tales
gemelos, hembra y macho, corresponden a los números primos 2 y 3 respectivamente. Su
carácter de primos muestra que no tuvieron una madre generadora, pues, al ser divisibles sólo por
ellos mismos y por la unidad, son realmente una pluralidad de unos y, por ello, relacionados
directamente con Dios. Los números 2 y 3 y sus series producen tonos que caen en la misma serie
de octavas y de quintas; es decir, no hay posibilidades de cambios (con ellos se puede estar
seguro de la paternidad); ése tal vez sea el sentido del decir de Platón de que cada generación de
individuos dejaba otra igual a ella. En la Atlántida ya no se puede asegurar la permanencia de las
generaciones, como se verá.
No es una casualidad, por otro lado, que en la Antigua Atenas haya alrededor de veinte mil
90 Platón, Critias 109d.91 No se dice explícitamente en este diálogo que sean hijos de la pareja divina, aunque deja abierta la posibilidad;
sólo señala que son personas autóctonas.
ciudadanos calificados para formar el ejército, pues es un número que aparece en otras dos
ocasiones. Como se ha visto, hay dos formas de disponer las series numéricas desarrolladas: en
fila o en forma de lambda. En el primer caso, en la serie lineal, el límite superior era 20 736; en el
segundo, en la lambda, de 19 683. De allí que Platón tome un número intermedio, aunque sin
precisarlo.
Con este esquema, Platón ha construido con simplicidad y con elegancia un verdadero sistema
tonal; en esta ciudad, sus habitantes comparten mujeres, hijos y propiedades, y ello hace que los
cambios se eviten. En esta descripción se desarrolla el sistema de afinación llamado pitagórico,
en el cual intervienen los dos primeros números primos, 2 y 3. El 2, como se ha visto, crea la
matriz de la octava, de la cual nacen todos los demás tonos. Pero, por sí mismo, el 2 sólo puede
crear ciclos de esterilidad, octavas completas. Los tonos nuevos se introducen por medio del
número 3, número masculino divino. Con el 3, según vimos en la disposición lambda, obtenemos
la escala que corresponde al modo frigio, modo que tiene la característica de que su arreglo de
intervalos es el mismo tanto en sentido ascendente como en sentido descendente.
El número tres genera sólo siete tonos; sin embargo, aun cuando sean “ciudadanos de clase de la
más alta propiedad”, por una búsqueda de correspondencia con las doce constelaciones y los doce
meses lunares, se requiere dividir la escala en doce tonos. Y para ello se requiere introducir otro
número non, lo cual alegóricamente se realiza por medio de la construcción de la Atlántida.
Platón no está conforme con la Antigua Atenas; quiere una ciudad más unificada y mejor
gobernada; una ciudad que se limite a lo esencial.
En el Timeo, la Atlántida, región de Poseidón, aparece como una isla grande rodeada de otras
islas. Su disposición geográfica, la cual se describe en Critias, es bastante extraña: alrededor de
una colina, Poseidón construyó una serie de anillos concéntricos compuestos cada uno por una
elevación de tierra y un ancho y profundo canal. La isla central está formada por la montaña
donde Poseidón se unió a la mortal Clito; allí se construyó su templo. Esta isla está rodeada de
dos círculos de tierra y tres de agua. (Critias 113d) El diámetro de esa isla central es de cinco
estadios (unos tres mil pies);92 el primer canal tiene un estadio (600 pies) de ancho; después viene
una franja circular de tierra de dos estadios de ancho, seguida de un segundo canal de la misma
anchura. Finalmente, una segunda porción de tierra y un tercer canal, cada uno de tres estadios.
El último canal está a 50 estadios del océano.
92 A. Rivaud, en la introducción al Critias, señala que un estadio equivale aproximadamente a 180 metros. Como Platón habla también de pies como un submúltiplo del estadio, daré aquí las equivalencias en pies.
Toda esta disposición no es obra humana, sino de los dioses; a los reyes sólo les tocó completar el
trabajo. Una de sus acciones fue trazar un canal recto de tres pletros (la mitad de un estadio, o
sea, 300 pies) de ancho y cien pies de profundidad, el cual comunica el canal extremo con el
océano. Otra obra es un puente de cien pies de ancho, que comunica la isla central con el resto
del territorio. Edificaron también murallas revestidas de metal con propósitos defensivos.
Finalmente, construyeron una muralla circular, a cincuenta estadios del canal exterior, la cual
llegaba hasta el borde del océano; entre esa muralla y el canal se extendía toda la ciudad, “toda
cubierta de numerosas mansiones juntas unas con otras”. (117e) En la confluencia del canal recto
con los tres canales circulares se construyeron tres puertos, a los que llegaban barcos de todos los
países.
El templo de Poseidón y Clito y el palacio de los reyes estaban en el centro de la isla, en la
acrópolis. El templo, que estaba rodeado por un muro de oro, era rectangular, de razón 1:2, de un
estadio de largo y tres pletros de ancho; del palacio no se dan dimensiones, sólo se dice que “era
proporcional a la magnitud del imperio y a la riqueza de los ornamentos del santuario”. (117a) La
figura siguiente muestra de manera aproximada lo descrito en líneas anteriores.
FIG. 35
El resto del país tenía también una conformación extraña: es un territorio plano, oblongo y
rodeado de montañas. Sus medidas estaban en proporción 3:2 (tres mil estadios en el lado mayor
y dos mil en el menor). Todo el territorio estaba circundado (menos por el lado del océano) por
un canal de un estadio de ancho y un pletro de profundidad. La planicie entera estaba regada por
treinta canales paralelos, pero también existían canales oblicuos que tenían a la ciudad como
punto de convergencia. Todo el territorio se encontraba dividido en sesenta mil “distritos” de diez
por diez estadios.
Toda esta disposición espacial nos conduce a conclusiones de interés para una teoría musical.
Entre ellas podemos señalar, en primer lugar, que, a diferencia de la Antigua Atenas, donde
Hefesto y Atenea fueron generados directamente por Zeus, aquí interviene el principio femenino,
el número 2: Clito, que además era mortal. Esto, por un lado, permite generar más tonos (más
divisiones de la escala) pero, por otro, ya no se tiene control sobre esa generación. La isla central
contiene lo necesario para las razones contenidas en el número perfecto, el 6: el templo
proporciona los dos primeros enteros, 1 y 2; el diámetro de la isla es cinco estadios, es decir,
3000 pies; aquí están contenidos el tres y el cinco. El templo de Poseidón tiene la proporción de
la octava en la forma 300:600, cien veces la razón 3:6, que abarca las razones expresadas en la
alegoría del matrimonio 3:4:5:6. Ya se ha visto anteriormente de qué manera con el 2 y el 3 se
obtienen la octava, la quinta y la cuarta; también se vio más tarde que con la introducción del
cinco se tiene la posibilidad de dividir el intervalo de quinta en terceras mayores y menores (4:5 y
5:6). Es decir, con la presencia del cinco se llega a la escala cromática de doce tonos, aunque
desigualmente espaciados, y finalmente se obtiene el sistema de afinación justa.
La tercera ciudad platónica es Magnesia, de la cual se hace la descripción en las Leyes. Esta
ciudad se encuentra en el centro del país y algunos de sus aspectos son los siguientes:
El legislador debe dividir el país en 12 secciones. Pero antes debe reservar un área sagrada para Hestia, Zeus y Atenea (la que se llamará Acrópolis), y definir sus límites. Entonces dividirá la ciudad misma y el país entero en doce secciones por líneas radiantes que parten del punto central. Las doce secciones deben ser iguales en el sentido de que una sección debe ser más pequeña, si el suelo es bueno, o más grande si es pobre. El legislador debe entonces marcar cinco mil cuarenta porciones y después dividir cada una en dos partes; debe entonces hacer que una posesión individual consista en dos partes acopladas de modo que una esté cerca del centro, y la otra cercana a la frontera [...] debe dividir la ciudad en doce secciones de la misma manera como dividió el resto del país; y cada hombre debe tener dos casas, una cerca del centro de la ciudad, otra cerca del límite.93
El mapa de la ciudad de Magnesia y el mapa completo del “país” tendrían un aspecto similar al
que aparece en la figura a continuación: (la separación entre las franjas de tierra y de agua no es
proporcional; no hay, por otro lado, indicaciones sobre la orientación de los canales paralelos).
FIG. 36
Sin embargo, la aritmética pitagórica, que usa solamente números enteros y fracciones racionales,
no puede llegar a un mapa de estas características. Es fácil deducir de esta descripción, que las
líneas radiales definen doce semitonos cromáticos de igual temperamento; la octava se divide en
doce partes iguales, y cada una de ellas es el semitono, definido por el irracional 12√2. No sólo en
Magnesia, sino en todas las ciudades de Platón, los ciudadanos se representan por números
enteros, por lo que, si como dice Platón, el territorio debe dividirse “tan exactamente como sea
posible en doce secciones iguales”,94 el problema es ver qué tan cerca se puede lograr eso con
números racionales. Un intento de solución está en la presencia de un número que Platón
menciona repetidas veces: el número de propietarios, que debe mantenerse exactamente en 5 040.
Este número muestra precisamente la introducción del número siete, ése que se considera como
“padre de ciudadanos de la tercera mayor clase” y que produce los intervalos de séptima (6:7 y
7:8), que son los que subdividen el intervalo de cuarta, ya que 6/7(7/8)=3/4. (Otra vez,
93 Platón, Leyes 745.94 Ibid., 760.
recordemos que los números son logarítmicos, por lo cual la suma se realiza multiplicando las
fracciones que expresan los intervalos). El número 5 040 es el producto de los siete primeros
números, 1·2·3·4·5·6·7, o, dicho en términos aritméticos, factorial de 7 (7!); también es igual
24·32·5·7.
Aunque exista una mayor aproximación, Platón desconfía de la introducción tanto del cinco
como del siete. Ya hemos visto que sólo con el tres produce hijos sin variación, ya que es la
media aritmética entre la divina unidad y el dos, círculo sin división; es decir, es el hijo del 1 y el
2; este número tres tiene un hermano gemelo, que es la media complementaria de la aritmética, o
sea, la armónica.95 Cualquier otra división de la octava, por ejemplo, las que introducen el cinco o
el siete, hacen la paternidad incierta.
Habría dos aspectos más que señalar en este sentido, y son, en primer lugar, lo que dice Platón en
uno de los pasajes más oscuros de la República sobre las armonías que provienen del nacimiento
humano. Dice:
Para un nacimiento divino hay un período comprendido por un número perfecto; para un nacimiento humano, el número más pequeño en el cual ciertas multiplicaciones dominadoras y dominadas progresan en tres intervalos y cuatro términos, y llegan finalmente, por la vía de la semejanza o desemejanza, crecimiento o decrecimiento, a establecer entre todas las partes del conjunto una correspondencia racional expresable. Su base epitrita acoplada con el número cinco, si se multiplica tres veces, produce dos armonías. Una está hecha de un número igualmente igual, tomado cien veces, mientras que la otra está hecha en parte de factores iguales, en parte de factores desiguales, a saber de cien cuadrados de diagonales racionales de cinco, cada una disminuida por uno, o de cien cuadrados de diagonales de las diagonales irracionales, disminuidos por dos, y de cien cubos de tres. (546 b-c)
El número perfecto que interviene en el nacimiento divino es el primero de la serie de tales
números, que son perfectos porque son iguales a la suma de sus factores; en este caso se trata del
6 (=1+2+3); las razones de los seis primeros números naturales, como ya se estableció, definen
los tonos del modo dorio, uno de los dos modos admitidos por Platón. Cuando habla del
nacimiento humano, se refiere a una progresión geométrica, en la cual los “tres intervalos y
cuatro términos” son expresión de la serie x0:x1:x2:x3; en otras palabras, de la progresión
punto-línea-plano-sólido. Estos números producen tonos que pueden ser “semejantes o
desemejantes” por su función recíproca como múltiplos o submúltiplos, y crecen o decrecen
como tonos que suben o bajan.
La “base epitrita” antes mencionada podría ser 2:3 o 3:4; al estar acoplada con el cinco, indica
que se tiene que optar por la segunda posibilidad, de manera que se obtiene la serie 3:4:5. El
95 Si se evitan las fracciones, la octava 1:2 se convierte en 6:12, por lo que la media aritmética es 9, y la armónica es el 8. Con esto tenemos la proporción musical 6:8::9:12.
producto de estos tres números es 60. Al multiplicarla tres veces por sí misma, llegamos al
número soberano de Sócrates, 12 960 000 (60·60·60·60=604). Este número “produce dos
armonías” o, en otras palabras, se puede factorizar de dos maneras diferentes. Una es igual a un
número igual de veces, es decir, se trata de la multiplicación de un número por sí mismo, de un
cuadrado; la segunda es un oblongo. El número 604 es igual a 602·602, o sea, 3600·3600. Ésta es
la primera armonía. La segunda, oblonga, tiene como factores, en primer lugar, “cien cubos de
tres”, es decir, 100·27=2700. El segundo es “cien cuadrados de diagonales racionales de cinco
menos uno”. Esta oscura frase se refiere a la diagonal de un cuadrado de lado 5, que sería √50, el
cual es un número irracional. La diagonal racional sería √49 (=7), cuyo cuadrado menos uno es
48 (igual al cuadrado de la diagonal irracional, √50, menos dos). El oblongo, por tanto, tiene
como lados 4800 y 2700, cuyo producto, otra vez, es el número soberano de Sócrates.
Es importante aquí destacar, de estos números, el 27, cubo de tres, generador de los siete tonos
que constituyen el modo dorio, como se ha visto anteriormente:
30 31 32 33
ascendente La Mi Si Fa
descendente La Re Sol Do
El segundo aspecto es el hecho de que, también en la República, Sócrates menciona cinco tipos
de gobierno: el real, el timocrático, el oligárquico, el democrático y el tiránico. Con este artificio,
Platón va a producir una aproximación a la división de la octava en proporción geométrica, es
decir, en dos partes iguales, división que realmente cae en √2. En este diálogo, Sócrates pide a
Glaucón que le diga cuál es el gobernante más feliz y cuál es el orden creciente de grados de
infelicidad. La respuesta de Glaucón es que el rey es el más feliz y el tirano el más infeliz,
siguiendo el mismo orden en que le fueron presentados; desde esta perspectiva, al tirano le
correspondería en nivel cinco de infelicidad. Pero Sócrates dice que “el tirano está alejado del
verdadero placer por un número que es tres veces tres”. La explicación es la siguiente: “el
fantasma del placer con el cual cohabita el tirano está tres veces más alejado de la verdad que el
fantasma del placer del que huye el hombre oligárquico [...] A su vez, el oligarca está en un tercer
grado respecto del hombre real”. (República 587) La distancia total será 9, el producto de las dos
distancias parciales.
Sócrates pide, al decir esto, que interpretemos los números como lineales y como planos, de
manera que, si al rey le corresponde el uno, al timócrata le corresponderá el 2, al oligarca el 3
(que ahora ya no es lineal sino plano, 3·1), al demócrata el 6 (3·2) y al tirano el 9 (3·3), porque “el
fantasma del placer del tirano, considerado según su longitud, puede ser expresado por un
número plano”. Finalmente, dice Platón: “y si se quiere saber a qué distancia está el rey del tirano
en cuanto a la realidad del placer, se encontrará, hecha la multiplicación, que el rey es 729 veces
más feliz, y que el tirano es más infeliz en la misma proporción”. Esto significa que, si el
fantasma del placer del tirano es un número plano, la realidad del placer, que es 729, es un
número sólido, equivalente a 93. Si entendemos el número 9 como expresión del tono completo
(9:8), el cubo de este intervalo, considerado como fracción, es (9/8)3=1.4238, una aproximación
bastante aceptable a √2=1.4142, punto medio geométrico del intervalo de octava.
Hay muchos más indicios de que el juego numérico introducido por Platón en sus diálogos no es
un capricho o una broma sólo para iniciados. No es posible aquí, entre otras razones por falta de
competencia, seguir el complejo desarrollo, pero lo que sí puede asegurarse es que, tanto en la
República como en las Leyes, está expresada una lección y es la siguiente: que el estudio de la
música lleva también al conocimiento de la sociedad humana y, por tanto, a su regulación. Una
teoría de la armonía que pretenda ser general, tiene que ser capaz de resolver los conflictos entre
sistemas irreconciliables –sea del sol y los planetas, de intervalos de octava e intervalos de quinta,
o de los miembros de una res publica. Esta armonización es de importancia vital para que el caos
sea derrotado. Así, pues, “lo que el demiurgo ha mostrado como posible en los cielos, lo que los
músicos muestran como posible en los tonos, el filósofo debe empeñarse en hacer posible en la
vida política”.96
El demiurgo construyó el universo a imagen del sistema musical, y para ello impuso sobre el caos
original los intervalos que provienen de los cuatro números de la tetractys. Pero, aunque el Timeo
parece tener como finalidad la explicación del cosmos, tal vez debíamos pensar, junto con
Rivaud,97 que “es el hombre lo que queda en el centro de los estudios de Platón; todas las
ciencias, incluso las más abstractas, se subordinan a la ciencia del hombre”. En este sentido, la
noción de proporción opera plenamente no sólo en la música, no sólo en la astronomía, sino que
se extiende a la política y a la moral.
96 A. Rivaud, op. cit.,, p., 14.97 Ibid, op. cit., p. 11.
Referencias
APULEYO, “Sobre el dios de Sócrates = Apulée, “Du dieu de Socrate”, en Opuscules
Philosophiques, (traducción de Jean Beaujeu) París: Société d’Édition “Les Belles Lettres”, 1973.
ARISTÓTELES, Metafísica = Aristotle, The Metaphysics (2 v.), (traducción de H. Tredennick)
The Loeb Classical Library, Cambridge: Harvard University Press, 1961-1969.
J. MURRAY BARBOUR, Tuning and Temperament. A Historical Survey, Nueva York: Da Capo
Press, 1972. [Michigan State College Press, 1951]
Andrew BARKER, Greek Musical Writings, v. i, The Musician and his Art, Cambridge
University Press, 1987. [1984]
Edgar DE BRUYNE, Historia de la estética (2 v.), Madrid: Biblioteca de Autores Cristianos,
1963.
Jacques CHAILLEY, La musique grecque antique, París: Societé d’Édition “Les Belles Lettres”,
1979.
Frederick COPLESTON, Historia de la filosofía, v. I. Grecia y Roma, Barcelona: Ariel, 1983.
A. C. CROMBIE, Historia de la ciencia. De san Agustín a Galileo (v. I, siglos V-XIII; v. II, siglos
XIII-XVII), Madrid: Alianza Universidad, 1980. [1959]
I. M. CROMBIE, Análisis de las doctrinas de Platón (v. I, El hombre y la sociedad, v. II, Teoría
del conocimiento y de la naturaleza), Madrid: Alianza Universidad, 1979. [1962].
Auguste DIÈS, “Introduction”, en Platon, Oeuvres Complètes, t. X, Timée-Critias, (traducción
de Albert Rivaud) París: Societé d’Édition “Les Belles Lettres”, 1970 [1925]
EUCLIDES, Elementos de geometría = The Thirteen Books of Euclid’s Elements, traducción de
Th. Heath, Greatest Books of the Western World, v. 11, Encyclopaedia Britannica, 1989.
Benjamin FARRINGTON, Ciencia griega, Barcelona: Icaria, 1979. [1944]
Jean FURSTENBERG, Les sources de la création artistique, Mónaco: Éditions du Rocher, 1961.
Matila C. GHYKA, El número de oro (v. I, Los ritmos, v. II, Los ritos), Barcelona: Poseidón,
1978. [1931]
Matila C. GHYKA, Estética de las proporciones en la naturaleza y en las artes, Barcelona:
Poseidón, 1977.
W. K. C. GUTHRIE, Historia de la filosofía griega, Madrid: Gredos, 1984.
JAMBLICO, On Nicomachu’s Introduction to Arithmetics, (fragmentos), (traducción de I.
Thomas), Greek Mathematical Works, v. I, The Loeb Classical Library, Harvard University Press,
1968.
C. S. LEWIS, La imagen del mundo. Introducción a la literatura medieval y renacentista,
Barcelona: Antoni Bosh, 1980.
Macody LUND, Ad Quadratum, París: Albert Morancé, 1921.
Ernest MCCLAIN, The Myth of Invariance. The Origin of the Gods, Mathematics and Music
from the Rg Veda to Plato, York Beach (Maine): Nicolas-Hays, 1984. [1976]
Ernest MCCLAIN, The Pythagorean Plato. Prelude to the Song Itself, York Beach (Maine):
Nicolas-Hays, 1984. [1978]
Nicómaco DE GERASA = Nicomachus of Gerasa, Introduction to Arithmetics, traducción de M.
L. D’Ooge, Greatest Books of the Western World, v. 11, Encyclopaedia Britannica, 1989.
Otto NEUGEBAUER, The Exact Sciences in Antiquity, Providence: Brown University Press,
1970. [1936]
PLATÓN, Critias = Platon, Oeuvres Complètes, t. X, Timée-Critias, (trad. de Albert Rivaud)
París: Societé d’Édition “Les Belles Lettres”, 1970. [1925]
PLATÓN, Leyes = Plato, Laws, (2 v), (trad. de R. G. Bury) The Loeb Classical Library,
Cambridge: Harvard University Press, 1968. Edición francesa: Platon, Oeuvres Complètes, t.
XI-XII, Les Lois, (trad. de E. des Places y A. Diès) París: Societé d’Édition “Les Belles Lettres”,
1976.
PLATÓN, La República = Plato, The Republic (2 v), (trad. de P. Shorey) The Loeb Classical
Library, Cambridge: Harvard University Press, 1969-1970. Edición francesa: Plato, Oeuvres
Complètes, t. VI-VII-VIII, La République, (traducción de É. Chambry) París: Societé d’Édition
“Les Belles Lettres”, 1970-1973-1975. [1932]
PLATÓN, Timeo = Plato, Timaeus, The Loeb Classical Library, Cambridge: Harvard University
Press, 1966. Edición francesa: Platon, Oeuvres Complètes, t. X, Timée-Critias, (trad. de Albert
Rivaud) París: Societé d’Édition “Les Belles Lettres”, 1970. [1925]
PORFIRIO, Comentario sobre la armonía de Ptolomeo (fragmentos), Greek Mathematical
Works, v. I, The Loeb Classical Library, Cambridge: Harvard University Press, 1967.
Théodore REINACH, La musique grecque, París: Payot (Éditions d’aujourd’hui), 1975. [1926]
Abel REY, La madurez del pensamiento científico en Grecia, México: UTEHA, 1961.
Abel REY, El apogeo de la ciencia técnica griega, México: UTEHA, 1962.
Georges SARTON, Historia de la ciencia (4 v.), Buenos Aires: EUDEBA, 1970. [1952]
René TATON (ed.), Historia general de las ciencias. v. I, La ciencia antigua y medieval,
Barcelona: Destino, 1971. [1966]
VITRUVIUS, On Architecture, (trad. de F. Granger) The Loeb Classical Library, Cambridge:
Harvard University Press, 1970.
Top Related