Propagación, radiación y dispersión de Ondas Electromagnéticas
Curso 2009-2010
1
1Grupo de RadiaciGrupo de Radiacióón. Dpto. SSRn. Dpto. SSR
MMÉÉTODOS GEOMTODOS GEOMÉÉTRICOS DE ALTA TRICOS DE ALTA FRECUENCIAFRECUENCIA
ÓÓPTICA GEOMPTICA GEOMÉÉTRICA (GO)TRICA (GO)TEORTEORÍÍA GEOMA GEOMÉÉTRICA DE LA DIFRACCITRICA DE LA DIFRACCIÓÓN (GTD)N (GTD)TEORTEORÍÍA UNIFORME DE LA DIFRACCIA UNIFORME DE LA DIFRACCIÓÓN (UTD)N (UTD)
2Grupo de RadiaciGrupo de Radiacióón. Dpto. SSRn. Dpto. SSR
BIBLIOGRAFBIBLIOGRAFÍÍAA
1. D. A. McNamara, C.W. I. Pistorius and J.A.G. Malherbe, “lntroducrion to the Uniform
Geometrical Theory of Diffraction”. Artech House, Notwood, MA, 1990
2. C.A. Balanis,”Advanced Engineering Electromagnetics”, John Wiley & Sons. 1989.
Cap 5 y 13.
3. J. B. Keller, "The geometrical theory of diffraction“, Proceedings of the Symposium on
Microwave Optics, Eaton Electronics Research Laboratory, McGill University,
Montreal, Canada (June, 1953).
4. J. B. Keller, “Geometrical Theory of Diffraction”. Journal of the Optical Society of
America, Vol 52, nº2., Feb 1962, pp 116-130.
5. R. G. Kouyoumjian, P. H. Pathak, ”A uniform geometrical theory of diffraction for an
edge in a perfectly conducting surface”. IEEE, Proceedings, vol. 62, Nov. 1974, p.
1448-1461.
Propagación, radiación y dispersión de Ondas Electromagnéticas
Curso 2009-2010
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3Grupo de RadiaciGrupo de Radiacióón. Dpto. SSRn. Dpto. SSR
MMÉÉTODOS GEOMTODOS GEOMÉÉTRICOS DE ALTA TRICOS DE ALTA FRECUENCIAFRECUENCIA
1.1.-- INTRODUCCIINTRODUCCIÓÓNN
2.2.-- ÓÓPTICA GEOMPTICA GEOMÉÉTRICA (GO)TRICA (GO)
3.3.-- TEORTEORÍÍA GEOMA GEOMÉÉTRICA DE LA DIFRACCITRICA DE LA DIFRACCIÓÓN (GTD)N (GTD)
4.4.-- TEORTEORÍÍA UNIFORME DE LA DIFRACCIA UNIFORME DE LA DIFRACCIÓÓN (UTD)N (UTD)
5.5.-- APLICACIAPLICACIÓÓN A RADIACIN A RADIACIÓÓN Y DISPERSIN Y DISPERSIÓÓNN
4Grupo de RadiaciGrupo de Radiacióón. Dpto. SSRn. Dpto. SSR
1.1.-- INTRODUCCIINTRODUCCIÓÓNN
•Aplicables cuando
•En alta frecuencia, reflexión y difracción son fenómenos locales.
•La propagación de los campos se modela mediante rayos, introduciendo
las correcciones de amplitud, fase y polarización oportunas.
•Los campos reflejados y difractados son función únicamente de la
geometría local del problema en el punto de reflexión o difracción y del
campo incidente.
•La amplitud de los campos reflejados y difractados se calcula con
ayuda de coeficientes de reflexión y difracción, obtenidos para
problemas canónicos.
β → ∞
Propagación, radiación y dispersión de Ondas Electromagnéticas
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3
5Grupo de RadiaciGrupo de Radiacióón. Dpto. SSRn. Dpto. SSR
2.2.-- ÓÓPTICA GEOMPTICA GEOMÉÉTRICATRICA
•Incluye campo incidente, reflejado y transmitido.
•No predice correctamente el campo.
•La ecuación eikonal (frente de fase) y la dirección de los rayos(perpendiculares al frente de fase) se obtienen aplicando las ecuaciones de Maxwell.
•Corrección de amplitud: Se basa en la conservación de la energía en un tubo de rayos.
•Problema canónico (R,T) : incidencia sobre una superficie plana indefinida.
•La polarización correcta de los campos reflejado y transmitido se obtiene modelando R y T como diádicos.
6Grupo de RadiaciGrupo de Radiacióón. Dpto. SSRn. Dpto. SSR
GO.GO.-- ESPECIFICACIESPECIFICACIÓÓN DEL RAYON DEL RAYO
•Expresión del campo monocromático de Luneberg-Kline (IL sin cargas)::
•Aplicando las ecuaciones de Maxwell, para alta frecuencia con
y la ecuación de onda:
queda:
( ))(
0
)()( rjk
m
mm ej
rErE
rrr
rr Ψ−∞
=∑≈
ω
( )( ) 0)(
0)(
0)(,
0)(,
0 =⋅∇
=⋅∇
=+×∇
=−×∇
rH
rE
rHjrE
rEjrHrr
rr
rrrr
rrrr
ωµω
ωεω
( ) εµωω 0222 0)(, ==+∆ krEkrE
rrrr
tje ω
( )( ) 0
0
0
0
00
00
=⋅Ψ∇
=⋅Ψ∇
−=×Ψ∇
=×Ψ∇
H
E
EHZ
HEYr
r
rr
rr
( ) ( ) 1000 =Ψ∇⇒=Ψ∇⋅Ψ∇−Ψ∇⋅Ψ∇ EEErrr
( ) ( ) 02 02
0 =Ψ∇+∇⋅Ψ∇ EErr
( ) 02
0 =Ψ∇⋅∇ Er
[ ] ( )Ψ∇=× ∗ 2
0Re EYHErrr
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7Grupo de RadiaciGrupo de Radiacióón. Dpto. SSRn. Dpto. SSR
GO.GO.-- ECUACIECUACIÓÓN EIKONAL: N EIKONAL: L(rL(r))
• Los campos de GO:
• La ecuación eikonal (frente de onda) :
• La dirección de los rayos (ortogonales a L) :
• La distancia óptica a lo largo del rayo :
r r r r r
E r E r e j L r( ) ( ) ( )= −0
β
∇ ⋅∇ = =L r L r n r r( ) ( )r r 2 µ ε
$( )
sL r
n=
∇r
L P L P ndsP
P
( ) ( )2 1
1
2
− = ∫$s
dr
ds=
r
Estacionaria
)()( rkrLrr Ψ=β
O
$srr s( ) r
r s s( )+ δ
rdrrr +r
r
02
2
=ds
rdr
8
GO.GO.-- CONSERVACICONSERVACIÓÓN DE LA ENERGN DE LA ENERGÍÍAA
• La energía se conserva en un tubo de rayos:
• y son los radios de curvatura principales del frente de onda
Grupo de RadiaciGrupo de Radiacióón. Dpto. SSRn. Dpto. SSR
0)̂(2
0 =⋅∇ sEr
E dS E dS1
2
1 2
2
2=
E
E
dS
dS
d d
s d s d s s
2
2
1
21
2
1 2
1 2
1 2
1 2
= =+ +
=+ +
ρ θρ φρ θ ρ φ
ρ ρρ ρ( ) ( ) ( )( )
E s Es s2 11 2
1 2
0( ) ( )( )( )
=+ +
ρ ρρ ρ
ρ1 ρ2
ρ1
ρ20=s
dφdθ
$s
ρss =
2ρ−=s
1ρ−=s ρ1
ρ20=s
dφdθ
$s
ρss =
2ρ−=s
1ρ−=s
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9Grupo de RadiaciGrupo de Radiacióón. Dpto. SSRn. Dpto. SSR
GO.GO.-- RADIOS DE CURVATURA DEL FRENTE DE ONDARADIOS DE CURVATURA DEL FRENTE DE ONDA
• Método de Deschamps
•Frente de fase en P0 :
•Frente de fase en P’0 :
•Radios:
•Frente esférico:
•Frente cilíndrico:
•Frente plano:
s a a'= − +
1
2
1 1
112
222
ρ ρ
ssa
sa'
( ) ( )= −
++
+
1
2
1 1
112
222
ρ ρ
s a QaT
a'=−1
2
Q la
s
s
( )( )
( )=
+
+
1
1
1
2
0
0
ρ
ρ
s b QbT
b'=−1
2a Gb=
ρ ρ1 2= = R
ρ ρ1 2= = ∞R
ρ ρ1 2= ∞ = ∞
( ) ( )1 1
24
1211 22 11 22
2
122
ρ ,= + ± − +
Q Q Q Q Q
10Grupo de RadiaciGrupo de Radiacióón. Dpto. SSRn. Dpto. SSR
GO.GO.-- CORRECCICORRECCIÓÓN DE FASEN DE FASE
• El campo de GO es:
•El frente de fase se puede modelar como:
•Asi:
r rE s E s e j L s( ) ( ) ( )= −
0β
L s L s( ) ( )= +0
( )( )sjLj e
sseEsE ββ
ρρρρ −−
++=
21
21)0(0 )0()(rr
0
ρ1
ρ20=s
dφdθ
$s
ρss =
2ρ−=s
1ρ−=s ρ1
ρ20=s
dφdθ
$s
ρss =
2ρ−=s
1ρ−=s
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11Grupo de RadiaciGrupo de Radiacióón. Dpto. SSRn. Dpto. SSR
GO.GO.-- REFLEXIREFLEXIÓÓN Y TRANSMISIN Y TRANSMISIÓÓN. N. R y TR y T
• Problema canónico: Onda plana incidiendo en interfaz plano infinito
Polarización E: E al plano de incidencia (normal+d. propagación)r r
E E e yi
j ri= −0
$
$β
r r
E E R e yr
e j rr= −0
$
$β
r r
E E T e yt
e j rt= −0
$
$β
R e i t
i t
=−+
η θ η θη θ η θ2 1
2 1
cos cos
cos cos
θ θi r=
β θ β θ1 2sin sini t=
T e i
i t
=+
2 2
2 1
η θη θ η θ
cos
cos cos
rHi
rEr
rEi
rEt
rHt
rHr
$βt
$βr
$βi
θi
θr θtµ ε1 1
µ ε2 2
$x
$y
$z
12Grupo de RadiaciGrupo de Radiacióón. Dpto. SSRn. Dpto. SSR
GO.GO.-- PROBLEMA CANPROBLEMA CANÓÓNICO. R y TNICO. R y T
Polarización H: H al plano de incidencia (normal+d. propagación)
Rm i t
t i
=−+
η θ η θη θ η θ1 2
2 1
cos cos
cos cos
θ θi r=
β θ β θ1 2sin sini t=
it
imTθηθη
θηcoscos
cos2
12
2
+=
( )r r
H E e yi
j ri= −0 1η β$
$
( )r r
H E T e yt
m j rt= −0 2η β$
$
( )r r
H E R e yr
m j rr= −0 1η β$
$
rEr
rEi r
Hi
rEt
rHt
rHr
$βt
$βr
$βi
θt
µ ε1 1
µ ε2 2
$x
$y $zθi
θr
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13Grupo de RadiaciGrupo de Radiacióón. Dpto. SSRn. Dpto. SSR
GO.GO.-- POLARIZACIPOLARIZACIÓÓN. DIN. DIÁÁDICOS DE TRANSMISIDICOS DE TRANSMISIÓÓN Y N Y REFLEXIREFLEXIÓÓNN
•Conductor perfecto:
•Los campos se pueden poner como:
R
R
e
m
= −
=
1
1
r rE REr i=
r rE TEt i=
$p
( )rE i t pi
$, $, $ ( )rE r t qr
$, $, $ ( )rE u t ot
$, $, $
E
E
R
R
E
E
r
t
r
q
e
m
i
t
i
p
=
0
0
( )$ $ $ $ $r i n i n= − ⋅2
$q
$t
$o
$u
$r
$i
θt
µ ε1 1
µ ε2 2
$x
$y
$z
$t
$t
θi
θr
rnin
rnin
ˆˆˆˆ
ˆˆˆˆ
×=×
⋅−=⋅
14Grupo de RadiaciGrupo de Radiacióón. Dpto. SSRn. Dpto. SSR
GO.GO.-- CAMPOS INCIDENTE Y REFLEJADOCAMPOS INCIDENTE Y REFLEJADO
•Campo incidente:
•Campo reflejado:
•Problema localmente plano en Qr
•Se usan los diádicos R y T
•Los radios de curvatura del frente
reflejado dependen de los radios de
curvatura del frente incidente y de
la superficie S en Qr.
( )( )r rE s E
s se ei
i
i
i i
i i i i
j s j n mi
( ) ( )( )
=+ +
− −
01 2
1 2
20ρ ρ
ρ ρβ
π
( )( )r rE s E Q R
s ser
r
i r
r r
r r r r
j sr
( ) ( )=+ +
−ρ ρρ ρ
β1 2
1 2
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15Grupo de RadiaciGrupo de Radiacióón. Dpto. SSRn. Dpto. SSR
GO.GO.-- RADIOS DE CURVATURA DEL FRENTE REFLEJADORADIOS DE CURVATURA DEL FRENTE REFLEJADO
• Se representan los puntos de S en el sistema como:
•La matriz que representa la forma cuadrática del frente reflejado será:
donde los términos en Q, representan la curvatura
del frente incidente.
( )$ , $ , $d d n1 2
[ ]rd d d d d d d
C C
C C
d
dn= + −
1 1 2 2 1 2
11 12
21 22
1
2
1
2$ $ $
QC Q C Q
C Q C Qr =+ −
− +
2 2
2 211 11 12 12
12 12 22 22
cos
sec
θθ
θi θr
$i$r
$n
$d1$d2
16Grupo de RadiaciGrupo de Radiacióón. Dpto. SSRn. Dpto. SSR
GO.GO.-- RADIOS DE CURVATURA DEL FRENTE REFLEJADORADIOS DE CURVATURA DEL FRENTE REFLEJADO
• Caso 2D:
•Caso 3D:
Frente incidente esférico:
( ) ( ) ( )1 1 2
0ρ ρ θr
r
i
r r iQ Q a Q= +
cos
1 1 1
1 1 1ρ ρr i f= +
1 1 1
2 2 2ρ ρr i f= +
ρ ρ1 2i i is= = f
sin
a
sin
a
sin
a
sin
a a ai i
12
22
1
21
22
22
1
21
2
2
1 2
1 1 4, cos cos= +
± +
−
θθ θ
θθ θ
$ cos $ cos cos $ $X sin U U sin ni
i i i1 1 2= − + +θ α θ α θ$ cos $ $X U sin Ui
2 1 2= +α α
sin sin
sin sin
i
21
2 2 2
22
2 2 2
θ α α θ
θ α α θ
= +
= +
cos cos
cos cos
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17Grupo de RadiaciGrupo de Radiacióón. Dpto. SSRn. Dpto. SSR
GO.GO.-- CORRIENTES SUPERFICIALES DE CORRIENTES SUPERFICIALES DE GOGO
•La densidad de corriente superficial en Qr (S) es:
•La contribución de los campos de GO es:
•Por la continuidad de los campos en la interfaz:
•Como en GO las ondas localmente son TEM ( , ):
•Por lo tanto:
r rJ Q n HQs r r( ) $ ( )= ×
[ ]r r rJ Q n H Q H Qgo r i r r r( ) $ ( ) ( )= × +
[ ]$ ( ) ( )n H Q H Qi r r r⋅ + =r r
0
[ ]$ ( ) ( )n E Q E Qi r r r× + =r r
0
r rE H ii i⊥ ⊥ $
r rE H rr r⊥ ⊥ $
( ) ( )$ $ ( ) $ $ ( )n i H Q n r H Qi r r r× × = − × ×r r
$ ( ) $ ( )n H Q n H Qi r r r× = ×r r
r rJ Q n H Qgo r i r( ) $ ( )= ×2
( )( ) rr
ii
EHrZ
EHiZrr
rr
−=×
−=×
ˆ
ˆ
rnin
rnin
ˆˆˆˆ
ˆˆˆˆ
×=×
⋅−=⋅
18Grupo de RadiaciGrupo de Radiacióón. Dpto. SSRn. Dpto. SSR
GO.GO.-- DISCONTINUIDADESDISCONTINUIDADES
•Campo incidente:
•Cáusticas•Fronteras de sombra de Ei (ISB)•Ausencia de Jgo tras ISB
•Campo reflejado:•Cáusticas. Tubo astigmático•Fronteras de sombra de Er (RSB)
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19Grupo de RadiaciGrupo de Radiacióón. Dpto. SSRn. Dpto. SSR
GO.GO.-- EJEMPLOS. EJEMPLOS. EiEi
FUENTE LINEAL ELÉCTRICA Y MAGNÉTICA
•Campo incidente cilíndrico. Campo de GO (sólo términos en m=0)
•Campo dual en la fuente magnética
( ) ( )( )Ek I
H kz
e
ρωε
ρ=− 2
02
4
( )( )ρ
πρρπ jk
j eekkH
−
≈ 420 /2
( )E ZIke
ez
e jjk
ρπ ρ
π ρ
=−
84
y
20Grupo de RadiaciGrupo de Radiacióón. Dpto. SSRn. Dpto. SSR
GO.GO.-- EJEMPLOS. EJEMPLOS. EiEi
DIPOLO CORTO. Campo incidente lejano esférico y de GO.
•Campo cercano óptico.
•Comparación con serie de potencias
( ) ( )E A e
j r j rr
jkr= +
−0 2
2
2 3
2 2νω
ν
ωθcos
( ) ( )E A e
r j r j rsinjkr
θ
νω
ν
ωθ= + +
−0 2
2
2 3
1
E φ = 0
L r r( $) =rE A
rr A
sin
r1 0 2 0 2
2= +
ν θ ν θθ
cos$ $
rE A
rr A
sin
r2 0
2
3 0
2
2
2= +
ν θ ν θθ
cos$ $
rE
A
rsin0
0= θθ$
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21Grupo de RadiaciGrupo de Radiacióón. Dpto. SSRn. Dpto. SSR
GO.GO.-- EJEMPLOS. EJEMPLOS. EiEi
BOCINA CÓNICA LISA. Campo incidente lejano esférico y de GO.
•Campo cercano óptico.
•Comparación con serie de potencias
( ) ( )[ ]rE r A sin B
e
r
jkr
( , , ) $ cos $θ φ θ φθ θ φφ= +−
( ) ( )[ ]rE A sin B
r0
1= +θ φθ θ φφ$ cos $
L r r( , , )θ φ =
BOCINA PIRAMIDALES ( ) ( )A Bθ φ θ φ, ; ,
BOCINAS POTTER
BOCINAS CORRUGADAS
( ) ( )A Bθ θ=
( ) ( )A Bθ θ=
22Grupo de RadiaciGrupo de Radiacióón. Dpto. SSRn. Dpto. SSR
GO.GO.-- EJEMPLOS. EJEMPLOS. ErEr EN 2DEN 2D
• Modo TM (soft polarization):
• Modo TE (hard polarization):
rE n ii⊥ ( $ , $)
( )r rE P E Q s ez
r
z
i
r
r r r jksr( ) ( ) /= − + −ρ ρrH n ii⊥ ( $ , $)
( )r rH P H Q s ez
r
z
i
r
r r r jksr( ) ( ) /= + −ρ ρ
( ) ( ) ( )1 1 2
0ρ ρ θr
r
i
r r iQ Q a Q= +
cos
Ie
Im
$z
$y$x
$z
$y$x
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23Grupo de RadiaciGrupo de Radiacióón. Dpto. SSRn. Dpto. SSR
GO.GO.-- EJEMPLOS. EJEMPLOS. ErEr EN 2DEN 2D
CILINDRO CIRCULAR CONDUCTOR (TE). CAMPO LEJANO
$ $ $ cos $ $s s s x sin yr= = = +0 φ φ( ) )ˆsinˆ(cos yxar rr γγγ +=r
( ) yaxar rr ˆcosˆsin' γγγ +−=r
( ) ( )( ) yx
r
rt rr ˆcosˆsin
''
ˆ γγγγ
γ +−== r
r
( ) yxn rr ˆsinˆcosˆ γγγ +=
( )( ) ( )
$co s $ $
co ss
a b x a sin y
a b a s in
i r r
r r
=− +
− +
γ γ
γ γ2 2
$ $co s
c o sn s
a b
a b a b
i r
r
⋅ =−
+ −
γ
γ2 2 2
( )$ $ c o sn s r r⋅ = −φ γ
$ $ $ $n s n si r⋅ = − ⋅
•Geometría: Punto especular Qr:
24Grupo de RadiaciGrupo de Radiacióón. Dpto. SSRn. Dpto. SSR
GO.GO.-- EJEMPLOS. EJEMPLOS. ErEr EN 2DEN 2D
•Cáustica en reflexión:
•Campo directo en el pto de observación P:
•Campo incidente en Qr:
•Campo reflejado en P:
( ) ( ) ( )1 1 2
0ρ ρ θr
r
i
r r iQ Q a Q= +
cos
( )ρ γi
r
i
rQ s a b a b= = + −2 2 2 c o s c o s c o s ( )θ φ γi r= −( )a Q ar0 =
s s b0 = − cosφ ( )s s ar
r= − −cos φ γ1 10s s
≈ ( )U s U ee
sz
i jk b
jk s
, c o sφ φ=−
0
( )U Q Ue
sz
i
r
jk s
i
i
=−
0
( )U s R Ue
se
sz
r
s h
jk s
i
j k s
r
r r
i
r
, ,φρ
ρ=
+
−−
0
( ) ( )U s R U
se e
e
sz
r
s h
r
i
jks jka
jksi
r, ,cosφ
ρ φ γ= − −−
0
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25Grupo de RadiaciGrupo de Radiacióón. Dpto. SSRn. Dpto. SSR
GO.GO.-- EJEMPLOS. EJEMPLOS. ErEr EN 2DEN 2D
•Fronteras de sombra:
•Campo total:
•Resultados:
$ $ cos cosn s aa
ba
a
bi
g g⋅ = ⇒ =
⇒ = +
02
γ φπ
( ) ( ) ( )U s
U s U s
restoz
t z
i
z
r
g,, ,
φφ φ φ φ
=+ <
0
Iluminación con fuente lineal eléctrica a=λ y b=2 λ
Iluminación con fuente lineal magnética a=λ y b=2 λ
26Grupo de RadiaciGrupo de Radiacióón. Dpto. SSRn. Dpto. SSR
GO.GO.-- EJEMPLOS. EJEMPLOS. ErEr EN 2DEN 2D
TIRA µSTRIP CON FUENTE LINEAL. CAMPO CERCANO
•Geometría: Punto especular Qr:$ $ $s x x y y0
0 0= +
( )rr y
x d
y w=
=
≤ / 2
( ) ( )( )
yyr
yryt ˆ
'
'ˆ == r
r
( )$ $n y x= −
$$ $
sd x y y
d y
i r
r
=+
+2 2$ $n s
d
d y
i
r
⋅ =−
+2 2
( )( ) ( )
$ $n sx d
x d y y
r
r
⋅ =− −
− + −
0
0
2
0
2
$ $ $ $n s n si r⋅ = − ⋅
$ $ $s dx y yi
r= + ( ) ( )( ) ( )
$$ $
sx d x y y y
x d y y
r r
r
=− + −
− + −
0 0
0
2
0
2
( ) ( )x wdx y d y y d yr r02
02 2
02022 0− + − =
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27Grupo de RadiaciGrupo de Radiacióón. Dpto. SSRn. Dpto. SSR
GO.GO.-- EJEMPLOS. EJEMPLOS. ErEr EN 2DEN 2D
•Cáustica en reflexión:
•Campo directo en el pto de observación P:
•Campo incidente en Qr:
•Campo reflejado en P:
•Fronteras de sombra:
( ) ( ) ( )1 1 2
0ρ ρ θr
r
i
r r iQ Q a Q= +
cos
( )ρ i
r
i
rQ s d y= = +2 2 ( )a Q r0 = ∞
s x y002
02= +
( )U P Ue
sz
i
j k s
=−
0 0
0
( )U Q Ue
sz
i
r
jk s
i
i
=−
0
( )( )
U s R Ue
s sz
r
s h
jk s s
i r
i r
, ,φ =+
− +
0
( ) ( )s x d y yr
r= − + −0
2
0
2
s d yi
r= +2 2
( )( )
ISB atan w d
RSB
ISB ISB
ISB
: /
:
φ φ φφ π φ
≤ =
≤ −
2
28Grupo de RadiaciGrupo de Radiacióón. Dpto. SSRn. Dpto. SSR
GO.GO.-- EJEMPLOS. EJEMPLOS. ErEr EN 2DEN 2D
•Campo total:
•Resultados:
( )( )
( ) ( ) ( )U s
U s
U s U s
resto
z
t
z
i
ISB
z
i
z
r
ISB,
,
, ,φ
φ φ φ
φ φ φ π φ=
≥
+ ≥ −
0
Iluminación con fuente lineal eléctrica d=λ, w=3λ y s=5 λ
Propagación, radiación y dispersión de Ondas Electromagnéticas
Curso 2009-2010
15
29Grupo de RadiaciGrupo de Radiacióón. Dpto. SSRn. Dpto. SSR
GO.GO.-- EJEMPLOS. EJEMPLOS. ErEr EN 2DEN 2D
CILINDRO PARABÓLICO CON FUENTE LINEAL. CAMPO CERCANO
•Geometría: Punto especular Qr:$ $ $s x x y ya a
0 = +
( )rr x y x
y
f, : =
2
4
( ) ( ) ( )$ cos / $ / $n Q x sin yr r r= − +φ φ2 2
( )$ $s Qi
r= τ ( )$ $ c o s /n s i r⋅ = − φ 2
( )$ $ $s f x x y yi
r r= − +( )$ $ $ $ $ c o s $ $ $s s n n s s in xr i i
r r= − ⋅ = − + =2 φ τ φ φ
φ ISB af
w= 2
4cot
( ) ( )$
$ $s
x x x y y y
s
r a r a r
r=− + −
( ) ( )
y y x y f
f x y ff
r a r a
r r r r r
r
= =
= − + = =
−
2
2 2 2 1
1 2
4
2 2
/
sec / secτ φ φτ
30Grupo de RadiaciGrupo de Radiacióón. Dpto. SSRn. Dpto. SSR
GO.GO.-- EJEMPLOS. EJEMPLOS. ErEr EN 2DEN 2D
•Cáustica en reflexión:
•Campo directo en el pto de observación P:
•Campo incidente en Qr:
•Campo reflejado en P:
•Fronteras de sombra:
( ) ( ) ( )1 1 2
0ρ ρ θr
r
i
r r iQ Q a Q= +
cos
( )ρ τ φi
r r rQ f= = sec ( / )2 2
( )s x f ya a
0 2 2= − +
( )U P Ue
sz
i
j k s
=−
0 0
0
( )( )
( )U Q Ue
sU
e
fz
i
r
jk s
i
j k f
r
ir
= =− −
0 0
22
2
s e c /
s e c /
φ
φ
s f xr
r= −
ISB
RSB ywISB:
:
φ φ≤
>2
( )( )
a Qf
r
r
0 3 2
4 2
1=
−
+ cosφ( )cos cos /θ φi r= 2
( )ρ r
rQ → ∞
( )( ) ( )
( )U x y R Ue e
fz
i
a a s h
j k f j k x x
r
r a r
,s e c /,
s e c /
=− − −
0
22
2
φ
φ
( )s f x yi
r r= − +2 2
Propagación, radiación y dispersión de Ondas Electromagnéticas
Curso 2009-2010
16
31Grupo de RadiaciGrupo de Radiacióón. Dpto. SSRn. Dpto. SSR
GO.GO.-- EJEMPLOS. EJEMPLOS. ErEr EN 2DEN 2D
•Campo total:
•Resultados:
•Fase uniforme del campo en la apertura
•Taper del centro al borde
( )( )
( ) ( )U s
U s
U s U s yw
resto
z
t
z
i
ISB
z
i
z
r,
,
, ,φ
φ φ φ
φ φ=
≥
+ ≤
20
( ) ( )U y w U yfw
z
t
a z
t
a= = ∝/ /2 01
32Grupo de RadiaciGrupo de Radiacióón. Dpto. SSRn. Dpto. SSR
GO.GO.-- EJEMPLOS. EJEMPLOS. ErEr EN 3DEN 3D
Er HIPERBOLOIDE (SUBR. CASSEGRAIN). FUENTE SIMETRÍA AXIAL
•Geometría: Punto especular Qr:rr x sin y c
a
bb z= + − + +
ρ φ ρ φ ρcos $ $ $2 2
( )$ $ $ $n Q n x n y n zr x y z= + +$sr
ri =
r
r
( )$ $ $ $ $s s n n sr i i= − ⋅2
$ cos $ $ cos $s sin x sin sin y zr= + +α φ α φ α
( )n
a
b b ax =
+ +
ρ φ
ρ ρ
cos2 2 2 2 2
( )n
a sin
b b ay =
+ +
ρ φ
ρ ρ2 2 2 2 2
( )n
b b
b b az =
+
+ +
ρ
ρ ρ
2 2
2 2 2 2 2
Propagación, radiación y dispersión de Ondas Electromagnéticas
Curso 2009-2010
17
33Grupo de RadiaciGrupo de Radiacióón. Dpto. SSRn. Dpto. SSR
GO.GO.-- EJEMPLOS. EJEMPLOS. ErEr EN 3DEN 3D
•Cáustica en reflexión:
•Campo incidente en Qr:
•Campo reflejado en P:
•Fronteras de sombra:
( )ρ ρ12 2r
rQ ac
bb d= − + + =
( ) ( )[ ]rE Q
e
sA s ini
r
j k s
i
i
= +−
Ψ Ψφ φ φ$ c o s $
ISB atanD
c
RSB asinD
d
:
:
θ π
θ
≤ −
≤
4
1
( ) ( )ρ ρ2 1r
r
r
rQ Q=
( ) ( ) ( )[ ]r r rE Q E Q n E Q nr
r
i
r
i
r= − + ⋅2 $ $
( ) ( ) ( )( )r rE P E Q
s se
r r
r
r r
r r r r
j k s r=+ +
−ρ ρ
ρ ρ1 2
1 2
( ) ( ) ( )r rE P E Q
d
d ser r
r r
j k sr
=+
−
34Grupo de RadiaciGrupo de Radiacióón. Dpto. SSRn. Dpto. SSR
GO.GO.-- EJEMPLOS. EJEMPLOS. Et EN 3DEt EN 3D
•Campo total: ( )( )
( ) ( )U s
U s
U s U s
resto
z
t
z
i
ISB RSB
z
i
z
r
RSB,
,
, ,θθ θ θ θ
θ θ θ θ=
≤ ≤
+ ≤
0