UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL
EUDED
Tema : Números Irracionales y Reales
Curso : Matemática I
Profesora : Jorge Franco Medina
Alumnos : Cansaya Quispe, María Rodriguez Juarez, María Rosario Suclupe Ramirez Mauro Huamán Torre, Karem Shirley Prado Atencio, Verónica Carrera : Administración
Ciclo : I
Lima, junio de 2012
Introducción
El presente trabajo tiene como objetivo dar a conocer los
conceptos básicos y mostrar algunos ejemplos referente a los
números irracionales y reales; conocer sus conceptos y aplicar los
ejemplos hacen que nuestros conocimientos se amplíen más; para
ello hemos investigado y hecho uso de textos, boletines y del
internet.
Aspectos teóricos
NÚMEROS IRRACIONALES
Datos Históricos:
La introducción de los distintos sistemas de números no ha sido
secuencial. Así en el siglo VII a.C, los griegos descubrieron las magnitudes
irracionales, es decir números que no pueden ser expresados a través de
una fracción, al comparar la diagonal y el lado de un pentágono regular o la
diagonal y el lado de un cuadrado, estando, también, familiarizados con la
extracción de las raíces cuadradas y cúbicas, pero sin embargo, no conocían
los números negativos y el cero, ni tampoco tenían un sistema de símbolos
literales bien desarrollado.
El predominio en esta época de la Geometría fue la causa de que la
Aritmética y el Álgebra no se desarrollara independientemente. Por ejemplo,
los elementos que intervienen en los cálculos se representaban
geométricamente y las magnitudes irracionales las tomaban como
segmentos de recta. Así una ecuación que hoy en día representamos por:
X2 + a X = b2
para ellos significaba hallar un segmento X tal que si al cuadrado construido
sobre él, se le suma un rectángulo construido sobre ese mismo segmento y
sobre un segmento dado "a", se obtuviese un rectángulo de área
coincidente con la de un cuadrado de lado "b" conocido.
Es en China, hacia los siglos II y I a.C, donde por primera vez se hace uso
de coeficientes negativos y se dan reglas para operar con ellos, pudiendo
resolver un sistema de tres ecuaciones de primer grado, buscando sólo las
soluciones positivas. También conocían técnicas rudimentarias para la
resolución de las ecuaciones de tercer grado.
Cuando la matemática Griega comenzó a declinar, Diofanto abandonó la
representación geométrica de los números y empezó a desarrollar las reglas
del álgebra y aritmética, utilizando un literal, por ejemplo, para representar
las incógnitas de una ecuación. En esta etapa, Europa se estanca
científicamente y el desarrollo matemático se desplaza hacia la India, Asía
Central y los países árabes, inpulsándose sobre todo la Astronomía.
Fueron los indios, entre los siglos V- XV, los que inventaron el sistema de
numeración actual, introdujeron los números negativos y comenzaron a
operar con los números irracionales de forma semejante que con los
racionales sin representarlos geométricamente. Utilizaban símbolos
especiales para las operaciones algebraicas, como la radicación.
encontraron métodos para resolver ecuaciones, y descubrieron la fórmula
del binomio de Newton (en forma verbal).
Durante el periodo renacentista, entre los siglos XVI y XVIII, los europeos
toman contacto con las ideas griegas a través de traducciones árabes
reemplazándolas, paulatinamente, por los métodos indios.
A principios del siglo XVI, los italianos Tartaglia y Ferrari, lograron
resolver por radicales, de forma general, las ecuaciones de tercer y cuarto
grado, viéndose involucrados en el uso de los números imposibles
(imaginarios), aunque sin fundamento lógico. La notación algebraica se
perfecciona gracias a Viéte y Descartes, difiriendo poco de la actual.
A mediados del siglo XVII en Gran Bretaña, Neper inventa los logaritmos y
Briggs elabora las primeras tablas de logaritmos decimales. A partir de esta
época el nacimiento del análisis hizo que se despreciase un poco el álgebra
debido al interés sobre los estudios de magnitudes variables.
Para terminar, es importante resaltar que el conocimiento de los números
por parte de los Griegos no fue superado hasta veinticuatro siglos más
tarde. Los matemáticos G. Cantor, R. Dedekind, K. Weiertrass y B. Bolzano
fueron los que culminaron la obra, que duro medio siglo de investigaciones,
sobre los números naturales, enteroros, racionales e irracionales, que
considerados juntos, constituyeron lo que se denominó el sistema de los
números reales.
Los conceptos de intervalo y entornos asociados a los números reales, así
como una operación denominada paso al límite, consolidó y otorgó rigor al
conjunto de conceptos y métodos que constituyen la rama de las
matemáticas conocida como Cálculo diferencial.
Concepto de Números Irracionales.
Es aquella cantidad que no es posible expresarla como la división de dos números enteros, se caracteriza por tener parte decimal no periódica con infinitas cifras decimales, se representan de la siguiente manera: I =Q’
Ejemplos de Números irracionales.
Pi es un número irracional famoso. Se han
calculado más de un millón de cifras
decimales y sigue sin repetirse. Los primeros
son estos:
3.1415926535897932384626433832795 (y
sigue...)
El número e (el número de Euler) es otro
número irracional famoso. Se han calculado
muchas cifras decimales de e sin encontrar
ningún patrón. Los primeros decimales son:
2.7182818284590452353602874713527 (y
sigue...)
La razón de oro es un número irracional. Sus
primeros dígitos son:
1.61803398874989484820... (y más...)
Muchas raíces cuadradas, cúbicas, etc. también son
irracionales. Ejemplos:
√31.732050807568877293527446341505
9 (etc)
√999.949874371066199547344798210012
1 (etc)
Pero √4 = 2, y √9 = 3, así que no todas las
raíces son irracionales.
NÚMEROS REALES
Datos Históricos:
Los egipcios utilizaron por primera vez las fracciones comunes
alrededor del año 1000 a. C.; alrededor del 500 a. C. el grupo de
matemáticos griegos liderados por Pitágoras se dio cuenta de la necesidad
de los números irracionales. Los números negativos fueron ideados por
matemáticos indios cerca del 600, posiblemente reinventados en China
poco después, pero no se utilizaron en Europa hasta el siglo XVII, si bien a
finales del XVIII Leonhard Euler descartó las soluciones negativas de las
ecuaciones porque las consideraba irreales. En ese siglo, en el cálculo se
utilizaba un conjunto de números reales sin una definición concisa, cosa que
finalmente sucedió con la definición rigurosa hecha por Georg Cantor en
1871.
En realidad, el estudio riguroso de la construcción total de los números
reales exige tener amplios antecedentes de teoría de conjuntos y lógica
matemática. Fue lograda la construcción y sistematización de los números
reales en el siglo XIX por dos grandes matemáticos europeos utilizando vías
distintas: la teoría de conjuntos de Georg Cantor (encajamientos sucesivos,
cardinales finitos e infinitos), por un lado, y el análisis matemático de
Richard Dedekind (vecindades, entornos y cortaduras de Dedekind). Ambos
matemáticos lograron la sistematización de los números reales en la
historia, no de manera espontánea, sino utilizando todos los avances
previos en la materia: desde la antigua Grecia y pasando por matemáticos
como Descartes, Newton, Leibniz, Euler, Lagrange, Gauss, Riemann, Cauchy
y Weierstrass.
Concepto de Números Reales
Es el conjunto formado por los números racionales y los números irracionales, se designa por R.
Todos los números reales pueden ser representados en la recta numérica.
A cada punto de la Recta numérica le corresponde un número real o
viceversa; es decir, existe una correspondencia uno a uno entre los puntos
de la recta numérica y los números reales.
Cuadro Ilustrativo:
Importante:
Con números reales pueden realizarse todo tipo de operaciones básicas con dos excepciones importantes:
1.- No existen raíces de orden par (cuadradas, cuartas, sextas, etc.) de números negativos en números reales, razón por la cual existe el conjunto de los números complejos donde estas operaciones sí están definidas.
2.- No existe la división entre cero, pues carece de sentido dividir entre nada o entre nadie; es decir, no existe la operación de dividir entre nada.
En otras palabras, no son reales las fracciones con denominador cero y las raíces de índice par y radicando negativo.
Infinito no es un número real
Infinito no es un número real, es una idea. Una idea de algo que no termina.
Recuerde, además, que cualquier fracción con numerador cero, tiene como resultado final, el cero (cero dividido cualquier cosa es igual a cero)
Propiedades de los Números Reales
Suma de números Reales
1.Interna:
El resultado de sumar dos números reales es otro
número real .
a + b
+
2.Asociativa:
El modo de agrupar los sumandos no varía el
resultado.
(a + b) + c = a + (b + c) ·
3.Conmutativa:
El orden de los sumandos no varía la suma.
a + b = b + a
4.Elemento neutro:
El 0 es el elemento neutro de la suma porque todo
número sumado con él da el mismo número.
a + 0 = a
+ 0 =
5.Elemento opuesto
Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos
como resultado el cero.
e − e = 0
El opuesto del opuesto de un número es igual al
mismo número.
−(− ) =
Diferencia de números reales
La diferencia de dos números reales se define como la
suma del minuendo más el opuesto del sustraendo .
a − b = a + (−b)
Producto de números reales
La regla de los signos del producto de los números
enteros y racionales se sigue manteniendo con los
números reales.
1.Interna:
El resultado de mult ipl icar dos números reales es
otro número real.
a · b
2.Asociativa:
El modo de agrupar los factores no varía el
resultado. Si a, b y c son números reales cualesquiera,
se cumple que:
(a · b) · c = a · (b · c)
(e · ) · = e · ( · )
3.Conmutativa:
El orden de los factores no varía el producto.
a · b = b · a
4. Elemento neutro:
El 1 es el elemento neutro de la mult ipl icación ,
porque todo número mult ipl icado por él da el mismo
número.
a ·1 = a
· 1 =
5. Elemento inverso:
Un número es inverso del otro si al mult ipl icarlos
obtenemos como resultado el elemento unidad.
6.Distributiva:
El producto de un número por una suma es igual a
la suma de los productos de dicho número por cada uno
de los sumandos.
a · (b + c) = a · b + a · c
· (e + ) = · e + ·
7.Sacar factor común:
Es el proceso inverso a la propiedad distr ibutiva.
Si varios sumandos t ienen un factor común,
podemos transformar la suma en producto extrayendo
dicho factor.
a · b + a · c = a · (b + c)
· e + · = · (e + )
División de números reales
La división de dos números reales se define como el
producto del dividendo por el inverso del divisor.
Ejemplos de Números Reales:
Calcula los valores de las siguientes potencias:
Conclusiones
En el presente trabajo se ha concluido la importancia de
conocer las propiedades y el uso de operaciones factibles en los
números irracionales y reales asi como también la representación en
la recta real y ampliar el concepto de los conjuntos numéricos que
nos servirán en la resolución de diferentes ejercicios.
Bibliografía
1.- Asociación educativa TRILCE : Tomo II Aritmética
Edición : 2008
2.- Manual Académico CESAR VALLEJO: Tomo I
Lumbreras editores- 2000
3.- Rojas Puemape Alfonso.
Razonamiento Algebraico
4.- Internet
http://www.monografias.com/trabajos15/numeros-irracionales/
numeros-irracionales.shtml
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