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i
UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE GROHMANN - TACNA
Facultad de Ciencias
Escuela Acadmico Profesional de Ingeniera enInformtica y Sistemas
Transformada de Lapa!e en S"s#emas D"n$m"!os%
Examen Profesional presentado por:
BACHILLER MARGARITA LA&ME VALERIANO
Para optar el Ttulo Profesional de
INGENIERO EN IN'ORM(TICA & SISTEMAS
TACA! SETIE"#$E %E& '(()
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-
ii
UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE GROHMANN
Facultad de Ciencias
JURADO CALIFICADOR CALIFICACI!N DEL E"AMEN ORAL DE E"AMENDE SUFICIENCIA #ROFESIONAL
MONOGRAF$A N% &&&&& '$'ULO #ROFESIONAL DE(Ingeniero en Informtica y Sistemas
La Secretara Acadmica Administrativa de la Facultad de Ciencias, certifica que porresolucin de Facultad ! "#$%&'((#&FACI&)*+, fueron designados como *urados parala Sustentacin -ral del ./amen de Suficiencia 0rofesional del 1ema2 314ASF-45A6A
6. LA0LAC. . SIS1.5AS 6I75IC-S89.l mismo est conformado por2
0residente 2 5sc9 :artman Cevallos Colum;us
Secretario 2 5sc9 *uan );aldo *imne< Castilla
=ocal 2 5sc9 Lus Amaro =illanueva 1apia
0ara calificar la sustentacin del tema de la monografa en acto p>;lico el da '? desetiem;re del '((#9
0resentada por la se@orita +aciller 5argarita Layme =aleriano de la .scuelaAcadmico 0rofesional de Ingeniera en Informtica y Sistemas9
.l *urado Calificador en forma secreta e individual emiti su calificativo so;re eltema monogrfico e/puesto y procedi a o;tener el promedio que arroB el calificativoA04-+A6- con la nota de ? DEuince9
0ara ratificar lo detallado firman2
GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG5sc9 :artman Cevallos Colum;us
0residente
GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG5sc9 *uan );aldo *imne< Castilla 5sc9 Lus Amaro =illanueva 1apia
Secretario =ocal
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A Dios por darme tantas bendiciones,
a mi madre por su apoyo incondicional y constante, y
a todas aquellas personas que me apoyaron.
Margarita.
iii
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)NDICE DE CONTENIDOS
I. INTRODUCCIN*******************************************************************************************************+
II. OBJETIVOS***************************************************************************************************************'
*+, OBJETIVO GENERAL*************************************************************************************'
*+* OBJETIVOS ESEC)'ICOS****************************************************************************'
III. DESARROLLO DEL TEMA***************************************************************************************,
.+, MARCO TE/RICO*******************************************************************************************,
.+,+, CONCETO DE DIN(MICA DE SISTEMAS***************************************,
.+,+* SISTEMA DIN(MICO**************************************************************************-
.+,+. TIOS DE SISTEMAS DIN(MICOS***************************************************.
.+,+0 SISTEMAS DIN(MICOS LINEALES & NO LINEALES**********************/
.+,+1 ECUACIONES DI'ERENCIALES LINEALES & NO LINEALES********0
.+,+2 MODELOS MATEM(TICOS*************************************************************+(
.+,+3 DIAGRAMA DE BLO4UES***************************************************************++
.+,+5 TRANS'ORMADA DE LALACE****************************************************+-
1 %EFIICI2 F3$"A& %E &A T$ASF3$"A%A %E &AP&ACE******+-1 E4ISTECIA %E &A T$ASF3$"A%A********************************************+5
1 P$3PIE%A%ES %E &AS T$ASF3$"A%AS %E &AP&ACE***********+.
1 %EFIICI2 %E F6CI3ES C3T76AS A T$383S*****************+.
1 %EFIICI2 F6CI3ES %E 3$%E E4P3ECIA&******************+0
1 TE3$E"A: F6CI3ES AC3TA%AS**********************************************'(
1 TE3$E"A: E4ISTECIA %E &A T$ASF3$"A%A************************'(
1 TE3$E"A: &IEA&I%A% %E &A T$ASF3$"A%A************************'+
iv
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1 TE3$E"A: T$ASF3$"A%A %E 6A %E$I9A%A************************'+
1 TE3$E"A: P$3PIE%A% %E ESCA&2******************************************'+
1 T$ASF3$"A%A %E &AP&ACE E SISTE"AS %I"IC3S********''
.+* CASO R(CTICO NIVEL DE UN TAN4UE DE AGUA%*****************************'-
.+*+, LANTEAMIENTO DEL ROBLEMA***********************************************'-
.+*+* MODELO MATEMATICO******************************************************************'5
.+*+. SIMULACION & ANALISIS EN MATLAB DEL CASO 6 NIVEL DEL
TAN4UE DE AGUA7*************************************************************************,-
IV. CONCLUSIONES*****************************************************************************************************-(
V. RECOMENDACIONES********************************************************************************************-+
VI. BIBLIOGRAFA********************************************************************************************************-'
VII. ANEXOS******************************************************************************************************************-.
A+ ANE8O 9,7 TABLA B(SICA DE TRANS'ORMADAS DE LALACE**********-.
v
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)NDICE DE 'IGURAS
Figura 1: Elementos de un sistema dinmico*********************************************************************5
Figura 2: Elementos de un diagrama de Bloques************************************************************+'
Figura 3: Diagrama de bloques de un sistema en lao abierto. ***************************************+,
Figura !: Diagrama de bloques de un sistema de control en lao cerrado ***********************+-
Figura ": Funciones cont#nuas a troos***************************************************************************+/
Figura $: Funciones de orden e%ponencial**********************************************************************+)
Figura &: 'epresentaci(n del )aso *rctico del +iel del -anque de Agua*********************'-
Figura : 'epresentaci(n gr/ica de la Ecuaci(n: Entrada 0 alida Acumulaci(n.*******'0
Figura : Diagrama de bloques del caso practica 4+iel de tanque de agua5******************,,
Figura 16: Diagrama de Flu7o del )aso *rctico 4+iel de tanque de agua5********************,-
Figura 11: 8odelamiento en imunlin9 del caso prctico *************************************************,.
Figura 12: 'esultado de simulaci(n del caso prctico.****************************************************,)
vi
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RESUMEN
En el presente tra;aue simplifica las ecuaciones
diferenciales del comportamiento de estos sistemas dinmicos a
simples expresiones alge;raicas para lo cual se expone un caso
prctico*
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I+ INTRODUCCI/N
El mtodo de la transformada de &aplace es muy utili?ado en el
dise@o de sistemas dinmicos de;ido a las operaciones >ue reali?a de
conertir las ecuaciones diferenciales lineales de Bdifcil soluci=n en
ecuaciones alge;raicas simples! es un mtodo muy importante*
El o;ue corresponden a las conclusiones y recomendaciones a la presente
monografa! finalmente en la secci=n sexta y sptima >ue corresponden a
la ;i;liografa utili?ada y anexos al presente documento*
1
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II+ OBJETIVOS
*+, OBJETIVO GENERAL
Anali?ar! modelar! simular y comprender el comportamiento un
sistema dinmico aplicando la transformada de &aplace para el
caso prctico Biel de un tan>ue de agua*
*+* OBJETIVOS ESEC)'ICOS
Aplicar los temas te=ricos cientficos de la dinmica de
sistemas y de la Transformada de &aplace respecto a un
sistema dinmico Biel de un tan>ue de agua* Formular el modelo matemtico para el caso prctico so;re el
Biel de un tan>ue de agua Simular el comportamiento del sistema dinmico en un
programa de simulaci=n para el sistema dinmico caso prctico
del Biel de un tan>ue de agua modelando! anali?ando y
alidando los resultados del modelo matemtico aplicado a la
Transformada de &aplace*
2
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III+ DESARROLLO DEL TEMA
.+, MARCO TE/RICO.+,+, CONCETO DE DIN(MICA DE SISTEMAS
Es una metodologa de uso generali?ado para
modelar y estudiar el comportamiento de cual>uier clase
de sistemas y su comportamiento a tras del tiempo con
tal de >ue tenga caractersticas de existencias de retardos
y ;ucles de realimentaci=n+*
Estudia las caractersticas de realimentaci=n de la
informaci=n en la actiidad industrial con el fin de
demostrar como la estructura organi?atia! la
amplificaci=n de polticas y las demoras en las
decisiones y acciones interactGan e influyen en el xito
de la empresa'*
Es un mtodo en el cual se com;inan el anlisis y la
sntesis! suministrando un e
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metodologa sistmica* &a dinmica de sistemas
suministra un lenguaue permite expresar las
relaciones >ue se producen en el seno de un sistema! y
explicar c=mo se genera su comportamiento ,
.+,+* SISTEMA DIN(MICO
6n sistema segGn 3gata-! Bes una com;inaci=n de
componentes >ue actGan con
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pasado! si su salida en curso depende solamente de la
entrada en curso el sistema se conoce como esttico* &a
salida de un sistema esttico permanece constante si la
entrada no cam;ia y solo cam;ia cuando la entrada cam;ia*
Figura +: Elementos de un sistema dinmico
Por lo tanto finalmente 3gata define a un BSistema
dinmico como: la salida cam;ia con el tiempo! cuando no
est en su estado de e>uili;rio*
n sistema dinmico es un sistema comple7o que
presenta un cambio o eoluci(n de su estado en un tiempo,
el comportamiento en dic;o estado se puede caracteriar
determinando los l#mites del sistema, los elementos y sus
relaciones< de esta /orma se puede elaborar modelos que
buscan representar la estructura del mismo sistema.
5
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.+,+. TIOS DE SISTEMAS DIN(MICOS
Se tiene dos tipos de sistemas dinmicos: discretos y
continuos*
6n sistema dinmico se dice DISCRETOsi el tiempo
se mide en pe>ue@os lapsosN stos son modelados como
relaciones recursias!tal como la ecuaci=n logstica:
donde t denota los pasos discretos del tiempo y x es la
aria;le >ue cam;ia con ste*
Si el tiempo es medido en forma CONTIN:A! el
Sistema Di!mi"# C#ti$# resultante es expresado
como una ecuaci=n diferencialordinariaN por eue cam;ia con el tiempo t* &a
aria;le cam;iante x es normalmente un nGmero real!
aun>ue tam;in puede ser un ectoren $L*
6
http://es.wikipedia.org/wiki/Recursividadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Recursividadhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Ecuaci%C3%B3n_log%C3%ADstica&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencialhttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_realhttp://es.wikipedia.org/wiki/Vectorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Recursividadhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Ecuaci%C3%B3n_log%C3%ADstica&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencialhttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_realhttp://es.wikipedia.org/wiki/Vector7/25/2019 Monograf.. Trans Laplace
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.+,+0 SISTEMAS DIN(MICOS LINEALES & NO
LINEALES
Se distingue a los sistemas dinmicos lineales y
sistemas dinmicos no lineales
1 S"s#emas D"n$m"!os L"neaes7El lado derecDo de la
ecuaci=n es una expresi=n >ue depende en forma
lineal de x! tal como:
Si se conocen dos soluciones para un sistema lineal!
la suma de ellas es tam;in una soluci=nN esto se
conoce como principio de superposici=n* En general!
las soluciones proenientes de un espacio ectorial
permiten el uso del lge;ra lineal y simplifican
significatiamente el anlisis* Para sistemas lineales
continuos! el mtodo de la transformada de &aplace
tam;in puede ser usado para transformar la
ecuaci=n diferencial en una ecuaci=n alge;raica*
1 S"s#emas D"n$m"!os No L"neaes7Son mucDo ms
difciles de anali?ar y a menudo exDi;en un fen=meno
7
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conocido como caos! con comportamientos totalmente
impredeci;les*
.+,+1 ECUACIONES DI'ERENCIALES LINEALES &
NO LINEALES
&as ecuaciones diferenciales lineales pueden
clasificarse en ecuaciones diferenciales lineales!
inariantes en el tiempo y ecuaciones lineales ariantes
en el tiempo*
6na ecuaci=n diferencial lineal inariante en el tiempo
es a>uella en la cual una aria;le dependiente y sus
deriadas aparecen como com;inaciones lineales* Como
por eue los coeficientes de todos los trminos son
constantes! una ecuaci=n diferencial lineal inariante en
el tiempo tam;in se denomina ecuaci=n diferencial de
coeficientes constantes
8
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En el caso de una ecuaci=n diferencial lineal ariante
en el tiempo! la aria;le dependiente y sus deriadas
aparecen como com;inaciones lineales! pero algunos de
los coeficientes de los trminos pueden inolucrar a la
aria;le independiente* El siguiente es un eue con o;ue sea
lineal! la ecuaci=n no de;e contener potencias! productos
u otras funciones de las aria;les dependientes y sus
deriadas*
6na ecuaci=n diferencial se denomina no lineal
cuando no es lineal* Entre los e
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.+,+2 MODELOS MATEM(TICOS
SegGn 3gata5! son descripciones matemticas*
Cual>uier tentatia de dise@o de un sistema de;e
empe?ar a partir de una predicci=n de su funcionamiento
antes de >ue el sistema pueda dise@arse en detalle o
construirse fsicamente* Tal predicci=n se ;asa en una
descripci=n matemtica de las caractersticas dinmicas
del sistema* A esta descripci=n matemtica se le llama
modelo matemtico* Para los sistemas fsicos! la mayora
de los modelos matemticos >ue resultan Gtiles se
descri;en en trminos de ecuaciones diferenciales*
&a dinmica de sistemas trata del modelado
matemtico y el anlisis de la respuesta de los sistemas
dinmicos*
*or lo tanto un modelo matemtico es la descripci(n
matemtica de un sistema dinmico, este permite
analiar las respuestas o comportamientos del sistema
dinmico.
5
KatsuDiLo 3gata! +)0/! B%IA"ICA %E SISTE"AS! Tercera Edici=n! Editorial Prentice Mall! "xico %* F! P10
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.+,+3 DIAGRAMA DE BLO4UES
&os diagramas de ;lo>ues son representaciones
grficas de la dinmica de un sistema de control! en su
forma ms sencilla representan una funci=n de
transferenciaN y constan de los siguientes elementos 9er
Figura ':
Figura ': Elementos de un diagrama de #lo>ues
+ F%e"&as: se emplean para representar la direcci=n
del flu
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fluue aloues o;edecen algunos
principios alge;raicos ;sicos como se muestra en la
figura ,*
Fuente.
Figura ,: %iagrama de ;lo>ues de un sistema en la?o a;ierto*
Para un sistema de la?o a;ierto! >ue consta de
elementos conectados en serie! la funci=n de transferencia
6SPARTACUS GOMRIZ, Domino !i"#, $o% M&'&%, Mi("# R")"%* 2000* +T"o&
." Con'o#/ .i%"o "#"'nio* S"(n.& ".iin, .iion"% UPC, !&"#on&-
%&&, 17-18 12
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glo;al es el producto de las funciones de transferencia de
los elementos indiiduales:
Para un sistema de la?o cerrado se considera el
diagrama de ;lo>ues mostrado en la figura -* Se tienen las
siguientes relaciones:
("n'" 7
Figura -:%iagrama de ;lo>ues de un sistema de control en la?ocerrado
.+,+5 TRANS'ORMADA DE LALACE
7 SPARTACUS GOMRIZ, Domino !i"#, $o% M&'&%, Mi("# R")"%* 2000* +T"o&
." Con'o#/ .i%"o "#"'nio* S"(n.& ".iin, .iion"% UPC, !&"#on&-
%&&, 17-18 13
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1 DE'INICI/N 'ORMAL DE LA TRANS'ORMADA DE
LALACE
&a transformada de &aplace de una funci=n del tiempo!
ft! se define mediante la siguiente f=rmula:
{ }
==(
FDFDFD dttfetfLsF st
%onde:
ft: es una funci=n del tiempo
Fs: es la transformada de &aplace
s: es la aria;le de la transformada de &aplace! >ue
puede ser real o comple
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Ser de orden exponencial
1 ROIEDADES DE LAS TRANS'ORMADAS
DE LALACE
Por definici=n: Transformada y antitransformada! & y &1+
son Gnicas y entra am;as existe una relaci=n ;iunoca
&inealidad: la transformada de una com;inaci=n lineal defunciones es la suma de la com;inaci=n lineal de las
transformadas*
1 DE'INICI/N DE 'UNCIONES CONT)NUAS A
TRO;OS
%ecimos >ue una funci=n es continua
a tro?os si
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+* est definida y es continua en todo ! salo
en un nGmero finito de puntos ! para *
'* Para cada los lmites
existen* ote >ue! solamente uno de estos lmites es
pertinente si es uno de los extremos de *
Siendo a y ; constantes >ue son independientes de las
operaciones de integraci=n en el proceso detransformaci=n
En general! el re>uisito de >ue estos lmites sean
finitos en todos los puntos implica >ue las Gnicas
discontinuidades de son discontinuidades de salto! del
tipo >ue aparecen en la figura siguiente*
16
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Figura 5:* Funciones contnuas a tro?os
Intuitiamente podramos pensar >ue las funciones
continuas a tro?os son casi contnua o >ue no son
demasiado discontinuas*
1 DE'INICI/N 'UNCIONES DE ORDEN
E8ONENCIAL
%ecimos >ue la funci=n es de orden
exponencial si existen nGmeros ! y tales
>ue para
17
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3tra de las ideas importantes en el estudio de la
existencia de la transformada de &aplace es >ue
entendemos por >u una funci=n no cre?ca demasiado
rpido*
Intuitiamente esto significa >ue la funci=n est
por de;a
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3;seraci=n: algunas eces! para erificar >ue una
funci=n es de orden exponencial! coniene calcular el
siguiente lmite:
Para algGn alor de * Si es finito! entonces
puede ser cual>uier nGmero mayor >ue y este
determina * Por otro lado! si ! no es de orden
exponencial*
1 TEOREMA7 'UNCIONES ACOTADAS
Sea una funci=n acotada! entonces
es de orden exponencial*
19
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1 TEOREMA7 E8ISTENCIA DE LA
TRANS'ORMADA
Sea una funci=n continua a tro?os
y de orden exponencial! entonces la transformada de
&aplace de existe* Es decir! existe un nGmero tal
>ue existe para
1 TEOREMA7 LINEALIDAD DE LATRANS'ORMADA
Si y existen entonces
para
cual>uier constante real *
1 TEOREMA7 TRANS'ORMADA DE UNA
DERIVADA
Si es continua a tro?os y de orden
exponencial en el interalo ! entonces
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El siguiente teorema trata so;re el efecto >ue tiene en una
transformada escal=n de una funci=n *
1 TEOREMA7 ROIEDAD DE ESCAL/N
Sea una funci=n continua a tro?os y de orden
exponencial en ! si ! entonces
1 TRANS'ORMADA DE LALACE EN SISTEMAS
DIN(MICOS
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%e;ido a >ue en el estudio de los procesos es
necesario considerar modelos dinmicos! es decir!
modelos de comportamiento aria;le respecto al tiempo!
esto trae como consecuencia el uso de ecuaciones
diferenciales respecto al tiempo para representar
matemticamente el comportamiento de un proceso*
Esta caracterstica de comportamiento dinmico de los
procesos en la naturale?a puede representarse de
manera aproximada por el siguiente modelo general de
comportamiento dinmico lineal*
&a transformada de &aplace es una Derramienta
matemtica muy Gtil para el anlisis de sistemas
dinmicos lineales! de;ido a >ue permite resoler
ecuaciones diferenciales lineales mediante! la
transformaci=n en ecuaciones alge;raicas con lo cual se
facilita su estudio*
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6na e? >ue se Da estudiado el comportamiento de los
sistemas dinmicos! se puede proceder a dise@ar y
anali?ar los sistemas de control de manera simple*
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.+* CASO R(CTICO NIVEL DE UN TAN4UE DE AGUA%
.+*+, LANTEAMIENTO DEL ROBLEMA
Se tiene el siguiente caso de una funci=n de
transferencia! don se tiene a un tan>ue pulm=n! de un
producto x al cual le llega un fluue en
condiciones estacionarias le a;andona el fluue
durante un cierto tiempo Dasta >ue pueda resta;lecerse
O+*
24
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.+*+* MODELO MATEMATICO
Por ;alance sa;emos >ue:
Entrada Q Salida acumulaci=n +
'
Con: 9 olumen del tan>ue!
A rea del tan>ue
El caudal de salida O' ariara en funci=n del niel de
l>uido en el tan>ue y la resistencia al paso del fluido $D!
>ue esta determinada principalmente por cada posici=n de
apertura de la lula de salida*Por principio fsico se sa;e >ue el caudal de salida de
un tan>ue es el producto de una constate por la funci=n
altura en funci=n del tiempo O Salida K R Dt! entonces se
adopta la siguiente relaci=n:
,
%onde +$D iene a corresponder la constante de
lula &uego! si reempla?amos la ecuaci=n , en ':
25
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-
Seguidamente al despeueda de la siguiente forma:
5
Si se cierra el caudal de entrada! el tan>ue se aciara
y considerando t( al tiempo >ue O+( la ecuaci=n 5 nos
>ueda:
.
Si $D no es funci=n de D! se trata de una ecuaci=n
diferencial lineal y si adems es constante s$ itegra"i+
es se"i%%a* %ecimos entonces >ue el modelo de anlisis
adoptado es solo una aproximaci=n* Sin em;argo! se
pueden definir una ?ona estrecDa de altura del tan>ue
donde $D sea lineal y constante sin introducir error
significatio al clculo* Para cu;rir otra ?ona se encuentra
otro alor de $D y as se puede ir resoliendo el alor >ue
ira tomando D para todo el tan>ue*
26
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Integramos en el entorno de lineari?aci=n en el cual
$D se mantiene como una constante*
0
)
+(
Masta a>u la representaci=n de la funci=n de la altura
en funci=n del tiempo! aplicando la transformada de
&aplace la altura estar en funci=n de la aria;le s
nGmero comple
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Figura 0: $epresentaci=n grfica de la Ecuaci=n: Entrada Q
Salida Acumulaci=n*
El comportamiento ya sea en estado estacionario o
transitorio dinmico de un sistema puede ser
determinado! resoliendo las ecuaciones diferenciales >ue
lo representan* Esto puede ser una tarea larga y tediosa! para ello
existe una tcnica para resolerlas y es utili?ando la
T$ASF3$"A%A %E &AP&ACE* En estos casos el
pro;lema se plantea en trminos de una segunda aria;le
>ue permite resoler el pro;lema en forma alge;raica*
&uego de Dallada esta soluci=n! regresando a la aria;le
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original se o;tiene la soluci=n de la ecuaci=n diferencial
planteada*
&a limitaci=n de este procedimiento es >ue solo puede
ser aplicado en ecuaci=n diferenciales lineales*
En general una ecuaci=n diferencial lineal se expresa
como:
++
%onde los coeficientes pi no son funciones de yt o sus
deriadas pero pueden ariar en el tiempo* En general una soluci=n con los coeficientes
dependientes del tiempo es difcil y no se Dace* En la mayora de los procesos las ecuaciones lineales
>ue los representan no son lineales para una rango amplio
de aplicaci=n! pero si en un rango estrecDo* En este Gltimo
caso los coeficientes se pueden considerar independientes
del tiempo y constantes sin mayor error y el resultado
o;tenido es acepta;le a los fines prcticos* Entonces tenemos >ue para un proceso de control la
ecuaci=n diferencial ;sica >ue descri;e el
29
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comportamiento de un sistema! en un entorno limitado del
punto de operaci=n es generalmente de la forma:
+'
se puede resoler en forma alge;raica por medio de
las transformadas de &aplace como se er a continuaci=n SegGn la definici=n de la T$ASF3$"A%A %E
&AP&ACE! es su caso particular de las transformadas de
integraci=n cuya ecuaci=n general es:
%onde: gs: funci=n transformadaft: es la funci=n a transformar! ys U V < R W
$especto al caudal de salida O'! esta dado en funci=n
Os KM*
F99999D
22
FDHHHH
FDH
FC999999D9999999999H
C
C
C
'C
thdt
dhRARQ
quedaNos
R
thR
dt
dhARQR
R
th
dt
dhAQ
dhAdtQdtQ
h
h
+=
+=
+=
=
ADora diidimos a toda la ecuaci=n anterior entre $A:
30
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RA
th
dt
dh
A
Q
RA
th
RA
dt
dhRA
RA
RQ
FD
FD
C
C
+=
+=
ADora aplicando transformada de &aplace a la ecuaci=n
anterior:
[ ] [ ] [ ]
FD
FD
CH
CFDFDC
CFDFD
C
FDC
FI(DFDJFDC
FDC
FDFDC
FDFD
C
C
C
C
K
C
C
sQ
sH
RAA
RAs
RA
RAssHsQA
RAssHsQ
A
sHRA
HssHsQA
thLRA
thLtQLA
RA
thL
dt
dhL
A
tQL
=+
+=
+=
+=
+=
+
=
Finalmente acomodando la Gltima ecuaci=n para o;tener
la funci=n de la altura:
CFD
FD
C +
=
RAs
R
sQ
sH
despeueda:
FDHC
FDC sQ
RAs
RsH
+=
Tal como se descri;e en la siguiente figura
correspondiente al comportamiento del niel del tan>ue de
agua:
31
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Figura ): %iagrama de ;lo>ues del caso practica Biel detan>ue de agua
%e la figura ) se puede comentar! de >ue al
incrementarse el caudal de entrada el niel o altura del
tan>ue tam;in tiende a incrementarse*
$especto al caudal de salida O'! si el caudal de entrada
O+es cero como condici=n inicial! entonces el caudal de
salida estar en funci=n de la constante de lula $D y la
funci=n de altura del tan>ue! de la forma siguiente:
FDHFDFD 'C sHAssQsQ =
Si la condici=n inicial es: (C =Q ! entonces el caudal de
salida se modela matemticamente de la siguiente forma:
32
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Rh
sHsQ
FDFD' =
A CONTINUACION EL DIAGRAMA DE 'LUJO 4UE
MODELA EL SISTEMA DIN(MICO DEL CASO R(CTICO
Figura +(: %iagrama de Fluue de agua
.+*+. SIMULACION & ANALISIS EN MATLAB DEL
CASO 6 NIVEL DEL TAN4UE DE AGUA7
ADora amos a utili?ar la Derramienta de softXare "atla;!
la cual tiene el aplicatio SI"6&IK! el cual nos permite
modelar sistemas dinmicos*
33
IICIO
I
:1
Entrada
Caudal de entrada.
:2
FDH
C
FD C sQ
RAs
RsH
+
=
Salida
Nivel del Tanque- Laplace
Caudal de salida
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En "atla; los elementos utili?ados para modelar el caso
prctico del iel del Tan>ue de Agua son: como dato de
entrada la funci=n B$amp! la funci=n transferencia y
finalmente para mostrar los resultados utili?amos un
Scope* 9er figura ++:
34
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Figura ++: "odelamiento en SimunlinL del caso prctico
Para el modelamiento en SimulinL de "atla; del caso
prctico se consider=:1 Como datos de entrada el caudal de entrada O+ como
una funci=n rampa >ue nos ;rinda datos del caudal en
creciente con pendiente uno*
1 Para la definici=n de la funci=n de transferencia segGn
la ecuaci=n de:
FDHC
FDC sQ
RAs
RsH
+= !
35
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%onde: s+o $ ' Constante de resistenciao A 5 rea de la ;ase del tan>ue de agua! por
lo tanto $As +(! y es este el alor utili?ado en
la simulaci=n*
1 Como res
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Figura +': $esultado de simulaci=n del caso prctico*
El modelamiento de este caso de niel del tan>ue de
agua nos da como resultado el siguiente: Pues >ue si la
funci=n de entrada! el caudal de entrada se incrementa!
entonces la altura del tan>ue tam;in tiende a
incrementarse! eso es lo >ue refle
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IV+ CONCLUSIONES
Se logr= anali?ar! modelar! simular y comprender el
comportamiento un sistema dinmico aplicando la
transformada de &aplace para el caso prctico Biel de un
tan>ue de agua* Se aplicaron los temas te=ricos cientficos de la dinmica de
sistemas y de la Transformada de &aplace respecto a un
sistema dinmico Biel de un tan>ue de agua* Se o;tuo la formulaci=n del modelo matemtico para el caso
prctico so;re el Biel de un tan>ue de agua Se reali?o la simulaci=n del comportamiento del sistema
dinmico en un programa de simulaci=n para el sistema
dinmico caso prctico del Biel de un tan>ue de agua
modelando! anali?ando y alidando los resultados del modelo
matemtico aplicado a la Transformada de &aplace*
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V+ RECOMENDACIONES
Para la simulaci=n de sistemas de control se recomienda el uso de
softXares especiali?ados como "AT&A#*
Ampliar el estudio de este tipo de modelos en el curso de dinmica
de sistemas de la currcula acadmica! pues resulta ser un tema muy
importante de estudio referente a la automati?aci=n y control de
sistemas dinmicos*
39
7/25/2019 Monograf.. Trans Laplace
47/58
VI+ BIBLIOGRA')A
Y+Z KatsuDiLo 3gata! +)0/! B%IA"ICA %E SISTE"AS! Tercera
Edici=n! Editorial Prentice Mall! "exico %* F*
Y'Z Carlos A* SmitD y Armando #* Corripio! +))+! BC3T$3&
A6T3"TIC3 %E P$3CES3S Teora y Prctica! Primera Edici=n!
Editorial &imusa! "xico %* F*! Pg* '/1)(
Y,Z Eronini Q 6me? 1 Erunini! '((+! B%IA"ICA %E SISTE"AS
C3T$3&! Editorial International TDompson Editores! "exico %* F*!
Pg* , 1'.*
Y-Z Eduardo Espino?a $amos! '(('! BI9 Anlisis "atemtico para
estudiantes de ciencias e ingeniera! Primera Edici=n! PerG! Editorial
Sericios Jrficos* Pg* -.-15''*
Y5Z "artne? Silio y $e>uema Al;erto* BSimulaci=n dinmica por
ordenador Alian?a Editorial! "adrid! +)00
Y.Z Forrester! Hay * B%inmica industrial* Editorial Ateneo! #uenos
Aires! +)0+
40
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Editorial! "adrid! +))/*
Y0Z SPA$TAC6S J3"$I8! %omingo #iel! Hos "atas! "iguel $eyesN
'(((N BTeora de Control: dise@o electr=nicoN Segunda edici=n!
Ediciones 6PC! #arcelona1Espa@a! pg* +/1+0*
DIA'OSITIVAS DE LA -EB)
Y)Z Ing* Elira i@o! BAplicaciones realices de la transformada de
&aplace! %epartamento de "ecatr=nica y automati?aci=n! "xico* 1
ITES"! Campus "onterrey
Y+(Z Francisco Palomera Palacios! "odelaci=n y Estudio de las
ecuaciones diferenciales en el dominio de &aplace frecuencia
utili?ando "AT&A#1SI"6&IK! %epartamento de "ecatr=nica y
automati?aci=n! "xico 1 ITES"! Campus "onterrey
Y++Z %epartamento de Control! %iisi=n de Ingeniera Elctrica Facultad
de Ingeniera ! '((.! Transformada de &aplace! 6A"! "xico %*F
41
7/25/2019 Monograf.. Trans Laplace
49/58
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Funci=n de transferencia* Fuente Xe;:
Dttp:XXX*edutecne*utn*edu*artransf1laplacetransformada['(de
['(laplace*pdf
ARCHIVOS DIGITALES EN 'ORMATO D'
Y+,Z Hos ngel Acosta $odrgue?* B"anual de Introducci=n a
SI"6&IK* &i;ro digital* '((-*
Y+-Z Prof* Silana $eollar* BIntroducci=n a SimulinL* 6niersidad Sim=n
#oliar1%epartamento de Procesos y Sistemas* 9ene?uela! Caracas*
Y+5Z P%F Ing* Eduardo %* "uta??i* Alge;ra de diagramas en ;lo>ue y
transformadas de &aplace* Funci=n de transferencia
Y+.Z "odelado de Sistemas %inmicos* An=nimo
Y+/Z Arcenio #rito Mernnde?* '((/* Principios fsicos y matemticos
para el anlisis de sistemas dinmicos* Introducci=n al control*
6niersidad Aut=noma del Estado de "orelos* Tesis* Cuernaaca!
"xico* Pg /.*
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Y+0Z "*Sc* Al;erto E* CoDaila #arrios* Apuntes so;re
BC3T$3&A%3$ES PI%* 6niersidad nacional Horge #asadre
JroDmann* Tacna Q PerG* Pg* .1+0*
43
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VII+ ANE8OS
A+ ANE8O 9,7 TABLA B(SICA DE TRANS'ORMADAS DE
LALACE
Transformadas de Opera!"=n
N '>s? f > # ? @ # 9
+%efinition of a &aplace transform
yt
'
s Inersi=n f=rmula
,First deriatie
-Second deriatie
5
ntD deriatie
.Integration
/
FsJs Conolution integral
0
44
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)sDifting in tDe s1plane
+(ft Das period T! sucD tDat
f t V T f t
++gt Das period T! sucD tDat
gt V T 1 gt
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Transformadas de f
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++! n+! '! ,!*
+'
+,
+-
+5
+.*a
+.*;
+/
+0
+)
'(
'+
''
48
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',
'-
'5
'.
'/
'0
')
,(
,+
,'
,,
,-
,5#essel function gien in Appendix A
,.
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,/ "odified #essel function gien inAppendix A
,0
,)
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