UNIVERSIDAD INSDUSTRIAL DE SANTANDER
ESCUELA DE FÍSICA
FACULTAD DE CIENCIAS
L10. Momento de Inercia II
Profesor:
Mauricio Suárez Durán
Presentado por:
Marco Stefano Galvis Peña 2130060
Edwin Salcedo Cárdenas 2130958
Grupo B5A
Martes 3 de febrero de 2015
Segundo semestre académico de 2014
Bucaramanga, Santander, Colombia
INTRODUCCION
El siguiente informe muestra los análisis y los resultados de los datos obtenidos
experimentalmente en la práctica sobre momentos de inercia II, en donde la
medición del periodo de oscilación de masas unidas a un eje detorsión, en
función de la distancia al mismo, permite hallar la proporcionalidad del
momento de inercia y la constante del eje de torsión. Es importante lograr el
cálculo de los datos para así comparar los datos teóricos con los experimentales.
OBJETIVOS
* Medir el periodo de oscilación de una varilla transversal delgada con masas
adosadas y unida a un eje de torsión, en función de la distancia de las masas al
eje de rotación y verificar la proporcionalidad del momento de inercia de las
masas respecto del cuadrado de la distancia.
* Determinar la constante del eje de torsión.
* Determinar los momentos de inercia de cuerpos de simetría de rotación en
base a su periodo de oscilación sobre un eje de torsión.
* Comparar los periodos de oscilación de dos cuerpos de distinta masa pero de
igual momento de inercia-
* Comparar los periodos de oscilación para cuerpos huecos de igual masa e
iguales medidas y el periodo de oscilación de dos cuerpos con masas iguales
pero distintas dimensiones.
* Determinar el momento de inercia de un disco para distintas distancias entre
el eje de rotación y el de simetría y verificar el cumplimiento del Teorema de
Steiner (Teorema de los ejes paralelos).
MARCO TEORICO
Fundamentalmente es necesario tener conocimiento pleno de lo que es el
momento de inercia, el cual es una magnitud que da cuenta de cómo es la
distribución de masas de un cuerpo o un sistema de partículas alrededor de uno
de sus puntos. En el movimiento de rotación, este concepto desempeña un papel
análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo uniforme.
Representa la inercia de un cuerpo al rotar. El momento de inercia (escalar) de
una masa puntual rotando alrededor de un eje conocido se define por
𝐼 = 𝑚𝑟2
Donde m es la masa del punto, y r es la distancia mínima entre ella y el eje de
rotación. Dado un eje arbitrario, para un sistema de partículas se define como la
suma de los productos entre las masas de las partículas que componen un
sistema, y el cuadrado de la distancia r de cada partícula al eje escogido.
Matemáticamente se expresa como:
∑𝑚𝑖𝑟𝑖2
Para un cuerpo de masa continua (Medio continuo). Lo anterior se generaliza
como:
∫ 𝑟2𝑑𝑚 = ∫ 𝑝𝑟2
𝑣
𝑑𝑉𝑣
Este concepto, desempeña en el movimiento de rotación un papel análogo al de
masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. La masa es la
resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en traslación y el Momento
de Inercia es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en rotación
Así, por ejemplo, la segunda ley de Newton 𝑎 = 𝐹 𝑚⁄ tiene como equivalente
para la rotación:
𝜏 = 𝐼𝛼
Donde 𝜏 es el momento aplicado al cuerpo. 𝐼 Es el momento de inercia del
cuerpo con respecto al eje de rotación y 𝛼 =𝑑2Ɵ
𝑑𝑡2 es la aceleración angular.
La energía cinética de un cuerpo en movimiento con velocidad 𝑣 es 1
2𝑚𝑣2,
mientras que la energía de cinética de un cuerpo en rotación con velocidad
angular ω es 1
2𝐼𝑤2 . Donde I es el momento de inercia con respecto al eje de
rotación.
La conservación de la cantidad de movimiento o momento lineal tiene por
equivalente la conservación del momento angular �⃑� .
�⃑� = 𝐼�⃑⃑�
El vector momento angular tiene la misma dirección que el vector velocidad
angular �⃑⃑� .
En esta práctica el momento de inercia queda determinado a partir del periodo
de oscilación de un eje de torsión, en el que se ha insertado el cuerpo de prueba
y que está unido con el soporte mediante un resorte espiral. El sistema es
excitado para obtener oscilaciones armónicas. A partir del periodo de oscilación
T y con el factor direccional angular D se calcula el momento de inercia I del
cuerpo de prueba según la fórmula: 𝐼 = 𝐷𝑇
2𝜋
2
En uno de los experimentos se determina el momento de inercia de una “masa
puntual” en función de la distancia r al eje de rotación. Para ello se usa una
varilla con dos masas situadas simétricamente.
En otro experimento se comparan los momentos de inercia del cilindro hueco,
con el cilindro macizo y la bola maciza.
En un último experimento se realiza la verificación experimental del teorema
de Steiner tomando como ejemplo un disco circular plano. Para ello se miden
los momentos de inercia a diferentes distancias del eje de rotación respecto al
centro de gravedad y se compara con el momento de inercia alrededor del centro
de gravedad.
EQUIPO
- Un eje de torsión.
- Una esfera.
- Un juego de cilindros.
- Un disco para el eje de torsión.
- Un trípode pequeño en forme de v.
- Un cronometro.
- Una balanza.
- Un calibrador.
- Regla.
CALCULOS Y ANALISIS DE DATOS
Parte 1.
30 900 19,86 20,86 20,05 19,76 20,1325 20,1325 ± 0,2885 6,71 ± 0,0962 45,035284
25 625 16,72 16,89 16,82 16,91 16,835 16,835 ± 0,0496 5,61 ± 0,0165 31,4908028
20 400 13,93 13,81 14,04 13,76 13,885 13,885 ± 0,0725 4,63 ± 0,0242 21,4214694
15 225 10,86 10,88 10,93 11,01 10,92 10,92 ± 0,0386 3,64 ± 0,0129 13,2496
10 100 8,33 8,76 8,54 8,43 8,515 8,515 ± 0,1065 2,84 ± 0,0355 8,05613611
5 25 6,7 6,57 6,58 6,39 6,56 6,56 ± 0,7379 2,19 ± 0,0246 4,78151111
Sin masas 0 5,84 5,91 5,82 5,75 5,83 5,83 ± 0,0380 1,94 ± 0,0127 3,77654444
Masa adosada = 240g
Para n = 3 oscilaciones
𝑟 𝑚 𝑟 𝑚2
1 2
=
2 2
2. Grafica de T2 en función de r2, la cual permite comprar los valores
obtenidos de r2 y T2
3. Utilizando la regresión lineal y a partir de la gráfica anterior se calculó el
valor de la pendiente y la ecuación dela recta que mejor se ajusta a los puntos
graficados es:
m= 0.0456 y=0.0456x +3,4256
Se concluyó que el factor de correlación nos proporciona la dispersión de los
datos con respecto a la ecuación y=0.0456x +3,4256 ya que este valor es muy
cercano a 1 y es 0.9993, indica que hay relación entre las variables, es decir,
que tanto se ve afectado el resultado Y al modificar X, por consiguiente, si la
r^2 es baja el modelo no es confiable porque no existe una fuerte relación
entre X y Y. En nuestro análisis tenemos una relación casi perfecta con los
datos.
y = 0,0456x + 3,4256
R² = 0,9993
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
T^2
[s^
2]
r^2 [cm^2]
T^2 vs r^2
= √∑(ti−t )
2
n−1ni=1
= √(19.86 − 20.1325)2 + (20.86 − 20.1325)2 + (20.05 − 20.1325)2 + (19.76 − 20.1325)2
3
= 0.2885
4. A partir de la pendiente de la recta a de la ecuación formulada para hallar la
constante de torsión, se obtuvo el valor de la misma y el error absoluto al
calcularla.
𝑚 =8𝑀𝜋2
𝐷
𝐷 =8𝑀𝜋2
𝑚
𝐷 =8𝑀𝜋2
𝑚
𝐷 =8 ∗ 240𝜋2
0.0456= 415562.2906
PARTE 2.
1
2. Se calculó el momento de inercia I con base a los periodos de oscilación T de
la tabla anterior, utilizando la constante de torsión calculada en el numeral 4 de
la parte 1, este dato se encuentra en la tabla 2.
𝐼𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙 = 𝐷 (𝑇
2𝜋)2
𝐼𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙 = 415562.291 (1. 725
2𝜋)2
𝐼𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙 = 19829.01
𝐼𝑡𝑒𝑜𝑟𝑖𝑐𝑜 =2
5𝑀𝑅2
𝐼𝑡𝑒𝑜𝑟𝑖𝑐𝑜 = 20186.04
%𝐷𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒 𝑖𝑎 = |20186.04 − 19829.01
20186.04| ∗ 100 = 1.76%
Esfera maciza 1029,9 14 4,13 4,19 4,07 4,08 4,1175 4,117 ± 0,0318 1,372 ± 0,0105 19829,01 20186,04 1,768698
Cilindro chato 369,2 22,4 4,64 4,52 4,48 4,35 4,4975 4,497 ± 0,0690 1,499 ± 0,0230 23652,64 23156,22 2,143786
Cilindro alto 356,5 9 2,27 2,3 2,16 2,38 2,2775 2,277 ± 0,0525 0,759 ± 0,0175 6065,6 3609,563 68,04266
Cilindro hueco 350,5 8,5 2,73 2,81 2,98 2,65 2,7925 2,792 ± 0,0814 0,930 ± 0,0271 9119,88 6330.91 44,05322
Soporte vacio 1,37 1,24 1,14 1,33 1,27 1,27 ± 0,0590 0,4233 ± 0,196 1886,13
Para n = 3 oscilaciones
𝑒𝑟𝑝 2R 𝑚
1 2
=
𝐼 𝑚2
𝑀 𝐼𝑀𝑅2⁄ % 𝑟𝑟 𝑟
3. Se calculó los factores adimensionales de los momentos de inercia a partir de
la fórmula para cada cuerpo.
𝐼𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 ℎ𝑢𝑒𝑐𝑜 = 𝑀𝑅2
𝐼𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 𝑠𝑜𝑙𝑖𝑑𝑜 =1
2𝑀𝑅2
𝐼𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑖𝑑𝑎 =2
5𝑀𝑅2
Con los datos que se obtuvieron en el laboratorio practico de momento de
inercia II, se realizaran cálculos que permitirán entender lo que ocurre con el
momento de inercia a partir de la teoría y se registraron en la anterior tabla:
estos datos están relacionados con las formulas vistas anteriormente.
Parte 3.
Cuerpo M(g) 2R[c
m]
T1[
s]
T2[
s]
T3[
s]
T4[
s] 𝛿 [ ]
=
𝛿 [ ]
𝐼[ 𝑚2] 𝐼/𝑀𝑅2
𝐼/𝑀𝑅2
%
Er
ro
r
Esfera
Maciza
959,2 14 4,1
3
4,1
9
4,0
7
4,0
8 4,11 0.0
4
1,37
0,0
1
223
5,5
1880
0,32
2
5𝑀𝑅2
88
.1
Cilindro
Macizo
370,5 2,1 4,6
4
4,5
2
4,4
8
4,3
5 4,49 0,0
8
1,49
0,0
33
264
4.2
2042
3,81
1
2𝑀𝑅2
87
,0
5
Cilindro
macizo alto
357,7 8.5 2,2
7
2,3
0
2,1
6
2,3
8 2.27 0,0
6
0,75
0,0
2
669,
97
3154,
91
1
2𝑀𝑅2
78
,1
2
Cilindro
hueco
352,5 8,5 2,7
3
2,8
1
2,9
8
2,6
5 2,79 0.1 0,93
0,0
4
103
0,15
6218,
1 𝑀𝑅2 83
,4
Soporte
vació
116,6 9,62 1,3
7
1,2
4
1,1
4
1,3
3 1,27 0,0
8
0,42
0,0
33
--- ------ ----
Ahora por otra parte se comprobara el teorema de Steiner el cual permite
calcular el momento de inercia en relación a un eje que es paralelo al eje de
rotación .Teniendo los datos sobre el Disco, obtuvimos unos ciertos datos
registrados a partir de un laboratorio realizado, y por consiguiente se completó
la siguiente tabla de la siguiente manera:
Se registraron los tiempos de acuerdo a tres oscilaciones, se halló un promedio
de los tiempos y se calculó sus respectivos errores de medida:
Masa del disco
Radio disco R:
T1 [s] T2[s] T3[s] T4[s] ̌ 𝛿 [ ]
= ̌
𝛿 [ ]
(
2𝜋) [ 2]
𝐼𝐴[ 𝑚2]
a [cm] 𝑎2[ 𝑚2] N= 3 oscilaciones
O 0 10,36 10,96 10,01 10,65 10,49
3,49 0,14 0,55 14507
,3
2 4 10,83 10,76 10,91 10,98 10,87
3,62 0,03 0,57 15608
,2
4 16 10,86 10,77 11,06 11,07 10,94
3,64 0,05 0,579 15781
,1
6 36 11,59 11,72 10,92 11,80 11,50
3.83 0,13 0,60 17471
,6
8 64 12,92 12,65 12,54 12,11 12,55
4,18 0,1 0,66 20810
,7
16 256 16,20 16,50 16,51 16,59 16,45
5,48 0,05 0,87 35768
,1
Esta grafica representa la relación entre la distancia y la consecuencia de esto,
es decir su momento de inercia y por lo tanto permite calcular el valor de la
pendiente, el factor de correlación y la pendiente de la misma demuestra la
variación del momento de inercia con respecto al eje de torsión indicando la
proporcionalidad existente de acuerdo a la teoría o teorema de Steiner.
y = 82,199x + 14840R² = 0,9967
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
40000
0 50 100 150 200 250 300
IA [
g^2
]
a^2 [cm^2 ^]
a^2 VS IA
Series1
Lineal (Series1)
Conclusiones:
Se verifico la proporcionalidad del momento de inercia de los cuerpos
respecto a la distancia y así también poder determinar la constante de
torsión.
Los cálculos a partir de los datos obtenidos y las formulas teóricas
permiten ver una vez más los errores al tomar medidas indirectas,
también permiten ver que la teoría en el momento de inercia se cumple.
Se logró determinar el momento de inercia de dos sólidos con masas
similares y pudimos ver como variaba el momento de inercia entre ellos
gracias a la distribución de masas.
Bibliografía:
http://es.wikipedia.org/wiki/Momento_de_inercia
https://www.youtube.com/watch?v=DERoxBMugK0
https://www.uclm.es/profesorado/ajbarbero/Problemas/Momentos_de_i
nercia07.pdf