- 1 -
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD DE HUMANIDADES Y TECNOLOGÍAS DE LA COMUNICACIÓN SOCIAL
ESCUELA DE CARTOGRAFÍA
ANÁLISIS DE LA SIGNIFICANCIA DE MODELOS DE TRANSFOR MACIÓN
BIDIMENSIONAL Y MODELO DE SIMILARIDAD 3D PARA LA
COMPATIBILIZACIÓN DE BASES CARTOGRÁFICAS A SIRGAS
TESIS PARA OPTAR AL TÍTULO DE CARTÓGRAFO Y AL GRADO DE LICENCIADO
EN CIENCIAS CARTOGRÁFICAS
PROFESOR GUÍA: Eduardo Mera Garrido
AUTOR: Sergio Rebolledo Calvil
SANTIAGO-CHILE
2010
- 2 -
NOTA OBTENIDA: _______________
_________________________________
(Firma y timbre de autoridad responsable)
- 3 -
A mis padres Sergio Rebolledo y Marisol Calvil Y en memoria de Gonzalo Olave (Q.E.P.D.)
- 4 -
Agradecimientos:
A Dios;
A mi familia, por estar siempre conmigo y apoyarme en mis estudios;
A Pabla Aravena Cádiz, por todo su apoyo y amor durante la realización de esta investigación;
A mi profesor guía Eduardo Mera Garrido, por su apoyo y guía en el proceso de investigación;
Al profesor René Zepeda Godoy, por sus indispensables sugerencias e incentivo;
Al profesor Miguel Valladares Quiroz, por su apoyo e incentivo en la realización de mis estudios;
A Sebastián Fuentes Santibáñez, por su desinteresado apoyo desde Curitiba (Brasil);
A Jorge León (Geoinformación) y Stefan Bagladi (Ministerio de Bienes Nacionales), por proporcionarme los datos indispensables para la realización de esta investigación.
A los profesores que participaron en mi formación profesional;
A mis compañeros de carrera que ayudaron en la realización de esta investigación;
Y a todos los que colaboraron de una u otra forma en el desarrollo de esta tesis.
- 5 -
RESUMEN
El establecimiento de Sistemas Geodésicos de Referencia (SGR) modernos y de aplicación
global, materializados a través de la tecnología satelital, principalmente con el Sistema de
Posicionamiento Global (GPS), ha permitido la generación de cartografía de precisión
ostensiblemente mejor que la generada por métodos clásicos.
La densificación (en distintas escalas) de los SGR modernos, permite el nacimiento del
proyecto “Sistema de Referencia Geocéntrico Para las Américas” (SIRGAS), el cual es una realidad
en Chile, a través de la “Red Geodésica Nacional SIRGAS-Chile”.
A partir de estos cambios se desprende la problemática abordada en este estudio, la cual
consiste en el análisis de las implicancias que conlleva la compatibilización de bases cartográficas
pertenecientes a SGR heterogéneos, a través de los modelos de transformación bidimensional y de
Similaridad 3-D.
Los distintos modelos de transformación son ajustados estadísticamente, a través del
método paramétrico de mínimos cuadrados, el cual permite la estimación de los parámetros de
transformación, a partir de observaciones homólogas pertenecientes a distintos SGR. El
comportamiento de las precisiones de los modelos de transformación, las coordenadas
transformadas y los residuos, permite analizar el nivel de significancia y uso alternativo de cada
modelo de transformación.
En la presente investigación, se analiza un caso concreto en la VII región de Chile;
contando con treinta vértices geodésicos pertenecientes a los SGR PSAD-56 y SIRGAS, que
permiten determinar el nivel de significancia que poseen los distintos modelos de transformación
abordados en este estudio.
- 6 -
ABSTRACT
The establishment of the Geodetic Reference System (GRS) modern and global application,
materialized through satellite technology, especially with the Global Positioning System (GPS), has
permitted the generation of mapping precision significantly better than that generated by classics
methods.
Densification (in different scales) of modern GRS, enables the birth of the "Geocentric
Reference System for the Americas" (SIRGAS), which is a reality in Chile, through the "National
Geodetic Network SIRGAS-Chile".
From these changes it is clear the problems addressed in this study, which is the analysis of
the implications involved in reconciling the cartographic bases belonging to heterogeneous GRS,
through processing bidimentional models and Similarity 3-D.
The various transformation models are statistically adjusted through the least squares
parametric method, which allows the estimation of transformation parameters, based on
observations from different SGR counterparts. The behavior of the detailed transformation models,
the transformed coordinates and waste, to analyze the significance level and alternative use of each
transformation model.
The different processing models are statistically adjusted through the least squares
parametric method, which allows the estimation of transformation parameters, from observations
from different GRS counterparts. The behavior of the detailed of transformation models, the
transformed coordinates and waste, to analyze the significance level and alternative use of each
transformation model.
In this research, we analyze a particular case in the Seventh Region of Chile, had thirty
geodetic vertices belonging to the SGR-56 and SIRGAS PSAD, which determine the level of
significance that have different processing models addressed in this study.
- 7 -
ÍNDICE 1. ANTECEDENTES GENERALES....................................................................................... 15
1.1. INTRODUCCIÓN ............................................................................................................... 15 1.2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA............................................................................. 17 1.3. OBJETIVOS…. ................................................................................................................... 18 1.3.1. Objetivo General ............................................................................................................... 18 1.3.2. Objetivos Específicos........................................................................................................ 18 1.4. HIPÓTESIS DE TRABAJO................................................................................................. 19 1.5. JUSTIFICACIÓN Y CONTRIBUCIÓN DE LA INVESTIGACIÓN................................. 20
2. FUNDAMENTOS TEÓRICOS ........................................................................................... 21
2.1. SISTEMA DE GEODÉSICO DE REFERENCIA...............................................................21 2.1.1. Sistema Geodésico de Referencia Local ........................................................................... 21 2.1.1.1. Sistemas Geodésicos de Referencia Locales utilizados en Chile................... 22 2.1.2. Sistema Geodésico de Referencia Global ......................................................................... 24 2.1.2.1. International Terrestrial Reference System (ITRS) ....................................... 25 2.1.2.2. International Terrestrial Reference Frame (ITRF)......................................... 25 2.1.2.3. World Geodetic System 1984 (WGS 84)....................................................... 26 2.1.2.4. Sistema de Referencia Geocéntrico para las Américas (SIRGAS)................ 27
2.2. PROYECCIÓN TRANSVERSA MERCATOR.................................................................. 31 2.2.1. Fórmulas de conversión de coordenadas geodésicas a coordenadas planas TM............... 32 2.2.2. Fórmulas de conversión de coordenadas planas TM a coordenadas geodésicas............... 33 2.2.3. Factor de distorsión de escala (m) ..................................................................................... 34 2.2.4. Convergencia Meridiana (C) ............................................................................................. 35 2.2.5. Proyección Universal Transversal de Mercator (UTM).................................................... 36 2.3. MODELOS DE TRANSFORMACIÓN BIDIMENSIONAL Y DE SIMILARIDAD 3D .. 38 2.3.1. Modelos de transformación bidimensional ...................................................................... 38 2.3.1.1. Modelo de transformación de Similaridad 2-D.............................................. 38 2.3.1.1.1. Traslación ................................................................................... 39 2.3.1.1.2. Rotación θ................................................................................... 39 2.3.1.1.3. Escalamiento............................................................................... 41 2.3.1.1.4. Expresión general ....................................................................... 42 2.3.1.2. Modelo de transformación Afín 2-D.............................................................. 42 2.3.1.3. Modelo de transformación Proyectiva 2-D.................................................... 45 2.3.1.3. Modelo de transformación Polinomial 2-D ................................................... 50 2.3.2. Modelo de Similaridad 3-D Molodensky-Badekas........................................................... 51 2.3.2.1. Traslación....................................................................................................... 52 2.3.2.2. Rotación ......................................................................................................... 53 2.3.2.2.1. Rotación ω .................................................................................. 53 2.3.2.2.2. Rotación ε ................................................................................... 55 2.3.2.2.3. Rotación ψ .................................................................................. 56
- 8 -
2.3.2.3. Escalamiento.................................................................................................. 58 2.3.2.4. Centroide........................................................................................................ 59
2.3.4.5. Integración de diez parámetros en modelo de transformación Molodensky-Badekas....................................................................................................................... 59
2.4. AJUSTE GEODÉSICO........................................................................................................ 61 2.4.1. Tipos de error... ................................................................................................................. 62 2.4.2. Linealización de ecuaciones por serie de Taylor............................................................... 63 2.4.3. Matriz de Varianza-Covarianza (MVC)............................................................................ 64 2.4.4. Ley de propagación de covarianzas................................................................................... 65 2.4.5. Ajuste por el Método Paramétrico de Mínimos Cuadrados .............................................. 66 2.4.5.1. Modelo matemático ....................................................................................... 66 2.4.5.2. Ecuaciones normales...................................................................................... 69 2.4.5.3. Pesos en las observaciones............................................................................. 70 2.4.5.4. Matriz de Varianza-Covarianza ..................................................................... 71 2.4.5.5. Iteraciones...................................................................................................... 72
2.4.5.6. Test de Chi-Cuadrado (2χ )........................................................................... 73 2.4.5.7. Eliminación de errores groseros..................................................................... 74 2.4.6. Elipse de Error................................................................................................................... 74 3. METODOLOGÍA ................................................................................................................. 78
3.1. DETERMINACIÓN DEL ÁREA DE ESTUDIO................................................................78 3.2. DETERMINACIÓN DE TOLERANCIA RESIDUAL....................................................... 80 3.3. CONVERSIÓN DE COORDENADAS............................................................................... 81 3.4. DETERMINACIÓN DE PARÁMETROS DE PROYECCIÓN CARTOGRÁFICA.......... 83 3.4.1. Universal Transversal de Mercator (UTM)....................................................................... 83 3.5. ESTIMACIÓN DE LOS PARÁMETROS DE TRANSFORMACIÓN EN MODELOS DE TRANSFORMACIÓN BIDIMENSIONAL Y DE SIMILARIDAD 3-D .................................. 84 3.5.1. Modelos Matemáticos de Ajuste ....................................................................................... 84 3.5.1.1. Modelo matemático de ajuste de transformación de Similaridad 2-D........... 84 3.5.1.2. Modelo matemático de ajuste de transformación Afín 2-D ........................... 86 3.5.1.3. Modelo matemático de ajuste de transformación Proyectiva 2-D ................. 87 3.5.1.4. Modelo matemático de ajuste de transformación Polinomial 2-D................. 89 3.5.1.5. Modelo matemático de ajuste de transformación de Similaridad 3-D Molodensky-Badekas.................................................................................................. 90 3.5.2. Matriz de Pesos ................................................................................................................. 92 3.5.3. Ecuaciones Normales ........................................................................................................ 92 3.5.4. Iteraciones….. ................................................................................................................... 92 3.6. DETERMINACIÓN DE MATRICES DE VARIANZA-COVARIANZA ......................... 93 3.6.1. MVC en Modelo de transformación de Similaridad 2-D .................................................. 93 3.6.2. MVC en Modelo de transformación Afín 2-D .................................................................. 94 3.6.3. MVC en Modelo de transformación Proyectiva 2-D ........................................................ 94 3.6.4. MVC en Modelo de transformación Polinomial 2-D........................................................ 95
- 9 -
3.6.5. MVC en Modelo de transformación de Similaridad 3-D Molodensky-Badekas .............. 95
3.7. TEST DE CHI-CUADRADO ( 2χ )..................................................................................... 97 3.8. ELIMINACIÓN DE ERRORES GROSEROS .................................................................... 98 3.9. PROPAGACIÓN DE COVARIANZAS ............................................................................. 99 3.9.1. Propagación de Covarianzas a las Coordenadas Geodésicas ............................................ 99 3.9.2. Propagación de Covarianzas a las Coordenadas Planas UTM ........................................101 3.10. ESTIMACIÓN DE ELIPSES DE ERROR ..................................................................... 103 3.10.1. Estimación de Elipses de Error en Coordenadas Planas UTM......................................103 3.11. DETERMINACIÓN DE LOS RESIDUOS DE LAS OBSERVACIONES .................... 104 3.12. DETERMINACIÓN DE LA VARIACIÓN DE DISTORSIÓN DE ESCALA Y CONVERGENCIA MERIDIANA ........................................................................................... 104 3.13. DETERMINACIÓN DE LOS RESIDUOS DE LOS PUNTOS DE CONTROL............ 105 4. RESULTADOS.................................................................................................................... 106 4.1. PARÁMETROS DE TRANSFORMACIÓN.....................................................................106 4.2. ELIPSES DE ERROR........................................................................................................ 113 4.3. RESIDUOS DE LAS OBSERVACIONES ....................................................................... 120
4.4. ESTADÍSTICA ( 2χ )......................................................................................................... 127 4.5. ELIMINACIÓN DE OBSERVACIONES......................................................................... 129 4.6. VARIACIÓN DE DISTORSIÓN DE ESCALA Y CONVERGENCIA MERIDIANA .. 131 4.7. RESIDUOS DE LOS PUNTOS DE CONTROL............................................................... 133 5. ANÁLISIS DE RESULTADOS ........................................................................................ 136 5.1. ANÁLISIS DE LOS PARÁMETROS DE TRANSFORMACIÓN................................... 136 5.2. ANÁLISIS DE LAS ELIPSES DE ERROR...................................................................... 138 5.3. ANÁLISIS DE LOS RESIDUOS DE LAS OBSERVACIONES ..................................... 142
5.4. ANÁLISIS ESTADÍSTICO ( 2χ ) ..................................................................................... 146 5.5. ANÁLISIS DE LAS OBSERVACIONES ELIMINADAS............................................... 148
- 10 -
5.6. ANÁLISIS DE LA VARIACIÓN DE DISTORSIÓN DE ESCALA Y CONVERGENCIA MERIDIANA ........................................................................................... 149 5.5. ANÁLISIS DE LOS RESIDUOS DE LOS PUNTOS DE CONTROL............................. 151 6. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ................................................................ 152 6.1. CONCLUSIONES ............................................................................................................. 152 6.2. RECOMENDACIONES .................................................................................................... 155 7. BIBLIOGRAFÍA ................................................................................................................. 156 8. ANEXOS.............. ................................................................................................................ 159 I. REFERENCIALES GEODÉSICOS...................................................................................... 160 Elipsoide de revolución............................................................................................................. 161 Radios de curvatura de secciones normales.............................................................. 162 Radio de curvatura de la elipse meridiana................................................ 163 Radio de curvatura del primer vertical ..................................................... 163 Arcos en el elipsoide................................................................................................. 164 Longitud de arco de paralelo .................................................................... 165 Longitud de arco de meridiano................................................................. 166 Sistema de coordenadas cartesianas en el espacio .................................................................... 168 Sistema de coordenadas geodésicas curvilíneas........................................................................ 168 Latitud geodésica ...................................................................................................... 169 Longitud geodésica ................................................................................................... 169 Altura elipsoidal........................................................................................................ 170 Relación matemática entre coordenadas cartesianas y geodésicas curvilíneas ......................... 170 Sistema de referencia vertical ................................................................................................... 172 Superficies de referencia para la definición de alturas ............................................. 172 Geoide....................................................................................................... 173 Cuasi – Geoide.......................................................................................... 173 Elipsoide .................................................................................................. 173 Alturas de tipo geométrico........................................................................................ 173 Alturas niveladas ...................................................................................... 173 Alturas elipsoidales................................................................................... 174 Alturas de tipo físico................................................................................................. 175 Alturas dinámicas ..................................................................................... 175 Alturas normales....................................................................................... 175 Alturas ortométricas ................................................................................. 176 II. COORDENADAS DE VÉRTICES GEODÉSICOS............................................................ 177 III. COORDENADAS DE PUNTOS DE CONTROL.............................................................. 180
- 11 -
Índice de tablas
Tabla 1 Parámetros elipsoidales SGR PSAD-56............................................................. 23 Tabla 2 Parámetros elipsoidales SGR SAD-69............................................................... 23 Tabla 3 Parámetros elipsoidales SGR WGS-84.............................................................. 27 Tabla 4 Parámetros elipsoidales SGR SIRGAS.............................................................. 30 Tabla 5 Precisiones residuales......................................................................................... 80 Tabla 6 Parámetros de transformación modelo de Similaridad 2-D ............................. 107 Tabla 7 Parámetros de transformación modelo Afín 2-D.............................................. 107 Tabla 8 Parámetros de transformación modelo de Proyectivo 2-D............................... 108 Tabla 9 Parámetros de transformación modelo de Polinomial 2-D .............................. 109 Tabla 10 Parámetros de transformación modelo Molodensky-Badekas 3-D.................. 110 Tabla 11 Parámetros de transformación modelo de Similaridad 2-D (recalculado) ....... 111 Tabla 12 Parámetros de transformación modelo Afín 2-D (recalculado)........................ 111 Tabla 13 Parámetros de transformación modelo Molodensky-Badekas 3-D (recalculado) .................................................................................................... 112 Tabla 14 Estadística test de Chi-Cuadrado zona Z1-2 .................................................... 127 Tabla 15 Estadística test de Chi-Cuadrado zona Z1........................................................ 127 Tabla 16 Estadística test de Chi-Cuadrado zona Z2........................................................ 128 Tabla 17 Estadística test de Chi-Cuadrado zona Z1-2 (Modelos de transformación recalculados).................................................................................................... 128 Tabla 18 Estadística test de Chi-Cuadrado zona Z1 (Modelos de transformación recalculados)..................................................................................................... 128 Tabla 19 Observaciones eliminadas en modelo de Similaridad 2-D (Z1-2) ................... 129 Tabla 20 Observaciones eliminadas en modelo Molodensky-Badekas (Z1-2) ............... 129 Tabla 21 Observaciones eliminadas en modelo Afín 2-D (Z1-2).................................... 129 Tabla 22 Observaciones eliminadas en modelo de Similaridad 2-D (Z1)....................... 130 Tabla 23 Observaciones eliminadas en modelo Molodensky-Badekas (Z1) .................. 130
- 12 -
Índice de figuras
Figura 1 Definición del sistema de coordenadas WGS 84............................................... 26 Figura 2 Red de densificación de marcos de referencia................................................... 28 Figura 3 Estaciones GPS campaña SIRGAS 1995........................................................... 29 Figura 4 Estaciones GPS campaña SIRGAS 2000........................................................... 30 Figura 5 Convergencia meridiana .................................................................................... 35 Figura 6 Traslaciones en modelo de transformación de similaridad 2-D......................... 39 Figura 7 Rotación θ en modelo de transformación de similaridad 2-D.......................... 40 Figura 8 Factor de escala k en modelo de transformación de similaridad 2-D ................ 41 Figura 9 Sistemas no ortogonales en modelo de transformación Afín 2-D......................43 Figura 10 Sistemas de coordenadas en modelo de transformación Proyectiva 2-D........... 45 Figura 11 Rotaciones en modelo de transformación Proyectiva 2-D................................. 46 Figura 12 Sistemas paralelos en modelo de transformación Proyectiva 2-D..................... 47 Figura 13 Traslaciones tridimensionales expresadas en los incrementos x∆ , y∆ , z∆ ..... 52 Figura 14 Rotación ω ........................................................................................................ 53 Figura 15 Vista de ejes cartesianos bidimensionales, a partir de una rotación ω ............. 53 Figura 16 Rotación ε ........................................................................................................ 55 Figura 17 Rotación ψ ........................................................................................................ 56 Figura 18 Factor de escala k............................................................................................... 58 Figura 19 Modelo de transformación Molodensky-Badekas ............................................. 58 Figura 20 Elipse de error.................................................................................................... 77 Figura 21 Distribución de vértices geodésicos, VII Región del Maule.............................. 78 Figura 22 Magnitud de variación de distorsión de escala ................................................ 131 Figura 23 Magnitud de variación de convergencia meridiana ......................................... 132 Figura 24 Radio de curvatura de la elipse meridiana ....................................................... 163 Figura 25 Radio de curvatura del primer vertical............................................................. 164 Figura 26 Longitud de arco de paralelo (Sp) y longitud de arco de meridiano (Sm)....... 165 Figura 27 Sistema de coordenadas cartesianas y geodésicas ........................................... 170 Figura 28 Alturas niveladas ............................................................................................. 174
- 13 -
Índice de gráficos
Gráfico 1 2σ máximo y mínimo, zona Z1-2..................................................................... 113 Gráfico 2 2σ máximo y mínimo, modelo de transformación Proyectiva 2-D, zona Z1-2 ......................................................................................................... 114 Gráfico 3 Ángulo de rotación (t), modelo de transformación Proyectiva 2-D, zona Z1-2......................................................................................................... 114 Gráfico 4 2σ máximo y mínimo, zona Z1 ........................................................................ 115 Gráfico 5 2σ máximo y mínimo, modelo de transformación Proyectiva 2-D, zona Z1... 115 Gráfico 6 Ángulo de rotación (t), modelo de transformación Proyectiva 2-D, zona Z1 .. 116 Gráfico 7 2σ máximo y mínimo, zona Z2 ........................................................................ 116 Gráfico 8 2σ máximo y mínimo, modelo de transformación Proyectiva 2-D, zona Z2... 117 Gráfico 9 Ángulo de rotación (t), modelo de transformación Proyectiva 2-D, zona Z2 .. 117 Gráfico 10 2σ máximo y mínimo, modelo de transformación Afín 2-D, zona Z1-2 (2).... 118 Gráfico 11 2σ máximo y mínimo, modelos de transformación de Similaridad 2-D y Molodensky-Badekas , zona Z1-2 (2).......................................................... 118 Gráfico 12 2σ máximo y mínimo, modelos de transformación de Similaridad 2-D y Molodensky-Badekas , zona Z1 (2) ............................................................ 119 Gráfico 13 Residuos coordenada este, zona Z1-2 .............................................................. 120 Gráfico 14 Residuos coordenada norte, zona Z1-2 ............................................................ 121 Gráfico 15 Residuos coordenada este, zona Z1................................................................. 121 Gráfico 16 Residuos coordenada norte, zona Z1 ............................................................... 122 Gráfico 17 Residuos coordenada este, zona Z2................................................................. 122 Gráfico 18 Residuos coordenada norte, zona Z2 ............................................................... 123 Gráfico 19 Residuos coordenada este, zona Z1-2 (2), modelos de transformación de Similaridad 2-D y Molodensky-Badekas ......................................................... 123 Gráfico 20 Residuos de coordenada norte, zona Z1-2 (2), modelos de transformación de Similaridad 2-D y Molodensky-Badekas ......................................................... 124 Gráfico 21 Residuos coordenada este, zona Z1-2 (2), modelo de transformación Afín 2-D .......................................................................................................... 124 Gráfico 22 Residuos coordenada norte, zona Z1-2 (2), modelo de transformación Afín 2-D .......................................................................................................... 125 Gráfico 23 Residuos coordenada este, zona Z1 (2), modelos de transformación de Similaridad 2-D y Molodensky-Badekas ........................................................ 125 Gráfico 24 Residuos coordenada norte, zona Z1 (2), modelos de transformación de Similaridad 2-D y Molodensky-Badekas ........................................................ 126 Gráfico 25 Residuos de puntos de control, coordenada este, zona Z1-2............................ 133 Gráfico 26 Residuos de puntos de control, coordenada norte, zona Z1-2..........................133 Gráfico 27 Residuos de puntos de control, coordenada este, zona Z1 ............................... 134 Gráfico 28 Residuos de puntos de control, coordenada norte, zona Z1 ............................. 134 Gráfico 29 Residuos de puntos de control, coordenada este, zona Z2 ............................... 134 Gráfico 30 Residuos de puntos de control, coordenada norte, zona Z2 ............................. 135 Gráfico 31 2σ máximo y 2σ mínimo, zona Z1-2................................................................ 139 Gráfico 32 2σ máximo y 2σ mínimo, zona Z1................................................................... 140 Gráfico 33 2σ máximo y 2σ mínimo, zona Z2................................................................... 140 Gráfico 34 Residuos máximos y mínimos, zona Z1-2 ....................................................... 142 Gráfico 35 Residuos máximos y mínimos, zona Z1 .......................................................... 143 Gráfico 36 Residuos máximos y mínimos, zona Z2 .......................................................... 144 Gráfico 37 Residuos máximos y mínimos, zona Z1-2 (2).................................................. 145 Gráfico 38 Residuos máximos y mínimos, zona Z1 (2)..................................................... 145
- 14 -
Abreviaturas
2-D Dos dimensiones 3-D Tres dimensiones BIH Bureau Internacional de L’Heure C Convergencia meridiana CTP Conventional Terrestrial Pole DORIS Doppler Orbitography by Radio-Positioning Integrated on Satellite GLONASS Global Navigation Satellite System GPS Global Positioning System GRS-80 Geodetic Reference System 1980 IAG International Association of Geodesy IERS International Earth Rotation and Reference System IGAC Instituto Geográfico Agustín Codazzi IGS International GPS Service ILRS International Laser Ranging Service IPGH Instituto Panamericano de Geografía e Historia ITRF International Terrestrial Reference Frame ITRS International Terrestrial Reference System IVS International VLBI Service for Geodesy and Astrometry LLR Lunar Laser Ranking m Factor de distorsión de escala MMC Método de Mínimos Cuadrados MUTM Modificación de proyección Universal Transversal de Mercator MVC Matriz de Varianza-Covarianza NGA Nacional Geoespatial – Intelligency Agency NIMA National Imagery and Mapping Agency ppm partes por millón PSAD-56 Provisional South American Datum 1956 SAD-69 South American Datum 1969 SGR Sistema Geodésico de Referencia SI Sistema Internacional SIRGAS Sistema de Referencia Geocéntrico para las Américas SLR Satellite Laser Ranking TGC Tiempo Geocéntrico Coordinado TM Transversa Mercator UIGG International Union of Geodesy and Geophisics UTM Universal Transversal de Mercator WGS-84 World Geodetic System 1984 VLBI Very Long Baseline Interferometry
- 15 -
CAPÍTULO 1
ANTECEDENTES GENERALES
1.1. INTRODUCCIÓN
Actualmente, las técnicas modernas de posicionamiento han generado un cambio
significativo en la precisión lograda en los distintos productos cartográficos, debido a esta razón, la
implementación del proyecto SIRGAS y sus distintas densificaciones, significa una migración
desde SGR clásicos a modernos. Por consecuencia de lo anterior, se hace necesario el estudio de
modelos de transformación, que permitan compatibilizar bases cartográficas pertenecientes a
distintos SGR.
El presente estudio corresponde a un análisis de las precisiones que entregan los modelos de
transformación bidimensional y de Similaridad 3-D, aplicando el método paramétrico de mínimos
cuadrados, con el propósito de determinar los modelos de transformación que tengan una aplicación
óptima en el proceso de cambio de referencial en las bases cartográficas de escala grande.
A continuación, se describe brevemente el contenido fundamental de cada capítulo de este
estudio.
En el capítulo N°1, se exponen antecedentes generales acerca de la temática de estudio,
tales como: el planteamiento de la problemática, los objetivos, la hipótesis de trabajo, la
justificación y contribución de la investigación.
En el capítulo N°2, se establecen los fundamentos teóricos de la investigación, revisando
temáticas como: los SGR locales y globales, el sistema de proyección cartográfica TM, los modelos
de transformación bidimensional y de Similaridad 3-D; y por último, el ajuste geodésico a través del
método paramétrico de mínimos cuadrados.
- 16 -
En el capítulo N°3, se expone la metodología utilizada principalmente para la
determinación de los parámetros de transformación, residuos, precisiones, estadística, variaciones
de distorsión de escala y convergencia meridiana, correspondiente a los distintos modelos de
transformación en las distintas zonas.
El capítulo N°4, presenta los resultados obtenidos a través de la metodología planteada.
El capítulo N°5, corresponde al análisis de los resultados obtenidos.
En el capítulo N°6, se exponen las conclusiones y recomendaciones alcanzadas tras el
análisis de resultados.
Finalmente, en el capítulo N°7, se incluye en el anexo una revisión de los referenciales
geodésicos, el elipsoide de revolución, los sistemas de coordenadas tridimensionales y geodésicas,
el sistema de referencia vertical, y las coordenadas de los vértices geodésicos utilizados en esta
investigación.
- 17 -
1.2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA.
El desarrollo e implementación de SGR globales ha llevado a establecer distintas redes de
densificación terrestre, una de estas densificaciones corresponde al “Sistema de Referencia
Geocéntrico Para las Américas” (SIRGAS). Por otra parte, existieron algunos SGR locales como:
PSAD-56 y SAD-69, con los cuales se levantó gran parte de la cartografía nacional en sus distintas
escalas.
Debido a que la vigencia de un SGR está determinada por su uso, la introducción de SGR
modernos, implica una migración desde SGR locales a SGR globales. En este proceso existen
diversos problemas que afectan la homologación de bases cartográficas pertenecientes a distintos
SGR. Para poder establecer una compatibilización de bases cartográficas se deben considerar
algunos factores como: el nivel de precisión requerido, número de vértices geodésicos comunes a
ambos sistemas, área de ajuste, entre otros. Estos factores se pueden desarrollar en los modelos de
transformación, los cuales permiten compatibilizar sistemas de referencia heterogéneos, a través de
parámetros de transformación.
Los modelos de transformación abordados en este estudio corresponden al modelo de
transformación de Similaridad 3-D Molodensky-Badekas y los modelos de transformación
bidimensional: Afín 2-D, Similaridad 2-D, Proyectiva 2-D y Polinomial 2-D. Cada uno de estos
modelos entrega distintos niveles de precisión, los cuales deben ser analizados con el propósito de
establecer las distintas aplicaciones en el proceso de compatibilización de bases cartográficas, entre
los SGR PSAD-56 y SIRGAS; considerando como referencia las precisiones asociadas a escalas
grandes de representación cartográfica. Por lo tanto, el análisis de los modelos de transformación,
permite conocer sus funcionalidades relacionadas con los distintos niveles de precisión asociados a
cada modelo, para así evaluar su calidad y significancia.
- 18 -
1.3. OBJETIVOS.
1.3.1. Objetivo General:
- Analizar los modelos de transformación bidimensional y modelo de Similaridad 3-D, con el
propósito de determinar el nivel de significancia del ajuste de vértices geodésicos asociados
a bases cartográficas de escala grande, pertenecientes a los SGR PSAD-56 y SIRGAS, a
través del análisis de los residuos y las precisiones, generadas en el proceso de ajuste por el
MMC, en los vértices geodésicos y la propagación de error a las coordenadas planas.
1.3.2. Objetivos Específicos:
- Definir la tolerancia residual en el ajuste de vértices geodésicos asociados a bases
cartográficas en escalas grandes.
- Definir los parámetros de la proyección cartográfica a utilizar en el proceso de ajuste.
- Determinar los parámetros de ajuste correspondientes a cada modelo de transformación, a
partir de la aplicación del MMC en el ajuste de observaciones.
- Determinar la MVC de los parámetros de transformación, observaciones y residuos,
correspondientes a cada modelo de ajuste.
- Determinar la propagación de error desde las coordenadas tridimensionales a las
coordenadas planas, con el propósito de hacer comparables los modelos de transformación
bidimensional y el modelo de Similaridad 3-D.
- Analizar comparativamente las precisiones entregadas por cada modelo de transformación
en las coordenadas planas, a través de la MVC, las elipses de error y residuos de las
observaciones.
- Determinar y analizar la variación de distorsión de escala y convergencia meridiana,
generada en el proceso de transformación de bases cartográficas.
- 19 -
1.4. HIPÓTESIS DE TRABAJO.
Los modelos de transformación bidimensional (Similaridad 2-D, Afín 2-D, Proyectiva 2-D,
Polinomial 2-D) y modelo de Similaridad 3-D (Molodensky-Badekas), entregan distintos niveles de
precisión en los ajustes, los cuales pueden resultar insuficientes en la compatibilización de bases
cartográficas entre sistemas clásicos y modernos a escalas grandes.
- 20 -
1.5. JUSTIFICACIÓN Y CONSTRIBUCIÓN DE LA INVESTIGAC IÓN
Con el propósito de cumplir con los objetivos de esta investigación, se acude al empleo de
técnicas de ajuste de observaciones, a través del método paramétrico de mínimos cuadrados en el
ajuste de vértices geodésicos, asociados a bases cartográficas de escalas grandes; con el propósito
de determinar la significancia que poseen algunos modelos de transformación bidimensional y un
modelo de transformación tridimensional de similaridad. De esta manera, los resultados de esta
investigación se apoyan en la aplicación de métodos teóricos de ajuste aplicados al plano
cartográfico, que permitirán dar un apoyo en los procesos de ajuste, a través de modelos de
transformación que puedan cumplir con los requerimientos de precisión en trabajos de tipo
cartográfico, relacionados con un cambio de referencial.
La contribución que se espera de este trabajo es poder entregar:
• Definiciones analíticas acerca de los modelos de transformación estudiados.
• Una metodología para el análisis de las precisiones del ajuste de bases cartográficas de
escala grande.
• Un análisis comparativo entre modelos de transformación bidimensional y un modelo
tridimensional de similaridad, a través de la propagación de error a las coordenadas planas.
• La determinación de un(os) modelo(s) de transformación idóneos para la compatibilización
de bases cartográficas que poseen SGR heterogéneos y escala grande.
- 21 -
CAPÍTULO 2
FUNDAMENTOS TEÓRICOS
2.1. SISTEMA GEODÉSICO DE REFERENCIA.
Según DREWES y SÁNCHEZ (2004, p. 3), un Sistema Geodésico de Referencia (SGR)
está compuesto por un:
• Sistema de referencia: corresponde al conjunto de convenciones y conceptos teóricos que
definen en cualquier momento modelos, parámetros, constantes, etc.; los cuales sirven de
base para describir el estado geométrico o los procesos físicos de la Tierra o de la superficie
terrestre.
• Marco de referencia: corresponde a la realización o materialización de un sistema de
referencia por distintas entidades físicas y matemáticas.
Un sistema de referencia no tiene aplicación práctica si no se utiliza un marco de referencia,
el cual proporcione puntos de control que mantengan actualizado el sistema de referencia (IGAC,
2004, P. 3). Los diversos sistemas de referencia se clasifican según su dimensionalidad (Zepeda et
al., 2002, p. 4):
• 1 dimensión = Altimetría: Elipsoídica, Ortométrica, Científica.
• 2 dimensiones = Planimetría: Curvilíneo (redes clásicas), plano topográfico.
• 3 dimensiones = Espacial: GPS, GLONASS.
• 4 dimensiones = Tetradimensional: Operaciones de control, ITRF, SIRGAS.
2.1.1. Sistema Geodésico de Referencia Local
Un SGR de tipo local está determinado por un datum geodésico local, el cual se define
como los parámetros que conectan las mediciones con el sistema de referencia, además se define un
- 22 -
punto fundamental o punto datum, donde se determinan parámetros como la orientación (dirección)
y el origen de las coordenadas (DREWES y SÁNCHEZ, 2004, p. 7). Los SGR locales son sistemas
cuasi-geocéntricos, es decir, poseen una considerable desviación del geocentro y están asociados a
un elipsoide de referencia, cuyo objetivo es ajustar el geoide a una zona determinada del globo
(RAMÍREZ y ORTIZ, 2003, p. 24). Un punto fundamental o punto datum debe contar con:
coordenadas astronómicas (Φ, Λ), coordenadas geodésicas (φ, λ), altura Ortométrica ( ortomH ),
azimut hacia otro vértice (astronómico y geodésico), componente meridiana (ξ ), primer vertical
(η ) y ondulación geoidal (N) nula (MIRANDA, p. 2). Los SGR locales están relacionados a
coordenadas bidimensionales, ya sean estas geodésicas curvilíneas (φ, λ) o planas (norte y este). La
altura (H) se determina mediante un sistema de referencia vertical, el cual es independiente del
sistema bidimensional (DREWES y SÁNCHEZ, 2004, p. 7). Según Zepeda (2004, p. 49), las
precisiones entregadas por una materialización de un sistema local de primer orden corresponden a
10 ppm. Sin embargo, la zona de efectividad de este nivel de precisión estará limitada por la
relación geométrica que exista entre el elipsoide y el geoide, pudiendo alcanzar errores relativos a
decenas de metros en áreas bastante lejanas del punto datum (FUENTES, 2006, p. 55).
2.1.1.1. Sistemas Geodésicos de Referencia Locales utilizados en Chile.
Los principales SGR locales utilizados en Chile corresponden a:
• PSAD-56 (Datum Provisorio Sudamericano de 1956): Alrededor de la década de 1940 y
parte de 1950, diversos países de Latinoamérica y el Ejercito de Estados Unidos,
construyeron una red geodésica desde México hasta el sur de Chile (FUENTES, 2006, p.
56). En el año 1948, en la IV reunión de consulta de la Comisión de Cartografía del
Instituto Panamericano de Geografía e Historia (IPGH), se propuso que el punto
fundamental o punto datum debía quedar entre los paralelos 18º y 27º de latitud sur, y entre
- 23 -
los meridianos 55º a 63º de longitud oeste. Posteriormente, en el año 1956, se estableció
como punto datum La Canoa en Venezuela; utilizando como elipsoide de referencia el
Internacional de Hayford de 1924 (RAMÍREZ y ORTIZ, 2003, p. 26). Este elipsoide de
referencia posee los siguientes parámetros (ver tabla 1):
Elipsoide Internacional de Hayford 1924
a 6378388
f 1:297 Tabla 1: Parámetros elipsoidales SGR PSAD-56.
Fuente: IGM, RGN SIRGAS-Chile, Nuevo Marco de Referencia Geodésico 2008.
Este SGR se utilizó para la elaboración de cartografía regular de escala 1:50.000, entre los
17º 30’ a 43º 30’ de latitud sur (RGN SIRGAS – Chile, 2008, p. 6).
• SAD-69 (Datum Sudamericano de 1969): En el año 1958, en la VIII Reunión de Consulta
realizada por el IPGH, mediante la resolución Nº 26, se establece la necesidad de un punto
datum para la zona central de Sudamérica. La ubicación de este nuevo punto datum está
comprendida entre los paralelos 15º y 27º de latitud sur, y entre los meridianos 45º a 63º de
longitud oeste (RAMÍREZ y ORTIZ, 2003, p. 27). El establecimiento de este nuevo SGR
nació de la inseguridad que provocaba el datum PSAD-56, en las zonas más cercanas al sur
del continente, ya que, la precisión del transporte de coordenadas no es mejor que 10 ppm,
llegando a deformaciones cercanas a los 50 m en el valor de una coordenada de primer
orden respecto del origen del datum (FUENTES, 2006, p. 57). En la adopción de este SGR
se utilizó el elipsoide Sudamericano de 1969, el cual posee los siguientes parámetros
elipsoidales (ver tabla 2):
Elipsoide Sudamericano de 1969
a 6378160
f 1:298,25 Tabla 2: Parámetros elipsoidales SGR SAD-69.
Fuente: IGM, RGN SIRGAS-Chile, Nuevo Marco de Referencia Geodésico 2008.
- 24 -
Este SGR se utilizó para la elaboración de cartografía regular de escala 1:50.000, entre los
43º 30’ a 56º de latitud sur (RGN SIRGAS – Chile, 2008, p. 6).
2.1.2. Sistema Geodésico de Referencia Global.
Este tipo de sistemas de referencia fue desarrollado por distintas organizaciones
internacionales, con el propósito de poder establecer controles geodésicos tridimensionales en
cualquier parte de la Tierra (RAMÍREZ y ORTIZ, 2003, p. 27). El Departamento de Defensa de los
Estados Unidos implementó distintos Sistemas Geodésicos Mundiales (WGS), dentro de los cuales
se encuentran: WGS-60, WGS-66, WGS-72 y WGS-84. La principal característica de estos
sistemas es el origen geocéntrico de las coordenadas cartesianas tridimensionales asociadas. Debido
al origen militar de estos sistemas, la Asociación Internacional de Geodesia (IAG), desarrolla
algunos sistemas de referencia global de tipo civil, los cuales son conocidos como GRS y
corresponden a: GRS-67 y GRS-80 (IGAC, 2004, p. 7).
Según DREWES y SÁNCHEZ (2004, p. 7), la definición de un SGR moderno (global)
posee las siguientes características:
• El origen del sistema es el centro de masa terrestre (geocentro).
• La orientación del sistema se establece por el eje de rotación de la Tierra.
• La escala del sistema se genera por la constante gravitacional geocéntrica GM.
• Las coordenadas del sistema son tridimensionales (x, y, z o norte, este, altura (h)).
Según DREWES y SÁNCHEZ (2004, p. 9), los SGR globales, son instalados y mantenidos
por distintos servicios científicos que utilizan distintas técnicas de medición, estos corresponden a:
• Servicio Internacional de GPS (IGS)
• Servicio Internacional de Rastreo Laser (ILRS)
- 25 -
• Servicio Internacional de Interferometría sobre Líneas de Bases muy Largas
(International VLBI Service for Geodesy and Astrometry, IVS)
2.1.2.1. International Terrestrial Reference System (ITRS).
El Servicio Internacional de Rotación Terrestre y Sistemas de Referencia (IERS), es el
organismo encargado de la determinación y entrega de información científica, relacionada con los
parámetros de orientación terrestre y realización de sistemas de referencia de tipo internacional
(IERS, 2004, p. 24). Según el IERS (2004, p. 25), la definición del ITRS cumple con las siguientes
condiciones:
• Es geocéntrico, coincide con el centro de masa de la Tierra (incluyendo océanos y
atmósfera).
• La unidad de longitud corresponde al metro (SI), la escala del sistema es
consistente con el Tiempo Geocéntrico Coordinado (TGC); de acuerdo con las
resoluciones determinadas por la IAG y UIGG en 1991, las que se obtienen
apropiadamente de un modelo relativista.
• La orientación del sistema fue dada inicialmente por la BIH, orientación en 1984.0
• La evolución temporal de la orientación se garantiza mediante el uso de una red sin
rotación (no-net-rotation), condición respecto a los movimientos tectónicos
horizontales en toda la Tierra.
2.1.2.2. International Terrestrial Reference Frame (ITRF).
El ITRF corresponde a la materialización de un sistema de referencia, basado en técnicas
espaciales de posicionamiento de alta precisión. Históricamente, han existido distintas versiones de
ITRF, partiendo con el ITRF correspondiente al año 1988, conocido como ITRF-0 (RAMÍREZ y
ORTIZ, 2003, p. 29); hasta la publicación de la IERS Conventions (2003), la última versión
corresponde al ITRF2000 (IERS, 2004, p. 27). Este marco de referencia está basado en técnicas
- 26 -
espaciales, dentro de las cuales se encuentra: VLBI, LLR, SLR, DORIS y GPS. La principal
utilidad que presenta un ITRF, corresponde al cálculo de las efemérides precisas de los satélites
GPS, las cuales garantizan que cualquier punto en la Tierra que esté ligado al ITRF vigente, está en
el mismo sistema de referencia utilizado por los satélites (IGAC, 2004, p. 12).
2.1.2.3. World Geodetic System 1984 (WGS-84).
Este sistema de referencia fue creado por el Departamento de Defensa de los Estados
Unidos, y tiene por objetivo servir de base a las técnicas modernas de posicionamiento (FUENTES,
2006, p. 60). Según el NIMA (1997, p. 24), la definición de este sistema corresponde a los criterios
establecidos por el IERS (ver 2.1.2.1.). Este sistema es compatible con un ITRF (ZEPEDA, 2004, p.
53), debido a los siguientes aspectos (NIMA, 1997, p. 25) (ver figura 1):
• Origen geocéntrico del sistema, ya que, coincide con el centro de masas de la Tierra
incluyendo atmósfera y océanos.
• Eje z se encuentra en la dirección del polo de referencia IERS, esta dirección
corresponde a la del Polo Terrestre Convencional (CTP).
• Eje x corresponde a la intersección del meridiano de referencia IERS y el plano
ecuatorial.
• Eje y completa el sistema ortogonal dextrógiro (hacia la derecha).
Figura 1: Definición del sistema de coordenadas WGS-84.
Fuente: NIMA Tecnical Reports – 3º edición.
- 27 -
Este SGR posee un elipsoide de referencia asociado al sistema cartesiano, el cual
corresponde a WGS-84. Posee diversos refinamientos que corresponden a: WGS-84 (G730), WGS-
84 (G873) y WGS-84 (G1150); este último es compatible con el ITRF2000 (ZEPEDA, 2004, p. 53).
Los parámetros que lo definen son los siguientes (ver tabla 3):
Elipsoide WGS - 84
a 6378137
f 1 : 298,257223563
Velocidad angular ω 7292115* 1110 rad/s
Constante gravitacional GM 3986005* 810 m³/s² Tabla 3: Parámetros Elipsoidales SGR WGS-84.
Fuente: IGM, RGN SIRGAS-Chile, Nuevo Marco de Referencia Geodésico 2008.
2.1.2.4. Sistema de Referencia Geocéntrico para las Américas (SIRGAS).
El proyecto SIRGAS fue creado en la Conferencia Internacional para la Definición de un
Referencial Geocéntrico para América del Sur, la cual se realizó en Asunción (Paraguay), en
octubre de 1993. Dentro de las instituciones participante se encuentran el ex NIMA (actualmente
NGA), IPGH, IAG y cada uno de los institutos de los países comprometidos (IGM, 2008, p. 8). El
objetivo principal del proyecto SIRGAS es definir, materializar y mantener el sistema de referencia
geocéntrico tridimensional para las américas (SIRGAS, 2002, p. 101), este objetivo principal se
establece mediante los siguientes conceptos establecidos en el estatuto del proyecto SIRGAS,
aprobado por el comité respectivo el 22 de octubre de 2002:
• Definición de un sistema de referencia geocéntrico tridimensional.
• Establecimiento y mantenimiento de un marco de referencia geocéntrico (conjunto
de estaciones con coordenadas geocéntricas [x, y, z], de alta precisión y su variación
con el tiempo [Vx, Vy, Vz]).
• Definición y establecimiento de un datum geocéntrico.
• Definición y materialización de un sistema de referencia vertical único, con alturas
físicas y geométricas consistentes, y la determinación de los cambios del marco de
referencia con respecto al tiempo.
- 28 -
La necesidad de creación del proyecto SIRGAS, se debe a que las estaciones ITRF ofrecen
un cubrimiento de carácter mundial, por lo tanto, resultan insuficientes en la utilización práctica por
parte de consumidores y generadores de información georreferenciada. Debido a esta razón, se hace
necesario el establecimiento de densificaciones continentales, nacionales y regionales, que tengan
acceso directo a un marco de referencia global (IGAC, 2004, p. 12). Estas densificaciones son
expresadas en distintas escalas (ver figura 2).
Figura 2: Red de densificación de marcos de referencia.
Fuente: IGM, RGN SIRGAS-Chile, Nuevo Marco de Referencia Geodésico 2008.
Existen dos marcos de referencia SIRGAS realizados continentalmente. El primer marco de
referencia corresponde a SIRGAS 1995. Para su realización se llevó a cabo una campaña compuesta
por 58 estaciones GPS, distribuidas en Sudamérica, en el periodo comprendido entre el 26 de mayo
y el 4 de junio de 1995 (ver figura 3). Los resultados obtenidos por esta campaña fueron divulgados
por la asamblea de la Asociación Internacional de Geodesia (IAG), la cual se realizó en Río de
Janeiro en septiembre de 1997. Las coordenadas del marco de referencia SIRGAS 1995 están
asociadas al ITRF94, época 1995.4 (IGM, 2008, p. 10).
- 29 -
Figura 3: Estaciones GPS campaña SIRGAS 1995
Fuente: SIRGAS – Relatorio Final, Grupos de Trabajo I y II, 1997.
El segundo marco de referencia corresponde a SIRGAS 2000. Para su realización se llevó a
cabo una campaña compuesta por un total de 184 estaciones GPS (ver figura 4), en el periodo
comprendido entre el 10 y 19 de mayo de 2000 (SIRGAS, 2002, P. 11 y 12). Esta campaña incluyó
las estaciones del proyecto SIRGAS 1995 y estaciones mareográficas, las cuales definen el
referencial altimétrico (IGM, 2008, p. 11). Con el propósito de establecer un sistema de referencia
vertical único, se estableció un nuevo grupo de trabajo denominado “Datum Vertical Grupo de
Trabajo III” (GTIII). Este grupo de trabajo busca dar solución al sistema de referencia vertical, a
través de dos tipos de alturas: elipsoidales y físicas (IGAC, 2004, p. 16).
- 30 -
Figura 4: Estaciones GPS campaña SIRGAS 2000.
Fuente: SIRGAS – Boletín Informativo Nº6.
Este SGR posee un elipsoide de referencia asociado al sistema cartesiano, el cual
corresponde al GRS-80, además posee los siguientes parámetros elipsoidales (ver tabla 4):
Elipsoide GRS - 80
a 6378137
f 1 : 298,257222101
Velocidad angular ω 7292115* 1110 rad/s
Constante gravitacional GM 3986005* 810 m³/s² Tabla 4: Parámetros Elipsoidales SGR SIRGAS.
Fuente: IGM, RGN SIRGAS-Chile, Nuevo Marco de Referencia Geodésico 2008.
- 31 -
2.2. PROYECCIÓN TRANSVERSA MERCATOR.
Una proyección Transversa Mercator (TM), corresponde a una representación plana
conforme del elipsoide, la cual predomina sobre otros sistemas proyectivos de representación
conforme utilizados en Geodesia (BLACHUT et al., 1979, p. 43).
Esta proyección fue desarrollada por Johann Heinrich Lambert, en el año 1772
(HERNÁNDEZ, 2000, p. 83), resolviendo el problema de pérdida de escala y estimando colocar el
cilindro de manera perpendicular (transversal) al eje del mundo. Posteriormente, en el año 1822,
Carl Friedrich Gauss desarrolla matemáticamente la proyección considerando el elipsoide de
revolución como superficie de referencia (ZEPEDA, 2004, p. 74). Entre los años 1912 y 1919, L.
Krugger completa el desarrollo de la proyección TM y publica las fórmulas que permiten su cálculo
numérico (HERNÁNDEZ, 2000, p. 83).
Para que la proyección cartográfica TM corresponda a una representación conforme debe
cumplirse una condición de conformidad, la cual establece que los incrementos diferenciales de
arcos de meridiano sean iguales a los incrementos diferenciales de arcos de paralelo (FUENTES,
2006, p. 84). Según MOLINA (2007, p. 24 y 25), si se considera la distorsión de escala (m) como la
razón entre un segmento infinitesimal en la superficie de proyección y su homólogo en la superficie
de referencia. La condición de conformidad también puede establecerse tomando en cuenta un valor
único de distorsión de escala (m) por punto evaluado en la proyección, es decir, considerar que la
distorsión de escala alrededor de los meridianos (φm ) sea igual a la distorsión de escala alrededor
de los paralelos ( λm ), estableciendo la relación: mmm == λφ .
Según HERNÁNDEZ (2000, p. 83), los requerimientos de la proyección TM son:
• La escala es verdadera a lo largo del meridiano central.
• El origen de la ordenada y es el ecuador.
• El origen de la abscisa x es el meridiano central.
- 32 -
La representación del ecuador corresponde a una línea recta perpendicular al meridiano
central, el cual también corresponde a una línea recta; los demás paralelos y meridianos proyectados
corresponden a curvas complejas. Por otra parte, al este y oeste del meridiano central, el factor de
escala (m) siempre es mayor que 1, esto implica que todas las distancias en la proyección TM serán
de mayor magnitud que en el elipsoide de referencia (BLACHUT et al., 1979, p. 43).
Las funciones matemáticas de la proyección TM, presentadas en este trabajo, corresponden
al desarrollo expuesto por BLACHUT et al. (1979). El desarrollo de otras funciones matemáticas de
la proyección TM pueden ser consultadas en HERNÁNDEZ (2000) y en ZEPEDA (2004).
2.2.1. Fórmulas de conversión de coordenadas geodésicas a coordenadas planas TM.
Las fórmulas de conversión coordenadas de proyección (x, y), a partir de coordenadas
geodésicas (φ , λ), corresponden a las siguientes:
66
44
22
55
331
λλλλλλ
∆+∆+∆+=
∆+∆+∆=
aaaBy
aaax (1)
La expresión ( )0λλλ −=∆ , corresponde a la diferencia de longitud desde un punto de
interés (λ ) hasta el meridiano central (0λ ), expresada en radianes. B es la longitud de arco de
meridiano desde el ecuador hasta la latitud φ , la cual está determinada por la expresión:
( )φφφφφφφ 88
66
44
2210 seno seno seno seno 1cosseno AAAAcAcAB ++++−= (2)
Los coeficientes están determinados por:
−−−−−= 222220 '
100
991'
64
631'
36
351'
16
151'
4
31 eeeeeA
−−−−= 222221 '
1860
21131'
704
8371'
60
771'
16
251'
4
3eeeeeA
- 33 -
−−−= 22222 '
521760
5134271'
1112
10871'
144
1391'
8
5eeeeA
−−= 2244 '
150000
2210691'
64
1251'
72
35eeeA
(3)
−= 266 '
400
11791'
256
105eeA
88 '
640
231eA =
Los coeficientes de la expresión (1) están determinados por:
φcos1 Na =
φseno 2
112 aa =
( )φφ 42213 cos'cos21
6
1eaa ++−= (4)
( )φφφ 6442224 cos'4cos'9cos61
12
1eeaa +++−=
( )[ ]φφφ 6442215 cos'72cos'5824cos201
120
1eeaa +−+−=
( )φφ 4226 cos120cos601
360
1 +−= aa
2.2.2. Fórmulas de conversión de coordenadas planas TM a coordenadas geodésicas.
Las fórmulas de conversión de coordenadas geodésicas (φ ,λ ), a partir de las coordenadas
de proyección (x, y), corresponden a las siguientes:
55
3310
66
44
221
ybybyb
ybybyb
rad
rad
+++=
+++=
λλφφ
(5)
- 34 -
1φ es la latitud correspondiente al punto del meridiano central, cuya longitud rectificada
desde el ecuador es B=x, los coeficientes corresponden a:
2/1
2
2
1
11 '
cos
1
+
= − ecb
φ
( )122
11212 cos'1cosseno
2
1 φφφ ebb +−=
( )142
123
13 cos'cos26
1 φφ ebb +−−= (6)
( )[ ]162
142
122
2214 cos'4cos'10cos'923
12
1 φφφ eeebbb −+−−−=
( )[ ]162
142
125
15 cos'2cos'81cos2024120
1 φφφ eebb −++−=
( )14
2416 cos1645
360
1 φ+= bbb
El calculo de la latitud 1φ está basado en aproximaciones sucesivas: )(),2()1( ...,, nφφφ
cA
x
0)1( =φ
cA
Bx
0
)1()1()2(
−+= φφ (7)
nφφ =1 , cuando xBn =
2.2.3. Factor de distorsión de escala (m).
El factor distorsión de escala de la proyección TM se define por la expresión: dS
dsm= ,
donde dS es la longitud de un elemento lineal sobre el elipsoide y ds su transformada en el plano
- 35 -
conforme (BLACHUT et al., 1979, p. 41). Según BLACHUT et al. (1979, p. 61), el factor de escala
en función de las coordenadas de proyección (φ ,λ ) se calcula utilizando la expresión:
410
281 λλ ∆+∆+= aam (8)
Donde:
( )φφ 2228 cos'1cos
2
1ea +=
(9)
( )[ ]φφφ 4222210 cos'42cos'2894cos
24
1eea +−+−=
2.2.4. Convergencia Meridiana (C)
La convergencia meridiana C (ver figura 5) corresponde a la diferencia angular entre el
norte geodésico (referido al elipsoide) y el norte cartográfico (referido al norte de la cuadrícula o
plano TM). Existe un caso particular para el meridiano central, ya que, este se proyecta como una
línea recta en la proyección TM, la cual coincide con su homólogo en el elipsoide.
Figura 5: Convergencia meridiana.
Fuente: Adaptado de BORRE (2003).
- 36 -
El valor de C se calcula a partir de las coordenadas (φ , λ ), aplicando la siguiente
expresión:
511
397 λλλ ∆+∆+∆= aaaC (10)
Donde:
φseno7 =a
( )φφφφ 442229 cos'2cos'31cosseno
3
1eea ++= (11)
( )φφφ 2211 cos31cosseno
15
1 +−=a
2.2.5. Proyección Universal Transversal de Mercator (UTM)
La proyección Universal Transversal de Mercator nace de un grupo de ingenieros
pertenecientes al ejército de los Estados Unidos (durante la década de los 40). Su creación se
justifica en la homogenización de la representación cartográfica de países vinculados a los esfuerzos
militares de esos países (FUENTES, 2007, p.104). La proyección UTM corresponde a una
estandarización de la proyección TM, y el área de uso está comprendida entre los 80º norte y 80º sur
(ZEPEDA, 2004, p. 74). Según RICHARDUS y ADLER (1972), la proyección UTM posee los
siguientes parámetros:
• El globo se divide en 60 husos y casa huso posee una extensión de 6º de longitud, los husos
se enumeran consecutivamente del 1 al 60, a partir del meridiano de Greenwich en sentido
este.
• La distorsión de escala a lo largo del meridiano central corresponde a:
9996,00 =m (12)
• Las coordenadas de proyección UTM son denominadas Norte ( UTMN ) y Este ( UTME ) y
son determinadas en función de las coordenadas TM de la siguiente manera:
- 37 -
mmx 000.500E 0TMUTM +⋅= (13)
mmy 000.000.10N 0TMUTM +⋅= (Hemisferio sur) (14)
0TMUTMN my ⋅= (Hemisferio norte) (15)
• La distorsión de escala para cualquier punto se resuelve mediante la expresión:
0mmm TMUTM ⋅= (16)
• La convergencia meridiana para cualquier punto no presenta ninguna diferencia respecto de
la convergencia meridiana de la proyección TM.
TMUTM CC = (17)
- 38 -
2.3. MODELOS DE TRANSFORMACIÓN BIDIMENSIONAL Y DE S IMILARIDAD
3-D.
2.3.1. Modelos de transformación bidimensional.
Las transformaciones bidimensionales no consideran el factor de la altura y los modelos son
definidos por las coordenadas planas x e y, además existen distintos modelos de transformación,
desde modelos simples de similaridad hasta otros de mayor complejidad (RAMÍREZ y ORTIZ,
2003, p. 60). Estos modelos de transformación utilizan estimaciones de parámetros de
transformación para ajustar distintos planos de proyección.
Los modelos bidimensionales de transformación presentados en este estudio, corresponden
a la clasificación para transformaciones geométricas presentada por LUGNANI (1987) (MOLINA,
2007, p. 45).
Todos estos modelos de transformación adoptan un centroide de coordenadas ( mm yx , ), el
cual actúa como origen de ambos sistemas en el proceso de ajuste. Este centroide permite disminuir
la fuerte correlación entre los parámetros estimados, permitiendo de esta forma tener una
interpretación más realista de las precisiones de los parámetros de transformación y sus residuos
(RAMÍREZ y ORTIZ, 2003, p. 94).
2.3.1.1. Modelo de transformación de Similaridad 2-D.
El modelo de transformación bidimensional de Similaridad 2-D, corresponde a una
transformación conforme que preserva todos los ángulos y cambia todas las distancias en la misma
medida (RAMÍREZ y ORTIZ, 2003, p. 55). Este tipo de transformaciones considera factores como:
rotación, traslación y escala del sistema. Por otra parte, la precisión en el modelo de ajuste puede ser
mejorada si se cuenta con puntos lo más alejado posible (PÉREZ, 2001, p.8).
- 39 -
2.3.1.1.1. Traslación.
Considerando los ejes de ambos sistemas bidimensionales como paralelos, pero con
diferente origen, se deduce a partir de la figura 6 las siguientes expresiones:
Tyyy
Txxx
+=+=
1
1 (18)
Figura 6: Traslaciones en modelo de transformación de Similaridad 2-D. Fuente: Elaboración propia.
Expresado matricialmente:
+
=
Ty
Tx
y
x
y
x
1
1 (19)
2.3.1.1.2. Rotación θ .
Una rotación θ positiva, corresponde al ángulo de rotación del sistema planimétrico inicial,
de coordenadas (x, y), alrededor del origen con sentido levógiro (giro hacia la izquierda).
La definición de la matriz de rotación R (θ ) se deduce a partir de la figura 7.
- 40 -
Figura 7: Rotación θ en modelo de transformación de Similaridad 2-D. Fuente: Elaboración propia.
Considerando:
cby
adx
−=+=
1
1 (20)
Se tiene:
x
d
y
b
x
c
y
a
==
==
θθ
θθ
cos ; cos
sen ; sen
(21)
Despejando (21), reemplazando en (20) y expresando matricialmente, se tiene:
⋅
=
y
x
y
x
θθθθ
cos sen-
sen cos
1
1 (22)
Donde la rotación θ está definida matricialmente por:
- 41 -
( )
=
θθθθ
θcos sen-
sen cos R (23)
Finalmente la rotación puede expresarse como:
( )
⋅=
y
xR
y
xθ
1
1 (24)
2.3.1.1.3. Escalamiento.
Suponiendo que ambos sistemas bidimensionales poseen coordenadas de origen
coincidentes, pero diferentes unidades de medida (ver figura 8).
Figura 8: Factor de escala k en modelo de transformación de Similaridad 2-D.
Fuente: Elaboración propia.
Existe un factor de escala k que permite homogenizar las unidades de ambos sistemas,
teniéndose:
⋅=
y
xk
y
x
1
1 (25)
- 42 -
2.3.1.1.4. Expresión general.
Considerando un sistema rotado, trasladado y con diferente escala, se integran las
expresiones (19), (22) y (25). Teniéndose:
+
⋅
⋅=
Ty
Tx
y
xk
y
x
θθθθ
cos sen-
sen cos
1
1 (26)
Desarrollando el modelo para incluir un centroide de coordenadas ( mm yx , ), finalmente se
obtienen las expresiones:
( ) ( ) mmm xTxyykxxkx ++−+−= seno cos 1 θθ
(27) ( ) ( ) mmm yTyyykxxky ++−+−−= cos seno 1 θθ
Donde:
yx, : Coordenadas de un punto correspondiente al plano inicial.
11, yx : Coordenadas ajustadas de un punto correspondiente al plano transformado.
k : Factor de escala.
θ : Ángulo de rotación.
Tx,Ty: Traslación de los ejes x e y.
mm yx , : Coordenadas del centroide.
2.3.1.2. Modelo de transformación Afín 2-D.
El modelo de transformación bidimensional Afín 2-D, corresponde a una transformación
que considera la falta de ortogonalidad en los ejes transformados, y establece distintos factores de
escala para cada dirección del eje correspondiente (dirección eje de abscisas y ordenadas) (PÉREZ,
2001, p.16).
- 43 -
Dos sistemas ortogonales rotados y trasladados están determinados por la integración de las
expresiones (19) y (22):
+
⋅
=
Ty
Tx
y
x
y
x
θθθθ
cos sen-
sen cos
1
1 (28)
Considerando una falta de ortogonalidad entre los sistemas ( 00, yx ) y ( yx, ), expresada por
el ángulo de falta de perpendicularidad de los ejes ( 00, yx ), denominado β (ver figura 14).
Figura 9: Sistemas no ortogonales en modelo de transformación Afín 2-D. Fuente: Elaboración propia.
Se puede deducir de la figura 9 la siguiente relación:
βseno AB 0y=
(29)
βcos PB 0y=
Las coordenadas están determinadas por las expresiones:
βseno AB 000 yxxx −=−=
(30) βcos 0yy =
Aplicando los correspondientes factores de escala:
- 44 -
βseno 00 00ykxkx yx −=
(31) βcos 00
yky y=
Expresando matricialmente:
⋅
=
0
0
0
0
cos 0
sen- 1
yk
xk
y
x
y
x
ββ
(32)
Sustituyendo (32) en (28) se obtiene:
⋅
⋅
=
Ty
Tx
yk
xk
y
x
y
x
0
0
1
1
0
0
cos 0
sen- 1
cos sen-
sen cos
ββ
θθθθ
(33)
Desarrollando y agrupando términos el modelo de transformación bidimensional Afín 2-D
queda expresado por:
1111 cybxax ++=
(34)
2221 cybxay ++=
Donde:
θcos01 xka =
( )βθ +−= seno 01 ykb
θseno 02 xka =
( )βθ += cos 02 ykb
Txc =1
Tyc =2
- 45 -
Desarrollando el modelo para incluir un centroide de coordenadas ( mm yx , ), finalmente se
obtienen las expresiones:
( ) ( ) mmm xcyybxxax ++−+−= 1111
(35) ( ) ( ) mmm ycyybxxay ++−+−= 2221
Donde:
yx, : Coordenadas de un punto correspondiente al plano inicial.
11, yx : Coordenadas ajustadas de un punto correspondiente al plano transformado.
212121 ,,,,, ccbbaa : Parámetros de transformación.
mm yx , : Coordenadas del centroide.
2.3.1.3. Modelo de transformación Proyectiva 2-D.
El modelo de transformación bidimensional Proyectiva 2-D, corresponde a una
transformación que preserva los puntos, líneas rectas e intersecciones; entre otras propiedades
geométricas (RAMÍREZ y ORTIZ, 2003, p. 55).
Las ecuaciones de este tipo de transformación permiten el cálculo de coordenadas de puntos
pertenecientes a un sistema de referencia sobre un plano ( 11, yx ), respecto de las coordenadas de
sus puntos homólogos pertenecientes al sistema arbitrario ( yx, ), correspondiente a otro plano
inclinado (PÉREZ, 2001, p. 22).
La deducción de las ecuaciones de este modelo de transformación, parten considerando dos
sistemas tridimensionales con coordenadas z constantes (ver figura 10).
- 46 -
Figura 10: Sistemas de coordenadas en modelo de transformación Proyectiva 2-D.
Fuente: Adaptado de PÉREZ (2001).
Donde:
( )111 ,, zyx : Sistema de referencia.
( )zyx ,, : Sistema arbitrario (sistema de referencia inicial), con ejes inclinados respecto al
sistema de referencia.
Considerando un plano inicial inclinado, su orientación angular queda definida por tres
ángulos ( )ηγδ ,, . Se deduce de la figura 11, que la aplicación de las rotaciones ( )ηγδ ,, , al sistema
arbitrario genera las coordenadas( )cyx ,, .
- 47 -
Figura 11: Rotaciones en modelo de transformación Proyectiva 2-D.
Fuente: Adaptado de PÉREZ (2001).
Donde:
( )zyx ,, : Sistema arbitrario ideal, con ejes paralelos al sistema de referencia.
La expresión matricial de la transformación por rotación está determinada por:
⋅=
⋅
=
c
y
x
R
c
y
x
aaa
aaa
aaa
z
y
x
333231
232221
131211
1
1
1
(36)
Donde los coeficientes de la matriz de rotación R están determinados por:
ηγ coscos11 =a
ηγ seno cos12 −=a
γseno13 =a
ηγδηδ cos seno senoseno cos21 +=a
ηγδηδ seno seno senocos cos22 −=a
γδ cosseno23 −=a
- 48 -
ηγδηδ cos seno cosseno seno31 −=a
ηγδηδ seno seno coscos seno32 +=a
γδ coscos33 =a
Considerando el sistema arbitrario como paralelo al sistema de referencia (ver figura 12).
Figura 12: Sistemas paralelos en modelo de transformación Proyectiva 2-D.
Fuente: Adaptado de PÉREZ (2001).
Por semejanza es posible deducir:
'''
'''
'
'
''''
''''
Op
OP
pp
PP
pp
PP ===ρ (37)
Sustituyendo los segmentos por las coordenadas correspondientes:
z
zz
y
yy
x
xx 010101 −=−=−=ρ (38)
- 49 -
Expresando de manera matricial las anteriores ecuaciones:
⋅⋅=
⋅
⋅=
−−−
c
y
x
R
c
y
x
aaa
aaa
aaa
zz
yy
xx
ρρ
333231
232221
131211
01
01
01
(39)
Separando algebraicamente la expresión (39):
( )cayaxaxx 13121101 +++= ρ
( )cayaxayy 23222101 +++= ρ (40)
( )cayaxazz 33323101 +++= ρ
Dividiendo 1x e 1y por 1z , se tiene:
( )cayaxa
cayaxazzxx
333231
1312110101 ++
++−+=
(41)
( )cayaxa
cayaxazzyy
333231
2322210101 ++
++−+=
Despejando ca33 de (41), se obtiene:
( )
++
++−+=1
33
32
33
3133
1312110101
yca
ax
ca
aca
cayaxazzxx
(42)
( )
++
++−+=1
33
32
33
3133
1312110101
yca
ax
ca
aca
cayaxazzxx
- 50 -
Debido a que ηγδ ,,,,,, 000 zyxc son constantes y no se considera la altura, todos los
puntos tienen igual valor de z . Debido a esto, las ecuaciones pueden reescribirse de la siguiente
manera:
154
3211 ++
++=yaxa
ayaxax
(43)
154
8761 ++
++=yaxa
ayaxay
Desarrollando el modelo para incluir un centroide de coordenadas ( mm yx , ), finalmente se
obtienen las expresiones:
( ) ( )( ) ( ) m
mm
mm xyyaxxa
ayyaxxax +
+−+−+−+−=
154
3211
(44) ( ) ( )( ) ( ) m
mm
mm yyyaxxa
ayyaxxay +
+−+−+−+−=
154
8761
Donde:
yx, : Coordenadas de un punto correspondiente al plano inicial.
11, yx : Coordenadas ajustadas de un punto correspondiente al plano transformado.
87654321 ,,,,,,, aaaaaaaa : Parámetros de transformación.
mm yx , : Coordenadas del centroide.
2.3.1.4. Modelo de transformación Polinomial 2-D.
El modelo de transformación bidimensional Polinomial 2-D, corresponde a una
transformación considerada de alta precisión, que requiere de una cantidad elevada de puntos en
común entre dos sistemas, además posee como desventaja la perdida de confiabilidad fuera del área
común de ajuste entre los dos sistemas (RAMÍREZ y ORTIZ, 2003, p. 56). Este tipo de modelos de
transformación y sus variantes son comúnmente utilizados en fotogrametría (PÉREZ, 2001, p. 55).
- 51 -
El desarrollo de este modelo de transformación bidimensional corresponde a un polinomio
de segundo grado.
Desarrollando el modelo e incluyendo un centroide de coordenadas ( mm yx , ), se obtienen
las expresiones:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )22
82
72
6
2543
22101
mmmmm
mmmmmmm
yyxxayyxxayya
yyxxayyxxayyaxxaxxaax
−−+−−+−+
+−−+−−+−+−+−+=
(45)
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )22
82
72
6
2543
22101
mmmmm
mmmmmmm
yyxxbyyxxbyyb
yyxxbyyxxbyybxxbxxbby
−−+−−+−+
+−−+−−+−+−+−+=
Donde:
yx, : Coordenadas de un punto correspondiente al plano inicial.
11, yx : Coordenadas ajustadas de un punto correspondiente al plano transformado.
810810 ,...,,,,...,, bbbaaa : Parámetros de transformación.
mm yx , : Coordenadas del centroide.
2.3.2. Modelo de transformación de Similaridad 3-D Molodensky-Badekas.
El modelo de transformación geodésica de Similaridad 3-D, originalmente se conoce como
método de transformación de similitud de Helmert (IGAC, 2004, p. 21). Fue formulado por Fiedrich
Robert Helmert, en el año 1880. Corresponde a un modelo de transformación que considera un
sistema inicial de coordenadas cartesianas en el espacio, las cuales posteriormente son
transformadas mediante la aplicación de siete parámetros a un nuevo sistema, donde las diferencias
entre sistemas están determinadas por tres factores que corresponden a la traslación, rotación y
escalamiento.
El modelo de transformación de Helmert entrega una transformación exacta sólo en SGR
matemáticos y perfectamente definidos; por ejemplo: dos sistemas de tipo satelital. Por otra parte,
- 52 -
los SGR locales fueron realizados por mediciones terrestres clásicas, sujetas a errores generados por
la tecnología de la época, debido a esta razón, mientras mayor distorsión posea la red clásica peor
será la transformación de Helmert. (RAMÍREZ y ORTIZ, 2003, p. 74).
El modelo de transformación Molodensky-Badekas fue discutido por Molodensky (1962) y
Badekas (1969) (ZEPEDA et al.). Este modelo relaciona dos sistemas de coordenadas
tridimensionales mediante los siete parámetros de transformación de Helmert, la diferencia radica
en la inclusión de un centroide de coordenadas ( )mmm zyx ,, . Según Krakiwsky y Thomson (1974),
el modelo de transformación de Molodensky-Badekas es recomendado para la transformación entre
un SGR satelital y un SGR local (RAMIREZ y ORTIZ, 2003, p. 66). Debido a que el factor de
escala es el mismo en todas las direcciones, conserva las formas y los ángulos, por lo cual se
denomina modelo de transformación de Similaridad (IGAC, 2004, p. 21).
2.3.2.1. Traslación.
Corresponde al desvío respecto del origen de cada sistema de coordenadas cartesianas en el
espacio (x, y, z), y es representado por los incrementos [ ]Tzyx ∆∆∆ , , , en el vector tridimensional de
translaciones, desde el origen del sistema inicial al origen del sistema nuevo (ver figura 13).
Corresponde a:
∆∆∆
z
y
x
(46)
- 53 -
Figura 13: Traslaciones tridimensionales expresadas en los incrementos ∆x, ∆y, ∆z. Fuente: Elaboración propia.
2.3.2.2. Rotación.
Cada eje cartesiano en el espacio (x, y, z) puede girarse o inclinarse respecto al nuevo
sistema. Considerando los orígenes de ambos sistemas coincidentes, estas rotaciones son descritas a
través de tres ángulos de Euler: ω, ε y ψ.
2.3.2.2.1. Rotación ω.
Una rotación ω positiva, corresponde al ángulo de rotación del sistema cartesiano inicial
de ejes (x , y , z ) alrededor del eje z , viéndose desde el origen hacia el eje positivo en sentido
dextrógiro (giro hacia la derecha), generando tres nuevos ejes (1x , 1y , 1z ) en un nuevo sistema,
donde el eje z coincide con el eje 1z (ver figura 14).
- 54 -
Figura 14: Rotación ω
Fuente: Elaboración propia.
La rotación ω se expresa matricialmente por:
( )
⋅=
z
y
x
R
z
y
x
ω
1
1
1
(47)
La definición de la matriz de rotación ( )ωR , se deduce de la figura 15:
Figura 15: Vista de ejes cartesianos bidimensionales, a partir de una rotación ω
Fuente: Elaboración propia.
- 55 -
Considerando:
cby
adx
−=+=
1
1 (48)
Se tiene:
x
d
y
b
x
c
y
a
==
==
ωω
ωω
cos ; cos
sen ; sen
(49)
Despejando (49), reemplazando en (48) y expresando matricialmente se obtiene:
⋅
=
z
y
x
z
y
x
1 0 0
0 cos sen-
0 sen cos
1
1
1
ωωωω
(50)
Donde la rotación ω está definida matricialmente por:
( )
=1 0 0
0 cos sen-
0 sen cos
ωωωω
ωR (51)
2.3.2.2.2. Rotación ε
Una rotación ε positiva, corresponde al ángulo de rotación del sistema de ejes cartesianos
( 1x , 1y , 1z ) alrededor del eje 1x , viéndose desde el origen hacia el eje positivo en sentido
dextrógiro, generando tres nuevos ejes (2x , 2y , 2z ) en un nuevo sistema, donde el eje 1x coincide
con el eje 2x (ver figura 16).
- 56 -
Figura 16: Rotación ε
Fuente: Elaboración propia.
La rotación ε se expresa matricialmente por:
( ) ( ) ( )
⋅=
⋅=
z
y
x
RR
z
y
x
R
z
y
x
ωεε
1
1
1
2
2
2
(52)
La definición de la matriz de rotación ( )εR , se deduce realizando operaciones similares
para la obtención de (51), teniéndose:
( )
=εεεεε
cos sen- 0
sen cos 0
0 0 1
R (53)
2.3.2.2.3. Rotación ψ.
Una rotación ψ positiva, corresponde al ángulo de rotación del sistema de ejes cartesianos
( 2x , 2y , 2z ) alrededor del eje 2y , viéndose desde el origen hacia el eje positivo en sentido
- 57 -
dextrógiro, generando tres nuevos ejes (3x , 3y , 3z ) en un nuevo sistema, donde el eje 2y coincide
con el eje 3y (ver figura 17).
Figura 17: Rotación ψ.
Fuente: Elaboración propia.
La rotación ψ se expresa matricialmente por:
( ) ( ) ( ) ( )
⋅⋅⋅=
⋅=
z
y
x
RRR
z
y
x
R
z
y
x
ωεψψ
2
2
2
3
3
3
(54)
La definición de la matriz de rotación ( )ε1R , se deduce realizando operaciones similares
para la obtención de (51), teniéndose:
( )
=ψψ
ψψψ
cos 0 sen
0 1 0
sen- 0 cos
R (55)
- 58 -
Con el fin de obtener un modelo matricial que integre las tres rotaciones (ω, ε, ψ), se
procede a la multiplicación de las matrices de rotación, teniéndose:
( ) ( ) ( )
⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅
ψεψεωψωψεωψωεεωεω
ψεψεωψωψεωψωωεψ
sencos cossencos-sensen cossensensencos
sen coscos cossen-
sencos- sensencos-cossen sensensen-coscos
RRR (56)
Considerando rotaciones con valores pequeños, se asume:
( ) ( ) ( ) ( ) 0sensen ; 1cos ; sen =⋅== ααααα
Obteniendo:
( ) ( ) ( )
−=⋅⋅1 - ψ
1 ω
ψ- 1
εε
ωωεψ RRR (57)
2.3.2.3. Escalamiento.
La diferencia de escala entre dos sistemas está establecida por un valor k , de tal manera
que una coordenada en el sistema inicial necesita multiplicarse por k , para determinar la
coordenada correspondiente en la escala del sistema nuevo y así homogenizar las relaciones
métricas entre sistemas (ver figura 18).
k = Factor de escala que relaciona dos SGR (58)
Figura 18: factor de escala k Fuente: Elaboración propia.
- 59 -
2.3.2.4. Centroide.
La adopción de un centroide corresponde a la integración de un vector P, de coordenadas
( )mmm zyx ,, , dentro del modelo de transformación Molodensky-Badekas (ver figura 19).
Figura 19: Modelo de transformación Molodensky-Badekas.
Fuente: Adaptado de IGAC (2004).
2.3.2.5. Integración de diez parámetros en modelo de transformación de Similaridad 3-D
Molodensky-Badekas.
El modelo de Similaridad 3-D Molodensky-Badekas, relaciona dos sistemas geodésicos
cartesianos mediante tres traslaciones ( zyx ∆∆∆ , , ), tres rotaciones (ω, ε, ψ), un factor de escala (k) y
un centriode ( )mmm zyx ,, . Las tres traslaciones son utilizadas para establecer una coincidencia de
orígenes de ambos sistemas, las tres rotaciones expresan el paralelismo entre ejes, el factor de escala
uniformiza u homogeniza la métrica de los dos sistemas (MOLINA, 2007, p. 17) y el centroide
produce una disminución en la fuerte correlación en los parámetros de transformación estimados,
permitiendo determinar de manera más realista las precisiones de los parámetros y de los residuos
de las observaciones (ZEPEDA et al.).
- 60 -
El modelo matemático de Similaridad 3-D Molodensky-Badekas está representado por:
−−−
⋅
−⋅+
+
∆∆∆
=
m
m
m
m
m
m
zz
yy
xx
k
z
y
x
z
y
x
z
y
x
1 - ψ
1 ω
ψ- 1
1
1
1
εε
ω (59)
Donde:
• [ ]Tzyx ,, es el vector de coordenadas del sistema inicial o sistema 1 ( 1S ), que corresponde
al vector de coordenadas que se desea transformar.
• [ ]Tzyx 111 ,, es el vector de coordenadas del sistema nuevo o sistema 2 ( 2S ), que
corresponde al vector de coordenadas transformadas.
• [ ]Tzyx ∆∆∆ ,, es el vector de las traslaciones en cada uno de los ejes, que relaciona el origen
del 1S con el 2S .
• ε corresponde a la rotación en el eje x
• ψ corresponde a la rotación en el eje y
• ω corresponde a la rotación en el eje z
• k corresponde al factor de escala de transformación, debido a la diferencia de magnitud
entre el 1S y 2S .
• [ ]Tmmm zyx ,, corresponde al vector de coordenadas del centroide.
• [ ]Tmmm zzyyxx −−− ,, corresponde a la diferencia entre el vector de coordenadas del 1S y
el vector de coordenadas del centroide.
- 61 -
2.4. AJUSTE GEODÉSICO.
Cuando se realiza un análisis de observaciones (mediciones), se debe entender que nunca se
obtiene el valor verdadero de la magnitud medida. Las observaciones realizadas por el hombre se
caracterizan por la inevitable presencia de errores en la medición. Para conseguir una medición de
confianza se necesita obtener una estimación del valor medido, a través de varias o muchas
observaciones, es decir, con observaciones redundantes. El ajuste de observaciones persigue
eliminar inconsistencias y ajustar las observaciones a un modelo matemático, con el fin de obtener
una mejor estimación de los valores medidos (GEMAEL, 1994, p. 11).
Los matemáticos y geodestas Carl Gauss (1777-1855) y Adrien Legendre (1752-1833),
propusieron como mejor estimativa de un valor cualquiera, el valor que torna mínima la suma de los
cuadrados de los residuos. Este criterio es el que caracteriza al Método de Mínimos Cuadrados
(MMC) (ZEPEDA, 2004, p. 4), el cual se expresa de la siguiente manera:
minimo...1
2223
22
21 →=++++=Φ ∑
=
n
iin vvvvv (60)
Donde:
Residuo: ii xXv −=
Promedio o valor más probable:X
Cantidad medida: ix
Según RAMÍREZ y ORTIZ (2003, P. 44), los pasos básicos de un ajuste son:
• Definir la solución mediante el modelo matemático de ajuste, estos pueden ser:
o Modelo de ecuaciones de condición: este modelo está basado en la relación entre
los valores obtenidos directamente en campo (observaciones), y la aplicación en
ellos de las condiciones impuestas por el modelo matemático que proporciona
dichas ecuaciones de condición (ASÍN, 1990, p. 53). Por ejemplo: una red de
- 62 -
triángulos planos observados en campo, tienen que satisfacer la condición de que la
suma de sus tres ángulos interiores sea 180º.
o Modelo de ecuaciones de observación: este modelo está basado en la relación que
se establece entre las cantidades medidas (observaciones), parámetros y residuos.
Se escribe una ecuación para cada observación, con el objetivo de obtener una
solución única. Generalmente, se utilizan más observaciones que incógnitas lo que
permite obtener valores más probables mediante el ajuste por el MMC (ZEPEDA,
2004, p. 28).
• Seleccionar las observaciones, a través de un pre-procesamiento, con el fin de corregir
inconsistencias o perturbaciones de los datos, considerando un número suficiente de
observaciones en calidad y cantidad.
• Definir la calidad entregada por los parámetros de ajuste.
2.4.1. Tipos de error.
Según GEMAEL (1994, p. 59), los distintos tipos de error se producen principalmente por
fallas humanas, imperfecciones de los instrumentos de medición e influencia de las condiciones
ambientales.
• Faltas: se deben a errores groseros, provenientes de una falta de cuidado o confusión.
Las faltas o equivocaciones normalmente no se clasifican como errores, y pueden
removerse realizando una cuidadosa revisión de los datos (ZEPEDA, 2003, p.7).
• Errores sistemáticos: este tipo de error se produce por causas conocidas, pueden ser
evitados mediante técnicas especiales de observación, o pueden ser eliminados
posteriormente mediante fórmulas entregadas por la teoría (GEMAEL, 1994, p. 60).
• Errores accidentales: después de eliminadas las faltas y los errores sistemáticos se
aprecia la presencia de errores generalmente pequeños, que poseen signo positivo y
- 63 -
negativo, este tipo de errores pueden ser tratados estadísticamente (ZEPEDA, 2003,
p.7)
2.4.2. Linealización de ecuaciones por serie de Taylor.
Para la realización del ajuste de observaciones es necesario contar con un sistema lineal de
ecuaciones, de modo contrario el sistema de ecuaciones debe ser linealizado mediante la
linealización de series de Taylor.
El procedimiento de linealización de ecuaciones se describe según RAMÍREZ y ORTIZ
(2003, p. 44 y 45). Este procedimiento requiere definir las correcciones diferenciales x∂ y y∂ , para
un grupo de parámetros aproximados 0x e 0y . Primeramente se debe conocer la función no lineal
evaluada en los parámetros (0x e 0y ), posteriormente se debe realizar el cálculo de las derivadas
parciales de la función no lineal ('f , ''f ,…, nf ) respecto de cada incógnita, con este
procedimiento se obtienen las correcciones a las aproximaciones.
El proceso de linealización de funciones mediante series de Taylor, utiliza correcciones de
aproximaciones polinómicas según el orden n de las derivadas parciales (nf ). Mientras mayor sea
el orden de las derivadas parciales, mayor será precisión en la serie de Taylor. El modelo de
linealización de funciones no lineales se expresa mediante la siguiente función:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )...
!
,...
!2
,,,, 00200
''
00'
00 +++++== nn
xxxx dx
n
yxfdx
yxfdxyxfyxfyxfF
(61)
( ) ( ) ( ) nnyy
y dyn
yxfdy
yxfdyyxf
!
,...
!2
,, 00200
''
00' ++++
Si son canceladas las derivadas de orden superior, resulta:
( ) ( ) dyy
Fdx
x
FyxfyxfF x
0000,,
∂∂+
∂∂+== (62)
Otra manera de expresarlo:
- 64 -
( ) ( ) yX
FXFXF
X
∆∂∂+=
0
0 (63)
2.4.3. Matriz de Varianza-Covarianza (MVC).
En el proceso de ajuste es necesario medir la variabilidad de cada una de las observaciones,
las cuales poseen una varianza (2iσ ) y una covarianza (ijσ , ji ≠ ) asociada. La manera de medir la
precisión de las ecuaciones de observación se expresa en la MVC ( X∑ ).
=∑2
321
2232221
1131221
nnnn
n
n
X
σσσσ
σσσσσσσσ
L
MMMMM
L
L
(64)
La covarianza ijσ corresponde a una variable aleatoria bidimensional que estima la
correlación entre las componentes i y j, es decir, establece el grado de dependencia entre las
componentes (GEMAEL, 1994, p. 41). Cuando las componentes son estadísticamente
independientes su correlación es nula (ZEPEDA, 2004, p.41).
Una manera de medir la dependencia lineal entre dos componentes (x e y), es a través del
coeficiente de correlación de lineal, el cual se expresa mediante la siguiente función:
yx
xyxy σσ
σρ = (65)
Donde:
xσ : Desviación estándar de x.
yσ : Desviación estándar de y.
xyσ : Covarianza de x e y.
- 65 -
En el cálculo del coeficiente de correlación se verifica la siguiente situación:
11 ≤≤− xyρ (66)
Según GEMAEL (1994, p. 42), cuando el coeficiente de correlación lineal es igual a 1 ó -1,
existe una perfecta relación lineal entre x e y, dicho de otra forma, y es una función lineal de x. Si el
valor del coeficiente de correlación lineal es igual a cero, las variables x e y, no están
correlacionadas, sin embargo, esto no significa necesariamente que las componentes sean
independientes estadísticamente.
2.4.4. Ley de propagación de covarianzas.
La ley de propagación de covarianzas permite estimar la MVC de un vector aleatorio
multidimensional Y, a partir del conocimiento de la MVC de un vector aleatorio multidimensional
X (FERREIRA, 2003, p. 10).
Según GEMAEL (1994, p. 44 y 45), si se considera dos variables aleatorias
multidimensionales X e Y, ligadas por el modelo lineal:
111 CXGY mnnmm +⋅= (67)
Para un caso lineal, el modelo de propagación de covarianzas es:
TXY GG∑=∑ (68)
Para un caso no lineal, es posible considerar el modelo:
Y=F(X) (69)
El cual puede ser linealizado mediante una serie de Taylor:
- 66 -
( ) ( ) ( )00
0
XXX
FXFXFY
X
−∂∂+≅= (70)
Finalmente, el modelo de propagación de covarianzas para un caso no lineal está
determinado por:
TXY DD∑=∑ (71)
Donde:
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=∂∂=
n
mmm
n
n
X
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
X
FD
21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
0
L
LLLL
L
L
(72)
2.4.5. Ajuste por el Método Paramétrico de Mínimos Cuadrados.
Los principales métodos de posicionamiento utilizan el MMC para el ajuste de
observaciones de ángulos y distancias, aplicando el método paramétrico o método de ecuaciones de
observación (ALVES, 2008, p. 19). Este método utiliza observaciones indirectas para la realización
del ajuste (ZEPEDA, 2004, p. 34).
2.4.5.1. Modelo matemático.
Según GEMAEL (1994, p. 117), el método de ajuste paramétrico se verifica cuando los
valores observados ajustados, pueden ser expresados explícitamente como una función de los
parámetros ajustados, cuando se verifica el siguiente modelo matemático:
( )aa XFL = (73)
- 67 -
En este modelo matemáticoaL corresponde a las observaciones ajustadas, ( )aXF es la
función relativa de los parámetros y aX son los parámetros ajustados. Por otra parte, las
observaciones ajustadas (aL ) pueden definirse como:
VLL ba += (74)
Donde:
bL : Vector de los valores observados.
V : Vector de los residuos.
La corrección de los parámetros (aX ) puede expresarse como:
XXXa += 0 (75)
Donde:
0X : Vector cuyas componentes son los valores aproximados de los parámetros.
X : Vector de las correcciones.
Sustituyendo las ecuaciones (74) y (75) en la ecuación (73) y linealizando con la fórmula de
Taylor, se obtiene:
( ) ( ) .0
00 XX
FXFXXFVL
XXab
a =∂∂+=+=+ (76)
Designando la función de los parámetros aproximados por 0L :
( )00 XFL = (77)
Definiendo la matriz de las derivadas parciales A:
- 68 -
0XaX
FA
∂∂= (78)
La ecuación (76) se escribe:
AXLVLb +=+ 0 (79)
Despejando:
bLLAXV −+= 0 (80)
Haciendo:
bLLL −= 0 (81)
Finalmente, se obtiene el modelo matemático linealizado del método paramétrico, el cual se
puede expresar matricialmente como:
111 LXAV nuunn +⋅= (82)
Una expansión del método paramétrico expresado matricialmente, para n ecuaciones de
observación y u parámetros (GEMAEL, 1994, p. 118), corresponde a:
+
⋅
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
nu
xau
n
a
n
a
n
a
n
auaaa
auaaa
n l
l
l
x
x
x
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
v
v
v
MMMLMMM
M
...
...
...
2
1
2
1
321
2
3
2
2
2
1
2
1
3
1
2
1
1
1
2
1
0
(83)
- 69 -
2.4.5.2. Ecuaciones normales.
Según GEMAEL (1994, p. 119), la obtención de las ecuaciones normales parte con la
minimización de la forma cuadrática fundamental (Φ ), teniéndose:
mínimo==Φ PVVT (84)
Donde:
Φ : Forma cuadrática fundamental.
V : Vector de los residuos.
TV : Vector transpuesto de los residuos.
P : Matriz de pesos en las observaciones.
Reemplazando (82) en (84), se tiene:
( ) ( ) mínimoP =++==Φ LAXLAXPVV TT (85)
Resolviendo:
( ) ( ) mínimoP =++==Φ LAXLXAPVV TTTT
mínimo=+++==Φ PLLPAXLPLXAPAXXAPVV TTTTTTT
mínimo2 =++==Φ PLLPLAXPAXXAPVV TTTTTT
Derivando respecto a X e igualando a cero:
022 =+=∂Φ∂
PLAPAXAX
TT
0=+ PLAPAXA TT (86)
Despejando X:
- 70 -
( ) PLAPAAX TT 1−−= (87)
Haciendo:
PAAN T= (88)
PLAU T= (89)
Finalmente, el vector de corrección de lo parámetros está determinado por:
UNX 1−−= (90)
Donde el vector de los parámetros ajustado está determinado por la expresión (75).
2.4.5.3. Pesos en las observaciones.
Generalmente, las observaciones poseen distintos grados de precisión, por lo cual se les
asocia diferentes confianzas o pesos. El peso puede definirse como la ponderación relativa entre
valores observados, cuando es comparado con otro valor (ZEPEDA, 2004, p. 15). De acuerdo con
GEMAEL (1994, p. 120), antes del ajuste es necesario estimar la precisión de las observaciones,
para esto es importante determinar la MVC de los valores observados (bL∑ ), que en conjunto con
la varianza de peso a priori ( 20σ ), permite determinar la matriz de pesos:
120
−∑=bLP σ (91)
Después de determinada la matriz de pesos de las observaciones y realizado el ajuste, es
posible determinar la MVC de las distintas variables aleatorias involucradas en el proceso de ajuste.
- 71 -
2.4.5.4. Matriz de Varianza-Covarianza.
La determinación de la MVC de las variables aleatorias involucradas en el proceso de
ajuste, implican el uso de la varianza a posteriori ( 20σ̂ ) dentro de su desarrollo:
un
PVVT
−=2
0σ̂ (92)
Donde:
PVVT : Forma cuadrática fundamental.
n : Número de observaciones.
u : Número de parámetros.
( )un− : Grados de libertad del modelo.
La forma cuadrática fundamental puede ser calculada matricialmente por:
PLLUXPVV TTT += (93)
Según GEMAEL (1994, p. 120 y 121), después de determinada la varianza a posteriori, es
posible establecer la MVC de las variables aleatorias: aX (parámetros), aL (observaciones
ajustadas) y V (residuos).
• MVC de los parámetros ajustados (aX∑ ):
120ˆ −=∑ N
aX σ (94)
• MVC de las observaciones ajustadas (aL∑ ):
TXL AA
aa∑=∑ (95)
• MVC de los residuos ( V∑ )
( )1120ˆ −− −=∑ PAAN T
V σ (96)
- 72 -
2.4.5.5. Iteraciones.
Los modelos matemáticos más utilizados en Topografía y Geodesia no son lineales
(TRENTIN, 2006, p.75). El objetivo principal de un proceso iterativo es llegar a una única solución
o solución convergente, a partir de valores iniciales aproximados. Según GEMAEL (1994, p. 179),
en un proceso iterativo pueden ocurrir algunas situaciones como:
• Convergencia rápida o lenta.
• Oscilación en torno a un valor o punto.
• Divergencia en la solución.
Sin embargo, en la mayoría de los ajustes geodésicos es frecuente la convergencia con un
número pequeño de iteraciones. El proceso iterativo en el método paramétrico de ajuste posee las
siguientes etapas:
1° Etapa: 2° Etapa (1° iteración): Etapa i+1 (i-ésima iteración)
( )aa XFL = 01XXa =
01 i
ai XX =−
VLAX =+ 1111 VLXA =+ iiii VLXA =+
0XaX
FA
∂∂=
01
1
XaX
FA
∂∂=
01Xa
i X
FA
∂∂=
bLLL −= 0 ( ) bLXFL −= 011 ( ) bii LXFL −= 0
( )00 XFL = ( ) 11
1
111 PLAPAAX TT −−= ( ) iTii
Tii PLAPAAX
1−−=
( ) PLAPAAX TT 1−−= 1011 XXX a += ii
ai XXX += 0
XXX a += 0 un
PVVT
−= 112
1,0σ̂ un
PVV iT
ii −
=2,0σ̂
un
PVVT
−=2
0σ̂ ( ) 1
112
1,0ˆ1
−=∑ PAAT
Xaσ ( ) 12
,0ˆ−=∑ i
TiiXPAAa
iσ
( ) 120ˆ
−=∑ PAATXa
σ T
XLAA
aa11 11 ∑=∑
TiXiL
AA ai
ai
∑=∑
TXL AA
aa∑=∑ ( )1
11
112
1,0ˆ1
−− −=∑ PANA TV σ ( )112
,0ˆ −− −=∑ PANA TiiiiVi
σ
( )1120ˆ −− −=∑ PAAN T
V σ
- 73 -
2.4.5.6. Test de Chi-Cuadrado ( 2χ ).
Según GEMAEL (1994, p. 122), una manera de determinar la discrepancia entre 20σ y 20σ̂ ,
es aplicar un test de hipótesis basado en la distribución Chi-Cuadrado ( 2χ ). El propósito de este
test es determinar si el valor calculado para 20σ̂ es estadísticamente igual a 20σ , esto indicaría si
existe un balance entre el vector de residuos y las incertidumbres del mismo (FLORES, 2005, p.
74).
El procedimiento parte con el planteamiento de las hipótesis estadísticas (GEMAEL, 1994,
p. 123):
• Test de hipótesis básica: las varianzas a priori y a posteriori no difieren
estadísticamente en un nivel de significancia α .
20
200 ˆ: σσ =H (97)
• Test de hipótesis alternativa: las varianzas a priori y a posteriori difieren
estadísticamente en un nivel de significancia α .
20
201 ˆ: σσ ≠H (98)
Luego se compara el 2cχ (Chi-Cuadrado calculado):
20
20
202 ˆ
σσσχ PVV
ST
c == (99)
Donde:
unS −=
Con los valores teóricos 2tχ (Chi-Cuadrado teórico):
2
2,
αχSt
y 2
21,
−αχ
St (100)
Finalmente, la hipótesis básica no es rechazada, con un nivel de significancia α , si:
- 74 -
2
21,
22
2,
αα χχχ−
<<S
cS
(101)
2.4.5.7. Eliminación de errores groseros.
Para la identificación de errores groseros se debe proceder a un cuidadoso análisis del
ajuste, pudiendo existir un error en la MVC de las observaciones, faltas o errores sistemáticos no
eliminados o corregidos en el proceso de ajuste, el modelo matemático de ajuste no es consistente
con las observaciones, etc. (GEMAEL, 1994, p. 123).
De acuerdo con GEMAEL (1994, p. 304), el rechazo o eliminación de observaciones que
posean errores groseros, es determinado por un test basado en la distribución F de Snedecor:
• Test de hipótesis básica:
0H : La i-ésima observación posee un error grosero (102)
La hipótesis básica no es rechazada, con un nivel de significancia α , si:
ασ −∞> 1;,1Fv
iv
i (103)
Donde:
iv : Residuo.
ivσ : Desviación estándar del residuo.
2.4.6. Elipse de Error.
La elipse de error expresa la incertidumbre posicional de las coordenadas de un punto, con
relación a un sistema de referencia que posee un cierto nivel de confianza, además corresponde a la
representación gráfica de la precisión de las coordenadas (ALVES, 2008, p. 22). Para el análisis de
errores en el ajuste es necesario estudiar el comportamiento de los valores de las desviaciones
estándar máxima y mínima (ZEPEDA, 2004, p. 52).
- 75 -
El desarrollo de las ecuaciones que determinan las elipses de error, parte con la
determinación de la MVC de los valores ajustados, determinada por:
=∑
2
2
yxy
xyx
xy σσ
σσ (104)
Luego la MVC de los valores ajustados es relacionada al sistema de ejes cartesianos
mediante una matriz de rotación R(t):
=
tt
tttR
cos seno-
seno cos )( (105)
Donde las nuevas coordenadas son:
⋅=
y
xtR
y
x)(
'
' (106)
La MVC de (x’, y’) se calcula por ley de propagación:
Txyyx DD∑=∑ '' (107)
Donde:
)('
'
' '
tR
y
y
x
y
y
x
x
x
D =
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
= (108)
Desarrollando los elementos de la matriz ''yx∑ :
tttt xyyxx seno cos2seno cos 22222' σσσσ ++= (109)
tttt xyyxy seno cos2cos seno 22222' σσσσ −+= (110)
- 76 -
( ) ( )tttt xyyxyx2222
'' senocos seno cos −+−−= σσσσ (111)
Derivando dos veces (109) respecto a t, para verificar los extremos de la función:
( ) ( ) ttdt
dxyyx
x 2 seno 42cos2 222
2'
2
σσσσ −−−= (112)
La primera derivada de (109) igualada a cero, entrega como resultado:
22
22tan
yx
xytσσ
σ−
= (113)
Donde las raíces t y t+90°, indican las direcciones ortogonales de los valores críticos, las
expresiones de los ángulos críticos son:
M
t xyσ22 seno = y
Mt yx
22
2 cosσσ −
= (114)
Donde:
( )22224 yxxyM σσσ −+= (115)
Introduciendo (114) en (112):
( ) ( )MMdt
d xyyxx
2222
2
2'
2 82 σσσσ −−
−= (116)
GEMAEL (1994, p. 229) concluye: “la función tiene un máximo para valores positivos de
M (segunda derivada negativa) y la función tiene un mínimo para valores negativos de M (segunda
derivada positiva)”.
Finalmente, las funciones que relacionan los valores máximos y mínimos son:
- 77 -
( )Myxx ++= 22' 5,0max σσσ (Semieje mayor de la elipse) (117)
( )Myxy −+= 22' 5,0max σσσ (Semieje menor de la elipse) (118)
El ángulo de rotación queda expresado por la función (113). Gráficamente se representa la
elipse de error por la figura 20.
Figura 20: Elipse de error.
Fuente: Ajuste Geodésico, René Zepeda.
- 78 -
CAPÍTULO 3
METODOLOGÍA
3.1. DETERMINACIÓN DEL ÁREA DE ESTUDIO.
El área de estudio está comprendida por 30 vértices geodésicos pertenecientes al Ministerio
de Bienes Nacionales de la República de Chile (ver figura 21), los cuales sirvieron de apoyo para el
levantamiento de su cartografía a diferentes escalas. Los 30 vértices geodésicos pertenecen a la VII
Región del Maule, fueron medidos y asociados a los SGR: PSAD-56, SAD-69 y SIRGAS, la fecha
de medición y de cálculo para SIRGAS corresponde a febrero de 2010. Para el caso de este estudio
se realizó el ajuste de vértices geodésicos entre los SGR: PSAD-56 y SIRGAS.
Figura 21: Distribución de vértices geodésicos, VII Región del Maule.
Fuente: Elaboración propia, a partir de datos proporcionados por el Ministerio de Bienes Nacionales y Google Earth
- 79 -
El área de estudio fue dividida en tres zonas (ver anexo II), las cuales corresponden a:
• Z1-2: Corresponde a la totalidad de los 30 vértices geodésicos, abarcando una extensión
aproximada norte-sur de 140 km y este-oeste de 120 km
• Z1: Corresponde a una subdivisión ubicada en la zona norte de la zona Z1-2, compuesta por
15 vértices geodésicos, abarcando una extensión aproximada norte-sur de 70 km y este-
oeste de 95 km
• Z2: Corresponde a una subdivisión ubicada en la zona sur de la zona Z1-2, compuesta por
15 vértices geodésicos, abarcando una extensión aproximada norte-sur de 70 km y este-
oeste de 100 km
- 80 -
3.2. DETERMINACIÓN DE TOLERANCIA RESIDUAL.
En el actual manejo digital de bases cartográficas se ha producido un cambio en el concepto
clásico de la escala como algo fijo y dependiente del papel, llegando a ser dinámica y multiescalar
(ZEPEDA et al.). Debido a esta razón, se hace necesario establecer precisiones residuales de los
ajustes paramétricos de bases cartográficas, las cuales corresponden a:
Categoría Precisión Residual Origen Aplicación
Métrica 5 m Instituto Geográfico
Militar Cartografía regular a escalas
1:25.000 a 1:250.000 Métrica-
Submétrica 0,5 a 2 m
Ministerio de Bienes Nacionales
Cartografía y planos rurales a escalas 1:25.000 a 1:10.000
Decimétrica < 0,5 m Ministerio de Bienes
Nacionales
Todos los planos urbanos y/o rurales a escalas mayores a
1:10.000 Tabla 5: Precisiones residuales.
Fuente: www.cartografia.cl; “Parámetros de Transformación Entre Sistemas de Referencia Geodésicos y Cartográficos”.
Con el propósito de cumplir con el objetivo de determinar el nivel de precisión en el ajuste
de vértices geodésicos asociados a bases cartográficas en escalas grandes, a partir de la referencia
establecida en la tabla 5, se establece como tolerancia en el ajuste de vértices geodésicos la
precisión decimétrica, estableciendo una modificación determinada por:
Precisión decimétrica < 0,5 m
Concluyéndose que la aplicación corresponde a bases cartográficas que poseen escalas
iguales o mayores a 1:10.000.
- 81 -
3.3. CONVERSIÓN DE COORDENADAS.
El modelo de Similaridad 3-D de Molodensky-Badekas, utiliza coordenadas
tridimensionales en las transformaciones, es por esta razón que las coordenadas de proyección UTM
de los distintos vértices geodésicos deben ser convertidas a coordenadas cartesianas
tridimensionales.
El proceso de conversión de coordenadas entre los SGR: PSAD-56 y SIRGAS comienza
con la conversión de coordenadas de proyección UTM ( UTME , UTMN ) a coordenadas TM
( TMx , TMy ), despejando las expresiones (13) y (14) obteniéndose:
( )0
UTMTM
000.500E
m
mx
−= (119)
( )0
UTMTM
000.000.10N
m
my
−= (120)
La conversión de coordenadas TM (TMx , TMy ) a coordenadas geodésicas (φ ,λ ), asociadas
al elipsoide Internacional de Hayford (ver tabla 1), está determinada por la expresión (5). La
conversión de coordenadas geodésicas (φ , λ ) a coordenadas cartesianas tridimensionales (x, y, z)
está determinada por la expresión (184).
Luego de aplicados los parámetros de transformación en el modelo de Molodensky-
Badekas, se debe realizar el proceso inverso, partiendo con la conversión de coordenadas
cartesianas tridimensionales (x, y, z) a coordenadas geodésicas (φ ,λ ), asociadas al elipsoide GRS-
80 (ver tabla 4), mediante la expresión (185). La conversión de coordenadas geodésicas (φ ,λ ) a
coordenadas TM (TMx , TMy ), está determinada por la expresión (1). La conversión de coordenadas
TM ( TMx , TMy ) a coordenadas UTM (UTME , UTMN ), está determinada por las expresiones (13) y
(14).
- 82 -
En el proceso de conversión de coordenadas se consideran las alturas correspondientes a los
dos SGR con un valor igual a cero, con el propósito de que las diferencias altimétricas no influyan
en la determinación de los parámetros de transformación y en las precisiones asociadas, en el
modelo de transformación Molodensky-Badekas.
- 83 -
3.4. DETERMINACIÓN DE PARÁMETROS DE PROYECCIÓN CART OGRÁFICA.
La elección de los parámetros de la proyección cartográfica TM a utilizar, está en función
del nivel de utilización de los parámetros de la proyección cartográfica TM, donde la proyección
UTM (ver apartado 2.2.5.) corresponde a una de las proyecciones cartográficas utilizadas a nivel
mundial (FUENTES, 2006, p. 130), además es utilizada en plataformas globales como Google
Earth y Google Maps.
Debido a los dos aspectos citados anteriormente y considerando que alrededor de un 30%
de los vértices corresponde al huso UTM número 18, y además se exceden en menos de medio
grado sexagesimal respecto del límite del huso UTM número 19 (70% de vértices geodésicos
restantes), se realizó una extensión de del huso UTM número 19, con el objetivo de abarcar la
totalidad de vértices geodésicos.
3.4.1. Universal Transversal de Mercator (UTM).
Los parámetros de la proyección corresponden a:
• Huso: 19
• Meridiano central ( 0λ ): -69º (grados sexagesimales)
• Ancho del huso: 7º
• Distorsión de escala en el meridiano central (0m ): 0,9996
• UTME : 500.000 m
• UTMN : 10.000.000 m
- 84 -
3.5. ESTIMACIÓN DE LOS PARÁMETROS DE TRANSFORMACIÓN EN MODELOS
DE TRANSFORMACIÓN BIDIMENSIONAL Y DE SIMILARIDAD 3D .
3.5.1. Modelos Matemáticos de Ajuste.
El método paramétrico de mínimos cuadrados fue utilizado en el proceso de estimación de
parámetros de transformación de SGR, y los modelos matemáticos de ajuste corresponden a los
modelos de transformación bidimensional (Afín 2-D, Similaridad 2-D, Proyectiva 2-D y Polinomial
2-D) y de Similaridad 3D de Molodensky-Badekas.
Con el objetivo de simplificar la notación de las distintas expresiones correspondientes a los
modelos de transformación abordados en este estudio, las coordenadas planas ( )11, yx ,
corresponden a las coordenadas planas UTM transformadas a SIRGAS( )SIRGASSIRGAS yx , , y las
coordenadas planas ( )yx, corresponden a las coordenadas planas UTM pertenecientes PSAD-
56( )5656, −− PSADPSAD yx . Para el caso del modelo de transformación Molodensky-Badekas, las
coordenadas ( )111 ,, zyx corresponden a las coordenadas cartesianas tridimensionales transformadas
a SIRGAS( )SIRGASSIRGASSIRGAS zyx ,, , y las coordenadas ( )zyx ,, corresponden a las coordenadas
cartesianas tridimensionales pertenecientes a PSAD-56( )5656, −− PSADPSAD yx .
3.5.1.1. Modelo matemático de ajuste de transformación de Similaridad 2-D.
El modelo de ajuste bidimensional de Similaridad 2-D, establecido para un punto de
coordenadas planas (x, y), con centroide de coordenadas ( )mm yx , , está determinado por la
expresión (27).
La matriz A, correspondiente a las derivadas parciales respecto de los parámetros, está
determinada por la expresión (78). Su aplicación al modelo de transformación de Similaridad 2-D
corresponde a:
- 85 -
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
LLLL
1 0
0 1
A 11
11
θ
θy
k
y
x
k
x
(121)
Donde:
( ) ( ) θθ seno cos1mm yyxx
k
x−+−=
∂∂
( ) ( ) θθθ
cos seno1mm yykxxk
x−+−−=
∂∂
( ) ( ) θθ senocos1mm xxyy
k
y−−−=
∂∂
( ) ( ) θθθ
cos seno1mm xxkyyk
y−−−−=
∂∂
El vector de las correcciones de los parámetros (X), está determinado por la expresión:
=
Ty
Tx
θk
X (122)
El vector de las observaciones (L) corresponde a la diferencia entre los valores aproximados
( 0L ) y los valores observados (bL ), los cuales se relacionan en la expresión (81). Para el caso de
los modelos de transformación bidimensional, el vector que posee el subíndice 0, corresponde al
vector de las observaciones obtenidas de los parámetros aproximados ( 0X ), y el vector que posee el
subíndice SIRGAS, corresponde al vector de las observaciones que poseen como SGR SIRGAS:
- 86 -
b
SIRGASn
n
n
n
LL
y
x
y
x
y
x
y
x
L −=
−
= 0
1
1
0
1
1
MM (123)
3.5.1.2. Modelo matemático de ajuste de transformación Afín 2-D.
El modelo de ajuste bidimensional Afín 2-D, establecido para un punto de coordenadas
planas (x,y), con centroide de coordenadas ( )mm yx , , está determinado por la expresión (35).
La matriz A, correspondiente a las derivadas parciales respecto de los parámetros, para el
modelo de transformación Afín 2-D, está determinada por la expresión:
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
LLLLLL
1 0 0 0
0 1 0 0
2
1
2
1
1
1
1
1
b
y
a
y
b
x
a
x
A (124)
Donde:
mxxa
y
a
x−=
∂∂
=∂∂
2
1
1
1
myyb
y
b
x−=
∂∂
=∂∂
2
1
1
1
El vector de las correcciones de los parámetros (X), está determinado por la expresión:
- 87 -
=
2
1
2
1
2
1
c
c
b
b
a
a
X (125)
El vector de las observaciones (L) corresponde a la expresión (123).
3.5.1.3. Modelo matemático de ajuste de transformación Proyectiva 2-D.
El modelo de ajuste bidimensional Proyectivo 2-D, establecido para un punto de
coordenadas planas (x, y), con centroide de coordenadas ( )mm yx , , está determinado por la
expresión (44).
La matriz A, correspondiente a las derivadas parciales respecto de los parámetros, para el
modelo de transformación Proyectiva 2-D, está determinada por la expresión:
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
0 0 0
0 0 0
8
1
7
1
6
1
5
1
4
1
5
1
4
1
3
1
2
1
1
1
LLLLLLLL
a
y
a
y
a
y
a
y
a
y
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
A (126)
Donde:
( )
( ) ( ) 1541
1
+−+−−
=∂∂
mm
m
yyaxxa
xx
a
x
( )
( ) ( ) 1542
1
+−+−−
=∂∂
mm
m
yyaxxa
yy
a
x
( ) ( ) 1
1
543
1
+−+−=
∂∂
mm yyaxxaa
x
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]254
321
4
1
1+−+−+−+−−−
=∂∂
mm
mmm
yyaxxa
ayyaxxaxx
a
x
- 88 -
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]254
321
5
1
1+−+−+−+−−−
=∂∂
mm
mmm
yyaxxa
ayyaxxayy
a
x
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) 154
876
4
1
+−+−+−+−−−
=∂∂
mm
mmm
yyaxxa
ayyaxxaxx
a
y
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) 154
876
5
1
+−+−+−+−−−
=∂∂
mm
mmm
yyaxxa
ayyaxxayy
a
y
( )
( ) ( ) 1546
1
+−+−−
=∂∂
mm
m
yyaxxa
xx
a
y
( )
( ) ( ) 1547
1
+−+−−
=∂∂
mm
m
yyaxxa
yy
a
y
( ) ( ) 1
1
548
1
+−+−=
∂∂
mm yyaxxaa
y
El vector de las correcciones de los parámetros (X), está determinado por la expresión:
=
8
7
6
5
4
3
2
1
a
a
a
a
a
a
a
a
X (127)
El vector de las observaciones (L) corresponde a la expresión (123).
- 89 -
3.5.1.4. Modelo matemático de ajuste de transformación Polinomial 2-D.
El modelo matemático de ajuste bidimensional Polinomial 2-D, establecido para un punto
de coordenadas planas (x, y), con centroide de coordenadas ( )mm yx , , está determinado por la
expresión (45).
La matriz A, correspondiente a las derivadas parciales respecto de los parámetros, para el
modelo de transformación Polinomial 2-D, está determinada por la expresión:
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
8
1
7
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
1
1
1
87
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
1
1
1
LLLLLLLLLLLLLLLLLL
b
y
b
y
b
y
b
y
b
y
b
y
b
y
b
y
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
A (128)
Donde:
( )mxxb
y
a
x −=∂∂=
∂∂
1
1
1
1
( )2
2
1
2
1mxx
b
y
a
x −=∂∂=
∂∂
( )myyb
y
a
x −=∂∂=
∂∂
3
1
3
1
( )( )mm yyxxb
y
a
x −−=∂∂=
∂∂
4
1
4
1
( ) ( )mm yyxxb
y
a
x −−=∂∂=
∂∂ 2
5
1
5
1
( )2
6
1
6
1myy
b
y
a
x −=∂∂=
∂∂
( )( )2
7
1
7
1mm yyxx
b
y
a
x −−=∂∂=
∂∂
- 90 -
( ) ( )22
8
1
8
1mm yyxx
a
y
a
x −−=∂∂=
∂∂
El vector de las correcciones de los parámetros (X), está determinado por la expresión:
=
8
1
0
8
1
0
b
b
b
a
a
a
X
M
M
(129)
El vector de las observaciones (L) corresponde a la expresión (123).
3.5.1.5. Modelo Matemático de ajuste de de transformación de Similaridad 3-D
Molodensky-Badekas.
El modelo matemático de ajuste establecido para un punto de coordenadas tridimensionales
(x, y, z), con centroide de coordenadas ( )mmm zyx ,, , está determinado por la expresión (59).
El desarrollo matricial del modelo matemático de ajuste está determinado por las funciones:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 31
21
11
-k--ψ
---
-ψ--
fzzzyyxxzz
fyzzyykxxyy
fxzzyyxxkxx
mmmm
mmmm
mmmm
=++−+∆==+++−∆==+−++∆=
εεω
ω (130)
La matriz A, correspondiente a las derivadas parciales respecto de los parámetros, para el
modelo de transformación de Similaridad 3-D Molodensky-Badekas de 10 parámetros, está
determinada por la expresión:
- 91 -
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
=∂∂
=∂∂
−=∂∂
=∂∂
=∆∂
∂=
∆∂∂
=∆∂
∂
=∂∂
−=∂∂
=∂∂
=∂∂
=∆∂
∂=
∆∂∂
=∆∂
∂
=∂∂
=∂∂
=∂∂
−=∂∂
=∆∂
∂=
∆∂∂
=∆∂
∂
=
mmm
mmm
mmm
zzk
zzyy
zxx
z
z
z
y
z
x
z
yyk
yxx
yzz
yy
z
y
y
y
x
y
xxk
xyy
xxzz
x
z
x
y
x
x
x
A
- 0 - -ψ
1 0 0
- - - 0ψ
0 1 0
- - 0 -ψ
0 0 1
1111111
1111111
1111111
ωε
ωε
ωε
(131)
El vector de las correcciones de los parámetros (X), está determinado por la expresión:
∆∆∆
=
k
z
y
x
X
ψ
ωε
(132)
El vector de las observaciones (L) corresponde a la diferencia entre los valores aproximados
( 0L ) y los valores observados (bL ), los cuales se relacionan en la expresión (81). Para el caso del
modelo de transformación Molodensky-Badekas, el vector que posee el subíndice 0, corresponde al
vector de las observaciones obtenidas de los parámetros aproximados ( 0X ), y el vector que posee el
subíndice SIRGAS, corresponde al vector de las observaciones que poseen como SGR SIRGAS:
b
SIRGASn
n
n
n
n
n
LL
z
y
x
z
y
x
z
y
x
z
y
x
L −=
−
= 0
1
1
1
0
1
1
1
M
M
M
M (133)
- 92 -
3.5.2. Matriz de pesos.
Debido a que no se conocen las varianzas y covarianzas del sistema PSAD-56, se asumen
matrices escalares (todos los elementos de la diagonal principal son iguales) como matriz de peso en
el ajuste, por lo tanto, las varianzas de peso a priori ( 20σ ) tendrán valores diferidos para cada
modelo de transformación y zona (ver 4.4.). El asumir matrices escalares no influencia en las
soluciones del ajuste, ya que, las observaciones poseen igual probabilidad. El empleo de 20σ
diferidas y asociadas a las matrices escalares de pesos, permite la comparación estadística entre 20σ
y 20σ̂ , a través del test de Chi-Cuadrado (2χ ).
3.5.3. Ecuaciones normales.
Luego de determinados los modelos matemáticos de ajuste geodésico, es necesaria la
obtención de las ecuaciones normales para cada modelo de transformación, donde el vector X está
determinado por la ecuación (90).
3.5.4. Iteraciones.
Para el caso de ajuste de los modelos de transformación bidimensional y Molodensky-
Badekas, el proceso iterativo utilizado en el método paramétrico de ajuste corresponde a las
secuencias presentadas en el apartado 2.4.5.5.
- 93 -
3.6. DETERMINACIÓN DE MATRICES DE VARIANZA-COVARIAN ZA.
El cálculo de la varianza a posteriori ( 20σ̂ ), está determinado por la expresión (92), para el
caso de los distintos modelos de ajuste.
3.6.1. MVC en modelo de transformación de Similaridad 2-D.
La determinación de las MVC corresponde a las expresiones:
• MVC de los parámetros ajustados (aX∑ ):
==∑ −
2,,,
,2
,,
,,2
,
,,,2
120
ˆ
TyTxTyTykTy
TyTxTxTxkTx
TyTxk
TykTxkkk
X Na
σσσσ
σσσσ
σσσσ
σσσσ
σ
θ
θ
θθθθ
θ
(134)
• MVC de las observaciones ajustadas (aL∑ ):
=∑=∑
2,
,2
2,
,2
111
111
nnn
nnn
aa
yxy
yxx
yxy
yxx
TXL AA
σσ
σσ
σσ
σσ
LMM
LMM
MMOMM
LLL
LLL
(135)
• MVC de los residuos ( V∑ ):
( )
=−=∑ −−
2,
,2
2,
,2
1120
ˆ111
111
nynxny
nynxnx
yxy
yxx
vvv
vvv
vvv
vvv
TV IAAN
σσ
σσ
σσ
σσ
σ
LMM
LMM
MMOMM
LLL
LLL
(136)
- 94 -
3.6.2. MVC en modelo de transformación Afín 2-D.
La determinación de las MVC corresponde a las expresiones:
• MVC de los parámetros ajustados (aX∑ ):
==∑ −
2,c,c,c,c,c
,c2
,c,c,c,c
,b,b2
,b,b,b
,b,b,b2
,b,b
,a,a,a,a2
,a
,a,a,a,a,a2
120
21222122212
21121112111
22122122212
21112112111
22122212212
21112111211
ˆ
ccbbaa
ccbbaa
ccbbaa
ccbbaa
ccbbaa
ccbbaa
X Na
σσσσσσ
σσσσσσ
σσσσσσ
σσσσσσ
σσσσσσ
σσσσσσ
σ (137)
• MVC de las observaciones ajustadas (aL∑ ), posee una estructura similar a la expresión
(135).
• MVC de los residuos ( V∑ ), posee una estructura similar a la expresión (136).
3.6.3. MVC en modelo de transformación Proyectiva 2-D.
La determinación de las MVC corresponde a las expresiones:
• MVC de los parámetros ajustados (aX∑ ):
==∑ −
2,,,,,,,
,2
,,,,,,
,,2
,,,,,
,,,2
,,,,
,,,,2
,,,
,,,,,2
,,
,,,,,,2
,
,,,,,,,2
120
878685848382818
877675747372717
867665646362616
857565545352515
847464544342414
837363534332313
827262524232212
817161514131211
ˆ
aaaaaaaaaaaaaaa
aaaaaaaaaaaaaaa
aaaaaaaaaaaaaaa
aaaaaaaaaaaaaaa
aaaaaaaaaaaaaaa
aaaaaaaaaaaaaaa
aaaaaaaaaaaaaaa
aaaaaaaaaaaaaaa
X Na
σσσσσσσσ
σσσσσσσσ
σσσσσσσσ
σσσσσσσσ
σσσσσσσσ
σσσσσσσσ
σσσσσσσσ
σσσσσσσσ
σ (138)
- 95 -
• MVC de las observaciones ajustadas (aL∑ ), posee una estructura similar a la expresión
(135).
• MVC de los residuos ( V∑ ), posee una estructura similar a la expresión (136).
3.6.4. MVC en modelo de transformación Polinomial 2-D.
La determinación de las MVC corresponde a las expresiones:
• MVC de los parámetros ajustados (aX∑ ):
==∑ −
2
2,,
,2
,
,,2
2,
,2
120
8
10181
10080
18088
110
100
ˆ
b
bbbab
bbbab
babaa
aaa
aaa
X Na
σ
σσσ
σσσ
σσσ
σσ
σσ
σ
LLLLLMM
MOMMMLMM
LLLMM
LLLMM
LLLMM
MMMMMOMM
LLLLLL
LLLLLL
(139)
• MVC de las observaciones ajustadas (aL∑ ), posee una estructura similar a la expresión
(135).
• MVC de los residuos ( V∑ ), posee una estructura similar a la expresión (136).
3.6.5. MVC en el modelo de Similaridad 3-D Molodensky-Badekas.
La determinación de las MVC corresponde a las expresiones:
• MVC de los parámetros ajustados (aX∑ ):
- 96 -
==∑
∆∆∆
∆∆∆
∆∆∆
∆∆∆
∆∆∆∆∆∆∆∆∆
∆∆∆∆∆∆∆∆∆
∆∆∆∆∆∆∆∆∆
−
2,,,,,,
,2
,,,,,
,,2
,,,,
,,,2
,,,
,,,,2
,,
,,,,,2
,
,,,,,,2
120
ˆ
kkkkzkykxk
kzyx
kzyx
kzyx
zzzzzyzxz
yyyyzyyxy
kxxxxzxyxx
X Na
σσσσσσσ
σσσσσσσ
σσσσσσσ
σσσσσσσ
σσσσσσσ
σσσσσσσ
σσσσσσσ
σ
ωεψ
ωωεωψωωωω
εωεεψεεεε
ψωψεψψψψψ
ψψεψ
ψψεψ
ωεψ
(140)
• MVC de las observaciones ajustadas ( zyx ∑ ):
=∑=∑=∑
2,,
,2
,
,,2
2,,
,2
,
,,2
11111
11111
11111
nnnnn
nnnnn
nnnnn
aa
zyzxz
zyyxy
zxyxx
zyzxz
zyyxy
zxyxx
TXLzyx AA
σσσ
σσσ
σσσ
σσσ
σσσ
σσσ
LMMM
LMMM
LMMM
MMMOMMM
LLLL
LLLL
LLLL
(141)
• MVC de los residuos ( V∑ ):
( )
=−=∑ −−
2,,
,2
,
,,2
2,,
,2
,
,,2
1120
ˆ11111
11111
11111
nznynznxnz
nznynynxny
nznxnynxnx
zyzxz
zyyxy
zxyxx
vvvvv
vvvvv
vvvvv
vvvvv
vvvvv
vvvvv
TV IAAN
σσσ
σσσ
σσσ
σσσ
σσσ
σσσ
σ
LMMM
LMMM
LMMM
MMMOMMM
LLLL
LLLL
LLLL
(142)
- 97 -
3.7. TEST DE CHI-CUADRADO ( 2χ ).
Con el propósito de analizar si 20σ es estadísticamente igual a 20σ̂ , se recurre al test de Chi-
Cuadrado ( 2χ ), revisado en la sección 2.4.5.6.
El planteamiento de hipótesis estadísticas es igual para todos los modelos de ajuste:
• Test de hipótesis básica: las varianzas a priori y a posteriori no difieren
estadísticamente en un nivel de significancia α =5%.
20
200 ˆ: σσ =H (143)
• Test de hipótesis alternativa: las varianzas a priori y a posteriori difieren
estadísticamente en un nivel de significancia α =5%.
20
201 ˆ: σσ ≠H (144)
Planteadas las hipótesis estadísticas, se compara el 2cχ (Chi-Cuadrado calculado):
20
20
202 ˆ
σσσχ PVV
ST
c == (145)
Siendo:
unS −⋅= 2 (Modelos de ajuste bidimensional)
unS −⋅= 3 (Modelo de ajuste tridimensional)
n : Número de observaciones.
u : Número de parámetros de ajuste.
Finalmente, la hipótesis básica no es rechazada, con un nivel de significancia α =5%, si:
( ) ( )2
975,0,22
025,0, StcSt χχχ << (146)
- 98 -
3.8. ELIMINACIÓN DE ERRORES GROSEROS.
La identificación de errores groseros en las observaciones se realiza mediante un test basado
en la distribución F de Snedecor (ver 2.4.5.7.).
El planteamiento de la hipótesis estadística es igual para todos los modelos de ajuste:
• Test de hipótesis básica:
0H : La i-ésima observación posee un error grosero (147)
La hipótesis básica no es rechazada, con un nivel de significanciaα =5%, si:
96,1>iv
iv
σ (148)
Donde:
iv : Residuo.
ivσ : Desviación estándar del residuo.
96,184,395,0;,1 ==∞F
- 99 -
3.9. PROPAGACIÓN DE COVARIANZAS.
Con el objetivo de hacer comparativos los modelos de transformación bidimensional y
tridimensional, es necesario realizar una propagación de las covarianzas determinadas en un sistema
de coordenadas tridimensional, luego a un sistema de coordenadas geodésicas y finalmente a un
sistema de proyección plano UTM.
3.9.1. Propagación de Covarianzas a las Coordenadas Geodésicas.
Determinada la MVC de las observaciones ajustadas ( )zyx ∑ , puede ser propagada a las
coordenadas geodésicas (ϕ ,λ ), con el fin de analizar las precisiones en el nuevo sistema de
coordenadas, a través de la MVC de las coordenadas geodésicas ( )ϕλ∑ .
Por ley de propagación de covarianzas (ver 2.4.4.), el modelo de propagación para un caso
no lineal corresponde a:
TUU zyx ∑∑ =ϕλ (149)
Donde:
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
zyx
zyxU
λλλ
ϕϕϕ
(150)
Y las derivadas parciales:
∂∂−
∂∂
+=
∂∂
xxx
ηξξηηϕ
ϕ22
1tan11
∂∂−
∂∂
+=
∂∂
yyy
ηξξηηϕ
ϕ22
1tan11
(151)
∂∂−
∂∂
+=
∂∂
zzx
ηξξηηϕ
ϕ22
1tan11
- 100 -
xbe
x ∂∂=
∂∂ ϑϑϑξ
cos seno'3 22
ybe
y ∂∂=
∂∂ ϑϑϑξ
cos seno'3 22 (152)
zbe
z ∂∂+=
∂∂ ϑϑϑξ
cos seno'31 22
xae
d
x
x ∂∂+=
∂∂ ϑϑϑη
seno cos'3 22
yae
d
x
y ∂∂+=
∂∂ ϑϑϑη
seno cos'3 22 (153)
zae
z ∂∂=
∂∂ ϑϑϑη
seno cos'3 22
+
−=∂∂
122
223
db
zabd
axz
x
ϑ
+
−=∂∂
122
223
db
zabd
ayz
y
ϑ (154)
+
−=∂∂
122
22
db
zabd
a
z
ϑ
- 101 -
3.9.2. Propagación de Covarianzas a las Coordenadas Planas UTM.
Determinada la MVC de las coordenadas geodésicas ( )ϕλ∑ , puede ser propagada a las
coordenadas planas TM (TMx , TMy ), con el fin de analizar las precisiones en el nuevo sistema de
coordenadas, a través de la MVC de las coordenadas planas TM ( )TMTM yx∑ y finalmente la
obtención de la MVC de las coordenadas planas UTM ( )UTMUTM yx∑ .
Por ley de propagación de covarianzas, el modelo de propagación para un caso no lineal
corresponde a:
Tyx VV ϕλ∑∑ =
TMTM (155)
Donde:
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
λϕ
λϕyx
yx
V
(156)
Las derivadas parciales se calcularon a partir de una simplificación de las fórmulas de
conversión de coordenadas geodésicas a coordenadas planas TM (ver 2.2.1.).
331 λϕ
λϕϕ
∆∂∂
+∆∂∂
=∂∂ aax
(157)
4422 λϕ
λϕϕϕ
∆∂∂
+∆∂∂
+∂∂=
∂∂ aaBy
(158)
45
231 53 λλ
λ∆+∆+=
∂∂
aaax
(159)
56
342 642 λλλ
λ∆+∆+∆=
∂∂
aaay
(160)
- 102 -
Donde:
( )( ) 2/322
2
1
1
φϕ sene
eaM
B
−−==
∂∂
( )[ ]1seno2seno
cossenosenoseno12244
2232221
+−−+−=
∂∂
ϕϕϕϕϕϕ
φ ee
aaeaeea
( )2seno2seno1
cossenoseno2222
22422
−−+−−=
∂∂
ϕϕϕϕϕ
φ ee
aaaea
( ) ( )[ ]( )6seno6seno1
6coscos3cossenocos6cos5seno2222
2242642224433
−−++−−+−+−=
∂∂
ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ
φ ee
aaaeaeaeaeaeaea
( )( )
( )1seno2seno24
6cos9cos4
cos18cos45cos28seno
cos18cos45cos28seno
seno1
2244
6284
2244662
22244664
22
4
+−
++
++++−+−++
−
−=∂∂
ϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕϕϕϕ
ϕ
φ ee
aaeae
aaeaeae
aeaeaeae
e
a
La determinación de la propagación de covarianzas a las coordenadas planas UTM
( UTMx , UTMy ), está determinada por la influencia generada por la distorsión de escala en el
meridiano central ( 0m ), la cual corresponde a una constante que afecta las coordenadas planas TM
( TMx , TMy ).
Finalmente, la expresión para la propagación de covarianzas a las coordenadas planas UTM
es:
= ∑⋅∑⋅=∑ TVVmm yxyx ϕλ00 TMTMUTMUTM
(161)
- 103 -
3.10. ESTIMACIÓN DE ELIPSES DE ERROR.
Con el objetivo de analizar las desviaciones estándar máximas, mínimas y su relación en un
eje cartesiano mediante una matriz de rotación, se establece la estimación de las elipses de error, en
cada uno de los vértices geodésicos ajustados por los distintos modelos de transformación.
3.10.1. Estimación de Elipses de Error en Coordenadas Planas UTM.
La estimación de las elipses de error de las coordenadas planas UTM, de cada vértice
geodésico ajustado, por cada uno de los modelos de transformación bidimensional y tridimensional,
es realizada a través de las fórmulas:
=∑
2,
,2
2,
,2
111
111
UTMUTM
nnn
nnn
yxy
yxx
yxy
yxx
yx
σσ
σσ
σσ
σσ
LMM
LMM
MMOMM
LLL
LLL
(162)
( )Mann yx ++== 225,0max σσσ (163)
( )Mbnn yx −+== 225,0min σσσ (164)
2
2arctan
22
,
−= nn
nn
yx
yx
tσσ
σ
(165)
Donde:
( ) ( )2222,4
nnnn yxyxM σσσ −+=
a : Semieje mayor de la elipse.
b : Semieje menor de la elipse.
- 104 -
3.11. DETERMINACIÓN DE LOS RESIDUOS DE LAS OBSERVACIONES.
La estimación de los residuos de las observaciones, para todos los modelos de ajuste, está
determinada por el vector de residuos que corresponde a la expresión (82).
3.12. DETERMINACIÓN DE LA VARIACIÓN DE DISTORSIÓN D E ESCALA Y
CONVERGENCIA MERIDIANA.
Con el objetivo de analizar las implicancias generadas en el proceso de transformación de
bases cartográficas, se establece la determinación de las variaciones de distorsión de escala y
convergencia meridiana, las cuales corresponden a las siguientes magnitudes:
• Magnitud de variación de distorsión de escala (m∆ ): corresponde a la diferencia de
distorsión de escala entre un punto transformado y asociado al sistema SIRGAS
( SIRGASm ), y la distorsión de escala asociada al mismo punto correspondiente al sistema
PSAD-56 ( 56−PSADm ). La determinación de esta magnitud es realizada mediante las
expresiones (8) y (166).
56−−=∆ PSADSIRGAS mmm (166)
• Magnitud de variación de convergencia meridiana (C∆ ): corresponde a la diferencia
de convergencia meridiana entre un punto transformado y asociado al sistema SIRGAS
( SIRGASC ), y la convergencia meridiana asociada al mismo punto correspondiente al
sistema PSAD-56 ( 56−PSADC ). La determinación de esta magnitud es realizada mediante
las expresiones (10) y (167).
56−−=∆ PSADSIRGAS CCC (167)
Para cuantificar y analizar las magnitudes m∆ y C∆ , son realizadas pruebas de simulación
de cambio de SGR desde PSAD-56 a SIRGAS, para puntos dispersos homogéneamente en el área
- 105 -
de estudio. El modelo de transformación utilizado para las pruebas de simulación corresponde al
modelo de transformación de Similaridad 3-D Molodensky-Badekas.
3.13. DETERMINACIÓN DE LOS RESIDUOS DE LOS PUNTOS DE CONTROL.
Con el propósito de validar los modelos de transformación dentro del área de estudio, se
establece la determinación de los residuos de los puntos de control. Tales residuos corresponden a
la diferencia existente entre los puntos de control pertenecientes al SGR SIRGAS y los puntos de
control pertenecientes al SGR PSAD-56, los cuales son transformados a través de los parámetros de
transformación previamente determinados.
- 106 -
CAPÍTULO 4
RESULTADOS
Para efectos de presentación de resultados, en algunos casos se muestran los indicadores de
precisión, los cuales están en función de su desviación estándar de precisión unitaria, la cual se
desprende de la Distribución Normal Estandarizada, que posee un promedio 0=µ y además
establece la relación: 12 == σσ . Según lo planteado, σ corresponde a la probabilidad de error de
un 68,27 % y σ2 corresponde a la probabilidad de error de un 95,45 %.
En la presentación de resultados las zonas Z1-2 (2) y Z2 (2), corresponden a zonas donde se
tuvo que recalcular los modelos de ajuste, debido a la eliminación de observaciones que poseían
errores groseros (ver 4.5.).
4.1. PARÁMETROS DE TRANSFORMACIÓN.
La estimación de los parámetros de transformación y sus respectivas precisiones (σ ),
fueron obtenidas a través de la metodología planteada en los apartados 3.5. y 3.6., para las distintas
zonas y modelos de transformación.
- 107 -
MODELO DE TRANSFORMACIÓN DE SIMILARIDAD 2-D
Z1-2 Z1 Z2
PARÁMETRO VALOR σ 2σ VALOR σ 2σ VALOR σ 2σ
k 1,000003491 0,000001049 0,000002098 1,000002178 0,000002075 0,000004150 1,000005887 0,000000930 0,000001859
θ 0,000000900 0,000001049 0,000002098 0,000009653 0,000002075 0,000004150 0,000000219 0,000000930 0,000001859
Tx -183,174 0,061 0,122 -183,249 0,085 0,170 -183,103 0,036 0,072
Ty -373,597 0,061 0,122 -373,438 0,085 0,170 -373,724 0,036 0,072
CENTROIDE - - - - - - - - -
mx 246234,036 - - 256945,730 - - 236160,712 - -
my 6058257,793 - - 6095713,773 - - 6020121,416 - - Tabla 6: Parámetros de transformación modelo de Similaridad 2-D.
MODELO DE TRANSFORMACIÓN AFÍN 2-D
Z1-2 Z1 Z2
PARÁMETRO VALOR σ 2σ VALOR σ 2σ VALOR σ 2σ
1a 1,000002266 0,000001375 0,000002751 1,000000947 0,000001864 0,000003728 1,000003856 0,000000572 0,000001145
2a -0,000007679 0,000001375 0,000002751 -0,000013906 0,000001864 0,000003728 -0,000000769 0,000000572 0,000001145
1b -0,000002464 0,000001050 0,000002101 -0,000002075 0,000003054 0,000006108 -0,000000564 0,000001110 0,000002219
2b 1,000005868 0,000001050 0,000002101 1,000003513 0,000003054 0,000006108 1,000013695 0,000001110 0,000002219
1c -183,187 0,048 0,096 -183,261 0,065 0,130 -183,098 0,022 0,043
2c -373,554 0,048 0,096 -373,427 0,065 0,130 -373,651 0,022 0,043
CENTROIDE - - - - - - - - -
mx 246234,036 - - 256945,730 - - 236160,712 - -
my 6058257,793 - - 6095713,773 - - 6020121,416 - - Tabla 7: Parámetros de transformación modelo Afín 2-D.
- 108 -
MODELO DE TRANSFORMACIÓN PROYECTIVA 2-D
Z1-2 Z1 Z2
PARÁMETRO VALOR σ 2σ VALOR σ 2σ VALOR σ 2σ
1a 1,000002653 0,000001040 0,000002080 1,000000647 0,000001903 0,000003805 1,000004092 0,000000590 0,000001181
2a -0,000002341 0,000000788 0,000001576 -0,000003233 0,000003157 0,000006313 -0,000000156 0,000001111 0,000002221
3a -183,032 0,043 0,086 -183,162 0,095 0,189 -183,055 0,029 0,058
4a 1,21E-10 2,05E-11 4,10E-11 8,25E-11 5,66E-11 1,13E-10 3,65E-11 1,74E-11 3,48E-11
5a 1,42E-11 1,84E-11 3,68E-11 1,25E-11 7,27E-11 1,45E-10 -9,11E-12 3,27E-11 6,54E-11
6a -0,000008380 0,000001038 0,000002076 -0,000014460 0,000001888 0,000003775 -0,000000969 0,000000572 0,000001144
7a 1,000006031 0,000000797 0,000001594 1,000003602 0,000003186 0,000006372 1,000013428 0,000001081 0,000002161
8a -373,481 0,052 0,103 -373,425 0,072 0,144 -373,656 0,024 0,047
CENTROIDE - - - - - - - - -
mx 246234,036 - - 256945,730 - - 236160,712 - -
my 6058257,793 - - 6095713,773 - - 6020121,416 - - Tabla 8: Parámetros de transformación modelo Proyectivo 2-D.
- 109 -
MODELO DE TRANSFORMACIÓN POLINOMIAL 2-D
Z1-2 Z1 Z2
PARÁMETRO VALOR σ 2σ VALOR σ 2σ VALOR σ 2σ
0a -183,067 0,073 0,146 -183,298 0,005 0,010 -182,973 0,002 0,003
1a 1,000003354 0,000001301 0,000002601 0,999998821 0,000000102 0,000000205 1,000004337 0,000000056 0,000000113
2a -8,17E-11 4,83E-11 9,66E-11 3,02E-11 7,49E-12 1,50E-11 -8,63E-11 1,56E-12 3,13E-12
3a -0,000002587 0,000000686 0,000001373 -0,000008711 0,000000513 0,000001025 0,000004529 0,000000149 0,000000298
4a -3,38E-11 2,04E-11 4,08E-11 6,11E-11 7,19E-12 1,44E-11 1,14E-10 3,97E-12 7,95E-12
5a 2,91E-16 5,05E-16 1,01E-15 2,06E-15 4,84E-16 9,68E-16 -2,85E-15 1,94E-16 3,88E-16
6a -2,89E-11 2,33E-11 4,67E-11 2,68E-10 1,51E-11 3,02E-11 -4,03E-12 8,67E-12 1,73E-11
7a -6,24E-16 6,22E-16 1,24E-15 2,31E-15 2,26E-16 4,53E-16 4,95E-15 2,86E-16 5,72E-16
8a 2,24E-20 1,74E-20 3,48E-20 -1,64E-19 1,08E-20 2,16E-20 4,23E-20 1,93E-20 3,86E-20
0b -373,631 0,073 0,146 -373,943 0,005 0,010 -373,688 0,002 0,003
1b -0,000009963 0,000001301 0,000002601 -0,000022466 0,000000102 0,000000205 -0,000001144 0,000000056 0,000000113
2b 1,02E-10 4,83E-11 9,66E-11 4,47E-10 7,49E-12 1,50E-11 2,75E-11 1,56E-12 3,13E-12
3b 1,000005088 0,000000686 0,000001373 0,999985572 0,000000513 0,000001025 1,000013362 0,000000149 0,000000298
4b -2,55E-10 2,04E-11 4,08E-11 3,41E-10 7,19E-12 1,44E-11 -5,40E-11 3,97E-12 7,95E-12
5b 1,22E-15 5,05E-16 1,01E-15 2,74E-15 4,84E-16 9,68E-16 -1,32E-15 1,94E-16 3,88E-16
6b -1,27E-11 2,33E-11 4,67E-11 1,04E-09 1,51E-11 3,02E-11 -7,36E-11 8,67E-12 1,73E-11
7b -2,30E-17 6,22E-16 1,24E-15 1,27E-14 2,26E-16 4,53E-16 1,55E-15 2,86E-16 5,72E-16
8b 3,08E-20 1,74E-20 3,48E-20 -7,24E-19 1,08E-20 2,16E-20 1,13E-19 1,93E-20 3,86E-20
CENTROIDE - - - - - - - - -
mx 246234,036 - - 256945,730 - - 236160,712 - -
my 6058257,793 - - 6095713,773 - - 6020121,416 - - Tabla 9: Parámetros de transformación modelo Polinomial 2-D.
- 110 -
MODELO DE TRANSFORMACIÓN MOLODENSKY-BADEKAS
Z1-2 Z1 Z2
PARÁMETRO VALOR σ 2σ VALOR σ 2σ VALOR σ 2σ
x∆ -346,185 0,050 0,099 -345,414 0,070 0,140 -346,953 0,030 0,059
y∆ 391,358 0,050 0,100 389,076 0,070 0,140 393,635 0,031 0,063
z∆ -292,321 0,050 0,099 -293,932 0,070 0,140 -290,656 0,030 0,061 ψ -0,000041894 0,000001028 0,000002057 -0,000048474 0,000002073 0,000004147 -0,000041575 0,000000912 0,000001824
ε -0,000057543 0,000001162 0,000002324 -0,000055313 0,000003140 0,000006281 -0,000057793 0,000001612 0,000003223
ω 0,000024230 0,000001267 0,000002534 0,000019217 0,000001923 0,000003847 0,000024518 0,000000828 0,000001655
k 1,000002300 0,000000854 0,000001707 1,000001027 0,000001713 0,000003426 1,000004643 0,000000764 0,000001528
CENTROIDE - - - - - - - - -
mx 1621831,842 - - 1639725,018 - - 1604331,264 - -
my -4933041,594 - - -4949798,072 - - -4915524,901 - -
mz -3691013,091 - - -3660753,437 - - -3721695,693 - - Tabla 10: Parámetros de transformación modelo Molodensky-Badekas 3-D.
- 111 -
Los parámetros de transformación de los modelos de ajuste recalculados corresponden a:
MODELO DE TRANSFORMACIÓN DE SIMILARIDAD 2-D
Z1-2 (2) Z1 (2)
PARÁMETRO VALOR σ 2σ VALOR σ 2σ
k 1,000000886 0,000000641 0,000001282 1,000000939 0,000001921 0,000003841
θ -0,000001324 0,000000641 0,000001282 0,000005847 0,000001921 0,000003841
Tx -183,160 0,039 0,077 -183,243 0,076 0,152
Ty -373,827 0,039 0,077 -373,579 0,076 0,152
CENTROIDE - - - - - -
mx 246234,036 - - 256945,730 - -
my 6058257,793 - - 6095713,773 - - Tabla 11: Parámetros de transformación modelo de Similaridad 2-D (recalculado).
MODELO DE TRANSFORMACIÓN AFÍN 2-D
Z1-2 (2)
PARÁMETRO VALOR σ 2σ
1a 1,000002707 0,000001244 0,000002488
2a -0,000004930 0,000001244 0,000002488
1b -0,000002803 0,000000951 0,000001902
2b 1,000003755 0,000000951 0,000001902
1c -183,201 0,043 0,086
2c -373,642 0,043 0,086
CENTROIDE - - -
mx 246234,036 - -
my 6058257,793 - - Tabla 12: Parámetros de transformación modelo Afín 2-D (recalculado).
- 112 -
MODELO DE TRANSFORMACIÓN MOLODENSKY-BADEKAS
Z1-2 (2) Z1 (2)
PARÁMETRO VALOR σ 2σ VALOR Σ 2σ
Tx -346,220 0,032 0,064 -345,437 0,063 0,127
Ty 391,486 0,035 0,069 389,152 0,064 0,128
Tz -292,507 0,033 0,067 -294,046 0,064 0,127 ψ -0,000040192 0,000000639 0,000001279 -0,000045515 0,000001828 0,000003656
ε -0,000058131 0,000000848 0,000001696 -0,000056307 0,000002686 0,000005372
ω 0,000025491 0,000000895 0,000001791 0,000021363 0,000001846 0,000003693
k 0,999999729 0,000000526 0,000001052 0,999999812 0,000001595 0,000003190
CENTROIDE - - - - - -
mx 1621831,842 - - 1639725,018 - -
my -4933041,594 - - -4949798,072 - -
mz -3691013,091 - - -3660753,437 - - Tabla 13: Parámetros de transformación modelo Molodensky-Badekas 3-D (recalculado).
- 113 -
4.2. ELIPSES DE ERROR.
El análisis de las precisiones de los vértices geodésicos transformados, está determinado por las elipses de error, las cuales fueron
obtenidas a través de la metodología planteada en el apartado 3.10.1., para las distintas zonas y modelos de transformación.
Los modelos de transformación de Similaridad 2-D, Afín 2-D, Polinomial 2-D y Molodensky-Badekas; presentan los mismos valores en
los semiejes de las elipses de error correspondientes, por cual no influye el ángulo de rotación de las elipses de error. Se presentan los resultados de
los modelos de transformación antes citados en un mismo gráfico, apartando el modelo de transformación Proyectiva 2-D, el cual posee distintos
valores en los semiejes de las elipses de error correspondientes, por lo cual el ángulo de rotación de las elipses de error sí influye en su orientación.
2σ MAX-MIN Z1-2
0,050
0,100
0,150
0,200
0,250
BOT1
BRU1CDA1
CDA2
CHQ1CHQ2EM
P1
GUA1
GUA2
HUE1
HUE2
VIL1
VIL2
VPR1
VPR2CDM1CDM2
EMP2
ETR1POC1
TLQ1
TLQ2
UNI1
UNI2VAN1
VAN2
VLL1
VLL2
VSA1
VSA2
vértice
met
ros
SIMILARIDAD 2-D AFÍN 2-D POLINOMIAL 2-D MOLODENSKY-BADEKAS
Gráfico 1: 2σ máximo y mínimo, zona Z1-2.
- 114 -
2σ MAX Y 2σ MIN EN MODELO DE TRANSFORMACIÓN PROYECTIVA 2-D, Z1 -2
0,050
0,100
0,150
0,200
0,250
BOT1
BRU1CDA1
CDA2
CHQ1
CHQ2EM
P1GUA1
GUA2
HUE1
HUE2
VIL1
VIL2
VPR1
VPR2CDM1CDM2
EMP2
ETR1POC1
TLQ1
TLQ2
UNI1
UNI2VAN1
VAN2
VLL1
VLL2
VSA1
VSA2
vértice
met
ros
2σ max 2σ min
Gráfico 2: 2σ máximo y mínimo, modelo de transformación Proyectiva 2-D, zona Z1-2.
ÁNGULO DE ROTACIÓN (t) ELIPSES DE ERROR MODELO DE T RANFORMACIÓN PROYECTIVA 2-D, Z1-2
-50,000
-30,000
-10,000
10,000
30,000
50,000
BOT1BRU1CDA1
CDA2CHQ1CHQ2EM
P1GUA1GUA2
HUE1HUE2
VIL1
VIL2
VPR1VPR2CDM1CDM2
EMP2
ETR1POC1TLQ
1
TLQ2
UNI1
UNI2VAN1VAN2
VLL1
VLL2
VSA1VSA2
vértice
grad
os s
exag
esim
ales
t
Gráfico 3: Ángulo de rotación (t), modelo de transformación Proyectiva 2-D, zona Z1-2.
- 115 -
2σ MAX-MIN Z1
0,0000,0500,1000,1500,2000,2500,3000,3500,400
BOT1
BRU1
CDA1
CDA2
CHQ1
CHQ2
EMP1
GUA1
GUA2
HUE1
HUE2
VIL1
VIL2
VPR1
VPR2
vértice
met
ros
SIMILARIDAD 2-D AFÍN 2-D POLINOMIAL 2-D MOLODENSKY-BADEKAS
Gráfico 4: 2σ máximo y mínimo, zona Z1.
2σ MAX Y 2σ MIN EN MODELO DE TRANSFORMACIÓN PROYECTIVA 2-D, Z1
0,1000,1500,2000,2500,3000,3500,4000,4500,500
BOT1
BRU1
CDA1
CDA2
CHQ1
CHQ2
EMP1
GUA1
GUA2
HUE1
HUE2
VIL1
VIL2
VPR1
VPR2
vértice
met
ros
2σ max 2σ min
Gráfico 5: 2σ máximo y mínimo, modelo de transformación Proyectiva 2-D, zona Z1.
- 116 -
ÁNGULO DE ROTACIÓN (t) ELIPSES DE ERROR MODELO DE T RANFORMACIÓN PROYECTIVA 2-D, Z1
-50,000
-30,000
-10,000
10,000
30,000
50,000
BOT1
BRU1
CDA1
CDA2
CHQ1
CHQ2
EMP1
GUA1
GUA2
HUE1
HUE2
VIL1
VIL2
VPR1
VPR2
vértice
grad
os s
exag
esim
ales
t (°)
Gráfico 6: Ángulo de rotación (t), modelo de transformación Proyectiva 2-D, zona Z1.
2σ MAX-MIN Z2
0,000
0,050
0,100
0,150
CDM1
CDM2
EMP2
ETR1
POC1
TLQ1
TLQ2
UNI1
UNI2
VAN1
VAN2
VLL1
VLL2
VSA1
VSA2
vértice
met
ros
SIMILARIDAD 2-D AFÍN 2-D POLINOMIAL 2-D MOLODENSKY-BADEKAS
Gráfico 7: 2σ máximo y mínimo, zona Z2.
- 117 -
2σ MAX Y 2σ MIN EN MODELO DE TRANSFORMACIÓN PROYECTIVA 2-D, Z2
0,000
0,050
0,100
0,150
CDM1
CDM2
EMP2
ETR1
POC1
TLQ1
TLQ2
UNI1
UNI2
VAN1
VAN2
VLL1
VLL2
VSA1
VSA2
vértice
met
ros
2σ max 2σ min
Gráfico 8: 2σ máximo y mínimo, modelo de transformación Proyectiva 2-D, zona Z2.
ÁNGULO DE ROTACIÓN (t) ELIPSES DE ERROR MODELO DE T RANFORMACIÓN PROYECTIVA 2-D, Z2
-50,000
-30,000
-10,000
10,000
30,000
50,000
CDM1
CDM2
EMP2
ETR1
POC1
TLQ1
TLQ2
UNI1
UNI2
VAN1
VAN2
VLL1
VLL2
VSA1
VSA2
vértice
grad
os s
exag
esim
ales
t (°)
Gráfico 9: Ángulo de rotación (t), modelo de transformación Proyectiva 2-D, zona Z2.
- 118 -
Los resultados correspondientes a los modelos de transformación recalculados son:
2σ MAX-MIN EN MODELO DE TRANSFORMACIÓN AFÍN 2-D, Z1-2 (2)
0,100
0,125
0,150
0,175
0,200
BOT1
BRU1
CDA1
CDA2
EMP1
GUA1
GUA2
HUE1
HUE2
VIL1
VIL2
VPR1
VPR2CDM1
CDM2
EMP2
ETR1
POC1
TLQ1
TLQ2
UNI1
UNI2
VAN1
VAN2
VLL1
VLL2
VSA1
VSA2
vértice
met
ros
AFÍN 2-D
Gráfico 10: 2σ máximo y mínimo, modelo de transformación Afín 2-D, zona Z1-2 (2).
2σ MAX-MIN Z1-2 (2)
0,000
0,050
0,100
0,150
BOT1
BRU1
CDA1
CDA2
HUE1
HUE2
VIL1
VIL2
VPR1
VPR2
CDM1
CDM2
ETR1
POC1
TLQ1
TLQ2
UNI1
UNI2
VAN1
VAN2
VLL1
VLL2
VSA1
VSA2
vértice
met
ros
SIMILARIDAD 2-D MOLODENSKY-BADEKAS
Gráfico 11: 2σ máximo y mínimo, modelos de transformación de Similaridad 2-D y Molodensky-Badekas , zona Z1-2 (2).
- 119 -
2σ MAX-MIN Z1 (2)
0,100
0,150
0,200
0,250
0,300
0,350
BOT1
BRU1
CDA1
CDA2
EMP1
GUA1
GUA2
HUE1
HUE2
VIL1
VIL2
VPR1
VPR2
vértice
met
ros
SIMILARIDAD 2-D MOLODENSKY-BADEKAS
Gráfico 12: 2σ máximo y mínimo, modelos de transformación de Similaridad 2-D y Molodensky-Badekas , zona Z1 (2).
- 120 -
4.3. RESIDUOS DE LAS OBSERVACIONES.
La validación de los modelos de transformación abordados, está determinada por el vector de residuos, el cual es presentado mediante la
diferencia entre las coordenadas (norte o este) pertenecientes al SGR SIRGAS y las coordenadas transformadas.
RESIDUOS COORDENADA ESTE Z1-2
-0,400
-0,200
0,000
0,200
0,400
0,600
BOT1BRU1CDA1CDA2CHQ1CHQ2EM
P1GUA1GUA2HUE1HUE2VIL
1
VIL2
VPR1VPR2CDM1CDM2EM
P2ETR1POC1TLQ1TLQ2
UNI1
UNI2VAN1VAN2VLL1VLL2VSA1VSA2
vértice
met
ros
SIMILARIDAD 2-D AFÍN 2-D PROYECTIVA 2-D POLINOMIAL 2-D MOLODENSKY-BADEKAS
Gráfico 13: Residuos coordenada este, zona Z1-2.
- 121 -
RESIDUOS COORDENADA NORTE Z1-2
-1,200-1,000-0,800-0,600-0,400-0,2000,0000,2000,4000,6000,800
BOT1BRU1CDA1CDA2CHQ1CHQ2EM
P1GUA1GUA2HUE1HUE2VIL
1
VIL2
VPR1VPR2CDM1CDM2EM
P2ETR1POC1TLQ
1TLQ
2
UNI1
UNI2VAN1VAN2VLL
1VLL2VSA1VSA2
vértice
met
ros
SIMILARIDAD 2-D AFÍN 2-D PROYECTIVA 2-D POLINOMIAL 2-D MOLODENSKY-BADEKAS
Gráfico 14: Residuos coordenada norte, zona Z1-2.
RESIDUOS COORDENADA ESTE Z1
-0,600
-0,400
-0,200
0,000
0,200
0,400
0,600
BOT1 BRU1 CDA1 CDA2 CHQ1 CHQ2 EMP1 GUA1 GUA2 HUE1 HUE2 VIL1 VIL 2 VPR1 VPR2
vértice
met
ros
SIMILARIDAD 2-D AFÍN 2-D PROYECTIVA 2-D POLINOMIAL 2-D MOLODENSKY-BADEKAS
Gráfico 15: Residuos coordenada este, zona Z1.
- 122 -
RESIDUOS COORDENADA NORTE Z1
-0,800-0,600-0,400-0,2000,0000,2000,4000,6000,800
BOT1 BRU1 CDA1 CDA2 CHQ1 CHQ2 EMP1 GUA1 GUA2 HUE1 HUE2 VIL1 VIL 2 VPR1 VPR2
vértice
met
ros
SIMILARIDAD 2-D AFÍN 2-D PROYECTIVA 2-D POLINOMIAL 2-D MOLODENSKY-BADEKAS
Gráfico 16: Residuos coordenada norte, zona Z1.
RESIDUOS COORDENADA ESTE Z2
-0,200
-0,100
0,000
0,100
0,200
CDM1 CDM2 EMP2 ETR1 POC1 TLQ1 TLQ2 UNI1 UNI2 VAN1 VAN2 VLL1 VLL 2 VSA1 VSA2
vértice
met
ros
SIMILARIDAD 2-D AFÍN 2-D PROYECTIVA 2-D POLINOMIAL 2-D MOLODENSKY-BADEKAS
Gráfico 17: Residuos coordenada este, zona Z2.
- 123 -
RESIDUOS COORDENADA NORTE Z2
-0,400
-0,300
-0,200
-0,100
0,000
0,100
0,200
0,300
CDM1 CDM2 EMP2 ETR1 POC1 TLQ1 TLQ2 UNI1 UNI2 VAN1 VAN2 VLL1 VLL 2 VSA1 VSA2
vértice
met
ros
SIMILARIDAD 2-D AFÍN 2-D PROYECTIVA 2-D POLINOMIAL 2-D MOLODENSKY-BADEKAS
Gráfico 18: Residuos coordenada norte, zona Z2.
Los resultados correspondientes a los modelos de transformación recalculados son:
RESIDUOS COORDENADA ESTE Z1-2 (2)
-0,300
-0,200
-0,100
0,000
0,100
0,200
BOT1
BRU1
CDA1
CDA2
HUE1
HUE2
VIL1
VIL2
VPR1
VPR2
CDM1
CDM2
ETR1
POC1
TLQ1
TLQ2
UNI1
UNI2
VAN1
VAN2
VLL1
VLL2
VSA1
VSA2
vértice
met
ros
SIMILARIDAD 2-D MOLODENSKY-BADEKAS
Gráfico 19: Residuos coordenada este, zona Z1-2 (2), modelos de transformación de Similaridad 2-D y Molodensky-Badekas.
- 124 -
RESIDUOS COORDENADA NORTE Z1-2 (2)
-0,700-0,600-0,500-0,400-0,300-0,200-0,1000,0000,1000,2000,3000,400
BOT1
BRU1
CDA1
CDA2
HUE1
HUE2
VIL1
VIL2
VPR1
VPR2
CDM1
CDM2
ETR1
POC1
TLQ1
TLQ2
UNI1
UNI2
VAN1
VAN2
VLL1
VLL2
VSA1
VSA2
vértice
met
ros
SIMILARIDAD 2-D MOLODENSKY-BADEKAS
Gráfico 20: Residuos de coordenada norte, zona Z1-2 (2), modelos de transformación de Similaridad 2-D y Molodensky-Badekas.
RESIDUOS COORDENADA ESTE Z1-2 (2)
-0,300
-0,200
-0,100
0,000
0,100
0,200
BOT1
BRU1CDA1CDA2
EMP1
GUA1
GUA2
HUE1HUE2
VIL1
VIL2
VPR1VPR2CDM1CDM2EM
P2
ETR1POC1TLQ
1
TLQ2
UNI1
UNI2VAN1VAN2
VLL1
VLL2
VSA1
VSA2
vértice
met
ros
AFÍN 2-D
Gráfico 21: Residuos coordenada este, zona Z1-2 (2), modelo de transformación Afín 2-D.
- 125 -
RESIDUOS COORDENADA NORTE Z1-2 (2)
-0,600-0,500-0,400-0,300-0,200-0,1000,0000,1000,2000,3000,4000,500
BOT1
BRU1CDA1CDA2
EMP1
GUA1GUA2
HUE1HUE2
VIL1
VIL2
VPR1VPR2CDM1CDM2EM
P2
ETR1POC1TLQ
1
TLQ2
UNI1
UNI2VAN1VAN2
VLL1
VLL2
VSA1
VSA2
vértice
met
ros
AFÍN 2-D
Gráfico 22: Residuos coordenada norte, zona Z1-2 (2), modelo de transformación Afín 2-D.
RESIDUOS COORDENADA ESTE Z1 (2)
-0,400
-0,300
-0,200
-0,100
0,000
0,100
0,200
0,300
BOT1 BRU1 CDA1 CDA2 EMP1 GUA1 GUA2 HUE1 HUE2 VIL1 VIL2 VPR1 VPR 2vértice
met
ros
SIMILARIDAD 2-D MOLODENSKY-BADEKAS
Gráfico 23: Residuos coordenada este, zona Z1 (2), modelos de transformación de Similaridad 2-D y Molodensky-Badekas.
- 126 -
RESIDUOS COORDENADA NORTE Z1 (2)
-0,600-0,500-0,400-0,300-0,200-0,1000,0000,1000,2000,3000,4000,500
BOT1 BRU1 CDA1 CDA2 EMP1 GUA1 GUA2 HUE1 HUE2 VIL1 VIL2 VPR1 VPR 2vértice
met
ros
SIMILARIDAD 2-D MOLODENSKY-BADEKAS
Gráfico 24: Residuos coordenada norte, zona Z1 (2), modelos de transformación de Similaridad 2-D y Molodensky-Badekas.
- 127 -
4.4. ESTADÍSTICA ( 2χ ).
La calidad global de los ajustes está determinada por el test de Chi-Cuadrado (2χ ), el cual
fue realizado con el objetivo de tener un 95% de certeza en las estimaciones. Los valores
correspondientes fueron obtenidos a través de la metodología planteada en el apartado 3.7., para las
distintas zonas y modelos de transformación.
Z1-2
ELEMENTO SIMILARIDAD 2-D AFÍN 2-D PROYECTIVA
2-D POLINOMIAL
2-D MOLODENSKY-
BADEKAS
PVVT 20,474 11,929 9,682 4,286 20,084
S 56 54 52 42 83
20σ 0,3 0,3 0,2 0,15 0,3
20σ̂ 0,366 0,221 0,186 0,102 0,242
2cχ 68,247 39,762 48,409 28,574 66,946
2025,0,Sχ 37,2116 35,5863 33,9681 25,9987 59,6917
2975,0,Sχ 78,5671 76,1921 73,8099 61,7767 110,0902
Tabla 14: Estadística test de Chi-Cuadrado zona Z1-2.
Z1
ELEMENTO SIMILARIDAD 2-D AFÍN 2-D PROYECTIVA
2-D POLINOMIAL
2-D MOLODENSKY-
BADEKAS
PVVT 9,344 5,044 6,819 0,079 9,304
S 26 24 22 12 38
20σ 0,3 0,3 0,2 0,005 0,3
20σ̂ 0,359 0,210 0,310 0,007 0,245
2cχ 31,148 16,812 34,097 15,717 31,015
2025,0,Sχ 13,8439 12,4011 10,9823 4,4038 22,8785
2975,0,Sχ 41,9231 39,3641 36,7807 23,3367 56,8955
Tabla 15: Estadística test de Chi-Cuadrado zona Z1.
- 128 -
Z2
ELEMENTO SIMILARIDAD 2-D AFÍN 2-D PROYECTIVA
2-D POLINOMIAL
2-D MOLODENSKY-
BADEKAS
PVVT 3,093 1,276 1,518 0,031 4,574
S 26 24 22 12 38
20σ 0,15 0,1 0,07 0,002 0,1
20σ̂ 0,119 0,053 0,069 0,003 0,120
2cχ 20,623 12,763 21,691 15,691 45,740
2025,0,Sχ 13,8439 12,4011 10,9823 4,4038 22,8785
2975,0,Sχ 41,9231 39,3641 36,7807 23,3367 56,8955
Tabla 16: Estadística test de Chi-Cuadrado zona Z2.
Z1-2 (2)
ELEMENTO SIMILARIDAD 2-D AFÍN 2-D MOLODENSKY-
BADEKAS
PVVT 7,071 11,253 9,367
S 44 50 65
20σ 0,2 0,2 0,15
20σ̂ 0,161 0,225 0,144
2cχ 35,353 56,266 62,450
2025,0,Sχ 27,5745 32,3574 44,603
2975,0,Sχ 64,2014 71,4202 89,1772
Tabla 17: Estadística test de Chi-Cuadrado zona Z1-2 (Modelos de transformación recalculados).
Z1 (2)
ELEMENTO SIMILARIDAD 2-D
MOLODENSKY-BADEKAS
PVVT 5,140 7,730
S 22 32
20σ 0,3 0,2
20σ̂ 0,234 0,242
2cχ 17,134 38,649
2025,0,Sχ 10,9823 18,2908
2975,0,Sχ 36,7807 49,4804
Tabla 18: Estadística test de Chi-Cuadrado zona Z1 (Modelos de transformación recalculados).
- 129 -
4.5. ELIMINACIÓN DE OBSERVACIONES.
La eliminación de observaciones está determinada por dos criterios establecidos en la
metodología, los cuales corresponden a la tolerancia residual (ver 3.2.) y el test basado en la
distribución estadística F de Snedecor (ver 3.8.).
A continuación, se presentan las observaciones eliminadas, basadas en los dos criterios
anteriormente descritos, según el modelo de transformación y la zona a la cual pertenecen. El
campo “AJUSTE”, corresponde al número de ajuste en que se identificaron las observaciones que
poseían errores groseros que afectan al resultado esperado.
SIMILARIDAD 2-D (Z1-2)
AJUSTE VÉRTICE COORDENADA UTM F SNEDECOR RESIDUO
1 CHQ1 NORTE 3,378 -1,073
1 CHQ2 NORTE 3,416 -1,085
2 GUA1 NORTE 2,753 -0,677
2 GUA2 NORTE 2,732 -0,671
3 EMP1 NORTE 2,871 -0,609
3 EMP2 NORTE 2,846 -0,603 Tabla 19: Observaciones eliminadas en modelo de Similaridad 2-D (Z1-2).
MOLODENSKY-BADEKAS (Z1-2)
AJUSTE VÉRTICE COORDENADA TRIDIMENSIONAL
F SNEDECOR (COORDENADA
TRIDIMENSIONAL)
RESIDUO (COORDENADA
TRIDIMENSIONAL)
COORDENADA UTM
RESIDUO (UTM)
1 CHQ1 Z 3,400 -0,867 NORTE -1,063
1 CHQ2 Z 3,439 -0,877 NORTE -1,075
2 GUA1 Z 2,743 -0,544 NORTE -0,671
2 GUA2 Z 2,721 -0,540 NORTE -0,666
3 EMP1 Z 2,884 -0,492 NORTE -0,607
3 EMP2 Z 2,856 -0,488 NORTE -0,601 Tabla 20: Observaciones eliminadas en modelo Molodensky-Badekas (Z1-2)
AFÍN 2-D (Z1-2)
AJUSTE VÉRTICE COORDENADA UTM F SNEDECOR RESIDUO
1 CHQ1 NORTE 2,810 -0,667
1 CHQ2 NORTE 2,855 -0,677 Tabla 21: Observaciones eliminadas en modelo Afín 2-D (Z1-2)
- 130 -
SIMILARIDAD 2-D (Z1)
AJUSTE VÉRTICE COORDENADA UTM F SNEDECOR RESIDUO
1 CHQ1 NORTE 2,131 -0,637
1 CHQ2 NORTE 2,169 -0,648 Tabla 22: Observaciones eliminadas en modelo de Similaridad 2-D (Z1).
MOLODENSKY BADEKAS (Z1)
AJUSTE VÉRTICE COORDENADA TRIDIMENSIONAL
F SNEDECOR (COORDENADA
TRIDIMENSIONAL)
RESIDUO (COORDENADA
TRIDIMENSIONAL)
COORDENADA UTM
RESIDUO (UTM)
1 CHQ1 Z 2,129 -0,520 NORTE -0,636
1 CHQ2 Z 2,168 -0,530 NORTE -0,647 Tabla 23: Observaciones eliminadas en modelo Molodensky-Badekas (Z1)
- 131 -
4.6. VARIACIÓN DE DISTORSIÓN DE ESCALA Y CONVERGENC IA MERIDIANA.
Los valores correspondientes a la magnitud de variación de distorsión de escala y
convergencia meridiana, fueron obtenidos a través de la metodología planteada en el apartado 3.12.
Figura 22: Magnitud de variación de distorsión de escala.
Fuente: Elaboración propia.
- 132 -
Figura 23: Magnitud de variación de convergencia meridiana.
Fuente: Elaboración propia
- 133 -
4.7. RESIDUOS DE LOS PUNTOS DE CONTROL.
Otra manera de validar los modelos de transformación dentro del área de estudio, es
determinar los residuos correspondientes a los puntos de control. Los valores correspondientes
fueron obtenidos a través de la metodología planteada en el apartado 3.13., para las distintas zonas y
modelos de transformación.
-0,300
-0,250
-0,200
-0,150
-0,100
-0,050
0,000
0,050
0,100
0,150
0,200
0,250
met
ros
SIMILARIDAD 2-D AFÍN 2-D PROYECTIVA 2-D POLINOMIAL 2-D MOLODENSKY-BADEKAS
Residuos Puntos de Control Coordenada Este Z1-2
BOT2
BRU2
ETR2
POC2
Gráfico 25: Residuos de puntos de control, coordenada este, zona Z1-2.
-0,600
-0,500
-0,400
-0,300
-0,200
-0,100
0,000
0,100
0,200
0,300
0,400
met
ros
SIMILARIDAD 2-D AFÍN 2-D PROYECTIVA 2-D POLINOMIAL 2-D MOLODENSKY-BADEKAS
Residuos Puntos de Control Coordenada Norte Z1-2
BOT2
BRU2
ETR2
POC2
Gráfico 26: Residuos de puntos de control, coordenada norte, zona Z1-2.
- 134 -
-0,500
-0,400
-0,300
-0,200
-0,100
0,000
0,100
0,200
0,300
met
ros
SIMILARIDAD 2-D AFÍN 2-D PROYECTIVA 2-D POLINOMIAL 2-D MOLODENSKY-BADEKAS
Residuos Puntos de Control Coordenada Este Z1
BOT2
BRU2
Gráfico 27: Residuos de puntos de control, coordenada este, zona Z1.
-0,400
-0,300
-0,200
-0,100
0,000
0,100
0,200
0,300
0,400
met
ros
SIMILARIDAD 2-D AFÍN 2-D PROYECTIVA 2-D POLINOMIAL 2-D MOLODENSKY-BADEKAS
Residuos Puntos de Control Coordenada Norte Z1
BOT2
BRU2
Gráfico 28: Residuos de puntos de control, coordenada norte, zona Z1.
-0,060
-0,040
-0,020
0,000
0,020
0,040
0,060
met
ros
SIMILARIDAD 2-D AFÍN 2-D PROYECTIVA 2-D POLINOMIAL 2-D MOLODENSKY-BADEKAS
Residuos Puntos de Control Coordenada Este Z2
ETR2
POC2
Gráfico 29: Residuos de puntos de control, coordenada este, zona Z2.
- 135 -
-0,100
-0,050
0,000
0,050
0,100
0,150
0,200
met
ros
SIMILARIDAD 2-D AFÍN 2-D PROYECTIVA 2-D POLINOMIAL 2-D MOLODENSKY-BADEKAS
Residuos Puntos de Control Coordenada Norte Z2
ETR2
POC2
Gráfico 30: Residuos de puntos de control, coordenada norte, zona Z2.
- 136 -
CAPÍTULO 5
ANÁLISIS DE RESULTADOS
5.1. ANÁLISIS DE LOS PARÁMETROS DE TRANSFORMACIÓN.
De los resultados presentados en las tablas 6 a 10, es posible observar que aislando las
precisiones de los parámetros de transformación, las cuales se pueden asociar a las traslaciones de
cada modelo de transformación, en las tres zonas de estudio, corresponden al orden decimétrico;
tales parámetros son: Tx y Ty en modelo de transformación de Similaridad 2-D; 1c y 2c en
modelo de transformación Afín 2-D; 3a y 8a en modelo de transformación Proyectiva 2-D; 0a y
0b en modelo de transformación Polinomial 2-D y zyx ∆∆∆ ,, en modelo de transformación
Molodensky-Badekas.
Los parámetros asociados a las traslaciones, en los modelos de transformación
bidimensional, poseen valores similares, los cuales corresponden aproximadamente a -183 m para la
coordenada este y -373 m para la coordenada norte.
El modelo de transformación Proyectiva 2-D, en las tres zonas de estudio, posee algunos
parámetros que tienden a ser cero, los cuales corresponden a 4a y 5a ; esto significa que seis
parámetros son significativos para ajustar el modelo. Sin embargo, esta situación no implica
necesariamente prescindir de los parámetros de transformación que tienden a ser cero, ya que,
despreciarlos puede influir, en menor medida, en las precisiones residuales de las observaciones
transformadas. Esta situación se replica para el modelo de transformación Polinomial 2-D, en las
tres zonas, ya que, 12 de los 18 parámetros presentan valores tendientes a cero.
En términos generales, la zona que posee mejor precisión en la estimación de sus
parámetros de transformación, para todos los modelos de transformación analizados, corresponde a
la zona Z2, y la que presenta la peor precisión corresponde a la zona Z1.
- 137 -
De los resultados presentados en las tablas 11 a 13, es posible observar que los modelos de
transformación de Similaridad 2-D, Afín 2-D y Molodensky-Badekas; los cuales tuvieron que ser
recalculados, debido a la eliminación de observaciones que poseían errores groseros, denotan una
mejora en las precisiones de todos los parámetros de transformación correspondientes. Los
parámetros de transformación recalculados también poseen precisiones de orden decimétrico, y los
parámetros asociados a las traslaciones en los modelos de transformación bidimensional, poseen
valores similares que corresponden aproximadamente a -183 m para la coordenada este y -373 m
para la coordenada norte.
- 138 -
5.2. ANÁLISIS DE LAS ELIPSES DE ERROR.
De los resultados presentados en los gráficos 1 a 9, es posible observar que cada uno de los
modelos de transformación de Similaridad 2-D, Afín 2-D, Polinomial 2-D y Molodensky-Badekas;
en las tres zonas, presentan valores idénticos en las dispersiones máximas (2σ máximo) y mínimas
(2σ mínimo). Esto produce que las elipses de error se comporten como circunferencias de error,
que establecen una simetría en los semiejes de la elipse, esta situación determina que no influya el
ángulo de rotación de la circunferencia correspondiente. Por otra parte, el modelo de transformación
Proyectiva 2-D, en las tres zonas, presenta valores diferentes en la mayoría de las variaciones
máximas y mínimas, comportándose como elipses de error, influyendo de esta manera el ángulo de
rotación en la orientación de la elipse.
La mayoría de los modelos de transformación presentan una tendencia similar, exceptuando
al modelo de transformación Polinomial 2-D, el cual presenta un patrón ligeremante diferente en el
comportamiento de sus precisiones en la zona Z1-2; para las zonas Z1 y Z2 este modelo de
transformación presenta valores cercanos a cero. Dentro de los patrones más parecidos se
encuentran los dos modelos de transformación conforme de Similaridad 2-D y Molodensky-
Badekas, este comportamiento se esperaba, debido a las propiedades que conservan en la
transformación.
Respecto de los ángulos de rotación de las elipses de error, correspondientes al modelo de
transformación Proyectiva 2-D, en las tres zonas, se presenta una heterogeneidad en sus valores. Las
variaciones máximas son del orden de + 45°.
En la zona Z1-2 (ver gráfico 31), se observa que la mayor dispersión máxima corresponde a
los modelos de transformación Proyectiva 2-D y de Similaridad 2-D. La menor dispersión máxima
al modelo Molodensky-Badekas, los restantes modelos de transformación en orden decreciente
corresponden a: Afín 2-D y Polinomial 2-D. Por otra parte, la mayor dispersión mínima
corresponde al modelo de transformación de Similaridad 2-D y la menor dispersión mínima al
- 139 -
modelo Polinomial 2-D, los restantes modelos de transformación Molodensky-Badekas y Afín 2-D
poseen el mismo valor, y el modelo de transformación Proyectiva 2-D, presenta un valor inferior a
los anteriormente nombrados.
0,133
0,206
0,108
0,204
0,093
0,206
0,091
0,186
0,108
0,167
0,000
0,050
0,100
0,150
0,200
0,250
met
ros
SIMILARIDAD 2-D AFÍN 2-D PROYECTIVA 2-D POLINOMIAL 2-D MOLODENSKY-BADEKAS
2σ Máximo y 2 σ Mínimo Z1-2
2σ Minimo 2σ Máximo
Gráfico 31: 2σ máximo y 2σ mínimo, zona Z1-2.
En la zona Z1 (ver gráfico 32), se observa un decrecimiento en las precisiones, debido al
aumento de las dispersiones máximas y mínimas en los modelos de transformación de Similaridad
2-D, Afín 2-D, Proyectiva 2-D y Molodensky-Badekas. Sin embargo, el modelo de transformación
Polinomial 2-D, presenta una notable mejora en su nivel de precisión. La mayor dispersión máxima
corresponde al modelo de transformación Proyectiva 2-D y la menor dispersión máxima al modelo
Polinomial 2-D, los restantes modelos de transformación en orden decreciente corresponden a: Afín
2-D, Similaridad 2-D y Molodensky-Badekas. Por otra parte, la mayor dispersión mínima
corresponde al modelo de transformación de Similaridad 2-D, y la menor dispersión mínima al
modelo Polinomial 2-D, los restantes modelos de transformación en orden decreciente corresponden
a: Proyectiva 2-D, Molodensky-Badekas y Afín 2-D.
- 140 -
0,174
0,325
0,136
0,352
0,149
0,468
0,008 0,011
0,144
0,268
0,000
0,050
0,100
0,150
0,200
0,250
0,300
0,350
0,400
0,450
0,500
met
ros
SIMILARIDAD 2-D AFÍN 2-D PROYECTIVA 2-D POLINOMIAL 2-D MOLODENSKY-BADEKAS
2σ Máximo y 2 σ Mínimo Z1
2σ Minimo 2σ Máximo
Gráfico 32: 2σ máximo y 2σ mínimo, zona Z1.
En la zona Z2 (ver gráfico 33), se observa una menor dispersión en comparación a las zonas
Z1-2 y Z1. La mayor dispersión máxima corresponde al modelo de transformación Proyectiva 2-D
y la menor dispersión máxima al modelo Polinomial 2-D, los restantes modelos de transformación
en orden decreciente corresponden a: Similaridad 2-D, Afín 2-D y Molodensky-Badekas. Por otra
parte, la mayor dispersión mínima corresponde al modelo de transformación de Similaridad 2-D y
la menor dispersión mínima al modelo Polinomial 2-D, los restantes modelos de transformación en
orden decreciente corresponden a: Molodensky-Badekas, Afín 2-D y Proyectiva 2-D, estos dos
últimos poseen el mismo valor.
0,075
0,125
0,044
0,112
0,044
0,133
0,003 0,005
0,062
0,102
0,000
0,020
0,040
0,060
0,080
0,100
0,120
0,140
met
ros
SIMILARIDAD 2-D AFÍN 2-D PROYECTIVA 2-D POLINOMIAL 2-D MOLODENSKY-BADEKAS
2σ Máximo y 2 σ Mínimo Z2
2σ Minimo 2σ Máximo
Gráfico 33: 2σ máximo y 2σ mínimo, zona Z2.
- 141 -
En general, para las tres zonas y los cinco modelos de transformación analizados, la mayor
dispersión corresponde al modelo de transformación Proyectiva 2-D y la menor dispersión al
modelo de transformación Polinomial 2-D.
De los resultados presentados en los gráficos 10 a 12, es posible observar que se replica el
comportamiento de circunferencias de error, para los modelos de transformación de Similaridad 2-
D, Afín 2-D y Molodensky-Badekas, los cuales tuvieron que ser recalculados, debido a la
eliminación de observaciones que poseían errores groseros. Los modelos de transformación de
Similaridad 2-D, Afín 2-D y Molodensky-Badekas, denotan una mejora en las precisiones, ya que,
el modelo de transformación Afín 2-D en la zona Z1-2 (2), posee dispersiones máximas inferiores a
los 0,175 m, y los modelos de transformación de Similaridad 2-D y Molodensky-Badekas, en la
misma zona, poseen dispersiones máximas inferiores a los 0,150 m. Por otra parte, en la zona Z1
(2), los modelos de transformación de Similaridad 2-D y Molodensky-Badekas, no presentan mayor
mejora en las precisiones, ya que, posee valores similares en las dispersiones máximas observadas.
- 142 -
5.3. ANÁLISIS DE LOS RESIDUOS DE LAS OBSERVACIONES.
En general, los modelos de transformación de Similaridad 2-D y Molodensky-Badekas,
presentan, en las tres zonas, valores idénticos con diferencias del orden de milímetros, confirmando
que dos modelos de distinta naturaleza, pero que conservan las mismas propiedades entregan los
mismos valores residuales. Por otra parte, los residuos en coordenada este, presentan valores
inferiores a los residuos en coordenada norte, denotando que existe una mayor deformación de la
red geodésica en la ordenada.
Según los gráficos 13 y 14, los residuos en coordenada este, para la zona Z1-2, están dentro
de la tolerancia residual establecida (ver 3.2.). Sin embargo, para los residuos en coordenada norte
existen algunos vértices que exceden tal tolerancia.
Según el gráfico 34, en la zona Z1-2, los residuos máximos que alcanzan valores superiores
al metro corresponden a los modelos de transformación de Similaridad 2-D y Molodensky-Badekas.
El menor residuo máximo corresponde al modelo de transformación Polinomial 2-D, los restantes
modelos en orden decreciente corresponden a la transformación Afín 2-D y Proyectiva 2-D. En
relación a los residuos mínimos, estos alcanzan valores similares en todos los modelos. Los
modelos que exceden la tolerancia residual establecida corresponden al de Similaridad 2-D,
Molodensky Badekas y Afín2-D.
0,002
1,104
0,002
0,715
0,002
0,548
0,001
0,337
0,001
1,084
0,000
0,200
0,400
0,600
0,800
1,000
1,200
met
ros
SIMILARIDAD 2-D AFÍN 2-D PROYECTIVA 2-D POLINOMIAL 2-D MOLODENSKY-BADEKAS
Residuos Máximos y Mínimos Z1-2
Residuo Mínimo Residuo Máximo
Gráfico 34: Residuos máximos y mínimos, zona Z1-2.
- 143 -
Según los gráficos 15 y 16, para la zona Z1, se replica la situación observada en la zona
Z1-2, es decir, los residuos en coordenada este para la zona Z1 están dentro de la tolerancia
establecida. Sin embargo, para los residuos en coordenada norte existen algunos vértices que
exceden la tolerancia.
Según el gráfico 35, en la zona Z1, los residuos máximos que alcanzan valores superiores a
la tolerancia residual establecida, corresponden a los modelos de transformación de Similaridad 2-D
y Molodensky-Badekas. De igual manera que en la zona Z1-2, el menor residuo máximo
corresponde al modelo de transformación Polinomial 2-D, los restantes modelos en orden
decreciente corresponden a la transformación Afín 2-D y Proyectiva 2-D. En relación a los residuos
mínimos, estos alcanzan valores similares en la mayoría de los modelos, exceptuando al modelo de
transformación Proyectiva 2-D que posee el valor más alto.
0,004
0,611
0,003
0,525
0,026
0,502
0,000 0,010 0,002
0,609
0,000
0,100
0,200
0,300
0,400
0,500
0,600
0,700
met
ros
SIMILARIDAD 2-D
AFÍN 2-D PROYECTIVA 2-D
POLINOMIAL 2-D
MOLODENSKY-BADEKAS
Residuos Máximos y Mínimos Z1
Residuo Mínimo Residuo Máximo
Gráfico 35: Residuos máximos y mínimos, zona Z1.
Según los gráficos 17 y 18, los residuos en coordenada este y norte, en la zona Z2, están
dentro de la tolerancia establecida, siendo de esta manera la única zona que no necesitó de la
eliminación de errores groseros.
Según el gráfico 36, en la zona Z2, el valor de los residuos desciende notablemente en todos
los modelos de transformación y no superan los 0,300 m. Los residuos máximos que alcanzan los
valores superiores corresponden a los modelos de transformación de Similaridad 2-D y
- 144 -
Molodensky-Badekas. De igual manera que en las zonas Z1-2 y Z1, el menor residuo máximo
corresponde al modelo de transformación Polinomial 2-D, los restantes modelos en orden
decreciente corresponden a la transformación Afín 2-D y Proyectiva 2-D. En relación a los residuos
mínimos estos alcanzan valores similares en todos los modelos.
0,004
0,297
0,001
0,189
0,001
0,145
0,000 0,005 0,003
0,289
0,000
0,050
0,100
0,150
0,200
0,250
0,300
met
ros
SIMILARIDAD 2-D
AFÍN 2-D PROYECTIVA 2-D
POLINOMIAL 2-D MOLODENSKY-BADEKAS
Residuos Máximos y Mínimos Z2
Residuo Mínimo Residuo Máximo
Gráfico 36: Residuos máximos y mínimos, zona Z2.
En general, en cada una de las tres zonas se observa el mismo patrón en relación a los
residuos máximos y mínimos, de manera más específica, los modelos de transformación de
Similaridad 2-D y Molodensky-Badekas presentan los residuos más altos. El resto de los modelos
en orden descendente corresponden a: Afín 2-D, Proyectiva 2-D y Polinomial 2-D. Por otra parte, el
modelo de transformación Polinomial 2-D, presenta una mejora notable en las zonas Z1 y Z2 en
comparación a la zona Z1-2; este comportamiento se debe a que este modelo de transformación se
ajusta muy bien a la muestra, pero pierde representatividad respecto de la población. Esta
aseveración se confirma en la zona Z1-2, donde este modelo de transformación presenta residuos
que se asemejan ligeramente a los demás modelos de transformación, sin embargo, en las zonas Z1
y Z2, los residuos se disocian completamente del patrón determinado para los demás modelos de
transformación, tal situación ratifica que el modelo de transformación de Similaridad 2-D posee una
alta representatividad, sólo sí, cuenta con un gran número de observaciones.
- 145 -
En los modelos de transformación que tuvieron que ser recalculados, debido a la
eliminación de observaciones que poseían errores groseros, es posible observar en la zona Z1-2 (2)
(ver gráfico 37) que los modelos de transformación de Similaridad 2-D y Molodensky-Badekas,
poseen residuos máximos con valores que bordean el límite de la tolerancia establecida. Por otra
parte, el modelo de transformación Afín 2-D, presenta una leve disminución respecto a los dos
anteriores modelos. Los valores de los residuos mínimos comparados con los del gráfico 34
presentan un leve incremento.
0,013
0,564
0,006
0,564
0,005
0,470
0,000
0,100
0,200
0,300
0,400
0,500
0,600
met
ros
SIMILARIDAD 2-D MOLODENSKY-BADEKAS AFÍN 2-D
Residuos Máximos y Mínimos Z1-2 (2)
Residuo Mínimo Residuo Máximo
Gráfico 37: Residuos máximos y mínimos, zona Z1-2 (2).
En la zona Z1 (2) (ver gráfico 38), los residuos presentan valores idénticos tanto en los
valores de los residuos máximos y mínimos, además comparándolos con los del gráfico 35, los
valores de los residuos mínimos son mayores.
0,019
0,469
0,019
0,469
0,000
0,050
0,100
0,150
0,200
0,250
0,300
0,350
0,400
0,450
0,500
met
ros
SIMILARIDAD 2-D MOLODENSKY-BADEKAS
Residuos Máximos y Mínimos Z1 (2)
Residuo Mínimo Residuo Máximo
Gráfico 38: Residuos máximos y mínimos, zona Z1 (2).
- 146 -
5.4. ANÁLISIS ESTADÍSTICO ( 2χ ).
El empleo de varianzas a priori ( 20σ ) diferenciadas, logró la obtención de resultados
satisfactorios en el test de Chi-Cuadrado (2χ ), esto se debe principalmente a que todos los modelos
abordados en este estudio, poseen un origen diferente y conservan distintas propiedades en los
procesos de transformación.
En general, para las tres zonas la forma cuadrática fundamental PVVT que minimiza el
vector de los residuos y los pesos asociados, en los modelos de transformación de Similaridad 2-D y
Molodensky-Badekas, presenta los valores más altos. De modo contrario, el modelo de
transformación Polinomial 2-D, presenta los valores más pequeños.
De los resultados presentados en las tablas 14 y 15, es posible observar que la comparación
estadística entre 20σ y 2
0σ) , establecida para un 95% de certeza, para los modelo de transformación
de Similaridad 2-D, Afín 2-D y Molodensky-Badekas, en las Zonas Z1-2 y Z1, indica que 20σ es
igual a 0,300 2m ( 0σ =0,548 m). Para las mismas zonas el modelo de transformación Proyectiva 2-
D posee una 20σ igual a 0,200 2m ( 0σ =0,447 m). El modelo Polinomial 2-D presenta en la zona
Z1-2 el valor más pequeño respecto de los demás modelos evaluados, correspondiendo esta a 20σ =
0,150 2m ( 0σ =0,387 m), en la zona Z1 se observa un valor considerablemente inferior de 20σ =
0,005 2m ( 0σ =0,071 m).
A partir de los resultados presentados en la tabla 16, es posible observar que en la zona Z2
todas las varianzas a priori presentan una mejora en sus precisiones. Los modelos de
transformación Afín 2-D y Molodensky-Badekas, poseen 20σ igual a 0,100 2m ( 0σ =0,316 m). La
varianza a priori más alta para esta zona corresponde al modelo de transformación de Similaridad
2-D, que posee una 20σ igual a 0,150 2m ( 0σ =0,387 m). Las restantes varianzas a priori, en orden
- 147 -
descendente, corresponden a los modelos de transformación Proyectiva 2-D, con una 20σ igual a
0,07 2m ( 0σ =0,265 m), y Polinomial 2-D con una 20σ igual a 0,002 2m ( 0σ =0,045 m).
De los resultados presentados en la tabla 17, es posible observar que en los modelos de
transformación recalculados para la zona Z1-2, los modelo de Similaridad 2-D y Afín 2-D poseen
una 20σ igual a 0,200 2m ( 0σ =0,447 m), siendo de esta manera el modelo de transformación
Molodensky-Badekas el que posee una 20σ de menor valor respecto a los dos modelos
anteriormente citados, correspondiendo a 0,150 2m ( 0σ =0,387 m). Comparativamente respecto de
los modelos en que no se eliminaron observaciones con errores groseros, las varianzas a priori
denotan una mejora en su variabilidad.
A partir de los resultados presentados en la tabla 18, es posible observar que para los
modelos de transformación recalculados en la zona Z1, el modelo de Similaridad 2-D mantiene su
20σ , siendo esta igual a 0,300 2m ( 0σ =0,548 m), respecto de la zona Z1 sin eliminación de
observaciones que posean errores groseros. Sin embargo, el modelo de transformación
Molodensky-Badekas mejora su variabilidad respecto de la zona original, presentando una 20σ igual
a 0,200 2m ( 0σ =0,447 m).
- 148 -
5.5. ANÁLISIS DE LAS OBSERVACIONES ELIMINADAS.
Los tres modelos de transformación que tuvieron que ser recalculados, debido a errores
groseros que superaban la tolerancia residual establecida, corresponden a: Similaridad 2-D, Afín 2-
D y Molodensky-Badekas. La identificación de errores groseros, a través de la hipótesis estadística
basada en la distribución estadística F de Snedecor, resultó satisfactoria considerando la tolerancia
de precisión residual establecida. Sin embargo, este test estadístico, por sí solo, se demuestra
bastante sensible a las desviaciones estándar asociadas a los residuos, debido a esto, en algunos
casos se identificaron mayor cantidad de errores groseros que los establecidos considerando la
tolerancia residual, pero que en la práctica no la superaban.
En los modelos de transformación de Similaridad 2-D y Molodensky-Badekas, para la zona
Z1-2 (ver tablas 19 y 20), se eliminaron los mismos vértices geodésicos. En el primer ajuste del
modelo se identificaron y eliminaron posteriormente los vértices geodésicos CHQ1 y CHQ2, los
cuales superaban la tolerancia residual con valores superiores al metro. En el segundo y tercer ajuste
se identificaron y eliminaron posteriormente los vértices geodésicos: GUA1, GUA2, EMP1 y
EMP2, los cuales poseían valores residuales superiores a + 0,600 m.
En el modelo de transformación Afín 2-D, en la zona Z1-2 (ver tabla 21), se identificaron y
eliminaron posteriormente sólo dos vértices geodésicos en el primer ajuste del modelo, tales
vértices corresponden a CHQ1 y CHQ2, los cuales superaban la tolerancia residual con valores
superiores a + 0,600 m.
En la zona Z1 (ver tablas 22 y 23), los modelos de transformación de Similaridad 2-D y
Molodensky-Badekas presentaron problemas con los vértices geodésicos CHQ1 y CHQ2, los cuales
también superaban la tolerancia residual con valores superiores a + 0,600 m.
- 149 -
5.6. ANÁLISIS DE LA VARIACIÓN DE DISTORSIÓN DE ESCA LA Y
CONVERGENCIA MERIDIANA.
En el proceso de transformación de coordenadas se produce un cambio en la posición
planimétrica de los vértices geodésicos transformados, debido a esto, es importante considerar los
cambios en la geometría de las bases cartográficas.
A partir de los resultados presentados en la figura 22, es posible observar que la magnitud
de variación de distorsión de escala (m∆ ), en el área de estudio presenta valores extremos de 0,85
ppm y 1,53 ppm. La tendencia de esta magnitud son curvas complejas que tienden a parecer líneas
verticales que expresan la variación de distorsión de escala, aumentando a medida que se alejan del
meridiano central. En términos prácticos y en relación al área de estudio, los vértices geodésicos
transformados y las bases cartográficas asociadas a ellos, aumentaron su distorsión de escala entre
0,85 ppm y 1,53 ppm.
De los resultados presentados en la figura 23, es posible observar que la magnitud de
variación de convergencia meridiana (C∆ ), en el área de estudio presenta valores extremos de
4,89’’ y 5,78’’ (segundos sexagesimales). La tendencia de esta magnitud son curvas complejas que
tienden a parecer líneas inclinadas que expresan la variación de convergencia meridiana,
aumentando su variación a medida que se aumenta en latitud y se aleja del meridiano central. En
términos prácticos y en relación al área de estudio, los vértices geodésicos transformados y las bases
cartográficas asociadas a ellos, aumentaron el ángulo de convergencia meridiana entre 4,89’’ y
5,78’’.
Los incrementos en m∆ y C∆ , se pueden considerar no significativos, ya que, los valores
son inferiores al nivel de tolerancia residual.
Para realizar este análisis se utilizó el modelo de transformación Molodensky-Badekas. En
estricto rigor, se podría haber utilizado cualquiera de los modelos de transformación abordados en
- 150 -
este estudio, ya que, las diferencias residuales entre modelos no son significativas al momento de
evaluar estas magnitudes.
- 151 -
5.7. ANÁLISIS DE LOS RESIDUOS DE LOS PUNTOS DE CONTROL.
De los resultados presentados en los gráficos 25 a 30, es posible observar que los residuos
de los puntos de control poseen valores aceptables dentro de la tolerancia residual establecida, tanto
para los residuos en coordenada norte como en coordenada este.
Para las zonas Z1-2 y Z2, los residuos en coordenada este son inferiores a los residuos en
coordenada norte, concordando con el patrón establecido para los vértices que se utilizaron en el
ajuste de los modelos de transformación.
La zona Z1-2, presenta los mayores residuos para los modelos de transformación de
Similaridad 2-D y Molodensky-Badekas, con valores iguales a -0,556 m. En la zona Z1, el modelo
de transformación Afín 2-D, presenta los residuos más altos, con un valor de -0,469 m. La zona Z2
presenta los residuos más altos, determinados por los modelos de transformación de Similaridad 2-
D y Molodensky-Badekas, con valores correspondientes a 0,152 m y 0,148 m respectivamente.
- 152 -
CAPÍTULO 6
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
6.1. CONCLUSIONES.
Atendiendo a los objetivos planteados y los resultados obtenidos en la presente
investigación, es posible concluir que:
En el proceso de compatibilización de bases cartográficas, los parámetros de transformación
y las coordenadas transformadas, siempre tendrán precisión del orden de las coordenadas iniciales,
es decir, la calidad de las precisiones logradas en el proceso de compatibilización de bases
cartográficas, será siempre igual o peor que el SGR de menor precisión, el cual para este estudio
corresponde a PSAD-56.
Los modelos de transformación bidimensional, respecto del modelo de Similaridad 3-D,
requieren un menor esfuerzo computacional, en relación a la programación de los algoritmos de
cálculo, para la determinación de los parámetros de transformación y las MVC asociadas a los
parámetros de transformación, observaciones y residuos. Esta situación se debe a que las
transformaciones bidimensionales se realizan entre planos de proyección y la transformación de
Similaridad 3-D, debido a esto, necesita de la conversión de coordenadas planas a tridimensionales
y viceversa, además de la propagación de las covarianzas, desde las coordenadas tridimensionales a
las coordenadas planas, con el fin del hacer comparativas sus precisiones con los modelos de
transformación bidimensional.
- 153 -
Los modelos de transformación bidimensional y de Similaridad-3D, abordados en este
estudio, son apropiados para la realización de transformaciones de SGR heterogéneos como PSAD-
56 y SIRGAS. Esta afirmación es validada a través de los puntos de control en las distintas zonas
del área de estudio, ya que, todos los modelos de transformación fueron apropiados para la
transformación de coordenadas de proyección. Sin embargo, el modelo de transformación
Polinomial 2-D, presenta un comportamiento distinto respecto de los demás modelos de
transformación, en las zonas Z1 y Z2, indicando la necesidad de un mayor número de observaciones
en el ajuste del modelo.
El nivel de significancia determinado por la precisión residual, permitió establecer que los
modelos de transformación de menor precisión corresponden a: Similaridad 2-D y Molodensky-
Badekas. Una mejora de estos dos modelos corresponde a los modelos de transformación Afín 2-D
y Proyectiva 2-D, siendo el modelo de transformación Polinomial 2-D, el de mejor precisión
residual, si se cuenta con un mayor número de observaciones.
La determinación del nivel de precisión residual, para el primer ajuste de los modelos de
transformación, permitió establecer que los modelos de Similaridad 2-D y Molodensky-Badekas
entregaron residuos superiores al metro, el modelo de transformación Afín 2-D entregó residuos
superiores a + 0,600 m, y los modelos de transformación Proyectiva 2-D y Polinomial 2-D
entregaron residuos dentro de la tolerancia residual establecida.
La aplicación del método paramétrico de mínimos cuadrados, en la determinación de los
parámetros de transformación, permitió ajustar cada modelo de transformación basándose en la
probabilidad estadística que posee el conjunto de observaciones, para cada una de las zonas del área
de estudio, haciendo posible la determinación de “soluciones únicas” para cada modelo de
transformación.
- 154 -
El análisis de las precisiones de los parámetros de transformación, las observaciones y los
residuos, a través de la MVC y las elipses de error, permitió determinar la calidad de ajuste que
entrega cada modelo de transformación. De esta manera, un factor que influyó en la determinación
de precisiones más realistas, corresponde a la adopción de un centriode para cada modelo de
transformación y zona correspondiente.
La propagación de las covarianzas desde las coordenadas tridimensionales a las
coordenadas planas, permitió analizar comparativamente el modelo de transformación de
Similaridad 3-D, con los modelos de transformación bidimensional, determinando que posee un
comportamiento parecido al modelo de Similaridad 2-D, con diferencias del orden de milímetros.
El análisis comparativo de las precisiones entregadas por cada modelo de transformación,
permitió establecer que las elipses de error se comportan como circunferencias de error, en todos los
modelos de transformación, excepto en el modelo de transformación Proyectiva 2-D, donde las
dispersiones máximas y mínimas presentan un comportamiento de elipses de error, además posee
las mayores dispersiones máximas. Por otra parte, la precisión residual de orden decimétrico resultó
ser concordante con las precisiones asociadas a los parámetros de transformación, las observaciones
y los residuos.
La determinación de las variaciones de distorsión de escala y convergencia meridiana,
generadas en el proceso de transformación, permitió establecer las fluctuaciones mínimas y
máximas que tendrán las bases cartográficas transformadas. Determinándose de esta manera un
incremento en la distorsión de escala y convergencia meridiana, en el proceso de transformación de
bases cartográficas desde el SGR PSAD-56 a SIRGAS. Sin embargo, estos incrementos no son
significativos para bases cartográficas de escala 1:10.000 y mayores.
- 155 -
Respecto de la influencia de las alturas ortométricas en el SGR PSAD-56 y elipsoidales en
el SGR SIRGAS, sólo afectan en las coordenadas tridimensionales y no en las proyecciones
planimétricas como el plano cartográfico UTM. Sin embargo, la utilización de alturas iguales a
cero, en los dos SGR, para el modelo de transformación Molodensky-Badekas, introdujo una
mejora la precisión de los parámetros de transformación y en los vértices geodésicos transformados.
6.2. RECOMENDACIONES.
Considerando el análisis de resultados y las conclusiones, se recomienda:
• Utilizar los modelos de transformación bidimensional y de Similaridad 3-D, para
bases cartográficas de escalas grandes, como solución local, definiendo la precisión
óptima que se espera del producto cartográfico y las propiedades geométricas que
se desean conservar.
• Estimar los parámetros de transformación del modelo de transformación Polinomial
2-D, con un gran número de vértices geodésicos, con el fin de garantizar la
representatividad de la muestra respecto de la población.
• Desarrollar aplicaciones que permitan determinar el comportamiento de los
modelos de transformación abordados en este trabajo, en otros sistemas proyectivos
cartográficos.
- 156 -
7. BIBLIOGRAFÍA.
ALVES, A., Uma Abordagem Metodológica para a Identificaçao Representaçao e Monitoramento Geodésico de uma Encosta en Risco Natural , Disertación (Magíster en Ciencias Geodésicas y Tecnologías de la Geoinformación), Pernambuco, Brasil, Universidad Federal de Pernambuco, 2008, 118 p. ASIN, M., Geodesia y Cartografía Matemática, 3º Edición, Madrid, España, Ed. Parainfo. 1990, pp. 53-77. BLACHUT, T., CHRZAMOWSKY, A. y SAASTAMOINEN, J.; Cartografía y Levantamientos Urbanos, New York, Estados Unidos, Ed. Springer-Verlag New York. Inc., 1979, 519 p.
BORRE, K., Ellipsoidal Geometry and Conformal Mapping, Revised Edition, 2004, 54 p. DREWES, H. y SÁNCHEZ L., Taller de Geodesia, 2004, 111 p. FERREIRA, M., Modelagem da Funçao Covarianza Para Transformaçao de Referenciais Geodésicos por Colocaçao, Tesis (Doctorado en Ciencias Geodésicas), Curitiba, Brasil, Universidad Federal de Paraná, 2003, 131 p. FLORES, J., Análisis Comparativo Entre Sistemas SIRGAS2000 y WGS-84 Para la Cartografía Náutica en Chile, Memoria, Santiago, Chile, Universidad de Santiago de Chile, Facultad de ingeniería, Departamento de Ingeniería Geográfica, 2005, 130 p. FUENTES, S., Diagnóstico del Uso de Proyecciones Transversales de Mercator en Escalas Urbanas, Tesis (Licenciatura en Ciencias Cartográficas) Santiago, Chile, Universidad Tecnológica Metropolitana, Escuela de Cartografía, 2006, 200 p.
GEMAEL, C., Introdução ao Ajustamento de Observações: Aplicações Geodésicas, Curitiba, Brasil, editora UFPR, 1994, 319 p. HERNANDEZ, A., Proyecciones Cartográficas Conformes, Revista Cartográfica IPGH (Instituto Panamericano de Geografía e historia), (70), enero-junio 2000, 184 p. IERS (International Earth Rotation and Reference Systems Service), IERS Technical Note No.32: IERS Convention (2003), Frankfurt, 2004, 127 p. INSTITUTO GEOGRÁFICO AGUSTÍN CODAZZI (IGAC), Adopción del Marco Geocéntrico Nacional de Referencia MAGNA-SIRGAS como Datum Oficial de Colombia, Bogotá, Colombia, 2004, 38 p.
- 157 -
INSTITUTO GEOGRÁFICO MILITAR (IGM), Nuevo Marco de Referencia Geodésico, RGN SIRGAS-Chile, Santiago, Chile, 2008, 62 p. MINISTERIO DE OBRAS PÚBLICAS (MOP), Manual de Carreteras, volumen II, Ingeniería Básica aspectos geodésicos y topográficos, Santiago, Chile, 2001, 291 p.
MIRANDA, R., Propuesta Metodológica Para la Transformación de Datum Utilizando el Modelo de 7 Parámetros de Helmert, y Propagación de Errores a Coordenadas TM, Disponible en: <http://www.cartografia.cl/download/rodrigomiranda.pdf>, Acceso en: 23/06/ 2010. MOLINA, L., Avaliaçao de Modelos de Transformaçao Bidimensional para a Compatibilizaçao de Bases Cartográficas de escala 1:10.000 com SIRGAS 2000, Disertación (Magíster en Ciencias Geodésicas), Curitiba, Brasil, Universidad Federal de Paraná, 2007, 93 p. National Imagery and Mapping Agency (NIMA), Departament of Defense: World Geodetic System 1984, Technical Report: NIMA TR8350.2, 3° Edición, 1997, 174 p. PÉREZ, J., Apuntes de Fotogrametría II, Mérida, España, Universidad de Extremadura, 2001, 217 p.
RAPP, R., Geodesia Geométrica, Volumen I, Ohio, Estados Unidos, Servicio Geodésico Interamericano DMA-IAGS, departamento de ciencias geodésicas Universidad Estatal de Ohio, 1991, 198 p. RAPP, R., Geodesia Geométrica, Volumen II, tópicos avanzados, Ohio, Estados Unidos, Servicio Geodésico Interamericano DMA-IAGS, departamento de ciencias geodésicas Universidad Estatal de Ohio, 1981, 198 p. RAMÍREZ, M. y ORTIZ, D., Estimación de los Parámetros de Transformación Entre los Sistemas de Referencia WGS-84 y PSAD-56 Para una Zona de Calama, Memoria, Santiago, Chile, Universidad de Santiago de Chile, Facultad de ingeniería, Departamento de Ingeniería Geográfica, 2003, 124 p. RICHARDUS, P. y ADLER, R., Map Projections: for Geodesists, Cartographers and Geographers, Amsterdam, Ed. North Holland/American Elsevier, 1972, 173 p. SIRGAS (Sistema de Referencia Geocéntrico para las Américas), Boletín Informativo N° 6, 2002, 35 p. SIRGAS (Sistema de Referencia Geocéntrico para las Américas), Boletín Informativo N° 7, 2002, 111 p.
- 158 -
TAPIA, M. y RAMÍREZ, J., Evaluación de la Alteración Superficial por Influencia de la Altura y Localización en una Proyección Universal Transversal de Mercator (UTM) , Tesis (Licenciatura en Ciencias Cartográficas) Santiago, Chile, Universidad Tecnológica Metropolitana, Escuela de Cartografía, 2008, 125 p. TRENTIN, M., Ajustamento de Linha Poligonal no Elipsoide, Disertación (Magíster en Geomática), Santa María, Brasil, Universidad Federal de Santa María, 2006, 157 p. ZEPEDA, R., Ajuste Geodésico, apunte provisorio, Santiago, Chile, Universidad de Santiago de Chile, 2004, 82 p. ZEPEDA, R., Geodesia Geométrica, apunte provisorio, Santiago, Chile, Universidad de Santiago de Chile, 2004, 85 p. ZEPEDA, R., Introducción a Propagación de Errores, apunte provisorio, Santiago, Chile, Universidad de Santiago de Chile, 2003, 16 p. ZEPEDA, R., MOLINA, L. y VALLADARES, M., Resultados de un Método de Transformación 2D de Bases Cartográficas para SIG, En: VII Congreso Internacional de Ciencias de la Tierra, Santiago, Chile, 2002, 15 p.
ZEPEDA, R., OCARES, C. y ORTIZ, M., Parámetros de Transformación Entre Sistemas de Referencia Geodésicos y Cartográficos, Disponible en: <http://www.cartografia.cl/index.php?option=com_content&task=view&id=35&Itemid=9>, Acceso en: 30/06/ 2010.
- 159 -
CAPÍTULO 8
ANEXOS
- 160 -
ANEXO I
REFERENCIALES GEODÉSICOS
- 161 -
Elipsoide de revolución
El elipsoide de revolución corresponde a un cuerpo geométrico que se obtiene de la rotación
de una elipse arbitraria alrededor de su eje menor. Se define analíticamente como:
12
2
2
22
=++b
z
a
yx (168)
Donde:
x, y, z: ejes cartesianos.
a: Semieje mayor de la elipse.
b: Semieje menor de la elipse.
El elipsoide de revolución corresponde al modelo matemático de la Tierra, que es utilizado
en cálculos geodésicos y también es llamado “elipsoide de referencia” (BLACHUT et al., 1979, p.
44). Generalmente es definido por dos parámetros, los cuales corresponden a:
• Semieje mayor (a): corresponde a la distancia generada entre al centro de la elipse y uno de
sus vértices.
• Achatamiento (f): corresponde a la razón generada entre la diferencia de los semiejes del
elipsoide, respecto del semieje mayor y está definido por:
a
ba −=f (169)
Otras relaciones:
• Semieje menor (b):
)1( fab −= (170)
• Radio de curvatura polar (c):
- 162 -
b
ac
2
= (171)
• Excentricidad (e):
2/1
2
22
−=a
bae (172)
• Segunda Excentricidad (e’):
2/1
2
22
'
−=b
bae (173)
Radios de curvatura de secciones normales
Considerando un punto cualquiera sobre el elipsoide, existe un número infinito de planos
normales que contienen a este punto, la intersección de estos con el elipsoide genera las secciones
normales que poseen distinta curvatura, sin embargo, existen dos secciones normales
recíprocamente perpendiculares cuyas curvaturas son máximas y mínimas, las cuales son
denominadas secciones normales principales (RAPP, 1981, p. 31). Corresponden a:
• Sección normal meridiana: se forma por la intersección de un punto cualquiera y una
sección normal plana que contenga al eje de rotación del elipsoide de referencia, además
posee una curvatura máxima.
• Sección normal del primer vertical: se forma por la intersección de una sección normal
plana que es perpendicular a la sección normal meridiana en un punto cualquiera, además
posee una curvatura mínima.
Los radios de curvatura de estas dos secciones normales principales corresponden a:
- 163 -
Radio de curvatura de la elipse meridiana
Considerando dos puntos “P” y “Q” en la superficie del elipsoide de referencia, contenidos
en el mismo meridiano y a una distancia infinitesimal, es posible obtener un arco diferencial de
meridiano, que puede ser definido por un único radio de circulo que contiene a los puntos “P” y
“Q”. Tal radio corresponde al radio de curvatura de la elipse meridiana denominado “M” (ver figura
24).
Figura 24: Radio de curvatura de la elipse meridiana.
Fuente: Elaboración Propia.
Su expresión matemática corresponde a:
( )( ) 2/322
2
1
1
φsene
eaM
−−= (174)
Radio de curvatura del primer vertical
Este radio de curvatura también es llamado gran normal “N”. Se define como el segmento
contenido en la sección normal del primer vertical, entre un punto “P” cualquiera sobre el elipsoide
y su prolongación a través de la normal de este, hasta la intersección con el eje menor del elipsoide
- 164 -
de referencia (ver figura 25).
Figura 25: Radio de curvatura del primer vertical.
Fuente: Elaboración Propia.
Su expresión matemática corresponde a:
( )1/2221
a
φseneN
−= (175)
Arcos en el elipsoide
En términos generales, un arco se define como una curva continua contenida entre dos
puntos (TAPIA y RAMÍREZ, 2008, p. 111), tal definición puede ser extendida a arcos en el espacio
y de manera más especifica a las longitudes de arco en el elipsoide de revolución. Estas longitudes
de arco calculadas en el elipsoide de referencia corresponden a la longitud de arco de paralelo y
meridiano (ver figura 26).
- 165 -
Figura 26: Longitud de arco de paralelo (Sp) y longitud de arco de meridiano (Sm).
Fuente: Elaboración Propia.
Longitud de arco de paralelo (Sp)
El cálculo de esta longitud de arco considera una distancia circular entre dos puntos
cualesquiera de longitud geodésica 1λ y 2λ , situados en el mismo paralelo.
La definición de la longitud de un arco circular está dada por la expresión:
θ⋅= RL
Donde:
L : Longitud de arco circular.
R : Radio.
θ : Ángulo entre dos puntos.
- 166 -
Asumiendo el radio Rcomo un radio de paralelo φcosNr = , donde N corresponde a la
gran normal yφ a la latitud geodésica de un punto cualquiera. Tomando θ como la diferencia de
longitud ( 1λ - 2λ ), se obtiene la expresión para el cálculo de longitud de arco de paralelo PS .
( )12cos λλφ −= NSP (176)
Longitud de arco de meridiano (Sm).
El cálculo inicial de esta longitud de arco considera una longitud de arco diferencial
contenida en la elipse meridiana entre dos puntos de latitud geodésica 1φ y 2φ , expresada por:
φdMds ⋅= (177)
Donde:
ds: Longitud diferencial de arco de meridiano.
M : Radio de curvatura de la elipse meridiana.
φd : Diferencia infinitesimal de latitud geodésica entre dos puntos ubicados en el mismo
meridiano.
Integrando (177) entre 1φ y 2φ , se tiene:
( ) ( ) φφφφ
φ
φ
φdseneeadMS ∫∫ −−=⋅=
2
1
2/32222
1
11 (178)
Linealizando la función ( ) 2/3221−− φsene , mediante el desarrollo de una serie de McLaurin,
la expresión queda como:
( ) ...256
693
128
315
16
35
8
15
2
311 1010886644222/322 ++++++=− − φφφφφφ senesenesenesenesenesene (179)
- 167 -
Donde las funciones de ángulo múltiple corresponden a:
φφ 2cos2
1
2
12 −=sen
φφφ 4cos8
12cos
2
1
8
34 +−=sen
φφφφ 6cos32
14cos
16
32cos
32
15
16
156 −+−=sen (180)
φφφφφ 8cos128
16cos
16
14cos
32
72cos
16
7
128
358 +−+−=sen
φφφφφφ 10cos512
18cos
256
56cos
512
454cos
64
152cos
256
105
256
6310 −+−+−=sen
Reemplazando (180) en (179), se obtiene:
( ) φφφφφφ 10cos8cos6cos4cos2cos12/322 FEDCBAsene −+−+−=− −
(181)
Donde:
...65536
43659
16384
11025
256
175
64
45
4
31 108642 ++++++= eeeeeA
...65536
72765
2048
2205
512
525
16
15
4
3 108642 +++++= eeeeeB
...16384
10395
4096
2205
256
105
64
15 10864 ++++= eeeeC
(182)
...131072
31185
2048
315
512
35 1086 +++= eeeD
...65536
3465
16384
315 108 ++= eeE
...131072
693 10 += eF
- 168 -
Reemplazando (181) en (178), separando la integral en partes y resolviéndolas, se obtiene:
( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
+−−−+
−−−+−−−−=
...101010
888
666
444
2221
1212
121212122
φφφφ
φφφφφφφφ
sensenF
sensenE
sensenD
sensenC
sensenB
AeaSm (183)
Sistema de coordenadas cartesianas en el espacio
Un sistema geodésico cartesiano (ver figura 27), se define por un sistema coordenado
cartesiano en el espacio. Este sistema posee tres ejes ortogonales “X”, “ Y”, “ Z”.
Un punto cualquiera asociado a un sistema geodésico cartesiano está determinado por el
vector tridimensional [ ]Tzyx ,, .
Un sistema geodésico cartesiano queda definido por las siguientes características:
• Si el origen del sistema cartesiano es coincidente con el centro geométrico del elipsoide de
referencia y con el centro de masa de la Tierra, se considera perteneciente a un sistema
global, si no coincide con el centro de masa de la Tierra se considera perteneciente a un
sistema local.
• El eje “X” coincide con el plano ecuatorial y está orientado al meridiano cero (Greenwich).
• El eje “Y” coincide con el plano ecuatorial, es perpendicular al eje “X” y define el sistema
como dextrógiro (giro hacia la derecha).
• El eje “Z” coincide con el eje de rotación del elipsoide de referencia y posee orientación en
dirección al polo norte.
Sistema de coordenadas geodésicas curvilíneas
Un sistema de coordenadas geodésicas curvilíneas o simplemente coordenadas geodésicas
(ver figura 27), se define a partir de su asociación a un elipsoide de referencia, con el fin de
determinar la posición única de un punto cualquiera sobre esta superficie de referencia.
- 169 -
Si se intersecta un plano normal (denominado también plano ecuatorial) al punto medio del
semieje menor del elipsoide de referencia, se genera una línea de círculo máximo denominada
ecuador, la cual divide al elipsoide en hemisferio norte y hemisferio sur. La intersección de los
infinitos planos paralelos al plano ecuatorial con el elipsoide de referencia, genera infinitas líneas de
círculos menores denominadas paralelos. La intersección de infinitos planos que contengan al
semieje menor con el elipsoide de referencia genera líneas llamadas meridianos. Por medio de una
convención se ha establecido que el origen de los meridianos (meridiano cero) pasa por el
observatorio de Greenwich en Inglaterra (FUENTES, 2006, p. 35)
La definición de coordenadas geodésicas curvilíneas, corresponde a la determinación de las
coordenadas horizontales latitud geodésica (φ ) y longitud geodésica (λ ), coordenada geodésica
vertical (h).
Latitud geodésica (φ )
Corresponde al ángulo que se forma entre la normal a un punto cualquiera siguiendo la
dirección del meridiano que lo contiene hasta el plano ecuatorial. Posee una variación angular
positiva de 0º a 90º correspondiente al hemisferio norte, la variación angular negativa de -90º a 0º
corresponde al hemisferio sur.
Longitud geodésica (λ )
Corresponde al ángulo diedro que se forma entre el plano meridiano que contiene a un
punto cualquiera y el plano que contiene al meridiano cero. Posee una variación angular positiva de
0º a 180º correspondiente al sentido este del meridiano cero, la variación angular negativa de -180º
a 0º corresponde al sentido oeste del meridiano cero.
- 170 -
Altura elipsoidal (h)
Corresponde a la distancia contenida en la normal de un punto cualquiera, que parte desde
la superficie del elipsoide al punto.
Figura 27: Sistema de coordenadas cartesianas y geodésicas.
Fuente: elaboración propia.
Relación matemática entre coordenadas cartesianas y geodésicas curvilíneas
Debido al frecuente uso de sistemas coordenados, expresados en coordenadas cartesianas o
coordenadas geodésicas curvilíneas, para cálculos de transformación geodésica, es necesario
establecer una relación matemática entre estos sistemas coordenados, con el fin de que un sistema
coordenado pueda ser expresado matemáticamente en otro y viceversa. La relación entre
- 171 -
coordenadas curvilíneas geodésicas ( h,,λφ ) de un punto expresadas en coordenadas cartesianas
( zyx ,, ), puede escribirse como:
( )( )
( )( ) φ
λφλφ
sen1
sencos
coscos
2 heNz
hNy
hNx
+−=
+=
+=
(184)
Donde:
h,,λφ : Latitud, Longitud y altura elipsoidal.
2e : Excentricidad al cuadrado.
N : Gran normal.
Las fórmulas de transformación inversa fueron deducidas por Bowring, y no son iterativas
en su solución, estas se expresan de la forma:
Nd
h
y
x
ead
ebZ
−=
=
⋅⋅−⋅⋅+
=
φ
λ
ϑϑ
φ
cos
arctan
cos
sen'arctan
32
32
(185)
Donde:
⋅⋅=db
Zaarctanϑ
( ) 2/122PP yxd +=
2'e : Segunda excentricidad al cuadrado.
a : Semieje mayor del elipsoide de referencia.
b : Semieje menor del elipsoide de referencia.
- 172 -
Sistema de referencia vertical
La adopción de sistemas de geodésicos de referencia (ver 2.1.), ya sean clásicos o
modernos, involucran el establecimiento de un sistema de referencia vertical que permita determinar
la altura de un punto, la cual puede ser definida como la distancia existente sobre la línea vertical
entre la superficie de referencia y el punto (SIRGAS, 2002, p. 23). La superficie de referencia
altimétrica corresponde al geoide, que en términos sencillos es definido como una superficie
equipotencial, es decir, posee igual valor de atracción gravitacional (ZEPEDA, 2004, p. 61).
Existen cuatro problemas principales asociados a los sistemas de referencia verticales
(DREWES y SÁNCHEZ, 2004, p. 86), estos corresponden a:
• Definición del tipo de alturas que conforman su estructura: estas corresponden a las alturas
geométricas (alturas de nivelación y las alturas elipsoidales) y las alturas físicas (alturas
ortométricas, alturas normales, alturas dinámicas).
• Determinación del nivel básico al que están referidas dichas alturas: referidas a mediciones
realizadas con mareógrafos (nivel medio del mar) u otras superficies de referencia como el
geoide y elipsoide.
• Materialización de las alturas mediante la realización de un marco de referencia: este puede
estar referido a la posición relativa de la marca cero del mareógrafo, tomando en cuenta la
superficie del mar. Por otra parte, puede materializarse mediante la determinación física de
la superficie de referencia (geoide).
• Cambios durante el tiempo: existen problemas asociados a la conexión de puntos en
temporalidades diferentes y las variaciones producidas en la corteza terrestre.
Superficies de referencia para la definición de alturas
En la nivelación clásica se adoptó como referencia vertical el nivel medio del mar, el cual se
determinaba, a través del registro de observaciones del nivel del mar durante largos periodos de
tiempo y se asumía como coincidente con el geoide. Sin embargo, por causa del gran dinamismo
- 173 -
oceánico del planeta, el nivel del mar presenta fluctuaciones que provocan diferencias de hasta dos
metros entre varios mareógrafos (SIRGAS, 2002, p. 27).
A modo de evitar los inconvenientes generados por las mediciones de mareógrafos, es
necesario encontrar una superficie de referencia global, que mantenga como condición ser una
superficie equipotencial y que no dependa de observaciones del nivel del mar.
Geoide
Se define como la superficie equipotencial del campo de gravedad terrestre, es decir,
corresponde a la superficie que posee un potencial de gravedad constante. Su estimación se realiza
mediante la formulación de hipótesis geofísicas sobre la distribución interna de masas del planeta.
Cuasi – Geoide
Se define como una superficie no equipotencial, cercana al geoide. Su estimación se realiza
mediante el modelamiento matemático del campo de gravedad normal, por lo cual no requiere de la
formulación de hipótesis geofísicas.
Elipsoide
Esta superficie de referencia es utilizada principalmente en la definición de alturas
elipsoidales, y es materializada por la utilización de mediciones GPS.
Alturas de tipo geométrico
Estas corresponden a dos tipos de alturas:
Alturas niveladas
Este tipo de alturas se obtienen mediante el proceso de nivelación geométrica, utilizando
métodos ópticos de medición (ver figura 28). Su calculo se realiza mediante la sumatoria de los
- 174 -
desniveles (dn) entre los puntos de medición, que se orientan en el campo de la gravedad local en la
nivelación, por lo cual, dependen del trayecto seguido, ya que, para un mismo punto pueden
obtenerse diferentes alturas niveladas (DREWES & SÁNCHEZ, 2004, p. 92).
Figura 28: Alturas niveladas.
Fuente: SIRGAS – Boletín Informativo nº6.
Debido a la distribución irregular de masas de la Tierra, las diferentes superficies
equipotenciales no son equidistantes y dn depende de la posición donde se niveló el punto en
cuestión. Este tipo de alturas son utilizadas en áreas restringidas donde no se considere ni la figura
elipsoidal de la Tierra ni las variaciones de su campo de gravedad (SIRGAS, 2002, p. 24).
Alturas elipsoidales
Este tipo de altura se obtiene a través de las coordenadas cartesianas geocéntricas, definidas
sobre un elipsoide de referencia (GRS-80; WGS-84), asociado a las mediciones realizadas en el
sistema de posicionamiento global (GPS).
El principal problema que presenta este tipo de alturas es que no consideran el campo de
gravedad terrestre, por lo cual, puntos con niveles diferentes pueden presentar valores iguales o de
manera inversa, debido a esto, su aplicación práctica es mínima (SIRGAS, 2002, p. 25)
- 175 -
Alturas de tipo físico
Estas alturas se obtienen mediante la determinación de las distancias reales entre las
superficies de nivel, expresadas en diferencias de potencial, en las cuales su sumatoria en un
circuito cerrado siempre serán cero, y los resultados entregados por distintas trayectorias serán
iguales. En la práctica, estas diferencias se obtienen mediante la combinación de mediciones
clásicas y valores de gravedad para una zona de interés (SIRGAS, 2002, p. 25). En la determinación
de estas alturas, respecto del geoide, es importante la definición del Número Geopotencial (C):
A
A
WWdngC −=⋅= ∫ 0
0
(186)
Donde:
g : Gravedad observada en el punto de cálculo.
dn: Diferencia de altura.
AW : Potencial sobre la superficie que pasa por el punto de cálculo.
Alturas dinámicas
Este tipo de alturas se obtienen al dividir los números geopotenciales por un valor constante
de gravedad (cteγ ).
ctedin
CH
γ= (187)
Este tipo de altura es altamente dependiente de la distancia referida al punto sobre el cual se
calcula el cteγ (RAMÍREZ y ORTIZ, 2003, p. 16).
Alturas normales
Este tipo de alturas se obtienen al dividir los números geopotenciales por el valor medio de
la gravedad normal entre la superficie de referencia (cuasi – geoide) y el punto ('γ ).
- 176 -
'γC
H norm = (188)
'γ se obtiene de la fórmula de gravedad normal terrestre, la cual está en función de la
latitud geodésica asociada al elipsoide de referencia correspondiente (SIRGAS, 2002, p. 25). El
cálculo de este tipo de alturas no requiere la formulación de hipótesis, ya que, depende de una
gravedad teórica (DREWES y SÁNCHEZ, 2004, p. 98).
Alturas ortométricas
Este tipo de alturas representan la longitud de la línea encorvada de la plomada entre el
geoide y el punto a calcular (DREWES y SÁNCHEZ, 2004, p. 98). Se obtienen al dividir los
números geopotenciales por el valor medio de la gravedad real ( 'g ), entre el punto calculado y el
geoide.
'g
CH ortom = (189)
Las alturas ortométricas requieren de la formulación de hipótesis sobre la gravedad
verdadera entre el terreno y el geoide, además es dependiente de la densidad y distribución de todas
las masas terrestres (DREWES y SÁNCHEZ, 2004, p. 98).
- 177 -
ANEXO II
COORDENADAS DE VÉRTICES GEODÉSICOS
- 178 -
PSAD-56
ZONA ID Este (UTM) (m)
Norte (UTM) (m) X (m) Y (m) Z (m)
BOT1 249638,862 6092071,702 1632169,710 -4950482,787 -3663568,630
BRU1 257856,460 6130563,681 1647862,927 -4968459,393 -3632285,326
CDA1 304688,706 6110480,451 1687887,731 -4942147,599 -3649643,035
CDA2 304558,734 6110912,250 1687854,365 -4942423,160 -3649287,694
CHQ1 209707,371 6106982,454 1597530,401 -4971514,327 -3650422,655
CHQ2 209569,338 6107293,971 1597464,190 -4971726,369 -3650164,581
EMP1 205939,076 6054290,922 1583032,121 -4944242,367 -3693236,035
GUA1 228413,092 6095769,964 1612890,902 -4959413,244 -3660050,612
GUA2 228642,082 6095878,741 1613129,731 -4959397,335 -3659967,477
HUE1 286925,943 6082384,384 1665334,992 -4932930,406 -3672249,834
HUE2 287305,599 6082507,623 1665718,455 -4932870,716 -3672156,726
VIL1 296793,462 6061610,846 1670312,854 -4918381,904 -3689347,422
VIL2 296849,156 6061869,800 1670419,332 -4918503,975 -3689137,888
VPR1 260499,259 6111891,246 1646515,077 -4957581,157 -3647623,756
Z1
VPR2 260618,491 6111487,367 1646544,311 -4957324,943 -3647956,511
CDM1 188056,696 6005501,144 1555883,642 -4923325,076 -3732244,837
CDM2 187779,365 6005053,041 1555526,794 -4923167,786 -3732598,651
EMP2 206184,521 6053887,090 1583179,851 -4943943,500 -3693570,522
ETR1 270123,334 6006507,940 1633610,778 -4897134,692 -3733481,003
POC1 208798,717 5993817,270 1573027,575 -4910213,659 -3742250,011
TLQ1 247751,055 5986727,483 1608319,000 -4893611,340 -3748944,876
TLQ2 247969,614 5986699,250 1608519,315 -4893524,015 -3748972,733
UNI1 228136,905 6003214,762 1593285,704 -4909109,610 -3735169,463
UNI2 228360,243 6003435,419 1593543,246 -4909158,203 -3734996,894
VAN1 284611,630 6022502,681 1650641,628 -4901106,125 -3720842,829
VAN2 284908,322 6022597,207 1650941,190 -4901059,224 -3720772,180
VLL1 243354,250 6027603,398 1612791,620 -4917517,245 -3715818,966
VLL2 243563,796 6027692,841 1613008,238 -4917497,542 -3715751,471
VSA1 281792,096 6012042,553 1645781,258 -4896306,196 -3729248,747
Z1-2
Z2
VSA2 281950,184 6011882,718 1645896,606 -4896165,893 -3729381,149
- 179 -
SIRGAS
ZONA ID Este (UTM) (m)
Norte (UTM) (m) X (m) Y (m) Z (m)
BOT1 249455,610 6091698,020 1631824,120 -4950093,235 -3663862,489
BRU1 257673,187 6130190,497 1647518,233 -4968072,287 -3632580,492
CDA1 304505,405 6110106,571 1687542,770 -4941760,146 -3649938,865
CDA2 304375,432 6110538,372 1687509,411 -4942035,727 -3649583,537
CHQ1 209524,091 6106610,133 1597185,125 -4971125,384 -3650715,211
CHQ2 209386,054 6106921,663 1597118,919 -4971337,447 -3650457,136
EMP1 205755,712 6053917,743 1582685,529 -4943850,198 -3693527,062
GUA1 228229,849 6095397,021 1612545,420 -4959023,800 -3660343,598
GUA2 228458,842 6095505,793 1612784,254 -4959007,898 -3660260,476
HUE1 286742,736 6082010,325 1664989,408 -4932540,972 -3672544,336
HUE2 287122,392 6082133,565 1665372,877 -4932481,298 -3672451,240
VIL1 296610,384 6061237,048 1669967,098 -4917991,716 -3689641,060
VIL2 296666,074 6061496,001 1670073,578 -4918113,802 -3689431,538
VPR1 260315,892 6111517,301 1646169,784 -4957192,770 -3647918,844
Z1
VPR2 260435,123 6111113,402 1646199,007 -4956936,527 -3648251,600
CDM1 187873,395 6005127,410 1555535,935 -4922929,683 -3732533,924
CDM2 187596,063 6004679,306 1555179,076 -4922772,365 -3732887,715
EMP2 206001,161 6053513,905 1582833,254 -4943551,311 -3693861,542
ETR1 269940,379 6006134,129 1633263,877 -4896741,024 -3733771,868
POC1 208615,505 5993443,248 1572679,775 -4909817,945 -3742539,275
TLQ1 247568,004 5986353,321 1607971,408 -4893215,999 -3749234,753
TLQ2 247786,565 5986325,089 1608171,726 -4893128,677 -3749262,613
UNI1 227953,822 6002840,832 1592938,340 -4908714,817 -3735459,443
UNI2 228177,162 6003061,490 1593195,890 -4908763,426 -3735286,887
VAN1 284428,680 6022129,021 1650295,170 -4900713,682 -3721134,518
VAN2 284725,361 6022223,550 1650594,725 -4900666,798 -3721063,876
VLL1 243171,345 6027229,795 1612445,064 -4917124,164 -3716110,004
VLL2 243380,892 6027319,242 1612661,686 -4917104,472 -3716042,514
VSA1 281609,131 6011668,820 1645434,546 -4895913,117 -3729540,008
Z1-2
Z2
VSA2 281767,219 6011508,984 1645549,891 -4895772,810 -3729672,408
- 180 -
ANEXO III
COORDENADAS DE PUNTOS DE CONTROL
- 181 -
PSAD-56
ZONA ID Este (UTM) (m)
Norte (UTM) (m) X (m) Y (m) Z (m)
BOT2 249746,179 6092768,733 1632415,344 -4950823,567 -3663002,474 Z1 BRU2 257913,953 6130360,356 1647875,438 -4968331,724 -3632453,140
ETR2 270801,817 6006173,207 1634180,052 -4896726,137 -3733765,803 Z1-2
Z2 POC2 209326,694 5993708,900 1573503,683 -4909983,157 -3742351,599
SIRGAS
ZONA ID Este (UTM) (m)
Norte (UTM) (m) X (m) Y (m) Z (m)
BOT2 249562,922 6092395,048 1632069,764 -4950434,053 -3663296,366 Z1 BRU2 257730,680 6129987,164 1647530,740 -4967944,605 -3632748,306
ETR2 270618,860 6005799,393 1633833,145 -4896332,466 -3734056,670 Z1-2
Z2 POC2 209143,484 5993334,874 1573155,886 -4909587,446 -3742640,872
Top Related