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METODOS DE DEMOSTRACION
Definiciones basicas
Definici´on 1. un Teorema es una sentencia que se puede verificar que es verdadera.
(P1 ∧ P2 . . . ∧ Pn) → Q) es un teorema donde los P1, P2 . . . Pn son los postulados o premisas y Q la conclusion del teorema.Ejemplo 1. Sea el siguiente teorema si a y b son enteros positivos, a ≥ b, entonces a0 ≥ b0
premisas:P1 : a y b son enteros positivos.P2 : a ≥ by la conclusion Q es a0 ≥ b0 por lo tanto el teoremaser´ıa (P1 ∧ P2) → Q
Definici´on 2. Un lema es un teorema sencillo uti- lizado en la demostracion de otros teoremas.
Definici´on 3. Un corolario es una proposicion que se puede establecer directamente a partir de un teorema que ya ha sido demostrado.
1. REGLAS DE INFERENCIA.
Estas reglas justifican los pasos dados para demostrar que a partir de una serie de hipotesis se
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onllega de forma logica a una conclusion.
Ejemplo 2. Una regla de inferencia b´asica es lamodus ponens
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pp → q∴ q
Ejemplo 3. En que regla de inferencia se basa el siguiente argumento: Ahora estamos bajo cero. Por tanto estamos bajo cero o bien llueve ahora.
p∴ p ∨ q
Esta es la regla de inferencia de la Adici´on y su tautolog´ıa ser´ıa p → (p ∨ q)
Ejemplo 4. Cu´al es la regla de inferencia de para el siguiente argumento: Estamos bajo cero y llueve. Por tanto, estamos bajo cero.
p ∧ q∴ p
Este argumento usa la regla de la simplificacion y su tautolog´ıa ser´ıa (p ∧ q) → p.
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Ejemplo 5. Fue X o Y qui´en cometi´o el crimen. X estaba fuera del pueblo cuando el crimen fue cometido. Si X estaba fuera del pueblo, no pu- do haber estado en la escena del crimen. Si X no estaba en la escena del crimen, no pudo haber cometido el crimen. Obtenga la conclusi´on usan- do las reglas de inferencia.
P1: X cometi´o el crimen. P2: Y cometi´o el crimen.Q: X estaba fuera del pueblo cuando fue cometido el crimen.R: X no estaba en la escena del crimen.
R: la fiesta de An˜o Nuevo se can
elo.S: Alicia estaba enojada.T : Hubo que devolver el dinero.
El argumento v´alido: Premisas:1)(v P ∨ v Q) → (R ∧ S)
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El argumento en LP:1) P 1 ∨ P 22) Q3) Q → R4) R →v P 15) R aplicando modus ponens a (2) y (3)6) v P 1 aplicando modus ponens a (5) y (4)7) ∴ P 2 aplicando el silogismo disyuntivo a (1) y(6)Por lo tanto se concluye que Y cometi´o el crimen.
Tambi´en se puede demostrar la validez de un argu- mento derivando la conclusion desde las premisas usando las REGLAS DE INFERENCIA.
Ejemplo 6. Dado el siguiente argumento v´alido: Si la banda no pudiera tocar rock o las bebidas no llegasen a tiempo, entonces la fiesta de Ano Nue- vo tendr´ıa que cancelarse y Alicia se enojar´ıa. Si la fiesta se cancelara, habr´ıa que devolver el dinero. No se devolvio el dinero. Por lo tanto, la banda pudo tocar rock. Derive la consecuencia logica us- ando las reglas de inferencia.
P : la banda pudo tocar rock.Q: las bebidas se entregaron a tiempo.
c
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2) R → T3) v T∴ P
Se debe inferir con las premisas 1,2 y 3 y llegar a derivar P.
1)R → T premisa2) v T premisa3) v R aplicando modus tollens a (1) y (2)4) v R∨ v S aplicando ley de adici´on con (3)5) v (R ∧ S) aplicando ley de morgan a (4)6) (v P ∨ v Q) → (R ∧ S) premisa7) v (v P ∨ v Q) aplicando modus tollens a (5) y(6)8) P ∧ Q aplicando ley de morgan y de la doble negacion a (7)9) ∴ P aplicando simplificacion conjuntiva a (8)
Ejemplo 6.1 aplique las reglas de inferencia para demostrar que q → p es una consecuencia logica de las premisas:u → r; (r ∧ s) → (p ∨ t); q → (u ∧ s); ∼ t
1) (r ∧ s) → (p ∨ t) premisa2) v r∨ v s ∨ p ∨ t aplicacion de la implicacion a 1
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on3) u → r premisa
5) v u∨ v s ∨ p ∨ t resoluci´on 2 y 46) v (u ∧ s) ∨ p ∨ t aplicacion de7) (u ∧ s) → (p ∨ t) aplicaci´on de8) q → (u ∧ s) premisa
morgan a 5implicacion a 6
9) q → (p ∨ t) silogismo hipot´etico 8 y 7
t
10) (v q ∨ p) ∨ t implicacion y asociativa de 911) v t premisa12) v q ∨ p silogismo disyuntivo de 10 y 1113) ∴ q → p implicacion de 12
2. METODOS PARA DEMOSTRAR TEOREMAS.
2.1 Demostracion Directa. Se basa en la implicacion p → q se puede demostrar que si p es verdadero q tambi´en lo es.
p: es la hipotesis (lo que se supone como ver- dadero)q: es la Tesis (lo que se va ha demostrar)
Definici´on 1. El entero n es par si existe un en- tero k tal que n = 2k y es impar si existe un entero k tal que n = 2k + 1
Ejemplo 7. Demostrar que si n es un entero im- par, entonces n2 es un entero impar.
p: n es impar. (hipotesis)q: n2 es impar. (tesis)Se demuestra p → q, se parte de que p verdadero y se termina demostrando que q es verdadero.
Si n es impar entonces, n = 2k + 1, donde k es un entero.Se sigue que n2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 =2 (k2 + k) +1| {z
Z
}∈
Por tanto como n2 es de la forma 2t + 1 entones
q quu
n2 es impar.
Definici´on 2. El numero real r es racional si ex- isten dos enteros p y q, q = 0, tales que r = p/q. Un numero real que no es racional es irracional.
Ejemplo 8. Demuestre que la suma de dos racionales es un racional.
p: Sean r y s racionales, si r es racional entonces r = p/q para q = 0 y si s es racional entonces s = t/u para u = 0. (hip´otesis)
q: Hay que demostrar que r + s es racional. (tesis)
sumamos r + s = p + t = pu+qt , donde = 0qupor que q = 0 y u = 0 por tanto hemos expresador + s como la razo´n de dos enteros pu + qt y quPOR TANTO r + s es racional.
2.2 Demostracion indirecta. Como la implicacionp → q es equivalente a su contrarec´ıproca v q →v pla implicacion se puede demostrar viendo que sucontrarec´ıproca es verdadera.
Ejemplo 9. Demostrar que si 3n + 2 es impar, en- tonces n es impar.
p: 3n + 2 es impar.
q: n es impar.Suponemos la v q es decir que n es par, entoncesn = 2k para algun entero k y demostramos v p esdecir que 3n + 2 es par.
l
ahora se sigue que 3n + 2 = 3(2k) + 2 = 2(3k) +2 = 2 (3k + 1)
y 3n + 2 es de la forma 2l
| {zZ }
∈Por tanto 3n + 2 es par, es decir v p
Ejemplo 10. Demuestre que la suma de dos im- pares es par.p: r y s son impares.q: r + s es par.
Suponemos que r + s es impar y se debe demostrar que r o s son pares no de manera simult´anea.
Sea r + s impar entonces r + s = 2k + 1, k ∈ Z
Vemos que pasa cuando s es par y cuando s es impar
s es PAR, suponemos que s = 2t, t ∈ Z, entoncesr = 2k + 1 − 2t = 2 (k − t) +1 por tanto r es IM- | {
Zz
}
PAR. Cuando s es par r es
impar.
s es IMPAR, s = 2t + 1, t ∈ Z, entonces r =2k + 1 − 2t − 1 = 2k − 2t = 2 (k − t) | {
Zz }
Por tanto r es PAR. Cuando s es impar r es par. De ninguna forma bajo la premisa v q, r y s son o pares o impares por tanto se garantiza v p
2.3 Contraejemplo. Se busca un ejemplo para refu- tar el cu´al la implicacion o doble implicacion sea falsa.
Ejemplo 11. Demuestre o refute la proposicion que expresa que si x y y son n´umeros reales, (x2 = y2) ↔ (x = y)
Buscamos un ejemplo que contradiga la afirma- cion, sean x = −3 y y = 3 entonces (−3)2 = (3)2, pero −3 = 3, el resultado es falso. Este es el CON- TRAEJEMPLO.
2.4 Demostracion por contradicci´on o reducci´on al absurdo. Dado p, supongamos que se puede en-contrar una contradiccion q tal que v p → q seaverdadera, esto es, v p → F es verdadera. En-tonces la preposicion v p tiene que ser FALSA.por tanto p DEBE SER VERDADERA.
Por ejemplo una contradiccion q puede ser r∧ v rentonces podemos mostrar que v p → (r∧ v r)sea VERDADERA.
Ejemplo 12. Demuestre que √
2 es irracional.Sea p: la proposicion
√2 es irracional y supong-
amos que v p es verdadera. Entonces √
2 es racional.
Mostraremos que esto conduce a una contradic- cion. Sea que
√2 es racional por tanto:
Existen dos enteros a y b de tal forma que
√2 = a/b, donde a y b no tiene FACTORES COMUNES
(es decir que no hay una fraccion equivalentea a/b m´as pequena).
Como √
2 = a/b entonces 2 = a2/b2 y portanto 2b2 = a2
Esto significa que a2 es PAR, entonces a es PAR, y a es de la forma a = 2c para alg´un c ∈ Z
Bien entonces 2b2 = 4c2 por lo que b2 = 2c2
esto significa que b2 es PAR, por tanto b es PAR.
Se ha mostrado que ambos a y b son PARES y por tanto tienen factor comun 2. Esto es una CONTRADICCION a la suposicion de que en√
2 = a/b, a y b no tiene FACTORES COMUNES
Entonces se ve que v p implica tanto r comov r donde r es la sentencia a y b son enterossin FACTORES COMUNES.
Por tanto v p es falsa y p es verdadera, en- tonces
√2 es IRRACIONAL.
para que v p → F sea verdadera v p debe serFALSA y por tanto p es VERDADERA.
Ejemplo 13. Demuestre por el absurdo que si 3n+2 es impar, entonces n es impar.
Suponemos que n es PAR sabiendo que 3n + 2 es IMPAR y llegamos a una CONTRADICCIO´ N. Sea n par, tambi´en suponemos que 3n + 2 es impar
n = 2q−1
por tanto 3n + 2 = 2q + 1 = 3n = 2q + 1 − 2 =,
3 para q ∈ Z por tanto es una
CON- TRADICCIO´ N por que n es UN ENTERO PAR.
Esta es una aplicacion de la tautolog´ıa ((p → q) ∧(v q) → (v p)) modus tollens dado que el argu-mento es una implicacion p → q.
Ahora como ((p → q) ∧ (v q) → (v p)) es v´ali- da p → q debe ser verdadera y p y q deben serverdaderas y asu vez v q y v p son falsas entonces((p → q ) ∧ (v q) → (v p)) ≡ ((V ∧ F ) → F ) ≡ V| {
Vz
}| {
Fz
}| {
Fz }
2.5 Demostracion por casos. Se demuestra la im- plicacion: (p1 ∨ p2 . . . ∨ pn) → q y resolvemos
(p1 ∨ p2 . . . ∨ pn) → q =v (p1 ∨ p2 . . . ∨ pn) ∨ q(p1 ∨ p2 . . . ∨ pn) → q = (v p1∧ v p2 . . . ∧ v pn) ∨ q(p1 ∨ p2 . . . ∨ pn) → q = q ∨ (v p1∧ v p2 . . . ∧ v pn)(p1 ∨ p2 . . . ∨ pn) → q = (q∨ v p1) ∧ (q∨ v p2) . . . ∧(q∨ v pn)(p1 ∨ p2 . . . ∨ pn) → q = (v p1 ∨ q) ∧ (v p2 ∨ q) . . . ∧ (vpn ∨ q)(p1 ∨ p2 . . . ∨ pn) → q = (p1 → q) ∧ (p2 → q) . . . ∧ (pn
→q)
Por tanto podemos decir que:
[(p1 ∨ p2 . . . ∨ pn) → q] ↔ [(p1 → q) ∧ (p2 → q) . . . ∧(pn → q)]
Ejemplo 14. Demuestre por casos que| xy |=| x || y |, donde x y y son reales.
Definicion valor absoluto:
| x |=
x si x ≥ 0
−x si x ≤ 0
Por casos entonces: p: x e y son realesq: | xy |=| x || y |p es equivalente a p1 ∨ p2 ∨ p3 ∨ p4
p1 es x ≥ 0 y y ≥
0 p2 es x ≥ 0 y y <
0 p3 es x < 0 y y ≥
0
p4 es x < 0 y y < 0
Por tanto podemos demostrar: (p1 → q) ∧ (p2 →q) ∧ (p3 → q) ∧ (p4 → q)
(p1 → q) entonces xy ≥ 0 por que x ≥ 0 yy ≥ 0, y por tanto | xy |= xy =| x || y |
(p2 → q) si x ≥ 0 y y < 0, entonces xy ≤ 0, por tanto | xy |= −xy = x(−y) =| x || y | (aqu´ı como y < 0, tenemos que | y |
= −y)
(p3 → q) si x < 0 y y ≥ 0, entonces xy ≤ 0, por tanto | xy |= −xy = (−x)y =| x || y | (aqu´ı como x < 0, tenemos que | x |= −x)
(p4 → q) si x < 0 y y < 0, entonces xy > 0, por tanto | xy |= xy == (−x)(−y) =| x || y | (aqu´ı como y < 0, tenemos que | y |= −y y x < 0, tenemos que | x |= −x)
2.6 Demostracion por equivalencia Se puede demostrar un teorema que viene dado por un bicondicional,esto es:
p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
Ejemplo 15. Demostrar el teorema: El entero n es impar si, y s´olo si, n2 es impar.p:El entero n es impar.q:El entero n2 es impar.
1)p → q, Hay que demostrar que si n es impar, entonces n2 es impar. (m´etodo directo).sea n impar es de la forma n = 2k + 1 dondek ∈ Z ahora vemos que pasa con n2 = (2k + 1)2
=4k2 + 4k + 1 = 2 (2k2 + 2k) +1 por tanto n2
es | {Zz
}
IMPAR. (queda demostrada p → q)
2)q → p, Hay que demostrar que si n2 es impar, entonces n es impar. (Contradiccion).supongo que n es par, por tanto es de la forma
n = 2k tomando como premisa que n2 es impar y llego a una contradiccion.ahora vemos que pasa con n2 = (2k)2 = 4k2 =2 (2k2)| {
Zz
}
por tanto n2 es PAR lo cu´al es una CON-
TRADICCIO´ N por que estamos suponiendo que
n2 es IMPARpor tanto si n2 es impar, entonces n es impar (que- da demostrada p → q)
2.7 Demostracion por unicidad. Mostrar que existe un unico elemento x tal que P (x) es lo mismo que demostrar la sentencia:∃x(P (x) ∧ ∀y(y = x →v P (y)))
Entonces demostramos:1) Existencia. mostramos que existe un elementox con la propiedad deseada.2) Unicidad. Mostramos que si y = x, entonces yno tiene la propiedad deseada.
Ejemplo 15.1 Demuestre que todo entero tiene un unico inverso respecto a la suma.
Esto es si p es un entero, entonces existe un u´nico entero q tal que p + q = 0
Existencia: Si p ∈ Z, encontramos que p+q =0 cuando q = −p como q tambi´e es entero,por consiguiente, existe un entero q tal quep + q = 0
Unicidad: se muestra que dado el entero p, el entero q tal que p + q = 0 es UNICO.
supongamos que existe r ∈ Z tal que r = q
y p + r = 0 entonces p + q = p + r por tanto q = r lo que contradice la suposicion de que r = q.
Por lo tanto hay un UNICO entero q tal quep + q = 0
Ejercicios Resueltos
1. Sean m y n enteros. Demuestre que n2 = m2
si y solo si m = n o m = −n
Como es un teorema de si y solo si p ↔ (q ∨r) = (p → (q ∨ r)) ∧ ((q ∨ r) → p)
1)p → (q ∨ r)Entonces p : n2 = m2 y q :m = n o r:m = −nSea n2 = m2, n2 − m2 = 0, (n − m)(n + m) = 0entonces(n − m) = 0 y (n + m) = 0 por tanto m = n om = −n.
2) (q ∨ r) → pSea m = n o m = −n, n − m = 0 y n + m = 0,(n − m)(n + m) = 0, n2 − m2 = 0, por tanton2 = m2
2. Demuestre que la suma de un irracional y un racional es un irracional.
Por contradiccion suponemos que la suma de un irracional y un racional es racional bajo la suposicio´n de que i es irracional y r es el racional y llegamos a contradiccion llegan- do a establecer que cualquiera de los dos no cumple con la condicion de ser racional o ir- racional.
Sea i un irracional y r un racional entonces suponemos que i + r es un racional, es decir i + r = s donde s es racional.
Si despejamos i nos queda que i = s − r es un RACIONAL lo cual es una contradiccion por que i es un irracional.
3. Demuestre que la suma de dos racionales es un numero racional (CONTRADICCIO´ N)
Sean r y s racionales, entonces suponemos que r + s es irracional, es decir r + s = i, de-spejamos r = i − s pero como se demostr
que
la suma de un irracional y un racional es unracional, entonces podemos deducir que r es un irracional Por tanto es una contradiccion por que r es racional.
4. Demuestre que el producto de dos racionales es racional.
Por el m´etodo directo es muy f´acil se suponen que r y s son racionales y se debe
demostrar que el producto es racional.sean r = p , p, q ∈ Z para q = 0 y s = k k, t ∈ Z
q t
x
q
p
q
para t = 0 y continuamos realizando el pro-ducto r · s = p · k
= pk donde qt = 0 y pk ∈ Z yq t qt
por tanto demostramos que r ·s es un racional.
5. Demuestre que si x es irracional, 1/x tambi´en lo es.(sea p : x es irracional y q : 1/x es irra- cional p → q
Por el m´etodo indirecto (se demuestra v q →v p) Entonces suponemos que 1/x es racional y demostramos que x es racional.
Sea 1/x un racional entonces 1 = p donde
p, q ∈ Z, q = 0 Ahora p debe ser diferente decero por que 1 = x · 0 por tanto p = 0.
Despejamos x, x = q donde ambos son en-teros y p = 0 por lo tanto x es un RACIONAL.
6. Demuestre que si x e y son numeros reales, entoncesmax(x, y) + min(x, y) = x + y
Por casos; primero se demuestra para x ≤ y y segundo para x ≥ y.
1) Sea x ≤ y entonces max(x, y) + min(x, y) = y + x como y + x = x + y por tanto max(x, y) + min(x, y) = x + y
2) Sea x ≥ y entonces max(x, y) + min(x, y) =x + y
3. SUCESIONES, SUMATORIAS Y PRODUCTORIAS.
Sucesion. Es una lista de objetos dispuestos en orden. un primer elemento, segundo elemento, un tercer elemento y as´ı sucesivamente. esta es una sucesion FINITA.
Ejemplo 16. Si la lista empieza por un primer ele- mento y sigue hasta n pasos, n ∈ N es una sucesion INFINITA.
Ejemplo 17. La sucesion 1,0,0,1,0,1,0,0,1,1,1 es una sucesion finita de elementos repetidos.
Ejemplo 18. La lista 3,8,13,18,23,... es una suce- sion infinita.
Ejemplo 19. Otra sucesion infinita de los cuadra- dos de todos los enteros positivos. 1,4,9,16,25,....,
3.1 F´ormula recursiva o recurrente
Ejemplo 20. Sea la sucesion infinita 3,8,13,18,23,...la podemos expresar como una formula recurrente as´ı: an = an−1 + 5 para a1 = 3 para 2 ≤ n < ∞
Ejemplo 21. Sea la sucesion infinita 5,10,20,40,80,160 la podemos expresar como una formula recurrenteas´ı: tn = 2tn−1 para t1 = 5 para 2 ≤ n ≤ 6
Ejemplo 22. Encontrar una formula recursiva para la sucesion 3,7,11,15,19,23,....
3.2 F´ormula Expl´ıcita.
Ejemplo 23. Sea la sucesion 1,4,9,16,25,...., la formu- la expl´ıcita es bn = n2 tal que n ≥ 1
Ejemplo 24. Sea la sucesion -4,16,-64,256,....sn = −(4)n para n ≥ 1
Ejemplo 25. Encontrar una formula expl´ıcita para la sucesion finita: 87,82,77,72,67.
3.3 Progresi´on geometrica. Es una sucesion de la forma:
a, ar, ar2, . . . , arn
donde el t´ermino inicial a y la razon r de la pro- gresion son reales.
Ejemplo 26. La sucesion {bn}, bn = (−1)n
para n ≥ 1 es una progresion geom´etrica donde el ter- mino inicial a = −1 y la razon r = −1b1, b2, b3, b4, . . . comienza por −1, 1, −1, 1, ....
Ejemplo 27. Sea cn = 2 · 5n para n ≥ 1 es una progresion geom´etrica con t´ermino inicial a = 10 y razon r = 5 donde c1, c2, c3, c4, . . . comienza por10, 50, 250, 1,250, . . . ,
Ejemplo 28. Dada la siguiente progresion geom´etri- ca dn = 6 · (1/3)n para n ≥ 1 encontrar el t´ermino inicial y la razon.
3.4 Progresi´on aritmetica. Una progresion aritm´eticaes una sucesion de la forma:
a, a + d, a + 2d, a + 3d, . . . , a + nd
donde el t´ermino inicial a y la diferencia d son numeros reales.
Ejemplo 29. La sucesion sn = −1 + 4n para n ≥ 0 es una progresion aritm´etica con t´ermino inicial a = −1 y diferencia d = 4, la progresion comienza c0, c1, c2, c3, . . . comienza por −1, 3, 7, 11, . . .
Ejemplo 30. La sucesion tn = 7 − 3n para n ≥ 0 es una progresion aritm´etica con t´ermino inicial a = 7 y diferencia d = −3, la progresion comienza t0, t1, t2, t3, . . . comienza por 7, 4, 1, −2, . . .
3.5 Sumatorias. Usamos la notacion de la suma- toria para expresar la suma de los t´erminos.
am, am+1, · · · , an
de la sucesion {an}. Usamos la notacion
nX aj
j=m
Para representar am + am+1 + · · · + anj es el ´ındice de la sumatoria, n l´ımite superior ym l´ımite inferior.
Ejemplo 31. Exprese la suma de los cien primeros
j=1
P5
t´erminos de la sucesion {an}, donde an = 1/n paran = 1, 2, 3, . . .
100X 1
j=1 j
Ejemplo 32. Cu´al es el valor de P5 j2
j=1 j2 = 12 + 22 + 32 + 42 +
52
= 1 + 4 + 9 + 16 + 25= 55
Ejemplo 33. supongamos que tenemos la suma:
5X 2
j=1
y queremos que el ´ındice var´ıe entre 0 y 4 en lugar de 1 y 5para conseguir esto hacemos k = j − 1 por tanto el t´ermino j2 se convierte en (k + 1)2, as´ı:
4X(k + 1)2
k=0
Es f´acil ver que ambas suman 55.
Ejemplo 34. Supongamos que tenemos:
4 3X X
iji=1 j=1
Pn Pni=1 can = c i=1 anPn Pn Pn
i=1(ai + bi) = i=1 ai + i=1 biPn Pni=1(a + bi) = na + i=1 biPn n(n+1)
i=1 i = 2Pn n(n+1)(2n+1)
i=1 i2 =
6Pn n2 (n+1)2
i=1 i3 =
4Pn Pn+p n−pk=i f (k) = k=i+p f (k − p) =
P f (k + p)
j=1(aj − aj−1) = an − a0 telescopicaPn k arn+1 −a
k=0 ar = r−1
, r = 1
Primero se desarrolla la sumatoria interna:
4 3 4 4X X ij =
X(i+2i+3i) =
X 6i = 6+12+18+24 =
60i=1 j=1 i=1 i=1
Pn k=i−p
Teorema 1. Si a y r son reales y r = 0, entonces:
n arn+1 −aX arj =
r−1 si r = 1
j=0(n + 1)a si r = 1
Ejemplo 35.0 Use la formula para la suma de los t´erminos de una progresion geom´etrica para eva- luar la suma de la progresion Cn = 2 · 3n, para5 ≥ n ≥ 0:La sucesion Cn tiene como elementos 2, 2 · 3, 2 ·32, 2 · 33, 2 · 34, 2 · 35 Entonces podemos calcular
lasuma de estos elementos:
5X 2 · 3j = 2 + 2 · 3 + 2 · 32 + 2 · 33 + 2 · 34 +
2 · 35
j=0
k k
k k
k=1 6
k2 =
=
Usando el teorema 1. donde a = 2 y r = 3 ten- emos:
5X 2 · 3j
=
2 · 35+1 − 2 2(36 − 1)= 36 − 1 = 728
j=03 − 1 2
Ejemplo 35. Obtener
Solucion:
P100
100X k2
k=50
49 100k=1 k
2 = P
=1 k2 +
P=50 k
2 entonces despe-jamos:
P100 100 49k=50 k
2 = P
=1 k2 −
P=1 k
2
seg´un la tabla Pn
k2 = n(n+1)(2n+1)
P100k=50
100·101·2016
−49·50·996 =338.350 -40.425=297.925
Ejemplo 36. Aplique la propiedad telescopica para calcular:
nX(2k − 1)
k=1
Sea 2k − 1 = k2 − (k − 1)2 entonces obtenemos
Pn k=1(k2 − (k − 1)2) = n2
Q8
Q4
Q10
3.6 Productorias. El producto de am, am+1, · · · , anse representa por:
nY aj
j=m
Ejemplo 37. Cu´al es el valor de estos productos
i=0 i = 0
i=5 i = 5 · 6 · 7 · 8 = 1680Ejemplo 38. Cu´al es el valor de estos productos
i=0 j! = 1 · 2 · 6 · 24 = 288
4. INDUCCION MATEMATICA.
Es una t´ecnica de demostracion que se utiliza para demostrar muchos teoremas que afirman que P (n) es verdadera para todos los enteros positivos n. La induccion matem´atica se usa para demostrar proposiciones de la forma ∀nP (n), donde el do- minio es el conjunto de los enteros positivos.
Una demostracio´n por induccion de que P (n) es verdadera para todo n ∈ Z+ consiste en dos pasos:
PASO BASE: Se muestra que la proposicion P(1) es verdadera.
PASO INDUCTIVO: se muestra que la implicacionP (k) → P (k + 1) es verdadera para todo enteropositivo k.
La sentencia P (k) para un entero positivo fijo kse denomina la hipotesis de inducci´on.
2
2
n(n+1)
2
La induccion matem´atica expresada como regla de inferencia:
[P (1) ∧ ∀k(P (k) → P (k + 1))] → ∀nP (n)
En pocas palabras solo se muestra que si se supone que P (k) es verdadera, entonces P (k + 1) es tam- bi´en verdadera.
Ejemplo 39. Demostrar por induccion que la suma de los n primeros enteros positivos para n ≥ 1 es
2 es decir:
1 + 2 + 3 + · · · + n = n(n+1)
Sea P (n) : el predicado 1 + 2 + 3 + · · · + n = n(n+1)
para n ≥ 1
PASO BASE: Se muestra que P (1) es verdadera. entoncesP (1): 1 = 1(1+1) lo cu´al es verdadera.
PASO INDUCTIVO: Se debe demostrar que si P (k) es verdadera entonces P (k + 1) para k ≥ 1
Sea P (k) : (hipotesis de induccion)
k(k + 1)1 + 2 + 3 + · · · + k =
2
Ahora hay que demostrar la verdad de P (k + 1) : (tesis de induccion)
1 + 2 + 3 + · · · + (k + 1) =
(k + 1)(k + 2)
2
Entonces comienza la demostracion tomando la hipotesis:
1 + 2 + 3 + · · · + k =
k(k + 1)
2
se suma (k + 1) en ambos miembros:
k(k + 1)1 + 2 + 3 + · · · + k + (k + 1) =
+ (k + 1)
2
1 + 2 + 3 + · · · + k + (k + 1) =
k(k + 1) + 2(k + 1)
2factorizando (k + 1) nos queda:
1 + 2 + 3 + · · · + k + (k + 1) =
(k + 1)(k + 2)
2Por tanto como se demostr´o la tesis de induccion, entonces P (n) es verdadero para todos los valores n ≥ 1.
Ejemplo 40. Demostrar por induccion para n ≥ 1 que:
1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1)
= n2
PASO BASICO: sea P (1)
1 = 12
PASO INDUCTIVO: Se debe demostrar que si P (k) es verdadera entonces P (k + 1) para k ≥ 1 Sea P (k) : (hipotesis de induccion)
1 + 2 + 3 + · · · + (2k − 1)
= k2
Ahora hay que demostrar la verdad de P (k + 1) : (tesis de induccion)
1 + 2 + 3 + · · · + (2k − 1) + (2k + 1) = (k +
1)2
Entonces comienza la demostraci´on tomando la hipotesis:
1 + 2 + 3 + · · · + (2k − 1)
= k2
se suma (k + 1) en ambos miembros:
1 + 2 + 3 + · · · + (2k − 1) + (2k + 1) = k2 + (2k + 1)
1 + 2 + 3 + · · · + (2k − 1) + (2k + 1) = k2 + 2k + 1
1 + 2 + 3 + · · · + (2k − 1) + (2k + 1) = (k
+ 1)2
Entonces queda demostrada la tesis de induccion, por tanto para n ≥ 1 P (n) es verdadera.
Ejemplo 41. Demostrar por induccion la desigualdad:n < 2n para n ≥ 1
Sea P (n) : es la proposicion n < 2n
1) PASO BA´ SICO: P (1) es verdadera, dado
que1 < 21 = 2
2) PASO INDUCTIVO: Suponemos que P (k) es verdadero y demostramos que P (k + 1) tambi´en lo es.
P (k): k < 2k para k ≥ 1P (k + 1): k + 1 < 2k+1 para n ≥ 1
k < 2k
sumamos 1 a ambos lados:
k + 1 < 2k + 1
k + 1 < 2k + 1 ≤ 2k + 2k = 2 · 2k =
2k+1
Por tanto
k + 1 < 2k+1
Ejemplo 42. (Ejercicio propuesto) Demostrar por induccion que:1 + 2 + 22 + · · · + 2n = 2n+1 − 1 para n ≥ 0
4.1 Invariante de ciclo
Es una t´ecnica para demostrar que los ciclos y programas hacen lo que se afirma que hacen.
Hacen parte de la teor´ıa de la verificacion de algoritmos.
Es una relacion entre variables que persiste a trav´es de todas las iteraciones del ciclo.
Ejemplo 43. Consideremos el siguiente codigo:
FUNCTION CUAD (A)1. C ← 02. D ← 03. WHILE (D = A)a. C ← C + Ab. D ← D + 14. RETURN(C)Este ciclo calcula el cuadrado del numero A es de- cir C = A2
Pasos:
1. Encontramos la invariante de ciclo que rela- cione algunas de las variables, para ello se debe realizar la prueba de escritorio.
2. La invariante nada tiene que ver con la salida.
3. Demostramos por induccion matem´atica la invariante de ciclo encontrada. La invariante de ciclo ser´a la proposicion P (n)
Hay so´lo tres variables de las cuales A se com- porta como constante, C y D como variables a trav´es de la prueba de escritorio.
La invariante de ciclo es la proposicionP (n) : Cn = A × Dn para n ≥ 0
Ahora la demostramos por induccion:
PASO BA´ SICO: Sea P (0) entonces C0 = A × D0,
0 = A × 0 por tanto se cumple.
PASO INDUCTIVO:
P (k) : Ck = A × Dk (Hipotesis) (1)P (k + 1) : Ck+1 = A × Dk+1 (Tesis) (2)
Ck+1 = Ck + A= A × Dk + A usando (1) para reemplazar en Ck
= A × (Dk + 1) Factorizando= A × Dk+1 segundo miembro de P(k+1)
y por tanto queda demostrado que P (n) : Cn =A × Dn para n ≥ 0
Ejemplo 44. Para la siguiente rutina, encontrar la invariante de ciclo y demostrarla por induccion.
RUTINA exp(N,M:R)1. R ← 12. K ← 2M3. WHILE (k > 0)a. R ← R × Nb. K ← K − 14. RETURNCALCULA: R = N 2M
La invariante de ciclo es la proposicionP (n) : Rn × N kn = N 2M
PASO BA´ SICO: P (0) : R0 × N k0 = N 2M , 1 × N 2M =
N 2M
entonces N 2M = N 2M por tanto se cumple P (0)
PASO INDUCTIVO:
P (s) : Rs × N ks = N 2M (Hipotesis)P (s + 1) : Rs+1 × N ks+1 = N 2M (Tesis)
Rs+1 × Nks+1 =
=
Rs × N Rs × N
× N ks+1 reemplazando 3.a
× N ks −1 reemplazando 3.b= Rs × N × N ks × N −1 usando
´algebra= Rs × Nks × N × N −1 agrupando= Rs × Nks
= N 2M usando la hip´otesis
Por tanto queda demostrado que Rs+1 × N ks+1 =N 2M
5. DEFINICIONES RECURSIVAS.
A veces es d´ıficil definir objetos de forma ex- pl´ıcita y sin embargo, puede resultar sencillo definirlos en t´erminos de ellos mismos, este proceso se llama recursion.
Podemos utilizar la recursion para definir suce- siones, funciones y conjuntos.
Podemos demostrar resultados sobre conjun- tos definidos recursivamente empleando el m´eto- do de induccion estructural.
Utilizamos dos pasos para definir una funcion recursivamente bajo el dominio de los enteros
no negativos.
1. PASO BASE: Se especifica el valor de la funcion en cero.
2. PASO RECURSIVO: Se proporciona una regla para obtener su valor en un entero a partir de sus valores en enteros m´as pequenos.
Ejemplo 45. Supongamos que f se define recursi-vamente como sigue:
f (0)f (n + 1)
==
32f (n) + 3Entonces:
f (1) = 2f (0) + 3 = 2,3 + 3 = 9f (2) = 2f (1) + 3 = 2,9 + 3 = 21f (3) = 2f (2) + 3 = 2,21 + 3 = 45f (4) = 2f (3) + 3 = 2,45 + 3 = 93
Ejemplo 46. Una definicion recursiva de la funcion factorial f (n) = n!
Primero se especifica un valor para f (0) y encon- tramos una regla para calcular f (n + 1) en funci´on de f (n).
f (0) = 1f (n + 1) = (n + 1)f
(n)Calculemos f (4)
f (4) = 4 · f (3) = 4 · 3f (2) = 4 · 3 · 2 · f (1) =4 · 3 · 2 · 1 · f (0) = 4 · 3 · 2 · 1 · 1 = 24
podemos tami´en obtener un codigo simple para la funcion factorial:
Funci´on factorial (n:entero positivo)If n=1 thenFactorial(n):=1ElseFactorial(n):= n*factorial(n-1)End funcion.
Factorial (3)=3*factorial(2)=3*2*factorial(1)=3*2*1=6
Ejemplo 47. Una definicion recursiva de:
nX ak
k=0
0X ak = a0
k=0
n+1 nX ak = (
X ak ) + an+1
k=0 k=0
Definici´on 1. Los n´umeros de Fibonnacci, f0, f1, . . . ,se definen a partir de las ecuaciones f0 = 0, f1 = 1y
fn = fn−1 + fn−2
para n = 2, 3, 4, . . .
Ejemplo 48. Los numeros de fibonacci, f0,f1,f2
son definidos para n=2,3,4 son:f2=f1+f0=1+0=1
f3=f2+f1=1+1=2, f4=f3+f2=2+1=3, f5=f4+f3=3+2=5, f6=f5+f4=5+3=8,
funci´on fibonacci (n:entero positivo)if n=0 thenfibonacci(0):=0elseif n=1 thenfibonnaci(1):=1elsefibonacci(n):=fibonacci(n-1)+ fibonacci (n-2)end fibonacci
Ejemplo 49. Un algoritmo recursivo para calcular el m´aximo comun divisor de dos enteros no nega- tivos a y b, donde a < b.
procedure mcd (a,b)si a=0 entonces mcd (a,b)=b elsemcd(a,b):=mcd (b mod a,a)end mcd
Ejemplo 50. (Funci´on de Ackermann)
A(m, n) =
2n si m = 00 si m ≥ 1 y n = 02 si m ≥ 1 y n = 1A(m − 1, A(m, n − 1)) si m ≥ 1 y n ≥ 2
1. Obtener A(1, 0), como m = 1 y n = 0 en- tonces A(1, 0) = 0 se aplica el segundo crite- rio de la funcio´n.
2. Obtener A(1, 1), como m = 1 y n = 1 en- tonces A(1, 1) = 2 se aplica el tercer criterio de la funcion.
3. Obtener A(0, 1), como m = 0 y n = 1 en- tonces A(0, 1) = 2(1) = 2 se aplica el primer criterio de la funcion.
4. Obtener A(2, 2). Aplicando el cuarto crite- rio nos queda otra recursividad A(1, A(2, 1)), ahora A(2, 1) = 2 por tercer criterio, por tan- to tenemos que calcular A(1, 2). Por el cuar- to criterio A(0, A(1, 1)), donde A(1, 1) = 2 reemplazando nos queda A(0, 2) por el primer criterio A(0, 2) = 4 por tanto A(2, 2) = 4
5. Obtener A(2, 3). Usamos el cuarto criterio A(2, 3) = A(1, A(2, 2)) ahora A(2, 2) = 4 es decir que tenemos que calcular A(1, 4) por que A(2, 3) = A(1, 4) lo podemos hacer de dos formas:
a) Aplicando la siguiente formula A(1, n) =2n si n ≥ 1, entonces A(1, 4) = 24 = 16 por tanto A(2, 3) = 16
b) Ahora sin usar formulas, solo con recur- sividad. A(1, 4) aplicamos el cuarto crite-
rio A(1, 4) = A(0, A(1, 3))ahora calculamos A(1, 3) = A(0, A(1, 2))
ahora calculamos A(1, 2) = A(0, A(1, 1)) como A(1, 1) = 2 aplicando el tercer cri- terio.A(1, 2) = A(0, 2) = 4 por el primer crite- rio, entonces A(1, 2) = 4ahora reemplazamos A(1, 3) = A(0, A(1, 2)) = A(0, 4) = 8 aplicando el primer criterio, entonces A(1, 3) = 8retomamos A(1, 4) = A(0, A(1, 3)) = A(0, 8) =16 por el primer criterio. POR TANTOA(2, 3) = 16
5.1 Conjuntos y estructuras bien definidas.Las definiciones recursivas de un conjunto tienendos partes:
1. Paso base. Coleccion inicial de elementos.
2. Paso recursivo. Reglas para la formacion de nuevos elementos del conjunto a partir de los que ya se conocen.
Definici´on 2. El conjunto Σ∗ de cadenas sobre el alfabeto Σ se puede definir recursivamente por:
Paso base. λ ∈ Σ∗, donde λ es la cadena vac´ıa, aquella que no tiene s´ımbolos.
Paso recursivo. Si w ∈ Σ∗ y x ∈ Σ∗, entonceswx ∈ Σ∗
Ejemplo 51. Sea Σ = {0, 1} las cadenas del con- junto Σ∗, el conjunto de todas las cadenas de bits.
Paso base. lo constituye la cadena vac´ıa λPaso recursivo. 0 y 1 cadenas que se forman re-cursivamente por primera vez, 00, 01, 10 y 11cadenas que se forman al aplicar el paso recursivo por segunda vez.
Definici´on 3. Dos cadenas se pueden combinar mediante la operacion de la concatenacion. Sea Σ un conjunto de s´ımbolos y Σ∗ el conjunto de las cadenas formadas a partir de s´ımbolos de Σ. Podemos definir recursivamente la concatenacion de dos cadenas, denotada con el s´ımbolo · como sigue:
Paso base. Si w ∈ Σ∗, entonces w · λ = w, donde λes la cadena vac´ıa.Paso recursivo. Si w1 ∈ Σ∗, w2 ∈ Σ∗ y x ∈ Σ, en-tonces w1 · (w2x) = (w1 · w2)x
Ejemplo 52. Formulas bien formadas en logica proposi- cional. Podemos definir el onjunto de formulas bi-en formadas con variables proposicionales y oper-
adores lo´gicos, adem´as de los valores V y F.
Paso base.{V, F} y p, donde p es una variable proposi- cional.Paso recursivo. Si E y F son formulas bien for- madas, entonces (v E), (E ∧ F ), (E ∨ F ), (E →F ), (E ↔ F ) son formulas bien formadas.
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