UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
DE LOS LLANOS OCCIDENTALES “EZEQUIEL ZAMORA”
VICERRECTORADO DE INFRAESTRUCTURAS
Y PROCESOS INDUSTRIALES
Prof.: Ing. Eulicer Linares Fdez RIF: V-17.593.813-0
C.I.V: 211.298
UNELLEZ
PROGRAMA DE INGENIERÍA, ARQUITECTURA
Y TECNOLOGÍA
RESPUESTA DEL PARCIAL II
SECCIÓN #01
y
2m
2m
3.5m x
𝑦 = ℎ 𝑥
𝑏
2
50cm
SUELO
SUELO
3.5m 6.5m
y
𝑟 = 2𝑦 − ℎ
r x
y
h
z
dy
MECÁNICA RACIONAL UNIDAD II (VALOR 15 %)
EQUILIBRIO DE CUERPOS RÍGIDOS
(CENTROS DE GRAVEDAD)
1.- Un Cajón en Concreto se construye como
Drenaje Hidráulico, en el que pasa una tubería
redonda donde fluye libremente el agua de
escorrentía. Se requiere hallar el Centro de Gravedad
del Cajón de Concreto, considerando las condiciones
dada en la figura Valor (40ptos).
2.- Un Cilindro cuyas dimensiones se muestran en
la figura, se necesita hallar por integración el
centroide en su eje (y) del área arbitraria.
Valor (60ptos)
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
DE LOS LLANOS OCCIDENTALES “EZEQUIEL ZAMORA”
VICERRECTORADO DE INFRAESTRUCTURAS
Y PROCESOS INDUSTRIALES
Prof.: Ing. Eulicer Linares Fdez RIF: V-17.593.813-0
C.I.V: 211.298
UNELLEZ
PROGRAMA DE INGENIERÍA, ARQUITECTURA
Y TECNOLOGÍA
SOLUCIÓN:
Ejercicio #01
- Hallamos el centroide de cada figura según su eje cartesiano.
y Área de la Figura(Cajón de Concreto)
𝐴1 = 𝑏2 2𝑚 2 ; A1 = 𝟒𝒎𝟐
2m Ejes Centroidales (Tablas)
𝑥 = 𝑏
2 ; 2𝑚
2 𝒙 = 𝟏𝒎
x
𝑦 = ℎ
2 ; 2𝑚
2 𝒚 = 𝟏𝒎
2m
y Área de la Figura(Cajón de Concreto)
x 𝐴2 = 𝑏𝑥ℎ 10𝑚 . (2𝑚 ) ; A2 = 𝟐𝟎𝒎𝟐
2m Ejes Centroidales (Tablas)
𝑥 = 𝑏
2 ; 10𝑚
2 𝑥 = 5𝑚 𝒙 = 𝟑. 𝟓𝒎
1.5m 8.5m 𝑦 = ℎ
2 ; 2𝑚
2 𝑦 = 1𝑚 𝒚 = −𝟏𝒎
10m
ÁREAS VACÍAS DEL CUERPO RÍGIDO
y Área de la Figura(Sección triangular)
x 𝐴3 = 1
2𝑏𝑥ℎ 1
2 1.5𝑚 . (1.5𝑚 ) ; A3 = −𝟏. 𝟏𝟑𝒎
𝟐
1.5m Ejes Centroidales (Tablas)
𝑥 = 2𝑏
3 ; 2 (1.5𝑚 )
3 𝑥 = 1𝑚 𝒙 = −𝟏𝒎
1.5m 𝑦 = 1ℎ
3 ; 1.5𝑚
3 𝑦 = 0.5𝑚 𝒚 = −𝟎. 𝟓𝒎
A1
A2
A3
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
DE LOS LLANOS OCCIDENTALES “EZEQUIEL ZAMORA”
VICERRECTORADO DE INFRAESTRUCTURAS
Y PROCESOS INDUSTRIALES
Prof.: Ing. Eulicer Linares Fdez RIF: V-17.593.813-0
C.I.V: 211.298
UNELLEZ
PROGRAMA DE INGENIERÍA, ARQUITECTURA
Y TECNOLOGÍA
El agua fluye libremente, lo que determina que la tubería redonda es hueca (vacía)
y Área de la Figura(Tubería Redonda)
𝐴4 = 𝜋𝑥𝑟2 𝜋 . (1𝑚 )2 ; A4 = −𝟑. 𝟏𝟒𝒎𝟐
Ejes Centroidales (Tablas)
𝑥 = 𝑟 ; 𝑥 = 1𝑚 𝒙 = 𝟏𝒎
𝑦 = 𝑟 ; 𝑦 = 1𝑚 𝒚 = −𝟏𝒎
Para el área de sección parabólica 𝒚 = 𝒉 𝒙
𝒃 𝟐
, dada la ecuación que la identifica, se puede tomar en cuenta dos
criterios de resolución:
a- Considerar Media Parabólica complementaria (Área en Concreto).
b- o Media Parábola (Área vacía)
y 6.5m Área de la Figura(Media Parábola)
𝐴5 = 2
3𝑏𝑥ℎ 2
3 6.5𝑚 . (1.5𝑚 ) ; A5 = −𝟔. 𝟓𝟎𝒎
𝟐
A5 1.5m
2m Ejes Centroidales (Tablas)
𝑥 = 3𝑏
8 ; 3 (6.5𝑚 )
8 𝑥 = 2.44𝑚 𝒙 = 𝟔. 𝟎𝟔𝒎
𝑦 = 3ℎ
5 ; 3 1.5𝑚
5 𝑦 = 0.90𝑚 𝒚 = −𝟎. 𝟔𝟎𝒎
Determinación del Centro de Gravedad del Cajón de Concreto
nº Área(m2) 𝒙 𝒚 𝒙 A 𝒚 A
1 4 1 1 4 4
2 20 3.50 -1 70 -20
3 -1.13 -1 -0.50 1.13 0.57
4 -3.14 1 -1 -3.14 3.14
5 -6.50 6.06 -0.60 -39.39 3.90
∑ 13.23 32.60 -8.40
𝒙 = 𝒙 .𝑨
𝑨 =
32.60𝑚3
13.23𝑚2 𝒙 = 𝟐. 𝟒𝟔𝒎
𝒚 = 𝒚 .𝑨
𝑨 =
−8.40𝑚3
13.23𝑚2 𝒚 = −𝟎. 𝟔𝟑𝒎
A4
r= 1m
40ptos
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
DE LOS LLANOS OCCIDENTALES “EZEQUIEL ZAMORA”
VICERRECTORADO DE INFRAESTRUCTURAS
Y PROCESOS INDUSTRIALES
Prof.: Ing. Eulicer Linares Fdez RIF: V-17.593.813-0
C.I.V: 211.298
UNELLEZ
PROGRAMA DE INGENIERÍA, ARQUITECTURA
Y TECNOLOGÍA
Ejercicio #02
Hallamos el centroide de la figura por integración.
El área arbitraria del elemento viene dada por una circunferencia, siendo un cilindro, por
tanto:
𝑨 = 𝝅. 𝒓𝟐
siendo 𝒓 = (𝟐𝒚 − 𝒉) según enunciado, tenemos que:
𝑨 = 𝜋. (2𝑦 − ℎ)2 ; resolviendo producto, se tiene:
𝑨 = 𝜋. 4𝑦2 − 4𝑦ℎ + ℎ2
Para hallar el centroide de la sección en el eje (y) por volumen, se requiere de la integración del
Área por el diferencial de volumen, entonces:
𝒗𝒐𝒍 = 𝒅𝑽 =
𝒗 𝐴. 𝑑𝑦
𝑣 ; si sustituimos por el valor del área, obtenemos:
𝐴. 𝑑𝑦 = 𝜋. 4𝑦2 − 4𝑦ℎ + ℎ2 𝑑𝑦 ℎ
0
𝑣
𝑣𝑜𝑙 = 𝜋 4𝑦2 − 4𝑦ℎ + ℎ2 𝑑𝑦 ℎ
0 integrando: 𝜋.
4𝑦3
3− 2𝑦2ℎ + ℎ2𝑦
ℎ0
evaluando:
𝜋. 4ℎ3
3− 2ℎ2ℎ + ℎ2ℎ ; 𝜋.
4ℎ3
3− 2ℎ3 + ℎ3 ; 𝜋. ℎ3
4
3− 2 + 1 ; 𝜋. ℎ3
1
3
vol = 𝝅.𝒉𝟑
𝟑
el momento de primer orden: 𝒚. 𝒅𝑽
𝒗
𝜋 𝑦. 4𝑦2 − 4𝑦ℎ + ℎ2 𝑑𝑦 ℎ
0 ; resolviendo 𝜋 4𝑦3 − 4𝑦2ℎ + 𝑦ℎ2 𝑑𝑦
ℎ
0; integrando:
𝜋. 𝑦4 −4𝑦3
3ℎ +
𝑦2
2ℎ2
ℎ0
evaluando: 𝜋. ℎ4 −4ℎ3
3ℎ +
ℎ2
2ℎ2 ; 𝜋. ℎ4 −
4ℎ4
3+
ℎ4
2
𝜋. ℎ4 1 −4
3+
1
2 ; 𝜋. ℎ4
1
6 =
𝝅.𝒉𝟒
𝟔
Aplicando la definición: 𝒚 = 𝒚.𝒅𝑽
𝒗
𝒅𝑽
𝒗
𝒚 = 𝜋 .ℎ4
6
𝜋 .ℎ3
3 simplificando:
3𝜋 .ℎ4
6𝜋 .ℎ3 = 1
2ℎ lo que determina que el centroide 𝒚 =
𝒉
𝟐
𝒚 = 𝒚
r
60ptos
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
DE LOS LLANOS OCCIDENTALES “EZEQUIEL ZAMORA”
VICERRECTORADO DE INFRAESTRUCTURAS
Y PROCESOS INDUSTRIALES
Prof.: Ing. Eulicer Linares Fdez RIF: V-17.593.813-0
C.I.V: 211.298
UNELLEZ
PROGRAMA DE INGENIERÍA, ARQUITECTURA
Y TECNOLOGÍA
RESPUESTA DEL PARCIAL II
SECCIÓN #02
y
2m
2m
3.5m x
𝑦 = ℎ 𝑥
𝑏
2
50cm
SUELO
SUELO
3.5m 6.5m
y
𝑟 = 𝐿 − 2𝑥 r dx
b x
z L
MECÁNICA RACIONAL UNIDAD II (VALOR 15 %)
EQUILIBRIO DE CUERPOS RÍGIDOS
(CENTROS DE GRAVEDAD)
1.- Un Cajón en Concreto se construye como
Drenaje Hidráulico, en el que pasa una tubería
redonda donde fluye libremente el agua de
escorrentía. Se requiere hallar el Centro de Gravedad
del Cajón de Concreto, considerando las condiciones
dada en la figura Valor (40ptos).
2.- Un Cilindro cuyas dimensiones se muestran en
la figura, se necesita hallar por integración el
centroide en su eje (x) del área arbitraria.
Valor (60ptos)
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
DE LOS LLANOS OCCIDENTALES “EZEQUIEL ZAMORA”
VICERRECTORADO DE INFRAESTRUCTURAS
Y PROCESOS INDUSTRIALES
Prof.: Ing. Eulicer Linares Fdez RIF: V-17.593.813-0
C.I.V: 211.298
UNELLEZ
PROGRAMA DE INGENIERÍA, ARQUITECTURA
Y TECNOLOGÍA
SOLUCIÓN:
Ejercicio #01
- Hallamos el centroide de cada figura según su eje cartesiano.
y Área de la Figura(Cajón de Concreto)
𝐴1 = 𝑏2 2𝑚 2 ; A1 = 𝟒𝒎𝟐
2m Ejes Centroidales (Tablas)
𝑥 = 𝑏
2 ; 2𝑚
2 𝒙 = −𝟏𝒎
x 𝑦 = ℎ
2 ; 2𝑚
2 𝒚 = 𝟏𝒎
2m
y Área de la Figura(Cajón de Concreto)
x 𝐴2 = 𝑏𝑥ℎ 10𝑚 . (2𝑚 ) ; A2 = 𝟐𝟎𝒎𝟐
2m Ejes Centroidales (Tablas)
𝑥 = 𝑏
2 ; 10𝑚
2 𝑥 = 5𝑚 𝒙 = 𝟏. 𝟓𝒎
3.5m 6.5m 𝑦 = ℎ
2 ; 2𝑚
2 𝑦 = 1𝑚 𝒚 = −𝟏𝒎
10m
ÁREAS VACÍAS DEL CUERPO RÍGIDO
y Área de la Figura(Sección triangular)
x 𝐴3 = 1
2𝑏𝑥ℎ 1
2 1.5𝑚 . (1.5𝑚 ) ; A3 = −𝟏. 𝟏𝟑𝒎
𝟐
1.5m Ejes Centroidales (Tablas)
𝑥 = 2𝑏
3 ; 2 (1.5𝑚 )
3 𝑥 = 1𝑚 𝒙 = −𝟑𝒎
1.5m 2m 𝑦 = 1ℎ
3 ; 1.5𝑚
3 𝑦 = 0.5𝑚 𝒚 = −𝟎. 𝟓𝒎
A1
A2
A3
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
DE LOS LLANOS OCCIDENTALES “EZEQUIEL ZAMORA”
VICERRECTORADO DE INFRAESTRUCTURAS
Y PROCESOS INDUSTRIALES
Prof.: Ing. Eulicer Linares Fdez RIF: V-17.593.813-0
C.I.V: 211.298
UNELLEZ
PROGRAMA DE INGENIERÍA, ARQUITECTURA
Y TECNOLOGÍA
El agua fluye libremente, lo que determina que la tubería redonda es hueca (vacía)
y Área de la Figura(Tubería Redonda)
x 𝐴4 = 𝜋. 𝑟2 𝜋 . (1𝑚 )2 ; A4 = −𝟑. 𝟏𝟒𝒎𝟐
Ejes Centroidales (Tablas)
𝑥 = 𝑟 ; 𝑥 = 1𝑚 𝒙 = −𝟏𝒎
𝑦 = 𝑟 ; 𝑦 = 1𝑚 𝒚 = −𝟏𝒎
Para el área de sección parabólica 𝒚 = 𝒉 𝒙
𝒃 𝟐
, dada la ecuación que la identifica, se puede tomar en cuenta dos
criterios de resolución:
c- Considerar Media Parabólica complementaria (Área en Concreto).
d- o Media Parábola (Área vacía)
y 6.5m Área de la Figura(Media Parábola)
𝐴5 = 2
3𝑏𝑥ℎ 2
3 6.5𝑚 . (1.5𝑚 ) ; A5 = −𝟔. 𝟓𝟎𝒎
𝟐
A5 1.5m
Ejes Centroidales (Tablas)
𝑥 = 3𝑏
8 ; 3 (6.5𝑚 )
8 𝑥 = 2.44𝑚 𝒙 = 𝟒. 𝟎𝟔𝒎
𝑦 = 3ℎ
5 ; 3 1.5𝑚
5 𝑦 = 0.90𝑚 𝒚 = −𝟎. 𝟔𝟎𝒎
Determinación del Centro de Gravedad del Cajón de Concreto
nº Área(m2) 𝒙 𝒚 𝒙 A 𝒚 A
1 4 -1 1 4 4
2 20 1.50 -1 70 -20
3 -1.13 -3 -0.50 1.13 0.57
4 -3.14 -1 -1 -3.14 3.14
5 -6.50 4.06 -0.60 -39.39 3.90
∑ 13.23 6.14 -8.40
𝒙 = 𝒙 .𝑨
𝑨 =
6.14𝑚3
13.23𝑚2 𝒙 = 𝟎. 𝟒𝟔𝒎
𝒚 = 𝒚 .𝑨
𝑨 =
−8.40𝑚3
13.23𝑚2 𝒚 = −𝟎. 𝟔𝟑𝒎
A4
r= 1m
40ptos
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
DE LOS LLANOS OCCIDENTALES “EZEQUIEL ZAMORA”
VICERRECTORADO DE INFRAESTRUCTURAS
Y PROCESOS INDUSTRIALES
Prof.: Ing. Eulicer Linares Fdez RIF: V-17.593.813-0
C.I.V: 211.298
UNELLEZ
PROGRAMA DE INGENIERÍA, ARQUITECTURA
Y TECNOLOGÍA
Ejercicio #02
Hallamos el centroide de la figura por integración.
El área arbitraria del elemento viene dada por una circunferencia, siendo un cilindro, por
tanto:
𝑨 = 𝝅. 𝒓𝟐
siendo 𝒓 = (𝑳 − 𝟐𝒙) según enunciado, tenemos que:
𝑨 = 𝜋. (𝐿 − 2𝑥)2 ; resolviendo producto, se tiene:
𝑨 = 𝜋. 𝐿2 − 4𝐿𝑥 + 4𝑥2
Para hallar el centroide de la sección en el eje (x) por volumen, se requiere de la integración del
Área por el diferencial de volumen, entonces:
𝒗𝒐𝒍 = 𝒅𝑽 =
𝒗 𝐴. 𝑑𝑥
𝑣 ; si sustituimos por el valor del área, obtenemos:
𝐴. 𝑑𝑥 = 𝜋. 𝐿2 − 4𝐿𝑥 + 4𝑥2 𝑑𝑥 𝐿
0
𝑣
𝑣𝑜𝑙 = 𝜋 𝐿2 − 4𝐿𝑥 + 4𝑥2 𝑑𝑥 ℎ
0 integrando: 𝜋. 𝑥𝐿2 − 2𝐿𝑥2 +
4𝑥
3
3
𝐿0
evaluando:
𝜋. 𝐿. 𝐿2 − 2𝐿(𝐿)2 +4.𝐿
3
3 ; 𝜋. 𝐿3 − 2𝐿3 +
4.𝐿
3
3 ; 𝜋. 𝐿3 1 − 2 +
4
3 ; 𝜋. 𝐿3
1
3
vol = 𝝅.𝑳𝟑
𝟑
el momento de primer orden: 𝒚. 𝒅𝑽
𝒗
𝜋 𝑥. 𝐿2 − 4𝐿𝑥 + 4𝑥2 𝑑𝑥 𝐿
0 ; resolviendo 𝜋 𝑥𝐿2 − 4𝐿𝑥2 + 4𝑥3 𝑑𝑥
ℎ
0; integrando:
𝜋. 𝑥2𝐿2
2−
4𝑥3
3𝐿 + 𝑥4
𝐿0
evaluando: 𝜋. 𝐿2𝐿2
2−
4𝐿3
3𝐿 + 𝐿4 ; 𝜋.
𝐿4
2−
4𝐿4
3+ 𝐿4
𝜋. 𝐿4 1
2−
4
3+ 1 ; 𝜋. 𝐿4
1
6 =
𝝅.𝑳𝟒
𝟔
Aplicando la definición: 𝒙 = 𝒙.𝒅𝑽
𝒗
𝒅𝑽
𝒗
𝒙 = 𝜋 .𝐿4
6
𝜋 .𝐿3
3 simplificando:
3𝜋 .𝐿4
6𝜋 .𝐿3 = 1
2𝐿 lo que determina que el centroide 𝒙 =
𝑳
𝟐
o 𝒙 = 𝒃
r
60ptos
Top Related