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Intro Vuelo Sim-PV
Mecánica del VueloTema 3: Actuaciones de Punto
Damián Rivas Rivas y Sergio Esteban Roncero
Departamento de Ingeniería AeroespacialEscuela Técnica Superior de Ingeniería, Universidad de Sevilla
Curso 2013-2014
Rivas & Esteban MVI
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Intro Vuelo Sim-PV
Outline
1 Introducción
2 Vuelo Simétrico en el Plano Vertical
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Intro Vuelo Sim-PV
Outline
1 Introducción
2 Vuelo Simétrico en el Plano Vertical
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Intro Vuelo Sim-PV
Introduction
Actuaciones de punto: problema ⇒ cuasiestacionario:Se desprecian:
Términos de aceleración:(
V , γ)
6= V = cte. and γ = cte.
Otros términos dependiendo del movimiento considerado.
Las actuaciones de punto que se estudiarán (movimientos):Vuelo simétrico en un plano vertical:
Vuelo horizontal.Vuelo de subida.Vuelo de planeo.
Se considera vuelo simétrico.
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PV Vuelo Hor.
Outline
1 Introducción
2 Vuelo Simétrico en el Plano VerticalIntroducción Vuelo Simétrico en el Plano VerticalVuelo Horizontal
Rivas & Esteban MVI
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PV Vuelo Hor.
Introducción Vuelo Simétrico en el Plano Vertical
Hipótesis simplificativas:
Se desprecian las aceleraciones(
V y γ
)
Ángulo de ataque del empuje ε = 0
Ecs. cinemáticas⇒{
x = V cos γh = V sin γ
⇒ No se usan
Ec. de la variación de la masa ⇒ W = −cE T
Ecs. dinámicas⇒{
T − D −W sin γ = 0L−W cos γ = 0 ⇒
T ≡ T (h,V , π)D ≡ D(h,V , L)L ≡ L(h,V , α)
Tomando L como variable de control no se necesita α
T (h,V , π)− D(h,V , L)−W sin γ = 0
L−W cos γ = 0
6 variables h,V , π, L,W , γ, y 2 ecuaciones:
habitual fijar⇒ h,V ,W , π ⇒ determinar{
γ = γ (h,V ,W , π)L = L (h,V ,W , π)
← caso particular
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PV Vuelo Hor.
Vuelo Horizontal - I
Vuelo horizontal ⇒ También denominado vuelo a nivel.Caso particular del vuelo simétrico en un plano vertical h = cte
h = cte ⇒ γ = 0
Ecs. dinámicas⇒{
T − D = 0L−W = 0
dependencias⇒
funcionales
T (h,V , π)− D(h,V , L) = 0
L−W = 0
sustituyendo⇒ L = W ⇒ T (h,V , π)− D(h,V ,W ) = 0
4 variables h,V , π,W , y 1 ecuación:
habitual fijar⇒ h,W , π ⇒ determinar V = V (h,W , π)
L = W ⇒1
2ρSV 2CL = W ⇒
{
ρ(h)V (h,W , π)
⇒ α⇒ para V deseada
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PV Vuelo Hor.
Vuelo Horizontal - II
Con h,W , π fijos ⇒ T y D son funciones de VPara turborreactor subsónico se tienen 2 posibles velocidadesde vuelo
V1 ⇒ V grande ⇒ α pequeñoV2 ⇒ V pequeña ⇒ α grande (problemas de entrada en pérdida)
En la práctica se vuela con V1
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PV Vuelo Hor.
Diagrama Altura-Velocidad (h − V ) - I
Fijando W y π para cada altitud ⇒ 2 velocidades de vuelo.Repitiendo para distintas altitudes ⇒ obtener el diagrama dealtura-velocidad
Fig: Envolvente de vuelo
Techo teórico: altitud máxima a la que es posible el vuelohorizontal rectilineo uniforme
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PV Vuelo Hor.
Diagrama Altura-Velocidad (h − V ) - II
Techo teórico: altitud máxima a la que es posible el vuelohorizontal rectilineo uniforme.
Análisis del techo teórico con las curvas T − D:V1 y V2 son intersecciones de las curvas T − D en funcion de V .El techo teórico ⇒ T (V ) y D(V ) son tangentes.
Habitual para muchos aviones:La velocidad máxima (Vmax ) se encuentra en la tropopausa.El techo teórico se encuentra en la estratosfera.
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PV Vuelo Hor.
Resolución Analítica: Avión Polar Parabólica Coeficientes Ctes. - I
Modelo ISJ (Ideal Subsonic Jet)
Resolución Analítica ⇒ avión ⇒ CD = CD0 + kC2L cte.
CD = CD0+ kC2
LD = 1/2ρV 2SCDL = 1/2ρV 2SCL
⇒ D =1
2ρV 2SCD0
+ k2L2
ρV 2S
Como ρ = ρ(h) es evidente la dependencia D(h,V , L).
Para el modelo aerodinámico se considera:
dado L = W ⇒1
2ρV 2SCD0
+ k2W 2
ρV 2S≡ D (h,V ,W )
Para el modelo del empuje se consideran las condiciones en latropopausa (T ∗, ρ∗): el superíndice ∗ indica condiciones enTropopausa:
T = T∗(π)
(
ρ
ρ∗
)x
⇒
{
x = 0, 7⇒ en la troposferax = 1⇒ en la estratosfera
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Resolución Analítica: Avión Polar Parabólica Coeficientes Ctes. - II
Se define variables adimensionales: Eficiencia aerodinámica (E)usando polar parabólica coef. ctes.
E =L
D=
CL
CD=
CL
CD0+ kC2
L
E es una función CL luego existirá un CLopt ⇒ E(CLopt ) = Emax
Cálculo de CLopt y Emax :
dE
dCL= 0⇒
1
CD0+ kC2
L
−2kC2
Lopt
CD0+ kC2
Lopt
= 0
CD0+ kC2
Lopt+ 2kC2
Lopt= 0⇒
CLopt=
√
CD0
k
Emax =1
2√
CD0k
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PV Vuelo Hor.
Resolución Analítica: Avión Polar Parabólica Coeficientes Ctes. - III
La velocidad de referencia VR se define como: VR es la V a laque se obtiene CLopt :
L = W ⇒1
2ρV 2
RSCLopt= W ⇒ VR =
√
2W
ρS
√
1
CLopt
⇒ VR =
√
2W
ρS
(
k
CD0
)1/4
El empuje de referencia se define utilizando las 2 Ec. Dinámicas:
T = DL = W
}
⇒ E =L
D=
W
T⇒ T =
W
E
Definiendo TR como el empuje que se obtiene cuando la eficienciaaerodinámica es máxima (Emax)
TR =W
Emax
Esto implica que para un peso dado, el empuje de referencia TR es elempuje mínimo para un vuelo horizontal rectilíneo y uniforme
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Resolución Analítica: Avión Polar Parabólica Coeficientes Ctes. - IV
VR y TR son las variables de referencia que se emplearán paraadimensionalizar:
u = VVR
z = TTR
}
⇒ u =V
VR⇒ D =
1
2ρu2V 2
RSCD0+ k
2W 2
ρu2V 2RS
Empleando la velocidad de Referencia VR :
VR =
√
2W
ρS
(
k
CD0
)1/4
⇒ D = u2W√
kCD0+
W
u2
√
kCD0⇒ D =
W
2Emax
(
u2 +1
u2
)
Imponiendo la ecuación dinámica T − D = 0:
T − D = 0⇒ z =T
TR⇒ zTR −
W
Emax
1
2
(
u2 +1
u2
)
Ecuación del Vuelo Horizontal Rectilíneo UniformeAdimensionalizada (VH-RU-A):
TR =W
Emax⇒ zTR −
W
Emax
1
2
(
u2 +1
u2
)
= 0⇒ z =1
2
(
u2 +1
u2
)
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Resolución Analítica: Avión Polar Parabólica Coeficientes Ctes. - VI
Operando la ecuación VH-RU-A:
z =1
2
(
u2 +1
u2
)
⇒ u4 − 2zu2 + 1 = 0⇒ u =
√
z ±√
z2 − 1
Resolviendo por u:
u =
√
z ±√
z2 − 1⇒
u1 =
√
z +√
z2 − 1
u2 =
√
z −√
z2 − 1⇒
{
V1 = u1VRV2 = u2VR
Fijando z (z = TTR
) se obtien u.
Problema adimensional ⇒ simplifica mucho la formulación:Variables dimensionales ⇒ T (h,V , π) y T (D,V , L) ⇒ 4parámetros.Variables adimensionales ⇒ 2 variables: z y u.
Característica de la solución ⇒ z ≥ 1 para que√
z2 − 1 ∈ R.Corrobora ⇒TR mínimo valor de T en vuelo horizontal rectilíneo.
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Resolución Analítica: Avión Polar Parabólica Coeficientes Ctes. - VII
Vuelo Horizontal Adimensionalizado:
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Techo Teórico - I
La condición de techo viene dada por z = 1 ⇒ u = 1Para z < 1 no existe soluciónPara el resto de valores de z > 1 aparecen 2 soluciones.
Para cada π puede definirse un techo ⇒ NO tiene utilidadprática.
Utilidad práctica ⇒ Calcular techo máximo para πmax ⇒ empujemáximo (Tmax ).
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PV Vuelo Hor.
Techo Teórico - II (Troposfera)
Si el techo se encuentra en la Troposfera:
T = T∗(π)
(
ρ
ρ∗
)x
, x = 0, 7⇒ T∗(πmax ) = T∗
max ⇒ T = T∗
max
(
ρ
ρ∗
)x
z = z∗
max
(
ρ
ρ∗
)x
en el Techo⇒{
z = 1h = H
⇒ z∗
max
(
ρH
ρ∗
)x
= 1
Ecuación característica del motor ⇒ z = z∗max
(
ρρ∗
)x
Ecuación para el techo H ⇒ ρH = ρ∗ 1
(z∗max )
1/x
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Techo Teórico - III (Estratosfera)
Si el techo se encuentra en la Estratosfera:
T = T∗(π)ρ
ρ∗⇒ T∗(πmax ) = T∗
max ⇒ T = T∗
maxρ
ρ∗
z = z∗
maxρ
ρ∗en el Techo⇒
{
z = 1h = H ⇒ z∗
maxρH
ρ∗= 1
Ecuación característica del motor ⇒ z = z∗max
ρρ∗
Ecuación para el techo H ⇒ ρH =ρ∗
z∗max
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PV Vuelo Hor.
Techo Teórico - IV
Importancia del desarrollo de las ecuaciones para el techo:Si estamos en la troposfera ⇒ H < 11.000m = h∗ ⇒ ρH > ρ
∗
Implica que z∗
max < 1 (Si no el techo no estará en la troposfera)
Si estamos en la estratosfera ⇒ H > 11.000m = h∗ ⇒ ρH < ρ∗
Implica que z∗
max > 1 (Si no el techo no estará en la estratosfera)
z∗max es el parámetro que discrimina en que región se encuentra
el techo.Para calcular la altitud se emplea la relación ρ = ρ(h) de la ISA(Atmósfera Estándar):
Para la Estratosfera
ρ = ρ(h) = ρ∗e−
gRgθ∗ (h−h∗)
⇒ h− h∗ = −Rgθ
∗
g ln ρρ∗
Techo ⇒ H = h∗ −Rgθ
∗
g ln ρHρ∗⇒ z∗
max =ρHρ∗⇒ H = h∗ +
Rgθ∗
g ln z∗
max
z∗
max =T∗
maxW Emax ⇒ H = h∗ +
Rgθ∗
gln(
T∗
max
WEmax
)
Para la Troposfera ⇒ ρ = ρ(h)... Hacer como ejercicio
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Techo Teórico - V
El estudio del techo se completa con el cálculo de la velocidaden el techo VH en forma adimensional (u = 1):
V = uVR ⇒ VR =
√
2W
ρS
(
k
CD0
)1/4
⇐ empleando velocidad de referencia
se define VR0=
√
2W
ρ0S
(
k
CD0
)1/4
ρ0 = sea level
Se elimina la dependencia de VR0 en la altitud a través de ladensidad:
VR = VR0
√
ρ0
ρ⇒ VH =
√
ρ0
ρHVR0
con u = 1
Particularizando ρH para Estratosfera y Troposfera:
Troposfera VH = VR0
√
ρ0ρ∗
ρ∗
ρH⇒ z∗
max =(
ρ∗
ρH
)x⇒ VH = VR0
√
ρ0ρ∗
(z∗
max )1/x
Estratosfera VH = VR0
√
ρ0ρ∗
ρ∗
ρH⇒ z∗
max = ρ∗
ρH⇒ VH = VR0
√
ρ0ρ∗
z∗
max
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Tipo de Techos
Dependiendo de los requisitos de misión, se pueden definir 4diferentes tipos de techo:
Absolute Ceiling (techo teórico) ⇒ ROC = 0 ft/minService Ceiling ⇒ ROC = 100 ft/minCruice Ceiling ⇒ ROC = 300 ft/minCombat Ceiling ⇒ ROC = 500 ft/min (aviones de combate)
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Velocidad Horizontal Máxima - I
Cálculo de la Velocidad Horizontal Máxima: Tomando la mayorde las soluciones:
u =
√
z +√
z2 − 1⇒ umax =
√
zmax +
√
z2max − 1
zmax = z∗
max
(
ρ
ρ∗
)x
⇒
{
x = 0, 7 Troposferax = 1 Estratosfera
zmax dependerá de la altitud a través de ρ ⇒ para cada altitud setiene una velocidad máxima
Vmax = VR(ρ)umax (ρ)⇒ Vmax (ρ) = VR0
√
ρ0
ρumax(ρ)
Desde el punto de vista de las actuaciones nos interesa lavelocidad máxima de las máximas:
VM = (Vmax )max
Sólo habrá 1 altitud a la que se obtiene VM .Interesante obtener tanto VM como ρM
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Velocidad Horizontal Máxima - II
Obtener Vmax ⇒ maximizar Vmax (ρ) ⇒ a maximizar(
VmaxVR0
)2
(
Vmax
VR0
)2
=ρ0
ρu2
max ⇒ σ =ρ
ρ0⇒
(
Vmax
VR0
)2
=u2
max
σ=
zmax +√
z2max − 1
σ
d
[
(
VmaxVR0
)2]
dσ= 0 ⇒
dzmax
dσ
1 +
zmax√
z2max − 1
σ − zmax +
√
z2max − 1 = 0
(
zmax +
√
z2max − 1
)
dzmaxdσ
√
z2max − 1
σ − 1
= 0 ⇒
(
zmax +√
z2max − 1
)
= u2max 6= 0
dzmaxdσ = 1
σ
√
z2max − 1
dzmax
dσ=
x
σzmax ⇒ xzmax =
√
z2max − 1 ⇒ z2
max =1
1 − x2
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Velocidad Horizontal Máxima - III
Resultado de la maximización ⇒ z2max = 1
1−x2
Se deduce que sólo habrá 1 máximo relativo si x < 1 por lo que laexpresión sólo es válida en la Troposfera.
z∗
max
(σH
σ∗
)x=
1√
1− x2⇒ σH = σ∗
1(
z∗
max
√
1− x2)1/x
con x = 0, 7
Como para que el máximo se alcance en la Troposfera hM < h∗
entonces ρM > ρ∗
ρM = ρ∗1
(
z∗
max
√
1− x2)1/x
con x = 0, 7
Esto proporciona 1 condición para que la solución sea válida:
z∗max <
1√
1 − x2
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Velocidad Horizontal Máxima - IV (Validez Soluciones)
Validez de las soluciones:Si z∗
max <1√
1−x2:
Existe un máximo en la Troposfera
VM ⇒
(
VM
VR0
)2
=1 + x
σH
√
1− x2
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PV Vuelo Hor.
Velocidad Horizontal Máxima - V (Validez Soluciones)
Si z∗max >
1√1−x2
:
El máximo ocurre hipotéticamente en la Estratosfera.En la Estratosfera no hay máximos relativos.
(
VmaxVR0
)2
=zmax+
√
z2max−1
σ
⇒
{
x = 1zmax = z∗
maxσσ∗
⇒
(
VmaxVR0
)2
=z∗maxσ∗
+
√
(
z∗maxσ∗
)2− 1
σ2
Si aumenta ↑ h⇒ disminuye ↓ σ ⇒ ↓ Vmax ⇒ en la Estratosfera la Vmaxsólo disminuye.Conclusión: El máximo se encuentra en la Tropopausa
VM ⇒
(
VM
VR0
)2
=z∗
max +
√
z∗2
max − 1
σ∗
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Velocidad Horizontal Máxima - V
Limitaciones por entrada en pérdida y por compresibilidad
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PV Vuelo Hor.
Diagrama de Maniobra - IV - Efectos de Compresibilidad
La limitación por compresibilidad recoge el hecho de que cuandoaparecen efectos de compresibilidad:
la resistencia se hace mayor de lo esperado CD ↑la velocidad de vuelo horizontal rectilíneo se ve reducida de formaimportante V ↓
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