Capitulo 10Preliminares en la solucin de Eigen problemas El Objetivo de este y el siguiente captulo es para describir los actuales procedimientos de solucin que solan solucionar el eigenproblemas de inters. Antes de presentar losalgoritmos, hablamos en este captulo de algunas consideraciones bsicas importantes para la solucin de eigenproblemas.
resumiemdo los eigenproblemas que queremos solucionar. Podemos llegar al ms simpleproblema encontrado el estndar en el siguiente eigenproblema:K = (10.1)donde K es la matriz de rigidez de un elemento finito solo o de un ensamblaje de elemento. K tiene la orden n, y para un ensamblaje de elemento en media amplitud de banda/Mk (es decir, la amplitud de banda total es+1), y que K es positivo semi definido o positivo definido. All
son n eigenvalores y eigenvectores correspondientes (10.1). El ith eigenpair es
denotado como (, ) donde los eigenvalues son ordenados acorde a sus magnitudes:
0 .. n-1 n (10.2)
La solucin para p eigenpairs puede ser escrita K = donde es una n x p matriz con sus columnas iguales a los p eigenvectores y es p x p una matriz diagonal que pone eigenvalues correspondiente en una lista. Como un ejemplo, (10.3) puede representar
la solucin de p ms baja de los eigenvalores y eigenvectores correspondiente de K, en cuyo caso = [11.. p] y = diagonal () i=1.., p
Recordamos esto si K es un positivo definido, 0 , i=1..,n y si K es positivo semidefinido 0 , i=1..,n
donde el nmero del cero eigenvaores es igual al nmero de modos de cuerpo rgido en el sistema.La solucin del problema eigenvalue en (10.1) es, por ejemplo, busca laevaluacin de una matriz de rigidez de un elemento o en el clculo del nmero de condicines de una matriz de rigidez de una estructura. Hablamos en el Artculo 4.3.2 que la representacin de la matriz de rigidez de elemento en su forma cannica (es decir, i.e en la base del eigenvector) es usada para evalar la eficacia del elemento. En este caso todos los eigenvalores y los vectores de K deben ser calculados. Por otra parte, para evaluar el nmero de condicin de una matriz de rigidez, slo los eigenvalores ms pequeos y ms grandes se requieren (ver el Artculo 8.2.6).Antes de seguir generalizado los eigenproblemas, deberamos mencionar que otroestndar eigenproblemas tambin tendra que ser solucionado. Por ejemplo, podemos requerir los eigenvalores de la matriz M de masas, en cuyo caso M sustituye K (10.1). Del mismo modo, podemos usarlo para los eigenvalores de conductividad o una matriz de capacidad de calor en el flujo de calor.
En el anlisis (ver el Artculo 7.2).Es muy muy frecuente considerar Eigenproblemas para ser solucionado en el modo de vibracin en el anlisis de superposicin (ver el Artculo 9.3). En este caso consideramos generalizado el eigen problema,
K =M
(10.4)
donde K y el M son, respectivamente, la matriz de rigidez y la matriz de masas del elemento finito
ensamblaje. Los eigenvalores , y eigenvectores son las frecuencias de vibracines libres.
Los ( radianes/segundos) cuadr, w2 , y vectores de forma y modo correspondientes respectivos. El
las de propiedades de K. La matriz de masas puede ser dividida en bandas, en cuyo caso su
media amplitud de banda mM es igual a mK, o M puede ser diagonal con m 0; es decir, alguna diagonal de los elementos pueden ser posiblemente cero. Una matriz de masas dividida en bandas, obteniendo en consecuencia una masa , siempre sera definido como positivo, mientras que una matriz de masas concentrada es positiva definido slo si todos los elementos diagonales son ms grandes que cero. En general, una matriz de masas diagonal es positiva semidefinida.
En analoga con (10.3), la solucin para p eigenvalores y eigenvectors correspondientes de(10.4) pueden ser escritosKO = MOA K =M
(10.5)donde las columnas en son loseigenvectores y es una matriz diagonal que pone losEigenvalores correspondientes.
Por supuesto, eigenproblemas generalizados en (10.4) reduce al estndar de los eigenproblemas
en (10.1) si el M es una matriz de identidad. En otras palabras, el eigenvalues y eigenvectoresen (10.3) tambin puede ser pensado como frecuencias cuadradas y formas de modo de vibracin del el sistema cuando la masa de unidad es especificada en cada nivel de la libertad. Correspondiente al posible eigenvalores en la solucin de (10.1), el eigenproblema generalizado en (10.4) tiene eigenvalores 0 , i=1..,n donde el nmero de cero eigenvalores es otra vez igual al nmero de modos del cuerpo rgido en el sistema.
Dos adicional generalizando eigenproblemss debera ser mencionado brevemente. Un segundoel problema es solucionado en anlisis lineal que se tuerce, en cuyo caso consideramos (ver la seccion (6.8.2)tK = t- t K (10.6)
Preliminares de la Solucin de Eigenproblems Captulo. 10
Donde t- r K rK son la rigidez matrices correspondiente a tiempos (es decir, niveles de carga)
t - t y t, respectivamente.
Un tercero generaliza que un eigenproblema es encontrado en el anlisis de transferencia de calor, donde Se considera la ecuacinK = C (10.7)
donde K es la matriz de conductividad de calor y C es la matriz de capacidad de calor. Los eigenvalores y los eigenvectors son eigenvalores termicos y sus formas de modo, respectivamente. La solucin de (10.7) se requiere en el anlisis de transferencia de calor usando la superposicin de modo (ver el Ejercicio 9.25).
El matrices K y C en (10.7) son positivos definido o positivo semidefinido, de modo que los eigenvalores de (10.7) son 0 , i=1..,n En esto y el siguiente captulo hablamos de la solucin del eigenproblemas K = y K K =M en (10.1) y (10.4). Encuentran con frecuencia en estos eigenproblemas
prctica. Sin embargo, hay que realizar que todos los algoritmos para ser presentados tambin son aplicables a la solucin de otros eigenproblemas, a condicin de que ellos sean de la misma forma y las matrices satisfazcan las condiciones apropiadas de carcter decisivo positivo, de semicarcter decisivo, y etceteraPor ejemplo, para solucionar el problema en (10.7), el M de la matriz de masas simplemente tiene que ser sustituido por la matriz de capacidad de calor C, y la matriz K es la matriz de conductividad de calor.
Considerando la solucin de ordenador actual de eigenproblemas requerido, recordamosesto en la introduccin a procedimientos de solucin de ecuacin en el anlisis esttico (ver el Artculo 8.1),observamos la importancia de usar procedimientos de clculos eficaces. Esto es hasta ms riguroso en clculos de eigensistemas porque la solucin de eigenvalores y sus eigenvectores correspondientes requieren, en general, mucho ms esfuerzo de ordenador que la solucin de ecuaciones de equilibrio esttico
Una consideracin particularmente importante consiste en que los algoritmos de solucindebe ser estables, que es ms difcil de conseguir en las eigensoluciones.Una variedad de mtodos de solucin de eigensistemas ha sido desarrollada y es relatada enla literatura (ver, por ejemplo, a J. H. Wilkinson). La mayor parte de las tcnicas han sidoideadas para matrices bastante generales. Sin embargo, en el anlisis de elemento finito estamos preocupados con la solucin de eigenproblemas especficos resumido encima, las matrices tiene propiedades especficas tal como ser divisibles en bandas, positivas y as sucesivamente los algoritmos de solucin de eigensistemas deberan aprovechar estas propiedades a fin de hacer una solucin posible ms econmica.El objetivo en este captulo es poner la fundacin para un entendimiento cuidadoso demtodos de eigensoluciones eficaces. Esto es llevado a cabo por la primera discusin de las propiedades de las matrices, eigenvalores, y eigenvectores de los problemas de inters y luego presenta algunas tcnicas de solucin aproximadas. Los mtodos de solucin actuales recomendados para el uso son presentados en el Captulo 11.
10.2 HECHOS FUNDAMENTALES USADOS EN LA SOLUCINDE EIGENSISTEMAS
Antes de que el funcionamiento de cualquier procedimiento de solucin eigensistema puede ser correctamente estudiado, es
necesario primero para entender a fondo las propiedades diferentes de las matrices y eigen
valores y eigenvectores se consideran. En particular, encontraremos que todos los mtodos de solucin son,
esencia, basada en estas propiedades fundamentales. Por lo tanto queremos resumir en esta
seccin las propiedades importantes del matrices y sus eigensistemas, aunque algunos de
Segundo. 10.2Hechos fundamentales Usados en la Solucin de Eigensystems
El material ha sido presentado ya en otras secciones del libro. Como indicado enEl artculo 10.1, consideramos el eigenproblema K = M que reduce a K = cuando M = I, pero las observaciones hechas soy igualmente aplicables a otro eigenproblemas de inters.
10.2.1 Propiedades de Eigenvectors
la solucin de eigenproblem generalizado K = de la maana cede n
eigenvalues Ai..., un", como el mostrado en (10.2), y eigenvectores correspondientes
yo..., Cada eigenpair (A, ,) satisface (10.4); es decir; tenemos
K , tambin es un eigenvector, y decimos que un eigenvector slo es definido por su direccin en el n-el espacio dimensional se considera. Sin embargo, en nuestra discusin nos referimos a los eigenvectores satisfacen (10.8) y tambin su relacin= 1, que fija las longitudes de loseigenvectores, es decir, la magnitud absoluta de los elementos en cada eigenvector. Sin embargo, nosotros puede notar que los eigenvectors slo todava son definidos dentro de un multiplo de-1.Una relacin importante que los eigenvectors satisfacen es la del M orto normalidad; es decir,Tenemos = 8ij(10.10)
donde dij es el delta de Kronecker. Esta relacin sigue de la orto normalidad
De los eigenvectors y de los eigenproblemas estndar (ver el Artculo 2.5) y adelante en el Segundo
tion 10.2.5. Pre multiplicndose (10.8) por j transportado y utilizando la condicin en (10.10), para
obtener
jKj = \Aj(10.11)
Significa que los eigenvectores tambin son K-ortogonal. Usando las relaciones en (10.10)y (10.11) hay que tener presente que el M-y K-ortogonalidad siguen de (10.8)y (10.8) es la ecuacin bsica para estar satisfecha. En otras palabras, si creemos que nosotrostenenmos un eigenvector y eigenvalor, luego como un control substituirlos en (10.8)(ver el Ejemplo 10.3).
Hasta ahora no hemos hecho ninguna mencin de eigenvalores mltiples y eigenvectores correspondientes
Es importante tomar en cuenta que en este caso los eigenvectores no son nicos, pero que
siempre puede elegir un juego de la M ortonormal eigenvectores que atraviesan el subespacio esto
equivale a un eigenvalor mltiple (ver el Artculo 2.5). En otras palabras, asuma esto A,
tiene la multiplicidad m (es decir. A, = A, +i = = Ai +, -i); entonces podemos elegir el m eigenvector
842
Prolegmenos a la Solucin de Captulo Eigenproblems. 10
/..., aquella envergadura el m de subespacio dimensin correspondiente al eigenvalues
de la magnitud A, y que satisfacen la relacin orthogonality en (10.10) y (10.11). Como
alguna vez, los eigenvectors no son nicos; en cambio, el eigenspace correspondiente a A, es nico.
Demostramos los resultados por medio de algunos ejemplos.
EJEMPLO 10.1:La matriz de rigidez y la matriz de masas de un dos nivel del sistema de libertad son
- [U]
Se cree que dos eigenpairs del problema K = Ac |) son
1
2
(di, Vi) = (1,
V5
);
{di, V2) = (6,
V5
(a)
2
V5
y dos eigenpairs del problema K = AMcf)
y de Sus problemas de Coaccin Asociados
Una propiedad importante del eigenvalues del problema K = de la maana consiste en que ellos son el
races del polinomio caracterstico,
p (A) - det (K - de la maana)
(10.16)
846
Prolegmenos a la Solucin de Captulo Eigenproblenns. 10
Podemos mostrar que esta propiedad se deriva de la relacin bsica en (10.8). Volviendo a escribir (10.8)
en la forma
(K - A.M) yo no ser igual a a
vector nulo) a condicin de que la matriz K - A, el M es singular. Esto significa esto si descomponemos en factores
K - A, el M en una unidad baja la matriz triangular L y una matriz triangular superior S utilizacin
Eliminacin de Gauss, tenemos s n = 0. Sin embargo, desde entonces
p (A), = det LS = n Sii(10.18)
1=1
resulta que p {\), = 0. Adems, si A, tiene la multiplicidad m, tambin tenemos
s-i, n-i = = s ~m+i, n-m+i = 0. Wc debera notar esto en el factorization de K - A, M,
los intercambios pueden ser necesarios, en cuyo caso el factorization de K - A, M con sus filas y
posiblemente sus columnas intercambiadas son obtenidas (cada fila y cada intercambio de columna entonces
introduce un cambio de signo del determinante que debe ser considerado; ver la Seccin
2.2). Si ningunos intercambios son realizados, o la fila y los intercambios de columna correspondientes son
realizado, que en la prctica siempre es casi posible (pero ver el Ejemplo 10.4 para un caso
donde no es posible), la matriz de coeficiente permanece simtrica. En este caso podemos escribir
para (10.18)
p (A), = det LDL = pies du(10.19)
1 = 1
donde LDL es el factorization de K - AiM o de la matriz sacada de ello por interchang
filas de ing y columnas correspondientes, es decir, usando un pedido diferente para los grados de sistema
de la libertad (ver el Artculo 8.2.5). La condicin 5 = 0 es ahora d = 0, y cuando A, tiene
multiplicidad m, el ltimo m de elementos en D es el cero.
En el Artculo 8.2.5 hablamos de la propiedad de secuencia de Sturm de la caracterstica
los polinomios de los problemas de coaccin se asociaron con el problema K = . El mismo
las propiedades que observamos en aquella discusin tambin son aplicables a la caracterstica
los polinomios de los problemas de coaccin se asociaron con el problema K = de la maana . El
la prueba sigue del hecho que eigenproblem generalizado K = de la maana puede ser la transaccin
formado a un estndar eigenproblem para cual la propiedad de secuencia de Sturm del carcter
los polinomios de istic sostienen. Mandando la prueba al Artculo 10.2.5, Ejemplo 10.11, nos deja
resuma el resultado importante.
El eigenproblem del rth asoci el problema de coaccin correspondiente a
K = de la maana es dado por
K '-"* 3 = 1. De ah,
3 - 0
i =
fJ ___ J_1
VZ V2 vzJ
Los eigenvalues del primer problema de coaccin asociado son obtenidos de la solucin de
r2-r
1-14
-9 - 9 de ah, 2 =
V2
1
(c)
~V2
Imponiendo un cambio de p =-2, obtenemos el problema
[-:> - 'K
Siguiendo como antes, tenemos
(d)
p {K) = A - lOA + 16
y obtenga como las races A1 = 2, A2 = 8. De ah los eigenvalues han aumentado en 2; es decir, ellos tienen
disminuido por p.
El eigenvectors sera calculado usando (10.17). Sin embargo, notamos que esta relacin
otra vez cede las ecuaciones en (b) y (c), y por lo tanto los eigenvectors del problema en (d) son
aquellos del problema en (a).
Una observacin importante que resulta de la susodicha discusin consiste en que, en principio, nosotros
slo necesito algoritmos de solucin para calcular el eigenvalues y eigenvectors correspondiente
del problema K ()> = de la maana = de la maana tiene el eigenvalues un" = un"-i =
= un"-r+i = oo y tambin puede construir eigenvectors correspondiente por la inspeccin.
Para obtener el susodicho resultado, djenos recordar el objetivo fundamental en un eigensolution.
Es importante recordar que todo que requerimos es un vector y escalar un que satisfacen el
ecuacin
K = DE LA MAANA ()>(10.4)
donde 4> es no trivial; es decir, es un vector con al menos un elemento en ello distinto a cero. En otro
las palabras, si tenemos un vector c)> y escalar un que satisfacen (10.4), entonces A y c)> son un eigenvalue
A, y eigenvectorrespectivamente, donde hay que notar que esto no importa como
y A han sido obtenidos. Si, por ejemplo, podemos adivinar y A, deberamos tomar seguramente
ventaja de ello. Esto puede ser el caso cuando los modos de cuerpo rgido estn presentes en el estructural
ensamblaje de elemento. As, si sabemos que el ensamblaje de elemento puede someterse a un rgido
modo de cuerpo, tenemos Ai = 0 y tenemos que buscar c)> yo para satisfacer la ecuacin K = de la maana un =(10.54)
F = My'F.My'(10.55)
Una vez los desplazamientos d
V2
1
V2
4*0,
V2
(c)
4> c,
(d)
ple 10.12.
La consideracin de los procedimientos diferentes de eliminar los niveles sin masa de libertad,
los resultados del anlisis eigensystem son el mismo independientemente del procedimiento seguido,
es decir, oo la Fa es establecida y si el eigenproblem en (10.45) o en (10.52)
es solucionado. La asuncin bsica en el anlisis es esto que resulta de la masa lumping. Como nosotros
hablado en el Artculo 10.2.4, cada masa cero equivale a una frecuencia infinita en el
2
-1
0 ~
'0
1
4
-1
2
0
-1
2_
0_
Segundo. 10.3Tcnicas de Solucin aproximadas
867
sistema. Por lo tanto, en acercamiento de la ecuacin de sistema original Kc () = de la maana
i =, los q, porque el x, son las nicas variables. Sin embargo,
dp ($) _~
dXirh
(10.64)
y usando p = k/m, la condicin para mnimo de p () es
2 (icij - prhiXj = 0para J = 1..., g (10.65)
En el anlisis actual escribimos las ecuaciones q en (10.65) en la forma de la matriz, as obteniendo el
eigenproblem
Kx = pMx(10.66)
donde K y el M son 9 X matrices con elementos tpicos definidos en (10.62) y (10.63),
respectivamente, y x es un vector de las coordenadas de Ritz buscadas:
= [xiX2... (10.67)
La solucin de (10.66) producciones q eigenvalues pi..., p que son aproximaciones a
Ai..., un" y q eigenvectors,
xf = [j:|X2... Jc
X2 = [j:?xl... a:]
(10.68)
xj = [x1xt...
870
Prolegmenos a la Solucin de Captulo Eigenproblems. 10
El eigenvectors x, son usados para evaluar los vectores c |> yo..., que son aproximaciones
al eigenvectors yo..., . Usando (10.68) y (10.60), tenemos
son entonces
= X(10.84)
Hasta ahora hemos supuesto que la matriz de masas del sistema de elemento finito sea positiva
definido; es decir, el M no es una masa diagonal matriwitlome elementos diagonales cero. La razn
ya que esta asuncin deba evitar el caso tigual a cero en el clculo del
El cociente de Rayleigh, en cuyo caso p () da eigenvalue infinito. Sin embargo, el Rayleigh-
El anlisis de Ritz puede ser realizado como descrito encima cuando el M es una matriz diagonal con unos
los elementos diagonales cero, a condicin de que los vectores de base de Ritz sean seleccionados para estar en el subespacio
esto equivale a eigenvalues finito. Adems, los vectores de base de Ritz deben ser en lnea recta
independiente considerando slo los niveles de masas de la libertad a fin de obtener un positivo
M de la matriz definido. Un modo de conseguir esto en la prctica es excitar grados de masas diferentes
de la libertad en cada uno de los vectores de carga en R en (10.79) (ver el Artculo 11.6.3 y Examen
ple 10.16).
Del particular inters son los errores que podemos esperar en la solucin. Aunque nosotros
han mostrado que un eigenvalue calculatedfrom el anlisis de Ritz es un lmite superior en el
1
0
-1
2
4
-1
; M =
1
1
2
1
2_
2
-1
0"
"1
0"
1
4
-1
V =
0
0
0
-1
2
0
1
872
Prolegmenos a la Solucin de Captulo Eigenproblems. 10
eigenvalue exacto correspondiente del sistema, no establecimos nada sobre el
error actual en el eigenvalue. Este error depende de los vectores de base de Ritz usados porque el
los vectores son combinaciones hnear de los vectores de base de Ritz i|#, yo = 1..., podemos obtener
los resultados buenos slo si los vectores i|i, atraviese un subespacio V, que est cerca del menos dominante
el subespacio de K y M atraves por c |> yo..., hay que notar que esto no significa
que los vectores de base de Ritz debieran estar cada uno cerca de un eigenvector buscado, pero mejor dicho que lineales
las combinaciones de los vectores de base de Ritz pueden aproximaciones buenas estabUsh del requerido
eigenvectors de K = AMc)>. Adelante hablamos de la seleccin de vectores de base de Ritz buenos y
las aproximaciones implicaron en el anlisis en el Artculo 11.6 cuando presentamos el subespacio
el mtodo de iteracin, porque este mtodo usa la tcnica de anlisis de Ritz.
Para demostrar el procedimiento de anlisis de Rayleigh-Ritz, considere el examen siguiente
ples.
EJEMPLO 10.15: Obtenga soluciones aproximadas del eigenproblem K = de la maana consid
ered en Ejemplo 10.4, donde
2
K =
-1
0
1. Use los vectores de carga siguientes para generar los vectores de base de Ritz
"10"
00
01
2. Entonces use un juego diferente de vectores de carga para generar los vectores de base de Ritz
10"
11
10_
De ah,
ri
12
1
6
J,
12
_1 _"
12
1
6
J_
12
y
"= 12
.1 7J'
M =
1
144
29
11
29J
La solucin de Kx eigenproblem = pMx es
.3418"
(pi, x.) = (2.4004
.3418
(P2, X2) = (4.0032
r el 01/02/08
'L-2.10008
7
1 -
12
12
1
1
6
6
1
7
12
T5_
'0.895
1.00
0.447
0
0.895
-1.00
1.00"
0.00
-1.00
-1 0"
"1 0
4 - 1
1 1
-1 2
1 0
Segundo. 10.3Tcnicas de Solucin aproximadas
873
0.895"
tenemos
|>, =
0.447
0.895
Despus asumimos los vectores de carga por si 2 y solucionen
-1
De ah,
=
y
K
= B!]
M =
36
41
13
13
La solucin de Kx eigenproblem = pMx da
(pi, X,) = (2.000,
"0.70711
0.70711
);
(p2, X2) = (6.0000,
-2.1213
6.3640
De ah, tenemos como eigenvalue pi de aproximaciones = 2.00, p2 = 6.00, y evaluacin
r5
6
2
3
5
6
en
6
1
3
1
6
.....r0.70711 - 0.70708"
0.70711 0.70713
0.70711 - 0.70708
"0.70711
-0.70708"
tenemos
c |>, =
0.70711
2 -
0.70713
0.70711
-0.70708
Comparando los resultados con la solucin exacta, es interesante notar esto por si 1,
pi> un | y p2 = A2, mientras que por si 2, pj = Aj y p2 = A3. En ambos casos no obtuvimos
aproximaciones buenas a dos eigenvalues ms bajos, y se demuestra claramente que los resultados
dependa completamente de los vectores de base de Ritz iniciales elegidos.
EJEMPLO 10.16:Use el anlisis de Rayleigh-Ritz para calcular una aproximacin a Ai y , nosotros
obtenido el problema siguiente:
Lk.
K eir4>.i rM 0
k. Jl ii =
877
(10.94)
KmM ~ MmmAm
dondey Al es el matrices de eigenvectors deliberado y eigenvalues de Lth
estructura componente.
En una sntesis de modo componente, las formas de modo aproximadas y las frecuencias pueden ser
obtenido realizando un anlisis de Rayleigh-Ritz con las cargas asumidas siguientes en el
lado derecho de (10.79),
00
R =
0
4 n
0
Ii.n
0
0
0
0
En, en
(10.95)
Om0
dondees una matriz de unidad del pedido igual a los niveles de conexin de la libertad entre
estructuras componentes L - \y L. La unidad matrices equivale a cargas que son aplicadas
a los niveles de conexin de libertad de las estructuras componentes. Desde en la derivacin
de matrices de forma de modo usado en (10.95) las estructuras componentes fueron fijadas en su
lmites, las cargas de unidad tienen el efecto de soltar estos niveles de conexin de la libertad.
Si, por otra parte, los niveles de conexin de la libertad han sido incluidos en el anlisis
de las estructuras componentes, podemos prescindir de la unidad matrices en R.
Una consideracin importante es la exactitud que puede ser esperada en el susodicho compo
sntesis de modo de nent. Ya que un anlisis de Ritz es realizado, todas las consideraciones de exactitud dis
obstinado en el Artculo 10.3.2 son directamente aplicables; es decir, el anlisis cede lmites superiores del
eigenvalues exacto del problema K = de la maana ()). Sin embargo, la exactitud actual conseguida en
la solucin no es conocida, aunque ella pueda ser evaluada, por ejemplo, como descrito en
El artculo 10.4. El hecho que la exactitud de solucin es muy dependiente de los vectores usados en
R (es decir, los vectores de base de Ritz) es, como en todos los anlisis de Ritz, el defecto principal del mtodo.
Sin embargo, en la prctica, la exactitud razonable a menudo puede ser obtenida porque el eigenvectors
correspondiente a eigenvalues ms pequeo de las estructuras componentes son usados en R. Nosotros
demuestre el procedimiento de anlisis en el ejemplo siguiente.
V2
V2
2
2
V2
V2
2
2
0
0
\/2
V2
2
2
1
1
"22.40 5.328 7.243"
K =
5.328 2.257 1.586
7.243 1.586 3
222.4 50.69 77.69"
M =
50.69 11.94 17.59
77.69 17.59 27,5
"0.098
P =
2.83
1.82_
0.207 - 0.773
0.00690'
0.181 0.0984 -
0.0655
$ =
0.509 1.47
0.443
0.594 - 0.385 -
0.166
0.655 0.574 -
0.978
878
Prolegmenos a la Solucin de Captulo Eigenproblems. 10
matriz dada en (10.95) para un anlisis de sntesis de modo componente. Entonces calcule eigenvalue y
aproximaciones de eigenvector.
Aqu tenemos para la subestructura I,
2
K, =
-1
con el eigensolution
A] = 1,A2 = 3; yo
2
2
2 -
_y2
2
2
y para subestructura II,
"[-1i]'
M =
1 0
0 yo
con el eigensolution
"V2"
V2"
Ai = 2 - V2,A2 - 2 + V2;
aproximado el eigenpair. Dan los resultados en (10.101) a (10.104). Nosotros entonces
tambin presente los clculos ligados del error tiles en soluciones basadas en iteraciones inversas y a
medida de error simple.
Elgenproblem estndar
Considere primero que M = yo. En este caso podemos escribir
r =(10.97)
y usando las relaciones en (10.12) y (10.13), tenemos
r = se acerca un eigenvector y luego
demuestre los resultados por medio de ejemplos.
EJEMPLO 10.20:Suponga que tengamos cajculated A, , con || II2 = 1, como eigenvalue y
aproximaciones de eigenvector y that_K - Un son un exactosolucin de un eigenpair.Si M = yo, hay que notar que podemos escribir
Ae = || r || 2(10.109)
y de ah,minuto de e> (10.110)
'A
EJEMPLO 10,23:Considere el eigenproblem KO;es decir,sorneelementos de la diagonalmayoprobablementesercero.Labandasmasamatriz,obtenidoenunconsistenteanlisis de masas,es siemprepositivodefinido,mientrasunagrupadomasamatrizesdefinida positivaslo sitodosdiagonalelementossonmayordecero.Enen general,undiagonalmasamatrizessemidefinida positiva.Enanalogaa(10.3),lasolucinparapvalores propiosycorrespondientevectores propiosde (10.4)lataserescrito(10.5)dondelacolumnasenfPsonlavectores propiosyLaesundiagonalmatrizlistadolacorre corres-valores propios.DePor supuesto,lageneralizadaeigenproblemaen(10.4)reducealaestndareigenproblemen(10.1)siMisunaidentidadmatriz.Enotropalabras,lavalores propiosyvectores propiosen(10.3)latatambinserpensamientodecomofrecuenciascuadradoyvibracinmodoformasdeel sistema decundounidadmasaesespecificadoencadagradodelibertad.Correspondientealaposibles valores propiosenlasolucinde(10.1),lageneralizadaeigenproblemaen(10.4)tieneautovalores A;>O,yo=1,...,n,dondelanmerodecerovalores propiosesde nuevoigualalanmero dergidocuerpomodosenlasistema.Dosadicionalgeneralizadaeigenproblemsdeberasermencionadobriefty.Lasegundo problemaesresueltoenlinealizadopandeoanlisis,enquecasonosotrosconsiderar(VerSeccin6.8.2)(10.6)
donde-'Ky'Ksonlarigidezmatrices correspondientesaveces(Es decir,carganiveles)t-fl.tyt,respectivamente.Latercerageneralizadaeigenproblemaesencontradoencalortransferenciaanlisis,donde consideramoslaecuacinK yK prctica.Sin embargo,elladeberaserrealizadoquetodosalgoritmosaserpresentadosontambinApplicablealasolucindeotroeigenproblems,previstoellossondelamismoformaylas matricessatisfacerlaapropiadocondicionesdepositivodefinitud,semidefiniteness,yas sucesivamente.Paraejemplo,para resolverlaproblemaen (10.7),lamasamatrizMsimplementenEDSaserreemplazadoporlacalorcapacidadmatrize,ylamatrizKeslacalorconductividadmatriz.En vista delarealcomputadorasolucindelanecesarioeigenproblems,nosotrosretiradaqueenlaintroduccinaecuacinsolucinprocedimientosenanlisis esttico(VerSeccin8.1), queobservadolaimportancedeusoeficazclculoprocedimientos.Esteesinclusomspor lo que eneigensystemClculosporquelasolucindevalores propiosycorrespondientevectores eigenrequiere,enen general,muchomscomputadoraesfuerzodelasolucindeestticoequi librioecuaciones.Laparticularmenteimportanteconsideracinesquelasolucinalgoritmos debenserestable,queesmsdifcilalograreneigensolutions.Lavariedaddeeigensystemsolucinmtodostenerestadodesarrolladoysonreportadoen elliteratura(Vase,paraejemplo,J.H.Wilkinson[A]).Msdelatcnicastenerhan ideadoparams biengeneralmatrices.Sin embargo,enfinitoelementoanlisisnosotrostienen que ver conlasolucindelaespecficoeigenproblemsresumidoanteriormente,enquecadadelas matricestieneespecficopropiedadestalcomoserbandas,positivodefinido,yasen.El eigensystemsolucinalgoritmosdeberatomarventajadeestospropiedadesenordenahacer unamseconmicosolucinposible.Laobjetivoenestecaptuloesaponerlafundacinparaunminuciosocomprensinde efectivoeigensolutionmtodos.Esteesrealizadoporprimerodiscutirlapropiedadesde losmatrices,valores propios,yvectores propiosdelaproblemasdeintersyentoncessorne presentaraproximadosolucintcnicas.Larealsolucinmtodosrecomendadoparautilizar sonpresentadoenCaptulo11.2. FUNDAMENTALHECHOSUSADOENLASOLUCINDEEIGENSYSTEMSAnteslalaboraldecualquiereigensystemsolucinprocedimientolatasercorrectamenteestudiado,ellaes necesarioprimeroaa fondoentenderladiferentepropiedadesdelamatricesyvalores eigenyvectores propiosconsiderado.Enen particular,nosotrosvoluntadencontrarquetodossolucinmtodosson, enesencia,basadoenestosfundamentalpropiedades.Nosotrospor lo tantoquereraresumirenesta seccinlaimportantepropiedadesdelamatricesysueigensystems,aunquesornede
Sec.10.2FundamentalDatosUsadoenlaSolucindeEigensystems841lamaterialtieneyaestadopresentadoenotroseccionesdelalibro.Comopuntiagudofueraen la Seccin10.1,nosotrosconsiderarlaeigenproblemaK cundoM=1,perolaobservacioneshechosonigualmenteaplicableaotroeigenproblemsdeinters.1. PropiedadesdelaEigenvectoresEllase ha sealadoquelaso1utiondelaeigenprob1em generalizadaK valores propios, \ ,...,An,ordenadocomose muestraen(10.2),ycorrespondientevectores propios
K Laecuacinen(10.8)unlpor loespectculosqueunavector propioesdefinidaslodentrounmltipledeen s;es decir,nosotrostambintener(10.9)dondeaesundistinto de ceroConstant.Por lo tanto,con! comosatisfactorio(10.8)ytambinlarelacin!! significadoquelavectores propiossontambinK-ortogonal.Cundousolarelacionesen(10.10) y(10.11)elladeberasermantenidoenmentequelaM-yK-ortogonalidadseguirdesde(10.8) yque(10.8)eslabsicoecuacinasersatisfecho.Enotropalabras,sinosotroscreerquetenemosun vector propioyvalor propio,entoncescomoun chequenosotrosdeberasustitutoellosen(10.8) (vaseEjemplo10.3).Aslejosnosotrostenerhechonomencionardemltiplevalores propiosycorrespondienteres eigenvec.Ellaesimportantearealizarqueenestecasolavectores propiossonnonicoperoquepodemossiempreelegirunconjuntodeM-orthonormalvectores propiosquelapsolasubespacioque correspondeaunmltiplevalor propio(VerSeccin2.5).Enotropalabras,asumirqueA;tienemultiplicidadm(Es decir,A;=; + J= =Ai + mJ);entoncesnosotrospuede elegirmvectores propios
Ejemplo.10 1:Larigidezmatrizymasamatrizdeundos gradosdelibertadsistemason[5 -2] -2 2'EllaescredoqueladoseigenpairsdelaproblemaK w2rMW2=[5-2febJ[O!][=_1wfMw2=wfMw1=OPor lo tanto,larelacionesen(10.5)y(10.10)sonsatisfechoynosotrostener
Ejemplo10.2:ConsiderelaeigenproblemaK 11--V'2 V'2
yencalortransferenciaanlisis,usolanotacinen(.10 7),nosotrostener
Unaimportantepropiedaddelavalores propiosdelaproblemaK p (A)=det (K-AM)(10,16)
Nosotroslatashowqueestepropiedadderivadesdelabsicorelacinen(10.8).Reescribiendo(10.8) enlaforma(K-A; M) formadoaunestndareigenproblemaparaquelaSturmsecuenciapropiedaddelapersonajeisticpolinomiossostiene.ReferentelapruebaaSeccin10.2.5,Ejemplo10,11,dejarResumamoslaimportanteresultado.LaeigenproblemadelarthasociadorestriccinproblemacorrespondienteaK K (r) [o-1JJ-} = o- 11(B)Nosotrosnotaqued33=0.0.Aeva1uar_J7Il7f.] ['3-nDesdetodoselementos enDsonmayordecero,nosotrostenerA1>l.2. Nosotrosahoraintentar.t=8,dondeyDesdetodostresdiagonalelementossonmenordecero,ellasiguienteque, \ 3yusop=k / ra ,lacondicinparaunmnimodep (c,)esqL(K1-pmij)x1=oparayo=1,...,q(10,65)j =!Enrealanlisisnosotrosescribirlaqecuacionesen(10.65)enmatrizforma,asobtencinla eigenproblemaKx=PMX(10.66)dondeKyMsonqXqmatricescontpicoelementosdefinidaen(10.62)y(10,63), respectivamente,yxesunvectordelaCoordenadas Ritzbuscado:(10.67)Lasolucina(10.66)rendimientosqvalores propiosp,...,pq,que sonaproximacionesaA ,,...,Q ,yqvectores propios,(10.68)
Lavectores propiosX;sonuSEDaevaluarlavectores,...,q,quesonaproximaciones alavectores propios ...,qa Uso(10.68)y(10,60),nosotrostenerqcf>;=Lx;tllj;j = lyo=1,...,q(10,69)Unaimportantecaractersticadelavalor propioaproximacionescalculadoenlaanlisises queellossonsuperiorencuadernadoaproximacionesalavalores propiosdeinters;es decir,(10.70)significadoquedesdeKyMsonasumidoaserpositivodefinido,KyMsontambindefinida positivamatrices.Lapruebadeladesigualdaden(10.70)espectculoslarealmecanismoes decirusadoparaobtenerlavalor propioaproximacionesp ;.Acalcularpnosotrosbsquedaparalarninimumdep ()quelataseralcanzadoporlinealmentecombinandotodosdisponibleRitzbasevectores.LadesigualdadA1)(10.71)dondelarninimumesahoratomadoencimatodosposiblevectoresenVnquesatisfacerlaorthog onalitycondicin(VerSeccin2.6)(10.72)En vista delaaproximadovectores propios;obtenidoenlaRayleigh-Ritzanlisis,observarque(10.73)donde5; jeslaKroneckerdelta,yque,Por lo tanto,enlaarribaRayleigh-RitzanlisisobtuvimospzporevaluacinP2=minp (cf>)(10.74)dondelarninimumfuetomadoencimatodosposiblevectores enVqquesatisfacerlacondicin de ortogonalidad(10.75)AshowqueArizona TMcf> =0(10.76)(10.77)Laproblemadefinidaen (10.76)y(10.77)eslamismocomolaproblemaen(10.71)y (10,72),exceptoqueenlaltimocasolamnimoestomadoencimatodos.mientrasenel problemaen(10.76)y(10.77)consideramostodosvectoresenVq.EntoncesdesdeVqescontenida enVn,nosotrostenerArizona 1=0,70711;[0.70711-0,70708]4> 2=O.70713[-0.70708
Comparandolaresu1tadosconlaexactosolucin,ellaesinteresanteanotaqueencaso1,P1>A1yP2=A2,mientrasencaso2,P1=A1yP2= 3.Enamboscasosnosotroshizonoobtener una buenaaproximacionesalams bajodos valores propios,yellaesclaramentedemostradoquelaresultadosdependercompletamenteenlainicialRitzbasevectoreselegido.Ejemplo10.16:UsolaRay1eigh-RitzanlisisacalcularunaaproximacinaA1ycf> 1delaeigenproblemaconsideradoenEjemplo 10.12.NosotrosnotaqueenestecasoMespositivosernidefinite.Por lo tanto,allevarfueralaAnlisis RitznosotrosnecesitaraelegiruncargavectorenRqueexcitaenmenosunomasa.AsumirquenosotrosusoRT=[O 1oO]Entonceslasolucinde(10.79)rendimientos(VerEjemplo10.13)wr=[1 2 2 2]
Por lo tanto,K =[2];p=61;M =[12]X =[2]yPor lo tantonosotrostener,comoera de esperar,p,>A,.LaRitzanlisisprocedimientopresentadoarribaesunmuygeneralherramienta, y,comopuntiagudoanteriormente,varioanlisismtodosconocidobajodiferentenombreslataen realidadserse muestraparaserRitzanlisis.EnSeccin10.3.3nosotrospresentelacomponentemodosntesiscomounAnlisis Ritz.Enlasiguientenosotrosbrevementequererashowquelatcnicadeestticocondensacin comodescritoenSeccin10.3.1es decir,enDe hecho,tambinunRitzanlisis.Enlaestticocondensacinanlisisnosotrosasumidoquetodosmasalataseragrupadoenqgradosdelibertad.Por lo tanto,comounaaproximacinalaeigenproblemaK=AM.obtuvimoslasiguienteproblema:KaaKae][E!> ]="- [MA O][E!> ]Kea Kee cf> eO Ocf> e(10.42)conqfinitoyn-qinfinitovalores propios,quecorresponderalasin masagradosde libertad(VerSeccin10.2.4).Para calcularlo finitovalores propios,nosotrosusadoestticola condensacinenlasin masagradosdelibertadyllegadoenlaeigenproblema(10.45)dondeK.esdefinidaen(10,46).Sin embargo,estesolucinesen realidadunRitzanlisisdela agrupadomasamodeloconsideradoen(10,42).LaBase Ritzvectoressonlapatrones de desplazamientoasociadoconla.gradosdelibertadcundolaegradosdelibertadson liberados.ResolverlaecuacionesKaa Kae][Fa ]=[1]Kea Kee FeO(10.51)enqueF.=K ;; ',nosotrosencontrarquelaRitzbasevectoresaserusadoen(10,80),(10,81),y (10.84)son(10.85)AverificarqueunRitzanlisisconlabasevectoresen(10.85)rendimientosenhecho(10.45), queevaluar(10.80)y(10,81).Sustituyendopara'\} FyKen(10,80),nosotrosobtenerK =[1(FeKaYJ [:: J [FeJ(10,86)que,uso(10,51),reduceaK =K.Sirnilarly,sustitucinpara'\} FyMen(10,81),nosotrostenerM =[1(FeK.Y] [ ] [FeJ(10.87)(10.88)
oM = Ma(10.89)Por lo tanto,enlaestticocondensacinnosotrosen realidadrealizarunRitzanlisisdelamasa concentradamodelo.ltdeberaserconocidoqueenlaanlisisnosotroscalcularlaqfinitovalores propiosexactamente(Es decir,p;=A;parayo=1,...,q)porquelaRitzbasevectoreslapsolaqdimensionalsubespaciocorrespondientealo finitovalores propios.Enla prctica,laevaluacindelavectores'\} Fen(10.85)esnonecesario(Yharasercostosa),yen lugarlaAnlisis Ritzesmejorrealizadofuerauso\ Fl=[:](10.90)Desdelavectoresen(10.90)lapsolamismosubespaciocomolavectoresen(10,85),lamismos valores propiosyvectores propiossoncalculadoempleandocualquiera de los dosconjuntodebasevectores.Especficamente,uso(10,90),nosotrosobtenerenlaRitzanlisislareducidoeigenproblema(10.91)Para mostrarqueesteeigenproblemaesen efectoequivalentealaproblemaen(10.45),nosotrosPremul tiplyambosladosen(10,91)porK.yusolatransformacinx=Kai,dandoKai=Amai, es decir,laproblemaen(10.45).Ejemplo10.17:UsolaRitzana1ysisprocedimientoarealizarestticocondensacin dela mass1essgradosdelibertadenlaproblemaKcf>=ACCM>consideradoenEjemplo10.12.Nosotrosprimeronecesitaraevaluar laRitzbasevectoresdadoen (10,90).EstefuehechoenEjemplo10.13,dondenosotrosfundarque
LaRitzreduccindadoen(10.91)asrendimientoslaeigenprob1em2 2] -, \ [12 16]2 4X-16 24XFinalmente,nosotrosdeberanotaquelausodeElRitzbasevectoresen(10.85)[(Oen(10.90)] estambinconocidocomolaGuyanreduccin(VerR.J.Guyan[A]).EnlaGuyanesquemalaVectores Ritzsonusadoafuncionarenunagrupadomasamatrizconceroelementosenladiagonalcomo en(10.88)oenfulllumped general oconsistentemasamatrices.Enestereduccinlaunosgradosdelibertadsonfrecuentementereferidoacomodinmicagradosdelibertad.3. ComponenteModoSntesisComoparalaestticocondensacinprocedimiento,lacomponentemodosntesises decir,enDe hecho,un anlisis Ritz,ylamtodofuerzatenerestadopresentadoenlaanteriorseccincomounaplicacin especfica.Sin embargo,comofuerepetidamentepuntiagudofuera,lamsimportanteaspectoenunAnlisis RitzeslaseleccindeapropiadoRitzbasevectoresporquelaresultadoslataserslotan buenocomolaRitzbasevectorespermitirellosaser.Laespecficoesquemausadoenlamodo de componentesntesisesdeparticularinters,queeslaraznnosotrosquereradedicarunseccin separadaaladiscusindelamtodo.
Lacomponentemodosntesistieneestadodesarrolladoaungrandegradocomounconsecuencia naturaldelaanlisisprocedimientoseguidoenprcticacundograndeycomplejoturas estrucsonanalizada.Lageneralpractica!procedimientoesquediferentegruposrealizarlos anlisisdediferentecomponentesdelaestructurabajoconsideracin.Paraejemplo,enuna plantaanlisis,unogrupomayoanalizarunprincipalpipayotrogrupountuberasistema conectadoaella.Enunprimeropreliminaranlisis,ambosgrupostrabajopor separadoymodelolos efectosdeel otrocomponentesenlacomponente especficoqueellosconsiderarenunaaprox imatemanera.Paraejemplo,enlaanlisisdeladostuberasistemasreferidoaanteriormente,el anlisis grupo delaladoramamayoasumircompleto fijezaenel puntodeinterseccinconla principaltubera,yel grupoanlisislaprincipalpipamayointroducirunconcentradoprimaveray la masaapermitirparalaladorama.Laventajadeen vista delacomponentesdela estructurapor separadoesante todounodetiempoprogramacin;es decir,laseparadogruposlatatrabajar enlaanlisisydiseosdelacomponentesenlamismotiempo.ltesante todoparaesta raznquelacomponentemodosntesisesmuyatractivoenlaanlisisydiseode granestructuralsistemas.Asumirquelapreliminaranlisisdelacomponentestenerestadorealizadofueray quelacompletoestructuradeberahoraseranalizada.ltesenesteetapaquelamodo de componentesntesisesunnaturalprocedimientoausar.A saber,conlamodoformacaractersticas decadacomponenteconocido,ellaaparecenaturalausoesteinformacinenestimarlas frecuenciasymodoformasdelacompletoestructura.Laespecficoprocedimientomayovaran (vaseR.R.Craig,Jr.[A]),pero,enesencia,lamodoformasdelacomponentessonusadoenunaRayleigh-Ritzanlisisacalcularaproximadomodoformasyfrecuenciasdela completaestructura.Considerarparailustracinquecadacomponenteestructurafueobtenidoporfijacina11su lmitegradosdelibertadydenotarlarigidezmatricesdelacomponenteestructuras deK1,Kn,...,KM(VerEjemplo10,18).AsumirqueslocomponenteestructurasL-1yLconectar,L=2,...,M;entoncesnosotroslataescribirparalarigidezmatrizdelacompletoestructura, KNA K =(10.92)Usounaanlogonotacinpara lamasamatrices,nosotrostambintenerM. Mn M =(10.93)Asumirquelams bajovalores propiosycorrespondientevectores propiosdecadacomponente
estructuratenerestadocalculado;es decir,nosotrostenerparacadacomponenteestructura,K,ELA ,=M, 11A,Kn ,donde2 -1:-12:...-1K =-1 2 -1-1: --T--_: _- 1:-l 11 I_j'M = 1r -----:112Usola subestructuraeigenproblemsindicadoporladiscontinualneasenKyMaestablecerlacarga
matrizdadoen(10.95)parauncomponentemodosntesisanlisis.Entoncescalcularvalor propioy vector propioaproximaciones.Aqunosotrostenerparainfraestructura1,conlaeigensolutionLa1=1,K, =[-1febrero a 1febrero];M1=[1o o]yparainfraestructura11,conlaeigensolutionKn=[-En2a1l];= Mu1o_J0
A, =2-V2,A2=2+V2;AsnosotrostenerparalamatrizRen(10,95),V2 V2o22V2 V2oR =22o o1V2 V2o2 21 1OAhorarealizarlaRitzanlisiscomodadoen(10.79)a(10,84),nosotrosobtener[22.405.3287.243]7.243 1.5863[222,450,6977,69]M = 50.6911.94 17.5977.69 17.59 27.5yPor lo tanto,p["" 0982.83LBJ0,207-0.7730.00690
0,1810.0984-0.0655
4J) =0,5091.470,443
0,594-0.385-0.166
0,6550,574-0.978
Laexactovalores propiossonLa1=0.09789A2=0,824;A3=2,00;,\ .=3.18,As:3.90ypor lo tantonosotrosnotaquenosotrosobtenidoenp1unbuenoaproximacinaA,perop2yp3hacerno representanaproximacionesavalores propios.10.3.4Ejercicios7. Considerarlaeigenproblema-14-1-1 !> = AO21 f>2o1 1Realizarlaestticocondensacincomoen generalrealizado[Ver(10.46)]yentoncesporlaRayleigh Ritzanlisisprocedimiento[Ver(10,51)].8. ConsiderarlaeigenproblemaenEjercicio10.1.RealizarunRayleigh-Ritzanlisisconladosvectores
acalcularunaaproximacinalams pequeovalor propioycorrespondientevector propio.9. EllaesserreclamadoqueSi,enlasolucindelageneralizadaeigenproblemaK f>=AM f>,laRitzvectoresson"'1= !> T+2 1> 2"'2=3 f> t- 1> 2donde f> ty !> 2sonlavectores propioscorrespondienteaEnyA2,entonceslaAnlisis de Rayleigh-Ritzvoluntaddarlaexactovalores propiosEnyA2ylacorrespondientevectores propios f>1y 1> 2.Mostrarexplcitamentequeesteresultadoesen efectoobtenido.10. Considerarlasiguienteprimaverasistema.a. Evaluarlaexactoms pequeofrecuenciadelasistema.(B)Evaluarunaaproximacindelams pequeofrecuenciaporusolacomponentemodosynthe sistcnicaenSeccin10.3.3.Usoslolavector propiodelams pequeofrecuenciadecada componenteenlasistema.Componente1-------------,/Km * \l1...._------------ ""K =10k =1m = 2 m * =1
4. SOLUCINERRORESUnaimportantepartedeunavalor propioyvectorsolucinesaestimacinlaprecisincon la cuallanecesarioeigensystemtieneestadocalculado.Desdeunaeigensystemsolucines necesariamenteiterativo,lasolucindeberaserfinalizadouna vezconvergenciadentroladescri- pretoleranciasdandolarealprecisintieneestadoobtenido.Cundounodelaaprox imatesolucintcnicasesbozadoenSeccin10.3esutilizado,unaestimacindeElrealprecisin de la solucinobtenidoesdecursotambinimportante.1. ErrorLmitesEnordenaidentificarlaprecisinquetieneestadoobtenidoenunaeigensolution,nosotrosretiradaque laecuacinaserresueltoesK=AM(10.96)DejarnosotrosprimeroasumirqueusocualquierunosolucinprocedimientoobtuvimosunaaproximacinXyToaneigenpair.Entoncessinrespectoacmolavalorestenerestadoobtenido,nosotrospuede evaluarunresidualvectorquedaimportanteinformacinacerca delaprecisinconqueXyaproximadolaeigenpair.Laresultadossondadoen(10.101)a(10.104).NosotrosentoncespresentetambinerrorencuadernadoClculostilensolucionesbasadoeninversoiteracionesyunsimpleerrormedir.EstndarEigenproblemaConsiderarprimeroqueM=l.Enquecasonosotroslataescribirr= K-Xyusolarelacionesen(10.12)y(10,13),nosotrostenerr=CIA (A-XI) CLA r (i)oporqueXesnoigualperoslocercaaunavalor propio,nosotrostenerCi)=CIA (A-Xlt1cl rrPor lo tanto,porque11llz=1,tomanormasnosotrosobtener1: S;II se aproximaf>2.Paralaestimacinnosotrosusolarelacinen(10.102).Enestecasonosotrostener
conmin! Al-1 = 1,3Por lo tanto,desdeX=3,1,nosotrosteners=0.9y11(J)-A2A !> 2ll2: 50.3744Evaluacin11 !>- !> 2ll2exactamente,nosotrostener11a > - 1> 2112=[(O.7-y +(0.1414-0)2+(-0.7+Ao=0.1418Ejemplo10.22:ConsiderarlaeigenproblemaKa f>=AA f>,dondeK =[JLavalores propiosyvectores propiosdelaproblemason1 1A2=101, 1> 2=v-'2[-1JAsumirquenosotrostenercalculadovalor propioyvector propioaproximacionesA-=100,!->=[1] 0Evaluarryasestablecerlarelacionesdadoen(10.101)y(10.102).En primer lugar,nosotroscalcularrcomodadoen(10,97),
Por lo tanto,llrll2=1y(10.101)rendimientosminiA-XI: 511(A)Por lo tanto,nosotroslataconcluirqueunavalor propiotieneestadoaproximadaconacerca de1por cientoo menoserror.DesdesabemosEnyA2,nosotroslatacompararXconEnoA2yencontrarque(A)haceen efectobold.En vista deahoralavector propioaproximacin f>,nosotrosnotaque f>hacenoaproximar cualquiera f> to !> 2 Esteestambinreflejadaporevaluacinlarelacin(10.102).Suponiendoque f>esunaaproximacina !> T.quedas=1,nosotrostener11(J)-un1 !> tlb: 51
Del mismo modo,asumiendoes decirunaaproximacina2.nosotrosobtener11-a22ll2S:1yenamboscasoslaencuadernadoobtenidoesmuygrande(Notaquell1ll2=1yll2 libras=1),indicandoque hacenoaproximadounavector propio.GeneralizadEigenproblemaConsiderarahoraquenosotrosdesearaestimacinlaprecisinobtenidoenlasolucin deuneigenproblema generalizadaK =AM .Asumirquenosotrostenercalculadocomounaaproximacina;y;lavaloresXy.Luego,enanalogaalaClculosrealizadoanteriormente,nosotroslatacalcularunaerrorvectorRM,donderM=K-XM(i) (10.103)Enordenarelacionarlaerrorvectoren(10.103)alaerrorvectorquecorrespondeala normaeigenproblema,nosotrosusoM=Ssr,y luegor=icf,-Xcf,(10.104)donder=s- RM, rMcl>/rM consistededosnmerosquesonfcilmentecalculadoenlaiteraciones.Mientraslaarribaerrorlmitessonmuyefectiva,ellaesfinalmente tambindeintersaconsiderar lasiguientesimpleerrormedir:IIK (i) -XM (i) ll2E=IIK112(10.lOS)1Aevitarla factorizacindeMnosotros podemosen lugarconsiderarlaproblemaMe,=A-1Kc,sila factorizacin deKesyadisponible,yentoncesestablecerlmitesenA-1
Dado que,fsicamente,K representalaelsticonodalpuntofuerzasyAMrepresentala inercianodalpuntofuerzascundolafinitoelementomontajeesvibrandoenlamodo, queevaluaren(10.108)lanormadefuera de equilibrionodalpuntofuerzasdivididoporlanormadenodal elsticapuntofuerzas.EstecantidaddeberaserpequeosiXysonunaexactosolucindeunaeigenpair.SiM=1,elladeberaDebe observarsequenosotroslataescribiryPor lo tanto,XE=/ Lrll2E2 ::mm.1A; -XI(10.109);'---'-A= ----'(10.110)Ejemplo10.23:ConsiderelaeigenproblemaK=AM,dondeK=[10 -Lo] M=[2 1]-10 100'14Laexactovalores propiosyvectores propiosa12 dgitosprecisinsonA1=3.863385512876;0.640776011246]1=[,105070337503-0.401041 986 380]A2=33,279471629982;2=[0.524093989558Asumirque(Yo)=(1+s2) c,dondeeestalque(I) TM=1yS =10-1,10-3,y10-6 ParacadavalordeSevaluarXcomolaRay1eighcocientede(Yo)ycalcu1atelalmites de errorbasadoen(10.104),(10.106),ylaerrormedirEdadoen(10,108).Lasiguientetab1eresumelaresu1tadosobtenido.Laecuacionesusadoaevaluarlas cantidadessondadoen(10.103)a(10.108).Laresultadosenlatab1eshowqueparacadavalorde SlaerrorlmitessonsatisfechoyqueEestambinpequeoparaunaexactosolucin.S10-1 10-310-60.597690792656 ,6403746490730,6407756102040.156698194481 ,105594378695 0,1050708615974LK4,154633890275 3,863414928932 3,863385512905X 4,154633890275 3,863414928932 3,863385512905-1.207470493734 -0,008218153965 -0,000008177422rM4,605630581124,049838803226 ,0000498700851.634419466242 0,0211067436170,0000211523641.411679295681 ,0150425453270,000015049775JA1-XJ0,291248377399 0,000029416056 ,000000000029Bound 2,159667897036 ,025918580132 ,000025959936 (10.101 / 10.104)Bound 2,912483773983 ,029416056744 0,000029433139(10.106)Mida 0,447113235813 0,007458208660 0,000007491764(10.108)
886PreliminaresalaSolucionesdeEigenproblems Cap.102. Ejercicios11. LasiguienteerrorencuadernadoesdiscutidoporJ.StoeryR.Bulirsch[A].DejarLaserunsimtricomatrizyA;serunavalor propiodeA;entoncesminlA; -xrAx1: 5iXTXparacualquiervectorx*O.Showque(10.105)a(10.107)seguirdesdeestefrmula.12. ConsiderarlaeigenproblemaenEjercicio10.1.Dejar
Calcula utilizando(10.105)yp ().Estosvalores,p (Ci))yCi),sonahoralamejorlas approximaaunavalor propioyvector propio.Establecerlaerrorlmites(10.101)[con(10.103)]y(10,106).Tambinevaluarlaerrormedir(10,108).
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