Mecanica y Resistencia de Materiales FIP UNI
CAPITULO III
CENTROS DE GRAVEDAD
MOMENTOS DE INERCIA
Mecánica y Resistencia de Materiales FIP UNI
SUMILLA1. Centro de gravedad, centroides
2.Momentos de Inercia
3.Teorema de Steiner.
4.Ejes y momentos principales de Inercia
5.Circulo de Mohr para Momentos y productos de Inercia.
6.Problemas
OBJETIVOS.1. Recordar y calcular centros de gravedad, centroides,el momento de Inercia y producto de inercia de las masas.
2. Introducir el producto de Inercia de un área y enseñar como se calculan los momentos de inercia máximo y mínimo.
3.Conocer las propiedades de las secciones transversales en elementos estructurales e identificar la variable que implica el estudio de Momento de Inercia.
Capitulo 3 Centro de Gravedad : Estática y Resistencia de Materiales
Centro de Gravedad El peso de un cuerpo es la fuerza de la atracción gravitacional de la tierra sobre el cuerpo.
El peso Resultante de todas sus partículas pasa a través de un punto llamado CENTRO
DE GRAVEDAD
Centro de gravedad de una placa
Centro de gravedad de una área
Momentos estáticos o de 1º orden
x, y : coordenadas de centro de gravedad de área
Capitulo 3 : Estática y Resistencia de Materiales
Centro de Gravedad de figuras compuestasContribución de cada figura geométrica simple
ii
ii
AyAy
AxAx
Simetría•Si hay eje de simetría, centro de gravedad sobre ese eje.
•Si hay dos ejes de simetría perpendiculares,punto de intersección es centro de gravedad.
Ejemplo:
Capitulo 3 : Estática y Resistencia de Materiales
Centro de Gravedad Determinar el centroide de la figura
compuesta
ƩAX ƩAyX= ---------- =3cm ; y= --------= 97/22=4.409
ƩA ƩA
6cm2cm
5cm
2cmx
Seccion Area x Y AX AY
1 12 3 6 36 72
2 10 3 2.5 30 25
Sumat. 22 66 97
Capitulo 3 Centro de Gravedad –Centroides : Estática y Resistencia de Materiales
Centro de Gravedad
Capitulo 3 Fuerzas Distribuidas: Estática y Resistencia de Materiales
Cargas distribuídas sobre vigas
(útil cálculo de reacciones)
Ejemplo
Capitulo 3 Fuerzas Distribuidas: Estática y Resistencia de Materiales
TEOREMA PAPPUS GULDINUS
A=2π yc L.
Yc= distancia perpendicular desde el eje de revolución al centroide de la curva
L= longitud de la curva
Los dos teoremas de Pappus y Guldin, desarrollados en un principio por Pappus de Alejandría durante el siglo tercero a. c. y establecidos posteriormente por el matemático suizo Paul Guldin o Guldinus (1577-1643), se utilizan para calcular la superficie y volumen de cualquier objeto de revolución. PRIMER TEOREMA. El área de una superficie en revolución es igual a la longitud de la curva
generatriz multiplicada por la distancia recorrida por el centroide de dicha curva al momento de generar la superficie:
SEGUNDO TEOREMA El volumen de un cuerpo de revolución es igual al área generatriz multiplicada por la
distancia recorrida por el centroide del área al momento de generar el cuerpo:
V=2π yc A
Capitulo 3 Fuerzas Distribuidas: Estática y Resistencia de Materiales
El área de una superficie de revolución es igual a la longitud de la curva generatriz multiplicada por la distancia recorrida por el centro de gravedad
de la curva cuando se engendra la superficie
Conocido el centro de gravedad de la curva generatriz, se puede calcular el área de la superficie de revolución
Cálculos de los centros de gravedad: Primer teorema de Pappus-Guldin
Capitulo 3 Fuerzas Distribuidas: Estática y Resistencia de Materiales
Cálculos de los centros de gravedad: Segundo teorema de Pappus-Guldin
El volumen de un cuerpo de revolución es igual al área generatriz multiplicada por la distancia recorrida por el centro de gravedad del área
cuando se engendra el cuerpo
Conocido el área de la superficie generatriz, se puede calcular el volumen del cuerpo de revolución
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MOMENTOS DE INERCIA
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INTRODUCCION
En mecánica muchas aplicaciones requieren que se conozca la resistencia a la rotación de los cuerpos o propiedades físicas involucradas en el calculo de otras magnitudes.
En Física I el tema se aplicaba solo a masas. Sin embargo gracias a ello se demostrara que el momento de Inercia es una propiedad aplicable también a áreas planas.
¿Cuál de estos giros resulta más difícil?El momento de inercia de un cuerpo indica su resistencia a adquirir una aceleración angular
Una bailarina tendrámás momento de inercia si extiende los brazos, girara más rápido si los contrae.
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MOMENTO DE INERCIA DE MASA.Considere una pequeña masa m que esta montada sobre una barra, la cual puede rodar libremente sobre un eje AA´. Si se aplica un par al sistema, la barra y la masa las cuales estaban en reposo comienzan a girar alrededor de AA. Por tanto el producto de r2m proporciona una medida de inercia, esto es, una medida de la resistencia que ofrece el sistema cuando se trata de ponerlo en movimiento. Por esta razón el producto de r2m es llamado el momento de inercia de la masa con respecto al eje AA´. El momento de inercia es igual a la integral:
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MOMENTO DE INERCIA DE MASA.El momento de inercia de un cuerpo con respecto a un eje coordenado puede expresarse en términos de la coordenadas x, y y z. Del elemento de la masa dm se pueden obtener expresiones similares para los momentos de inercia con respecto a los ejes x, y y z:
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MOMENTO DE INERCIA DE AREAS.Considere una placa delgada de espesor uniforme t , la cual esta hecha de material homogéneo de densidad p (densidad = masa por unidad de volumen). El momento de inercia de masa de la placa con respecto a un eje AA´ esta dado por:
Como dm = pt dA, se escribe
Capitulo 7 Momentos de Inercia: Estática y Resistencia de Materiales
Momentos de Inercia de Areas.
A
xy dAyxI
Momento de Inercia respecto eje x o y
Momento de Inercia polar
Momento de Inercia centrífugo(producto
de Inercia)
Momento de Inercia del rectángulo
3
A
h
0
22x bh
31
bdyydAyI
bdydA
Momentos de 2º orden
Capitulo 7 Momentos de Inercia : Estática y Resistencia de Materiales
Momentos de Inercia de áreas de formas comunes
x , y ejes baricéntricos x´, y´ ejes de referencia alternativos
Capitulo 7 Momentos de Inercia : Estática y Resistencia de Materiales
Momentos de Inercia de áreas de formas comunes
El radio de giro de un área con respecto a un eje particular es igual :a la raíz cuadrada del cociente del segundo momento de área dividido por el área:
Capitulo 7 Momento de Inercia : Estática y Resistencia de Materiales
Teorema de Steiner o de los ejes paralelos
Consideremos el momento de inercia I de una área A con respecto a un eje AA' (figura). representando con y la distancia desde un elemento de área dA hasta AA', escribimos
Dibujemos ahora un eje BB' paralelo a AA' que pase por el centroide C del área: este eje es llamado un eje centroidal. Llamando y' la distancia del elemento dA a BB', escribimos y = y' + d, donde d es la distancia entre los ejes AA' y BB'. Remplazando y en la integral de I, escribimos:
I AA´= / IBB c +/2dQBB +/ Ad2
El primer termino representa el momento de inercia I del área con res pecto al eje centroidal BB'. El segundo representa el momento de primer orden del área con respecto a BB'; como el centroide C del área está localizado sobre ese eje ,(se elimina) La segunda integral debe ser nula. Final mente, observamos que la última integral es igual al área total A.
Capitulo 7 Momento de Inercia : Estática y Resistencia de Materiales
Formulacion Teorema de Steiner o de los ejes paralelos
IXG: momento de inercia respecto a eje baricéntrico
IX: momento de inercia respecto a eje alternativo
A : área de la figura
yG: distancia entre ambos ejesRotación de ejes
2cosI2sen2
III
2senI2cos2
II
2
III
2senI2cos2
II
2
III
xyyx
yx
xyyxyx
y
xyyxyx
x
Capitulo 7 Momentos de Inercia : Estática y Resistencia de Materiales
Momentos Principales de Inercia
yx
xym
2xy
2yxyx
minmax,
II
I22tg
I2
II
2
III
Círculo de MohrEs utilizado para ilustrar las relaciones que existen entre los momentos y productos de inercia de un area dada respecto a ejes que pasan por un punto fijo OFue inialmente por el Ingeniero Aleman Otto Mohr(1835-1918)
Capitulo 7 Momentos de Inercia : Estática y Resistencia de Materiales
Momentos Principales de Inercia
Círculo de Mohr
Capitulo 7 Momentos de Inercia : Estática y Resistencia de Materiales
Momentos Principales de Inercia
Círculo de Mohr
Capitulo 7 Momentos de Inercia : Estática y Resistencia de Materiales
Momentos Principales de Inercia
Círculo de Mohr
Capitulo 7 Momentos de Inercia : Estática y Resistencia de Materiales
Momentos Principales de Inercia
Círculo de Mohr
Capitulo 7 Momentos de Inercia : Estática y Resistencia de Materiales
Momentos Principales de Inercia
Círculo de Mohr
Capitulo 7 Momentos de Inercia : Estática y Resistencia de Materiales
Momentos Principales de Inercia
Círculo de Mohr Se conoce Iox, Ioy,Pxy , se ubica los puntos A y B
Capitulo 7 Momentos de Inercia : Estática y Resistencia de Materiales
Momentos Principales de Inercia
Círculo de Mohr
Capitulo 7 Momentos de Inercia : Estática y Resistencia de Materiales
Momentos Principales de Inercia
Círculo de Mohr
Capitulo 7 Momentos de Inercia : Estática y Resistencia de Materiales
Momentos Principales de Inercia
Círculo de Mohr
Capitulo 7 Momentos de Inercia : Estática y Resistencia de Materiales
Momentos de Inercia de figuras compuestas• Dividir área en figuras geométricas simples.• Ubicar su Centro de gravedad.• Calcular momentos de inercia baricéntrico de cada figura.• Aplicar T. De Steiner para cada figura.
Ejemplo:
Capitulo 7 Momentos de Inercia : Estática y Resistencia de Materiales
PROBLEMAS. Ejemplo 1
62xx
63x
10*2.138)2/h(*)bh(II
10*55.34bh121
I
1
1
622xx
6x
22x´AA
64´AA
10*3.92)b(*)2/R(II
10*2.7I
)a(*)2/R(II
10*76.25R81
I
666x 10*9.4510*3.9210*2.138I
Ejemplo 2
yx*AII
97.6I38.10I
0
yxxy
yx
º7.127
º7.3797.638.10)56.6(2
II
I22tg
897.1I45.15I
56.62
97.638.102
97.638.10I
I2
II
2
III
min
maxyx
xym
minmax
22
minmax,
2xy
2yxyx
minmax,
Fig. Area x1 y1 A*x1* y1
I 1.5 -1.25 1.75 -3.28
II 1.5 0 0 0
III 1.5 1.25 -1.75 -3.28
Ixy -6.56
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