LISTA DE EJERCICIOS PROPUESTOS DE MATRICES
1. Escribir explıcitamente las siguientes matrices.
a) A = [aij ]3×2, donde aij = i+ 3j b) A = [aij ]3×3, donde aij = 2i + 3j
c) A = [aij ]3×4, donde aij = max{i, j} d) A = [aij ]4×3, donde aij = 2i − (−1)j
2. Mediante la igualdad de matrices. Hallar las incognitas.
a)
[2x+ y2x− 3y
]=
[4−4
]b)
[x− y 3u+ vx+ y u− 2v
]=
[3 04 1
]c)
[x2 3y2u (w + 1)2
]=
[4 161 9
]d)
[x− 2 01 y + 1
]=
[4 w + 2
1− z 0
]
3. Dadas las siguientes matrices:
i) A =
1 32 50 2
, B =
0 −13 41 1
ii) A =
3 2 4 25 1 0 1−3 0 1 3
, B =
−2 6 −1 80 2 3 −34 −1 8 4
a) Calcular A±B b) Calcular At , Bt , (A±B)t
4. Si
[x yz w
]=
[−x 6−1 2w
]+
[4 x− y
−z − w 3
]. Hallar x+ y + z + w
5. Cosideremos las matrices siguientes:
A =
2 −1 40 1 −11 3 2
B =
3 −1 01 −1 10 1 2
Calcular:
a) A+B , b) 3A− 2B , c) AB , d) BA
6. Si A =
1 2 22 1 22 2 1
. Demuestre que A2 − 4A− 5I = 0
7. Dada la matriz D =
5 8 43 2 57 6 0
, halle una matriz E tal que D + E de la matriz unitaria.
8. Hallar una matriz C tal que A+B − C = 0 donde:
A =
2 446 8810 12
y B =
−6 −42 −128 6
9. Consideremos las siguientes matrices:
A =
1 23 45 6
, B =
2 −13 −20 1
, C =
4 211 0−2 4
Calcular:
a) A+B , b) A−B , c) (A+B) + C , d) (A−B) + C
10. Sı A =
[2 −12 3
], B =
[1 12 4
]. Hallar A2 +B y B2 −A
1
11. Consideremos dos matrices: A =
3 2 −4 0 54 1 3 1 65 0 −1 4 42 3 0 2 1
, B =
2 1 −5 −1 44 1 3 1 64 −1 −2 3 31 2 −2 1 0
.Hallar
a) A+B , b) A−B , c) (A+B) + C
12. Dadas las matrices: A =
[1 −32 5
]y B =
[4 −12 6
]Hallar X en:
(A−B)t +X = 2(Bt +A)
13. Dadas las matrices: A =
1 5 −33 0 6−2 1 2
y B =
1 −4 2−3 1 −53 2 1
Hallar X de la ecuacion:
(A+B +X)t = 2(At −B)
14. Dadas las matrices A , B y C donde:
A =
1 1 22 −1 23 −1 2
, B =
1 1 12 1 13 −1 1
, C =
1 1 12 1 40 0 0
Verifique que AC = BC
15. Dadas las matrices: A , B y C donde:
A =
[−1 0 57 −2 0
], B =
1 7 0−3 −1 03 0 5
, C =
−1 −12 00 4
Verifique que (AB)C = A(BC)
16. Dadas las matrices:
A =
2 −3 −5−1 4 51 −3 −4
, B =
−1 3 51 −3 −5−1 3 5
y C =
2 −2 −4−1 3 41 −2 −3
Demostrar que AB = BA = 0 , AC = A , CA = C
17. Dadas las matrices:
A =
1 1 −12 0 33 −1 2
, B =
1 30 2−1 4
y C =
[1 2 3 −42 0 −2 1
]
Demostrar que (AB)C = A(BC)
18. Calcular AB −BA donde: A =
1 2 12 1 21 2 3
, B =
4 1 1−4 2 01 2 1
19. Hallar a , b , c y d para que satisfaga la ecuacion:
[a b c d1 4 9 2
]1 0 2 00 0 1 10 1 0 00 0 1 1
=
[1 0 6 41 9 8 6
]
2
20. Sı:
[2 b 1 da −2 c 1
]1 1 2 03 0 1 20 3 0 00 0 1 1
=
[11 5 a 0−5 7 1 −b
]
Hallar el valor de M = a+ b+ c+ d
21. Sı:
0 2 −12 0 1−3 −1 0
xyz
=
15−3
. Calcular E = x+ y + z
22. Hallar x, y, z sı:
1 2 00 1 51 0 1
xyz
=
152
23. Hallar (Xt +A)t , sı AX = At , donde: A =
[1 12 3
]24. Dadas las matrices:
A =
3 2 −12 5 −3−1 0 1
, B =
xyz
y C =[1 −2 −3
]Sı BtA = C. Hallar E = x+ y + z
25. Hallar el valor de x para que el cual el siguiente producto es la matriz identidad. 2 0 70 1 01 2 1
−x −14x 7x0 1 0x 4x −2x
26. Efectuar la multiplicacion de las siguientes matrices:
a)
1 2 32 4 63 6 9
−1 −2 −4−1 −2 −41 2 4
, b)
1 2 10 1 23 1 1
2 3 1−1 1 01 2 −1
11 22 110 1 23 1 1
c)
a b cc b a1 1 1
1 a ca b b1 c a
27. Encontrar el valor de A3 − 2A2 − 9A , siendo: A =
2 1 31 −1 21 2 1
28. Sı: A =
1 2 22 1 22 2 1
. Demuestre que: A2 − 4A2 − 5I = 0
29. Sı: A =
5 4 −24 5 −2−2 −2 2
. Demuestre que: A2 − 11A+ 10I = 0
30. Dadas las matrices A,B y C donde:
A =
1 −3 52 1 −34 −3 −1
, B =
1 4 1 02 1 1 11 −2 1 2
, C =
2 1 −1 −23 −2 −1 −12 −5 −1 0
.
Encontrar AB −AC
30. Si la matriz A =
1 a− b −12 3 bb− x a− x 4
es simetrica. Hallar A2
3
31. Demostrar que la matriz de segundo orden A =
[a bc d
]satisface a la ecuacion:
x2 − (a+ d)x+ ad− bc = 0
32. Sı
A =
2 3 −2−1 4 30 2 1
, B =
6 2 40 2 −23 0 −1
y C =
2 1,5 1,55 2 22 7,5 −3,5
.
Hallar la matriz M = (AB)t − 2C
33. Sı A y B son matrices involutas y AB = BA =
−5 −8 03 5 01 2 −1
Hallar la traza de la matriz M = (A+B)2
34. Demostrar que la matriz A es idempotente
a) A =
2 −2 −4−1 3 41 −2 −3
b) A =
2 −3 −5−1 4 51 −3 −4
c) A =
−1 3 51 −3 −5−1 3 5
.
35. Demostrar que la matriz A es nilpotente
a) A =
1 1 35 2 6−2 −1 −3
b) A =
1 −3 −4−1 3 41 −3 −4
36. Demostrar que la matriz A es involutiva
a) A =
0 1 −14 −3 43 −3 4
b) A =
4 3 3−1 0 −1−4 −4 −3
c) A =
−1 −2 −21 2 1−1 −1 0
d) A =
−3 −6 22 4 −12 3 0
e) A =
−5 8 03 5 01 2 −1
37. Sabiendo que: A =
1 1 10 1 10 0 1
. Demostrar que: An =
1 nn(n+ 1)
20 1 n0 0 1
38. Explıque por que no es valida, en general, la siguiente formula, en donde A y B son matrices cuadradas del
mismo orden: (A+B)2 = A2 + 2AB +B2. De un contraejemplo.
39. Que condicion debe cumplir dos matrices cuadradas del mismo orden, A y B, para que:
(A+B)2 = A2 + 2AB +B2
4
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