MATEMATICA MATEMATICA IIII
Prof. NORMA ACOSTA TAFURProf. NORMA ACOSTA TAFUR
Licenciada en Matemática PuraLicenciada en Matemática PuraMaestrMaestríía en Docencia Universitariaa en Docencia Universitaria
Doctorado en EducaciónDoctorado en Educación
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EVALUACIÓN3 Prácticas Calificadas (Lunes)Examen Parcial y Final (Domingo)Evaluación Continua (Mensual)
PuntualidadTareasTalleresEvaluación IndividualParticipación en clase
5
MATRIZ
−=
4
1
2
0
5
3
A
Ejemplo:
Es una matriz de 3 filas y 2 columnas
Por definición es un arreglo de números ordenados en filas y columnas.
COLUMNASCOLUMNAS
FILASFILAS
Orden de una matriz Esta dado por el número de
filas y columnas.
−=
4
1
2
0
5
3
A
3x2
1 3/2 2
3/2 2 5/2
=B
2x3
En general:
nxmmnmm
n
n
a...aa.
.
.
.a...aa
a...aa
A
=
21
22221
11211
A = [ aij ]m x n
−
−=
672
014
523
C
3x3
7
Construcción de una Matriz
Construir la siguiente matriz:
A = [ aij ]2x3 tal que:
≠+
=−=
jiSi,ji
jiSi,jiaij
2
2
=
232221
131211
aaa
aaaA
a11 = ,a12 =
a13 = ,a21 =
a22 = ,a23 =
Solución:
1 3/2
2 3/2
2 5/2
1 3/2 2
3/2 2 5/2
=A
8
IGUALDAD DE MATRICES
−=
54
31
52
1
y
x 23 =∧−= yx
2340
31
52
x
A
−=
TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ
Definición.- Si A es de orden m x n , entonces AT es de orden n x m
( la transpuesta cambia filas por columnas).
32435
012
x
TA
−=
PROPIEDAD: (AT)T = A
Ejemplo:
Ejemplo:
Dos matrices son iguales si y solo si, tienen el mismo orden y los mismos elementos
Matrices EspecialesMatrices Especiales
Matriz NulaMatriz Nula Matriz CuadradaMatriz Cuadrada
Matriz DiagonalMatriz Diagonal Matriz identidadMatriz identidadMatriz EscalarMatriz Escalar
430000
0000
0000
x
O
=
−=
500
010
002
A
=
700
070
007
B
33672
014
523
x
A
−
−=
Diagonal principal
33100
010
001
x
I
=
11
Matriz Triangular superior.-
−
−=
300
150
941
A
Matriz Triangular inferior.-
−
−
=
7863
0129
0057
0003
B
TAA =
=
bc
caA
=
cfe
fbd
eda
A
Matriz Simétrica
La Diagonal principal toma cualquier valorExtremos iguales
TAA −=
−
=0
0
c
cA
−−−=
0
0
0
fe
fd
ed
A
Matriz Antisimétrica
La Diagonal principal son cerosExtremos iguales con
signo diferente
SUMA DE MATRICES
Definición.-
y
Ejemplos:
=
−−−
−+
−
−
2x32x312
52
87
810
50
32
2x3712
02
55
−
−
2322 89
31
92
43
15
xx
−−
−+
−No existe la suma ya que las matrices son de diferente orden
mxnmxnmxn CBA =+ ijijij bac +=
RESTA DE MATRICES
Definición.-
y
Ejemplos:
=
−−−
−−
−
−
232312
52
87
810
50
32
xx 2398
102
119
x
−−
−
2223
43
15
89
31
92
xx
−−
−−
−No existe la resta ya que las matrices son de diferente orden
mxnmxnmxn NBA =− ijijij ban −=
PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES
1. A + B = B + A (propiedad conmutativa)
2. A + (B + C) = (A + B) + C (propiedad asociativa)
3. A + O = O + A = A (propiedad del neutro aditivo)
4. (A + B)T = AT + BT
Si A, B y C son matrices del mismo orden, entonces:
MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR
• Ejm:
=
−
−−
704
1532
mxnijkakA ][=
−−−−
−−−−)7)(2()0)(2()4)(2(
)1)(2()5)(2()3)(2(
−
−−=
1408
2106
PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR
1. k(A + B) = kA + kB
2. (k1 + k2)A = k1A + k2A
• k1(k2A) = (k1k2)A
4. 0A = O
5. kO = O
6. (kA)T= kAT
MULTIPLICACIÓN DE MATRICES
Ejemplo:
=
−−−
−=
1274
9532
0123
035
4124332 .BA xx
42x
C
=
C14 =
C12 =
C13 =
C21 =2(3) + (−1)(−2)+4(−4) =
C22 =
C23 =
C24 =
C11 =
2(2) + (−1)(3) + 4(7) =
2(1) + (−1)(5) + 4(−2) =
2(0) + (−1)(9) + 4(1) =
5(3) + (3)(−2) + 0(−4) =
5(2) + (3)(3) + 0(7) =
5(1) + (3)(5) + 0(−2) =
5(0) + (3)(9) + 0(1) =
29
−11
−5
9
19
20
27
mxpnxpmxn CBA =.
−8
C11 C12 C13 C14
C21 C22 C23 C24
PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES
1. Propiedad asociativa: A(BC) = (AB)C
2. Propiedad distributiva: A(B+C) = AB + BC
• Transpuesta de un producto: (AB)T = BTAT
4. AI = IA = A
OJO
1. El producto de dos matrices no siempre es conmutativo
Ejemplo:
−
=
−
=81
30
20
31B , A
−−−
=
−
−=
191
60
162
273BA , AB
Luego: AB ≠ BA
2 - 4 2 2 - 4 2
0 1 -30 1 -3M =M =
2 1 2 1
0 4 0 4
2 2 2 2 N =N =
22 3 43 4 A =A = 77
55
11 11
QQ = =
Hallar el producto de matricesHallar el producto de matrices
POTENCIA DE UNA MATRIZ
Si A es una matriz cuadrada y “k” un entero positivo, entonces la k-ésima
potencia de A denotada Ak es el producto de k factores de A
Ak = A.A.A . . . A
K factores
Ejemplo: 3 Acalcular , ASi
=
21
01
Solución:
=
=
43
01
21
01
21
012A
=
==
87
01
21
01
43
01AAA 23
APLICACIÓN
La empresa distribuidora de auto Toyota Mitsui de San Borja presenta las ventas del mes de Diciembre, de los autos Toyota modelo Yaris y Corolla mediante la matriz:
Mientras que las ventas en la Av. La Marina está representada por
a) ¿Cuál es el modelo y color más vendido en cada local?
=
302025
504030A
Negro
Yaris
Corolla
Rojo Plata
=
352030
405025B
Negro
Yaris
Corolla
Rojo Plata
b) ¿Cómo podría representar la venta total de ambos locales?
c) ¿Cuál es el modelo y color del auto menos vendido en el mes de diciembre?
a) Más Vendido por local:En San Borja Yaris color PlataEn la Av. La Marina Yaris color Rojo
b)
Venta Total=
=+
654055
909055BA
Negro Rojo Plata
Yaris Corolla
a) Menos Vendido en el mes de Diciembre:
Corolla color Rojo
8.Un agente de bolsa vendió a un cliente 150 acciones del tipo A, 250 del tipo B, 120 del
tipo C y 300 del tipo D. Si las acciones se venden a $ 15; $25, $ 50 y $ 70 por acción
respectivamente, determine el valor total de la transacción comercial en forma matricial.
Solución:
150 250150 250 120 300 120 300
A B C D1515
2525
5050
7070
A
B
C
D
= 35,500
Rpta._ el valor total de la transacción es de $ 35,500
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