CURSO CERO EN MATEMATICAS
Curso 2015/16
MATHBRIDGE
Pedro Jose Hernando Oter
Instituto Universitario “Gregorio Millan Barbany”Grupo de Modelizacion, Simulacion Numerica y Matematica Industrial
Departamento de Ciencia e Ingenierıa de Materiales e Ingenierıa Quımica
UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID
TEMARIO
• Primer Dıa
0. Repaso
0.1. Numeros, Potencias y Fracciones
0.2. Polinomios
0.3. Logaritmos y Trigonometrıa
1. Ecuaciones
1.1. Definiciones
1.2. Tipos de Ecuaciones
1.3. Sistemas de Ecuaciones Lineales
• Segundo Dıa
2. Introduccion a las Funciones
2.1. Funciones de Variable Real
2.2. Representacion Grafica
2.3. Funciones Elementales
2.4. Funcion Valor Absoluto
3. Lımites de Funciones
3.1. Concepto de Lımite
3.2. Infinito
3.3. Lımite de Funciones
3.4. Teoremas
3.5. Propiedades de los lımites
3.6. Operaciones con Infinito
3.7. Indeterminaciones
3.8. El numero e
3.9. Calculo de lımites
• Tercer Dıa
4. Continuidad
4.1. Intervalos y Entornos
4.2. Definicion de Continuidad
4.3. Propiedades de las Funciones Continuas
4.4. Continuidad de Funciones Elementales
5. Derivadas
5.1. Concepto de Derivada
5.2. Derivada de una funcion
5.3. Interpretacion Geometrica de la Derivada
5.4. Derivadas de Orden Superior
5.5. Calculo de Derivadas
5.6. Aplicaciones de la Derivada
• Cuarto y Quinto Dıa
6. Integrales
6.1. Introduccion
6.2. Integral Definida
6.3. Funcion Primitiva
6.4. Regla de Barrow
6.5. Integral Indefinida
6.6. Teorema Fundamental del Calculo
6.7. Propiedades de las integrales
6.8. Integrales Inmediatas
6.9. Metodos de Integracion
6.10. Aplicaciones
DIA I
Sesión 0: Repaso
1 Números, Potencias y FraccionesTipos de NúmerosPotenciasFraccionesFactorial y Números Combinatorios
2 PolinomiosDefinicionesOperaciones con PolinomiosDivisibilidad de Polinomios
3 Logaritmos y TrigonometríaLogaritmosPropiedades de los LogaritmosTrigonometría
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1.1. Tipos de Números
Naturales : N = {1, 2, 3, . . .}Enteros : Z = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . .}Racionales : Q =
{ab: a ∈ Z, b ∈ N
}
Número finito de decimales.Infinitos decimales pero periódicos.
Irracionales : I = {Infinitos decimales no periodicos}Reales : R = Q ∪ IComplejos : C = {a + bi : a, b ∈ R , i =
√−1}
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1.2. Potencias
an = a · a · . . . · an baseexponente
a−n =1an =
1a · a · . . . · a
n
ab/c =c√ab
a−b/c =1
ab/c =1
c√ab
a0 = 1
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1.1. Propiedades de las Potencias
axay = ax+y
ax
ay = ax−y
(ax)y = axy
(axbx) = (ab)x
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1.2. Fracciones
Fracción: Cociente de dos enterosab
; b 6= 0
Fracciones Equivalentesab
es equivalente acd
si a · d = b · c
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1.2. Operaciones con Fracciones
Suma y Resta :ab± c
d=
ad ± cbbd
[Mejor con el m.c.m]
Producto :ab· cd
=acbd
Cociente :ab÷ c
d=
abcd=
adbc
Potencias :(a
b
)n=
an
bn
Raíces : n
√ab=
n√
an√
b
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1.2. Racionalización de Fracciones
a√b
=a√
bb
x√
a +√
b=
x(√
a −√
b )
a − b (x + y)(x − y) = x2− y2
x√
a −√
b=
x(√
a +√
b )
a − b
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1.3. Factorial y Números Combinatorios
Factorialn! = 1 · 2 · 3 . . . · n 0! = 1
Números Combinatorios
(ba
)=
b!a! (b − a)!
b ≥ a
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2.1. Polinomios. Definiciones
Definición
P(x) = anxn + an−1xn−1 + . . .+ a1x + a0 ; ai ∈ R
n : Grado del polinomio (si an 6= 0)a0 : Término independientean : Coeficiente principal o directorMonomio : cada uno de los términos
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2.2. Operaciones con Polinomios
Suma:
P(x)+Q(x) = (an+bn)xn+(an−1+bn−1)xn−1+. . .+(a0+b0)
Producto:
P(x) · Q(x) = (anxn + . . .+ a0) · (bnxn + . . .+ b0)
Potencia:
[P(x)]n = P(x) · P(x) · . . . · P(x)
n
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2.2. Productos Notables
(a + b)(a − b) = a2 − b2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ; (a − b)2 = a2 − 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
Binomio de Newton
(a + b)n =n∑
i=0
(ni
)an−i bi =
(n0
)an +
(n1
)an−1b + . . .+
(n
n − 1
)abn−1 +
(nn
)bn
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2.3. Divisibilidad de Polinomios
DefiniciónSe dice que un polinomio P(x) es divisible por otro polinomio Q(x)si existe un determinado polinomio C (x) tal que:
P(x) = Q(x) · C (x) grado P(x) ≥ grado Q(x)
Generalización
P(x) = Q(x) · C (x) + R(x) Grado R(x) < grado Q(x)
P(x)
C(x)R(x)
Q(x)
Cociente
Dividendo Divisor
Resto
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Ejemplo
6x4
+ 4x2 + x - 5 2x2
- 1
-6x4
+ 3x2
0 7x2
+ x - 5
-7x2
+ 7/2
0 x - 3/2
3x2
+ 7/2
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2.3. Ruffini
Caso: Q(x) = x ± a
3x3 - 5x2 + 2x - 7 x - 2
3 -5 2 -7
6 2 8
3 1 4 1
2
Q(x) = 3x2 + x + 4
R(x) = 1
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2.3. Valor Numérico y Raíces de un Polinomio
Valor Numérico de un PolinomioSea un polinomio P(x) y α ∈ R.Se llama valor o valor numérico de P(x) en el punto x = α alnúmero real que se obtiene al substituir x por α en P(x).
P(α) = anαn + an−1α
n−1 + . . .+ a0 ∈ R
Raíz de un PolinomioSe dice que r ∈ R es una raíz del polinomio P(x) si:
P(r) = 0
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2.3. Teoremas
Teorema del RestoEl resto de la división del polinomio P(x) por x − α coincide conP(α).Esto es claro, pues al efectuar la división tenemos:
P(x) = (x − α)C (x) + R(x)
Si x = α =⇒ P(α) = R .
TeoremaEl polinomio P(x) es divisible por x − α si y sólo si P(α) = 0.
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2.3. Cálculo Práctico de las Raíces de un Polinomio
Polinomio de Coeficientes EnterosSea un polinomio P(x) con todos sus coeficientes ai enteros.Entonces:
1 Si tiene una raíz entera r , ésta debe ser un divisor de a0.2 Si tiene una raíz racional r = p
q (irreducible), entonces elnumerador p debe ser un divisor de a0 y el denominador qdebe ser un divisor del coeficiente principal an.
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2.3. Descomposición de un Polinomio en Factores
Descomposición en Factores
Si un polinomio P(x) de grado n tiene las raíces r1, . . . rm, entoncesse puede descomponer de la forma:
P(x) = (x − r1)(x − r2) · · · (x − rm)Cm(x)
donde Cm(x) es un polinomio de grado n −m.
En particular si P(x) tiene tantas raíces reales como su grado, esdecir r = m, entonces:
P(x) = an(x − r1)(x − r2) · · · (x − rm)
siendo an el coeficiente principal.
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2.3. Polinomios Irreducibles
Polinomios IrreduciblesUn polinomio se dice irreducible si no pude descomponerse enproducto de dos o más polinomios de grado mayor o igual que uno.
Todos los polinomios de grado cero (las constantes) y degrado uno son irreducibles.No existen polinomios irreducibles de grado mayor o igual quetres.Los polinomios de grado dos irreducibles son los que no tienenraíces reales (por ejemplo P(x) = x2 + 1).
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2.3. m.c.d. y m.c.m. de Polinomios
Se llama máximo común divisor (m.c.d.) de los polinomiosP1(x), . . . ,Pn(x) a un polinomio de grado máximo que seadivisor de todos ellos.El mínimo común múltiplo (m.c.m) es un polinomio de gradomínimo del cual todos ellos son divisores.
Método de Cálculo1 Se descomponen los polinomios en factores irreducibles.2 El m.c.d. es el producto de los factores irreducibles comunes (a
todos los polinomios) elevados al menor de los exponentes queaparezcan en dichos polinomios.
3 El m.c.m. es el producto de los factores irreducibles (comunesy no comunes a todos los polinomios) elevados al mayor de losexponentes con que aparezcan en los polinomios.
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2.3. Fracciones Algebraicas
Fracciones Algebraicas
Se denomina fracción algebraica (o función racional) a la divisiónno exacta de dos polinomios P(x)
Q(x) (con Q(x) 6= 0).
Fracciones Algebraicas Iguales
Se dice que dos fracciones algebraicas son iguales (o equivalentes)si:
P(x)Q(x)
=R(x)S(x)
⇐⇒ P(x)S(x) = R(x)Q(x)
SimplificaciónSe denomina simplificar una fracción algebraica a la sustitución deuna fracción por otra equivalente, lo más sencilla que exista.
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3.1. Logaritmo
DefiniciónEl logaritmo en base b, (con b > 0 y b 6= 1), de un número "x" esel número "y" que hace que: b y = x .
log b x = y ⇐⇒ b y = x
Tipos Básicos de LogaritmosLogaritmo decimal: log10 x = log xLogaritmo neperiano o natural: loge x = ln x = log x(número e = 2.718281828...)
CuidadoPor defecto, algunos textos utilizan log como logaritmo decimal yotros como logaritmo neperiano.
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3.2. Propiedades de los Logaritmos (I)
No existen el logaritmo con base negativa: @ log−b x
No existen el logaritmo de números negativos: @ logb(−x)
No existen el logaritmo de cero: @ logb 0
El logaritmo de 1 es cero: logb 1 = 0
El logaritmo en base b de una potencia de b es igual alexponente:
logb bn = n
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3.2. Propiedades de los Logaritmos (II)
log(xy) = log x + log y
log(
xy
)= log x − log y
log xn = n log x
log n√
x =1nlog x
Cambio de Base:
logb x = (logb a) loga x
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3.3 Trigonometría: Radianes
2π Radianes = 360◦ =⇒ rad =(grados)× 2π
360
0 = 2π
/6π
/4π/3π
/2π
3 /2π
ππ
Radianes 0 π/6 π/4 π/3 π/2Grados 0 30 45 60 90
sen 0 1/2√2/2
√3/2 1
cos 1√3/2
√2/2 1/2 0
tan 0√3/3 1
√3 ±∞
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3.3 Funciones Trigonométricas
Inversas de las funciones trigonométricas:
cosec (x) =1
sen(x); sec (x) =
1cos(x)
; cotg (x) =1
tan(x)
Funciones trigonométricas inversas:
arcsen (x) = sen−1 (x) ; arccos (x) = cos−1 (x)
arctan (x) = tan−1 (x)
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3.2. Relaciones Trigonométricas
sen2 x + cos2 x = 1
sen(x + y) = sen x cos y + cos x sen y
sen(2x) = 2 sen x cos x
cos(x + y) = cos x cos y − sen x sen y
cos(2x) = cos2 x − sen2 x
tan(x + y) =tan x + tan y1− tan x tan y
tan(2x) =2 tan x
1− tan2 x
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Sesión 1: Ecuaciones
1 EcuacionesDefinicionesTipos de EcuacionesEcuaciones PolinómicosEcuaciones Racionales FraccionariasEcuaciones IrracionalesEcuaciones ExponencialesEcuaciones LogarítmicasEcuaciones TrigonométricasSistemas de Ecuaciones Lineales
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1.1. Ecuaciones. Definiciones
EcuaciónSe denomina ecuación (real de variable real) a toda expresión de laforma:
f (x) = c
donde f (x) es una función (real de variable real) y c ∈ R.
SoluciónSe denomina solución de una ecuación al conjunto de valores realesde la variable (también llamada incógnita) que verifican la ecuación.
ResolverResolver una ecuación es hallar (en caso de que existan) sussoluciones.
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1.2. Ecuaciones Equivalentes
Ecuaciones EquivalentesDos ecuaciones se llaman equivalentes si tienen las mismassoluciones.
Propiedades1 Si se multiplican los dos miembros de una ecuación por un
número real distinto de cero, de obtiene una ecuaciónequivalente a la primera. (“quitar denominadores”)
2 Si se suma una misma expresión a los dos miembros de unaecuación, se obtiene otra ecuación que es equivalente a laprimera.
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Diferencia entre ecuación e identidadUna identidad es una expresión del tipo:
f (x) = g(x)
que es válida para todos los valores de x .
Ejemplo
3x + 5 = x − 1 Ecuación (Solución: x = −3)5x = 3x + 2x Identidad2x+2 = 4 · 2x Identidad
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2. Tipos de Ecuaciones
Clasificación de las EcuacionesLas ecuaciones de una incógnita se pueden clasificar en función dela naturaleza de las expresiones que aparecen en sus miembros.
Algebraicas : si f (x) es una función polinómica.Trascendentes : si f (x) contiene al menos una funcióntrascendente : ax , log x , cos x , etc.
Dentro de las Algebraicas:Racionales : la incógnita no aparece bajo el signo radical
√.
Irracionales : en caso contrario.
Dentro de las Racionales:Enteras o Polinómicas : la incógnita no aparece en ningúndenominador.Fraccionarias : la incógnita aparece en algún denominador.
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2.1. Clasificación de las Ecuaciones
ECUACIONES
Algebraicas
Racionales
Enteras oPolinómicas
Fraccionarias
Irracionales
Trascendentes
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3. Ecuaciones Polinómicas
GradoSe denomina grado de una ecuación polinómica al grado delpolinomio del que procede.
anxn + an−1xn−1 + . . .+ a1x + a0 = 0
Ecuación Lineal o de Primer Grado
ax + b = 0 ; (a 6= 0)
Solución
ax + b = 0 ⇐⇒ ax = −b ⇐⇒ x = −ba
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3.1. Ecuaciones de Segundo Grado
ax2 + bx + c = 0
x =−b ±
√b2 − 4ac2a
x =−b +
√b2 − 4ac2a
x =−b −
√b2 − 4ac2a
Discriminante: ∆ = b2 − 4ac∆ > 0 =⇒ Dos soluciones reales distintas∆ = 0 =⇒ Dos soluciones reales iguales (Sol. Doble)∆ < 0 =⇒ Dos soluciones complejas
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3.2. Ecuaciones de Segundo Grado
Incompletas: ax2 + bx + c = 0
(a = 0) : bx + c = 0 =⇒ x = −cb
(b = 0) : ax2 + c = 0 =⇒ x = ±√−ca
(c = 0) : ax2 + bx = 0 =⇒ x(ax + b) = 0
x = 0
x = −ba
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3.3. Ecuaciones Polinómicas de Grado Superior
anxn + an−1xn−1 + . . .+ a1x + a0 = 0
Si todos los coeficientes son enteros:Sus raíces enteras (si tiene) son divisores de a0.
Sus raíces fraccionariaspq
(si tiene)
p es divisor de a0.
q es divisor de an.
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3.4. Ecuaciones Polinómicas de Grado Superior
Caso a0 = 0
ax3+bx2+cx = 0 ⇐⇒ x(ax2+bx+c) = 0
x = 0
ax2 + bx + c = 0
Bicuadrada: ax4 + bx2 + c = 0
Cambio de variable: y = x2 =⇒ ay2 + by + c = 0
x = ±√y
Generalización: ax2n + bxn + c = 0
Cambio de variable: y = xn =⇒ ay2 + by + c = 0
x = n√
y
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3.5. Ecuaciones Polinómicas de Grado Superior
Ejemplo
x6 + 7x3 − 8 = 0
C.V. : y = x3 =⇒ y2 + 7y +−8 = 0
y =−7±
√49 + 322
=7± 92
=
y1 = 8
y2 = −1
x =
x1 = 3√8 = 2
x2 = 3√−1 = −1
El resto de raíces (otras 4 más) son complejas
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4. Ecuaciones Racionales Fraccionarias
Ecuaciones RacionalesSon aquellas en las que aparecen fracciones algebraicas.
P(x)
Q(x)+ R(x) =
M(x)
N(x)
4.1. ResoluciónSe multiplican los dos miembros de la ecuación por el polinomiomínimo común múltiplo de todos los denominadores de lasfracciones algebraicas.
Se obtiene de esta forma una ecuación polinómica.
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4.2. Ecuaciones Racionales Fraccionarias
Soluciones ExtrañasAl multiplicar los dos miembros de una ecuación por un polinomio,se obtiene otra ecuación que tiene todas las soluciones de laecuación original, pero además puede tener otras adicionalesdenominadas soluciones extrañas.
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4.3. Ecuaciones Racionales Fraccionarias
Ejemplo
xx − 1
= x + 1 +1
x − 1Múltiplicando los dos miembros por x − 1 :
x = x2 − 1 + 1 ; x = x2 ; x(x − 1) = 0{
x1 = 0x2 = 1
x = 0 Si es solución ya que :0−1 = 0 + 1 +
1−1
x = 1 No es solución, al aparecer una división por cero.
x = 1 es una solución extraña añadida al problema en el proceso deresolución (multiplicar por el polinomio m.c.m.)
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5. Ecuaciones Irracionales
Ecuaciones IrracionalesSon aquellas en las que la incógnita aparece bajo algún radical (raízn-ésima).
n√
P(x)
Q(x)+ m√
R(x) =M(x)
N(x)
Resolución1 Se separa en uno de los miembros un único radical.2 Se eleva a la potencia adecuada.3 Se repiten el proceso hasta que no yo aparezcan radicales =⇒
Ecuación Racional
Este proceso puede añadir algunas soluciones extrañas.
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5.1. Ecuaciones Irracionales
Ejemplo
3√
x − 1 +√
x + 1− 4 = 0
3√
x − 1 = 4−√
x + 1 ;(
3√
x − 1)3
=(4−√
x + 1)3
x − 1 = 43 − 342√x + 1 + 3 · 4(x + 1)−√
(x + 1)3
(√(x + 1)3
)2
=(43 − 342√x + 1 + 3 · 4(x + 1)− (x − 1)
)2
...
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6. Ecuaciones Exponenciales
Ecuaciones ExponencialesSon aquellas en las que la incógnita aparece en los exponentes.
aP(x) + bQ(x) = R(x)
ResoluciónSiempre las bases de las potencias sean positivas:
ax = ay ⇐⇒ x = y
En algunos casos será necesario además la aplicación de logaritmos(com se verá en el siguiente apartado).
Este proceso puede añadir algunas soluciones extrañas.
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6.1. Ecuaciones Exponenciales
Ejemplo
31−x2=
127
Como127
=133 = 3−3 =⇒ 31−x2
= 3−3 =⇒ 1− x2 = −3
x2 = 4{
x1 = 2x2 = −2
Fácilmente se comprueba que ambas son soluciones de la ecuaciónoriginal.
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7. Ecuaciones Logarítmicas
Ecuaciones LogarítmicasSon aquellas en las que la incógnita aparece bajo la operación delogarítmos (posiblemente en diversas bases).
loga P(x) + logb Q(x) = R(x)
Resolución
loga x = loga y ⇐⇒ x = y
Normalmente útil definición y prop. de los logaritmos.
logb x = y ⇐⇒ x = by
Cambio de Base : loga x =logb xlogb a
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7.1. Ecuaciones Logarítmicas
Ejemplo
5 log10 x − log10 32 = log10
(x2
)
log10
(x5
32
)= log10
(x2
)
x5
32=
x2
; x5 = 16x ; x(x4−16) = 0
x1 = 0
x4 = 16{
x2 = +2x2 = −2
Soluciones ExtrañasComo el logaritmo sólo está definido para números positivos, laúnica solución es x = 2,siendo x = 0 y x = −2 soluciones extrañas.
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8. Ecuaciones Trigonométricas
Ecuaciones TrigonométricasSon aquellas en las que la incógnita aparece dentro de funcionestrigonométricas: sen , cos , tan , . . .
sen P(x) + cos2 Q(x) = R(x)
ResoluciónHay que utilizar transformaciones trigonométricas hasta que lasolución es alguna de las formas:
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8.1. Ecuaciones Trigonométricas
Forma 1: sen x = a con a ∈ [−1, 1]
Si x = α es una solución de esta ecuación con −π2 ≤ α ≤ π
2 ,entonces todas las posibles soluciones serán:
p - a
aaa
x = α + 2kπ
x = (π − α) + 2kπk ∈ Z
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8.2. Ecuaciones Trigonométricas
Forma 2: cos x = a con a ∈ [−1, 1]
Si x = α es una solución de esta ecuación con 0 ≤ α ≤ π,entonces todas las posibles soluciones serán:
a
a
-a
x = α + 2kπ
x = −α + 2kπk ∈ Z
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8.3. Ecuaciones Trigonométricas
Forma 3: tan x = a con a ∈ RSi x = α es una solución de esta ecuación con −π
2 ≤ α ≤ π2 ,
entonces todas las posibles soluciones serán:
a+pa
aa
x = α + kπ ; k ∈ Z
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8.3. Ecuaciones Trigonométricas
Ejemplo
sen2 x − cos2 x = −12
cos(2x) =12
; 2x =π
3(60o)
2x = 2kπ ± π
3; x = kπ ± π
6con k ∈ Z
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9. Sistemas de Ecuaciones Lineales
Definiciones{
a11 x1 + a12 x2 = b1a21 x1 + a22 x2 = b2
Incógnitas : xi
Coeficientes : aij ∈ RTérminos Independientes : bi ∈ R
Clasificación de los Sistemas LinealesCompatible : El sistema tiene solución.
Determinado : La solución es única.Indeterminado : Existen infinitas soluciones.
Incompatible: El sistema no tiene solución.
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9.1. Sistemas Equivalentes
DefiniciónDos sistemas lineales con un mismo números de incógnitas se dicenque son equivalentes si tienen las mismas soluciones
Operaciones con sistemas EquivalentesCambiar el orden de las ecuaciones del sistema:
{x + y = 2x − y = 6
⇐⇒{
x − y = 6x + y = 2
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9.1. Sistemas Equivalentes
Operaciones con sistemas EquivalentesSustituir una ecuación por una combinación lineal de lasecuaciones:
{x + y = 2x − y = 6
⇐⇒{
2x = 8x − y = 6
Reducción de ecuaciones: Si una de las ecuaciones escombinación lineal de otras ecuaciones de dicho sistema, sepuede suprimir.
9x + 2y = 204x + y = 65x + y = 14
⇐⇒{
9x + 2y = 204x + y = 6
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9.3. Métodos Básicos de Resolución
Método de Sustitución : Consiste en despejar una incognita deuna ecuación y sustituirla en el resto.Método de Igualación : Consiste en despejar la mismaincognita en todas las ecuaciones e igualar las expresiones.Método de Reducción o de Gauss : Consiste en ir obteniendosistemas equivalentes de forma escalonada (con una incógnitamenos en cada ecuación).
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DIA II
Sesión 2: Funciones y Límites de Funciones
1 Introducción a las FuncionesFunciones Reales de Variable RealRepresentación GráficaFunciones ElementalesFunción Valor Absoluto
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1. Función o Aplicación
DefiniciónUna función o aplicación f entre elementos de dos conjuntos X e Yes una relación que hace corresponder a cada elemento x ∈ X(conjunto dominio) uno y sólo un elemento y ∈ Y (conjuntoimagen).
Normalmente se denota por f : X → Y o de forma abreviada:
y = f (x)
Función real de variable realSi X ,Y ⊆ R se dice que es una función real de variable real.
f : R −→ R
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1.2. Representación Gráfica
Existen dos formas muy utilizadas de representar gráficamente unafunción real de variable real f : X → Y .
A través de diagramas de Venn.En un eje de coordenadas cartesianas.
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
f(x)
X
Dominio
Y
Imagenx : Variable independiente
y : Variable dependiente
f(x)
x
Dominio
y
Imagen
(orecorrido)
Grafica: Conj. de puntos (x, y)
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1.3. Funciones Elementales
Funciones PolinómicasFunciones ExponencialesFunciones LogarítmicasFunciones Trigonométricas y sus Funciones InversasFunción Valor Absoluto
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Func. Polinómicas: f (x) = a0 + a1x + a2x2 + · · ·
1 2 3−1−2−3
2
4
6
8
10
x2
x4x6
1 2−1−2
2
4
6
8
−2
−4
−6
−8
x3
x5x7
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Func. Exponenciales: f (x) = αx ; α > 0
1 2 3−1−2−3
4
8
12
16
20
ex
2x
5x
(1e
)x= e−x
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NotaLa función f (x) = αx carece de interés práctico si α ≤ 0.
Si α = 0 la función es constante e igual a cerof (x) = 0x = 0.Si α < 0 la función está llena de puntos de discontinuidad.
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Func. Logarítmicas: f (x) = log(x)
10 20 30 40 50
1
2
3
4
5
−1
−2
−3
−4
−5
log x
log 1x= − log x
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Func. Trigonométricas
0.5
1.0
−0.5
−1.0
π2
π 3π2
2π−π2
−π−3π2
−2π
sen xcos x
2
4
6
8
−2
−4
−6
−8
−10
π2
π 3π2
2π−π2
−π−3π2
−2π x
y
tanx
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Func. Trigonométricas Inversas
arcsen (x) = sen−1(x) ; arcos (x) = cos−1(x) ; arctg (x) = tan−1(x)
0.5 1.0−0.5−1.0
π2
π
−π2
−π
x
y
arccosx
arcsen x
2 4−2−4
π2
−π2
x
yarctan : R→ [−π
2, π2]
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1.4. Función Valor absoluto
DefiniciónDado un número x ∈ R, se llama valor absoluto (o módulo) de x , yse representa por |x |, al número real:
|x | =√
x2 =
{x si x ≥ 0−x si x ≤ 0
f(x)=|x|
Hay dos definicionesequivalentes y cada unade ellas se utilizarásegún convenga.
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Sesión 2: Límites de Funciones
1 Límites de FuncionesConcepto de LímiteInfinitoLímite de FuncionesTeoremasPropiedades de los LímitesOperaciones con InfinitoIndeterminacionesEl Número eCálculo de Límites
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2.1. Introducción a los Límites
Concepto de LímiteEn el lenguaje ordinario la palabra límite tiene un carácter estáticoy significa término, extremo o frontera.
En Cálculo, el concepto de límite es un concepto dinámico y tieneque ver con la idea de acercarse lo más posible a un valor (finito oinfinito).
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Introducción a los Límites
Nomenclatura
limx→x0
f (x)
Se lee: "El Límite de f (x) cuando x tiende a x0".
ResultadoHay tres posibilidades del resultado: lim
x→x0f (x) = `
Un número real: ` ∈ R.Un valor infinito: ` = ±∞El límite no existe: @`
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2.2. Infinito
Infinito, ∞El símbolo ∞ no es un número, sino que representa a una cantidadinconmensurable (que no se puede medir o cuantificar).
+∞ : Cantidad inconmensurablemente grande.−∞ : Cantidad inconmensurablemente pequeña.
NotaA pesar de no ser un número, se puede operar con él siguiendounas determinadas reglas aritméticas.
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Ejemplos
limx→1
x + 1 = 2 limx→0
1x2 = +∞ 6 ∃ lim
x→2
1x − 2
limx→1−
x + 1 = 2
limx→1+
x + 1 = 2
limx→0−
1
x22= +∞
limx→0+
1
x2= +∞
limx→2−
1
x − 2= −∞
limx→2+
1
x − 2= +∞
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2.3. Definición Matemática de Límite
Definición ε− δSe dice que lim
x→x0f (x) = ` si:
∀ε > 0 ∃δ > 0 : 0 < |x − x0| < δ , |f (x)− `| < ε
x0
l
x0 + δx0 - δ
l + ε
l − ε
f(x)
x
y
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Límites Laterales
Límite por la Derecha
Se dice que limx→x+
0
f (x) = ` si:
∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x ∈ (x0 , x0 + δ) , |f (x)− `| < ε
Límite por la Izquierda
Se dice que limx→x−0
f (x) = ` si:
∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x ∈ (x0 − δ , x0) , |f (x)− `| < ε
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Cálculo de Límites Laterales
Cálculo de Límites Laterales
limx→x+
0
f (x) = limh→0+
f (x0 + h)
limx→x−0
f (x) = limh→0+
f (x0 − h)
Ejemplo
limx→3+
x + 5x + 1
= limh→0+
3+ h + 53+ h + 1
= 2
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Límite Infinito
DefiniciónSe dice que lim
x→x0f (x) =∞ si:
∀M ∈ R ∃δ > 0 : 0 < |x − x0| < δ , f (x) > M
x0
x0 + δx
0 - δ
f(x)
x
y
M
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Límite Infinito
DefiniciónSe dice que lim
x→x0f (x) = −∞ si:
∀M ∈ R ∃δ > 0 : 0 < |x − x0| < δ , f (x) < M
x0
x0 + δx
0 - δ xy
Mf(x)
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Límite en el Infinito
DefiniciónSe dice que lim
x→∞f (x) = ` si:
∀ε > 0 ∃M ∈ R : x > M , |f (x)− `| < ε
M
l
l + ε
l − ε
f(x)
x
y
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Límite en el Infinito
DefiniciónSe dice que lim
x→−∞f (x) = ` si:
∀ε > 0 ∃M ∈ R : x < M , |f (x)− `| < ε
M
l
l + ε
l − ε
y
f(x)
x
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2.4. Teoremas
ExistenciaSe tiene que lim
x→x0f (x) = ` si y sólo si:
limx→x+
0
f (x) = limx→x−0
f (x) = `
UnicidadSi existe el límite de una función en un punto, éste es único.
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2.5 Propiedades de los Límites
Si existen limx→x0
f (x) y limx→x0
g(x) entonces:
limx→x0
(f (x) + g(x)) = limx→x0
f (x) + limx→x0
g(x)
limx→x0
(f (x) · g(x)) = [ limx→x0
f (x)] · [ limx→x0
g(x)]
limx→x0
f (x)g(x)
=lim
x→x0f (x)
limx→x0
g(x); (si lim
x→x0g(x) 6= 0)
limx→x0
f (x)g(x) = [ limx→x0
f (x)]lim
x→x0g(x)
(si el resultado es 6= 00)
limx→x0
loga f (x) = loga limx→x0
f (x) ; (si a > 0 , limx→x0
f (x) > 0)
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2.6. Operaciones con Infinito
Suma y RestaSea a ∈ R:
a +∞ =∞ ; a −∞ = −∞
∞+∞ =∞ ; −∞−∞ = −∞
∞−∞ = Indeterminación
IndeterminaciónUna indeterminación es una operación matemática con resultado noconocido y cuya solución (finita o infinita) puede existir o no.
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Operaciones con Infinito
Producto y Cociente
a · ∞ =
{+∞ si a > 0−∞ si a < 0
;
(+∞) · (+∞) = (+∞)(+∞) · (−∞) = (−∞)(−∞) · (−∞) = (+∞)
∞ · 0 = Indeterminación
a∞ = 0 ;
∞a
=
{+∞ si a > 0−∞ si a < 0
00(= 0 · ∞) ,
∞∞ (=∞ · 0) = Indeterminación
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Operaciones con Infinito
Potencia
∞a =
{+∞ si a > 0 ó a = +∞0 si a < 0 ó a = −∞
∞∞ =∞ ; ∞−∞ =1∞∞ = 0
∞0 = Indeterminación
a∞ =
+∞ si a > 10 si −1 < a < 16 ∃ si a ≤ −1 ( 6= Indeterminación)
00 , 1∞ = Indeterminación
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2.7. Indeterminaciones
Indeterminaciones (7)
00
∞∞ 0 · ∞ ∞−∞ 1∞ 00 ∞0
No son Indeterminaciones
0+∞ = 00−∞ = +∞∞+∞ = +∞∞−∞ = 0
Se demuestra a partir de ab = eb log a
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2.8. El número e
El número e
e = limn→∞
(1 +
1n
)n
e = limn→∞
(1 + εn)1/εn donde lim
n→∞εn = 0 (infinitésimo).
e = limn→∞
(1 +
1xn
)xn
donde limn→∞
xn = ±∞ (infinito).
e = limn→∞
(1 +
11!
+12!
+ · · ·+ 1n!
)
e = 2′718281828459045...
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Indeterminaciones con e
Ejemplo
limx→∞
(1x
)x0∞?= lim
x→∞ex log( 1
x ) = limx→∞
ex log(x−1) = limx→∞
e−x log(x)
= e−∞·∞ = e−∞ =1
e∞=
1∞ = 0
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2.9. Cálculo de Límite
Si el límite no produce ninguna indeterminación,
limx→x0
f (x) = f (x0)
Si aparece alguna indeterminación, hay que emplear unatécnica apropiada para resolverla.
Técnicas de Resolución de IndeterminacionesElementales.Regla de L’Hôpital.Infinitos e Infinitésimos equivalentes.Desarrollo de Taylor.
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Técnicas Elementales de Resolución de Indeterminaciones
Indeterminación:00
Para calcular el límite de una función racional (cociente de dospolinomios), que tiene una indeterminación del tipo 0
0 , se factorizanumerador y denominador, y se simplifica eliminado la raícescomunes (x − x0):
limx→x0
αkxk + αk−1xk−1 + · · ·+ α0
βjx j + βj−1x j−1 + · · ·+ β0= lim
x→x0
(x − x0)(x − r1) · · ·(x − x0)(x − r2) · · ·
Ejemplo
limx→2
x2 − 4x − 2
0/0?= lim
x→2
(x − 2)(x + 2)x − 2
= limx→2
(x + 2) = 4
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Técnicas Elementales de Resolución de Indeterminaciones
Nota
limx→x0
1(x − x0)k
=
+∞ si k es par.
@ si k es impar.
Resumen: Funciones Racionales, 00
limx→x0
P(x)Q(x)
=
P(x0)Q(x0)
∈ R
00 =⇒ P(x)
Q(x) =(x−x0)(x−r1)···(x−x0)(x−q1)···
a0 =⇒ P(x)
Q(x) =1
(x−x0)kM(x)N(x)
±∞ si k es par[signo de M(x0)
N(x0)
]
@ si k es impar.
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Técnicas Elementales de Resolución de Indeterminaciones
Funciones Racionales con Indeterminación∞∞
Se divide numerador y denominador por el monomio xn de mayorpotencia.
limx→∞
αkxk + αk−1xk−1 + · · ·+ α0
βjx j + βj−1x j−1 + · · ·+ β0
Resultado
Si k > j limx→∞
f (x) = ±∞ (según el signo deαk
βj)
Si k = j limx→∞
f (x) =αk
βj
Si k < j limx→∞
f (x) = 0
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Técnicas Elementales de Resolución de Indeterminaciones
EjemplosCalcular los siguientes límites de funciones racionales:
limx→∞
3x4 − 2x2 + 1x5 − 3x3
∞/∞?= lim
x→∞3/x − 2/x3 + 1/x5
1− 3/x2 =
limn→∞
01= 0
limx→∞
1− 4x7
x7 + 12x−∞/∞?
= limx→∞
1/x7 − 41+ 12/x6 = −4
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Técnicas Elementales de Resolución de Indeterminaciones
Indeterminación: 0 · ∞En este tipo de indeterminación, se puede tomar la inversa de unade las funciones, obteniéndose indeterminaciones del tipo 0/0 ò∞/∞, vistas anteriormente.
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Técnicas Elementales de Resolución de Indeterminaciones
Indeterminación: ∞−∞En algunos casos sencillos basta con simplificar la función,desapareciendo así la indeterminación.
Si la indeterminación se debe a diferencia de raíces, se procedea su racionalización, multiplicando y dividiendo por elconjugado de la raíz de la siguiente forma:
√A−√
B =
(√A−√
B)(√
A +√
B)
(√A +√
B) =
A− B√A +√
B
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Técnicas Elementales de Resolución de Indeterminaciones
Ejemplo
limx→∞
√x3 − 3x −
√x3 ∞−∞
=
limx→∞
(√x3 − 3x −
√x3) √x3 − 3x +
√x3
√x3 − 3x +
√x3
=
= limx→∞
x3 − 3x − x3
x3/2√
1− 3x2 + x3/2
= limx→∞
−3x2x3/2 =
32√
x= 0
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Técnicas Elementales de Resolución de Indeterminaciones
Indeterminación: 00 , ∞0
Se resuelve expresando las potencias de la forma:
limn→∞
abnn = lim
n→∞e log
(abnn
)= lim
n→∞ebn log (an)
con lo que la indeterminación se convierte en una del tipo 0 · ∞,que se resuelve con las técnicas descritas anteriormente.
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Técnicas Elementales de Resolución de Indeterminaciones
Indeterminación: 1∞ , 1−∞
Método de Resolución:
limx→x0
f (x) = 1
limx→x0
g(x) = ±∞
limx→x0
f (x)g(x) = limx→x0
(1 + f (x)− 1)g(x)[f (x)−1]
f (x)−1
Llamando εn = f (x)− 1, =⇒ limx→x0
εn = 0, se tiene:
limx→x0
(1 + f (x)− 1)g(x)[f (x)−1]
f (x)−1 = limx→x0
(1 + εn)g(x)[f (x)−1]
εn(∗)=
(∗)= lim
x→x0eg(x)[f (x)−1]
El paso (∗) se hace con la definición del número e.
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Técnicas Elementales de Resolución de Indeterminaciones
Indeterminación: 1∞ , 1−∞
De esta manera, se obtiene una indeterminación en el exponentedel tipo 0 · ∞, cuya resolución se realiza utilizando las técnicasdescritas anteriormente.
Ejemplo
limn→∞
(n + 2n + 1
)n
= 1∞ = exp[lim
n→∞n ·(
n + 2n + 1
− 1)]
=
= exp[lim
n→∞
(n
n + 1
)]= e
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DIA III
Sesión 3: Continuidad y Derivabilidad
1 ContinuidadIntervalos y EntornosDefinición de Continuidad y DiscontinuidadPropiedades de las Funciones ContinuasContinuidad de Funciones Elementales
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1.1. Intervalos y Entornos
IntervalosUn intervalo es un conjunto de números reales que corresponde aun segmento de la recta real.
Intervalo Cerrado: [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}Intervalo Abierto: (a, b) = {x ∈ R : a < x < b}
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Intervalos y Entornos
Intervalos Semi-abiertos y Semi-cerrados
[a, b) = {x : a ≤ x < b}(a, b] = {x : a < x ≤ b}[a,∞) = {x : a ≥ x}(a,∞) = {x : a > x}(−∞, b] = {x : x ≤ b}(−∞, b) = {x : x < b}(−∞,∞) ≡ R
NotaPor convenio, siempre que aparezca ±∞ se pone intervalo abierto.
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Intervalos y Entornos
EntornosSe denomina entorno de un número c , al intervalo abierto que tienea c como su punto medio.
Entorno del punto c de radio δ : (c − δ, c + δ)
NotaUn punto x pertenece a un entorno de c de radio δ si:
|x − c | < δ
Conjunto Abierto
Se denomina conjunto abierto a la unión (finita o infinita) deintervalos abiertos.
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Intervalos y Entornos
Entorno ReducidoSe denomina entorno reducido de un número c , al entorno de cexceptuando el propio punto c .
Entorno reducido del punto c de radio δ : (c − δ, c) ∪ (c , c + δ)
NotaUn punto x pertenece a un entorno reducido de c de radio δ si:
0 < |x − c | < δ
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1.2. Definición de Continuidad
DefiniciónDecimos que una función f (x) es continua en el punto x0 si:
limx→x0
f (x) = f (x0)
Función DiscontinuaSe dice que una función f (x) es discontinua en el punto x0 si no escontinua en dicho punto.
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Continuidad de una Función
Intuitivamente, si f (x) es continua en x0 si no existe un salto en x0
Discontinuidad en un punto
Una función f (x) puede ser discontinua en un punto x0 por tresmotivos:
f (x) no está definida en x0 : @ f (x0)
No existe limx→x0
f (x).
Existen f (x0) y limx→x0
f (x) pero no coinciden.
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Ejemplos de Discontinuidad
x0 x
y
f(x) = 1|x-x0|
x0 x
y
f(x) = e1/x
1
x0 x
y
f(x) = x2 si x = 1 si x = 12
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Continuidad de una Función
Discontinuidad EvitableSi existe el límite lim
x→x0f (x), pero f (x) no es continua en x0, se dice
que f (x) tiene una discontinuidad evitable en x0.
Si f (x) tiene una discontinuidad evitable en un punto x0, la funcióng(x) definida como:
g(x) =
f (x) si x 6= x0
limx→x0
f (x) si x = x0
es continua en x0.
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1.3. Propiedades de las Funciones Continuas
Si f (x) y g(x) son funciones continuas en x0, entonces:
f (x) + g(x) es continua en x0.f (x)g(x) es continua en x0.f (x)/g(x) es continua en x0.f (x)g(x) es continua en x0,[siempre que f (x)g(x) esté definida en un entorno del punto x0]
Composición de funciones
Si f (x) es continua en x0 y g(x) es continua en f (x0), entonces lacomposición (g ◦ f )(x) = g [f (x)] es continua en x0
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1.4. Continuidad de Funciones Elementales
Sean a > 0 y b ∈ R.Las funciones polinómicas son continuas en R.Las funciones racionales (cociente de polinomios) soncontinuas, excepto en los puntos que anulan el denominador.Las funciones abx son continuas en R.Las funciones trigonométricas sen x , cos x , arctan x , |x | soncontinuas en R.Las funciones xb, logb x , tan x , sec x , cosec x , arcsen x ,arccos x son continuas en su dominio de definición.
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Sesión 3: Derivadas
1 DerivadasConcepto de DerivadaDerivada de una FunciónInterpretación Geométrica de la DerivadaDerivadas de Orden SuperiorCálculo de DerivadasAplicaciones de la Derivada
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2. Derivada
Pendiente de una Carretera
pendiente =Altura alcanzada
distancia horizontal recorrida=
∆hd× 100
A mayor pendiente, mayor inclinación vertical.
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Derivadas
Pendiente Puntual
∆x
∆h
x0
pendiente en x0 = lim∆x→0
∆h∆x
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Derivadas
Velocidad Media y Velocidad Puntual
Vm =∆e∆t
Vp = lim∆t→0
∆e∆t
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Derivada de una Función
DefiniciónSea f (x) continua en [a, b] y x0 ∈ (a, b). Se dice que f (x) esderivable en x = x0 si existe y es finito el siguiente límite:
f ′(x0) = limh→0
f (x0 + h)− f (x0)
h
A este valor se le denomina derivada de f (x) en el punto x = x0.
Definición alternativa
f ′(x0) = limx→x0
f (x)− f (x0)
x − x0
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Interpretación Geométrica de la Derivada
x0
x0 + h
f(x)
x
y
f(x0)
f(x0+h)
h
f(x0+h) - f(x0)
f ′(x0) = limh→0
f (x0 + h)− f (x0)
h
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Significado de f ′(x)
f´(x0) es el valor de la
pendiente de la recta tangente a la función en x=x0
x0
f(x)
x
y
f(x0)
α
f´(x0) = tg α
Recta Tangente
Ecuación de la Recta Tangente
y = f (x0) + f ′(x0)(x − x0)
La recta tangente a una función en un punto x = x0, es la rectaque mejor aproxima a la función en un entorno del punto x = x0.
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Derivadas de orden Superior
Definición
Derivada Segunda f ′′(x0) = limh→0
f ′(x0 + h)− f ′(x0)
h
Derivada Tercera f ′′′(x0) = limh→0
f ′′(x0 + h)− f ′′(x0)
h
......
Nomenclatura de las Derivadas
1a¯ derivada 2a¯ derivada 3a¯ derivada 4a¯ derivada · · · n-ésima d.f ′ f ′′ f ′′′ f iv · · · · · ·
f (1) f (2) f (3) f (4) · · · f (n)
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Diferenciales
Diferencial ddx
Forma alternativa de definir la derivada a través del concepto dediferencial de una variable:
y ′(x0) = limx→x0
y(x)− y(x0)
x − x0= lim
∆x→0
∆y∆x
=dydx
Nomenclatura de las Diferenciales
1a¯ derivada 2a
¯ derivada 3a¯ derivada · · · derivada n-ésima
dydx
d2ydx2
d3ydx3 · · · dny
dxn
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Derivadas de las Funciones Elementales
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Fórmulas de Derivación
Sean u = f (x) y v = g(x) funciones de la variable independiente x , y c unaconstante (no depende de x). Denotando (k)′ = dk
dx se tiene:
(c)′ = 0 ; c = constante
(x)′ = 1
(u + v + · · · )′ = u′ + v ′ + · · ·
(cu)′ = c(u)′
(uv)′ = u(v)′ + v(u)′
(un)′ = nun−1(u)′ ; si n < 0 , u 6= 0
( u
v
)′=
u(v)′ − v(u)′
v2; v 6= 0
(uv )′ = uv[
(v)′ ln (u) + v(u)′
u
]
[u(v)]′ = u′(v)v ′ ; Regla de la Cadena
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Aplicaciones de la Derivada
Máximos, Mínimos y Puntos de Inflexión
Si una función f (x) derivable en un intervalo [a, b] tiene un extremorelativo (máximo o mínimo) en un punto x0 ∈ (a, b), se tiene que:
f ′(x0) = 0
f ′′(x0) < 0 Máximo Localf ′′(x0) > 0 Mínimo Localf ′′(x0) = 0 Máx, Min ó Pto Inflexión
f '' > 0 f '' > 0
x0
Mínimo
f '' < 0 f '' < 0
x0
Máximo
x0
f '' > 0
f '' < 0
Pto Inflexión
x0
f '' > 0
f '' < 0
Pto Inflexión
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Aplicaciones de la Derivada
Cálculo de Límites: Regla de L’Hôpital
limf (x)
g(x)=
[00,∞∞
]= lim
f ′(x)
g ′(x)
Condicionesf (x) y g(x) deben ser derivables en el intervalo de interés.
Sólo es válido si el lim f ′(x)g ′(x) existe.
Sólo es válido para las indeterminaciones 00 ó ∞
∞ .Se puede aplicar de forma reiterada, pero sólo tiene sentido siel correspondiente lim f ′(x)
g ′(x) es más sencillo que el original
lim f (x)g(x) .
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DIAS IV Y V
Sesión 4-5: Integrales
1 IntegralesIntroducciónIntegral DefinidaFunción PrimitivaRegla de BarrowIntegral IndefinidaTeorema Fundamental del CálculoPropiedades de las IntegralesIntegrales InmediatasMétodos de IntegraciónAplicaciones
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1.1. Introducción
Cálculo General del Área
f(x)
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Área debajo de una curva
x
y f(x)
ba x
y f(x)
ba
Área Aproximación del área
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Cálculo Exacto del Área
División en n particiones
Área = limn→∞
n∑
i=1
mi∆xi = limn→∞
n∑
i=1
Mi∆xi = limn→∞
n∑
i=1
f (xi )∆xi
f(x)
x
y
a b
Área
Mi
mi
∆x
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1.2. Integral Definida
Integral Indefinida: Sumas de Riemann
Sea una función f (x) definida ∀x ∈ [a, b].Se denomina integral definida de f (x) en el intervalo [a, b] al valor:
∫ b
af (x) dx = lim
n→∞
n∑
i=1
f (xi )∆xi
NotaSi la función es negativa (por debajo del eje x) en el intervalo [a, b],el valor de la integral definida será negativo.
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Integral Definida y Área
x
y f(x)
ba
x
y
f(x)
ba
área =
∫ b
af (x) dx área = −
∫ b
af (x) dx
x
yf(x)
ba c d
área =
∫ c
af (x) dx −
∫ d
cf (x) dx +
∫ b
df (x) dx
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1.3. Función Primitiva
DefiniciónSea f : [a, b] −→ R, derivable ∀x ∈ [a, b].Se dice que F (x) es una función primitiva de f (x) en [a, b] si:
F ′(x) = f (x)
Ejemplo
F (x) = x3 es una función primitiva de f (x) = 3x2 ya que:
F ′(x) = (x3)′ = 3x2 = f (x)
La función f (x) tiene infinitas funciones primitivas que son de laforma:
F (x) = x3 + c ; c = constante
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1.4. Regla de Barrow
Teorema: Regla de Barrow
Si f (x) es continua en [a, b] y F (x) es una primitiva cualquiera def (x) en (a, b), entonces:
∫ b
af (x) dx = F (b)− F (a) = F (x) |ba
Ejemplo∫ 2
−13x2 dx = x3 ∣∣2
−1 = (2)3 − (−1)3 = 8− (−1) = 9
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1.5. Integral Indefinida
DefiniciónSe denomina integral indefinida de f (x) al conjunto de todas lasprimitivas de f (x).
∫f (x)dx = F (x) + c ; c ∈ R
NotaEl valor de una integral indefinida, en caso de que exista, es unafunción, que también puede expresarse a través de una integraldefinida de la forma:
∫ x
af (t) dt = F (t) |xa = F (x)− F (a) = F (x) + c
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1.6. Teorema Fundamental del Cálculo
Teorema Fundamental del CálculoSea f : [a, b] −→ R integrable en [a, b], es decir existe la funciónintegral o integral indefinida:
F (x) =
∫ x
af (t) dt
Entonces, si f (x) es continua en [a, b] =⇒ F (x) es derivable en[a, b], siendo su derivada:
dF (x)
dx= F ′(x) = f (x)
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Teorema Fundamental del Cálculo
f(x) F(x)
F(x) = ∫ f(x) dx
ddx f(x) = F(x)
Fórmula General del TFC
Sea: F (x) =
∫ h(x)
g(x)f (t)dt con
{f (x) continuag(x), h(x) derivables
Entonces:
dF (x)
dx= F ′(x) = f [h(x)] · h′(x)− f [g(x)] · g ′(x)
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1.7. Propiedades de las Integrales
∫ b
af (x) dx = −
∫ a
bf (x) dx
∫ a
af (x) dx = 0
m(b − a) ≤∫ b
af (x) dx ≤ M(b − a)
∫ b
af (x) dx =
∫ c
af (x) dx +
∫ b
cf (x) dx ; ∀a, b, c ∈ R
∫ b
a[f (x) + g(x)] dx =
∫ b
af (x) dx +
∫ b
ag(x) dx
∫ b
acf (x) dx = c
∫ b
af (x) dx
f (x) ≥ 0 , ∀x ∈ [a, b] =⇒∫ b
af (x) dx ≥ 0
f (x) ≥ g(x) , ∀x ∈ [a, b] =⇒∫ b
af (x) dx ≥
∫ b
ag(x) dx
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1.8. Tabla de Integrales Inmediatas
∫dx = x + c
∫sen x dx = − cos x + c
∫ 1x dx = ln |x| + c
∫cos x dx = sen x + c
∫ 1x2 dx = − 1
x + c∫
tg (x) dx = − ln | cos (x)| + c
∫ 1√x dx = 2
√x + c
∫sec2 (x) dx = tg (x) + c
∫xndx = xn+1
n+1 + c∫
cosec2 (x) dx = − cotg (x) + c
∫exdx = ex + c
∫senh (x) dx = cosh (x) + c
∫axdx = ax
ln (a) + c∫
cosh (x) dx = senh (x) + c
∫ 11+x2 dx = arctg (x) + c
∫ 1cosh2 (x)
dx = tanh (x) + c
∫ 1a2+x2 dx = 1
a arctg xa + c
∫ 1senh2 (x)
dx = coth (x) + c
∫ 1x2−1
dx = 12 ln
∣∣∣ x−1x+1
∣∣∣ + c∫
cotg (x)dx = ln | sen (x)| + c
∫ 1√1−x2 dx = arcsen (x) + c
∫ 1√a2−x2 dx = arcsen x
a + c
∫ 1√1+x2 dx = ln (x +
√x2 + 1) + c
∫ 1√x2−1
dx = ln (x +√
x2 − 1) + c
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1.9. Métodos de Integración
Calcular la integral indefinida de una función cualquiera suele seruna tarea difícil e incluso imposible en determinados casos. Existendiferentes métodos de integración dependiendo del tipo de funcióna integrar. Los métodos más sencillos y útiles son los siguientes:
1 Descomposición.2 Cambio de variable.3 Integración por partes.4 Integración de Funciones Racionales.5 Integración de Funciones Trigonométricas.
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Métodos de Integración: 1. Descomposición
Descomposición
∫(x2+1)2 dx =
∫(x4+2x2+1) dx =
∫x4 dx+2
∫x2 dx+
∫dx
=15x5 +
23x3 + x + C
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Métodos de Integración: 2. Cambio de variable
Cambio de variable
∫f (x) dx =
t = g(x) −→ x = g−1(t) = h(t)
dt = g ′(x)dx −→ dx =dt
g ′(x)= r(t) dt
=
=
∫f [h(t)] r(t) dt =
∫R(t) dt = F (t) + C C.V.
=⇒ F (x) + C
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Métodos de Integración: 3. Integración por partes
Integración por partes∫
u dv = uv −∫
v du
Ejemplo
∫xex dx =
{u = x ; du = dxdv = ex dx ; v = ex
}=
∫x d(ex) =
= xex −∫
exdx = xex − ex + c = ex(x − 1) + c
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Métodos de Integración: 4. Funciones Racionales
Integración de funciones racionales
∫P(x)
Q(x)dx =
∫C (x) +
R(x)
Q(x)dx =
∫C (x) dx +
∫R(x)
Q(x)dx
∫R(x)
Q(x)dx =
Sol. de Q(x) = 0reales simples : r1reales múltiples : r2 (n veces)complejas simples : α± βicomplejas múltiples : δ ± γi (m veces)
=
∫R(x)
(x − r1) (x − r2)n [(x − α)2 + β2] [(x − δ)2 + γ2]m · · · dx
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Métodos de Integración: 4. Funciones Racionales
Integración de funciones racionales (cont.)
La integral original:
I =
∫P(x)
Q(x)dx
se puede descomponer en una suma de integrales más sencillas.
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Métodos de Integración: 4. Funciones Racionales
Integración de funciones racionales (cont.)
I =
∫A
x − r1
+
∫B1
x − r2+
B2
(x − r2)2 + · · ·+ Bn
(x − r2)n
+
∫Cx + D
(x − α)2 + β2
+
∫M1x + N1
(x − δ)2 + γ2 +M2x + N2
[(x − δ)2 + γ2]2+ · · ·+ Mmx + Nm
[(x − δ)2 + γ2]m
Es necesario calcular los coeficientes:A, B1, · · · , Bn, C , D, M1, N1, · · · , Mm, Nm.
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Métodos de Integración: 4. Funciones Racionales
Integración de funciones racionales (cont.)Conocidos los coeficientes, estas integrales tienen fácil solución de laforma:
∫A
x − a= A log (x − a) + C
∫A
(x − a)n =A
n + 1(x − a)n+1 + C
∫Mx + N
(x − α)2 + β2 =
=M2
log [(x − α)2 + β2] +Mα + Nβ2 arctan
x − αβ
+ C
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Métodos de Integración: 4. Funciones Racionales
Integración de funciones racionales (cont.)∫
Mx + N[(x − α)2 + β2]n
=
=−M
2(n − 1)[(x − α)2 + β2]n−1 +
+Mα + Nβ2
[x − α
2(n − 1)[(x − α)2 + β2]n−1 +
+2n − 32(n − 1)
∫dx
[(x − α)2 + β2]n−1
]+ C
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Métodos de Integración: 5. Funciones Trigonométricas
Integración de funciones trigonométricas∫
f (sen x , cos x) dx C.V=
t = tanx2−→ x
2= arctan t , dx =
2dt1 + t2
sen x =2t
1 + t2 , cos x =1− t2
1 + t2 , tan x =2t
1− t2
=⇒∫
f (sen x , cos x) dx =
∫g(t) dt
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1.10. Aplicaciones de la Integral
AplicacionesLa integración es una técnica de cálculo ampliamente utilizada entodas las áreas, tanto teóricas como aplicadas, de ... Entre lasaplicaciones más sencillas y comunes se encuentran:
1 Cálculo de Áreas planas.2 Cálculo de Volúmenes de revolución.3 Cálculo de Superficies de revolución.4 Cálculo de Longitudes.
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CALCULO DE PRIMITIVAS
• u y v son funciones de x
• a es una constante
• F (x) =
∫f(x) dx ⇔ F ′(x) = f(x) [ F (x) Primitiva o Integral Indefinida ]
•∫
[f(x) + g(x)] dx =
∫f(x) dx +
∫g(x) dx
•∫
af(x) dx = a
∫f(x) dx
•∫
u dv = u v −∫
v du [ Integración por partes ]
•∫
u′ un dx =un+1
n+ 1+ C si n 6= −1
•∫
u′ u−1 dx =
∫u′
udx = ln |u| + C
•∫
u′ eu dx = eu + C
•∫
u′ au dx =au
ln a+ C
•∫
u′ sin (u) dx = − cos (u) + C
•∫
u′ cos (u) dx = sin (u) + C
•∫
u′ tan (u) dx = − ln | cos (u)| + C
•∫
u′ cot (u) dx = ln | sin (u)| + C
•∫
u′ sec (u) dx =
∫u′
cos (u)dx = ln | sec (u) + tan (u)| + C
•∫
u′ csc (u) dx =
∫u′
sin (u)dx = − ln | csc (u) + cot (u)| + C
•∫
u′ sin2 (u) dx =u
2− sin (2u)
4+ C =
1
2[u − sin (u) cos (u)] + C
•∫
u′ cos2 (u) dx =u
2+
sin (2u)
4+ C =
1
2[u + sin (u) cos (u)] + C
•∫
u′ tan2 (u) dx = tan (u) − u + C
•∫
u′ cot2 (u) dx = − cot (u) − u + C
•∫
u′ sec2 (u) dx =
∫u′
cos2 (u)dx = tan (u) + C
•∫
u′ csc2 (u) dx =
∫u′
sin2 (u)dx = − cot (u) + C
•∫
u′ sec (u) tan (u) dx =
∫u′ sin (u)cos2 (u)
dx = sec (u) + C
•∫
u′ csc (u) cot (u) dx =
∫u′ cos (u)sin2 (u)
dx = − csc (u) + C
•∫
u′
a2 + u2dx =
1
aarctan
(u
a
)+ C
•∫
u′√a2 − u2
dx = arcsin
(u
a
)+ C = − arccos
(u
a
)+ C
•∫
u′√a2 + u2
dx = ln∣∣∣u +
√a2 + u2
∣∣∣ + C
•∫
u′
a2 − u2dx =
1
2 aln
(u − a
u + a
)+ C, (u2 > a2)