MATEMATIKA FUNTZIOAK. JARRAITASUNA. DERIBATUAK
1. Izan bedi funtzio hau: ( )2
42
2
−−−=xx
xxf
i. Aurkitu eten puntuak.
ii. Eten punturen bat baldin bada, aurkitu alboetako limiteak eta eten mota.
iii. Determinatu funtzioaren eremua osa daitekeen, zuzen erreal osoan jarraitua
izateko moduan
i.
−==
=±=+±=⇒=−−1
22
312
811022
12
xx
xxx
Eten puntuak: x=2 eta x=-1
ii.
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
34
24lim
34
12lim
1222lim
24lim
34
12lim
1222lim
24lim:2
24lim
24lim:1
2
2
2
222
2
2
222
2
2
2
2
12
2
1
=−−
−
=++=
+−+−=
−−−
=++=
+−+−=
−−−=
+ ∞=−−
−− ∞=−−
−−=
−→
−→−→−→
−→−→−→
−→−→
−+++
−−−
+−
xxxBeraz
xx
xxxx
xxx
xx
xxxx
xxxx
xxxeta
xxxx
x
xxx
xxx
xx
x=-1-an lehen motako etena jauzi infinitukoa
x=2-an eten gaindigarria
iii. Zuzen erreal osoan ezin da, x=2-an jarraitua izateko:
( )
≠
=−−
−
=2
43
22
42
2
xbaldin
xbaldinxx
x
xf
2. Kalkulatu ondorengo funtzio hauen deribatuak:
i. ( )[ ]3223sin += xy( )[ ] ( ) ( )
( ) ( ) ( )[ ]222
222
23sin·23cos2318
3·23··2·23cos23sin3
+++=
=++⋅+=′⇒
xxx
xxxy
ii.
−−−=
−
−⋅+−=−⋅=2
22
2
22222
11·2·
1·2
21·21x
xxexxexexey xxxx
1
MATEMATIKA FUNTZIOAK. JARRAITASUNA. DERIBATUAK
iii. ( ) ( )1
141
141ln2ln1
2ln 22
2
+−=
+−=+−=
+=′
xxxxxxx
xxy
3. Izan bedi funtzio hau: ( )
>−
≤+=
112
11
2
3 xx
xxx
xf
i. Zein puntutan da etena?. Zer motatakoa da?
ii. Deribagarria al da x=1 puntuan?, eta x=-1 puntuan?, zergatik?
( )
>−
≤+=
112
11
2
3 xx
xxx
xf
12
+xx
Ez dago definituta x+1=0 denean , hau da, x=-1 beraz, x=-1-ean etena da
12lim
12lim
12lim
12lim
1
1
1
1 +¬ ∃⇒
+ ∞=+
− ∞=+⇒
+ −→
−→
−→
−→
+
−
xx
xx
xx
xx
x
x
x
x Lehen motako etena jauzi infinitukoa
x=1 denean:
( )
( ) ( ) 112limlim
122
12limlim
3
11
11 1
=−=
==+
=
→→
→→
+
−
xxfxxxf
xx
xx ( ) ( ) 11lim1
=∧=⇒→
xfxfx
jarraitua da x=1 denean
x=-1-ean ez da deribagarria
x=1
( )( )
( ) ( ) ( )
( )
=
=⇒
>
≤+=
>
≤+
−+=′
+
−
61211
16
11
2
16
11
212
'
'
2
2
2
2
f
f
xx
xx
xx
xx
xxxf Beraz, ez da
deribagarria.
4. Aztertu eta irudikatu funtzio hau: ( )( ) 2
2
2−=xxxf
i. Definizio eremua:
( ) ( )∞∪∞−= ,22,Domf
ii. Ardatzekiko ebaki puntuak:
i. OX ( )00
2 2
2
=⇒=−
xxx
(0,0)-tik pasatzen da
2
MATEMATIKA FUNTZIOAK. JARRAITASUNA. DERIBATUAK
ii. OY (0,0)
iii. Eskualdeak
iv. Simetriak
Ez da simetrikoa
v. Periodikotasuna Ez
vi. Asintotak
i. Horizontala: ( )1
2lim 2
2
=−
=± ∞→ x
xyx
ii. Bertikala: x=2
( ) ( )00
24
2 32
2
=⇒=−
−=′⇒−
= xx
xyxxy
( )10880
288
4 −=⇒=+⇒=−
+=′′ xxxxy
IX. Mutur erlatiboak:
( ) ( ) ( ))0,00001680 Minimoaff ⇒=>=′′
X Inflexio-puntuak ( )
−⇒=−
91,1
911 IPf
-1 0 2Eskualdeak + + +VII. monotonia - (Beherakorra) -(Gorakorra) +(B)VIII. kurbadura - (Ganbila) + (ahurra) +(ahurra)
3
MATEMATIKA FUNTZIOAK. JARRAITASUNA. DERIBATUAK
5. ( ) 32001202 −+−= xxxf funtzioak irudikatzen du zenbateko mozkina duen
enpresa batek produktu baten x unitate fabrikatzeagatik.
i. Zenbat unitate fabrikatu behar ditu galerarik ez izateko
ii. Kalkulatu unitateko mozkina
iii. Zein izaten ahal den mozkinik handiena
i.
==
=±=−±=⇒
⇒=+−⇒=−+−
8040
240120
23200·4120120
0320012003200120
2
12
22
xx
x
xxxx
Fabrikatu behar ditu
40-tik 80-ra
ii.
iii. ( ) ( ) 400606001202 ==⇒=+−=′ fxxxf mozkina = 400
6. Kalkulatu a,b eta c zenbakiak ( ) cbxaxxf ++= 2 funtzioa (1,3) puntutik
pasatzen dadin eta jatorrian lehen koadranteko erdibitzailearekiko ukitzailea izan
dadin
( )( )( )
( )
( ) 03:0,1,3
0010
231
2 =+=
=====
==′+=′
=++=
xxxfdaHaucba
cfbf
baxxfcbaf
4
MATEMATIKA FUNTZIOAK. JARRAITASUNA. DERIBATUAK
7. ( ) xxxxf +−= 23 2 funtzioa izanik, kalkulatu: Ardatzekiko ebaki puntuak;
mutur erlatiboak eta inflexio puntuak; monotonia; kurbadura,eta grafika.
( ) ( ) ( ) ( )
( ) 00
0,1,0,01012
00)1202
2223
=
⇒
=⇒=+−
=⇒=+−⇒=+−=
fpuntuaebakiikoardatzarekYxxx
xxxxxxxxf
puntuakebakiikoardatzarekX
Mutur erlatiboak
( )
=
==±=−±=⇒=+−=′
311
624
6121640143 2
x
xxxxxf
( ) ( ) ( )( ) ( )0,11,102146 =⇒>=′′⇒−=′′ ffxxf minimoa
=
⇒−=
′′
274,
31
31,
312
31 ff Maximoa
( )32046 =⇒=−=′′ xxxf
( ) IPffxf
=
⇒≠=
′′′⇒=′′′
272,
32
32,
3206
326
Hazkundea:
1/3 1+ - +
Gorakorra: ( )∞∪
∞− ,1
31, Beherakorra:
1,
31
Kurbadura:
2/3- +
Ganbila:
∞−
32, Ahurra:
∞,
32
5
MATEMATIKA FUNTZIOAK. JARRAITASUNA. DERIBATUAK
8. Izan bedi funtzio hau ( )
<+≤<+
≤<−++−≤+
=
xxxxxxx
xx
xf
213201
0212252
2
2
Aztertu bere
jarraitasuna eta deribagarritasuna R osoan
Funtzioak zati bakoitzea jarraituak dira begiratu behar dugu tarteetako muturretan,
x=-2 ( ) ( ) ( ) 1lim1lim1222
===−+− −→−→
xfxffxx jarraitua
x=0 ( ) ( ) ( ) 1lim1lim1000
===+− →→
xffxffxx
x=2 ( ) ( ) ( ) 7lim5lim5222
===+− →→
xfxffxx eten puntua jauzi finitukoa, berez puntu
horretan ez da deribagarria
6
MATEMATIKA FUNTZIOAK. JARRAITASUNA. DERIBATUAK
Deribagarritasuna:
( )
><<
<<−+−<
=′
232020222
22
xxxxx
x
xf Aztertu behar da x=-2 eta x=0.
( ) ( ) 2222 =−′=−′ +− ff deribagarria
( ) ( ) 0020 =′=′ +− ff Ez da deribagarria x=0 puntuan
9. cbxaxxy +++= 23 funtzioa (-1,0) puntutik pasatzen da, eta maximoa bat
daukat (0,4) puntuan. Aurkitu:
i. funtzioa
ii. minimoa
iii. inflexio puntua.
i.
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
( ) 433041
4400023
0101111
23
2
23
+−=−=⇒=++−
=⇒==⇒=′++=′
=+−+−⇔=+−+−+−=−
xxxfaa
cfbbfbaxxxf
cbacbaf
ii. Minimoa( )
( ) ( ) ( )( ) ( )0,22,21226620
063 2
=⇒=′′⇒−=′′
==
⇒=−=′
ffxxfxx
xxxf
iii. Inflexio puntua: ( )( ) 06
1066≠=′′′
=⇒=−=′′xf
xxxf(1,2)
10. Adierazi x=2 puntuan eten gaindigarria, x=1-ean eten ez gaindigarria dituen eta
x=4 puntuan jarraitua baina ez deribagarria den funtzio bat. Azaldu zergatik
gertatzen den hori puntu horietan eta adierazi grafikoa.
( ) ( )
≥−
<<−−
≤
=
442
4122
14
xx
xxxx
x
xf
7
MATEMATIKA FUNTZIOAK. JARRAITASUNA. DERIBATUAK
x=2 puntuan eten gaindigarria f(2) =2 egiten badugu jarraitua da
x=1 etena jauzi infinitukoa
x=4 ez da deribagarria, aldaketa zorrotza delako.
E
11.( )
2
2
24
xxy += funtzioa grafikoki irudikatu
i. Definizio eremua:
( ) ( )∞∪∞−= ,00,Domf
ii. Ardatzekiko ebaki puntuak:
i. OX( ) ⇒=+⇒=+= 040
24 2
2
2
xx
xy Ez du soluziorik, hots, ez
da pasatzen
ii. OY Ez dago definituta
iii. Eskualdeak, beti positiboa
8
MATEMATIKA FUNTZIOAK. JARRAITASUNA. DERIBATUAK
iv. Simetriak
( ) ( )( )( )
( )xfx
xx
xxf =+=−
+−=− 2
2
2
2
24
24
Y ardatzarekiko simetrikoa
v. Asintotak
i. Horizontala: 21
24lim 2
2
=+=± ∞→ xxy
x
ii. Bertikala: x=0
⇒=−=′⇒+= 042
432
2
xy
xxy Ezin da
0124
==′′x
y Ezin da
IX. Mutur erlatiboak: Ez dago
X Inflexio-puntuak ez dago
0 Eskualdeak + +VII. monotonia + Gorakorra - BeherakorraVIII. kurbadura + (ahurra) + (ahurra)
9
MATEMATIKA FUNTZIOAK. JARRAITASUNA. DERIBATUAK
12. Enpresa batek badaki artikulu jakin baten unitate ekoiztearen kostua ondorengo
funtzio honek ematen duela.
( ) 100102 +−= xxxC
i. Zenbat unitate ekoiztu behar ditu kosturik txikiena lortzeko?
ii. Zein da unitateko kostuaren funtzioa
iii. Lor lezake unitateko 11ko mozkina, unitate bakoitzean 30ean salduz
i.( )( ) 50102
100102
=⇒=−=′+−=
xxxCxxxC
bost unitate ekoiztu behar dira
ii.
iii.
( )
=−=
=±−=±−=−±−=⇒
⇒=++⇒=−−−⇒⇒=−−+−⇒=+−−
425
22129
244129
240084129
0100290100290111001030111001030
22
22
xx
x
xxxxxxxxxxxx
Ezin da lortu.
13. Eratu funtzio bat aldi berean egiaztatzeko honako hauek:
• Etena da hauetan x= 3 eta x=5
• Ez da deribagarria hauetan x=1, x=3 eta x=5
• Asintota bertikal bat dauka honetan: x=3
• Asintota horizontal bat dauka honetan: y= 1
10
MATEMATIKA FUNTZIOAK. JARRAITASUNA. DERIBATUAK
14. Kalkulatu ondoko funtzioen deribatuak:
• x
y x
+++=
11ln24
xxy
x
x
x
x
+−
+=
+−
+=′
−
11
24
2ln21
1
242
2ln2 1
• ( ) 32 12sin += xy
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 332233 12·cos12sin12122123·12·cos12sin2 +++=+++=′ xxxxxxy
• Deribatuaren definizioa aplikatuz, kalkulatu ( ) xxxf 22 −= funtzioaren
deribatua, x=2 puntuan.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]
( )
( ) 22lim
2lim24lim022·22·22lim
2·22222lim22lim2
0
0
2
0
22
0
22
00
=+
=+=−+=−−−++=
=−−+−+=−+=′
→
→→→
→→
hh
hhhh
hhhh
hhhhhh
hfhff
h
hhh
hh
15. Ondoko funtzioa emanda:
( )
≥+<≤−
<−=
515212
212
xxxx
xxxf
i. Adierazpen grafikoa
11
MATEMATIKA FUNTZIOAK. JARRAITASUNA. DERIBATUAK
ii. Aztertu haren jarraitutasuna ℜ multzoan
Grafikoa ikusita 1. motako etena dauka x=5 puntuan jauzi finitukoa
Analitikoki ikusiko dugu: Begiratu behar dugu x=2 eta x=5-ean
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 323lim
312limlim2
31limlim2
222
2
22 =∧=⇒
=−==
=−==
→→→
+
→→−
+
−
fxfxxff
xxff
xxx
xx
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ⇒
=+==
=−==
→→+
→→− −
61limlim5
912limlim5
55
55
xxff
xxff
xx
xx Etena
16. Izan bedi
( )
>−
≤+−
=11
111
xx
xxx
xf funtzioa
i. Aztertu bere jarraitutasuna eta deribagarritasuna
ii. Deribatuaren definizioa aplikatuz, kalkula ezazu bere deribatua x= 2
puntuan.
iii. Jarraitutasuna:
Aztertu behar dugu x=1 funtzioa aldatzen delako. Tarte bakoitza aztertuz zera daukagu:
11
+−
xx
begiratu behar da x=-1-en (x+1=0x=-1,eta x≤1 denez begiratu behar dugu).
x-1 polinomioa denez jarraitua da.
Ez dago definituta x= -1.n
12
MATEMATIKA FUNTZIOAK. JARRAITASUNA. DERIBATUAK
− ∞=+−
+ ∞=+−
⇒+−
+
−
−−→
−→
−→
11lim
11lim
11lim
1
1
1
xxxx
xx
x
x
x Ez du limiterik. Funtzioak x=-1an 1. motako etena jauzi
infinitukoa.
x=1 ( ) ( ) ( )( ) ( )
=−=
=+−=
⇒=→→
→→→
+
−
01limlim
011limlim
lim0111
111 xxf
xxxf
xffxx
xxx
Jarraitua x=1-ean
Deribagarritasuna:
x=-1-ean etena denez ez da deribagarria. Orain zer gertatzen den x=1 –an, aztertu behar
da
( ) ( )
>
<+=′
11
11
22
x
xxxf
( )( )
( )( )
=
=+=′
+
−
11
21
1121
1'
2'
f
ff Ez da deribagarria
17. Adierazi grafiko batean ondoko funtzioa: ( )x
xxf 12 +=
i. Definizio eremua:
( ) ( )∞∪∞−= ,00,Domf
ii. Ardatzekiko ebaki puntuak:
i. OX ( ) 10101 32 −=⇒=+⇒=+= x
xx
xxxf
ii. OY Ez dago definituta
iii. Eskualdeak
-1 0+ - +
iv. Simetriak. Ez da simetrikoa
f(-1)=0 f(1)=2
13
MATEMATIKA FUNTZIOAK. JARRAITASUNA. DERIBATUAK
v. Asintotak
i. Horizontala: ez du:
ii. Bertikala: x=0
iii. Zehiarra: ez du
( ) 2
12x
xxf −=′
( )3
12x
xf +=′′
VI Monotonia: ( ) 32
3
2 21012012 =⇒=−⇒=−=′ x
xx
xxxf
0 3
21=x
Monot - - +
Gorakorra
∞,
21
3
Beherakorra ( ) ( )+ ∞∪∞− ,00,
VII Kurbadura:
( ) 33333 2
121
2121012 −=−=⇒−=⇒−=⇒=+=′′ xx
xxxf
3
21−=x 0
Kurb + - +
Ahurra:
− 0,
21
3
Ganbila: ( )∞
−∞− ,0
21, 3
IX. Mutur erlatiboak: Minimo
889,1,
21
3
14
MATEMATIKA FUNTZIOAK. JARRAITASUNA. DERIBATUAK
X Inflexio-puntuak :
−− 63,0,
21
3
18. Azter ezazu ondoren ematen den funtzioaren jarraitutasuna eta
deribagarritasuna:
( )
>+
≤<−−
−≤−
=
052
0133
2
14
2
2
2
xx
xx
x
xx
x
xf
Jarraitutasuna:
2
2
4 xx−
begiratu behar da x=-2-n (4-x2=0x=2, x=-2, baina x<-1 denez
bakarrik begiratu behar dugu x=-2)
Ez dago definituta x= -2.n
∞=−
− ∞=−⇒
−+
−
−→
−→
−→
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4lim
4lim
4lim
xxx
x
xx
x
x
x Ez du limiterik.
Funtzioak x=-2an etena
15
MATEMATIKA FUNTZIOAK. JARRAITASUNA. DERIBATUAK
x=-1 ( ) ( )( )
( )
==−
=
=−
=⇒=−
−→−→
−→−→
−→
+
−
31
62
332limlim
31
4limlim
lim311 2
11
2
2
11
1
xxxf
xxxf
xff
xx
xx
x Jarraitua
xx33
2 2
− aztertu behar dugu horretarako 3-3x=0 ebatzi eta x=1 ateratzen da,
baina x= 1 ez dago (-1,0] tartean, beraz, jarraitua da (-1,0] tartean
x=0 ( ) ( )( ) ( )
( )
=−
=
=+=⇒=
→→
→−→
→−
+
033
2limlim
552limlimlim00 2
00
00
0
xxxf
xxfxff
xx
xx
x Ez du limiterik.
Funtzioak x=-2an 1. motako etena jauzi finitukoa.
Deribagarritasuna:
( )( )
( )( )
>
<<−−
+−
−<−
=′
02
0133
6332
14
8
2
2
22
x
xx
xxx
xxx
xf
Aztertu behar dugu zer gertatzen den x=-1 –an. x=0-an etena duenez ez da
deribagarria.
x=-1 ( )
( )
−=−=−′
−=−′
+
−
61
3661
981
f
f ez du deribaturik, orduan ez da deribagarria puntu
honetan
19. Kalkulatu funtzio hauen deribatuak.
i. xxy ·sin32 +=
ii. ( )x
xyln
22 −=
iii. 123 2 5 ++= xxy
16
MATEMATIKA FUNTZIOAK. JARRAITASUNA. DERIBATUAK
i. xxx
xxxxx
xxy
xxy
cos3sin3
cos3sin32
2·sin3
2
2
2
2
2
+++
=+++
=′
+=
ii.
( )
xxxx
xx
xxxy
xxy
ln22
ln
2ln2
ln2
2
2
2
−−=
−−=′
−=
iii. 33 4
123 2
32
3
25
xxxy
xy x
==′
+= +
20. Funtzio hau daukagu: ( ) ( ) ( ) 212 −+= xxxf . Aurkitu:
i. Eremua eta ardatzekiko ebakidurak
ii. Maximoak eta minimoak
iii. Hazkundea eta beherapena
iv. Ahurtasuna eta ganbiltasuna
v. Marraztu bere grafikoa
i. ( )+ ∞∞−= ,Domf
X-ardatzarekiko ebaki puntuak: ( ) ( ) 1,2012 2 =−=⇒=−+ yxxx
(-2,0) eta (1,0)
Y-ardatzarekiko ebaki puntua x=0 y=2, (0,2)
ii.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 23242212212 322322 +−=+−++−=+−+=−+= xxxxxxxxxxxxxf
( ) 1033 2 ±=⇒=−=′ xxxf
( ) +=−′ 2f ( ) −=′ 0f ( ) +=′ 2f
(-1,4) Maximoa
(1,0) minimoa
iii Gorakorra ( ) ( )+ ∞−∞− ,11, Beherakorra ( )1,1−
iv ( ) 006 =⇒==′′ xxxf
( ) −=−′′ 1f ( ) +=′′ 1f
17
MATEMATIKA FUNTZIOAK. JARRAITASUNA. DERIBATUAK
vi. Ahurra ( )∞,0 Ganbila ( )0,∞−
21. Funtzio hau daukagu ( )2
2
92xxxf
−= , kalkulatu:
i. Eremua eta ebaki-puntuak ardatzekin
ii. Asintotak
iii. Hazkunde eta beherapen-tarteak. Maximoak eta minimoak
iv. Ahurtasuna eta ganbiltasuna. Inflexio puntuak
v. Lortutako datuekin, marraztu grafikoa
i. ( ) ( ) ( )+ ∞∪−∪−∞−= ,33,33,Domf
X-ardatzarekiko ebaki puntuak (0,0)
Y-ardatzarekiko ebaki puntua (0,0)
ii. Asintotak
Asintota horizontala: 292lim 2
2
−=−
=± ∞→ x
xyx
Kokapena: ( ) −
−=
−−
− 22
2
9182
92
xxx
Azpitik
Asintota bertikalak x=3; x=-3
+ ∞=−−→ 2
2
3 92limxx
x ; − ∞=
−+→ 2
2
3 92limxx
x
18
MATEMATIKA FUNTZIOAK. JARRAITASUNA. DERIBATUAK
− ∞=−−−→ 2
2
3 92limxx
x ; + ∞=
−+−→ 2
2
3 92limxx
x
iii. ( )2
2
92xxxf
−= ( ) ( ) ( )
( ) ( ) 009
36
9
2·2942222
22
=⇒=−
=−
−−−=′ xx
x
x
xxxxxf
-3 0 3- - + +
Gorakorra ( ) ( )∞∪ ,33,0
Beherakorra ( ) ( )0,33, −∪−∞−
iv.
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )[ ]( ) ( )
daezinxx
x
x
xxx
x
xxxxxf
0324108
09
324108
9
1449369
9
36922936
2
32
2
42
222
42
222
=+⇒
=−
+=−
+−−=−
−−−−=′′
-3 3- + -
Ahurra ( )3,3− Ganbila ( ) ( )+ ∞∪−∞− ,33,
Ez du inflexio-punturik
19
MATEMATIKA FUNTZIOAK. JARRAITASUNA. DERIBATUAK
22. Nafarrroan, animalia espezie baten eme-kopuruak, urtetik urtera bilakaera hau
izaten du ( ) 50090060 23 ++−= ttttP ekuazioaren arabera, non t pasatutako
denbora baita, urteetan, azterketa hasi zenetik.
i. Zenbat eme zegoen azterketa hasi zenean?
ii. Zer urtetan izan zen emerik gutxien?
iii. Zer alditan handiagotzen da populazio horren eme-kopurua?
i. t=0P(0)=500 eme
ii. ( ) 03004009001203 22 =+−⇒=+−=′ tttttP
==
=±=−±=1030
22040
21200160040
2
1
tt
t
0 10 30+ - +
t=30 minimoa ( ) 50050030·90030·603030 23 =++−=P eme. Orduan
hasieran eta 30. urtean
iii. Hasieratik 10. urtera. 30. urtetik aurrera
23. Funtzio hau daukagu:
( )
≥+<≤−
<−=
515312
342
xxxx
xxxf
i. Aztertu bere jarraitutasuna eta deribagarritasuna ℜ guztian
ii. Irudikatu
iii. Deribatuaren definizioa erabiliz, kalkulatu deribatua x= 2 puntuan
i. Jarraitutasuna:
Hiru zati ditu, eta hiruak polinomioak, orduan jarraituak dira bakoitzari dagokion zatian.
Muturrak aztertu behar ditugu, hau da, x=3, x=5
x=3
I ( ) 513·23 =−=f
20
MATEMATIKA FUNTZIOAK. JARRAITASUNA. DERIBATUAK
II ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 5lim
512limlim
54limlimlim
333
2
33
3=⇒
=−=
=−==
→→→
→→
→+
−xf
xxf
xxfxf
xxx
xx
x
III ( ) ( ) 5lim33
==→
xffx f(x) jarraitua x=3
x=5
I ( ) 6155 =+=f
II
( )( ) ( )( ) ( ) ( )xfdagoEz
xxf
xxfxf
xxx
xx
x 555
55
5lim
61limlim
912limlimlim
→→→
→→
→⇒
=+=
=−==
+
−
Etena x=5-ean
Deribagarritasuna: x=5-ean ez da deribagarria jarraitua ez delako.
Deribatua kalkulatuko dugu
( )
≥<<
<=′
51532
32
xx
xxxf
Hiru zati deribagarriak eta x=3 aztertu behar dugu.
( ) ( ) 2363·23 =′==′ +− ff ez da deribagarria
21
MATEMATIKA FUNTZIOAK. JARRAITASUNA. DERIBATUAK
ii.
iii) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) 44lim
4lim444lim042lim22lim2
0
0
2
0
2
00
=+
=+=−++=−−+=−+=′
→
→→→→
hhhh
hhh
hh
hfhff
h
hhhh
24. Aurkitu 3. mailako funtzio polinomiko bat: ( ) dcxbxaxxf +++= 23 , inflexio
puntua (0,1) puntuan daukana eta mutur erlatibo bat (1,-1) puntuan.
(0,1) inflexio puntua: x=0 y=1 eta ( ) 00 =′′f
f(0)=1 ( ) 10 =⇒= ddf
( ) ( ) baxxfcbxaxxf 2623 2 +=′′⇒++=′ ( ) 13 ++= cxaxxf
( ) 020 =⇒=′′ bbf
22
MATEMATIKA FUNTZIOAK. JARRAITASUNA. DERIBATUAK
(1,-1) mutur erlatiboa: x=1, y=-1 eta ( ) 01 =′f
( )( )
3122203
111031
−=⇒=⇒=
−=+=+
⇒
−=++==+=′
caacaca
cafcaf
( ) xxxf .33 −=
24. Idatzi x=-1 puntuan eten saihestezin bat daukan funtzio bat, x=2 puntuan eten
saihesgarri bat daukana eta x=4 puntuan jarraitua dena baina ez deribagarria. Azaldu
zergatik den horrelakoa puntu horietan. Marraztu funtzio horren grafikoa
( )
≥
<<=
<+
=
bada43
3-xbada4x21/3bada24
bada21
1
x
x
xx
xf x=-1 ( )( ) + ∞=
− ∞=
+
−
−→
−→
xf
xf
x
x
1
1
lim
limeten saihestezina
x=2
( )
≥
<<=
<+
=
bada43
3-xbada4x21/3bada23/1
bada21
1
x
x
xx
xf Orduan f jarraitua x=2-n
( )( ) ( ) )2(3/1lim
3/1lim
3/1lim
22
2 fxfxf
xf
xx
x ==⇒
=
=
→→
→
+
−
x=4 jarraitua ( )( ) ( ) )4(3/1lim
3/1lim
3/1lim
44
4 fxfxf
xf
xx
x ==⇒
=
=
→→
→
+
−
( ) ( ) 3/1404 =′=′ +− ff Ez da deribagarria
23
MATEMATIKA FUNTZIOAK. JARRAITASUNA. DERIBATUAK
25. Kalkulatu funtzio hauen deribatuak:
i. ( ) ( )xxxxf += ln
ii. ( ) ( )25sin3
+⋅= xexg x
iii. ( )3
2
+=
xxxh
i.
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )xxxxxxx
xxxxxxxf
xxxxf
++++=
+
+++=′
⇒+=
212ln2
11·ln
ln
ii.
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )25cos525·sin325cos525·sin·3
25sin22 333
3
+⋅++=+⋅++=′
+⋅=
xxxexexexxg
xexgxxx
x
iii.
( )
( ) ( ) ( )( )( ) 332
34332
34
332
32
3
2
2
2
2
++++=
++++=
++
++⋅=′
+=
xxxxxx
xxxxx
xxxxx
xh
xxxh
26. Izan bedi funtzio hau ( )4
3 2
−=xxxf , kalkulatu:
i. Eremua eta ebaki-puntuak ardatzekin
ii. Asintotak
24
MATEMATIKA FUNTZIOAK. JARRAITASUNA. DERIBATUAK
iii. Hazkunde eta beherapen-tarteak. Maximoak eta minimoak
iv. Ahurtasuna eta ganbiltasuna. Inflexio puntuak
v. Lortutako datuekin, marraztu grafikoa
i. ( ) ( )+ ∞∪∞−= ,44,Domf
X-ardatzarekiko ebaki-puntuak 004
3 2
=⇒=−
xxx (0,0)
Y-ardatzarekiko ebaki-puntuak (0,0)
ii. Asintotak
Asintota Horizontala ± ∞=−± ∞→ 4
3lim2
xx
x Ez du
Asintota bertikala: x=4 + ∞=−
− ∞=− +− →→ 4
3lim4
3lim2
4
2
4 xxeta
xx
xx
Asintota zeiharra: 4
481234
3 2
−++=
− xx
xx
Kokapena: ( )+=−+ ∞→
04
48limxx
Gainetik ( )−=−∞→
04
48limxx
Azpitik
iii. ( )4
3 2
−=xxxf
( ) ( )( ) ( )
( )
==
⇒=−
⇒=−⇒=−−=
−−−=′
80
083
024304243
4346 2
2
2
2
2
xx
xx
xxx
xxx
xxxxf
0 4 8+ - - +
Maximo (0,0) minimo (8,48)
Gorrakorra ( ) ( )+ ∞∪∞− ,80, Beherakorra ( ) ( )0,44,0 ∪
iv.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )
( )( ) ( )( ) ( )
( ) daezinx
xxxxxx
xxxxx
xxxxxx
xxxxxxxf
04
964
48696242464
243242464
2432424644
243424246
3
3
22
3
2
4
2
4
22
=−
=
=−
+−+−−=−
−−−−=
=−
−−−−−=−
−−−−−=′′
4
25
MATEMATIKA FUNTZIOAK. JARRAITASUNA. DERIBATUAK
- +Ahurra ( )+ ∞,4 Ganbila ( )4,∞− Ez du inflexio-punturik
27. Gaixotsun infekzioso batek kutsatu dituen pertsonen kopurua, milakoetan
emanda, ondoko funtzioak ematen du: ( )9
32 +
=tttF non t kutsadure hasi zenetik
pasatu den denbora baita, egunetan.
i. Zer egunetan egongo da gaixorik gehien, eta zenbat izango da?
ii. Baiezta daiteke gaixotasuna desagertzen joango dela denbora pasatu ahala?
Arrazoitu erantzuna.
i. Maximoa kalkulatu behar dugu. Horretarako ( ) 0=′ tF egiten dugu
( ) ( ) 3027309273
9693 2
2
2
2
22
±=⇒=+−⇒=+
+−=+
−+=′ tttt
ttttF
t=-3-k ez du zentzurik.
t=3 F(t)=9/18=0,5500 pertsona
Bai, 09
3lim 2 =++ ∞→ tt
t delako
26
Top Related