(3 ; 16)
(0 ; 2)
(-3 ; 20)
En los problemas 3 a 26, determinar donde es creciente, decreciente, cóncava hacia abajo, cóncava hacia arriba la función dada. Hallar los extremos relativos y los puntos de inflexión y trazar la gráfica.
3.-f ( x )=13x3−9 x+2
f '( x)=13
ddx
(x3 )+x3 ddx ( 13 )−9
i ¿ f ' ( x )=13
(3x2 )−9⇒ f ' ( x )=x2−9
( x−3 ) ( x+3 )=0
x=−3 ; y=20 (−3;20 )Máx .x=3 ; y=16 (3 ;−16 ) Mín .
x←3 ; f ' (x )>0 x<3 ; f ' ( x )<0 Máx. Mín.
x>−3 ; f ' (x)<0 x>3 ; f ' ( x )>0
ii¿ f ' ' ( x )=2 x
2 x=0
x=0 ; y=2 (0 ;2 ) puntode inflexión .
x<0 ; f ' ' (x )<0≠signo puntode inflexión
x>0 ; f ' ' ( x )>0
iii¿ f ' ' ' ( x )=2≠0
4.-f ( x )=x3+3 x2+1
i ¿ f ¿' ( x )=3 x2+6 x=03 x ( x+2 )=0
x=0 ; y=1 (0 ;1 ) Mín.x=−2 ; y=5 (−2 ;5 ) Máx .x←2; f ' ( x )>0 x<0 ; f ' ( x )<0
Máx. Mínx>−2 ; f ' ( x )<0 x>0 ; f ' ( x )>0
ii¿ f ' ' ( x )=6 x+66 ( x+1 )=0
x=−1 ; y=3 (−1 ;3 ) punto de Inflexión .
x←1; f ' ' ( x )<0 ≠signo.
x>−1 ; f ' ' ( x )>0
f ' ' ' (x)=6≠0
Intervalo f(x) f'(x) f''(x) Resumenx←3 + - fes creciente y cóncava hacia
abajo.x=−3 20 0 - fes un máximo y cóncava hacia
abajo.−3<x<0 - - fes decreciente y cóncava hacia
abajo.x=0 2 -9 0 Punto de Inflexión0<x<3 - + fes decreciente y cóncava hacia
arriba.x=3 -16 0 + fes un mínimo y cóncava hacia
arriba.x>3 + + fes creciente y cóncava hacia
arriba.
Intervalo f(x) f '(x) f ''(x) Resumen
x←2 + - fes creciente y cóncava hacia abajo.
x=−2 5 0 - fes un máximo y cóncava hacia abajo.
−2<x←1 - - fes decreciente y cóncava hacia abajo.
x=−1 3 -3 0 Punto de Inflexión−1<x<0 - + fes decreciente y cóncava hacia
arriba.x=0 1 0 + fes un mínimo y cóncava hacia
arriba.x>0 + + fes creciente y cóncava hacia arriba.
5.-f ( x )=x 4−4 x3+10
i ¿ f ¿' ( x )=4 x3−12 x2
4 x2 ( x−3 )=0
x=0 ; y=10 (0;10 )x=3 ; y=−17 (3 ;−17 )Máx .x<0 ; f ' ( x )<0 x<3 ; f ' ( x )<0
No existe. Mínx>0 ; f ' ( x )<0 x>3 ; f ' ( x )>0
ii¿ f ' ' (x)=12x2−24 x12 x ( x−2 )=0
x=0 ; y=10 (0;10 ) punto de Inflexión.
x=2 ; y=−6 (2 ;−6 ) puntode Inflexión .
x<0 ; f ' ' ( x )>0 x<2 ; f ' ' ( x )<0 ≠ signo. ≠ signo.
x>0 ; f ' ' ( x )<0 x>2 ; f ' ' ( x )>0
f ' ' ' ( x )=24 x−24
x=0 ; f ' ' ' (0 )=−24≠0
x=2 ; f ' ' ' (2 )=24≠0
Intervalo f(x) f '(x) f ''(x)
Resumen
x<0 - + fesdecreciente y cóncava hacia arriba.
x=0 10 0 0 Punto de Inflexión.0<x<2 - - fes decreciente y cóncava hacia
abajo.x=2 -6 -16 0 Punto de Inflexión.2<x<3 - + fes decreciente y cóncava hacia
abajo.x=3 -17 0 36 Punto de Inflexión.x>3 + + fes creciente y cóncava hacia
arriba.
6.-f ( x )=x3−3x2+3 x+1
i ¿ f ¿' ( x )=3 x2−6 x+3x2−2 x+1=0(x−1)2=0
x=1 ; y=2 (1 ;2 )x<1 ; f ' (x )>0
No existe.x>1 ; f ' (x )>0
ii¿ f ' ' (x)=6 x−6x−1=0
x=1 ; y=2 (1 ;2 ) punto de Inflexión.
x<1 ; f ' ' (x )<0 ≠ signo.
x>1 ; f ' ' (x )>0
f ' ' ' ( x )=6≠0
Intervalo f(x) f '(x) f ''(x) Resumen
x<1 + - fes creciente y cóncava hacia abajo.
x=1 2 3 6 Punto de Inflexión.x>1 + + fes creciente y cóncava hacia
arriba.
7.-f ( x )=(x−2)3
i ¿ f ¿' ( x )=3 (x−2)2 ddx
( x−2 )
f ' ( x )=3( x−2)2=0
x=2 ; y=0 (2 ;0 )x<2 ; f ' (x )>0
No existe.x>2 ; f ' (x )>0
ii¿ f ' ' (x )=6 ( x−2 )=0
x=2 ; y=0 (2 ;0 ) puntode Inflexión .
x<2 ; f ' ' ( x )<0 ≠ signo.
x>2 ; f ' ' ( x )>0
f ' ' ' ( x )=6≠0
Intervalo f(x) f '(x) f ''(x) Resumenx<2 + - fes creciente y cóncava hacia
abajo.x=2 0 3 6 Punto de Inflexión.x>2 + + fes creciente y cóncava hacia
arriba.
8.-f ( x )=x5−5x
i ¿ f ¿' ( x )=5 x4−5=05 (x4−1 )=0
x=1 ; y=−4 (1 ;−4 ) Mín .x=−1 ; y=4 (−1 ;4 )Máx .x←1; f ' ( x )>0 x<1 ; f ' (x )<0
Máx. Mín.x>−1 ; f ' (x )<0 x>1 ; f ' (x )>0
ii¿ f ' ' (x)=20 x3
20 x3=0
x=0 ; y=0 (0 ;0 ) punto de Inflexión .
x<0 ; f ' ' ( x )<0 ≠ signo.
x>0 ; f ' ' ( x )>0
f ' ' ' ( x )=60x2
f ' ' ' (0 )=0
9.-f ( x )=(x2−5)3
Falta terminar la tabla y los puntos en la gráica
Intervalo f(x) f '(x) f ''(x)
Resumen
x←1 + - fes creciente y cóncava hacia abajo.
x=−1 4 0 - fes un máximo y cóncava hacia abajo.
−1<x<0 - - fes decreciente y cóncava hacia abajo.
x=0 0 -5 0 Punto de Inflexión0<x<1 - + fes decreciente y cóncava hacia
arriba.x=1 -4 0 + fes un mínimo y cóncava hacia
arriba.x>1 + + fes creciente y cóncava hacia
arriba.
i ¿ f ¿' ( x )=3 (x2−5)2 dd x
(x2+5 )
f ' ( x )=3( x2−5)2 (2x )3(x2−5)2 (2x )=0
x=0 ; y=−125 (0 ;−125 )Mín .x=√5 ; y=0 (√5 ;0 )x=−√5 ; y=0 (−√5 ;0 )x←√5 ; f ' ( x )<0 x<√5; f ' (x )>0
No existe. No existex>−√5 ; f ' (x )<0 x>√5; f ' (x )>0
x<0 ; f ' ( x )<0 Mín
x>0 ; f ' ( x )>0
ii¿ f ' ' (x)=3(10 x4+50−60x2)x4−6 x2+5=0(x¿¿2−5)(x2−1)=0¿
x=−√5 ; y=0 (−√5 ;0 ) puntode Inflexión .
x=√5 ; y=0 (√5 ;0 ) puntode Inflexión .
x=−1 ; y=−64 (−1;−64 ) punto de Inflexión .
x=1 ; y=−64 (1;−64 ) punto de Inflexión.
x←√5 ; f ' ' ( x )>0 x←1; f ' ' ( x )<0 ≠ signo. ≠ signo.
x>−√5 ; f ' ' (x )<0 x>−1 ; f ' ' ( x )>0
x<√5; f ' ' (x )<0 x<1 ; f ' ' (x )>0 ≠ signo. ≠ signo.
x>√5; f ' ' (x )>0 x>1 ; f ' ' (x )<0
Intervalo f(x) f '(x) f ''(x) Resumenx←√5 - + f es decreciente y cóncava hacia
arriba.x=−√5 0 0 0 Punto de inflexión.
−√5<x←1 - - fes decreciente y cóncava hacia abajo.
x=¿-1 -64 - 0 Punto de Inflexión-1¿ x<¿0 - + fes decreciente y cóncava hacia
arriba.x=¿0 -125 0 + fes un mínimo y cóncava hacia
arriba.0<x<1 + + fes creciente y cóncava hacia
arriba.x=1 -64 + 0 Puto de inflexión.
1<x<√5 + - f es creciente y cóncava hacia abajo.
x=√5 0 0 0 Punto de inflexión.x>√5 + + f es creciente y cóncava hacia
arriba.
10.-f ( x )=(x−2)4
i ¿ f ¿' ( x )=4 (x−2)3
( x−2 )3=0
x=2 ; y=0 (2 ;0 ) Mín .
Falta terminar la tabla y los puntos en la gráfica
x<2 ; f ' (x )<0 Mín.
x>2 ; f ' (x )>0
ii¿ f ' ' (x)=12(x−2)2
12(x−2)2=0
x=2 ; y=0 (2 ;0 )x<2 ; f ' ' ( x )>0
No hay punto de Inflexión.x>2 ; f ' ' ( x )>0
f ' ' ' ( x )=24 (x−2)
f ' ' ' (2 )=0
Intervalo f(x) f '(x) f ''(x) Resumenx<¿2 - + fes decreciente y cóncava
hacia arriba.x=¿2 0 0 0 fes un mínimo.x>2 + + fes creciente y cóncava hacia
arriba.
11.-t=x
f ( x )=x+ 1x
i ¿ f ¿' ( x )=1− 1
x2
1− 1
x2=0
x=1 ; y=2 (1 ;2 )Mín .
x=−1 ; y=−2 (1 ;2 )Máx .
x←1; f ' ( x )>0 x<1 ; f ' (x )<0 Máx. Mín.
x>−1 ; f ' (x )<0 x>1 ; f ' (x )>0
ii¿ f ' ' (x)= 2
x3
2
x3=0
Esta ecuación no tiene solución
f ' ' ' ( x )=−6x4
≠0
Falta terminar la tabla y los puntos en la gráfica
Intervalo f(x) f '(x) f ''(x) Resumenx<¿-1 + - fes creciente y cóncava hacia abajo.
x=−1 -2 0 - fes un máximo y cóncava hacia abajo.
−1<x<1 - - fes decreciente y cóncava hacia abajo.
x=¿1 2 O + fes un mínimo y cóncava hacia arriba.
x>1 + + fes creciente y cóncava hacia arriba.
12.-f ( x )=(x2−3)2
i ¿ f ¿' ( x )=2(x2−3) ddx
(x2−3 )
(2 x2−6)(2 x)=04 x3−12=04 x (x2−3)=0
x=0 ; y=9 (0 ;9 ) Máx.x=√3 ; y=0 (√3 ;0 ) Mín .x=−√3 ; y=0 (−√3 ;0 ) Mín .x←√3 ; f ' ( x )<0 x<0 ; f ' ( x )>0
Mín. Máx.x>−√3 ; f ' (x )>0 x>0 ; f ' ( x )<0
x<√3; f ' (x )<0 Mín.
x>√3; f ' (x )<0
ii¿ f ' ' (x )=12x2−12
Faltan los puntos en la gráfica
12(x¿¿2−1)=0¿(x+1)( x−1)=0
x=−1 ; y=4 (−1 ;4 )Punto de Inflexión.
x=1 ; y=4 (1 ;4 )Puntode Inflexión .
x←1; f ' ' ( x )>0 x<1 ; f ' ' (x )<0 ≠ Signo. ≠ Signo.
x>−1 ; f ' ' ( x )<0 x>1 ; f ' ' (x )>0
f ' ' ' ( x )=24 x≠0
f ' ' ' (1 )=24≠0f ' ' ' (−1 )=−24≠0
Intervalo f(x) f '(x) f ''(x) Resumenx←√3 - + fes decreciente y cóncava hacia
arriba.x=−√3 0 0 + fes un mínimo y cóncava hacia
arriba.−√3<x←1 + + fes creciente y cóncava hacia
arriba.x=−1 4 + 0 Punto de Inflexión.
−1<x<0 + - fes creciente y cóncava hacia abajo.
x=0 9 0 - fes un máximo y cóncava hacia abajo.
0<x<1 - - fes decreciente y cóncava hacia abajo.
x=1 4 - 0 Punto de Inflexión.1<x<√3 + + fes creciente y cóncava hacia
arriba.x=√3 0 0 + fes creciente y cóncava hacia
arriba.
13.-f ( x )= x2
x−3
i ¿ f ¿' ( x )=( x−3 ) (x2 )'+(x2)( x−3)'
(x−3)2
f ' ( x )=( x−3 )(2 x)+(x2)(1)
(x−3)2
f ' ( x )=2x2−6x−x2
(x−3)2
f ' ( x )= x2−6 x(x−3)2
x2−6 x(x−3)2
=0 ; x≠3
x=0 ; y=0 (0 ;0 )Máx .
x=6 ; y=12 (6 ;12 ) Mín.x<0 ; f ' ( x )>0 x<6 ; f ' ( x )<0
Máx. Mín.x>0 ; f ' ( x )<0 x>6 ; f ' ( x )>0
ii¿ f ' ' (x)=( x−3 )2 (x2−6 x )'−(x2−6 x) [(x−3)2 ] '
[(x−3)2 ]2
f ' ' (x )=(x−3 )2(2x−6)−( x2−6 x) [2(x−3)]
(x−3)4
Falta terminar la tabla y los puntos en la gráfica
f ' ' (x )=2(x−3)[ x2+9−6 x−x2+6x ]
(x−3)4
f ' ' (x )=2 (9 )
(x−3)3
f ' ' ( x )= 18
(x−3)3=0
Esta ecuación no tiene puto de inflexión.
Intervalo f(x) f '(x) f ''(x) Resumenx<0 + - fes creciente y cóncava hacia
abajo.x=¿0 0 0 - fes un máximo y cóncava hacia
abajo.0<x<6 - - fes decreciente y cóncava hacia
abajo.x=¿6 12 0 + fes un mínimo y cóncava hacia
arriba.x>6 + + fes creciente y cóncava hacia
arriba.
14.f ( x )=1+2x+18x
f ´ ( x )= ddx
(1 )+ ddx
(2 x )+ ddx
¿)
f ´ ( x )=2+xddx
(18 )−(18) ddx
(x )
x2
f ´ ( x )=2+−18x2
= 0
x=−3 y= - 11
x=3 y= 13
x←3 ; f ' ( x )>0 Máximo
x>−3 ; f ' ( x )<0
x<3 ; f ' ( x )<0 Mínimo
x>3 ; f ' ( x )>0
f ' ' ( x )= ddx
(2 )− ddx
¿)
f ' ' (x )=x2
ddx
(18 )+(18) ddx
(x2)
x4
f ' ' ( x )=36 xx4
f ' ' ( x )=36x3
No existe punto de inflexión.
f ' ' ' (x)=x3
ddx
(36 )−(36) ddx
(x3)
x6
f ' ' ' (x)=−36 (3 x2)
x6
f ' ' ' ( x )=−108x4
f ' ' ' (0 )=−1080
entonces∄
Con la tercera derivada se confirma que no hay punto de inflexión.
Intervalo f(x) f '(x) f ''(x) Resumenx←3 + - fes creciente y cóncava hacia
abajo.x=¿-3 - 11 0 - fes un máximo y cóncava hacia
abajo.−3<x<3 - - fes decreciente y cóncava hacia
abajo.x=¿3 13 0 + fes un mínimo y cóncava hacia
arriba.x>3 + + fes creciente y cóncava hacia
arriba.
15.− f ( x )=(x+1)13
i ¿ f ' ( x )=13(x+1)
−23
13( x+1)
−23 =0
(x+1)−23 =0
Esta ecuación no tiene solución
ii¿ f ' ' (x)=13 (−23 (x+1)
−53 )
f ' ' (x )=(−29 )( 1
(x+1)53 )
−2
9(x+1)53
=0
−23√9(x+1)5
=0
3√(x+1)5=0⇒(x+1)5=0
x=−1 ; y=0 (−1 ;0 ) Puntode Inflexión .
x←1; f ' ' ( x )<0 ≠Signo .
x>−1 ; f ' ' ( x )>0
Falta terminar los puntos en la gráfica
f ' ' ' ( x )=9 ( x+1 )
53 (0 )−(−2)(9)( 53 )(x+1)
23
[9(x+1)53 ]2
f ' ' ' ( x )=30 (x+1)
23
81(x+1)103
10
27(x+1)83
≠0⇒ x≠−1
Intervalo
f(x) f '(x) f ''(x)
Resumen
x←1 + + fes creciente y cóncava hacia arriba.
x=−1 0 No existe 0 Punto de Inflexión.x>−1 + - fes creciente y cóncava hacia
abajo.
16.-f ( x )= x2−3 xx+1
i ¿ f ' ( x )=( x+1 ) d
dx(x2−3x )−(x2−3 x) d
dx( x+1 )
(x+1)2
f ' ( x )=( x+1 )(2x−3)−(x2−3 x) (1 )
( x+1)2
f ' ( x )= x2+2 x−3(x+1)2
( x+3 ) ( x−1 )( x+1 )2
=0 ; x ≠−1
x=−3 ; y=−9 (−3 ;−9 )Máx .
x=1 ; y=−1 (1 ;−1 ) Mín.
x←3 ; f ' (x )>0 x<1 ; f ' (x )<0 Máx. Mín.
x>−3 ; f ' ( x )<0 x>1 ; f ' (x )>0
ii¿ f ' ' (x)=( x+1 )2 (x2+2 x−3 )'−(x2+2x−3) [( x+1)2 ] '
[(x+1)2 ]2
f ' ' (x )=(x+1 )2(2 x+2)−(x2+2x−3)[2(x+1)]
(x+1)4
f ' ' (x )=2(x+1) [ x2+2 x+1−x2−2 x+3 ]
(x+1)4
f ' ' (x )=2(4)
(x+1)3
8
(x+1)3=0
Esta ecuación no tiene solución
f ' ' ' ( x )= −24( x+1 )4
≠0 ; x≠−1
Falta terminar la tabla y los puntos en la gráfica
17.-f ( x )=(x+1)43
i ¿ f ' ( x )= 43(x+1)
13
43(x+1)
13=0
Falta terminar los puntos en la gráfica
Intervalo f(x) f '(x) f ''(x) Resumenx<¿-3 + - fes creciente y cóncava hacia
abajo.x=−3 -9 0 0 fes un máximo.
−3<x<1 - + fes decreciente y cóncava hacia arriba.
x=¿1 -1 0 0 f es un mínimo.x>3 + + fes creciente y cóncava hacia
arriba.
(x+1)13=0
x=−1 ; y=0 (−1 ;0 ) Mín .
x←1; f ' ( x )<0 Mín.
x>−1 ; f ' (x )>0
ii¿ f ' ' (x)=43 ( 13 (x+1)
−23 )
f ' ' (x )=(4 )(1)
(9)(x+1)23
( 49 )( 1
(x+1)23 )=0
( 13√(x+1)2 )=0
3√(x+1)2=0⇒(x+1)2=0
x=−1 ; y=∄
x←1; f ' ' ( x )>0 Nohay punto de inflexión
x>−1 ; f ' ' ( x )>0
f ' ' ' ( x )=49 [−23 (x+1)
−53 ]
f ' ' ' ( x )=−827
(x+1)−53
−8
27 ( x+1 )53
≠0 ; x≠−1
18.−f ( x )=(x+1)23
i ¿ f ' ( x )=23(x+1)
−13
23( x+1)
−13 =0
(x+1)−13 =0
Esta ecuación no tiene solución
ii¿ f ' ' (x)=23 (−13 (x+1)
−43 )
Falta terminar los puntos en la gráfica
Intervalo f(x) f '(x) f ''(x) Resumenx←1 - - fes decreciente y cóncava hacia
abajo.x=−1 0 0 0 fes un mínimo.x>−1 + - fes creciente y cóncava hacia
abajo.
f ' ' (x )=(−29 )( 1
(x+1)43 )
−2
9(x+1)43
=0
−23√9(x+1)4
=0
3√(x+1)4=0⇒(x+1)4=0
x=−1 ; y=0 (−1 ;0 )
x←1; f ' ' ( x )<0 No hay punto de inflexión.
x>−1 ; f ' ' ( x )<0
f ' ' ' ( x )=9 ( x+1 )
43 (0 )−(−2)(9)( 43 )(x+1)
13
[9 (x+1)43 ]2
f ' ' ' ( x )=24 (x+1)
13
81(x+1)83
8
27(x+1)73
≠0⇒ x ≠−1
19. g ( x )=f ( x )⇒ f ( x )=√x2+1
f ' ( x )=
ddx
(x2+1)
2√x2+1
f ' ( x )= 2x
2√x2+1
f ' ( x )= x
√x2+1 = 0
x = 0 ; y=1x<0 ; f ' ( x )<0
Mínimox>0 ; f ' ( x )>0
f ' ' (x )=√x2+1 d
dx( x )−x
ddx
√ x2+1
(√ x2+1)2
Intervalo f(x) f '(x) f ''(x) Resumenx←1 - - fes decreciente y cóncava hacia
abajo.x=−1 0 No
existeNo
existefno tiene extremo relativo.
x>−1 + - fes creciente y cóncava hacia abajo.
f ' ' (x )=√x2+1– x ( x
√x2+1)
(√ x2+1)2
f ' ' (x )=√ x2+1 – ( x2
√x2+1)
(x¿¿2+1)(√x2+1)¿
f ' ' (x )= 1
(√ x2+1)2
No hay punto de inflexión.
20.−g ( x )=f ( x )⇒ f ( x )=(x+1)53
i ¿ f ' ( x )=53(x+1)
23
Grafico y tabla
53( x+1)
23=0
(x+1)23=0
x=−1 ; y=0 (−1 ;0 )
x←1; f ' ( x )>0 No tiene extremo relativo.
x>−1 ; f ' (x )>0
ii¿ f ' ' (x)=53 ( 23 (x+1)
−13 )
f ' ' (x )=( 109 )( 1
(x+1)13 )
10
9(x+1)13
=0
103√9(x+1)
=0
3√(x+1)=0⇒(x+1)=0
x=−1 ; y=0 (−1 ;0 ) Puntode Inflexión .
x←1; f ' ' ( x )<0 ≠ Signo.
x>−1 ; f ' ' ( x )>0
f ' ' ' ( x )=9 ( x+1 )
13 (0 )−(10)(9)( 13 )(x+1)
−23
[9(x+1)13 ]2
f ' ' ' ( x )=−30(x+1)
−23
81(x+1)23
30
(9 x+9)43
≠0⇒ x ≠−1
Intervalo f(x) f '(x) f ''(x) Resumen
x←1 + - fes creciente y cóncava hacia abajo.
x=−1 0 0 0 Punto de Inflexión.x>−1 + + fes creciente y cóncava hacia
arriba.
21. f ( s )=f ( x )⇒ f ( x )=2 x¿
f ' ( x )=2 x ddx
¿(2 x¿
f ' ( x )=2 x¿
f ' ( x )=8¿ = 0
x=−4 ; y=0 (−4 ;0 )
x=−1 ; y=−54 (−1;−54 )Mínimo
x←4 ; f ' ' ( x )<0∄
x>−4 ; f ' ' ( x )<0
x←1; f ' ' ( x )<0Mínimo
x>−1 ; f ' ' ( x )>0
f ' ' ( x )=( x+4 )2+ (x+1 ) ¿)
f ' ' ( x )=(x+4)[ ( x+4 )+2 x+2 ]
f ' ' ( x )=3 ( x+4 )(x+2)=0
x←4 ; f ' ' ( x )>0≠signo
x>−4 ; f ' ' ( x )<0
x←2; f ' ' ( x )<0≠signo
x>−2 ; f ' ' ( x )>0grafico
22.−f ( x )=( xx+1 )
2
⇒ x≠−1
i ¿ f ¿' ( x )=2( xx+1 ) d
dx ( xx+1 )
f ' ( x )= 2 xx+1 [ ( x+1 ) d
dx( x )−x
ddx
(x+1)
( x+1)2 ]f ' ( x )= 2 x
x+1 ( x+1−x
( x+1 )2 )f ' ( x )= 2 x
(x+1)3
2 x
(x+1)3=0
x=−1 ; y=Noexiste .
x=0 ; y=0 (0 ;0 )Mín .x<0 ; f ' ( x )<0 Mín.x>0 ; f ' ( x )>0
ii¿ f ' ' (x )=(x+1)3 d
dx(2x )−2 x d
dx(x+1)3
(x+1)6
f ' ' ( x )=2 (x+1)3−2 x [3 (x+1)2 ]
(x+1)6
f ' ' ( x )=2 (x+1)3−6 x (x+1)2
(x+1)6
f ' ' ( x )=(x+1)2 [2 ( x+1 )−6x ]
(x+1)6
f ' ' ( x )=2 x+2−6 x(x+1)4
Falta terminar los puntos en la gráfica
f ' ' ( x )=−4 x+2(x+1)4
−4 x+2(x+1)4
=0
−4 x+2=0
x=−1 ; y=Noexiste .
x=12; y=1
9 ( 12 ; 19 )Puntode Inflexión .x<12; f ' ' ( x )>0
≠ Signo.
x>12; f ' ' ( x )<0
f ' ' ' ( x )=( x+1)4 d
dx(−4 x+2 )−(−4 x+2) d
dx(x+1)4
(x+1)8
f ' ' ' ( x )=( x+1)4 (−4 )−(−4 x+2)4 (x+1)3
(x+1)8
f ' ' ' ( x )=( x+1)3 [−4 ( x+1 )−4(−4 x+2)]
(x+1)8
f ' ' ' ( x )=−4 x−4+16 x−8(x+1)5
f ' ' ' ( x )=12 x−12(x+1)5
12x−12(x+1)5
=0⇒ x ≠−1
Intervalo f(x) f '(x) f ''(x) Resumenx←1 + + fes creciente y cóncava hacia
arriba.x=−1 No
existeNo
existeNo
existefno tiene extremo relativo.
−1<x<0 - + fes decreciente y cóncava hacia arriba.
x=0 0 0 + fes un mínimo y cóncava hacia arriba.
0<x<1/2 + + fes creciente y cóncava hacia arriba.
x=1/2 1/9 + 0 Punto de Inflexión.x>1/2 + - fes creciente y cóncava hacia
abajo.
23.−h (t )=f ( x )⇒ f ( x )= 2
1+x2
i ¿ f ¿' ( x )=(1+x2 ) d
dx(2 )−2 d
dx(1+x2)
(1+x2)2
f ' ( x )=−2(2 x)(1+ x2)2
f ' ( x )= −4 x(1+x2)2
−4 x(1+x2)2
=0
x=−1 ; y=2 (0 ;2 ) Máx.
x<0 ; f ' ( x )>0 Máx.x>0 ; f ' ( x )<0
ii¿ f ' ' (x )=(1+x2)2 d
dx(−4 x )−(4 x ) d
dx(1+x2)2
(1+x2)4
f ' ' ( x )=−4 (1+x2 )2−(−4 x)(2)(1+x2)(2 x)
(1+x2)4
f ' ' ( x )=−4 (1+x2 )2+16 x2(1+ x2)
(1+ x2)4
f ' ' ( x )=(1+x2) [−4 (1+x2)+16x2 ]
(1+x2)4
f ' ' ( x )=−4−4 x2+16 x2
(1+x2)3
f ' ' ( x )=12 x2−4
(1+x2)3
Falta terminar los puntos en la gráfica
12x2−4(1+ x2)3
=0
12 x2−4=0(3 x2−1)=03 x2=1
x=−√33
; y=32 (−√3
3;32 )Punto de Inflexión .
x=√33
; y=32 (√33 ;
32 )Punto de Inflexión.
x<−√33
; f ' ' ( x )>0 x< √33
; f ' ' ( x )<0 ≠
Signo. ≠ signo
x>−√33
; f ' ' ( x )<0 x> √33
; f ' ' ( x )>0
f ' ' ' ( x )=(1+x2) d
dx(12 x2−4 )−(12 x2−4) d
dx(1+x2)
(1+x2)6
f ' ' ' ( x )=(1+x2)(24 x )−(12 x2−4 )(2x )(1+x2)6
f ' ' ' ( x )=24 x+24 x3−24 x3+8 x
(1+ x2)6
f ' ' ' ( x )= 32 x
(1+x2)6≠0
25.− f ( x )=(x−2)3
x2
i ¿ f ¿' ( x )=x2
ddx
( x+2 )3−(x−2)3 ddx
(x2)
x4
f ' ( x )=3(x2) ( x−2 )2−( x−2 )3(2 x)
x4
f ' ( x )=( x−2 )2 x [3 x−2(x−2)]
x4
f ' ( x )= ( x−2 )2(3 x−2 x+4)x3
f ' ( x )= ( x−2 )2(x+4)x3
( x−2 )2(x+4)x3
=0⇒ x ≠0
Falta terminar los puntos en la gráfica
Intervalo f(x) f '(x) f ''(x) Resumenx←√3 /3 + + fes creciente y cóncava hacia arriba.
x=−√3/3 3/2 + 0 Punto de Inflexión.
−√3/3<x<0 + + fes creciente y cóncava hacia arriba.
x=0 2 0 - fes un máximo y cóncava hacia abajo.
0<x<√3/3 + - fes creciente y cóncava hacia abajo.
x=√3/3 3/2 - 0 Punto de Inflexión.
x>√3/3 - + fes decreciente y cóncava hacia arriba.
x=−4 ; y=−272 (−4 ;−272 )Máx.
x=2 ; y=0 (2 ;0 )
x←4 ; f ' ( x )>0 x<2 ; f ' (x )>0 Máx. No existe.
x>−4 ; f ' ( x )<0 x>2 ; f ' (x )>0
ii¿ f ' ' (x )=x3
ddx
(x−2 )2(x+4)−( x−2 )2( x+4) ddx
x3
x6
f ' ' ( x )=x3[ ( x−2 )2 d
dx(x+4 )+(x+4) d
dx(x−2)2]− (x−2 )2(x+4)3 x2
x6
f ' ' ( x )=x3 [ ( x−2 )2 (1 )+(x+4)(2)(x−2)]−( x−2 )2(x+4)3 x2
x6
f ' ' ( x )=x3 [ ( x−2 )(x−2+2 x+8)]−( x−2 )2(x+4 )3 x2
x6
f ' ' ( x )=x3 [ ( x−2 )(3 x+6)]−( x−2 )2(x+4 )3 x2
x6
f ' ' ( x )=x3 [3 (x−2 )(x+2) ]−( x−2 )2(x+4)3 x2
x6
f ' ' ( x )=3 x2 [ x(x−2)(x+2)−( x−2 )2(x+4)]
x6
f ' ' ( x )=3 {(x−2) [x ( x+2 )−(x−2)( x+4)] }
x4
f ' ' ( x )=3 (x−2)[ x2+2x−(x2+2x−8)]
x4
f ' ' ( x )=3 (x−2)(8)x4
f ' ' ( x )=24 (x−2)x4
24(x−2)x4
=0⇒ x ≠0
24 (x−2)=0
x=2 ; y=0 (2 ;0 ) Puntode Inflexión .
x<2 ; f ' ' ( x )<0 ≠ Signo.
x>2 ; f ' ' ( x )>0
f ' ' ' ( x )=x4
ddx24 ( x−2 )−24(x−2) d
dxx4
x8
f ' ' ' ( x )= x4 (24 )−24 (x−2)4 x3
x8
f ' ' ' ( x )=24 x3 [x−4 (x−2)]
x8
f ' ' ' ( x )=24 (x−4 x+8)x5
f ' ' ' ( x )=24 (−3 x+8)x5
24(−3x+8)x5
≠0⇒ x ≠0
Intervalo f(x) f '(x) f ''(x) Resumenx←4 + + fes creciente y cóncava hacia arriba.
x=−4 −27 /2 0 + fes un máximo y cóncava hacia arriba.
−4<x<2 + - fes creciente y cóncava hacia abajo.
x=2 0 0 0 Punto de Inflexión.x>2 + + fes creciente y cóncava hacia arriba.
Emplear el criterio de la segunda derivada para hallar los máximos y mínimos relativos de la función dada.
26. Determinar donde es creciente, decreciente, cóncava hacia arriba, cóncava hacia abajo, puntos de inflexión extremos relativos y trazar la grafica
H (t )= (t+3 )3
( t−1 )2
h' (t )=(t−1 )2 d
dt(t+3 )3−(t+3 )3 d
dt(t−1 )
2
(t−1 )4
¿3 (t−1 )2 ( t+3 )2−2 ( t+3 )3 ( t−1 )
(t−1 )4
¿( t−1 ) (t+3 )2 [3 ( t−1 )−2 ( t+3 ) ]
( t−1 )4
¿(t+3 )2 (3 t−3−2 t−6 )
(t−1 )3
¿(t+3 )2 (t−9 )
(t−1)3=0
t=−3 y=0
t=9 y=27
t=1 y=no existe
t←3; h' (t )>0
t>−3 ;h' (t)>0
t<9 ;h' (t)<0
t>9 ;h' (t)>0
Aplicando la segunda derivada
h ' ' (t )=( t−1 )3 d
dt(t+3 )2(t−9)−(t+3 )2(t−9) d
dt(t−1)
3
(t−1)6
¿( t−1 )3[( t+3 )2 d
dt( t−9 )+( t−9 ) d
dt( t+3 )3]−(t+3 )2 ( t−9 )3 ( t−1 )2
( t−1 )6
¿( t−1 )3 [ (t+3 )2+(t−9 )2(t+3)]−3 (t+3 )2 ( t−9 ) ( t−1 )2
(t−1)6
¿( t−1 )3(t+3) [(t+3)+ (t−9 )2¿ ]−3 ( t+3 )2 ( t−9 ) (t−1 )2
(t−1)6
¿( t−1 )3 ( t+3 ) (3t−15 )−3 ( t+3 )2 (t−9 ) (t−1 )2
(t−1)6
¿(t−1 )2 [ (t−1 ) (3 t−15 )−3(t+3) (t−9 ) ]
(t−1)6
(Punto mínimo)
No existe
Mínimo
¿( t+3 ) [3 ( t−1 ) ( t−5 )−3(t+3) (t−9 ) ]
( t−1)4
¿3 (t+3 ) [ (t−1 ) (t−5 )−( t+3) (t−9 ) ]
( t−1)4
¿3 (t+3 ) (t 2−6 t+5−t 2+6 t+27 )
(t−1)4
¿96 ( t+3 )(t−1)4
t=−3 y=0
t=1 y=¿No existe
t←3; h' ' (t )<0
t>−3 ;h' ' ( t )>0
Tercera derivada
h ' ' ' ( t )=(t−1 )4 d
dt96 (t+3 )−96 (t+3) d
dt(t−1)
4
(t−1)8
¿96(t−1−4 t−12)
(t−1)5
¿96(−3 t−13)
(t−1)5
h' ' '( t)=−3≠0
Intervalo f(x) f’(x) f’’(x) Resumenx<-3 + - f es creciente y cóncava hacia abajox=-3 0 0 0 Punto de inflexión
-3<x<1 + + f es creciente y cóncava hacia arribax=1 No existe No existe No existe No existe máximo ni mínimo
1<x<9 - + f es decreciente y cóncava hacia arribax=9 27 0 + f es un mínimo y cóncava hacia arribax>9 + + f es creciente y cóncava hacia arriba
27.−f ( x )=x3+3x2+1
(Punto de inflexión) nnnnainfleinflexión)
No existe
i ¿ f ' ( x )=3x2+6 x
3 x2+6x=0x2+2x=0x (x+2 )=0
x=0 ; y=1 (0 ;1 ) Mín.
x=−2 ; y=5 (−2 ;5 ) Máx .
ii¿ f ' ' (x )=6 x+6
f ' ' (−2 )=6 (−2 )+6=−6<0Máx .
f ' ' (0 )=6 (0 )+6=6>0Mín .
28.−f ( x )=x4−2 x2+3
i ¿ f ' ( x )=4 x3−4 x
4 x3−4 x=0x3−x=0x ( x2−1 )=0
x=0 ; y=3 (0;3 )Máx .
x=−1 ; y=2 (−1 ;2 )Máx .
x=1 ; y=2 (1 ;2 )Mín .
ii¿ f ' ' (x )=12x−4f ' ' ( x )=3 x−1
f ' ' (0 )=3 (0 )−1=−1<0Máx .
f ' ' (−1 )=3 (−1 )−1=−4<0Máx .
f ' ' (1 )=3 (1 )−1=2>0Mín.
29.− f ( x )=(x2−9)2
f ( x )=x 4−18 x2+81
i ¿ f ' ( x )=4 x3−36 x4 x3−36 x=0x3−9 x=0x ( x2−9 )=0
x=0 ; y=81 (0;81 )Máx .
x=3 ; y=0 (3 ;0 )Mín .
x=−3 ; y=0 (−3; 0 )Mín .
ii¿ f ' ' (x )=12x2−36
f ' ' ( x )=x2−3
f ' ' (0 )= (0 )2−3=−3<0Máx .
f ' ' (3 )=(3 )2−3=6>0Mín.
f ' ' (−3 )=(−3 )2−3=6>0Mín .
30.−f ( x )=x+ 1x
f ( x )=x+x−1
i ¿ f ' ( x )=1−1x−2
f ' ( x )=1− 1
x2
1− 1
x2=0
1
x2=1
x2=1
x=1 ; y=2 (1 ;2 )Mín .
x=−1 ; y=−2 (−1 ;−2 )Máx .
ii¿ f ' ' (x )=−(−2) x−3
f ' ' ( x )=2x−3
f ' ' (1 )=2 (1 )−3=2>0Mín .
f ' ' (−1 )=2 (−1 )−3=−2<0Máx.
31.− f ( x )=2x+1+ 18x
f ( x )=2x+ x+18x
f ( x )=2 x2+x+18x
i ¿ f ' ( x )= x (4 x+1 )−(2x2+x+18)(1)x2
f ' ( x )=4 x2+x−2 x2−x−18
x2
f ' ( x )=2x2−18x2
2x2−18x2
=0
2 x2−18=0x2−9=0x2=9
x=3 ; y=13 (3 ;13 ) Mín.
x=−3 ; y=−11 (−3 ;−11 )Máx .
ii¿ f ' ' (x )= x2 (4 x )−(2x2−18)(2 x)x4
f ' ' ( x )=4 x3−(4 x3−36 x )
x4
f ' ' ( x )=4 x3−4 x3+36 x
x4
f ' ' ( x )=36 xx4
f ' ' (3 )=36 (3 )34
=43>0Mín .
f ' ' (−3 )=36(−3)(−3)4
=−43
<0Máx.
32.−f ( x )= x2
x−2
i ¿ f ' ( x )=(x−2)(2x )−(x2)(1)(x−2)2
f ' ( x )=2x2−4 x−x2
(x−2)2
f ' ( x )= x2−4 x(x−2)2
x2−4 x(x−2)2
=0
x2−4 x=0x (x−4)=0
x=0 ; y=0 (0 ;0 )Máx .x=4 ; y=8 (4 ;8 ) Mín.
ii¿ f ' ' (x )= ( x−2 )2(2 x−4)−(x2−4 x )(2 x−4)(x−2)4
f ' ' ( x )=(2 x−4)(x2−4 x+4−x2+4 x)(x−2)4
f ' ' ( x )=(2)(x−2)(4)(x−2)4
f ' ' ( x )= 8
(x−2)3
f ' ' (0 )= 8
(0−2)3=−1<0Máx .
f ' ' (4 )= 8
(4−2)3=1>0Mín .
41.−¿ El costo de producir x unidades de un artìculo por semana es:
C ( x )=0.3x3−5 x2+28 x+200
a) Hallar el costo marginal M(x) = C`(x). Trazar la gráfica de C(x) y M(x) en los mismos ejes de coordenadas.
b) Hallar los números de inflexión para C(x).¿ Cómo se relacionan en la gráfica de M(x)?
C ' ( x )=M ( x )=0.9 x2−10x+289 x2−100 x+280=0
x=100±√1002−4 (9)(280)
2 (9 )
x=100±√−8018
→Noexiste
C ' ' ( x )=1.8x−101.8 x−10=01.8 x=10
x=5.5 ; y=256.66 (5.5 ;256.66 )
x<5.5 ; f ' ' ( x )<0≠Signo .
x>5.5 ; f ' ' ( x )>0
f ' ' ' ( x )=2≠0
42. Los estudios revelan que cuando los factores ambientales imponen un límite superior en el posible tamaño de la población P(t), con frecuencia la población tiende a crecer de modo que la razón de cambio porcentual de P(t) satisface la igualdad:
100P' (t )P( t)
=A−BP (t)
Donde A y B son constantes positivos ¿Tiene la grafica de P (t) un punto de inflexión? ¿Qué indica este punto? La respuesta debe darse en términos de A y B.100 P' ( t )=AP(t)−B P(t )2
100 P' ' (t )=AP ' (t)−2 BP( t)P ' (t)
100 P' ' (t )=P' (t ) [A−2B P (t ) ]
100P' ' (t )=( AP (t )−B P (t )2
100 ) [A−2 BP(t)]
1002 P' ' (t )=P ( t ) (BP (t )−A )(2B P (t )−A)
44. una compañía estima que cuando se gasten x miles de dólares en marketing de determinado artículo, se venderán Q(x) unidades del producto, donde:
Q ( x )=4 x3+252 x2−3200 x+1700010≤ x≤40
Q' (x )=12x2+504 x−3200
x=34.20 ; y=42302,528 (34,20 ;42302,528 )
x=7,80 ; No
x<34,20 ;Q' ( x )>0Máximo
x>34,20 ;Q' ( x )<0
Q' ' ( x )=¿ −24 x+504
Q' ' ( x )=¿ 24 (−x¿¿+21)=0¿
Q' ' ( x )=¿ −x+21
x=21 ; y=23888
x<21 ;Q ' ( x )>0Puntode inflexión
x>21 ;Q ' ( x )<0 Q' ' ' ( x )=−24≠0
OJO AQUÍ EL VALOR DE X NO SE PUEDE REEMPLAZAR EN UNA FUNCION POR QUE NO LO HAY REVISALOR POR FAVOR, YO SOLO ESTOY COPIANDOLO ASI COMO ESTÁ. PORQUE YO TAMBIEN NO ENTIENDO COMO HACER ESTOS PROBLEMAS.
49.−f ' ( x )=x2−4 x⇒ f ( x )=13x3−2x2
f ' ( x )=x (x−4)x (x−4)=0
x=0 ; y=0 (0 ;0 )Máx .
x=4 ; y=−10.67 (4 ;−10.67 ) Mín.
x<0 ; f ' ( x )>0 x<4 ; f ' (x )<0Máx. Mín
x>0 ; f ' ( x )<0 x>4 ; f ' (x )>0
ii¿ f ' ' (x )=2x−4
2 ( x−2 )=0
x=2 ; y=−5.3 (2 ;−5.3 )
x<2 ; f ' ' ( x )<0≠Signo .
x>2 ; f ' ' ( x )>0
f ' ' ' ( x )=2≠0
Falta terminar los puntos en la gráfica
Intervalo f(x) f '(x) f ''(x) Resumenx<0 + - fes creciente y cóncava hacia
abajo.x=0 0 0 - fes un máximo y cóncava hacia
abajo.0<x<2 - - fes decreciente y cóncava
hacia abajo.x=2 -5.3 4 0 Punto de Inflexión2<x<4 - + fes decreciente y cóncava
hacia arriba.x=4 -
10.670 + fes un mínimo y cóncava hacia
arriba.
50.− f ' ( x )=x2−2x−8⇒ f ( x )=13x3−x2−8 x
(x−4)(x+2)=0
x=4 ; y=−26.67 (4 ;−26.67 ) Mín.
x=−2 ; y=9.3 (−2;9.3 )Máx .
x<4 ; f ' (x )<0 x←2; f ' ( x )>0
Falta terminar los puntos en la gráfica
Mín. Mínx>4 ; f ' (x )>0 x>−2 ; f ' ( x )<0
ii¿ f ' ' (x )=2x−22 ( x−1 )=0
x=1 ; y=−8.67 (1 ;−8.67 )
x<1 ; f ' ' (x )<0≠Signo .
x>1 ; f ' ' (x )>0
f ' ' ' ( x )=2≠0
Ejercicio 55
Intervalo f(x) f '(x) f ''(x)
Resumen
x←2 + - fes creciente y cóncava hacia abajo.
x=−2 9.3 0 - fes un máximo y cóncava hacia abajo.
−2<x<1 - - fes decreciente y cóncava hacia abajo.
x=1 -8.67 -8.67
0 Punto de Inflexión
1<x<4 - + fes decreciente y cóncava hacia arriba.
x=4 -26.67
0 + fes un mínimo y cóncava hacia arriba.
x>4 + + fes creciente y cóncava hacia arriba.
Sea f ( x )=ax2+bx+c
Aplicamos la primera derivada a la función
f ( x )' =
d (ax2+bx+c )dx
=(ax+b )
Aplicamos la segunda derivada a la función
f ( x )' ' =
d (ax+b )dx
=(a )
Si la segunda derivada es mayor a cero (positiva), entonces es cóncava hacia arriba, esto es cuando a>0
Si la segunda derivada es menor a cero (negativa), entonces es cóncava hacia abajo, esto es cuando a<0
Ejercicio 56
f ( x )=2x3+3 x2−12x−3
f ' ( x )=6 x2+6 x−12
¿ x2+ x−2
¿ ( x+2 ) (x−1 )=0
x=−2 ; y=13… (−2 ;13)
x=1 ; y=−14…(1 ;−14 )
x←2; f ' ( x )>0es unmaximo
x>−2 ; f ' ( x )<0
x<1 ; f ' (x )<0 esunminimo
x>1 ; f ' (x )>0
Aplicando segunda derivada
f ' ' ( x )=12 x+6
¿2 x+1=0
x=−12
; y=−12
x<−12
; f ' ' ( x )<0hay inflexion
Intervalo f(x) f’(x) f’’(x) Resumenx<-2 + - f es creciente y cóncava hacia abajox=-2 13 0 - F es máximo
-2<x<-1/2 - - f es decreciente y cóncava hacia arribax=-1/2 -1/2 - 0 Punto de inflexión
-1/2<x<1 - + f es decreciente y cóncava hacia arribax=1 -14 0 + f es un mínimo x>1 + + f es creciente y cóncava hacia arriba
X -4 -2 -1 0 1 2F(x) -39 13 6 -7 -14 -3F´(x) 60 0 -12 -12 0 24F´´(X) -42 -18 -6 6 18 30
Aun falta
Ejercicio 57
f ( x )=3.7 x 4−5.03 x3+2x2−0.7
f ' ( x )=14.8 x3−15.09 x2+4 x
¿ x (14.8 x2−15.09x+4)
Obteniendo raíces:
15.09±√15.092−4 (14.8 )42(14.8)
15.09±√227.7081−236.82 (14.8 )
el interiorde raiz esnegativo ,noexiste punto critico
x=0 ; y=−0.7…(0; 0.7)
x<0 ; f ' ( x )<0esunminimo
x>0 ; f ' ( x )>0
Segunda derivada
f ' ' ( x )=44.4 x2−30.18 x+4
Obteniendo raíces
30.18±√30.182−4 (44.4 )42(44.4)
30.18±√200.43242(44.4)
30.18+14.157488.8
=0.1804 o 30.18−14.157488.8
=0.4993
x<0.1804 ; f ' ' ( x )>0hay inflexion
x>0.1804 ; f ' ' ( x )<0
x<0.4993 ; f ' ' (x )<0 hay inflexion
x>0.4993 ; f ' ' (x )>0
Ejercicio 58
f ( x )=x2(2 x−5.1)−1
f ' ( x )=x2ddx
(2 x−5.1 )−1+(2 x−5.1 )−1 ddx
x2
¿ x2[− (2x−5.1 )−2 ddx
(2 x−5.1 )]+ 2 x(2x−5.1 )
¿ −2x2
(2 x−5.1)2+ 2x(2 x−5.1)
¿−2x2+2 x(2x−5.1)
(2 x−5.1)2
¿2x ( x−5.1 )
¿¿
x=0 ; y=0
x=5.1 ; y=5.1
x=2.55noexiste
x<0 ; f ' ( x )>0esunmaximo
x>0 ; f ' ( x )<0
x<5.1; f ' (x )<0 esunminimo
x>5.1; f ' (x )>0
Aplicando segunda derivada
f ' ' ( x )=(2x¿¿2−10.2x )(2 x−5.1 )−2 ¿
¿(2x¿¿2−10.2 x) [−2 (2x−5.1 )−3(2)]+ (2x−5.1 )−2(4 x−10.2x )¿
¿(2x¿¿2−10.2 x) [ −4(2x−5.1 )3 ]+ 4 x−10.2x(2 x−5.1 )2
¿
¿ −8 x2+40.8 x(2 x−5.1 )3
+ 4 x−10.2 x2
(2 x−5.1 )2−8 x
2+40.8 x+8 x2
(2x−5.1 )3−20.9 x−25.4 x+52.02
f ' ' ( x )2= 52.02
(2x−5.1 )3
x=2.55 ; y noexiste
x -4 -2 -1 0 1 2F(X) -1,22 -0,44 -0,14 0 0,68 -3,64F´(x) 0,42 0,34 0,24 0 -0,85 11,27F´´(X) -0,02 -0,07 -0,14 -0,39 -1,75 -39,08
59. Dada la función f ( x )=x+9.4
25−1.1 x−x2 ,completar los pasos siguientes:
Para resolver las preguntas, evaluaremos la función:
Se debe recordar que la función no existe cuando el denominador es igual a cero
25−1.1x−x2=0
Hallamos las raíces con la formula general
x=1.1±√(−1.1)2−(4 ) (−1 ) (25 )
2 (−1 )entonces
→x1=4.4802, x2=−5.5802
Realizamos la primera derivada a f ( x )
f ( x )' =
d ( x+9.425−1.1 x−x2 )
dx=
(25−1.1 x−x2 )−1d ( x+9.4 )dx
+( x+9.4 )d ((25−1.1 x−x2 )−1 )
dx
f ( x )' =(25−1.1x−x2 )−1+ (x+9.4 )(−1)(25−1.1 x−x2 )−2(−2 x−1.1)
f ( x )' =
(25−1.1x−x2 )(25−1.1 x−x2 )2
+(2 x2+18.8 x+1.1x+10.34 )
(25−1.1x−x2 )2= x2+18.8 x+35.34
(25−1.1x−x2 )2
Hallamos las raíces con la formula general de numerador
x=−18.8±√18.82− (4 ) (1 ) (35.34 )
2 (1 )entonces
→x1=−2.1185 , x2=−16.6815
Además, Realizamos la segunda derivada a f ( x )
f ( x )' ' =
d ( x2+18.8 x+35.34(25−1.1x−x2 )2 )
dx=
(25−1.1x−x2 )−2d (x2+18.8x+35.34 )dx
+(x2+18.8 x+35.34 )d ((25−1.1 x−x2)−2 )
dx
f ( x )' ' =(25−1.1x−x2 )−2 (2 x+18.8 )+(x2+18.8 x+35.34 ) (−2 ) (25−1.1 x−x2)−3 (−1.1−2x )
f ( x )' ' =
(25−1.1 x−x2 ) (2x+18.8 )
(25−1.1x−x2 )3+
(x2+18.8 x+35.34 ) (2 x+1.1 )
(25−1.1 x−x2 )3
f ( x )' ' =−2x3−18.8 x2−2.2 x2−20.68 x+50 x+470
(25−1.1 x−x2 )3+ 2 x
3+37.6 x2+1.1x2+20.68 x+70.68x+38.874(25−1.1 x−x2)3
f ( x )' ' =17.7 x
2+120.68 x+508.874(25−1.1x−x2 )3
Analizamos las raíces de la segunda derivada del numerador, cuando esta vale cero, usando la formula general.
x=−120.68±√(120.68 )2− (4 ) (17.7 ) (508.874 )
2 (1 )
Encontramos que no existen raíces en el numerador, esto significa que el numerador siempre es positivo ya que a=17.7>0, mientras que la función dependerá únicamente de los valores que tome el denominador
Finalmente encontramos que
Intervalo f ( x ) f ( x )' f ( x )
' ' Resumen
x←16.6815 + - f ( x )escreciente y cóncava hacia abajo.
x=−16.6815 0.0309 0 - f ( x )es un máximo y cóncava hacia abajo.
−16.6815<x←5.5802 - - f ( x )esdecreciente y cóncava hacia abajo.
x=−5.5802 ∄ ∄ ∄ No existe el punto
−5.5802<x←2.1185 - + f ( x )esdecreciente y cóncava hacia arriba.
x=−2.1185 0.3188 0 + f ( x )es un mínimo y cóncava hacia arriba.
−2.1185<x<4.4802 + + f ( x )es creciente y cóncava hacia arriba.
x=4.4802 ∄ ∄ ∄ No existe el punto
x>4.4802 + - f ( x )es creciente y cóncava hacia arriba.
f ( x )=x+9.4
25−1.1 x−x2
Además cuando la función toma valores muy altos o muy bajos, esta función se comporta como la función
f ( x )=−1x
a) Teniendo la siguiente gráfica
b) Teniendo los siguientes valores
x −4 −2 −1 0 1 2f ( x ) 0.4029 0.3189 0.3347 0.376 0.4541 0.6064
f ( x )' -0.1328 0.0032 0.0278 0.0565 0.1051 0.2177
f ( x )' ' 0.1286 0.0271 0.0257 0.0326 0.0539 0.1236
c) AL igualar la función f ( x )=x+9.4
25−1.1 x−x2=0 , x=−9.4, además f (0 )=0.376
d) Tenemos que
Intervalo f ( x ) f ( x )' f ( x )
' ' Resumen
x=−16.6815 0.0309 0 - f ( x )es un máximo y cóncava hacia abajo.
x=−2.1185 0.3188 0 + f ( x )es un mínimo y cóncava hacia arriba.
e) Tenemos que
Intervalo f ( x ) f ( x )' f ( x )
' ' Resumen
x←16.6815 + - f ( x )escreciente y cóncava hacia abajo.
−2.1185<x<4.4802 + + f ( x )es creciente y cóncava hacia arriba.
x>4.4802 + - f ( x )es creciente y cóncava hacia arriba.
f) Tenemos que
Intervalo f ( x ) f ( x )' f ( x )
' ' Resumen
−16.6815<x←5.5802 - - f ( x )esdecreciente y cóncava hacia abajo.
−5.5802<x←2.1185 - + f ( x )esdecreciente y cóncava hacia arriba.
g) Tenemos que no existen puntos de inflexiónh) Tenemos que
Intervalo f ( x ) f ( x )' f ( x )
' ' Resumen
−5.5802<x←2.1185 - + f ( x )esdecreciente y cóncava hacia arriba.
x=−2.1185 0.3188 0 + f ( x )es un mínimo y cóncava hacia arriba.
−2.1185<x<4.4802 + + f ( x )es creciente y cóncava hacia arriba.
x>4.4802 + - f ( x )es creciente y cóncava hacia arriba.
i) Tenemos que
Intervalo f ( x ) f ( x )' f ( x )
' ' Resumen
x←16.6815 + - f ( x )escreciente y cóncava hacia abajo.
x=−16.6815 0.0309 0 - f ( x )es un máximo y cóncava hacia abajo.
−16.6815<x←5.5802 - - f ( x )esdecreciente y cóncava hacia abajo.
j) No hay puntos de inflexiónk)