1
2011
DIRECCION DE EDUCACION PERMANENTE.
DIRECCION DE EDUCACION COMUNITARIA.
MATEMÁTICAS I
2
MATERIAL DISTRIBUIDO DE MANERA GRATUITA POR LA SECRETARÍA DE
EDUCACIÓN JALISCO.
3
ATEMÁTICAS
SECRETARÍA DE EDUCACIÓN DEL GOBIERNO DE JALISCO
DIRECCIÓN GENERAL DE EDUCACIÓN PERMANENTE
DIRECCIÓN DE EDUCACIÓN COMUNITARIA
BACHILLERATO DE EDUCACIÓN PARA ADULTOS
M
1
4
Unidad I Pág.
Sistema decimal
1.2 Sistemas no posicionales y posicionales. 1.2 Sistema decimal: orden, notación desarrollada y notación
científica. 1.3 Jerarquía de operaciones y uso de paréntesis
1.4 Operaciones aritméticas, problemas. 1.5 Sistemas de medición: decimal, inglés, sexagesimal, etc.
Unidad 2
Divisibilidad 2.1 Primos y Divisores
2.2 Criterios de divisibilidad entre 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11, etc. 2.3 Mínimo común múltiplo (m.c.m.) y máximo común divisor
(m.c.d.)
Unidad 3 Fracciones y reales
3.1 Unidad y partición.
3.2 Equivalencias y orden de fracciones. 3.3 Expansión decimal finita y periódica.
3.4 Conversiones de expresiones decimales a fracciones. 3.5 Operaciones: suma, resta, multiplicación, división y potencia.
3.6 Porcentajes. 3.7 Variación proporcional (tablas y gráficas).
3.8 Los números e, pi, raíz cuadrada de 2, etc. 3.9 Introducción al seno y coseno de un ángulo
Unidad 4 Conteo y probabilidad
4.1 Diagramas de árbol. 4.2 Principio multiplicativo (principio fundamental del conteo). 4.3 Principio aditivo. 4.4 Permutaciones y combinaciones.
ÍNDICE
=
+
- X
5
Unidad 5
Estadística 5.1 Tasas e índices.
5.2 Elaboración e interpretación de gráficas de frecuencias
absolutas y relativas (Tablas, histogramas, poligonales, circulares, etc.).
5.3 Medidas de tendencia central (media, mediana y moda). 5.4 Medidas de dispersión (desviación media, estándar y varianza).
Unidad 6 Lenguaje algebraico y
Ecuaciones de primer grado 6.1 Lenguaje algebraico.
6.2 Operaciones con polinomios (suma, resta, multiplicación y
división). 6.3 Signos de agrupación.
6.4 Valor numérico y despejes de fórmulas 6.5 Noción de función. Tabulación y graficación. El plano
cartesiano. 6.7 Progresiones aritméticas y geométricas
6.8 Resolución de ecuaciones de la forma: ax + b = c; ax + b = cx + d; con
Paréntesis y con coeficientes fraccionarios
VISISTA NUESTRO PORTAL:
http://portalsej.jalisco.gob.mx/educacion-comunitaria/
6
Las matemáticas constituyen una línea de formación del individuo, que
está presente a lo largo de todos los niveles educativos y con una estrecha vinculación entre grados sucesivos, los contenidos se presentan
a partir de situaciones y actividades que tienen sentido para los estudiantes y les permite generar conjeturas, analizarlas con sus
compañeros y poner en juego, de manera consciente, los conocimientos adquiridos con anterioridad.
Siendo esto muy complejo, aunque a medida que se desarrollan las habilidades, es más sencillo orientar a los alumnos y así podrán
preguntar o sugerir los temas de los problemas que le sean más
interesantes.
Contribuye ésta, además, a crear el marco teórico de la física y es una herramienta fundamental para el desarrollo de esta ciencia, así como de
otras disciplinas científicas y técnicas, como la química, la biología y, actualmente, la economía, asignaturas que se incluyen en el plan de
estudios del Bachillerato. La enseñanza de las matemáticas en el nivel bachillerato tiene como propósitos importantes:
Desarrollar en los estudiantes nociones y conceptos que les sean útiles para comprender su entorno y acceder a otras áreas del
conocimiento y la actividad humana. Proporcionar un conjunto de procedimientos y formas de
pensamiento propias del razonamiento lógico; en particular del inductivo-deductivo, indispensable en la comprensión y aplicación
de los diferentes métodos y conceptos matemáticos.
Que el estudiante adquiera habilidades de abstracción, de análisis y de síntesis, al igual que capacidades para desglosar y
sistematizar ideas y métodos. Desarrollar la capacidad del estudiante para explorar y buscar
soluciones a problemas, a través del dominio del lenguaje de la matemática y de los modelos que esta disciplina desarrolla.
Que el estudiante desarrolle aptitudes para comunicar y justificar sus afirmaciones.
Las actividades sugeridas que aparecen en cada Unidad son propuestas para que el profesor y su academia elaboren secuencias de problemas y
ejercicios a seguir en clase, bajo la dinámica de solución de problemas, con las adaptaciones necesarias, según el número de alumnos, el tiempo
INTRODUCCIÓN
=
+
- X
7
disponible o la evaluación que haga el profesor en cuanto al avance de
los estudiantes. También se recomienda el uso de la calculadora por diversas razones:
puede utilizarse como un recurso para la ejecución de cálculos en la
resolución de problemas, permitiendo que el estudiante se centre en el método de solución y asimile mejor los conceptos y operaciones
involucrados; además, puede proponerse como un medio de aprendizaje para practicar conocimientos, por ejemplo, la jerarquía de las
operaciones y el uso de los paréntesis, notación exponencial, así como el de aproximación y redondeo.
Ningún método aislado resuelve el problema de la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas en su totalidad. Las clases magistrales
tienen su importancia, lo mismo que los ejercicios de mecanización y demás actividades por siempre realizadas.
Lo más importante es elegir el mejor método en el momento y con el tema adecuado. Los programas son una línea para el desarrollo de la
enseñanza-aprendizaje, pero en cada salón de clase se tienen que resolver un sinnúmero de detalles sobre la didáctica, los contenidos y las
formas que deberá tomar la evaluación, la operación de los programas
que tienen que ser planteadas en la Academia.
8
También conocido como sistema decimal,
es un sistema de numeración posicional en
el que las cantidades se representan
utilizando como base el número diez, por lo
que se compone de diez cifras diferentes:
cero (0); uno (1); dos (2); tres (3); cuatro
(4); cinco (5); seis (6); siete (7); ocho (8) y
nueve (9). Este conjunto de símbolos se
denomina números árabes, y es de origen
hindú.
Según los antropólogos, el origen del
sistema decimal está en los diez dedos que
tenemos los humanos en las manos, los
cuales siempre nos han servido de base para
contar.
El sistema decimal es un sistema de numeración posicional, por lo que el valor del dígito depende de su posición dentro del número. Así:
Al escribir números de más de cuatro cifras, se agruparán estas de tres en tres,
empezando por la derecha, y separando los grupos por espacios en blanco: 8 327 451
(y no por puntos o comas, como, dependiendo de las zonas, se hacía hasta ahora:
8.327.451; 8,327, 451). Los números de cuatro cifras se escriben sin espacios de
separación: 2458 (no 2 458). En ningún caso deben repartirse en líneas diferentes las
cifras que componen un número: 8 327 / 451.
Los sistemas de numeración pueden clasificarse en dos grandes grupos:
1.2 Posicionales y no posicionales:
En los sistemas no-posicionales los dígitos tienen el valor del símbolo utilizado, que no
depende de la posición (columna) que ocupan en el número.
En los sistemas de numeración ponderados o posicionales el valor de un dígito
depende tanto del símbolo utilizado, como de la posición que ése símbolo ocupa en el
número.
Por ejemplo, el sistema de numeración egipcio es no posicional, en cambio el
babilónico es posicional. Las lenguas naturales poseen sistemas de numeración
posicionales basados en base 10 ó 20, a veces con subsistemas de cinco elementos.
Además, en algunas pocas lenguas los numerales básicos a partir de cuatro tienen
nombres basados en numerales más pequeños.
SISTEMA DE
NUMERACIÓN DECIMAL
=
+
- X
9
Entre los sistemas de numeración posicionales de numeración romana, y los usados en
Mesoamérica por mayas, aztecas y otros pueblos.
El número de símbolos permitidos en un sistema de numeración posicional se conoce
como base del sistema de numeración. Si un sistema de numeración posicional tiene
base b significa que disponemos de b símbolos diferentes para escribir los números, y
que unidades forman una unidad de orden superior.
Conocimientos y habilidades Identificar las propiedades del sistema de numeración decimal y contrastarlas
con las de otros sistemas numéricos posicionales y no posicionales.
ACTIVIDAD PREVIA
Además de los números que actualmente utilizamos, ¿Qué otras formas utilizarías
para expresar cantidades? Por ejemplo, una manera de representar el numero tres,
coméntalo al grupo.
Piensa… Menciona otras culturas que haya escrito sus números de manera diferente a
como actualmente los escribimos y ejemplifica como lo hacían.
NUMERACIÓN EGIPCIA
La escritura egipcia tuvo su origen alrededor del año 3.000 antes de Cristo. Los
"jeroglíficos" o símbolos con los que los representaban egipcios han sido sacados de la
flora y fauna del Nilo. Está basada en el sistema de base diez y los reproducen
grabándolos o esculpiéndolos por medio del cincel y el martillo sobre piedras o bien
con un junco con la punta aplastada y mojado en un colorante sobre cerámica u hojas
de papiro.
Uno de los más antiguos sistemas de numeración que se conocen es el egipcio.
Los egipcios escribían así el tres III, el cuatro IIII, cada una de estas marcas llamadas
varas, representaba el uno.
Actividad 1.1
Escribe con números egipcios las siguientes cantidades;
a) Ocho b) seis c) dos d) cinco
Actividad 1.2
Escribe con números egipcios las siguientes cantidades;
a) quince b) dieciocho c) trece d) diecisiete
10
Actividad 1.3
Escriba estas representaciones en número decimal.
Escribe dos semejanzas y dos diferencias entre el sistema de numeración egipcia y el
que nosotros usamos
El sistema de numeración egipcio utilizaba el principio aditivo
Un signo no se repetía más de nueve veces seguidas, ya que a la décima vez se
utilizaba el número siguiente. Se usaban tantos de cada uno cómo fuera necesario.
El sistema de numeración egipcio es no posicional, es decir, los símbolos se pueden
colocar en cualquier posición sin que cambie su valor. Es decir de izquierda a derecha,
al revés o de arriba abajo o cambiando la orientación de las figuras según el caso.
NUMERACIÓN ROMANA
El sistema de numeración romana se desarrolló en la antigua Roma y se utilizó en todo su imperio. Es un sistema de numeración no posicional, en el que se usan algunas letras mayúsculas como símbolos para representar los números. La Numeración Romana utiliza siete letras mayúsculas, a las que corresponden los siguientes valores:
Para escribir los Números Romanos, se deben cumplir las siguientes reglas:
1ª Si a la derecha de una cifra romana se escribe otra igual o menor, el valor de ésta se suma a la anterior.
Ejemplos: VI = 6; XXI = 21; LXVII = 67
Letras I V X L C D M
Valores 1 5 10 50 100 500 1000
11
2ª La cifra "I" colocada delante de la "V" o la "X", les resta una unidad; la "X", precediendo a la "L" o a la
"C", les resta diez unidades y la "C", delante de la "D" o la "M", les resta cien unidades.
Ejemplos: IV = 4; IX = 9; XL = 40; XC = 90; CD = 400; CM = 900
3ª En ningún número se puede poner una misma letra más de tres veces seguidas.
Ejemplos: XIII = 13; XIV = 14; XXXIII = 33; XXXIV = 34
Actividad 1.4
Completa escribiendo en el paréntesis, el valor numérico que representa cada
uno de los siguientes números romanos.
I V X L C M
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Actividad 1.5
Convierte los siguientes números romanos a nuestro sistema de numeración.
a) XIV B) LVIII c) MMVI d) CLV e) MDCLVI
Para números con valores iguales o superiores a 4 000, se coloca una línea horizontal
por encima del número, para indicar que la base de la multiplicación es por 1.000:
Actividad 1.6
Organizados en equipos, observa los siguientes números romanos y su equivalencia en
el sistema usual de numeración. Completa los valores faltantes. __ ___ ___
V = 5 x 1 000 = 5 000 b) VIII = c) XIII =
__ ___ ____
d) C = e) MC = f) XLVI =
NUMERACIÓN MAYA
Los mayas, antigua civilización de la zona de América central usaban un sistema de
numeración de base 20 (llamada también vigesimal) y de base 5. Además los mayas
preclásicos y sus predecesores olmecas definieron el concepto del cero o “nada” sobre
el año 36 AC, lo que constituye el primer hecho documentado del cero como hoy lo
conocemos.
La escritura maya, llamada jeroglífica por su parecido a la escritura egipcia, era una
combinación de símbolos fonéticos e ideogramas. Su descifrado fue un complicado
proceso, ya que los sacerdotes españoles ordenaron la quema de todos los libros
mayas tras la conquista.
Los números mayas se usaban para medir el tiempo y no las matemáticas. Por ese
motivo tienen relación con los días, meses y años y en definitiva con el calendario. La
numeración maya posee solo tres símbolos para representar los números, como
12
podemos ver en el siguiente gráfico que representa en numeración maya los números
del 0 al 19.
Los tres símbolos básicos son:
El punto. Su valor es uno. La unidad (1) se representa por un punto. Dos, tres, y
cuatro puntos sirven para los números 2, 3 y 4.
La raya. Su valor es cinco. Se añaden los puntos necesarios para representar 6, 7, 8 y
9. Caracol. Su valor es cero.
Actividad 1.7
Observa y completa el equivalente de los siguientes números mayas.
a). b) … c) . d) = e) _
f) …. g) … h) …. i) .. j) ..
En el ejemplo B de la tabla, podemos ver el número 429 representado en tres niveles.
El más bajo simboliza el número 9 (una raya más cuatro puntos). El segundo nivel
suma en forma vigesimal, una “unidad” de 20. El tercer nivel, tan sólo con un punto
representa el número 400. Así, en los tres niveles, sumamos 9+20+400=429
Cómo podemos observar, para representar cada número, debemos prestar atención y
realizar operaciones matemáticas para interpretarlos. Las reglas para escribir números
13
mayas sería: el punto no se repite más de 4 veces y al necesitar un 5, se sustituye por
una raya. Al mismo tiempo, la raya no se repite más de 3 veces, si necesitamos 4 rayas entonces necesitamos saltar al otro nivel.
El sistema de Números Mayas era por decirlo poco práctico para representar grandes
cantidades. Así, para un número demasiado grande, la representación era bastante
complicada y tomaba un gran espacio para poder representarlo y agilidad mental para
calcularlo. Sin embargo, hay que reconocer, que es un modo práctico para emplear un
sistema de números con tan sólo tres símbolos, algo ingenioso y difícil de superar, que además resultó muy útil para organizar el famoso calendario Maya.
Cero
Símbolo maya para el cero, año 36 a. C. Es el primer uso documentado del cero en América.
La civilización maya fue la primera de América en idear el cero. Este era necesario para
su numeración porque los mayas tenían un sistema posicional, es decir, un sistema
de numeración en el que cada símbolo tiene un valor diferente según la posición que
ocupa. El símbolo del cero es representado por un caracol (concha o semilla), una
media cruz de Malta, una mano bajo una espiral o una cara cubierta por una mano.
Actividad 1.8
Escriba el equivalente en el sistema de numeración decimal, de cada uno de los
siguientes números mayas.
NUMERACIÓN BINARIA
Nosotros estamos acostumbrados a representar cualquier cantidad valiéndonos
de 10 dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. A este sistema de representar cantidades le
llamamos sistema numérico decimal o base 10. Sin embargo, el ordenador trabaja
utilizando solamente 2 dígitos: 0 y 1, es decir, con el sistema binario o base 2.
Cualquier cantidad se puede representar como una combinación de ceros y unos.
.
. .
…
.
_
. .
14
Paso del sistema decimal al sistema binario
Para pasar del sistema decimal al sistema binario se realizan divisiones
sucesivas entre dos, sin aproximar. Paramos cuando el resultado del último cociente es
cero o uno. El número binario se forma, comenzando por la izquierda, por el último
cociente, seguido en orden ascendente de los restos de las divisiones. En el ejemplo de
la Figura 1.1, 75 en base 10 equivale a 1001011 en base 2.
Paso del sistema binario al sistema decimal
Los números representados con el sistema binario, que contienen ceros y unos,
pueden transformarse al sistema decimal de forma muy sencilla: en lugar de realizar
divisiones sucesivas entre dos, como hemos hecho anteriormente, realizamos la
operación inversa, es decir, multiplicamos de forma sucesiva por las potencias de 2. En
el ejemplo anterior (Fig. 1.1), para llegar al último cociente 1 hemos tenido que dividir
entre 2 seis veces. Por tanto, ahora multiplicaremos 1 por 26. Pero se debe continuar
mientras queden restos completando el desarrollo poli nómico en función de las
potencias de 2, de forma que el resultado es:
Conversión entre números decimales y binarios
Convertir un número decimal al sistema binario es muy sencillo: basta con realizar
divisiones sucesivas por 2 y escribir los restos obtenidos en cada división en orden
inverso al que han sido obtenidos.
Por ejemplo, para convertir al sistema binario el número 7710 haremos una serie de
divisiones que arrojarán los restos siguientes:
77 ÷ 2 = 38 Resto: 1
38 ÷ 2 = 19 Resto: 0
19 ÷ 2 = 9 Resto: 1
9 ÷ 2 = 4 Resto: 1
4 ÷ 2 = 2 Resto: 0
2 ÷ 2 = 1 Resto: 0
15
1 ÷ 2 = 0 Resto: 1
Y, tomando los restos en orden inverso obtenemos la cifra binaria:
7710 = 10011012
Actividad 1.9
a) Expresa, en código binario, los números decimales siguientes: 191, 25, 67, 99,
135, 276
b) Expresa, en el sistema decimal, los siguientes números binarios:
110111, 111000, 010101, 101010, 1111110
c) Dados dos números binarios: 01001000 y 01000100 ¿Cuál de ellos es el
mayor? ¿Podrías compararlos sin necesidad de convertirlos al sistema decimal?
d) Escribe tu edad, expresándola en el sistema binario.
Actividad 1.10
En equipo, contestar las siguientes preguntas, argumenten ante el grupo sus
respuestas,
a) ¿Cuál es la base del sistema de numeración decimal?
b) Si la base es decimal, ¿Cuántos símbolos distintos utiliza?
c) ¿Cuáles son esos símbolos?
d) ¿Por qué se dice que el sistema decimal de numeración es posicional?
1.2 Sistema de numeración decimal
Se llama decimal o de base diez porque se utilizan diez símbolos para representar
todos los números. Los diez símbolos, cifras son:
0, 1, 2,3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
La relación decimal que hay entre las diversas unidades es:
1 decena = l0 unidades
1 centena = l0 decenas
1 millar = 10 centenas
1 cent. de mil = 10 dec. de mil
1 millón = 10 cent. de mil.
Cada diez unidades de un orden cualquiera forman una unidad del orden inmediato
superior.
NOTACION DESARROLLADA Y CIENTIFICA
Actividad 1.11
En equipo, expresen en notación desarrollada las siguientes cantidades, observen el
ejemplo para recordar como se hace.
16
a) Si 364932= 300 000 + 60 000 + 4 000 + 900 + 30 + 2
= 3 x 100 000 + 6 x 10 000 + 4 x 1 000 + 9 x 100 + 3 x 10 + 2 x 1
= 3 x 105 + 6 x 10
4 + 4 x 10
3 + 9 x 10
2 + 3 x 10
1 + 2 x 10
0
7 825 65 320 2 105 20 355
Convertir números decimales a notación científica
La notación científica se utiliza para expresar números muy grandes o muy pequeños.
Un número en notación científica se escribe como el producto de un número (entero o
decimal) y una potencia de 10. El número tiene un dígito a la izquierda del punto
decimal. La potencia de diez indica cuantos lugares se ha corrido el punto decimal.
El número decimal 0.00000065 escrito en notación científica sería 6.5 x 10-7 porque el
punto decimal se movió 7 lugares hacia la derecha para formar el número 6.5. Es
equivalente a 6.5 x 0.1 x 0.1 x 0.1 x 0.1 x 0.1 x 0.1 x 0.1
Un número decimal menor a 1 se puede convertir a notación científica disminuyendo la
potencia de diez en uno por cada lugar en que el punto decimal se corrió hacia la
derecha.
Los números en notación científica se pueden escribir en diferentes formas. El número
6.5 x 10-7
En ocasiones, incluyendo algunos temas de este propio sitio web, las cifras de números
enteros muy grandes, o los decimales extremadamente pequeñas, se representan en
forma más simplificada. Veamos algunos ejemplos:
Podemos decir que la velocidad de la luz es de trescientos millones de metros por
segundo, o también de 300 000 000 m/seg. Si hablamos de grandes cantidades de
bytes, se puede decir que la capacidad de almacenamiento de datos de una gran
computadora es de 500 Terabytes, o sea, una cantidad equivalente a 500 000 000 000
000 bytes. Si nos referimos a la longitud de onda de los rayos cósmicos, se podría
decir que su medida es inferior a 0,000000000000001 metros.
Sin embargo, en los textos científicos o técnicos las cifras no aparecen escritas de
forma tan grandes, sino más bien simplificadas, utilizando un procedimiento
matemático denominado “notación científica”. Por tanto, las cifras del párrafo anterior
seguramente aparecerían escritas en textos de ciencia y técnica de la forma siguiente:
“La velocidad de la luz es de 3 x 108 m/seg. “La capacidad de almacenamiento de
datos de la gran computadora es de 5 x 1014 bytes.” y “la longitud de onda de los
rayos cósmicos es inferior a 1 x 10-14 metros.” Se nota la diferencia ¿verdad?
17
Ejemplo: Si el número es menor que 1, el punto decimal se mueve a la derecha, y la potencia de 10 será negativa:
Ejemplo: 0.0055 se escribe 5.5 × 10-
3, porque 0.0055 = 5.5 × 0.001 =
5.5 × 10-3
Actividad 1.12
a) ¿Representar en notación científica la longitud de onda de los rayos cósmicos
se podría decir que su medida es inferior a 0,000000000000001 metros?
b) ¿Representar en notación científica la capacidad de almacenamiento de datos
de una gran computadora es de 500 Terabytes, o sea, una cantidad
equivalente a 500 000 000 000 000 bytes?
Expresa en forma decimal:
c) 1) 3,23.10-7
d) 2) 1,75.108
e) 3) La masa de un electrón: 1,67.10-27kg
1.3 JERARQUIA DE LAS OPERACIONES Y USO DEL PARENTESIS
En la siguiente expresión se pretende hacer dos operaciones con tres números. 2 + 3 * 5 Si primero sumamos 2 + 3 el resultado es 5, que multiplicado por 5 nos da 25. Pero si primero multiplicamos 3 x 5, obtenemos 15, que sumado con 2 nos da 17.
Me imagino que te has de preguntar ¿Qué operación debo de realizar primero, la suma
de 2 y 3 para luego multiplicarlo por 5, o la multiplicación de por 5 y luego sumarle 2? Como ya vimos la respuesta es distinta en cada caso.
Para evitar confusiones, se han establecido reglas para realizar las operaciones en un
orden determinado. Este orden se llama jerarquía de las operaciones. Veamos cuales son esas reglas.
1. Al realizar una serie de sumas y restas, estas se deben realizar de
izquierda a derecha.
a) Por ejemplo, en esta serie de sumas y restas 65 + 21 – 68 + 31 – 27 vamos
haciendo las siguientes operaciones: primero sumamos 65 + 21, que da como
resultado 86, luego hacemos la resta de 86 – 68, que da 18, a lo cual le
18
sumamos 31, para obtener 49 y finalmente restamos 27, de modo que el
resultado final es 22.
1. El mismo orden (de izquierda a derecha) se utiliza para las expresiones que
solo tienen multiplicaciones y divisiones.
a). Por ejemplo, 7 x 8 ÷ 4 = 56 ÷ 4 = 14
El problema surge cuando combinamos sumas y restas con multiplicaciones y
divisiones. Como ya vimos antes el resultado de 2 + 3 x 5 depende de la operación
que se realice primero.
2. Las multiplicaciones y divisiones se realizan antes que las sumas y restas.
Así en la expresión 2 + 3 x 5, primero realizamos la multiplicación y luego la suma, por lo que el resultado es 2 + 15 = 17.
La escritura de las operaciones se puede aclarar mucho más con el uso de
paréntesis. En algunos casos, podemos utilizar los paréntesis solo para reafirmar la
jerarquía, como cuando escribimos 2 + (3 x 5), que es lo mismo que 2 + 3 x 5.
Pero también podemos utilizar los paréntesis para modificar la jerarquía. Así, si en la expresión anterior queremos sumar primero y luego multiplicar (2 + 3) x 5.
3. Siempre que aparezcan paréntesis en una expresión aritmética, las operaciones dentro de ellos se realizan en primer lugar.
Por ejemplo en la expresión (3 x 4) + (5 – 2), como tenemos paréntesis primero
realizamos las operaciones dentro de ellos, siguiendo un orden de izquierda a derecha. Así (3 x 4) = 12 y (5 – 2) = 3. Después sumamos 12 + 3 = 15.
Otro ejemplo 7 x (5 + (8 ÷ 2)), como aquí tenemos dos pares de paréntesis,
realizamos primero la operación 8 ÷ 2 (es decir, la de los paréntesis internos). Esto
da como resultado 4; luego sumamos 5 + 4, que da 9. Final mente multiplicamos por 7. Entonces 7 x (5 + (8 ÷ 2)) = 7 x (5 + 4) = 7 x 9 = 63.
Para terminar, recuerda que un aspecto importante de las expresiones aritméticas
es su claridad. Si tiene alguna duda de la jerarquía de las operaciones, puedes utilizar los paréntesis para evitar confusiones.
Actividad 1.13
Realiza las siguientes operaciones:
a) 6 + 8 ÷ 7 + 5 x 5 + 2=
b) =
c) =
19
d) 8 ÷ 2 x 4 – 15 ÷ 5 x 3=
e) = f) (-12) ÷ 3 + 3.5 – 6 x 8 – 3= g) 15÷ [(-12)÷ 4]+5= h) –3 + 5 - 3.7 + (3)2 = i) 2-{5+3-[3+7-(3x4-3)+5-6]-3+4}= j) 18 ÷ 3 x 6 – (7 – 35 ) ÷ 14= k) 72 ÷ (-18) x 4 – (3 – 12) ÷ (-9)
1.4 Operaciones aritméticas, problemas.
Actividad 1.14
En equipo resuelvan los siguientes problemas:
Problema 1 Un tren lleva 5 coches de pasajeros. En el primero van 32 personas, en el
segundo van 13 viajeros más que en el primero, en el tercero van tantos viajeros
como en el primero y en el segundo, el cuarto y quinto coche llevan cada uno 43
viajeros.
¿Cuántos viajeros lleva el tren?
Un niño ha comprado 4 chicles de 3 ptas. cada uno, 4 piruletas de 5 ptas. cada una y 4
bolsas de pipas de 10 ptas. cada una. ¿Cuánto dinero ha gastado en total?
Un comerciante ha comprado 385 botellas de aceite a 154 ptas. cada una. Después las
vende a 179 ptas. cada una. ¿Cuánto ganará en la venta de todas las botellas?
En una tienda hay 147 cajas de pinturas. En cada caja hay 10 estuches de pinturas. Si
en cada estuche hay 8 pinturas, ¿cuántas pinturas hay en la tienda?
Un aeroplano recorrió 1940 km el primer día, el segundo recorrió 340 km más que el
primero y el tercero 890 km menos que entre los dos anteriores. ¿Cuántos km recorrió
el aeroplano en total?
Juan compra 3 lápices a 15 ptas. cada uno. Da al tendero 50 ptas. ¿Cuánto le
devuelven?
En un taller de confección disponen de 4 piezas de tela de 50 m cada una. Con ellas
van a confeccionar 20 trajes que necesitan 3 m de tela cada uno. Con el resto de la
tela piensan hacer abrigos que necesitan 4 m cada uno. ¿Cuántos abrigos pueden
hacerse?
Juan ha hecho 3 problemas más que Pedro. Pedro ha hecho el doble que Enrique.
Enrique ha hecho 9 problemas. ¿Cuántos problemas ha hecho Juan?
Tengo 48 libros colocados en 2 estanterías. En una estantería hay 8 libros más que en
la otra. ¿Cuántos libros hay en cada estantería?
20
Si 20 obreros hacen una obra en 6 días, ¿cuántos días tardarán en hacer esa obra 8
obreros?
16 100 obreros construyen una tapia de 50 m en 10 días. ¿Cuántos obreros se
necesitarían para construir 40 m de tapia en 4 días?
Un profesor dice a un niño que tiene que añadir 12 a un número dado y dividir el
resultado por 13. Pero el niño, que no presta atención, resta 13 del número dado y
divide el resultado por 12. Se extraña, pues la respuesta es correcta. ¿Cuál es el
número dado?
Juan hizo un trabajo por 100 dólares. Si el material que empleo le costo $13 dólares,
¿Cuánto gano por hora si en total trabajo 6 horas?
1.5 Sistemas de medición
Un sistema de unidades es un conjunto consistente de unidades de medida. Definen
un conjunto básico de unidades de medida a partir del cual se derivan el resto. Existen varios sistemas de unidades:
Sistema Internacional de Unidades o SI: es el sistema más usado. Sus
unidades básicas son: el metro, el kilogramo, el segundo, el ampere, el kelvin,
la candela y el mol. Las demás unidades son derivadas del Sistema
Internacional.
Sistema métrico decimal: primer sistema unificado de medidas.
Sistema cegesimal o CGS: denominado así porque sus unidades básicas son el centímetro, el gramo y el segundo.
El Sistema Internacional de Unidades (abreviado SI del francés: Le Système
International d'Unités), también denominado Sistema Internacional de Medidas, es
el nombre que recibe el sistema de unidades que se usa en todos los países y es la
forma actual del sistema métrico decimal. El SI también es conocido como «sistema
métrico», especialmente en las naciones en las que aún no se ha implantado para su
uso cotidiano.
El sistema métrico decimal es un sistema de unidades en el cual los múltiplos y
submúltiplos de cada unidad de medida están relacionados entre sí por múltiplos o
submúltiplos de 10.
El sistema cegesimal de unidades, también llamado sistema CGS, es un sistema
de unidades basado en el centímetro, el gramo y el segundo. Su nombre es el
acrónimo de estas tres unidades.
El sistema CGS ha sido casi totalmente reemplazado por el Sistema Internacional de
Unidades. Sin embargo aún perdura su utilización en algunos campos científicos y
técnicos muy concretos, con resultados ventajosos en algunos contextos.
Así, muchas de las fórmulas del electromagnetismo presentan una forma más
sencillas cuando se las expresa en unidades CGS, resultando más simple la expansión
de los términos en v/c.
Unidades básicas
21
El Sistema Internacional de Unidades consta de siete unidades básicas. Son las
unidades utilizadas para expresar las magnitudes físicas definidas como básicas, a
partir de las cuales se definen las demás:1
Las unidades básicas tienen múltiplos y submúltiplos, que se expresan mediante
prefijos. Así, por ejemplo, la expresión «kilo» indica „mil‟ y, por lo tanto, 1 km son
1000 m, del mismo modo que «mili» indica „milésima‟, por ejemplo, 1 mA es 0,001 A.
Tabla de equivalencias:
1 kilómetro = 1 000 metros 1 decímetro = 0.1 metro 1 hectómetro = 100 metros 1 centímetro = 0.01 metro 1 decámetro = 10 metros 1 milímetro = 0.001 metro 1 milla =1 609 00 metros 1 yarda = 91.40 centímetros 1 pie =30.50 centímetros 1 pulgada = 2.54 centímetros 1 Milla = 5 280 Pies 1 Milla = 1.609347 Kilómetros 1 Kilometro = 1 000 Metros 1 Pie = 12 Pulgadas 1 Kilogramo = 1000 gramos 1 miligramo = 0.001 Gramos 1 centigramo = O.O1 gramos 1 libra = 0.4535924 kilogramo 365 Días = 1 Año 1 Día = 24 Horas
1 Hora = 60 Minutos 1 Minuto = 60 Segundo
1 Microsegundo = 10-6
Segundo
Ejemplo:
a. Expresar 3.78 Kilómetros a millas
b. 8.563 Millas a Pulgadas.
c. 1.5 libra a centigramos
Actividad 1.15
En equipo resuelvan las siguientes conversiones.
a) 4876598.24 centímetros a Millas i) 3Km. A Pulgadas.
b) 23 Millas a kilómetros j) 8 pies a pulgadas
c) 5 decámetros a metros k) 25 kilómetros a metros
d) 8 hectómetros a metros l) h15 yardas a centímetros
e) 3.5 kilogramos a libras m) 845.2 miligramos a hectogramos
f) 49874.57 centigramos a libras n) 2.5 kilogramos a miligramos
g) Expresar 256 Días a horas. o) Expresar 5 millones de segundos a días.
h) 67 X 108 Minutos a mes p) 860 horas a semanas
MILLASMILLASKms
MILLAKmsMILLASX 35.234878.2)
609.1
1(78.3
.68.542551)1
.12)(
1
5280(563.8. PULG
PIE
PULG
MILLA
PIESMILLASPULGX
cgg
cg
Kg
g
LIBRA
KgOLIBRAcgsX 86.68038)
01.0
1)(
1
1000)(
1
45359.(5.1
22
Un número b es divisible por otro a cuando la div isión es exacta .
2.1 Primos y Divisores
Un número se puede hacer multiplicando dos
o más números. Los números que se
multiplican se llaman divisores o factores del
número final. Todos los números tienen un
divisor uno ya que uno multiplicado por
cualquier número es igual a ese número.
Todos los números se pueden dividir por si
mismos para obtener ese número. Por lo
tanto, habitualmente ignoramos el uno y el
número en si mismo como divisores útiles.
El número quince se puede dividir por dos
divisores que son el tres y el cinco.
El número doce se podría dividir por dos
divisores que son 6 y 2. El seis todavía se
podría dividir por otros dos divisores 2 y 3.
Por lo tanto los divisores de doce son 2, 2 y
3.
Si en primer lugar dividimos doce en los divisores 3 y 4, el cuatro se podría dividir en 2
y 2. Por lo tanto los divisores de doces siguen siendo 2, 2, y 3.
Hay varios consejos para ayudarte a determinar los divisores.
Cualquier número par tiene un divisor dos.
Cualquier número que termina en 5 tiene un divisor cinco.
Cualquier número mayor que 0 que termine con 0 (tal como 10, 30, 1200) tiene
los divisores 2 y 5.
Para determinar los divisores fíjate si puedes aplicar alguna de las reglas antes
mencionadas (terminación 5, 0 o número par). Si ninguna de estas reglas se
puede aplicar, todavía podrás encontrar divisores 3, 7 o algún otro número.
Explicación:
Los divisores de un número son aquellos valores que dividen al número en partes
exactas. Así, dado un número a, si la división a/b es exacta (el resto es cero),
entonces se dice que b es divisor de a. También se puede decir que a es divisible
DIVISIBILIDAD
=
+
- X
23
por b o que a es un múltiplo de b. Esto nos resulta útil, por ejemplo, a la hora de
agrupar una cantidad de objetos en partes iguales sin que nos sobre ninguno.
Por ejemplo, tenemos 36 bolígrafos y queremos hacer paquetes de modo que no sobre
ninguno. Como los divisores de 36 son 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 y 36, podemos hacer
paquetes de esas cantidades. Con cualquier otro valor nos quedarían bolígrafos sueltos (si hacemos paquetes de 5 en 5, nos sobraría un bolígrafo).
Lógicamente, el 1 siempre es divisor de cualquier número, porque siempre podemos
hacer paquetes individuales y no nos sobrará ninguno. De igual forma, todo número es
divisible por sí mismo, lo que equivaldría a hacer un único paquete.
A los números que tienen más de dos divisores como el 36, se les llama números
compuestos, a los números como el 2, 3, 5, 7, 11, 13…. Etc. Que únicamente tienen
dos divisores, que son ellos mismos y la unidad (1) se les llama números primos. Por ejemplo, los únicos divisores de 5 son el mismo 5 y el 1.
Se contraponen así a los números compuestos, que son aquellos que tienen algún
divisor natural aparte de sí mismos y del 1. El número 1, por convenio, no se considera ni primo ni compuesto.
A partir de esta unicidad en la factorización en factores primos se desarrollan otros
conceptos muy utilizados en matemáticas, tales como el mínimo común múltiplo, el máximo común divisor. Así,
El mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor de los múltiplos
comunes de todos ellos. Para calcularlo, se descomponen los números en
factores primos y se toman los factores comunes y no comunes con su máximo
exponente. Por ejemplo, el mínimo común múltiplo de 10=2·5 y 12=22·3 es
60=22·3·5.
El máximo común divisor de dos o más números es el mayor de los divisores
comunes de todos ellos. Es igual al producto de los factores comunes con su
mínimo exponente. En el ejemplo anterior, el máximo común divisor de 10 y 12
es 2.
Otras propiedades
En su representación decimal, todos los números primos salvo el 2 y el 5
acaban en 1, 3, 7 ó 9. En general, en cualquier sistema de numeración, todos
los números primos salvo un número finito acaban en una cifra que es coprima
con la base.
De lo anterior se deduce que todos los números primos salvo el 2 son de la
forma 4n + 1 o bien 4n - 1. Igualmente, todos los números primos salvo el 2 y el 3 son de la forma 6n + 1 o 6n - 1.
Actividad 2.1
Escriba los divisores de la siguiente cantidad, en equipos:
24
a) 72 b) 84 c) 25 d) 44 e) 17 f) 215 g) 336 h) 53 i) 93 ¿Cómo se puede estar seguro de haber incluido todos los divisores de un número?
Coméntenlo entre los miembros del equipo y coméntenlo al grupo?
Localicen los primos entre: el uno y el diez; el uno y el veinte; el uno y el treinta.
Construir el modelo de la criba de Eratóstenes para localizar los primos entre el uno y
el cien.
2.2 Criterios de Divisibilidad Son criterios que sirven para saber si un número es divisible por otro sin necesidad de
realizar la división.
Divisible significa que al dividirlo por ese número el resultado es una división exacta
con resto cero. Por ejemplo, 30 es divisible por 5 porque al dividirlo por 5 el resto es
cero 30:5=6.
Divisibilidad por 2 Un número entero es divisible por 2 SI su última cifra es 0, 2, 4, 6, o 8.
Divisibilidad por 3
Un número entero es divisible por 3 SI la SUMA de sus cifras es divisible por 3.
Por ejemplo, ¿es 394 divisible por 3? Sumamos sus cifras: 3 + 9 + 4 = 16. Ya que 16
NO es divisible por 3, 394 tampoco es.
También se puede usar este método para hallar el resto o residuo: se suma las cifras y
se prueba dividir por 3. El resto de esta división también es el resto de división del
número original.
Por ejemplo, ya hallamos que la suma de las cifras de 394 es 16. El resto de dividir 16
por 3 es 1; entonces dividiendo 394 por 3, el resto es 1 también.
Se puede aplicar este criterio múltiple veces. ¿Es 907730485 divisible por 3? La suma
de sus cifras es 9 + 7 + 7 + 3 + 4 + 8 + 5 = 43. Si no sabes si 43 es divisible por 3,
puedes sumar las cifras de 43 y obtener 4 + 3 = 7. Entonces, ya que 7 no es divisible
por 3, tampoco son 43 y 907730485.
Divisibilidad por 4
Un número es divisible por 4 si el número formado por sus dos últimas cifras es
divisible por 4.
Por ejemplo, 45,253. Toma las dos últimas cifras: 53. 53 no es divisible por 4, y
tampoco es 45,253.
Otro ejemplo: ya que 80 es divisible por 4, entonces 3280, 32480, 293180 etcétera
todos son divisibles por 4.
Divisibilidad por 5 Es muy fácil: si la última cifra de un número es 0 o 5, es divisible por 5.
Divisibilidad por 10
Es muy fácil: si la última cifra de un número es 0, es divisible por 10.
Divisibilidad por 6
Si un número es divisible tanto por 2 como por 3, es divisible por 6.
Divisibilidad por 11
25
Toma las cifras de tu número por la derecha, y alterna sumando y restando. Si la
respuesta es divisible por 11, también es tu número.
Por ejemplo, estudiamos 294,398. Alterna sumando y restando sus cifras comenzando
por la derecha: 8 - 9 + 3 - 4 + 9 - 2 = 5. Ya que 5 no es divisible por 11, tampoco es
294,398; y también sabemos que el resto de dividir 294,398 por 11 es 5.
Actividad 2.2
Conteste en equipos lo que a continuación se pide.
De los números siguientes subraye:
Los divisibles entre 3.
873 1 857 1 472 1 429 12 423 24 216 32 821 52 534
Los divisores entre 5.
375 2 530 9 101 74 552 218 250 471 935 20 000 35 570
Los divisores entre 7.
119 1 472 5 589 12 423 53 361 70 141 22 578 101 361
Multiplique su edad por su peso, y del número obtenido determine que números lo
dividen exactamente.
Factorización de un número
La factorización (o descomposición factorial) de un número consiste en expresarlo como un producto de factores primos Ejemplo: 30 = 2 x 3 x 5
Para factorizar un número dividimos por cada uno de los números primos (2, 3, 5,..) y
nos quedamos con el cociente, el cual lo volvemos a dividir por el mismo primo mientras podamos (cuando no sea divisible, pasamos al siguiente primo).
Veamos un ejemplo: Factorización del número 120
26
Nota: Es posible concluir la prueba de divisibilidad de un numero dado cuando se llega
a uno primo tal, que al multiplicarse por si mismo, da como resultado un producto
mayor que el numero dado.
Actividad 2.3
Escriba los números siguientes en términos de sus factores primos.
12 18 30 36 45 112 504 819 468 360
2.3 Mínimo común múltiplo
El mínimo común múltiplo (m.c.m. o mcm) de varios números es el menor de sus
Múltiplos comunes. Para calcularlo:
Factorizamos los números.
Tomamos todos los factores (comunes y no comunes) elevados a los mayores Exponentes.
El m.c.m. es el producto de los factores anteriores ¿Qué es un "múltiplo común"? Si tienes dos (o más) números, y miras entre sus múltiplos y encuentras el mismo valor en las dos listas, esos son los múltiplos comunes a los dos números. Por ejemplo, si escribes los múltiplos de dos números diferentes (digamos 4 y 5) los
múltiplos comunes son los que están en las dos listas:
¿Qué es el "mínimo común múltiplo"?
Los múltiplos de 4 son 4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,...
Los múltiplos de 5 son 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45,50,...
¿Ves que 20 y 40 aparecen en las dos listas? Entonces, los múltiplos comunes de 4 y 5 son: 20, 40 (y 60, 80, etc. también)
Es simplemente el más pequeño de los múltiplos comunes. En el ejemplo anterior, el menor de los múltiplos comunes es 20, así que el mínimo común múltiplo de 4 y 5 es 20.
27
Ejemplo:
Los factores son: 2, 3 y 5 elevados a los mayores exponentes (dentro de un recuadro) serían: 23, 32 y 5
Multiplicando los factores anteriores se obtiene el mcm
Ejemplo: Averiguar el m.c.m. de Sacar el M.C.D. de 20 y 10:
20: 20, 40, 60, 80...
10: 10, 20, 30...
20 es el múltiplo menor que es común a ambos números.
Múltiplos: los múltiplos de un número se obtienen multiplicando dicho número por los números naturales 0, 1, 2, 3, 4, 5.....
Ejemplo: múltiplos del 7: 7x0=0; 7x1=7; 7x2=14; 7x3=21; 7x4=28; 7x5=35....
O sea son múltiplos del 7:, 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 48, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98, 105, 112, 119, 126, 133, 140, 147, 154, 161, 168...
Actividad 2.4
Calcula el mínimo común múltiplo de
a) 4, 6 y 8 b) 16, 24 y 35 c) 165, 236 y 485
Máximo común divisor
28
El máximo común divisor de dos o más números es el número, más grande posible,
que permite dividir a esos números.
Para calcularlo. De los números que vayas a sacar el máximo común divisor, se
ponen uno debajo del otro, se sacan todos los divisores de los dos números y el
máximo que se repita es el máximo común divisor (M.C.D.) Ejemplo: Sacar el M.C.D. de 20 y 10:
20: 1, 2, 4, 5, 10 y 20
10: 1, 2, 5 y 10
Esto sirve para números pequeños. Pero para números grandes hay otra manera: la
descomposición de factores.
Forma rápida de calcular el Máximo común Divisor (M.C.D.).
Ejemplo: Sacar el M. C. D. de 40 y 60:
1º Tienes que saber las reglas divisibilidad. Haces la descomposición de factores
poniendo números primos.
Por ejemplo para 40, en la tabla de abajo, se va descomponiendo en 2, 2, 2 y 5.
40
2 60
2
20 2 30 2
10 2 15 3
5 5 5 5
1 1
2º De los resultados, se cogen los números repetidos de menor exponente y se multiplican y ese es el M.C.D.
MCD = 2x2x5= 20
M.C.D. 40 =
2x2x2x5
M.C.D. 60 =
2x2x3x5
29
Actividad 2.5
Calcular el máximo común divisor de las siguientes cantidades.
a) 60 y 35 b) 82, 94 y 102 c) 345 y 482
En equipo resuelvan los siguientes problemas de aplicación del mcm y mcd.
Un trozo de cartulina mide 1 m. por 45 cm. Y quiero dibujar en ella una cuadricula del
mayor Tamayo posible cada cuadrado. ¿Cuál será el lado del mayor cuadrado posible?
Un viajero va a Barcelona cada 18 días y otro cada 24 días. Hoy han estado los dos en
Barcelona. ¿Dentro de cuantos días volverán a estar las dos a la vez en Barcelona?
Un faro se enciende cada 12 segundos, otro cada 18 segundos y un tercero cada
minuto. A las 6.30 de una tarde las 3 coinciden. Averigua las veces que volverán a
coincidir en los 5 minutos siguientes.
Se requiere embaldosar una cocina de 1620 cm. De largo por 980 cm. De ancho con
baldosas cuadradas l0 mas grande posible y enteras. ¿Cuál será la longitud del lado de
cada baldosa?
¿Cuanta pesa como mínimo, un paquete que puede ser pesado exactamente utilizando
solo pesas de uno de estos tres tipos: pesa de 20 kg. De 125 kg., es decir utilizando
solo pesas de 20 o solo de 125 Kg. O solo de 1 kg.?
María tiene tres cortes de tela de 35, 49 y 42 metros, respectivamente. Si desea hacer
cortinas de igual tamaño y sin desperdiciar nada. ¿De qué longitud debe cortar cada
cortina?
Como promoción en sus ventas, una fábrica de refrescos pone un cupón para un
refresco gratis cada 80o refresco y otro cupón para dos refrescos gratis cada 120o
refresco. ¿Con qué frecuencia pone ambos cupones en un solo refresco?
30
Los números surgen de la necesidad de
contar. Pero el Hombre no se limitó sólo a
contar, sino que acumulaba o intercambiaba
o repartía bienes…. Estas actividades tan
cotidianas tuvieron respuesta en operaciones
tan sencillas como la suma, la resta, la
multiplicación o la división. A medida que
estos cálculos se complicaron fueron
apareciendo distintas clases de números. El
conjunto más amplio con el que vamos a
trabajar durante esta etapa es el de los
números reales.
Los números racionales, cuyo conjunto se
representa por Q, son los números que se pueden
expresar como cociente de dos números enteros.
-5, - 4/3, 3, -2, -1, 0, 16/2, 0.125,
El cociente de dos números enteros a y b, con b ≠ 0, se puede expresar de la forma b /a
3.1 Unidad y partición
Si partimos la unidad en 3 partes iguales, cada parte se llama tercio y la unidad queda partida en 3
tercios. Eso se expresa como 1 =. En el dibujo de abajo también hemos partido la unidad en sextos y
en cuartos. Abajo de cada dibujo pusimos la manera en que queda partida la unidad y el nombre de
las partes
1 1 = 2/2 1 = 4/4 1 = 6/6
UNIDAD MEDIOS CUARTOS SEXTOS
REALES Y FRACCIONES
=
+
- X
31
En la forma en que estamos expresando estas particiones el número de abajo sirve para decir en
cuántas partes iguales se fraccionaron la unidad y el número de arriba para decir cuántas partes
tomamos. De estos números, el de arriba se llama numerador (el que numera o cuenta), y el de
abajo denominador (el que da nombre), y la expresión se llama completa fracción o quebrado.
En las figuras de arriba son iguales el numerador y el denominador porque tomamos todas las partes
que forman la unidad.
Para decir de qué tamaño es un trozo de la unidad con respecto al entero usamos la misma notación.
Por ejemplo, en la figura siguiente tenemos las mismas particiones que antes pero hemos marcado
en un medio, en un tercio, en dos sextos, y en dos cuartos. Al pie de cada
Dibujo hemos anotado cómo se escribe la parte sombreada.
½ = 2/4 Y 2/6 = 1/3 En este caso se dice que tenemos fracciones equivalentes y eso significa que expresan la misma cantidad.
Actividad 3.1 Construir en una cuadrícula de 5x5 o en un geoplano, una unidad que, dependiendo de la
posibilidad de colocar ligas sobre el geoplano o dibujar sobre las intersecciones de la
cuadrícula, pueda partirse en:
a) Mitades.
b) Tercios.
c) Mitades, pero no en tercios.
d) Sextos, ¿pueden partirse en tercios y medios?
Construcción del geoplano: en una tabla de madera delgada o triplay (15X15
cm), se colocan clavos despuntados para atorar ligas de colores. Los clavos
definirán la cuadrícula, colocándolos en los vértices o centros de los cuadrados.
Dada una figura, que es 1/2; 1/3; 1/4; 2/3, de cierta unidad, ahora el ejercicio consiste en
elaborar la posible unidad.
Construir unidades en el geoplano o cuadrícula, que acepten diferentes particiones; tomar
una parte y llegar a establecer diferentes clases de equivalencias.
Ejemplos: ½ = 2/4 1/3 = 2/6 ¾ = 6/8, etcétera.
Deducir que la generación de fracciones equivalentes a una dada, se produce multiplicando
numerador y denominador por un mismo número diferente de cero.
En equipos representen otras maneras de representar una misma cantidad, mediante rectángulos o
círculos.
32
De las siguientes fracciones cuales son equivalentes
a)1/3 b) ¼ c)3/4 d)2/6 e)2/8 f) 6/8 g)3/9 h)5/20 i)9/12 j)6/18
3.2 Equivalencia y orden de fracciones
No siempre podemos trabajar con unidades divididas decimalmente; con frecuencia nos conviene
partir de otra manera lo que tenemos para usarlo. Cuando partimos de distintas maneras a veces
necesitamos saber cuánto tenemos en total. En esta lección vamos a trabajar sobre estos conceptos.
Las Fracciones Equivalentes tienen el mismo valor, aunque parezcan diferentes.
Estas fracciones son en realidad lo mismo:
1 =
2 =
4
2 4 8
¿Por qué es lo mismo? Porque cuando multiplicas o divide a la vez arriba y abajo por el mismo
número, la fracción mantiene su valor. La regla a recordar es:
¡Lo que haces a la parte de arriba de la fracción también lo tienes que hacer a la parte de abajo!
Por eso, estas fracciones son en realidad la misma:
× 2 × 2
1 =
2 =
4
2 4 8
× 2 × 2
Y en un dibujo se ve así: 1/2 2
/4 4/8
=
=
Aquí hay más fracciones equivalentes, esta vez dividiendo:
÷ 3 ÷ 6
18 = 6 = 1
33
36 12 2
÷ 3 ÷ 6
Si seguimos dividiendo hasta que no podamos más, habremos simplificado la fracción (la hemos
hecho la más simple posible).
Simplificando Fracciones Para simplificar una fracción, divide los números de arriba y abajo por el mayor número que
divida a los dos exactamente.
Simplificando Fracciones
Simplificar (o reducir) fracciones significa hacer la fracción lo más simple posible. ¿Por qué decir
cuatro octavos (4/8) cuando en realidad quieres decir la mitad (
1/2) ?
4/8 ==>
2/4 ==>
1/2
(Cuatro octavos) (Dos cuartos) (Un medio)
¿Cómo simplifico una fracción?
Hay dos maneras de simplificar una fracción:
Método 1
Intenta dividir los números de arriba y abajo de la fracción a la vez hasta que no puedas seguir más
(prueba a dividirlos por 2, 3, 5,7,... etc.).
Ejemplo: Simplifica la fracción 24
/108:
÷ 2 ÷ 2 ÷ 3
24 =
12 =
6 =
2
108 54 27 9
÷ 2 ÷ 2 ÷ 3
Método 2
Divide las dos partes de la fracción por el Máximo Factor Común (¡tienes que calcularlo primero!).
Ejemplo: Simplifica la fracción 8/12:
34
1. El mayor número que divide exactamente 8 y 12 es 4 (¿por qué?), así que el Máximo Factor
Común es 4.
2. Divide arriba y abajo por 4:
÷ 4
8 =
2
12 3
÷ 4
Y la respuesta es: 2/3
Actividad 3.2
Simplifique las siguientes fracciones hasta tener una fracción irreductible: 1. 3
6
2. 15
45
3. 4
9
4. 2 8
5. 6 12
6. 12 48
Indique cuál fracción es mayor. (Utiliza el signo de >, <)
7. 6 2
11 9
8. 4 6
11 7
9. 4 12
9 17
10. 4 9
3 2
35
Sistema de numeración No siempre podemos trabajar con unidades enteras. Con frecuencia tenemos que
partir lo que tenemos para usarlo.
En esta lección veremos una manera de expresar partes de una unidad a través del
sistema de numeración decimal, que ya hemos empezado a estudiar.
Recuerde que nuestro sistema de numeración es d e c i m a l porque agrupa de diez
en diez las unidades, decenas, etc.; y es posicional porque el lugar que ocupa una
cifra nos dice de qué tamaño son los grupos que estamos contando
Un entero decimos
Para contar cuántos grupos de cada tamaño tenemos, este sistema utiliza diez símbolos, que son los
dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Para escribir partes de una unidad con el sistema decimal vamos a partir la unidad en diez partes
iguales; cada una de esas partes se llama décima.
Veamos un ejemplo.
Queremos expresar la cantidad de área que tenemos sombreada en la siguiente figura, utilizando
como unidad el cuadrado. El área sombreada es una unidad y un trozo. Para saber qué parte de la
unidad es ese trozo, o sea lo que queda en el segundo rectángulo, partimos el rectángulo en diez
partes. Cada una de esas “rebanadas” es un décimo del área. Tenemos 3 décimos sombreados y hay
un pedazo sombreado que sobra, que es más chico que un décimo.
Para saber de qué tamaño es el pedazo que nos falta medir, partimos los décimos en diez partes
cada uno. El rectángulo nos queda partido en 10 x 10 = 100 pedazos iguales, y cada uno de estos
pedacitos es un centésimo. Con siete de ellos, ahora sí abarcamos exactamente el área sombreada.
Sabemos entonces que toda esa área es: 1 unidad, 3 décimos y 7 centésimos.
Para expresar en el sistema decimal una cantidad como la que acabamos de obtener vamos a usar
posiciones como en el caso de los enteros. Primero ponemos un punto que sirve para separar los
enteros de las fracciones y que se llama punto decimal. A la izquierda del punto escribimos los
36
enteros como siempre. A la derecha del punto escribimos la cantidad de pedazos que tenemos de
cada tamaño empezando con los pedazos más grandes, los décimos, y luego los centésimos.
En nuestro ejemplo tenemos un entero, tres décimos y siete centésimos: entonces escribimos 1.37
Este número lo podemos leer también como un entero treinta y siete centésimos.
3.3 Expansión decimal finita
Con cualquier cantidad de cifras.
Por ejemplo, 890.3049586732, 1.22223349939392223, etc. Todo lo que va a la derecha del punto
decimal de un número se llama la expansión decimal d e l número.
Hay números que tienen una expansión decimal que no se termina; se dice que tienen expansión
decimal infinita.
Por ejemplo: 2.333.... Los puntos suspensivos en este número significan que sigue 3 un número
infinito de veces.
Cuando la expansión decimal de un número se acaba, aunque sea muy larga, se dice que tiene
expansión decimal finita.
Por ejemplo: 2.33, 5.9833, 84.55555888883939222939, 888.9393939222929399932221929292475751. Esto último no incluye a los ceros que se pueden
agregar a la derecha de la última cifra; por ejemplo, 6.7705000000… es un número con expansión
decimal finita, porque es igual a 6.7705.
Actividad 3.3 Escriba con notación decimal los números que le damos en español:
a) Doce unidades doce centésimos b) cuarenta y siete décimos
c) doscientos treinta y cinco milésimos d) dos unidades quince milésimos
e) ciento seis milésimos f) diecinueve milésimo
g) cinco centésimos h) cinco décimos
i) dos diezmilésimos j) ciento treinta centésimos
k) diez mil doscientas unidades, ochocientos veintisiete mil quinientos trece millonésimos
l) seis millones setecientas unidades, un millón veintisiete mil once diezmillonésimos
Escriba en español los siguientes números:
a) 354.7 e) 123.321 i) .00315 b) 32.00 f) 4702.0934
j) .772 c) 302.07 g) 2791.579 k) .039 d) 9.777
h) 0.550 l) .630038
3.4 conversiones de expresiones decimales a fracciones
Para expresar partes de una unidad hemos trabajado con números fraccionarios en el sistema de
numeración decimal posicional y también con quebrados con cualquier denominador. Es
conveniente ver la relación entre estas dos maneras de escritura. Observe que podemos escribir las
fracciones decimales como quebrados o como números decimales, por ejemplo:
Un décimo 1/10 = 0.1
Un centésimo 1/100 = 0.01
Un milésimo 1/1000 = 0.001
Un diezmilésimo 1/10 000 = 0.0001
Un cienmilésimo 1/100 000 = 0.00001
Un millonésimo 1/1000 000 = 0.000001
37
Un diezmillonésimo 1/ 10 000 000 = 0.0000001
Un cienmillonésimo 1/100 000 000 = 0.00000001
En general, si tenemos cualquier número decimal, con leerlo basta para saber cómo se puede escribir como un quebrado. Por ejemplo, el número 0.23 se lee veintitrés centésimos. Sabemos entonces que se puede escribir como 23 partes de un entero partido en cien pedazos iguales. Es decir: 0.23 = 23/100. Observe que el denominador de la fracción que construimos tiene dos ceros y 0.23 tiene dos cifras decimales.
Decimales Los decimales son un tipo de número fraccionario. El decimal 0.5 representa la fracción 5/10. El decimal 0.25 representa la fracción 25/100. Las fracciones decimales siempre tienen un denominador basado en una potencia de 10. Un número decimal (en base 10) contiene un punto decimal.
Valor posicional Para entender los números decimales primero tienes que conocer la notación
posicional.
Cuando escribimos números, la posición (o "lugar") de cada número es importante. En el número 327: el "7" está en la posición de las unidades, así que vale 7 (o 7 "1"s),
el "2" está en la posición de las decenas, así que son 2 dieces (o veinte), y el "3" está
en la posición de las centenas, así que vale 3 cientos.
Cuando vamos a la izquierda, cada posición vale ¡10 veces más!
De unidades, a decenas, a centenas
... y...
Cuando vamos a la derecha, cada posición es 10 veces más pequeña.
De centenas, a decenas, a unidades
38
¿Pero qué pasa si seguimos
después de las unidades?
¿Qué es 10 veces más pequeño que las unidades?
¡1/10 (décimos)!
Pero tenemos que poner un punto decimal (o coma
decimal, depende de dónde vivas), para que sepamos
exactamente dónde está la posición de las unidades:
"Trescientos veintisiete y cuatro décimos"
¡Y eso es un número decimal!
Convertir una fracción a un decimal Sigue los siguientes pasos Para convertir una fracción a un decimal: Por ejemplo: Convierte 4/9 a un decimal. Divide el numerador de la fracción por el denominador (ej. 4 ÷9= 0.44444) Redondea el resultado a la precisión deseada. Para convertir un Decimal a una Fracción sigue estos pasos:
Paso 1: Escribe el decimal dividido por 1.
Paso 2: Multiplica los números de arriba y abajo por 10 una vez por cada número luego de la coma. (Por ejemplo, si hay dos números luego del decimal, multiplícalos por 100, si hay tres usa el 1000, etc.)
Paso 3: Simplifica (reduce) la fracción
Ejemplo 1: Expresar 0.75 como fracción Paso 1: Escribe: 0.75 1
Pasó 2: Multiplica el número de abajo y el de arriba por 100 (porque hay 2 dígitos
luego de la coma):
39
× 100
0.75
=
75
1 100
× 100
(¿Ves como el número de arriba se convierte
en un entero?)
Pasó 3: Simplifica la fracción:
÷ 25
75
=
3
100 4
÷ 25
Respuesta = 3/4
Nota: ¡75/100 se llama una fracción decimal y 3/4 es llamada una fracción común! Ejemplo 2: Expresa 0.625 como una fracción Paso 1: escribe:
0.625
1
Paso 2: multiplica el número de arriba y el de abajo por 1.000 (había 3 dígitos luego de la coma así que es 10×10×10=1.000)
625
1,000
40
Pasó 3: simplifica la fracción (me llevó dos pasos aquí):
÷ 25 ÷ 5
625
=
25
=
5
1.000 40 8
÷ 25 ÷ 5
Respuesta = 5/8
Ejemplo 3: Expresa 0.333 como fracción
Paso 1: Escribe abajo:
0.333
1
Paso 2: Multiplica el número de arriba y el de abajo por 1000 (había tres dígitos luego
de la coma así que es 10×10×10=1000)
333
1,000
Pasó 3: Simplifica la Fracción: ¡No se puede simplificar! Respuesta = 333/1000 Pero una Nota Especial: Si en realidad quieres expresar 0.333... (En otras palabras los 3 repitiéndose para siempre lo que se llama 3 periódico) entonces necesitas seguir un argumento especial. En este caso escribimos:
0.333...
1
41
Y entonces MULTIPLICAMOS ambos lados por 3:
× 3
0.333...
=
0.999...
1 3
× 3
Y 0.999... = 1 (¿Es así? - ver la discusión sobre 9 Periódico si estás más interesado),
así que:
Respuesta = 1/3
Actividad 3.4 Encuentre el número decimal equivalente a cada uno de los siguientes quebrados: a) 1/3 b) 1/2 c) 1/4 d) 1/5 e) 1/6 f)1/7
g) 1/8 h) 1/9 i) 1/10 j) 1/11 k) 1/12 l)3/4
Encuentre un quebrado equivalente a cada uno de los siguientes números decimales: a) 0.12 b) 1.34 c) 9.75 d) 71.1 e) 82.7 f) 38.44
g) 0.75 h) 0.25 i) 1.20 j) 5.5 k) 21.83 l) 8.90
José y Fermín tienen que pintar dos paredes del mismo tamaño y decidieron que cada
uno pintara una pared. En 3 horas José pintó de la pared que le correspondía y
Fermín.
a) Represente gráficamente las paredes y la parte de cada una que ya está pintada.
b) Exprese las porciones de pared pintadas por cada uno con fracciones de igual
denominador.
c) ¿Quién pintó más, José o Fermín?
d) ¿Terminarán de pintar en 2 horas más de trabajo al mismo ritmo? ¿Por qué?
Se extrajeron 7/11 del contenido de un depósito de agua que estaba lleno.
a) Represente gráficamente el depósito y la parte de agua que se extrajo.
b) Exprese con un quebrado la parte del contenido que quedó en el depósito.
c) ¿La cantidad de agua que quedó en el depósito ocupa más o menos de la mitad de su
capacidad?
42
Orden en los números decimales Para saber si un número decimal es mayor que otro comparamos primero los enteros. Si la parte
entera es mayor, el número es mayor. Por ejemplo, 134.123 es mayor que 67.987 porque 134 es
mayor que 67; escribimos 134.123 > 67.987. Otro ejemplo: 56.87954 es menor que 108.13 porque
56 es menor que 108; escribimos 56.87954 < 108.13. Si las partes enteras de dos decimales son
iguales, nos fijamos en los décimos, que son las fracciones decimales más grandes.
El número que tiene más décimos es más grande.
Por ejemplo: 43.75 es mayor que 43.69; escribimos 43.75 > 43.69.
Actividad 3.5 En cada par de números indique cuál es el mayor:
a) 14.27 y 12.98 g) 126.44 y 126.4491
b) 364.846 y 325.787 h) 8.66 y 8.656
c) 90.13 y 90.95 i) 7.02 y 7.002
d) 6.328 y 6.32 j) 0.00637 y 0.0063
e) 51.1 y 51.01 k) 4.49 y 4.5
f) 0.014 y 0.14 l) 87.3 y 87.03
En cada par de números indique cuál es el menor:
a) 50.4 y 30.43 g) 71.9 y 71.900
b) 46.793 y 46.79326 h) 0.0016 y 0.001
c) 518.628 y 192.475 i) 55.55 y 55.555
d) 6.57 y 4.75 j) 6.14 y 6.104
e) 59 y 59.9 k) 3.87 y 3.087
f) 28.2 y 28.02 l) 9.34 y 9.3040
Entre cada par de números coloque el símbolo =, el símbolo > o el símbolo < según
corresponda:
a) 2.21 2.214 i) 27.430000 27.43
b) 6.12 6.1200 j) 0.001 0.0001
c) 12.9 12.09 k) 2.71013 2.72
3.5 Operaciones con fracciones
Suma y resta de fracciones 1. Cuando tienen el mismo denominador Se suman o se restan los numeradores y se deja el mismo denominador.
Después si podemos se simplifica.
2. Cuando tienen distinto denominador
Hay que reducir a común denominador. 1º Se calcula el m.c.m. de los denominadores. Descomponemos en factores los denominadores y cogemos los factores comunes de mayor exponente y los no comunes.
43
2º Dividimos el m.c.m. obtenido entre cada uno de los denominadores y lo que nos dé lo multiplicamos por el número que haya en el numerador. 3º Ya tenemos todas las fracciones con el mismo denominador, sumamos o restamos los numeradores y dejamos el mismo denominador. 4º Si podemos simplificamos. * Para comparar fracciones de distinto denominador, primero debemos reducirlas a común denominador, luego ya las podemos ordenar y comparar.
Ejemplos
Actividad 3.6 9/5 + 1/5= 2/3 + 5/3 = ½ + 2/3 = 5/6 + 1/5 =
3/7 + ½ = 11/8 + 21/4 = 9/11 + 5/7 = 3/2 + 4/3=
6/7 – 1/7 = 6/11 – ½ = 4/3 – 5/2 = 5/8 -1/8 =
9/11 – 1/5 21/5 – 11/4 = ¾ - ½ = 7/9 – 1/3=
1/3 + 1/5 + 2/3= 2/4 + 3/5+ 3/6 = 3/6 – 5/4 – 2/3=
44
Multiplicación de fracciones 1º Se multiplican los numeradores, este producto es el nuevo numerador.
2º Se multiplican los denominadores, su producto es el nuevo denominador.
3º Después se simplifica.
Fracción de un número: Es una multiplicación de fracciones, el número tiene como denominador
uno.
Fracción de una fracción: Se multiplican las dos fracciones.
Fracción inversa: Se le da la vuelta, el numerador pasa a ser el denominador y el numerador es el
nuevo denominador. Una fracción x su inversa da la unidad.
Multiplicación de fracción por fracción
Observe como se puede simplificar el calculo de 8/10 x 5/6
Forma “A” 8 x 5 = 5 x 8 + = 40 = 20 = 10 = 2
10 6 10 x 6 60 30 15 3
Forma “B” 8 5 simplificando cruzado nos queda 4 x 1 = 4
10 6 2 3 6
Simplifico 4/6 = 2/3
Se puede simplificar las fracciones antes de resolverlas “cual te parece mas fácil”
Ahora observa como se puede calcular
2 x 4 = 8 = 4 = 1 1/3 2 x 4 y 2 x 3
6 4 1 6 6 3
2 x 3 = 6 = 3 = 1 1/2
4 1 4 2
Multiplicación de fracciones mixtas
1 1 X 2 1 = 3 x 7 = 21 simplificando 7 = 3 1/2
2 3 2 3 6 2
División de fracciones 1º Multiplicamos el numerador de la primera por el denominador de la segunda, el producto es el nuevo numerador. 2º Multiplicamos el denominador de la primera por el numerador de la segunda, el producto es el nuevo denominador. 3º Después si podemos se simplifica.
45
Ejemplos de multiplicación y división de fracciones
Actividad 3.7
3/5 x 4/6= 6/7 x 3/2 = 8/6 x 12/5= 10/7 x 12/6 = 15/3 x 3/8=
2/4 x 12/3= 3/5 x 8/2= 13/6 x ½= 4/2 x 12/3= 5/5 x 6/6=
½ ÷ ¼ = ¾ ÷ 1/5 = 3/8 ÷ 1/8 = 12/3 ÷ ¼ = 8/5 ÷ 1/6 =
3 x ½ = 5 x ¾ = 7 x 3/6 = 5/8 x 9 = 12/6 x 6=
Actividad 3.8
Resolver en equipos los siguientes problemas
Tenía ahorrados 18 €. Para comprarme un juguete he sacado 4 / 9 del dinero de mi
hucha. ¿Cuánto me ha costado el juguete?
Entre tres hermanos deben repartirse 120 euros. El primero se lleva 7 / 15 del total, el segundo 5 / 12 del total y el tercero el resto. ¿Cuánto dinero se ha llevado cada uno?
Hoy he perdido 18 cromos que son 3 / 11 de los que tenía. ¿Cuántos cromos tenía?
El 60 % de los trabajadores de una empresa tiene coche. Si el número total de empleados es de 1200. ¿Cuántos empleados tienen coche?
Un profesor de computación da 3 ½ horas de clase por la mañana y ¾ horas por la tarde ¿Cuántas horas de clase da durante el día?
Un niño camina 2/3 de kilometro de su casa al mercado y 8/12 de quilómetros del mercado hacia el campo de futbol. ¿Cuántos kilómetros recorre en total?
En una hora Vicky corre 10 1/6 de kilometro y catalina 11 2/4 de kilometro, ¿Cuántos
kilómetros mas corrió catalina?
46
47
Actividad 3.9
Elevar las siguientes fracciones al exponente indicado:
(1/2)2 = (3/4)3 = (8/3)2 = (2/3)4 =
(1/4)2 x (3/5)3 = (5/8)3 x (2/3)3 = (1/3)2 x (1/2)4 =
(3/4)6 ÷ (1/3)4 = (4/5)8 ÷ (1/5)5 = (3/6)10 ÷ (1/4)8 =
[(4/5)2]3 = [(2/3)3]4 =
3.6 Porcentajes
Pero ¿Cuál es el concepto de porcentaje? El porcentaje se da de tomar una cantidad de
cada cien, es decir, determinar la cantidad que le corresponde proporcionalmente.
Entonces, el porcentaje trata de buscar números proporcionales derivados de cien.
“En la vida cotidiana aparecen con frecuencia porcentajes, por ejemplo, en todo tipo de
comercios, en los cuales los precios se rebajan un 10%, un 25% o cualquier otro
porcentaje” (Océano; 2002:142) Es por esto que el significado debe quedar
completamente claro para cualquier persona, pues el uso de éste, es indispensable en
la vida diaria. Lo encontramos en descuentos, aumentos y en el IVA de tiendas y supermercados.
Encontrar el porcentaje de un número Para determinar el porcentaje de un número sigue los siguientes pasos:
Multiplica el número por el porcentaje (ej. 87 * 68 = 5916)
Divide el resultado por 100 (Mueve el punto decimal dos lugares hacia la izquierda) (ej. 5916/100=59.16)
Redondea a la precisión deseada (ej. 59.16 redondeado al número entero más próximo=59)
Determinar un porcentaje
Ejemplo: ¿68 que porcentaje es de 87?
Divide el primer número por el Segundo (ej. 68 ÷ 87 = 0.7816)
Multiplica el resultado por 100 (Mueve el punto decimal dos lugares hacia la derecha) (ej. 0.7816 *100 = 78.16)
Redondea con la precisión deseada (ej. 78.16 redondeado al número entero más próximo = 78)
Termina tu respuesta con el signo % ej. 68 es el 78% de 87)
Convertir una fracción a un porcentaje Sigue los siguientes pasos para convertir una fracción a un porcentaje. Por ejemplo: Convierte 4/5 a un porcentaje.
Divide el numerador de la fracción por el denominador ( ej. 4 ÷ 5 = 0.80)
48
Multiplica por 100 (Mueve el punto decimal dos lugares hacia la derecha) (ej. 0.80*100=80)
Redondea el resultado a la precisión deseada.
Termina tu respuesta con el signo % (ej. 80%)
Convertir un porcentaje a una fracción Sigue los siguientes pasos para convertir un porcentaje a una fracción: Por ejemplo: Convierte 83% a una fracción.
Elimina el signo porcentual
Haz una fracción con el porcentaje como el numerador y 100 como el denominador (ej. 83/100).
De ser necesario reduce la fracción.
Convertir un decimal a un porcentaje Sigue los siguientes pasos para convertir un decimal a un porcentaje: Por ejemplo: Convierte 0.83 a un porcentaje.
Multiplica el decimal por 100 (ej. 0.83 * 100 = 83)
Agrega el signo porcentual a tu respuesta (ej. 83%)
Convertir un porcentaje a un decimal Como convertir un porcentaje a un decimal: Por ejemplo: Convierte 83% a un decimal.
Divide el porcentaje por 100 (ej. 83 ÷ 100 = 0.83)
Usos de porcentajes Descuento de precios
A menudo los negocios venden productos a un precio de descuento. El
negocio hará un descuento en un producto utilizando un porcentaje del
precio original. Por ejemplo, un producto que originalmente cuesta $20
podría tener un 25% de descuento.
Para averiguar la cantidad del descuento calcula el 25% de $20.
($20.00*25/100=$5.00)
Resta el descuento del precio original para averiguar el precio de venta.
(precio de venta $20.00-$5.00=$15.00).
Estos son algunos términos que puedes ver para productos descontados:
50% menos
Ahorre 50%
Descontado en 50%
Aumento Un negocio puede tener una regla que el precio de determinado tipo de
producto necesita un incremento de un determinado porcentaje para
establecer a cuanto venderlo. Este porcentaje se llama margen de
ganancia.
49
Si se conoce el costo y el porcentaje de del margen de ganancia, el
precio de venta es el costo original más la cantidad del margen de
ganancia. Por ejemplo, si el costo original es $4.00 y el margen de
ganancia es 25%, el precio de venta debería ser $4.00 + $4.00*25/100
= $5.00.
Una forma más rápida de calcular el precio de venta es igualar el costo
original a 100%. El margen de ganancia es 25% entonces el precio de
venta es 125% del costo original. En el ejemplo, $4.00 * 125/100 =
$5.00.
Monto del Impuesto a las venta Muchos estados y ciudades recaudan un impuesto a las ventas sobre
precios al consumidor. El impuesto a las ventas se determina
averiguando un porcentaje del precio de compra. El porcentaje del
impuesto llamado tasa impositiva varía entre las diferentes ciudades y
estados.
Si el impuesto a las venta es 5% y se hace una compra de $10.00, el impuesto a las venta es $10.00*6/100 o $0.60.
Actividad 3.10
Hallar el:
a. 7% de $41.50. 10% de 90 78% de 905 10% de 250 20% de 52.
Convertir a porcentaje las siguientes fracciones:
a. ¾= ½= 1/5= 1/10= 2/100= 5/8=
Convertir los siguientes porcentajes a fracción:
a. 25% 35% 125% 85% 12% 10%
Convertir los siguientes decimales a porcentajes.
b. 0.36 0.45 0.125 0.25 0.12 0.75
Convertir los siguientes porcentajes a decimales:
a. 36% 125% 45% 8% 20% 6%
Actividad 3.11
En equipo resuelvan los siguientes problemas
a. De los 800 alumnos de un colegio, han ido de viaje 600. ¿Qué porcentaje de
alumnos ha ido de viaje?
b. Una moto cuyo precio era de 5.000 €, cuesta en la actualidad 250 € más. ¿Cuál
es el porcentaje de aumento?
c. Al adquirir un vehículo cuyo precio es de 8800 €, nos hacen un descuento del
7.5%. ¿Cuánto hay que pagar por el vehículo?
d. Al comprar un monitor que cuesta 450 € nos hacen un descuento del 8%.
¿Cuánto tenemos que pagar?
50
e. Se vende un artículo con una ganancia del 15% sobre el precio de costo. Si se
ha comprado en 80 €. Halla el precio de venta.
f. Cuál será el precio que hemos de marcar en un artículo cuya compra ha
ascendido a 180 € para ganar al venderlo el 10%.
g. ¿Qué precio de venta hemos de poner a un artículo comparado a 280 €, para
perder el 12% sobre el precio de venta?
h. Se vende un objeto perdiendo el 20% sobre el precio de compra. Hallar el
precio de venta del citado artículo cuyo valor de compra fue de 150 €.
i. Había ahorrado el dinero suficiente para comprarme un abrigo que costaba
$90.000. Cuando llegué a la tienda, este tenía una rebaja del 20%. ¿Cuánto
tuve que pagar por él?
j. Una calculadora costaba $25000, y la rebajan un 35%. ¿Cuál será su precio
rebajado?
k. Un comerciante ha vendido una mercancía que le costó $150000, obteniendo
un beneficio del 40%. ¿Cuál ha sido el precio total de venta de dicha
mercancía?
3.7 Variación proporcional
Proporcionalidad directa
Para comprender el concepto de proporcionalidad, directa o inversa, debemos
comenzar por comprender el concepto de razón.
Razón y proporción numérica
Razón entre dos números
Siempre que hablemos de Razón entre dos números nos estaremos refiriendo al
cociente (el resultado de dividirlos) entre ellos.
Entonces:
Razón entre dos números a y b es el
cociente entre
Por ejemplo, la razón entre 10 y 2
es 5, ya que
Y la razón entre los números 0.15 y
0.3 es
51
Proporción numérica
Ahora, cuando se nos presentan dos razones para ser comparadas entre sí, para ver
como se comportan entre ellas, estaremos hablando de una proporción numérica.
Entonces:
Los números a, b, c y d forman una proporción si la razón entre a y b es la
misma que entre c y d.
Es decir
Se lee “a es a b como c es a d”
Los números 2, 5 y 8, 20 forman una proporción, ya que la razón entre 2 y 5 es la
misma que la razón entre 8 y 20.
Es decir
En la
proporción
Hay cuatro términos; a y d se llaman extremos,
c y b se llaman medios.
La propiedad fundamental de las proporciones es: en toda proporción, el
producto de los extremos es igual al de los medios.
Así, en la proporción anterior
Se cumple que el producto de los extremos nos da 2 x 20 = 40 y el producto de los
medios nos da 5 x 8 = 40
52
Comprendido el concepto de proporción como una relación entre números o
magnitudes, ahora veremos que esa relación puede darse en dos sentidos:
Las dos magnitudes pueden subir o bajar (aumentar o disminuir) o bien si una de las
magnitudes sube la otra bajo y viceversa.
Si ocurre, como en el primer caso, que las dos magnitudes que se comparan o
relacionan pueden subir o bajar en igual cantidad, hablaremos de Magnitudes
directamente proporcionales.
Si ocurre como en el segundo caso, en que si una magnitud sube la otra baja en la
misma cantidad, hablaremos de Magnitudes inversamente proporcionales.
MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES
Si dos magnitudes son tales que a doble, triple... cantidad de la primera corresponde
doble, triple... cantidad de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son
directamente proporcionales
Ejemplo
Un saco de papas pesa 20 kg. ¿Cuánto pesan 2 sacos?
Un cargamento de papas pesa 520 kg ¿Cuántos sacos de 20 kg se podrán
hacer?
a) Completa la tabla
Número de
sacos 1 2
6 26
Peso en kg 20 40 60
520 200
Para pasar de la 1ª fila a la 2ª basta multiplicar por 20
Para pasar de la 2ª fila a la 1ª dividimos por 20
Observa que
Las magnitudes número de sacos y peso en kg son directamente proporcionales.
La constante de proporcionalidad para pasar de número de sacos a kg es 20.
53
Esta manera de funcionar de las proporciones nos permite adentrarnos en lo que
llamaremos Regla de tres y que nos servirá para resolver una gran cantidad de
problemas matemáticos.
REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA
Ejemplo 1
En 50 litros de agua de mar hay 1.300 gramos de sal. ¿Cuántos litros de agua de mar
contendrán 5.200 gramos de sal?
Como en doble cantidad de agua de mar habrá doble cantidad de sal; en triple, triple,
etc. Las magnitudes cantidad de agua y cantidad de sal son directamente
proporcionales.
Si representamos por x el número de litros que contendrá 5200 gramos de sal, y
formamos la siguiente tabla:
Litros de
agua
50 x
Gramos de sal 1.300 5.200
Se verifica la proporción:
Y como en toda proporción el producto de medios es igual al producto de
extremos (en palabras simples, se multiplican los números en forma cruzada) resulta:
50 por 5.200 = 1.300 por x
Es decir
En la práctica esto se suele disponer del siguiente modo:
Esta forma de plantear y resolver problemas sobre proporciones se conoce con el
nombre de regla de tres simple directa
54
Actividad 3.12 Calcular el término desconocido de las s iguientes proporciones :
1
Actividad 3.13 Resolver los siguientes problemas en equipo Por tres horas de trabajo, Alberto ha cobrado $60 ¿Cuánto cobrará por 8 horas? Un granjero tiene 4 vacas que comen 50 kilos de pastura al día. Si tuviese 56 vacas, ¿cuánta pastura consumirían en un día? Por 5 días de trabajo he ganado $390. ¿Cuánto ganaré por 18 días? Una máquina embotelladora llena 240 botellas en 20 minutos. ¿Cuántas botellas llenará en hora y media? Un corredor de maratón ha avanzado 2,4 km en los 8 primeros minutos de su recorrido. Si Mantiene la velocidad, ¿cuánto tardará en completar los 42 km del recorrido?
Un padre les da la paga a sus tres hijas de forma que a cada una le corresponde una cantidad proporcional a su edad. A la mayor, que tiene 20 años, le da 50 euros. ¿Cuánto dará a las otras dos hijas de 15 y 8 años de edad? Trescientos gramos de queso cuestan $6 ¿Cuánto podré comprar con $4.50?
MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES
Si dos magnitudes son tales que a doble, triple... cantidad de la primera corresponde
la mitad, la tercera parte... de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes
son inversamente proporcionales.
Ejemplo
Si 3 hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo, ¿cuántos días emplearán 18
hombres para realizar el mismo trabajo?
En este caso a doble número de trabajadores, el trabajo durará la mitad; a triple
número de trabajadores, el trabajo durará la tercera parte, etc. Por tanto, las
magnitudes son inversamente proporcionales (también se dice que son
indirectamente proporcionales).
55
Formamos la tabla: complete los espacios vacios.
Hombres 3 6 12 18
Días 24 12 8
Vemos que los productos 3 por 24 = 6 por 12 = 9 por 8 = 72
Por tanto 18 por x = 72
O sea que los 18 hombres tardarán 4 días en hacer el trabajo
Nótese que aquí la constante de proporcionalidad, que es 72, se obtiene multiplicando
las magnitudes y que su producto será siempre igual.
Importante:
Como regla general, la constante de proporcionalidad entre dos magnitudes
inversamente proporcionales se obtiene multiplicando las magnitudes entre
sí, y el resultado se mantendrá constante.
REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA (O INDIRECTA)
Ejemplo 1
Un ganadero tiene forraje suficiente para alimentar 220 vacas durante 45 días.
¿Cuántos días podrá alimentar con la misma cantidad de forraje a 450 vacas?
Vemos que con el mismo forraje, si el número de vacas se duplica, tendrá para la
mitad de días; a triple número de vacas, tercera parte de días, etc. Por tanto, son
magnitudes inversamente proporcionales.
X = número de días para el que tendrán comida las 450 vacas
Nº de vacas 220 450
Nº de días 45 X
Se cumple que: 220 por 45 = 450 por x, de
donde
En la práctica esto se suele disponer del siguiente modo:
Luego 450 vacas podrán comer 22 días
56
Esta forma de plantear y resolver problemas sobre proporciones se conoce con el
nombre de regla de tres simples inversas.
Ejemplo 2
Para envasar cierta cantidad de vino se necesitan 8 toneles de 200 litros de capacidad
cada uno. Queremos envasar la misma cantidad de vino empleando 32 toneles. ¿Cuál
deberá ser la capacidad de esos toneles?
Pues la cantidad de vino = 8 por 200 = 32 por x
Debemos tener 32 toneles de 50 litros de capacidad para poder envasar la misma
cantidad de vino.
PROPORCIONALIDAD COMPUESTA DE MAGNITUDES
Regla de tres compuesta. Método de reducción a la unidad
Ejemplo 1: Proporcionalidad directa
Cuatro chicos durante 10 días de campamento han gastado en comer 25.000 pesos. En
las mismas condiciones ¿cuánto gastarán en comer 6 chicos durante 15 días de
campamento?
Doble número de chicos acampados el mismo número de días gastarán el
doble. Luego las magnitudes número de chicos y dinero gastado son
directamente proporcionales.
El mismo número de chicos, si acampan el doble número de días gastarán el
doble. Luego las magnitudes número de días de acampada y dinero gastado
son directamente proporcionales.
Hemos relacionado las dos magnitudes conocidas, nº de chicos y nº de días con la
cantidad desconocida, gasto.
SABEMOS
QUE
pesos
REDUCCIÓN
A LA
UNIDAD
pesos
pesos
pesos
57
BÚSQUEDA
DEL
RESULTADO
pesos
Ejemplo 2: Proporcionalidad inversa
15 obreros trabajando 6 horas diarias, tardan 30 días en realizar un trabajo. ¿Cuántos
días tardarán en hacer el mismo trabajo 10 obreros, empleando 8 horas diarias?
Doble número de obreros trabajando el mismo número de días trabajarán la
mitad de horas al día para realizar el trabajo. Por tanto el número de obreros y
el número de días de trabajo son inversamente proporcionales.
Doble número de horas diarias de trabajo el mismo número de obreros tardarán
la mitad de días en realizar el trabajo. Luego el número de horas diarias de
trabajo y el número de días de trabajo son inversamente proporcionales.
Hemos relacionado las dos magnitudes conocidas, nº de obreros y nº de horas diarias
de trabajo, con la cantidad desconocida, nº de días de trabajo.
SABEMOS
QUE
REDUCCIÓN
A LA UNIDAD
BÚSQUEDA
DEL
RESULTADO
Por tanto, 10 obreros empleando 8 horas diarias tardarán 33,75 días.
Actividad 3.14
Se ha conseguido un bus de 40 asientos para los alumnos de la prepa. El bus tiene un
costo total para el curso. Si van los 30 alumnos de prepa, cada uno deberá cancelar $1
800. Si participan 25 alumnos, ¿cuánto debe pagar cada uno?
Si 3 hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo, ¿cuántos días emplearán 18
hombres para realizar el mismo trabajo?
Cuatro chicos durante 10 días de campamento han gastado en comer 25.000 pesos. En
las mismas condiciones ¿cuánto gastarán en comer 6 chicos durante 15 días de
campamento?
58
Tres pintores tardan 10 días en pintar una tapia. ¿Cuánto tardarán seis pintores en
hacer el mismo trabajo?
Una cuadrilla formada por 4 obreros alicata un muro de una nave industrial en 12 días.
¿Cuántos obreros deben tener la cuadrilla para hacer el mismo trabajo en 4 días?
Para una misma pieza de cinta. Si se cortan 5 trozos de igual longitud, cada trozo mide
24 cm ¿cuál será la longitud de cada trozo si se cortan 10? Y si se cortan 12 ¿Y si cada
trozo mide 6 cm?, ¿cuántos trozos se podrán cortar?
Para resolverlo, ¿cuál es la condición (constante) que permite el cálculo? Que indique
que es para la misma pieza de cinta., es decir la longitud es iguala a 120 cm. Luego si
se cortan 10 trozos, cada uno medirá 12 cm. Calcule Usted los restantes.
Para preparar el decorado para la feria de ciencias de la escuela, se ha designado a 6
alumnos. Se estima que tardarán 4 días en terminarla. Pero, por distintos cambios en
las actividades escolares, se necesita que esté lista en 4 días. ¿Cuántos alumnos más
se necesitarán?
Es indudable que se necesitarán más, pero resolverlo como un problema de
proporcionalidad inversa, habrá que suponer que todos los alumnos trabajan de la
misma forma y al mismo tiempo, de lo contrario no habrá condición que permita el
cálculo. ¿Tiene sentido este tipo de problema?
La empresa elaboradora de alimentos para animales acostumbra a envasar su
producción en bolsas de 3kg, 5kg, 10kg, 15 kg y 20 kg. En esta oportunidad dispone
de 15 toneladas a granel y envasarán la misma cantidad de alimento por cada tipo de
bolsa. La persona responsable de esta operación hizo la siguiente tabla:
Kg. por bolsa 3 5 10 15 20
Núm. De
bolsas 1000
Completar la tabla.
¿Qué tipo de relación hay entre el número de bolsas y la cantidad de kg por bolsa?
3.8 Números irracionales
Un número irracional es un número que no se puede escribir en fracción el decimal
sigue para siempre sin repetirse.
59
Ejemplo: Pi es un número irracional. El valor de Pi es
3.1415926535897932384626433832795 (y más...)
Los decimales no siguen ningún patrón, y no se puede escribir ninguna fracción que
tenga el valor Pi.
Números como 22/7 = 3.1428571428571... Se acercan pero no son correctos.
Se llama irracional porque no se puede escribir en forma de razón (o
fracción),
¡no porque esté loco!
Racional o irracional
Pero si un número se puede escribir en forma de fracción se le llama número
racional:
Ejemplo: 9.5 se puede escribir en forma de fracción así
19/2 = 9.5
Así que no es irracional (es un número racional)
Aquí tienes más ejemplos: completa la tabla
Números En fracción ¿Racional o
irracional?
5 5/1
1.75
.001 1/1000
√2
(raíz cuadrada de 2)
60
Ejemplo: ¿La raíz cuadrada de 2 es un número irracional?
Mi calculadora dice que la raíz de 2 es 1.4142135623730950488016887242097, ¡pero
eso no es todo! De hecho sigue indefinidamente, sin que los números se repitan.
No se puede escribir una fracción que sea igual a la raíz de 2.
Así que la raíz de 2 es un número irracional
La raíz cuadrada de 2, también conocida como constante pitagórica, se denota a menudo
como:
La raíz cuadrada de 2 fue posiblemente el primer número irracional conocido.
Geométricamente es la longitud de la diagonal de un cuadrado de longitud unidad; el valor
de la longitud de esta diagonal se puede averiguar mediante el Teorema de Pitágoras.
La razón plateada se define como: .
Números irracionales famosos
Pi es un número irracional famoso. Se han calculado
más de un millón de cifras decimales y sigue sin
repetirse. Los primeros son estos:
3.1415926535897932384626433832795 (y sigue...)
El número e (el número de Euler) es otro número
irracional famoso. Se han calculado muchas cifras
decimales de e sin encontrar ningún patrón. Los primeros decimales son:
2.7182818284590452353602874713527 (y sigue...)
61
La razón de oro es un número irracional. Sus primeros dígitos son: 1.61803398874989484820... (y más...)
Muchas raíces cuadradas, cúbicas, etc. también
son irracionales. Ejemplos:
√3 1.7320508075688772935274463415059
(etc.)
√ 9 9.9498743710661995473447982100121
(etc.)
Pero √4 = 2, y √9 = 3, así que no todas las raíces
son irracionales.
(Pi) es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, en geometría
euclidiana. Es un número irracional y una de las constantes matemáticas más
importantes. Se emplea frecuentemente en matemáticas, física e ingeniería. El valor numérico de π, truncado a sus primeras cifras, es el siguiente:
El número e, base de los logaritmos naturales o neperianos, es sin duda el número más importante
del campo del cálculo. Como e es un número trascendental, y por lo tanto es irracional, su valor no
puede ser dado exactamente como un número finito o con decimales periódicos.
Su valor aproximado es:
e = 2.7182818284590452354
62
Razón de oro
La razón de oro (el símbolo es la letra griega "phi" de la
izquierda) es un número especial que vale aproximadamente 1.618
Aparece muchas veces en geometría, arte, arquitectura y otras
áreas.
La idea
Si divides una línea en dos partes de manera que:
la parte larga dividida entre la corta
es igual que
el total dividido entre la parte larga
Entonces tienes la razón de oro.
Actividad 3.15
Resuelve en equipo los siguientes problemas
Supón que te encargan pintar las 2/3 partes centrales de una mesa circular de 0.9
metros de diámetro. ¿Que área tendrías que pintar?
Un hilo de cobre esta rodeando una plataforma circular de 60 cm de radio. Se quiere
emplear este mismo hilo para rodear 3 plataformas circulares de 20 cm de radio cada
una de ellas. .Cual debe ser la longitud de los trozos de hilo que cortemos?
El patio de un Instituto tiene la forma de un cuadrado de 22 metros de lado. Se quiere
trazar una franja de color blanco que divida el patio en dos triángulos iguales, con la
idea de dar distintas utilidades al patio. Sabiendo que para pintar 1 metro de franja se
necesitan 30 gramos de pintura, ¿que cantidad de pintura se necesitara para pintar la
franja entera?
En un reloj circular de 1 cm de radio, .que arco debe recorrer la aguja grande en
treinta y cinco minutos?
Una piscina de forma circular de 6 metros de radio se quiere cubrir en invierno con una
malla metálica de modo que quede totalmente cubierta. ¿Que cantidad de malla se
necesitara?
Calcula la distancia mínima que hay que recorrer para atravesar un patio de forma
63
Cuadrada de 10 metros de lado desde una esquina hasta la esquina opuesta.
Una finca rectangular de 50 Hectáreas se quiere dividir en dos partes de forma que
una de las partes sea de tamaño el cuadrado de la otra parte. Si el largo de cada una
de las partes es de 100 metros, calcula el ancho de la parcela mayor.
3.9 Introducción de Seno, Coseno y Tangente
Un triángulo rectángulo consta de un ángulo de 90oy dos ángulos agudos. Cada ángulo
agudo de un triángulo rectángulo tiene las funciones de seno, coseno y tangente. El
seno, el coseno y la tangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo son
rezones de dos de los tres catetos de un triángulo rectángulo.
El seno de un ángulo es la razón entre el largo del cateto opuesto del ángulo dividido
por el largo de la hipotenusa.
El coseno de un ángulo es la razón entre el largo del cateto adyacente al ángulo
dividido por el largo de la hipotenusa.
La tangente de un ángulo es la razón entre el largo del cateto opuesto del ángulo
dividido por el largo del lado adyacente del ángulo.
Razones trigonométricas
64
El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C; lo usaremos para definir las razones
seno, coseno y tangente, del ángulo , correspondiente al vértice A, situado en el centro de la circunferencia.
El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sĭnus" en latín) es la razón entre el cateto opuesto sobre la hipotenusa,
El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente sobre la
hipotenusa,
La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto sobre el cateto adyacente,
Actividad 3.16
a) En el triángulo ABC, b=42 cm, c=25 cm. y B+C=94º. Calcular los lados By C, el lado a y el área del triángulo.
b) En el triángulo ABC se tiene A=94º, B=36º y a + b =30. Calcular a, b, c y el ángulo C. c) En el triángulo ABC se tiene b=52 cm; c=49 cm y B C= 12º. Calcular A, B, C, a, el área y el
perímetro del triángulo. d) Resolver el triángulo de lados a=36cm. b=26 cm y c=24 cm. Calcular su área. e) En un triángulo se conoce A=94º, B=36º y a +b =30. Calcular C, a, b, c, y el área del
triángulo. f) En un triángulo ABC se conoce a=37, b=42 y c=68. Calcular A.B.C y el área del triángulo. g) En un rombo de lado 4 el área es 10. ¿Cuáles son los ángulos del rombo? h) Resolver el triángulo en el que se conoce A+B=60º, a=7, b=5 i) Una cometa esta unida al suelo por un hilo de 100 m, que forma con la horizontal del
terreno un ángulo de 60º, supongamos que el hilo esta tirante, hallar a que altura del suelo se encuentra la cometa.
j) Un faro de 50 mts. situado sobre un promontorio a 85 mts se ve un barco desde el extremo superior y 65 mts. Desde el extremo inferior mide. Calcular la altura del promontorio.
k) Cual es la altura de un puente que cruza un rio de 35 m. de ancho si desde uno de los extremos del puente se ve la base del mismo pero del lado opuesto con un ángulo de 15º.
65
l) Una escalera de 6 m. de longitud descansa sobre una pared vertical de tal manera que el pie de la escalera queda a 1,5 m. de la base de la pared. ¿Cuál es el ángulo que la escalera forma con la pared y hasta qué altura de la pared llega la escalera?
m) Calcule el ancho de una calle, si un observador situado sobre un edificio, ve el otro lado de la misma bajo un ángulo de 60 grados con respecto a la horizontal
n) Desde lo alto de una torre de 200 m. sobre el nivel del mar, los ángulos de depresión de
dos botes son de 47 grados y 32 grados respectivamente. Determine la distancia que
separa a dichos botes.
o) Un terreno triangular está demarcado por una pared de piedra de 134 m., un frente de
205 m. hacia la carretera y una cerca de 147 m. ¿Qué ángulo forma la cerca con la
carretera?
66
La probabilidad mide el elemento de
aleatoriedad que se encuentra
asociado a la ocurrencia de
determinados eventos. El objetivo
aquí es contar los distintos arreglos
de los puntos en un espacio muestral
sin que se tenga que anotar cada uno
de ellos.
Por ejemplo, miremos qué pasa
cuando se lanza una moneda. Qué
puedo obtener al lanzarla, solamente
cara o sello, no hay más opciones en
esa moneda. Cuando se trata de
contar las posibilidades en una
moneda....fácil, pero y si es algo más
complicado que una moneda..... ?
Supongamos que la señora que nos hace el favor de vendernos el almuercito
solamente sabe cocinar 4 tipos de sopas (sopa con verduras, de pasta, de arroz y de
plátano), además sólo sabe hacer 3 tipos de platos fuertes (con frijoles, con lentejas y
con verduras), sabe hacer además postre de natas, de guayaba y miel y sólo da agua
con el almuerzo.
¿QUÉ POSIBILIDADES DE ALMUERZO TENEMOS PARA HOY?
Entonces las posibilidades son:
1. sopa de verduras con frijoles, postre de natas y agua
2. Sopa de verduras con lentejas, postre de natas y agua
3. Sopa de verduras con verduras, postre de natas y agua
4. Sopa de pasta con frijoles, postre de natas y agua
5. Sopa de pasta con lentejas, postre de natas y agua
Alguno dirá: ¡Cambie de restaurante! (tiene razón)... y otros observarán todas las
posibles variaciones que se pueden generar aún siendo tan pequeño el menú, sólo
enunciamos 5 de 36 posibilidades para el almuerzo de hoy. Por lo tanto, no es fácil
hacer el conteo para todas esas variaciones y más si se hace una por una. Por ello
existen técnicas que sin duda facilitan notablemente los conteos de todas las posibilidades existentes.
PROBABILIDAD Y
CONTEO
=
+
- X
67
4.1 DIAGRAMA DE ARBOL
Para la construcción de un diagrama en árbol se partirá poniendo una rama
para cada una de las posibil idades , acompañada de su probabil idad .
En el f inal de cada rama parcial se constituye a su vez, un nudo del cual parten
nuevas ramas , según las posibi l idades del siguiente paso, salvo si el nudo
representa un posible final del experimento (nudo final).
Hay que tener en cuenta: que la suma de probabil idades de las ramas de
cada nudo ha de dar 1 .
Ejemplos Una universidad tiene de tres facultades: La 1ª con el 50% de estudiantes. La 2ª con el 25% de estudiantes. La 3ª con el 25% de estudiantes. Las mujeres están repartidas uniformemente, siendo un 60% del total en cada facultad.
¿Probabilidad de encontrar una alumna de la primera facultad?
¿Probabilidad de encontrar un alumno varón?
68
ACTIVIDADES 4.1
Representa en un diagrama de árbol los siguientes problemas
Diana se viste para ir al trabajo, se va a poner una falda negra, No sabe si combinarla
con una blusa rosada, blanca o azul.
También podría usar zapatos negros, blancos o rosados.
¿Cuántos trajes posibles puede formar?
Felipe desea empezar un programa de ejercicios con dos actividades. Durante la
semana puede correr o montar en bicicleta.
En los fines de semana, puede jugar béisbol, fútbol o voleibol. ¿Cuántos programas de
ejercicios puede planear Felipe?
TÉCNICAS DE CONTEO
Si el número de posibles resultados de un experimento es pequeño, es relativamente
fácil listar y contar todos los posibles resultados. Al tirar un dado, por ejemplo, hay
seis posibles resultados.
Sin embargo, hay un gran número de posibles resultados tales como el número de
niños y niñas por familias con cinco hijos, sería tedioso listar y contar todas las
posibilidades.
Las posibilidades serían, 5 niños, 4 niños y 1 niña, 3 niños y 2 niñas, 2 niños y 3 niñas,
etc. Para facilitar el conteo examinaremos tres técnicas: La técnica de la multiplicación,
la técnica de la permutación, y la técnica de la combinación.
4.2 La Técnica de la Multiplicación La técnica de la multiplicación: Si hay m formas de hacer una cosa y hay n formas de hacer otra
cosa, hay m x n formas da hacer ambas cosas.
En términos de fórmula, número total de arreglos = m x n
Esto puede ser extendido a más de dos eventos. Para tres eventos, m, n, y o:
Número total de arreglos = m x n x o
69
Ejemplo 1: Un vendedor de autos quiere presentar a sus clientes todas las diferentes opciones con
que cuenta: auto convertible, auto de 2 puertas y auto de 4 puertas, cualquiera de
ellos con rines deportivos o estándar. ¿Cuántos diferentes arreglos de autos y rines
puede ofrecer el vendedor?
Para solucionar el problema podemos emplear la técnica de la multiplicación, (donde m
es número de modelos y n es el número de tipos de rin).
Número total de arreglos = 3 x 2
No fue difícil de listar y contar todos los posibles arreglos de modelos de autos y rines
en este ejemplo. Suponga, sin embargo, que el vendedor tiene para ofrecer ocho
modelos de auto y seis tipos de rines. Sería tedioso hacer un dibujo con todas las
posibilidades. Aplicando la técnica de la multiplicación fácilmente realizamos el cálculo:
Número total de arreglos = m x n = 8 x 6 = 48
Ejemplo 2:
Un club tiene 15 miembros. Desean elegir un presidente y alguien más como
vicepresidente. ¿De cuántas formas pueden llenarse esos cargos?
Al reformular la pregunta como una de conteo de listas, tenemos: ¿Cuántas listas de
dos elementos se pueden formar en las que dos elementos sean personas
seleccionadas de un total de 15 candidatos y que la misma persona no se seleccione dos veces (no esté repetida)?
Hay 15 opciones para el primer elemento de la lista (primera posición, n=15) y para
cada una de estas (para cada presidente) hay 14 opciones (m=14) para el segundo
elemento de la lista (el vicepresidente). Según el principio de la multiplicación, hay 15 X 14 (n m) posibilidades.
4.3 PRINCIPIO ADITIVO. Si se desea llevar a efecto una actividad, la cuál tiene formas alternativas para ser
realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras o
formas, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas…. y la última
de las alternativas puede ser realizada de W maneras o formas, entonces esa actividad
puede ser llevada a cabo de,
M + N +………+ W maneras o formas
Ejemplos:
1) Una persona desea comprar una lavadora de ropa, para lo cuál ha pensado que
puede seleccionar de entre las marcas Whirlpool, Easy y General Electric, cuando
acude a hacer la compra se encuentra que la lavadora de la marca W se presenta en
dos tipos de carga ( 8 u 11 kilogramos), en cuatro colores diferentes y puede ser
automática o semiautomática, mientras que la lavadora de la marca E, se presenta en
tres tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en dos colores diferentes y puede ser
automática o semiautomática y la lavadora de la marca GE, se presenta en solo un tipo
de carga, que es de 11 kilogramos, dos colores diferentes y solo hay semiautomática.
¿Cuántas maneras tiene esta persona de comprar una lavadora?
70
Solución: M = Número de maneras de seleccionar una lavadora Whirlpool
N = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca Easy
W = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca General Electric
M = 2 x 4 x 2 = 16 maneras
N = 3 x 2 x 2 = 12 maneras
W = 1 x 2 x 1 = 2 maneras
M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 maneras de seleccionar una lavadora.
2 ) Rafael Luna desea ir a las Vegas o a Disneylandia en las próximas vacaciones de verano, para ir a las Vegas él tiene tres medios de transporte para ir de Chihuahua al Paso Texas y dos medios de transporte para ir del Paso a las Vegas, mientras que para ir del paso a Disneylandia él tiene cuatro diferentes medios de transporte, a) ¿Cuántas maneras diferentes tiene Rafael de ir a las Vegas o a Disneylandia?, b) ¿Cuántas maneras tiene Rafael de ir a las Vegas o a Disneylandia en un viaje redondo, si no se regresa en el mismo medio de transporte en que se fue?. Solución: a) V = maneras de ir a las Vegas D = maneras de ir a Disneylandia V = 3 x 2 = 6 maneras D = 3 x 4 = 12 maneras V + D = 6 + 12 = 18 maneras de ir a las Vegas o a Disneylandia
b) V = maneras de ir y regresar a las Vegas
D = maneras de ir y regresar a Disneylandia V = 3 x 2 x 1 x 2 = 12 maneras
D = 3 x 4 x 3 x 2 = 72 maneras V + D = 12 + 72 = 84 maneras de ir a las Vegas o a Disneylandia en un viaje redondo ¿Cómo podemos distinguir cuando hacer uso del principio multiplicativo y cuando del aditivo? Es muy simple, cuando se trata de una sola actividad, la cual requiere para ser llevada a efecto de una serie de pasos, entonces haremos uso del principio multiplicativo y si la actividad a desarrollar o a ser efectuada tiene alternativas para ser llevada a cabo, haremos uso del principio aditivo.
4.4 La Técnica de la Permutación y combinación Como vimos anteriormente la técnica de la multiplicación es aplicada para encontrar el
número posible de arreglos para dos o más grupos. La técnica de la permutación es
aplicada para encontrar el número posible de arreglos donde hay solo un grupo de
objetos. Como ilustración analizaremos el siguiente problema: Tres componentes
electrónicos - un transistor, un capacitor, y un diodo - serán ensamblados en una
tablilla de una televisión. Los componentes pueden ser ensamblados en cualquier
orden. ¿De cuantas diferentes maneras pueden ser ensamblados los tres
componentes?
Las diferentes maneras de ensamblar los componentes son llamadas permutaciones, y
son las siguientes:
T D C D T C C D T
T C D D C T C T D
Permutación: Todos los arreglos de r objetos seleccionados de n objetos posibles la fórmula
empleada para contar el número total de diferentes permutaciones es: n P r = n! (n – r)!
71
Donde: n P r es el número de permutaciones posible
n es el número total de objetos
r es el número de objetos utilizados en un mismo momento
n P r = n! = 3! = 3 x 2 = 6 (n – r)! (3 – 3)! 1 Ejemplo: Suponga que hay ocho tipos de computadora pero solo tres espacios disponibles para exhibirlas en la tienda de computadoras. ¿De cuantas maneras diferentes pueden ser arregladas las 8 máquinas en los tres espacios disponibles? n P r = n! = 8! = 8! = 336 (n – r)! (8 – 3)! 5! En el análisis anterior los arreglos no presentan repeticiones, es decir, no hay dos espacios disponibles con el mismo tipo de computadora. Si en los arreglos se permite la repetición, la fórmula de permutaciones es la siguiente: n Pr = n r
Para ilustrar el punto, queremos saber ¿cuántas series de 2 letras se pueden formar
con las letras A, B, C, si se permite la repetición? Las permutaciones son las
Siguientes:
AA, AB, AC, BA, CA, BB, BC, CB, CC
Usando la fórmula:
n Pr = nr = 3P2 = 32 = 9
La Técnica de la Combinación
En una permutación, el orden de los objetos de cada posible resultado es diferente. Si el orden de
los objetos no es importante, cada uno de estos resultados se denomina combinación. Por
ejemplo, si se quiere formar un equipo de trabajo formado por 2 personas seleccionadas de
un grupo de tres (A, B y C). Si en el equipo hay dos funciones diferentes, entonces si
importa el orden, los resultados serán permutaciones. Por el contrario si en el equipo no hay
funciones definidas, entonces no importa el orden y los resultados serán combinaciones.
Los resultados en ambos casos son los siguientes:
Permutaciones: AB, AC, BA, CA, BC, CB
Combinaciones: AB, AC, BC
Combinaciones: Es el número de formas de seleccionar r objetos de un grupo de n objetos
sin importar el orden.
La fórmula de combinaciones es:
n C r = n!
r! (n – r )! Ejemplo: En una compañía se quiere establecer un código de colores para identificar cada una de las 42 partes de un producto. Se quiere marcar con 3 colores de un total de 7 cada una de las partes, de tal suerte que cada una tenga una combinación de 3 colores diferentes. ¿Será adecuado este código de colores para identificar las 42 partes del producto? Usando la fórmula de combinaciones:
72
n C r = n! = 7! = 7! = 35 r! (n – r )! 3! (7 – 3)! 3! 4!
El tomar tres colores de 7 posibles no es suficiente para identificar las 42 partes del producto.
Actividad 4.2 Resuelve en equipo los siguientes problemas Juanita invito a sus amigos a cenar. Juanita tiene 10 amigos, pero solo tiene 6 lugares en la mesa.
a. ¿De cuantas maneras los puede sentar a la mesa?, si no le importa como queden acomodados.
b. ¿De cuantas maneras los puede sentar a la mesa?, si le importa como queden acomodados.
c. Dos de sus amigos son un feliz matrimonio, Juanita decidió sentarlos a la mesa juntos. ¿De cuantas maneras los puede sentar a la mesa?, si no le importa como queden acomodados los demás.
d. ¿De cuantas maneras los puede sentar a la mesa?, si le importa como queden acomodados los demás.
e. Dos de sus amigos son enemigos, Juanita no los quiere sentar juntos a la mesa. ¿De cuantas maneras los puede sentar a la mesa?, si no le importa como queden acomodados los demás.
f. ¿De cuantas maneras los puede sentar a la mesa?, si le importa como queden acomodados los demás.
g. Los amigos de Juanita son 4 mujeres y 6 hombres. Juanita quiere que siempre haya 2 mujeres sentadas a la mesa. ¿De cuantas maneras los puede sentar a la mesa?, si no le importa como queden acomodados.
h. ¿Cuál es la probabilidad, si los selecciona al azar, de queden sentados a la mesa puros hombres?
i. ¿Cuál es la probabilidad, si selecciona al azar 3 hombres y 3 mujeres, y asigna los lugares al azar también, quede sentados intercalados hombres y mujeres?
En la escuela primaria Netzahualcóyotl imparte clase la maestra Betty. Ella es feliz enseñando al grupo de tercer grado, que está compuesto por 15 niñas y 12 niños. Betty propone a los niños formar una mesa directiva del grupo formada por cinco de ellos. La mesa directiva estaría formada por un presidente, un secretario, un tesorero, y dos vocales. ¿De cuantas maneras puede formar la mesa directiva?, si no le importa como queden asignados los puestos.
a. Betty piensa que como hay más niñas que niños la mesa directiva debe
integrarse por 3 niñas y 2 niños. ¿De cuantas maneras puede formar la mesa
directiva?, si no le importa como queden asignados los puestos.
b. La maestra Susana (la de cuarto) le sugiere que solo el puesto de presidente
sea para niñas y los otros 4 puestos sean para niños. ¿De cuantas maneras
puede formar la mesa directiva?, si no le importa como queden asignados los
otros puestos.
c. El profesor de educación física (Ramón) dice que todos los puestos deben de ser
para niños, pero podría dársele el puesto de secretaria a una niña. ¿De cuantas
maneras puede formar la mesa directiva?, si le importa como queden asignados
los otros puestos.
d. En el grupo de tercer grado hay 4 reprobados (3 niños y una niña) y la maestra
Betty decidió que ellos no pueden formar parte de la mesa directiva. ¿De
73
cuantas maneras puede formar la mesa directiva?, si no le importa como
queden asignados los puestos.
e. ¿Cuál es la probabilidad, si se selecciona la mesa directiva al azar entre todos
los integrantes del grupo de tercer grado, quede integrada por puras niñas? Sin
importar como queden asignados los puestos.
f. ¿Cuál es la probabilidad, si se selecciona la mesa directiva al azar entre todos
los integrantes del grupo de tercer grado, quede integrada por puros niños? Sin
importar como queden asignados los puestos.
g. ¿Cuál es la probabilidad, si se selecciona la mesa directiva al azar entre todos
los integrantes del grupo de tercer grado, el presidente, secretario y tesorero
sean niños y las dos vocales niñas? Sin importar como queden asignados los
puestos.
Variaciones ordinarias o variaciones sin repetición de n elementos tomados m
cada vez (m ≤ n) son los distintos grupos o listas que se pueden formar con la n
elementos, de manera que:
- En cada grupo entren m elementos, distintos
- Dos grupos son distintos si se diferencian en algún elemento o en el orden de
colocación de éstos.
El número de variaciones ordinarias de n elementos tomando m cada vez se presenta
por Vn, m
VARIACIONES CON REPETICIÓN
Lanzamos cuatro veces consecutivas una moneda obteniendo en cada caso una Cara
(C) o Cruz (X). ¿Cuántos resultados distintos podremos obtener?
Formemos el diagrama de árbol correspondiente:
Las distintas ordenaciones que acabamos de obtener se llaman variaciones con repetición de dos elementos tomados de a cuatro cada vez.
74
Observamos que ahora sigue influyendo el orden, como en el caso anterior, pero
además los elementos se pueden repetir:
Variaciones con repetición de n elementos tomados m cada vez (m ≤ n) son los distintos grupos o listas que se pueden formar con la n elementos, de manera que:
En cada grupo entren m elementos, repetidos o no.
Dos grupos son distintos si se diferencian en algún elemento o en el orden de colocación de éstos.
El número de variaciones con repetición de n elementos tomando m cada vez se representa por VRn, m.
Número de Variaciones con Repetición. Hemos hallado el número de resultados distintos que se obtienen al lanzar cuatro veces una moneda: 2 · 2 · 2 · 2 = 24 = 16
De la misma forma, podemos hallar el número de resultados distintos que se obtienen al lanzar:
Una vez una moneda: 2.
Dos veces una moneda: 2 · 2 = 22 = 4 (Di cuáles son estas posibilidades)
Tres veces una moneda: 2 · 2 · 2 = 23 = 8
Cinco veces una moneda: 2 · 2 · 2 · 2 = 25.= 32
Ene (n) veces una moneda: 2 · 2 · 2... · 2 = 2n. En general si queremos hallar el número de variaciones con repetición que se pueden formar con
n elementos tomados de a m cada vez, obtendremos: VRn, m = n · n · n ·... n = nm m factores
Ejemplos ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 si se pueden repetir las cifras? Tenemos que hallar el número de variaciones con repetición de 10 elementos tomados de a tres, es decir: VR10, 3 = 103 = 1000 Ahora bien, de estos 1000 números habrá muchos que inicien con cero como por ejemplo 035, 099, 001 por lo cual no se pueden considerar de tres cifras. Por esto debemos descontar estos números, y tendremos: VR10, 3 - VR10, 2 = 103 - 102 = 1000 - 100 = 900 4. Se lanzan tres dados de distintos colores una vez. ¿Cuántos resultados distintos se pueden obtener? Son VR6, 3 = 63 = 216 resultados diferentes.
Actividad 4.3 ¿De cuántas formas se pueden repartir 10 cuadernos iguales entre cuatro niños si cada niño
recibe al menos dos cuadernos?
¿De cuántas formas se puede cambiar un billete de k pesos utilizando monedas de $1.00,
$2.00, $5.00 y $10.00?
75
¿De cuántas formas se puede franquear una carta con r pesos utilizando timbres
(estampillas) de $3.00, $4.00 y $20.00?
a) suponga que no se toma en cuenta el orden en que se pegan las estampillas en el
sobre.
b) Suponga que las estampillas se pegan en una fila y que se tiene en cuenta el
orden en que pegan.
¿De cuántas formas se pueden separar 3000 sobres idénticos en paquetes de 25, entre
cuatro grupos de estudiantes, de modo que cada grupo tenga al menos 150, pero no más
de 1000 sobres?
Una empresa contrata a 11 nuevos empleados, cada uno de los cuales es asignado a una de
cuatro subdivisiones. Si cada subdivisión recibe al menos a uno de ellos, ¿de cuántas
formas se pueden hacer las asignaciones?
FENOMENOS ALEATORIOS Y DETERMINISTAS A los resultados que pueden ocurrir en un experimento o fenómeno se les llama eventos. A los fenómenos que de antemano se conoce su resultado se les llama deterministas. Ejemplo:
Si se lanza una pelota hacia arriba, sabemos que tendrá que caer.
Si se deja un trozo de hielo en el agua, sabemos que se derretirá.
Si el agua se calienta a 100° C sabemos que se evaporará.
Si se deja sin agua a una planta sabemos que se secará en poco tiempo. Otros ejemplos de fenómenos deterministas son:
La fecha en que será tu cumpleaños, Se les llama aleatorios a los fenómenos que tienen varios resultados posibles y no se puede asegurar cuál de ellos ocurrirá. Ejemplo:
Al lanzar al aire una moneda puede caer águila o sol.
Al lanzar un dado puede caer 1, 2, 3, 4, 5 o 6.
El último dígito del número que saldrá premiado en la lotería puede ser 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 0.
Otros ejemplos de fenómenos aleatorios son:
Los ganadores de los próximos juegos olímpicos,
El marcador del próximo juego de la selección mexicana de futbol.
Actividad 4.4
Señala si los fenómenos son aleatorios o determinista
1) Numero de años que vive un habitante de este país
76
2) Poner agua en una olla y ponerla al fuego 3) El numero de personas que entrara a comprar al negocio de la esquina 4) Mezclar agua y azúcar 5) Ganar una rifa comprando solo un boleto 6) Una piedra cae, si nada la soporta 7) Si un líquido se calienta suficientemente, se evapora 8) Si se suman los ángulos de un triángulo, el resultado es de 180º. 9) Extraer una carta de una baraja 10) Lanzar un dado y anotar el símbolo que aparece en la cara superior. 11) Lanzar una moneda y anotar el símbolo que aparece en la cara superior. 12) Extraer una bola de la lotería. 13) Abrir un libro al azar y anotar el último número de la página de la derecha
Probabilidad condicional
En esta sección examinaremos como la probabilidad de ciertos eventos depende o se ve influida por la ocurrencia de otros. Para ello veremos algunos ejemplos.
Ejemplo Se seleccionan dos semillas aleatoriamente, una por una, de una bolsa que contiene 10 semillas de flores rojas y 5 de flores blancas. Cuál es la probabilidad de que:
La primera semilla sea roja
La segunda semilla sea blanca dado que la primera fue roja.
Solución: La probabilidad de que la primera semilla sea roja es 10/15, puesto que hay 10 semillas de flores rojas de un total de 15. Escrito con notación de probabilidad tenemos: P (R1)= 10/15 La probabilidad de que la segunda semilla sea blanca se ve influida por lo que salió primero, es decir esta probabilidad está sujeta a una condición, la de que la primera semilla sea roja. Este tipo de probabilidad se le llama probabilidad condicional y se denota por P (B2 R1) y se lee: la probabilidad de B2 dado R1. Esta probabilidad P (B2 R1)= 5/15, puesto que todavía hay 5 semillas blancas en un total de 14 restantes 4
Actividad 4.5
Una persona lanza una moneda 3 veces, ¿Cuál es la probabilidad de obtener 3 águilas dado que salió por lo menos un águila? Consideremos dos cajas, la caja 1 contiene 3 esferitas blancas y 4 rojas y la caja 2 contiene 8 blancas y 4 rojas. Se selecciona una caja al azar y luego se extrae una esfera al azar. Hallar la probabilidad de que la esfera sea blanca.
Sacar al azar cualquier as.
Sacar una carta roja Como existe 4 ases, pero solo 2 son rojos, entonces la probabilidad de sacar un as que sea rojo.
77
Aquí tienes un tip!
La probabilidad de un evento significa las posibilidades que tiene de suceder y generalmente se mide como un valor entre 0 y 1; también se puede interpretar como el porcentaje de veces que sucederá. La probabilidad se calcula de dos formas: Probabilidad frecuencial: es aquella que se obtiene de manera experimental, al contabilizar la cantidad de ocurrencias de un evento y anotando el número de veces que aparece un resultado (suceso) deseado; así, la fórmula para esta probabilidad es:
P (A) =
Número de veces que aparece el resultado que se desea
Número de veces que se realiza el experimento
También se puede obtener la probabilidad frecuencial por medio del cálculo de la frecuencia relativa.
Probabilidad clásica: cuando se desea que las posibilidades matemáticas de un evento ocurran de determinada manera, se debe calcular con cualquiera de los dos diagramas (de árbol o rectangular) y emplear la fórmula siguiente:
Probabilidad clásica
En una caja hay 2 bolas blancas y 2 rojas, calcula la probabilidad de los siguientes eventos al tomar 2 bolas cada vez, durante 2 intentos:
78
El número total de soluciones es: 4 Las soluciones para cada evento son: A = {(B, B)} 1 solución B = {(R, B), (B, R)} 2 soluciones C = {(B, B), (B, R)} 2 soluciones D = {(R, R)} 1 solución
79
Puede definirse como aquellos métodos que
incluyen la recolección, presentación y
caracterización de un conjunto de datos con
el fin de describir apropiadamente las
diversas características de ese conjunto.
5.1 Tasas e índices.
La tasa de mortalidad es el indicador demográfico que señala el número de
defunciones de una población por cada 1 000 habitantes, durante un período
determinado (generalmente un año). Usualmente es denominada mortalidad.
Fórmula:
m: tasa de mortalidad media F: cantidad de fallecimientos (en un período) P: población total
ESTADÍSTICA
=
+
- X
80
Tasa bruta de mortalidad por país.
Se considera:
Alta tasa de mortalidad si supera el 30‰. Moderada tasa de mortalidad entre 15 y 30‰. Baja tasa de mortalidad por debajo del 15‰.
Ejemplo
En el año 2007 se han registrado 124 muertes en el distrito de Pimentel , de los cuales
25 fallecidos fueron por neumonía , en niños menores de 5 años, determine la tasa de
mortalidad general en el distrito de Pimentel y la tasa de mortalidad por causa especifica
Empezaremos por hallando la TMG
Ya , para empezar sabemos que hay 124 muertos y que la población a la que se
refieren es la de niños menores de cinco años , los cuales son 3092 niños en total ,
ahora aplicamos la fórmula multiplicándolo por 1000.
Respuesta: 40 de cada 1000 niños menores de cinco años fallecieron en Pimentel en el
año 2007
Actividad 5.2
Hallaremos ahora la TMCE
Como el anterior problema, sabemos ahora que fallecieron 25 por neumonía en una
población de niños menores de cinco años, los cuales suman 3092, aplicamos la
fórmula y lo multiplicamos también por 1000.
En el año 2007 ingresaron al establecimiento de salud 14 pacientes con TBC
comprendidos entre los 30 –74 años, indique usted la tasa de incidencia.
Hallaremos a la TI
Sabemos que 14 personas entre los 30 –74 años (con una población de 12687
personas en ese rango de edad) enfermaron con TBC durante el 2007, ahora
aplicamos la fórmula y multiplicamos por 10000.
En el años 2007 se registraron 76 casos de E.D.A.S en menores de cinco años de edad ,
algunos fueron referidos al hospital regional ” Las Mercedes” , donde fallecen 13
pacientes por su estado , indique usted la tasa de mortalidad por causa específica ,
además la tasa de morbilidad y la tasa de letalidad.
81
Hallaremos la TMCE:
Sabemos que de los 76 casos registrados 13 fallecieron por complicaciones, además,
nos dicen que la población son todos niños menores de cinco años, ahora solo
aplicamos la formula y multiplicamos por 1000
Hallaremos la T. Morbilidad
Sabemos que existieron 76 casos de enfermedad y también sabemos la población,
ahora aplicamos la fórmula y multiplicamos 1000
Hallaremos la tasa de letalidad
Sabemos que existieron 76 niños que enfermaron y que de ellos 13 murieron por
complicaciones de la enfermedad, ahora aplicamos la formula y multiplicamos por 100
La densidad de población (también denominada formalmente población relativa, para
diferenciarla de la absoluta) se refiere a la distribución del número de habitantes a
través del territorio de una unidad funcional o administrativa (continente, país, estado, provincia, departamento, distrito, condado, etc.).
Su sencilla fórmula es la siguiente:
Como a nivel mundial las superficies usualmente se expresan en kilómetros
cuadrados, la densidad obtenida comúnmente corresponde a habitantes por
km². No obstante, en los países angloparlantes se suele utilizar la milla
cuadrada como unidad de superficie, por lo que en ellos la población relativa es normalmente expresada por medio de habitantes/mi²
Ejemplo
Se denomina densidad de población a la cantidad de habitantes que viven por kilómetro cuadrado.
Por ejemplo, si en una isla la superficie es de 200 km2 y su población asciende a
54.000 habitantes, la densidad de población será:
Actividad 5.3
Completa la siguiente tabla, compara los resultados y contesta las preguntas
país Población
absoluta 2002 superficie Densidad
Hungría 9 900 000 hab. 93 033 km2
España 41 000 000 hab. 504 783 km2
Estados unidos 288 500 000 9 529 063 km2
Singapur 4 200 000 618 km2
China 1 294 400 000 9 572 900 km2
82
Tasa de crecimiento poblacional
En demografía y ecología, la tasa del crecimiento poblacional (PGR de las siglas en
inglés: Population growth rate) es la tarifa fraccionaria en la cual el número de
individuos en una población aumenta. Específicamente, el PGR, se refiere
ordinariamente al cambio en la población durante un período de tiempo de unidad,
expresado a menudo como un porcentaje del número de individuos en la población al
principio de ese período. Esto se puede escribir como la fórmula:
La manera más común de expresar el crecimiento demográfico es mostrarlo como una
razón aritmética, y no como porcentaje. El cambio en la población durante un período
de unidad se expresa como porcentaje de la población al principio del período. Eso es:
Una positiva razón aritmética o (tasa) del crecimiento indica que la población está
aumentando, mientras que un cociente del crecimiento negativo indica la declinación
de la población. Un cociente del crecimiento de cero indica que había el mismo número
de gente en los dos tiempos - la diferencia neta entre los nacimientos, las muertes y la
migración es cero. Sin embargo, una tasa de crecimiento puede ser cero incluso
cuando hay cambios significativos en los índices de natalidad, los índices de
mortalidad, las tasas de inmigración, y la distribución de edad entre los dos tiempos.
Equivalentemente, el porcentaje del índice de mortalidad = el número medio de
muertes en un año para cada 100 personas en la población total.
Una medida relacionada es la tasa neta de reproducción. En la ausencia de migración,
un índice de reproducción neta de más de uno indica que la población de mujeres está
aumentando, mientras que una tasa neta de reproducción menor a uno (fertilidad del
reemplazo secundario) indica que la población de mujeres está disminuyendo
Actividad 5.4
Calcula la tasa anual de crecimiento de la población de los países A, B y C utilizando los datos del cuadro y la fórmula siguientes: *
Aumento de
la población
en un año
÷ Población al
comienzo del
año
x
100
= Tasa anual de
crecimiento de la
población (%)
83
Población
al comienzo
del año
Población
al final
del año
Aumento
de la
población
durante
el año
Tasa anual
de
crecimiento
de la
población
(%)
País A 22.000.000 22.400.000
País B 8.500.000 8.800.000
País C 400.000.000 410.000.000
*(Las tasas medias de crecimiento anual de la población a lo largo de varios años dan
una idea más exacta que las tasas anuales. Por esta razón, se utilizan en el Cuadro de
datos. Para calcular una tasa de crecimiento durante un período más largo que un año
es necesario utilizar fórmulas matemáticas más complicadas que la utilizada para calcular una tasa anual.)
Las tasas de crecimiento de la población son cifras pequeñas, pero producen grandes efectos en la población. Para ver lo que esto significa, haz los siguientes ejercicios.
a. Supongamos que la población mundial a comienzos de 2000 era de
aproximadamente 6.000 millones. Si la tasa media anual proyectada de
crecimiento de la población mundial en 2000 era de 1,1%, ¿cuántas personas
más se habrán agregado a la población mundial en 2001? b. Si en 2000 la población mundial creciera a una tasa del 0,2%, es decir, a la
misma tasa proyectada del Reino Unido, ¿cuántas personas más se habrían
agregado a la población mundial en 2001? c. Si en 2000 la población mundial creciera a una tasa de 1,7%, es decir, a la
misma tasa proyectada de Kenia, ¿cuántas personas más se habrían agregado a la población mundial en 2001?
Utiliza los cálculos y los datos del cuadro que sigue para calcular las tasas de natalidad,
las tasas de mortalidad y las tasas de crecimiento de la población de tres países y agrega la información que falta.
Número de
nacimientos
(%)
÷ población X 100 = tasa de
natalidad
Número de
muertes
(%)
÷ población X 100 = tasa de
mortalidad
84
Tasa de natalidad
(%)
– Tasa de
mortalidad
(%)
= Tasa de
crecimiento
de la población (%)
Nacimientos Muertes Población Tasa de
natalidad
Tasa de
mortalidad
Tasa de
crecimient
o
de la
población
País A 662.000 297.000 33.100.000 [2%] [0,9%] [1,1%]
País B 411.000 191.800 27.400.000 [1,5%] [0,7%] [0,8%]
País C 211.200 96.800 4.400.000 [4,8%] [2,2%] [2,6%]
Estadística
La estadística es una rama de las matemáticas que conjunta herramientas para
recolectar, organizar, presentar y analizar datos numéricos u observacionales.
Presenta números que describen una característica de una muestra. Resulta de la
manipulación de datos de la muestra según ciertos procedimientos especificados.
Procedimiento:
1. Obtención de datos
2. Clasificación
3. Presentación
4. Interpretación
5. Descripción
6. Generalizaciones
7. Comprobación de hipótesis por su aplicación.
8. Toma de decisiones
Términos comunes.
Población: conjunto de todos los individuos (personas, objetos, animales, etc.) que
porten información sobre el fenómeno que se estudia. Por ejemplo, si estudiamos la
edad de los habitantes en una ciudad, la población será el total de los habitantes de
dicha ciudad.
Muestra: Subconjunto de la población seleccionado de acuerdo con un criterio, y que
sea representativo de la población. Por ejemplo, elegir 30 personas por cada colonia de
la ciudad para saber sus edades, y este será representativo para la ciudad.
85
Individuo: cualquier elemento que porte información sobre el fenómeno que se
estudia. Así, si estudiamos la altura de los niños de una clase, cada alumno es un
individuo; si estudiamos la edad de cada habitante, cada habitante es un individuo.
Variable: Fenómeno que puede tomar diversos valores. Las variables pueden ser de
dos tipos:
Variables cualitativas o atributos: no se pueden medir numéricamente (por ejemplo: nacionalidad, color de la piel, sexo). Variables cuantitativas: tienen valor numérico (edad, precio de un producto, ingresos
anuales). Por su parte, las variables cuantitativas se pueden clasificar en discretas y
continuas:
Discretas: sólo pueden tomar valores enteros (1, 2, 8, -4, etc.). Por ejemplo: número
de hermanos (puede ser 1, 2, 3...., etc., pero, por ejemplo, nunca podrá ser 3,45).
Continuas: pueden tomar cualquier valor real dentro de un intervalo. Por ejemplo, la
velocidad de un vehículo puede ser 80,3 km/h, 94,57 km/h...etc. Las variables
también se pueden clasificar en:
Variables unidimensionales: sólo recogen información sobre una característica (por
ejemplo: edad de los alumnos de una clase). Variables bidimensionales: recogen información sobre dos características de la
población (por ejemplo: edad y altura de los alumnos de una clase). Variables pluridimensionales: recogen información sobre tres o más características
(por ejemplo: edad, altura y peso de los alumnos de una clase).
Actividad 5.5
Indica que variables son cualitativas y cuales cuantitativas:
1 Comida Favorita.
2 Profesión que te gusta.
3 Número de goles marcados por tu equipo favorito en la última temporada.
4 Número de alumnos de tu Instituto.
5 El color de los ojos de tus compañeros de clase.
6 Coeficiente intelectual de tus compañeros de clase.
De las siguientes variables indica cuáles son discretas y cuales continúas.
1 Número de acciones vendidas cada día en la Bolsa.
2Temperaturas registradas cada hora en un observatorio.
3 Período de duración de un automóvil.
4 El diámetro de las ruedas de varios coches.
5 Número de hijos de 50 familias.
6 Censo anual de los españoles.
Clasificar las siguientes variables en cualitativas y cuantitativas discretas o
continuas.
1 La nacionalidad de una persona.
2 Número de litros de agua contenidos en un depósito.
3 Número de libros en un estante de librería.
86
5.2 Elaboración e interpretación de graficas de frecuencia
absoluta y relativa Distribución de frecuencias: muestra el número de veces que ocurre cada observación.
Ejemplo: Se elaboró una encuesta en un jardín de niños y ésta informó que las
mascotas más comunes que tiene un niño son perros, gatos, peces, hámsteres y
pájaros
perro gato perro hámster
pájaro hámster gato perro
hámster gato pájaro gato
perro perro hámster pájaro
perro perro pájaro gato
A continuación se muestra la distribución de frecuencias absolutas, relativas y
porcentuales de las mascotas más comunes de los niños.
Mascota Frecuencia absoluta Frecuencia relativa Frecuencia acumulada
Perro 7 .35 35 %
Pájaro 4 .20 20 %
Hámster 4 .20 20 %
gato 5 .25 25 %
Estos datos se pueden representar en una gráfica de barras o en una gráfica de pastel:
Gráfica de barras
87
Gráfica de pastel
NOTA: Para calcular:.. Frecuencia absoluta: se cuenta la cantidad de veces que ocurre el evento, en este caso,
las mascotas.
Frecuencia relativa: se divide la frecuencia absoluta de cada evento entre el total de
eventos.
Frecuencia porcentual: se multiplica la frecuencia relativa por 100.
CONSTRUCCION DE TABLAS ESTADÍSTICAS
Distribución agrupada de frecuencias: Distribución de frecuencias en la que los valores de
la variable se han agrupado en clases. Esto se debe principalmente a la disposición de
gran número de datos. Las razones por las que se elaboran este tipo de agrupación de
datos son por economía, practicidad, y baja frecuencia de algunos puntajes.
Agrupación de datos: para elaborar las tablas estadísticas, se debe seguir un
procedimiento preciso:
Estos son algunos métodos para obtener datos:
Censo: Se entiende por censo aquella numeración que se efectúa a todos y cada uno
de los caracteres componentes de una población. Para Lavín & Rubín (1996) "Algunas
veces es posible y práctico examinar a cada persona o elemento de la población que
deseamos describir. A esto lo llamamos una numeración completa o censo. Utilizamos
el muestre cuando no es posible contar o medir todos los elementos de la población. Si
es posible listar (o enumerar) y observar cada elemento de la población, los censos se
utilizan rara vez porque a menudo su compilación es bastante difícil, consume mucho
tiempo por lo que resulta demasiado costoso.
Encuesta: Se entiende por encuesta las observaciones realizadas por muestreo, es
decir son observaciones parciales. El diseño de encuestas es exclusivo de las
ciencias sociales y parte de la premisa de que si queremos conocer algo sobre el
comportamiento de las personas, lo mejor, más directo y simple es preguntárselo
directamente a ellas. (Cadenas, 1974). Según Antonio Napolitano "La encuesta, es un
método mediante el cual se quiere averiguar. Se efectúa a través de cuestionarios
verbales o escritos que son aplicados a un gran número de personas".
Toma de datos.- es la obtención de una colección de datos por medio de encuestas,
preguntas, sondeos etc. Que no han sido ordenados numéricamente y que dicha
información se extrae al azar, es decir, de tal forma que cada miembro de la población
tenga la misma oportunidad de ser elegida o seleccionada.
88
Ordenación de datos: es una colocación de los datos numéricos tomados en orden
creciente a decreciente de magnitud. La diferencia entre el mayor y el menor de los
números se llama rango o recorrido de datos.
No. De clases (Regla de Sturges): 1 + 3.332 log N
Tamaño de clase = Rango / No. De clases
Cálculo de tamaño de clase: para calcular el tamaño de clase es necesario calcular
primeramente el número de clases utilizando la regla de Sturges y después se obtiene
el tamaño de clase dividiendo el rango entre el número de clases.
Límites de clase: representan el tamaño de cada clase. El límite inferior de la primer
clase toma el valor de el dato menor de la colección de datos, para obtener el límite
inferior de la clase siguiente, se suma al límite inferior de la case anterior el tamaño de
clase.
Límites reales de clase: se obtienen sumando al LS de la clase el Lide la clase
contigua superior y dividiendo entre dos.
Marca de clase: Es el punto medio de la clase y se obtiene sumando los LI y LS de la
clase y dividiendo entre 2. La marca de clase también se llama punto medio de la
clase.
Ejemplo de tablas estadísticas:
AUTOBUSES FORANEOS
Toma de datos
Los siguientes datos corresponden a la cantidad de asientos vacíos que reportaron 50
autobuses foráneos en un domingo.
12 11 4 6 6 11 3 10 12 4
10 1 1 2 4 5 2 4 4 8
8 7 8 4 10 4 2 6 2 9
5 6 6 4 12 8 1 12 1 7
7 6 8 4 6 9 3 7 7 5
89
2) Ordenación de datos
1 2 4 4 5 6 7 8 9 11
1 2 4 4 5 6 7 8 10 12
1 2 4 4 6 6 7 8 10 12
1 3 4 4 6 6 7 8 10 12
2 3 4 5 6 7 8 9 11 12
Rango = 12-1 = 11
3) Tamaño de clase
No de clases = 1 + 3.332log (50) = 6
Tamaño de clase = 11/6 = 2
4) Límites de clase
5) Límites reales de clase
6) Marca de clase
Clase Intervalo LRI LRS Frecuencia
Absoluta
Frec.
Relat
Frecuencia
Porcentual
X
LI LS
1 1 2.9 0.95 2.95 8 .16 16 % 1.95
2 3 4.9 2.95 4.95 11 .22 22 % 3.95
3 5 6.9 4.95 6.95 10 .20 20 % 5.95
4 7 8.9 6.95 8.95 10 .20 20 % 7.95
5 9 10.9 8.95 10.95 5 .10 10 % 9.95
6 11 12.9 10.95 12.95 6 .12 12 % 11.95
total
50 1 100 %
90
Actividad 5. 6
Las puntuaciones obtenidas por un grupo en una prueba han sido:
15, 20, 15, 18, 22, 13, 13, 16, 15, 19, 18, 15, 16, 20, 16, 15, 18, 16, 14, 13.
Construir la tabla de distribución de frecuencias y dibuja el polígono de
frecuencias.
El número de estrellas de los hoteles de una ciudad viene dado por la siguiente serie:
3, 3, 4, 3, 4, 3, 1, 3, 4, 3, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 3, 2, 3, 2, 2, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 1,
1, 1, 2, 2, 4, 1.
Construir la tabla de distribución de frecuencias y dibuja el diagrama de barras.
Las calificaciones de 50 alumnos en Matemáticas han sido las siguientes:
5, 2, 4, 9, 7, 4, 5, 6, 5, 7 , 7, 5 , 5, 2 , 10, 5, 6, 5, 4, 5, 8, 8, 4 , 0, 8 ,
4, 8, 6, 6, 3 , 6, 7, 6, 6, 7, 6, 7 , 3, 5, 6, 9, 6, 1, 4 , 6, 3, 5, 5, 6, 7.
Constru i r la tabla de distribución de frecuencias y d ibuja el
diagrama de barras .
Representación gráfica de datos.
Se tomará el ejemplo anterior para demostrar el uso de diferentes gráficas.
Histograma: forma gráfica de barras que emplea variables con escala de intervalos o
de proporciones. Para realizarla, se toma en cuenta para el eje X, los Límites reales, y
para el eje Y, las frecuencias absolutas.
Polígono de frecuencias: Forma gráfica que representa una distribución de
frecuencias en la forma de una línea continúa que traza un histograma. Para su
elaboración, se consideran las marcas de clase en el eje X y las frecuencias absolutas
en el eje Y.
91
Gráfica de barras: la gráfica de barras es una forma de gráfica que utiliza barras para
indicar la frecuencia de ocurrencia de las observaciones. Para construirla se constituye
el eje y por las frecuencias absolutas y el eje X por los límites inferior y superior de
cada clase, dejando un espacio entre barra y barra.
5.3 Medidas de tendencia central.
CALCULO DE LA MEDIA MEDIANA Y MODA
Medidas de tendencia central:
La tendencia central se refiere al punto medio de una distribución. Las medidas de
tendencia central se conocen como medidas de posición.
Media
La media es el punto en una distribución de medidas, alrededor del cual las
desviaciones sumadas son iguales a cero. Es el valor promedio de una muestra o
población. La media es muy sensible a mediciones extremas que no estén balanceadas
en ambos lados. Se pueden calcular diversos tipos de media, siendo las más utilizadas:
92
a. Media aritmética: se calcula multiplicando cada valor por el número de veces
que se repite. La suma de todos estos productos se divide por el total de datos
de la muestra:
Mediana Observación u observación potencial en un conjunto que divide el conjunto, de modo que el mismo número de observaciones estén en cada uno de sus lados. Para un número impar de valores, es el valor de en medio; para un número par es el promedio de los dos medios. Para un conjunto con un número par de números, la mediana será el promedio aritmético de los dos números medios. Ejemplo: Calcule la mediana para los siguientes datos. La edad de una muestra de cinco estudiantes es: 21, 25, 19, 20 y 22. Al ordenar los datos de manera ascendente quedan: 19, 20, 21, 22, 25. La mediana es 21. La mediana de una muestra de datos organizados en una distribución de frecuencias se calcula mediante la siguiente fórmula: Mediana = LRI + [(n/2 - FA)/f] c
Donde L es el límite inferior de la clase que contiene a la mediana, FA es la frecuencia acumulada
que precede a la clase de la mediana, f es la frecuencia de clase de la mediana e i es el intervalo de clase de la mediana. MODA La moda es el valor de la observación que aparece con más frecuencia. Ejemplo: Las calificaciones de un examen de diez estudiantes son: 81, 93, 84, 75, 68, 87, 81, 75, 81, 87. Como la calificación 81 es la que más ocurre, la calificación modal es 81 La moda de los datos agrupados se aproxima por el punto medio de la clase que contiene la frecuencia de clase mayor. Cuando dos valores ocurren una gran cantidad de veces, la distribución se llama bimodal, como en dicho ejemplo.
93
Ejemplo de cálculo de media mediana y moda. Para ejemplificar, tomaremos el ejemplo de autobuses foráneos de la pagina 6.
Clase Intervalo LRI LRS Frec.
Absoluta
Frec.
Relat
Frec.
Porcentual
X fx
LI LS
1 1 2.9 0.95 2.95 8 .16 16 % 1.95 15.60
2 3 4.9 2.95 4.95 11 .22 22 % 3.95 43.45
3 5 6.9 4.95 6.95 10 .20 20 % 5.95 59.50
4 7 8.9 6.95 8.95 10 .20 20 % 7.95 79.50
5 9 10.9 8.95 10.95 5 .10 10 % 9.95 49.75
6 11 12.9 10.95 12.95 6 .12 12 % 11.95 71.70
total
50 1 100 %
319.50
Actividad 5.7
Los pesos de los 65 empleados de una fábrica vienen dados por la siguiente tabla:
Peso [50,
60)
[60,
70)
[70,
80) [80,90)
[90,
100)
[100,
110)
[110,
120)
fi 8 10 16 14 10 5 2
1 Construir la tabla de frecuencias.
2 Representar el histograma y el polígono de frecuencias.
Los 40 alumnos de una clase han obtenido las siguientes puntuaciones, sobre 50, en
un examen de Física.
94
3, 15, 24, 28, 33, 35, 38, 42, 23, 38, 36, 34, 29, 25, 17, 7, 34, 36, 39, 44, 31, 26, 20,
11, 13, 22, 27, 47, 39, 37, 34, 32, 35, 28, 38, 41, 48, 15, 32, 13.
1 Construir la tabla de frecuencias.
2 Dibujar el histograma y el polígono de frecuencias.
Sea una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:
xi 61 64 67 70 73
fi 5 18 42 27 8
Calcular:
1 La moda, mediana y media.
2 El rango, desviación media, varianza y desviación típica.
Hallar la media, mediana y moda de la siguiente serie de números:
3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8, 6.
Dadas las series estadísticas:
3, 5, 2, 7, 6, 4, 9.
3, 5, 2, 7, 6, 4, 9, 1.
Calcular:
La moda , la mediana y la media .
El histograma de la distribución correspondiente al peso de 100 alumnos de
Bachillerato es el siguiente:
1. Formar la tabla de la distribución.
2. Si Andrés pesa 72 kg, ¿cuántos alumnos hay menos pesados que él?
3. Calcular la moda.
4. Hallar la mediana.
5. ¿A partir de que valores se encuentran el 25% de los alumnos más pesados?
95
5.4 Medidas de dispersión
CÁLCULO DE VARIANZA, DESVIACIÓN ESTÁNDAR Y COEFICIENTE DE VARIACIÓN.
Medidas de dispersión: Estudia la distribución de los valores de la serie, analizando si
estos se encuentran más o menos concentrados, o más o menos dispersos
Varianza: Mide la distancia existente entre los valores de la serie y la media. Se calcula
como sumatorio de las diferencias al cuadrado entre cada valor y la media,
multiplicadas por el número de veces que se ha repetido cada valor. El sumatorio
obtenido se divide por el tamaño de la muestra.
La varianza siempre será mayor que cero. Mientras más se aproxima a cero, más
concentrados están los valores de la serie alrededor de la media. Por el contrario,
mientras mayor sea la varianza, más dispersos están.
Desviación estándar: Se calcula como raíz cuadrada de la varianza.
Coeficiente de variación de Pearson: se calcula como cociente entre la desviación
típica y la media de la muestra
Continuando con el caso de los autobuses foráneos, se realizará el ejemplo de medidas
de dispersión.
Clase Intervalo LRI LRS Frec.
Absoluta
Frec.
Relat
Frec.
Porcentual
X fx
f(x-x)2
LI LS
1 1 2.9 0.95 2.95 8 .16 16 % 1.95 15.60 157.71
2 3 4.9 2.95 4.95 11 .22 22 % 3.95 43.45 171.63
3 5 6.9 4.95 6.95 10 .20 20 % 5.95 59.50 354.03
4 7 8.9 6.95 8.95 10 .20 20 % 7.95 79.50 632.03
5 9 10.9 8.95 10.95 5 .10 10 % 9.95 49.75 495.01
6 11 12.9 10.95 12.95 6 .12 12 % 11.95 71.70 856.82
total
50 1 100 %
319.50 2667.21
96
Ejemplo: Hallar la desviación media, la varianza y la desviación típica de la
series de números siguientes:
2, 3, 6, 8, 11.
12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.
2, 3, 6, 8, 11.
Media
Desviación típica
12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.
Media
Desviación típica
Ejemplo:
Un pediatra obtuvo la siguiente tabla sobre los meses de edad de 50 niños de su
consulta en el momento de andar por primera vez:
Meses Niños
9 1
10 4
11 9
12 16
13 11
14 8
97
15 1
Calcular la desviación típica.
xi fi Ni xi · fi x²i · fi
9 1 1 9 81
10 4 5 40 400
11 9 14 99 1089
12 16 30 192 2304
13 11 41 143 1859
14 8 49 112 1568
15 1 50 15 225
50 610 7526
Actividad 5.8
Sea la población de elementos: {22,24, 26}.
1. Escriba todas las muestras posibles de tamaño dos, escogidas mediante muestreo
aleatorio simple.
2. Calcule la varianza de la población.
3. Calcule la varianza de las medias muéstrales.
El resultado de lanzar dos dados 120 veces viene dado por la tabla:
Sumas 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Veces 3 8 9 11 20 19 16 13 11 6 4
Calcular la desviación típica.
Calcular la desviación típica de una distribución estadística que viene dada por la
siguiente tabla:
[10, 15) [15, 20) [20, 25) [25, 30) [30, 35)
fi 3 5 7 4 2
Hallar la varianza y la desviación típica de la siguiente serie de datos:
12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.
98
En lenguaje algebraico nace en la
civilización musulmana en el período
de Al–khwarizmi, al cual se le
considera el padre del álgebra. El
lenguaje algebraico consta
principalmente de las letras de
alfabeto y algunos vocablos griegos.
La principal función de lenguaje
algebraico es estructurar un idioma
que ayude a generalizar las diferentes
operaciones que se desarrollan dentro
de la aritmética, por ejemplo: si
queremos sumar dos números
cualesquiera basta con decir a + b;
donde la letra a indique que es un
número cualquiera de la numeración
que conocemos, b de la misma
manera que a significa un número
cualquiera de la numeración.
También el lenguaje algebraico ayuda mantener relaciones generales para
razonamiento de problemas a los que se puede enfrentar cualquier ser humano en la
vida cotidiana.
6.1 Expresión algebraica.
Se llama expresión algebraica a toda constante, variable o bien a toda combinación de
constantes y potencias de variables que estén ligadas por alguno de los símbolos +, - ,
x, ÷ en un número finito.
El Término, es una expresión algebraica donde hay solo operaciones de multiplicación
y división de letras y números, tanto el numero como la letra puede estar elevado a
una potencia.
El término independiente solo consta de un valor numérico.
Términos semejantes son los que tienen debidamente la misma parte de letras
(parte literal) y varían solo su coeficiente. Estos solo se pueden sumar y restar, si los
términos no son semejantes ya no es posible, lo que si es posible es dividir o
multiplicar todo tipo de termino. El grado de un término puede ser de grado absoluto,
lo cual es la suma de los exponentes de cada letra, o puede ser un término de grado
relativo en lo cual se toma en cuenta la letra y su exponente.
Notación: Si a es una constante o una variable y b una variable entonces ab indica el
producto de a y b o sea: ab =a*b
EL LENGUAJE ALGEBRAICO Y
ECUACIONES DE PRIMER
GRADO
=
+
- X
99
Ejemplos: (De expresiones algebraicas)
3x2y4 x3y2+ 5xy a + b _ 3
Z2x a – c 2
Se llama monomio a toda constante o bien, a toda expresión algebraica, en la cual las
potencias de las variables son de exponentes enteros positivos y están relacionados
únicamente por la multiplicación y además no contiene letras en el denominador. Ejemplo: (De monomios)
Ejemplo: (De expresiones algebraicas que no son monomios)
a)
c)
b)
d)
En un monomio se puede distinguir el factor numérico (coeficiente) y el factor literal. Ejemplo: En 4x2y3z, 4 es el factor numérico (coeficiente) y x2y3z es el factor literal. En -3x2z5, -3 es el factor numérico (coeficiente) y x2z5 es el factor literal. 4 4 En 1/5 x2(-2) z4, -8/5 es el factor numérico (coeficiente) y es el factor literal.
Notación: Si x es una variable o una constante entonces: 1 * x = x y -1 * x = -x Tomando en cuenta esta notación tenemos que: Si el coeficiente de un monomio o de una expresión algebraica es 1 o -1, no escribimos el 1. Ejemplo:
a.) En x2y el coeficiente es 1 b.) En -a3b5c2 el coeficiente es -1. Si dos o más monomios tienen igual factor literal, entonces se dice que son semejantes entre sí. Ejemplo: a.) Los monomios 6x5 y2, 1/3 x5y2, -2x5y2 , son semejantes entre sí. 9
b.) Los monomios , no son semejantes entre sí.
100
Operaciones con Lenguaje Algebraico
Aquí se presentan los siguientes ejemplos, son algunas de las situaciones más
comunes que involucran los problemas de matemáticas con lenguaje algebraico;
cualquier razonamiento extra o formulación de operaciones con este lenguaje se basa
estrictamente en estas definiciones:
Un número cualquiera
Se puede denominar con cualquier letra del alfabeto, por ejemplo:
La suma de dos números cualesquiera
a + b = la suma de dos números cualesquiera
x + y = la suma de dos números cualesquiera
La diferencia de dos números cualesquiera
a - b = la diferencia de dos números cualesquiera
m - n = la diferencia de dos números cualesquiera
La suma de dos números cualesquiera menos otro número cualquiera
a + b - c = la suma de dos números cualesquiera menos otro número cualquiera
El producto de dos números cualesquiera
a * b = el producto de dos números cualesquiera
El cociente de dos números cualesquiera (la división de dos números
cualesquiera)
a / b= el cociente de dos números cualesquiera
La semisuma de dos números cualesquiera
(a + b)/2= la semisuma de dos números cualesquiera
El semiproducto de dos números cualesquiera
(a * b)/2= el semiproducto de dos números cualesquiera
El cociente de la suma de dos números, sobre la diferencia
(a + b)/(a – b)
El doble de un número
2X
El doble de la suma de dos números
2(a + b)
El triple de la diferencia de dos números
3(x-y)
La mitad de un número
X/2
La mitad de la diferencia de dos números
(x-4)/2
El cuadrado de un número
El cuadrado de la suma de dos números
El triple del cuadrado de la suma de dos números.
Actividad 6.2
101
Indica las expresiones algebraicas de las siguientes frases:
a) El doble de un número.
b) El cuadrado de un número menos tres.
c) La suma de dos números.
d) La diferencia de los cuadrados de dos números.
e) La mitad de un número.
f) El cuádruplo de un número.
g) La suma de un número y su cuadrado.
h) El doble de un número menos cinco.
i) La tercera parte de un número.
j) El cuadrado de la suma de dos números.
k) El doble de la suma de tres números.
l) El triple de la raíz cuadrada de un número.
m) La suma de tres números consecutivos.
n) Una cuarta parte de la suma de dos números.
o) Un número aumentado en cinco unidades.
p) El doble de un número menos el triple de otro.
q) Las tres cuartas partes de un número.
r) El cubo de la diferencia de dos números.
s) El producto de dos números.
t) La décima parte de un número más el quíntuplo de otro.
A continuación te sugerimos realices el ejercicio, donde tienes que expresar
en forma verbal o escrita los diferentes términos según sea el caso.
a)
b) El cociente de la suma de dos números sobre tres.
c) El cociente de la suma de dos números sobre 3 veces el primer sumando.
d) (x–4)c
e) La diferencia de los números es mayor que su cociente.
f) (3x)2
g) El triple del cuadrado de la diferencia de un binomio.
h)
i) La suma del doble de un número con otro número.
j) El cubo de la raíz cuadrada de la suma de dos números
Las siguientes expresiones algebraicas pasarlas del lenguaje escrito a
lenguaje algebraico
Evaristo tiene 14 años, ¿Cuántos tendrá durante x años?
Paca tiene 12 años, ¿Cuántos tendrá en “y” años?
Completar la siguiente tabla
Expresión algebraica valores Valor numérico
3n + 10 n=3
3x2 - 12 X=2
4a– 8b a=-1 y b=0
102
3x2 – 5x + 6 X=3
a + 3
5
a=12
6.2 Operaciones con monomios y polinomios Resolver los siguientes problemas algebraicos Si a la cuarta parte de un número le quitamos 4, el resultado es 20. Halle el número.
Encuentre dos números consecutivos cuya suma sea 43.
Pedro tiene 28 años y su hijo 4. ¿Dentro de cuántos años, Pedro tendrá cuatro veces la
edad de su hijo? ¿Es única la solución?
Hallar dos números enteros pares consecutivos, cuya suma sea 14.
La edad de Pedro es el triple de la de Juan y ambas edades suman 40 años.
Hallar ambas edades.
Monomios Para sumar o restar dos monomios, es necesario que sean monomios semejantes.
Observa cómo sumamos los siguientes monomios:
7x + 4x = (7 + 4) x = 11x
3xy2 − 5xy2 = (3 − 5) xy2 = −2xy2
La suma o diferencia de varios monomios semejantes es otro monomio semejante
cuyo coeficiente es la suma o diferencia de los coeficientes de los monomios dados.
Si queremos reducir dos o más monomios no semejantes, no nos será posible. Por
ejemplo, los monomios 3x2z y 7yx2 no se pueden reducir. Por tanto: 2z + 7yx2
2z − 7yx2
La suma o diferencia de varios monomios no semejantes es el polinomio formado
por la suma o diferencia indicada de dichos monomios
Algunos ejemplos de sumas y diferencias de monomios son:
3x − 7x + 4x2 = −4x
+ 4x2
8xy2 + 2xy2 =
10xy2
6x2z − 3zx2 + x y =
3x2z + x y
8x4 − 3x4 + 5x4 =
10x4
103
Actividad 6.3
Realiza las sumas y restas de monomios
2x2y3z + 3x2y3z = 22x3 − 5x3 = 33x4 − 2x4 + 7x4 = 42 a2bc3 − 5a2bc3 + 3a2bc3 − 2 a2bc3 =
Suma y resta de polinomios
Para sumar dos o más polinomios, agrupamos los términos semejantes y los
reducimos. A continuación, añadimos los términos no semejantes.
Si queremos sumar los polinomios x3 + 8z + y + 4 y 2x3 + 5z − 12 agrupamos
términos y sumamos del siguiente modo:
(x3 + 8z + y + 4) + (2x3 + 5z − 12) = (x3 + 2x3) + (8z + 5z) + y + (4 − 12) = 3x3 +
13z + y − 8
Cuando los polinomios que queremos sumar tienen
muchos términos, conviene colocarlos de modo que los
términos semejantes queden unos encima de otros.
Cuando queremos restar dos polinomios, cambiamos el
signo de todos los términos del sustraendo y
sumamos directamente.
La suma o diferencia de dos polinomios es otro polinomio formado:
Actividad 6.4
Realizar las siguientes operaciones de polinomios
a) (3x3 + 2x2 + x + 2) + (5x2 + 4x +10)
b) (6x3 – 3x2 – 2x- 8) + (8x3 + 5x2 + x + 10)
c) (2x + 12) + (6x2 + 6x + 3)
d) (9x3 + 12x2 + 15x +20) – (5x3 + 6x2 – 4x -10)
e) (12x2 + 8x – 15) – (3x2 – 3x + 2)
f) (4x2 – 1) + (x3 − 3x2 + 6x – 2)
g) (6x2 + x + 1) – (1/2x2 + 4)
h) (2x2 + 5) + (x2 + 2)
104
Multiplicación de Monomios
Para multiplicar monomios debes tener en cuenta cómo se multiplicaban potencias
de la misma base. Recuerda que:
a2 · a5 = a2 + 5 = a7
En general:
am * an = am + n
Por ejemplo, si quieres multiplicar los monomios 4ab y 6a2 b, no tienes más que
multiplicar por un lado los coeficientes, y por el otro las letras:
4ab * 6a2 b = (4 · 6) (a · a2) (b · b) = 24 · a1 + 2 · b1 + 1 = 24 a3 b2
El producto de monomios es otro monomio que tiene:
coeficiente, el producto de los coeficientes de los monomios dados.
parte literal, la expresión que resulta de realizar todas las multiplicaciones
de potencias de igual base.
Observa que para multiplicar monomios no es necesario que sean semejantes (como
ocurría en el caso de la suma).
Otros ejemplos de multiplicación de monomios son:
3xz · 4x2z = (3 · 4) (x · x2) (z · z) = 12x3z2
−5x2y3 · 6xy2 · 2x3 = (−5 · 6 · 2) (x2 · x · x3) (y3 · y2) = −60x6y5
Actividad 6.5
Efectúa los productos de monomios .
1(2x3) · (5x 3) =
2(12x3) · (4x) =
35 · (2x 2y3z) =
4(5x2y3z) · (2y 2z 2) =
5(18x3y2z 5) · (6x 3yz 2) =
6(−2x3) · (−5x) · (−3x 2) =
Cuando quieras multiplicar dos polinomios que tengan muchos términos, puede
serte útil que los multipliques como te muestra el siguiente ejemplo:
Fíjate que debes colocar los términos ordenados
según el grado de cada uno, y después
multiplicar término a término.
Cuando te falte el monomio de algún grado, llena
el hueco con el monomio de ese grado y
coeficiente 0.
El producto de un monomio por un
polinomio es igual a otro polinomio cuyos términos se obtienen multiplicando el
monomio por cada término del polinomio.
105
producto de dos polinomios es igual a otro polinomio cuyos términos se
obtienen multiplicando cada término del primero por cada término del segundo, y
sumando luego los términos semejantes
Actividad 6.6 Multiplicar: 1(x4 − 2x2 + 2) · (x2 − 2x + 3) =
2 (3x2 − 5x) · (2x3 + 4x2 − x + 2) =
3 (2x2 − 5x + 6) · (3x4 − 5x3 − 6x2 + 4x − 3) =
División de monomios
Para dividir dos monomios debes tener en cuenta cómo se dividen potencias de la
misma base. En general, am ÷ an = am-n
Por ejemplo, si quieres dividir los monomios 24x4y2z3 y 8xy, no tienes más que
dividir por un lado los coeficientes, y por el otro las letras:
Actividad 6.7 Realiza las divisiones de monomios .
1(12x3) ÷ (4x) =
2(18x6y 2z 5) ÷ (6x3yz 2) =
3(36x3y 7z 4) ÷ (12x 2y2) =
4
5
6
El cociente de dos monomios (cuando es posible) es igual a otro monomio que tiene:
Como coeficiente, el cociente de los coeficientes de los monomios dados.
Como parte literal, la expresión que resulta de realizar todas las divisiones de potencias de igual base.
106
En general, la división de un polinomio entre un monomio no es posible. Solo podrá realizarse cuando
todos los términos del polinomio sean divisibles por el monomio.
Por ejemplo:
Actividad 6.8
En equipos d iv idan las s iguientes expresiones a lgebraicas
1(x4 − 2x3 − 11x2 + 30x − 20) † (x2 + 3x − 2)=
2(x 6 + 5x4 + 3x2 − 2x) ÷(x2 − x + 3)=
3(x5 − 2x2 − 3) ÷(x −1)=
4(2x4 − 2x3 + 3x2 + 5x + 10) ÷ (x + 2)=
5 (x4 − 3x2 + 2) ÷ (x − 3)=
6 (x3 + 2x + 70) ÷ (x + 4)=
7(x5 − 32) ÷ (x − 2)=
8 (x4 − 3x2 + 2) ÷ (x −3)=
6.3 Signos de agrupación
Los signos de agrupaciones se usan para cambiar el orden de las operaciones, se
indica dentro de estos cual de las operaciones debe realizarse en primer lugar, estos
símbolos son el paréntesis (), el corchete [], y la llave {}. Se utilizan también signos
de relación tales como <, menor que; > mayor que; y =; igual a. El lenguaje
algebraico se constituye principalmente de las letras del alfabeto del cual las primeras
letras por lo general son las que determinan valores conocidos o datos del problema,
(aunque se puede utilizar cualquier letra del alfabeto). Se utilizan también algunos
vocablos griegos. En general las letras X; Y y Z se utilizan como las incógnitas o
variables de la expresión algebraica.
107
En las matemáticas se emplean numerosas reglas que se simplifican usando letras; tal es el caso de las fórmulas de perímetros, de áreas, y de volúmenes. Las fórmulas: son reglas expresadas por medio de símbolos, que resuelven problemas como en aritmética, sólo que los números son sustituidos por letras. Como ya lo hemos mencionado en las fórmulas, cada letra representa un número, por
ejemplo:
Considera que quieres saber qué número sumado a 3 te da 10 o que número
multiplicado por 5 te da 30; lo que se hace es plantear una fórmula que nos ayude. En
este caso serían las siguientes fórmulas:
Primer caso 3 + x = 10, x será igual a 7
Segundo caso (5) (x) = 30, x será igual a 6
Como puedes ver en los dos casos anteriores "x" toma diferentes valores.
Existen igualdades que admiten cualquier valor que se pueda dar a las letras que
los forman, a este tipo de igualdad, se le llama identidad.
Las igualdades que admiten sólo algún valor dado a las letras que las forman,
son las que conocemos como ecuaciones
Para suprimir signos de agrupación se procede de la siguiente manera:
1. Cuando se suprime un signo de agrupación precedido del signo +, los términos
que estaban agrupados por él no cambian de signo.
2. Cuando se suprime un signo de agrupación precedido del signo -, los términos
que estaban agrupados por él cambian de signo.
3. Cada vez que se suprime un signo de agrupación, se procede a reducir los
términos semejantes.
Ejemplo:
{2*2[2+2(4+2)]} Primeramente realizaremos la operación entre paréntesis, en este
caso sería 4+2=6 {2*2[2+2(6)]} posteriormente la que se encuentra entre los
corchetes en este caso es una suma con multiplicación 2+2=4*6 {2*2[24]} como ves
el paréntesis ha desaparecido ahora vamos con la que se encuentra entre
llaves2*2=4*24 {96} han desaparecido los corchetes por tanto el resultado es 96.
Así de sencillo solo hay que seguir la jerarquía de los signos.
Ejemplo: 3a + (4 - b) - (a + c - 5) - (2b + 5b - 2ab)
3a + (4 - b) - (a + c - 5) - 2b - 5b + 2ab
3a + (4 - b) - a - c + 5 - 2b - 5b + 2ab
3a + 4 - b - a - c + 5 - 2b - 5b + 2ab
3a - a - b - 2b -5b - c + 2ab + 4 + 5
2a - 8b - c + 2ab +9
Actividad 6.9 Simplificar, suprimiendo los signos de agrupación y reduciendo términos semejantes:
x-(x-y)
x2 + (-3x - x2 + 5)
a + b – (-2ª+3)
4m-(-2m - n)
a+(a-b) + (- a + b)
108
2ª-[-x+a-1]-[a+x+3]
(-5m+6) + (-m+5)-6
4a + {2a + (3a - 5b)}
4a - {2a + (3a - 5b)}
4a - {2a - (3a - 5b)}
4a + {2a - (3a - 5b)}
6.4 Valor numérico y despeje de formulas
Se llama valor numérico de una expresión algebraica al número que se obtienes al
sustituir cada una de sus variables por el valor que se les halla asignado de antemano,
y de efectuar la operación indicada.
Ejemplo: a.) Determine el valor numérico de -x2 + 3x – 4, si x=2 b.) Determine el valor numérico de -6ax3y2 si a=5, x=1, y=2 Solución: a.) Sustituyendo la “x” por el valor asignado a -x2 + 3x – 4 se obtiene que:
-(2)2 + 3(2) - 4
=-4 + 6 - 4
= -2
Por lo que si x=2, el valor numérico de, -x2 + 3x – 4 es -2.
b.) Sustituyendo las variables a, x, y por los valores asignados, en -6ax3y2 se
obtiene que:
-6(5) (1)2(-2)2
= -120 Por lo que: si a=5, x=1, y=2, el valor numérico de -6ax3y2 es -120.
Actividad 6.10
Determine el valor numérico correspondiente, en cada una de las siguientes
expresiones:
1.
si
2.
si
3.
si
4.
si
Fórmulas Una fórmula es una igualdad matemática que tiene como objetivo casi siempre el
calcular alguna cantidad.
Ejemplos de fórmulas son:
109
La fórmula del área a de un cuadrado de lados l es a = l * l.
La fórmula del área a de un triángulo rectángulo de base b y altura h, es a = b * h
2 La fórmula de la velocidad media v es v = d / t donde d es la distancia y t el
tiempo.
Problemas de despeje Dada una fórmula, entonces nuestro problema es despejar una de las cantidades
participantes dentro de la fórmula.
Lo más importantes del despeje es poder aplicar las reglas de los números reales a la
igualdad que nos define la fórmula para “despejar” la cantidad que queremos.
Nota 1 De la ecuación a + b = c, sumar el inverso aditivo −b de b, ó restar −b a
ambos lados de la ecuación, se suele decir como: b pasa restando al lado contrario de
la igualdad, a = c – b
Nota 2 De la ecuación a · b = c, multiplicar por el inverso multiplicativo 1/b de b, ó
dividir entre b a ambos lados de la ecuación, se suele decir como: b pasa dividiendo al
lado contrario de la igualdad, a = c/b
Ejemplo
Problemas de despeje
De la fórmula v = d/t, despejar la distancia d.
Como v = d/t, entonces d = v * t, multiplicando ambos lados de la igualdad por t.
De la fórmula de aceleración a =v − v0
t
Despejar la velocidad v.
Primero multiplicar ambos lados de la igualdad por t, obteniendo at = v−vo.
Sumar ambos lados de la igualdad vo, entonces v = at + vo.
Actividad 6. 11
De las siguientes formulas despejar la letra que se le indique según sea el caso:
A= b*h despeje b A= b*h/2 despeje h A= D*d /2 despeja d
A= (B+b) h /2 despeja h V= Ab*h despeja b C=Pi*d despeja d
6.5 Funciones Conceptos Básicos
Las funciones matemáticas, en términos simples, corresponden al proceso lógico
común que se expresa como “depende de”. Este proceso lógico se aplica a todo lo que
tiene relación a un resultado o efecto sea este medible o no en forma cuantitativa.
110
Las funciones matemáticas pueden referirse a situaciones cotidianas, tales como: el
valor del consumo mensual de agua potable que depende del número de metros
cúbicos consumidos en el mes; el valor de un departamento que depende del número
de metros cuadrados construidos; la sombra proyectada por un edificio que depende
de la hora del día; el costo de una llamada telefónica que depende de su duración; el
costo de enviar una encomienda que depende de su peso; la estatura de un niño que
depende de su edad; Las entradas del cine: Función que relaciona el coste de las entradas con
el número de personas que van a ver la película.
A modo de ejemplo, ¿cuál sería la regla que relaciona los números de la derecha con
los de la izquierda en la siguiente lista?:
1 --------> 1
2 --------> 4
3 --------> 9
4 --------> 16
Los números de la derecha son los cuadrados de los de la izquierda.
La regla es entonces "elevar al cuadrado":
x -------> x2.
Para referirse a esta regla podemos usar un nombre, que por lo general es la letra f
(de función). f es la regla "elevar al cuadrado el número".
Usualmente se emplean dos notaciones:
x --------> x2 ó f(x) = x2 .
Así, f (3) significa aplicar la regla f a 3. Al hacerlo resulta 32 = 9.
Entonces f (3) = 9. De igual modo f(2) = 4, f(4) = 16 f(a) = a2, etc.
Consideremos algunos ejemplos que constituyen funciones matemáticas.
A) Correspondencia entre las personas que trabajan en una oficina y su peso
expresado en kilos
X Y
Marcela 55
Pablo 88
Sergio 62
Jorge 88
René 90
Cada persona (perteneciente al conjunto X) constituye lo que se llama la entrada o
variable independiente. Cada peso (perteneciente al conjunto Y) constituye lo que
se llama la salida o variable dependiente. Notemos que una misma persona no puede
tener dos pesos distintos. Notemos también que es posible que dos personas
diferentes tengan el mismo peso.
111
B) Correspondencia entre el conjunto de los numero reales (variable independiente) y
el mismo conjunto (variable dependiente), definida por la regla "doble del número más
3".
x -------> 2x + 3
Algunos pares de números que se corresponden por medio de esta regla son:
X Y
-1 ------------> 1
0 -------------> 3
1 -------------> 5
2 -------------> 7
Estos ejemplos van introduciendo la noción de función: se pretende que todos y cada
uno de los elementos del primer conjunto están asociados a un y sólo a un elemento
del segundo conjunto. Todos y cada uno significa que no puede quedar un elemento en
X sin su correspondiente elemento en Y. Un y sólo a un significa que a un mismo
elemento en X no le puede corresponder dos elementos distintos en Y.
Ahora podemos enunciar la siguiente definición formal:
Una función f es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto X
exactamente un elemento, llamado f(x) de un conjunto Y.
Formas de expresar una función
Hay varias formas de expresar una función:
Mediante un enunciado.
Mediante una expresión algebraica.
Mediante una gráfica.
La variable independiente puede ser: Discreta: Si los valores que toma van dando saltos. Su gráfica está formada por puntos separados. Por ejemplo, la variable "número de bolígrafos que compramos en una papelería".
Continua: Si los valores que toma no dan saltos. Su gráfica está formada por trazos. Por ejemplo,
la variable "peso de una persona".
Funciones y gráficas
1. La siguiente gráfica describe el vuelo de un águila desde que sale del nido hasta que
vuelve a él con una presa que caza durante el trayecto.
112
a) ¿Cuáles son las variables relacionadas?
b) ¿Qué representa cada cuadrito en cada eje?
c) ¿A qué altura se encuentra el nido?
d) ¿Cuánto dura el vuelo y cuando caza a la presa?
e) ¿Qué altura máxima alcanza el águila en su vuelo? ¿Y la mínima?
f) ¿Qué ocurre entre el segundo 50 y 80?
2. Poner un anuncio por palabras cuesta una cantidad fija de $0.50 y $0.05 por cada palabra.
a) Haz una tabla de la función "número de palabras-precio".
b) Representa gráficamente los resultados del apartado a).
c) ¿Cómo es la variable independiente: continua o discreta?
d) Encuentra una fórmula que exprese esta función.
113
Solución
a) Tabla de valores:
x 0 1 2 3 4 5 6
y 50 55 60 65 70 75 80
b) Representación gráfica:
c) Discreta.
d) (céntimos de $)
Si dos variables, x y y, están relacionadas de tal forma que, para cada valor asignado
a x, queda determinado un valor de y, se dice entonces que y esta en función de x. A
la variable que se le asignan valores (x) se le denomina variable independiente,
pues esta puede tomar cualquier valor; por lo tanto, a la otra se le conoce como
variable dependiente, ya que el valor que esta adquiera dependerá del valor que se
le asigne a la variable independiente.
Una función responde a una regla en la que se establece la relación existente entre las
variables x y y, de tal manera que, conociendo los valores asignados a x, es posible
obtener valores para y, y representar estos gráficamente.
Por ejemplo:
y = 2x +3
1= x -1
114
En este apartado se representarán, en forma grafica, las funciones lineales o de primer
grado y las funciones cuadráticas o de segundo grado.
Una función lineal o de primer grado se caracteriza porque el termino x no tiene
exponente 1.
Ejemplos de este tipo de función son:
y = 3x - 1; y = -x + 2; y = -2x - 4; y = 4x + 1, etcétera.
Para obtener la grafica de la función y = -2x + 5, por ejemplo, se procede a tabular,
es decir, se dan valores a la variable independiente x y se busca (por medio de las
operaciones indicadas) el valor de la variable dependiente y, como se ilustra a
continuación.
Función: y = -2x + 5, completa la tabla
X -3 -2 -1 0 1 2 3
y 11 9
Si la x vale -3, cuanto vale la y.
Y= -2(-3) +5 Y=6 + 5 Y= 11
Y= -2(-2)+5 Y=4 + 5 Y= 9
Una vez que los valores se han tabulado, se procede a representarlos gráficamente.
La grafica de una función de primer grado se llama también función lineal porque su
grafica es siempre una línea recta.
Generalizando, una función lineal o de primer grado es de la forma y = mx + b, donde
m y b pueden tener valores positivos o negativos
Respecto de la función cuadrática o de segundo grado, ésta se caracteriza por tener el
término x con exponente; ejemplos de esta función son:
y = X2 +5; y = -3x2+1; y = 4x2-1; y = (x2 -3), etcétera.
115
Para obtener la grafica de la función y = (x2 - 3), se procede a tabular. Se dan valores
a la variable independiente x y, resolviendo las operaciones indicadas, se van
obteniendo los valores de la variable dependiente y. Así, se tiene que:
Función y = (x2 - 3), despejamos la x y queda x= completar la grafica
y 1 2 3 4 5
x 2 2.23
Cuando y vale -3, cuanto vale x
X= =2 x= = 2.23
Una vez tabulados los valores, estos se representan gráficamente de la siguiente
manera:
Actividad 6.12
Tabular y graficar las siguientes funciones:
Y= 2x + 3 y=3x-2 y=5x+1 y= x/2 y= x/2 + 2
X2=2y+4 x2=y-5 x2=y+6
EL PLANO CARTESIANO.
El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra
vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o
de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se
cortan recibe el nombre de origen.
El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se
representan por sus coordenadas o pares ordenados. Las coordenadas se forman
asociando un valor del eje de las "X" y uno de las "Y", respectivamente, esto indica
que un punto se puede ubicar en el plano cartesiano con base en sus coordenadas, lo
cual se representa como:
116
P (x, y)
Para localizar puntos en el plano cartesiano se debe llevar a cabo el siguiente
procedimiento:
1. Para localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las unidades correspondientes
hacia la derecha si son positivas o hacia a izquierda si son negativas, a partir del punto
de origen, en este caso el cero.
2. Desde donde se localiza el valor de x, se cuentan las unidades correspondientes
hacia arriba si son positivas o hacia abajo, si son negativas y de esta forma se localiza
cualquier punto dadas sus coordenadas.
Ejemplos:
Localizar el punto A (-4, 5) en el plano cartesiano. Este procedimiento también se
emplea cuando se requiere determinar las coordenadas de cualquier punto que esté en
el plano cartesiano.
Dos ejes perpendiculares
entre sí.
117
Determinar las coordenadas del punto M. Las coordenadas del punto M son (3,-5).
De lo anterior se concluye que:
Para determinar las coordenadas de un punto o localizarlo en el plano cartesiano, se
encuentran unidades correspondientes en el eje de las x hacia la derecha o hacia la
izquierda y luego las unidades del eje de las y hacia arriba o hacia abajo, según sean
positivas o negativas, respectivamente.
Doña Lupe nos ha dicho que su farmacia está dentro del centro de la ciudad.
Supongamos que deseamos saber la ubicación exacta de la farmacia de Doña Lupe
Una vez que ya estamos en el centro le preguntamos a un policía para que nos
oriente. El policía nos ha dicho que caminemos 5 cuadras hacía el este y 6 cuadras
hacía el norte para llegar a la farmacia. La cantidad de cuadras que tenemos que
caminar las podemos entender como coordenadas en un plano cartesiano.
Lo anterior lo podemos expresar en un plano cartesiano de la siguiente manera:
Para el problema planteado, el origen del plano será el punto de partida que es en
donde le preguntamos al policía sobre la ubicación de la farmacia.
Actividad 6.13
En un plano cartesiano encuentra cuatro puntos importantes de la ciudad de
Guadalajara.
Encuentra en el plano cartesiano las siguientes coordenadas:
(3,2) (-5,7) (0,-4) (-3.6) (6,-3) (10, 6)
6.7 Progresiones aritméticas y geométricas
Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que cada
uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior más un número fijo llamado
diferencia que se representa por d .
Diferencia
d = an - an - 1
118
Término general de una progresión aritmética
an = a1 + (n - 1) · d
an = ak + (n - k) · d
Interpolación de términos
Sean los extremos a y b , y el número de medios a interpolar m .
Suma de n términos consecutivos
Progresiones geométricas Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se
obtiene multiplicando al anterior una cantidad fija r , llamada razón .
Término general de una progresión geométrica
an = a1 · rn - 1
an = ak · rn - k
Interpolación de términos
Suma de n términos consecutivos
Suma de los términos de una progresión geométrica decreciente
Producto de n términos equidistantes
Ejercicios
El cuarto término de una progresión aritmética es 10, y el sexto es 16. Escribir
la progresión.
a 4 = 10; a 6 = 16
a n = a k + (n - k) · d
16 = 10 + (6 - 4) d; d= 3
a1= a4 - 3d;
a1 = 10 - 9 = 1
119
1, 4, 7, 10, 13 , . . .
Interpolar t res medios ar i tmét icos entre 8 y -12.
8, 3, -2, -7, -12.
El primer término de una progresión aritmética es -1, y el decimoquinto es 27.
Hallar la diferencia y la suma de los quince primeros términos.
a1 = − 1; a 15 = 27;
an = a1 + (n - 1) · d
27= -1 + (15-1) d; 28 = 14d; d = 2
S= (-1 + 27) 15/2 = 195
Hal lar los ángulos de un cuadri látero convexo, sabiendo que están en
progresión aritmética , s iendo d= 25º.
La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360º.
360= (a1 + a4) · 4/2
a4= a1 + 3 · 25
360= (a1 + a1 + 3 · 25) · 4/2
a1 = 105/2 = 52º 30' a2 = 77º 30'
a3 = 102º 30' a4 = 127º 30'
El cateto menor de un triángulo rectángulo mide 8 cm. Calcula los otros dos, sabiendo
que los lados del triángulo forman una progresión aritmética .
a2 = 8 + d; a3 = 8 + 2d
(8 + 2d)2 = (8 + d)2 + 64
d = 8
8, 16, 24 .
Calcula tres números en progresión aritmética , que suman 27 y siendo la suma
de sus cuadrados es 311/2.
Término central x
1º x - d
3º x + d.
x − d + x + x + d = 27
x = 9
(9 − d)2 + 81 + (9 + d)2 = 511 / 2
d = ± 5 / 2
13 / 2, 9, 23/2
23 / 2, 9, 13/2
El 2º término de una progresión geométrica es 6, y el 5º es 48. Escribir la
progresión.
a2= 6; a5= 48;
an = ak · r n - k
48 = 6 r5-2 ; r3 = 8; r = 2.
a1= a2 / r; a1= 6/2= 3
120
3, 6, 12, 24, 48,. . .
El 1er término de una progresión geométrica es 3, y el 8º es 384. Hallar la
razón, y la suma y el producto de los 8 primeros términos.
a 1 = 3; a 8 = 384;
384 = 3 · r8-1; r7 = 128; r7 = 27; r= 2.
S8 = (384 · 2 - 3) / (2 − 1) = 765
Interpolar tres medios geométricos entre 3 y 48.
a = 3; b = 48;
3, 6, 12, 24, 48
Juan ha comprado 20 libros, por el 1º ha pagado 1€, por el 2º 2 €, por el 3º 4 €, por el
4º 8 € y así sucesivamente. Cuánto ha pagado por los libros.
a1= 1 r= 2; n = 20;
S= (1 · 220-1 - 1) / (2 - 1) = 1048575 €.
Actividad 6.14 El 2º término de una progresión geométrica es 6, y el 5º es 48. Escribir la progresión.
El 1er término de una progresión geométrica es 3, y el 8º es 384. Hallar la razón, y la suma y el
producto de los 8 primeros términos.
Interpolar tres medios geométricos entre 3 y 48.
Calcular la suma de los primeros 5 términos de la progresión: 3, 6, 12, 24, 48, ...
Calcular la suma de los términos de la progresión geométrica decreciente ilimitada:
Calcular el producto de los primeros 5 términos de la progresión: 3, 6, 12, 24, 48, ...
121
Juan ha comprado 20 libros, por el 1º ha pagado 1€, por el 2º 2 €, por el 3º 4 €, por el
4º 8 € y así sucesivamente. Cuánto ha pagado por los libros.
Escribir tres medios aritméticos entre 3 y 23.
Hallar la suma de los quince primeros múltiplos de 5.
Hallar la suma de los quince primeros números acabados en 5.
Hallar la suma de los quince primeros números pares mayores que 5.
Interpolar tres medios geométricos entre 3 y 48.
6.8 Resolución de ecuaciones de primer grado
Ecuación es una igualdad literal que sólo es cierta para algunos valores de las letras. La letra o letras desconocidas de una ecuación se llaman incógnitas. En la ecuación x + 2 = 9 la incógnita es x. La incógnita de una ecuación se puede designar con cualquier letra, pero en general se utiliza la letra x Soluciones de una ecuación son los números que la verifican, es decir, los números
que convierten la ecuación en una igualdad de números cierta.
Resolver una ecuación es hallar sus soluciones
Así la ecuación x + 4 = 12 sólo se verifica si x = 8. Se dice que 8 es la solución de la
ecuación
Términos de una ecuación son los sumandos que tienen cada miembro de la ecuación,
pueden ser términos en x, y términos independientes
Por ejemplo
La ecuación: 3x - 1 = x + 3
Primer miembro: 3x - 1
Segundo miembro: x + 3
Términos en x: 3x, x
Términos independientes: -1, 3
Transposición de términos: Pasar términos de un miembro a otro de una igualdad
según las siguientes reglas:
El término que está sumando en un miembro, pasa al otro restando, y viceversa. Si
está multiplicando, pasa al otro miembro dividiendo, o viceversa
122
ECUACIONES DE LA FORMA a x + b = c, con a#0
Para resolver la ecuación: 2x + 7 = 13
1) Se deja el término en x en el primer miembro y los términos independientes se
pasan al segundo miembro: 2x = 13 - 7
2) Se reducen los términos semejantes: 2x = 6
3) Se despeja la incógnita: x = 6/2 x=3
Actividad 6.15
Resuelve las siguientes ecuaciones en tu cuaderno de trabajo y comprueba cómo lo hacen tus compañeros:
2x + 8 = 18 b) 3x - 7 = 13 c) 4x - 12 = 8 d) -5x -20 = 10
e) 8x - 40 = 0 f) - 4x + 30 = 18 g) 3x - 6 = 0 h) - 3x - 2 = 4
ECUACIONES DE LA FORMA ax + b = cx + d
Para resolver esta ecuación 6 x - 4 = 3x + 2
1) Se pasan todos los términos en x a uno de los miembros de la ecuación, por
ejemplo al primero y se pasan los términos independientes al segundo miembro: 6x - 3x = 2 + 4
2) Se reducen los términos semejantes: 3x = 6
3) Se despeja la incógnita
Actividad 6.16 Resolver las ecuaciones siguientes: a) 2x - 3 = 4x – 7 b) 5x + 4 = 6x + 3 c) 6x - 1 = 8x – 5
d) 3x + 10 = 5x – 6 e) 4x + 1 = 9x – 64 f) 7x + 6 = 9x – 2
23
6x
123
ECUACIONES CON PARÉNTESIS
Para resolver esta ecuación
2(7 - x) + 7x = 8 - 5(x - 1) + 8x + 4
1) Se suprimen los paréntesis aplicando la propiedad distributiva
14 - 2x + 7x = 8 - 5x + 5 + 8x + 4
2) Se trasponen los términos (los términos en x al primer miembro y los términos
independientes al segundo):
-2x + 7x + 5x - 8x = 8 + 5 + 4 - 14
3) Se reducen los términos semejantes:
2x = 3
4) Se despeja la incógnita:
Actividad 6.17 Resuelve las ecuaciones:
3 (x + 6) = 2 (x - 5); - 3 (2x + 5) = - 4 (-x + 2); 9 (x - 1) = 6 (x + 3)
5 (-2x + 6) = - 3 (-x + 3); - 2 (x + 7) = 2 (3x + 9); - 4(3x - 5) = -2 (x - 8)
ECUACIONES CON DENOMINADORES
Para resolver esta ecuación:
1) Se reduce a común denominador, calculando el mínimo común múltiplo de los denominadores
2) Se suprimen los paréntesis aplicando la propiedad distributiva:
5,12
3x
6
)2(.71
4
3
xx
12
214
12
12
12
9
xx
214129 xx
124
9x + 12 = 14x - 28
3) Se trasponen términos (los términos en x a un miembro y los términos
independientes al otro)
9x - 14x = -28 - 12
4) Se reducen términos semejantes:
-5x = -40
5) Se despeja la incógnita:
Actividad 6.18 Resuelve las siguientes ecuaciones
85
40
x
8272
5
x
x97
5
83
x
x524
3
14
x
x
927
15
x
x426
5
54
x
x
125
ANAYA Debernard, Salvador. Carrusel Matemático. México: Editorial Limusa Noriega, 1990. BATANERO, Carmen, et al. «Razonamiento Combinatorio en alumnos de secundaria». Educación Matemática, Vol. 8, Núm. 1. México: Grupo Editorial Iberoamérica, abril 1996, pp. 26-38. BRITTON, Jack e Ignacio Bello, Matemáticas Contemporáneas. México: Harla, 1982, 2a. edición. CASTELNUOVO, Emma. Didáctica de la Matemática Moderna, México: Trillas, 9a. reimpresión. REYES, Araceli, Sistemas numéricos I. México: Grupo Noriega Editores, 1993, Caps. 3, 4 y 5. FLORES Peñafiel, Alfinio. «La Criba de Eratóstenes. Una Conjetura y una Prueba». Educación. Matemática.Vol.5, Núm. 1. México: Grupo Editorial Iberoamérica, 1993. FLORES Peñafiel, Alfinio. “Nexos en el razonamiento proporcional. Palancas, media aritmética, Promedio ponderado, mezclas, porcentajes de bateo y velocidades”. Educación Matemática, Vol.7, Núm.2, agosto 1995. México: Grupo Editorial Iberoamérica, pp.113-125. GRIMALDI, Ralph. Matemáticas discreta y combinatoria. México: Addison-Wesley iberoamericana, 1989. KLINE, Morris. Matemáticas para los estudiantes de Humanidades. 1a. edición español, México, Fondo de Cultura Económica, 1992. MEYER, Paul, Probabilidad y Aplicaciones Estadísticas. EUA: Addison-Wesley iberoamericana, Edición revisada. PERELMAN, Y Matemáticas recreativa 1. México: Ediciones Martínez Roca S.A., 1991. PONCE, Rosa; RIVERA, Humberto. Aritmética y pre-álgebra. México: Editorial Mc Graw Hill, 1998, segunda edición. REYES, Araceli, Sistemas numéricos I. México: Grupo Noriega Editores, 1993, Caps. 3, 4 y 5. TAHAN, Malba. El hombre que calculaba. México: Noriega Editores, 1992. VALIENTE, Santiago. Algo acerca de los números lo curioso y lo divertido. México: Alhambra Mexicana, 1989, 1a edición. WAGEMANN, Ernst, El número detective, México, Breviarios 136, Fondo de Cultura económica, 1988. WENZELBURGER, Elfride. Calculadora Electrónica. México: Grupo Editorial Iberoamérica, 1993.
Links recomendados para consulta: http://www.disfrutalasmatematicas.com
http://www.profesorenlinea.cl
http://algebrabaldor.webcindario.com
http://math2me.com
BIBLIOGRAFÍA
=
+
- X
126
http://matematica.laguia2000.com
Videos http://www.metacafe.com/watch/3080349/sistemas_de_numeracion/
Sistemas de numeración
http://www.youtube.com/watch?v=KBv_Z01ge9I&feature=related
Conversión de unidades de medida
http://www.youtube.com/watch?v=RZ_i833AZ6w&feature=related
Divisibilidad
http://www.youtube.com/watch?v=jvjib50-gQY
mcm y mcd
http://www.youtube.com/watch?v=4zMaEK-2NIE&feature=related
Suma y resta de fracciones
http://www.youtube.com/watch?v=xe8JIPhA1rk
Conteo (principio multiplicativo)
http://www.youtube.com/watch?v=XSPWWIGjA4k&feature=related
Diagrama de árbol
http://www.youtube.com/watch?v=yk2Qkn11xFM&feature=related
127
MATERIAL DE TRABAJO RECOLECTADO Y REALIZADO POR:
Profesor Efraín Álvarez Chávez
LIE Perla Yanet Manzo Hernández
Mtro. Roberto Rodríguez Nava