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Matemáticas 1º Bachillerato CCSS
Tema 1.- Números reales
1.- Números racionales
Los números racionales son todos los que se pueden expresar en forma de fracción, o lo que
es lo mismo, son los números enteros, los números decimales finitos y los números
decimales periódicos.
2.- Números irracionales
Los números irracionales son los que no son racionales, es decir, todos los que NO se
pueden expresar en forma de fracción, o lo que es lo mismo, son los números decimales NO
periódicos.
3.- Intervalos y semirrectas
Nombre Símbolo Expresión
matemática Representación
Intervalo abierto (𝑎, 𝑏) ó ]𝑎, 𝑏[ {𝑥 / 𝑎 < 𝑥 < 𝑏}
Intervalo cerrado [𝑎, 𝑏] {𝑥 / 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏}
Intervalo semiabierto (𝑎, 𝑏] ó ]𝑎, 𝑏] {𝑥 / 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏}
[𝑎, 𝑏) ó [𝑎, 𝑏[ {𝑥 / 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏}
Semirrecta
(−∞, 𝑎) ó ]−∞, 𝑎[ {𝑥 / 𝑥 < 𝑎}
(−∞, 𝑎] ó ]−∞, 𝑎] {𝑥 / 𝑥 ≤ 𝑎}
(𝑎, +∞) ó ]𝑎, +∞[ {𝑥 / 𝑥 > 𝑎}
[𝑎, +∞) ó [𝑎, +∞[ {𝑥 / 𝑥 ≥ 𝑎}
4.- Valor absoluto
|𝑎| = { 𝑎 𝑠𝑖 𝑎 ≥ 0−𝑎 𝑠𝑖 𝑎 < 0
1. |𝑥 − 2| = 3 es lo mismo que 𝑥 − 2 = −3 ó 𝑥 − 2 = 3 (2 soluciones)
2. |𝑥 − 2| ≤ 3 es lo mismo que −3 ≤ 𝑥 − 2 ≤ 3 (1 intervalo)
3. |𝑥 − 2| ≥ 3 es lo mismo que 𝑥 − 2 ≤ −3 ó 𝑥 − 2 ≥ 3 (unión de 2 intervalos)
5.- Potencias
1. 𝑎0 = 1
2. 𝑎1 = 𝑎
3. 𝑎−𝑛 =1
𝑎𝑛
4. 𝑎𝑛 · 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚
5. 𝑎𝑛: 𝑎𝑚 =𝑎𝑛
𝑎𝑚 = 𝑎𝑛−𝑚
6. (𝑎𝑛)𝑚 = 𝑎𝑛·𝑚
7. 𝑎𝑛 · 𝑏𝑛 = (𝑎 · 𝑏)𝑛
8. 𝑎𝑛: 𝑏𝑛 =𝑎𝑛
𝑏𝑛 = (𝑎
𝑏)
𝑛
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6.- Radicales
6.1.- Propiedades
1. √𝑎𝑛𝑛= 𝑎
2. √𝑎𝑚𝑛= 𝑎
𝑚
𝑛
3. √𝑎𝑚·𝑝𝑛·𝑝= √𝑎𝑚𝑛
4. ( √𝑎𝑚𝑛)
𝑝= √𝑎𝑚·𝑝𝑛
5. √ √𝑎𝑝𝑛
= √𝑎𝑛·𝑝
6. √𝑎𝑛
· √𝑏𝑛
= √𝑎 · 𝑏𝑛
7. √𝑎
𝑛
√𝑏𝑛 = √
𝑎
𝑏
𝑛
6.2.- Extraer números en los radicales
√2563
= √283= √23 · 23 · 223
= √233· √233
· √223= 2 · 2 · √223
= 4√223= 4√4
3
6.3.- Suma y resta de radicales
Solo se pueden sumar y restar radicales EXACTAMENTE IGUALES. Se extrae del radical:
7√23
− 4√12503
+ 2 √2146= 7√2
3− 20√2
3+ 8 √226
= 7√23
− 20√23
+ 8√23
= −5 √23
6.4.- Producto y división de radicales
Solo se pueden multiplicar y dividir radicales con el MISMO ÍNDICE:
√10
√53 =
√1036
√526 = √103
52
6
= √23 · 53
52
6
= √23 · 56
= √406
6.5.- Racionalización
4
3 √627 =4
3 √627 ·√657
√657 =4 √657
3 √677 =4 √657
3·6=
4 √657
18=
2 √657
9
2 √4
8
5(√7−3√6)=
2 √48
5(√7−3√6)·
√7+3√6
√7+3√6=
2 √48
·(√7+3√6)
5((√7)2
−(3√6)2
)=
2 √48
·(√7+3√6)
5(7−9·6)=
2 √48
·(√7+3√6)
−235
7.- Logaritmos
log𝑎 𝑃 = 𝑏 significa que 𝑎𝑏 = 𝑃
7.1.- Propiedades
1. log𝑎 1 = 0
2. log𝑎 𝑎 = 1
3. log𝑎(𝑃 · 𝑄) = log𝑎 𝑃 + log𝑎 𝑄
4. log𝑎 (𝑃
𝑄) = log𝑎 𝑃 − log𝑎 𝑄
5. log𝑎 𝑃𝑛 = 𝑛 log𝑎 𝑃
6. Cambio de base: log𝑎 𝑃 =log𝑏 𝑃
log𝑏 𝑎
¡¡OJO con las propiedades 3 y 4!!:
log𝑎(𝑃 + 𝑄) ≠ (log𝑎 𝑃)(log𝑎 𝑄)
log𝑎(𝑃 − 𝑄) ≠log𝑎 𝑃
log𝑎 𝑄
3
Tema 2.- Matemática financiera
1.- Incrementos y disminuciones porcentuales
Si 𝐶𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 es la cantidad final, 𝐶𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 es la cantidad inicial y 𝑝% es el porcentaje que se
aumenta o disminuye:
𝐶𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝐶𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 · (1 ±𝑝
100)
El + es para el aumento, y el – es para la disminución.
2.- Interés simple y compuesto. T.A.E.
2.1.- Interés simple
Si el rédito anual simple es del 𝑝%:
Rédito Interés Cantidad final
𝒑% anual 𝐶𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 ·𝑝
100 𝐶𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝐶𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 · (1 +
𝑝
100· 𝑡)
𝒑
𝟏𝟐% mensual 𝐶𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 ·
𝑝
12 · 100 𝐶𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝐶𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 · (1 +
𝑝
12 · 100· 𝑡)
𝒑
𝟑𝟔𝟓% diario 𝐶𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 ·
𝑝
365 · 100 𝐶𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝐶𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 · (1 +
𝑝
365 · 100· 𝑡)
En la 1ª fórmula 𝑡 son años, en la 2ª son meses, y en la 3ª son días.
2.2.- Interés compuesto
Si el rédito anual compuesto es del 𝑝%:
Rédito Cantidad final
𝒑% anual 𝐶𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝐶𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 · (1 +𝑝
100)
𝑡
𝒑
𝟏𝟐% mensual 𝐶𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝐶𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 · (1 +
𝑝
12 · 100)
𝑡
𝒑
𝟑𝟔𝟓% diario 𝐶𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝐶𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 · (1 +
𝑝
365 · 100)
𝑡
En la 1ª fórmula 𝑡 son años, en la 2ª son meses, y en la 3ª son días.
2.3.- T.A.E.
Si el rédito anual es del 𝑝%:
Tipo de interés T.A.E.
Mensual (1 +𝑝
12 · 100)
12
= 1 +𝑇
100
Trimestral (1 +𝑝
4 · 100)
4
= 1 +𝑇
100
En los dos casos el rédito anual del 𝑝% es igual al 𝑇% T.A.E.
4
3.- Anualidades de capitalización. Fondos
Si cada año se ingresa una anualidad 𝐴 con un rédito anual del 𝑝%, al cabo de 𝑡 años el
capital final es:
𝐶𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝐴 · (1 +𝑝
100) ·
(1 +𝑝
100)
𝑡
− 1
𝑝100
4.- Anualidades de amortización. Préstamos
Si cada año se abona una anualidad 𝐴 para pagar una deuda 𝐷 en 𝑡 años al 𝑝% anual:
𝐷 · (1 +𝑝
100)
𝑡
= 𝐴 ·(1 +
𝑝100
)𝑡
− 1
𝑝100
5.- Números índices
5.1.- Índices simples
Si la variable 𝑋 toma los valores 𝑥0, 𝑥1, …, 𝑥𝑡, el índice de 𝑋 en el periodo 𝑡, tomando como
base el periodo 0 es:
𝐼𝑡/0 =𝑥𝑡
𝑥0 ó 𝐼𝑡/0 =
𝑥𝑡
𝑥0· 100
Las propiedades de los índices simples son:
1. 𝐼𝑡/0 =1
𝐼0/𝑡
2. 𝐼𝑡/0 · 𝐼𝑡′/𝑡 · 𝐼0/𝑡′ = 1. Por tanto: 𝐼𝑡′/𝑡 =𝐼𝑡′/0
𝐼𝑡/0 (cambio de base)
5.2.- Índices compuestos
Si en vez de una variable tenemos 𝑛 variables, 𝑋1, 𝑋2, …, 𝑋𝑛, se llama índice compuesto a la
media aritmética de los índices simples de cada variable:
𝐼𝑡/0(𝑋) =∑𝐼𝑡/0(𝑋𝑖)
𝑛
Aunque normalmente las variables tienen distintos grados de importancia, y por ello se usa
una media ponderada:
𝐼𝑡/0(𝑋) =∑𝐼𝑡/0(𝑋𝑖)𝑤𝑖
𝑛
siendo 𝑤1, 𝑤2, …, 𝑤𝑛, los pesos de cada variable.
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Tema 3.- Álgebra
1.- Ecuaciones de segundo grado
Se hallan sus raíces con la fórmula: 𝑥 =−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎.
𝑏2 − 4𝑎𝑐 > 0: 2 soluciones
𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0: 1 solución doble
𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0: no hay solución
1.1.- Ecuaciones bicuadradas
3𝑥4 − 15𝑥2 + 12 = 0 → {𝑥2 = 𝑦
3𝑦2 − 15𝑦 + 12 = 0 → {
𝑥2 = 𝑦
𝑦 =15±√152−4·3·12
2·3
→ {𝑥 = ±√𝑦
𝑦1 = 4𝑦2 = 1
→
→ {𝑥 = ±√4 = ±2
𝑥 = ±√1 = ±1
2.- Factorización de polinomios
Para factorizar el polinomio 𝑃(𝑥):
1. Se saca factor común de 𝑥 (elevado a la mayor potencia posible).
2. Se utiliza Ruffini con los divisores del término independiente. Cuando el resto dé 0,
tendremos que 𝑃(𝑥)
𝑥−𝑎= 𝑄(𝑥), es decir, 𝑃(𝑥) = (𝑥 − 𝑎)𝑄(𝑥).
3. Se repite el proceso con 𝑄(𝑥) hasta llegar a un polinomio de 2º grado.
4. Se utiliza la fórmula de 2º grado con el último polinomio.
5. Si se llega a un polinomio irreducible, se deja.
3.- Fracciones algebraicas
3.1.- Simplificación
Se divide numerador y denominador por el m.c.d. de los dos polinomios.
3.2.- Fracciones equivalentes
Una fracción se obtiene al multiplicar o dividir tanto el numerador como el denominador de
la otra fracción por un mismo polinomio.
Para comprobar si dos fracciones algebraicas son equivalentes, se usa el producto en cruz.
3.3.- Reducción a denominador común
Se halla el m.c.m. de los denominadores, que será el denominador común. Los nuevos
numeradores serán el resultado de dividir el m.c.m. por los denominadores originales y
multiplicar por los numeradores originales.
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3.4.- Suma y resta
Se reducen las fracciones a denominador común y se suman o restan los nuevos
numeradores.
3.5.- Producto y división
El producto se hace multiplicando los numeradores entre sí y multiplicando los
denominadores entre sí. La división se hace multiplicando en cruz.
NOTA: se puede observar que los procedimientos de fracciones algebraicas son exactamente
los mismos que los de fracciones numéricas.
4.- Ecuaciones con la x dentro de un radical
Se despeja un radical y se eleva al cuadrado ambos miembros de la ecuación. Si después hay
más radicales, se repite el proceso.
NOTA: en ocasiones aparecen soluciones ficticias, así que hay que COMPROBAR todas las
soluciones.
5.- Ecuaciones con la x en el denominador
Se operan las fracciones tanto de un lado de la ecuación como del otro hasta que quede una
única fracción en cada miembro de la ecuación. Después se multiplica en cruz para obtener
una ecuación polinómica normal.
NOTA: en ocasiones aparecen soluciones ficticias, así que hay que COMPROBAR todas las
soluciones.
6.- Sistemas de ecuaciones
Por lo general se resuelven mediante tres métodos:
Sustitución: se despeja una incógnita de una ecuación y se sustituye en la otra
ecuación.
Igualación: se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones y se igualan los
resultados.
Reducción: se multiplica una ecuación por un número (o las dos ecuaciones por
números distintos) y se suman para eliminar una incógnita de una de las ecuaciones.
Si hay ecuaciones de los tipos vistos en las secciones 4, 5, 6 y 7 y no se puede utilizar
ninguno de los tres métodos anteriores, primero se transforman estas ecuaciones en
polinómicas.
7.- Método de Gauss
Un sistema escalonado de tres incógnitas es aquel en el que en una ecuación aparece
únicamente una incógnita, en otra aparece esa incógnita y otra más, y en la otra ecuación
aparecen las 3 incógnitas.
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El método de Gauss consiste en aplicar el método de reducción varias veces hasta conseguir
un sistema escalonado, que se resuelve fácilmente.
8.- Inecuaciones con una incógnita
8.1.- Inecuaciones de primer grado
Se resuelve la inecuación teniendo en cuenta que al multiplicar o dividir por números
negativos la desigualdad cambia de sentido. La solución es un intervalo.
8.2.- Inecuaciones de segundo grado
1. Se transforma la inecuación en ecuación (se cambia la desigualdad por un =) y se
resuelve.
2. Se dibuja la recta real y se representan las soluciones, de modo que éstas dividen la
recta real en varios intervalos.
3. Se sustituye la 𝑥 de la inecuación por un número de uno de los intervalos, y si la
inecuación se cumple, ese intervalo forma parte de la solución.
4. Se repite el punto 3 con los demás intervalos.
5. La solución de la inecuación es la unión de los intervalos correctos.
8.3.- Sistemas de inecuaciones
Se resuelven las inecuaciones por separado. La solución es la intersección de todos los
intervalos.
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Tema 4.- Funciones elementales
Una función asocia a cada número real de un conjunto, otro número real (solo uno).
Función polinómica: 𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 3 (recta), 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + 7𝑥 − 5, (parábola) …
Función de proporcionalidad inversa: 𝑓(𝑥) =2𝑥+3
𝑥−8 (hipérbola)
Función radical: 𝑓(𝑥) = √𝑥, 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 2, 𝑓(𝑥) = 7 − √𝑥 − 43
, …
Función exponencial: 𝑓(𝑥) = 2𝑥, 𝑓(𝑥) = 4−𝑥+5, …
Función logarítmica: 𝑓(𝑥) = log2 𝑥, 𝑓(𝑥) = log(𝑥 + 1), …
Función trigonométrica: 𝑓(𝑥) = sin 𝑥, 𝑓(𝑥) = tan 7𝑥, …
1.- Dominio y recorrido de funciones
El dominio de una función son todos los números del eje X en los que existe la función. En
general, el dominio són todos los números reales exceptuando aquellos que hacen que un
denominador sea 0, o que lo que hay dentro de una raíz de índice par sea negativo, o que lo
que hay dentro de un logaritmo sea negativo.
El recorrido de una función son todos los valores que toma la función en el eje Y.
2.- Funciones definidas a trozos
Son funciones que en intervalos distintos tienen expresiones distintas.
𝑓(𝑥) = {𝑥2 + 2𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0 1 𝑠𝑖 0 < 𝑥 < 4𝑥 − 3 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 4
Si 𝑥 = 11 (11 ≥ 4), entonces el valor de la función es 𝑓(11) = 11 − 3 = 8
Si 𝑥 = −3 (−3 ≤ 0), entonces el valor de la función es 𝑓(−3) = (−3)2 + 2(−3) + 1 = 4
Si 𝑥 = 2 (0 < 2 < 4), entonces el valor de la función es 𝑓(2) = 1
3.- Valor absoluto de una función
La función |𝑓(𝑥)| se calcula hallando primero 𝑓(𝑥) y luego calculando el valor absoluto del
resultado. Gráficamente, se representa la función 𝑓(𝑥) y todo lo que quede por debajo del eje
X se cambia por su simétrico (respecto del eje X).
4.- Composición de funciones
Si 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 + 3 y 𝑔(𝑥) = 𝑒𝑥, entonces {(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(𝑒𝑥) = (𝑒𝑥)2 − 2𝑒𝑥 + 3
(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔(𝑥2 − 2𝑥 + 3) = 𝑒𝑥2−2𝑥+3.
5.- Función inversa
Para que una función tenga inversa debe ser inyectiva.
𝑓(𝑥) =2𝑥+3
𝑥−8 → 𝑦 =
2𝑥+3
𝑥−8 → 𝑥𝑦 − 8𝑦 = 2𝑥 + 3 → 𝑥 =
8𝑦+3
𝑦−2 → 𝑓−1(𝑥) =
8𝑥+3
𝑥−2
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Tema 5.- Sucesiones
Una sucesión es un conjunto de números ordenados (no tiene porqué ser de menor a mayor
ni de mayor a menor) que tiene un primer elemento pero no tiene último (son infinitos
números). Cada elemento de una sucesión se llama término.
El término general de una sucesión es una expresión matemática que representa a TODOS
los números de la sucesión.
1.- Progresión aritmética
Sucesión en la que cada término se obtiene sumando al anterior una cantidad fija, llamada
diferencia de la progresión, d.
Término general: 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑
Suma de los 𝑛 primeros términos: 𝑆𝑛 =(𝑎1+𝑎𝑛)𝑛
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2.- Progresión geométrica
Sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad fija,
llamada razón de la progresión, r.
Término general: 𝑎𝑛 = 𝑎1 · 𝑟𝑛−1
Suma de los 𝑛 primeros términos: 𝑆𝑛 =𝑎𝑛·𝑟−𝑎1
𝑟−1=
𝑎1−𝑎𝑛·𝑟
1−𝑟
Suma de TODOS los términos cuando −1 < 𝑟 < 1: 𝑆∞ =𝑎1
1−𝑟
3.- Sucesiones recurrentes
Son sucesiones en las que cada término se obtiene haciendo cálculos con varios términos
anteriores. Es muy difícil obtener su término general.
Un ejemplo es la sucesión de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …
4.- Límite de una sucesión
Si según 𝑛 va aumentanto, 𝑎𝑛 se va acercando a un número 𝐿: lim𝑛→∞
𝑎𝑛 = 𝐿
Si según 𝑛 va aumentanto, 𝑎𝑛 va creciendo sin parar: lim𝑛→∞
𝑎𝑛 = +∞
Si según 𝑛 va aumentanto, 𝑎𝑛 va decreciendo sin parar: lim𝑛→∞
𝑎𝑛 = −∞
Si según 𝑛 va aumentanto, 𝑎𝑛 va oscilando: no existe límite
5.- El número e
El número 𝑒 es el límite de la sucesión 𝑎𝑛 = (1 +1
𝑛)
𝑛
y de la sucesión 𝑏𝑛 = (1 +1
−𝑛)
−𝑛
. Es
decir:
lim𝑛→∞
(1 +1
𝑛)
𝑛
= lim𝑛→∞
(1 +1
−𝑛)
−𝑛
= 𝑒
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Tema 6.- Límites de funciones. Continuidad
1.- Límite de una función en un punto
Si cuando 𝑥 va aumentando su valor desde un número inferior a 𝑎 hasta llegar a 𝑎, la función
va acercándose a un número, este número se representa por lim𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥).
Si cuando 𝑥 va disminuyendo su valor desde un número superior a 𝑎 hasta llegar a 𝑎, la
función va acercándose a un número, este número se representa por lim𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥).
Si la función va acercándose al mismo número tanto si 𝑥 va aumentando como disminuyendo
hasta llegar a 𝑎, entonces la función tiene límite:
lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = lim𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = lim𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥)
2.- Continuidad
La función 𝑓(𝑥) es continua en 𝑎 si tal punto pertenece al dominio de 𝑓(𝑥) y lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎).
Discontinuidad de salto infinito: alguno de los límites laterales es infinito.
Discontinuidad de salto finito: los dos límites laterales son finitos, pero distintos.
Discontinuidad evitable: los dos límites laterales son finitos y coinciden (por tanto,
existe el límite de la función: lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)), pero 𝑓(𝑎) no existe o no coincide con el límite.
3.- Cálculo de límites
Si 𝑓(𝑥) es continua en 𝑎, entonces lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎).
lim𝑥→𝑎
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥), siendo 𝑃(𝑥) y 𝑄(𝑥) dos polinomios:
o Si 𝑄(𝑎) ≠ 0, entonces lim𝑥→𝑎
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)=
𝑃(𝑎)
𝑄(𝑎).
o Si 𝑄(𝑎) = 0 y 𝑃(𝑎) ≠ 0, entonces se calculan los límites laterales para saber
si el límite es +∞, −∞ o no existe (límites laterales distintos).
o Si 𝑄(𝑎) = 0 y 𝑃(𝑎) = 0, entonces hay que simplificar la fracción antes de
calcular el límite.
4.- Límites en el infinito
Si según como 𝑥 va aumentando, la función va aumentando sin parar, se dice que
lim𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = +∞. Y si va disminuyendo sin parar, lim𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = −∞. Del mismo modo,
puede ocurrir que sea lim𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = +∞ ó lim𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = −∞.
Si según como 𝑥 va aumentando, la función va acercándose a un valor sin sobrepasarlo,
entonces lim𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = 𝑘 y tenemos una asíntota horizontal en 𝑦 = 𝑘. Lo mismo puede
decirse si ocurre cuando 𝑥 va disminuyendo.
También puede ocurrir que los límites cuando 𝑥 → +∞ o 𝑥 → −∞ no existan.
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5.- Cálculo de límites en el infinito
El límite de un polinomio cuando 𝑥 → +∞ o 𝑥 → −∞ es +∞ o −∞, dependiendo del
signo del coeficiente del término de mayor grado y del exponente de la 𝑥.
lim𝑥→+∞
𝑎𝑥𝑚+⋯
𝑏𝑥𝑛+⋯ o lim
𝑥→−∞
𝑎𝑥𝑚+⋯
𝑏𝑥𝑛+⋯:
o Si 𝑚 > 𝑛, entonces el límite es +∞ o −∞, dependiendo de los signos de 𝑎 y
𝑏 y de los exponentes 𝑚 y 𝑛.
o Si 𝑚 < 𝑛, entonces el límite es 0.
o Si 𝑚 = 𝑛, entonces el límite es 𝑎
𝑏, pero hay que considerar los signos
dependiendo de los exponentes 𝑚 y 𝑛.
6.- Asíntotas
6.1.- Asíntotas verticales
Si lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = ±∞, entonces existe una asíntota vertical en 𝑥 = 𝑎. En general, si 𝑓(𝑥) =𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥),
las raíces de 𝑄(𝑥) forman asíntotas verticales.
6.2.- Asíntotas horizontales
Si lim𝑥→+∞
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)= 𝑘, entonces existe una asíntota horizontal en 𝑦 = 𝑘. Lo mismo si lim
𝑥→−∞
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)= 𝑘.
6.3.- Asíntotas oblicuas
Si el grado del polinomio 𝑃(𝑥) es exactamente una unidad más que el grado del polinomio
𝑄(𝑥), entonces 𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)= 𝑚𝑥 + 𝑛 +
𝑅(𝑥)
𝑄(𝑥) y tenemos una asíntota oblicua en 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛.
7.- Indeterminaciones
0
0: Se debe simplificar la fracción antes de calcular el límite.
∞ − ∞: Si son dos fracciones, se restan antes de calcular el límite; y si son radicales,
se multiplica y se divide por el conjugado de los radicales.
1∞: Si se está calculando el límite de 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥), el límite será el número 𝑒 elevado al
límite de 𝑔(𝑥)(𝑓(𝑥) − 1).
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Tema 7.- Derivadas
1.- Derivada de una función
La derivada de una función 𝑓(𝑥) en un punto 𝑥0 es, por definición: 𝑓′(𝑥0) = limℎ→0
𝑓(𝑥0+ℎ)−𝑓(𝑥0)
ℎ, y
gráficamente es la pendiente de la recta tangente a la función en ese punto.
La función derivada da directamente la derivada en cada punto: 𝑓′(𝑥) = limℎ→0
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
ℎ.
2.- Tabla de derivadas
Función Derivada Función Derivada
(𝒇(𝒙))𝒏 𝑛 · (𝑓(𝑥))
𝑛−1· 𝑓′(𝑥)
𝒆𝒇(𝒙) 𝑒𝑓(𝑥) · 𝑓′(𝑥) 𝐥𝐧(𝒇(𝒙)) 1
𝑓(𝑥)· 𝑓′(𝑥)
𝒂𝒇(𝒙) ln 𝑎 · 𝑎𝑓(𝑥) · 𝑓′(𝑥) 𝐥𝐨𝐠𝒂(𝒇(𝒙)) 1
ln 𝑎·
1
𝑓(𝑥)· 𝑓′(𝑥)
𝐬𝐢𝐧(𝒇(𝒙)) cos(𝑓(𝑥)) · 𝑓′(𝑥) 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐢𝐧(𝒇(𝒙))
1
√1 − (𝑓(𝑥))2
· 𝑓′(𝑥)
𝐜𝐨𝐬(𝒇(𝒙)) − sin(𝑓(𝑥)) · 𝑓′(𝑥) 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬(𝒇(𝒙)) −
1
√1 − (𝑓(𝑥))2
· 𝑓′(𝑥)
𝐭𝐚𝐧(𝒇(𝒙))
[1 + tan2(𝑓(𝑥))] · 𝑓′(𝑥)
1
cos2(𝑓(𝑥))· 𝑓′(𝑥)
𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧(𝒇(𝒙)) 1
1 + (𝑓(𝑥))2 · 𝑓′(𝑥)
Operación Cálculo
Suma de funciones (𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥))′
= 𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥)
Producto por un número (𝑎 · 𝑓(𝑥))′
= 𝑎 · 𝑓′(𝑥)
Producto de funciones (𝑓(𝑥) · 𝑔(𝑥))′
= 𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)
División de funciones (𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥))
′
=𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)
(𝑔(𝑥))2
Regla de la cadena ((𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥))′
= (𝑓(𝑔(𝑥)))′
= 𝑓′(𝑔(𝑥)) · 𝑔′(𝑥)
4.- Crecimiento y decrecimiento. Extremos relativos
Si 𝑓′(𝑥0) > 0, entonces 𝑓(𝑥) es creciente en 𝑥0.
Si 𝑓′(𝑥0) < 0, entonces 𝑓(𝑥) es decreciente en 𝑥0.
Si 𝑓′(𝑥0) = 0 o no existe, entonces 𝑓(𝑥) podría tener un máximo relativo o un mínimo
relativo en 𝑥0.
5.- Representación de funciones
1. Hallar el dominio y el recorrido.
2. Hallar los puntos de corte y el signo de la función.
3. Hallar las asíntotas.
4. Hallar los máximos y mínimos relativos, y el crecimiento y decrecimiento con la
derivada.
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Tema 8.- Distribuciones unidimensionales
1.- Tabla de distribución de frecuencias
𝒙𝒊 𝒇𝒊 𝒉𝒊 𝑭𝒊 𝑯𝒊
𝒙𝟏 𝑓1 ℎ1 =𝑓1
𝑛 𝐹1 = 𝑓1 𝐻1 = ℎ1
𝒙𝟐 𝑓2 ℎ2 =𝑓2
𝑛 𝐹2 = 𝑓1 + 𝑓2 𝐻2 = ℎ1 + ℎ2
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝒙𝒏 𝑓𝑛 ℎ𝑛 =𝑓𝑛
𝑛 𝐹𝑛 = 𝑓1 + 𝑓2 + ⋯ + 𝑓𝑛 𝐻𝑛 = ℎ1 + ℎ2 + ⋯ + ℎ𝑛
𝑓𝑖 son las frecuencias absolutas, ℎ𝑖 son las frecuencias relativas, 𝐹𝑖 son las frecuencias
absolutas acumuladas, y 𝐻𝑖 son las frecuencias relativas acumuladas.
Cuando haya muchos valores de 𝑥𝑖 se agrupan en intervalos y se utiliza su punto medio como
𝑥𝑖 en la tabla anterior.
2.- Medidas de centralización
Media aritmética: �̅� =∑𝑥𝑖
𝑛 Media ponderada: �̅� =
∑𝑥𝑖𝑓𝑖
𝑛
La media aritmética únicamente se utiliza si todas las frecuencias absolutas son 1.
Si se ordenan todos los valores de menor a mayor: el primer valor cuya frecuencia absoluta
acumulada (𝐹𝑖) está por encima de 𝑛
4 se llama primer cuartil, 𝑄1; el primer valor cuya
frecuencia absoluta acumulada está por encima de 2 ·𝑛
4=
𝑛
2 se llama segundo cuartil, 𝑄2,
aunque también se llama mediana, 𝑀𝑒; y el primer valor cuya frecuencia absoluta
acumulada está por encima de 3 ·𝑛
4 se llama tercer cuartil, 𝑄3.
La moda es el valor que tiene la mayor frecuencia absoluta (𝑓𝑖).
3.- Medidas de dispersión
Rango o recorrido: 𝑅 = 𝑥𝑚𝑎𝑥 − 𝑥𝑚𝑖𝑛
Desviación media: 𝐷𝑀 =∑|𝑥𝑖−�̅�|𝑓𝑖
𝑛
Varianza: 𝑠2 =∑(𝑥𝑖−�̅�)2
𝑛
Desviación típica: 𝑠 = √𝑠2
4.- Coeficiente de variación
𝑉𝑝 =𝑠
�̅�· 100
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Tema 9.- Distribuciones bidimensionales
El conjunto de parejas de valores (𝑥1, 𝑦1), (𝑥2, 𝑦2), …, (𝑥𝑛, 𝑦𝑛), se llama distribución
bidimensional. Si se representan esos valores en un sistema de coordenadas, se obtiene el
diagrama de dispersión (también llamado nube de puntos).
1.- Tabla con sus fórmulas
𝒙𝒊 𝒚𝒊 𝒙𝒊 − �̅� 𝒚𝒊 − �̅� (𝒙𝒊 − �̅�)𝟐 (𝒚𝒊 − �̅�)𝟐 (𝒙𝒊 − �̅�)(𝒚𝒊 − �̅�)
𝒙𝟏 𝑦1 𝑥1 − �̅� 𝑦1 − �̅� (𝑥1 − �̅�)2 (𝑦1 − �̅�)2 (𝑥1 − �̅�)(𝑦1 − �̅�)
𝒙𝟐 𝑦2 𝑥2 − �̅� 𝑦2 − �̅� (𝑥2 − �̅�)2 (𝑦2 − �̅�)2 (𝑥2 − �̅�)(𝑦2 − �̅�)
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝒙𝒏 𝑦𝑛 𝑥𝑛 − �̅� 𝑦𝑛 − �̅� (𝑥𝑛 − �̅�)2 (𝑦𝑛 − �̅�)2 (𝑥𝑛 − �̅�)(𝑦𝑛 − �̅�)
∑𝒙𝒊 ∑𝑦𝑖 ∑(𝑥𝑖 − �̅�)2 ∑(𝑦𝑖 − �̅�)2 ∑(𝑥𝑖 − �̅�)(𝑦𝑖 − �̅�)
Medida Fórmula
Media de 𝒙 �̅� =∑𝑥𝑖
𝑛
Media de 𝒚 �̅� =∑𝑦𝑖
𝑛
Centro de gravedad de la distribución (�̅�, �̅�)
Varianza de 𝒙 𝑠𝑥2 =
∑(𝑥𝑖 − �̅�)2
𝑛
Desviación típica de 𝒙 𝑠𝑥 = √𝑠𝑥2
Varianza de 𝒚 𝑠𝑦2 =
∑(𝑦𝑖 − �̅�)2
𝑛
Desviación típica de 𝒚 𝑠𝑦 = √𝑠𝑦2
Covarianza de 𝒙 e 𝒚 𝑠𝑥𝑦 =∑(𝑥𝑖 − �̅�)(𝑦𝑖 − �̅�)
𝑛
Coeficiente de correlación entre 𝒙 e 𝒚 𝑟 =𝑠𝑥𝑦
𝑠𝑥 · 𝑠𝑦
El coeficiente de correlación está entre -1 y 1, y mide la relación que hay entre las variables.
Si se acerca a 1, las variables están directamente relacionadas; si se acerca a -1, las variables
están inversamente relacionadas; y si se acerca a 0, las variables no están relacionadas.
2.- Rectas de regresión
Coeficiente de regresión de 𝑌 sobre 𝑋: 𝑠𝑥𝑦
𝑠𝑥2
Recta de regresión de 𝑌 sobre 𝑋: 𝑦 = �̅� +𝑠𝑥𝑦
𝑠𝑥2 (𝑥 − �̅�)
Coeficiente de regresión de 𝑋 sobre 𝑌: 𝑠𝑥𝑦
𝑠𝑦2
Recta de regresión de 𝑋 sobre 𝑌: 𝑥 = �̅� +𝑠𝑥𝑦
𝑠𝑦2 (𝑦 − �̅�)
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Tema 10.- Cálculo de probabilidades
1.- Definiciones
En un experimento aleatorio (como lanzar un dado), pueden obtenerse diferentes resultados.
El conjunto de todos los resultados posibles es el espacio muestral (1, 2, 3, 4, 5 y 6). Cada
posible resultado es un suceso elemental, y los conjuntos de sucesos elementales (sacar
número par, sacar más de 4, sacar número primo, …) se llaman simplemente sucesos.
Suceso imposible: suceso que NUNCA ocurre (sacar más de 6, sacar múltiplos de 7, …)
Suceso seguro: suceso que ocurre SIEMPRE, es decir, es el espacio muestral.
Unión de sucesos: ocurre un suceso O el otro.
Intersección de sucesos: ocurre un suceso Y el otro.
Diferencia de sucesos: ocurre un suceso Y NO ocurre el otro.
Complementario de un suceso: NO ocurre el suceso.
Sucesos incompatibles: sucesos que no pueden ocurrir al mismo tiempo.
La probabilidad siempre va de 0 a 1. La probabilidad del suceso imposible es 0, y la del
espacio muestral (suceso seguro) es 1.
𝑃(𝐴𝑐) = 1 − 𝑃(𝐴)
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
Fórmula de Laplace: 𝑃(𝐴) =𝑛º 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠
𝑛º 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠
2.- Probabilidad condicionada
𝑃(𝐴/𝐵) =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐵)
La probabilidad condicionada de 𝐴 sobre 𝐵 es la probabilidad de que ocurra 𝐴, si
consideramos que 𝐵 es el “nuevo” espacio muestral.
Los sucesos 𝐴 y 𝐵 son independientes si 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) · 𝑃(𝐵). En ese caso: {𝑃(𝐴/𝐵) = 𝑃(𝐴)
𝑃(𝐵/𝐴) = 𝑃(𝐵).
3.- Probabilidad total
Si se divide el espacio muestral en 𝑛 sucesos incompatibles, 𝐴1, 𝐴2, …, 𝐴𝑛, entonces:
𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐵/𝐴1) · 𝑃(𝐴1) + 𝑃(𝐵/𝐴2) · 𝑃(𝐴2) + ⋯ + 𝑃(𝐵/𝐴𝑛) · 𝑃(𝐴𝑛)
4.- Fórmula de Bayes
Si se divide el espacio muestral en 𝑛 sucesos incompatibles, 𝐴1, 𝐴2, …, 𝐴𝑛, entonces:
𝑃(𝐴𝑖/𝐵) =𝑃(𝐵/𝐴𝑖) · 𝑃(𝐴𝑖)
𝑃(𝐵/𝐴1) · 𝑃(𝐴1) + 𝑃(𝐵/𝐴2) · 𝑃(𝐴2) + ⋯ + 𝑃(𝐵/𝐴𝑛) · 𝑃(𝐴𝑛)
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Tema 11.- Distribuciones de probabilidad
Variable discreta: se pueden encontrar dos posibles valores consecutivos de la variable.
Variable continua: entre dos posibles valores de la variable hay infinitos posibles valores.
1.- Distribuciones de probabilidad de variable discreta
A cada valor se le asocia su probabilidad (se puede representar con un diagrama de barras).
Media: 𝜇 = ∑𝑥𝑖𝑝𝑖 Varianza: 𝜎2 = ∑(𝑥𝑖 − 𝜇)2𝑝𝑖 Desviación típica: 𝜎 = √𝜎2
1.1.- Distribución binomial
Un experimento dicotómico consiste en realizar un experimento y ver si ocurre un suceso o
no (éxito o fracaso). La probabilidad del éxito se expresa por 𝑝, y la del fracaso 𝑞 = 1 − 𝑝.
La distribución binomial consiste en realizar 𝑛 experimentos dicotómicos y contar los
éxitos. Se expresa 𝐵(𝑛, 𝑝). La fórmula de la probabilidad en una distribución binomial es:
𝑃[𝑥 = 𝑘] = (𝑛𝑘
) 𝑝𝑘𝑞𝑛−𝑘; media: 𝜇 = 𝑛𝑝; desviación típica: 𝜎 = √𝑛𝑝𝑞
2.- Distribuciones de probabilidad de variable continua
La función de probabilidad o función de densidad es una función que tiene la siguiente
propiedad: la probabilidad de que la variable tome un valor entre 𝑎 y 𝑏 es igual al área que
hay entre la función y el eje X entre 𝑥 = 𝑎 y 𝑥 = 𝑏. Por ello, esta función NUNCA es
negativa, y el área total que hay entre la función de densidad y el eje X es 1.
La función de distribución es una función de probabilidad acumulada. A cada valor, 𝑎, le
asocia la probabilidad de que la variable tome un valor menor o igual a 𝑎. Es decir, a cada
valor, 𝑎, le asocia el área que hay entre la función de densidad y el eje X desde su comienzo
hasta 𝑥 = 𝑎.
2.1.- Distribución normal
Su función de densidad es una campana de Gauss, más ancha o estrecha y más alta o baja
dependiendo de su media y su desviación típica. Se expresa 𝑁(𝜇, 𝜎).
Cuando la media es 0 y la desviación típica es 1, tenemos la distribución normal típica. Para
calcular probabilidades en 𝑁(0,1), se usa una tabla donde a partir de 𝑘, da 𝜙(𝑘) = 𝑃[𝑧 ≤ 𝑘],
siendo 𝑘 ≥ 0. Si se quiere calcular todo tipo de probabilidades, hay que tener en cuenta que:
𝑃[𝑧 ≤ 𝑘] = 𝜙(𝑘)
𝑃[𝑧 ≥ 𝑘] = 1 − 𝜙(𝑘)
𝑃[𝑧 ≤ −𝑘] = 𝑃[𝑧 ≥ 𝑘] = 1 − 𝜙(𝑘)
𝑃[𝑧 ≥ −𝑘] = 𝑃[𝑧 ≤ 𝑘] = 𝜙(𝑘)
Para calcular probabilidades en una distribución normal cualquiera, hay que tipificar la
variable:
𝑃[𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏] = 𝑃 [𝑎 − 𝜇
𝜎≤ 𝑧 ≤
𝑏 − 𝜇
𝜎]
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