MATEMaTICA basica
AutoraSandra Patricia Narváez Bello
B={2,4,6,8,...}
APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
Narváez Bello, Sandra Patricia
Matemática básica : aplicada a la ingeniería civil /
Sandra Patricia Narváez Bello
Bogotá: Universidad Piloto de Colombia, 2018
251 páginas: ilustraciones gráficos
Incluye referencias bibliográficas
ISBN : 9789588957883
1. MATEMÁTICA BÁSICA
2. CONJUNTOS – MATEMÁTICAS
3. INGENIERÍA CIVIL
CDD. 510
v
MATEMaTICA basica
AutoraSandra Patricia Narváez Bello
APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
B={2,4,6,8,...}
v
Universidad Piloto de Colombia
PresidenteJosé Maria Cifuentes Páez
RectoraÁngela Gabriela Bernal Medina
Director de Publicaciones y Comunicación GráficaRodrigo Lobo-Guerrero Sarmiento
Director de InvestigacionesMauricio Hernández Tascón
Coordinador General de Publicaciones
Diego Ramírez Bernal
Decana Programa Ingeniería CivilMyriam Jeannette Bermudez Rojas
Matemática básica aplicada a la Ingeniería Civil
AutoraSandra Patricia Narváez Bello
ISBN978-958-8957-88-3
Copyright © Primera edición - 2019Bogotá, Colombia
Diseño y diagramaciónMaría Paula Martín
Daniela Martínez Díaz
Departamento de Publicaciones y
Comunicación Gráfica de la Universidad
Piloto de Colombia
La obra literaria publicada expresa exclusivamente la opinión de sus respectivos autores, de manera que no representan el
pensamiento de la Universidad Piloto de Colombia. Cada uno de los autores, suscribió con la Universidad una autorización o
contrato de cesión de derechos y una carta de originalidad sobre su aporte, por tanto, los autores asumen
la responsabilidad sobre el contenido de esta publicación.
Atribución - No comercial - Sin derivar: Esta licencia es la más restrictiva de las seis licencias principales, sólo permite que otros
puedan descargar las obras y compartirlas con otras personas, siempre que se reconozca su autoría y al sello editorial pero no
se pueden cambiar de ninguna manera ni se pueden utilizar comercialmente.
BY NC ND
Al Ser Supremo que me ha inspirado para seguir
adelante y me ha pemitido disfrutar de mis
seres queridos.
Valoro la posibilidad que me ha dado de seguir
aprendiendo y divulgando el conocimiento de
manera didactica y agradable.
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42
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47
01
00
CONJUNTOS
INTRODUCCIÓN
1.1. Concepto de conjunto
1.2. Tipos de conjuntos
1.2.1. Conjunto vacío o nulo
1.2.2. Conjunto unitario
1.2.3. Conjunto finito
1.2.4. Conjunto infinito
1.2.5. Conjunto Universal o referencial
Ejercicio N.° 1
Respuestas
1.3. Comparación entre conjuntos
1.3.1. Igualdad
1.3.2. Contenencia o subconjunto
1.3.3. Disyuntivos
1.4. Operación entre conjuntos
1.4.1. Unión de conjuntos
1.4.2. Intersección de conjuntos
1.4.3. Complemento de un conjunto
1.4.4. Diferencia de conjuntos
1.4.5. Diferencia simétrica de conjuntos
Ejercicio N.º 2.
Respuestas
1.5. Ejercicios de aplicación en la Ingeniería Civil N.° 1
1.6. Respuestas de los ejercicios de aplicación en la Ingeniería Civil N.° 1
49
57
02
03
NÚMEROS
NÚMEROS FRACCIONARIOS
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50
51
51
51
52
52
52
53
5353
54
54
55
55
58
5959
59
60
61
2.1. Clasificación de los números
2.1.1. Números Naturales (N)
2.1.2. Números Cabales (W)
2.1.3. Números Enteros Negativos
2.1.4. Números Enteros (Z)
2.1.5. Números Racionales no Enteros o Fraccionarios
2.1.6. Números Racionales (Q)
2.1.7. Números Irracionales (H)
2.1.8. Números Reales (R)
2.1.9. Números Imaginarios
2.1.10. Números Complejos
Ejercicio N.° 3
Respuestas
2.2. Ejercicios de aplicación en la Ingeniería Civil N.° 2
2.3. Respuestas de los ejercicios de aplicación en la Ingeniería Civil N.° 2
3.1. Elementos de una fracción
3.2. Conceptos de fracción
3.2.1. Fracción como parte de una unidad
3.2.2. Fracción como cociente
3.2.3. Fracción como operador
3.2.4. Fracción como razón
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63
64
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70
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76
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v
3.2.5. Fracción como porcentaje
3.3. Comparaciones entre fracciones
3.3.1. Fracciones equivalentes
3.3.2. Fracciones homogéneas
3.3.3. Fracciones no homogéneas
3.4. Tipos de fracciones
3.4.1. Fracciones propias
3.4.2. Fracciones impropias
3.4.3. Fracciones mixtas
3.4.4. Fracciones unitarias
3.4.5. Fracciones decimales
Ejercicio N.° 4
Respuestas
3.5. Operaciones entre fracciones
3.5.1. Suma y resta entre fraccionarios
3.5.2. Fracciones homogéneas
3.5.3. Fracciones no homogéneas
3.5.4. Multiplicaciones entre fraccionarios
3.5.5. División entre fraccionarios
Ejercicio N.° 5.
Respuestas
3.6. Ejercicios de aplicación en la Ingeniería Civil N.° 3
3.7. Respuestas de los ejercicios de aplicación en la Ingeniería Civil N.° 2
v
04 POTENCIACIÓN4.1. Elementos de la potenciación
4.2. Tipos de potencias
4.2.1. Potencia de base positiva
4.2.2. Potencia de base negativa
Ejercicio N.° 6
Respuestas
4.3. Propiedades de la potenciación
4.3.1. Potencia con exponente igual a cero
4.3.2. Potencia con exponente igual a uno
4.3.3. Potencia de un producto
4.3.4. Potencia de un cociente o fraccionario
4.3.5. Potencia de potencias
4.3.6. Potencia con exponente negativo
4.3.7. Potencia con exponente fraccionario
4.3.8. Potencia de bases iguales
Ejercicio N.°7
Respuestas
4.4. Clases especiales de potencias
4.4.1. Potencia en base natural o base e
4.4.2. Potencia en base 10
Ejercicio N.°8
4.5. Ejercicios de aplicación en la ingeniería civil N.° 4
4.6. Respuestas de los beneficios de aplicación en la ingeniería civil N.° 4
84
85
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86
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90
90
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93
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94
94
96
96
98
05 RADICACIÓN5.1. Elementos de la radicación
5.2. Clases de raíces
5.2.1. Raíz de índice par
5.2.2. Raíz de índice impar
Ejercicio N.° 9
Respuestas
5.3. Propiedades de los radicales
5.3.1.Raíz expresada como una potencia
5.3.2. Raíz de cero
5.3.3. Raíz de uno
5.3.4. Raíz de un productor con un mismo índice
5.3.5. Raíz de un cociente o fracción
5.3.4. Raíz de una raíz
5.3.5. Potencia de una raíz
5.3.6. Multiplicación de dos radicales con dife-rentes índice y la misma cantidad subradical
Ejercicio N.° 10
Respuestas
5.4. Ejercicios de aplicación en la Ingeniería Civil
5.5. Resultados de los ejercicios de aplicación en la Ingeniería Civil N.° 5
100
101
102
102
103
105
105
106
106
106
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111
111
112
116
06 LOGARITMACIÓN 117
119
119
120
120
121
122
122
123
123
123
123
124
124
124
125
125
126
127
128
129
131
6.1. Tipos de logaritmos
6.1.1. Logaritmo decimal o vulgar
6.1.2. Logaritmo natural o neperiano
6.1.3. Logaritmo binario
6.1.4. Logaritmo en base a: loga x
Ejercicio N.° 11
Respuestas
6.2. Propiedad de los logaritmos
6.2.1. Logaritmo de cero
6.2.2. Logaritmo de uno
6.2.3. Logaritmo de la misma base
6.2.4. Logaritmo de un producto
6.2.5. Logaritmo de un cociente o fracción
6.2.6. Logaritmo de una potencia
6.2.7. Logaritmo de un radical
6.2.8. Igualdad de logaritmos
6.2.9. Transformación de logaritmos
Ejercicio N.° 12
Respuestas
6.3. Ejercicios de aplicación en la Ingeniería Civil N.° 6
6.4. Resultados de los ejercicios de aplicación en la Ingeniería Civil N.° 6
07 TÉRMINOS ALGEBRAICOS7.1. Expresiones algebraicas
7.2. Tipos de expresiones algebraicas
7.3. Polinomios según el número de términos algabráicos
7.3.1. Monomio
7.3.2. Binomio
7.3.3. Trinomio
Ejercicios N.° 13
Respuestas
7.4. Polinomios según su grado
7.4.1. Polinomio grado cero
7.4.2. Polinomio de primer grado
7.4.3. Polinomio de segundo grado
7.4.4. Polinomio de tercer grado
7.4.5. Polinomio de cuarto grado
Ejercicio N.° 14
Respuestas
7.5. Simplificación de expresiones algebraicas
7.5.1. Términos semejantes
7.5.2. Ley de multiplicación de signos
7.5.3. Signos de agrupación
7.6. Suma y resta de polinomios
132
135
135
136
136
136
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138
138
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139
139
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140
141
143
143
143
143
144
144
145
Ejercicio N.° 15
Respuestas
7.7. Multiplicación algebraica
7.7.1. Multiplicación de una constante (número) por un polinomio
Ejercicio N.°16
Respuestas
7.7.2. Multiplicación de un monomio por un polinomio
Ejercicio N.° 17
Respuestas
7.7.3. Multiplicación de polinomios
Ejercicio N.° 18
Respuestas
7.8. División algebraica
7.8.1. División entre monomios
7.8.2. División entre fracciones
7.8.3. División de un polinomio por un monomio
7.8.4. División entre polinomios
Ejercicio N.° 19
Respuestas
7.9. Ejercicios de aplicación en la Ingeniería Civil N.° 7 Términos algebraicos
7.10. Respuestas de los ejercicios de aplicación en la Ingeniería Civil N.° 7
147
147
147
147
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148
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151
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151
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156
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08 FACTORIZACIÓN 164
166
166
166
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173
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179
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182
182
184
187
8.1. Métodos de fractorización
8.1.1. Factorización de un monomio
8.1.2. Factorización de un polinomio
8.2. Caso I: factor común
8.3. Caso II: factor común por agrupación de términos
8.4. Caso III: trinomio cuadrado perfecto
Ejercicio N.° 20
Respuestas
8.5. Caso IV: Diferencia de cuadrados
Ejercicio N.° 21
Respuestas
8.6. Caso especial del caso IV (diferencia de cuadra-dos y combinación de los casos III y IV)
8.6.1. Caso especial de diferencia de cuadrados
8.6.2. Caso especial combinación de los casos III y IV
Ejercicio N.° 22
Respuestas
8.7. Caso V: trinomio cuadrado perfecto por adición y sustratación
8.7.1. Caso especial: suma de los cuadrados
Ejercicio N.° 23
Respuestas
8.8. Caso VI: Trinomio de la forma x2 + bx + c
8.8.1. Caso especial del caso VI
Ejercicio N.° 24
Respuestas
8.9. Caso VII: trinomio de la forma ax2 + bx + c
8.9.1. Casos especiales del caso VII
8.9.1.1. Casos especiales del caso VII
Ejercicio N.°25
Respuestas
8.10. Caso VIII: cubo perfecto de binomios
Ejercicio N.° 26
Respuestas
8.11. Caso IX: suma o diferencia de cubos
Ejercicio N.° 27
Resultados
8.11.1. Caso especial del caso IX
Ejercicio N.° 28
Respuestas
8.12. Caso X: suma o diferencia de dos potencias iguales
Ejercicio N.° 29
Respuestas
8.13. Ejercicios de aplicación en la Ingeniería Civil N.° 8. Factorización
8.14. Respuestas de los ejercicios de aplicación en la Ingeniería Civil N.° 8. Factorización
187
187
189
189
192
192
193
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195
195
197
197
197
200
200
200
203
203
203
209
09
10
FRACCIONES ALGEBRAICAS
REFERENCIAS
9.1. Reducción de fracciones
9.1.1. Fracciones con monomios
9.1.2. Fracciones con polinomios
9.2. Operaciones entre fracciones algebraicas
9.2.1. Suma y resta de fracciones algebraicas
Ejercicio N.° 30
Resultados
9.2.2. Multiplicación de fracciones algebraicas
Ejercicio N.° 31
Resultados
9.2.3. División entre fracciones algebraicas
Ejercicio N.° 32
Resultados
9.3. Ejercicios de aplicación en la Ingeniería Civil N.° 9. Fracciones Algebraicas
9.4. Respuestas de los ejercicios de aplicación en la Ingeniería Civil N.° 9 Fracciones algebraicas
211
229
213
214
214
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215
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217
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219
219
221
221
221
227
11 ANEXOS
Números
Clasificación de los números
Números fraccionarios
Conceptos de fracción
Las formas de comparar fracciones
Resumen de los diferentes tipos de fracciones
Potenciación
Resumen tipos de potencia
Resumen propiedades de la potenciación
Resumen clases especiales de potencias
Radicación
Resumen características de raíz índice par e impar
Resumen propiedades de la radicación
Logaritmación
Resumen tipo de logaritmos
Resumen propiedades de los logaritmos
Términos algebraicos
Resumen tipo de expresiones algebraicas
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250
251
El álgebra básica es una de las bases de la In-
geniería Civil, pues contribuye al desarrollo del
pensamiento lógico-matemático. Además propor-
ciona herramientas importantes para resolver problemas
cotidianos propios del ejercicio profesional.
Para avanzar en la construcción de nuevos conocimientos,
es indispensable que el estudiante de los primeros niveles
de Ingeniería Civil afiance los conceptos relacionados con
conjuntos, números, números fraccionarios, potenciación,
radicación, logaritmación, términos algebraicos, factori-
zación y fracciones algebraicas.
23
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
De manera sencilla y visual, este libro presenta conceptos de
matemática básica aplicados a la Ingeniería Civil. Por ello, cada
tema contiene una gráfica en la que se explica el procedimiento
matemático correspondiente a un ejercicio. El uso del color se-
ñala los diversos elementos que se deben tener presentes para
desarrollar cada ejercicio.
También se presentan ejercicios relacionados con las diversas
áreas de aplicación de la Ingeniería Civil. Ejercicios relacionados
con la construcción, el diseño de vías y estructuras, la hidráuli-
ca de fluidos, el financiamiento de proyectos, la construcción
de redes de suministro de agua caliente o presas de embalses,
el manejo de escombros, los ensayos de laboratorio, las herra-
mientas de construcción, el diseño de acueductos y tanques de
almacenamiento, la hidráulica de pozos, los caudales de tuberías,
la geotecnia, entre otros.
Los conceptos plasmados en este texto se fundamentan en im-
portantes publicaciones de autores como: Álvarez Jiménez, R. A.
y Mejía Duque, F. G. (2006), Baldor, Cárdenas, J. L. (2014), Escu-
dero Trujillo, R. (2015), Fuentes Medina, A. A. (2015), Peters, M. y
Schaaf, W. L., Pérez, K. M. (1984), Ramírez V., A. P. y Cárdenas A.,
J. C. (2001), Sánchez Hernández, R. (2014) y Viedma, J. A. (1957).
Un conjunto es la agrupación de elementos que se carac-
terizan por cumplir con alguna particularidad, el cual está
conformado por un grupo de objetos (llamados elementos)
que tiene alguna característica en común.
Los conjuntos usualmente se denominan con letras ma-
yúsculas, tales como S, M, P, etc.
Los conjuntos se pueden especificar por comprensión
y por extensión.
1.1. Concepto de conjunto
27
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
Por comprensión. Se expresa claramente la característica por la
cual se agrupan elementos que hacen parte del conjunto.
Por extensión. Se relaciona expresamente cada uno se los elemen-
tos que hacen parte del conjunto. Para este ejemplo, el conjunto se
expresa además por extensión de la siguiente forma:
P = { x/x por las letras que forman la palabra “disciplina” }
P = {d,i,s,c,p,l,n,a}
Ejemplo N.° 1
Es importante aclarar que cuando un conjunto está conformado por
un número infinito de elementos, sólo se define por compresión y
no por extensión.
Como se observa en la gráfica N.° 1, el conjunto P está conformado
por ocho elementos. La gráfica muestra que el elemento a hace
parte del conjunto P. Matemáticamente esto se expresa como sigue:
a ∈ P, donde el símbolo ∈ se lee “pertenece”, es decir, “a pertenece
al conjunto P”.
Cuando un elemento no hace parte del conjunto, matemáticamente
se expresa así: b ∉ P, donde el símbolo ∉ se lee “no pertenece”. Es
decir, “b no pertenece al conjunto P”.
28{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
Como se puede observar, en la forma de extensión se relacionan
de manera expresa cada uno de los elementos que conforman la
palabra disciplina. De otra parte, en un conjunto especificado por
comprensión se indican las características comunes que comparten
sus elementos.
Agrupación de elementos que se caracterizan por cumplir con alguna particularidad
Conjuntos
Extensión Comprensión Diagrama de Venn
P = {d,i,s,c,p,l,n,a} P = { x/x por las letras que forman la palabra “disciplina”}
d IS
P
P
n
ica
Gráfica 1. Ejemplo Conjuntos por Extensión, Comprensión y Diagrama de Venn
Fuente. Sandra Patricia Narvaez
Diagrama de Venn. Para representar un conjunto de manera
gráfica se emplea el diagrama de Venn. Para ello, se utilizan ele-
mentos geométricos como: círculos, óvalos, triángulos, rectán-
gulos, entre otros.
Para el ejemplo planteado anteriormente, el conjunto P se podría
representar por medio del diagrama de Venn relacionado en la si-
guiente gráfica:
29
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
Los cinco tipos de conjuntos con los que usualmente se analizan
son representados en la gráfica 2.
Gráfica 2. Tipos de ConjuntosFuente. Sandra Patricia Narvaez
1.2. Tipos de conjuntos
Tipos de Conjuntos
Conjunto InfinitoEs el conjunto el cual tiene un número incontable de
elementos.
Conjunto UnitarioContiene un solo elemento
Conjunto FinitoContiene una cantidad limitada de elementos.
Conjunto Vacío o NuloNo contiene algún
elemento. Se representa con la letra (fi): Φ
Conjunto Universal o Referencial
Contiene todos los elementos posibles en un ejercicio o
problema planteado.
1.2.1. Conjunto vacío o nulo
Ejemplo N.° 2
Considerando el siguiente conjunto J.
Por comprensión: J = { x/x todas las ballenas que tienen agallas }
Por extensión: J = { }
30{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
1.2.2. Conjunto Unitario
Ejemplo N.° 3
Considerando el siguiente conjunto K.
Por comprensión:
K = { x/x Estrellas que iluminan el día al planeta tierra }
Por extensión: K = { sol }
1.2.3. Conjunto finito
Ejemplo N.° 4.
Considerando el siguiente conjunto L.
Por comprensión:
L = { x/x son los números enteros positivos menores que 7 }
Por extensión: L = { 1,2,3,4,5,6 }
1.2.4. Conjunto Infinito
Ejemplo N.° 5.
Considerando el siguiente conjunto M.
Por comprensión:
M = { x/x son los números enteros mayores que 7 }
Por extensión: M = {8,9,10,…}
31
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
1.2.5. Conjunto Universal o Referencial
Ejemplo N.° 6.
Considerando el siguiente conjunto R:
R = { x/x todos los números reales}
Como contiene una cantidad infinita de elementos, no se puede
expresar por extensión, sólo por comprensión.
Los conjuntos tienen dos características: (a) pueden compararse y
(b) es posible realizar operaciones . En las gráficas 4 y 6 se describen
la comparación y la operación entre conjuntos.
32
Ejercicio N.° 11. Exprese por extensión los siguientes conjuntos:
1.1. A = {x/x por las letras que conforman la palabra 'musical' }
1.2. B = { x/x son los números que son divisibles por 2 }
1.3. C = { x/x cantidad de países ubicados en el continente americano}
2. Exprese por compresión los siguientes conjuntos:
2.1. D = { 7,14,21,28,35,42,49,56 }
2.2. E = { a,e,i,o,u }
2.3. F = { bicicleta,moto,automóvil,avión,tren,bus,barco,metro }
3. Represente por medio del diagrama de Venn los siguientes
conjuntos:
3.1. G = { x/x las 3 capitales más importantes de Colombia }
3.2. H = {-10,-5,0,1,2}
3.3. M = {-20,-10,-2,-1}
4. Clasifique los siguientes conjuntos:
4.1. N = { x/x son los números impares entre 3 y 7 }
4.2. O = { x/x son las letas que conforman el abecedario }
4.3. P = { x/x los números que son divisibles por 5 }
4.4. Q = { x/x los números que son divisibles por 0 }
Respuestas:1. Conjuntos por expresión:
1.1. A = {M,U,S,I,C,A,L}
1.2. B = {2,4,6,8,...}
1.3. C = {35}
33
2. Conjuntos por comprensión:
2.1. D = { x/x son los números positivos menores de 60 y que son
divisibles por 7}
2.2. E = { x/x son las vocales del castellano}
2.3. F = { x/x principales medios de transporte}
3. Diagramas de Venn
3.1. Diagrama de Venn
BOGOTÁ
MEDELLÍN
CALI
3.2. Diagrama de Venn
-10 -5 01 2
3.3. Diagrama de Venn
Gráfica 3. Respuesta del Ejercicio 1Fuente. Sandra Patricia Narváez
-20-10-2-1
4. Clasificación de conjuntos:
4.1. N: Conjunto unitario
4.2. O: Conjunto finito
4.3. P: Conjunto infinito
4.4. Q: Conjunto vacío
34{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
1.3. Comparación entre conjuntos
DisyunciónS ≠ T
Comparación entre conjuntos
IgualdadN = O
ContenenciaN ⊂ Q
S T N O
S
Q
Gráfica 4. Comparación entre conjuntos Fuente. Sandra Patricia Narváez
Estos conceptos se analizarán teniendo presente el ejercicio descrito a
continuación, el cual se expresa con diagrama de Venn en la Gráfica 5.
Se tienen los conjuntos:
U = {a,b,c,d,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}
N = {1,2,4,a,b,c}
O = {a,b,c,1,2,4}
Al comparar dos conjuntos se obtiene las situaciones expresadas
en la gráfica 4.
35
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
Q = {1,3,5,7,9,11}
S = {1,3,9}
T = {a,b,c}
V = {1,9,12,c}
1.3.1. Igualdad
Dos conjuntos son iguales cuando los elementos que los conforman
son idénticos.
Ejemplo N.° 7
N={1,2,4,a,b,c}
O={a,b,c,1,2,4}
Se observa que ambos conjuntos tienen los mismos elementos.
Por lo tanto, se afirma que N=O.
1.3.2. Contenencia o subconjunto
Se afirma que un conjunto está contenido en otro cuando los ele-
mentos del primero se encuentran entre los elementos del segundo
conjunto. Se emplea el símbolo ⊂
Ejemplo N.° 8
Q = {1,3,5,7,9,11}
S = {1,3,9}
Se observa que los elementos del conjunto S se encuentran en
el conjunto Q. En este caso se afirma que S está contenido en Q.
Matemáticamente se expresa así: Q = S
36{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
1.3.3. Disyuntivos
Dos conjuntos son disyuntos cuando no tienen un elemento en
común.
Ejemplo N.° 9
S = {1,3,9}
T = {a,b,c}
Estos dos conjuntos no tienen elementos en común, entonces se
afirma que son conjuntos disyuntos matemáticamente expresamos
la relación entre estos conjuntos así: S ≠ T
El siguiente ejercicio ilustra las diversas comparaciones entre conjuntos:
N
U
Q
S
V
T
4 2
1 39
8 1210
5
117
6
b a cd
Gráfica 5. Respuesta de los ejercicios del 7 al 9.Fuente. Sandra Patricia Narváez
1.4. Operación entre conjuntos
Al operar varios conjuntos se encuentran las situaciones presentadas
en la gráfica 5. A continuación explicaremos con más detalle estas
operaciones partiendo del ejercicio ya planteado.
37
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
Gráfica 6. Operación entre conjuntos.Fuente. Sandra Patricia Narváez
Diferencia simétrica Q Λ V
DiferenciaQ ‒ S
ComplementoN'
N'
UniónS ∪ T
IntersecciónQ ∩ N
Operación entre
conjuntos
Q V
Q △ V
Q S
S-Q
Q S
Q-S
Q S
S ∪ T
Q S
Q ∩ V
N
1.4.1. Unión de conjuntos
Es la reunión de todos los elementos que hacen parte de diferentes
conjuntos en un conjunto nuevo. Para representar esta relación se
emplea el signo ∪.
38{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
S T∪
ST
ba
c
139
Gráfica 7. Ejemplo 10 S∪T.Fuente. Sandra Patricia Narváez
1.4.2. Intersección de conjuntos
Es el nuevo conjunto en el cual se relacionan sólo los elementos
que tienen en común los diferentes conjuntos. Para representar
esta relación se emplea el signo ∩.
Ejemplo N.° 11
Q = { 1,3,5,7,9,11 }
V = { 1,9,12,c }
Q ∩ V = { 1,9 }
Ejemplo N.° 10
S = {1,3,9}
T = {a,b,c}
S ∪ T={a,b,c,1,3,9}
39
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
Gráfica 8. Ejemplo 11 Q∩V. Fuente. Sandra Patricia Narváez
Gráfica 9. Ejemplo 12 N'.Fuente. Sandra Patricia Narváez
Q
V
139
12
511
7c
Q ∩ V
1.4.3. Complemento de un conjunto
Es un conjunto nuevo (N') que incluye los elementos que no existen
en el conjunto de estudio (N) y que lo harían idéntico al conjunto
universal. Se emplea el símbolo '
Ejemplo N.°12
U = { a,b,c,d,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 }
N = { 1,2,4,a,b,c }
N' = { d,3,5,6,7,8,9,10,11,12 }
N'
N'
U
4 2
13
98 1210
51176
b
N
a cd
40{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
1.4.4. Diferencia de conjuntos
Es un conjunto nuevo en el cual se relacionan los elementos del
conjunto de estudio que no se encuentran en otro conjunto de
comparación. Se emplea el símbolo —
Ejemplo N.° 13
Q = { 1,3,5,7,9,11 }
S = { 1,3,9}
Q - S = { 5,7,11 }
Q
S
1
3 9 5
117
Q – S
1.4.5. Diferencia simétrica de conjuntos
Es un conjunto nuevo o conformado por los elementos que per-
tenecen a la unión de dos conjuntos y que no se encuentran en la
intersección de los mismos. Se emplea el símbolo: Δ
Gráfica 10. Ejemplo 13 Q-S. Fuente. Sandra Patricia Narváez
41
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
Gráfica 11. Ejemplo 14 Q∆V. Fuente. Sandra Patricia Narváez
Ejemplo N.°14
Q = { 1,3,5,7,9,11 }
V = { 1,9,12,c }
Para hallar la diferencia simétrica se deduce inicialmente:
Q ∪ V = { 1,3,5,7,9,11,12,c }
Q ∩ V = { 1,9 }
Luego se define:
Q Δ V = { 3,5,7,11,12,c }
Q
V1
39
12
5
117
c
Q Δ S
42
Ejercicio N.º 2 Comparación y operación entre conjuntosTeniendo presente los siguientes conjuntos:
A = { 1,2,3,a}
B = { 3,4,5,e }
C = { a,e,i,o,u}
D = { 6 }
U = { a,e,i,o,u,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 }
Determinar:
2.1. Diagrama de Venn
2.2. A∪B∪C
2.3. A∩B∩C
2.4. D'
2.5. AΔB
Respuestas:2.1. Diagrama de Venn
Gráfica 12. Respuesta del Ejercicio 2.1 Q∆V. Fuente. Sandra Patricia Narváez
UA B
D
C
42
13
9
8
10
5
7
6
a e
io u
43
A∪B∪C
A∩B∩C
Gráfica 13. Respuesta del Ejercicio 2.2 A∪B∪C.Fuente. Sandra Patricia Narváez
Gráfica 14. Respuesta del ejercicio N.° 2.2 A∩B∩C.Fuente. Sandra Patricia Narváez
2.2. A∪B∪C = { a,e,i,o,u,1,2,3,4,5 }
2.3. A∩B∩C = { }
UA B
D
C
42
13
9
8
10
5
7
6
a e
io u
UA B
D
C
42
13
9
8
10
5
7
6
a e
io u
44
Gráfica 16. Respuesta del Ejercicio 2.5 A∆B.Fuente. Sandra Patricia Narváez
UA B
D
C
42
13
9
8
10
5
7
6
a e
io u
2.4. D' = { a,e,i,o,u,1,2,3,4,5,7,8,9,10 }
2.5. A∆B = { a,e,1,2,4,5 }
UA B
D
C
42
13
9
8
10
5
7
6
a e
io u
Gráfica 15. Respuesta del Ejercicio 2.4 D'.Fuente. Sandra Patricia Narváez
D'
A∆B
45
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
1.5. Ejercicios de aplicación en la Ingeniería Civil N.º 1
1. Encuesta de uso de materiales para agua caliente.
Al realizar una encuesta sobre el uso de diferentes materiales
para el sistema de red de agua caliente CPVC y cobre, entre
40 obras de construcción de vivienda. Se determinó que 28
de éstas prefieren el uso de CPVC y 18 emplean cobre. Final-
mente, 8 de ellas indican que usan ambos materiales.
Determine la cantidad de obras que no emplean ninguno de
estos materiales y realice el diagrama de Venn respectivo.
2. Vinculación de personal con posgrado.
Una empresa constructora y de diseño requiere vincular 22
ingenieros civiles con las siguientes maestrías:
• Maestría en geotecnia: 11
• Maestría en estructuras: 12
• Maestría en recursos hídricos: 10
Se ha establecido que pueden vincularse profesionales con
dos maestrías:
• Maestría en estructuras y geotecnia: 5
• Maestría en estructuras y recursos hídricos: 4
• Maestría en geotecnia y recursos hídricos: 4
Debido a la importancia de los proyectos se vincularán tam-
bién profesionales con triple titulación.
46{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
Establezca:
• ¿Cuántos profesionales cuentan con tres maestrías?
• ¿Cuántos profesionales cuentan sólo con una maestría?
3. Encuesta sobre tipo de presas en embalses.
Se realizó una encuesta en 28 empresas especialistas en el
diseño y la construcción de diferentes tipos de presas de em-
balses y se determinó que:
• 12 empresas se especializaron en el diseño de presas
de enrocado (Tipo A).
• 16 empresas se especializaron en el diseño de presas
construidas en concreto de arco (Tipo B).
• 22 empresas se especializaron en el diseño de presas
en tierra (Tipo C).
• 12 se especializaron en 2 tipos de presas.
Establezca:
• ¿Cuántas empresas se especializaron en el diseño y
construcción de las tres tipos de presas?
47
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
1.6. Respuestas de los ejercicios de aplicación en la Ingeniería Civil N.º 1
1. Encuesta de uso de materiales de agua caliente
• Cantidad de obras que sólo usan CPVC: 20
• Cantidad de obras que sólo usan Cobre: 10
• Cantidad de obras que emplean ambos materiales
(CPVC y cobre): 8
• Cantidad de obras que no emplea ninguno de estos
materiales (CPVC y cobre): 2
Diagrama de Venn
UCPVC COBRE
20
2
8 10
Gráfica 17. Respuesta del ejercicio N.º 1 de aplicación a la Ingeniería Civil. Uso de
materiales Red agua caliente.Fuente. Sandra Patricia Narváez
2. Vinculación de personal con postgrado.
• Ingenieros con tres maestrías: 2
• Ingenieros con la maestría en geotecnia: 4
• Ingenieros con la maestría en estructuras: 5
• Ingenieros con la maestría en recursos hídricos: 4
48{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
U GEOTECNIA ESTRUCTURAS
RECURSOS HIDRÍCOS
4
4
22
2
3 5
U Presas T1 Presas T2
Presas T3
7
1
45
6
2 3
3. Encuesta sobre tipo de presas en embalses.
Empresas que se especializaron en el diseño y la construcción
de las tres tipos de presas:
Gráfica 18. Respuesta del Ejercicio N.° 2 de aplicación a la Ingeniería Civil. Vinculación
de personal con postgrado.Fuente. Sandra Patricia Narváez
Gráfica 19. Respuesta del Ejercicio N.° 3 de aplicación a la Ingeniería Civil. Tipos de
presas en embalses.Fuente. Sandra Patricia Narváez
En los diferentes tipos de conjuntos se encuentran los que
relacionados con los números, es decir, los números na-
turales, cabales, enteros negativos, enteros, fraccionarios,
racionales, irracionales, reales, imaginarios y complejos.
A continuación explicamos cada clase.
2.1.1. Números Naturales (N)
Es el conjunto de números enteros positivos comenzando
desde el número uno. No contiene el cero. Los números
2.1. Clasificación de los números
51
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
naturales se subdividen en números pares e impares, números
primos y compuestos.
Ejemplo N.° 15
N = { 1,2,3,4,5,6,7,…,100,… }
2.1.2. Números Cabales (W)
Es el conjunto de números enteros positivos, incluyendo el cero.
Ejemplo N.° 16
W = { 0,1,2,3,4,5,6,7,…,100,… }
2.1.3. Números Enteros Negativos
Es el conjunto de números enteros negativos, excluyendo el cero.
Ejemplo N.° 17
Enteros negativos = { …,-20,…,-4,-3,-2,-1 }
2.1.4. Números Enteros (Z)
Es el conjunto que reúne los elementos de los números cabales y
los números enteros negativos.
Ejemplo N.° 18
Z = { …,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,... }
52{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
2.1.5. Números Racionales no Enteros o Fraccionarios
Es el conjunto de números que no son enteros y que se expresan
como una fracción. Se clasifican en propios o impropios, homogé-
neos o no homogéneos.
Ejemplo N.° 19
= 52
13
78
, —... , — ...,
Q = 52
78
, 0, , 108... , — 20 — ...
2.1.6. Números Racionales (Q)
Es el conjunto que incluye los elementos de los números enteros y
los racionales no enteros.
Ejemplo N.° 20
2.1.7. Números Irracionales (H)
Es el conjunto que agrupa a los números que no se expresan como
una fracción.
Ejemplo N.° 21
H = { … , -√11, √2, π, e, … }
Enteros fraccionarios
53
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
R = 52
, 0, e, 1030... , — √2, —20, — ...
2.1.8. Números Reales (R)
Es el conjunto que agrupa a los números racionales e irracionales.
Se caracterizan porque se pueden ubicar en la recta numérica.
Ejemplo N.° 22
2.1.9. Números Imaginarios
Es el conjunto de números que no se encuentran en la recta numérica.
Ejemplo N.° 23
Imaginarios = { …, √(-2), √(-1), 3√(-15), … }
2.1.10. Números Complejos
Es el conjunto de números que incluyen los elementos de los nú-
meros reales e imaginarios.
Ejemplo N.° 24
12
, π,3√(-15), …... , —20, — √2, — e, 0,Complejos =
54
Ejercicio N.° 3Al tener presente los conceptos explicados sobre las operaciones
entre los conjuntos, indique si las afirmaciones que aparecen a conti-
nuación son correctas o incorrectas. Tenga en cuenta la clasificación
de los números explicada en la gráfica 139.
3.1. W = N ∪ {0}
3.2. Z = W ∩ N
3.3. R = H ∩ Q
3.4. H = R — Q
3.5. Números complejos = Números imaginarios ∪ R
3.6. Números enteros = Z ― W
3.7. R = N Δ {0}
3.8. Z ⊂ R
Respuestas3.1. W = N ∪ {0} Correcta
3.2. Z = W ∩ N Incorrecta
3.3. R = H ∩ Q Incorrecta
3.4. H = R — Q Correcta
3.5. Números complejos = Números imaginarios ∪ R Correcta
3.6. Números enteros = Z ― W Correcta
3.7. R = N Δ {0} Incorrecta
3.8. Z ⊂ R Correcta
55
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
2.2. Ejercicios de aplicación en la Ingeniería Civil N.º 2
Indique si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas. En
caso de que la afirmación sea falsa, especifique el motivo.
Para la realización de los cálculos ingenieriles relacionados con el
análisis estructural se requiere tener presente que:
a. La cuantía del acero no es equivalente a un número negativo,
pues pertenece a los números naturales (N) enteros positivos.
b. La reacción de una viga no es equivalente a un número imagi-
nario, pues pertenece a los números complejos.
c. La cantidad de flejes en un elemento estructural es equivalente
a un número entero, el cual pertenece al grupo de los números
enteros negativos.
d. La deformación de un elemento empotrado es cero. Por lo tanto,
no es un número cabal.
e. La longitud de una viga es equivalente a un número complejo.
f. El área de una sección transversal de una columna se caracteriza
por ser un número imaginario.
2.3. Respuestas de los ejercicios de aplicación en la Ingeniería Civil N.º 2
a. La cuantía del acero no es un número negativo, pues pertenece
a los números naturales (N) enteros positivos.
Verdadero
56{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
b. La reacción de una viga no puede ser equivalente a un número
imaginario, pues pertenece al conjunto de los números complejos.
Falso: los números complejos incluyen los números imaginarios.
En este caso se afirma que la reacción de una viga pertenece a
los números reales.
c. La cantidad de flejes en un elemento estructural debe ser un
número entero, el cual pertenece al grupo de los números en-
teros negativos.
Falso: La cantidad de flejes es un número entero natural positivo.
d. La deformación de un elemento empotrado es cero, pues es
un número cabal.
Verdadero
e. La longitud de una viga es equivalente a un número complejo.
Falso: cualquier longitud se caracteriza por ser equivalente a
un número real positivo.
f. El área de una sección transversal de una columna se caracteriza
por ser equivalente a un número imaginario.
Falso: Toda área se caracteriza por ser equivalente a un número
real positivo.
En matemática se entiende el concepto de frac-
ción como la división de dos números enteros,
haciendo la salvedad de que el denominador
debe ser diferente de cero.
3.1. Elementos de una fracción
La fracción se encuentra comprendida por el numerador y
denominador, tal como se muestra en la siguiente gráfica:
Gráfica 20. Elementos de una fracciónFuente. Sandra Patricia Narváez
NumeradorDenominador
35
59
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
La fracción se trabaja bajo los siguientes conceptos:
3.2.1. Fracción como parte de una unidad
Se considera que una unidad se divide en partes iguales y se ha
seleccionado algunas de ellas.
Ejemplo N.° 25
Representar la fracción como parte de una unidad. En la siguiente
gráfica se describe que de cinco partes se toman sólo tres, tal como
se ilustra en la siguiente gráfica:
Gráfica 21. Ejemplo 25Fuente. Sandra Patricia Narváez
35
3.2. Conceptos de fracción
35
35
3.2.2. Fracción como cociente
El concepto de fracción está relacionado con la operación mate-
mática de división, la cual se realiza teniendo como base las tablas
de multiplicar.
60{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
3.2.3. Fracción como operador
Para calcular la fracción de un número se multiplica dicho valor por
el numerador y el resultado se divide por el denominador.
Ejemplo N.° 27
Representar la fracción de $90 bajo el concepto de operador.
En la gráfica 23 se muestra cómo se calcula la fracción de un número.
Se multiplica el numerador por $90 y el resultado se divide por 5,
ya que es el denominador de esta fracción.
Gráfica 22. Ejemplo 26Fuente. Sandra Patricia Narváez
Gráfica 23. Ejemplo 27Fuente. Sandra Patricia Narváez
35
30= 0 0,65
35
3 35 5 5
Calcular de $90
x $90 ($90) $270 $54
35
35
Ejemplo N.° 26.
Representar la fracción como cociente. En la gráfica 22 se ob-
serva que el concepto de cociente consiste en el desarrollo de la
división expresada en la fracción.
61
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
Gráfica 24. Ejemplo 28Fuente. Sandra Patricia Narváez
3.2.4. Fracción como razón
Se emplea la fracción como razón o proporción cuando se comparan
dos cantidades de una misma magnitud.
Ejemplo N.° 28
En una caja de colores, hay disponibles ocho lápices, de los cua-
les tres son rojos y cinco son azules. Indique la razón que hay
entre los colores rojos y los azules. En la gráfica 24 se representa
la situación descrita; por cada tres colores rojos, se encuentran
cinco de color azul.
En una caja hay 3 colores rojos y 5 azules. La razón entre colores rojos y azules es:
35
3 : 5 ó
3.2.5. Fracción como porcentaje
Se denomina un porcentaje a una porción que es proporcional al
número 100, el cual se expresa matemáticamente como una fracción.
Si se tiene el 50% se entiende que es la mitad del cien.
62{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
Ejemplo N.° 29
Representar como un porcentaje la fracción .
En la gráfica 25 se observa que la fracción corresponde
al 60%.
35
35
Gráfica 25. Ejemplo 29Fuente. Sandra Patricia Narváez
3
2
1
4
5
5
5
5
5
5100%
80%
60%
40%
20%
Es muy importante conocer cómo se realiza una comparación en-
tre fracciones, ya que esto facilita su operación. Al comparar dos
fracciones se pueden encontrar que son fracciones equivalentes,
homogéneas o no homogéneas.
3.3.1. Fracciones equivalentes
Dos fracciones son equivalentes a otra cuando, al multiplicar en
cruz sus elementos en cruz, se obtiene el mismo resultado.
3.3. Comparaciones entre fracciones
63
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
Ejemplo N.° 30
Verificar que las fracciones y son equivalentes.
En la gráfica 26 se puede observar este tipo de fracciones.
35
65
85
35
610
Gráfica 26. Ejemplo 30Fuente. Sandra Patricia Narváez
Gráfica 27. Ejemplo 31Fuente. Sandra Patricia Narváez
3
3
6
6
5
55(6) = 3(10)
30 = 30
10
10
es equivalente a ya que:
3.3.2. Fracciones homogéneas
Dos fracciones son homogéneas si ambas tienen el mismo denominador.
Ejemplo N.° 31
Verificar que las fracciones , , sean homogéneas. En la
gráfica 27 se representa este tipo de fracciones:−
65 8
5 35
−
Fracciones homogéneas
64{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
3.3.3. Fracciones no homogéneas
Dos fracciones no son homogéneas cuando tienen diferente de-
nominador.
Ejemplo N.° 32
Verificar que las fracciones , , sean no homogéneas.
Ver gráfica 28.
35
121
27
Gráfica 28. Ejemplo 32Fuente. Sandra Patricia Narváez
121
27
35
−
Fracciones no homogéneas
3.4. Tipos de fracciones
Las fracciones se clasifican en propias, impropias, mixtas y unitarias.
3.4.1. Fracciones propias
Son aquellas fracciones cuyo numerador es menor que el deno-
minador. Se identifican porque al ubicalas en la recta numérica se
encuentran entre el cero y el uno.
65
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
3.4.2. Fracciones impropias
Son aquellas cuyo numerador es mayor que el denominador.
Ejemplo N.° 34
Verificar si es una fracción impropia. Ver gráfica 30.
Ejemplo N.° 33
Verificar si , , son fracciones propias.
En la gráfica 29 se observa cómo se ubican estas fracciones en la
recta métrica decimal.
14
24
74
34
Gráfica 29. Ejemplo 33Fuente. Sandra Patricia Narváez
Gráfica 30. Ejemplo 34Fuente. Sandra Patricia Narváez
1 2 3 4
0.75
4
0 12
0,25 0.50
4 4 4
74=+
66{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
3.4.3. Fracciones mixtas
Está compuesta por una parte entera y otra fraccionaria. Para con-
vertir una fracción mixta en una impropia se multiplica el denomi-
nador por el número entero y se suma al numerador. El resultado
corresponde al numerador de la fracción impropia y se mantiene
como denominador el número de la fracción mixta.
Ejemplo N.° 35
Verificar si 1 es una fracción mixta.
Al analizar esta expresión matemática vemos que está compuesta
por un número entero y una fracción. Ver gráfica 31.
Para convertir una fracción mixta en una impropia se realiza la si-
guiente operación:
34
Gráfica 31. Ejemplo 35Fuente. Sandra Patricia Narváez
3 3 74 + 31 1 + = = =4 4 44
Fracciones mixtas
31 4=+
3.4.4. Fracciones unitarias
Las fracciones unitarias se caracterizan porque el numerador y el
denominador tienen el mismo número.
67
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
Ejemplo N.° 36
Verificar si es una fracción unitaria. Ver gráfica 32.
Al analizar esta expresión matemática se observa que el numerador
y el denominador tienen el mismo número. En la siguiente gráfica
se observa cómo se representa gráficamente esta fracción.
Gráfica 32. Ejemplo 36Fuente. Sandra Patricia Narváez
Gráfica 33. Ejemplo 37Fuente. Sandra Patricia Narváez
Fracciones unitarias
44=
3.4.5. Fracciones decimales
Se caracterizan porque su denominador es una potencia de diez.
Ejemplo N.° 37
Verificar si es una fracción decimal. Ver gráfica 33.
Al analizar esta fracción se observa que el denominador es el nú-
mero diez.
44
910
Fracciones decimales
910=
68
Ejercicio N.°4 4.1. Después de estudiar los conceptos de fracción (parte de una
unidad, porcentaje, cociente, razón y operador), represente
gráficamente la fracción.
4.2. Compare las siguientes fracciones e indique si son equivalentes,
homogéneas o no homogéneas:
4.2.1. y
4.2.2. y
4.2.3. y
4.3. Clasifique las siguientes fracciones en propias, impropias, mixtas,
unitarias y decimales.
4.3.1.
4.3.2.
4.3.3.
4.3.4.
4.3.5.
56
53
1214
−310
22
1231
3112
-5 25
27
67
88
58
69
Respuestas4.1. En la gráfica 34 se ilustra la fracción como parte de una unidad:
Gráfica 34. Solución Ejercicios 4Fuente. Sandra Patricia Narváez
Parte de una unidad
PorcentajeCociente
OperadorRazón
Conceptos de fracción
1 Numerador6 Denominador 1
0,166610
404
1
1
6
6 6 6x $12 1 ($12) $12 $2
Calcular de $12
16
1
6
1
8
616,675%
100% 8
6 116
ó:
En una bolsa hay 1 pelota roja y 6 azules. La razón entre colores rojos y azules es:
70
4.2.1. y : Fracciones no homogéneas
4.2.2. y : Fracciones equivalentes
4.2.3. y : Fracciones homogéneas
4.3.1. : Fracción decimal
4.3.2. : Fracción unitaria
4.3.3. : Fracción mixta
4.3.4. : Fracción propia
4.3.5. : Fracción impropia
53
1214
−310
22
1231
3112
-5 25
2767
88
58
3.5. Operaciones entre fracciones
Entre fracciones se realizan las siguientes operaciones matemáticas.
3.5.1. Suma y resta entre fraccionarios
Para realizar la suma o resta de las fracciones se debe tener en
cuenta qué tipo de fracción se está estudiando.
3.5.2. Fracciones homogéneas
Las fracciones homogéneas tienen el mismo denominador y se
suman o restan los numeradores para obtener el numerador
71
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
definitivo. Se deja como denominador el mismo número que
tienen las fracciones originales.
Ejemplo N.° 38
Realizar las siguientes operaciones matemáticas: − +
Como son fracciones homogéneas, los denominadores son iguales,
sólo se suman o restan los numeradores para definir la expresión final.
En la gráfica 35 se relaciona el procedimiento a seguir.
15
35
25
Gráfica 35. Ejemplo N.º 38Fuente. Sandra Patricia Narváez
15
5
− +3
3 − 1 + 2
525
Fracciones homogéneas
Sumar (o restar) los numeradores para definir el nuevo numerador
Emplear el mismo denominador
45
3.5.3. Fracciones no homogéneas
Para sumar o restar varias fracciones con diferente denominador
se debe determinar el común denominador.
72{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
Ejemplo N.° 39
Realizar las siguientes operaciones matemáticas: + −
Como son fracciones no homogéneas sus denominadores son di-
ferentes. En la gráfica 36 se relaciona el procedimiento a seguir.
Gráfica 36. Ejemplo N.º 39Fuente. Sandra Patricia Narváez
Fracciones no homogéneas
Hallar el mínimo común multiplo (mcm) de los denominadores, descomponiéndolos en factores y seleccionando los que tienen ma-yor exponente, sean comunes o no.
Hallar el numerador apli-cando la siguiente norma:Numerador por denomina-dor común (mcm) dividido por su denominador.
Operar (sumar o restar) los numeradores y tener pre-sente que el denominador es el obtenido como mcm.
Simplificar la fracción.
1
1 x (12)
2 x (12)
1 x (12)
4
4
33 + 8 − 2
12
6
4 = 22 3 = 3
mcm = 22 x 3 = 12
6 = 2 x 3
16
912
2
3 31
1
4 42 2
1 1
6 63 3
3
3
8
2
En la gráfica 37 se observa un resumen de este tipo de sumas y
restas de fracciones según si son homogéneas o no homogéneas.
14
16
23
73
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
Gráfica 37. Suma y resta entre fraccionesFuente. Sandra Patricia Narváez
Suma y resta entre fracciones
15
5
− +3
3 − 1 + 2
525
Fracciones homogéneas
Sumar (o restar) los numeradores para definir el nuevo numerador
Emplear el mismo denominador
45
Fracciones no homogéneas
Hallar el mínimo común multiplo (mcm) de los denominadores, descomponiéndolos en factores y seleccionando los que tienen ma-yor exponente, sean comunes o no.
Hallar el numerador apli-cando la siguiente norma:Numerador por denomina-dor común (mcm) dividido por su denominador.
Operar (sumar o restar) los numeradores y tener pre-sente que el denominador es el obtenido como mcm.
Simplificar la fracción.
1
1 x (12)
2 x (12)
1 x (12)
4
4
33 + 8 − 2
12
6
4 = 22 3 = 3
mcm = 22 x 3 = 12
6 = 2 x 3
16
912
2
3 31
1
4 42 2
1 1
6 63 3
3
3
8
2
74{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
3.5.4. Multiplicaciones entre fraccionarios
La multiplicación de dos o más fraccionarios se obtiene multiplican-
do los numeradores para obtener un nuevo numerador. La misma
operación se realiza con los denominadores.
Ejemplo N.° 40
Realizar las siguientes operaciones matemáticas: × ×
En la gráfica 38 se encuentra el procedimiento que se realiza para
establecer la solución de esta multiplicación entre fracciones.
14
23
16−
Gráfica 38. Ejemplo N.º 40Fuente. Sandra Patricia Narváez
14
2x x316−
− −1 x (2) x (-1)4 x (3) x (6)
Multiplicación entre fracciones
Realizar las multiplicaciones entre numeradores y entre denominado-res, incluyendo la multiplicación de signos. Simplificar la fracción
2 172 36
75
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
Gráfica 39. División ente fraccionarios Fuente. Sandra Patricia Narváez
3.5.5. División entre fraccionarios
La división entre fracciones se realiza teniendo presente la multi-
plicación de medios y extremos, tal como lo muestra la gráfica 39.
2 2 x 6 12−1 x 3 33
23÷ 1
6 −4−16−
División entre fracciones
NumeradorProducto de extremos
DenominadorProducto de medios
Simplificando
76
Ejercicio N.°5. Operaciones entre fracciones5.1 Realice las siguientes operaciones matemáticas:
5.1.1.
5.1.2.
5.1.3.
5.1.4.
5.2. Realice las siguientes operaciones matemáticas:
5.2.1.
5.2.2.
5.2.3.
5.3. Realice las siguientes operaciones matemáticas:
5.3.1.
5.3.2.
5.3.3.
15 -2÷3 3
21 6÷12 15
-8 -5÷5 8
2 5 1210−+ +3 3 33
4 2 95−− −3 9 78
1 -2 61xx3 3 3
21 -2 7 -5x xx2 3 4 5
-8 -2 -5 -9x xx5 3 8 2
21 15 6−+8 3 7
1 9 57−+ −5 3 63
77
2 5 12 910−+ + = =3 3 3 3 33
= 3-8 -2 -5 -9x xx5 3 8 2
=21 -2 7 -5x xx2 3 4 5494
21 6÷12 15 = 358
-8 -5÷5 8 = 6425
15 -2÷3 3 = 5− 2
=4 2 95−− −3 9 78403504
=21 15 6−+8 3 7577168
=1 -2 61xx3 3 3122
3
=1 9 5 17−+ −5 3 6 303
Respuestas
5.1.1.
5.1.2.
5.1.3.
5.1.4.
5.2.1.
5.2.2.
5.2.3.
5.3.1.
5.3.2.
5.3.3.
78{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
1. Manejo de escombros
Para el manejo de escombros de una ciudad se ha establecido que
de veinte localidades, dos de ellas son generadoras de escombros
de excavación (Tipo A), cinco de construcción (Tipo B), seis gene-
ran escombros de demolición (Tipo C) y tres son generadoras de
sedimentos (Tipo D). Finalmente, cuatro generadoras por remode-
laciones (Tipo E). Exprese cada uno de estos tipos de generación de
escombros bajo los siguientes conceptos de fracción:
• Fracción como parte de una unidad
• Fracción como cociente
• Fracción como razón
• Fracción como porcentaje
2. Presupuesto de obra
A continuación se relaciona el presupuesto en dólares para la am-
pliación de una vivienda. Determine el total del presupuesto y el
porcentaje con respecto al presupuesto a cada ítem:
• Ítem A: Excavación en tierra - US 390.
• Ítem B: Compactación de relleno - US 235.
• Ítem C: Construcción de paredes en bloques - US 1.740.
• Ítem D: Afinado e instalación de pisos- US 580.
• Ítem E: Construcción de techo - US 585.
• Ítem F: Construcción de baño - US 1.270.
• Ítem G: Instalación de puertas y ventanas - US 200.
3.6. Ejercicios de aplicación en la Ingeniería Civil N.° 3
79
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
3. Cantidad de concreto para fundir una columna
En el proceso de fundición de una columna se ha determinado
que falta del volumen del concreto para terminar este proceso.
Indique qué cantidad es equivalente a las siguientes opciones. Jusiti-
fique su respuesta.
•
•
•
•
4. Herramientas: llaves
El tamaño de las herramientas usadas en ingeniería se determina
por el nombre. Se dispone de las siguientes llaves:
• Llave de tubo 86902:
• Llave de tubo 86907:
• Llave de tubo 86912:
• Llave de tubo 86917:
• Llave de tubo 86932:
• Llave recta de servicio pesado para tubos 31005:
Indique ¿cuál de las fracciones es de mayor tamaño? ¿Cuál se caracteriza
por ser una fracción propia, una fracción mixta y una fracción impropia?
14
510
41
34
78
2116
88
11 8
72 16
5102864
80{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
5. Avance de obra: vías
La firma AB Ingenieros está construyendo una vía que comunica
dos poblaciones.
El primer mes construyó de la vía, el segundo mes , el tercer
mes y el cuarto mes . Indique la cantidad de vía que debe
construir para dar por finalizada la obra.
6. Ensayos de laboratorio
En un solo ensayo de laboratorio relacionado con la calidad del
agua se emplean dos tercios de litro del líquido, ¿cuántos ensayos
de laboratorio se podrían realizar si se dispone de doce litros?
14
220
520
620
320
420
220 = 0,1
15
18
34
3.7. Respuestas de los ejercicios de aplicación en la Ingeniería Civil N.° 3
1. Manejo de escombros:
• Fracción como parte de una unidad.
Tipo A:
Tipo B:
Tipo C:
Tipo D:
Tipo E:
• Fracción como cociente.
Tipo A:
81
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
Tipo B:
Tipo C:
Tipo D:
Tipo E:
• Fracción como razón.
Tipo A: ó 2:20
Tipo B: ó 5:20
Tipo C: ó 6:20
Tipo D: ó 3:20
Tipo E: ó 4:20
• Fracción como porcentaje.
Tipo A: equivale a:10%
Tipo B: equivale a:25%
Tipo C: equivale a:30%
Tipo D: equivale a:15%
Tipo E: equivale a:20%
220
220
520
520
620
620
320
320
420
420
520 = 0,25
620 = 0,3
320 = 0,15
420 = 0,2
82{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
2. Presupuesto de la obra
• Total de presupuesto PT:US 5000
• Item A: US390=7.8%PT
• Item B: US235=4.7%PT
• Ítem C: US 1740=34.8%PT
• Item D: US580=11.6%PT
• Item E: US585=11.7%PT
• Item F: US1270=25.4%PT
• Item G: US200=4.0%PT
3. Cantidad de concreto para fundir una columna.
Equivale a , ya que al simplificar la segunda fracción se ob-
tiene el dato suministrado inicialmente.
4. Herramientas: laves de tubo
• Llave de tubo 86902: fracción propia
• Llave de tubo 86907: fracción propia
• Llave de tubo 86912: fracción mixta
• Llave de tubo 86917: fracción impropia
• Llave de tubo 86932: fracción impropia
14
34
78
2116
28
11 8
72 16
83
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
• Llave recta de servicio pesado para tubos 31005: .
Fracción unitaria.
5. Avance de obra: vías-
Falta por construir de la vía que debe dar por finalizada la obra.
6. Ensayos de laboratorio
Empleando doce litros, puede elaborar diez y ocho ensayos de
laboratorio.
88
120
Es la operación matemática que representa la
multiplicación repetida de una base tantas ve-
ces como lo indica el índice.
4.1. Elementos de la potenciación
Los elementos que hacen parte de la potenciación son:
el exponente, la base y la potencia. Estos elementos se
ubican tal como se indican en la siguiente gráfica:
Gráfica 40. Elementos de la potenciaciónFuente. Sandra Patricia Narváez
53 = 5 x 5 x 5 = 125
Base
Exponente
Producto indicado
Potencia o resultado
86{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
Según la base se determina el tipo de potencia respectiva.
4.2.1. Potencia de base positiva
Se tiene presente si el exponente es positivo o negativo.
Existen dos posibilidades, las cuales se explican en la gráfica 41 y
en la que se relacionan los ejemplos respectivos.
Gráfica 41. Potencia de base positivaFuente. Sandra Patricia Narváez
53 = 1255–2 = 5–3 =
52 = 25
Potencia de base positiva
Exponente mayor que cero (positivo)Se obtiene potencias positivas.
Exponente menor que cero (negativo)Se obtiene potencias posi-tivas pero menores que 1.
1 11 125 12552 53
4.2.2. Potencia de base negativa
Se tiene presente si el exponente es par o impar. En la gráfica 42 se
relacionan dos ejemplos siguiendo esta clasificación.
4.2. Tipos de Potencias
Gráfica 42. Potencia de base negativaFuente. Sandra Patricia Narváez
Ejercicio N.° 6 6.1. Identifique los elementos de las siguientes potencias:
6.1.1. –83
6.1.2. 35
6.1.3. –6–2
6.2. Clasifique las siguientes potencias según el tipo de base, en
potencias con base positiva o negativa
6.2.1. 135
6.2.2. 8–5
87
(−5)2 = 25 (−5)3 = –125(−5)–2 = (−5)–3 =(−5)2 (−5)3
Potencia de base negativa
Exponente parSe obtiene potencias positivas.
Exponente imparSe obtiene potencias negativas
1 11 125 125–
88
6.2.3. –7–1
6.2.4. –135
Respuestas6.1.1. –83
Base: –8
Exponente: 3
Resultado: –512
6.1.2. 35
Base: 3
Exponente: 5
Resultado: 243
6.1.3. –6–2
Base: –6
Exponente: -2
Resultado: –
6.2.1. 135: Base y exponente positivos
6.2.2. 8–5: Base positiva y exponente negativo
6.2.3. –7–1: Base y exponente negativos
6.2.3. –135: Base negativa y exponente positivo
136
89
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
La potenciación cumple las siguientes ocho propiedades.
4.3.1. Potencia con exponente igual a cero
Cuando se tiene una base cuyo exponente es cero, el resultado o
potencia es igual a uno. Ver gráfica 43.
Gráfica 43. Potencia con exponente igual a ceroFuente. Sandra Patricia Narváez
Gráfica 44. Potencia con exponente igual a unoFuente. Sandra Patricia Narváez
a0 = 1
40 = 1Potencia con exponente igual a cero
a1 = a
41 = 4Potencia con exponente igual a uno
4.3.2. Potencia con exponente igual a uno
Cuando se tiene una base cuyo exponente es igual a uno, el resul-
tado es la misma base. Ver gráfica 44.
4.3. Propiedades de la Potenciación
90{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
4.3.3. Potencia de un producto
Una multiplicación de varios términos a una misma potencia es
equivalente a la multiplicación de cada factor elevado al exponente.
Ver gráfica 45.
Gráfica 45. Potencia con exponente igual a unoFuente. Sandra Patricia Narváez
Gráfica 46. Potencia de un cociente o fraccionarioFuente. Sandra Patricia Narváez
( a x b )n
( 3 x 4 )2an x bn
32 x 42
9 x 16144
====
Potencia de un producto
4.3.4. Potencia de un cociente o fraccionario
Como se observa en la gráfica 46 el fraccionario que se encuentra
elevado a una potencia que es equivalente a la fracción compuesta
con el numerador y el denominador elevado a la potencia dada.
=
= =
=
= =
=
Potencia de un cociente o fraccionario
an
n
3
25
an − m
25 − 3 22 4
am
23
a
3
an
33 27b
4
bn
43 64
91
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
Gráfica 48. Potencia con exponente negativoFuente. Sandra Patricia Narváez
Gráfica 47. Potencia de potenciasFuente. Sandra Patricia Narváez
Potencia con exponente negativo
=
=
1
1
a− n
4− 2
an
42
Potencia de potencias
{ (an) q } m = an.q.m
{ (42) 3 } 4 = 42.3.4 = 4 24
4.3.5. Potencia de potencias
Se obtiene la base elevada a los exponentes multiplicados.
Como se observa en la gráfica 47 el exponente final es el que se
obtiene de multiplicar los exponentes de expresión matemática.
4.3.6. Potencia con exponente negativo
La potencia con exponente negativo es equivalente al fraccionario
que tiene como numerador un uno y el denominador como la base
elevada al exponente positivo.
En la gráfica 48 se observa que este tipo de potencias se caracterizan
porque el exponente es negativo y su equivalente es una fracción.
92{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
4.3.7. Potencia con exponente fraccionario
Es equivalente al radical de la base. En la gráfica 49 se encuentra un
ejemplo de este tipo de potencias, cuyo exponente es un fraccionario,
por lo tanto, es una expresión matemática que contiene un radical.
Gráfica 49. Potencia con exponente fraccionarioFuente. Sandra Patricia Narváez
Potencia con exponente fraccionario
= =
==
1
1
a a
2 2
n −n
3 3
m m
4 4
√an
√23
m
√anm
√a434
4.3.8. Potencia de bases iguales
En este tipo de potencia, si se está multiplicando varias veces la misma
base con diferente exponente, se suman los exponentes y se deja la
misma base. Ver gráfica 50.
Gráfica 50. Potencia de bases igualesFuente. Sandra Patricia Narváez
Potencia de bases igualesan am = am + n
42 4 3 = 45 = 1024
93
12
12
Ejercicio N.°77. Aplique las propiedades de la potenciación para hallar la solución
de las siguientes expresiones:
7.1. 130 + (–2)1
7.2. (5 × 2)2
7.3. – (([5]–3)–1 )2
7.4. 2–1
7.5. 25
7.6. (63) × (62) × (6–1)
Respuestas
7.1. 130 + (–2)1 = –1
7.2. (5 × 2)2 = 100
7.3. – (([5]–3)–1 )2 = –15609
7.4. 2–1 =
7.5. 25 =
7.6. (63) × (62) × (6–1) = 1296
86
84
86
84
12
15
94{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
De acuerdo con el número que hace parte de la base las potencias
especiales se clasifica en potencia base diez y potencia en base na-
tural o base e.
4.4.1. Potencia en base natural o base e
Este tipo de potencias se caracterizan por tener como base el número
e (Euler). El exponente puede ser positivo o negativo. Por ejemplo: e2
Ver gráfica 51.
Gráfica 51. Potencia en base natural o base eFuente. Sandra Patricia Narváez
Potencia en base natural o base e
1 = 2.7182818…n!n = 0
∞= 2 + 11 + 1
2 + 11 + 1
1 + 14 + 1 …
e
4.4.2. Potencia en base 10
Estas potencias se caracterizan por tener como base el número 10. Su
exponente puede ser negativo o positivo. Se emplea en la notación
científica. Ver gráfica 52.
4.4. Clases especiales de potencias
95
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
Gráfica 52. Potencia en base 10Fuente. Sandra Patricia Narváez
Potencia en base 10
Multiplos de 10Prefijo Símbolo Potencia de 10 Equivalente Nombrado comoDeca D 101 10 Diez
Hecta H 102 100 Cien
Kilo K 103 1.000 Mil
Mega M 106 1'000.000 Millón
Giga G 109 1'000.000.000 Billón
Tera T 1012 1'000.000.000.000 Trillón
Peta P 1015 1'000.000.000.000.000 Cuatrillón
Exa E 1018 1'000.000.000.000.000.000 Quintillón
submúltiplos de 10Prefijo Símbolo Potencia de 10 Equivalente Nombrado comodeci d 10−1 0.1 décimo
centi c 10−2 0.01 centésimo
mili m 10−3 0.001 millésimo
micro μ 10−6 0.000001 millonésimo
nano n 10−9 0.000000001 billonésimo
pico p 10−12 0.000000000001 trillonésimo
femto f 10−15 0.000000000000001 cuatrillonésimo
atto a 10−18 0.000000000000000001 quintillonésimo
zepto z 10−21 0.0000000000000000000001 sextillonésimo
yocto y 10−24 0.000000000000000000000001 septillonésimo
96
Ejercicio N.°88.1. Clasifique las siguientes potencias:
8.1.1. e 2
8.1.2. 102
Respuestas:
8.1.1. e 2: Potencia en base natural.
8.1.2. 102: Potencia en base diez.
1. Cantidad de materiales en obra
La urbanización La Alameda está compuesta por nueve manzanas
de casas. Cada manzana está conformada por nueve casas y cada
casa contiene nueve ventanas tipo uno, ¿cuántas ventanas tipo
uno deben ser instaladas?
2. Fundición de una estructura en concreto
Se desea fundir una estructura en concreto rectangular cuyas me-
didas son 3 2m de largo, 3 2m de ancho y 3 2m de alto, ¿cuál es el
área de formaleta necesaria para realizar esta labor considerando
que se empleará formaleta para 5 de sus 6 caras?
4.5. Ejercicios de aplicación en la Ingeniería Civil N.° 4
97
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
3. Diseño de acueductos
Una población de 2 mil habitantes triplica su población cada 10
años. Para proyectar la red de suministro de agua potable es pre-
ciso calcular la cantidad de habitantes P que se tendría en x años.
Teniendo en cuenta este caso determine:
• ¿Cuál sería la expresión matemática que debe usarse?
• ¿Qué cantidad de habitantes tendría que tenerse presente
para realizar el cálculo respectivo en 30 años?
4. Tanque de almacenamiento
Se requiere construir un tanque cilíndrico de almacenamiento de
agua de radio R. El tanque debe tener una capacidad de 150m3.
Para tal fin, y para garantizar el uso mínimo de concreto, se emplea
la siguiente expresión matemática:
Gráfica 53. Ejercicio de aplicación N.° 2Fuente. Sandra Patricia Narváez
32m
32m32m
300R22πR =
Establezca qué radio R cumple con esta condición.
98{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
5. Financiamiento de una constructora
Una empresa de ingeniería ha diseñado el sistema de financiamiento
de la construcción de un complejo habitacional y comercial bajo
la siguiente expresión:
12At = 2 + e−t + t
Donde
t: Tiempo en meses
At: Cantidad de socios requeridos dependiendo del tiempo t
Determine:
• Cantidad de afiliados con los que inició este esquema de fi-
nanciamiento. Es decir, cuando t = 0
• Cantidad de socios afiliados al proyecto luego de cuatro meses.
• Cantidad de meses que deben pasar para obtener nueve socios
afiliados al proyecto.
4.6. Respuestas de los beneficios de aplicación en la ingeniería civil N.° 4
1. Cantidad de materiales en obra
Se necesitan 93 = 729 ventanas tipo uno:
2. Fundición de la estructura en concreto
Se necesitan 5 × 34 = 405 m2 de formaleta.
3. Diseño de acueductos
• La expresión matemática sería: P = 2000 × 3 :
99
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
• En 30 años P = 54000 los habitantes emplearán la red de su-
ministro de agua potable.
4. Tanque de almacenamiento
• El radio sería de R = 6.90 m
5. Financiamiento de una constructora.
• Cantidad de afiliados con las que inició este esquema de fi-
nanciamiento: 3 afiliados
• Cantidad de socios luego de 4 meses: 4 afiliados
• Cantidad de meses que debe pasar para obtener 9 socios
afiliados al proyecto: 14 meses
La radicación es la forma de hallar la base consi-
derando el exponente y la potencia trabajados
en la potenciación.
5.1. Elementos de la radicación
En la siguiente gráfica representa la relación entre la ra-
dicación y la potenciación.
Gráfica 54. Elementos de la radicaciónFuente. Sandra Patricia Narváez
35 = 243
5√243 = 3
Base Raíz
Exponente
Índice
Radical
PotenciaCantidad
Subradical
Potenciación Radicación
102{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
Índice. Es la cantidad de veces que se debe multiplicar un mismo
número para obtener la cantidad subradical o radicando.
Radical. Es el símbolo √ que se emplea para representar la raíz.
Raíz. Es la cantidad que al ser multiplicado la cantidad de veces
indicada por el índice, se obtiene el radicando.
Cantidad subradical o radicando. Es la cantidad a la cual se desea
determinar la raíz.
5.2. Clases de raícesLas raíces se clasifican según las características de sus índices.
5.2.1. Raíz de índice par
Se caracteriza porque el índice es un número par. Para que este
tipo de raíz pertenezca a los números reales, la cantidad subradical
debe ser positiva, ya que no se encuentra definida la raíz par para
los números negativos.
Si esta cantidad subradical es negativa se obtiene un número ima-
ginario.
La raíz par se caracteriza por obtenerse como resultado de dos nú-
meros: uno positivo y otro negativo. En la gráfica 55 se encuentran
las principales características de este tipo de raíces.
103
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
Gráfica 55. Característica de raíz indice parFuente. Sandra Patricia Narváez
Raíz con índice par
La cantidad subradical positiva
Se encuentra definida entre los números reales R
La cantidad subradical negativa
No se encuentra definido entre los números reales. Pertene a los números imaginarios.
a2 = b
32 = 9
(±a)2 = b
(±3)2 = 9
√b = ±a
√b = ±a
√9 = ±3
√9 = ±3
(–a)2 = b
(–3)2 = 9
√–b = √(–1)b = √b √(–1) = √b i
√–9 = √(–1)9 = √9 √(–1) = √9 i = 3 i
5.2.2. Raíz de índice impar
Se caracteriza porque su índice es un número impar. En este caso,
la raíz está definida tanto para cantidades subradicales positivas
como para negativas. La raíz de índice impar se caracteriza por-
que tiene un solo resultado, el cual tiene el mismo signo de la
cantidad subradical.
104{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
Gráfica 56. Característica de raíz indice imparFuente. Sandra Patricia Narváez
En la gráfica 56 se observa un ejemplo de este tipo de raíz.
Raíz con índice impar
La cantidad subradical positiva o negativa
En ambos casos se encuentra defi-nido entre los números reales.
a5 = b
25 = 32
(–a)5 = b
(–2)5 = –32
√b = a
√a = b √32 = 2
√32 = 5
√–b = –a
√–a = –b √–32 = –2
√–32 = –5
5
5 5
5
5
5 5
5
105
Ejercicio N.°99. Identifique los elementos de los siguientes radicales e indique
qué tipo corresponden:
9.1. √8 = 2
9.2. √–128 = –2
9.3. √16 = 4
Respuestas9.1. Índice: 3
• Radical Par
• Cantidad Subradical = 8
• Raíz: 2
9.2. Índice: 7
• Radical impar
• Cantidad Subradical = –128
• Raíz: –2
9.3. Índice: 2
• Radical par
• Cantidad Subradical = 16
• Raíz: 4
3
7
106{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
Los radicales cuentan con varias propiedades.
5.3.1.Raíz expresada como una potencia
Un radical se expresa como una potencia si su exponente es una fracción.
Ejemplo N.° 41
Analizando el radical √a = b se observa que es equivalente a
a = b, tal como se observa en la gráfica 57.
n
5
Gráfica 57. Ejemplo N.° 41Fuente. Sandra Patricia Narváez
Gráfica 58. Ejemplo N.° 42Fuente. Sandra Patricia Narváez
Raíz expresada como una potencia
√a = b
√a = bn 5
√9 = ±3
√32 = 2
a = b
a = b
9 = ±3
32 = 2
Raíz de cero√0 = 0
√0 = 05
5.3.2. Raíz de cero
Si la cantidad subradical es cero se obtiene como resultado cero.
Ejemplo N.° 42
Analizando el radical de la gráfica 58 se observa que √0 = 0
5.3. Propiedades de los radicales
107
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
5
Gráfica 59. Ejemplo N.° 43Fuente. Sandra Patricia Narváez
5.3.3. Raíz de uno
Cuando la cantidad subradical es 1 el resultado es 1, sin importar
qué tipo de índice caracteriza el radical.
Ejemplo N.° 43
El radical √1 = 1
√1 = ±1
√1 = 1 √1 = 15 5
Raíz de uno
Si el radical y el índice es impar se obtiene como resultado el número uno. Si el índice es par se obtiene ± uno.
5.3.4. Raíz de un productor con un mismo índice
La raíz de un producto con el mismo índice es equivalente a la
multiplicación de los factores de la cantidad subradical.
Ejemplo N.° 44
En la gráfica 68 se analiza el desarrollo de este planteamiento.
√8 (125) (27) = √8 × √125 × √27
= 2 × 5 × 3 = 30
3 3 3 3
108{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
Gráfica 60. Ejemplo N.° 44Fuente. Sandra Patricia Narváez
Gráfica 61. Ejemplo N.° 45Fuente. Sandra Patricia Narváez
Raíz de un producto con un mismo índice
√a · √b · √c = √a · b · c
√2 · √3 · √5 = √2 · 3 · 5 = √30
√2 · √3 · √4 = √2 · 3 · 4 = √245 5 5 5 5
5.3.5. Raíz de un cociente o fracción
La raíz de un cociente o fracción es equivalente a la división entre
la raíz del numerador y la raíz del denominador. Esto aplica sólo si
la cantidad subradical es una fracción.
Ejemplo N.° 45
En la gráfica 61 se analiza este tipo de ejercicios.
8 2125 5= =
√1253√83
3
Raíz de un cociente o fracción
a8
a4
b7
b9
==
==
√a√8
√a√4
√b√7
√b√9
33
3333
5.3.4. Raíz de una raíz
La raíz de una raíz equivale a la cantidad subradical elevada a la
multiplicación de los índices de las raíces.
109
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
Gráfica 62. Ejemplo N.° 46Fuente. Sandra Patricia Narváez
Gráfica 63. Ejemplo N.° 47Fuente. Sandra Patricia Narváez
( √2 )3 = (2 )3 = 2 = √23 = √810 10 10
√10 √10=3 155
√a
√5
√a
√5
√a
√5
=
=
=
=
n
3
m
4
mn
12
m
4
n
3Raíz de una raíz
Ejemplo N.° 46
Para aplicar este concepto se tienen presentes los valores de cada
subíndice, tal y como se muestra en la gráfica 62.
5.3.5. Potencia de una raíz
La potencia de una raíz equivale a la cantidad subradical elevada
al exponente dado.
Ejemplo N.° 47
Al analizar una potencia de una raíz se tienen presentes los valores
del índice y del exponente dado, tal y como lo muestra la gráfica 63.
( √a )n = a = √an
( √2 )4 = 2 = √24 = √16
m
3
m
3 3Potencia de una raíz
110{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
5.3.6. Multiplicación de dos radicales con diferentes índice y la
misma cantidad subradical
Este tipo de radicales se operan como 2 potencias que tienen la
misma base y diferente exponente. Es decir, sumando los exponentes
y dejando la misma base.
Ejemplo N.° 48
En este tipo de ejercicios se tienen presentes los valores de los
subíndices y del subradical, tal y como se muestra en la gráfica 64.
√3 (√3) = 3 (3 ) = 3 = 3
= 3
5 65 6
30
1 1
11
5 61 1
306 + 5
Gráfica 64. Ejemplo N.° 48Fuente. Sandra Patricia Narváez
√a x √a = a = an mn m1 1
n · mn + m
√4 x √2 = 2 = 2 = 24 3 4 3 121 1 7
124 + 3
Multiplicación de dos radicales con diferente índice y la misma cantidad subradical
111
Ejercicio N.°1010. Halle el resultado de:
10.1. √25 (36) 4 + – (√8)2
10.2. √6 √6 √6
10.3. √531441
10.4. √0 + √1 – √32(243)(1)
10.5.
10.6. √46656
10.7. √15 √15 √15
Respuestas10.1. 56 +
10.2. 6 √6
10.3. 9
10.4. –5
10.5.
10.6. 6
10.7. √1547
3
3
3
3
3
30
60
3
5
4 5
5
81
3
125
72
2√4
8
3
52
112{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
1. Tolva de almacenamiento
Se quiere construir y pintar una tolva en forma de Tetraedro
en la que se almacenará arena en una obra de construcción.
Considerando que su arista a es de
Gráfica 65. Ejercicio de aplicación N.° 1Fuente. Sandra Patricia Narváez
a
• Establezca la cantidad de área en m2 que deben cubrir con
pintura si la expresión matemática respectiva es:
a = √81 metros
Área = a2 √3
V =
4
• Indique en m3 qué volumen de arena tendría esta tolva, si se
cuenta con la siguiente expresión matemática:
√212
a3
5.4. Ejercicios de aplicación en la Ingeniería Civil N.º5
113
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
Gráfica 66. Ejercicio de aplicación radicación N.° 2. Fuente. Sandra Patricia Narváez
4
4
3
3
2. Tanque de almacenamiento esférico
En una construcción se cuenta con un tanque de almacenamiento
esférico de volumen V = 2304 m3 y se determina la necesidad de
recubrirlo con un impermeabilizante.
Considerando que para hallar el área superficial y volumen total
de un cilindro se emplean las expresiones matemáticas dadas
a continuación A = 4πR2 y V = πR3, halle:
• El radio interno del tanque R.
• El área total con la que se recubrirá de impermeabilizante
del tanque.
r
Área superficial: A = 4πR2
Volumen total: V = πR3
114{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
3. Columnas de concreto
Una estructura especial que se emplea en una obra cuenta con un
tipo de columna de sección rectangular, cuyas características son:
Gráfica 67. Ejercicio de aplicación radicación N.° 3. Fuente. Sandra Patricia Narváez
H
L
A
Largo L = √4 metros
Ancho A = √4 metros
Alto H = √4 metros
Considerando que para hallar el volumen de concreto se emplea
la siguiente expresión:
V = L × A × H
Indique la cantidad de concreto que se requiere para fundir 16
columnas que cumplan con estas características.
4
3
115
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
Gráfica 68. Ejercicio de aplicación radicación N.° 4 Fuente. Sandra Patricia Narváez.
4. Almacenamiento de aguas residuales
Se requiere construir un tanque en forma de cilindro oblicuo para
almacenar V = 125m3 de aguas residuales de una zona residencial.
H
R
• Identifique el radio R requerido para la obra, teniendo
en cuenta que los estudios de suelos afirman que el te-
rreno apto se encuentra a H = 5m de profundad. Tenga
presente la siguiente expresión que define el volumen de
un cilindro oblicuo:
V = π × R2 × H
• Calcule el volumen de residuos que se podrían almacenar
en el tanque si el radio es R = √8π metros y la profundidad
es H = 2π metros.
3
116{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
5.5. Resultados de los ejercicios de aplicación en la Ingeniería Civil N.° 5.
√2
√π
4
5
1π
3
3
6637
1. Tolva de almacenamiento
• Área = 9√3 = 35 ⁄ 2m2
• V = =2–3 ⁄ 2m3
2. Tanque de almacenamiento esférico
• R = 12 = 12(π–1 ⁄ 3)m
• A = 576(√π)m2
3. Columnas de concreto
Cantidad de concreto requerido:
V = 64√2 = 2 m3
4. Almacenamiento de aguas residuales
• R = metros
• V = 8π8 ⁄ 3m3
Este concepto también está relacionado con la
potenciación. Veamos:
Gráfica 69. Explicación de Logaritmación en relación con el tema Potenciación
Fuente. Sandra Patricia Narváez
Logaritmación
35 = 243
log3 243 = 5
5√243 = 3
Base
Base
Raíz
Exponente
Logaritmo
Índice
Radical
PotenciaCantidad
Subradical
Logaritmando
Potenciación Radicación
119
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
Para hallar el exponente es preciso elevar la base para obtener la
potencia o resultado.
loga x = b
Donde:
a: Base
x: Logaritmando o potencia
b: Logaritmo
6.1. Tipos de logaritmos Se han establecido diferentes logaritmos dependiendo de la base
con la cual se está trabajando.
6.1.1. Logaritmo decimal o vulgar
Estos logaritmos tienen como base el número 10 : log10 x = log x
Ejemplo N.° 49
Analizar el siguiente logaritmo:
log100 = 2
120{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
En la gráfica 70 se observa otro ejemplo.
Gráfica 71. Logaritmo natural o neperianoFuente. Sandra Patricia Narváez
loge 6 = In 6 = 1,79
6.1.3. Logaritmo binario
Estos logaritmos tienen como base el número 2, se simboliza con
la letra lb: log2 x = lbx
Gráfica 70. Logaritmo decimal o vulgarFuente. Sandra Patricia Narváez
log10 100 = log 100 = 2
6.1.2. Logaritmo natural o neperiano
Estos logaritmos tienen como base el número Euler e: Se simboliza
con la letra ln: loge x = lnx
Ejemplo N.° 50
Analizar el siguiente logaritmo:
lne = 1
En la gráfica se encuentra otro ejemplo:
121
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
Gráfica 72. Logaritmo binarioFuente. Sandra Patricia Narváez
Gráfica 73. Logaritmo en Base aFuente. Sandra Patricia Narváez
log2 8 = Ib 8 = 2
log3 9 = 2
Ejemplo N.° 51
La siguiente expresión es la correspondiente a un logaritmo binario:
lb4 = 2
En la gráfica 72 se encuentra otro ejemplo.
6.1.4. Logaritmo en base a: loga x:
La base es un número a.
Ejemplo N.° 52
La siguiente expresión se caracteriza porque su base es el número
3. log3 27 = 3 Ver gráfica 73
122
Ejercicio N.°1111. Identifique los principales elementos de los siguientes logarit-
mos y clasifíquelos:
11.1. log100
11.2. ln28
11.3. lb32
11.4. log5 125
Respuestas11.1.log100
Logaritmando: 100
Base: 10
Logaritmo en base 10
11.2. ln28
Logaritmando: 28
Base: e
Logaritmo en base e: Logaritmo natural.
11.3. lb32
Logaritmando: 32
Base: 2
Logaritmo en base: 2
11.4. log5 125
Logaritmando: 125
Base: 5
Logaritmo en base n. En este caso, logaritmo en base 5.
123
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
Los logaritmos tienen diferentes propiedades. A continuación ex-
plicamos estas propiedades por medio de gráficas.
6.2.1. Logaritmo de cero
No se encuentra definido el logaritmo en cualquier base de cero.
loga 0 = ∄ , es decir, no existe.
Gráfica 74. Logaritmo de ceroFuente. Sandra Patricia Narváez
Gráfica 75. Logaritmo de unoFuente. Sandra Patricia Narváez
Gráfica 76. Logaritmo de la misma base Fuente. Sandra Patricia Narváez
loga 0 = ∄
loga 1 = 0
loga a = 1
6.2.2. Logaritmo de uno
El logaritmo de 1 es igual a cero en cualquier base: loga 1 = 0 ya
que a0 = 1
6.2.3. Logaritmo de la misma base
En cualquier base, el logaritmo de dicha base es 1. loga a = 1 ya
que a1 = a
6.2. Propiedad de los logaritmos
124{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
6.2.4. Logaritmo de un producto
Este logaritmo es equivalente a la suma de los factores que hacen
parte del producto.
loga (xyz) = loga x + loga y + loga z
Gráfica 77. Logaritmo de un producto Fuente. Sandra Patricia Narváez
Gráfica 78. Logaritmo de un cociente o fracciónFuente. Sandra Patricia Narváez
loga (x·y) = Loga x + Loga y
6.2.5. Logaritmo de un cociente o fracción
Esta operación es equivalente al logaritmo del numerador menos
el logaritmo del denominador.
loga = loga x – loga yxy
loga = loga x – loga yxy
6.2.6. Logaritmo de una potencia
Esta operación equivale al exponente multiplicado por el logaritmo
de la base, tal y como se encuentra representado en la gráfica 79.
loga xy = yloga x
125
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
Gráfica 80. Logaritmo de un radicalFuente. Sandra Patricia Narváez
Gráfica 79. Logaritmo de una potenciaFuente. Sandra Patricia Narváez
1n
1n
loga xy = yloga x
6.2.7. Logaritmo de un radical
Esta operación equivale al logaritmo del número dividido por el
subíndice del radical:
loga √x = loga (x ) = loga xn
loga xn
loga √x =n loga xn
=
6.2.8. Igualdad de logaritmos
Si 2 logaritmos de igual base son iguales, sus logaritmandos son
iguales.
loga x = loga y
Se deduce que:
x = y
126{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
6.2.9. Transformación de logaritmos
Para transformar un logaritmo de una base a otra se aplica la fór-
mula, denominada cambio de base:
Gráfica 80. Logaritmo de una potenciaFuente. Sandra Patricia Narváez
Gráfica 81. Transformación de logaritmosFuente. Sandra Patricia Narváez
loga x = loga y x = y
loga y = logb ylogb a
loga y = logb ylogb a
Fórmula general:
Fórmula con logaritmo binario:
loga y =logb ylogb a
Fórmula con logaritmo base diez:
loga y =log10 a
lna
lba
log10 y
lny
lby
Fórmula con logaritmo base natural o e:
loga y =
loga y =
Donde a > 0, b > 0, y > 0, a ≠ 1 b ≠ 1
127
Ejercicio N.°1212.1. Hallar la solución de la variable de cada ecuación:
12.1.1. x = loga 1 + 2(loga a) – loga (a4 )
12.1.2. y = log5 (5×25) + log3 – log7 √2401
12.1.3. log3 z = log3 5
12.2. Indique que tipo de propiedad se aplica en cada caso.
12.2.1. Log 0 = ∄
12.2.2. Ln(e)=1
12.2.3. log(5a) = log(5) + log(a)
12.2.4. ln = ln(b) – ln(6)
12.2.5. lb(a3 ) = 3lb(a)
12.2.6. Log √z =
12.2.7. Ln (z) = Ln (5) z = 5
12.2.8. log6 (40) =
12.2.9. Ln(1)=0
2781
log(z)
Ln(6)
b
7
40
6
7
4
128
Respuestas12.1.1. x = –2
12.1.2. y = 1
12.1.3. z = 5
12.2.1. Propiedad del logaritmo del cero.
12.2.2. Propiedad del logaritmo de la misma base.
12.2.3. Propiedad del logaritmo de un producto.
12.2.4. Propiedad del logaritmo de un cociente.
12.2.5. Propiedad del logaritmo de una potencia.
12.2.6. Propiedad del logaritmo de un radical.
12.2.7. Propiedad de igualdad de logaritmos.
12.2.8. Propiedad de transformación de logaritmos.
12.2.9. Propiedad del logaritmo de uno.
129
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
1. Escala de Richter
Considerando que se cuenta con la siguiente expresión mate-
mática para calcular la magnitud M de un sismo M = log
Donde:
I: Intensidad del movimiento telúrico medido en micrómetros.
P: Período de duración en segundos.
Determine:
• La escala de Richter M a la que es sometida una estructura
metálica si su intensidad I = 107 micrometros en un período
P = 5 segundos
• ¿Cuál es la duración P en segundos que tendría que soportar
un puente vehicular si es sometido a una intensidad del
sismo de I =204 micrometros y se ha determinado que la
escala es M = 6,5?
• ¿Cuál es la intensidad del movimiento telúrico cuando se ha
detectado que es M = 7 y duró P = 8 segundos?
IP
6.3. Ejercicios de aplicación en la Ingeniería Civil N.° 6
130{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
2. Financiamiento de un proyecto
Una constructora pretende realizar un análisis financiero para
ejecutar un proyecto de vivienda, teniendo presente la siguiente
expresión matemática:
log =log
Donde:
F: Valor futuro del dinero invertido.
P: Valor presente del dinero a invertido .
i: Tasa de interés en meses expresado en %
t: Tiempo de la inversión, en meses.
Se consideran las siguientes opciones para tomar la mejor decisión.
Para tal fin se requiere:
• Identificar el tiempo t, en meses, para que la constructora realice
un depósito de P = 1000 dólares en una corporación financiera.
El objetivo es que su inversión se convierta en F = 1950 dólares,
si el interés mensual es del i = 2,5%
• Identificar la tasa de interés mensual i que se debería obtener
para que la constructora, al realizar un depósito de P = 1000
dólares, convierta su inversión en F = 1550 dólares durante
t = 12 meses
• Identificar el dinero F que se recibirá si se invierte la tasa de
interés mensual i = 4% y si se depositan P = 1000 dólares
durante t = 16 meses
i1 +Ft
100P
131
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
• ¿Cuánto dinero se tendría que depositar mensualmente si
se desea obtener F = 1700 dólares durante t = 10 meses con
el interés mensual de i = 3,5%?
6.4. Resultados de los ejercicios de aplicación en la Ingeniería Civil N.° 6
1. Escala de Richter
• M = 6.30
• P = 0,0506 segundos
• I = 8 × 107 micrometros
2. Financiamiento de un proyecto
• Debe realizar este depósito por un espacio de t = 27 meses.
• Debe realizar este depósito con un interés mensual del i = 3,72%
• Se obtendría un dinero de F = 1872,8 dólares
• Se debería invertir mensualmente P = 1205 dólares.
TErminos algebraicos
Los términos algebraicos se caracterizan por con-
tener los siguientes elementos:
Signo
Coeficiente
5X5
Variable
Exponente
2√–
Gráfica 82. Elementos de los términos algebráicosFuente. Sandra Patricia Narváez
134{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
Signo. Se emplea el signo + para expresiones algebraicas positivas
y el signo – para las expresiones algebraicas negativas.
Coeficiente. Es el número o letra que se encuentra ente el signo y
la variable.
Variables. Son letras que representan cantidades no conocidas. También
se le llaman incógnitas o parte literal. Puede estar acompañada por un
exponente. Un término algebráico puede tener una o más variables.
Exponente. Es el número de veces que se está multiplicando la
base respectiva.
Grado. Hace referencia al valor del exponente que tiene la variable.
Si se presentan dos o más variables, se relaciona el grado relativo
por exponente.
Ejemplo N.° 53
Identificar los diferentes elementos de:
-4x2 y4 z9
Signo: -
Coeficiente: -4
Variables: x2 y4 z9
135
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
Exponentes:
• x2 tiene exponente 2
• y4 tiene exponente 4
• z9 tiene exponente 9
Grado: 4x2 y4 z9
• x2 Segundo grado 2
• y4 Cuarto grado.
• z9 Noveno Grado.
7.1. Expresiones algebraicas
Se entiende por expresión algebraica la operación matemática
(suma, resta, multiplicación y división) entre varios términos, los
cuales pueden ser numéricos o literales.
Ejemplo N.° 54
Las siguientes son expresiones algebraicas, ya que contienen varia-
bles y coeficientes expresadas como una operación matemática.
4x2 y4 z9 – 25
m2 + ∛6 m3 n5 z8
2x2 –5y4
x + 2 + 8z9 –√3x5 + y6 - 3
7.2. Tipos de expresiones algebraicas
Las expresiones algebraicas que contienen algunos términos alge-
braicos (polinomio) se clasifican según diversos criterios.
136{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
7.3. Polinomios según el Número de Términos Algebraicos
A continuación se indican los diferentes tipos de expresiones alge-
braicas. Cada una tiene una gráfica relacionada con un ejemplo.
7.3.1. Monomio
Son expresiones que tienen un solo término algebraico.
Ejemplo N.° 55
La expresión –13xy sólo tiene un término matemático.
En la siguiente gráfica se encuentra otro ejemplo de monomio:
Monomio –5x
Gráfica 83. Ejemplo de MonomioFuente. Sandra Patricia Narváez
7.3.2. Binomio
Se caracterizan por tener dos términos algebraicos.
137
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
7.3.3. Trinomio
Está conformado por tres términos algebraicos.
Ejemplo N.° 57
El polinomio x2 – y + z se caracteriza por tener tres términos algebraicos.
En la siguiente gráfica se encuentra otro ejemplo de un trinomio:
Trinomio –5x + 6y2 – z3
Gráfica 85. Ejemplo de TrinomioFuente. Sandra Patricia Narváez
En la siguiente gráfica se relaciona un resumen de la clasificación
de polinomios según la cantidad de términos que la contengan.
Binomio 6y2 – z3
Ejemplo N.° 56
El siguiente polinomio tiene sólo dos términos:12x–y
En la siguiente gráfica se encuentra otro ejemplo de binomio:
Gráfica 84. Ejemplo de BinomioFuente. Sandra Patricia Narváez
138
vSegún el número de
términos algebraicos
Monomio Binomio Trinomio
Gráfica 86. Clasidicación de polinomiosFuente. Sandra Patricia Narváez
–5x + 6y2 – z3–5x 6y2 – z3
Ejercicios N.°13. Tipos de polinomios según el número de tér-minos algebraicos.13. Clasifique las siguientes expresiones según la cantidad de tér-
minos que contengan:
13.1. 2xyz + √3 xy – 4
13.2. mn2
13.3. x4 – z
Respuestas13.1. 2xyz + √3 xy – 4: trinomio
13.2. mn2: monomio
13.3. x4 – z: binomio
139
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
v7.4. Polinomios según su grado
Estos polinomios se caracterizan por el mayor exponente de la
variable. A continuación se relacionan las características de los
principales tipos de polinomios y unos ejemplos de representa-
dos gráficamente.
7.4.1. Polinomio grado cero
El exponente de la variable es cero.
Ejemplo N.° 58
La expresión –30x 0 se caracteriza por tener un exponente cuyo valor
es cero.
En la siguiente gráfica se encuentra otro ejemplo de polinomio de
grado cero:
Polinomio de grado cero –5x0
Gráfica 87. Ejemplo de Polinomio de grado ceroFuente. Sandra Patricia Narváez
7.4.2. Polinomio de primer grado
El exponente de la variable es uno.
Ejemplo N.° 59
La expresión: a + 3 se caracteriza por ser un polinomio de primer
grado, ya que la variable tiene como exponente el número uno.
140{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
Polinomio de segundo grado –4x2 + 2x –3
Polinomio de primer grado 2x + 3
Gráfica 88. Ejemplo de Polinomio primer gradoFuente. Sandra Patricia Narváez
Gráfica 89. Ejemplo de Polinomio de segundo gradoFuente. Sandra Patricia Narváez
En la siguiente gráfica se encuentra otro ejemplo de polinomio de
primer grado:
7.4.3. Polinomio de segundo grado
El exponente de la variable es dos.
Ejemplo N.° 60
La siguiente expresión: x2 – 2x + 3 se caracteriza porque la variable
tiene como exponente de mayor valor el 2.
En la siguiente gráfica se encuentra otro ejemplo de polinomio de
segundo grado:
7.4.4. Polinomio de tercer grado
El exponente de la variable es tres.
141
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
Ejemplo N.° 61
Si se observa la expresión algebraica: 8x3 – 5x2 – 4x + 1 se deduce
que es un polinomio de tercer grado, ya que el mayor exponente
es el número tres.
En la siguiente gráfica se encuentra otro ejemplo de polinomio de
tercer grado:
Polinomio de tercer grado 7x3 + 2x2 – 1
Polinomio de cuarto grado –x4 – x2 – 2
Gráfica 90. Ejemplo de Polinomio de tercer gradoFuente. Sandra Patricia Narváez
Gráfica 91. Ejemplo de Polinomio de cuarto gradoFuente. Sandra Patricia Narváez
7.4.5. Polinomio de cuarto grado
El exponente de la variable es cuatro.
Ejemplo N.° 62
En la expresión: m4 – n + r se observa que cuatro es el mayor expo-
nente de las variables. En la siguiente gráfica se encuentra otro
ejemplo de este tipo de polinomios:
En la siguiente gráfica se encuentra otro ejemplo de polinomio de
cuarto grado:
142{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
Polinomio de cuarto grado
Polinomio detercer grado
Polinomio de segundo grado
Polinomio de primer grado
Polinomio de grado cero
Polinomios según su grado
Gráfica 92. Tipos de polinomios según su gradoFuente. Sandra Patricia Narváez
A continuación se encuentra un resumen de los tipos de polinomios
que se pueden presentar según el grado.
–5x0
2x + 3
–4x2 + 2x –3
7x3 + 2x2 – 1
–x4 – x2 – 2
143
v
Ejercicio N.°14. 14. Clasifique las siguientes expresiones según el grado de cada
polinomio:
14.1. –2z0
14.2. 1 – n + n2
14.3. x4 – 2x3 + 3x2 – 9
14.4. –y3 ∓ 1
Respuestas14.1. –2z0: Grado cero
14.2. 1 – n + n2 Segundo grado
14.3. x4 – 2x3 + 3x2 – 9 Cuarto grado
14.4. –y3 ∓ 1 Tercer grado
La simplificación de expresiones algebraicas se realizan teniendo
presente el concepto de Términos semejantes.
7.5.1. Términos semejantes
Se entiende por términos semejantes a los monomios que sólo se dife-
rencian en su coeficiente, ya que tienen la misma parte literal (variable
y exponente). La característica de los términos semejantes es que pue-
den ser sumados o restados para simplificar la expresión matemática.
7.5. Simplificación de expresiones algebraicas
144{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
Ejemplo N.° 63
Las siguientes expresiones matemáticas son términos semejantes:
xyz2 + yz2 yxz2 – 3z2 xy +12
45
7.5.2. Ley de multiplicación de signos
Para operar las expresiones algebraicas es necesario tener presente
la siguiente ley:
(+) × (+) = +
(+) × (–) = –
(–) × (+) = –
(–) × (–) = +
7.5.3. Signos de agrupación
Son símbolos matemáticos con los que se reúnen algunos términos,
los cuales no necesariamente deben ser términos semejantes. Se
emplean para separar diversas operaciones matemáticas (suma,
resta, multiplicación, división, entre otras.).
Los signos de agrupación que más se emplean son los siguientes:
• Paréntesis: ( )
• Corchetes:[ ]
• Llaves:{ }
• Barras:
Si no se describe un signo entre el número y el signo de agrupación,
se está indicando una multiplicación.
145
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
Para simplificar la operación de adición y sustracción de polinomios, se
emplea la ley de multiplicación de signos y los signos de agrupación.
Ejemplo N.° 64
Simplificar:
xyz2 + yz2 yxz2 – 3z2xy +12
45
xyz2 +
xyz2
xyz2
xyz2
xyz2
=
=
=
=
yz2 yxz2 – 3z2xy +
1 +
– 2 +
– 3 +
+
12
12
12
– 12 + 3 + 86
– 112
45
43
43
Como se observa los cuatro términos tienen la misma parte literal
xyz2. No importa el orden como se encuentren escritas. Por lo tanto,
se suman algebraicamente los coeficientes:
Sólo se agrupan los coeficientes para luego sumarlos.
Luego de simplificar se obtiene:
En la siguiente gráfica se observa otro ejercicio relacionado con la
suma y la resta de polinomios.
7.6. Suma y resta de polinomios
146{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICAS BÁSICAS APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
Operar algebraicamente
2x2 – –5yz + 3z – 4 { 2 – 3x2 + z } + 3 [ 2z + 3yz ] =
= 2x2 + 5yz – 3z – 8 + 12x2 – 4z + 6z + 9yz
= 2x2 + 12x2 – 3z – 4z + 6z + 5yz + 9yz –8
= 14x2 – z – 14yz – 8
2x2 + 12x2 = 14x2
– 3z – 4z + 6z = –z
+ 5yz + 9yz = 14yz
–8 = –8
Suma y resta de polinomios
Términos de un polinomio que solamente se diferencian en sus coeficientes, ya que son idénticos en la parte literal con sus exponentes
Propiedades
Unicidad a = b c = d a + c = d + b a · c = d · b
Conmutativa a + b = b + a a · b = b · a
Asociativa a + ( b + c ) = ( a + b ) + c a · ( b · c ) = ( a · b ) · c
Distributiva a · ( b + c ) = a · b + a · c
( b + c ) = a · b + c · a
Modulativa suma a + 0 = a Multiplicación 1 · ( a ) = a
Invertiva suma a – a = 0 Multiplicación a · = a
Eliminación de signos de agrupación
Agrupar los términos semejantes
Uso de propiedades de los números reales
Polinomio resultante
12
+ · + = ++ · – = –– · + = –– · – = +
Paréntesis: ( )Corchetes: [ ]Llaves: { }Barras:
Gráfica 93. Suma y resta de polinomiosFuente. Sandra Patricia Narváez
v
147
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
Ejercicio N.°15. Tipos de Polinomios según el grado15. Simplificar las siguientes expresiones algebraicas:
15.1. ab + 6ab2 – 3ab + 5ab2 + 3ab
15.2. –8xy – 3z + xyz + 2xy – 7z
15.3. ( 4ab – 7mn ) – [ 8ab + 5mn ] + { –6mn – ab }
15.4. { 6xy – y + x } – [ x – { 2xy – y} + 3x ]
Respuestas15.1. ab + 11ab2
15.2. –6xy – 10z + xyz
15.3. –5ab – 18mn
15.4. 8xy + 3x
7.7. Multiplicación algebraica
7.7.1. Multiplicación de una constante (número) por un polinomio
Se multiplica este valor por cada coeficiente que hace parte del
polinomio. Se debe tener presente la ley de multiplicación de sig-
nos. A continuación se relaciona un ejemplo correspondiente a la
multiplicación de una constante por un polinomio.
148
–5 [ 2x2– 3x – 8 ]
–5 [ 2x2– 3x – 8 ] = –10x2 + 15x + 40
Multiplicación de una constante por un polinomio
Multiplicar la constante (incluyendo el signo) por cada término del polinomio, consi-derando la ley de signos
+ · + = ++ · – = –– · + = –– · – = +
Paréntesis: ( )Corchetes: [ ]Llaves: { }Barras:
Ley de multiplicación de signos
Signos de agrupación
Gráfica 94. Multiplicación de una constante por un polinomioFuente. Sandra Patricia Narváez
Ejercicio N.°16. Multiplicación de un número por un polinomio.16. Simplificar las siguientes multiplicaciones:
16.1. –8 2y3 – 5x2 – 4x2 – 8y3
16.2. 5 2a2 – b5 + a2 – b5
16.3. 4 { –7rs – 5s2 t } – 9[ – 10ts2 + 12sr ]
Respuestas16.1. 36y3 + 30x2
16.2. 13a2 – 11b5
16.3. 70s2 t – 136rs
52
85
94
43
43
149
7.7.2. Multiplicación de un monomio por un polinomio
Se realiza la multiplicación de cada término del polinomio por el
monomio dado, considerando la ley de signos
En la siguiente gráfica se relaciona un ejemplo de este tipo de mul-
tiplicaciones:
–2y { 5y2– 5x – 1 }
–2y { 5y2– 5x – 1 } = –10y3 + 10xy + 2
Multiplicación de un monomio por un polinomio
Multiplicar el monomio (incluyendo el signo) por cada término del polinomio, consi-derando la ley de signos
+ · + = ++ · – = –– · + = –– · – = +
Paréntesis: ( )Corchetes: [ ]Llaves: { }Barras:
Ley de multiplicación de signos
Signos de agrupación
Gráfica 95. Multiplicación de un monomio por un polinomioFuente. Sandra Patricia Narváez
v
Ejercicio N.º 1717. Simplificar las siguientes multiplicaciones:
17.1. –8x [ 2x2 – 5x ]
17.2. 9mn [ m2 – n3 ]
17.3. 5a2 2a – b5
Respuestas17.1. –16x3 + 40x2
17.2. 9m3n – 9mn4
17.3. 10a3 – a2 b5
15
150{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
7.7.3. Multiplicación de polinomios
Se efectúa la multiplicación de todos los elementos del multiplicando
por cada uno de los términos que hacen parte del multiplicador.
Es importante aplicar la ley de signos y realizar la suma algebraica
de los resultados parciales obtenidos.
En la siguiente gráfica se encuentra un ejemplo de este tipo de ejercicios:
Gráfica 96. Multiplicación de polinomiosFuente. Sandra Patricia Narváez
[ x2 + 3x – 2 ] { 1 + 2x + x2 }
[ x2 + 3x – 2 ] { 1 + 2x + x2 }
= + x2 + 2x3 – x4
= x2 + 2x3 – x4 + ( + 3x + 6x2 – 3x3 ) + ( –2 – 4x + 2x2 )
= + 3x + 6x2 – 3x3
= –2 – 4x + 2x2
Realizar la multiplicación de los polinomios
Multiplicar cada término de un polinomio por cada término del otro polinomio
Agrupar en términos semejantes para simplificar
Polinomio resultante
+ · + = ++ · – = –– · + = –– · – = +
Paréntesis: ( )Corchetes: [ ]Llaves: { }Barras:
Ley de multiplicación de signos
Signos de agrupación
= – x4 + 2x3 + x2
= – 3x3 + 6x2 + 3x3 = + 2x2 – 4x – 2
= –x4 – x3 + 9x2 – x – 2
151
Ejercicio N.°18 18. Simplificar las siguientes multiplicaciones:
18.1. ( z + 1 ) ( 2z3 + z2 )
18.2. [ a2 – 2ab + 7b2 ] [ 3b2 – 8a2 – 2ab ]
18.3. [ x – 3y ] [ x + 3y ]
Respuestas18.1. 2z4 + 3z3 + z2
18.2. 14a3 b – 49a2 b2 – 8a4 – 20ab3 + 21b4
18.3. x2 – 9y2
Hay diversos tipos de división algebraica. A continuación explicamos
cada uno, apoyados por los ejemplos representados en las gráficas.
7.8.1. División entre monomios
Se tiene presente la ley de signos y se simplifican las variables
posibles. En la gráfica 97 se relaciona un ejemplo de este tipo de
divisiones:
7.8. División algebraica
152{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
Gráfica 97. División entre monomiosFuente. Sandra Patricia Narváez
+ · + = ++ · – = –– · + = –– · – = +
Ley de multiplicación de signos
Realizar la división de
Simplificar los coeficientes
Simplificar las variables
Resultado obtenido
División entre monomios
15 x2 y3 z4
–6 x2 y5 z2
x2 y3 z4 z2
x2 y5 z2 y2= x2 – 2 y3 – 5 z4 – 2 = x0 y–2 z2 =
15 x2 y3 z4
–6 x2 y5 z2
5z2
2y2=
15 53(5)–6 2–3(2)
= = –
7.8.2. División entre fracciones
Una forma sencilla de realizar una división entre fracciones es multi-
plicar el numerador por el inverso multiplicativo del denominador,
teniendo presente la ley de signos y simplificando las variables posibles.
A continuación se relaciona un ejemplo de este tipo de divisiones:
153
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
Gráfica 98. División entre fracciones Fuente. Sandra Patricia Narváez
+ · + = ++ · – = –– · + = –– · – = +
Ley de multiplicación de signos
Realizar la división de
Multiplicar por el inverso del denominador
Simplificar las variables
Resultado obtenido
División entre fracciones
–2 r2 n3 –4 r2
÷3 m2 15 n2
–2 r2 n3 (15) n2 –2 (3) (5) r2-2 n3+2 5 r0 n5 5 n5
= = =3 m2 (–4) r2 –3 (2) (2) m2 3 (2) m2 6 m2
–2 r2 n3 –4 r2 5 n5
÷ =3 m2 15 n2 6 m2
–2 r2 n3 15 n2
x3 m2 –4 r2
7.8.3. División de un polinomio por un monomio
Se divide cada término que hace parte del polinomio por el monomio,
teniendo presente la ley de signos.
154{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
Gráfica 99. División de un polinomio por un monomio Fuente. Sandra Patricia Narváez
+ · + = ++ · – = –– · + = –– · – = +
Ley de multiplicación de signos
Realizar la división de
Dividir cada término del polinomio por el monomio
Simplificar las variables
Resultado obtenido
División de un polinomio por un monomio
15 x4 – 20x3 + 40x2 – 30x
5 x
15 x4 – 20x3 + 40x2 – 30x 3 x3 – 4x2 + 8x – 65 x
=
3 (5) x4-1 4 (5) x3-1 8 (5) x2-1 6 (5) x1-1– –+
5 5 5 5
15 x4 20 x3 40 x2 30 x– –+5 x 5 x 5 x 5 x
7.8.4. División entre polinomios
Inicialmente se ordenan los polinomios de acuerdo con una variable,
preferiblemente de exponente mayor a menor.
Se divide el primer término del dividendo por el primer término
del divisor.
Se multiplica el primer término del cociente por los términos del
divisor. Luego se resta este producto al dividendo.
Luego, se divide nuevamente el primer término del nuevo dividendo
entre el primer término del divisor.
Nuevamente se multiplica el primer término del cociente por los
términos del divisor. Finalmente se resta este producto al dividendo.
155
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
En la siguiente gráfica se relaciona un ejemplo de una división entre
dos polinomios:
Gráfica 100. División entre polinomios Fuente. Sandra Patricia Narváez
Realizar la división de
Ordenar los polino-mios en orden ascen-dente los exponentes
Dividir el primer término del dividendo entre el primer térmi-
no del divisor
Multiplicar el primer término del cociente
por el divisor
Restar el producto obtenido al dividendo
Dividir el primer término del dividendo entre el primer térmi-
no del divisor
Nuevamente multiplicar el primer término del cociente por el divisor
Restar el producto obtenido al dividendo
Resultado obtenido
División entre polinomios
x ( x – 4) = x2 – 4x
5 ( x – 4) = 5x – 20
x – 20 + x2
– 4 + x
x2 + x – 20x – 4
DividendoDivisor
x – 20 + x2
– 4 + x= x + 5
x – 4x2 + x – 20x2 – x2 = 0
x + 4x = 5x–x2 + 4x
0 + 5x
x
x2 + x – 20
x2 ÷ x = x
x – 4x
x2 + x – 20–x2 + 4x
0 + 5x
5x ÷ x = +5
x – 4x + 5
Cociente
Residuo
x2 + x – 20–x2 + 4x
5x2 – 5x = 0– 20 + 20 = 0
– 5x + 200 + 5x – 20
x – 4x + 5
0 0
156
Ejercicio N.°19. 19. Simplificar las siguientes expresiones:
19.1.
19.2.
19.3.
19.4.
19.5.
Respuestas
19.1.
19.2.
19.3.
19.4.
19.5. a + 9b
5x3 yz5
xz4
31b9
–6x2y3
x2y2
2x4 + 1 +
124a8 b15
a2 – 9b2
12x5y + 6xy + 2x4 y3
–2x5 y 10x3 z
20x2 y3 z
4y
50c
25z3
6
200a8 b6 c
a – 3b
6xy2
5z2 6y2÷
157
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
7.9. Ejercicios de aplicación en la Ingeniería Civil N.° 7
1. Distancia de visibilidad en una vía
Un consorcio ha establecido que la distancia de visibilidad
Da de adelantamiento para una vía de determinado territo-
rio, que se caracteriza por ser de dos carriles con tránsito en
ambas direcciones, está definida por la siguiente expresión:
Da = D1 + D2 + D3 + D4
Donde cada ítem tiene como variable la velocidad v y el tiempo
t de recorrido. Los demás parámetros se consideran constantes:
D1: Es la distancia recorrida en metros durante el tiempo de
percepción y reacción.
D2: Distancia recorrida en metros por el vehículo que adelan-
ta durante el tiempo desde que invade el carril del sentido
contrario hasta que regresa a su carril.
D3: Distancia de seguridad, una vez terminada la maniobra,
entre el vehículo que adelanta y el vehículo que viene en la
dirección opuesta, en metros
D4: Distancia recorrida por el vehículo que viene en el sentido
opuesto.
158{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
Establezca la expresión matemática en cada una de las opciones
dadas en las cuales se determina esta distancia de distanciamiento
si los parámetros requeridos tienen los siguientes valores:
• Opción 1:
v – 30 +
v – 50 +
v – 70 +
D1 = 0,278t
D1 = 0,3t
D1 = t
D2 = 0,278vt
D2 = 0,3vt
D2 = vt
D2
D2
D2
D3 = 85
D3 = 75
D3 = 90
D4 =
D4 =
D4 =
85t2
100t2
120t2
23
23
23
• Opción 2:
• Opción 3:
159
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
R
H
2. Cálculo de volumen de un silo
En la construcción de un silo cilíndrico para el almacenamiento
de material de obra se desea establecer la expresión mate-
mática en términos de x que permite definir su volumen V si:
Gráfica 101. Ejercicio de aplicación N.° 2Fuente. Sandra Patricia Narváez
V = πhR2
Donde,
V: volumen en m3
R :radio de la base en metros
h :altura del silo en metros
160{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
Identifique la expresión matemática en término de x del vo-
lumen V si:
• Opción 1:
Radio de la base R = 2x
Altura del silo h = 2 ( x + 5 )
• Opción 2:
Radio de la base
Altura del silo h = 2x
• Opción 3:
Radio de la base
Altura del silo
3. Hidráulica de pozos
En la hidráulica de un pozo, ubicada en una importante zona
de donde la población es surtida por agua subterránea, se ha
identificado que la siguiente ecuación corresponde al caudal
que pasa por el acuífero:
Q = (A)(V)
Donde
Q: Caudal en
A: área de la sección transversal del acuífero en m2
x2 + 2
x2
x2 +3
m3
x
x + 1
2x –1
día
R =
h =
161
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
V: velocidad en m/día en que la columna de agua tiene en la
sección A del acuífero.
Se pretende identificar la expresión matemática en término
del gradiente hidráulico i y la porosidad x del caudal Q si:
• Opción 1:
Área: A = 5ix-3
Velocidad: V =
• Opción 2:
Área: A = x2 – i2
Velocidad: V =
• Opción 3:
Área: A =
Velocidad: V = 2ix2
4. Caudal en una tubería
Considerando que la siguiente expresión permite calcular el
caudal por el cual se transporta un fluido a través de una tubería:
Q = AV
Donde
Q: caudal en
A:área de la sección transversal de la tubería en m2
x3
x – i
x3 – 1
10xi2
i2 – x2
xi
m3
seg
162{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
V: velocidad en m/seg del fluido a través de la tubería.
Identifique las siguientes expresiones matemáticas en término
del radio de la tubería r:
• Opción 1: hallar el caudal Q: si
Área: A = πr2
Velocidad: V =
• Opción 2: hallar el área: A si
Caudal: Q = x3 – 1
Velocidad: V = x – 1
• Opción 3: hallar la velocidad V si
Caudal: Q = x3 – 1
Área: A = x2 + x + 1
r – 5
r + 5
7.10. Respuestas de los ejercicios de aplicación en la Ingeniería Civil N.° 7
1. Distancia de visibilidad en una vía
• Opción 1:
Da = 11,815t2 + 0,74133vt – 8,34t + 85
• Opción 2:
Da = 15t2 + 0,83vt – 15t + 75
163
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
• Opción 3:
Da = 11,815t2 + 0,74133vt – 8,34t + 85
• Opción 2:
Da = 60t2 + vt – 70t + 90
2. Cálculo de volumen de un silo
Opción 1: V = 8πx3 + 20πx2
Opción 2: V =
Opción 3:V =
3. Hidráulica de pozos
Opción 1: Q =
Opción 2: Q = i – x
Opción 3: Q = 2x2 – 2x
4. Caudal en una tubería
Opción 1: Q =
Opción 2: A = x2 + x + 1
Opción 3: V = x – 1
83
2πx4 + 8πx2 + 8π
1
πr
πx6 + 3πx4 π
x
2xi2
r – 5
2x3 + 3x2 – 1
164{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
B={2
,4,6
,8,..
.}
x
x
+
{ }
Factorizacion
08
v
165
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
v
El concepto de factor está relacionado con encon-
trar los factores o multiplicadores en los que se
puede descomponer una cantidad o expresión
algebraica.
Ejemplo N.° 64
Las siguientes expresiones se descomponen en factores
teniendo presente la multiplicación:
45 = 5 × 32
50 x z3 = 2 × 52 × x × z3
166{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
Los métodos de factorización ofrecen técnicas para expresar un
polinomio como el producto algebraico de diversas expresiones
algebraicas más sencillas.
8.1.1. Factorización de un monomio
En este tipo de factorización se descompone en factores o multi-
plicandos que hagan posible el monomio.
Ejemplo N.° 65
Se tienen presente los factores que se obtienen al descomponer
tanto al coeficiente como a las variables.
50xz3 = 2 × 52 × x × z3
8.1.2. Factorización de un polinomio
En la siguiente gráfica se relacionan estos métodos de factorización.
Gráfica 102. Factorización de polinomiosFuente. Sandra Patricia Narváez
8.1. Métodos de fractorización
167
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
Factorización polinomios
Caso IFactor común
Caso IIFactor común agrupación de
términos
Caso IXSuma y diferencia
de cubos perfectos
Caso XSuma y diferencia
de 2 potencias iguales
Caso IIITrinomio cuadrado perfecto términos
Caso VIIICubos perfectos de
binomios
Caso IVDiferencia de
cuadrados
Caso VIITrinomio de la
formaax2 + bx + c
Caso VTrinomio
cuadrado perfecto por adición y sustracción
Caso VITrinomio de la
formax2 + bx + c
Factor común monomio
Factor común polinomio
168{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
Este caso de factorización se analiza teniendo presente el término
que tienen en común los elementos que hacen parte del polinomio.
Factor común monomio: al analizar los términos que hacen parte del
polinomio se deduce que tienen en común un monomio.
En la siguiente gráfica se relaciona un ejemplo de este tipo de des-
composición factorial.
Factor común monomio
Factorizar:4 a2 x3 + 16 a x5 y2 – 8 a5 x3 z–1 + 4 a6 m3 x
Se observa que 4ax es el elemento en común para todos los términos del polinomio
4 a2 x3 + 42 a x5 y2 – 4(2) a5 x3 z–1 + 4 a6 m3 x
Sacando factor común del monomio
4ax
Se obtiene
4 a2 x3 + 16 a x5 y2 – 8 a5 x3 z–1 + 4 a6 m3 x = 4ax (ax2 + 4x4y2 – 2a4x2z–1 + a5m3)
Gráfica 103. Factorización de polinomiosFuente. Sandra Patricia Narváez
8.2. Caso I: factor común
169
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
Factor común polinomio
Factorizar:5(x – 2y2) – 15(x – 2y2)z + 35(x – 2y2)r2
Se observa que 5(x – 2y2) es el elemento en común para todos los términos
5(x – 2y2) – 3(5)(x – 2y2)z + 7(5)(x – 2y2)r2
El elemento 5(x – 2y2) es común de la expresión dada, por lo cual es un factor de este polinomio.
5(x – 2y2) – 15(x – 2y2)z + 35(x – 2y2)r2 = 5(x – 2y2) (1 – 3z + 7r2)
Gráfica 104. Factor común polinomioFuente. Sandra Patricia Narváez
Factor común polinomio: al analizar los términos que hacen parte
de la expresión algebraica a factorizar, se deduce que tienen en
común un polinomio.
En la gráfica 104 se encuentra un ejemplo de este tipo de factorización.
Este caso requiere una detallada inspección de los elementos que
hacen parte del polinomio. Se caracteriza porque puede reunirse
en un grupo de términos que tienen en común un factor que es
diferente para otro grupo de elementos del polinomio.
8.3. Caso II: factor común por agrupación de términos
170{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
Factorizar:a x m2 – a x r n2 + b y m2 – b y r n2 – c z m 2 + c z r n2
Sacando factor común de cada grupo de términos
a x (m2 – r n2) + b y (m2 – r n2) – c z (m 2 – r n2)
Se observa que todos los elementos tienen en común (m2 – r n2) se obtiene
a x m2 – a x r n2 + b y m2 – b y r n2 – c z m 2 + c z r n2 = (m 2 – r n2) [a x + b y – c z ]
Se observa que:Los dos primeros elementos tienen en común axEl tercer y cuarto elemento tienen en común byLos dos ultimos elementos tienen en común cz
a x m2 – a x r n2 + b y m2 – b y r n2 – c z m 2 + c z r n2
Se caracteriza porque puede reunirse en un grupo de términos que tienen en común un factor que es diferente para otro grupo de
elementos del polinomio.
Gráfica 105. Caso II. Factor común agrupación de términosFuente. Sandra Patricia Narváez
Caso IIFactor común agrupación
de términos
171
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
El trinomio cuadrado perfecto es el que tiene por estructura:
(ax)2 ± 2(ax)(by) + (by)2
Es decir, que cumple con las siguientes características:
El primer término es cuadrado perfecto porque tiene raíz cuadrada
exacta y es positivo.
El tercer término es cuadrado perfecto porque tiene raíz cuadrada
exacta y es positivo.
El segundo término es el doble producto de las raíces cuadradas
del primer y tercer término.
Cuando se cumple con estas condiciones se deduce que es un trinomio
cuadrado perfecto, el cual es equivalente a la siguiente expresión:
(ax)2 ± 2(ax)(by) + (by)2 = (ax ± by)2
En la siguiente gráfica se encuentra un ejemplo de este tipo de
factorización:
8.4. Caso III: trinomio cuadrado perfecto
172{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
(ax)2 ± 2(ax)(by) + (by)2
(ax)2 ± 2(ax)(by) + (by)2 = ( ax ± by )2
El primer término (ax) es cuadrado perfecto, es
decir, tiene raíz cuadrada exacta y es positivo
ax by
El segundo término 2(ax)(by) es el doble producto de las raíces cuadradas del primer
y tercer término.
Factorizar:16m2 + 24mn + 9n2
(4m)2 + 2(4m)(3)n + (3n)2
16m2 + 24mn + 9n2 = (4 m + 3n )2 16m2 – 24mn + 9n2 = (4 m – 3n )2
(4m)2 – 2(4m)(3)n + (3n)2
Factorizar:16m2 – 24mn + 9n2
El tercer término (by) es cuadrado perfecto, es
decir, tiene raíz cuadrada exacta y es positivo.
El trinomio cuadrado perfecto es el que tiene por estructura:
Comprobar si es un trinomio cuadrado perfecto
Raíz cuadrada del primer y tercer término
Considere el signo del segundo término
SignoSigno
Finalmente
Gráfica 106. Caso III. Trinomio cuadrado perfectoFuente. Sandra Patricia Narváez
Caso IIITrinomio cuadrado perfecto
173
Ejercicio N.° 2020. Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:
20.1. 2xy3 – 8zy2 + 22y8 + 40y5
20.2. 7(a + b2) – 9(a + b2)2 + 11(a + b2)c
20.3. 2ax – 3ay + az + 4bx – 6by + 2bz
20.4. 25x2 + 30xy + 9y2
20.5. 49a2 – 154ab + 121b2
Respuestas
20.1. 2y2 (xy – 4z + 11y6 + 20y3)
20.2. (7 – 9a – 9b2 + 11c) (a + b2)
20.3. (2x – 3y + z) (a + 2b)
20.4. (5x + 3y)2
20.5. (7a – 11b)2
174{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
Para factorizar una diferencia de cuadrados es necesario que la
expresión algebraica cumpla las siguientes características:
Ser un binomio
Los dos términos son un cuadrado perfecto, es decir, tienen raíz
cuadrada exacta. Uno de los elementos es positivo y el otro es ne-
gativo. Cuando se cumple con estas condiciones se deduce que es
una diferencia de cuadrados. Esto es equivalente a la expresión:
(ax)2 – (by)2 = (ax – by)(ax + by)
A continuación se relaciona un ejemplo de este tipo de factorización.
Gráfica 107. Caso IV: diferencia de cuadrados Fuente. Sandra Patricia Narváez
8.5. Caso IV: Diferencia de cuadrados
175
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
(ax)2 – (by)2
(ax)2 – (by)2 = ( ax – by ) · ( ax + by )
El primer término (ax) es cuadrado perfecto, es
decir, tiene raíz cuadrada exacta y es positivo
ax by
Uno de los elementos es positivo y el otro es negativo
+ (ax)2
– (by)2
Factorizar:16m2 – 9n2
(4m)2 – (3n)2
16m2 – 9n2 = (4 m – 3n )(4 m + 3n )
El segundo termino (by) es cuadrado perfecto, es decir, tiene raíz cuadrada exacta.
La diferencia de cuadrados tiene la siguiente estructura:
Comprobar si es una diferencia de cuadrados
Raíz cuadrada del primer y segundo término
Considere el signo de cada binomio
Finalmente
Caso IVDiferencia de cuadrados
176
Ejercicio N.º 21. 21. Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:
21.1. 25x2 – y2
21.2. 196a2 – 289b2
21.3. –625m2 + n2
21.4. x2 – 25y2
Respuestas
21.1. (5x – y)(5x + y)
21.2. (14a – 17b)(14a + 17b)
21.3. (n – 5m)(n + 5m)
21.4. (x – 5y)(x + 5y)
Existen casos especiales en los cuales se requiere aplicar la diferen-
cia de cuadrados o el trinomio cuadrado perfecto. A continuación,
explicamos este caso especial a partir de varias gráficas.
8.6. Caso especial del caso IV (diferencia de cuadrados y combinación de los casos III y IV)
177
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
8.6.1. Caso especial de diferencia de cuadrados
En este caso los dos elementos que hacen parte de la diferencia
de cuadrados se caracterizan por ser una expresión compuesta.
A continuación de relaciona un ejemplo sobre este caso especial
relacionado con la diferencia de cuadrados.
121(x –m)2 – 81(y + n)2
[11(x –m)]2 – [9(y + n)]2
[11(x –m) – 9(y + n)] · [11(x –m) + 9(y + n)]
[11x –11m – 9y – 9n] · [11x – 11m) + 9y + 9n]
Factorizar
Comprobar si es una diferencia de cuadrados
Simplificado
Finalmente
Raíz cuadrada del primer y segundo término
Considere el signo de cada binomio
Caso especial de diferencia de cuadrados
Signo
Gráfica 108. Caso especial de diferencia de cuadrados Fuente. Sandra Patricia Narváez
178{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
8.6.2. Caso especial combinación de los casos III y IV
Se aplica la descomposición factorial del trinomio cuadrado per-
fecto y la correspondiente a la diferencia de cuadrados. Para esto
se requiere ordenar los elementos que hacen parte del polinomio
de tal manera que se apliquen los casos de descomposición III y IV.
En la siguiente gráfica se encuentra el ejemplo correspondiente a
este tipo de caso especial de factorización.
Gráfica 109. Caso especial de combinación de los casos III y IVFuente. Sandra Patricia Narváez
v
4m2 – 9p2 + 36n2 – 36q2 – 24mn – 36pq
(4m2 – 24mn + 36n2) – (9p2 + 36pq + 36q2)
4 (m2 – 6mn + 9n2) – 9 (p2 + 4pq + 4q2)
4[(m)2 – 2(3n)(m) + (3n)2] – 9[(p)2 + 2(2q)(p) + (2q)2]
4(m – 3n)2 – 9(p + 2q)2
[2(m – 3n)]2 – [3(p + 2q)]2
[2(m – 3n) – 3(p + 2q)] · [2(m – 3n) + 3(p + 2q)]
[2m – 6n – 3p – 6q] · [2m – 6n + 3p + 6q]
Factorizar
Ordenar los elementos
Sacar factor común en cada grupo de paréntesis
Revisar si es trinomio cuadrado perfecto
Factorizar cada trinomio cuadrado perfecto
Comprobar si es una diferencia de cuadrados
Simplificando
Finalmente
Raíz cuadrada del primer y segundo término
Considerar los signos de cada binomio
Caso especial combinación de los casos III y IV
Signo
179
Ejercicio N.°22.
22. Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:
22.1. 4(a – n)2 – 9(b + m)2
22.2. (x + 1)2 – 25(y + 3)2
22.3. 25n2 – 50mn + 25m2 – 4b2 – 8ab – 4a2
22.4. 1 – 6xy – 9y2 – x2
Respuestas
22.1. (2a – 2n – 3b – 3m)(2a – 2n + 3b + 3m)
22.2. (x + 1 – 5y – 15)(x + 1 + 5y + 15)
22.3. (5n – 5m – 2b + 2b)(5n – 5m + 2b – 2b)
22.4. (1 – x – 3y)(1 + x + 3y)
En este caso se halla una expresión equivalente para uno de sus
términos, de tal manera que pueda aplicarse la factorización de
un trinomio cuadrado perfecto. Luego de factorizar, se emplea la
descomposición del caso III (diferencia de cuadrados).
8.7. Caso V: trinomio cuadrado perfecto por adición y sustratación
180{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
En la gráfica 110 se encuentra el desarrollo de un ejercicio aplicando
este tipo de factorización.
Gráfica 110.Caso IV: trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracciónFuente. Sandra Patricia Narváez
16x4 – 25x2y2 + 9y4
–2(4x2)(3y2) equivale a –24x2y2
–25x2y2 = –24x2y2 – x2y2
16 x4 – 24 x2 y2 – x2 y2 + 9y4
(16 x4 – 24 x2 y2 + 9y4) – x2 y2
(4 x2 – 3y2) – x2 y2
[(4 x2 – 3y2) – x y] · [(4 x2 – 3y2) + x y]
[4 x2 – 3y2 – x y] · [4 x2 – 3y2 + x y]
Identificar cuál seria el segundo término que de-bería tener para ser trinomio cuadrado perfecto
Tener presente la equivalencia del segundo término para factorizar
Agrupar los términos de manera del segundo término para factorizar
Factorizar teniendo presente las características del caso III: Trinomio cuadrado perfecto
Factorizar teniendo presente las características del caso IV: Diferencia de cuadrados
Ubicar la equivalencia que tiene segundo término dado, teniendo presente el hallado en
el paso anterior
Caso VTrinomio cuadrado perfecto
por adición y sustracción
Signo
Signo
Simplificando
Finalmente
181
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
Gráfica 111. Caso V: Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracciónFuente. Sandra Patricia Narváez
8.7.1. Caso especial: suma de los cuadrados
En este caso se requiere un término para completar el trinomio cua-
drado perfecto, al adicionarlo y restarlo (para no afectar la igualdad).
Además de aplicar este caso de descomposición factorial, se aplica
el caso relacionado con la diferencia de cuadrados.
En la gráfica 111 se detalla un ejercicio aplicando este caso especial
de factorización.
64x4 + 81y4
2(8x2)(9y2) equivale a 144x2y2 Para no afectar la expresión algebraica
144 x2y2 se suma y resta al mismo tiempo
64 x4 + 81 y4 + 144 x2 y2 – 144 x2 y2
(64 x4 + 144 x2 y2 + 81 y4) – 144 x2 y2
(8 x2 + 9 y2)2 – 144 x2 y2
[(8 x2 – 9 y2) – 12 x y] · [(8 x2 – 9 y2) + 12 x y]
[8 x2 – 9 y2 – 12 x y] · [8 x2 – 9 y2 + 12 x y]
Identificar cuál seria el segundo término que de-bería tener para ser trinomio cuadrado perfecto
Tener presente la equivalencia del segundo término para factorizar
Agrupar los términos de manera convenientemente para luego factorizar
Factorizar teniendo presente las características del caso III: Trinomio cuadrado perfecto
Factorizar teniendo presente las características del caso IV: Diferencia de cuadrados
Caso VTrinomio cuadrado perfecto
por adición y sustracción
Signo
Signo
Simplificando
Finalmente
182
Ejercicio N.°2323. Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:
23.1. 9x12 + 144 + 23x6
23.2. x12 + 64
23.3. x4 + 1 + x2
23.4. 121m4 + 36n8 – 133m2 n4
23.5. 64b4 + c4
Respuestas
23.1. (3x6 – 7x3 + 12)(3x6 + 7x3 + 12)
23.2. (x4 + 4)(x8 – 4x2 + 16)
23.3. (x2 – x + 1)(x2 + x + 1)
23.4. (11m2 – mn2 – 6n4 )(11m2 + mn2 – 6n4 )
23.5. (8b2 – 4bc + c2 )(8b2 + 4bc + c2 )
Este caso se aplica en trinomios que, al organizarlos por orden de
grado de la variable, cumplen con las siguientes características:
• Primer término x2: el exponente de la variable es dos (2) y su
coeficiente es uno (1).
8.8. Caso VI: Trinomio de la forma x2+bx+c
183
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
• Segundo término bx: puede ser positivo o negativo y el expo-
nente de la variable es uno (1).
• Tercer término c: puede ser positivo o negativo y no tiene va-
riable, solo un número.
En la siguiente gráfica se relaciona un ejemplo de factorización em-
pleando el caso VI, en especial cuando los factores resultantes son
de signo contrario.
Gráfica 112. Caso VI: Trinomio de la forma x2 + bx + cFuente. Sandra Patricia Narváez
x2 – 6x – 16
(x ) · (x ) (x – ) · (x + ) (x – 8) · (x + 2)
Caso VITrinomio de la forma x2 + bx + c
Análisis 1
Signo igual al perteneciente al segundo término
Multiplicación de signos:+ · + = +– · – = ++ · – = –– · + = –
En este caso los signos son diferentes. Por tal motivo es Restando
Hallar dos números que cumplan simultáneamente:a. Multiplicados se obtenga 16= 8 x 2b. Restados se obtenga el coeficiente
del segundo término 6 = 8 – 2En el primer paréntesis se ubica el número mayor.En el segundo paréntesis se ubica el número de menor valor.
Primer término El exponente de la
variable es dos (2) y su coeficiente es uno (1)
Segundo términoPuede ser positivo o nega-
tivo y el exponente de la variable es uno (1)
Tercer términoPuede ser positivo o negati-vo y no tiene variable, solo
un número
184{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
En la gráfica 113 se relaciona un ejemplo de factorización emplean-
do el caso VI, cuando los factores resultantes son de igual signo.
Gráfica 113. Caso VI: Trinomio de la forma x2 + bx + c Análsis 2Fuente. Sandra Patricia Narváez
x2 – 10x + 16
(x ) · (x ) (x – ) · (x – ) (x – 8) · (x – 2)
Caso VITrinomio de la forma x2 + bx + c
Análisis 2
Signo igual al perteneciente al segundo término
Multiplicación de signos:+ · + = +– · – = ++ · – = –– · + = –
En este caso los signos son iguales. Por tal motivo es Sumando
Hallar dos números que cumplan simultáneamente:a. Multiplicados se obtenga 16 = 8 x 2b. Sumados se obtenga el coeficiente
del segundo término 10 = 8 + 2En el primer paréntesis se ubica el número mayor.En el segundo paréntesis se ubica el número de menor valor.
Primer término El exponente de la
variable es dos (2) y su coeficiente es uno (1)
Segundo términoPuede ser positivo o nega-
tivo y el exponente de la variable es uno (1)
Tercer términoPuede ser positivo o nega-
tivo y no tiene variable, solo un número
8.8.1. Caso especial del caso VI
Este caso se aplica cuando el trinomio m2n + bm + c se organiza
por orden de grado de la variable principal y cuando cumple con
las siguientes condiciones:
185
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
Gráfica 114. Caso VI. Caso especial trinomio de la forma x2 + bx + c Proceso 1Fuente. Sandra Patricia Narváez
• Primer término m2n: el exponente de la variable es par (2) y su
coeficiente no es necesariamente uno (1).
• Segundo término bm: puede ser positivo o negativo y el exponente
de la variable es la mitad de la indicada en el primer término.
• Tercer término c: puede ser positivo o negativo.
En la siguiente gráfica se relaciona un ejemplo de factorización em-
pleando el caso VI. Los factores resultantes son de signo contrario.
(5x2)2 – 7(5x2) (2y) + 12(2y)2
[ (5x2) (2y) ] [ (5x2) (2y) ]
[5x2 – 8y] [5x2 – 6y]
[ (5x2) – (2y) ] [ (5x2) – (2y) ] [ (5x2) – 4(2y) ] [ (5x2) – 3(2y) ]
Caso VICaso especial
Trinomio de la forma x2 + bx + c Proceso 1
Signo igual al perteneciente al segundo término
Multiplicación de signos:– · – = +
12 = 4 x 37 = 4 + 3
En este caso los signos son iguales. Por tal motivo es Sumando
Hallar dos números que cumplan simultáneamente:a. Multiplicados se obtenga 12 = 4 x 3b. Sumados se obtenga el coeficiente
del segundo término 7 = 4 + 3En el primer paréntesis se ubica el número mayor.En el segundo paréntesis se ubica el número de menor valor.
Primer término El exponente de la varia-
ble es par.
Segundo términoPuede ser positivo o negati-
vo. Contiene la raíz cuadrada del primer y último termino
Tercer términoSi tiene una variable, si
exponente es par.
186{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
En la gráfica 115 se analiza un ejercicio de este tipo de descompo-
sición factorial cuando los factores resultantes son de igual signo.
Gráfica 115. Caso VI. Caso especial trinomio de la forma x2 + bx + c Proceso 2Fuente. Sandra Patricia Narváez
(3a3)2 – 14(3a3) – 15
Signo igual al perteneciente al segundo término
En este caso los signos son diferentes. Por tal motivo es Restando
Hallar dos números que cumplan simul-táneamente:a. Multiplicados se obtenga 15 = 15 x 1b. Restados se obtenga el coeficiente del
segundo término 14 = 15 − 1
En el primer paréntesis se ubica el número mayor.En el segundo paréntesis se ubica el número de menor valor.
Primer términoEl exponente de la variable
es par
Segundo términoPuede ser positivo o negati-
vo. Contiene la raíz cuadrada del primer término.
Tercer términoPuede ser positivo o nega-
tivo y no tiene variable, solo un número
Caso VICaso especial
Trinomio de la forma x2 + bx + c Proceso 2
[ (3a3) ] [ (3a3) ] [ (3a3) – ] [ (3a3) + ] [ (3a3) – 15 ] [ (3a3) + 1 ]
Multiplicación de signos:– · + = –
15 = 15 x 114 = 15 – 1
187
Ejercicio N.°2424. Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:
24.1. x2 + 15x + 50
24.2. y2 + 3y – 18
24.3. z2 – 3z – 18
24.4. a2 – 9a + 18
24.5. (5a)2 – 9(5a) + 20
Respuestas
24.1. (x + 10)(x + 5)
24.2. (y + 6)(y – 3)
24.3. (z – 6)(z + 3)
24.4. (a – 6)(a – 3)
24.5. 5(a – 1)(5a – 4)
Este caso se aplica en trinomios que, al organizarlo por orden de
grado de la variable, cumplen con las siguientes características:
• Primer término x2: el exponente de la variable es dos (2) y su
coeficiente es diferente a uno (1).
• Segundo término bx: puede ser positivo o negativo y el expo-
nente de la variable es uno (1).
8.9. Caso VII: trinomio de la forma ax2 + bx + c
188{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
• Tercer término c: puede ser positivo o negativo y no tiene va-
riable, sólo un número.
En la siguiente gráfica se desarrolla un ejercicio que cumple con
estas características:
10 y2 + 29 y – 21
10 (10 y2 + 29 y – 21)
10(10 y2) + 29(10y) – 10(21)
(10 y2) + 29(10y) – 210
(10y ) (10y ) (10y + ) (10y – ) (2y + 7) (5y – 3)(10y + 35) (10y – 6) 5(2y + 7) x 2(5y – 3)
10
10
10
10 10 10 5 x 2
Signo igual al perteneciente al segundo término
Sacando factor común de cada paréntesis del numerador
Expresando el denominador de factores
SimplificandoEn este caso los signos no son iguales. Por tal motivo es Restando
Hallar dos números que cumplan simultáneamente:a. Multiplicados se obtenga 210 = 35 x 6b. Restados se obtenga el coeficiente
del segundo término 29 = 35 – 6En el primer paréntesis se ubica el número mayor.En el segundo paréntesis se ubica el número de menor valor.
Primer términoEl exponente de la variable es dos (2) y su coeficiente
es diferente a uno (1)
Segundo términoPuede ser positivo o nega-
tivo y el exponente de la variable es uno (1)
Tercer términoPuede ser positivo o nega-
tivo y no tiene variable, solo un número
Caso VIITrinomio de la forma ax2 + bx + c
Multiplicación de signos:+ · – = –
210 = 35 x 629 = 35 – 6
Multiplicar toda la expresión por 1, es decir 10
10
Realizando la multiplicación indicada en el numerador
Escribiendo de otra manera las expresiones del numerador
189
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
Gráfica 116. Caso VI. Caso VII. Caso especial trinomio de la forma ax2+bx+cFuente. Sandra Patricia Narváez
8.9.1. Casos especiales del caso VII
8.9.1.1. Casos especiales del caso VII
Este caso se aplica en trinomios que organizados por orden de grado
de la variable cumplen con algunas de las características del caso
VII (Trinomio de la forma ax2 + bx + c):
• Primer término x2: el exponente de las variables son pares y su
coeficiente es diferente a uno (1).
• Segundo término bx: puede ser positivo o negativo y el expo-
nente de la variable es la mitad de lo indicado en el primer y
tercer término.
• Tercer término c: puede ser positivo o negativo. En el caso de
tener variables su exponente debe ser par.
En la gráfica 117 se desarrolla un ejercicio en el que se aplica el
caso VII de factorización.
190{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
8 x4 + 53 x2 y – 21 y2
8 (8 x4 + 53 x2 y – 21 y2)
8 (8 x4) + 53( 8x2y) – 8(21y2)
(8 x2)2 + 53( 8x2)y – 168y2)
(8x2 ) (8x2 ) (8x2 y) (8x2 y) (8x2 + y) (8x2 – y)
8
8
8
8 8 8
Signo igual al perteneciente al segundo término
En este caso los signos son iguales. Por tal motivo es Sumando
Primer términoEl exponente de las
variables son pares y su coeficiente es diferente a
uno (1)
Segundo términoPuede ser positivo o
negativo y el exponente de la variable es la mitad de lo indicado en el primer y
tercer término
Casos especiales del caso VIITrinomio de la forma ax2 + bx + c
Multiplicación de signos:+ · – = –
Multiplicar toda la expresión por 1, es decir 8
8
Realizando la multiplicación indicada en el numerador
Escribiendo de otra manera las expresiones del numerador
191
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
8(x2 + 7y) (8x2 – 3y) (x2 + 7y) (8x2 – 3y)(8x2 + 56y) (8x2 – 3y)8 8
Sacando factor común de cada paréntesis del numerador
SimplificandoHallar dos números que cumplan simultáneamente:a. Multiplicados se obtenga 168 = 56 x 3b. Restados se obtenga el coeficiente
del segundo término 53 = 56 – 3En el primer paréntesis se ubica el número mayor.En el segundo paréntesis se ubica el número de menor valor.
Tercer términoPuede ser positivo o nega-tivo y en el caso de tener
variables su exponente debe ser par
Casos especiales del caso VIITrinomio de la forma ax2 + bx + c
168 = 56 x 353 = 56 – 3
Gráfica 117. Casos especiales del VII. Caso espe-cial trinomio de la forma ax2 + bx + cFuente. Sandra Patricia Narváez
192
Ejercicio N.°2525. Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:
25.1. 2x4 + x2 y – 3y2
25.2. 2x4 + 5x2 y + 3y2
25.3. 2x4 – 5x2 y + 3y2
25.4. 2x4 – x2 y – 3y2
25.5. 2x2 – 14x + 20
Respuestas25.1. (x2 – y)(2x2 + 3y)
25.2. (x2 + y)(2x2 + 3y)
25.3. (x2 – y)(2x2 – 3y)
25.4. 2(x – 2)(x – 5)
193
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
Este caso se aplica en polinomios que se organizan respecto a una
variable. Está conformado por cuatro términos que cumplen con
las siguientes condiciones:
• Primer término: es un cubo perfecto.
• Segundo término: es el triplo de obtener el cuadrado de la raíz
cúbica del primer término y de la raíz cúbica del último término.
• Tercer término: es el triplo resultado del cuadrado de la raíz
cúbica del último término y de la raíz cúbica del primer término.
• Cuarto término: es un cubo perfecto.
Cuando se cumplen estas condiciones se tienen presentes los signos
de cada uno de los términos para definir si es suma o resta de cubos.
Todos los términos son positivos. Esta expresión se factoriza como
la suma de la raíz cúbica del primer y último término. Todo esto
elevado al cubo.
Cuando el primer y tercer término son positivos y los demás nega-
tivos. Esta expresión se factoriza como la resta de la raíz cúbica del
primer y último término. Todo esto elevado al cubo.
En el desarrollo del ejercicio descrito en la gráfica 118 se observa
que se tiene presente estas características.
8.10. Caso VIII: cubo perfecto de binomios
194{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
Gráfica 118. Caso VIII. Cubo perfecto de binomiosFuente. Sandra Patricia Narváez
8x3 ± 36x2y ± 54xy2 ± 27y3
+ 8x3 + 36x2y + 54xy2 + 27y3 + 8x3 – 36x2y + 54xy2 – 27y3
(2x 3y)3 (2x 3y)3
(2x) = 8x3 (2x) = 8x3(3y) = 27y3 (3y) = 27y3
(2x + 3y)3 (2x – 3y)3
Primer términoEs un cubo perfecto
(2x) = 8x3
Polinomios que al ser organizados con respecto a una variable se evidencia que:
Segundo términoEs el triplo de obtener el cua-
drado de la raíz cúbica del primer término y de la raíz cúbica del último término
3(2x)2 (3y) = 36x2y
Suma de binomio al cubo Todos los términos son
positivos
Resta de binomio al cubo Primer y tercer término:
positivosSegundo y cuarto término:
negativos
Tercer términoEs el triplo de obtener el cua-
drado de la raíz cúbica del último término y de la raíz cúbica del primer término
3(2x) (3y)2 = 54xy2
Cuarto términoEs un cubo perfercto
(3y2) = 27y3
Caso VIIICubo perfecto de binomios
195
Ejercicio N.° 2626. Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:
26.1. a3 – 15a2 b + 75ab2 – 125b3
26.2. 27x3 + 54x2 y + 36xy2 + 8y3
26.3. 27x3 – 54x2 y + 36xy2 – 8y3
Respuestas
26.1. (a – 5b)3
26.2. (3x + 2y)3
26.3. (3x – 2y)3
Este caso se aplica en binomios con dos términos que tienen raíces
cúbicas exactas. Pueden ser presentados con una suma o diferencia.
En la siguiente gráfica se observa el desarrollo de un ejercicio equi-
valente a una suma de cubos.
8.11. Caso IX: suma o diferencia de cubos
196{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
Gráfica 119. Caso IX: suma o diferencia de cubosFuente. Sandra Patricia Narváez
Gráfica 120. Caso IX: suma o diferencia de cubos. Procedimiento 2Fuente. Sandra Patricia Narváez
8x3 + 27y3
8x3 – 27y3
[2x ][(2x)2 (2x) ]
[2x ][(2x)2 (2x) ]
[2x 3y][(2x)2 (2x)(3y)
[2x 3y][(2x)2 (2x)(3y) (3y)2]
[2x + 3y][(2x)2 – (2x)(3y) + (3y)2]
[2x – 3y][(2x)2 + (2x)(3y) + (3y)2]
(2x) = 8x3
(2x) = 8x3
(3y) = 27y3
(3y) = 27y3
Signos+ – +
Signos+ + +
Son binomios en el que sus dos términos son raíces cúbicas exactas.
Puede ser presentando una suma o diferencia.
Son binomios en el que sus dos términos son raíces cúbicas exactas.
Puede ser presentando una suma o diferencia.
Suma de cubos
Diferencia de cubos
Caso IXSuma o diferencia de cubos
Procedimiento 1
Caso IXSuma o diferencia de cubos
Procedimiento 2
En la gráfica 133 se observa el desarrollo de un ejercicio equivalente
a una resta de cubos.
197
Ejercicio N.° 2727. Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:
27.1. x3 + 8y3
27.2. –x3 + 8y3
Resultados
27.1. (x + 2y)(x2 – 2xy + 4y2 )
27.2. (2y – x)(4y2 + 2xy + x2 )
8.11.1. Caso especial del caso IX
Este caso se aplica en binomios en el que sus dos términos son
raíces cúbicas exactas, puede tener una leve modificación con res-
pecto al caso IX.
En la siguiente gráfica se observa el desarrollo de un caso especial
de suma de cubos.
198{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
Gráfica 121. Caso especial del caso IX: suma o diferencia de cubos. Procedimiento 1Fuente. Sandra Patricia Narváez
8(x + 1)3 + 27(y – 1)3
[2(x + 1) ][(2(x + 1))2 (2(x + 1)) ]
[2(x + 1) 3(y – 1)][(2(x + 1))2 (2(x + 1)) (3(y – 1)) (3(y – 1))2]
[2(x + 1) + 3(y – 1)][(2(x + 1))2 – (2(x + 1)) (3(y – 1)) + (3(y – 1))2]
[2x + 3y – 1)][4(x + 1)2 – 6(x + 1)(y – 1)) + 9(y – 1)2]
(3(y – 1))3 = 27(y – 1)3
(2(x + 1))3 = 8(x + 1)3
Signos+ – +
Suma de cubos
Caso especial del caso IXSuma o diferencia de cubos
Procedimiento 1
En la siguiente gráfica se encuentra otro ejemplo de este tipo de
factorización con una resta de cubos.
199
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
Gráfica 122. Caso especial del caso IX: suma o diferencia de cubos. Procedimiento 2Fuente. Sandra Patricia Narváez
8(x + 1)3 – 27(y – 1)3
[2(x + 1) ][(2(x + 1))2 (2(x + 1)) ]
[2(x + 1) 3(y – 1)][(2(x + 1))2 (2(x + 1)) (3(y – 1)) (3(y – 1))2]
[2(x + 1) – 3(y – 1)][(2(x + 1))2 + (2(x + 1)) (3(y – 1)) + (3(y – 1))2]
[2x – 3y + 5)][4(x + 1)2 + 6(x + 1)(y – 1)) + 9(y – 1)2]
(3(y – 1))3 = 27(y – 1)3
(2(x + 1))3 = 8(x + 1)3
Signos+ + +
Resta de cubos
Caso especial del caso IXSuma o diferencia de cubos
Procedimiento 2
200
Ejercicio N.° 2828. Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:
28.1. 125(a – 1)3 + 343(b + 14)3
28.2. 125(a – 1)3 – 343(b + 14)3
Respuestas
28.1. (5a + 7b + 93)(25a2 – 35ab – 540a + 49b2 + 1407b + 10119)
28.2. (5a – 7b – 103)(25a2 + 35ab + 440a + 49b2 + 1337b + 9139)
Se tiene presente que son dos binomios cuyas potencias son impares.
A continuación se encuentra la gráfica 123 en el que se desarrolla un
ejercicio donde se plantean la suma de dos potencias impares iguales.
8.12. Caso X: suma o diferencia de dos poten-cias iguales
201
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
Gráfica 123. Caso X: suma o diferencia de dos potencias iguales. Procedimiento 1Fuente. Sandra Patricia Narváez
32x5 + 1024y5
[2x ][(2x)4 (2x)3 (2x)2 (2x) ]
[2x 4y][(2x)4 (2x)3(4y) (2x)2 (4y)2 (2x)(4y)3 (4y)4]
[2x + 4y][(2x)4 – (2x)3(4y) + (2x)2 (4y)2 – (2x)(4y)3 + (4y)4]
[2x + 4y][16x4 – 32x3y + 64x2 y2 – 128xy3 + 256y4]
(4y)5 = 1024y5
(2x)5 = 32x5
Signos(+) (alternados + –)
Resta de potencias iguales
Caso XSuma o diferencia de dos potencias iguales
Procedimiento 1
Se tiene presente que son dos binomios cuyas potencias son impares.
202{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
En la gráfica 124 se desarrolla un ejercicio donde se plantea la resta
de dos potencias impares iguales.
Gráfica 124. Caso X: suma o diferencia de dos potencias iguales. Procedimiento 2Fuente. Sandra Patricia Narváez
32x5 – 1024y5
[2x ][(2x)4 (2x)3 (2x)2 (2x) ]
[2x 4y][(2x)4 (2x)3(4y) (2x)2 (4y)2 (2x)(4y)3 (4y)4]
[2x – 4y][(2x)4 + (2x)3(4y) + (2x)2 (4y)2 + (2x)(4y)3 + (4y)4]
[2x – 4y][16x4 + 32x3y + 64x2 y2 + 128xy3 + 256y4]
(4y)5 = 1024y5
(2x)5 = 32x5
SignosPrimer factor -
Según factor todos son positivos +
Resta de potencias impares
Caso XSuma o diferencia de dos potencias iguales
Procedimiento 2
Se tiene presente que son dos binomios cuyas potencias son impares.
203
Ejercicio N.° 2929. Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:
29.1. 7776a5 – 3125b5
29.2. 7776x5 + 3125y5
Respuestas
29.1. (6a – 5b)(1296a4 + 1080a3 b + 900a2 b2 + 750ab3 + 625b4 )
29.2. (6a + 5b)(1296a4 – 1080a3 b + 900a2 b2 – 750ab3 + 625b4 )
8.13. Ejercicios de aplicación en la Ingeniería Civil N.° 8. Factorización
1. Longitud de tirantes de un puente colgante
Al diseñar un puente colgante se considera que el cable supe-
rior adopta una forma parabólica, cuya expresión matemática
204{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
permite determinar la longitud y de los tirantes a x distancia
del estribo izquierdo: y = x2 + 9x + 20
Gráfica 125. Ejercicio de aplicación 1 Longitud de tirantes de un puente colgante
Fuente. Sandra Patricia Narváez
Tirantes y
x
Donde
y: longitud del tirante a distancia x del estribo izquierdo
en metros.
x: distancia desde el estribo izquierdo a la ubicación del ti-
rante y en metros.
Se requiere realizar la descomposición factorial de esta ex-
presión para ejecutar el análisis respectivo.
2. Cantidad de material para una estructura esférica con per-
foración cilíndrica
Revisando el diseño de un cilindro hueco hecho en acero inoxidable
para fundir un elemento estructural se requiere factorizar la siguiente
205
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
expresión matemática que permite establecer el volumen V del ma-
terial que se emplearía, considerando que la ecuación a emplear es:
V = π h(D2 – d2)
Gráfica 126. Ejercicio de aplicación 2 Estructura esférica con perforación cilíndrica
Fuente. Sandra Patricia Narváez
h
d
D
Donde
V: volumen del material a emplear para fundir la estructura
en forma de cilindro hueco en m3
h: altura del cilindro hueco en metros
D: diámetro exterior del cilindro hueco en metros
d: diámetro interior del cilindro hueco en metros
206{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
3. Cantidad de material para una estructura cilíndrica.
En el diseño de un elemento estructural cilíndrico de concreto
se tiene en cuenta la siguiente expresión matemática:
V = (27x3 + 64)π4
Gráfica 127. Ejercicio de aplicación 3. Estrcutura cilíndricaFuente. Sandra Patricia Narváez
x
Donde
V: volumen de concreto empleado para fundir la estructura
en m3:
x altura del cilindro metros
207
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
π4
Gráfica 128. Ejercicio de aplicación 5. Estadio deportivoFuente. Sandra Patricia Narváez
Exprese la ecuación de la descomposición factorial del volu-
men de concreto a usar en términos de x.
4. Cantidad de material de excavación
La siguiente expresión permite calcular el volumen que se
excavará en un terreno cuya extracción es de profundidad y.
V = (y + 1)3 + (y – 2)2
Donde
V: volumen de material a excavar en m3.
y: profundidad de la excavación en metros.
Se requiere expresar esta ecuación en factores en términos de y.
5. Área de un estadio deportivo
La siguiente expresión permite calcular el área que encierra un
estadio deportivo, cuyo diámetro mayor es D y el menor es d.
A = (10D2 + 26Dd + 12d2)
d
D
208{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
Donde
A: área que encierra el estadio en m2
D: diámetro mayor en metros
d: diámetro menor en metros
Se requiere identificar los factores que equivalen a esta ecua-
ción en términos de D y d.
6. Volumen de un muro de contención rectangular
La siguiente expresión permite calcular el volumen de un
muro de contención en forma cúbica:
V =(a4 + a2 + 1) a2
a3 + a2 + a
a
Gráfica 129. Ejercicio de aplicación 6. Muro de contenciónFuente. Sandra Patricia Narváez
209
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
Donde
V: volumen de concreto en m3
a Lado en metros del muro de contención de forma cúbica.
Se requiere factorizar esta expresión en términos de a.
8.14. Respuestas de los ejercicios de aplicación en la Ingeniería Civil N.º 8. Factorización
1. Longitud de tirantes de un puente colgante
y = x2 + 9x + 20
y = (x + 5)(x + 4)
2. Cantidad de material para una estructura esférica con per-
foración cilíndrica.
V = πh(D2 – d2 )
V = πh(D – d)(D + d)
3. Cantidad de material para una estructura cilíndrica
V = (27x3 + 64)
V = (3x + 4)(9x2 – 12x + 16)
π4
π4
210{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
4. Cantidad de material de excavación
V = (y + 1)3 + (y – 2)2
V = (2y – 1)(y2 – y + 7)
5. Área de un estadio deportivo
A = (10D2 + 26Dd + 12d2 )
A = (5D + 3d)(2D + 4d)
6. Volumen de un muro de contención rectangular
V =
V = a3 + a2 + a
π4
π4
(a4 + a2 + 1) a2
a3 + a2 + a
Las fracciones algebraicas son expresiones que
tienen una fracción cuyo numerador o denomi-
nador son expresiones algebraicas (monomio o
polinomio). Es importante resaltar que el denominador
no puede ser igual a cero.
En la siguiente gráfica se relaciona los tipos de facciones
algebraicas:
Gráfica 130. Ejercicio de aplicación 6. Fracciones algebraicasFuente. Sandra Patricia Narváez
Fracciones algebraicas
Expresión entera
Expresión mixta
Expresión racional
x – 2y3 + 3z7
n – 8m + 5m –m + n – 3
r3 – p + s3 + 5r –s2
213
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
9.1. Reducción de fracciones
En la siguiente gráfica se presentan las fracciones según sus carac-
terísticas y los dos procesos de reducción de fracciones: fracciones
con monomios y fracciones con polinomios.
Gráfica 131. Características de las fracciones algebraicasFuente. Sandra Patricia Narváez
Fracción positiva
Características
Fracción negativa
Cuando se multiplica por la misma cantidad
el numerador y el denominador
Reducción de fracciones
Fracciones con monomios
Caso IVDiferencia de
cuadrados
Caso VTrinomio x2 + bc + c
Fracciones con polinomios
Fracciones algebraicas
x –x–r r
30x2y3z4 (a – 1)2
a + 1
(a – 1) (a + 1)(a – 3) (a – 1)
10xy
3xy2z5 a2 – 4a + 3
a – 3
z
y y–s –s; ;a(x) ax xx ÷ mb(y) by yy ÷ m
;= =
214{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
9.1.1. Fracciones con monomios
Estas fracciones se reducen a su mínima expresión, simplificando
los factores comunes para el numerador y denominador, tal y como
se observa en el ejercicio de la gráfica 132:
Fracciones con monomios
30x2y3z4
10xy
3xy2z5
z
Gráfica 132. Fracciones con monomiosFuente. Sandra Patricia Narváez
9.1.2. Fracciones con polinomios
En estas fracciones se descompone el numerador y denominador
en factores. Luego se simplifican los factores comunes para ambos,
tal y como se observa en el ejercicio de la gráfica 133:
215
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
Gráfica 133. Fracciones con polinomiosFuente. Sandra Patricia Narváez
Caso IVDiferencia de
cuadrados
Caso VTrinomio x2 + bc + c
Fracciones con polinomios
(a – 1)2
a + 1
(a – 1) (a + 1)(a – 3) (a – 1)
a2 – 4a + 3
a – 3
Entre las fracciones algebraicas se encuentran las siguientes ope-
raciones:
9.2.1. Suma y resta de fracciones algebraicas
Para realizar sumas y restas entre fracciones algebraicas es necesario
emplear los conceptos de descomposición factorial, simplificación
de términos semejantes y simplificación de fracciones. En la gráfica
134 se encuentra detallado el procedimiento para la suma y la resta
de fracciones algebraicas.
9.2. Operaciones entre fracciones algebraicas
216{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
Suma y resta de fracciones algebraicas
2a + 2 63 + a+ –a3 – a 3a2a2 + 5a + 6
2 21+ –a(a – 1) a2(a + 2)
2a + 2 = 2(a + 1)
6 = 3(2)
3 + a = a + 3a3 – a = a(a2 – 1) = a(a – 1)(a + 1)
3a2 = 3(a)2
a2 + 5a + 6 = (a + 3)(a + 2)
a( a – 1)
mcm: a2( a – 1) (a + 2)
a2
(a + 2)
+ –2(a + 1) 3(2)a + 3a(a – 1)(a + 1) 3(a)2(a + 3)(a + 2)
Factorizar los numeradores y los denominadores
Cada fracción equivale en factores a:
Establecer el m.c.m entre los denominadores (común
denominador)
Realizar las operaciones indicadas en el numerador
Dividir el común denomi-nador (m.c.m) establecido entre cada denominador
Lo obtenido se multiplica por el respectivo numerador y se deja como denominador
el hallado como común denominador
Simplificar los fraccionarios
Simplificar
Finalmente
Caso IFactor común
Caso IVDiferencia de
cuadrados
Caso VITrinomio de
la forma x2 + bc + c
a2( a – 1) (a + 2) = a(a + 2)a( a – 1) (a + 2)
a2( a – 1) (a + 2) = a2( a – 1)(a + 2)
a2( a – 1) (a + 2) = ( a – 1) (a + 2)a2
2 21+ –a(a – 1) a2(a + 2)
2a (a + 2) + 1a2(a – 1) – 2(a – 1)(a+2)a2( a – 1) (a + 2)=
2a2 + 4a + a2 – a2 – 2(a2 + a – 2)
a2 + 4a + a2 – a2 – 2a2 – 2a + 4
– a2 + 2a + 4
a2( a – 1) (a + 2)
a2( a – 1) (a + 2)
a2( a – 1) (a + 2)
217
Gráfica 134. Suma y resta de fracciones algebraicasFuente. Sandra Patricia Narváez
Ejercicio N.° 3030. Simplificar las siguientes expresiones algebraicas:
30.1.
30.2.
Resultados
30.1.
30.2.
1
1 3
x x2
x2 – y2 x – y x + y+ –
–a2 – 1 – 5 – 11a – 2a2
1 + xy + x2 + x2 y – x3
x2 – y2
5a2 + 11a + 2(a2 – 1)(2a2 + 11a + 5)
9.2.2. Multiplicación de fracciones algebraicas
Para multiplicar varias fracciones algebraicas se requiere aplicar los
conceptos de descomposición factorial, simplificación de términos
semejantes y simplificación de fracciones
En la gráfica 135 se encuentra un ejemplo de este tipo de operación.
218{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
Multiplicación de fracciones algebraicas
2x + 2 4x + 6y8x3 – 36x2y + 54xy2 –27y3
x x4x2 – 9y2 4x2 – 12xy + 9y2x2 – 1
2x + 2 = 2(x + 1)4x + 6y = 2(2x + 3y)
8x3 – 36x2y + 54xy2 –27y3 = (2x – 3y)3
4x2 – 9y2 = (2x – 3y)(2x + 3y)4x2 – 12xy + 9y2 = (2x – 3y)2
x2 – 1 = (x – 1)(x + 1)
4(x – 1)
x x2(x + 1) 2(2x + 3y)(2x – 3y)3
(2x – 3y)(2x + 3y) (2x – 3y)2(x – 1)(x + 1)
Factorizar los numeradores y los denominadores
Cada fracción equivale en factores a:
Al simplificar los factores se obetiene
Caso IVDiferencia de
cuadrados
Caso IIITrinomio cuadrado perfecto
Caso IFactor común
Caso VIIICubo
perfecto de binomio
Gráfica 135. Multiplicación de fracciones algebraicasFuente. Sandra Patricia Narváez
219
v
Ejercicio N.° 3131. Simplificar las siguientes expresiones algebraicas:
31.1.
31.2.
Resultados
31.1. –x2 (x – 2)2
31.2.
x – 2x
a
– x(x – 2)3
a(a + 3)
x2 – 4x+4
(2 – a)
a2 + 5a + 6 –a2
a2 – 4
9.2.3. División entre fracciones algebraicas
Para dividir una expresión algebraica entre otra se realiza la multipli-
cación del numerador por el inverso multiplicativo del denominador.
Se requiere aplicar los conceptos de descomposición factorial, sim-
plificación de términos semejantes y simplificación de fracciones.
220{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
División de fracciones algebraicas
x2 – 9y2x2 – 6xy + 9y2
÷y3 + 6y2 + 6y + 8y2 – 3y – 10
x2 – 9y2
x2 – 6xy + 9y2
x y3 + 6y2 + 6y + 8y2 – 3y – 10
(x – 3y)(x + 3y)(x – 3y)2
x (y + 2)3
(y – 5)(y + 2)
(x + 3y)(x – 3y)
(x – 3y) (y + 2)2
x (y + 2)2
(y – 5)
(y – 5) (x + 3y)
x2 – 6xy + 9y2 = (x – 3y)2
x2 – 9y2 = (x – 3y)(x + 3y)
y2 – 3y – 10 = (y – 5)(y + 2)y3 + 6y2 + 6y + 8 = (y + 2)3
Factorizar los numeradores y los denominadores
Multiplicar por el inverso multiplicativo de la
segunda fracción
Cada fracción equivale en factores a:
Al simplificar los factores se obetiene
Es decir
Caso IVDiferencia de
cuadrados
Caso IIITrinomio cuadrado perfecto
Caso VIIICubo
perfecto de binomio
Caso VIITrinomio de
la formax2 + bc + c
Gráfica 136. División de fracciones algebraicasFuente. Sandra Patricia Narváez
221
Ejercicio N.° 32 32. Simplificar las siguientes expresiones algebraicas:
32.1.
32.2.
Resultados
32.1.
32.2.
x – y2x – 4x2
a2
1 – x
a2 + a
2a
÷
÷
x2 – y2
1 – x
a3 – 1
2x (1 – 2x)(x + y)
2 (a2 + a + 1)
(a – 1)2
9.3. Ejercicios de aplicación en la Ingeniería Civil N.° 91. Tanque cilíndrico circular recto de almacenamiento para gas
propano
Se requiere ubicar a una profundidad y un tanque de almace-
namiento en forma de cilindro circular recto para almacenar
gas propano en un conjunto residencial.
El volumen está definido por la expresión:
V = πhd2
4
222{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
Donde
V: capacidad de almacenamiento del tanque cilíndrico en m3:
h: altura del tanque cilíndrico en metros
d: diámetro de la base del tanque en metros
Gráfica 137. Ejercicio N.° 1 de aplicación. Tanque de almacenamiento para gas
Fuente. Sandra Patricia Narváez
d
h
Si se desea expresar dichos términos en función de la pro-
fundidad de instalación y del tanque:
• Opción 1: simplificar la expresión que permita definir la altura
h si el volumen y el diámetro está definido en términos y:
V = (y + 1)3
d = y2 + 4y + 3
223
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
• Opción 2: simplificar la expresión para definir el diámetro d.
El volumen V y la altura h está definidos en términos de y:
y + 1
y + 1
y – π
r – 11
11 +r –
r + 1
2
y
y2
y –
π – y
y –
πy
π
V =
h =
h =
d =
n =
• Opción 3: simplificar la expresión para definir el volumen
V. El diámetro d y la altura h está definido en términos y:
2. Índice de porosidad
En las relaciones de fase de un determinado suelo se ha es-
tablecido, por medio de ensayos de laboratorio, la siguiente
expresión para determinar el índice de porosidad n:
Donde
r: Relación de vacíos. Adimensional :
Se requiere simplificar a su mínima expresión.
224{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
3. Número de Reynolds Re
El número de Reynolds Re se emplea para analizar el régimen
del agua en las tuberías. Si se considera que
γV(D)
γ – 1
γ2 + 4γ
4γ3 + 12γ2 + 8γ
2γ – 26γ
3
(4γ2 + 16γ)
γ2 + 3γ + 2
Re =
Re =
D =
V =
D =
Donde
Re: número de Reynols: Adimensional.
V: velocidad del fluido a través de la tubería medido en .
D: diámetro de la tubería medido en metros.
γ: Viscosidad del fluido medido en .
Se requiere simplificar a su mínima expresión. Se presentan
las siguientes condiciones:
• Opción 1: hallar el número de Re en términos de γ si:
seg
seg
m2
m
• Opción 2: hallar la velocidad V en términos de γ si:
225
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
• Opción 3: hallar el diámetro D en términos de γ si:
(B + b) h2
γ3 + 9γ
2γ2 + 8γ + 6γ2 – 8γ – 6
γ2 – 5γ + 6
A =
Re =
D =
4. Área de la sección transversal de un canal trapezoidal
Se requiere determinar el área transversal de un canal trape-
zoidal, considerando que la ecuación respectiva es:
Gráfica 138. Ejercicio 4 d. Canal trapezoidalFuente. Sandra Patricia Narváez
b
B
h
Donde
A: área del trapecio en m2
B: medida de la base mayor del trapecio, medida en metros
226{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
d: medida de la base menor del trapecio, medida en metros.
h: medida de la altura del trapecio, medida en metros.
Si se presentan las siguientes condiciones, se solicita:
• Opción 1: hallar el área A en términos de h si:
4h2
h(h + 3)
h3
h + 2
h + 1
h + 1
h + 1
h + 3
2
h2 + 5h + 6
h2 + 2h + 1
h
B =
A =
A =
b =
b =
B =
• Opción 2: hallar la medida de la base mayor B en términos
de h si:
• Opción 3: Hallar la medida de la base menor b en términos
de h si:
227
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
9.4. Respuestas de los ejercicios de aplicación en la Ingeniería Civil N.° 9
1. Tanque cilíndrico circular recto de almacenamiento para
gas propano
• Opción 1:
• Opción 2:
• Opción 3:
2. Índice de porosidad
3. Número de Reynolds Re
• Opción 1: Re = 1
• Opción 2: V =
• Opción 3: V = 2
4. Área de la sección transversal de un canal trapezoidal
• Opción 1: A =
• Opción 2: B =
• Opción 3: b =
4(y2 + 2y + 1)
(4h2 + 1) h
2h2 – 1
h2 + 2h – 1
1 m
m
r2 + r – 2r2 + r – 1
y4
y2 + y – 1)
h =
n =
V =
d = 2
π(y + 3)
2(h + 3)
h + 1
h
4 seg
seg
4y – π
y
Álvarez, R. A. y Mejía Duque, F. G. (2006). Factorización.
Medellín: Universidad de Medellín.
Baldor, A. (2014). Algebra. México: Grupo editorial Patria
Colegio24hs. (2004). Fracciones Algebraicas. Buenos Aires:
Colegio24hs. ed.
Cárdenas, J. L. (2014). Álgebra: Serie Universitaria Patria. (La-
rousse - Grupo Editorial Patria). México, D.F.: ProQuestebrary
231
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
Escudero Trujillo, R. (2015). Matemáticas básicas (Universidad del
Norte). Barranquilla,
Fuentes Medina, A. (2015). Algebra. Un análisis matemático preliminiar
al cálculo. Colombia: Editor Aliz Aurora Fuente Medina
Peters, M. y Schaaf, W. L. (2007). Algebra y Trigonometría, Barcelona:
Editorial Reverté.
Pérez, K. M. (1984). Algebra Superior 1. República Dominicana: Ins-
tituto tecnológico de Santo Domingo.
Ramírez, A. P. y Cárdenas A., J. C. (2001). Matemática universitaria:
conceptos y aplicaciones generales. Vol. 1. San José: Cyrano
Sánchez, R. (2014). Álgebra. . México, D.F: Patria
Viedma, J. A. (1957). Lecciones de aritmética.Cali: Norma
235
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
Números naturales NEnteros positivos:
{ 1, 2, 3, 4, ..., 100, ... }
Números enterosNegativos:
{ ..., −4, −3, −2, −1 }
Números enteros Z
{ ..., −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ... }
Números irracionales H
{ ..., −√11, √2, e, π, ... }
Números cabales W{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... }
Número cero 0
Gráfica 139. Clasificación de los números.Fuente. Sandra Patricia Narváez
Números racionales no enteros
…, − −, , …5 1 72 3 8
…, −20, − −, , 0, 1, , 108 …5 1 72 3 8
Números racionales Q
…, −√11, −20, − −, , 0, 1, , √2, e, π, 310 …5 1 72 3 8
Números reales R
…, −√−5, −√11, −20, − −, , 0, √−1 3, √−15, 1, , √2, e, π, 310 …5 1 72 3 8
Números complejos
{ ..., −√−5, √−1, 3√−15, ... }
Números imaginarios
237
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
Gráfica 140. Conceptos de Fracción.Fuente. Sandra Patricia Narváez
3
2
1
4
5
5
5
5
5
5100%
80%
60%
40%
20%
35
30= 0 0,65
35
3 35 5 5
Calcular de $90
x $90 ($90) $270 $54
En una caja hay 3 colores rojos y 5 azules. La razón entre colores rojos y azules es:
35
3 : 5 ó
35
35
NumeradorDenominador
35
Conceptos de fracción
Parte de una unidadSe considera que una unidad se divide en partes iguales y se ha seleccionado algunas
de ellas.
CocienteEl concepto de fracción está
relacionado con la operación matemática de división,
la cual se realiza teniendo como base las tablas de
multiplicar
PorcentajePorción que es proporcional
al número 100, el cual se puede expresarse matemáti-camente como una fracción
OperadorPara calcular la fracción de un número, se multiplica
dicho valor por el numerador y lo obtenido se divide por el
denominador.
RazónSe emplea la fracción como razón o proporción cuando
se comparan dos cantidades de una misma magnitud.
238{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
3
3
6
6
5
55(6) = 3(10)
30 = 30
10
10
es equivalente a ya que:
121
27
35
−65 8
5 35
−
Comparación entre fracciones
Fracciones homogéneasCuando dos fracciones tienen
el mismo denominador.
Fracciones no homogéneasCuando dos fracciones tienen
diferente denominador.
Fracciones equivalentesDos fracciones son equivalentes a otra cuando al multiplicar sus
elementos en cruz, se obtiene un mismo resultado.
Gráfica 141. Las formas de comparar fracciones.Fuente. Sandra Patricia Narváez
239
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
Gráfica 142. Resumen de los diferentes tipos de fracciones.Fuente. Sandra Patricia Narváez
Tipos de fracciones
Fracciones unitariosSe caracterizan cuando
tanto el numerador como el denominador es el mismo
número.
Fracciones mixtasEstá compuesta por
una parte entera y otra fraccionaria.
Fracciones impropiasCuando el numerador es
mayor que el denominador.
Fracciones decimalesSe caracterizan cuando el denominador es una
potencia de 10.
Fracciones propiasEs cuando el numerador es menor que el denominador.
Cuando se ubica el fraccionario en la recta
numérica, se encuentran entre el 0 y el 1.
44=
31 4=+
910=1 2 3 4
0.75
4
0 12
0,25 0.50
4 4 4
74=+
241
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
53 = 1255–2 = 5–3 =
52 = 25
Exponente mayor que cero (positivo)
Se obtiene potencias positivas.
Exponente menor que cero (negativo)
Se obtiene potencias positivas pero menores que 1.
1 11 125 12552 53
(−5)3 = –125 (−5)–3 = (−5)3
Exponente imparSe obtiene potencias negativas
11125
(−5)2 = 25 (−5)–2 = (−5)2
Exponente parSe obtiene potencias positivas.
1125
Tipos de potencia
Potencia de base positivaSe tiene presente si el
exponente es positivo o negativo.
Potencia de base negativa
Se tiene presente si el exponente es par o impar.
Gráfica 143. Resumen tipos de potencia.Fuente. Sandra Patricia Narváez
–
242{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
Gráfica 144. Resumen propiedades de la potenciación.Fuente. Sandra Patricia Narváez
Propiedades de la potenciación
Potencia con exponente igual a uno
Cuando se tiene una base cuyo exponente es igual a uno, el resultado es la misma base
Potencia con exponente fraccionario
Es equivalente al radical de la base
Potencia de un productoUna multiplicación de varios
términos a una misma potencia es equivalente a la
multiplicación de cada factor elevado al exponente.
Potencia con exponente igual a cero
Cuando se tiene una base cuyo exponente es cero,
el resultado o potencia es igual a uno.
Potencia de bases igualesCuando se están multipli-
cando varias veces la misma base con diferente exponen-te, se suman los exponentes
y se deja la misma base.
Potencia de un cociente o fraccionario
Cuando el numerador y el denominador del fraccio-
nario que está conformado por potencias de igual base con diferente exponente, el resultado es la misma base,
restando los exponentes.
Potencia de potenciasSe obtiene la base elevada a la multiplicación de los
exponentes.
Potencia con exponente negativo
Es equivalente al fraccionario que tiene como numerador un UNO y el denominador
como la base elevada al exponente positivo.
a1 = a
41 = 4
( a x b )n
( 3 x 4 )2an x bn
32 x 42
9 x 16144
====
an am = am + n
42 4 3 = 45 = 1024
{ (an) q } m = an.q.m
{ (42) 3 } 4 = 42.3.4 = 4 24
=
=
1
1
a− n
4− 2
an
42
=
= =
=
= =
=
an
n
3
25
an − m
25 − 3 22 4
am
23
a
3
an
33 27b
4
bn
43 64
a0 = 1
40 = 1
= =
==
1
1
a a
2 2
n −n
3 3
m m
4 4
√an
√23
m
√anm
√a434
243
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
1 = 2.7182818…n!n = 0
∞
= 2 + 11 + 1
2 + 11 + 1
1 + 14 + 1 …
e
Múltiplos de 10Prefijo Símbolo Potencia de 10 Equivalente Nombrado comoDeca D 101 10 Diez
Hecta H 102 100 Cien
Kilo K 103 1.000 Mil
Mega M 106 1'000.000 Millón
Giga G 109 1'000.000.000 Billón
Tera T 1012 1'000.000.000.000 Trillón
Peta P 1015 1'000.000.000.000.000 Cuatrillón
Exa E 1018 1'000.000.000.000.000.000 Quintillón
Submúltiplos de 10Prefijo Símbolo Potencia de 10 Equivalente Nombrado comodeci d 10−1 0.1 décimo
centi c 10−2 0.01 centésimo
mili m 10−3 0.001 millésimo
micro μ 10−6 0.000001 millonésimo
nano n 10−9 0.000000001 billonésimo
pico p 10−12 0.000000000001 trillonésimo
femto f 10−15 0.000000000000001 cuatrillonésimo
atto a 10−18 0.000000000000000001 quintillonésimo
zepto z 10−21 0.0000000000000000000001 sextillonésimo
yocto y 10−24 0.000000000000000000000001 septillonésimo
Clases especiales de potencias
Potencia en base natural o base a
Se caracterizan por tener como base el número e
(Euler). El exponente puede ser positivo o negativo.
Potencia en base 10Estas potencias se caracte-rizan por tener como base
el número 10. Su exponente puede ser negativo o
positivo.
Gráfica 145. Resumen clases especiales de potencias.Fuente. Sandra Patricia Narváez
245
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
Raíz con índice impar
La cantidad subradical positiva o negativa
En ambos casos se encuentra defi-nido entre los números reales.
a5 = b
25 = 32
(–a)5 = b
(–2)5 = –32
√b = a
√a = b
√32 = 2
√32 = 5
√–b = –a
√–a = –b
√–32 = –2
√–32 = –5
5
5
5
5
5
5
5
5
Raíz con índice par
La cantidad subradical positiva
Se encuentra definida entre los números reales R
La cantidad subradical negativa
No se encuentra definido entre los números reales. Pertene a los números imaginarios.
a2 = b
32 = 9
(±a)2 = b
(±3)2 = 9
√b = ±a
√b = ±a
√9 = ±3
√9 = ±3
(–a)2 = b
(–3)2 = 9
√–b = √(–1)b = √b √(–1) = √b i
√–9 = √(–1)9 = √9 √(–1) = √9 i = 3 i
Clases de raíces
Gráfica 146. Resumen característica de raíz indice par e impar.Fuente. Sandra Patricia Narváez
246{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICAS BÁSICAS APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
Gráfica 147. Resumen propiedades de la radicaciónFuente. Sandra Patricia Narváez
Propiedades de la radicación
Raíz expresada como una potencia
El radical se expresa como una potencia, donde el exponente
es una fracción.
Raíz de ceroCuando la cantidad subradical
es cero, se obtiene como resultado, cero.
Potencia de una raízEquivale a la cantidad subradi-cal elevada al exponente dado
Raíz de 1Cuando la cantidad subra-dical es 1, se obtiene como resultado, 1 si el índice es
impar. Si el índice es par, se obtiene ±1.
Raíz de una raízEquivale a la cantidad
subradical elevada la multi-plicación de los índices de
las raices
Raíz de un producto con un mismo índice
Es equivalente a la multipli-cación de los factores que hacen parte de la cantidad
subradical.
Raíz de un cociente o fracción
Cuando la cantidad subradical es una fracción, es equivalente a la división
entre la raíz del numerador y la raíz del denominador.
Multiplicación de dos radicales con diferente
índice y la misma canti-dad subradical
Se opera como dos potencias que tienen la misma base y
diferente exponente, es decir, sumando los exponentes y
dejando la misma base.
√a = b
√a = bn 5
√9 = ±3
√32 = 2
a = b
a = b
9 = ±3
32 = 2
( √a )n = a = √an
( √2 )4 = 2 = √24 = √16
m
3
m
3 3
√a
√5
√a
√5
√a
√5
=
=
=
=
n
3
m
4
mn
12
m
4
n
3
√a x √a = a = an mn m1 1
n · mn + m
√4 x √2 = 2 = 2 = 24 3 4 3 121 1 7
124 + 3
a8
a4
b7
b9
==
==
√a√8
√a√4
√b√7
√b√9
33
3333
√a · √b · √c = √a · b · c
√2 · √3 · √5 = √2 · 3 · 5 = √30
√2 · √3 · √4 = √2 · 3 · 4 = √245 5 5 5 5
√1 = ±1
√1 = 1 √1 = 15 5
√0 = 0
√0 = 05
248{{ NOTAS DE CLASE · MATEMÁTICA BÁSICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL
loge 6 = In 6 = 1,79
log2 8 = Ib 8 = 2
log3 9 = 2
log10 100 = log 100 = 2
Tipos de logaritmos
Logaritmo decimal o vulgar
Son los que tiene como base el número 10
Logaritmo natural o neperiano
Son los que tiene como base el número Euler e
Logaritmo binarioSon los que tiene como
base el número 2
Logaritmo en base aEs cuando la base es
un número
Gráfica 148. Resumen tipos de logaritmos Fuente. Sandra Patricia Narváez
249
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
Gráfica 149. Resumen propiedades de los logaritmos.Fuente. Sandra Patricia Narváez
Propiedades de los logaritmos
Logaritmo de ceroNo se encuentra definido el logaritmo en cualquier base
de cero
Logaritmo de unoEn cualquier base, el logarit-
mo de uno es igual a cero.
Logaritmo de una potencia
Equivale al exponente mul-tiplicado por el logaritmo de
la base.
Logaritmo de un producto
Es equivalente a suma del logaritmo de los factores que
hacen parte del producto.
Logaritmo de un cociente o fracción
Es equivalente al logaritmo del numerador menos el
logaritmo del denominador.
Logaritmo de un radicalEquivale al logaritmo del número dividido por el subíndice del radical.
Igualdad de logaritmosSi dos logaritmos de igual
base son iguales, sus logari-mandos son iguales.
Logaritmo de la misma base
En cualquier base, el logarit-mo de dicha base es uno.
Transformación de logaritmos
Para transformar un logarit-mo de una base a otra, se
aplica la fórmula, denomina-da cambio de base
loga 0 = ∄
loga 1 = 0
loga √x =n loga xn
loga a = 1
loga y = logb ylogb a
loga x = loga y x = y
loga (x·y) = Loga x + Loga y
loga = loga x – loga yxy
loga xy = yloga x
251
SANDRA PATRICIA NARVÁEZ BELLO
Tipos de expresiones algebraicas
MonomioCuando solo contiene un
término algebraico.
Polinomio de grado ceroEl mayor exponente de la
variable es 0.
BinomioSe caracterizan por tener dos términos algebraicos.
Polinomio de primer gradoEl mayor exponente de la
variable es uno.
TrinomioEstá conformado por 3 términos algebraicos.
Polinomio de segundo grado
El mayor exponente de la variable es dos.
Polinomio de tercer grado
El mayor exponente de la variable es tres.
Polinomio de cuarto grado
El mayor exponente de la variable es 4.
Según el número de términos algebraicos
–5x + 6y2 – z3
–5x
6y2 – z3
Polinomios según su grado
–5x0
2x + 3
–4x2 + 2x –3
7x3 + 2x2 – 1
–x4 – x2 – 2
Gráfica 150. Resumen tipo de expresiones algebraicas.Fuente. Sandra Patricia Narváez
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