Unidad 4: Ecuaciones e inecuaciones lineales
1
Introducción
La forma que tenemos de enunciar que dos cantidades o expresiones son iguales es mediante una ecuación (o igualdad).
2x - 3 = x + 5 que se denomina ecuación en x
Observamos que este enunciado tiene dos partes o expresiones separadas por el signo “=”.
Es una expresión de igualdad con una variable ( x ). Una solución o raíz de la ecuación es un número a que produce una igualdad verdadera
al sustituirlo por x, es decir a satisface la ecuación. Resolver una ecuación consiste en hallar todas las soluciones de dicha ecuación. Se dice que dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones. Si todo número real es una solución, la ecuación se denomina identidad, por ejemplo:
x2+2x+1 = (x+1)2. La ecuación más básica es la ecuación lineal, 00 aconbxa (llamada así
pues el grado de la incógnita es uno).
Errores comunes
Los principales errores que se suelen cometer pueden ser debidos a diversas causas:
a. Simbolización y traducción del lenguaje natural al lenguaje algebraico: hay tendencia a escribir los símbolos de la expresión algebraica en el mismo orden en el que aparecen en el lenguaje natural.
Cada 2 baldosas Blancas hay 1 Roja.
Hay el doble de Blancas que de Rojas
1R = 2 B
La forma correcta de expresarlo es: 2 R = B (siendo R cantidad de Rojas y B cantidad de Blancas)
UNIDAD 4: Ecuaciones e inecuaciones lineales
Unidad 4: Ecuaciones e inecuaciones lineales
2
b. Uso inapropiado de fórmulas o reglas de procedimientos:
Mal uso de la propiedad distributiva:
(Ver propiedades correctas en unidad 1)
Errores de cancelación:
(Lo correcto es )
222......)(. babababacabacbacbacba
43
4341
23
669
xxxx
¡Todas estas igualdades son
incorrectas!
34
3496
69
xxxx
Unidad 4: Ecuaciones e inecuaciones lineales
3
Cada Ecuación Lineal tiene elementos que le son propios:
Una a más variables que se abrevian mediante letras, y que representan cantidades desconocidas.
Todas las variables están elevadas a la primera potencia, y sin multiplicarse entre sí. Se establece una igualdad. Es decir, se trata de una proposición que indica que una
cantidad es igual a otra.
x + 3 = 5
x + y = 2
x2 + y = 3
x + y + z = 0,5
x + z2 – xz = 9
A continuación se presentan las propiedades que utilizamos para resolver una ecuación.(En éstas, A; B y c representan cualquier expresión algebraica, y el símbolo “es equivalente a”).
Propiedad Descripción
A = B A + c = B + c
Al sumar la misma expresión en ambos miembros de la igualdad,
se obtiene una ecuación equivalente.
A = B c . A = c . B (c 0)
Al multiplicar por la misma expresión no nula en ambos miembros
de una igualdad, se obtiene una ecuación equivalente.
Se utilizan las propiedades anteriores al resolver el siguiente ejemplo.
Ejemplos de ecuaciones que son:
lineales
no lineales
Para resolver una ecuación se intenta determinar una que sea más simple y equivalente, es decir que tenga el mismo conjunto solución.
Propiedades básicas de las ecuaciones
Unidad 4: Ecuaciones e inecuaciones lineales
4
Ejemplo
La solución x = 1 es conveniente verificarla. Para eso se sustituye en la ecuación y comprobamos que el valor cumple la igualdad.
1
3.313.
31
33
)2(5)2(23
523
x
x
x
x
x
Sumar (-2) a cada miembro de la igualdad.
Cancelar
Multiplicar por 31
en cada
miembro de la igualdad. Simplificar.
55
52)1(.3?
La solución obtenida verifica la ecuación. Esto quiere decir que x = 1 es solución de la ecuación.
Unidad 4: Ecuaciones e inecuaciones lineales
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a) Ecuaciones lineales Estas ecuaciones tienen la forma a x + b = 0; donde a y b representan números reales con a 0. (Esta es la forma general suponiendo que llamamos x a la incógnita, pero la ecuación puede tener como incógnita cualquier otra expresión literal que se indique).
Ejemplo Solución:
La solución x = - 3 es conveniente verificarla. Para eso se sustituye en la ecuación y comprobamos que el valor cumple la igualdad.
2745 xx
3
6.21)2(.
21
62
67775
675
427445
2745
x
x
x
xxxx
xx
xx
xx
Sumar 4 a cada miembro de la igualdad.
Cancelar. Restar 7 x a cada
miembro de la igualdad. Multiplicar por el
inverso multiplicativo de
(-2), es decir:
21
Simplificar.
19192)3(.74)3(.5
?
El valor para x verifica
la ecuación, por lo tanto x = -3 es la solución de la ecuación.
Tema 2: Ecuaciones lineales, cuadráticas y reducibles a ellas
Unidad 4: Ecuaciones e inecuaciones lineales
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b) Ecuaciones cuadráticas Estas ecuaciones tienen la forma 02 cxbxa ; donde a, b y c representan números reales
con a 0. Esta forma de ecuación se conoce como forma polinómica, general o canónica (según bibliografía). (Ésta es la forma general, suponiendo que llamamos x a la incógnita, pero la ecuación puede tener como incógnita cualquier otra expresión literal que se indique, tal como fue comentado anteriormente).
Ejemplos : Si la ecuación cuadrática es simple y consta de un único término no nulo, es decir el cuadrático, entonces se resuelve como en el ejemplo que sigue: En general:
Las raíces de una ecuación cuadrática de incógnita x son los valores de dicha incógnita que satisfacen la ecuación. Existen varios métodos para encontrarlas, el más utilizado para resolver una ecuación completa es la aplicación de la fórmula:
Una ecuación cuadrática de incógnita x se resuelve determinando sus raíces.
1532
4213
0154
2
2
2
xx
xx
xxSi bien son ecuaciones que no están en forma canónica, pueden transformarse a la forma general mediante los pasos vistos en el ítem anterior.
005 2 xsoluciónúnicax
)0(
002
a
xxa
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La utilización de la fórmula se explica en los siguientes ejemplos.
Ejemplo:
xxxxxx 725)32510)2023)1 222
Solución:
1) La ecuación está dada en forma canónica, con a =1, b = -3 y c =2. Al utilizar la fórmula se tiene,
Observación: como en esta fórmula hay una raíz cuadrada, si el radicando es negativo diremos que la ecuación que intentamos resolver no tiene solución en el conjunto de números reales. Si la ecuación es cuadrática, pero no tiene la forma
02 cxbxa , resolvemos todas las operaciones indicadas
para reducirla a esa forma (se aclarará más adelante).
Las soluciones de
02 cxbxa ,con a 0,
están dadas por: acabb
x.2
..42
2,1
12
1322
132
132
132
893
1.22.1.4)3()3(
.2..4
21
2,1
2,1
2,1
22
2,1
xyx
x
x
x
acabbx
Unidad 4: Ecuaciones e inecuaciones lineales
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Lo que se concluye del ejemplo es que la ecuación tiene raíces reales distintas (x 1 x 2 ).
2) La ecuación no está dada en forma canónica, pero la expresión equivalente de la misma en
dicha forma es 025102 xx con a =1, b = 10 y c =25. Al utilizar la fórmula se tiene, Lo que se concluye del ejemplo es que la ecuación tiene raíces reales coincidentes (x 1 = x 2 ).
3) La ecuación, como en el ejemplo anterior, no está dada en forma canónica, pero la expresión
equivalente de la misma en dicha forma es 0275 2 xx con a = 5, b = -7 y c = -2. Al utilizar la fórmula se tiene,
Lo que se concluye del ejemplo es que la ecuación tiene raíces reales distintas (x 1 x 2 ) y sus expresiones exactas contienen radicales.
52
01052
0102
0102
0102
10010010
1.225.1.4)10()10(
.2..4
21
2,1
2,1
2,1
22
2,1
xyx
x
x
x
acabbx
10897
1089710
89710
40497
5.2)2(.5.4)7()7(
.2..4
21
2,1
2,1
22
2,1
xyx
x
x
acabbx
Unidad 4: Ecuaciones e inecuaciones lineales
9
Otro método para resolver ecuaciones cuadráticas consiste en la factorización de la misma basándose en la propiedad del producto de números reales, que se recuerda a continuación:
Ejemplo
462)334)2023)1 222 xxxxxx
Solución:
1) La ecuación está dada en forma canónica, con a =1, b = -3 y c =2. Al factorizar la ecuación se tiene Por la propiedad del producto nulo de números reales se concluye: Por lo tanto x = 2 o bien x = 1.
2) La ecuación se escribe en forma canónica 034 2 xx
Al factorizar la ecuación se tiene: Por la propiedad del producto nulo de números reales se concluye: Por lo tanto x = 0 o bien x = 3/4.
3) La ecuación se escribe en forma canónica 0462 2 xx
Al extraer factor común se tiene:
Si a y b son números reales y a . b = 0 entonces a = 0, b = 0 o ambos son nulos.
0)1().2(232 xxxx
0)1(0)2( xóx
0)34(.34 2 xxxx
0340 xóx
0)23(.2462 22 xxxx
Unidad 4: Ecuaciones e inecuaciones lineales
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Luego se factoriza: Por la propiedad del producto nulo de números reales se concluye: Por lo tanto x = 2 o bien x = 1.
Si la ecuación es incompleta (es decir alguno de los valores de b o c son nulos) será conveniente utilizar la factorización.
Ejemplo
025)203)1 22 xxx
Solución:
1) La ecuación está dada en forma canónica y es incompleta puesto que c = 0. Al factorizar la ecuación se tiene: Por la propiedad del producto nulo de números reales se concluye: Por lo tanto x = 0 o bien x = 1/3.
2) La ecuación está dada en forma canónica y es incompleta puesto que b = 0. Al factorizar la ecuación se tiene: Por la propiedad del producto nulo de números reales se concluye: Por lo tanto x = 5 o bien x = - 5.
0102 xóx
0)1().2(.2 xx
0)13(.3 2 xxxx
0)13(0 xóx
0)5().5(252 xxx
0)5(0)5( xóx
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c) Ecuaciones reducibles a lineales o cuadráticas En los siguientes ejemplos se muestran algunas ecuaciones que, en “apariencia”, no responden a ninguna de las formas vistas anteriormente, pero luego de trabajarlas algebraicamente resultan ser del tipo lineales o cuadráticas.
Ejemplo 1 Solución: Si x -1 y x 3/2 , los denominadores de las fracciones de la ecuación son no nulos (o distintos de cero) y se puede multiplicar cada miembro de la igualdad por (x+1). (2x-3) y se resuelve como sigue,
Recordar verificar la respuesta en la expresión original de la ecuación.
3212
1
x
xx
x
61
16
133
13232
12.1.32
3212.32.1
132.1
22
x
x
xx
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
Simplificar Aplicar propiedad
distributiva. Cancelar 2x2. Sumar los términos con
incógnitas del mismo lado de la igualdad.
Dividir por (-6) ambos miembros y encontrar el valor de x.
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Otra forma de resolver el ejercicio anterior consiste en trabajar con la suma de expresiones algebraicas fraccionarias (vista en unidad 3) como se muestra a continuación.
Ejemplo 2 Solución: Hacer una sustitución de variable reemplazando t = x2 para obtener una ecuación cuadrática.
61
16
016
032.1
16
032.1
13232
032.1
12232
032.1
12.132.
03212
1
3212
1
22
22
x
x
x
xxx
xxxxxx
xxxxxxx
xxxxxx
xx
xx
xx
xx
Pasaje de términos. Suma de fracciones de distinto
denominador, se busca denominador común.
Propiedad distributiva en el numerador con cada producto indicado.
Cancelar los términos del numerador de distinto signo y sumar los términos semejantes.
Por propiedad de números reales si
0ba
siendo b 0 entonces a =0. Por
lo tanto el numerador debe ser igual a cero.
Se resuelve la ecuación. Recordar verificar el resultado como se indicó al comienzo del tema.
023 24 xx
0232 tt
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Al aplicar la fórmula cuadrática resolvente se obtiene: Dado que los valores obtenidos corresponden a t y lo que se plantea en la ecuación es encontrar el valor de la incógnita x, las posibles soluciones para la misma se obtendrán como sigue:
12
1322
132
132
132
893
1.22.1.4)3()3(
.2..4
21
2,1
2,1
2,1
22
2,1
tyt
t
t
t
acabbt
22
02.2
02
22
2
2
xóx
xx
x
xtSi
11
01.1
01
11
2
2
xóx
xx
x
xtSi
Unidad 4: Ecuaciones e inecuaciones lineales
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Ejercicio 1: Resolver las siguientes ecuaciones: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n)
376
432
xx
26
23
2
xxx
2153
1498
372
xxx
)34(.2)34.(23
xxx
0254 2 x
)5.(2)5( 2 xxx
)5).(1.()1.(2 xxxxx
)2.(5)3( 2 xx
0)2).(3( 2 xxx
0)82).(5.(3 2 xxx
0122 xx
065 24 xx
0103 24 xx
0132 xx
Unidad 4: Ecuaciones e inecuaciones lineales
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o) p) q)
02322
xx
0)5(8)5( 2 xx
0352
12)2(
12
xx
a) x = -37/18 b) x = 14/3 c) x = 5/2 d) x = 7/8
e) 2
53x2
53x
f) 25x
g) 5x
h) 75x0x
i) 2
5511x2
5511x
j) x = -3 , x = 2 , x = -1 k) x = 5 , x = 2 , x = -4 l) x = -4 , x = 3 m) 2x3x n) 5x o) x = -1/2 , x = 2 p) x = -5 , x = 3 q) x = 11/5 , x = 15/7
Unidad 4: Ecuaciones e inecuaciones lineales
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Ejercicio 2: Hallar el valor de x en cada una de las siguientes ecuaciones:
a) b) c)
Ejercicio 3: Dada la ecuación x2 + b x + c = 0, determinar los valores de b y c sabiendo que x1 = 0 y x2 = 2 son sus soluciones.
Ejercicio 4: Hallar a de modo tal que ax2 + 3x = 2 tenga a x = 1 como solución. ¿Tiene la ecuación alguna otra solución?
070)6.(17)6( 222 xx03620 24 xx
034
7)4(
22
xx
2) Hallar el valor de x en cada una de las siguientes ecuaciones:
a) 034x
7)4x(
22
0)4x(
)16x8x(328x72
0)4x(
)4x(3)4x(72
2
2
2
2
como x ≠ -4, 30 + 7x + 3x2 + 28x + 48 =0 3x2 + 31x + 78 =0 , aplicando la fórmula: x = -13/3 , x = -6 b) x4 – 20x2 + 36 = 0 t = x2 entonces t2 – 20t +36 = 0 , aplicando la fórmula : t = 18 , t = 2
t =18 x2 =18 x2 –18 = 0 023x23x
23xo23x
t = 2 x2 = 2 x2 –2 = 0 02x2x
2xo2x
Unidad 4: Ecuaciones e inecuaciones lineales
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Aclaración : 232.92.918
c) 070)6x(17)6x( 222
t = x2 + 6 entonces t2 – 17t + 70 = 0 , aplicando la fórmula : t = 10 , t = 7 t = 10 x2 + 6 =10 x2 - 4 = 0 (x – 2) (x + 2) = 0 x = 2, x = -2 t = 7 x2 + 6 = 7 x2 – 1 = 0 (x – 1) (x -1) =0 x = 1, x = -1 3) Dada la ecuación x2 + bx + c = 0, determinar los valores de b y c sabiendo que x1 = 0 y x2 = 2 son sus soluciones: como x=0 y x=2 son soluciones de la ecuación, entonces satisfacen la misma, es decir, 02 + b.0 + c =0 (1) y 22 + b.2 + c =0 (2) de (1): c= 0 de (2): 4 + 2b =0, entonces b = -2 4) Hallar Ra de modo tal que ax2 + 3x = 2 tenga a x =1 como solución. ¿Tiene la ecuación alguna otra solución? Como x =1 es solución de la ecuación a.12 + 3.1 = 2 a + 3 = 2 a = -1 Por lo tanto, -x2 + 3x – 2 = 0, resolviendo la ecuación, la otra solución es x = 2
Unidad 4: Ecuaciones e inecuaciones lineales
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Dados dos polinomios P(x) y Q(x) tales que Q(x) no sea nulo, se denomina ecuación
fraccionaria a toda expresión del tipo 0)()(
xQxP
.
Ejemplo 1
Solución: Si x -1 y x 1 , los denominadores de las fracciones de la ecuación son no nulos (o distintos de cero) y es una condición fundamental para tener en cuenta al considerar las posibles soluciones de la ecuación. Para resolver la ecuación fraccionaria propuesta se debe tener en cuenta la suma de expresiones algebraicas fraccionarias vista en unidad 3 y operar como sigue:
Resolver una ecuación fraccionaria es encontrar las raíces del numerador P(x) que no anulen simultáneamente al denominador, ya que si esto sucede, éstas no deben ser consideradas como soluciones. Luego se debe verificar en la ecuación inicial los valores de x hallados, como se hizo en los ejemplos de los temas anteriores.
1;101
11
32
xxxx
34
43
043
01.1
43
01.1
133
01.11)1(3
01
11
32
x
x
x
xxx
xxx
xxx
xx Suma de fracciones de distinto denominador, se busca denominador común.
Propiedad distributiva en el numerador con el producto indicado.
Sumar los términos semejantes.
Por propiedad de números
reales si 0ba
siendo b 0
entonces a =0. Por lo tanto, la expresión algebraica del numerador debe ser igual a cero.
Se resuelve la ecuación. Recordar verificar el resultado como se indicó al comienzo del tema.
Tema 3: Ecuaciones fraccionarias
Unidad 4: Ecuaciones e inecuaciones lineales
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Ejemplo 2 Solución:
3;2311
22
xxxx
x
31
026
03.2
26
03.2
233
03.2
2262362
03.2
2.13.232
0311
22
311
22
22
22
x
x
xxx
xxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxx
xx
x
xx
x
Suma de fracciones de distinto denominador, se busca denominador común.
Propiedad distributiva en el numerador con los productos indicados.
Cancelar términos de signo opuesto en el numerador y suprimir paréntesis teniendo en cuenta el signo negativo que lo precede.
Por propiedad de números
reales si 0ba
siendo b 0
entonces a =0. Por lo tanto la expresión algebraica del numerador debe ser igual a cero.
Se resuelve la ecuación y se expresa la solución con una fracción simplificada o irreducible. Recordar verificar el resultado como se indicó al comienzo del tema.
Unidad 4: Ecuaciones e inecuaciones lineales
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Ejercicio 1: Indicar el valor de x que verifique cada una de las siguientes ecuaciones fraccionarias:
251012
51
251)
1684
43)
943
33)
13
27
14)
02
112)
8212
453
243)
22
2
2
2
xxx
xxxf
xxx
xxe
xx
xx
xxd
xxxc
xx
xxb
xxxx
xxa
a) No tiene solución b) No tiene solución c) x = 5/13 d) x =4/9 e) x = -4 f) x =-7/8
Unidad 4: Ecuaciones e inecuaciones lineales
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Las ecuaciones resultan de mucha utilidad al intentar resolver problemas de aplicación a la economía, las ciencias sociales, la medicina, la física y otros campos. Indicaremos algunos principios de resolución de problemas que serán útiles para los problemas de aplicación.
Ejemplo 1 Solución: En este tipo de problemas que está relacionado con la geometría, es importante dibujar un diagrama que aclare los datos mencionados y ayude en el planteo.
x = ancho de la banda A partir de la figura se observa que el cartel tiene (100 + 2 x) cm por (140 +2 x) cm, por lo que su perímetro es:
Un cartel tiene impresa un área rectangular de 100 por 140 centímetros, enmarcada con una banda de ancho constante. El perímetro del cartel es 1,5 veces el del área impresa. ¿cuál es el ancho de la banda y cuáles son las dimensiones del cartel?
x
x
140 cm.
100 cm.
Tema 4: Resolución de problemas con ecuaciones
Unidad 4: Ecuaciones e inecuaciones lineales
22
Y el del área impresa es 2. (100 cm) + 2. (140 cm) = 480 cm Planteando la relación entra el perímetro del cartel y el del área impresa que enuncia el problema, se puede establecer que:
(Perímetro del cartel) = 3/2 . (Perímetro del área impresa) Por lo que: La banda tiene 30 cm de ancho, por lo que las dimensiones del cartel son:
100 cm + 30 cm + 30 cm = 160 cm 140 cm + 30 cm + 30 cm = 200 cm
Es conveniente tener en cuenta algunos pasos a seguir en la resolución de problemas:
1) Identificar la variable y asignarle una denominación “x” o cualquier otra letra (que representará la incógnita).
2) Expresar todas las incógnitas utilizando la
variable elegida. 3) Relacionar mediante una ecuación las
condiciones enunciadas en el problema. 4) Resolver la ecuación y verificarla. Expresar la
respuesta en términos del enunciado original.
)2140(.2)2100(.2 xxP
30
2408
7208480
480.23)2140(.2)2100(.2
x
x
x
xx
Unidad 4: Ecuaciones e inecuaciones lineales
23
Ejemplo 2 Solución: Según los pasos anteriores, primero identificaremos la variable:
v = velocidad de Nueva York a Los Ángeles y
v + 100 = velocidad de Los Ángeles a Nueva York
En este ejemplo será útil recordar que velocidaddistanciatiempo
En el paso siguiente se expresan todas las incógnitas utilizando la variable elegida.
Tiempo (en horas) de Nueva York a Los Ángeles v
4200
Tiempo (en horas) de Los Ángeles a Nueva York 100
4200v
Ahora se relacionan mediante una ecuación las condiciones enunciadas en el problema.
Luego, resolver la ecuación según explicaciones del tema 3 de esta unidad y verificarla
Un avión voló de Nueva York a Los Ángeles una distancia de 4.200 kilómetros. La velocidad del viaje de regreso fue de 100 kilómetros por hora mayor que la ida. Si el total del viaje tomó 13 horas, ¿cuál fue la velocidad de Nueva York a Los Ángeles?
13100
42004200
vv
Unidad 4: Ecuaciones e inecuaciones lineales
24
Como v representa la velocidad, no consideramos como solución la respuesta negativa y se concluye que la velocidad del avión de Nueva York a Los Ángeles fue de 600 kilómetros/ hora.
8,53600
2685007100
)13(.2420000).13(.4)7100(7100
0420000710013
0100.
420000710013
0100.
100..13420000.8400
013100.
.4200420000.4200
13)100.(
.4200100.4200
13100
42004200
2,1
2
2,1
2
2
vóv
v
v
vv
vvvv
vvvvv
vvvv
vvvv
vv
Unidad 4: Ecuaciones e inecuaciones lineales
25
Ejercicio 1: Resolver los siguientes problemas
a) Una pelota se lanza hacia arriba, de modo que su altura (en metros) después de t segundos es:
Determinar el instante en el que llega a una altura de 196 metros.
b) Hallar las dimensiones de un rectángulo sabiendo que su altura es 3 cm mayor que su base y que su superficie es de 70 cm2. c) Se debe construir una fábrica en un lote que mide 180 por 240 metros. Un código de
construcción local especifica que la fábrica debe estar rodeada por un césped de ancho constante
e igual en área a la de la fábrica. ¿Cuál debe ser el ancho de este césped y cuáles son las
dimensiones de la fábrica?
4.16.128 2 tt
a) Alcanza una altura de 196 metros a los 2 y a los 6 segundos. b) Las dimensiones son 7cm y 10cm. c) Dimensiones de la fábrica: 180m x 120m ancho del césped: 30m.
Unidad 4: Ecuaciones e inecuaciones lineales
26
Las inecuaciones son desigualdades que contienen variables. Las que se trabajan en esta sección son inecuaciones lineales de primer grado con una incógnita. Resolver una inecuación es encontrar todos los valores de la incógnita que la verifican, y la solución es un intervalo real o el conjunto vacío. Estas tienen las siguientes formas generales: (a 0) Una inecuación se resuelve como una ecuación, salvo en el caso que se divida o multiplique a ambos miembros por un número negativo, lo que invierte el sentido de la desigualdad.
Ejemplo 1
32;:
32
)3(:2)3(:3
23
Sol
x
x
x
Tema 5: Propiedades básicas de las inecuaciones lineales; problemas de aplicación
0
0
0
0
bxa
bxa
bxa
bxa
Recordar unidad 1, intervalos con números
reales.
Unidad 4: Ecuaciones e inecuaciones lineales
27
Ejemplo 2
;20:
20
)5.(4)5.(51
451
Sol
x
x
x
Ejemplo 3
4;:
4
)4.(1)4.(41
141
Sol
x
x
x
Ejemplo 4
35;:
35
4:3
20
3204
3843
4383
Sol
x
x
x
xx
xx
Es importante observar el signo del número por el cual se
multiplica o divide, dado que si es positivo no invierte el sentido de
la desigualdad.
Unidad 4: Ecuaciones e inecuaciones lineales
28
Ejemplo 5
5;:
5
5
3256
5236
5,0:251510.
53
Sol
x
x
xx
xx
xx
Ejemplo 6
:
20
255
525
5,0:2515
Sol
xx
xx
xx
Recordar que esta notación significa conjunto vacío.
También se puede denotar este
conjunto con el símbolo .
Unidad 4: Ecuaciones e inecuaciones lineales
29
Ejemplo 7 Estas inecuaciones pueden aplicarse para la resolución de problemas. Ejemplificamos como sigue.
:2
312
132
03102
:2
2;31:1
312
132
03102:1
031
2
Solución
xyx
xx
xyx
Solución
Solución
xyx
xx
xyxSolución
xx
Solución 1: Por regla de los
signos si 0ba
entonces
numerador y denominador deben ser simultáneamente positivos (además, el numerador puede ser nulo para que se cumpla la
igualdad 0ba
).
O bien... Solución 2: Por regla de los
signos si 0ba
entonces
numerador y denominador deben ser simultáneamente negativos (además, el numerador puede ser nulo para que se cumpla la
igualdad 0ba
).
La solución resultante del enunciado es la que resulta de Solución 1 Solución 2.
En este caso el intervalo solución es:
2;
31
Unidad 4: Ecuaciones e inecuaciones lineales
30
Ejemplo Solución: Según los pasos anteriores (vistos en tema 4 de esta unidad), primero identificaremos la variable:
x = peso de cada cajón En el paso siguiente se relacionan las condiciones enunciadas en el problema mediante una ecuación que involucre la variable.
Luego se resuelve la inecuación planteada:
Una camioneta pesa 900 Kg. La diferencia de peso de la camioneta vacía y el peso de la carga que lleve no debe ser inferior que 450 Kg. Si se deben cargar tres cajones iguales, ¿cuánto puede pesar cada uno de ellos para poder llevarlos en esa camioneta?
Peso de la camioneta – peso de 3 cajones no es menor a 450 Kg.
4503900 x
Unidad 4: Ecuaciones e inecuaciones lineales
31
150
)450(.31)3(.
31
4503
9004509003900
4503900
x
x
x
x
x
La solución gráfica en la recta real es:
Esto significa que el peso de cada cajón no debe superar los 150 Kg. Además, por tratarse de una variable que se refiere al peso, debe cumplirse que x > 0. La solución está formada por todos los números reales pertenecientes al intervalo: 150;0
Restar 900 a ambos miembros de la
desigualdad.
Multiplicar ambos miembros por 31
cambiando el sentido de la desigualdad por tratarse de un número negativo.
0 150
Unidad 4: Ecuaciones e inecuaciones lineales
32
Ejercicio 1: Indicar el conjunto solución de las siguientes inecuaciones: Ejercicio 2: Determinar los siguientes conjuntos, expresarlos utilizando la notación de intervalos y representarlos sobre la recta real. a) b) c) d) e) Ejercicio 3: Las instrucciones en una caja de película indican que ésta debe almacenarse a una temperatura entre 5º C y 30º C. ¿Entre qué valores debería darse la misma indicación en dicha caja si se utilizara la escala Fahrenheit? (recordar que la relación entre grados Celsius y grados Fahrenheit está dada por: C = 5/9 (F – 32) ) Ejercicio 4: Al elevarse el aire seco se expande y al hacerlo se enfría a una tasa de 1º C por cada 100 metros de altura, hasta aproximadamente 12 km.
a) Si la temperatura a nivel del suelo es de 20º C, escribir la fórmula para la misma a una altitud h.
033)
133)
312)
0262)
3512)
232
4)
013)
xxg
xxf
xxe
xxd
xxc
xxb
xxa
}74/{ xx
}4240/{ xx
}332/{ xxx
}9530/{ xx
}13
25
12/{
xxx
Unidad 4: Ecuaciones e inecuaciones lineales
33
b) ¿Qué intervalo de temperatura puede esperarse si un aeroplano despega y alcanza una altura máxima de 5 km?
Ejercicio 5: Una pelota se lanza hacia arriba, de modo que su altura (en metros) después de t segundos es:
Determinar el instante en el que llega a una altura de 196 metros.
Ejercicio 6: Hallar las dimensiones de un rectángulo sabiendo que su altura es 3 cm mayor que su base y que su superficie es de 70 cm2.
4.16.128 2 tt
1) a) ;31; b)
23;
c) ;165; d) (-3; 2)
e) );3(35;
f) 3;0
g) ;33;
2) a)
;
47
b)
21;
21
c) 6; d)
314;
35
3) Entre 41 y 86 grados Fahrenheit
4) a) t(h) = 20 - 100
h si )m(000.12h0
b) 20;30t
5) Alcanza una altura de 196 metros a los 2 y a los 6 segundos 6) Las dimensiones son 7cm y 10cm