1. MAPAS DE PROGRESO DEL APRENDIZAJE MATEMTICA: Nmeros y
operaciones Plantea y resuelve situaciones problemticas de
cantidades con soluciones pertinentes al contexto, que implican la
construccin del significado y el uso de los nmeros, sus relaciones
y operaciones, empleando diversas representaciones y estrategias de
resolucin.
2. MATEMTICA: Nmeros y operaciones
3. Directorio: Peregrina Morgan Lora (Presidenta) Jorge Castro
Len Liliana Miranda Molina Anglica Montan Lores Carlos Rainusso Yez
Coordinacin Tcnica: Vernica Alvarado Bonhote Equipo Tcnico
Responsable: IPEBA - PROGRAMA ESTNDARES DE APRENDIZAJE Coordinacin
General Cecilia Zevallos Atoche (Coordinadora General) Alfredo
Altamirano Izquierdo Lilian Isidro Cmac Asesora Nacional Jessica
Tapia Soriano Equipo de Matemtica Cecilia Zevallos Atoche Javier
lvarez Quirhuayo Pilar Butrn Casas Lilian Isidro Cmac Patricia Paz
Huamn Asesores de Matemtica Cecilia Gaita Iparraguirre Claudio
Tapia Fuentes MINISTERIO DE EDUCACIN Direccin General de Educacin
Bsica Regular Mara Isabel Daz Maguia Gabriela Rodrguez Cabezudo
Pedro Collanqui Daz Roger Saavedra Salas Direccin de Educacin
Superior Pedaggica Ana Mara Barboza Vega Ral Hilares Trujillo
Direccin General de Educacin Intercultural, Bilinge y Rural Martha
Villavicencio Ubills Unidad de Medicin de la Calidad Educativa
Miriam Arias Reyes rsula Asmad Falcn Olimpia Castro Mora Comisin de
Expertos Teresa Arellano Bados Gustavo Cruz Ampuero Mnica Cabrera
Ortega Claudia Scoli Posleman Alberto Meja Manrique Hecho el
Depsito Legal en la Biblioteca Nacional del Per N 2013-11912 ISBN
978-612-46406-4-3 Diseo: Rubn Colonia Tiraje: 13 000 ejemplares
Lima, setiembre de 2013 Impresin: Centro de Produccin Editorial e
Imprenta de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos (CEPREDIM)
Sistema Nacional de Evaluacin, Acreditacin y Certificacin de la
Calidad Educativa - SINEACE Instituto Peruano de Evaluacin,
Acreditacin y Certificacin de la Calidad de la Educacin Bsica
(IPEBA). Calle Ricardo Angulo 266, San Isidro. Lima 27. Per.
Telfonos: / (51-1) 223-2895, Fax: (51-1) 224-7123 anexo 112 E-mail:
[email protected] / www.ipeba.gob.pe Se autoriza la reproduccin
total o parcial siempre y cuando se mencione la fuente.
4. NDICE Presentacin 5 Mapas de Progreso de Matemtica 7 El Mapa
de Progreso de Nmeros y Operaciones 8 Previo 10 Ejemplos de
indicadores de desempeo y trabajos de estudiantes III Ciclo 14
Ejemplos de indicadores de desempeo y trabajos de estudiantes IV
Ciclo 18 Ejemplos de indicadores de desempeo y trabajos de
estudiantes V Ciclo 22 Ejemplos de indicadores de desempeo y
trabajos de estudiantes VI Ciclo 26 Ejemplos de indicadores de
desempeo y trabajos de estudiantes VII Ciclo 30 Ejemplos de
indicadores de desempeo y trabajos de estudiantes Destacado 33
Ejemplos de indicadores de desempeo y trabajos de estudiantes
Glosario 36 Referencias bibliogrficas 41
5. 4
6. PRESENTACIN Garantizar el derecho a la educacin es un
compromiso por la formacin integral de los estudiantes. Para ello,
es necesario que logren los aprendizajes esperados durante su
trayectoria escolar. El Ministerio de Educacin y el Instituto
Peruano de Evaluacin, Acreditacin y Certificacin de la Educacin
Bsica IPEBA, en un trabajo conjunto, estn elaborando los Mapas de
Progreso del Aprendizaje, como una herramienta que coadyuve a
mejorar la calidad del servicio que ofrecen las instituciones
educativas, pblicas y privadas, a los estudiantes del pas. Con este
propsito se est desarrollando un sistema curricular destinado a
asegurar los aprendizajes que requieren los nios, nias y
adolescentes en el pas, y a orientar la labor de los docentes en
las aulas. Dicho sistema est compuesto, bsicamente, por el Marco
Curricular, los Mapas de Progreso y las Rutas de Aprendizaje, y se
constituye en el orientador y articulador de los Currculos
Regionales. El Marco Curricular comprende el conjunto de
aprendizajes fundamentales que todos deben alcanzar en la educacin
bsica. Los Mapas de Progreso describen con precisin lo que los
estudiantes deben saber, saber hacer y valorar, de manera graduada
en cada ciclo de la educacin bsica, y ofrecen criterios claros y
comunes para monitorear y evaluar dichos aprendizajes. Las Rutas
del Aprendizaje apoyan la labor de los docentes y orientan sus
estrategias especficas de enseanza con el fin de favorecer el
aprendizaje. Considerando que el aprendizaje es un proceso
continuo, que se desarrolla a lo largo de la vida, los Mapas de
Progreso posibilitan apreciar el avance progresivo de tal
aprendizaje, facilitando la articulacin de los niveles y etapas del
sistema educativo pero, sobre todo, el acompaamiento de los logros
de los estudiantes, para que todos puedan aprender y nadie se quede
atrs. La elaboracin de los Mapas de Progreso se realiza en un
equipo integrado por especialistas de IPEBA y del Ministerio de
Educacin, que son asesorados por expertos nacionales e
internacionales. Este proceso comprende el recojo de informacin a
travs de pruebas a estudiantes de diferentes regiones del pas, as
como consultas a docentes, formadores y acompaantes de docentes, y
a especialistas de Direcciones Regionales de Educacin y Unidades de
Gestin Educativa Local. Adems, se trabaja sobre la base de una
amplia revisin bibliogrfica de experiencias internacionales y la
revisin y anlisis de los resultados de las evaluaciones nacionales
e internacionales aplicadas a estudiantes peruanos. Finalmente, los
Mapas de Progreso son validados por una comisin de expertos,
constituida por profesionales de gran prestigio acadmico y amplia
experiencia y conocimiento de las distintas competencias que deben
desarrollar los estudiantes. Los Mapas de Progreso sern entregados
a los docentes a travs de fascculos coleccionables que faciliten su
buen uso. Este fascculo se propone que autoridades, docentes,
estudiantes, padres y madres de familia, as como organizaciones de
base, conozcan el Mapa de Progreso de Nmeros y Operaciones
(Matemtica) atendiendo a que la sociedad tiene la responsabilidad
de contribuir a la educacin y el derecho a participar en su
desarrollo (Ley General de Educacin, artculo 3). Patricia Salas
OBrien Ministra de Educacin Peregrina Morgan Lora Presidenta
Directorio IPEBA 5
7. Qu son los estndares de aprendizaje nacionales? Son metas de
aprendizaje claras que se espera que alcancen todos los estudiantes
del pas a lo largo de su escolaridad bsica. Los estndares son una
de las herramientas que contribuirn a lograr la ansiada calidad y
equidad del sistema educativo peruano, el cual debe asegurar que
todos los nios, nias y jvenes del pas, de cualquier contexto
socioeconmico o cultural, logren los aprendizajes fundamentales. En
el Per, se ha decidido elaborar los estndares nacionales de
aprendizaje poniendo especial inters en describir cmo suelen
progresar de ciclo a ciclo las distintas competencias. Por tal
razn, han sido formulados como MAPAS DE PROGRESO DEL APRENDIZAJE.
Cul es la estructura de un Mapa de Progreso del Aprendizaje? El
MAPA DE PROGRESO est dividido en niveles. Los niveles indican lo
que se espera que un estudiante haya aprendido al finalizar cada
ciclo de la Educacin Bsica Regular. Los niveles muestran estos
aprendizajes de manera sinttica y empleando un lenguaje sencillo,
con el fin de que todos puedan comprenderlos. Destacado VII CICLO
(3, 4 y 5 de secundaria) VI CICLO (1 y 2 de secundaria) V CICLO (5
y 6 de primaria) IV CICLO (3 y 4 de primaria) III CICLO (1 y 2 de
primaria) Previo PRIMARIA SECUNDARIA Cada nivel del MAPA DE
PROGRESO cuenta con un conjunto de indicadores de desempeo. Estos
permitirn identificar claramente si los estudiantes lograron lo que
indica el nivel correspondiente. Adicionalmente, el MAPA DE
PROGRESO incluye ejemplos de trabajos de estudiantes que han
logrado lo sealado en cada nivel. Por qu son tiles los Mapas de
Progreso del Aprendizaje? Los Mapas de Progreso son tiles porque le
permiten al docente enfocarse en los aprendizajes centrales y
observar cun lejos o cerca estn sus estudiantes del logro de estas
metas de aprendizaje, para poder reorientar su accin pedaggica.
6
8. MAPAS DE PROGRESO DE MATEMTICA La velocidad del desarrollo
cientfico y tecnolgico demanda de la persona una serie de
competencias para enfrentar los retos de un mundo en constante
cambio. As, para hacer frente a esta realidad, se requieren, entre
otras competencias, aquellas vinculadas a los aprendizajes
matemticos. La Matemtica desarrolla en el estudiante competencias
que le permitan plantear y resolver con actitud analtica los
problemas de su contexto y de la realidad1, de manera que pueda
usar esas competencias matemticas con flexibilidad en distintas
situaciones. Las competencias de Matemtica se han organizado en
cuatro Mapas de Progreso: Nmero y operaciones Cambio y relaciones
Geometra Estadstica y probabilidad Los Mapas de Progreso de
Matemtica describen el desarrollo de las competencias que requiere
un ciudadano para atender las necesidades y retos de la sociedad
actual. El desarrollo de estas competencias se interrelaciona y
complementa en la medida en que los estudiantes tengan la
oportunidad de aprender matemtica en contextos significativos. Los
Mapas de Progreso de Matemtica exigen una educacin matemtica que
brinde al estudiante situaciones de aprendizaje problemticas que lo
motiven a comprometerse con la investigacin, exploracin y
construccin de su aprendizaje, y que ponga nfasis en los procesos
de construccin de los conceptos matemticos y en el desarrollo de
las competencias matemticas, que implica que un individuo sea capaz
de identificar y comprender el rol que desempea la matemtica en el
mundo, para permitir juicios bien fundamentados y para
comprometerse con la matemtica, de manera que cubra las necesidades
de la vida actual y futura de dicho individuo como un ciudadano
constructivo, comprometido y reflexivo (PISA 2003). 1 Ministerio de
Educacin del Per (2008). Diseo Curricular Nacional, p. 316. 7
9. EL MAPA DE PROGRESO DE NMEROS Y OPERACIONES En el mundo en
que vivimos, la presencia de la informacin cuantitativa se ha
incrementado en forma considerable. Esto demanda que el ciudadano
haga uso de su razonamiento cuantitativo cuando manifiesta el
sentido numrico y de magnitud, comprende el significado de las
operaciones, y aplica de diversas estrategias de clculo y
estimacin. Diversas investigaciones en didctica sealan que el nmero
es utilizado con distintas finalidades y de diversas formas:
contar, medir, indicar una posicin, codificar, secuenciar
verbalmente, etc. (Rico 1987 y Castro 2001); por esta razn
histricamente el nmero ha sido la base de muchos currculos de
matemtica y ha constituido el ncleo de la educacin matemtica en la
educacin elemental (NCTM, 2000). El Mapa de Nmeros y Operaciones
describe el desarrollo progresivo de la competencia para comprender
y usar los nmeros, sus diferentes representaciones y su sentido de
magnitud; comprender el significado de las operaciones en cada
conjunto numrico; usar dicha comprensin en diversas formas para
realizar juicios matemticos; y desarrollar estrategias tiles en
diversas situaciones. La progresin de los aprendizajes del Mapa de
Nmeros y operaciones se describe considerando dos aspectos, cada
una de los cuales se va complejizando en los distintos niveles: a.
Comprensin y uso de los nmeros. Implica el desarrollo de
capacidades para comprender y usar los distintos conjuntos numricos
(N, Z, Q y R), identificar sus caractersticas, usos y las
relaciones que se pueden establecer entre ellos; comprender el
Sistema de Numeracin Decimal (SND); y las unidades de tiempo, masa,
temperatura y el sistema monetario nacional. b. Comprensin y uso de
las operaciones. Implica el desarrollo de capacidades para
comprender y usar los distintos significados de las operaciones
aritmticas en situaciones problemticas en las que se requiere
seleccionar, adaptar, elaborar y aplicar estrategias de solucin;
justificar sus procedimientos; y evaluar sus resultados. 8
10. Descripcin de los Niveles del Mapa de Nmeros y Operaciones
Previo III CICLO (1 y 2 de primaria) IV CICLO (3 y 4 de primaria) V
CICLO (5 y 6 de primaria) VI CICLO (1 y 2 de secundaria) VII CICLO
(3, 4 y 5 de secundaria) Destacado 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Agrupa
objetos de acuerdo a diferentes caractersticas perceptuales,
pudiendo dejar objetos sin agrupar, y explica los criterios
empleados para hacer dicho agrupamiento; identifica si muchos,
pocos, uno o ninguno de los elementos de una coleccin presentan
caractersticas especficas. Cuenta cuntas cosas hay en una coleccin
de hasta 10 objetos e identifica el orden de un objeto en una fila
o columna hasta el quinto lugar. Compara colecciones de objetos
usando expresiones como ms que, menos que y tantos como. Estima la
duracin de eventos usando unidades no convencionales, y los compara
y ordena usando expresiones como antes o despus; compara la masa de
dos objetos, y reconoce el ms pesado y el ms ligero. Resuelve,
situaciones problemticas de contextos cotidianos referidas a
acciones de agregar y quitar2 objetos de una misma clase,
explicando que hizo para encontrar su respuesta. Clasifica objetos
que tienen caractersticas comunes y los organiza al interior
reconociendo algunos subgrupos; explica los criterios empleados
para formar los grupos y subgrupos usando las expresiones todos,
algunos, ninguno. Cuenta, compara y establece equivalencias entre
diez unidades con una decena y viceversa, y entre nmeros naturales
hasta 100. Estima, compara y mide la masa de objetos, empleando
unidades arbitrarias, y el tiempo, empleando unidades
convencionales, como das o semanas. Resuelve y formula situaciones
problemticas de diversos contextos referidas a acciones de juntar,
separar, agregar, quitar, igualar o comparar cantidades3, empleando
diversas estrategias; explica cmo lleg a la respuesta y si esta
guarda relacin con la situacin planteada. Se aproxima a la nocin de
multiplicacin como adiciones repetidas y a la nocin de mitad como
reparto en dos grupos iguales. Clasifica objetos en grupos y
subgrupos, los reagrupa empleando un criterio distinto y explica la
relacin entre ellos. Representa las partes de un todo y una
situacin de reparto mediante fracciones. Compara y establece
equivalencias entre nmeros naturales hasta la unidad de millar y
entre fracciones usuales4. Identifica la equivalencia de nmeros de
hasta cuatro dgitos en centenas, decenas y unidades. Estima,
compara y mide la masa de objetos empleando unidades convencionales
como el kilogramo, el gramo y las propias de su comunidad, y la
duracin de eventos usando unidades convencionales como aos, meses,
hora, media hora o cuarto de hora. Resuelve y formula situaciones
problemticas de diversos contextos referidas a acciones de agregar,
quitar, igualar o comparar dos cantidades5, o de repetir una
cantidad para aumentarla o repartirla en partes iguales6; empleando
diversas estrategias y explicando por qu las us. Relaciona la
divisin y la multiplicacin como procesos inversos y a la divisin
como un reparto en partes iguales. Representa cantidades discretas
o continuas mediante fracciones, decimales y porcentaje. Compara y
establece equivalencias entre nmeros naturales, fracciones,
decimales y porcentajes ms usuales7. Identifica la equivalencia de
nmeros de hasta seis dgitos en centenas, decenas y unidades de
millar, y de unidades en dcimos y centsimos. Estima, compara y mide
la masa de objetos en miligramos; la duracin de eventos en minutos
y segundos; y la temperatura en grados Celsius. Resuelve y formula
situaciones problemticas de diversos contextos referidas a acciones
de comparar e igualar dos cantidades8, combinar los elementos de
dos conjuntos9 o relacionar magnitudes directamente proporcionales,
empleando diversas estrategias y explicando por qu las us.
Identifica la potencia como un producto de factores iguales.
Representa cantidades discretas o continuas mediante nmeros enteros
y racionales en su expresin fraccionaria y decimal en diversas
situaciones. Compara y establece equivalencias entre nmeros
enteros, racionales y porcentajes; relaciona los rdenes del sistema
de numeracin decimal con potencias de base diez. Selecciona
unidades convencionales e instrumentos apropiados para describir y
comparar la masa de objetos en toneladas o la duracin de un evento
en dcadas y siglos. Resuelve y formula situaciones problemticas de
diversos contextos referidas a determinar cuntas veces una cantidad
contiene o est contenida en otra10, determinar aumentos o
descuentos porcentuales sucesivos, relacionar magnitudes directa o
inversamente proporcionales; empleando diversas estrategias y
explicando por qu las us. Relaciona la potenciacin y radicacin como
procesos inversos. Interpreta el nmero irracional como un decimal
infinito y sin perodo. Argumenta por qu los nmeros racionales
pueden expresarse como el cociente de dos enteros. Interpreta y
representa cantidades y magnitudes mediante la notacin cientfica.
Registra medidas en magnitudes de masa, tiempo y temperatura segn
distintos niveles de exactitud requeridos, y distingue cundo es
apropiado realizar una medicin estimada o una exacta. Resuelve y
formula situaciones problemticas de diversos contextos referidas a
determinar tasas de inters, relacionar hasta tres magnitudes
proporcionales, empleando diversas estrategias y explicando por qu
las us. Relaciona diferentes fuentes de informacin. Interpreta las
relaciones entre las distintas operaciones. Interpreta los nmeros
reales como la unin de los racionales con los irracionales.
Argumenta las diferencias caractersticas entre los distintos
conjuntos numricos. Interpreta y representa cantidades y magnitudes
expresadas mediante logaritmos decimales y naturales. Evala el
nivel de exactitud necesario al realizar mediciones directas e
indirectas de tiempo, masa y temperatura. Resuelve y formula
situaciones problemticas referidas a las propiedades de los nmeros
y las operaciones en el conjunto de los nmeros reales, empleando
diversas estrategias y explicando por qu las us. Segn la
clasificacin de los PAEV: Cambio 1 y 2. Segn la clasificacin de los
PAEV: Cambio 3 y 4 , Combinacin 2 y Comparacin e Igualacin 1 y 2
(1/2, 1/4, 1/8, 1/5, 1/10, 1/3 y 1/6) Segn la clasificacin de los
PAEV: Cambio 5 y 6, Comparacin e Igualacin 3 y 4 Segn la
clasificacin de los problemas multiplicativos, son problemas
conocidos como de proporcionalidad simple. 10%, 20%, 25%, 50%, 75%
Segn la clasificacin de los PAEV: Comparacin e Igualacin 5 y 6 Segn
la clasificacin de los problemas multiplicativos, son problemas
conocidos como de producto cartesiano. Segn la clasificacin de los
PAEV, son los problemas multiplicativos de comparacin. 9
11. A continuacin, presentamos algunos ejemplos de indicadores
de desempeo y de trabajos de estudiantes para cada uno de los
niveles de este Mapa de Progreso. Previo Agrupa objetos de acuerdo
a diferentes caractersticas perceptuales, pudiendo dejar objetos
sin agrupar, y explica los criterios empleados para hacer dicho
agrupamiento; identifica si muchos, pocos, uno o ninguno de los
elementos de una coleccin presentan caractersticas especficas.
Cuenta cuntas cosas hay en una coleccin de hasta 10 objetos e
identifica el orden de un objeto en una fila o columna hasta el
quinto lugar. Compara colecciones de objetos usando expresiones
como ms que, menos que y tantos como. Estima la duracin de eventos
usando unidades no convencionales, y los compara y ordena usando
expresiones como antes o despus; compara la masa de dos objetos, y
reconoce el ms pesado y el ms ligero. Resuelve situaciones
problemticas de contextos cotidianos referidas a acciones de
agregar y quitar11 objetos de una misma clase, explicando qu hizo
para encontrar su respuesta. Cuando un estudiante ha logrado este
nivel, realiza desempeos como los siguientes: Forma colecciones de
objetos tomando en cuenta caractersticas comunes y expresa por qu
los agrup. Ejemplo: Ante la consigna Agrupa todos los que se
parecen en algo, el nio agrupa todos los plomos y deja sin agrupar
los blancos. 11 Segn la clasificacin de los PAEV: Cambio 1 y 2.
10
12. Compara colecciones de objetos usando la correspondencia
uno a uno y expresa dnde hay ms que, menos que y tantos como.
Ejemplo: Une a cada nio con su pelota. Qu hay ms, nios o pelotas?
Expresa si muchos, pocos, uno o ninguno de los objetos de una
coleccin tienen una caracterstica sealada. Seala la posicin de un
objeto en una fila, usando los ordinales primero, segundo, tercero,
cuarto y quinto. Asocia una cantidad de hasta 10 objetos con el
smbolo del nmero que le corresponde. Resuelve problemas en los que
requiere agregar o quitar una cantidad en colecciones de hasta 10
objetos, usando material concreto y el conteo, y explica qu hizo
para resolverlo (cambio 1 y 2)12. Ejemplo: Miguel tena 5 pelotas en
su coleccin de juguetes y en su cumpleaos recibi 4 pelotas ms.
Cuntas pelotas tiene ahora Miguel? Usando botones resuelve la
situacin y da su respuesta. Ordena sus propias actividades
cotidianas (levantarse, asearse, vestirse, desayunar, etc.). 12
Ejemplos de otros problemas de cambio 1 y 2 los encontrar en el
glosario, pgina 37. 11
13. Ejemplos de trabajos de estudiantes En el caso de este
nivel, los trabajos de los estudiantes fueron recogidos en video.
Para observar ejemplos de estos trabajos, por favor, ingrese a
nuestra pgina web: http://www.ipeba.gob.pe a) Agrupando objetos
(video) Se present un grupo de bloques lgicos y se le propuso al
estudiante formar grupos que tengan algo parecido; despus de formar
agrupaciones el estudiante respondi a la pregunta Por qu los
agrupaste as? explicando los criterios empleados. COMENTARIO 12 El
estudiante agrupa objetos que tienen como caracterstica comn el
color y los presenta en arreglos lineales: bloques azules y bloques
rojos. Deja libres todos los bloques amarillos, a los cuales no
agrupa ni muestra como una coleccin ms aun cuando tienen una misma
caracterstica.
14. b) Cuntas pelotas tiene Miguel? (video) Se present una
situacin problemtica que deca: Miguel tena cinco pelotas y en su
cumpleaos le regalaron cuatro pelotas ms. Cuntas pelotas tiene
ahora?. El estudiante resolvi la situacin usando material concreto,
en este caso botones, y respondi a la pregunta Qu hiciste para
saberlo? explicando con sus propias palabras el procedimiento
seguido. COMENTARIO La estudiante resuelve situaciones problemticas
referidas a agregar objetos a una coleccin; representa la situacin
usando material concreto; la resuelve usando la estrategia del
conteo; y explica su respuesta indicando que aumentaron ms pelotas.
13
15. III Ciclo (1 y 2 de primaria) Clasifica objetos que tienen
caractersticas comunes y los organiza al interior reconociendo
algunos subgrupos; explica los criterios empleados para formar los
grupos y subgrupos usando las expresiones todos, algunos, ninguno.
Cuenta, compara y establece equivalencias entre diez unidades con
una decena y viceversa, y entre nmeros naturales hasta 100. Estima,
compara y mide la masa de objetos, empleando unidades arbitrarias,
y el tiempo, empleando unidades convencionales, como das o semanas.
Resuelve y formula situaciones problemticas de diversos contextos
referidas a acciones de juntar, separar, agregar, quitar, igualar o
comparar cantidades13, empleando diversas estrategias; explica cmo
lleg a la respuesta y si esta guarda relacin con la situacin
planteada. Se aproxima a la nocin de multiplicacin como adiciones
repetidas y a la nocin de mitad como reparto en dos grupos iguales.
Cuando un estudiante ha logrado este nivel, realiza desempeos como
los siguientes: Agrupa objetos de acuerdo a un criterio y utiliza
otro para formar subgrupos al interior, y explica los criterios
empleados. Ejemplo: Luis agrup sus juguetes. l hizo un grupo de
carritos y otro de pelotas. Dentro del grupo de las pelotas tiene
el grupo de las grandes y las pequeas. Resuelve problemas en los
que requiere separar una de las partes de un todo, usando soporte
concreto y grfico, y explica que hizo para resolverlo (combinacin
2). Ejemplo: Compr 20 frutas para llevar al colegio, 12 son
manzanas y las dems mandarinas Cuntas son mandarinas? Resuelve
problemas en los que requiere encontrar el valor que se agreg o
quit a una cantidad, usando soporte concreto, grfico y simblico, y
explica qu hizo para resolverlo (cambio 3 y 4; ver ejemplos en el
glosario). 13 Segn la clasificacin de los PAEV: Cambio 3 y 4 ,
Combinacin 2 y Comparacin e Igualacin 1 y 2 14
16. Resuelve problemas en los que requiere encontrar el valor
que necesita una cantidad para ser igual a la otra y explica qu
hizo para resolverlo (igualacin 1 y 2). Ejemplo: Sofa tiene 26
monedas de un nuevo sol y su prima Daniela tiene 18 Cuntas monedas
ms necesita Daniela para tener tanto como Sofa? (igualacin 1)
Resuelve problemas en los que requiere encontrar la diferencia
entre dos cantidades, usando soporte concreto, grfico y simblico, y
explica qu hizo para resolverlo (comparacin 1 y 2). Ejemplo: Tesi y
su hermano Tito prepararon helados para vender. Observa en la tabla
cuntos helados vendieron. Cuntos helados menos vendi Tesi que Tito?
Resuelve problemas en los que requiere encontrar el doble o triple
de una cantidad en un mbito no mayor a 50, usando adiciones
repetidas, y explica qu hizo para resolverlo. Resuelve problemas
que requieren de dos estructuras aditivas para su solucin y explica
qu hizo para resolverlo. Ejemplo: Toms tiene 25 carritos, 8 son
azules, 10 son verdes y los dems son rojos. Cuntos son rojos?
Compara la masa de dos objetos en una balanza y puede decir, por
ejemplo, que dos tazas pesan tanto como una botella. Resuelve
situaciones en las que requiere usar el calendario para determinar
la duracin de un evento en das y semanas, y la fecha en la que
ocurri u ocurrir un evento en relacin a un referente. Ejemplo: El
nio puede responder que faltan 18 das o tambin 2 semanas y 4 das.
DICIEMBRE Si hoy es martes 7 de diciembre. Cuntos das faltan para
Navidad? LU MA MI 1 6 7 8 13 14 15 20 21 22 27 28 29 JU 2 9 16 23
30 VI 3 10 17 24 31 SA 4 11 18 25 DO 5 12 19 26 15
17. Ejemplos de trabajos de estudiantes a) Encontrando nmeros
COMENTARIO 16 El estudiante establece equivalencias entre nmeros
utilizando adiciones, sustracciones, adiciones sucesivas y algunas
operaciones combinadas, con o sin canjes. En el ejemplo se aprecia
que utiliza nmeros menores que 100, resta decenas sin dificultad y
emplea operaciones diferentes para representar al nmero 23.
18. b) Los botones de Anita COMENTARIO El estudiante resuelve
situaciones problemticas de diversos contextos referidas a acciones
de igualar, usando distintas estrategias de solucin. En este
ejemplo emplea dos estrategias de solucin: primero, representa
grficamente la situacin, dibujando los botones y tachando lo que ya
tiene Anita para hallar su respuesta; como segunda estrategia,
emplea la sustraccin entre las dos cantidades dadas
descomponindolas en decenas y unidades. 17
19. IV Ciclo (3 y 4 de primaria) Clasifica objetos en grupos y
subgrupos, los reagrupa empleando un criterio distinto y explica la
relacin entre ellos. Representa las partes de un todo y una
situacin de reparto mediante fracciones. Compara y establece
equivalencias entre nmeros naturales hasta la unidad de millar y
entre fracciones usuales14. Identifica la equivalencia de nmeros de
hasta cuatro dgitos en centenas, decenas y unidades. Estima,
compara y mide la masa de objetos empleando unidades convencionales
como el kilogramo, el gramo y las propias de su comunidad, y la
duracin de eventos usando unidades convencionales como aos, meses,
hora, media hora o cuarto de hora. Resuelve y formula situaciones
problemticas de diversos contextos referidas a acciones de agregar,
quitar, igualar o comparar dos cantidades15, o de repetir una
cantidad para aumentarla o repartirla en partes iguales16;
empleando diversas estrategias y explicando por qu las us.
Relaciona la divisin y la multiplicacin como procesos inversos y a
la divisin como un reparto en partes iguales. Cuando un estudiante
ha logrado este nivel, realiza desempeos como los siguientes:
Explica la relacin entre grupos y subgrupos. Ejemplo: Observa la
siguiente figura e indica que hay ms tulipanes que margaritas y que
si agrega dos tulipanes ms habr ms flores que tulipanes. Representa
un nmero natural usando combinaciones aditivas y multiplicativas.
Representa cantidades continuas o discretas con fracciones,
empleando material concreto, grfico y simblico. Ejemplo: Representa
la cuarta parte de 8 canicas (cantidad discreta) Representa la
sexta parte de una torta (cantidad continua) 1/4 de 8 Material
concreto Representacin grfica Representacin simblica 1/6 de 1
Material concreto Representacin grfica Representacin simblica
Identifica una unidad de millar como equivalente a 10 centenas, a
100 decenas y 1000 unidades. 14 (1/2, 1/4, 1/8, 1/5, 1/10, 1/3 y
1/6) 15 Segn la clasificacin de los PAEV: Cambio 5 y 6, Comparacin
e Igualacin 3 y 4 16 Segn la clasificacin de los problemas
multiplicativos, son problemas conocidos como de proporcionalidad
simple. 18
20. Resuelve problemas en los que requiere encontrar la
cantidad que fue aumentada o disminuida y explica el procedimiento
utilizado (Cambio 5 y 6; ver en el Glosario la pgina 37). Ejemplo:
Pablo tena algunas cartas. Le dio a Sofa 8 cartas. Ahora tiene 29
cartas. Cuntas cartas tena Pablo? (cambio 6) Resuelve problemas en
los que requiere hallar la cantidad que se iguala a otra y explica
el procedimiento utilizado (igualacin 3 y 4; ver en el Glosario
pgina 34). Resuelve problemas en los que requiere encontrar la
cantidad comparada y explica el procedimiento utilizado (comparacin
3 y 4; ver en el Glosario la pgina 38). Ejemplo: Alonso tiene 12
peces. Csar tiene 9 peces ms que Alonso. Cuntos peces tiene Csar?
(comparacin 3) Resuelve problemas en los que una cantidad se repite
varias veces y explica el procedimiento utilizado (multiplicativos
de proporcionalidad simple, ver en el Glosario la pgina 39).
Resuelve problemas en los que requiere repartir una cantidad en
partes iguales o encontrar el nmero de grupos que se forma y
explica el procedimiento utilizado (multiplicativos de
proporcionalidad simple, ver en el Glosario la pgina 39). Ejemplo:
Giordano observa en la mesa 36 botones y, adems, 6 paquetes de
botones vacos. Cuntos botones vienen en cada paquete? (Particin)
Resuelve problemas que combinan estructuras aditivas y
multiplicativas para su solucin. Ejemplo: Para pagar una deuda de
2180 soles, ngel paga con billetes de 10 y 50 soles, y monedas de 5
soles. Si da 14 billetes de 50 soles y 24 billetes de 10 soles,
cuntas monedas de 5 soles debe de dar para cancelar la deuda?
Estima los resultados que pueden obtenerse al resolver situaciones
aditivas y multiplicativas con nmeros naturales. Determina y
compara la masa de objetos como bolsas de arena, bolsas de
menestras, etc. que puedan expresarse como 250 g o kg, 500 g o kg,
750 g o kg, 1000 g o 1kg. 19
21. Ejemplos de trabajos de estudiantes a) Comparando
fracciones COMENTARIO 20 El estudiante representa las partes de un
todo mediante fracciones y las compara. En este ejemplo, utiliza
sin dificultad el recurso grfico; para ello, representa con un
rectngulo una taza de azcar y relaciona la mitad de dicho rectngulo
con y 2 4 tazas de azcar, las compara, y concluye que ambas
fracciones representan la misma cantidad.
22. b) Preparndonos para la kerms COMENTARIO El estudiante
resuelve situaciones problemticas referidas a acciones de igualar y
de reparto en diferentes contextos. En el ejemplo se presentan dos
actividades: la primera referida a la accin de igualar dos
cantidades conociendo la diferencia entre ellas y la segunda
actividad referida a una accin de reparto, en la que el estudiante
aplica la operacin inversa al reparto porque reconoce que tres
veces 58 es igual a 174. 21
23. V Ciclo (5 y 6 de primaria) Representa cantidades discretas
o continuas mediante fracciones, decimales y porcentaje. Compara y
establece equivalencias entre nmeros naturales, fracciones,
decimales y porcentajes ms usuales17. Identifica la equivalencia de
nmeros de hasta seis dgitos en centenas, decenas y unidades de
millar, y de unidades en dcimos y centsimos. Estima, compara y mide
la masa de objetos en miligramos; la duracin de eventos en minutos
y segundos; y la temperatura en grados Celsius. Resuelve y formula
situaciones problemticas de diversos contextos referidas a acciones
de comparar e igualar dos cantidades18, combinar los elementos de
dos conjuntos19 o relacionar magnitudes directamente
proporcionales, empleando diversas estrategias y explicando el
procedimiento seguido. Identifica la potencia como un producto de
factores iguales. Cuando un estudiante ha logrado este nivel,
realiza desempeos como los siguientes: Establece equivalencias
entre decimales, fracciones y porcentaje con soporte concreto,
grfico y simblico. Representa la mitad de 6 pelotas (cantidad
discreta) Representa las tres cuartas partes de una torta (cantidad
continua) 1 _ de 6 = 0,5 de 6 2 3 _ = 0,75 = 75% 4 = 50% de 6
Representacin grfica Representacin simblica Representacin grfica
Representacin simblica Representa los significados de la fraccin
como operador, medida o razn. Fraccin como operador Los 3/4 de los
estudiantes de sexto grado son mujeres. Si en total hay 24
estudiantes, cuntas son mujeres? Fraccin como medida Fraccin como
razn Para medir la longitud del lpiz en centmetros es necesario
dividir la unidad en diez partes iguales, entonces el lpiz mide 6 y
3 10 de cm. La relacin del nmero de hombres al de mujeres en el
aula es: 3 _ 5 Representa con material concreto y grfico la adicin
o sustraccin de fracciones heterogneas y decimales. 17 10%, 20%,
25%, 50%, 75% 18 Segn la clasificacin de los PAEV: Comparacin e
Igualacin 5 y 6 19 Segn la clasificacin de los problemas
multiplicativos, son problemas conocidos como de producto
cartesiano. 22
24. Resuelve problemas en los que requiere encontrar el
referente de comparacin y explica el procedimiento utilizado
(Comparacin 5 y 6; ver en el Glosario la pgina 38). Resuelve
problemas en los que requiere encontrar el referente de igualacin y
explica el procedimiento utilizado (Igualacin 5 y 6; ver en el
Glosario la pgina 38). Ejemplo: Andrs tiene 21 chapitas. Si Andrs
regala 1/3 de sus chapitas, tendr tantas chapitas como Diego.
Cuntas chapitas tiene Diego? (Igualacin 6) Resuelve problemas en
los que usa la multiplicacin para combinar los elementos de dos
conjuntos y explica el procedimiento utilizado (Multiplicativos de
producto cartesiano; ver en el Glosario la pgina 39). Ejemplo: El
equipo de voleybol tiene 6 camisetas diferentes que al combinarlos
con las pantalonetas permiten obtener 12 formas de vestirse. De
cuntas pantalonetas diferentes dispone el equipo? (Tipo 2) Resuelve
problemas que combinan dos o tres estructuras (aditivas y
multiplicativas) para su solucin y explica el procedimiento
utilizado. Ejemplo: En una tienda hay 60 libros colocados en 2
estanteras. En una estantera hay 12 libros ms que en la otra. Qu
porcentaje de libros hay en la estantera que tiene ms libros?
Estima los resultados que pueden obtenerse al resolver situaciones
aditivas y multiplicativas con nmeros naturales. Emplea la balanza
electrnica para determinar la masa de objetos pequeos, como
pastillas, un puado de sal, de arroz, etc.; determina la masa de
una hoja de papel a travs de mediciones indirectas. 23
25. Ejemplos de trabajos de estudiantes a) El men de la Olla de
Barro COMENTARIO 24 El estudiante resuelve problemas donde combina
los elementos de dos conjuntos. Primero, representa grficamente la
relacin entre entradas y platos de fondo del men y deduce que para
hallar el total de combinaciones debe emplear la multiplicacin.
Luego, discrimina los precios ms caros y los ms baratos para
encontrar la diferencia entre la combinacin ms cara y la ms
econmica.
26. b) Encontrando equivalencias con porcentajes El estudiante
compara y establece equivalencias entre nmeros naturales,
fracciones y porcentajes ms usuales. En este ejemplo identifica en
el texto de la noticia los datos necesarios para resolver la
situacin, y utiliza con facilidad la equivalencia entre el 25% y la
cuarta parte de un todo para calcular el nmero de entradas vendidas
en preventa (93 295). COMENTARIO 25
27. VI Ciclo (1 y 2 de secundaria) Representa cantidades
discretas o continuas mediante nmeros enteros y racionales en su
expresin fraccionaria y decimal en diversas situaciones. Compara y
establece equivalencias entre nmeros enteros, racionales y
porcentajes; relaciona los rdenes del sistema de numeracin decimal
con potencias de base diez. Selecciona unidades convencionales e
instrumentos apropiados para describir y comparar la masa de
objetos en toneladas o la duracin de un evento en dcadas y siglos.
Resuelve y formula situaciones problemticas de diversos contextos
referidas a determinar cuntas veces una cantidad contiene o est
contenida en otra20, determinar aumentos o descuentos porcentuales
sucesivos, relacionar magnitudes directa o inversamente
proporcionales; empleando diversas estrategias y explicando por qu
las us. Relaciona la potenciacin y radicacin como procesos
inversos. Cuando un estudiante ha logrado este nivel, realiza
desempeos como los siguientes: Usa equivalencias entre nmeros
enteros, racionales y porcentajes en situaciones contextualizadas
Ejemplo: Pedro gana S/1200, gasta el 40% en alimentacin y el 1/10
en movilidad, qu parte de su sueldo le queda? Compara, mide y
registra los cambios de temperatura de distintos lugares en grados
Celsius. Resuelve problemas multiplicativos en los que requiere
encontrar la cantidad comparada o el referente de comparacin y
explica la eleccin de su estrategia sustentando su respuesta, segn
las condiciones del problema (multiplicativos de comparacin).
Ejemplo: Pedro tiene 72,85 nuevos soles, que son 3 veces ms dinero
que el que tiene Juan. Cunto dinero tiene Juan? Resuelve problemas
que requieren encontrar los mltiplos o divisores comunes de varios
nmeros y explica la eleccin de su estrategia sustentando su
respuesta, segn las condiciones del problema (MCM y MCD). Ejemplo:
Un empresario reparte canastas navideas a todos sus empleados. Este
ao cuenta con 504 tarros de leche, 420 paquetes de menestras, 252
bolsas de arroz y 84 panetones. Cuntas canastas puede armar? Cuntas
unidades de cada producto colocar en las canastas? 20 Segn la
clasificacin de los PAEV, son los problemas multiplicativos de
comparacin. 26
28. Resuelve y formula situaciones proporcionalidad directa e
inversa, a partir de diversos contextos y explica la eleccin de su
estrategia sustentando su respuesta, segn las condiciones del
problema. Ejemplo: Para envasar cierta cantidad de vino se
necesitan 8 toneles de 200 litros de capacidad cada uno. Queremos
envasar la misma cantidad de vino empleando 64 toneles. Cul deber
ser la capacidad de esos toneles? Resuelve problemas que combinan
varias estructuras multiplicativas para su solucin y explica la
eleccin de su estrategia sustentando su respuesta, segn las
condiciones del problema. Resuelve problemas referidos a aumentos y
descuentos sucesivos en el valor de un producto, y sustenta las
estrategias empleadas segn las condiciones del problema. Ejemplo:
Por cierre de temporada escolar la librera El estudiante ofrece
descuentos del 20% ms el 30% en compras cuyos montos son mayores a
200 nuevos soles y descuentos del 45% en compras menores a 200
nuevos soles. A qu descuento equivale cada caso? Aproxima a nmeros
enteros los resultados que pueden obtenerse al resolver diversas
situaciones. Identifica el instrumento y la unidad adecuada para
medir un objeto. Por ejemplo, indica que, para medir la masa de un
camin, la unidad ser la tonelada y se medir en una bscula; emplea
lneas de tiempo por aos (y no por das) para registrar hechos
histricos; utiliza el gigabyte para medir la capacidad de
almacenamiento de informacin que registran las computadoras. Mide y
compara la temperatura de su localidad en distintos momentos del ao
y los asocia a las estaciones del ao. 27
29. Ejemplos de trabajos de estudiantes a) Relacin entre el
Sistema de numeracin decimal (SND) y el Sistema monetario
COMENTARIO 28 El estudiante representa cantidades continuas con
nmeros racionales, establece relaciones entre el sistema monetario
y el sistema de numeracin decimal (SND) haciendo uso de las
equivalencias entre nmeros decimales (racionales) y enteros. Por
ejemplo, en esta tarea, el estudiante identifica, a partir del
monto, la cantidad de billetes y monedas, y las unidades del SND.
Adems, expresa su valor numrico utilizando las potencias de base
diez.
30. b) Organizando nuestro viaje de excursin COMENTARIO El
estudiante determina cuntas veces una cantidad est contenida en
otra y establece una proporcin a partir de la razn dada. Examina
las medidas existentes, discrimina entre ellas y evala dos opciones
que le parece que cumplen con la condicin. Descarta la primera
opcin al no conseguir una igualdad de los productos extremos,
determinando con el mismo procedimiento que las pirmides de medidas
12 m y 28 m s se encuentran en razn de 3 a 7. 29
31. VII Ciclo (3, 4 y 5 de secundaria) Interpreta el nmero
irracional como un decimal infinito y sin perodo. Argumenta por qu
los nmeros racionales pueden expresarse como el cociente de dos
enteros. Interpreta y representa cantidades y magnitudes mediante
la notacin cientfica. Registra medidas en magnitudes de masa,
tiempo y temperatura segn distintos niveles de exactitud
requeridos, y distingue cundo es apropiado realizar una medicin
estimada o una exacta. Resuelve y formula situaciones problemticas
de diversos contextos referidas a determinar tasas de inters,
relacionar hasta tres magnitudes proporcionales, empleando diversas
estrategias y explicando por qu las us. Relaciona diferentes
fuentes de informacin. Interpreta las relaciones entre las
distintas operaciones. Cuando un estudiante ha logrado este nivel,
realiza desempeos como los siguientes: Identifica y representa
cantidades mediante nmeros decimales peridicos o no peridicos en
situaciones contextualizadas. Ejemplo: En un juego de Bingo el
premio es de 1000 soles. Tres participantes deben repartirse este
dinero en partes iguales. Cmo escribiras esta cantidad? Por qu?
Identifica que , e y races cuadradas inexactas (como 2, 3, 5) son
nmeros irracionales. Resuelve problemas que demandan evaluar tasas
de inters y efectos de un pago anticipado en transacciones
financieras, y sustenta las estrategias empleadas segn las
condiciones del problema. Ejemplo: Jorge tiene que decidir entre
dos tipos de prstamos ofrecidos por un mismo banco. l pretende
pagar en los prximos 6 meses todo el monto del prstamo que adeude
en esa fecha. PROPUESTA 30 MESES DE GRACIA TIEMPO A B TASA INTERS
ANUAL 12% 10% 3 meses Sin meses de gracia 1 ao 1 ao Cul de las dos
propuestas le conviene ms? Sustenta tu respuesta.
32. Resuelve problemas referidos a relaciones de
proporcionalidad directa o inversa hasta con tres magnitudes y
sustenta las estrategias empleadas segn las condiciones del
problema. Resuelve y formula situaciones problemticas que combinan
variadas estructuras (aditivas, multiplicativas y de
proporcionalidad) en los distintos conjuntos numricos y variados
contextos, y sustenta las estrategias empleadas segn las
condiciones del problema. Ejemplo: Cuntos Kg de cobre se debern
comprar para construir un cilindro de 10 cm de alto y 0,5 m de
radio? Considera que la densidad del cobre es 8960 kg/m3.
Discrimina entre la pertinencia del clculo exacto o estimado para
dar respuesta a un problema. Ejemplo: Qu aproximacin conviene hacer
para que la cantidad de cobre sea la ms exacta? Por qu? Reconoce
que, cuando debe proporcionar una medida muy precisa, necesita
emplear dcimas, centsimas y milsimas para expresar la medicin.
Identifica las dificultades que tuvo al aplicar una estrategia para
resolver un problema y reflexiona sobre otras formas de solucin.
31
33. Ejemplos de trabajos de estudiantes a) Reparticin del
terreno COMENTARIO El estudiante resuelve situaciones problemticas
referidas a relacionar magnitudes proporcionales. Para ello,
representa en el rectngulo original las condiciones del problema,
expresando en smbolos los lados para relacionarlos; halla la razn
de proporcionalidad empleando propiedades de radicales y
simplificando expresiones numricas con valores irracionales; y
formula un ejemplo con el que verifica que las dimensiones del
rectngulo generado cumplen con las condiciones dadas. Esta tarea
ejemplifica el aprendizaje esperado en este nivel aun cuando no
representa las dos soluciones (negativa y positiva) en la ecuacin
cuadrtica. 32
34. Destacado Interpreta los nmeros reales como la unin de los
racionales con los irracionales. Argumenta las diferencias
caractersticas entre los distintos conjuntos numricos. Interpreta y
representa cantidades y magnitudes expresadas mediante logaritmos
decimales y naturales. Evala el nivel de exactitud necesario al
realizar mediciones directas e indirectas de tiempo, masa y
temperatura. Resuelve y formula situaciones problemticas referidas
a las propiedades de los nmeros y las operaciones en el conjunto de
los nmeros reales, empleando diversas estrategias y explicando por
qu las us. Cuando un estudiante ha logrado este nivel, realiza
desempeos como los siguientes: Representa conjuntos de nmeros
reales usando intervalos. Argumenta por qu el conjunto de los
nmeros racionales es denso, y los conjuntos de los naturales y
enteros no lo son. Por ejemplo, explica que, usando la propiedad
del trmino medio, siempre es posible encontrar otro nmero
fraccionario entre un par de fracciones o, lo que es lo mismo,
siempre es posible encontrar un decimal entre dos decimales
continuos del mismo orden. Representa e interpreta cantidades muy
grandes o muy pequeas expresadas mediante logaritmos decimales y
naturales. Por ejemplo, expresa mediante potencias de 10 la
distancia entre el Sol y Alpha Centauri (como 4 1013 km.). Resuelve
y formula problemas referidos a nmeros perfectos, triangulares,
cuadrados perfectos, etc. Ejemplo: Halle un nmero natural tal que,
si su ltima cifra de la derecha se mueve al primer lugar de la
izquierda, se obtiene un nmero igual al doble del original. 33
35. Argumenta la pertinencia de un clculo exacto o estimado al
dar respuesta a una situacin problemtica. Ejemplo: Un contratista
calcula el costo total por remodelar un parque circular en funcin
del rea. Para ello hace el siguiente clculo. Valor contrata = 512
rea de la plaza =512.(3,15)(50)2 Qu aproximacin de , es conveniente
para un clculo justo? Por qu? Evala cmo puede mejorar sus recursos
y estrategias para resolver problemas. Interpreta mediciones de
masa, tiempo o temperatura expresados en informaciones cientficas o
histricas. Reconoce los errores que comete al realizar redondeos a
las cifras significativas de un nmero irracional; por ejemplo, al
comprobar la diferencia entre calcular la longitud de la
circunferencia de objetos cilndricos de manera directa o de manera
indirecta. Ejemplos de trabajos de estudiantes a) Una paradoja
saltarina 34
36. COMENTARIO El estudiante resuelve y modela situaciones
problemticas referidas a las propiedades de los nmeros y las
operaciones en los distintos conjuntos numricos. Para ello,
representa los valores que van tomando las distancias que recorre
el conejo en una grfica e interpreta la tendencia hacia cero.
Concluye que el conejo nunca llegar a recorrer los 8 metros porque
siempre saltar la mitad de la distancia que le falta y esta
cantidad ser cada vez infinitamente ms pequea. 35
37. GLOSARIO 1. ARGUMENTAR Dar razones lgicas o matemticas que
permitan sustentar, probar o demostrar la veracidad o falsedad de
una proposicin o idea planteada (Ministerio de Educacin, 2004,
p.28). 2. CANTIDAD CONTINUA La que consta de unidades o partes que
no estn separadas unas de otras; por ejemplo, el peso, la talla, el
precio en soles de un producto, la cantidad de lquido en un vaso,
el tiempo, entre otras. 3. CANTIDAD DISCRETA La que consta de
unidades o partes separadas unas de otras; por ejemplo, el nmero de
ovejas en un rebao, de hermanos, de estudiantes, de pelotas, entre
otros. 4. CLASIFICAR Disponer un conjunto de datos o elementos en
subconjuntos o clases de acuerdo a uno o varios criterios. Abarca
la identificacin de propiedades de los objetos y la comparacin
mediante el establecimiento de diferencias y semejanzas entre
elementos (Heudebert, Chvez, 2006, p.85). La clasificacin se
distingue del simple agrupamiento en tanto que utiliza criterios
que permiten incluir a todos los elementos dados en alguno de los
grupos establecidos. 5. COMPARAR Establecer una relacin entre lo
cuantitativo o cualitativo que existe entre dos entes matemticos de
un mismo conjunto o clase (Ministerio de Educacin, 2004, p.229). 6.
COMPROBAR Verificar, confirmar la veracidad o exactitud de un
objeto matemtico o situacin a travs de su concepto o propiedades.
7. CONTAR Asociar cada trmino de la secuencia numrica con cada
objeto de una coleccin, estableciendo la correspondencia biunvoca
entre nmero y objeto (Castro y Castro, 2001, p.124). Se distingue
de enumerar porque este trmino se refiere a recitar un trozo de la
secuencia numrica por evocacin (Arellano, 2006, p.29). 8. EVALUAR
Valorar o determinar el grado de efectividad de un conjunto de
estrategias o procedimientos, a partir de su coherencia o
aplicabilidad a otras situaciones problemticas. 9. EXPLICAR
Describir o exponer las razones21 o procedimientos seguidos para la
solucin de un problema, exigiendo en el alumno establecer
conexiones entre sus ideas (Bishop, 1999). 21 El problema es que,
en la actualidad, los objetivos de la mayora de los currculos
matemticos se centran por completo en hacer y casi nada en
explicar. Explicar es la actividad de exponer las relaciones
existentes entre unos fenmenos y la bsqueda de una teora
explicativa, como la describe Horton (1967), citado en Enculturacin
matemtica. La educacin matemtica desde una perspectiva cultural
(Alan Bishop, Paidos, 1999, Espaa). 36
38. 10. IDENTIFICAR Diferenciar los rasgos distintivos de un
objeto matemtico; es decir, determinar si pertenece a una
determinada clase que presenta ciertas caractersticas comunes
(Hernndez, Delgado y otros, 1999). 11. INTERPRETAR Atribuir
significado a las expresiones matemticas, de modo que estas
adquieran sentido en funcin del propio objeto matemtico o en funcin
del fenmeno o problema real del que se trate. Implica tanto
codificar como decodificar una situacin problemtica (Hernndez,
Delgado y otros, 1999, pp. 69-87). 12. MODELAR Asociar un objeto no
matemtico a un objeto matemtico que represente determinados
comportamientos, relaciones o caractersticas considerados
relevantes para la solucin de un problema (Hernndez, Delgado y
otros, 1999, pp. 69-87). 13. PROBLEMAS DE ESTRUCTURA ADITIVA
Situaciones problemticas que se pueden resolver con la adicin o la
sustraccin. Para facilitar la comprensin de estas operaciones,
existe una variedad de situaciones de estructura aditiva que ayudan
a conectar la adicin con la sustraccin; por esta razn, se
recomienda ir abordndolas utilizando las siguientes situaciones:
combinacin, cambio, comparacin e igualacin (Castro E., 2001).
Combinacin: Situacin en la que se puede tener como dato las
cantidades parciales o la cantidad total. CASO Ejemplos PARTE PARTE
TODO Combinacin 1 Jorge tiene 3 pelotas y 8 carritos. Cuntos
juguetes tiene Jorge? 3 8 desconocido Combinacin 2 En mi caja hay
11 juguetes entre carritos y pelotas. Si cont 3 pelotas, cuntos
carritos hay? 3 desconocido 11 Cambio o transformacin: Situaciones
en las que hay un aumento o disminucin de una cantidad en una
secuencia de tiempo. La incgnita puede estar en el estado inicial,
en el cambio o en el final. 37
39. CASO Ejemplos Cantidad INICIAL Cambio Cantidad FINAL Cambio
1 Pilar tena 14 soles; luego recibe 3 soles. Cuntos soles tiene
ahora? 14 aument 3 desconocida Cambio 2 Pilar tiene 14 soles;
compra una hamburguesa por 6 soles. Cuntos soles le quedan? 14
disminuy 6 desconocida Cambio 3 Cecilia tena 24 figuras en su lbum.
Ricardo le regal algunas figuras. Ahora tiene 32 figuras. Cuntas
figuras le regal Ricardo? 24 desconocida 32 Cambio 4 Cecilia tena
24 figuras en su lbum. Le da a Ricardo algunas figuras. Ahora tiene
15 figuras. Cuntas figuras le dio Ricardo? 24 desconocida 15 Cambio
5 Rosa tena algunas galletas. Irma le dio 14 galletas. Ahora tiene
23 galletas Cuntas galletas tena Rosa? desconocida aument 14 23
Cambio 6 Rosa tena algunas galletas. Le dio a Irma 5 galletas.
Ahora tiene 23 galletas. Cuntas galletas tena Rosa? desconocida
disminuy 5 4 Igualacin: Situaciones en las que se requiere igualar
una cantidad con respecto a otra. La incgnita puede estar en la
referencia, en lo que se iguala o en la diferencia. CASO REFERENCIA
COMPARADA DIFERENCIA Igualacin 1 Adolfo tiene 18 chapitas. Carlos
junt 12 chapitas. Cuntas chapitas debe conseguir Carlos para tener
tanto como Adolfo? 18 12 desconocida Igualacin 2 Adolfo tiene 18
chapitas. Jos tiene 12 chapitas. Cuntas chapitas debe dejar Adolfo
para tener tantas como Jos? 18 12 desconocida Igualacin 3 Paty
tiene 15 semillas. Si Luisa consigue 4 semillas, tendr tantas
semillas como Paty. Cuntas semillas tiene Luisa? 15 desconocida 4
ms Igualacin 4 Paty tiene 15 semillas. Si Camila pierde 6 semillas,
tendr tantas semillas como Paty. Cuntas semillas tiene Camila? 15
desconocida 6 menos Igualacin 5 Rosa tiene 19 pulseras. Si Rosa
obtiene 7 pulseras, tendr tantas pulseras como Carmen. Cuntas
pulseras tiene Carmen? desconocida 19 7 ms Igualacin 6 38 Ejemplos
Rosa tiene 19 pulseras. Si Rosa regala 3 pulseras, tendr tantas
pulseras como Carmen. Cuntas pulseras tiene Carmen? desconocida 19
3 menos
40. Comparacin: Situaciones en las que se comparan dos
cantidades. La incgnita puede estar en la referencia, en lo que se
compara o en la diferencia. CASO Ejemplos REFERENCIA COMPARADA
DIFERENCIA Comparacin 1 Csar tiene 8 caramelos. Manolo tiene 13
chocolates. Cuntos dulces tiene Manolo ms que Csar? 8 13
desconocida Comparacin 2 Csar tiene 8 caramelos. Manuel tiene 5
galletas. Cuntos dulces tiene Manuel menos que Csar? 8 5
desconocida Comparacin 3 Carola tiene 11 aos. Ernesto tiene 3 aos
ms que Carola. Cuntos aos tiene Ernesto? 11 desconocido 3 ms
Comparacin 4 Carola tiene 11 aos. Vernica tiene 3 aos menos que
Carola. Cuntos aos tiene Vernica? 11 desconocido 3 menos Comparacin
5 Juan tiene 16 bolitas. Juan tiene 7 bolitas ms que Percy. Cuntas
bolitas tiene Percy? desconocido 16 7 ms Comparacin 6 Juan tiene 16
bolitas. Juan tiene 6 bolitas menos que Toms. Cuntas bolitas tiene
Toms? desconocido 16 6 menos 14. PROBLEMAS DE ESTRUCTURA
MULTIPLICATIVA Situaciones que se pueden resolver con la
multiplicacin o la divisin. Para facilitar la comprensin de estas
operaciones, existe una variedad de situaciones de estructura
multiplicativa que ayudan a conectar la multiplicacin con la
divisin. Existen tres estructuras multiplicativas: Proporcionalidad
simple: Se trata de problemas en los que hay una proporcin directa
entre dos cantidades. Hay tres posibilidades dentro de esta
categora, segn cul de las tres cantidades sea la incgnita. Estas
son multiplicacin, particin y cuoticin (Castro E., 2001). CASO
Ejemplos N de grupos N de elementos por grupo N total Multiplicacin
Ana compra 5 paquetes de galletas; cada paquete contiene 8
galletas. Cuntas galletas ha comprado? 5 8 desconocido Particin Ana
observa en la mesa 40 galletas y, adems, 5 paquetes de galletas
vacos. Cuntas galletas vienen en cada paquete? 5 desconocido 40
Cuoticin o medida Hay 40 galletas en la mesa. En cada paquete
vienen 8 galletas. Cuntos paquetes se compraron? desconocido 8 40
39
41. Comparacin: Se trata de problemas en los que se comparan
dos cantidades, una de las cuales es el referente y la otra el
comparado. Esta relacin da lugar a un factor de comparacin o
escalar. Hay tres tipos de comparacin: de aumento, de disminucin y
de igualacin. COMPARACIN DE LA FORMA Veces ms que22 CASO Ejemplos
Juan (referente) Factor de comparacin (escalar) Pedro (comparado)
Multiplicacin Juan ahorr 320 soles y su hermano Pedro logr ahorrar
tres veces ms dinero que Juan. Cunto dinero tiene Pedro? 320 por 3
desconocido Particin Juan ahorr 320 soles y su hermano Pedro ahorr
960 soles. Cuntas veces ms dinero tiene Pedro que Juan? 320
desconocido 960 Cuoticin o medida Pedro ahorr 960 soles, que son 3
veces ms dinero que el que tiene Juan. Cunto ahorr Juan?
desconocido por 3 960 COMPARACIN DE LA FORMA Veces menos que CASO
Ejemplos Mara (referente) Factor de comparacin (escalar) Teresa
(comparado) Multiplicacin Mara tiene 72 soles y Teresa 3 veces
menos soles. Cuntos soles tiene Teresa? 72 entre 3 desconocido
Particin Mara tiene 72 soles y Teresa 24 soles. Cuntas veces menos
soles tiene Teresa que Mara? 72 desconocido 24 Cuoticin o medida
Teresa tiene 24 soles, que son 3 veces menos el dinero que tiene
Mara. Cuntos soles tiene Mara? desconocido entre 3 24 COMPARACIN DE
LA FORMA Veces tantas como CASO Ejemplos Luis (referente) Factor de
comparacin (escalar) Jos (comparado) Multiplicacin Luis tiene 12
figuras y Jos tiene 3 veces tantas figuras como Luis. Cuntas
figuras tiene Jos? 12 por 3 desconocido Particin Luis tiene 12
figuras y Jos tiene 36 figuras. Cuntas veces tiene Jos tantas
figuras como Luis? 12 desconocido 36 Cuoticin o medida Jos tiene 36
figuras, que son 3 veces tantas figuras como las que tiene Luis.
Cuntas figuras tiene Luis? desconocido por 3 36 22 Tres veces ms
que equivale a decir el triple de, segn Castro (2001) 40
42. Producto cartesiano: Situaciones referidas a las diferentes
formas de combinar elementos de conjuntos; por ejemplo: CASO
Ejemplos Polos Pantalones N de combinaciones Tipo 1 Tengo 14 polos
y 6 pantalones. De cuntas maneras los puedo combinar para vestirme?
14 6 desconocido Tipo 2 Tengo 14 polos que, al combinarlos con los
pantalones que tengo, me permiten 84 formas de vestirme. De cuntos
pantalones dispongo? 14 desconocido 84 15. REPRESENTAR Elaborar una
imagen, grfico o smbolo visual de un objeto matemtico y sus
relaciones empleando formas geomtricas, diagramas, tablas, el plano
cartesiano, etc. 16. RESOLVER Encontrar un mtodo que conduzca a la
solucin de un problema matemtico23, el cual puede estar enmarcado
en diferentes contextos tanto matemticos como de la vida real24 y
de contextos personales, familiares, escolares o cientficos. 23
Ministerio de Educacin del Per UMC. op. cit. p.229. 24 INCE. Marcos
tericos y especificaciones de evaluacin de TIMSS 2003, p.45 41
43. REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS ALSINA, ngel (2009). El
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45. El IPEBA y el Ministerio de Educacin estn elaborando MAPAS
DE PROGRESO para las distintas competencias que se deben
desarrollar en Comunicacin, Matemtica, Ciencia y Ciudadana. Esto
implica un arduo trabajo tcnico, por lo que requiere tiempo. Por
ello, el IPEBA y el Ministerio de Educacin elaborarn y publicarn
los MAPAS de manera progresiva. Esta vez, se pone a disposicin de
la comunidad educativa los MAPAS DE PROGRESO de Lectura, Escritura
y Comunicacin Oral en el rea de Comunicacin; y de Nmeros y
operaciones, Cambio y Relaciones, as como los mapas de Geometra y
de Estadstica y probabilidad en el rea de Matemtica. Ms adelante se
tiene programado publicar los mapas de Ciencia, Ciudadana y
Educacin Inicial. Usted puede encontrar este MAPA DE PROGRESO, as
como las versiones ms recientes de los dems mapas que venimos
elaborando, en la web: www.ipeba.gob.pe. Ah encontrar, adems, un
espacio para compartir con nosotros sus impresiones y aportes sobre
estos mapas.