MA1003 Calculo IIITema 03: Integrales multiples
Parte 02: Cambios de variables en integrales dobles y aplicaciones
Profesor Jesus Sanchez Guevara
U.C.R.
I Semestre 2020
Jesus Sanchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T03P02 cambio de variables I Semestre 2020 1 / 18
En esta clase
1 Cambio de variables en integrales dobles.
2 Coordenadas polares y elipticas.
3 Aplicaciones de integrales dobles.
Introduccion
¿Cual es la importancia de las integrales dobles?
1 Son herramientas para resolver problemasde aplicacion complejos.
2 Exponen la nocion de integral en un marcomas general.
Jesus Sanchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T03P02 cambio de variables I Semestre 2020 2 / 18
Ejemplo
Calcule el area de una elipse con semiejes a y b.
Se transforman las dimensiones para ver a laelipse como un cırculo de radio 1 al hacer elcambio de variables u “ x{a y v “ y{b:
Area “
ij
x2
a2 `y2
b2 ď1
dxdy
“
ij
u2`v2ď1
abdudv
“ ab
ij
u2`v2ď1
1dudv “ abπ
En este caso vea que el cambio de variablefunciona como en Calculo I:
dx “ adu
dy “ adv
ñdxdy “ abdudv
o ¿Como se procede con un cambio devariables mas general?
R/ Hay que encontrar el factor de proporcionentre las areas (de cuadrados infinitesimales) deambos sistemas coordenados:
1 dxdy (ejes coordenados x y y a sustituir) y
2 dudv (nuevo sistema de ejes u y v).
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Ejemplo
Si se hace el cambio de coordenadas"
u “ 3x ´ 2yv “ x ` y
¿Cual es la relacion entre las areas dxdy ydudv?
Un cuadrado de area 1 en el sistema xy estadeterminado por ~e1 “ p1, 0q y ~e2 “ p0, 1q. Larelacion entre las coordenadas en el sistema xyy el sistema uv esta dada por la multiplicacionde matrices:
ˆ
uv
˙
“
ˆ
3 ´21 1
˙ˆ
xy
˙
Ası el cuadrado de lados ~e1 y ~e2 es enviado alparalelogramo de lados ~r1 “ p3, 1q y ~r2 “ p1, 1q.El area de este paralelogramo es
det
ˆ
3 ´21 1
˙
“ 5
por lo tanto 5dxdy “ dudv . O en otras palabras5dA es igual dA1 (diferencial de area del nuevosistema).
De esta formať
fdxdy “ť
f 15dudv .
En general: Si u “ upx , yq y v “ vpx , yq:
"
du “ uxdx ` uydydv “ vxdx ` vydy
ñ
ˆ
dudv
˙
“
ˆ
ux uyvx vy
˙ˆ
dxdy
˙
Ası un cuadrado infinitesimal de lados pdx , 0q yp0, dyq es transformado en un paralelogramoinfinitesimal con lados puxdx , vxdxq ypuydy , vydyq, cuya area es:
dudv “ det
ˆ
uxdx uydyvxdx vydy
˙
“ |uxvy´vxuy |dxdy
(el area es el valor absoluto del determinante)
dudv “
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
Bpu, vq
Bpx , yq
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
dxdy “ |J|dxdy
El termino dentro del valor absoluto es elJacobiano del cambio de variable.o Calcular esto para los dos ejemplos anteriores.
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Propiedad
Si se hace el cambio de variable"
u “ upx , yqv “ vpx , yq
Entonces,
dudv “
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
Bpu, vq
Bpx , yq
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
dxdy “ |Jpu, vq|dxdy
o, dxdy “1
|Jpu, vq|dudv
Propiedad
Si se hace el cambio de variable"
x “ xpu, vqy “ ypu, vq
Entonces,
dxdy “
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
Bpx , yq
Bpu, vq
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
dxdy “ |Jpx , yq|dxdy
o Recuerde que Jpu, vq “ 1{Jpx , yq.
Ejemplo
En cada caso calcule el Jacobiano.
1 Cambio de variables lineal
"
u “ a1x ` b1yv “ a2x ` b2y
2 Cambio hiperbolas-rectas
"
u “ xyv “ y{x
3 Cambio de variables lineal
"
x “ α1u ` β1vy “ α2u ` β2v
4 Cambio parabolas-parabolas
#
x “u
v2
y “ u ´ 2v2
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1)
"
u “ a1x ` b1yv “ a2x ` b2y
Jpu, vq “Bpu, vq
Bpx , yq“
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
a1 b1
a2 b2
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
“ a1b2 ´ a2b1
ñ dxdy “1
|Jpu, vq|dudv “
1
|a1b2 ´ a2b1|dudv
2)
"
u “ xyv “ y{x
Jpu, vq “Bpu, vq
Bpx , yq“
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
y x´
yx2
1y
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
“ 1`y
x“ 1` v
ñ dxdy “1
|Jpu, vq|dudv “
1
|1` v |dudv
Nota: Para eliminar el valor absoluto hay quedividir la region de integracion segun v ą ´1(|1` v | “ 1` v) o v ă ´1(|1` v | “ ´p1` vq).
3)
"
x “ α1u ` β1vy “ α2u ` β2v
Jpx , yq “Bpx , yq
Bpu, vq“
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
α1 β1
α2 β2
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
“ α1β2 ´ α2β1
ñ dxdy “|Jpx , yq|dudv “ |α1β2 ´ α2β1|dudv
4)
#
x “u
v2
y “ u ´ 2v2
Jpx , yq “Bpx , yq
Bpu, vq“
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
1v2
´2uv3
1 ´4v
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
“´4
v`
2u
v3
ñ dxdy “|Jpx , yq|dudv
“
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
´4
v`
2u
v3
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
dudv
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Proceso de cambio de variables
Se quiere calcular
ij
R
f px , yqdxdy
mediante el cambio de variable:"
u “ upx , yqv “ vpx , yq
1 Se calcula el jacobiano del cambio y sereemplaza dxdy “ 1
|Jpu,vq|dudv .
2 Se expresa f px , yq en las nuevas variables uy v , usando manipulaciones adecuadas.
3 Se reemplaza R por la nueva region deintegracion R˚ en el plano uv . Explicarmas adelante el significado de este paso.
Finalmente,
ij
R
f px , yqdxdy “
ij
R˚
F pu, vq
|Jpu, vq|dudv
Proceso de cambio de variables
Se quiere calcular
ij
R
f px , yqdxdy
mediante el cambio de variable:"
x “ xpu, vqy “ ypu, vq
1 Se calcula el jacobiano del cambio y sereemplaza dxdy “ |Jpx , yq|dudv .
2 Se expresa f px , yq en las nuevas variables uy v , usando manipulaciones adecuadas.
3 Se reemplaza R por la nueva region deintegracion R˚ en el plano uv . Explicarmas adelante el significado de este paso.
Finalmente,
ij
R
f px , yqdxdy “
ij
R˚
f pxpu, vq, ypu, vqq|Jpx , yq|dudv
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Manipulacion de un region
Cuando estamos calculando una integral doblecon un cambio de variables:
"
u “ upx , yqv “ vpx , yq
o
"
x “ xpu, vqy “ ypu, vq
la region de integracion R en el plano xy seconvierte en una nueva region R˚ en el planouv .
R˚ se puede determinar con el siguienteproceso:
1 Se identifican las curvas que determinanlos bordes de R en el plano xy .
2 Se expresan las ecuaciones de estas curvasen las nuevas variables u y v , con lasmanipulaciones adecuadas.
3 En el plano uv , la nueva region deintegracion R˚ es la que tiene como bordea las curvas del paso anterior.
Ejemplo
Determine R˚ en el plano uv , luego de aplicara R el cambio de variables dado.
1 La region R en el primer cuadrantelimitada por las hiperbolas xy “ 1, xy “ 2y las rectas x
y“ 2, x
y“ 1
2. Con el cambio
u “ xy y v “ x{y .
2 La region R del plano limitada por lasrectas 2x ` y “ 1, 2x ` y “ ´1 y lasrectas y ´ 3x “ 6, y ´ 3x “ ´6. Con elcambio u “ 2x ` y y v “ y ´ 3x .
Geogebra: x*y=1 x*y=2 x/y=1 x/y=1/2
2x+y=1 2x+y=-1 y-3x=6 y-3x=-6
En el plano uv :
1 R˚ es el rectangulo r1, 2s ˆ r 12, 2s.
2 R˚ es el rectangulo r´1, 1s ˆ r´6, 6s.
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Ejemplo
Sea R la region limitada por las curvasy “ x2 ` 1, y “ x2 ` 3, xy “ 1, xy “ 3. Utiliceun cambio de variables para calcular:
ij
R
xypy ` 2x2qdxdy
Geogebra: y-x^2=1 y-x^2=3 xy=1 xy=3
1 Usamos el cambio de variable
"
u “ y ´ x2
v “ xy
Jpu, vq “Bpu, vq
Bpx , yq“
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
´2x 1y x
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
“ ´py ` 2x2q
ñ dxdy “1
|Jpu, vq|dudv “
1
py ` 2x2qdudv
2
f px , yqdxdy “xypy ` 2x2qdxdy
“xypy ` 2x2q1
py ` 2x2qdudv
“xydudv
“vdudv
3 Como R la region limitada por las curvasy ´ x2 “ 1, y ´ x2 “ 3, xy “ 1, xy “ 3.Entonces R˚ en el plano uv esta limitadapor las curvas:
u “ 1 u “ 3 v “ 1 v “ 3
Es decir R˚ “ r1, 3s ˆ r1, 3s
4 Finalmente se calcula la integral:
ij
R
xypy ` 2x2qdxdy “
ij
r1,3sˆr1,3s
vdudv
“
ż 3
1
ż 3
1vdudv
“
ż 3
12vdv “ 8
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Ejemplo
Sea R la region del primer cuadrante limitadapor las curvas y “ x2, y “ 2x2, x “ y2,x “ 4y2. Utilice un cambio de variablesadecuado para calcular
AreapRq “
ij
R
1dxdy
Geogebra: y=x^2 y=2x^2 x=y^2 x=4y^2
1 Usamos el cambio de variable
$
’
’
&
’
’
%
u “y
x2
v “x
y2
Jpu, vq “Bpu, vq
Bpx , yq“
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
´2y
x3
1
x2
1
y2
´2x
y3
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
“3
x2y2
“3
u2v2
ñ dxdy “1
|Jpu, vq|dudv “
1
3{u2v2dudv “
u2v2
3dudv
2 Como R la region limitada por las curvasy{x2 “ 1, y{x2 “ 2, x{y2 “ 1, x{y2 “ 4.Entonces R˚ en el plano uv esta limitadapor las curvas:
u “ 1 u “ 2 v “ 1 v “ 4
Es decir R˚ “ r1, 2s ˆ r1, 4s
3 Finalmente se calcula la integral:
ij
R
1dxdy “
ij
r1,2sˆr1,4s
u2v2
3dudv
“
ż 2
1
ż 4
1
u2v2
3dvdu
“49
3
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Otros cambios de variables
1 Coordenadas polares
"
x “ r cospθqy “ r sinpθq
Jpx , yq “Bpx , yq
Bpr , θq“
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
cospθq ´r sinpθqsinpθq r cospθq
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
“ r
ñ dxdy “|Jpx , yq|drdθ “ rdrdθ
Es recomendable cuando la region deintegracion tiene simetrıas circularesalrededor del origen.
2 Coordenadas elıpticas
"
x “ ar cospθqy “ br sinpθq
Jpx , yq “Bpx , yq
Bpr , θq“
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
a cospθq ´ar sinpθqb sinpθq br cospθq
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
“ abr
ñ dxdy “|Jpx , yq|drdθ “ abrdrdθ
Es recomendable cuando la region deintegracion tiene simetrıas elıpticas conrespecto a la elipse centrada en el origenx2{a2 ` y2{b2 “ 1
Ejemplo
Calcule el area de un disco D de radio a.
Para facilitar los calculos se supone D centradoen p0, 0q y se aplica el cambio a coordenadaspolares: x “ r cospθq, y “ r sinpθq.
AreapDq “
ij
D
1dA “
ij
D˚
rdrdθ “
ż 2π
0
ż a
0rdrdθ
“
ż 2π
0
a2
2dθ “ πa2
Nota: en este caso la region D en el plano xy :
D “ tpx , yq : x2 ` y2 ď 1u
pasa a ser la region D˚ en el plano rθ:
D˚ “ tpr , θq : 0 ď r ď a y 0 ď θ ď 2πu “ r0, asˆr0, 2πs
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Ejemplo
Calcule el area de un segmento S circular deangulo α en un cırculo de radio a.
AreapSq “
ij
S
1dA “
ij
S˚
rdrdθ “
ż α
0
ż a
0rdrdθ
“
ż α
0
a2
2dθ “
a2α
2
Ejemplo
Calcule el area de la region R entre dos cırculosconcentricos de radio b y de radio a.
AreapRq “
ij
R
1dA “
ij
R˚
rdrdθ “
ż 2π
0
ż a
brdrdθ
“
ż 2π
0
a2 ´ b2
2dθ “ πpa2 ´ b2q
Ejemplo
Sea D el area encerrada entre f pxq “?
4´ x2,gpxq “
?1´ x2 y los ejes x` y y`. Calcule
ť
D fdA, donde f px , yq “ 1{a
x2 ` y2.
y “ f pxq “?
4´ x2 ñ x2 ` y2 “ 4 ñ r “ 2.y “ gpxq “
?1´ x2 ñ x2 ` y2 “ 1 ñ r “ 1.
x` ñ θ “ 0 y y` ñ θ “ π{2.ñ D˚ “ r1, 2s ˆ r0, π{2sf px , yqdxdt ñ f pr cospθq, r sinpθqqrdrdθ“ 1
rrdrdθ “ drdθ
ij
D
fdA “
ij
D˚
drdθ “
ż π{2
0
ż 2
1drdθ “
π
2
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Ejemplo
Expresar en coordenadas polaresť
D fdA donde
D “ tpx , yq : px ´ aq2 ` y2 ď a2u
Geogebra: (x-3)^2+y^2= 3^2
El borde la region esta dado por:
px ´ aq2 ` y2 “ a2 ñx2 ´ 2ax ` a2 ` y2 “ a2
ñr2 ´ 2ar cospθq “ 0
ñr “ 2a cospθq
La variacion de los angulos es: ´π2ď θ ď π
2
oExplicar en pizarra la region D˚.
ij
D
fdA “
ij
D˚
f pr cospθq, r sinpθqqrdrdθ
“
ż π{2
´π{2
ż 2a cospθq
0f pr cospθq, r sinpθqqrdrdθ
Ejemplo
Expresar en coordenadas polaresť
D 1dA donde
D es el area dentro de px ´ aq2 ` y2 “ a2 yfuera de x2 ` y2 “ a2.
Geogebra: (x-3)^2+y^2=3^2 x^2+y^2=3^2
px ´ aq2 ` y2 “ a2 ñ r “ 2a cospθqx2 ` y2 “ a2 ñ r “ aLos cırculos se intersecan ena “ 2a cospθq ñ cospθq “ 1{2 ñ θ “ ˘π
3
oExplicar en pizarra la region D˚.
ij
D
1dA “
ij
D˚
rdrdθ
“
ż π{3
´π{3
ż 2a cospθq
ardrdθ
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Ejemplo
Expresar en coordenadas polaresť
D 1dA dondeD es el area de interseccion depx ´ aq2 ` y2 “ a2 y x2 ` y2 “ a2.
Estos son los mismos cırculos del ejemploanterior. Hacer dibujo. D˚ se divide entoncesen tres regiones:
1 D˚1 “tpr , θq : ´π
2ď θ ď ´π
3y 0 ď r ď
2a cospθqu
2 D˚2 “tpr , θq : ´π
3ď θ ď π
3y 0 ď r ď au
3 D˚3 “tpr , θq : π
3ď θ ď π
2y 0 ď r ď 2a cospθqu
ij
D
1dA “
ij
D˚1
rdrdθ `
ij
D˚2
rdrdθ `
ij
D˚3
rdrdθ
“
ż ´π{3
´π{2
ż 2a cospθq
0rdrdθ `
ż π{3
´π{3
ż a
0rdrdθ
`
ż π{2
π{3
ż 2a cospθq
0rdrdθ
Ejemplo
Use un cambio de coordenadas elıpticas para
calcularť
D
b
4´ x2
a2 ´y2
b2 dA, donde D es el
area entre las elipses x2
a2 `y2
b2 “ 1 y
x2
4a2 `y2
4b2 “ 1.
Se hace el cambio x “ ar cospθq, y “ br sinpθq.Se sabe que en tal caso dA “ abrdrdθ.
f px , yq “b
4´ x2
a2 ´y2
b2 ñ f pr , θq “?
4´ r2.
x2
a2 `y2
b2 “ 1 ñ r “ 1. x2
4a2 `y2
4b2 “ 1 ñ r “ 2.
La variacion del angulo serıa 0 ď θ ď 2π.
ij
D
fdA “
ij
D˚
a
4´ r2abrdrdθ
“ab
ż 2π
0
ż 2
1
a
4´ r2rdrdθ
“2abπ
ż 2
1
a
4´ r2rdr
“abπ
ż 3
0
?udu “ 2abπ
?3
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Aplicaciones de integrales dobles
Calculo de areas
Si R es una region del plano, entonces:
AreapRq “
ij
R
1dxdy
Calculo de volumenes
Si S es el solido limitado por la region R delplano xy y la superficie z “ f px , yq, entonces
VolumenpSq “
ij
R
f px , yqdxdy
Nota: Si z “ f px , yq “ 1, entonces
numericamente, VolumenpSq “ AreapRq.
Valor promedio
Si f definida sobre una region R del plano,entonces su valor promedio esta dado por:
f “
ť
R f px , yqdxdy
AreapRq
Masa de un objeto plano
Sea R una lamina plana con densidadδ “ δpx , yq “ lım∆AÑ0
∆m∆A
(masa por unidadde area). Si el material es uniforme δ serıaconstante. Ası, la masa de R es:
MasapRq “
ij
R
δpx , yqdxdy
El centro de masa de R o centroide, tienecoordenadas px , yq dadas por:
x “1
MasapRq
ij
R
xδpx , yqdxdy
y “1
MasapRq
ij
R
yδpx , yqdxdy
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o La masa de un objeto indica que tan difıcil esempujarlo o darle un movimiento de traslacion.El momento de inercia indica que tan difıcil esrotarlo o darle un movimiento rotacional conrespecto a un eje. (Hacer un dibujo)Se calcula la energıa cinetica de un objeto demasa m a una distancia r del origen, con unavelocidad angular w “ dθ{dt. Ası la velocidades v “ rw y se tiene:
Energıa cinetica “1
2mv2 “
1
2mprwq2
“1
2pmr2qw2
El momento de inercia es el factor I0 “ mr2. Sise tiene una masa pequena ∆m su momento deinercia es I0p∆mq “ ∆mr2 “ δ∆Ar2. Por lotanto,
Momento de inercia
El momento de inercia de una placa plana R es,
I0pRq “
ij
R
r2δdA
Ası, Energıa cinetica rotacional “ 12I0pRqw2.
Momento de inercia, otro eje
Con respecto a otros ejes el momento de inerciaserıa,
I0pRq “
ij
R
pdistancia al ejeq2δdA
Con respecto al eje x :
I0pRq “
ij
R
y2δdA
Con respecto al eje y :
I0pRq “
ij
R
x2δdA
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Ejemplo
Calcule I0 para un disco de radio a y densidadδ “ 1, primero cuando se gira sobre su centro yluego cuando se gira en un punto de sucircunferencia.
(1) I0 “
ij
D
r2dA “
ż 2π
0
ż a
0r3drdθ
“2π
ż a
0r3dr “
πa4
2
Para el segundo caso se toma D como la regionpx ´ aq2 ` y2 ď a2
(2) I0 “
ij
D
r2dA “
ż π{2
´π{2
ż 2a cospθq
0r3drdθ
“
ż π{2
´π{2
p2a cospθqq4
4dθ “ 4a4
ż π{2
´π{2cos4pθqdθ
“3πa4
2
Nota: Para girar el disco desde su borde se usatres veces mas energıa que desde su centro.
Se uso la integral
ż
cos4pθqdθ “3
8θ`
1
4sinp2θq `
1
32sinp4θq ` C
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F I N
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