Lic. Roberto A. Del Carpio Minaya
Física I Paso a paso con ejercicios, problemas y aplicaciones
Autor-Editor
© Roberto Augusto Del Carpio Minaya
Jr. Colombia N° 149
Cel. 989692918
Puno - Perú
Primera edición digital, marzo de 2021
Hecho el Depósito Legal en la
Biblioteca Nacional del Perú: Nº 2021-03348
Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra
por cualquier medio escrito o electrónico o cualquier
otro, sin permiso por escrito del autor.
A mis lindas hijas
Sandrita y Andreita
P R Ó L O G O
Un estudio adecuado de la física requiere también de una adecuada
preparación en lo que respecta a las herramientas necesarias para su
estudio. Entre estas herramientas mencionamos una divertida
presentación de la teoría, planteamiento y resolución de ejercicios y
problemas y un adecuada presentación de aplicaciones. El presente
texto sobre Física I, tiene en mira que el estudiante de Ciencias y de
Ingeniería entienda en modo básico todo lo concerniente a la parte de
mecánica newtoniana y poder de esta forma estar bien preparado para
afrontar posteriores estudios avanzados de su carrera profesional. Está
de más decir que siempre es necesario que el alumno consulte otros
textos de física relacionados al tema como ayuda para su mejor
comprensión, pero teniendo como referencia los tópicos analizados en
el presente texto le será mucho más fácil lograr un mejor entendimiento
del tema. El texto se ha desarrollado en una forma secuencial de lo más
fácil y básico, hasta lo que representa un nivel regular. En el texto se ha
hecho énfasis en las representaciones gráficas para una mayor
comprensión del mismo. Es mi mayor anhelo el saber que los alumnos
puedan asimilar el contenido total del presente texto y saber además
que de ser así tendré la plena seguridad de que comprenderán con
exactitud las leyes de la física y sus aplicaciones.
El Autor
CONTENIDO
INTRODUCCIÓN 10
Magnitudes y unidades físicas 10
Magnitud 10
Medición 10
Unidad de medida 10
Clasificación de las magnitudes físicas 11
Sistema internacional de unidades (SI) 11
Notación en potencia de 10 14
Múltiplos y submúltiplos de las unidades (SI) 15
Reglas y recomendaciones para la escritura (SI) 16
Algunas equivalencias útiles 17
Conversión de unidades 18
Análisis dimensional 19
Objeto del análisis dimensional 19
Definición de dimensión 19
Dimensiones derivadas 20
Ecuaciones dimensionales 22
CAPITULO 1
INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS VECTORIAL 24
1.1 Introducción 24
1.2 Cantidades escalares y vectoriales 24
1.3 Vector y elementos 25
1.3.1 Dirección 25
1.3.2 Sentido 27
1.3.3 Módulo o intensidad 28
1.3.4 Punto de aplicación 28
1.4 Tipos de vectores 29
1.4.1 Vectores libres 29
1.4.2 Vectores coplanares 29
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 7 ~
1.4.3 Vectores no coplanares 30
1.4.4 Vectores concurrentes 30
1.4.5 Vectores no concurrentes 31
1.4.6 Vectores colineales 31
1.5 Clasificación de los vectores 31
1.6 Vector posición 32
1.7 Vector desplazamiento 33
1.8 Propiedades de vectores 33
1.9 Operaciones con vectores 35
1.10 Suma de vectores por métodos gráficos 35
1.11 Diferencia de vectores por métodos gráficos 40
1.12 Propiedades de la suma de vectores 42
1.13 Componentes rectangulares de un vector 45
1.14 Componentes trirectangulares de un vector 50
1.15 Suma de vectores por el método analítico 54
1.16 Suma de vectores igual a cero 61
1.17 Teorema de los cosenos 63
1.18 Teorema de los senos 65
1.19 Multiplicación de vectores por escalares 66
1.20 Vectores unitarios 68
1.21 Adición de vectores utilizando vectores unitarios 72
1.22 Producto escalar 74
1.23 Producto vectorial 82
1.24 Producto mixto 90
1.25 Doble producto vectorial 93
Ejercicios 96
CAPITULO 2
ESTATICA 102
2.1 Definición. 102
2.2 Fuerza. 102
2.3 Naturaleza de las fuerzas. 102
2.4 Fuerzas de contacto. 103
2.5 Ley de Hooke. 103
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 8 ~
2.6 Tensión de una cuerda. 104
2.7 Fuerza normal. 105
2.8 Fuerza de rozamiento. 105
2.9 Primera ley de newton. 106
2.10 Tercera ley de newton. 107
2.11 Momento de fuerza o torca. 108
2.12 Cupla o par de fuerzas. 110
2.13 Condiciones de equilibrio. 111
a) Primera condición de equilibrio. 111
b) Segunda condición de equilibrio. 112
Problemas 119
CAPITULO 3
CINEMÁTICA 122
3.1 Movimiento mecánico 122
3.2 Elementos del movimiento 122
3.3 Características del movimiento 124
3.4 Rapidez promedio 125
3.5 Vector velocidad promedio 125
3.6 Movimiento rectilíneo uniforme 128
3.7 Velocidad instantánea 130
3.8 Velocidad en dos y tres dimensiones 138
3.9 Aceleración promedio 139
3.10 Vector aceleración promedio 139
3.11 Aceleración instantánea 141
3.12 Aceleración instantánea en dos y tres dimensiones 142
3.13 movimiento con aceleración constante 145
3.13.1 Para hallar la velocidad 145
3.13.2 Para hallar el espacio recorrido 147
3.13.3 Para hallar la velocidad independiente del tiempo 148
3.14 Ecuaciones en dos y tres dimensiones 149
3.15 Ecuaciones cinemáticas para la caída libre 150
3.16 Movimiento de proyectiles 152
Ejercicios 156
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 9 ~
CAPITULO 4
DINÁMICA 182
4.1 Segunda ley de newton 182
4.2 Peso y masa 184
4.3 Diagrama de cuerpo libre 185
Ejercicios 187
CAPITULO 5
TRABAJO Y ENERGÍA 214
5.1 Trabajo 214
5.2 Energía 215
5.3 Energía cinética 215
5.4 Energía potencial gravitatoria 215
5.5 Energía potencial elástica 215
5.6 Conservación de la energía mecánica 216
Ejercicios 217
CAPITULO 6
SISTEMA DE PARTÍCULAS 219
6.1 Centro de masas 219
6.2 Momento de inercia 221
Ejercicios 222
CAPITULO 7
CUERPO RÍGIDO 223
7.1 Traslación del cuerpo rígido 223
7.2 Rotación del cuerpo rígido 225
Ejercicios 226
BIBLIOGRAFÍA 227
MAGNITUDES Y UNIDADES FISICAS
MAGNITUD
Todo aquello que sea susceptible de aceptar una comparación con otra
de su misma especie, es una magnitud. Así entonces, la longitud la masa
el tiempo, ... etc., son magnitudes.
MEDICION
Medición es la operación realizada por el hombre, que consiste en
averiguar las veces en que una unidad está contenida en otra cantidad de
su misma especie. Por ello, el resultado de toda medición es un número.
UNIDAD DE MEDIDA
Una cantidad física sólo se puede medir comparándola con otra de su
misma naturaleza. Si se define una cantidad precisa de una magnitud
física como “unidad”, o sea como valor de referencia, cualquier
cantidad física de la misma clase puede compararse con ella, y así se
podrá definir su valor, expresándolo con el número que indique la
relación de la cantidad medida a la unidad, o sea el número de veces que
la unidad cabe en la cantidad, y agregando el nombre o símbolo de la
unidad.
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 11 ~
CLASIFICACION DE LAS MAGNITUDES FISICAS
De acuerdo con su origen las magnitudes físicas pueden clasificarse en:
a) Magnitudes fundamentales.- Son las que no pueden definirse con
respecto a las otras magnitudes y con las cuales toda la física puede
ser descrita. Una magnitud fundamental se define de una manera
operacional, es decir, que se debe escoger una unidad con sus
múltiplos y definir una operación para poder asociar un número a la
magnitud por comparación con la unidad.
b) Magnitudes derivadas.- Son aquellas que se obtienen de las
magnitudes fundamentales, por medio de ecuaciones matemáticas.
SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI)
Un sistema de Unidades es un conjunto de unidades concordantes entre
sí, que resultan de fijar las magnitudes fundamentales. Las necesidades
del intercambio económico y científico han llegado a unificar ciertas
unidades, formándose el Sistema Internacional de unidades (SI).
Es el año de 1960 el que marca el nacimiento del SI como tal. Ocurrió
en la Undécima Conferencia Internacional de Pesas y Medidas que se
efectuó en Sévres, Francia. El sistema métrico anterior, el MKSA,
desarrollado por Giovani Giorgi, había logrado ya coherencia entre el
metro, el kilogramo masa, el segundo y las unidades prácticas de
electricidad, volt, ampere, joule, watt, ohm, coulomb, y henry. Debido
al grado de perfección que había logrado Giorgi con dicho sistema,
hubo de ser éste el elegido para cimentar en él el SI. El sistema
Internacional está desarrollado con apoyo en siete unidades
fundamentales y dos suplementarias. Las unidades para medir la
radiactividad y los aspectos de la ciencia nuclear quedaron fuera de toda
coherencia por el momento, tal es el caso del electrón-volt, el curie y el
röentgen. Una de las grandes ventajas del SI es que es un sistema
coherente.
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 12 ~
UUNNIIDDAADDEESS FFUUNNDDAAMMEENNTTAALLEESS
Nombre Símbolo Magnitud que mide
Metro m Longitud
Kilogramo kg Masa
Segundo s Tiempo
Ampere A Intensidad de corriente
eléctrica
Kelvin K Temperatura
Mol mol Cantidad de materia
Candela cd Intensidad luminosa
Radián rd Angulo plano
Esterorradián sr Angulo sólido
METRO (m)
1 metro es la longitud igual a 1 650 763.73 longitudes de onda en el
vacío de la radiación roja correspondiente a la transición entre los
niveles 2p10
y 5d5 del átomo del gas kriptón-86.
KILOGRAMO (kg)
1 kilogramo es la masa del prototipo internacional de una aleación de
platino e iridio (90% de platino y 10% de iridio), sancionado por la
Conferencia General de Pesas y Medidas que se efectuó en París en
1889 y que se conserva en una bóveda en el pabellón de Breteuil, en
Sévres, Francia, bajo la custodia de la Oficina Internacional de Pesas
y Medidas.
SEGUNDO (s)
1 segundo es la duración de 9 192 631 770 períodos de la radiación
correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del
estado fundamental del átomo de Cesio-133 en estado molido.
AMPERE O AMPERIO (A)
1 amperio es la intensidad de una corriente constante que, mantenida
en dos conductores paralelos, rectilíneos, de longitud infinita y de
sección circular despreciable, separados por una distancia de 1 metro
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 13 ~
y situados en el vacío, produce entre dichos conductores una fuerza
de 2 10 – 7
newton por cada metro de longitud. La fuerza producida
se debe a los campos magnéticos de los conductores.
KELVIN (K)
1 kelvin se define como la fracción 1/273.16 de la temperatura
termodinámica del triple punto del agua. A la temperatura 0ºK se le
llama “cero absoluto”. Este punto triple es igual a 0.01ºC, por lo que
la temperatura de 0ºC es exactamente igual a 273.15 grados kelvin.
MOL (mol)
1 mol es la cantidad de sustancia de un sistema que contiene tantas
entidades elementales como átomos hay en 0.012 kilogramos de
carbono 12. Al usar el mol se deben especificar las entidades
elementales, que pueden ser átomos, moléculas, iones, electrones,
otras partículas o grupos específicos de tales partículas.
CANDELA (cd)
1 candela es la intensidad luminosa, en la dirección perpendicular, de
una superficie de 1/600 000 metro cuadrado de un cuerpo negro a la
temperatura de solidificación del platino, a una presión de 101 325
newtons por metro cuadrado, o sea a la presión atmosférica normal.
Una fuente luminosa de 1 candela de intensidad en todas direcciones
radía un flujo luminoso de 4 lúmenes. Una lámpara de 60 watts
emite aproximadamente 1020 lúmenes.
RADIAN (rd)
1 radián es el ángulo plano que tiene su vértice en el centro de un
círculo y que abarca sobre la circunferencia del círculo un arco de
longitud igual a la del radio.
ESTEREORRADIAN (sr)
1 estereorradián es el ángulo sólido que tiene su vértice en el centro
de una esfera, cortando sobre la superficie de la misma un área igual
a la del cuadrado que tiene por lado el radio de la esfera.
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 14 ~
NOTACION EN POTENCIA DE 10
Como en física se usan números muy grandes o muy pequeños, es
conveniente y muy útil expresar estos números como potencia de 10.
Así por ejemplo:
5348 = 5,348 103
534 800 000 = 5,348 108
0,5348 = 5,348 10 – 1
0,0005348 = 5,348 10 – 4
53,48 = 5,348 10 –1
0.05348 = 5,348 10 –2
Para ilustrar un poco la aplicación de la notación en potencia de 10 en
física, consideremos algunas constantes fundamentales:
constante Notación, valor y unidades c. gravitación G = 6,67 10
– 11 N m
2/kg
2
n. Avogadro No = 6,02 10 23
moléculas/mol
c. Boltzmann kB = 1,38 10 – 23
J/moléculas ºK
c. Coulomb k = 9 10 9 N m
2/C
2
permitividad o = 8,85 10 – 12
C2/N m
2
carga electrón e = 1,6 10 – 19
C
masa electrón m = 9,1 10 – 31
kg
velocidad luz c = 3 10 8 m/s
c. Planck h = 6,63 10 – 34
J s
permeabilidad o = 4 10 – 7
Wb/m A
c. Rydberg RH = 1,1 10 7 1/m
La multiplicación y la división de las potencias de 10 son simples
operaciones elementales.
yxyx 101010
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 15 ~
yxyxy
x 101010
10
10
Se efectúan sumando o restando los exponentes, respectivamente.
MULTIPLOS Y SUBMULTIPLOS DE LAS UNIDADES (SI)
Se estableció múltiplos y submúltiplos comunes a todas las unidades,
expresados por prefijos convencionales de aceptación universales. Para
evitar confusión se tomaron del griego los prefijos para formar los
múltiplos (deca, hecto, kilo, etc.) y del latín los prefijos para formar los
submúltiplos (deci, centi, mili, etc.) o unidades derivadas para medir
magnitudes muy pequeñas. Los prefijos son aplicables a todas las
unidades del SI, y así se puede hablar de decigramos, decilitros,
miliamperes, kilopascales, etc.
Factor de equivalencia Exponencial Prefijo Símbolo
1 000 000 000 000 1012
tera T
1 000 000 000 109 giga G
1 000 000 106 mega M
100 000 105 hectokilo hk
10 000 104 miria ma
1000 103 kilo k
100 102 hecto (a) h
10 10 deca da
1 1
0,1 10 – 1
deci d
0,01 10 – 2
centi c
0,001 10 – 3
mili m
0,000 001 10 – 6
micro 0,000 000 001 10
– 9 nano n
0,000 000 000 001 10 – 12
pico p
0,000 000 000 000 001 10 – 15
femto f
0,000 000 000 000 000 001 10 – 18
ato a
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 16 ~
REGLAS Y RECOMENDACIONES PARA LA ESCRITURA (SI)
Se recomienda escribir las cantidades de cuatro dígitos sin
separación alguna y eliminar la “coma” en los millares: 1000,
1250, etc., y las cantidades de cinco o más dígitos con una
pequeña separación entre los grupos de tres dígitos: 10 000, 150
200, 5 328 400, etc. Esta recomendación también es aplicable a
los grupos de tres dígitos después del punto decimal: 0,253 4;
0,325 42; etc.
Se recomienda escribir los símbolos de las unidades con letras
romanas derechas o verticales, y los símbolos de las magnitudes
físicas en letra bastardilla o inclinada:
5 kg; 8 m; 50 g; maF ; t
ev
Los símbolos de las unidades no se deben escribir en plural, sino
con la letra o las letras que los representan. En cambio, si se
escribe el nombre completo de la unidad sí se puede llevar a la
forma plural según las reglas del idioma español; escribiendo los
nombres completos se les considera nombres comunes, y se
escriben todos en minúsculas.
kg y no kgs; m y no mts.
kilogramos; metros; amperes; etc.
No se debe dejar espacio entre un prefijo y un símbolo:
mm y no m m; cm y no c m; dg y no d g; etc.
Si se combinan dos o más símbolos de unidades se recomienda
dejar un espacio entre ellos:
kW h; m kg; N m; etc.
Se recomienda dejar un espacio entre la cifra que indica la medida
y la unidad de medida: 52 kg; 28 mg; etc.
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 17 ~
No se debe poner punto al final de un símbolo como si se tratara
de una abreviatura, excepto cuando termina una frase:
25 cm 8,32 m 72,2 A
Todos los nombres de las unidades, aunque lleven el nombre de
un científico, se escriben con inicial minúscula:
celsius, volt, ampere, coulomb, newton
Los símbolos de las unidades que corresponden al nombre de un
científico se escriben con mayúscula:
celsius ºC, volt V, ampere A, coulomb C, newton N
No se deben mezclar nombres completos con símbolos en
unidades compuestas:
kg m y no kilogramos m; A h y no ampere h
Al multiplicar varias unidades de medida, se recomienda usar el
siguiente orden:
hgfedcba srrdmolAKskgmx )(
ALGUNAS EQUIVALENCIAS UTILES
1 m = 39,3 plg = 3,281 pie = 6,214 10
– 4 mi
1 kg = 6,852 10 – 2
slug = 2,205 lb = 35,27 oz
1º = 60’ = 3600’’ = 1,745 10 – 2
rd
1 esfera = 4 sr = 12,57 sr
1 N = 105 dinas = 102 gf = 0,102 kgf
1 Pa = 9,869 106 atm = 7,501 10
– 4 cm Hg
1 J = 107 erg = 0,2389 cal = 2,778 10
– 7 kW h
1 W = 1,341 10 – 3
hp
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 18 ~
CONVERSION DE UNIDADES
El método de la multiplicación por la unidad aprovecha el principio
matemático que establece que si una cantidad se multiplica por “uno”
no se altera su valor. Con este enfoque se multiplica la cantidad que se
debe convertir por “uno”, una o más veces según sea necesario, estando
expresado el “uno”, o sea la unidad, en forma de una fracción con
numerador y denominador equivalentes. El numerador y el
denominador de cada fracción igual a la unidad se escogen de manera
que conducen al resultado deseado.
Ejemplo. Convertir 0,425 pulgadas a milímetros.
lg 1
4,25
1
lg 425,0lg 425,0
pu
mmpupu
mmmmpu 795,10 4,25425,0lg 425,0
Ejemplo. Convertir 56 lb/pie3 a kg/m
3.
3
33 3048,0
1
1
4536,0 56 56
m
pie
lb
kg
pie
lb
pie
lb
333
3048,0
4536,056 56
m
kg
pie
lb
./95,896 56 3
3mkg
pie
lb
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 19 ~
ANALISIS DIMENSIONAL
OBJETO DEL ANALISIS DIMENSIONAL
Es una rama auxiliar de la física que estudia las relaciones entre las
magnitudes fundamentales y derivadas. Sirve para transformar
ecuaciones que expresan matemáticamente las leyes de la físicas, de un
sistema de unidades a otro. Con frecuencia el investigador al llegar a
conclusiones acerca de un experimento determina la ecuación empírica
que expresa el comportamiento del fenómeno que estudió utilizando las
unidades de medida que realmente usó en el experimento, y con base en
los registros de sus mediciones determina los coeficientes y exponentes
numéricos que intervienen en la ecuación de comportamiento del
fenómeno. Si la ecuación que se obtiene no es dimensionalmente
homogénea, no se podrán usar sino las unidades con las que trabajó el
investigador para poder aplicarla. Cuando se desea utilizar una ecuación
así determinada con las unidades de otro sistema y los coeficientes (y tal
vez los exponentes) son “dimensionales”, habrá que calcular los nuevos
coeficientes y exponentes de la ecuación para el sistema que se pretenda
usar.
El análisis dimensional facilita hacer lo necesario para lograr
transformar las ecuaciones de cualquier sistema de unidades a otro.
DEFINICION DE DIMENSION
La medida de una magnitud física cualquiera “Q” conduce a la
expresión:
QNQ
en la cual N es un valor numérico que designa el número de unidades
generales Q que constituyen la magnitud total Q.
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 20 ~
De acuerdo con Fourier, quien introdujo por primera vez el concepto de
dimensión, la expresión Q es precisamente la “dimensión” de la
magnitud Q. Sin embargo, debe quedar claro que la dimensión es
simplemente la expresión de una cantidad general y, por tanto, de una
peculiaridad característica de las magnitudes físicas. Cada nueva
magnitud física da origen a una nueva “dimensión”, como por ejemplo
el tiempo T , la fuerza F , la masa M , etc. Existen así tantas
dimensiones o unidades generales como clases hay de magnitudes
físicas.
DIMENSIONES DERIVADAS
Con excepción de las magnitudes fundamentales, todas las demás
magnitudes físicas son derivadas, y se derivan precisamente de las
fundamentales, mediante la aplicación de las ecuaciones que expresan
las leyes de los fenómenos físicos.
El aprovechamiento de las ecuaciones de la física y de las definiciones
matemáticas, que conduce a dimensiones derivadas de naturaleza
compuesta, reduce el número de símbolos y permite trabajar con las
ecuaciones dimensionales siguiendo las reglas matemáticas ordinarias.
Los símbolos dimensionales que deben servir de base para expresar las
dimensiones de las magnitudes físicas derivadas son:
Longitud L m (metro)
Masa M kg (kilogramo)
Tiempo T s (segundo)
Intensidad de corriente I A (amperio)
Temperatura θ K (kelvin)
Intensidad luminosa J cd (candela)
Cantidad de sustancia N mol (mol)
La siguiente relación proporciona las dimensiones de las magnitudes
más usuales en los problemas de ingeniería:
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 21 ~
Area o superficie L2
Volumen L3
Densidad ML–3
Fuerza MLT –2
Momento de una fuerza ML2T
–2
Presión M L–1
T –2
Momento de inercia M L2
Módulo de elasticidad ML–1
T –2
Compresibilidad M –1
L T 2
Velocidad lineal LT –1
Velocidad angular T –1
Aceleración lineal LT –2
Aceleración angular T –2
Frecuencia T –1
Viscosidad cinemática L2 T
–1
Energía interna M L2 T
–2
Trabajo M L2 T
–2
Potencia M L2 T
–3
Tensión superficial M T –2
Calor M L2 T
–2
Conductividad térmica M L T –3
t –1
Calor específico L2
T –2
t –1
Entalpía M L2
T –2
Entropía M L2T
–2 t
–1
Coeficiente de dilatación θ –1
Carga eléctrica TI
Potencial eléctrico M L2
T –3
I –1
Resistencia eléctrica M L2
T –3
I –2
Campo eléctrico M L T –3
I–1
Flujo magnético M L 2
T –2
I–1
Iluminación L–2
J
Cantidad de luz T J
Intensidad acústica M T –3
Radiancia M T –3
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 22 ~
ECUACIONES DIMENSIONALES
Son aquellas relaciones de igualdad en donde algunas magnitudes son
conocidas y las otras, o no lo son, o tienen dimensiones desconocidas.
Para analizar estas ecuaciones se consideraran las siguientes reglas:
Las magnitudes físicas así como sus unidades no cumplen con las
leyes de la adición o sustracción, pero sí con las demás operaciones
aritméticas. Ejemplo:
2222 LLLL
222 LTLTLT
Todos los números en sus diferentes formas son cantidades
adimensionales, y su fórmula dimensional es la unidad.
13
1 2 rad
1º45sen
119log
1sen2
Toda ecuación será dimensionalmente correcta si los términos que
componen una adición o sustracción son de iguales dimensiones, y
si en ambos miembros de la igualdad aparecen las mismas
magnitudes afectadas de los mismos exponentes (Fourier).
DCBA
DCBA
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 23 ~
Cuando existan expresiones con magnitudes físicas en los
exponentes, deberá procederse con sumo cuidado, recordando que el
exponente es siempre un número, por consiguiente la expresión
exponencial deberá ser adimensional en su totalidad. Ejemplo:
1 2
z
xydmvP z
xy
Sean A y B magnitudes físicas, se debe cumplir:
BABA
B
A
B
A
nn AA
m nm n AA
Las constantes numéricas son adimensionales y las constantes
físicas tienen ecuación dimensional diferente de la unidad, dado que
cuentan con unidades físicas.
1718281,2 e
114159,3
2312211 / 1067,6 TLMkgmNG
22/8,9 LTsmg
1.1 INTRODUCCION
La Física se expresa mediante relaciones matemáticas. La Física está
escrita en lengua matemática y por lo tanto es necesario que se
comience por comprender eso.
Uno de los instrumentos matemáticos más usados por la Física, para el
desarrollo de sus leyes y conceptos fundamentales son los vectores,
pues gracias a ellos se puede llegar más fácilmente a la comprensión de
casi la totalidad de los fenómenos físicos más conocidos,
permitiéndonos así desarrollarlos matemáticamente.
Es imperativo entonces que el lector domine primeramente sus
propiedades gráficas y algebraicas.
Empezaremos por definir al vector, sus elementos, su representación
gráfica, sus propiedades y algunas aplicaciones importantes a la Física.
1.2 CANTIDADES ESCALARES Y VECTORIALES
En el estudio de la naturaleza nos encontramos siempre con que
debemos definir alguna cantidad física, ya sea como un escalar o como
un vector. Definimos entonces ahora la diferencia entre estas dos:
Cantidad escalar: Las cantidades físicas que son expresadas solamente
por su magnitud (positiva o negativa), careciendo por tanto de dirección,
son llamadas cantidades escalares. En estas cantidades se emplea alguna
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 25 ~
unidad conveniente de medida con lo cual quedan completamente
especificadas. Las reglas de la aritmética ordinaria son suficientes para
manejar cantidades escalares. Como ejemplos de estas cantidades
tenemos al tiempo, la temperatura, la masa, la longitud, el volumen, la
densidad, la carga eléctrica, la energía, el trabajo, etc. La notación de los
escalares se indica por una letra de tipo usual o común.
Cantidad vectorial: A diferencia de los escalares, una cantidad
vectorial requiere para su completa determinación de una magnitud, una
unidad de medida, una dirección y un sentido. Estas cantidades
vectoriales se combinan entre sí de acuerdo con ciertas reglas especiales
de adición y multiplicación. Una cantidad vectorial se representa con
una letra o un número, con una pequeña flecha horizontal trazada en la
parte superior, como A
. Pero en el presente texto los vectores se
representaran en letras más negras como A. Como ejemplos de
cantidades vectoriales tenemos al desplazamiento, la velocidad, la
aceleración, la fuerza, el campo eléctrico, el campo magnético, la
densidad de corriente eléctrica, etc.
1.3 VECTOR Y ELEMENTOS
El vector es representado como un segmento de recta orientado
(comúnmente llamado flecha), el cual sirve para expresar de alguna
forma las cantidades vectoriales. Utilizaremos al vector F, y para
representarlo gráficamente se debe tomar una escala adecuada, es decir,
una equivalencia entre un valor y una unidad de longitud. Además se
debe especificar su dirección y sentido.
1.3.1 Dirección
La dirección de un vector se representa gráficamente mediante
una recta que contiene al vector, esta recta puede ser horizontal,
vertical u oblicua. En aplicaciones prácticas la dirección del
vector se toma como el ángulo que hace dicho vector con respecto
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 26 ~
a una o más rectas de referencia, según sea el caso, en el plano o
en el espacio.
a) Dirección en el plano:
En muchas aplicaciones importantes en la física, la dirección
de un vector en el plano viene dada por el ángulo “” que hace
la recta que contiene al vector, con el eje “x” de un sistema de
coordenadas cartesiano, tal como lo muestra el siguiente
gráfico:
x
y
b) Dirección en el espacio:
En muchas aplicaciones importantes en la física, la dirección
de un vector en el espacio viene dada por el ángulo que hace
la recta que contiene al vector, con un plano horizontal, tal
como lo muestra el siguiente gráfico:
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 27 ~
También es muy común encontrar en física, vectores en el
espacio que forman ángulos , y con los ejes de
coordenadas cartesianos x, y, z respectivamente. Estos ángulos
son llamados ángulos directores del vector F.
F
1.3.2 Sentido
Este elemento indica la orientación del vector. Para especificar el
sentido del vector se coloca una punta de flecha en el extremo
apropiado del segmento rectilíneo que representa el mencionado
vector. También puede asignarse un signo positivo o negativo al
módulo del vector para indicar su sentido. Por ejemplo el
siguiente gráfico representa a un vector con una dirección
horizontal y un sentido hacia la derecha.
F
El siguiente gráfico representa a un vector con un sentido hacia el
noroeste.
F
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 28 ~
1.3.3 Módulo o intensidad
Es un valor numérico positivo que representa el valor de la
cantidad física vectorial. Gráficamente podemos considerar al
módulo como la longitud del vector tomado a una cierta escala.
El siguiente gráfico representa a un vector de módulo equivalente
a 5 cm
F
5 cm
1.3.4 Punto de aplicación
El punto de aplicación del vector es el punto de contacto entre los
dos cuerpos. La recta que pasa por el punto de aplicación y tiene
la dirección del vector es la llamada recta soporte o línea de
acción.
En el siguiente esquema se ilustran tres características de un
vector. En este caso el vector representa a una fuerza F de 100 N
(módulo) dirigida hacia la derecha del bloque y que forma con la
horizontal un ángulo de 30° hacia arriba (dirección y sentido) y
que pasa por el punto A (punto de aplicación).
F
30°A
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 29 ~
1.4 TIPOS DE VECTORES
1.4.1 Vectores libres
Un vector libre tiene módulo, dirección y sentido específicos
pero su recta soporte no pasa por un punto definido del
espacio. Estos vectores se pueden desplazar libremente hacia
rectas paralelas sin sufrir modificaciones. Como ejemplo de
vectores libres tenemos al vector campo gravitacional en las
cercanías de la superficie terrestre.
1.4.2 Vectores coplanares
Se dice que los vectores son coplanares cuando estos se
encuentran en un mismo plano. El siguiente gráfico muestra
un ejemplo de vectores coplanares.
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 30 ~
1.4.3 Vectores no coplanares
Se dice que los vectores son no coplanares cuando estos se
encuentran en planos diferentes. El siguiente gráfico ilustra
este caso.
Fy
Fx
Fz
1.4.4 Vectores concurrentes
Se dice que un sistema de vectores es concurrente cuando las
rectas soporte de todos los vectores se corten en un punto
común. El siguiente gráfico ilustra este caso.
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 31 ~
1.4.5 Vectores no concurrentes
Se dice un grupo de vectores son no concurrentes, cuando sus
líneas de acción se cortan en mas de un punto. El siguiente
gráfico ilustra estos vectores.
1.4.6 Vectores colineales
Si los vectores de un sistema tienen una recta soporte común,
se dice entonces que dichos vectores son colineales. El
siguiente gráfico ilustra esto.
1.5 CLASIFICACIÓN DE LOS VECTORES
Los vectores pueden clasificarse en tres tipos:
a) Vectores libres .- Un vector libre tiene módulo, dirección y sentido
específicos pero su recta soporte no pasa por un punto definido del
espacio.
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 32 ~
b) Vectores deslizantes .- Un vector deslizante tiene módulo,
dirección y sentido específicos y su recta soporte pasa por un punto
definido del espacio. El punto de aplicación de un vector deslizante
puede ser uno cualquiera de su recta soporte.
c) Vectores fijos .- Un vector fijo tiene módulo, dirección y sentido
específicos y su recta soporte pasa por un punto definido del
espacio. El punto de aplicación de un vector fijo está confinado a un
punto fijo de su recta soporte. Ejemplo de vector fijo es el vector
posición.
1.6 VECTOR POSICIÓN
El vector posición es un tipo de “vector fijo” muy usado en física,
que se utiliza principalmente para fijar la posición de un cuerpo o
una partícula, o para localizar un punto del espacio respecto al
origen de un sistema de coordenadas o respecto a otro punto del
espacio.Por ejemplo en el siguiente gráfico, la situación del punto
“A” se puede especificar mediante el vector de posición rA trazado
del origen de coordenadas al punto “A”. Análogamente la posición
del punto “B” respecto al mismo origen de coordenadas se puede
especificar mediante el vector de posición rB. Por último, la
posición del punto “B” respecto al punto “A” se puede especificar
mediante el vector de posición rB/A, donde el subíndice B/A indica
“B” respecto “A”.
rA
rB
rB/AA
B
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 33 ~
1.7 VECTOR DESPLAZAMIENTO
Definimos trayectoria a la curva que describe un cuerpo, la cual se
obtiene uniendo los diferentes puntos que va ocupando en el
espacio una partícula en movimiento. La magnitud que expresa la
distancia en línea recta y la dirección desde un punto a otro es el
llamado vector desplazamiento. Un vector desplazamiento tiene una
magnitud que puede expresarse en cualquier unidad de longitud.
La figura muestra la trayectoria (líneas punteadas) de una partícula
que se mueve desde el punto A hacia el punto B. El desplazamiento
de A hacia B lo representamos mediante el vector r. Hay que
observar que el desplazamiento no depende de la trayectoria
recorrida por la partícula sino sólo de los puntos extremos A y B.
r
A B
1.8 PROPIEDADES DE VECTORES
a) Igualdad de dos vectores
Dos vectores son iguales si son paralelos, poseen el mismo sentido
y además sus módulos son iguales. Este tipo de vectores no siempre
producen los mismos efectos físicos. Además estos vectores no
necesariamente empiezan en el mismo punto. La siguiente figura
muestra un ejemplo de dos vectores W iguales.
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 34 ~
W W
b) Negativo de un vector
Si consideramos un determinado vector A, el negativo de dicho
vector será aquel vector paralelo, de igual módulo pero de sentido
contrario al vector A. La siguiente figura muestra un ejemplo físico
de este tipo de vectores.
A-A
c) Ortogonalidad de vectores
Si dos vectores forman un ángulo de 90° entre sí, entonces dichos
vectores se llaman vectores ortogonales.
La siguiente figura muestra un ejemplo de dos vectores ortogonales.
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 35 ~
También puede darse el caso de que tres vectores sean mutuamente
ortogonales, como lo muestra el siguiente gráfico.
E
B
S
Este tipo de vectores ortogonales pueden situarse fácilmente sobre
los ejes de coordenadas cartesianos.
1.9 OPERACIONES CON VECTORES
Como hemos visto anteriormente los vectores son en realidad
cantidades nuevas muy útiles en la física, por lo tanto es de esperar que
si vamos a efectuar operaciones matemáticas entre ellos habría que
definir nuevas reglas. Las operaciones matemáticas usuales en la
aritmética o en el álgebra escalar, como por ejemplo la suma, la resta y
la multiplicación, tienen para los vectores un significado muy diferente
debido principalmente a las aplicaciones físicas en las que los
utilizaremos.
1.10 SUMA DE VECTORES POR MÉTODOS GRAFICOS
Cuando dos o más vectores se suman, todos ellos deben tener las
mismas unidades. Así, tendríamos que sumar un vector fuerza con otro
vector fuerza, un vector velocidad con otro vector velocidad; no tendría
sentido sumar, por ejemplo, un vector fuerza a un vector velocidad
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 36 ~
porque son cantidades físicas diferentes. Las cantidades escalares
cumplen también con la misma regla.
F=10 N v=2 m/s
Utilizaremos para sumar los vectores dos métodos geométricos que son
el método del triángulo y el método del paralelogramo. Por supuesto
ambos métodos son equivalentes, es decir, nos conducirán al mismo
resultado.
a) Método del paralelogramo
El método del paralelogramo consiste en deslizar los dos vectores a
sumar, hasta que en un punto determinado del plano sus respectivos
orígenes se unen. Se completa un paralelogramo cuyos lados
adyacentes son dichos vectores. El vector suma se encuentra en la
diagonal de este paralelogramo y que parte del punto de origen
común de los dos vectores hacia el extremo opuesto. En la siguiente
figura el profesor hace una demostración de este método.
F1
F2
F1
F2
F1
F2R
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 37 ~
Matemáticamente el vector suma o vector resultante quedará expresado
de la siguiente forma:
R = F1 + F2
Es importante indicar que este método sólo es válido para dos vectores
coplanares y concurrentes.
b) Método del triángulo
El método del triángulo consiste en unir dos vectores uno a
continuación de otro para luego formar un triángulo. El vector suma
se obtiene haciendo coincidir el origen del primer vector con el
extremo final del segundo vector. En la siguiente figura el profesor
explica el uso correcto y otro incorrecto del método del triángulo.
F1
F2
¡CORRECTO!
F1
F2
F1
F2
R
¡INCORRECTO!
F1
F2
F1
F2
R
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 38 ~
El método del triángulo es muy útil cuando queremos obtener el
vector suma de dos vectores paralelos.
A
B
S=A+B
c) Método del polígono
El método del polígono, en principio es una ampliación del método
del triángulo y consiste en unir los vectores uno a continuación del
otro para luego formar un polígono. El vector suma se encontrará
en uniendo el origen del primer vector con el extremo final del
último vector.
C
B
A
D
CBA
D
CBA
D
R
La expresión matemática que representa la suma anterior esta dada
por:
R = A + B + C + D
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 39 ~
Es importante añadir que, independientemente del orden en que se
dibujen los vectores para formar el polígono, el resultado debe ser
necesariamente el mismo. Es posible formar de este modo en algún
caso un “polígono cruzado”.
CBA
D C
B
A
DR
R
C
B
A
D
R
C
BA
D
R
Al construir un polígono suele ocurrir que el origen del primer
vector coincida con el extremo del último, esto implicaría que la
suma resultante de los vectores es igual a cero.
AB
C
A
B
C
La expresión matemática para el anterior caso sería:
R = A + B + C = 0
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 40 ~
El método del polígono también puede aplicarse a vectores que no
son coplanares, en este caso se forma un “polígono alabeado”.
A
A
B
B
C
C
D D
R
R = A + B + C + D
1.11 DIFERENCIA DE VECTORES POR MÉTODOS
GRAFICOS
En la sustracción de vectores se empleará la definición del negativo de
un vector. Así definimos la operación R = A – B que podemos
reemplazar por:
R = A + (–B)
Donde la sustracción fue reemplazada por la suma del vector A con el
negativo (opuesto) del vector B.
A
-B
B
R=A–B
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 41 ~
Como en el álgebra, la prueba de la sustracción de dos vectores se hace
con la suma de R + B = A. La figura anterior, permite averiguar esta
relación.
A diferencia de la suma, la sustracción de dos vectores no es
conmutativa, por lo que A – B B – A, de esta manera:
A – B = – (B – A)
A
B
A–BB–A
Según el anterior gráfico, podemos observar que
A – B = B – A
Si se tuvieran varios vectores, y si se define alguna expresión
matemática para operar con ellos, entonces se puede emplear el método
del polígono de igual forma como se hizo anteriormente. Así
primeramente se invierte el sentido de los vectores que tienen signo
negativo y luego se coloca un vector a continuación de otro,
obteniéndose el vector resultante uniendo el origen del primer vector
con el extremo final del último vector. Lo anterior se representa en la
siguiente figura:
A
B
CD
A
-D
B
-C
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 42 ~
1.12 PROPIEDADES DE LA SUMA DE VECTORES
a) Dos vectores ortogonales (perpendiculares) forman con la
resultante de su suma o diferencia un triángulo rectángulo.
A
B
A
A -A
B -B B
b) La resultante de la suma vectorial de tres vectores ortogonales se
sitúa en la diagonal de un paralelepípedo rectangular formado por
dichos vectores.
A
B
CR
AB
C
R
R = A + B + C
c) Si dos vectores son ortogonales, se cumple que el módulo de la suma
es igual al módulo de la diferencia.
B
A
B
A
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 43 ~
A + B A – B
A + B = A – B
d) Cualquiera que sea el orden en que sumemos los vectores, la suma
resultante será siempre la misma. Esta propiedad es llamada ley
conmutativa de la suma vectorial.
a
b
a
b
a+b b+a=
e) Cualquiera que sea la manera como agrupemos los vectores, la suma
resultante será siempre la misma. Esta propiedad es llamada ley
asociativa de la suma vectorial.
ed f
d
e
fd+e
(d+e)+f
e
f
d+e
e+fd e+f
d+(e+f)
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 44 ~
f) La resultante máxima RMAX de dos vectores se obtiene cuando éstos
se encuentran en la misma dirección y sentido.
A B
A B
RMAX=A+B
Según el gráfico se cumple que: RMAX=A+B
g) La resultante mínima RMIN de dos vectores se obtiene cuando éstos
se encuentran en la misma dirección, pero en sentidos contrarios.
A B
A
BRMIN=A+B
Según el gráfico se cumple que: RMIN=A-B
h) Las ecuaciones vectoriales pueden ser tratadas de la misma forma
que si fueran ecuaciones algebraicas. Así por ejemplo considerando
la ecuación vectorial:
A + B = C
Podremos efectuar los siguientes cambios en la ecuación:
A = C – B ó B = C – A ó A – C = – B
Los siguientes gráficos ilustran lo anterior.
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 45 ~
A
B
CA -A A
-B B -B
C C -C
A + B = C A = C – B B = C – A A – C = – B
1.13 COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR
Cualquier vector puede considerarse como la resultante de la suma de
otros vectores a los cuales llamaremos “componentes del vector”. Así
en el siguiente gráfico los vectores A1, A2, A3 y A4 vienen a
denominarse componentes del vector A, ya que se cumple:
A = A1 + A2 + A3 + A4
A1 A2A3
A4
A
En general para N vectores tendremos:
A = A1 + A2 + A3 +. . . + AN
N
1i
iAA
De esta manera un vector A puede descomponerse en un número
cualquiera de componentes con tal que la suma de éstas de siempre el
mismo vector A.
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 46 ~
Si quisiéramos considerar las componentes de un vector sólo en dos
direcciones específicas dadas, entonces podríamos utilizar como
referencia las rectas que contienen a dichos vectores, tal como lo
muestra el siguiente gráfico:
L1
L2
AL1
AL2A
Se puede observar en el gráfico que las rectas referencia L1 y L2
contienen respectivamente a los vectores componentes AL1 y A L2.
Luego se cumple que:
A = A L1 + A L2
De esta manera se dice que A L1 es la componente del vector A en la
dirección L1, y que A L2 es la componente del vector A en la dirección
L2.
Muchos de los problemas en física son más fáciles de resolver
utilizando la descomposición de un vector en sus componentes. Así en
física se utiliza muy comúnmente las componentes rectangulares de un
vector, que no son otra cosa que dos vectores situados sobre dos rectas
referencia mutuamente perpendiculares, tal como lo muestra el siguiente
gráfico.
L2
L1AL1
AL2
AL1 L2
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 47 ~
Los ejes de coordenadas cartesianos “x i y”, son un buen ejemplo de
rectas de referencia perpendiculares, por lo que son muy usadas en
física. Entonces definimos a continuación las componentes
rectangulares de un vector con relación a estos ejes cartesianos según se
muestra en el gráfico siguiente.
A x
A y
A
donde Ax es la componente rectangular del vector A en la dirección “x”,
y Ay es la componente rectangular del vector A en la dirección “y”.
Luego podemos escribir:
A = Ax + Ay
Designaremos como vectores componentes rectangulares del vector A a
los vectores Ax y Ay. De la misma forma designaremos como
componentes escalares rectangulares del vector A a las cantidades Ax y
Ay. El siguiente gráfico muestra algunos ejemplos de vectores
componentes rectangulares.
A
Ax
Ay
B
Bx
By
C
Cx
Cy
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 48 ~
Las componentes escalares se considerarán positivas o negativas según
que la proyección del extremo del vector se halle en el sentido positivo
o negativo a lo largo de los ejes de coordenadas xy. En el gráfico
anterior se tienen entonces los siguientes signos para las componentes
escalares:
La componente escalar Ax es positiva.
La componente escalar Ay es positiva.
La componente escalar Bx es negativa.
La componente escalar By es positiva.
La componente escalar Cx es negativa.
La componente escalar Cy es negativa.
Si sumamos por el método del triángulo los vectores componentes
rectangulares del vector A, formaremos un triángulo rectángulo cuyos
catetos serán las componentes escalares Ax y Ay; y cuya hipotenusa será
el módulo del vector A. Además consideraremos que el vector A forma
un ángulo con la componente vectorial Ax. Lo ilustramos en el
siguiente gráfico.
Ax
Ay
A
Ax
Ay
A
Según el gráfico anterior, podemos utilizar el Teorema de Pitágoras en
el triángulo rectángulo para calcular el módulo del vector A. Así:
222yx AAA
22yx AAA
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 49 ~
También podemos obtener en el triángulo rectángulo las funciones
trigonométricas para el ángulo , de la siguiente manera:
A
A ysen luego senAA y
A
A xcos luego cosAA x
De esta manera si en algún problema se nos proporciona el módulo del
vector que deseamos descomponer y el ángulo que forma este con la
componente horizontal, entonces podemos utilizar las expresión
matemáticas anteriores. Si el problema nos proporciona solamente las
componentes escalares Ax y Ay, entonces podremos encontrar el ángulo
que forma el vector A con la componente horizontal mediante la
expresión:
x
y
A
Atg luego
x
y
A
Aarctg
y que se lee: “ es igual al ángulo cuya tangente es la razón Ay/Ax”. En
algunos casos se proporciona en los problemas el ángulo que forma el
vector A con la componente vertical, tal como lo muestra el siguiente
gráfico.
Ax
Ay
A
Ay
Ax
A
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 50 ~
Las funciones trigonométricas para el ángulo serán:
A
A xsen luego senAA x
A
A ycos luego AcosA y
yA
A xtg luego
y
x
A
Aarctg
Como recomendación útil para el lector, lo mejor en todo caso no es
memorizar “ciegamente” las fórmulas, sino plantear adecuadamente los
triángulo rectángulos de los vectores a descomponer en los cuales se
definirán las funciones trigonométricas.
1.14 COMPONENTES TRIRECTANGULARES DE UN
VECTOR
Un vector A en el espacio (3 dimensiones) se puede representar en un
sistema de coordenadas trirectangulares. Así los vectores Ax, Ay, Az son
los vectores componentes rectangulares del vector A según las
direcciones x, y, z respectivamente. Las componentes escalares del
vector A a lo largo de los ejes x, y, z se pueden escribir como Ax, Ay, Az
respectivamente. La suma vectorial de los vectores componentes del
vector A se representa matemáticamente como:
zyx AAAA
El siguiente gráfico muestra la descomposición vectorial del vector A.
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 51 ~
Ax
Ay
Az A
Ax
Ay
Az
A
Para calcular el módulo del vector A en tres dimensiones, primero
calculamos el módulo de la resultante de la suma vectorial de Ax y Ay :
yxxy AAA
222yxxy AAA
Seguidamente calculamos el módulo de la resultante de la suma
vectorial de Axy y Az :
zxy AAA
222zxy AAA
2222zyx AAAA
222zyx AAAA
El cálculo anterior se resume en los dos gráficos siguientes:
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 52 ~
Ax
Ay
Axy
Az
A
Axy
En los casos tridimensionales, muchas veces la dirección y sentido de
un vector se puede especificar dando tres ángulos con respecto a cada
uno de los ejes de coordenadas. El ángulo x es el ángulo que forma el
vector A con el eje x. El ángulo y es el que forma el vector A con el eje
y. El ángulo z es el que forma el vector A con el eje z. Estos ángulos se
denominan ángulos directores del vector A. En el siguiente gráfico se
muestra estos ángulos directores.
A
x
y
z
Si consideramos las componentes del vector A, podremos entonces
desarrollar una expresión en función de los ángulos directores, con
ayuda de los siguientes gráficos.
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 53 ~
Ax
A
xAx
A
x
Ay
A
y
Ay
A
y
Az
Az
Az
A
z
Observamos que:
Ax = A cos x
Ay = A cos y
Az = A cos z
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 54 ~
Hallando el módulo del vector A:
2222zyx AAAA
2222 coscoscos zyx AAAA
zyx 2222 coscoscos 222 AAAA
1coscoscos 222 zyx
donde cos x, cos y y cos z son llamados cosenos directores del vector
A.
1.15 SUMA DE VECTORES POR EL MÉTODO ANALITICO
El método geométrico para sumar vectores no resulta muy útil cuando
se requiere cierta exactitud matemática en los resultados. Tendremos
por tanto que recurrir a métodos analíticos o matemáticos los cuales
implican la descomposición de un vector en sus componentes, por lo
tanto, para sumar vectores por el método analítico, primeramente es
necesario descomponer cada vector en sus componentes rectangulares,
tal como lo muestran los gráficos de abajo. Definimos la operación
suma como:
R = A + B
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 55 ~
A
B
A
B
R=A+B
A
B
R
Ax Bx
Ay
By By
Ay
Ax Bx Los vectores A y B pueden expresarse como:
A = Ax + Ay
B = Bx + By
Luego calculamos el vector resultante: R = A + B
R = (Ax + Ay) + (Bx + By)
R = (Ax + Bx) + (Ay + By)
Rx Ry
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 56 ~
yx RRR
donde Rx representa la suma de las componentes vectoriales de A y B
sobre el eje x, y Ry representa la suma de las componentes vectoriales
de A y B sobre el eje y.
Para hallar el módulo del vector resultante R, según el gráfico anterior
podemos recurrir al Teorema de Pitágoras:
222yx RRR
22yx RRR
donde Rx representa la suma de las componentes escalares Ax y Bx ; y
Ry representa la suma de las componentes escalares Ay y By.
Anteriormente hemos sumado solamente dos vectores, pero podemos
generalizar al caso de N vectores en tres dimensiones, tal como se
muestra a continuación:
V1
V2
V3V4
VN
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 57 ~
R = V1 + V2 + V3 + + VN =
N
i
i
1
V
zyx RRRR
Las componentes escalares de Rx, Ry, y Rz estarán dadas por:
Rx = V1x + V2x + V3x + + VNx =
N
i
ix
1
V
Ry = V1y + V2y + V3y + + VNy =
N
i
iy
1
V
Rz = V1z + V2z + V3z + + VNz =
N
i
iz
1
V
Para hallar el módulo del vector resultante R en el espacio podemos
recurrir a: 2222zyx RRRR
222zyx RRRR
En el plano xy, la dirección del vector resultante respecto al eje x, se
obtiene aplicando:
x
y
R
Rtg >>>>
x
y
R
Rarctg
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 58 ~
RRy
Rx
En el espacio, la dirección del vector resultante con respecto a cada uno
de los ejes de coordenadas puede hallarse utilizando los cosenos
directores del vector R, que se muestran en el siguiente gráfico.
R
x
y
z
RxRy
Rz
Rx=Rcosx >>> R
Rxcos x >>>
R
Rarccos x
x
Ry=Rcosy >>> R
R
ycosy
>>>
R
Rarccos
yy
Rz=Rcos z >>> R
Rzcos z >>>
R
Rarccos z
z
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 59 ~
Ejemplo.- Hallar el módulo de la suma de los vectores A y B mostrados
en la siguiente figura.
A
B
Ax
Ay
By
Bx
Debemos establecer primeramente la expresión matemática de la suma
del vector A con el vector B:
R = A + B
Expresando el vector R en función de sus componentes rectangulares:
R = Rx + Ry
Donde:
Rx = Ax + Bx
Ry = Ay + By
En forma escalar tendremos:
Rx = Ax + Bx
Ry = Ay + By
Según el gráfico las componentes escalares vienen expresadas en la
forma:
Ax = A cos (componente escalar positiva)
Ay = – A sen (componente escalar negativa)
Bx = – B cos (componente escalar negativa)
By = B sen (componente escalar positiva)
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 60 ~
Luego las componentes escalares del vector R se escribirán como:
Rx = A cos – B cos
Ry = – A sen + B sen
El módulo de la resultante quedará expresado entonces como:
22yx RRR
22sensencoscos BABAR
Ejemplo.- Hallar el módulo de la resta A – B de los vectores mostrados
en la figura del ejemplo anterior.
Primeramente habría que modificar el gráfico estableciendo el opuesto
del vector B, de la siguiente manera:
A
B
Ax
Ay
-By
-Bx
-B
Seguidamente establecemos la expresión matemática que representa la
resta del vector A menos el vector B:
R = A – B
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 61 ~
Expresamos ahora al vector R en función de sus componentes
rectangulares:
R = Rx + Ry
Donde:
Rx = Ax – Bx
Ry = Ay – By
En forma escalar tendremos:
Rx = Ax + Bx
Ry = Ay + By
Según el gráfico las componentes escalares vienen expresadas en la
forma:
Ax = A cos (componente escalar positiva)
Ay = – A sen (componente escalar negativa)
Bx = B cos (componente escalar positiva)
By = – B sen (componente escalar negativa)
Luego las componentes escalares del vector R se escribirán como:
Rx = A cos + B cos
Ry = – A sen – B sen
El módulo de la resultante quedará expresado entonces como:
22yx RRR
22sensencoscos BABAR
1.16 SUMA DE VECTORES IGUAL A CERO
Si sumamos gráficamente determinados vectores, obteniendo como
resultado un polígono cerrado, entonces diremos que la suma vectorial
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 62 ~
de dichos vectores es igual a cero. Matemáticamente representamos esta
suma como:
R = A + B + C = 0
A A
B
B
C
C
como R = 0 entonces:
022 yx RR
Esto implicaría que Rx = 0 y Ry = 0 ; luego:
Rx = Ax + Bx + Cx = 0
Ry = Ay + By + Cy = 0
Esto último indica que cuando la suma vectorial de un sistema de
vectores es igual a cero, entonces la suma de sus componentes sobre
cada uno de los ejes coordenados también sumarán cero.
Generalizando al caso de N vectores en tres dimensiones, tendremos:
0VVVV N321
Entonces:
0
1
321
N
i
ixNxxxx VVVVV
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 63 ~
0
1
321
N
i
iyNyyyy VVVVV
0
1
321
N
i
izNzzzz VVVVV
1.17 TEOREMA DE LOS COSENOS
Deduciremos a continuación una fórmula muy útil que nos permitirá
obtener el módulo de la resultante de la suma de dos vectores. Así, sean
los dos vectores concurrentes de longitudes a y b que forman
respectivamente ángulos y con respecto a la horizontal, tal como lo
muestra la siguiente figura.
a
b
ax bx
ay
by
a
b
En la figura se trasladan los vectores a sumar a un origen común, que
puede ser el origen de un sistema de coordenadas xy. Además
observamos que:
= –
Definimos la operación suma del vector a más el vector b:
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 64 ~
R = a + b
El módulo de la resultante sería: 222yx RRR
222yyxx baba R
22222 22 yyyyxxxx bbaabbaa R
Las componentes escalares de los vectores a y b, son:
sen
cos
sen
cos
bb
bb
aa
aa
y
x
y
x
Luego la resultante R2 será igual a:
22
222
sensensen2sen
coscoscos2cos
bbaa
bbaa
R
2222
22222
sensensen2sen
coscoscos2cos
baba
baba
R
sensencoscos2
sencossencos 2222222
ab
ba
R
considerando las identidades trigonométricas:
cos2+sen
2 = 1
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 65 ~
cos2+sen
2 = 1
cos cos + sen sen = cos( –)
tendremos:
)cos(2222 abbaR
Finalmente:
cos2222 abba R
La anterior ecuación dice que: <<El módulo de la resultante de la suma
de dos vectores, es igual a la suma del cuadrado del módulo del primer
vector más el cuadrado del módulo del segundo vector más dos veces el
producto del módulo del primer vector por el módulo del segundo
vector por el coseno del ángulo que forman dichos vectores>>.
1.18 TEOREMA DE LOS SENOS
Otra fórmula útil para la resolución de problemas de vectores, es el
teorema de los senos. Esta ley se pone de manifiesto arreglando los
vectores a sumar con la resultante en los lados de un triángulo. Así sea
la suma A + B = C de los vectores mostrados en la figura:
A
BC
b
a
cb
c
aC
A
B
En el triángulo de la derecha se cumple la relación:
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 66 ~
cba sensensen
CBA
La anterior fórmula puede también aplicarse a cualquiera de los
siguientes casos:
A=B+C
BC
b
a
c
A
B=A+CC
b
a
c
A
BC
b
a
c
A+B+C=0
1.19 MULTIPLICACION DE VECTORES POR ESCALARES
La multiplicación de un vector por un escalar tiene el significado físico
de incrementar, reducir, anular o cambiar el sentido al vector.
Representaremos esta multiplicación de la siguiente manera:
AB m
donde B es un nuevo vector cuya magnitud es m veces la magnitud del
vector A y paralelo a él. Como los vectores A y B son paralelos,
entonces se podrá cumplir:
A
Bm
Dependiendo del valor y signo del escalar m, se podrán presentar los
siguientes casos:
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 67 ~
a) Si m 1 el módulo del vector se incrementará
A mA
b) Si m=1 el módulo del vector permanecerá invariante
A mA
c) Si 0 m 1 el módulo del vector disminuye
A mA
d) Si m=0 el vector se anula
AmA=0
e) Si m 0 el vector cambia de sentido
A mA
Entre las operaciones en que intervienen los productos de los escalares
m y n por los vectores A y B se pueden citar las siguientes:
mm AA
AAA nmnm
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 68 ~
BABA mmm
AAA mnmnnm
Se puede obtener un vector B cuyas componentes son las de A
multiplicadas por m:
AB m
zyxm AAAB
zyx mmm AAAB
Bx By Bz
xx mAB yy mAB zz mAB
1.20 VECTORES UNITARIOS
Un vector unitario es aquel vector adimensional que tiene como módulo
a la unidad y que señala en cualquier dirección conveniente. Estos
vectores unitarios se utilizan para especificar una dirección determinada
en el espacio y no tienen otro significado físico. Así todo vector A se
puede representar por el producto de un vector unitario u multiplicado
por el módulo del vector A. Según esto podemos escribir al vector A
como:
uA A
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 69 ~
A
u
A
u=1
Luego, si ubicamos al vector A en un eje de coordenadas rectangulares,
tendremos :
A
AxAy
Az
uA
Au
de donde podemos obtener:
222zyx AAA
A
u
222zyx
zyx
AAA
AAAu
222222222zyx
z
zyx
y
zyx
x
AAAAAAAAA
AAA
u
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 70 ~
Un sistema de vectores unitarios muy importante y muy utilizado en
física, son los que tienen por direcciones a los ejes positivos de un
sistema de coordenadas rectangulares, debido principalmente a que
estos vectores unitarios siempre apuntan en la misma dirección y no
cambian de dirección al pasar de un punto a otro. Estos vectores se
denominan i, j, k, y se representan gráficamente como:
i j
ki =1
j =1
k=1
Según lo anterior cualquier vector es susceptible de ser representado
como una suma de productos de sus componentes por i, j, k, de la
siguiente forma:
zyx AAAA
kjiA zyx AAA
Gráficamente tendremos:
Ax=Axi
Ay=Ayj
Az=Azk
A
i j
k
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 71 ~
Si los vectores unitarios apuntan en el sentido negativo de los ejes
correspondientes, entonces se utilizará el signo negativo para dicho
vector. Así por ejemplo:
kjiB zyx BBB
kjiC zyx CCC
kjiD zyx DDD
Los valores de las componentes rectangulares están relacionados con los
cosenos directores de la siguiente manera:
A
x
y
zzz
AxAy
Az
u
A = Ax + Ay + Az
kjiA zyx AAA
kjiA zyx AAA coscoscos
kjiA
zyxA
coscoscos
kjiu zyx coscoscos
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 72 ~
1.21 ADICIÓN DE VECTORES UTILIZANDO VECTORES
UNITARIOS
Sean los siguientes tres vectores:
kjiA zyx AAA
kjiB zyx BBB
kjiC zyx CCC
La adición de estos vectores puede escribirse como:
CBAR
kjikjikjiR zyxzyxzyx CCCBBBAAA
kjiR zzzyyyxxx CBACBACBA
A xi
AyjAzk
Bxi
Byj
Bzk
Cy j
Cxi
C zk
Generalizando lo anterior para N vectores y tres dimensiones:
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 73 ~
kjiV zyx VVV 1111
kjiV zyx VVV 2222
kjiV zyx VVV 3333
kjiV NzNyNxN VVV
V1V2
V3
V4 V5
VN
La resultante de la suma de los N vectores estará dado por:
NVVVVR 321
k
j
iR
Nzzz
Nyyy
Nxxx
VVV
VVV
VVV
21
21
21
kjiR
N
iiz
N
iiy
N
iix VVV
111
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 74 ~
Así pues el vector resultante R tiene por componentes las sumas
algebraicas de las componentes homólogas de los vectores V1, V2, …,
VN. Luego:
kjiR zyx RRR
El módulo de la resultante R se obtiene utilizando:
2222zyx RRRR
222zyx RRRR
El vector unitario uR de la resultante se puede obtener de la siguiente
forma:
kjiu zyxR coscoscos
kjiuR
R
R
R
R
R zyxR
1.22 PRODUCTO ESCALAR
Anteriormente se había supuesto que los vectores a sumar deberían ser
del mismo tipo, es decir, los vectores de velocidad se suman con
vectores de velocidad y los vectores de fuerza se suman con vectores de
fuerza. Sin embargo, los vectores de diferentes tipos pueden
multiplicarse entre sí para generar cantidades físicas nuevas. Así pues,
debemos establecer nuevas reglas para la multiplicación de vectores.
Empezaremos por definir un tipo de multiplicación de vectores muy
frecuente en física, que es el llamado producto escalar, producto
interno o producto punto de dos vectores. Sean A y B dos vectores que
forman entre sí un ángulo . Este producto se define como:
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 75 ~
A
BcosABBA
como A y B son escalares (módulos de los vectores) y “cos” es
simplemente un número, el producto escalar de dos vectores es un
escalar, de allí su nombre. Resumiendo:
El producto escalar de cualesquiera dos vectores A y B es una
cantidad escalar igual al producto de los módulos de los dos vectores y
el coseno del ángulo entre ellos .
El producto escalar AB (se lee: “A punto B”) es prácticamente el
producto de la magnitud de uno de los dos vectores por la componente
del otro vector en la dirección del primero. El siguiente gráfico,
representa lo dicho.
A
B
Bcos
Acos
El producto escalar nos da una idea de la influencia de un vector sobre
otro.
Si consideramos los siguientes productos escalares:
cosABBA
cosBAAB
Podemos observar que el producto escalar es conmutativo. Luego:
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 76 ~
ABBA
Si el vector A es perpendicular al vector B, entonces:
)90cos( ABBA
)0(ABBA
AB
0BA
Si el vector A tiene el mismo sentido que B, entonces:
)0cos( ABBA
)1(ABBA
AB
ABBA
Si el vector A tiene sentido contrario al vector B, entonces:
)180cos( ABBA
)1( ABBA
A BABBA
En resumen:
Cuando el ángulo entre dos vectores está entre 0° 90°, el producto
escalar es positivo.
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 77 ~
Cuando el ángulo entre dos vectores es = 90° , el producto escalar es
nulo.
Cuando el ángulo entre dos vectores está entre 90°180°, el producto
escalar es negativo.
Es posible considerar a las ecuaciones AB = AB y AB = 0 como
definiciones de paralelismo y perpendicularidad.
El producto escalar puede escribirse en función de las componentes
rectangulares de dos vectores. Así consideremos los vectores unitarios
del siguiente gráfico y hallemos los productos escalares:
i j
k
1)0cos()1)(1( ii
1)0cos()1)(1( jj
1)0cos()1)(1( kk
0)90cos()1)(1( ijji
0)90cos()1)(1( ikki
0)90cos()1)(1( jkkj
Resumiendo:
1 ii 0 ijji
1 jj 0 ikki
1kk 0 jkkj
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 78 ~
Consideremos ahora los siguientes vectores:
kjiA zyx AAA
kjiB zyx BBB
Hallemos:
kjikjiBA zyxzyx BBBAAA
kkjkik
kjjjij
kijiii
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
BABABA
BABABA
BABABA
de donde:
zzyyxx BABABABA
Con esta relación podemos ver que el producto escalar de un vector por
sí mismo es igual al módulo del vector al cuadrado:
zzyyxx AAAAAA AA
222zyx AAA
2AAA
En física, también se utiliza el producto escalar para hallar el ángulo que
forman entre sí dos vectores. Así:
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 79 ~
A
B
cosABBA
AB
BABABA
AB
zzyyxx
BAcos
AB
BABABA zzyyxxarccos
El producto escalar obedece a la ley distributiva de la multiplicación,
esto se demuestra a continuación. Sean los tres vectores:
kjiA zyx AAA
kjiB zyx BBB
kjiC zyx CCC
Calculamos AB y AC:
zzyyxx BABABA BA
zzyyxx CACACA CA
luego:
zzyyxxzzyyxx CACACABABABA CABA
zzzyyyxxx CBACBACBA
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 80 ~
kjikji zzyyxxzyx CBCBCBAAA
CBA
CABACBA
El producto escalar puede utilizarse para obtener las componentes
escalares rectangulares de un vector de una dirección determinada. Así:
A
i j
k
x
y
z
xxx AAA coscos)1(iA
xA iA
yyy AAA coscos)1(jA
yA jA
zzz AAA coscos)1(kA
zAkA
como kjiA zyx AAA
kkAjjAiiAA
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 81 ~
En física, el producto escalar se utiliza muchas veces para determinar la
componente rectangular de un vector según una recta. Así, en el
siguiente gráfico la componente escalar rectangular del vector A según
una dirección L es:
A
uL
L
L
LLL AA cos uA
donde uL es el vector unitario asociado a la dirección L. La componente
vectorial de A en la dirección L viene dada por la ecuación:
LLL uuAA
La componente del vector A perpendicular a la dirección L se encuentra
en el plano que contiene A y L, y puede obtenerse de la expresión:
A
ALAn
Ln
Ln AAA
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 82 ~
1.23 PRODUCTO VECTORIAL
Otro tipo de multiplicación muy útil en física, es el llamado producto
vectorial, producto externo o producto cruz de dos vectores.
El producto vectorial AB de dos vectores A y B, se define como un
vector perpendicular al plano determinado por A y B y cuyo módulo es
igual al área del paralelogramo de lados A y B, como se muestra en la
figura:
AB
B
A
Area sombreada=AB
La longitud de AB, en función del menor ángulo formado por ambos
vectores, está dada por:
senABBA
donde ABsen viene a representar el área del paralelogramo mostrado
en la siguiente figura:
Bsen
B
A
Es importante notar que mientras el producto escalar es un número, el
producto vectorial es un nuevo vector. De esta forma si n es un vector
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 83 ~
unitario perpendicular a cada vector A y B en el sentido AB, el
producto vectorial es:
nBA senAB
n
AB
B
A
Plano
de A y B
La dirección de AB puede obtenerse aplicando la “regla de la mano
derecha” de la siguiente forma: si se coloca la mano derecha de tal
manera que los dedos encorvados sigan la rotación de A hacia B, el
pulgar extendido apuntará hacia la dirección de AB. Esta regla se
ilustra en el gráfico siguiente:
B
A
AB
A diferencia del producto escalar, el orden en el cual se multiplican los
vectores es importante. Así, si se intercambia el orden de A y B,
definiendo BA, entonces se invierte el sentido del producto vectorial,
tal como muestra el siguiente gráfico:
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 84 ~
B
A
BA
Según lo anterior se cumpliría la siguiente expresión:
ABBA
Si el vector A es perpendicular al vector B, entonces el producto
vectorial es máximo:
nBA )90sen( AB
nBA )1(AB
A
BnBA AB
n
ABn
Si el vector A tiene el mismo sentido que B, entonces:
nBA )0sen( AB
nBA )0(AB
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 85 ~
AB
0BA
Si el vector A tiene sentido contrario al vector B, entonces:
nBA )180sen( AB
nBA )0(AB
A B0BA 180°
El producto vectorial puede ser aplicado a los vectores unitarios i, j, k.
Así aplicando la regla de la mano derecha a los vectores unitarios
mostrados en el siguiente gráfico obtenemos:
i j
k
ij = (1)(1) sen (90°) k = k
jk = (1)(1) sen (90°) i = i
ki = (1)(1) sen (90°) j = j
ji = (1)(1) sen (90°) (–k) = –k
kj = (1)(1) sen (90°) (–i) = –i
ik = (1)(1) sen (90°) (–j) = (–j)
ii = (1)(1) sen (0°) k = 0
jj = (1)(1) sen (0°) i = 0
kk = (1)(1) sen (0°) j = 0
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 86 ~
Resumiendo:
kji kij
ikj ijk
jik jki
También 0ii 0jj 0kk
Nota: La expresión 0 representa el llamado “vector nulo”, de longitud
cero y sin ninguna dirección particular en el espacio. Goza de las
siguientes propiedades:
kji0 000
A0A 0AA 00A 00A
Si se escriben los vectores A y B en utilizando los vectores unitarios i, j,
k, tendremos:
kjiA zyx AAA
kjiB zyx BBB
Luego calculamos el producto vectorial AB:
AB = (Axi + Ayj + Azk) (Bxi + Byj + Bzk)
= AxBxii + AxByij + AxBzik
+ AyBxji + AyByjj + AyBzjk
+ AzBxki + AzBykj + AzBzkk
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 87 ~
AB = AxBx (0) + AxBy k + AxBz (–j)
+ AyBx (–k) + AyBy (0) +AyBz (i)
+ AzBx j + AzBy (–i) + AzBz (0)
AB =(AyBz – AzBy) i + (AzBx – AxBz) j + (AxBy – AyBx) k
kjiBA xyyxxzzxyzzy BABABABABABA
El anterior resultado nos sirve para hallar el vector resultante del
producto AB, en función de las componentes de los vectores A y B.
Pero como se ve esta fórmula es algo difícil de memorizar, por lo cual
para casos prácticos escribiremos esta expresión en forma más
compacta en un arreglo de determinante 3x3 de la siguiente forma:
zyx
zyx
BBB
AAA
kji
BA
Desarrollaremos este determinante expandiéndolo de la siguiente forma:
kjiBAyx
yx
zx
zx
zy
zy
BB
AA
BB
AA
BB
AA
zyx
zyx
BBB
AAA
kji
zyx
zyx
BBB
AAA
kji
zyx
zyx
BBB
AAA
kji
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 88 ~
kjiBA xyyxxzzxyzzy BABABABABABA
zy
zy
BB
AA
zx
zx
BB
AA
yx
yx
BB
AA
El producto vectorial obedece a la ley distributiva de la suma, es decir:
CABACBA
A
C
BB+C
A(B+C) Plano de A,B,C
A
C
B
AB
Plano de A,B,CAC
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 89 ~
Si m es un escalar, entonces se cumple:
BABABA mmm
El teorema de los senos puede demostrarse utilizando el producto
vectorial y el siguiente gráfico en donde u es un vector unitario
perpendicular al plano de los vectores A, B, C y donde se define la
operación vectorial C=A+B:
A
BC
bc
a
u
Plano de A,B,C
BAC ( i )
multiplicando vectorialmente ambos miembros de la ecuación ( i ) por
el vector A:
BAACA
BAAACA
BACA
escribiendo en una forma conveniente según el gráfico:
uu cABbAC 180sensen
cABbAC sensen
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 90 ~
cBbC sensen
b
B
c
C
sensen ( ii )
en forma análoga, multiplicando vectorialmente ambos miembros de la
ecuación ( i ) por el vector B:
BABCB
BBABCB
ABCB
escribiendo en una forma conveniente según el gráfico:
uu cBAaBC 180sensen
cBAaBC sensen
cAaC sensen
a
A
c
C
sensen ( iii )
relacionando los resultados ( ii ) y ( iii ), obtenemos la ley de los senos:
c
C
b
B
a
A
sensensen
1.24 PRODUCTO MIXTO
El producto mixto es el producto escalar de un vector A por el resultado
del producto vectorial de dos vectores B y C. El producto mixto podrá
escribirse en las formas:
CBA
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 91 ~
o bien
ACB
En el producto CBA
se puede omitir los paréntesis y escribir
CBA
ya que en este caso no existe ambigüedad, debido que la
operación CBA
carece de sentido por que no está definido el
producto vectorial de un escalar por un vector. De esta manera:
CBACBA
El producto mixto es un escalar. Sin embargo, los vectores no se pueden
permutar arbitrariamente ya que el producto vectorial no es
conmutativo. No obstante se cumple que:
ACBACBCBACBA
lo cual se puede expresar diciendo que los productos escalar y vectorial
en estas condiciones, son permutables.
Si desarrollamos CBA
en forma vectorial cartesiana:
kjikjikjiCBA
zyxzyxzyx CCCBBBAAA
kjikji
xyyxxzzxyzzyzyx CBCBCBCBCBCBAAA
xyyxzxzzxyyzzyx CBCBACBCBACBCBA
obtenemos:
xyyxzzxxzyyzzyx CBCBACBCBACBCBA CBA
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 92 ~
que es el desarrollo del determinante:
zyx
zyx
zyx
CCC
BBB
AAA
CBA
La cantidad CBA
representa geométricamente el volumen del
paralelepípedo de aristas A, B, C, con signo positivo o negativo según
que A
, B
, C
tengan la misma orientación mutua que i
, j
, k
.
Si consideramos el siguiente gráfico, observaremos que:
Volumen del paralelepípedo = (área de la base)(altura del
paralelepípedo)
cosAV pedoparalelepí CB
cosAV pedoparalelepí CB
por definición de producto escalar tendremos:
ACB
pedoparalelepíV
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 93 ~
C
B
A
BC
Aco
s
1.25 DOBLE PRODUCTO VECTORIAL
El doble producto vectorial es el producto vectorial de un vector A
por
el resultado de multiplicar vectorialmente dos vectores B
y C
. Así
pues, el doble producto vectorial se escribirá:
CBA
Desarrollando la expresión anterior:
kjiACBA
xyyxzxxzyzzy CBCBCBCBCBCB
xyyxzxxzyzzy
zyx
CBCBCBCBCBCB
AAA
kji
CBA
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 94 ~
k
j
iCBA
yzzyyzxxzx
xyyxxyzzyz
zxxzzxyyxy
CBCBACBCBA
CBCBACBCBA
CBCBACBCBA
kk
jj
iiCBA
zyyxxzyyxx
yxxzzyxxzz
xzzyyxzzyy
CBABABCACA
CBABABCACA
CBABABCACA
kji
kjiCBA
zyyxxyxxzzxzzyy
zyyxxyxxzzxzzyy
CBABACBABACBABA
BCACABCACABCACA
sumando y restando kji
zzzyyyxxx CBACBACBA
k
j
i
k
j
iCBA
zzzzyyxx
yyyyxxzz
xxxxzzyy
zzzzyyxx
yyyyxxzz
xxxxzzyy
CBACBABA
CBACBABA
CBACBABA
CBABCACA
CBABCACA
CBABCACA
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 95 ~
k
j
i
k
j
iCBA
zzzyyxx
yzzyyxx
xzzyyxx
zzzyyxx
yzzyyxx
xzzyyxx
CBABABA
CBABABA
CBABABA
BCACACA
BCACACA
BCACACA
kji
kjiCBA
zyxzzyyxx
zyxzzyyxx
CCCBABABA
BBBCACACA
kjiBAkjiCACBA
zyxzyx CCCBBB
CBABCACBA
De manera análoga, se puede demostrar que:
ACBBCACBA
de donde se puede observar que
CBACBA
lo que quiere decir que el doble producto vectorial no cumple con la
propiedad asociativa.
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 96 ~
EJERCICIOS
EJERCICIO 1. Sean los vectores:
A = -3i+2j+k
B = 2i+9k
C = 3i+j+7k
y el escalar m = 2
Compruebe los siguientes resultados:
A+B =-1i+2j+10k
A-B = -5i+2j-8k
B-A = 5i-2j+8k
A*B =3
B*A =3
AXB =18i+29j-4k
BXA =-18i-29j+4k
mA =-6i+4j+2k
mB = 4i+0j+18k
mA*B = 6
mB*A = 6
mAXB =36i+58j-8k
mBXA = -36 i-58j+8k
A*A = 14
B*B = 85
C*C = 59
AXA = 0i+0j+0k
BXB = 0i+0j+0k
CXC = 0i+0j+0k
B*C = 69
BXC = -9i+13 j+2k
B+C = 5i+1j+16k
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 97 ~
A+B+C = 2i+3j+17k
A+B-C = -4i+1j+3k
A-B+C = -2i+3j-1k
A-B-C = -8i+1j-15k
(A*B)C = 9i+3j+21k
A(B*C) = -207i+138 j+69k
(AXB)XC = 207i-138j-69k
AX(BXC) = -9i-3j-21k
A*(BXC) = 55
(AXB)*C = 55
m(AXB)*C = 110
m(A+B+C) = 4i+6j+34k
(CXC)*C = 0
(C*C)C = 177i+59j+413k
AXB+C = 21i+30j+3 k
A-BXC = 6i-11j-1k
m(A+B)-C = -5i+3j+13k
A*(B+C) = 3
AX(B+C) = 31i+53j-13k
|A| = 3.741657387
|B| = 9.219544457
|C| = 7.681145748
|A+B| = 10.24695077
|A-B| = 9.643650761
|AXB| = 34.36568055
|BXA| = 34.36568055
|mA| = 7.483314774
|mB| = 18.43908891
mA*B = 6
mB*A = 6
|mAXB| = 68.73136111
|mBXA| = 68.73136111
A*A = 14
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 98 ~
B*B = 85
C*C = 59
|AXA| = 0
|BXB| = 0
|CXC| = 0
B*C = 69
|BXC| = 15.93737745
|B+C| = 16.79285562
|A+B+C| = 17.3781472
|A+B-C| = 5.099019514
|A-B+C| = 3.741657387
|A-B-C| = 17.02938637
|(A*B)C| = 23.04343724
|A(B*C)| = 258.1743597
|(AXB)XC| = 258.1743597
AX(BXC) = 23.04343724
A*(BXC) = 55
(AXB)*C = 55
m(AXB)*C = 110
|m(A+B+C)| = 34.75629439
(CXC)*C = 0
|(C*C)C| = 453.1875991
|AXB+C| = 36.74234614
|A-BXC| = 12.56980509
|m(A+B)-C| = 14.24780685
A*(B+C) = 3
|AX(B+C)| = 62.76145314
EJERCICIO 2. Sean los vectores:
A = -3j-k
B = 5i-2j+3k
C = 8i+j-4k
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 99 ~
y el escalar m = -1
Compruebe los siguientes resultados:
A+B = 5i-5j+2k
A-B = -5i-1j-4k
B-A = 5i+1j+4k
A*B = 3
B*A = 3
AXB = -11i-5 j+15k
BXA = 11i+5 j-15k
mA = 0i+3j+1k
mB = -5i+2j-3k
mA*B = -3
mB*A = -3
mAXB = 11i+5j-15k
mBXA = -11i-5j+15 k
A*A = 10
B*B = 38
C*C = 81
AXA = 0i+0j+0k
BXB = 0i+0j+0k
CXC = 0i +0j+0k
B*C = 26
BXC = 5i+44j+21k
B+C = 13i-1j-1k
A+B+C = 13i-4j-2k
A+B-C = -3i-6j+6k
A-B+C = 3i+0j-8k
A-B-C = -13i-2j+0k
(A*B)C = 24i+3j-12k
A(B*C) = 0i-78j-26k
(AXB)XC = 5i+76j+29k
AX(BXC) = -19i-5j+15k
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 100 ~
A*(BXC) = -153
(AXB)*C = -153
m(AXB)*C = 153
m(A+B+C) = -13i+4 j+2k
(CXC)*C = 0
(C*C)C = 648 i+81j-324k
AXB+C = -3i-4j+11k
A-BXC = -5i-47j-22k
m(A+B)-C = -13i+4j+2k
A*(B+C) = 4
AX(B+C) = 2 i-13j+39k
|A| = 3.16227766
|B| = 6.164414003
|C| = 9
|A+B| = 7.348469228
|A-B| = 6.480740698
|B-A| = 6.480740698
A*B = 3
B*A = 3
|AXB| = 19.26136028
|BXA| = 19.26136028
|mA| = 3.16227766
|mB| = 6.164414003
mA*B = -3
mB*A = -3
|mAXB| = 19.26136028
|mBXA| = 19.26136028
A*A = 10
B*B = 38
C*C = 81
|AXA| = 0
|BXB| = 0
|CXC| = 0
B*C = 26
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 101 ~
|BXC| = 49.01020302
|B+C| = 13.07669683
|A+B+C| = 13.74772708
|A+B-C| = 9
|A-B+C| = 8.544003745
|A-B-C| = 13.15294644
|(A*B)C| = 27
|A(B*C)| = 82.21921916
|(AXB)XC| = 81.49846624
AX(BXC) = 24.71841419
A*(BXC) = -153
(AXB)*C = -153
m(AXB)*C = 153
|m(A+B+C)| = 13.74772708
(CXC)*C = 0
|(C*C)C| = 729
|AXB+C| = 12.08304597
|A-BXC| = 52.13444159
|m(A+B)-C| = 13.74772708
A*(B+C) = 4
|AX(B+C)| = 41.15823125
2.1 DEFINICION.
La Estática forma parte de la Mecánica de Sólidos que se dedica al
estudio de las condiciones que deben cumplirse para que un cuerpo,
sobre el cual actúan fuerzas, permanezca en equilibrio.
2.2 FUERZA.
La fuerza es el resultado de la interacción de dos cuerpos por contacto
directo o por efecto de acción a distancia, que cambia o tiende a cambiar
su movimiento o su forma. Las fuerzas aplicadas a un cuerpo pueden
producir dos efectos: efecto estático o deformación de un cuerpo y
efecto dinámico o aceleración del cuerpo. Como la suma de dos fuerzas
se efectúa por la ley del paralelogramo, entonces podemos decir que las
fuerzas son vectores. Además la unidad de fuerza en el Sistema
Internacional de Unidades es el newton (N).
2.3 NATURALEZA DE LAS FUERZAS.
a) Fuerza gravitacional.- Es una fuerza de atracción entre dos
cuerpos debido a la masa que poseen estos. Esta fuerza es muy
débil, y para que se pueda sentir apreciablemente es necesario
que la masa de por lo menos uno de los cuerpos tenga una
dimensión planetaria.
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 103 ~
b) Fuerza electromagnética.- Se descomponen en :
- Una fuerza eléctrica, que es la fuerza de atracción o de
repulsión entre dos cuerpos debido a la carga eléctrica que
poseen.
- Una fuerza magnética, que es una fuerza que se presenta
cuando las cargas eléctricas están en movimiento.
c) Fuerzas nucleares.- Estas fuerzas son de corto rango, ya que
aparecen cuando la distancia de interacción es del orden de 10-15
metros o menos. Las fuerzas nucleares mantienen unidos a los
protones y neutrones en el núcleo atómico.
2.4 FUERZAS DE CONTACTO.
Son fuerzas debido al contacto real entre dos cuerpos. Debemos
entender por contacto en el sentido macroscópico ya que en el sentido
microscópico el contacto no tiene sentido, los electrones o los núcleos
nunca se tocan. Estas fuerzas de contacto son: la fuerza elástica, la
fuerza de tensión, la fuerza normal y la fuerza de rozamiento.
2.5 LEY DE HOOKE.
En 1676 el inglés Robert Hooke (1635–1703 ), enunció la ley que lleva
su nombre en la cual indica que los resortes se alargan en proporción
directa a una fuerza aplicada en él. Para esclarecer mejor esto considere
un sistema físico compuesto por una masa unida al extremo de un
resorte, donde la masa se puede mover libremente por una pista
horizontal sin fricción. Cuando el resorte no está ni alargado ni
comprimido, la masa está en la posición x=0, conocida como la posición
de equilibrio del sistema. Si la masa se desplaza una pequeña distancia x
a partir del equilibrio, el resorte ejerce una fuerza sobre la masa m dada
por:
kxF
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 104 ~
La constante k se denomina constante del resorte. El signo negativo
indica que la fuerza es de restitución, esto es, cuando la masa se
desplaza hacia la derecha, la fuerza apunta hacia la izquierda. Cuando la
masa se desplaza hacia la izquierda, entonces la fuerza está dirigida
hacia la derecha.
x=0
F
F
2.6 TENSION DE UNA CUERDA.
Son fuerzas que se generan en el interior de las cuerdas debido a los
efectos de estiramiento por parte de fuerzas externas que actúan en los
extremos de la cuerda. Tomemos un cable fijo en una pared en el punto
O y del otro extremo O’ halemos con una fuerza F. Como las moléculas
del cable se separaron, las fuerza de restitución, llamada tensión, se
opondrá a la fuerza F. En un punto cualquiera del cable, las tensión T
siempre es la misma si este se encuentra en equilibrio.
T1 FT2T3T4
F=T=T1=T2=T3=T4
O O’
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 105 ~
2.7 FUERZA NORMAL.
Si consideramos un cuerpo sobre una superficie plana, las moléculas
comprimidas de la superficie producen una fuerza elástica dirigida de la
superficie hacia el cuerpo y normal a la superficie, esto es, la línea de
acción de esta fuerza normal N es siempre perpendicular a la superficie
en contacto. Si la superficie de contacto es curva, como por ejemplo un
círculo, la normal será perpendicular a la línea tangente común de los
cuerpos.
N
N
2.8 FUERZA DE ROZAMIENTO.
El rozamiento es debido a las asperezas y deformaciones de las
superficies de contacto. Consideramos un cuerpo sobre una superficie
plana y apliquémosle una fuerza horizontal F. Si esta fuerza es pequeña,
el cuerpo no se mueve debido a que una fuerza fs, que llamamos de
rozamiento estática, la contrarresta. Esta fuerza es proporcional a la
normal o sea
Nf ss
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 106 ~
denominaremos s el coeficiente estático de rozamiento.
Si aumentamos la fuerza, de tal manera que el cuerpo se mantiene en
movimiento, la fuerza de rozamiento, que llamamos ahora dinámica,
opuesta al movimiento, se mantiene constante y proporcional a la fuerza
normal,
Nf dd
siendo d el coeficiente dinámico de rozamiento.
N
Ffs
v=0
N
fd
v
Las anteriores relaciones para el rozamiento estático y dinámico, son
empíricas y aproximadamente independientes del área de contacto y de
la velocidad del cuerpo.
2.9 PRIMERA LEY DE NEWTON.
Llamada también ley de la inercia, esta dice:
<< Todo cuerpo continúa en su estado inicial de reposo o de
movimiento con velocidad uniforme en una línea recta, a menos que
sobre él actúe una fuerza externa neta o no equilibrada obligándolo
a cambiar de dicho estado. >>
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 107 ~
La fuerza neta que actúa sobre un cuerpo, llamada también fuerza
resultante, es la suma vectorial de todas las fuerzas que sobre él actúan
FFneta
Esta ley de inercia implica que:
Si lanzamos un cuerpo en un medio en la que no existe rozamiento,
entonces el cuerpo continúa su camino sin pararse ni desviarse y la
medida de su velocidad nos indica un valor constante.
Ninguna explicación es necesaria para justificar la existencia de una
velocidad.
Para cambiar la dirección o la magnitud de la velocidad de un
cuerpo, es decir para producir una aceleración, se necesita una
interacción del exterior del cuerpo.
2.10 TERCERA LEY DE NEWTON.
Llamada también ley de acción y reacción, esta dice:
<< A toda fuerza de acción se opone siempre una fuerza de reacción
igual; es decir, que las acciones mutuas de dos cuerpos son siempre
iguales y dirigidas en sentidos contrarios. Esto indica que las fuerzas
actúan siempre por pares. Además, las fuerzas de acción y reacción
se aplican a cuerpos diferentes >>
acciónF
reacciónF
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 108 ~
2.11 MOMENTO DE FUERZA O TORCA.
Consideremos una fuerza F
que actúa sobre una partícula localizada en
un punto P cuya posición respecto al origen O del referencial inercial
queda determinada por el vector de posición r
, la torca
que actúa
sobre la partícula respecto al origen O se define como
Fr
La torca es una cantidad vectorial. Su magnitud está dada por
senrF
donde es el ángulo entre r
y F
; su dirección es normal al plano
formado por r
y F
. Su sentido lo determina la regla de la mano
derecha del producto vectorial de dos vectores, según la cual r
se lleva
hasta F
recorriendo el menor ángulo entre ellas, curvando los dedos de
la mano derecha de modo que la dirección del pulgar extendido indica la
dirección de
. En el Sistema Internacional de Unidades, las unidades
de la torca son el newton-metro (Nm)
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 109 ~
F
r
Fr
La magnitud de
también puede escribirse como
FrFr sen
o también como
rFFr sen
en donde r es la componente de r
perpendicular a la línea de acción
de F
, y F es la componente de F
perpendicular a r
.
F
F
//F
r
r //r
O
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 110 ~
La torca se llama, a menudo, el momento de la fuerza y el término r se
llama brazo del momento. Por convención, diremos que el momento de
fuerza es positivo, si el efecto de la fuerza es producir una rotación
alrededor de O contraria al movimiento de las agujas del reloj, y
negativo cuando la rotación se produce en el mismo sentido del
movimiento de las agujas del reloj.
-F
+
F
2.12 CUPLA O PAR DE FUERZAS.
De dos fuerzas F
y F
que tengan el mismo módulo, rectas soporte
paralelas y sentidos opuestos se dice que forman una cupla, un par de
fuerzas o simplemente un par. Evidentemente, la suma de las
componentes de ambas fuerzas según cualquier dirección es cero. Sin
embargo, el momento de las dos fuerzas respecto a un punto dado no es
nulo y, si bien no producen traslación del cuerpo al que apliquen, si
tienden a rotarlo.
Representamos al momento del par como C
, y su valor se calcula
mediante
FdC
donde d es la distancia que existe entre las dos rectas soporte de las
fuerzas. El momento producido por un par de fuerzas es el mismo
respecto a cualquier punto del espacio.
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 111 ~
2.13 CONDICIONES DE EQUILIBRIO.
Una condición necesaria para que una partícula permanezca estacionaria
es que la fuerza neta que actúa sobre la partícula sea cero. Sin embargo
aunque el centro de masas de un cuerpo esté en reposo, el objeto puede
girar. Por tanto, es también necesario que el momento resultante
respecto al centro de masas sea cero. Las dos condiciones necesarias
para que un cuerpo rígido se encuentre en equilibrio estático son:
a) PRIMERA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO.
<< La suma vectorial de todas las fuerzas externas que actúan
sobre un cuerpo que está en equilibrio debe ser cero >>
0321
NFFFF
esta ecuación vectorial conduce a tres ecuaciones escalares
0
0
0
321
321
321
Nzzzz
Nyyyy
Nxxxx
FFFF
FFFF
FFFF
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 112 ~
b) SEGUNDA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO.
<< La suma vectorial de todas las torcas externas que actúan
sobre un cuerpo que está en equilibrio debe ser cero >>
0321
N
esta ecuación vectorial conduce a tres ecuaciones escalares
0
0
0
321
321
321
Nzzzz
Nyyyy
Nxxxx
x y
z
1F
2F
3F
x y
z
1
2
3
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 113 ~
PROBLEMA. En la figura se presenta un cajón de 8 kN de peso
suspendido de tres cables. Hallar la tensión de cada cable.
72 cm
80 cm
54 cm
64 cm
120 cm
Z
Y
X
A
B
C
D
O
Solución.
Paso 1. Determine las coordenadas de los puntos A, B, C y D.
A = (0, 0, -120) cm
B = (-54, -72, 0) cm
C = (64, 0, 0) cm
D = (-54, 80, 0) cm
Paso 2. Calculamos los vectores de posición AB, AC y AD.
𝐴𝐵 = −54𝒊 − 72𝒋 + 120𝒌 𝑐𝑚
𝐴𝐶 = 64𝒊 + 0𝒋 + 120𝒌 𝑐𝑚
𝐴𝐷 = −54𝒊 + 80𝒋 + 120𝒌 𝑐𝑚
Paso 3. Calculamos las magnitudes de los vectores de posición AB, AC
y AD.
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 114 ~
𝐴𝐵 = 150 𝑐𝑚
𝐴𝐶 = 136 𝑐𝑚
𝐴𝐷 = 154 𝑐𝑚
Paso 4. Calculamos los vectores unitarios de los vectores de posición
AB, AC y AD
𝒖 𝐴𝐵 =𝐴𝐵
𝐴𝐵 = −0.36𝒊 − 0.48𝒋 + 0.80𝒌
𝒖 𝐴𝐶 =𝐴𝐶
𝐴𝐶 = 0.47𝒊 + 0𝒋 + 0.88𝒌
𝒖 𝐴𝐷 =𝐴𝐷
𝐴𝐷 = −0.35𝒊 + 0.52𝒋 + 0.78𝒌
Paso 5. Determinamos las fuerzas de tensión 𝑇 𝐴𝐵 , 𝑇 𝐴𝐶 y 𝑇 𝐴𝐷 en cada
cuerda.
𝑇 𝐴𝐵 = 𝑇𝐴𝐵𝒖 𝐴𝐵 = −0.36𝑇𝐴𝐵𝒊 − 0.48𝑇𝐴𝐵𝒋 + 0.80𝑇𝐴𝐵𝒌
𝑇 𝐴𝐶 = 𝑇𝐴𝐶𝒖 𝐴𝐶 = 0.47𝑇𝐴𝐶𝒊 + 0𝒋 + 0.88𝑇𝐴𝐶𝒌
𝑇 𝐴𝐷 = 𝑇𝐴𝐷𝒖 𝐴𝐷 = −0.35𝑇𝐴𝐷𝒊 + 0.52𝑇𝐴𝐷𝒋 + 0.78𝑇𝐴𝐷𝒌
Paso 6. Determinamos el vector peso 𝑃 del cajón
𝑃 = 𝑃𝒖 𝑝𝑒𝑠𝑜 = 0𝒊 + 0𝒋 − 8𝒌
Paso 7. Aplicamos la primera condición de equilibrio
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 115 ~
𝑇 𝐴𝐵 + 𝑇 𝐴𝐶 + 𝑇 𝐴𝐷 + 𝑃 = 0
Lo que nos lleva al sistema de ecuaciones escalares:
−0.36𝑇𝐴𝐵 + 0.47𝑇𝐴𝐶 − 0.35𝑇𝐴𝐷 + 0 = 0−0.48𝑇𝐴𝐵 + 0𝑇𝐴𝐶 + 0.52𝑇𝐴𝐷 + 0 = 0
0.80𝑇𝐴𝐵 + 0.88𝑇𝐴𝐶 + 0.78𝑇𝐴𝐷 − 8 = 0
Paso 8. Resolvemos el sistema de ecuaciones lineales y obtenemos
𝑇𝐴𝐵 = 2.86 𝑘𝑁
𝑇𝐴𝐶 = 4.15 𝑘𝑁
𝑇𝐴𝐷 = 2.64 𝑘𝑁
PROBLEMA. Las masas de las cajas que descansan sobre la plataforma
representada en la figura son 300 kg, 100 kg y 200 kg respectivamente.
La masa de la plataforma es 500 kg. Determinar las tensiones de los tres
cables A, B y C que soportan la plataforma.
2
13
A
CB
1 m
1 m Solución.
Paso 1. Determinar las fuerzas aplicadas a la plataforma.
𝑇𝐴 es la tensión de la cuerda A
𝑇𝐵 es la tensión de la cuerda B
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 116 ~
𝑇𝐶 es la tensión de la cuerda C
𝑊1 = 𝑚1𝑔 = 300 𝑘𝑔 9.8𝑚
𝑠2 = 2940 𝑁 es el peso del bloque 1
𝑊2 = 𝑚2𝑔 = 100 𝑘𝑔 9.8𝑚
𝑠2 = 980 𝑁 es el peso del bloque 2
𝑊3 = 𝑚3𝑔 = 200 𝑘𝑔 9.8𝑚
𝑠2 = 1960 𝑁 es el peso del bloque 3
𝑊𝑝 = 𝑚𝑝𝑔 = 500 𝑘𝑔 9.8𝑚
𝑠2 = 4900 𝑁 es el peso de la plataforma
En forma vectorial tenemos
𝑇 𝐴 = 0𝒊 + 0𝒋 + 𝑇𝐴𝒌
𝑇 𝐵 = 0𝒊 + 0𝒋 + 𝑇𝐵𝒌
𝑇 𝐶 = 0𝒊 + 0𝒋 + 𝑇𝐶𝒌
𝑊 1 = 0𝒊 + 0𝒋 − 2940𝒌
𝑊 2 = 0𝒊 + 0𝒋 − 980𝒌
𝑊 3 = 0𝒊 + 0𝒋 − 1960𝒌
𝑊 𝑝 = 0𝒊 + 0𝒋 − 4900𝒌
Paso 2. Aplicamos la primera condición de equilibrio.
𝑇 𝐴 + 𝑇 𝐵 + 𝑇 𝐶 + 𝑊 1 + 𝑊 2 + +𝑊 3 + 𝑊 𝑝 = 0
Considerando las componentes z de los vectores tendremos
𝑇𝐴 + 𝑇𝐵 + 𝑇𝐶 − 2940 − 980 − 1960 − 4900 = 0
𝑇𝐴 + 𝑇𝐵 + 𝑇𝐶 = 10780 ….……………….. (1)
Paso 3. Determinamos los vectores posición de cada fuerza.
𝑟 𝐴 = 0, 0, 0 = 0𝒊 + 0𝒋 + 0𝒌
𝑟 𝐵 = 3, 1, 0 = 3𝒊 + 1𝒋 + 0𝒌
𝑟 𝐶 = 1, 4, 0 = 1𝒊 + 4𝒋 + 0𝒌
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 117 ~
𝑟 1 = 1, 1, 0 = 1𝒊 + 1𝒋 + 0𝒌
𝑟 2 = 2, 1, 0 = 2𝒊 + 1𝒋 + 0𝒌
𝑟 3 = 1, 3, 0 = 1𝒊 + 3𝒋 + 0𝒌
𝑟 𝑃 = 1.5, 2, 0 = 1.5𝒊 + 2𝒋 + 0𝒌
Paso 4. Calculamos las torcas de cada fuerza.
𝜏 𝐴 = 𝑟 𝐴 × 𝑇 𝐴 = 𝒊 𝒋 𝒌
0 0 00 0 𝑇𝐴
= 0𝒊 + 0𝒋 + 0𝒌
𝜏 𝐵 = 𝑟 𝐵 × 𝑇 𝐵 = 𝒊 𝒋 𝒌
3 1 00 0 𝑇𝐵
= 𝑇𝐵𝒊 − 3𝑇𝐵𝒋 + 0𝒌
𝜏 𝐶 = 𝑟 𝐶 × 𝑇 𝐶 = 𝒊 𝒋 𝒌
1 4 00 0 𝑇𝐶
= 4𝑇𝐶𝒊 − 𝑇𝐶𝒋 + 0𝒌
𝜏 1 = 𝑟 1 × 𝑤 1 = 𝒊 𝒋 𝒌
1 1 00 0 −2940
= −2940𝒊 + 2940𝒋 + 0𝒌
𝜏 2 = 𝑟 2 × 𝑤 2 = 𝒊 𝒋 𝒌
2 1 00 0 −980
= −980𝒊 + 1960𝒋 + 0𝒌
𝜏 3 = 𝑟 3 × 𝑤 3 = 𝒊 𝒋 𝒌
1 3 00 0 −1960
= −5880𝒊 + 1960𝒋 + 0𝒌
𝜏 𝑝 = 𝑟 𝑝 × 𝑤 𝑝 = 𝒊 𝒋 𝒌
1.5 2 00 0 −4900
= −9800𝒊 + 7350𝒋 + 0𝒌
Paso 5. Aplicamos segunda condición de equilibrio.
𝜏 𝐴 + 𝜏 𝐵 + 𝜏 𝐶 + 𝜏 1 + 𝜏 2 + 𝜏 3 + 𝜏 𝑝 = 0
Considerando la suma de componentes en x:
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 118 ~
0 + 𝑇𝐵 + 4𝑇𝐶 − 2940 − 980 − 5880 − 9800 = 0
𝑇𝐵 + 4𝑇𝐶 = 19600 ………………… (2)
Similarmente consideremos la suma de componentes en y:
0 − 3𝑇𝐵 − 𝑇𝐶 + 2940 + 1960 + 1960 + 7350 = 0
3𝑇𝐵 + 𝑇𝐶 = 14210 ………………… (3)
Paso 6. Resolvemos el sistema de ecuaciones lineales (1), (2) y (3).
𝑇𝐴 + 𝑇𝐵 + 𝑇𝐶 = 107800𝑇𝐴 + 𝑇𝐵 + 4𝑇𝐶 = 196000𝑇𝐴 + 3𝑇𝐵 + 𝑇𝐶 = 14210
Obtenemos
𝑇𝐴 = 3341 𝑁 ; 𝑇𝐵 = 3385 𝑁 ; 𝑇𝐶 = 4054 𝑁
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 119 ~
PROBLEMAS
PROBLEMA 1. En la figura 1 se representa un cajón suspendido de
tres cables. Hallar el peso del cajón sabiendo que la tensión en el cable
AB es de 3,75 kN. Rpta: 10,5 kN
PROBLEMA 2. En la figura 1 se representa un cajón suspendido de
tres cables. Hallar el peso del cajón sabiendo que la tensión en el cable
AD es de 3,08 kN. Rpta: 9,34 kN
PROBLEMA 3. En la figura 1 se representa un cajón suspendido de
tres cables. Hallar el peso del cajón sabiendo que la tensión en el cable
AC es de 2,72 kN. Rpta: 5,25 kN
PROBLEMA 4. En la figura 1 se representa un cajón de 8 kN de peso
suspendido de tres cables. Hallar la tensión de cada cable.
Rpta:TAB=2,86 kN; TAC = 4,15 kN; TAD = 2,64 kN.
72 cm
80 cm
54 cm
64 cm
120 cm
Z
Y
X
A
B
C
D
O
Figura 1
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 120 ~
PROBLEMA 5. Se representa en la figura 2 un globo anclado mediante
tres cables. Hallar la fuerza vertical P que el globo ejerce en A sabiendo
que la tensión en el cable AB es 259 N. Rpta: 1031 N
PROBLEMA 6. Se representa en la figura 2 un globo anclado mediante
tres cables. Hallar la fuerza vertical P que el globo ejerce en A sabiendo
que la tensión en el cable AC es 444 N. Rpta: 956 N
D
A
B
O
C
3,30 m
5,60 m
4,20 m
2,40 m4,20 mZ X
Y
Figura 2
PROBLEMA 7. Las masas de las cajas que descansan sobre la
plataforma representada en la figura 3 son 300kg, 100 kg, y 200 kg,
respectivamente. La masa de la plataforma es 500 kg. Determinar las
tensiones de los tres cables A, B y C que soportan la plataforma.
Rpta: TA=3434 N ; TB=3924 N ; TC=3433 N ;
PROBLEMA 8. Una placa circular pesa 2500 N y la soportan tres
cables según se indica en la figura 4. Determinar las tensiones de los
tres cables. Rpta: TA = 977 N ; TB = 391 N ; TC = 1135 N
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 121 ~
2
13
A
CB
1 m
1 m
375 mm
375 mm
525 mm225 mm
525 mm
225 mm
TcTB
TA Z
YX
Figura 3 Figura 4
PROBLEMA 9. La placa de 500 500 mm de la figura 5 pesa 280 N y
cuelga de tres alambres verticales. Hallar la tensión de cada alambre.
Rpta: TA = 105 N ; TB = TC = 87,5 N
PROBLEMA 10. La placa de 500 500 mm de la figura 5 pesa 280 N
y cuelga de tres alambres verticales. Hallar el peso y la posición del
bloque más liviano a colocar en la placa para que las tensiones en los
cables sean iguales. Rpta: W = 20 N ; x = 500 mm; z = 250 mm.
A
C
B
100 mm
400 mmz
x
y
250 mm
Figura 5
La descripción del movimiento corresponde a la parte de la mecánica
llamada cinemática. La cinemática estudia el movimiento de los
cuerpos sin analizar las causas que lo producen.
3.1 MOVIMIENTO MECANICO
Es el cambio de posición que experimenta un cuerpo con respecto a un
sistema de coordenadas considerado como fijo.
A
B
x
y
3.2 ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO
1. Móvil.- Es el cuerpo o partícula que se mueve.
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 123 ~
2. Vector Posición.- Es aquel vector que fija las diferentes posiciones
que va tomando un cuerpo; tiene como origen el “origen de
coordenadas” y como extremo final el punto donde se ubica el
cuerpo.
AB
x
y
Origen de
coordenadas
Vector
Posición A Vector
Posición B
3. Trayectoria.- Viene a ser la línea (recta o curva) que se obtiene
uniendo los diferentes puntos que va ocupando en el espacio una
partícula en movimiento.
AB
x
yTrayectoria
del
movimiento
4. Desplazamiento.- Es un vector que representa el cambio de lugar o
posición de una partícula en movimiento. Tiene como origen la
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 124 ~
posición inicial y como extremo final la posición final de la
partícula.
AB
x
yVector
desplazamiento
r = B - A
5. Espacio.- Viene a ser la longitud de la trayectoria del móvil.
6. Velocidad.- Magnitud vectorial cuyo valor indica el espacio
recorrido por unidad de tiempo. Las características fundamentales
del vector velocidad son:
- Ser tangente a la trayectoria, en todos sus puntos.
- Definir el sentido del movimiento.
3.3 CARACTERISTICAS DEL MOVIMIENTO
Por su velocidad:
a) Uniforme.- donde la velocidad permanece constante a medida que
pasa el tiempo. También se le llama MRU (Movimiento Rectilíneo
Uniforme).
b) Uniforme Variado.- donde la velocidad varía pero con una
aceleración constante. También se llama MRUV (Movimiento
Rectilíneo Uniformemente Variado). Aquí también se analiza el
movimiento de caída libre.
c) Totalmente variado caótico.- donde la aceleración no es constante.
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 125 ~
Por su trayectoria:
Rectilíneos y curvilíneos.-
- hiperbólicos
- Parabólicos
- Circular
- Oscilatorio
- Elíptico
- Curvo
- Rectilíneo
Por sus dimensiones:
- Unidimensionales
- Bidimensionales
- Tridimensionales
3.4 RAPIDEZ PROMEDIO
La rapidez promedio _
v de la partícula se define como la razón de su
desplazamiento x y el intervalo de tiempo t.
0
0_
tt
xx
t
xv
3.5 VECTOR VELOCIDAD PROMEDIO
a) En una dimensión.- Tenemos:
0
0_
ttt
xxxv
Sabemos que
ix
ix
0 0x
x
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 126 ~
Por lo tanto
iv
tt
xx
tt
xx _
0
0
0
0
iiiv
x0
x
x-x0 = x
t0 t
v
x
y
Nota: La rapidez media o promedio es el valor absoluto o el módulo
de la velocidad promedio. _
vv
La rapidez no tiene dirección asociada y no lleva signo.
b) En dos dimensiones.- Tenemos
ttt
rrrv
0
0
Si consideramos que
jir
jir
yx
yx
000
tendremos
jiji
v
jijiv
0
0
0
0
0
00
0
00
)()()()(
)()(
tt
yy
tt
xx
tt
yyxx
tt
yxyx
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 127 ~
jiv yx vv__
La rapidez se calculará por 2_2_
yx vv v
x0 x
y0
y r-r0=r
r0 r
v
c) En tres dimensiones.- Tenemos
ttt
rrrv
0
0
Si consideramos que
kjir
kjir
zyx
zyx
0000
tendremos
kji
kjiv
kjikjiv
0
0
0
0
0
0
0
000
0
000
)()()(
)()()(
)()(
tt
zz
tt
yy
tt
xx
tt
zzyyxx
tt
zyxzyx
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 128 ~
kjiv zyx vvv___
La rapidez se calculará por
2_2_2_
zyx vvv v
x
x0
y y0
z
z0
r r0
r - r0 = r
3.6 MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME
Cuando en un movimiento la rapidez se mantiene constante a medida
que pasa el tiempo, entonces se dice que el movimiento es
uniformemente rectilíneo.
Consideremos un gráfico de movimiento espacio-tiempo y calculemos
la velocidad en distintos intervalos de tiempo, tal como se indica a
continuación.
Sea un auto que parte del punto A, al tiempo t=0 horas y se traslada en
línea recta hacia el punto B situado a 60 km., al cual llega 6 horas
después. Registramos el movimiento en el siguiente gráfico:
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 129 ~
0 1 2 3 4 5 6
0
10
20
30
40
50
60
Espa
cio (k
m)
Tiempo (horas)
Unimos los distintos puntos registrados y obtenemos una recta cuya
pendiente viene a representar la velocidad del auto. Calculamos esa
pendiente de con distintos intervalos de tiempo de la siguiente forma.
0 1 2 3 4 5 6
0
10
20
30
40
50
60
Espa
cio
(km
)
Tiempo (horas)
t
x
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 130 ~
hkmtt
xx
t
xv / 10
1
10
01
010
0
0
hkmtt
xx
t
xv / 10
1
10
12
1020
0
0
hkmtt
xx
t
xv / 10
1
10
23
2030
0
0
hkmtt
xx
t
xv / 10
4
40
15
1050
0
0
hkmtt
xx
t
xv / 10
3
30
36
3060
0
0
Notamos que la velocidad es la misma para cualquier intervalo de
tiempo.
3.7 VELOCIDAD INSTANTANEA
Consideremos el mismo auto anterior pero ahora describe un
movimiento diferente al anterior, al cual lo registramos en el siguiente
gráfico espacio-tiempo .
0 1 2 3 4 5 6
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
Espa
cio
(km
)
Tiempo (horas)
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 131 ~
Unimos los diferentes puntos y obtenemos una curva en la cual vamos a
calcular la velocidad para distintos intervalos de tiempo, tal como se
muestra a continuación:
Consideremos el intervalo de tiempo entre t=1 y t=6 horas
0 1 2 3 4 5 6
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65E
spac
io (k
m)
Tiempo (horas)
t
x
hkmtt
xx
t
xv / 7
5
35
16
2560
0
0
La pendiente de la recta entre los puntos x0=25, t0=1 y x=60, t=6 indica
la velocidad promedio entre ese intervalo de tiempo.
Consideremos el intervalo de tiempo entre t=1 y t=5 horas
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 132 ~
0 1 2 3 4 5 6
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
Espa
cio
(km
)
Tiempo (horas)
t
x
hkmtt
xx
t
xv / 25.8
4
33
15
2558
0
0
Consideremos el intervalo de tiempo entre t=1 y t=4 horas
0 1 2 3 4 5 6
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
Espa
cio (k
m)
Tiempo (horas)
t
x
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 133 ~
hkmtt
xx
t
xv / 10
3
30
14
2555
0
0
Consideremos el intervalo de tiempo entre t=1 y t=3 horas
0 1 2 3 4 5 6
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
Espa
cio (k
m)
Tiempo (horas)
t
x
hkmtt
xx
t
xv / 5.12
2
25
13
2550
0
0
Consideremos el intervalo de tiempo entre t=1 y t=2 horas
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 134 ~
0 1 2 3 4 5 6
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
Espa
cio (k
m)
Tiempo (horas)
t
x
hkmtt
xx
t
xv / 15
1
15
12
2540
0
0
Consideremos el intervalo de tiempo entre t=1 y t=1.5 horas
0 1 2 3 4 5 6
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
Espa
cio (k
m)
Tiempo (horas)
t
x
hkmtt
xx
t
xv / 17
5.0
5.8
15.1
255.33
0
0
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 135 ~
Consideremos el intervalo de tiempo entre t=1 y t=1.5 horas
0 1 2 3 4 5 6
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
Espa
cio (k
m)
Tiempo (horas)
t
x
hkmtt
xx
t
xv / 2.18
05.0
91.0
105.1
2591.25
0
0
Consideremos el intervalo de tiempo entre t=1 y t=1.5 horas
0 1 2 3 4 5 6
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
Espa
cio (k
m)
Tiempo (horas)
t
x
hkmtt
xx
t
xv / 6.19
005.0
098.0
1005.1
25098.25
0
0
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 136 ~
Consideremos un t aún más pequeño, de la siguiente forma:
hkmtt
xx
t
xv / 20
0001.0
0020.0
10001.1
250020.25
0
0
Si continuamos con este proceso notamos que el intervalo de tiempo t
se va haciendo cada vez más pequeño (tiende a cero) y la velocidad
converge poco a poco en un determinado valor ( 20 km./h). Este
proceso se denomina “proceso límite”. Matemáticamente lo podemos
representar como:
t
xLimv
t
0
Esta última expresión se denomina velocidad instantánea y
geométricamente representa la pendiente de la línea tangente a la curva
x función de t en un punto de dicha trayectoria.
En la notación del cálculo, este límite se conoce como la derivada de x
respecto de t y se escribe
dt
dxv
Esta pendiente puede ser positiva (x creciente) o negativa (x
decreciente); por consiguiente, la velocidad vectorial instantánea puede
ser positiva o negativa en un movimiento unidimensional. La expresión
dx se denomina diferencial de x, y la expresión dt se denomina un
diferencial de tiempo. Gráficamente tendremos:
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 137 ~
0 1 2 3 4 5 6
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
Espa
cio (k
m)
Tiempo (horas)
dt
dx
Recta
tangente
En notación vectorial tendremos el vector velocidad instantánea de la
siguiente forma:
dt
dxv
o
ivdt
dx
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 138 ~
3.8 VELOCIDAD EN DOS Y TRES DIMENSIONES
En el plano consideremos un movimiento en el cual t tiende a cero,
esto quiere decir que los vectores posición r0 y r están lo
suficientemente cerca como para generar un vector dr, tal como se
muestra en la siguiente figura:
x
y
r0
r
dr
El vector r en tres dimensiones estará dado por
kjir zyx
el vector velocidad instantánea está dado por
dt
drv
luego
)( kjiv zyxdt
d
kjivdt
dz
dt
dy
dt
dx
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 139 ~
3.9 ACELERACIÓN PROMEDIO
La aceleración promedio a de la partícula se define como la razón de su
variación de velocidad v y el intervalo de tiempo t.
0
0
tt
vv
t
va
3.10 VECTOR ACELERACIÓN PROMEDIO
La aceleración promedio en forma vectorial se define como
0ttt
0vvv
a
Consideremos una curva de movimiento velocidad-tiempo como la
siguiente:
t
v
t0
v0
t
v
Curva de
movimiento
A
B
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 140 ~
En este gráfico se puede calcular la aceleración promedio entre los
puntos A y B con la anterior fórmula.
Algunas aplicaciones vectoriales
Consideremos un móvil que se desplaza sobre una pista horizontal y
recta. Inicialmente el móvil tendrá una velocidad v0 y al cabo de algún
tiempo, tendrá otra velocidad final v. En los siguientes gráficos se
muestran los casos de aceleración y desaceleración para el móvil.
v0 v
a
-v0
v
v-v0
v0 v
a
-v0
v v-v0
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 141 ~
Consideremos ahora un objeto que gira atado a una cuerda, tal como se
muestra en la siguiente figura:
3.11 ACELERACION INSTANTANEA
La aceleración instantánea a es igual al valor límite del cociente v/t
conforme t se acerca a cero.
t
vLima
t
0
En la notación del cálculo, este límite se conoce como la derivada de v
respecto de t y se escribe
dt
dva
En forma vectorial la aceleración instantánea se escribe como
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 142 ~
dt
dva
o también en una dimensión como
iadt
dv
3.12 ACELERACION INSTANTANEA EN DOS Y TRES
DIMENSIONES
En el espacio la velocidad está dada por
kjiv zyx vvv
Luego
dt
dva
)( kjia zyx vvvdt
d
kjiadt
dv
dt
dv
dt
dv zyx
y luego
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 143 ~
kjia zyx aaa
También sabemos que
dt
dzv
dt
dyv
dt
dxv zyx ; ;
Reemplazando
kjia
dt
dz
dt
d
dt
dy
dt
d
dt
dx
dt
d
kjia2
2
2
2
2
2
dt
zd
dt
yd
dt
xd
modificando la anterior ecuación
)(2
2
kjia zyxdt
d
por lo tanto
2
2
dt
d ra
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 144 ~
1) Movimiento con velocidad constante
Partimos de la ecuación para la velocidad instantánea
dt
dxv
diferenciando la ecuación
dxvdt
vdtdx
integrando
t
t
x
xvdtdx
00
Asumimos que la velocidad es función del tiempo v=v(t), entonces
t
tt
x
x dtvxxx0
0 )(0 )(
Despejando x tendremos
t
tt dtvxx
0)(0
Que viene a ser la expresión general para la posición cuando la
velocidad depende del tiempo.
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 145 ~
Cuando la velocidad no es función del tiempo, sino mas bien es una
constante, tendremos:
ctevv t )(
Luego
tt
t
t
t
t
tvxx
dtvxx
vdtxx
0
0
0
0
0
0
)( 00 ttvxx
generalmente se considera t0 = 0, por lo tanto
vtxx 0
3.13 MOVIMIENTO CON ACELERACIÓN CONSTANTE
3.13.1 Para hallar la velocidad
Partimos de la ecuación para la aceleración instantánea
dt
dva
Diferenciando
adtdv
dvadt
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 146 ~
integrando
t
t
v
vadtdv
00
Asumimos que la aceleración es función del tiempo a = a(t), entonces
t
tt
v
v dtavvv0
0 )(0 )(
Despejando v, tendremos
t
tt dtavv
0)(0
Que viene a ser la expresión general para la velocidad cuando la
aceleración depende del tiempo.
Cuando la aceleración no es función del tiempo, sino mas bien es una
constante tendremos:
cteaa t )(
Luego
)( 00
0
0
0
0
0
0
ttavv
tavv
dtavv
adtvv
t
t
t
t
t
t
Generalmente se considera t0 = 0, por lo tanto
atvv 0
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 147 ~
3.13.2 Para hallar el espacio recorrido
Según la ecuación
t
tt dtvxx
0)(0
sabemos que atvv t 0)(
reemplazando el valor de v(t), tendremos que
t
tdtatvxx
0
)( 00
22)(
2
2
0
2
000
2
00
00
00
00
0
0
00
00
00
ttattvxx
tatvxx
tdtadtvxx
tdtadtvxx
atdtdtvxx
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
Considerando que t0 = 0, tendremos que
2
2
00
attvxx
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 148 ~
3.13.3 Para hallar la velocidad independiente del tiempo
Aplicamos regla de la cadena a la aceleración instantánea
dx
dvva
vdx
dva
dt
dx
dx
dv
dt
dva
diferenciando
vdvadx
integrando
22)(
2
2
0
2
0
2
0
0
00
00
vvxxa
vxa
vdvdxa
vdvadx
v
v
x
x
v
v
x
x
v
v
x
x
Considerando que x0 = 0, tendremos:
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 149 ~
2
0
2
0
2
0
2
0
2
22
vvax
vvax
despejando v tendremos
axvv 22
0
2
3.14 ECUACIONES EN DOS Y TRES DIMENSIONES
Según las ecuaciones en una sola dimensión obtenidas anteriormente,
podemos deducir las ecuaciones vectoriales en dos y tres dimensiones
de la siguiente forma:
Sean
kjir zyx
kjir 0000 zyx
kjiv zyx vvv
kjiv 0 zoyx vvv 00
kjia zyx aaa
entonces
t00 vrr
tavv 0
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 150 ~
2
2tt
avrr 00
3.15 ECUACIONES CINEMATICAS PARA LA CAIDA LIBRE
El ejemplo más común del movimiento con aceleración (casi constante)
es el de un cuerpo que cae hacia la tierra. Si no hay resistencia del aire,
se observa que todos los cuerpos caen con la misma aceleración en la
misma región vecina a la superficie terrestre y, si la distancia recorrida
no es demasiado grande, la aceleración permanece constante durante la
caída. El movimiento ideal en el que se desprecia tanto la resistencia del
aire como el pequeño cambio de la aceleración con la altura, se llama
“caída libre”. A continuación deduciremos las ecuaciones para el
movimiento de caída libre.
Consideremos a una persona que se encuentra en lo alto de un edificio,
del cual lanza verticalmente hacia abajo un objeto con velocidad inicial
v0 tal como se muestra en el siguiente gráfico
v0
v
h g
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 151 ~
En el gráfico se observa que la aceleración del cuerpo es la aceleración
de la gravedad g y el espacio recorrido es la altura h. Además los
vectores velocidad y aceleración se encuentran en el mismo sentido
luego podemos establecer la siguiente analogía para las ecuaciones de
caída libre
atvv 0 gtvv 0
2
2
0
attvx
2
2
0
gttvh
axvv 22
0
2 ghvv 22
0
2
Consideremos ahora el caso de una persona que lanza un objeto hacia
arriba con una velocidad inicial v0, tal como se muestra en la siguiente
figura
v0
v
h g
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 152 ~
Se puede observar que los vectores velocidad y aceleración tienen
sentidos contrarios, debido a esto consideraremos a la gravedad como
negativa.
atvv 0 gtvv 0
2
2
0
attvx
2
2
0
gttvh
axvv 22
0
2 ghvv 22
0
2
3.16 MOVIMIENTO DE PROYECTILES
Una interesante aplicación del movimiento en dos dimensiones es la de
un proyectil lanzado al aire en donde se mueva libremente. El
movimiento de un proyectil es complicado por la resistencia del aire, la
rotación de la tierra y las variaciones de la aceleración de la gravedad.
Por simplicidad despreciaremos estas complicaciones. El proyectil tiene
entonces una aceleración constante dirigida verticalmente hacia abajo
con una magnitud aproximada de 9.81 m/s2 = 32 pies/s
2. En el
movimiento de proyectiles, las componentes horizontal y vertical del
movimiento son independientes.
Consideremos una partícula que se lanza con cierta velocidad inicial v0
que tiene componentes vertical y horizontal respecto a un origen fijo.
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 153 ~
x
y
g
v0
v0x
v0y
0
v
vx
vy
La ecuación vectorial para la aceleración está dada por
jia yx aa
donde en el gráfico anterior observamos que la única aceleración que
existe es prácticamente la aceleración de la gravedad que se encuentra
en la dirección del eje y negativo, por lo tanto tendremos que:
ga
a
y
x
0 (1)
y luego reemplazando
ja g
La ecuación vectorial en el plano para la velocidad está dada por
tavv 0
desarrollando esta ecuación en sus componentes rectangulares
tendremos
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 154 ~
0)()(
)()(
)()(
00
00
00
ji
jijiji
jijiji
tavvtavv
tatavvvv
taavvvv
yyyxxx
yxyxyx
yxyxyx
de donde obtenemos las dos ecuaciones siguientes:
tavv
tavv
yyy
xxx
0
0
pero conocemos las componentes del vector aceleración, tendremos
entonces:
gtvv
vv
yy
xx
0
0
Según el gráfico obtenemos que
000
000
sen
cos
vv
vv
y
x
luego
gtvv
vv
y
x
00
00
sen
cos
(2)
La ecuación vectorial en el plano para el desplazamiento está dada por
la siguiente ecuación
2
2tt
avr 0
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 155 ~
desarrollando esta ecuación en sus componentes rectangulares
tendremos
022
2)()(
2
0
2
0
2
00
ji
jijiji
tavy
tavx
taatvvyx
y
yx
x
yxyx
de donde obtenemos las dos ecuaciones siguientes:
2
22
0
2
0
tavy
tavx
y
y
xx
pero conocemos los valores de vx0, vy0, ax, ay. Reemplazando
obtenemos:
2sen
cos
2
00
00
gtvy
vx
(3)
con las ecuaciones (1), (2) y (3) se pueden solucionar los problemas de
proyectiles. Para mejor comodidad se puede recurrir a la siguiente tabla
Eje x Eje y
0xa
00 cosvvx
00 cosvx
ga y
gtvv y 00 sen
2sen
2
00
gtvy
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 156 ~
EJERCICIOS
VECTOR VELOCIDAD MEDIA
1. Una partícula se encuentra en la abscisa xo=3m al tiempo to=2s,
trasladándose luego hacia la abscisa x=8m al tiempo t=6s. Hallar el
vector velocidad media de la partícula y su respectivo módulo.
Respuesta: v=1.25 i m/s; v=1.25 m/s
2. Una partícula se encuentra en la abscisa xo=0m al tiempo to=0s,
trasladándose luego hacia la abscisa x=18m al tiempo t=10s. Hallar
el vector velocidad media de la partícula y su respectivo módulo.
Respuesta: v=1.8 i m/s; v=1.8 m/s
3. Una partícula se encuentra en la abscisa xo=-23m al tiempo to=0s,
trasladándose luego hacia la abscisa x=-8m al tiempo t=4s. Hallar el
vector velocidad media de la partícula y su respectivo módulo.
Respuesta: v=3.75 i m/s; v=3.75 m/s
4. Una partícula se encuentra en la abscisa xo=3m al tiempo to=2s,
trasladándose luego hacia la abscisa x=8m al tiempo t=6s. Hallar el
vector velocidad media de la partícula y su respectivo módulo.
Respuesta: v=1.25 i m/s; v=1.25 m/s
5. Una partícula se encuentra en la abscisa xo=-8m al tiempo to=0s,
trasladándose luego hacia la abscisa x=-23m al tiempo t=4s. Hallar
el vector velocidad media de la partícula y su respectivo módulo.
Respuesta: v=-3.75 i m/s; v=3.75 m/s
6. Una partícula se encuentra en la abscisa xo=-9m trasladándose luego
hacia la abscisa x=-18m en 3s. Hallar el vector velocidad media de
la partícula y su respectivo módulo.
Respuesta: v=-3 i m/s; v=3 m/s
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 157 ~
7. Una partícula se encuentra en la abscisa xo=-13m al tiempo to=0s,
trasladándose luego hacia la abscisa x=13m al tiempo t=7s. Hallar el
vector velocidad media de la partícula y su respectivo módulo.
Respuesta: v=3.714 i m/s; v=3.714 m/s
8. Una partícula se encuentra en la ordenada yo=13m al tiempo to=7s,
trasladándose luego hacia la ordenada y=18m al tiempo t=13s.
Hallar el vector velocidad media de la partícula y su respectivo
módulo.
Respuesta: v=0.833 j m/s; v=0.833 m/s
9. Una partícula se encuentra en la ordenada yo=-3m trasladándose
luego hacia la ordenada y=-8m en 5s. Hallar el vector velocidad
media de la partícula y su respectivo módulo.
Respuesta: v=- j m/s; v=1 m/s
10. Una partícula se encuentra en la ordenada yo=0km al tiempo to=0h,
trasladándose luego hacia la ordenada y=-17km al tiempo t=2h.
Hallar el vector velocidad media de la partícula y su respectivo
módulo.
Respuesta: v=-8.5 j km/h; v=8.5 km/h
11. Una partícula se encuentra en la abscisa xo=-1m trasladándose luego
hacia la abscisa x=-0m en 100s. Hallar el vector velocidad media de
la partícula y su respectivo módulo.
Respuesta: v=0.01 i m/s; v=0.01 m/s
12. Una partícula se encuentra en la abscisa xo=-39mm trasladándose
luego hacia la abscisa x=-1mm en 6s. Hallar el vector velocidad
media de la partícula y su respectivo módulo.
Respuesta: v=6.333i mm/s; v=6.333 mm/s
13. Halle el vector velocidad media de una partícula que se mueve
desde la abscisa +8cm hasta la abscisa –8cm en 10s.
Respuesta: v=-1.6i cm/s; v=1.6 cm/s
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 158 ~
14. Una partícula se encuentra en la abscisa xo=-9m trasladándose luego
hacia la abscisa x=-18m en 3s. Hallar el vector velocidad media de
la partícula y su respectivo módulo.
Respuesta: v=-3i m/s; v=3 m/s
15. Una partícula se traslada desde la posición (3m,1m) hasta la
posición (6m,7m) en 13s. Hallar el vector velocidad media y su
respectivo módulo.
Respuesta: v=(0.231i+0.462j)m/s; v=0.516 m/s
16. Una partícula se traslada desde la posición (13m,-9m) hasta la
posición (-6m,3m) en 10s. Hallar el vector velocidad media y su
respectivo módulo.
Respuesta: v=(-1.9i+1.2j)m/s; v=2.247 m/s
17. Una partícula se traslada desde la posición (30m,-10m) hasta la
posición (3m,4m) en 0.1s. Hallar el vector velocidad media y su
respectivo módulo.
Respuesta: v=(-270i+140j)m/s; v=304.138 m/s
18. Una partícula se traslada desde la posición (0m,0m) hasta la
posición (-1m,-1m) en 200s. Hallar el vector velocidad media y su
respectivo módulo.
Respuesta: v=(-0.005i-0.005j)m/s; v=0.007 m/s
19. Una partícula se traslada desde la posición (1m,0.01m) hasta la
posición (0.6m,7.5m) en 28s. Hallar el vector velocidad media y su
respectivo módulo.
Respuesta: v=(-0.014i+0.268j)m/s; v=0.268 m/s
20. Una partícula se traslada desde la posición ro=(12i+6j)m hasta la
posición r=(-3i+7j)m en 5s. Hallar el vector velocidad media y su
respectivo módulo.
Respuesta: v=(-3i+0.2j)m/s; v=3.007 m/s
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 159 ~
21. Una partícula se traslada desde la posición ro=(-2i+5j)m hasta la
posición r=(3i-3j)m en 15s. Hallar el vector velocidad media y su
respectivo módulo.
Respuesta: v=(0.333i-0.533j)m/s; v=0.629 m/s
22. Una partícula se traslada desde la posición ro=(i+j)m hasta la
posición r=(0i+0j)m en 9s. Hallar el vector velocidad media y su
respectivo módulo.
Respuesta: v=(-0.111i-0.111j)m/s; v=0.157 m/s
23. Una partícula se traslada desde la posición ro=(-2i-2j)m al tiempo
t0=2s, hasta la posición r=(0i+10j)m al tiempo t=6s. Hallar el vector
velocidad media y su respectivo módulo.
Respuesta: v=(0.5i+3j)m/s; v=3.041 m/s
24. Una partícula demora 20s en trasladarse desde la posición ro=(i-j)m
hasta la posición r=(13i+77j)m. Hallar el vector velocidad media y
su respectivo módulo.
Respuesta: v=(0.6i+3.9j)m/s; v=3.946 m/s
25. Una partícula demora 12s en trasladarse desde la posición ro=(-j)m
hasta la posición r=(i+7j)m. Hallar el vector velocidad media, su
respectivo módulo y su vector unitario.
Respuesta: v=(0.083i+0.667j)m/s; v=0.672 m/s
u=0.124i+0.992j
26. Una partícula demora 0.2s en trasladarse desde la posición ro=(-i)m
hasta la posición r=(3j)m. Hallar el vector velocidad media, su
respectivo módulo y su vector unitario.
Respuesta: v=(5i+15j)m/s; v=15.811 m/s
u=0.316i+0.949j
27. Una partícula demora 1s en trasladarse desde la posición ro=(2i+j)m
hasta la posición r=(3i+19j)m. Hallar el vector velocidad media, su
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 160 ~
respectivo módulo, su vector unitario y el ángulo que hace el vector
con respecto al eje x.
Respuesta: v=(i+18j)m/s; v=18.028 m/s
u=0.055i+0.998j; x=86.82°
28. Una partícula demora 0.25s en trasladarse desde la posición
ro=(0.23i+5.8j)m hasta la posición r=(10.3i+15.6j)m. Hallar el
vector velocidad media, su respectivo módulo, su vector unitario y
el ángulo que hace el vector con respecto al eje x.
Respuesta: v=(40.28i+39.2j)m/s; v=56.206 m/s
u=0.717i+0.697j; x=44.22°
29. Una partícula demora 14s en trasladarse desde la posición
ro=(20i+14j)m hasta la posición r=(2i+9j)m. Hallar el vector
velocidad media, su respectivo módulo, su vector unitario y el
ángulo que hace el vector con respecto al eje x.
Respuesta: v=(-1.286i-0.357j)m/s; v=1.334 m/s
u=-0.964i-0.268j; x=164.48°
30. Una partícula demora 60min en trasladarse desde la posición ro=(-
58i+61j)cm hasta la posición r=(13i+219j)cm. Hallar el vector
velocidad media, su respectivo módulo, su vector unitario y el
ángulo que hace el vector con respecto al eje y.
Respuesta: v=(1.183i+2.633j)cm/min; v=2.887
u=0.41i+0.912j; y=24.2°
31. Una partícula demora 28h en trasladarse desde la posición ro=(-
12i+0j)m hasta la posición r=(33i+51j)m. Hallar el vector velocidad
media, su respectivo módulo, su vector unitario y el ángulo que hace
el vector con respecto al eje y.
Respuesta: v=(1.607i+1.821j)m/h; v=2.429 m/h
u=0.662i+0.75j; y=41.42°
32. Una partícula demora 11s en trasladarse desde la posición
ro=(2i+j+k)m hasta la posición r=(3i+19j+12k)m. Hallar el vector
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 161 ~
velocidad media, su respectivo módulo, su vector unitario y los
ángulos directores.
Respuesta: v=(0.091i+1.636j+k)m/s; v=1.92 m/s
u=0.047i+0.852j+0.521k; x=87.3°;y=31.5°;z=58.6°
33. Una partícula demora 60s en trasladarse desde la posición ro=(-
2i+k)m hasta la posición r=(9j+22k)m. Hallar el vector velocidad
media, su respectivo módulo, su vector unitario y los ángulos
directores.
Respuesta: v=(0.033i+0.15j+0.35k)m/s; v=0.382 m/s
u=0.087i+0.392j+0.916k; x=85.0°;y=66.9°;z=24.7°
34. Una partícula demora 2s en trasladarse desde la posición ro=(-i-j-
k)m hasta la posición r=(i+j+k)m. Hallar el vector velocidad media,
su respectivo módulo, su vector unitario y los ángulos directores.
Respuesta: v=(i+j+k)m/s; v=1.732 m/s
u=0.577i+0.577j+0.577k; x=54.7°;y=54.7°;z=54.7°
35. Una partícula se traslada desde la posición ro=(2i+2j-k)m en t0=3s,
hasta la posición r=(3i+2k)m en t=8s. Hallar el vector velocidad
media, su respectivo módulo, su vector unitario y los ángulos
directores.
Respuesta: v=(0.2i-0.4j+0.6k)m/s; v=0.748 m/s
u=0.267i-0.535j+0.802k; x=74.5°;y=122.3°;z=36.7°
36. Una partícula se traslada desde la posición ro=(-k)m en t0=10s, hasta
la posición r=(-2k)m en t=20s. Hallar el vector velocidad media, su
respectivo módulo, su vector unitario y los ángulos directores.
Respuesta: v=(-0.1k)m/s; v=0.1 m/s
u=-k; x=90°;y=90°;z=180°
37. Una partícula se traslada desde la posición (1,3,5)m en t0=0.5s, hasta
la posición (3,5,8)m en t=7s. Hallar el vector velocidad media, su
respectivo módulo, su vector unitario y los ángulos directores.
Respuesta: v=(0.308i+0.308j+0.462k)m/s; v=0.634 m/s
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 162 ~
u=0.485i+0.485j+0.728k; x=61.0°;y=61.0°;z=43.3°
38. Si ro representa el vector posición inicial y r el vector posición final
de una determinada partícula en movimiento, entonces en los
siguientes gráficos trace el vector velocidad media adecuado a cada
movimiento.
ro
r
ro
r
ro
r
ro
r
ro
r
ro
r
ror
ro
r
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 163 ~
MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME
39. En cada uno de los siguientes gráficos espacio-tiempo, donde el
espacio está dado en metros y el tiempo en segundos, calcular
geométricamente la respectiva rapidez del movimiento.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1010
0
X( )T
100 T
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1010
0
X( )T
100 T
Respuesta: 2 m/s Respuesta: 1.5 m/s
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1010
0
X( )T
100 T
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1010
0
X( )T
100 T
Respuesta: 0.6 m/s Respuesta: -0.8 m/s
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1010
0
X( )T
100 T
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1010
0
X( )T
100 T
Respuesta: -1.8 m/s Respuesta: 0 m/s
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 164 ~
VELOCIDAD MEDIA
40. En el siguiente gráfico espacio-tiempo, calcular geométricamente la
VELOCIDAD MEDIA del movimiento entre to=0s y t=90s.
Respuesta: 0.9 m/s
0 10 20 30 40 50 60 70 80 901000
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100100
0
X( )T
1000 T
41. En el gráfico espacio-tiempo del problema 40, calcular
geométricamente la VELOCIDAD MEDIA del movimiento entre
to=40s y t=80s.
Respuesta: 1.2 m/s
42. En el gráfico espacio-tiempo del problema 40, calcular
geométricamente la VELOCIDAD MEDIA del movimiento entre
to=0s y t=50s.
Respuesta: 0.5 m/s
43. En el gráfico espacio-tiempo del problema 40, calcular
geométricamente la VELOCIDAD MEDIA del movimiento entre
to=100s y t=40s.
Respuesta: 1.4 m/s
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 165 ~
44. En el siguiente gráfico espacio-tiempo, calcular geométricamente la
VELOCIDAD MEDIA del movimiento entre to=1s y t=2.5s.
Respuesta: 2 m/s
45. En el gráfico espacio-tiempo del problema 44, calcular
geométricamente la VELOCIDAD MEDIA del movimiento entre
to=0s y t=3s.
Respuesta: 1 m/s
46. En el gráfico espacio-tiempo del problema 44, calcular
geométricamente la VELOCIDAD MEDIA del movimiento entre
to=1s y t=-2s.
Respuesta: -7 m/s
47. En el gráfico espacio-tiempo del problema 44, calcular
geométricamente la VELOCIDAD MEDIA del movimiento entre
to=0s y t=2s.
Respuesta: 6 m/s
48. En el gráfico espacio-tiempo del problema 44, calcular
geométricamente la VELOCIDAD MEDIA del movimiento entre
to=3s y t=2s.
Respuesta: -9 m/s
2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
1.5
3
4.5
6
7.5
9
10.5
12
13.5
1515
0
X( )T
32 T
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 166 ~
VELOCIDAD INSTANTANEA
49. En el siguiente gráfico espacio-tiempo, calcular la VELOCIDAD
INSTANTANEA en t=40s.
Respuesta: 0.8 m/s
50. En el gráfico espacio-tiempo del problema 49, calcular la
VELOCIDAD INSTANTANEA en to=30s.
Respuesta: 0.6 m/s
51. En el gráfico espacio-tiempo del problema 49, calcular la
VELOCIDAD INSTANTANEA en to=90s.
Respuesta: 1.8 m/s
52. En el gráfico espacio-tiempo del problema 49, calcular la
VELOCIDAD INSTANTANEA en to=0s.
Respuesta: 0 m/s
0 10 20 30 40 50 60 70 80 901000
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100100
0
X( )T
1000 T
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 167 ~
53. En el gráfico espacio-tiempo del problema 49, calcular la
VELOCIDAD INSTANTANEA en to=20s.
Respuesta: 0.4 m/s
54. En el siguiente gráfico espacio-tiempo, calcular la VELOCIDAD
INSTANTANEA en t=30s.
Respuesta: 1.2 m/s
55. En el gráfico espacio-tiempo del problema 54, calcular la
VELOCIDAD INSTANTANEA en to=40s.
Respuesta: 0.3 m/s
56. En el gráfico espacio-tiempo del problema 54, calcular la
VELOCIDAD INSTANTANEA en to=50s.
Respuesta: 0 m/s
57. En el gráfico espacio-tiempo del problema 54, calcular la
VELOCIDAD INSTANTANEA en to=40s.
Respuesta: 0.3 m/s
0 10 20 30 40 50 60 70 80 901000
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100100
0
X( )T
1000 T
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 168 ~
58. En el gráfico espacio-tiempo del problema 54, calcular la
VELOCIDAD INSTANTANEA en to=70s.
Respuesta: 1.2 m/s
59. En el gráfico espacio-tiempo del problema 54, calcular la
VELOCIDAD INSTANTANEA en to=80s.
Respuesta: 2.7 m/s
60. En el siguiente gráfico espacio-tiempo, calcular la VELOCIDAD
INSTANTANEA en t=1.5s.
Respuesta: 4.388 m/s
61. En el gráfico espacio-tiempo del problema 60, calcular la
VELOCIDAD INSTANTANEA en to=2s.
Respuesta: 2.702 m/s
62. En el gráfico espacio-tiempo del problema 60, calcular la
VELOCIDAD INSTANTANEA en to=3s.
Respuesta: -2.081 m/s
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.7
1.4
2.1
2.8
3.5
4.2
4.9
5.6
6.3
77
0
X( )T
50 T
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 169 ~
63. En el gráfico espacio-tiempo del problema 60, calcular la
VELOCIDAD INSTANTANEA en to=3.5s.
Respuesta: -4.006 m/s
64. En el gráfico espacio-tiempo del problema 60, calcular la
VELOCIDAD INSTANTANEA en to=2.5s.
Respuesta: 0.354 m/s
VECTOR VELOCIDAD INSTANTANEA
65. Una partícula describe un movimiento dado por el vector posición
r=t2i metros. Calcule el vector velocidad instantánea en t=3 s.
Respuesta: v=6i m/s
66. Una partícula describe un movimiento dado por el vector posición
r=t3i metros. Calcule el vector velocidad instantánea en t=1 s.
Respuesta: v=3i m/s
67. Una partícula describe un movimiento dado por el vector posición
r=2t4i metros. Calcule el vector velocidad instantánea en t=1 s.
Respuesta: v=8i m/s
68. Una partícula describe un movimiento dado por el vector posición
r=(-3t+t4)i metros. Calcule el vector velocidad instantánea en t=0.5
s.
Respuesta: v=-2.5i m/s
69. Una partícula describe un movimiento dado por el vector r=(-8t3+5)i
metros. Calcule el vector velocidad instantánea en t=10 s.
Respuesta: v=-2.4x103i m/s
70. Una partícula describe un movimiento dado por el vector posición
r=(8.6t6-5.3t
2)i metros. Calcule el vector velocidad instantánea en
t=0.1 s.
Respuesta: v=-1.059i m/s
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 170 ~
71. Una partícula describe un movimiento dado por el vector posición
r=(t-8
-t1/2
)i metros. Calcule el vector velocidad instantánea en t=3 s.
Respuesta: v=-0.289i m/s
72. Una partícula describe un movimiento dado por el vector posición
r=(3.4t-4
-t-2/3
)i metros. Calcule el vector velocidad instantánea en
t=5 s.
Respuesta: v=0.041i m/s
73. Una partícula describe un movimiento dado por el vector posición
r=4t3i+6tj metros. Calcule el vector velocidad instantánea en t=2 s.
Respuesta: v=48i+6j m/s
74. Una partícula describe un movimiento dado por el vector posición
r=t2i-3t
8j metros. Calcule el vector velocidad instantánea en t=2.5 s.
Respuesta: v=5i-1.465x104j m/s
75. Una partícula describe un movimiento dado por el vector r=-t5i+4t
2j
metros. Calcule el vector velocidad instantánea en t=0.6 s.
Respuesta: v=-0.648i+4.8j m/s
76. Una partícula describe un movimiento dado por el vector
r=(t2+t)i+(t
-3-8)j metros. Calcule el vector velocidad instantánea en
t=7 s.
Respuesta: v=15i-0.001j m/s
77. Una partícula describe un movimiento dado por el vector r=(-t5+t
-
1/2)i+(t
-3-8t)j metros. Calcule vector velocidad instantánea en t=16 s.
Respuesta: v=-3.277x105i-8j m/s
78. Una partícula describe un movimiento dado por el vector posición
r=(5t4+t
-3/2)i+(-6t
-3-7t-1)j metros. Calcule el vector velocidad
instantánea en t=0.1s.
Respuesta: v=-474.322i+1.8x105j m/s
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 171 ~
79. Una partícula describe un movimiento dado por el vector posición
r=t4i+6tj+tk metros. Calcule el vector velocidad instantánea en
t=10s.
Respuesta: v=4x103i+6j+k m/s
80. Una partícula describe un movimiento dado por el vector posición
r=4t3i+8t
-2j+2tk metros. Calcule el vector velocidad instantánea en
t=10s.
Respuesta: v=1.2x103i-0.016j+2k m/s
81. Una partícula describe un movimiento dado por el vector posición
r=-7t-5
i-6t5j-2tk metros. Calcule el vector velocidad instantánea en
t=3.5s.
Respuesta: v=0.019i-4.502x103j-2k m/s
82. Una partícula describe un movimiento dado por el vector posición
r=t7i-6tj-2tk metros. Calcule el vector velocidad instantánea en
t=0s.
Respuesta: v=-6j-2k m/s
83. Una partícula describe un movimiento dado por el vector posición
r=-6j-t3k metros. Calcule el vector velocidad instantánea en t=0.02s.
Respuesta: v=-0.001k m/s
84. Una partícula describe un movimiento dado por el vector posición
r=(-6+t)i-(t4-3)k metros. Calcule el vector velocidad instantánea en
t=20s.
Respuesta: v=i-3.2x104k m/s
85. Una partícula describe un movimiento dado por el vector posición
r=(t5+t
3)i+tj-(-t
4+3t-t
8)k metros. Calcule el vector velocidad
instantánea en t=6.2s.
Respuesta: v=7.503x103i+j-2.816x10
6k m/s
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 172 ~
86. Una partícula describe un movimiento dado por el vector posición
r=(t-1/4
+t3/2
)i-(t+5)j-(4t+t-5/2
)k metros. Calcule el vector velocidad
instantánea en t=6.2s.
Respuesta: v=3.709i-j-3.996k m/s
ACELERACION MEDIA
87. Una partícula posee una velocidad inicial de 3m/s al tiempo 5s,
aumentando luego su velocidad a 7m/s al tiempo 8s. Calcular la
aceleración media del movimiento.
Respuesta: a=1.333 m/s2
88. Una partícula posee una velocidad inicial de 7.3m/s al tiempo 3s,
aumentando luego su velocidad a 9.1m/s al tiempo 11s. Calcular la
aceleración media del movimiento.
Respuesta: a=0.225 m/s2
89. Una partícula posee una velocidad inicial de 8.4m/s al tiempo 1.5s,
aumentando luego su velocidad a 19.3m/s al tiempo 1.6s. Calcular la
aceleración media del movimiento.
Respuesta: a=109 m/s2
90. Una partícula posee una velocidad inicial de 0.01m/s al tiempo
0.01s, aumentando luego su velocidad a 0.1m/s al tiempo 0.1s.
Calcular la aceleración media del movimiento.
Respuesta: a=1 m/s2
91. Una partícula posee una velocidad inicial de 1m/s al tiempo 0.2s,
aumentando luego su velocidad a 1.1m/s al tiempo 10s. Calcular la
aceleración media del movimiento.
Respuesta: a=0.01 m/s2
92. Una partícula posee una velocidad inicial de -10m/s al tiempo
20s, aumentando luego su velocidad a 10m/s al tiempo 30s.
Calcular la aceleración media del movimiento.Respuesta: a=2 m/s2
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 173 ~
93. Una partícula posee una velocidad inicial de -15m/s al tiempo
12s, aumentando luego su velocidad a -10m/s al tiempo 31s.
Calcular la aceleración media del movimiento.
Respuesta: a=0.263 m/s2
94. Una partícula pasa de la velocidad -1m/s a la velocidad -10m/s en
6s. Calcular la aceleración media del movimiento.
Respuesta: a=-1.5 m/s2
95. Una partícula pasa de la velocidad 121m/s a la velocidad 1201m/s
en 0.2s. Calcular la aceleración media del movimiento.
Respuesta: a=5.4x103 m/s
2
96. Una partícula pasa de la velocidad 0.1m/s a la velocidad 1000m/s en
0.01s. Calcular la aceleración media del movimiento.
Respuesta: a=9.999x104 m/s
2
97. Una partícula pasa de la velocidad 121m/s a la velocidad 1m/s en 3s.
Calcular la aceleración media del movimiento.
Respuesta: a=-40 m/s2
VECTOR ACELERACION MEDIA
98. Una partícula pasa de la velocidad 13i m/s a la velocidad 14i m/s en
8s. Hallar el vector aceleración media del movimiento y su módulo.
Respuesta: a=0.125i m/s2; a=0.125 m/s
2
99. Una partícula pasa de la velocidad 5i m/s a la velocidad 2i m/s en
0.1s. Hallar el vector aceleración media y su módulo.
Respuesta: a=-30i m/s2; a=30 m/s
2
100. Una partícula pasa de la velocidad 57i m/s a la velocidad 20i m/s en
1.1s. Hallar el vector aceleración media del y su módulo.
Respuesta: a=-33.6i m/s2; a=33.6 m/s
2
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 174 ~
101. Una partícula pasa de la velocidad -5i m/s a la velocidad 6i m/s en
31s. Hallar el vector aceleración media del movimiento y su
módulo.
Respuesta: a=0.355i m/s2; a=0.355 m/s
2
102. Una partícula pasa de la velocidad 7i m/s a la velocidad -i m/s en
12s. Hallar el vector aceleración media del movimiento y su
módulo.
Respuesta: a=-0.667i m/s2; a=0.667 m/s
2
103. Una partícula pasa de la velocidad 7i+8j m/s a la velocidad –i-j m/s
en 14s. Hallar el vector aceleración media del movimiento, su
módulo y su vector unitario.
Respuesta: a=-0.571i-0.643j m/s2; a=0.86 m/s
2
u=-0.664i-0.747j
104. Una partícula pasa de la velocidad -2i+4j m/s a la velocidad 6i-4j
m/s en 0.2s. Hallar el vector aceleración media del movimiento, su
módulo y su vector unitario.
Respuesta: a=40i-40j m/s2; a=56.569 m/s
2
u=0.707i-0.707j
105. Una partícula pasa de la velocidad 244i+41j m/s a la velocidad 46i-
14j m/s en 0.01s. Hallar el vector aceleración media del
movimiento, su módulo y su vector unitario.
Respuesta: a=-1.98x104i-5.5x10
3jm/s
2;a=2.1x10
4 m/s
2
u=-0.964i-0.268j
106. Una partícula pasa de la velocidad 12i m/s a la velocidad -47j m/s
en 50s. Hallar el vector aceleración media del movimiento, su
módulo y su vector unitario.
Respuesta: a=-0.24i-0.94j m/s2; a=0.97 m/s
2
u=-0.247i-0.969j
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 175 ~
107. Una partícula pasa de la velocidad 12i+3j+8k m/s a la velocidad 6i-
4j-8k m/s en 3s. Hallar el vector aceleración media del movimiento,
su módulo, su vector unitario y los ángulos directores.
Respuesta: a=-2i-2.33j-5.33k m/s2; a=6.155 m/s
2
u=-0.325i-0.379j-0.866k; x=109°;y=112°;z=150°
108. Una partícula pasa de la velocidad i+j+k m/s a la velocidad -i-
4j+8k m/s en 1s. Hallar el vector aceleración media del movimiento,
su módulo, su vector unitario y los ángulos directores.
Respuesta: a=-2i-5j+7k m/s2; a=8.832 m/s
2
u=-0.226i-0.566j+0.793k; x=103°;y=125°;z=38°
109. Una partícula pasa de la velocidad –i-3j-9k m/s a la velocidad
6i+6j+3k m/s en 0.03s. Hallar el vector aceleración media del
movimiento, su módulo, su vector unitario y los ángulos directores.
Respuesta: a=233i+300j+400k m/s2; a=552 m/s
2
u=0.423i+0.544j+0.725k; x=65°;y=57°;z=44°
110. Una partícula pasa de la velocidad 2j-k m/s a la velocidad 6i+3k
m/s en 31s. Hallar el vector aceleración media del movimiento, su
módulo, su vector unitario y los ángulos directores.
Respuesta: a=0.19i-0.07j+0.13k m/s2; a=0.241 m/s
2
u=0.802i-0.267j+0.535k; x=37°;y=106°;z=58°
111. Una partícula pasa de la velocidad –i-3j m/s a la velocidad -6i+4k
m/s en 3.01s. Hallar el vector aceleración media del movimiento, su
módulo, su vector unitario y los ángulos directores.
Respuesta: a=-1.7i+0.9j+1.3k m/s2; a=2.349 m/s
2
u=-0.707i+0.424j+0.566k; x=135°;y=65°;z=56°
112. En los siguientes gráficos se muestran las trayectorias descritas por
distintas partículas. Los puntos blancos indican la posición inicial y
los puntos oscuros indican la posición final de la partícula. Trazar en
cada gráfico las velocidades instantáneas y el vector aceleración.
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 176 ~
VECTOR ACELERACION INSTANTANEA
113. La velocidad de una partícula esta dada por v=3ti m/s. Calcular el
vector aceleración instantánea al tiempo t=2 s.
Respuesta: a=3i m/s2
114. La velocidad de una partícula esta dada por v=5t2i m/s. Calcular el
vector aceleración instantánea al tiempo t=0.2 s.
Respuesta: a=2i m/s2
115. La velocidad de una partícula esta dada por v=-64t3i m/s. Calcular
el vector aceleración instantánea al tiempo t=0.1 s.
Respuesta: a=-1.92i m/s2
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 177 ~
116. La velocidad de una partícula esta dada por v=t-3/2
i m/s. Calcular el
vector aceleración instantánea al tiempo t=1.5 s.
Respuesta: a=-0.544i m/s2
117. La velocidad de una partícula esta dada por v=-323t1/8
i m/s.
Calcular el vector aceleración instantánea al tiempo t=0.01 s.
Respuesta: a=-2.27x103i m/s
2
118. La velocidad de una partícula esta dada por v=4ti+5j m/s. Al
tiempo t=8s, calcular el vector aceleración instantánea.
Respuesta: a=4i m/s2
119. La velocidad de una partícula esta dada por v=-6t3i-9tj m/s. Al
tiempo t=6s, calcular el vector aceleración instantánea.
Respuesta: a=-648i-9j m/s2
120. La velocidad de una partícula esta dada por v=9t4i-3t
5j m/s. Al
tiempo t=0.1s, calcular el vector aceleración instantánea.
Respuesta: a=0.036i-0.002j m/s2
121. La velocidad de una partícula esta dada por v=(t3+t)i-(3t
5+t
-3)j m/s.
Al tiempo t=1s, calcular el vector aceleración instantánea.
Respuesta: a=4i-12j m/s2
122. La velocidad de una partícula esta dada por v=(-t-4
+t-5)i-(6t-
1+6.1t
3)j m/s. Al tiempo t=6s, calcular el vector aceleración
instantánea.
Respuesta: a=1.001i-658.6j m/s2
123. La velocidad de una partícula esta dada por v=(-t9+t
2)i-(-8t
-6+0.1t
-
1)j m/s. Al tiempo t=3s, calcular el vector aceleración instantánea.
Respuesta: a=-5.904x104i-0.011j m/s
2
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 178 ~
124. La velocidad de una partícula esta dada por v=(-t9+t)i-(-8t+0.1t
2)j
m/s. Al tiempo t=0s, calcular el vector aceleración instantánea.
Respuesta: a=i+8j m/s2
125. La velocidad de una partícula esta dada por v=ti-t-1
j+4tk m/s. Al
tiempo t=0.04s, calcular el vector aceleración instantánea.
Respuesta: a=i+625j+4k m/s2
126. La velocidad de una partícula esta dada por v=7ti-t5j+4t
2k m/s. Al
tiempo t=6s, calcular el vector aceleración instantánea.
Respuesta: a=7i-6.48x103j+48k m/s
2
127. La velocidad de una partícula esta dada por v=-t3j-tk m/s. Al
tiempo t=0.7s, calcular el vector aceleración instantánea.
Respuesta: a=0i-1.47j-k m/s2
128. La velocidad de una partícula esta dada por v=ti-4k m/s. Al tiempo
t=1000s, calcular el vector aceleración instantánea.
Respuesta: a=i m/s2
129. La velocidad de una partícula esta dada por v=t-1/4
i-0.2t3j+t
1/3k m/s.
Al tiempo t=3.04s, calcular el vector aceleración instantánea.
Respuesta: a=-0.062i-5.545j+0.159k m/s2
130. La velocidad de una partícula esta dada por v=(t-3
+8t)i-(-2t2-
3)j+t5k m/s. Al tiempo t=0.6s, calcular el vector aceleración
instantánea.
Respuesta: a=-15.148i+2.4j+0.648k m/s2
131. La velocidad de una partícula esta dada por v=(t3+t
2+8t+3)i-(-2t
5-
3t3)j+(t
5+2)k m/s. Al tiempo t=0.1s calcular el vector aceleración
instantánea.
Respuesta: a=8.23i+0.091j+5x10-4
k m/s2
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 179 ~
132. La velocidad de una partícula esta dada por v=(t-3
+8t)i-(-2t2-
3)j+t5k m/s. Al tiempo t=11s, calcular el vector aceleración
instantánea.
Respuesta: a=8i+44j+7.32x104k m/s
2
POSICIÓN A PARTIR DE v(t):
t
t
o
o
dttvxx )(
133. La velocidad de una partícula en cada instante de tiempo esta dada
por v(t)=t3 m/s. Hallar la posición de la partícula entre 0t5 seg.
Respuesta: 156.25 m
134. La velocidad de una partícula en cada instante de tiempo esta dada
por v(t)=t5 m/s. Hallar la posición de la partícula entre 0t7 seg.
Respuesta: 1.961x104 m
135. La velocidad de una partícula en cada instante de tiempo esta dada
por v(t)=t+t2 m/s. Hallar la posición de la partícula entre 0t1 seg.
Respuesta: 0.833 m
136. La velocidad de una partícula en cada instante de tiempo esta dada
por v(t)=2-t-6
m/s. Hallar la posición de la partícula entre 1t3.2
seg.
Respuesta: 4.201 m
137. La velocidad de una partícula en cada instante de tiempo esta dada
por v(t)=3t3+2t
2-4t m/s. Hallar la posición de la partícula entre
0t0.5 seg.
Respuesta: -0.37 m
138. La velocidad de una partícula en cada instante de tiempo esta dada
por v(t)=7t3-6t m/s. Hallar la posición de la partícula entre 2t5
seg.
Respuesta: 1.003x103 m
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 180 ~
139. La velocidad de una partícula en cada instante de tiempo esta dada
por v(t)=-8t5+t
3-t m/s. Hallar la posición de la partícula entre 1t10
seg.
Respuesta: -1.331x106 m
140. La velocidad de una partícula en cada instante de tiempo esta dada
por v(t)=-t-4
+(1/2)t4 m/s. Hallar la posición de la partícula entre
2t3 s.
Respuesta: 21.071 m
141. La velocidad de una partícula en cada instante de tiempo esta dada
por v(t)=(1/3)t-2
-0.1t m/s. Hallar la posición de la partícula entre
6t6.1s.
Respuesta: -0.06 m
142. La velocidad de una partícula en cada instante de tiempo esta dada
por v(t)=t+t2+t
3+t
4 m/s. Hallar la posición de la partícula entre
0t0.01 seg.
Respuesta: 5.034x10-5
m
143. La velocidad de una partícula en cada instante de tiempo esta dada
por v(t)=2t+t3-t
5+4t
6 m/s. Hallar la posición de la partícula entre
0t1 s.
Respuesta: 1.655 m
144. La velocidad de una partícula en cada instante de tiempo esta dada
por v(t)=-t-t7+t
-6 m/s. Hallar la posición de la partícula entre
3t3.01 seg.
Respuesta: -22.157 m
145. La velocidad de una partícula en cada instante de tiempo esta dada
por v(t)=4 m/s. Hallar la posición de la partícula entre 1t11 s.
Respuesta: 40 m
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 181 ~
VELOCIDAD A PARTIR DE a(t):
t
t
o
o
dttavv )(
146. La aceleración de una partícula en cada instante de tiempo esta
dada por a(t)=t+t2+t
3+t
4 m/s. Hallar la velocidad de la partícula entre
0t0.1 seg.
Respuesta: 0.005 m/s
147. La aceleración de una partícula en cada instante de tiempo esta
dada por a(t)=t2+t
3+t
4+t
5 m/s. Hallar la velocidad de la partícula
entre 1t1.1 seg.
Respuesta: 0.477 m/s
148. La aceleración de una partícula en cada instante de tiempo esta
dada por a(t)=2+t2+t
4 m/s. Hallar la velocidad de la partícula entre
3t5 s.
Respuesta: 613.067 m/s
149. La aceleración de una partícula en cada instante de tiempo esta
dada por a(t)=3 m/s. Hallar la velocidad de la partícula entre 0t9
s.
Respuesta: 27 m/s
150. La aceleración de una partícula en cada instante de tiempo esta
dada por a(t)=-4.21 m/s. Hallar la velocidad de la partícula entre
5t6 s.
Respuesta: -4.21 m/s
151. La aceleración de una partícula en cada instante de tiempo esta
dada por a(t)=-t-t2+t
-4 m/s. Hallar la velocidad de la partícula entre
10t10.1 seg.
Respuesta: -11.105 m/s
La dinámica es la rama de la mecánica que trata de los cuerpos
sometidos a fuerzas en desequilibrio, y por ello, animados de
movimientos con aceleración. Dinámica viene de la palabra dynamis
que significa fuerza.
4.1 SEGUNDA LEY DE NEWTON
“Cuando sobre una partícula actúa una fuerza neta, esta
partícula experimentará una aceleración en la misma
dirección que la de la fuerza y su magnitud será
directamente proporcional a la fuerza e inversamente
proporcional a la masa de la partícula”
a
F1
F2 F3
Dinámica = desequilibrio
desequilibrio = aceleración
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 183 ~
Matemáticamente escribiremos la fuerza neta como una suma vectorial
de todas las fuerzas externas aplicadas a una masa
F𝑛𝑒𝑡𝑎 = 𝑭𝑖 = 𝑚𝒂
En forma gráfica
La ecuación para la fuerza neta, por ser una ecuación vectorial, posee
las siguientes componentes escalares:
𝐹𝑥 = 𝑚𝑎𝑥
𝐹𝑦 = 𝑚𝑎𝑦
𝐹𝑧 = 𝑚𝑎𝑧
Estas son llamadas ecuaciones dinámicas del movimiento.
Luego tendremos:
F𝑛𝑒𝑡𝑎 = 𝐹𝑥 𝒊 + 𝐹𝑦 𝒋 + 𝐹𝑧 𝒌
Lo que conlleva a
m
a
Fneta
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 184 ~
F𝑛𝑒𝑡𝑎 = 𝑚 𝑎𝑥𝒊 + 𝑎𝑦𝒋 + 𝑎𝑧𝒌
Un gráfico nos dará mejor entendimiento
4.2 PESO Y MASA
Peso es la fuerza con que la Tierra atrae a los cuerpos, como resultado
de la acción de la gravedad sobre todas y cada una de las partículas del
cuerpo.
Por ser una fuerza, el peso es una cantidad vectorial que se dirige hacia
el centro de la Tierra y por ende, a escala pequeña (superficie local de la
tierra) parecería que va en forma vertical hacia abajo.
centro de
gravedad
Peso
a
Fx
Fy
Fz
ax ay
az Fneta
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 185 ~
Como el peso depende de la gravedad, entonces cambia conforme
cambia la gravedad. Matemáticamente tendríamos:
𝑾 = 𝑚𝒈
Donde m es la masa del cuerpo, y se define como la medida de la inercia
de un cuerpo, es decir, su resistencia a la aceleración.
En el lenguaje común, el peso y la masa son frecuentemente usados
como sinónimos; sin embargo, para fines científicos son muy diferentes.
La masa es medida en kilogramos; el peso, siendo una fuerza, es medido
en newtons. La masa es constante dondequiera que se la mida. El peso
depende de la medida de la gravedad.
4.3 DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE
El diagrama de cuerpo libre o diagrama de fuerzas del cuerpo libre, es
un diagrama separado del cuerpo aislado, mostrando el referencial y
todas las fuerzas que actúan sobre dicho cuerpo. En este diagrama se
incluyen las fuerzas que el objeto hace o ejerce sobre sus alrededores.
El siguiente diagrama muestra las distintas fuerzas de acción y reacción
aplicadas al bloque de masa m:
N
mesa
tierra
bloque
cuerda
N’
W
W’
T
T’
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 186 ~
Donde N es la fuerza normal que ejerce la mesa sobre el bloque
(acción), N’ es la fuerza normal que ejerce el bloque sobre la mesa
(reacción), W es la fuerza peso con que la Tierra atrae al bloque
(acción), W’ es la fuerza atracción con que el bloque atrae a la Tierra
(reacción), T es la fuerza de tensión con que la cuerda tira del bloque
(acción), T’ es la fuerza con que el bloque tira de la cuerda (reacción).
Según lo detallado arriba tenemos el siguiente diagrama de cuerpo libre,
mostrando sólo las fuerzas de acción sobre el bloque y el referencial
inercial:
N
diagrama de cuerpo libre
W
T
Y
X
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 187 ~
EJERCICIOS
TERCERA LEY DE NEWTON
1. En los siguientes gráficos trace adecuadamente los vectores fuerza
acción y reacción.
CANTIDAD DE MOVIMIENTO
2. Una partícula de masa 3 kg. se mueve con velocidad de 6i m/s.
Calcular el vector cantidad de movimiento y su respectivo módulo.
Respuesta: P=18i kg.m/s; P=18 kg.m/s
3. Una partícula de masa 7 kg. se mueve con velocidad de -8i m/s.
Calcular el vector cantidad de movimiento y su respectivo módulo.
Respuesta: P=-56i kg.m/s; P=56 kg.m/s
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 188 ~
4. Una partícula de masa 300 kg. se mueve con velocidad de 540i m/s.
Calcular el vector cantidad de movimiento y su respectivo módulo.
Respuesta: P=1.62x105i kg.m/s; P=1.62x10
5 kg.m/s
5. Una partícula de masa 80 g. se mueve con velocidad de -6.5i cm/s.
Calcular el vector cantidad de movimiento y su respectivo módulo.
Respuesta: P=-0.005i kg.m/s; P=0.005 kg.m/s
6. Una partícula de masa 8.9 kg. se mueve con velocidad de 4i+5j m/s.
Calcular el vector cantidad de movimiento y su respectivo módulo.
Respuesta: P=35.6i+44.5j kg.m/s; P=56.988 kg.m/s
7. Una partícula de masa 65.9 kg. se mueve con velocidad de -14i+51j
m/s. Calcular el vector cantidad de movimiento y su respectivo
módulo. Respuesta:P=-923i+3.4x103jkg.m/s;P=3.5x10
3 kg.m/s
8. Una partícula de masa 37 kg. se mueve con velocidad de –0.6i-0.7j
m/s. Calcular el vector cantidad de movimiento y su respectivo
módulo. Respuesta: P=-22.2i-25.9j kg.m/s; P=34.112 kg.m/s
9. Una partícula de masa 7 g. se mueve con velocidad de 7500i-6320j
cm/s. Calcular el vector cantidad de movimiento y su respectivo
módulo. Respuesta: P=0.525i-0.442j kg.m/s; P=0.687 kg.m/s
10. Una partícula de masa 80 kg. se mueve con velocidad de 6.3i-8.1j
m/s. Calcular el vector momentum lineal, módulo y vector unitario.
Respuesta: P=504i-648j kg.m/s; P=820.93 kg.m/s
11. Una partícula de masa 100 kg. se mueve con velocidad de 0.75i-
2.02j+3k m/s. Calcular el vector cantidad de movimiento, su
módulo, su vector unitario y los ángulos directores.
Respuesta: P=75i-202j+300k kg.m/s; P=369.4 kg.m/s
u=0.203i-0.547j+0.812k;x=78.3°,y=123.2°,z=35.7°
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 189 ~
12. Una partícula de masa 30 kg. se mueve con velocidad de -5.5i-12.2j-
69k m/s. Calcular el vector cantidad de movimiento, su módulo, su
vector unitario y los ángulos directores.
Respuesta:P=-165i-366j-2x103k kg.m/s;P=2x10
3kg.m/s
u=-0.078i-0.174j-0.982k;x=94.5°,y=99.9°,z=169°
13. Una partícula de masa 1 kg. se mueve con velocidad de -10i-j-k m/s.
Calcular el vector cantidad de movimiento, su módulo, su vector
unitario y los ángulos directores.
Respuesta: P=-10i-j-k kg.m/s; P=10.1 kg.m/s
u=-0.99i-0.099j-0.099k;x=171.9°,y=95.7°,z=95.7°
14. Una partícula de masa 0.1 kg. se mueve con velocidad de -i-k m/s.
Calcular el vector cantidad de movimiento, su módulo, su vector
unitario y los ángulos directores.
Respuesta: P=-0.1i-0.1k kg.m/s; P=0.141 kg.m/s
u=-0.707i-0.707k; x=135°, y=90° ,z=135°
15. Una partícula de masa 5000 kg. se mueve con velocidad de –10i-3j-
20k m/s. Calcular el vector cantidad de movimiento, su módulo, su
vector unitario y los ángulos directores.
R.:P=-5x104i-1.5x10
4j-10
5k kg.m/s;P=1.13x10
5 kg.m/s
u=-0.443i-0.133j-0.886k; x=116°, y=97.6°, z=152°
16. Una partícula de masa 5x105 kg. se mueve con velocidad de –4i-
2j+2k m/s. Calcular el vector cantidad de movimiento, su módulo,
su vector unitario y los ángulos directores.
R.: P=-2x106i-10
6j+10
6k kg.m/s; P=2.5x10
6 kg.m/s
u=-0.816i-0.408j+0.408k; x=145°, y=114°, z=66°
17. Una partícula de masa 0.0001 kg. se mueve con velocidad de –
1400i-5200j+2.51k m/s. Calcular el vector cantidad de
movimiento, su módulo, su vector unitario y los ángulos directores.
R. : P=-0.14i-0.52j+2.5x10-4
k kg.m/s;P=0.54 kg.m/s
u=-0.26i-0.966j+4.7x10-4
k;x=105°,y=165°,z=89.9°
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 190 ~
18. Una partícula de masa 45 kg. se mueve con velocidad de –4ti m/s.
Al tiempo t=3 s, calcular el vector cantidad de movimiento y su
módulo.
Respuesta: P=-540i kg.m/s; P=540 kg.m/s
19. Una partícula de masa 76.5 kg. se mueve con velocidad de 3t2i m/s.
Al tiempo t=2.5 s, calcular el vector cantidad de movimiento y su
módulo.
Respuesta: P=1.434x103i kg.m/s; P=1.434x10
3 kg.m/s
20. Una partícula de masa 40.1 kg. se mueve con velocidad de -t3i m/s.
Al tiempo t=0.1 s, calcular el vector cantidad de movimiento y su
módulo.
Respuesta: P=-0.04i kg.m/s; P=0.04 kg.m/s
21. Una partícula de masa 70.52 kg. se mueve con velocidad de (2t-t3)i
m/s. Al tiempo t=1.1 s, calcular el vector cantidad de movimiento y
su módulo.
Respuesta: P=61.28i kg.m/s; P=61.28 kg.m/s
22. Una partícula de masa 45.01 kg. se mueve con velocidad de (8-t5)i
m/s. Al tiempo t=13 s, calcular el vector cantidad de movimiento y
su módulo.
Respuesta: P=-1.67x107i kg.m/s; P=1.67x10
7 kg.m/s
23. Una partícula de masa 65 kg. se mueve con velocidad de (0.1t-3t-4
)i
m/s. Al tiempo t=0.2 s, calcular el vector cantidad de movimiento y
su módulo.
Respuesta: P=-1.219x105i kg.m/s;P=1.219x10
5 kg.m/s
24. Una partícula de masa 38 kg. se mueve con velocidad de 5ti+4t2j
m/s. Al tiempo t=10 s, calcular el vector cantidad de movimiento y
su módulo.
R. :P=1.9x103i+1.52x10
4j kg.m/s;P=1.5x10
4 kg.m/s
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 191 ~
25. Una partícula de masa 0.2 kg. se mueve con velocidad de -5t3i+t
3j
m/s. Al tiempo t=1 s, calcular el vector cantidad de movimiento y
su módulo. Respuesta: P=-i+0.2j kg.m/s; P=1.02 kg.m/s
26. Una partícula de masa 800 kg. se mueve con velocidad de -ti+4t-5
j
m/s. Al tiempo t=3.2 s, calcular el vector cantidad de movimiento y
su módulo.
R.: P=-2.56x103i+9.54j kg.m/s; P=2.56x10
3 kg.m/s
27. Una partícula de masa 160 kg. se mueve con velocidad de -5i+6t2j
m/s. Al tiempo t=1.01 s, calcular el vector cantidad de movimiento
y su módulo. Respuesta: P=-800i+979j kg.m/s; P=1.265x103
kg.m/s
28. Una partícula de masa 0.001 kg. se mueve con velocidad de -3ti-7t-
2j m/s. Al tiempo t=0.5 s, calcular el vector cantidad de movimiento
y su módulo. Respuesta:P=-0.002i-0.028j kg.m/s;P=0.028 kg.m/s
29. Una partícula de masa 8 kg. se mueve con velocidad de 5ti+4t2j+k
m/s. Al tiempo t=9 s, calcular el vector cantidad de movimiento, su
módulo, su vector unitario y los ángulos directores.
Respuesta: P= i+ j + k kg.m/s; P= kg.m/s
u= i+ j+ k ; x= , y= ,z=
30. Una partícula de masa 0.7 kg. se mueve con velocidad de ti-3t-2
j+tk
m/s. Al tiempo t=2.3 s, calcular el vector cantidad de movimiento,
su módulo, su vector unitario y los ángulos directores.
R.: P=1.61i-0.397j+1.61k kg.m/s; P=1.61 kg.m/s
u=0.697i-0.172j+0.697k; x=46°,y=99.8°,z=45.9°
31. Una partícula de masa 0.6 kg. se mueve con velocidad de -4ti-3t-3
j-
tk m/s. Al tiempo t=1.3 s, calcular el vector cantidad de
movimiento, su módulo, su vector unitario y los ángulos directores.
R. : P=-3.12i-0.819j-0.78k kg.m/s; P=3.319 kg.m/s
u=-0.94i-0.247j-0.235k; x=160°,y=104°,z=103.5°
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 192 ~
32. Una partícula de masa 61 kg. se mueve con velocidad de (–
4+t)i+t6j+t
3k m/s. Al tiempo t=1 s, calcular el vector cantidad de
movimiento, su módulo, su vector unitario y los ángulos directores.
Respuesta: P=-183i+61j+61k kg.m/s; P=202.3 kg.m/s
u=-0.905i+0.302j+0.302k; x=155°,y=72.5°,z=72.5°
33. Una partícula de masa 1 kg. se mueve con velocidad de (–
5t+t2)i+(t
6-3)j+t
3k m/s. Al tiempo t=0.1 s, calcular el vector
cantidad de movimiento, su módulo, su vector unitario y los
ángulos directores.
Respuesta:P=-0.49i-3j+0.001k kg.m/s;P=3.04 kg.m/s
u=-0.161i-0.987j+3.3x10-4
k;x=99°,y=171°,z=89.9°
34. Una partícula de masa 300 kg. se mueve con velocidad de
(2t+4t3)i+(7t
2-3t)j+(t
4-3)k m/s. Al tiempo t=1.1 s, calcular el vector
cantidad de movimiento, su módulo, su vector unitario y los
ángulos directores.
R.:P=2.3x103i+1.6x10
3j-461k kg.m/s;P=2.8x10
3kg.m/s
u=0.813i+0.558j-0.166k; x=35.6°,y=56.1°,z=99.6°
35. Una partícula de masa 1.2 kg. se mueve con velocidad de
(t+t2+t
3)i+(7t
2-3t+2)j+(t
4-3t
3)k m/s. Al tiempo t=0.1 s, calcular el
vector cantidad de movimiento, su módulo, su vector unitario y los
ángulos directores.
R. :P=0.133i+2.124j-0.003k kg.m/s;P=2.128 kg.m/s
u=0.063i+0.998j-0.002k;x=86.4°,y=3.6°,z=90°
36. Una partícula de masa 70 kg. se mueve con velocidad de (-t-t2)i-(8t
2-
4t+1)j-(2t-3t2)k m/s. Al tiempo t=11 s, calcular el vector cantidad
de movimiento, su módulo, su vector unitario y los ángulos
directores.
R.:P=(-0.924i-6.5j+2.4k)x104kg.m/s;P=6.9x10
4kg.m/s
u=-0.133i-0.93j+0.343k;x=98°,y=158°,z=69.9°
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 193 ~
37. Una partícula de masa 3t kg. se mueve con velocidad de t3i+7t
2j+t
3k
m/s. Al tiempo t=0.1 s, calcular el vector cantidad de movimiento,
su módulo, su vector unitario y los ángulos directores.
R.: P=3x10-4
i+0.021j+3x10-4
k kg.m/s;P=0.021 kg.m/s
u=0.014i+j+0.014k;x=89.2°,y=1.2°,z=89.2°
38. Una partícula de masa 2t-1 kg. se mueve con velocidad de t-1
i+3t-
2j+2tk m/s. Al tiempo t=3 s, calcular el vector cantidad de
movimiento, su módulo, su vector unitario y los ángulos directores.
R.: P=1.667i+1.667j+30k kg.m/s; P=30.1 kg.m/s
u=0.055i+0.055j+0.997k;x=86.8°,y=86.8°,z=4.5°
39. Una partícula de masa –t+20 kg. se mueve con velocidad de t0i+3t
3j-
tk m/s. Al tiempo t=9 s, calcular el vector cantidad de movimiento,
su módulo, su vector unitario y los ángulos directores.
R.: P=11i+2.4x104j-99k kg.m/s; P=2.4x10
4 kg.m/s
u=4.6x10-4
i+j-0.004k;x=89.9°,y=0.24°,z=90°
40. Una partícula de masa t2+t+3 kg. se mueve con velocidad de ti-
2t2j+tk m/s. Al tiempo t=5.6 s, calcular el vector cantidad de
movimiento, su módulo, su vector unitario y los ángulos directores.
R.: P=224i-2.5x103j+224k kg.m/s; P=2.6x10
3 kg.m/s
u=0.089i-0.992j+0.089k; x=85°,y=173°,z=85°
41. Una partícula de masa –t3+100 kg. se mueve con velocidad de
(t+1)i-2t2j+(t
2-3)k m/s. Al tiempo t=2 s, calcular el vector cantidad
de movimiento, su módulo, su vector unitario y los ángulos
directores. Respuesta: P=276i-736j+92k kg.m/s; P=791.4 kg.m/s
u=0.349i-0.93j+0.116k;x=69.6°,y=158.4°,z=83.3°
SEGUNDA LEY DE NEWTON . FORMA VECTORIAL
42. Una partícula de masa 30 kg. se mueve con aceleración de i m/s2.
Calcular el vector fuerza y su módulo.
Respuesta: F=30i N; F=30 N
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 194 ~
43. Una partícula de masa 20 kg. se mueve con aceleración de -2i m/s2.
Calcular el vector fuerza y su módulo.
Respuesta: F=-40i N; F=40 N
44. Una partícula de masa 100 kg. se mueve con aceleración de 0.1i
m/s2. Calcular el vector fuerza y su módulo.
Respuesta: F=10i N; F=10 N
45. Una partícula de masa 7.4 kg. se mueve con aceleración de j m/s2.
Calcular el vector fuerza y su módulo.
Respuesta: F=7.4j N; F=7.4 N
46. Una partícula de masa 7.45 kg. se mueve con aceleración de –2.5j
m/s2. Calcular el vector fuerza y su módulo.
Respuesta: F=-18.625j N; F=18.625 N
47. Una partícula de masa 1.01 kg. se mueve con aceleración de -k m/s2.
Calcular el vector fuerza y su módulo.
Respuesta: F=-1.01k N; F=1.01 N
48. Una partícula de masa 103 kg. se mueve con aceleración de 4x10
3k
m/s2. Calcular el vector fuerza y su módulo.
Respuesta: F=4x106k N; F=4x10
6 N
49. Una partícula de masa 35.6 kg. se mueve con aceleración de -2i+3j
m/s2. Calcular el vector fuerza y su módulo.
Respuesta: F=-71.2i+106.8j N; F=128.358 N
50. Una partícula de masa 5.1 kg. se mueve con aceleración de i+4j
m/s2. Calcular el vector fuerza y su módulo.
Respuesta: F=5.1i+20.4j N; F=21.028 N
51. Una partícula de masa 100 kg. se mueve con aceleración de –
6.7i+8.1j m/s2. Calcular el vector fuerza y su módulo.
Respuesta: F=-670i+810j N; F=1.051x103 N
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 195 ~
52. Una partícula de masa 78.2 kg. se mueve con aceleración de –
9i+4j+2k m/s2. Calcular el vector fuerza, su módulo, su vector
unitario y los ángulos directores.
Respuesta: F=-703.8i+312.8j+156.4k N; F=785.9 N
u=-0.896i+0.398j+0.199k;x=154°,y=67°,z=79°
53. Una partícula de masa 32.0 kg. se mueve con aceleración de
1.2i+5.0j+6.8k m/s2. Calcular el vector fuerza, su módulo, su vector
unitario y los ángulos directores.
Respuesta: F=38.4i+160j+217.6k N; F=272.808 N
u=0.141i+0.586j+0.798k ;x=82°,y=54°,z=37°
54. Una partícula de masa 60.1 kg. se mueve con aceleración de
89i+75j+46k m/s2. Calcular el vector fuerza, su módulo, su vector
unitario y los ángulos directores.
Respuesta: F=(5.5i+4.5j+2.8k)x103 N; F=7.5x10
3 N
u=0.711i+0.599j+0.368k ;x=45°,y=53°,z=68°
55. Una partícula de masa 103 kg. se mueve con aceleración de
10i+100j+1000k m/s2. Calcular el vector fuerza, su módulo, su
vector unitario.
Respuesta: F=104i+10
5j+10
6k N; F=1.005x10
6 N
u=0.01i+0.099j+0.995k ;x=89°,y=85°,z=6°
56. La aceleración de una partícula de masa 5 kg. está dada por 10ti
m/s2. Al tiempo t=8.1s, calcular el vector fuerza y su módulo.
Respuesta: F=405i N; F=405 N
57. La aceleración de una partícula de masa 8 kg. está dada por 9t2i
m/s2. Al tiempo t=6s, calcular el vector fuerza y su módulo.
Respuesta: F=2.592x103i N; F=2.592x10
3 N
58. La aceleración de una partícula de masa 0.01 kg. está dada por -7t3i
m/s2. Al tiempo t=4.6s, calcular el vector fuerza y su módulo.
Respuesta: F=-6.814i N; F=6.814 N
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 196 ~
59. La aceleración de una partícula de masa 90.1 kg. está dada por –
3.05t-9
i m/s2. Al tiempo t=5.4s, calcular el vector fuerza y su
módulo.
Respuesta: F=-7.039x10-5
i N; F=7.039x10-5
N
60. La aceleración de una partícula de masa 0.1 kg. está dada por –
0.5ti+j m/s2. Al tiempo t=4s, calcular el vector fuerza y su módulo.
Respuesta: F=-0.2i+0.1j N; F=0.224 N
61. La aceleración de una partícula de masa 35 kg. está dada por
4ti+6t2j m/s
2. Al tiempo t=3.4s, calcular el vector fuerza y su
módulo.
Respuesta: F=476i+2.428x103j N; F=2.474x10
3 N
62. La aceleración de una partícula de masa 7.5 kg. está dada por t-2
i+t-
2j m/s
2. Al tiempo t=0.01s, calcular el vector fuerza y su módulo.
Respuesta: F=7.5x104i+7.5x10
4j N; F=1.061x10
5 N
63. La aceleración de una partícula de masa 10 kg. está dada por
t3i+3tj+4k m/s
2. Al tiempo t=1s, calcular el vector fuerza, su
módulo, su vector unitario y sus ángulos directores.
Respuesta: F=10i+30j+40k N; F=50.99 N
u=0.196i+0.588j+0.784k; x=79°,y=54°,z=38°
64. La aceleración de una partícula de masa 11 kg. está dada por
t0i+tj+4t
7k m/s
2. Al tiempo t=11s, calcular el vector fuerza, su
módulo, su vector unitario y sus ángulos directores.
Respuesta: F=11i+121j+8.6x108k N; F=8.574x10
8 N
u=1.3x10-8
i+1.4x10-7
j+k; x=90°,y=90°,z=8.1x10-6
°
65. La aceleración de una partícula de masa 111 kg. está dada por ti-tj-
tk m/s2. Al tiempo t=0.1s, calcular el vector fuerza, su módulo, su
vector unitario y sus ángulos directores.
Respuesta: F=11.1i-11.1j-11.1k N; F=19.226 N
u=0.577i-0.577j-0.577k; x=55°,y=125°,z=125°
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~ 197 ~
66. La aceleración de una partícula de masa 13 kg. está dada por 2ti-3tj-
5tk m/s2. Al tiempo t=9s, calcular el vector fuerza, su módulo, su
vector unitario y sus ángulos directores.
Respuesta: F=234i-351j-585k N; F=721.236 N
u=0.324i-0.487j-0.811k; x=71°,y=119°,z=144°
67. La aceleración de una partícula de masa 102 kg. está dada por -
2t3i+3t
4j-tk m/s
2. Al tiempo t=4.5s, calcular el vector fuerza, su
módulo, su vector unitario y sus ángulos directores.
Respuesta: F=-1.8x104i+1.2x10
5j-450k N;F=1.2x10
5 N
u=-0.147i+0.989j-0.004 k; x=98°,y=8°,z=90°
68. La aceleración de una partícula de masa 105 kg. está dada por
8x102t3i+6x10
5t4j-10
-3tk m/s
2. Al tiempo t=10
-8s, calcular el vector
fuerza, su módulo, su vector unitario y sus ángulos directores.
Respuesta: F=0i+0j-10-6
k N; F=10-6
N
u=8x10-11
i+0j-k; x=90°,y=90°,z=180°
69. La aceleración de una partícula de masa 1010
kg. está dada por
108t3i+10
6t4j+10
5tk m/s
2. Al tiempo t=10
9s, calcular el vector
fuerza y su módulo.
Respuesta: F=1045
i+1052
j+1024
k N; F=1052
N
u=10-7
i+j ; x=90°, y=0° ,z=90°
70. La masa de una partícula varía según 10t kg. Si su aceleración es
t3i+3t
-2j+2t
3k m/s
2, calcular en t=0.1 s el vector fuerza, su módulo,
su vector unitario y sus ángulos directores.
Respuesta: F=0.001i+300j+0.002k N; F=300 N
u=3.3x10-6
i+j+6.7x10-6
k ; x=90°,y=0°,z=90°
71. La masa de una partícula varía según t kg. Si su aceleración es
t3i+t
3k m/s
2, calcular en t=1s el vector fuerza, su módulo, su vector
unitario y sus ángulos directores.
Respuesta: F=i+k N; F=1.414 N
u=0.707i+0.707k; x=45°,y=90°,z=45°
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~ 198 ~
72. La masa de una partícula varía según t+4 kg. Si su aceleración es
(6+t3)i+4j+(t-8)k m/s
2, calcular en t=10 s el vector fuerza, su
módulo, su vector unitario y sus ángulos directores.
Respuesta: F=1.4x104i+56j+28k N; F=1.4x10
4 N
u=i+0.004j+0.002k; x=0.3°,y=89.8°,z=89.9°
73. La masa de una partícula varía según t2+t+1 kg. Si su aceleración es
(6t+t3)i+(4t+3)j+(t
2-8)k m/s
2, calcular en t=0.1 s el vector fuerza, su
módulo, su vector unitario y sus ángulos directores.
Respuesta: F=0.7i+3.8j-8.9k N; F=9.662 N
u=0.069i+0.391j-0.918k ;x=86°,y=67°,z=157°
74. La masa de una partícula varía según 3t2+t kg. Si su aceleración es
(t-t3)i+(1-3t)j+(t
4-8t)k m/s
2, calcular en t=3 s el vector fuerza, su
módulo, su vector unitario y sus ángulos directores.
Respuesta: F=-720i-240j+1.7x103k N; F=1.9x10
3 N
u=-0.385i-0.128j+0.914k; x=113°,y=97.4°,z=24°
75. La masa de una partícula varía según –t+t3 kg. Si su aceleración es -
(2-t3)i-(t
2-3)j-(-t
4-8)k m/s
2, calcular en t=6 s el vector fuerza, su
módulo, su vector unitario y sus ángulos directores.
R. : F=4.5x104i-6.9x10
3j+2.7x10
5k N; F=2.8x10
5 N
u=0.162i-0.025j+0.986k; x=80.7°,y=91°,z=9.4°
76. Una partícula de masa 6.01 kg. posee una fuerza de 2i+7j+6k N.
Calcular el vector aceleración, su módulo, su vector unitario y los
ángulos directores.
Respuesta: a=0.333i+1.165j+0.998k m/s2;a=1.57 m/s
2
u=0.212i+0.742j+0.636k; x=78°,y=42°,z=51°
77. Una partícula de masa 7 kg. posee una fuerza de 8i-8j-8k N.
Calcular el vector aceleración, su módulo, su vector unitario y los
ángulos directores.
R.: a=1.143i-1.143j-1.143k m/s2; a=1.979 m/s
2
u=0.577i-0.577j-0.577k; x=55°,y=125°,z=125°
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~ 199 ~
78. Una partícula de masa 1000 kg. posee una fuerza de -18i-28j-38k N.
Calcular el vector aceleración, su módulo, su vector unitario y los
ángulos directores.
R.: a=-0.018i-0.028j-0.038k m/s2; a=0.051 m/s
2
u=-0.356i-0.554j-0.752k; x=111°,y=124°,z=139°
79. Una partícula de masa 1 kg. posee una fuerza de 103i+10
4j-10
12k N.
Calcular el vector aceleración, su módulo, su vector unitario y los
ángulos directores.
Respuesta: a=103i+10
4j-10
12k m/s
2; a=10
12 m/s
2
u=10-9
i+10-9
j-k ;x=90°,y=90°,z=180°
80. Una partícula de masa 0.001 kg. posee una fuerza de 10-5
i+10-7
j+10-
6k N. Calcular el vector aceleración, su módulo, su vector unitario y
los ángulos directores.
Respuesta: a=0.01i+10-4
j+10-3
k m/s2; a=0.01 m/s
2
u=0.995i+0.01j+0.099k; x=5.7°,y=89.4°,z=84.3°
81. Una partícula de masa 3001 kg. posee una fuerza de 54i+65j+87k
N. Calcular el vector aceleración, su módulo, su vector unitario y
los ángulos directores.
Respuesta: a=0.018i+0.022j+0.029k m/s2;a=0.04 m/s
2
u=0.445i+0.536j+0.717k; x=64°,y=58°,z=44°
82. Una partícula posee una fuerza de 8i+3j+6k N y una aceleración de
3i+6j+8k m/s2. Hallar su masa.
Respuesta: m=1 kg
83. Una partícula posee una fuerza de 2j+5k N y una aceleración de
6i+6j m/s2. Hallar su masa.
Respuesta: m=0.635 kg
84. Una partícula posee una fuerza de -6i+0.1j+6k N y una aceleración
de -3i-3j m/s2. Hallar su masa.
Respuesta: m=2
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 200 ~
85. Una partícula posee una fuerza de 7.24k N y una aceleración de
3.33i m/s2. Hallar su masa.
Respuesta: m= 2.174 kg
86. Una partícula posee una fuerza de 103i+10
5j+10
6k N y una
aceleración de 109i+10
2j+10
7k m/s
2. Hallar su masa.
Respuesta: m= 0.001 kg
87. Una partícula posee una fuerza de –4x102i+j+3k N y una
aceleración de –10-8
j m/s2. Hallar su masa.
Respuesta: m= 4x1010
kg
88. Una partícula posee una fuerza de 0.1i+0.1j+6k N y una aceleración
de 3.5i+4.1j+7.8k m/s2. Hallar su masa.
Respuesta: m= 0.633 kg
89. Una partícula posee una fuerza de 3.4i+8.1j+k N y una aceleración
de -7i-5.1j-8.04k m/s2. Hallar su masa.
Respuesta: m= 0.748 kg
90. Una partícula posee una fuerza de 5(103i+10
5j+10
6k) N y una
aceleración de 3(109i+10
2j+10
7k) m/s
2. Hallar su masa.
Respuesta: m= 0.002 kg
SEGUNDA LEY DE NEWTON . FORMA DIFERENCIAL
91. La cantidad de movimiento de una partícula esta dada por ti kgm/s.
Hallar la fuerza en t=3 s.
Respuesta: F=i N
92. La cantidad de movimiento de una partícula esta dada por t2i kgm/s.
Hallar la fuerza en t=5 s.
Respuesta: F=10i N
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 201 ~
93. La cantidad de movimiento de una partícula esta dada por 4t3i
kgm/s. Hallar la fuerza en t=1.5 s.
Respuesta: F=27i N
94. La cantidad de movimiento de una partícula esta dada por -9t4i
kgm/s. Hallar la fuerza en t=0.4s.
Respuesta: F=-2.304i N
95. La cantidad de movimiento de una partícula esta dada por 0.1t-5
i
kgm/s. Hallar la fuerza en t=6s.
Respuesta: F=-1.072x10-5
i N
96. La cantidad de movimiento de una partícula esta dada por 8t6j
kgm/s. Hallar la fuerza en t=6.4s.
Respuesta: F=5.154x105j N
97. La cantidad de movimiento de una partícula esta dada por –3.2t-2
j
kgm/s. Hallar la fuerza en t=100s.
Respuesta: F=6.4x10-6
j N
98. La cantidad de movimiento de una partícula esta dada por 542t4k
kgm/s. Hallar la fuerza en t=0.01s.
Respuesta: F=0.002k N
99. La cantidad de movimiento de una partícula esta dada por (t3+7t)k
kgm/s. Hallar la fuerza en t=6s.
Respuesta: F=115k N
100. La cantidad de movimiento de una partícula esta dada por (2t4+7t
3-
6t2+t-8)k kgm/s. Hallar la fuerza en t=2s.
Respuesta: F=125k N
101. La cantidad de movimiento de una partícula esta dada por ti+3tj
kgm/s. Hallar la fuerza en t=9s.
Respuesta: F=i+3j N
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 202 ~
102. La cantidad de movimiento de una partícula esta dada por t2i+4t
3j
kgm/s. Hallar la fuerza en t=3s.
Respuesta: F=6i+108j N
103. La cantidad de movimiento de una partícula esta dada por –6t-
3i+4t
3j kgm/s. Hallar la fuerza en t=0.2s.
Respuesta: F=1.125x104i+0.48j N
104. La cantidad de movimiento de una partícula esta dada por 8t6i-5t
3j
kgm/s. Hallar la fuerza en t=0.3s.
Respuesta: F=0.117i-1.35j N
105. La cantidad de movimiento de una partícula esta dada por ti-5tj+2tk
kgm/s. Hallar la fuerza en t=0.1s.
Respuesta: F=i-5j+2k N
106. La cantidad de movimiento de una partícula esta dada por –
ti+6t2j+t
3k kgm/s. Hallar la fuerza en t=5s.
Respuesta: F=-i+60j+75k N
107. La cantidad de movimiento de una partícula esta dada por
t5i+t
7j+t
3k kgm/s. Hallar la fuerza en t=9.4s.
Respuesta: F=3.9x104i+4.8x10
6j+265k N
108. La cantidad de movimiento de una partícula esta dada por 4t5i+j-
9t3k kgm/s. Hallar la fuerza en t=10.1s. Respuesta: F=2.1x10
5i-
2.8x103k N
109. La cantidad de movimiento de una partícula esta dada por
(t+1)i+6j+(t3+4)k kgm/s. Hallar la fuerza en t=5.3s.
Respuesta: F=i+84.27k N
110. La cantidad de movimiento de una partícula esta dada por
(t2+1)i+(6t+t
2)j+(4t
5+4t)k kgm/s. Hallar la fuerza en t=2.4s.
Respuesta: F=4.8i+10.8j+668k N
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 203 ~
111. La cantidad de movimiento de una partícula esta dada por
(4t3+t)i+(-3t
3+5t
2)j+(-6t
-1+t-6)k kgm/s. Hallar la fuerza en t=3.7s.
Respuesta: F=165.3i-86.2j+1.4k N
112. La cantidad de movimiento de una partícula esta dada por -(t4+7)i-
(t-2
+5t)j+(-6t-4
+t3-2)k kgm/s. Hallar la fuerza en t=0.7s.
Respuesta: F=-1.372i+0.831j+144.27k N
113. La cantidad de movimiento de una partícula esta dada por
(t4+t
3+t
2+t-7)i-(t
4-3t)j+(6t
3+t
2-t+2)k kgm/s. Hallar la fuerza en
t=0.01s.
Respuesta: F=1.02i+3j-0.978k N
114. La cantidad de movimiento de una partícula esta dada por i-
(t4+t
3+t
2+t-7)j+(6t
5+t
3-t
2+2t)k kgm/s. Hallar la fuerza en t=10s.
Respuesta: F=-4.3x103j+3x10
5k N
115. La cantidad de movimiento de una partícula esta dada por (6t5+t
3-
t2+2t)i-tj+(2t-5)k kgm/s. Hallar la fuerza en t=1.11s.
Respuesta: F=49i-j+2k N
116. La cantidad de movimiento de una partícula esta dada por 4(t5+3t
3-
2t2+t)i-3(2t-5)tj+(t
-3-t)k kgm/s. Hallar la fuerza en t=1.001s.
Respuesta: F=44.136i+2.988j-3.988k N
SEGUNDA LEY DE NEWTON . FORMA: dt
dm
dt
dm v
vF
117. Una partícula de 3 kg inicia su movimiento con velocidad v=3i m/s.
Si su masa aumenta a razón de 8 kg/s, hallar la fuerza en t=1s.
Respuesta: F=24i N
118. Una partícula de 6 kg inicia su movimiento con velocidad v=56i
m/s. Si su masa aumenta a razón de 10 kg/s, hallar la fuerza en
t=0.1s. Respuesta: F=560 i N
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 204 ~
119. Una partícula de 10.1 kg inicia su movimiento con velocidad
v=44.6i m/s. Si su masa aumenta a razón de 1 kg/s, hallar la fuerza
en t=20s.
Respuesta: F=44.6i N
120. Una partícula de 70 kg inicia su movimiento con velocidad v=31j
m/s. Si su masa aumenta a razón de 6 kg/s, hallar la fuerza en t=5s.
Respuesta: F=186j N
121. Una partícula de 15 kg inicia su movimiento con velocidad v=21j
m/s. Si su masa aumenta a razón de 6.6 kg/s, hallar la fuerza en
t=43s.
Respuesta: F=138.6j N
122. Una partícula de 89 kg inicia su movimiento con velocidad v=-26j
m/s. Si su masa aumenta a razón de 12.5 kg/s, hallar la fuerza en
t=100s.
Respuesta: F=-325j N
123. Una partícula de 58 kg inicia su movimiento con velocidad v=-58k
m/s. Si su masa aumenta a razón de 1 kg/s, hallar la fuerza en
t=1000s.
Respuesta: F=-58k N
124. Una partícula de 105 kg inicia su movimiento con velocidad v=10
3k
m/s. Si su masa aumenta a razón de 106
kg/s, hallar la fuerza en
t=104s.
Respuesta: F=109k N
125. Una partícula de 78 kg inicia su movimiento con velocidad
v=10i+3j m/s. Si su masa aumenta a razón de 2 kg/s, hallar la
fuerza en t=6s.
Respuesta: F=20i+6j N
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 205 ~
126. Una partícula de 88 kg inicia su movimiento con velocidad
v=22i+44j m/s. Si su masa aumenta a razón de 1.5 kg/s, hallar la
fuerza en t=9.4s.
Respuesta: F=33i+66j N
127. Una partícula de 100 kg inicia su movimiento con velocidad v=-4i-
3j m/s. Si su masa aumenta a razón de 0.5 kg/s, hallar la fuerza en
t=0.5s.
Respuesta: F=-2i-1.5 j N
128. Una partícula de 20 kg inicia su movimiento con velocidad v=2i-
3j+5k m/s. Si su masa aumenta a razón de 3.5 kg/s, hallar la fuerza
en t=7.5s.
Respuesta: F=7i-10.5j+17.5k N
129. Una partícula de 35 kg inicia su movimiento con velocidad v=6i-4j-
10k m/s. Si su masa aumenta a razón de 78 kg/s, hallar la fuerza en
t=5s.
Respuesta: F=468i-312j-780k N
130. Una partícula de 74 kg inicia su movimiento con velocidad v=6ti
m/s. Si su masa aumenta a razón de 3 kg/s, hallar la fuerza en t=1s.
Respuesta: F=462i N
131. Una partícula de 21 kg inicia su movimiento con velocidad v=3t2i
m/s. Si su masa aumenta a razón de 2 kg/s, hallar la fuerza en t=5s.
Respuesta: F=780i N
132. Una partícula de 10 kg inicia su movimiento con velocidad v=-8t3i
m/s. Si su masa aumenta a razón de 6 kg/s, hallar la fuerza en t=4s.
Respuesta: F=-6.912x103i N
133. Una partícula de 81 kg inicia su movimiento con velocidad
v=(t+8t3)i m/s. Si su masa aumenta a razón de 8 kg/s, hallar la
fuerza en t=1.4s. Respuesta: F=4078i N
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 206 ~
134. Una partícula de 500 kg inicia su movimiento con velocidad v=(2t-
t2+t
3)j m/s. Si su masa aumenta a razón de 0.4 kg/s, hallar la fuerza
en t=6s.
Respuesta: F=49080j N
135. Una partícula de 777 kg inicia su movimiento con velocidad v=(-
t2+t
4)k m/s. Si su masa aumenta a razón de 58 kg/s, hallar la fuerza
en t=600s.
Respuesta: F=8.188x1012
k N
136. Una partícula de 144 kg inicia su movimiento con velocidad v=(t4-
t3+t
2+t-10)k m/s. Si su masa aumenta a razón de 20.1 kg/s, hallar la
fuerza en t=0.01s.
Respuesta: F=-53.96 k N
137. Una partícula de 25 kg inicia su movimiento con velocidad
v=3ti+tk m/s. Si su masa aumenta a razón de 44 kg/s, hallar la
fuerza en t=1.01s.
Respuesta: F=208.32i+69.44k N
138. Una partícula de 94 kg inicia su movimiento con velocidad v=-
5ti+t2j m/s. Si su masa aumenta a razón de 11 kg/s, hallar la fuerza
en t=1s.
Respuesta: F=-525i+199j N
139. Una partícula de 26 kg inicia su movimiento con velocidad
v=2tj+5t3k m/s. Si su masa aumenta a razón de 8 kg/s, hallar la
fuerza en t=0.1s.
Respuesta: F=53.6j+3.94k N
140. Una partícula de 1000 kg inicia su movimiento con velocidad
v=5t3i+2tj+5t
3k m/s. Si su masa aumenta a razón de 18 kg/s, hallar
la fuerza en t=0.01s.
Respuesta: F=1.5i+2000j+1.5k N
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 207 ~
141. Una partícula de 62 kg inicia su movimiento con velocidad v=62t2i-
8t3j+t
4k m/s. Si su masa aumenta a razón de 13 kg/s, hallar la
fuerza en t=41s.
Respuesta: F=1.67x106i-9.65x10
6j+5.38x10
7k N
142. Una partícula de 33 kg inicia su movimiento con velocidad v=-
5ti+7t2j+3t
-3k m/s. Si su masa aumenta a razón de 0.02 kg/s, hallar
la fuerza en t=0.04s.
Respuesta: F=-165.004i+18.48j-1.16x108k N
143. Una partícula de 54 kg inicia su movimiento con velocidad
v=ti+t2j+t
3k m/s. Si su masa disminuye a razón de 2 kg/s, hallar la
fuerza en t=6s.
Respuesta: F=42i+576j+5400k N
144. Una partícula de 77 kg inicia su movimiento con velocidad
v=4i+t3j+2t
5k m/s. Si su masa disminuye a razón de 4 kg/s, hallar la
fuerza en t=10s.
Respuesta: F=-16i+19100j+6900000k N
145. Una partícula de 8 kg inicia su movimiento con velocidad v=-ti+t2j-
6t4k m/s. Si su masa disminuye a razón de 0.5 kg/s, hallar la fuerza
en t=50s.
Respuesta: F=17i-450j-5250000k N
146. Una partícula de 26 kg inicia su movimiento con velocidad
v=t3i+5j+6t
3k m/s. Si su masa disminuye a razón de 2 kg/s, hallar la
fuerza en t=6.4s.
Respuesta: F=2671i-10j+16020k N
147. La masa de una partícula varía con el tiempo en 3t+1 kg. Si su
velocidad esta dada por v=ti+5tj+3t-2
k m/s, calcular la fuerza en
t=4s.
Respuesta: F=25i+125j-0.656k N
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 208 ~
148. La masa de una partícula varía con el tiempo en 4+6t2 kg. Si su
velocidad esta dada por v=2tj+3t3k m/s, calcular la fuerza en
t=0.1s.
Respuesta: F=8.36j+0.369k N
149. La masa de una partícula varía con el tiempo en 10t+8 kg. Si su
velocidad esta dada por v=-t2i+3t
5j+7t
6k m/s, calcular la fuerza en
t=0.2s.
Respuesta: F=-4.4i+0.25j+0.139k N
150. La masa de una partícula varía con el tiempo en -t2+8t+80 kg. Si su
velocidad está dada por v=4i+5j+8t3k m/s, calcular la fuerza en
t=2s.
Respuesta: F=16i+20j+9088k N
151. La masa de una partícula varía con el tiempo en –t3+1000 kg. Si su
velocidad está dada por v=2ti+5t3j+t
6k m/s, calcular la fuerza en
t=0.5s.
Respuesta: F=1999i+3749j+187.5 k N
152. La masa de una partícula varía con el tiempo en t3+t
2+t+100 kg. Si
su velocidad está dada por v=ti+2t2j+6t
3k m/s, calcular la fuerza en
t=0.05s.
Respuesta: F=100.108i+20.016j+4.503k N
153. La masa de una partícula varía con el tiempo en t4+t
3+t
2+1000 kg.
Si su velocidad está dada por v=(t+1)i+(t2-3)j+(t
3-4)k m/s, calcular
la fuerza en t=0.20s.
Respuesta: F=1001i+398j+118k N
154. La masa de una partícula varía con el tiempo en t5-t
2-t+550 kg. Si
su velocidad está dada por v=(t+t2)i+(t
3-3t)j+(-t
3-4)k m/s, calcular
la fuerza en t=0.2s.
Respuesta: F=769i-1582j-60.4k N
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 209 ~
155. La masa de una partícula varía con el tiempo en t5-t
3-t
2+10
3 kg. Si
su velocidad está dada por v=(t3+t
2+t+20)i-(t
3-3t
2)j-(t
3-4t+2)k m/s,
calcular la fuerza en t=0.01s.
Respuesta: F=1020i+58j+4000k N
CONFIGURACIONES MECANICAS:
156. En cada una de los siguientes gráficos calcular la aceleración de la
masa.
= 0
Respuesta: a=4 m/s2
= 0.1
Respuesta: a=2 m/s2
= 0.1
Respuesta: a=1 m/s2
= 0.1
37°
Respuesta: a=4.392 m/s
2
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 210 ~
= 0.1
53°37°
Respuesta: a=1.083 m/s
2
Respuesta: a=5 m/s
2 Respuesta: a=4 m/s
2
Respuesta: a=2.268 m/s
2 Respuesta: a=6 m/s
2
Respuesta: a=4.268 m/s
2 Respuesta: a=3.768 m/s
2
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 211 ~
Respuesta: a=4.047 m/s
2
Respuesta: a=10 m/s
2 Respuesta: a=7.5 m/s
2
Respuesta: a=5 m/s
2 Respuesta: a=2.5 m/s
2
157. En cada una de los siguientes gráficos calcular la aceleración y la
tensión en las cuerdas.
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 212 ~
= 0
= 0.2
R.:a=8 m/s
2; R. :a=7.6 m/s
2;
= 0.2 = 0.2
R.:a=5.5 m/s2; R.:a=7.828 m/s
2;T1=52.14N.;T2=8.69 N
= 0.1
Respuesta:a=6 m/s
2;T1=145N;T2=96N;T3=64N
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 213 ~
158. En cada una de los siguientes gráficos calcular la aceleración y la
tensión en las cuerdas.
Muy a menudo resulta complejo resolver cierta clase de problemas
físicos, debido a la gran cantidad de cálculos matemáticos implicados.
Para ello se dispone de un concepto alterno basado en la idea de energía
almacenada en los cuerpos y en los sistemas en movimiento.
Definiremos estos conceptos previamente para luego aplicarlos en
problemas prácticos.
5.1 TRABAJO
Se realiza trabajo cuando una fuerza mueve un cuerpo u objeto en la
dirección en la que ésta fuerza actúa. Matemáticamente el trabajo se
define como un producto escalar entre la fuerza aplicada al objeto y el
vector desplazamiento del cuerpo.
𝑊 = 𝐹 ∆r
Considerando el ángulo que forma el vector fuerza con el
desplazamiento, tenemos la siguiente expresión
m
F
Δr θ
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 215 ~
𝑊 = 𝐹∆𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃
En caso de que la fuerza es variable, el trabajo debe ser calculado en
cada pequeño desplazamiento según la siguiente ecuación
𝑊 = 𝐹 dr
La unidad de medida del trabajo es el joule (J).
5.2 ENERGIA
Frecuentemente las fuerzas sobre un cuerpo producen trabajos que
dependen de la posición, de la velocidad y otros factores, para ello es
más adecuado utilizar el concepto de energía, que es la capacidad de un
sistema para trabajar, y es medida en joules.
5.3 ENERGIA CINETICA.- Es aquella energía dependiente de la
velocidad de un cuerpo.
𝐾 =1
2𝑚𝑣2
5.4 ENERGIA POTENCIAL GRAVITATORIA.- Es aquella
energía dependiente de la altura respecto a un referencial sobre la
tierra.
𝑈𝑔 = 𝑚𝑔
5.5 ENERGIA POTENCIAL ELASTICA.- Es aquella energía
almacenada en un resorte debido a la contracción o estiramiento
de éste.
𝑈𝑒 =1
2𝑘𝑥2
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 216 ~
5.6 CONSERVACIÓN DE LA ENERGIA MECANICA
En un sistema conformado por fuerzas conservativas, es muy útil
calcular la energía en diferentes estados (antes y después de un cambio
de posición o velocidad). Esto nos lleva a utilizar la siguiente igualdad
para la energía mecánica
𝐸𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 𝐸𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙
Lo que nos lleva plantear la siguiente extensión
(𝐾 + 𝑈𝑔 + 𝑈𝑒)𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = (𝐾 + 𝑈𝑔 + 𝑈𝑒)𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙
Cuando en un sistema hay pérdida de energía por rozamiento, tenemos
que considerar la siguiente inecuación
𝐸𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 − 𝐸𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 < 0
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 217 ~
EJERCICIOS
1. Una fuerza 𝐹 = 4𝑖 + 3𝑗 − 2𝑘 N, actúa sobre un objeto
desplazándolo ∆𝑟 = 2𝑖 − 5𝑗 − 𝑘 m. Calcular el trabajo realizado.
Respuesta: W= -5 J
2. Una fuerza 𝐹 = 2𝑖 + 0𝑗 − 7𝑘 N, actúa sobre un objeto
desplazándolo ∆𝑟 = 0𝑖 − 4𝑗 − 2𝑘 m. Calcular el trabajo realizado.
Respuesta: W= 14 J
3. Una fuerza 𝐹 = 0𝑖 + 0𝑗 − 5𝑘 N, actúa sobre un objeto
desplazándolo ∆𝑟 = −2𝑖 − 5𝑗 − 3𝑘 m. Calcular el trabajo realizado.
Respuesta: W= 15 J
4. Una fuerza 𝐹 = 6𝑖 − 3𝑗 − 𝑘 N, actúa sobre un objeto desplazándolo
∆𝑟 = 0𝑖 − 5𝑗 + 0𝑘 m. Calcular el trabajo realizado.
Respuesta: W= 15 J
5. Una fuerza 𝐹 = 𝑖 − 3𝑗 − 8𝑘 N, actúa sobre un objeto desplazándolo
∆𝑟 = 0𝑖 + 0𝑗 − 𝑘 m. Calcular el trabajo realizado.
Respuesta: W= 8 J
6. Una fuerza 𝐹 = 41𝑖 + 23𝑗 − 12𝑘 N, actúa sobre un objeto
desplazándolo ∆𝑟 = 32𝑖 − 51𝑗 − 10𝑘 m. Calcular el trabajo
realizado.
Respuesta: W= 259 J
7. Una fuerza 𝐹 = 1.4𝑖 + 3.5𝑗 − 4.2𝑘 N, actúa sobre un objeto
desplazándolo ∆𝑟 = 2.8𝑖 − 6.5𝑗 − 0.5𝑘 m. Calcular el trabajo
realizado.
Respuesta: W= -16.73 J
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 218 ~
8. Una fuerza 𝐹 = 0.4𝑖 + 0.8𝑗 + 0.2𝑘 N, actúa sobre un objeto
desplazándolo ∆𝑟 = 0.2𝑖 − 0.5𝑗 − 0.1𝑘 m. Calcular el trabajo
realizado.
Respuesta: W= -0.34 J
9. Una fuerza 𝐹 = 0.044𝑖 + 0.053𝑗 − 0.245𝑘 N, actúa sobre un objeto
desplazándolo ∆𝑟 = 0.52𝑖 − 0.25𝑗 − 1.00𝑘 m. Calcular el trabajo
realizado.
Respuesta: W= 0.25463 J
10. Una fuerza 𝐹 = 44𝑖 + 33𝑗 − 22𝑘 N, actúa sobre un objeto
desplazándolo ∆𝑟 = 22𝑖 + 55𝑗 − 11𝑘 m. Calcular el trabajo
realizado.
Respuesta: W= 3025 J
Para realizar un estudio adecuado del movimiento de un sistema con
muchas partículas, necesitamos herramientas especiales tales como el
concepto de centro de masas, ya para sistemas en giro debemos
considerar el momento de inercia. En este capítulo consideraremos
como se realiza el cálculo de estas dos cantidades.
6.1 CENTRO DE MASAS
Consideremos un sistema formado por N partículas, cada una con masa
𝑚𝑖 y vector de posición 𝑟 𝑖 . Tal como se muestra en la figura
x
y
z
m2
m1
m3
m4 m5
r1 r2
r4 r3 r5
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 220 ~
El centro de masas estará dado por
𝑟 𝐶𝑀 = 𝑚𝑖𝑟 𝑖 𝑚𝑖
En forma extendida sería
𝑟 𝐶𝑀 =𝑚1𝑟 1 + 𝑚2𝑟 2 + ⋯ + 𝑚𝑁𝑟 𝑁
𝑚1 + 𝑚2 + ⋯ + 𝑚𝑁
Considerando los sistemas de coordenadas sus respectivas componentes
escalares de cada vector de posición, tendríamos
𝑥𝐶𝑀 =𝑚1𝑥1 + 𝑚1𝑥2 + ⋯ + 𝑚𝑁𝑥𝑁
𝑚1 + 𝑚2 + ⋯ + 𝑚𝑁
𝑦𝐶𝑀 =𝑚1𝑦1 + 𝑚1𝑦2 + ⋯ + 𝑚𝑁𝑦𝑁
𝑚1 + 𝑚2 + ⋯ + 𝑚𝑁
𝑧𝐶𝑀 =𝑚1𝑧1 + 𝑚1𝑧2 + ⋯ + 𝑚𝑁𝑧𝑁
𝑚1 + 𝑚2 + ⋯ + 𝑚𝑁
Luego
𝑟 𝐶𝑀 = 𝑥𝐶𝑀𝑖 + 𝑦𝐶𝑀𝑗 + 𝑧𝐶𝑀𝑘
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 221 ~
6.2 MOMENTO DE INERCIA
Consideremos un sistema formado por N partículas, cada una con masa
𝑚𝑖 y distancia di perpendicular respecto a un eje L. Todas las partículas
giran respecto a este eje L, tal como se muestra en la figura.
El momento de inercia se calcula como
𝐼 = 𝑚𝑖𝑑𝑖2
En forma desarrollada seria
𝐼 = 𝑚1𝑑12 + 𝑚2𝑑2
2 + ⋯ + 𝑚𝑁𝑑𝑁2
L
m2
m1
m3
m4 m5
d1 r2
d4 d3
d5
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 222 ~
EJERCICIOS
1. Considere un sistema de masas dadas en kilogramos por 𝑚1 = 1;
𝑚2 = 2; 𝑚3 = 3; 𝑚4 = 4; 𝑚5 = 5 ; con sus respectivas posiciones
en metros dadas por 𝑟 1 = 2𝑖 − 5𝑗 − 𝑘 ; 𝑟 2 = 𝑖 + 3𝑗 − 2𝑘 ; 𝑟 3 =
−2𝑖 − 6𝑗 + 4𝑘 ; 𝑟 4 = −2𝑖 − 5𝑗 − 4𝑘 ; 𝑟 5 = −2𝑖 − 5𝑗 + 8𝑘 . Calcular
el centro de masas.
Respuesta: 𝑟 𝐶𝑀 = −1.33𝑖 − 4.13𝑗 + 2.07𝑘 metros
2. Considere un sistema de masas dadas en kilogramos por 𝑚1 = 8;
𝑚2 = 12; 𝑚3 = 11; 𝑚4 = 14; 𝑚5 = 7 ; con sus respectivas
posiciones en metros dadas por 𝑟 1 = 3𝑖 − 4𝑗 − 2𝑘 ; 𝑟 2 = 3𝑖 + 7𝑗 −
6𝑘 ; 𝑟 3 = −8𝑖 − 𝑗 + 𝑘 ; 𝑟 4 = −2𝑖 − 5𝑗 − 4𝑘 ; 𝑟 5 = −2𝑖 − 5𝑗 + 8𝑘 .
Calcular el centro de masas.
Respuesta: 𝑟 𝐶𝑀 = −1.34𝑖 − 1.23𝑗 − 1.48𝑘 metros
3. Considere un sistema de masas dadas en kilogramos por 𝑚1 = 3;
𝑚2 = 1; 𝑚3 = 1; 𝑚4 = 5; 𝑚5 = 9 ; con sus respectivas posiciones
en metros dadas por 𝑟 1 = −3𝑖 − 𝑗 − 𝑘 ; 𝑟 2 = 𝑖 + 𝑗 − 𝑘 ; 𝑟 3 = −𝑖 −
𝑗 + 𝑘 ; 𝑟 4 = −2𝑖 − 𝑗 − 0𝑘 ; 𝑟 5 = 0𝑖 − 𝑗 + 𝑘 . Calcular el centro de
masas.
Respuesta: 𝑟 𝐶𝑀 = −1.00𝑖 − 0.89𝑗 + 0.32𝑘 metros
4. Considere un sistema de masas dadas en kilogramos por 𝑚1 = 1;
𝑚2 = 1; 𝑚3 = 1; 𝑚4 = 1; 𝑚5 = 1 ; con sus respectivas posiciones
en metros dadas por 𝑟 1 = −𝑖 − 𝑗 − 𝑘 ; 𝑟 2 = 𝑖 + 𝑗 − 𝑘 ; 𝑟 3 = −𝑖 − 𝑗 +
𝑘 ; 𝑟 4 = 𝑖 + 𝑗 + 𝑘 ; 𝑟 5 = 𝑖 − 𝑗 + 𝑘 . Calcular el centro de masas.
Respuesta: 𝑟 𝐶𝑀 = 0.2𝑖 − 0.2𝑗 + 0.2𝑘 metros
Un cuerpo rígido, es aquel cuerpo ideal en el cual la separación entre
dos puntos cualesquiera es fija e independiente del tiempo. En otras
palabras un cuerpo rígido no experimenta deformación alguna. En
realidad todos los cuerpos en el universo experimentan deformación de
alguna manera, pero nosotros estudiamos al cuerpo rígido la finalidad
de rescatar algunas propiedades útiles que nos permitirán entender
algunos fenómenos. También en ingeniería podemos considerar algunos
sistemas como formados por cuerpos rígidos de tal manera de hacer más
sencillo su estudio.
7.1 TRASLACIÓN DEL CUERPO RÍGIDO
En el movimiento de traslación todos los puntos que forman el sólido se
mueven según caminos paralelos.
A1
B1
A2
B2
Traslación
curvilínea
A1
B1
A2
B2
Traslación
sencilla
Roberto Del Carpio M. FISICA I
~ 224 ~
Designamos como 𝑟 𝐴 y 𝑟 𝐵, a los vectores de posición de los puntos A y
B respecto de un sistema fijo de referencia, y como 𝑟 𝐴/𝐵 al vector que
une A a B, se tiene
𝑟 𝐵 = 𝑟 𝐴 + 𝑟 𝐵/𝐴
Derivando la posición respecto del tiempo
𝑑𝑟 𝐵𝑑𝑡
=𝑑𝑟 𝐵𝑑𝑡
+
𝑑𝑟 𝐵/𝐴
𝑑𝑡
0
Obtenemos
𝑣 𝐵 = 𝑣 𝐴
Derivando de nuevo respecto del tiempo
𝑎 𝐵 = 𝑎 𝐴
Lo que nos lleva a la siguiente conclusión
Cuando un sólido rígido sufre una traslación, en un
instante dado todos los puntos del sólido tienen la
misma velocidad y la misma aceleración.
rB
rA
B
A
rB/A
y
x
z
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~ 225 ~
7.2 ROTACION DEL CUERPO RÍGIDO
Consideremos un cuerpo rígido que rota alrededor de un eje fijo.
Denotaremos por 𝜔 a la velocidad angular del cuerpo sólido y por ende
será el mismo para todas las partículas que conforman el cuerpo. La
velocidad 𝑣 de cada partícula del cuerpo rígido depende de la posición 𝑟 y se calcula como un producto vectorial tal como:
𝑣 = 𝜔 × 𝑟
Si derivamos la velocidad respecto del tiempo obtenemos la aceleración
de cada partícula del cuerpo
𝑑𝑣
𝑑𝑡=
𝑑(𝜔 × 𝑟 )
𝑑𝑡
Aplicando reglas vectoriales tenemos
𝑎 =∝ × 𝑟 + 𝜔 × 𝜔 × 𝑟
donde ∝ es el vector aceleración angular.
r
v
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~ 226 ~
EJERCICIOS
1. Calcular la velocidad lineal de una partícula dentro de un cuerpo
rígido que gira con aceleración angular 𝜔 = 2𝑖 + 3𝑗 + 4𝑘 rad/s y
tiene una posición 𝑟 = 𝑖 − 𝑗 + 𝑘 metros.
Respuesta: 𝑣 = 7𝑖 + 2𝑗 − 5𝑘 m/s
2. Calcular la velocidad de una partícula dentro de un cuerpo rígido
que gira con aceleración angular 𝜔 = 𝑖 − 𝑗 + 𝑘 rad/s y tiene una
posición 𝑟 = 𝑖 + 𝑗 + 𝑘 metros.
Respuesta: 𝑣 = −2𝑖 + 0𝑗 + 2𝑘 m/s
3. Calcular la velocidad de una partícula dentro de un cuerpo rígido
que gira con aceleración angular 𝜔 = 1.5𝑖 + 2.8𝑗 + 5.4𝑘 rad/s y
tiene una posición 𝑟 = 6.4𝑖 + 3.4𝑗 + 8.7𝑘 metros.
Respuesta: 𝑣 = 6.00𝑖 + 21.51𝑗 − 12.82𝑘 m/s
4. Calcular la velocidad de una partícula dentro de un cuerpo rígido
que gira con aceleración angular 𝜔 = 0.5𝑖 + 0.8𝑗 + 0.4𝑘 rad/s y
tiene una posición 𝑟 = 0.6𝑖 + 0.3𝑗 + 0.7𝑘 metros.
Respuesta: 𝑣 = 0.44𝑖 − 0.11𝑗 − 0.33𝑘 m/s
5. Calcular la velocidad de una partícula dentro de un cuerpo rígido
que gira con aceleración angular 𝜔 = 0.08𝑖 + 0.07𝑗 + 0.03𝑘 rad/s y
tiene una posición 𝑟 = 0.006𝑖 + 0.001𝑗 + 0.002𝑘 metros.
Respuesta: 𝑣 = 0.00011𝑖 + 0.001𝑗 − 0.00034𝑘 m/s
BIBLIOGRAFIA
1. Resnick R., Halliday D.; "Física"; Tomo I; 3ra Edición;
Editorial Continental México; 1981.
2. Paul A. Tipler; “Física”; Tomo I; 3ra Edición; Editorial
Reverté; 1995.
3. Raymond A. Serway; “Física”; Tomo I; 4ta Edición;
Editorial McGraw-Hill; 1997.
4. Michel Valero; “Física Fundamental”; Tomo I; 1ra
Edición; Editorial Norma; Colombia; 1986.
5. William F. Riley, Leroy D. Sturges; “Estática”; 1ra
Edición; Editorial Reverté; 1995.
6. William F. Riley, Leroy D. Sturges; “Dinámica”; 1ra
Edición; Editorial Reverté; 1995.
7. Ferdinand P. Beer, Russell E. Jhonston; “Estática”; 6ta
Edición; Editorial Mc Graw Hill; 1997.
8. Ferdinand P. Beer, Russell E. Jhonston; “Dinámica”; 6ta
Edición; Editorial Mc Graw Hill; 1997.
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