7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 1/171
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
GENERACIÓN Y CARACTERÍSTICAS :
El ángulo trigonométrico es la figura generada sobreun plano por la rotación de un rayo alrededor de su
origen, desde una posición inicial hasta una posiciónfinal y en un sentido determinado.
Si la rotación se realiza en sentido horario, entoncesla medida del ángulo será negativa y si se realiza ensentido antihorario, entonces la medida del ánguloserá positiva, tal como se muestra en la figurasiguiente :
OBSERVACIONES:
1. La medida del ángulo trigonométrico, no se
encuentra sujeto a restricciones pudiendo ser un ángulo de cualquier magnitud
2. Si se cambia el sent ido de la rotación de unángulo, entonces su medida cambiará de
signo
3. Para real izar operaciones con ángulos
trigonométricos, estos deberán estar en elmismo sentido
SISTEMA DE UNIDADES ANGULARES
Para medir ángulos trigonométricos existen unainfinidad de sistemas, debido a que la unidad angular de medida se puede considerar de manera arbitraria;siendo los sistemas convencionales los siguientes :
SISTEMA SEXAGESIMAL O INGLÉS (S)
La unidad de medida en este sistema es el gradosexagesimal (1°)
Unidades ComplementariasMinuto (1’)Segundo (1”)
Equivalencias1° < > 60’1' < > 60”1° < > 3600”
NOTA :a°b’c” = a°+b’+c”
SISTEMA CENTESIMAL O FRANCÉS (C)
La unidad de medida en este sistema es el gradocentesimal (1g)
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 2/171
Unidades ComplementariasMinuto (1m)Segundo (1s)
Equivalencias1g < > 100m
1m < > 100s
1g < > 10 000s
NOTA :agbmcs < > ag+bm+cs
SISTEMA RADIAL O CIRCULAR (R)
La unidad de medida en este sistema es el radián (1rad), el cual se define como el ángulo central quesubtiende en toda circunferencia un arco de iguallongitud que la de su radio.
OBSERVACIONES:
1rad < > 57° 17’ 44”1rad > 1° > 1g
Aproximaciones de “ð”ð = 3,1416
ð =
ð =
RELACIÓN ENTRE SISTEMAS
EQUIVALENCIAS FUNDAMENTALES
m1vta 360° < > 400g < > 2ð rad
2ð rad < > 360°
ð rad < > 180°
2ð rad < > 400g
ð rad < > 200g
360° < > 400g 9° < > 10g
FACTORES DE CONVERSIÓNSon fracciones equivalentes a la unidad y se obtienendividiendo dos cantidades equivalentes, colocando enel numerador una medida en la unidad deseada y enel denominador se coloca su equivalente en la unidada eliminar.
Ejemplo :
Convertir 36° a radianes, como : ð rad < > 180°
Entonces : < > 1
Luego :
36° rad
36° < > rad
Ejemplo :Convertir 80g a radianes, como ð rad < > 200g
Entonces : < > 1
Luego :
80g rad
FÓRMULA DE CONVERSIÓN
Se utiliza sólo cuando las medidas del ángulo esténexpresadas en las unidades principales de medida, es
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 3/171
decir grados y radianes.
Estos tres valores numéricos verifican la siguienterelación:
Simplificando :
de donde se realizan los siguientes despejes :
NOTA: Para todo ángulo trigonométrico se tiene que :
además :si : mè es positiva C > S > Rsi : mè es negativa C < S < R
PARA TODO ÁNGULO EN EL SISTEMASEXAGESIMAL
PARA TODO ÁNGULO EN EL SISTEMACENTESIMAL
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 4/171
COMPLEMENTO Y SUPLEMENTO DE UN ÁNGULO
PROBLEMAS PROPUESTOS01. Dada la siguiente equivalencia :
11g < > a°b’.calcular “b - a”
A) 45 B) 46 C) 47D) 48 E) 49
02. Halle el valor de “a” para que se verif ique laigualdad:
A) 11/8 B) 55/4 C) 10/9D) 9/4 E) 1/5
03. Del gráfico mostrado calcule :
A) 0,12 B) 0,21 C) 0,23D) 0,32 E) 0,13
04. Si se tiene que : (a - b)2 = 4ab, calcule el
valor de :
A) 120 B) 122 C) 124D) 126 E) 128
05. Calcular :
A) 0,1 B) 0,2 C) 0,3D) 0,4 E) 0,5
06. Si:calcular (a + b)° en radianes
A) ð/10 B) ð/12 C) ð/15D) ð/18 E) ð/20
07. Determine el valor de “n” en la igualdad :
A) 2 B) 4 C) 6
D) 8 E) 1008. Siendo S y C los números convencionales,
para los cuales se tiene que:
calcule el valor de :
A) 1 B) 3 C) 5D) 7 E) 9
09. Determine la medida radial del ángulo queverifique la igualdad siguiente:
A) ð/5 rad B) ð/10 rad C) ð/15rad
D) ð/20 rad E) ð/25 rad
10. Siendo S y C los números de gradossexagesimales y centesimales de un mismoángulo que cumple con:
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 5/171
S = 3x2 - 2x - 2C = 2x2 + 4xCalcular dicho ángulo en radianes, si x es unnúmero entero y positivo.
A) 17ð/20 B) 13ð/20 C)11ð/20
D) 9ð/20 E) 7ð/20
11. Determinar la medida radial del ángulo talque se cumplan las igualdades:
- 12 = (x+3)(x+6)
+ 11 = (x+4)(x+5)
A) ð/5 rad B) 2ð/5 rad C) 3ð/5rad
D) 4ð/5 rad E) ð rad
12. Hallar la medida radial de un ángulo dondela suma y diferencia de sus números degrados sexagesimales y centesimales sonlas dimensiones de un rectángulo cuya área
es 19 u
2
A) ð/20 B) ð/18 C) ð/12D) ð/10 E) ð/9
13. Determine la medida circular de un ángulo,sabiendo que la diferencia del número desegundos sexagesimales y treinta veces elnúmero de minutos centesimales de dichoángulo es igual a 24 000
A) ð rad B) ð/4 rad C) ð/3rad
D) ð/6 rad E) ð/2 rad
14. Siendo S y C los números de gradossexagesimales y centesimales contenidos en
un ángulo para el cuál se cumple:
Calcule el valor de la expresión : A) 10 B) 19 C) 20D) 11 E) 38
15. Si el recíproco del número de radianes quecontiene un ángulo, viene dado por :
Indique la suma de sus números de gradossexagesimales y centesimales
A) 4 B) 2 C) 1
D) 3 E) 5
16. Los ángulos de un tr iángulo son:
x° = a°b’c”; (x+1)g; (x-1)g. Hallar : A) 1 B) 3 C) 5D) 7 E) 9
17. La suma de los números que representan elsuplemento de un ángulo en grados
centesimales y el complemento del ánguloen grados sexagesimales es igual a 5. Hallela medida radial del ángulo
A) 3ð/4 rad B) 3ð/5 rad C) 3ð/7rad
D) 3ð/10 rad E) 3ð/8 rad
18. Se ha ideado un nuevo sistema para medir ángulos, en el cual el número de unidades deun ángulo en este sistema es igual a laquinta parte de la suma del número degrados centesimales y el doble del númerode grados sexagesimales de dicho ángulo.¿A cuántos radianes equivale 80 unidadesde este nuevo sistema?
A) 3ð/7 rad B) 2ð/7 rad C) 4ð/7rad
D) ð/7 rad E) 5ð/7 rad
19. Se tiene 2 ángulos, tales que el número degrados centesimales de uno de ellos es igualal número de grados sexagesimales del otro,y la diferencia del número de gradoscentesimales de este último y el número degrados sexagesimales del primero es 19.Determinar la suma de los números deradianes de estos ángulos
A) 19ð/20 B) 17ð/20 C)13ð/20
D) 11ð/20 E) 9ð/20
20. Se tiene que: donde S y C son
los números convencionales. Calcule el valor de:
A) 10/9 B) 1/10 C) 9D) 9/10 E) 1/9
TAREA
01. Calcular el valor de
A) 19/13 B) 21/13 C) 29/13
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 6/171
D) 22/13 E) 25/13
02. Si se verifica : rad < > x° y’z”
calcular el complemento de (x + y - z)° A) 80° B) 81° C) 82°D) 84° E) 85°
03. Si se cumple que: (a + b)2 = 4ab
calcular el valor de :
A) 11 B) 21 C) 31D) 41 E) 51
04. Calcular la medida radial de un ángulo, demodo que sus medidas sexagesimal (S) ycentesimal (C), verifiquen:S = xx + x + 4C = xx + x + 5
A) ð/40 B) ð/20 C) ð/10D) ð/5 E) ð/4
05. Se ha medido un ángulo en los tressistemas, notándose que la suma del dobledel número de grados sexagesimales con eltriple del número de grados centesimales y elcuádruple del número de radianes es:
. Calcular dicho ángulo en el
sistema internacional.
A) B) C)
D) E)
06. Sean :
An = rad Bn = (nn)° Cn =
(10n)g
¿cuál(es) de las siguientes proposicioneses(son) cierta(s)?I. A3 > B3 + C3II. A4 + B2 < C6III. A6 - 3B1 = C3
A) Sólo I B) Sólo II C) SóloIII
D) II y III E) Todas
07. Los ángulos internos de un cuadrilátero
convexo miden: 100g, (6x+10)°, y á.
Calcular el mayor valor de x de modo que “á”sea obtuso.
A) 6 B) 8 C) 10D) 12 E) 14
08. Siendo “a” el número de minutossexagesimales y “b” el número de segundoscentesimales contenidos en un ángulo, para
el cual se tiene: .
Determine la medida circular de dichoángulo.
A) (ð/3) rad B) (ð/4) rad C) (ð/2)rad
D) (ð/5) rad E) (ð/6) rad
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 7/171
09. Determine la medida de un ángulo enradianes si se tiene que la suma de losnúmeros que expresan el suplemento deltriple del ángulo en sexagesimales, con eltriple del suplemento de dicho ángulotambién en sexagesimales, resulta ser igualal número que expresa el triple del
suplemento del ángulo en centesimales A) (ð/2) rad B) (ð/3) rad C) (ð/4)rad
D) (ð/5) rad E) (ð/6) rad
10. Siendo S y C los números convencionales tal
que : , calcular : A) 20/9 B) 181/90 C) 9/5D) 90/181 E) 10/9
SECTOR Y TRAPECIO CIRCULAR
CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO
Longitud de la circunferencia:
L = 2ðr
Área del círculo :
A = ðr 2
SECTOR CIRCULAR
para que el sector esté definido se tendrá que :
0 < è 2ð
LONGITUD DEL ARCO (L)-ÁREA DEL SECTOR
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 8/171
Longitud de arco :
L = èr
Área del sector :
(0 < è 2ð)
PROPIEDAD :
TRAPECIO CIRCULAR
- Bases del trapecio :
- Separación de bases : AD = BC = R - r
- Para que el t rapecio exista, se debe cumplir:
0 < è 2ð
ÁREA DEL TRAPECIO CIRCULAR -ÁNGULO CENTRAL
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 9/171
(0 < è 2ð)
PROBLEMAS PROPUESTOS
01. De la figura calcular el perímetro del sector circular AOB.
A) 16 B) 18 C) 20D) 22 E) 24
02. Del esquema mostrado calcule el valor de “L”
A) 3ð m B) 7ð m C) 9ð mD) 5ð m E) 10ð m
03. Determine el valor de “L” en el esquemamostrado:
A) 5 B) 7 C) 9
D) 10 E) 12
04. Determine la longitud de arco de un sector cuyo ángulo central mide (x/3) rad y su radiomide (6x) m; sabiendo además que elperímetro de este sector es de 110 m
A) 20 m B) 30 m C) 40 mD) 50 m E) 60 m
05. Si a un sector circular se le duplica el ángulocentral y a su radio se le disminuye en 3 m,
se obtendrá un nuevo sector de longitud dearco igual a la mitad de la longitud del arcoinicial. Determine el radio del nuevo sector
A) 5 m B) 4 m C) 3 mD) 2 m E) 1 m
06. Si a un sector circular se le triplica el radio ya su ángulo central se le disminuye en 36°,
se obtendrá un nuevo sector de longitud dearco igual al doble de la longitud del arcoinicial. Determine la medida del nuevoángulo central
A) (ð/10) rad B) (ð/5) rad C) (2ð/5)rad
D) (3ð/5) rad E) (3ð/10) rad
07. Si el área del sector circular POQ es 20 m2,hallar è
A) 8/5 B) 4/3 C) 5/3D) 3/5 E) 2/3
08. Del esquema mostrado determine el valor de“è”, si se tiene que la suma de las áreas delos sectores sombreados es ð/2 m2
A) (ð/3) rad B) (ð/4) rad C) (ð/6)rad
D) (ð/8) rad E) (ð/12) rad
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 10/171
09. En la f igura mostrada determine el valor de“L”, sabiendo que el trapecio circular ABCDtiene 72 m2 de área
A) 1 m B) 2 m C) 3 mD) 4 m E) 5 m
10. En el esquema mostrado determine el áreade la región sombreada
A) 24 u2 B) 34 u2 C) 54 u2
D) 44 u2 E) 64 u2
11. Si a un sector circular le cuadruplicamos su ángulo central y aumentamos 5 m a su radio, se obtendrá que el sector resultante tiene un área que es 49 veces elárea del sector inicial. Determine el radio delsector resultante
A) 1 m B) 3 m C) 5 mD) 7 m E) 9 m
12. Si : S1 + S2 = 15ð u2, calcular “x”
A) ð/3 B) ð/4 C) ð/5D) ð/6 E) ð/8
13. Determine el área del sector sombreado, si eltrapecio circular ABCD tiene un área de 48ðm2
A) 2ð m2 B) 4ð m2 C) 6ð m2
D) 8ð m2 E) 10ð m2
14. De la figura calcular el área del trapeciocircular ABCD, si BD = h y DOC = áradianes
A) B) C)
D) E)
15. En la figura mostrada, siendo L1, L2 y L3,números enteros y consecutivos determine elvalor de :
A) 2 B) 4 C) 6
D) 8 E) 10
16. De la figura calcular : , OE=EC=CA
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 11/171
A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 2,5
17. Del esquema mostrado, calcular el valor de:
S: Área
A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5
18. En la figura siguiente, determine el valor de A/B
A) 54/37 B) 54/35 C) 54/31D) 54/23 E) 54/43
19. Calcular el área del sector circular POQ, si la
longitud del arco MN es igual al perímetro decircunferencia de radio b.(P y Q : Puntos de tangencia)
A) ðb(a-2b) B) ðb(a+2b) C) ða(a-2b)
D) ða(a+2b) E) ðb(b-2a)
20. Calcular el perímetro mínimo de un sector circular de área constante igual a 16 m2
A) 12 m B) 16 m C) 20 mD) 18 m E) 6 m
TAREA
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 12/171
01. Si a un sector circular se le duplica el ángulocentral y a su radio se le reduce en 3 m, seobtendrá un nuevo sector cuya área es iguala la mitad que la del área del sector inicial.Determine el radio del sector inicial.
A) 2 m B) 3 m C) 4 m
D) 5 m E) 6 m
02. En la f igura mostrada determine el valor de“L”, si el trapecio circular ABCD tiene 20 m2
de área
A) 1 m B) 3 m C) 5 mD) 7 m E) 9 m
03. Calcular el área del sector circular sombreado
A) 36 B) 39 C) 42
D) 44 E) 49
04. En la f igura calcular L, si el área de la regiónno sombreada es los 2/3 del área total
A) 2 B) C) 2D) 3 E) 6
05. Determine el área del sector sombreado enla siguiente figura:
A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5
06. En la figura mostrada, calcular la longitud del
arco , si el área del trapecio circular
ABCD es igual a 30 m2 y AD = 6 m
A) 7 m B) 8 m C) 9 mD) 10 m E) 12 m
07. Calcular el área del trapecio circular ABCD
A) B) 2 C) 3
D) 4 E) 6
08. Calcular la relación entre las longitudes de
los arcos (S : área)
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 13/171
A) B) C)
D) E)
09. Calcular :
A) 3/4 B) 4/3 C) 2/3D) 3/2 E) 3/5
10. En la figura se tiene dos sectores circulares
tales que: á + è = ð y . Calcular la
suma de las áreas de dichos sectores (è > á)
A) 21ð/2 u2 B) 9ð u2 C) 6ð u2
D) 19ð/2 u2 E) 23ð/2 u2
RUEDAS Y NÚMERO DE VUELTAS
() Cuando una rueda (aro, disco, ..........) varodando sobre una superficie plana.
n : Número de vueltas al ir desde A hasta Bèg : Número de radianes del ángulo de giro (A
hasta B)L : Longitud que recorre la rueda
() Cuando una rueda (aro, disco) va rodando sobreuna superficie curva
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 14/171
() Ruedas unidas por una faja tangencial o encontacto
Se cumple :
è1r 1 = è2r 2
n1r 1 = n2r 2
L1 = L2
() Ruedas unidades por su centros
Se cumple : è1 = è2 n1 = n2
PROBLEMAS PROPUESTOS01. Calcular el número de vueltas que da la rueda de
radio “R”, al trasladarse desde “P” hasta chocar con la pared
A) D/2ðR B) D/ðR C) D-R/2ðRD) D-R/ðR E) D-2R/2ðR
02. ¿Cuántas vueltas da la rueda, si el bloquedesciende hasta llegar al piso?, siendo h = 120ðcm
A) 5 B) 10 C) 12D) 18 E) 24
03. De la figura mostrada determinar cuántas vueltasda la rueda de radio “r” sobre la pista circular decentro “O”, al recorrer el tramo AB (R = 9r)
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 15/171
A) 1 B) 1,5 C) 2D) 2,5 E) 3
04. Una rueda de radio “r” gira sin resbalar por uncamino circular de radio “R”, como se muestra enla figura. Calcular cuántas vueltas dará hasta quellegue a su posición inicial (R=5r)
A) 5 B) 6 C) 7D) 8 E) 9
05. Calcular el número de vueltas que da la rueda deradio “r” al recorrer el circuito desde A hasta B.
A) 2r/R B) r/2R C) R/2r D) 2R/r E) R/r
06. ¿Cuántas vueltas da la ruedita en ir desde “A”hasta “C”?, sabiendo que AB=13ð m
A) 1,5 B) 2,5 C) 3,5D) 4,5 E) 5,5
07. Se tiene dos ruedas en contacto, cuyos radios seencuentran en la relación de 5 a 2. Determinecuántas vueltas dará la rueda menor, cuando lamayor de 4/5 dé vuelta.
A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5
08. En el sistema adjunto cuando el engranaje demenor radio gira 1,25 vueltas, ¿cuál será ladistancia entre los puntos “A” y “B”, si
inicialmente están diametralmente opuestos.
A) 4 B) 6 C) 2
D) 2 E) 2
09. Del sistema mostrado determinar el número devueltas que da la rueda A, si la rueda B da 30vueltas.
A) 25 B) 32 C) 36D) 40 E) 45
10. En el esquema mostrado, se tiene que al hacer girar la faja, las ruedas A y C giran longitudes quesuman 28ð. Determinar cuántas vueltas dará larueda mayor
A) 1 B) 1,5 C) 2D) 2,5 E) 3
11. Calcular la altura del punto “P”, luego que larueda da 2/3 de vuelta.
A) 8 B) 7 C) 6D) 5 E) 4
12. Los radios de las ruedas de una bicicleta, sonentre sí como 3 es a 4. Calcular el número de vueltas que da la rueda mayor cuando larueda menor gire 8ð radianes.
A) 2 B) 3 C) 4
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 16/171
D) 6 E) 8
13. Calcular el espacio que recorre una bicicleta, si lasuma del número de vueltas que dan sus ruedases 80. Se sabe que los radios de las mismasmiden 3 u y 5 u
A) 100ð B) 200ð C) 250ð
D) 300ð E) 500ð14. La rueda de radio 1 m se desplaza desde A haciaB, dando 12 vueltas. Determinar el valor de “d”
A) 46 B) 47 C) 48D) 49 E) 50
15. Se tiene dos ruedas conectadas por una faja. Sihacemos girar la faja, se observa que las ruedasgiran ángulos que suman 144°. Determine ladiferencia de los números de vueltas que danestas ruedas, si sus radios miden 3 m y 5 m
A) 1/3 B) 1/5 C) 1/7D) 1/6 E) 1/10
16. Dos engranajes están unidos mediante una fajatangencial, tal como se muestra en la figura. Si elengranaje menor da “n” vueltas cuando el mayor da “n-4" vueltas, calcular el valor de “n”
A) 2 B) 3 C) 4D) 6 E) 8
17. De la figura mostrada calcular la distancia AB.
A) 4 + 52ð B) 6 + 52ð C) 8 + 52ðD) 4 + 26ð E) 2 + 26ð
18. De la figura mostrada determinar el valor delángulo è, si estando la rueda A fija, la rueda Bgira de manera que P y Q coinciden.
A) 45° B) 80° C) 60°D) 72° E) 74°
19. Al recorrer un espacio que mide 2ðR una ruedade radio r gira 500°. Calcular el ángulo que girauna rueda de radio R al recorrer un espacio quemide 2ðr
A) 259°12' B) 236°20' C) 225°45'D) 335°16' E) 148°40'
20. Dadas tres ruedas de radios 3 m; 4 m y 5 m lascuales recorren un mismo espacio; determine el
radio de una cuarta rueda, tal que para recorrer un espacio igual a 47 veces el espacio querecorren las tres ruedas iniciales juntas, de unnúmero de vueltas que es la suma de losnúmeros de vueltas dadas por las tres ruedasiniciales.
A) 100 m B) 120 m C) 140 mD) 160 m E) 180 m
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 17/171
TAREA
01. En la figura, se muestran dos ruedas fijas A y B;cuando A gira (2n - 4) vueltas, B gira (3n + 4)vueltas. Calcular “n”
A) 5 B) 7 C) 10D) 12 E) 17
02. Se tiene dos ruedas en contacto cuyos radiosestán en la relación de 2 a 5. Determinar elángulo que girará la rueda menor, cuando la rueda mayor de 4 vueltas.
A) 4ð B) 5ð C) 10ðD) 20ð E) 40ð
03. Del sistema determinar cuántas vueltas gira larueda C, cuando la rueda A da 12 vueltas
A) 15 B) 25 C) 30D) 42 E) 45
04. Los radios de la rueda de una bicicleta son (x+1)m y (x-1) m. Si la rueda mayor da (x-2) vueltas y
la menor (x-1) vueltas, ¿cuántas vueltas en totaldarán las dos ruedas?
A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5
05. Una bicicleta recorre 40ð cm. Si los radios de susruedas miden 2 cm y 5 cm respectivamente,calcular la suma del número de vueltas que dandichas ruedas.
A) 14 B) 15 C) 16D) 18 E) 20
06. Calcular la longitud de arco recorrido por “A”, sila longitud de arco recorrido por “C” es 12ð. (R A= 1; RB = 4; RC = 3)
A) 12ð B) 13ð C) 14ð
D) 15ð E) 16ð
07. Del esquema mostrado si el bloque “A” desciendehasta el suelo y el bloque “B” sube el triple de lo
que recorre “A”, calcule:
A) 5 B) 4 C) 3D) 2 E) 1
08. En el sistema de poleas calcular el ángulo quegira la rueda D, si a la rueda A le damos unavuelta completa.(RB = 8R A; y RD = 5RC)
A) 9° B) 10° C) 18°D) 20° E) 90°
09. Calcular el número total de vueltas que da larueda al ir desde A hasta C, sin resbalar sobre la
pista, sabiendo que mide 13ð m
A) 2,5 B) 3,5 C) 4,25D) 4,5 E) 5,25
10. Dos ruedas de radios 15 y 3 m recorren espacios
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 18/171
iguales. ¿Cuánto debe medir el radio de unatercera rueda para que recorriendo el doble de lasanteriores dé como número de vueltas, cincoveces la diferencia de las otras dos?
A) 1 m B) 1,5 m C) 2 mD) 2,5 m E) 2,82 m
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS* TRIÁNGULO RECTÁNGULO
Se denomina así a todo triángulo en el cual unode sus ángulos es recto; los lados quedeterminan el ángulo recto son los catetos deltriángulo, el lado mayor es la hipotenusa y seopone al ángulo recto.
Catetos : CA = b CB = a
Hipotenusa : AB = c
Ángulos agudos : y
TEOREMA DE PITÁGORAS
AB2 = CA2 + CB2 c2 = a2 + b2
ÁNGULOS AGUDOS COMPLEMENTARIOS
á + è = 90°
CÁLCULO DE LAS RAZONESTRIGONOMÉTRICASEl valor de las razones trigonométricas deángulos agudos, se determinan en un triángulorectángulo, estableciendo la división entre laslongitudes de sus lados tomados de dos en dos ycon respecto a uno de sus ángulos agudos.
OBSERVACIÓN : Para todo ángulo agudo “è” secumplirá:
0 < Senè < 1 Tgè > 0
Secè > 1
0 < Cosè < 1 Ctgè > 0
Cscè > 1
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS : Sedenomina así a las siguientes razonestrigonométricas :
PROPIEDAD DE LAS RECÍPROCAS : El producto dedos razones recíprocas referidas al mismo ángulo, es
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 19/171
igual a la unidad
NOTA :
Si :
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOSCOMPLEMENTARIOS : Llamadas también Co -Razones Trigonométricas, son las siguientes :
PROPIEDAD DE LAS CO-RAZONES : Las razonestrigonométricas de todo ángulo agudo, sonrespectivamente iguales a las co-razonestrigonométricas de su complemento.
NOTA :Si :
* TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES :
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOSNOTABLES :
30° 60°
Sen 1/2
Cos 1/2
Tg
Ctg
Sec 2
Csc 2
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 20/171
45°
Sen
Cos
Tg 1Ctg 1
Sec
Csc
37° 53°
Sen 3/5 4/5
Cos 4/5 3/5
Tg 3/4 4/3
Ctg 4/3 3/4
Sec 5/4 5/3
Csc 5/3 5/4
PROBLEMAS PROPUESTOS
01. Sean a, b y c los lados de un triángulo rectángulo ABC (B = 90°), simpli ficar :E = a2Ctg2 A + c2Ctg2C
A) 2a2 B) 2b2 C) 2c2
D) b2 - a2 E) a2 + b2
02. Del gráfico obtener Cosá
A) 2/3 B) 3/4 C) 1/4D) 3/8 E) 1/2
03. Sabiendo que Ö es un ángulo agudo y que
CtgÖ = 20/21, calcular : E = 4CosÖ + SenÖ
A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5
04. Si Tgâ = y CosÖ = (â y Ö agudos), calcular
:
N = 2 Cosâ + 7 SenÖ A) 14 B) 18 C) 20D) 24 E) 26
05. En un triángulo ABC(AB=BC) se sabe queSenB=0,6. Calcular TgA
A) 1/3 B) 1/2 C) 2D) 3 E) 4
06. Calcular el área de un trapecio rectángulo,sabiendo que su altura mide 6 m, su perímetro es
34 m y el coseno de su ángulo agudo es 0,8. A) 24 m2 B) 36 m2 C) 40 m2
D) 54 m2 E) 60 m2
07. De la figura calcular Tg2á
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 21/171
A) /3 B) 2/3 C) /2D) 3/2 E)
08. Calcular el perímetro de un triángulo ABC,sabiendo que :
35TgB = 5TgA = 12 y AB = 80 m A) 180 m B) 160 m C) 140 mD) 200 m E) 240 m
09. En un triángulo rectángulo ABC, recto en A, secumple 4TgB = 3TgC. Calcular :
E = 7SenBSenC - 2TgB
A) 2 B) 0 C)
D) 3 E) 2
10. En la figura ABCD y DEFG son cuadrados.Calcular: Ctgá
A) 5 B) 3 C) 4D) 2 E) 6
11. Si se tiene que: Sen(2a+b)°=Cos(3a - b)°calcule el valor de: Tg(2a+9)°+Sec(3a+6)°
A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5
12. Dadas las relaciones :Sen(a+b)° = Cos(a-b)°Tg(2a-b) Ctg(a+2b)°=1calcule el valor de : Tg2(a+b)°+Csc(a-b)°
A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1
13. De la igualdad : Sen(2a+b)°=Cos(a+2b)°calcule el valor de : +Csc2(a+b)°
A) 5 B) 4 C) 3D) 2 E) 1
14. En un triángulo rectángulo ABC, recto en “C”, secumple que:
(2+CtgA)(SecB -TgB) = 1
Calcular el valor de : E =2SenA + Tg2B A) 5 B) 4 C) 3D) 2 E) 1
15. Si : Tg(144°Tg(90° - x)) = Ctg(72°Ctgx)calcular : E = Tg(72°Ctgx)Tg(25°Tgx)
A) B) 2 C) 3
D) 1 E) 2
16. En la figura Tg(x + y) = 2 y M es punto medio de
. Calcular Tgy
A) 1/2 B) 1/3 C) /2
D) /3 E) 1/4
17. En la figura P y Q son puntos medios de
y respectivamente. Si BD = 2 y AC = 8,calcular Ctgè
A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6
18. Siendo “è” un ángulo agudo, para el cual se tieneque Senè=5/13, calcule el valor de:
Ctgè+3Tg(è/2) A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5
19. En un triángulo rectángulo se tiene que uno delos catetos es el doble de la diferencia entre la
hipotenusa y el otro cateto. Calcular la tangentedel mayor de los ángulos agudos A) 8/15 B) 12/5 C) 7/24
D) 21/20 E) 4/3
20. Sabiendo que x, y, z son ángulos agudos y secumple:
Sen = Cosx, Csc = Secy, Ctg = Tgz
calcular :
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 22/171
(13x - 14y + 5z) en el sistema sexagesimal A) 360° B) 540° C) 450°D) 720° E) 630°
TAREA
01. En la figura ABCD es un cuadrado. Calcular Tgè,
sabiendo que Secá = 2,6.
A) 4/3 B) 6 C) 8D) 3/4 E) 5/13
02. De la figura calcular :
M = 10Cscá + 13Cosá
A) 29 B) 31 C) 26D) 36 E) 38
03. Si á y â son ángulos agudos y complementarios,calcular :
P = Sen2á + Sen2
â + TgáTgâ A) 0 B) 1 C) 2
D) 1,5 E) 2,5
04. ABCD es un cuadrado y 2DE = 3AD. Calcular Tgá
A) 1/4 B) 1/2 C) 2/3D) 3/4 E) 3/2
05. Simplificar :
P =
A) 0 B) -1 C) 1D) 1/2 E) -1/2
06. Si AB = BC, calcular : P = Ctgá - CscÖ
A) - /2 B) - C) /2
D) E) 2
07. Si se cumple Sen(2a + b) = Cos(a + 2b), calcular :
P =
A) 1 B) 2 C) 1,5D) 2,5 E) 3
08. Calcular : x + y, sabiendo que :
Cos(3x + 10°)Csc(y - 40°) = 1Ctg(2y - 65°) = Tg(55° - x) A) 60° B) 66° C) 74°D) 80° E) 86°
09. Sea á un ángulo agudo, tal que:(3Secá)Secá=327
calcular : K=SenáTgá A) 41/40 B) 45/47 C) 51/40D) 80/9 E) 32/33
10. Marcar lo incorrecto:
A) Tg36°Tg54° = 1 B) Sen Sec = 1
C) Cos - Sen = 0 D) Sec = Csc
E) Cos42°Csc48° = 1
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOSÁREA DE REGIONES TRIANGULARES
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 23/171
ÁNGULOS VERTICALES
RELACIÓN DE ELEMENTOS EN EL TRIÁNGULORECTÁNGULOSi en un triángulo rectángulo, se conoce un lado yuno de los ángulos agudos, se podrá calcular los
lados restantes, del modo siguiente :
Se divide el lado que se quiere calcular (incógnita)entre el lado que se conoce (dato), determinando asíuna razón trigonométrica del ángulo dado,despejando de esta igualdad el lado que se quierecalcular.
1er CASO : (Conocido un ángulo agudo y lahipotenusa)
2do CASO : (Conocido un ángulo agudo y su catetoadyacente)
3er CASO : (Conocido un ángulo agudo y su catetoopuesto)
ÁREA DE REGIONES TRIANGULARES
- PARA TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS :
PARA TODO TRIÁNGULO
NOTA :
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS ADICIONALES(aproximados)
* ÁNGULO VERTICAL .- Se llama así a aquellosángulos que están contenidos en planosverticales. Los ángulos verticales determinadosen el instante en el cual se realiza unaobservación será materia de nuestro estudio,estos ángulos se determinan en el punto desde elcual se realiza la observación y sus lados son doslíneas imaginarias trazadas desde dicho punto,
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 24/171
las cuales permitirán la observación.Según su ubicación estos ángulos serán ángulosde elevación, ángulos de depresión o ángulos deobservación.
CONSIDERACIONES PARA RESOLVERPROBLEMAS:
1. La estatura de las personas se deberá considerar hasta sus ojos.
2. Toda persona u objeto que posea una altura, seráconsiderada perpendicular al nivel del suelo, a noser que se indique otra situación.
3. De no indicarse desde qué altura se realiza laobservación y no siendo esta altura la incógnitadel problema, se deberá considerar que se estáobservando desde un punto del suelo.
PROBLEMAS PROPUESTOS
01. Del gráfico mostrado calcule Tgè A) -1 B) -1 C)
D) +1 E) +1
02. Del gráfico calcular el valor de :S = Ctgá - 2Ctgè
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 25/171
A) 1 B) 2 C) 1/2
D) E) 0
03. Hallar CD en términos de m y è
A) mSenè B) mCosè C) mTgèD) mCtgè E) mSecèCscè
04. De la figura calcular
A) 1 B) 2 C) 1/2D) 2/5 E) 3/2
05. Si ABCD es un trapecio isósceles, hallar “R” entérminos de “b” y “è”
A) b/(1+Senè) B) bCosè/(1+Senè)C) bSenè/(1+Secè) D) bSenè/(1+Cosè)E) bCosè/(1+Cosè)
06. De la figura calcular Senè
A) 1,2 B) 1,4 C) 1,6D) 1,8 E) 2
07. En la figura: AB = BD. Calcular M = Tgá + Tgâ entérminos de á
A) Sená B) Cosá C) TgáD) Secá E) Cscá
08. Expresar Tgx en función de “è”
A) 2Tgè+Ctgè B) 2Ctgè-Tgè C) Tgè+CtgèD) 2Tgè-Ctgè E) Tgè-Ctgè
09. De la figura, calcular :
A) CosèSec2è B) Cos2èSecè C) CosèSec3èD) Cos3èSecè E) Cos2èSec3è
10. Calcule el valor de Senè, si ABCD es uncuadrado
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 26/171
A) 8 /65 B) 8 /75 C) 8 /85
D) 8 /55 E) 8 /95
11. En un paralelogramo las distancias del punto deintersección de las diagonales a los lados noparalelos son a y b. Sabiendo que uno de losángulos del paralelogramo es “è”, determine elperímetro del paralelogramo.
A) 4(a+b)Cscè B) 4(a+b)Secè C) 4(a+b)TgèD) 4(a+b)Senè E) 4(a+b)Cosè
12. De la figura mostrada determine el valor de “d”,en términos de a y b
A) (a-b)(Senè+Cosè) B) (a-b)(Secè-Tgè)C) (a-b)(Senè+Ctgè) D) (a-b)(Cscè-Ctgè)E) (a-b)(Cscè+Tgè)
13. Desde la base y la parte superior de una torre seobserva la parte superior de un edificio conángulos de elevación de 60° y 30°respectivamente. Si la torre mide 36 m, calcular la altura del edificio
A) 12 m B) 24 m C) 6 mD) 12 m E) 24 m
14. Una persona de 2 m de estatura observa la basede un poste de luz con un ángulo de depresión de30° y la parte superior con un ángulo de elevaciónde 60°. Calcular la altura del poste.
A) 4 m B) 6 m C) 4 m
D) 8 m E) 6 m
15. Una antena de radio está sobre la azotea de unedificio. Desde un punto a 12 m de distancia de labase del edificio, los ángulos de elevación de lapunta de la antena y de la parte superior deledificio son 53° y 37° respectivamente. Calcular la altura de la antena.
A) 6 m B) 7 m C) 8 mD) 9 m E) 10 m
16. Un avión se encuentra a una altura de 150 msobre un objetivo y se encuentra descendiendocon un ángulo de depresión “á” . Luego de recorrer 150 m es observado desde el objetivocon un ángulo de elevación 26°30'. Calcular aqué altura se encuentra el avión en dichaobservación
A) 50 m B) 60 m C) 75 mD) 80 m E) 90 m
17. Un niño trepado en un árbol observa a su perromirando a un gato en el mismo árbol, con unángulo de elevación de 37°. Determine a quédistancia se encuentra el perro del árbol, si fuevisto por el niño con un ángulo de depresión de45° y además el niño y el gato están separados2,5 m
A) 3 m B) 5 m C) 8 mD) 10 m E) 12 m
18. Desde el centro de un terreno circular, seobservan las partes más altas de dos postes conángulos de elevación á y â. Sabiendo que lospostes están en el borde del terreno ydiametralmente opuestos; además miden 3 m y 2m y Ctgá + Ctgâ = 5, calcular el área del terreno.
A) 12ð m2 B) 24ð m2 C) 36ð m2
D) 48ð m2 E) 72ð m2
19. Una persona de 1,80 m de estatura al ser iluminado por un poste de luz, observa que susombra proyectada en el suelo es de 5,40 m. Sila persona se acerca hacia el poste una distanciade 3 m, observa que su sombra se ha reducidoen 4 m. Calcular la altura del poste.
A) 3,15 m B) 2,45 m C) 2,65 m
D) 3,25 m E) 4,2 m
20. Una colina está inclinada un ángulo “á” conrespecto a la horizontal (Tgá=0,4). Si desde sucumbre se divisa un punto del suelo con unadepresión angular “è” (Tgè=2/9), calcular la alturade la colina si el punto observado se encuentra a300 m de la base y fuera de la colina.
A) 100 m B) 120 mC) 150 mD) 180 m E) 240 m
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 27/171
TAREA
01. Del gráfico calcular : P=Ctgá-Tgá
A) B) 2 C) 2D) 4 E) 5
02. De la figura calcular Cosè
A) 1/2 B) 2/3 C) 3/4D) 4/5 E) 5/6
03. Calcular el lado de un cuadrado inscrito en untriángulo isósceles de lado desigual “a” y uno delos ángulos iguales mide è
A) a(2Ctgè+1) B C)
D) E) a(3Ctgè - 1)
04. De la figura calcular la superficie del cuadrilátero
A) 20Sená B) 24Sená C) 25SenáD) 30Sená E) 28Sená
05. De la figura determinar BT en términos de “R” y“á”
A) 2RCos4á B) RCos4áSen2áC) 2RSen2á D) RSen4áE) 2RCosáSená
06. En la figura: Tgá=0,75. Calcular la medida delángulo “x” :
A) 37°/2 B) 53°/2 C) 30°D) 37° E) 45°
07. De la figura qué proposiciones son verdaderas:I. Desde A se observa a C con un ángulo de
depresión de 20°II. Desde B se observa a A con un ángulo de
depresión de 40°III. Desde A se observa a B con un ángulo de
elevación de 50°
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 28/171
A) Sólo I B) Sólo IIC) Sólo IIID) I y II E) I y III
08. Un avión vuela en línea recta y horizontalmente auna altura de 2 400 m, desde un punto en tierraes observado con un ángulo de elevación de 53°.Calcular la distancia entre dicho punto y el avión
A) 2 600 m B) 3 000 m C) 4 500 mD) 5 400 m E) 6 000 m
09. Una persona de 1,80 m de estatura observa labase de un poste de luz con un ángulo de
depresión de 37° y la parte superior de éste con unángulo de elevación, cuya tangente es 4. Calcular la altura del poste
A) 9,6 m B) 10,2 m C) 11,4 mD) 12,5 m E) 15,8 m
10. Una torre se encuentra en una colina de 15° deinclinación respecto al plano horizontal. Si unapersona observa la parte más alta de la torre conun ángulo de elevación de 45°, calcular la alturade la torre, sabiendo que la persona se ubica a 12m de la base de la torre
A) 6 m B) 3 m C) 3 m
D) 6 m E) 4 m
ÁNGULOS HORIZONTALES
* ÁNGULO HORIZONTAL : Se llama así aaquellos ángulos contenidos en un planohorizontal.
ROSA NÁUTICA
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 29/171
Es un diagrama ubicado en planos horizontales ydiseñado en base a la ubicación de los puntoscardinales que son : norte (N), sur (S), este (E) y oeste(O - W)La Rosa Náutica se emplea para localizar la posición deobjetos o personas ubicados en el plano horizontalmediante los rumbos y direcciones establecidas en ella.
La Rosa Náutica contiene a las treinta y dos (32)direcciones notables de la brújula, las cuales sonobtenidas trazando bisectrices a partir de las direccionesprincipales, siendo el ángulo que forman dosdirecciones notables consecutivas de 11°15', tal comose observa en el gráfico.
DIRECCIONES DIRECCIONESPRINCIPALES SECUNDARIAS
OBSERVACIONES
RUMBOS Y DIRECCIONES
Para ubicar la posición de una persona u objeto conrespecto a un punto determinado en el planohorizontal, se emplean con frecuencia los rumbos odirecciones; entendiéndose por :
RUMBO : El ángulo agudo horizontal que forma ladirección de la persona u objeto con respecto al ejenorte - sur, cuando ésta se desvía hacia el este (E) uoeste (O)
DIRECCIÓN : La línea recta sobre la cual seencuentra la persona u objeto con respecto a unaRosa Náutica, quedando determinada dicha direcciónpor su rumbo.
DIRECCIONES OPUESTAS
El opuesto de una dirección dada, se obtienecambiando las direcciones que aparezcan por susrespectivos opuestos, sin cambiar el ángulo
NOTA : En todo problema donde se incluyan ángulosverticales y horizontales a la vez, se deberá bosquejar diagramas tridimensionales para tener una mejor visión y ubicación del problema.
Ejemplo : Una persona de altura “h” observa en un determinadoinstante un helicóptero en la dirección Ná°E, con unángulo de elevación è° y a una altura “H”
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 30/171
POSICIONES DE LA ROSA NÁUTICA
PROBLEMAS PROPUESTOS
01. Calcular el mayor ángulo formado por lasdirecciones:
SE S y N NE
A) 250° B) 210° C) 225°D) 270° E) 185°
02. Dos torres están en la misma dirección NE deuna persona. Esta persona camina 200 m y unade las torres está en la dirección norte y la otra alNO de dicha persona. Hallar la distancia entre lastorres, si la persona camina en la dirección este
A) 100 m B) 50 m C) 100 m
D) 150 m E) 50 m
03. Un auto parte en la dirección NE y recorre 40km, luego se dirige hacia el este, recorriendo unadistancia “d” y finalmente se dirige hacia elE53°S, llegando a un punto ubicado al este delpunto de partida; calcule el valor de “d”, si el autose desplazó en total 90 km
A) 10 km B) 20 km C) 30 kmD) 40 km E) 50 km
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 31/171
04. Carlos y Sofía se encontraban conversando muy juntos y luego de despedirse Sofía se dirige en ladirección oeste y Carlos en la dirección E53°/2 N.
Luego de caminar 2 y m respectivamente,Carlos va al encuentro de Sofía en la direcciónOèS. Hallar el valor Tgè
A) 1/8 B) 1/4 C) 1/2
D) 1 E) 2
05. Dos embarcaciones parten de un puerto almediodía y siguen las direcciones SE y S60°E.Determinar la relación que guardan susvelocidades, si en todo instante uno se halla alnorte del otro
A) /2 B) /2 C) /3D) 3/2 E) 2/3
06. Dos barcos salen de un punto en direcciones queforman un ángulo recto, siendo el primero deellos en la dirección EèN (è<45°). Si después denavegar ambos barcos cierto tiempo a la misma
velocidad desde el primero se ve al segundo en ladirección S27°O, ¿en qué dirección salió elsegundo barco?
A) E18°S B) O17°N C) O27°ND) E72°S E) E27°S
07. Un bote sobre un puerto parte en la direcciónN(90°-á)E avanzando 120 m. Si otro al este del
puerto lo alcanza recorriendo 20 m en ladirección O(45°-á)N, hallar : Ctg(45°+á)
A) 4/3 B) 3/4 C) 1/2D) 1/3 E) 1/4
08. Desde los extremos de un diámetro de una
pista semicircular parten dos atletas que vanhacia el encuentro, el cual se realiza en un puntoP que está al NèE de A y al NxO de un punto C
que se localiza en la prolongación de y aleste de A si B equidista de A y C. Hallar Tgx
A) Tgè+Ctgè B) Tgè + 2CtgèC) 2Tgè + Ctgè D) Tgè + 3CtgèE) 3Tgè + Ctgè
09. Pepe desea ir a su academia que se encuentra alEèS de él, pero primero va a la casa de Maríasituado a “d” m de él en la dirección SèO. Luegoambos deciden ir al cine, situado a “D” m al sur
de ellos para finalmente ir a la academia situadoa “x” m al este del cine. Hallar x
A) DTgè + dSecèB) DCtgè + dCscèC) DSecè + dTgèD) dCtgè + DCscèE) DCscè + dSecè
10. Una persona que se dirige hacia el oeste observaa dos objetos en la dirección NèO camina una
cierta distancia y observa que uno de losobjetos se encuentra al norte y el otro al NE.
Avanza una distancia “x” metros y observa que elobjeto más alejado de su primera posición seencuentra en la dirección EèN. Hallar “x”, si losobjetos se encuentran separados una distancia“d”
A) dCtgè(Secè + Cscè)B) dTgè(Secè+Cscè)C) dCtgè(Senè+Cosè)D) d(Senè+Cosè)E) N.A.
11. Dos barcos “A” y “B” se encuentran separadosuna distancia de 6 km. B se encuentra conrespecto de “A” en la dirección S70°E. Unsubmarino se encuentra con respecto de “B” en ladirección S20°O y con respecto de “A” en ladirección S10°E. ¿A qué distancia se encuentra elsubmarino del barco A?
A) 6 km B) 6 km C) 12 km
D) 12 km E) N.A.
12. Desde un faro se observa a dos barcos A y B enla dirección N35°O y S55°O respectivamente enese mismo instante B es observado desde A en ladirección S25°O. Si la velocidad de A es de 24
km/h, la velocidad de B es de 24 km/h y ladistancia inicial de A al faro es de 5 km, hallar ladistancia entre A y B al cabo de una hora y 15minutos
A) 60 km B) 60 km C) 70 km
D) 80 km E) 90 km
13. Una persona sale de su casa y se dirige al sur,recorriendo 18 km en esa dirección, luego se vahacia el oeste y recorre una distancia igual aldoble de la anterior, finalmente avanza 60 km enla dirección N37°O; determine qué distancia lasepara de su casa.
A) 60 km B) 64 km C) 72 kmD) 78 km E) 80 km
14. Dos autos A y B parten simultáneamente de unaestación de gasolina, con velocidades constantesy en las direcciones S15°E y E15°Srespectivamente, al cabo de cierto tiempo el auto“B” es observado desde “A” en la dirección E15°Ny a 30 km de distancia; calcule la diferencia delos espacios recorridos por los autos hasta elmomento de la observación
A) 5 km B)10 km C) 15 km
D) 20 km E) 30 km
15. Desde un helicóptero que está a 50 m sobre elnivel del mar, se observa una lancha hacia el este
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 32/171
con un ángulo de depresión de 45° y hacia el sur se observa un barco con un ángulo de depresiónde 30°; calcule la distancia que separa al barcode la lancha.
A) 50 m B) 60 m C) 80 mD) 75 m E) 100 m
16. Una persona al dirigirse hacia el sur de su casarecorre una distancia “x” y desde allí ve lachimenea con ángulo de elevación “è”. Luego sedirige al oeste recorriendo “x” observa lachimenea con un ángulo de elevación que escomplemento de “è”. Hallar “Tgè”
A) B) C)
D) E)
17. Un alumno de la academia propone el siguienteproblema : “Si estuviese al sur de la academiavería su parte más alta con un ángulo deelevación de 37° y si me desplazo al oeste unadistancia igual al doble de la que me encontrabainicialmente, la observaría con un ángulo deelevación “è”. ¿A qué es igual Ctgè?
A) /3 B) 2 /3 C)
D) 4 /3 E) 5 /3
18. Desde la parte más alta de un poste, un pajaritoobserva a dos palomas en direcciones NèE yS(90°-è)E, con ángulos de depresióncomplementarias á y â respectivamente. A quées igual :
si además el segmento que une a las palomas esparalela a la dirección norte - sur
A) 1/8 B) 1/4 C) 1/2D) 1 E) 2
19. Un avión que con una inclinación è en ladirección este - oeste. ¿Cuál es el valor de laSecè, para que un observador vea al aviónprimero hacia el NE y hacia el norte con ángulosiguales al complemento de è?
A) B) C)
D) E)
20. Desde dos puntos en tierra A y B se observa la
parte superior de una torre con ángulos deelevación de 37° y 53° respectivamente,determine la altura de la torre si los puntos A y Bse encuentran al sur y al este de la torre y la
distancia que los separa es 2 m A) 12 m B) 16 m C) 20 mD) 24 m E) 30 m
TAREA
01. Miriam recorre 80 km en la dirección N53°O,
luego 80 km en la dirección SO y finalmente120 km hacia el este. ¿A qué distancia se
encuentra Miriam de su posición inicial? A) 24 km B) 30 km C) 36 kmD) 40 km E) 42 km
02. Dos móviles A y B parten del mismo punto, el
primero con dirección NE N y el segundo con
dirección NO O. Si ambos avanzan la misma
distancia, indique usted en qué dirección seencuentra A respecto a B
A) E NE B) NE E C) O SO
D) SO S E) NE
03. Un móvil se desplaza 40 km según la direcciónS60°O con respecto a un punto inicial. Luego sedesplaza 20 km según la dirección N60°O.Hallar el desplazamiento total con respecto a sunueva ubicación
A) 10 km B) 15 km C) 20 km
D) 20 km E) 25 km
04. Un barco sale en dirección NE a una velocidad
de 10 m/s. Luego de transcurrir segundos sedirige hacia el norte con la misma rapidez durante
3 segundos. ¿En qué dirección está el barco alfinal del recorrido respecto al punto de partida?
A) N37°E B) N58°E C) N E
D) N E E) NArcTg E
05. Adrián y Jaime, salen de sus casas siguiendo dosrumbos E37°N y EèN(è>45°) respectivamente.Para encontrarse en una tienda, caminandespués hacia el este una distancia de
44(8 +7) metros retornando luego cada uno asu casa, pero ahora con rumbos de O16°S yO30°S. ¿Qué distancia los separaba inicialmente
si la casa de Adrián se encuentra al norte de la deJaime? A) 220 m B) 329 m C) 429 mD) 529 m E) 829 m
06. Desde lo alto de un acantilado se observa en ladirección O(90°-á)S a una boya bajo un ángulode depresión de 45° y en la dirección EáS a unbote bajo un ángulo de depresión de 30°. Si ladistancia que separa a la boya y el bote a 80 m,calcular la altura del acantilado
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 33/171
A) 10 m B) 10 m C) 20 m
D) 40 m E) 40 m
07. Dos estaciones de radar A y B tienen que calcular la altura de un avión por ubicación simultánea.
De A se ve en la dirección N NE con un ángulo
de elevación è, de B se ve en la dirección O NO
con un ángulo de elevación Ö. Si la distanciaentre A y B es d, ¿a qué es igual la altura?
A) B)
C) D)
E)
08. Un muchacho ubicado en la azotea de un edificioobserva los ojos de una chica con un ángulo de
depresión “è”, al oeste del edificio de 2 m dealtura, luego el muchacho observa a la mismachica al sur del edificio con una depresiónangular de 60°. Calcular “Ctgè”, si la chica mide
m y se ha desplazado una distancia de 2m
A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5
09. Un hombre que está al sur de un faro observaque su sombra proyectada por la luz del farotiene 4 m de longitud, caminando 60 m hacia el
oeste, observa que su sombra es de 5 m delongitud. Si la persona mide 1 m, hallar la alturadel faro
A) 18 m B) 19 m C) 20 mD) 21 m E) 22 m
10. Desde un puerto “P” se observa a un bote en la
dirección S15°E a km de distancia. Estebote está navegando a una velocidad uniformede 2 km/h con rumbo N30°O. ¿Qué tiempo debetranscurrir, después de la primera observaciónpara que el bote esté lo más cerca al puerto?
A) 01 h 33 min B) 01 h 15 min
C) 01 h 52 minD) 02 h 52 min E) 02 h 33 min
GEOMETRÍA ANALÍTICA : PLANO COORDENADO
1. SISTEMA DE COORDENADASRECTANGULARESEstá formado por dos rectas numéricas que seintersectan en el número cero formando unángulo recto.
: Eje de abscisas : Eje de ordenadas
O : Origen de coordenadas
Al plano que contiene a dicho sistema se le llamaPlano Cartesiano y está dividido en 4 regionesdenominadas cuadrantes y numerados como seindica en la figura. A todo punto del plano lecorresponde un par ordenado (x; y) que se ledenomina coordenadas.
Por ejemplo en la figura las coordenadas de Pson (4; 1) y de Q son (-2; -3).
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 34/171
2. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Sea “d” distancia entre los puntos A y B, entonces :
3. DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN
3.1 APLICACIONES
3.1.1 PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO ( )
3.1.2 BARICENTRO DEL TRIÁNGULO (ABC)
3.1.3 PROPIEDAD DEL PARALELOGRAMO(ABCD)
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 35/171
4. ÁREA DE LA REGIÓN TRIANGULAR
PROBLEMAS PROPUESTOS
01. Hallar las coordenadas del punto que pertenece
al eje de abscisas y equidista de (-3; 1) y (6; 4) A) ( ) B) ( ) C) ( )
D) ( ) E) (15; 0)
02. La mediatriz del segmento , donde A=(3;2) y B=(5; 10), intersecta al eje de ordenadas en(0; m). Calcular m.
A) 29/3 B) 13/3 C) 7/2D) 15/2 E) 7
03. Hallar las coordenadas del vértice C de un
triángulo equilátero ABC, si A=(-3; 4) y B=(-3; -2),además la abscisa de A es menor que la abscisade C.
A) (-3 + 3 ; 1) B) (-3 + 3; 1)
C) (-3 ; 1) D) (3; 1 + 3 )
E) (3 ; -1)
04. Dos vértices consecutivos de un cuadradoson A(-2; 4) y B(4; 12). Hallar las coordenadasdel vértice C, sabiendo que este pertenece al IC yes consecutivo con B.
A) (8; 6) B) (11; 8) C) (14; 10)D) (10; 8) E) (12; 6)
05. El segmento que une A(-1; 2) con B(2; -5) seprolonga hasta un punto C, tal que
AC=3AB. Calcular C (C IVC) A) (3; -6) B) (8; -19) C) (10; -15)D) (9; -12) E) (10; -10)
06. Dados los puntos A(2; 5) y B(14; 17), determinelas coordenadas de los puntos que trisecan alsegmento .
A) (5; 9) y (10; 13) B) (6; 9) y (12; 15)
C) (8; 10) y (10; 13) D) (6; 9) y (10; 13)
E) (6; 9) y (12; 14)
07. En la figura adjunta Tgè = 0,4. Hallar lascoordenadas de F
A) (13; 0) B) (12; 0) C) (16; 0)D) (15; 0) E) (18; 0)
08. En la figura ABCD es un paralelogramo. Hallar las coordenadas del punto E, si
A) B) C)
D) E)
09. Los vértices de un triángulo son (0; 0), (n;
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 36/171
n+1), (n-1; n). Calcular el área del triángulo quese obtiene al unir los puntos medios de sus lados.
A) 1/2 u2B) 1/4 u2 C) 1/8 u2
D) 1/16 u2 E) 1/32 u2
10. Hallar la altura del triángulo ABC, relativa al lado
, si: A(-2; 5), B(-2; -8), C(3; 17)
A) 8 B) 6 C) 4D) 5 E) 7
11. Se tiene el paralelogramo ABCD donde: A(-4;-2), B(3;-2) y C(5;b). Hallar las coordenadas delpunto D, sabiendo que tiene como área 56 u2 y b> 0
A) (-2; 0) B) (-2; 6) C) (6; -2)D) (-6; 2) E) (2; 6)
12. Dados los puntos P(1; 1) y Q(10; 2) hallar sobreel eje de las abscisas el punto M de tal maneraque la suma de las distancias, hacia los puntos Py Q sea mínima
A) (2; 0) B) (3; 0) C) (4; 0)D) (5; 0) E) (3,5; 0)
13. En un triángulo ABC, las coordenadas delbaricentro son (5; 5) y las coordenadas de dos delos puntos medios de sus lados son (5; 3) y (6;8), determine las coordenadas de los vértices deltriángulo
A) (3; -1), (5; 9), (7; 7) B) (3; -1), (5; 9), (4;13)
C) (2; -3), (7; 5), (6; 13) D) (4; 2), (5; 9), (6; 4)E) (4; 5), (3; 6), (8; 4)
14. Del gráfico calcular las coordenadas de A, si la
abscisa de T es 8 y RITA es un cuadrado
A) (5; 6) B) (10; 8) C) (12; 6)D) (14; 6) E) (8; 2)
15. Calcular la distancia de “A” hacia , si AC = BC
A) 12 B) 13/2 C) 5D) 15 E) 17
16. Del gráfico PITA es un trapecio. Si I(1; 3), A(6; -5)E(4; 7) y PI = IE, calcular PT
A) B) C)
D) E)
17. En el esquema mostrado determine lascoordenadas de “P” si se tiene que el trayecto
es el menor posible
A) (4; 0) B) (6; 0) C) (8; 0)D) (7; 0) E) (9; 0)
18. Determine las coordenadas de “P” sabiendo queel área del triángulo AOB es 9 u2 y además
Tgè=0,25
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 37/171
A) (8; 2) B) (12; 3) C) (4; 1)D) (2; 1/2) E) (16; 4)
19. En la figura adjunta : AB = 2BC
determine las coordenadas de C
A) (-10; -12) B) (-17; -5) C) (-12; -17)D) (-11; -12) E) (-8; -15)
20. Los vértices de un trapecio isósceles ABCDson A(2; 4), B(2; 9) y C(8; 17). Hallar las
coordenadas del vértice D sabiendo que
A) B) (8; 12)
C) D)
E)
TAREA
01. Si la distancia de A(2; 2) a B(5; b) es 5 y la
distancia de este último a C(c; 3) es , calcular la distancia de A a C (b < 0 y c 3)
A) B) C)
D) E)
02. Hallar la suma de las diagonales de unparalelogramo ABCD, si A = (3; -7), B=(5; -7),C=(-2; 5), D IIC.
A) 20 u B) 25 u C) 28 uD) 30 u E) 32 u
03. Calcular la longitud de la mediana relativa allado mayor del triángulo ABC. A(3; 1), B(-3; -1),
C(1; 6)
A) u B) u C) u
D) u E) u
04. Con centro en (5; 3) se dibuja una circunferenciaque es tangente al eje de ordenadas en A, eintersecta al eje de abscisas en B y C. Calcular el
área del triángulo ABC.
A) 6 u2 B) 12 u2 C) 24 u2
D) 8 u2 E) 16 u2
05. Los extremos del diámetro de una circunferenciason A(-6; -2) y B(0; 6). Calcular la longitud de lacircunferencia.
A) 5ð u B) 10ð u C) 15ð uD) 20ð u E) 25ð u
06. Hallar el área del triángulo, sabiendo que dos desus vértices son A(0; 0) y B(2; 2), además la
intersección de las medianas es
A) 2 u2 B) 4 u2 C) 4/3 u2
D) 6 u2 E) 3,5 u2
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 38/171
07. En la figura mostrada, determine las coordenadasdel punto “E”
A) (1; 2) B) (3; -2) C) (6; -3)D) (6; -1) E) (-3; 5)
08. Dado un punto AB donde A(4; -3) y B(1; 4), hallar
las coordenadas del punto P, tal que
A) B) (2; 5) C) (2; 3)
D) E)
09. El área del polígono cuyos vértices son (1; 5), (-2;4), (-3; -1), (3; -3), (5; 1) es :
A) 35 u2 B) 40 u2 C) 45 u2
D) 38 u2 E) 41 u2
10. Del gráfico siguiente determine las coordenadasdel punto P
A) (-7; 3) B) (-3; 2) C) (-5; 2)D) (-4; 5) E) (-8; 3)
ECUACIÓN DE LA RECTA1. ÁNGULO DE INCLINACIÓN Y PENDIENTE
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 39/171
Se denomina ángulo de inclinación al ángulo(positivo) formado por la dirección positiva del ejeX y la recta, en la figura adjunta.á : es el ángulo de inclinación de L2è : es el ángulo de inclinación de L1Se denomina pendiente (m) a la tangente delángulo de inclinación, en la figura adjunta :
La pendiente de L1 es : m1 = TgèLa pendiente de L2 es : m2 = Tgá
OBSERVACIONES :
El ángulo de inclinación es mayor o igual que 0° ymenor que 180°
Las rectas horizontales tienen pendiente igual acero
Las rectas verticales no tienen pendiente
La pendiente de una recta no vertical también sepuede calcular conociendo dos puntos de dicharecta.
2. ECUACIÓN DE LA RECTA
2.1 Conociendo un punto de la recta y supendiente (m)
2.2 Conociendo dos puntos de la recta
2.3 Conociendo los interceptos de la recta conlos ejes coordenados
2.4 Conociendo el intercepto de la recta con eleje Y(b) y su pendiente (m)
2.5 Ecuación general de la recta
Ax + By + C = 0
Si la recta es no vertical la pendiente :
Si la recta es horizontal su ecuación es :y = k (k )
Si la recta es vertical su ecuación es : x = k (k )
La ecuación del eje X es : y = 0 La ecuación del eje Y es : x = 0
3. PROPIEDADES
Sean L1 y L2 rectas no verticales entonces :
L1 // L2 m1 = m2 L1 L2 m1m2 = -1
(Rectas paralelas) (Rectas perpendiculares)
4. DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 40/171
5. ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS
PROBLEMAS PROPUESTOS
01. Determine la ecuación de la recta que pasa por el
punto medio del segmento y el punto (1; 2)sabiendo que : A(3; 5) y B(7; 1)
A) 4x + y = 3 B) 4x - y = 5 C) 4y - x = 7D) 4y + x = 3 E) 2x + y = 5
02. Hallar la ecuación de una recta L que es paralelaa 3x-4y+5=0 y pasa por (-1; 3)
A) 4x-3y+12=0 B) 3x-4y+15=0 C) 4x+3y-12=0
D) 3x+4y+12=0 E) 3x-4y-6=0 03. Hallar la ecuación de la recta que pase por el
punto medio de (1; 1) y (8; 4) y sea perpendicular a:
y = -2x + 3 A) 4y=2x+5 B) 4y=2x-1 C) y=4x+1D) 4y=x+1 E) y=x+1
04. Hallar la ecuación de la recta que es mediatriz delsegmento que une a los puntos A (7; 4) y B(-1; -2)
A) 4x + 3y + 15 = 0 B) 4x + 3y - 13 =0
C) 4x + 3y - 12 = 0 D) 4x + 3y - 15 =
0E) 4x + 3y - 16 = 0
05. Dadas las rectas :L1 : y + (3 - 2b)x + c = 0L2 : y + (1 - a)x + d = 0L3 : (b + 1)y - x - e = 0donde L1 y L2 son paralelas L1 es perpendicular aL3, hallar la ecuación de la recta que pasa por elpunto (a; b) y cuya inclinación es 135°
A) y - x = 0 B) y + x = 0 C) y - x + 1= 0D) y + x + 1 = 0 E) y + x - 2= 0
06. Qué valor debe de tomar “k” para que la recta :L1 : kx + 4y + 8 = 0
pase por el punto de intersección de las rectas :L2 : 6x - y +7 = 0L3 : -3x + 2y - 8 = 0
A) 30 B) 20 C) 25D) -30 E) -20
07. Una recta L1 pasa por (1; 5) y su ángulo deinclinación mide 45°; otra recta L2 pasa por (12;0) y su pendiente es -1. Calcular la distancia delpunto de intersección de L1 y L2 al origen decoordenadas
A) 3 B) 2 C) 5
D) 4 E) 6
08. Hallar el radio de la circunferencia del centro (2;1) si es tangente a la recta de ecuación :
3x + 4y + 5 = 0 A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5
09. En la figura L1//L2, las coordenadas de C son (2;15). Calcular el área del triángulo AOB
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 41/171
A) 27 u2 B) 36 u2 C) 42 u2
D) 81 u2 E) 54 u2
10. Calcular el área del cuadrilátero formado por lospuntos de intersección de las rectas:L1:8x-6y+15=0; L2:3x+4y+10=0;L3:3y-4x-35=0: L4:8y+6x-25=0
A) 54,75 u2 B) 42,5 u2 C) 33,25 u2
D) 21,25 u2 E) 24,75 u2
11. La recta L: 3x + 4y - 12 = 0; corta a los ejes en Ay B. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el
origen y por el punto medio
A) x=2y B) x=3y C) 2x=3yD) 3x=4y E) 2x=y
12. Hallar la ecuación de la recta “L3"
A) 4x - 3y - 20 = 0 B) 4x - 3y + 10 =0
C) 4x - 3y + 15 = 0 D) 4x - 3y + 20 =0
E) 4x - 3y - 10 = 0
13. Determinar la ecuación de la recta L :
A) 6x + 7y = 75 B) 6x + 7y = 25C) 6x + 17y = 25 D) 6x + 17y = 75E) 6x + 13 = 50
14. Del esquema mostrado determine la ecuación de
“L”
A) 2x + y = 3 B) 2x - y = 3 C) 2x + y = 5D) 2x + y = 8 E) 2x - y = 5
15. Los vértices de un triángulo son A(-3; 4), B(2; 4) yC(2; -8). Calcular la ecuación de la recta quepasa por el incentro y circuncentro del triángulo
A) y=8x+2 B) y=4x+2 C) y=-4x+2D) y=-8x+2 E) y=-2x+1
16. En la figura ABCD es un paralelogramo y11S Ä ABE=3SEDCB. Calcular la ecuación de la
recta L
A) x + y + 2 = 0 B) 2x - y + 3 = 0C) 2x - 3y + 5 = 0 D) 3x - 4y + 15 = 0
E) x - 2y + 2 = 0
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 42/171
17. Calcular las coordenadas de H, si H es el
ortocentro del Ä ABC y : 12x + 16y - 192 = 0
A) (3; 15) B) (12; 16) C) (9; 12)D) (5; 14) E) (7; 13)
18. Un rayo de luz va dirigido por la recta : L: 3y = 2x
- 12, al tocar el eje “X” se ha reflejado de .Calcular la ecuación de la recta por donde va el
rayo reflejado A) 2x + 3y - 12 = 0 B) 2x - 3y - 6 = 0C) 2x + 3y - 6 = 0 D) 2x = 3y + 12E) 2x + y - 10 = 0
19. La recta L1 pasa por los puntos A(10; 9) y B(2; 3),la recta L2 pasa por los puntos A y C (3; -15).Calcular la ecuación de la bisectriz del ánguloagudo formado por L1 y L2
A) 9x+13y+207=0 B) 39x+37y+147=0C) 13x-9y-49=0 D) 18x-26y-207=0E) 26x+18y-7=0
20. Según la figura, ¿cuánto dista el punto A de la ,si: AD = 3(AE)?
A) 2 B) C) 4 /5
D) 3 /5 E) 2 /5
TAREA
01. Se tiene un rombo ABCD donde : A = (2; 2) y C(4;6), calcular la ecuación de la recta que contiene ala diagonal BD
A) x - y + 10 B) x + y + 12 = 0
C) x + 2y - 11 = 0 D) x + 3y + 13 = 0E) x - 3y + 5 = 0
02. Un triángulo tiene por vértices A(-1; 3), B(5; 5) y
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 43/171
C(3; -3). Calcular la ecuación de la recta quepasa por los puntos medios de los lados
A) 3x + 2y + 2 = 0 B) 2x + 3y + y = 0C) 4x - 4y - 4 = 0 D) 4x - y + 2 = 0E) 4x - y - 4 = 0
03. Una recta L1 pasa por los puntos A(1; -3) y B(2;n) otra recta L2 pasa por los puntos C(-2; 1) yD(n; 3), Si L1 es perpendicular a L2, calcular: “m1+ m2”
A) -1/3 B) -8/3 C) 8/3D) 1/3 E) -2
04. Si la recta L1: ax+2y+b+6=0 pasa por el puntoP(2; -3) y es paralela a la recta, L2:(b-2)x-3y+a=0, calcular “a+b”
A) -48 B) -8 C) 4
D) 8 E) 48
05. Determine la ecuación de la recta L :
A) 2x + 3y = 26 B) 2x + 3y = 24
C) 3x + 2y = 22 D) 2y + 3x = 26E) 2x + 3y = 22
06. Uno de los vértices de un cuadrado es elpunto P(7; 4) y una de las diagonales estácontenida en la recta L : x + y = 6; determine elárea del cuadrado
A) 4 B) 16 C) 25D) 9 E) 36
07. Determine las coordenadas de la proyección delpunto P(5; 5) sobre la recta “L”
2x + 3y = 12 A) (2; 3) B) (4; 3) C) (3; 2)D) (4; 1) E) (1; 2)
08. Determine la ecuación de la mediatriz delsegmento de la recta “L”: 5x + 3y = 15,comprendido entre los ejes coordenados
A) 3x + 5y = 8 B) 3y + 5x = 9C) 2x + 3y = 7 D) 5y - 3x = 8E) 5x - 3y =9
09. Los vértices de un triángulo rectángulo son A(-1;0), B(0; 3) y C pertenece al semieje positivo deabscisas. Si el ángulo ABC mide 90°, calcular lapendiente de la recta que pasa por el baricentro ycircuncentro del triángulo
A) 4/3 B) 3/4 C) -3/4D) -4/3 E) -2/3
10. Los vértices de un triángulo son: A(0; 4), B(-2; 6) y C(-3; -1), calcular las coordenadas de suortocentro
A) (1; 4) B) (7/2; 15/4) C) (3/2; 7/2)D) (7/4; 15/4) E) (1; 15/4)
CÓNICAS : CIRCUNFERENCIA - PARÁBOLA
CIRCUNFERENCIA
DEFINICIÓNUna circunferencia es el lugar geométrico de todoslos puntos del plano que equidistan de un punto fijo.
Al punto fijo se le denomina centro y a la distancia
constante se le llama radio.
ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA
Ecuación Ordinaria
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 44/171
Centro : (h; k) Radio : r
(x - h)2 + (y - k)2 = r 2
Ecuación Canónica
Centro : (0; 0) Radio : r
x2 + y2 = r 2
Ecuación General
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
PARÁBOLA
DEFINICIÓNEs el lugar geométrico de todos los puntos del planoque equidistan de una recta fija del plano llamada
directriz y un punto fijo llamado foco.
: Directriz
F : Foco
Elementos de la parábola
() Vértice : (V)() Foco : (F)
() Directriz :
() Eje de simetría (Eje focal) :
() Lado recto :() Cuerda :
() Cuerda focal :
ECUACIONES DE LA PARÁBOLA
Vértice en el origen (0; 0) y eje focal el eje X
(Ecuación canónica)
Vértice en el origen (0; 0) y eje focal el eje Y
(Ecuación canónica)
Vértice (h; k) y eje focal paralelo al eje X
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 45/171
(Ecuación ordinaria)
Vértice (h; k) y eje focal paralelo al eje Y
(Ecuación ordinaria)
Forma general
x2 + Dx + Ey + F = 0 .....Eje focal // al eje Y (o coincidente con el eje Y)
y2 + Dx + Ey + F = 0 .....Eje focal // al eje X (o coincidente con el eje X)
PROBLEMAS PROPUESTOS
01. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasapor (2; 3) y cuyo centro es (-1; 7)
A) x2 + y2 - 2x + 14y - 50 = 0B) x2 + y2 - 2x + 14y - 25 = 0C) x2 + y2 + 2x + 14y - 50 = 0D) x2 + y2 - 4x + 7y - 65 = 0E) x2 + y2 + 2x - 14y + 25 = 0
02. Hallar la ecuación de la circunferencia que estangente a los ejes coordenados, su radio mide 3u y el centro pertenece al IVC.
A) x2 + y2 - 6x + 6y + 9 = 0B) x2 + y2 + 6x + 6y + 9 = 0
C) x2 + y2 + 3x + 3y = 9D) x2 + y2 - 3x - 3y = 9E) x2 + y2 + x + y + 3 = 0
03. La ecuación de una recta es :
.
Hallar la ecuación de la circunferencia que estangente a dicha recta, si su centro es el origende coordenadas.
A) x2 + y2 = 144 B) x2 + y2 = 225C) x2 + y2 = 100 D) x2 + y2 = 169E) x2 + y2 = 196
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 46/171
04. Determinar la ecuación de una circunferenciacon centro en el origen, si la longitud de la
tangente trazada desde el punto (-1; 6) es A) x2+y2=4 B) x2+y2=8 C) x2+y2=16D) x2+y2=32 E) x2+y2=64
05. La ecuación de una circunferencia es:
x2 + y2 - 4x - 8y + 11 = 0Hallar las coordenadas del punto que pertenecea la circunferencia y está más cerca del eje X.
A) (2; 1) B) (6; 4) C) (3; 2)D) (2; 4) E) (-1; 4)
06. Determine la ecuación de una circunferenciaubicada entre los semiejes positivos, si está a 2u del eje X y a 5 u del eje Y, sabiendo ademásque la recta L:2y+5x=50, pasa por su centro
A) x2+y2-18x-12y+108=0B) x2+y2-14x-8y+56=0C) x2+y2-12x-6y+36=0D) x2+y2-16x-10y+80=0
E) x2
+y2
-6x-6y+9=0
07. Hallar la ecuación de una circunferencia concentro en (7; 6), sabiendo que es ortogonal a lacircunferencia cuya ecuación es :x2 - 6x + y2 - 4y = 0
A) (x - 6)2+(y - 7)2 =
B) (x - 7)2+(y+6)2 =C) (x - 7)2+(y - 6)2 = 16D) (x - 7)2+(y - 6)2 = 19E) (x - 7)2+(y+6)2 = 19
08. Una circunferencia de radio es tangente a lacircunferencia x2+y2-4x+2y-47=0 en el punto (6;5). Determinar las coordenadas de su centro
A) (4; 2) ó (8; 8) B) (3; 2) ó (6; 7)C) (4; 2) ó (8 ; 6) D) (2; 4) ó (8; 8)E) (4; 2) ó (6; 8)
09. Desde el punto P(2; -3) se han trazado tangentesa la circunferencia:
C: x2+y2-2x+10y+22=0hallar la ecuación de la cuerda que une lospuntos de contacto
A) 2y+x+5=0 B) y+2x+5=0 C) 5y+2x+1=0D) 2y+5x+10=0 E) y+x+5=0
10. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el
punto (0; 9) y es tangente a la circunferencia :x2 + y2 - 2x - 4y = 20
A) 4x-3y+32=0 3x+4y-36=0B) 4x-3y+27=0 3x+4y-36=0C) 3x-4y+22=0 4x+3y-36=0D) 3x+4y+27=0 4x+3y+36=0E) 4x+3y+27=0 3x+4y+36=0
11. Hallar a ecuación de la parábola cuyo vérticees (2; 5) y foco (2; 9)
A) x2 - 4x + 16y - 20 = 0B) (x - 2)2 = 16(y - 5)C) x2 - 4x + y + 30 = 0D) (x - 2)2 = 8(y - 5)E) (x + 2)2 = 16(y + 5)
12. El vértice de una parábola es (3; 2) y su directriz
es y= -1. Hallar la ecuación de la parábola. A) (x - 3)2 = 12(y - 2) B) (x + 3)2 = 12(y + 2)C) (x - 3)2 = 6(y - 2) D) (x + 3)2 = 6(y + 2)E) (x - 2)2 = 12(y - 3)
13. Hallar la ecuación de la parábola cuyo eje focales horizontal, con vértice en el origen y pasa por el punto (1; -3)
A) 9x2 - y = 0 B) y2 + 9x = 0C) 3x2 + y = 0 D) y2 - 9x = 0E) 9x2 + y = 0
14. Hallar la longitud del lado recto, de la parábola :y2 + 2x - 10y + 27 = 0
A) 5 B) 1/2 C) 1/4D) 3/4 E) 2
15. La ecuación de una parábola es:(y - 4)2 = -3x. Hallar la distancia del punto (-11; yo) (perteneciente a la parábola) al foco.
A) 11,75 B) 12,25 C)D) 12,75 E) 10,25
16. Hallar la ecuación de la parábola con foco enF(2; 1), vértice sobre L:3x+7y+1=0 y cuyadirectriz es horizontal
A) (x+2)2=16(y+1) B) (x-2)2=8(y+1)C) (x-2)2=16(y+1) D) (x+2)2=8(y-1)E) (x+2)2=16(y-1)
17. Se desea construir un portón en forma deparábola con eje vertical y un ancho en la basede 30 m. Determine la altura que debe tener elportón, sabiendo que el foco debe encontrarse a8 m de la base
A) 4,5 m B) 9,5 m C) 12,5 mD) 14 m E) 15 m
18. Determinar las ecuaciones de las rectas dependiente -1, sabiendo que interceptan a lacircunferencia x2+y2=4, en dos puntos quedeterminan una cuerda de longitud 2
A) x+y±1=0 B) x+y± C) x+y±
D) x+y±2=0 E) x+y± =0
19. Según la figura la ecuación de lacircunferencia C: x2+y2 - 24x - 256=0, hallar laecuación de la parábola que contiene a E y L,además “N” es su vértice
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 47/171
A) y2=-64(x - 14) B) y2=-22(x - 12)
C) y2=- (x - 12) D) y2=-22(x- 14)
E) y2=- (x - 12)
20. Según la figura, el área de la región sombreadaes 32ð u2, hallar la ecuación de la parábolaP, si F : foco y V : vértice y el eje X su directriz
A) (x - 3)2=8(y - 4)B) (x - 3)2=16(y - 4)C) (x - 3)2=4(y - 4)D) (x - 6)2=32(y - 8)E) (x - 4)2=12(y - 3)
TAREA
01. Hallar las coordenadas del centro de lacircunferencia:
x2 - x + y2 + 3y - 1 = 0.Dar como respuesta la suma de su abscisa yordenada.
A) 1 B) 3/4 C) 5/4D) -1 E) -3/4
02. Hallar la ecuación de la circunferencia quepasando por el punto (-1; 5), sea concéntricacon:
C:x2+y2+6x-4y+9=0
A) x2+y2+6x-4y=0 B) x2+y2+6x-4y=4C) x2+y2+6x-4y=9 D) x2+y2+6x-4y=13E) x2+y2+6x-4y=26
03. Determine el valor “m”, si el punto (5; -4)pertenece a la circunferencia:
C: x2+y2-mx+6y+33=0 A) 0 B) 6 C) -6
D) 10 E) -10
04. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasapor los puntos A=(3; 2) y B=(7; 8) sabiendo quela recta x-y=5 pasa por el centro de lacircunferencia
A) (x-8)2+(y-3)2=25B) (x-8)2+(y-3)2=26C) (x-3)2+(y-8)2=25D) (x-3)2+(y-8)2=26E) (x-8)2+(y+3)2=26
05. Hallar la distancia mínima del punto (3; 9) a lacircunferencia:
x2+y2-26x+30y+313=0 A) 17 B) 26 C) 15
D) E) 18
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 48/171
06. Hallar la ecuación de la directriz de la parábolacuya ecuación es : 3x2 - 16y=0
A) 3y+1=0 B) 3y+2=0 C) 3y+4=0D) 3y+5=0 E) 3y+7=0
07. Hallar la longitud del radio vector del punto de laparábola x2+9y=0, cuya abscisa es igual a -3/2
A) 3/2 B) 2 C) 5/2D) 3 E) 4
08. Hallar la ecuación de la parábola que tiene elvértice V(-3; 5) y cuyos extremos del lado rectoson : L(-5; 9) y R(-5; 1)
A) (y+5)2=4(x-3) B) (y-5)2=8(x-3)C) (y+5)2=4(x+3) D) (y-5)2=8(x+3)E) (y+5)2=16(x+3)
09. Hallar la ecuación de la parábola cuyo eje focales paralelo al eje de las abscisas y que pasa por los puntos: (0; 0); (8; 4) y (3; -1)
A) y2 - 2y + x = 0 B) y2 + 2y - 3x = 0C) y2 + 2y - x = 0 D) y2 - 2y - x = 0E) y2 - 2y + 3x =0
10. La entrada de una iglesia tiene la forma de unaparábola con una altura de 9 m y un ancho de 12m en la base; el techo de la iglesia es de vidrio ytiene un ancho de 6 m; determine la alturamáxima del casquete de vidrio
A) 2,25 m B) 2,5 m C) 2,75 mD) 3 m E) 3,5 m
LA ELIPSEDEFINICIÓN
Es el lugar geométrico de un punto “P” que se mueveen un plano de tal manera que la suma de susdistancias a dos puntos fijos F1 y F2 llamados focoses siempre igual a una constante positiva “2a”
GRÁFICAMENTE:
PF1 + PF2 = 2a
ELEMENTOS:
y : Directriz
LF : Eje focalLN : Eje normalC : CentroV1 y V2 : Vért
icesF1 y F2 : FocosLR : Lado recto
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 49/171
EE’ : Cuerda focalDD’ : DiámetroPF1 PF2 : Radio vector V1V2 : Eje mayor B1B2 : Eje menor F1F2 : Segmento focalRELACIONES FUNDAMENTALES
De la siguiente elipse:
Se cumplen las siguientes relaciones:
V1V2 = 2a B1B2 = 2b F1F2 = 2c
La relación entre: a, b y c es:
a2 = b2 + c2
EXCENTRICIDAD:Se representa por “e” y se define así:
como: c < a < 1
Luego:e < 1
LONGITUD DEL LADO RECTO
LR = L’R’ =
DISTANCIA ENTRE LAS RECTAS DIRECTRICES
DD’ =
ECUACIONES DE LA ELIPSE
Se clasifican en:
I. EJE FOCAL PARALELO EJE X
A la vez tiene tres formas:
A. Forma Canónica:
Es una elipse de centro en el origen y cuyo ejefocal coincide con el eje X.
Gráficamente:
su ecuación es:
B. Forma Ordinaria:
Es una elipse con centro en (h; k) y cuyo ejefocal es paralelo al eje “X”.
Gráficamente:
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 50/171
sus ecuaciones:
C. Forma General:Si desarrollamos la ecuación ordinaria:
Eliminando los denominadores, ordenandotérminos y haciendo cambio de variablesobtenemos:
AX2 + CY2 + DX + EY + F = 0
siendo: A > 0 y C > 0además: D, E y F
NOTA:
Para obtener la ecuación de una elipse en suforma ordinaria, simplemente se completacuadrados a la forma general.
II. EJE FOCAL PARALELO EJE Y
A la vez tiene tres formas:
A. Forma Canónica:Es una elipse de centro en el origen y cuyoeje focal coincide con el eje Y.
Gráficamente:
su ecuación es:
B. Forma Ordinaria:Es una elipse con centro en (h; k) y cuyo eje
focal es paralelo al eje “Y”.
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 51/171
Gráficamente:
su ecuación es:
C. Forma General:Si desarrollamos la ecuación ordinaria:
Eliminando los denominadores ordenandotérminos y haciendo cambio de variablesobtenemos:
AX2 + CY2 + DX + EY + F = 0
siendo: A > 0 y C > 0además: D, E y F
OBSERVACIÓN:Se observa que la ecuación de una elipse en su formageneral con eje focal paralelo al eje “X” y eje focalparalelo al eje “Y” son coincidentes en su escritura.
Si nos dan como dato la ecuación de una elipse en suforma general, tenemos que completar cuadradospara afirmar si su eje focal es paralelo al eje “X” o aleje “Y”.
PROBLEMAS PROPUESTOS
01. Calcular la ecuación del lugar geométrico de los
puntos P(x; y) cuya suma de distancias a lospuntos (4; 2) y (-2; 2) sea igual a 8
A) B)
C) D)
E)
02. Calcular la ecuación de la elipse de centro (1; 2),
uno de los focos (6; 2) y que pase por el punto(4; 6)
A) B)
C) D)
E)
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 52/171
03. La ecuación de una elipse es 4x2+y2+8x-4y-4=0.Calcular las ecuaciones de sus directrices
A) x + 5 = 0 x - 3 = 0B) x + 1 = 0 x - 5 = 0C) x + 3 = 0 x - 5 = 0D) x + 4 = 0 x - 4 = 0E) y - 6 = 0 y + 2 = 0
04. Determinar la ecuación de una elipse con centroen el origen y eje mayor sobre el eje de abscisas,si se sabe que pasa por los puntos (4; 3) y (6; 2)
A) x2+y2=52 B) 4x2+y2=52 C) x2+4y2=52D) x2+13y2=52 E) 13x2+y2=52
05. Una elipse tiene sus vértices sobre los puntos (2;6) y (2; -2) si su lado recto mide 2, determine suexcentricidad
A) B) C)D) 1/2 E) 3/4
06. Determinar la ecuación de una elipse cuyosfocos y vértices coinciden con los focos yvértices de las parábolas:
P: y2+4x-12=0P: y2- 4x-12=0
A) 5x2+9y2=45 B) 8x2+5y2=40C) 5x2+8y2=40 D) 9x2+8y2=72E) 9x2+5y2=45
07. Si los focos de una elipse son los puntos (1; 2)y (1; 8) y uno de los extremos del eje menor estáen la recta y=3x-7, determinar la longitud de suslados rectos
A) B) C) 2
D) 3 E) 6
08. Hallar la ecuación de la recta tangente a la
elipse ã: x2 + 2y2 = 8, en el punto ( ; -1)
A) x-2y=8 B) x+2y=4
C) y-2x=8 D) y+2x=6
E) x-2y=4
09. El centro de una elipse es (1; -3), un foco es (1;9) y un extremo del eje menor es (-4; -3), hallar la ecuación de la elipse:
A) B)
C) D)
E)
10. Una represa de sección vertical semielípticatiene una profundidad máxima de 40 m y unancho de 100 m en la parte superior. ¿Qué
profundidad tiene la represa a una distancia de30 m de su centro?
A) 16 m B) 18 m C) 20 mD) 24 m E) 32 m
11. Hallar la ecuación de la hipérbola cuyos focosestán situados en el eje de las abscisas y son
simétricos con respecto al origen decoordenadas, sabiendo además que:2c = 10 y 2b = 8
A) B)
C) D)
E)
12. Los extremos del eje conjugado de una hipérbolason los puntos (0; 3) y (0; -3) y la longitud decada lado recto es 6. Hallar la ecuación de la
hipérbola A) y2 - 3x2 = 9 B) y2 - x2 = 9 C) x2 - y2 = 9 D) x2 - 3y2 = 9 E) 2y2 - 3x2 = 6
13. Los focos de una hipérbola coinciden con los
focos de la elipse:
Hallar la ecuación de la hipérbola, si suexcentricidad es e=2
A) B)
C) D)
E)
14. Se tiene una hipérbola con centro en (4; 2) y focoen (4; 6). Si se sabe que la longitud de su ladorecto es 6,4, determinar la longitud del ejeconjugado
A) 5 B) 6 C) 7D) 8 E) 9
15. Hallar la ecuación de la hipérbola de vértices(0;24) y (0;-24) y la ecuación de sus asíntotas
son:
A) y2/496-x2/169=1 B) y2/496-x2/100=1
C) y2/496-x2/64=1 D) y2/496-x2/196=1E) y2/496-x2/186=1
16. Si la longitud del eje transverso y la excentricidadde una hipérbola, están en la relación de 18 a 3,calcular la distancia entre sus directrices
A) 5 B) 6 C) 8D) 9 E) 12
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 53/171
17. La ecuación de una hipérbola es4x2-9y2+16x-54y-101=0.
Calcular la longitud de su lado recto A) 2/3 B) 4/3 C) 32/3D) 8/3 E) 31/3
18. Una hipérbola con centro en (1; 4) tiene un foco
en (7; 4) y un vértice es (3; 4). Hallar suecuación A) 2x2-y2-4x-8y-16=0B) 2x2-y2-8x+6y-19=0C) 4x2-2y2-4x+y-20=0D) 6x2-4y2-48y-14x+21=0E) 8x2-y2-16x+8y-40=0
19. Hallar la ecuación de la hipérbola sabiendo que
su excentricidad es , un vértice (-5; -5) y
centro (-5; 1)
A) B)
C) D)
E)
20. Las asíntotas de una hipérbola son lasrectas x -3y+2=0 y x+3y+2=0, un vértice es (-5;0). Hallar la ecuación de la hipérbola
A) 9x2+y2+6y-4x+1=0B) 9y2-x2-8y-6x-11=0C) x2-9y2+4x-5=0D) 25x2-16y2-8x-10=0
E) 9x2
-y2
-2x+4y=0
TAREA
01. En una elipse de ecuación :5x2 + 9y2 - 30x + 18y + 9 = 0
hallar las coordenadas de su centro A) (1; -4) B) (3; -7) C) (3; -1)D) (4; -3) E) (1; -1)
02. Calcular el área del cuadrilátero que tiene dosvértices en los focos de la elipse:9x2 + 5y2 = 1, y los otros dos coinciden con losextremos de su eje menor
A) u2 B) u2 C) u2
D) u2 E) u2
03. Determinar n para que la recta y = 2x + n seatangente a la elipse
= 1
A) ± 1 B) ± 2 C) ± 3D) ± 4 E) ± 5
04. Determinar la excentricidad de la elipse; si su ejemenor se ve desde uno de los focos formandoun ángulo de 60°
A) B) C)
D) E)
05. El área de una región cuadrada, inscrita en unaelipse con ecuación :
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 54/171
; es :
A) B) C)
D) E)
06. En la figura mostrada determinar :
M =
donde : (bx)2 + (ay)2 = a2b2; a > bF1; F2 : focos de la elipse.
A) a B) 2a C) bD) 2b E) (a2 + b2)/c2
07. En una hipérbola cuya ecuación es :16x2 - 9y2 - 64x - 54y - 161 = 0
hallar las coordenadas de su centro A) (2; -1) B) (1; -3) C) (2; -3)D) (3; -4) E) (3; -6)
08. La ecuación de la hipérbola es :9x2 - 4y2 - 54x + 8y + 113 = 0
marcar lo incorrecto : A) Vértices : (3; 4); (3; -2)
B) Focos : (3; 1 + ); (3; 1 - )C) Longitud del eje transverso = 6D) Longitud del lado recto = 8/3
E) Excentricidad : /2
09. Determinar la ecuación de una hipérbola concentro en el origen, si su eje transverso está
sobre el eje X. Además su excentricidad esy contiene al punto (2; 1)
A) 2x2-y2=2 B) x2-2y2=2 C) 2x2-y2=1D) x2-y2=2 E) x2-2y2=1
10. Una hipérbola tiene su centro en el origen y pasapor el punto (-1; 2). Calcular su ecuación si lalongitud de cada lado recto es 2/3 y su ejeconjugado está sobre el eje x
A) y2-3x2=3 B) y2-3x2=1 C) 3y2-x2=1D) 3y2-x2=3 E) y2-x2=1
CÓNICAS : HIPÉRBOLA
I. DEFINICIÓN:
Es el lugar geométrico de todos los puntos delplano cuya diferencia de distancias (en valor absoluto) a dos puntos fijos del plano (llamados:focos) es constante
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 55/171
F1 y F2 son focos
II. ELEMENTOS:
() Centro: O() Focos: F1 y F2() Vértices: V1 y V2
() Asíntotas: L1 y L2() Directrices: D1 y D2
() Lado recto:
() Eje transverso:
() Eje conjungado:
III. RELACIONES FUNDAMENTALES:
() Eje transverso: V1 V2 = 2a() Eje conjugado: B1 B2 = 2b() Distancia focal: F1 F2 = 2c
() Excentricidad:
() Lado recto:
() Distancia entre directrices =
IV. ECUACIONES DE LA HIPÉRBOLAIV.1. Con Centro (0; 0) y eje focal el eje X
Ecuación Canónica:
Con Centro (h; k) , eje focal paralelo aleje X
Ecuación Ordinaria:
IV.2 Con Centro (0; 0) y eje focal el eje Y
Ecuación Canónica:
Con Centro (h; k) y eje focal paralelo al eje Y
Ecuación Ordinaria:
IV.3. Ecuación General:
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 56/171
A y C son de signos opuestos y di ferentes decero
IV.4. Hipérbolas Conjugadas
Dos hipérbolas H1 y H2 son conjugadas cuando el ejetransverso de cada una es igual al eje conjugado de
la otra.En la ecuación de H1 es:
La ecuación de H2 es:
IV.5. Asíntotas de la HipérbolaSi la ecuación de la hipérbola es:
Las ecuaciones de las asíntotas se obtienenigualando a cero el primer miembro
PROBLEMAS PROPUESTOS
01. Hallar la longitud del lado recto de la hipérbola:
A) 36 B) 36 C) 36 /5
D) 20/3 E) 40/3
02. Escribir la ecuación de la hipérbola cuyo centrosea el origen del sistema de coordenadasrectangulares, un vértice en (2;0) y su ejeconjugado de longitud igual a 6
A) B) C)
D) E)
03. Hallar la ecuación de la hipérbola cuyos focosson (0;-2) y (0;2) además cada uno de los ladosrectos mide 6
A) x2-y2=1 B) x2-3y2=3 C) 2y2-x2=2
D) 3y2
-x2
=3 E) 3x2
-4y2
=12
04. Dada la hipérbola: 2x2-y2=3, ¿cuánto mide su ejetransverso?
A) B) 2 C)
D) 2 E) /2
05. ¿Cuál es la ecuación de la hipérbola equiláteracentrada en el origen, con vértice en (0;4)?
A) x2-y2=4 B) x2-y2=32 C) y2-x2=4
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 57/171
D) x2-y2=16 E) y2-x2=16
06. Escríbase la ecuación canónica de la hipérbolasi la distancia focal es igual a 10 y la hipérbolapasa por el punto (3;0)
A) 16x2-9y2=144 B) 9x2-16y2=144C) 3x2-4y2=30 D) 4x2-5y2=100
E) 16y2
-4x2
=35
07. ¿Cuál es la ecuación de la hipérbola si su centroes C:(1;1) y un foco con su vérticecorrespondiente son (7;1) y (5;1)?
A) 20(x-1)2-16(y-1)2=640B) 16(y-1)2-20(x+1)2=320C) 5(x-1)2-4(y-1)2=80D) 16(y-1)2-20(x-1)2=640E) 20(x-1)2-16(y-1)2=80
08. Determine la ecuación de la hipérbola de centro(2;1) cuyo eje transverso mide 10 y paralelo aleje X, además su excentricidad es 7/5
A) B)
C) D)
E)
09. Hallar el centro de la hipérbola:4y2-16x2-48x-4y+1=0
A) (-3/2; 1) B) (-3/2; 1/2) C) (-1/2; 3/2)D) (3/2; 1/2) E) (-3/2; 3/2)
10. Determine la longitud del lado recto de unahipérbola de excentricidad 2, si la distancia entresus directrices es 2.
A) 8 B) 9 C) 10D) 12 E) 15
11. Hallar la distancia de un foco de la hipérbola16x2 - 9y2 = 144 a una cualquiera de susasíntotas.
A) 3 B) 4 C) 5D) 6 E) 8
12. Las coordenadas de los focos de una hipérbola
son y y su
excentricidad es igual a . Determinar laecuación de la hipérbola
A) 4y2-4x2+8y+8x-1=0B) 2x2-2y2+4y+4x-1=0C) 4x2-4y2+8y-8x+1=0D) x2-y2-2x-y+1=0E) y2-x2-2x+y-1=0
13. Hallar las ecuaciones de las directrices de lahipérbola cuya ecuación es:
4x2 - 9y2 + 16x - 54y - 101 = 0
A) B)
C) D)
E)
14. Hallar la ecuación de la hipérbola cuyos focos
están en los vértices de la elipse: 11x
2
+7y
2
=77, ycuyos vértices son los focos de esta elipse
A) B) C)
D) E)
15. Hallar la ecuación de la hipérbola, si se conoce
su excentricidad ; el foco (0;13) y la
ecuación de la directriz correspondiente:13y - 144=0
A) B) C)
D) E)
16. Determinar la excentricidad de la hipérbola, si elsegmento comprendido entre sus vértices se vedesde los focos de la hipérbola conjugada bajoun ángulo de 60°
A) B) C)
D) E) 3
17. Calcular la pendiente de la recta tangente a lahipérbola:
9x2
-4y2
=36en el punto (2 ; 3)
A) B) 2 C) 3
D) E)
18. Hallar la ecuación de la hipérbola de vértices(0;24) y (0;-24) y la ecuación de sus asíntotas
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 58/171
son:
A) B)
C) D)
E)
19. Calcular el área del triángulo formado por lasasíntotas de la hipérbola:
y la recta 9x + 2y - 24 = 0
A) 6 u2 B) 8 u2 C) 10 u2
D) 12 u2 E) 24 u2
20. Las asíntonas de una hipérbola son 2x-y-6 = 0 y2x+y-2 = 0. Si dicha curva pasa por (-11; 8),hallar su ecuación
A) 4(x-2)2 - (y+2)2 = 576B) 4(y+2)2 - (x-2)2 = 216C) 4(x+2)2 - (y-2)2 = 676D) 2(y-1)2 - (x-2)2 = 276E) 2(x-2)2 - (y+1)2 = 216
TAREA
01. Una hipérbola con centro en el origen tiene unvértice en el punto (-4; 0) y un foco en el punto(6; 0). Según esto, determine la longitud de sulado recto
A) 8 B) 9 C) 10D) 12 E) 16
02. La longitud del lado recto de una hipérbola es“m” y de su eje transverso es “n”. Hallar lalongitud del eje conjugado.
A) B) C)
D) E)
03. Hallar la ecuación de la hipérbola convértices en (2; 3), (2; 9) y pasa por (0; 0)
A) 4(x + 2)2 - 9(y + 6)2 = 36B) 4(y - 6)2 - 27(x - 2)2 = 36C) 9(x - 2)2 - 4(y + 6)2 = 36D) 4(y + 2)2 - 9(x + 6)2 = 36E) 4(x - 2)2 - 27(y - 6)2 = 36
04. Hallar la ecuación del lugar geométrico de unpunto que se mueve de manera que la diferencianumérica de sus distancias a (-3; 0) y (3; 0) essiempre 4
A) 5x2 - 4y2 = 20B) 5y2 - 4x2 = 20
C) 4y2 - 5x2 = 20D) 4x2 - 5y2 = 20E) 4x2 - y2 = 4
05. Hallar la ecuación de la hipérbola cuyos focosson:(4; -2) y (4; 10), excentricidad = Tg260
A) 8y2 + x2 - 64y - 8x + 96 = 0B) y2 - x2 + 64y - 6x + 16 = 0
C) 8y2 - x2 + 8x - 64y + 80 = 0D) x2 - y2 - 64y + 6x + 16 = 0E) 32x2 - 4y2 - 16x + 8y - 19 = 0
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 59/171
06. La ecuación de una hipérbola es 4x2-y2+2y+3 = 0marcar lo incorrecto
A) Centro: (0; 1)B) Vértices: (0; 3) y (0; -1)
C) Focos: (0; 1+ ) y (0; 1- )
D) Excentricidad: /2
E) Lado recto: 207. Una hipérbola equilátera centrada en el origen
pasa por el punto (4; -1). Hallar la ecuación(posición canónica)
A) x2 - 2y2=14 B) x2 - y2=15 C) 2y2 - x2=14D) x2 - y2=14 E) x2 - 2y2=15
08. En cuántos puntos se intersectan la hipérbola
y la elipse
A) 0 B) 1 C) 2D) 4 E) 3
09. Las ecuaciones de las directrices de unahipérbola son 5x+1=0 y 5x+19=0. Si la
excentricidad es igual a , calcular la longitud
de sus lados rectos A) 32/3 B) 16/3 C) 8/3D) 16/5 E) 32/5
10. Hallar el área de un triángulo formado por lasasíntotas de la hipérbola
y la recta : 9x + 2y - 10 = 0
A) 9 B) 10 C) 11D) 12 E) 13
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOSEN POSICIÓN NORMAL
01. Un ángulo trigonométrico está en posiciónnormal cuando su lado inicial pertenece alsemieje positivo de abscisas, su vértice coincide
con el origen de coordenadas y su lado finalpertenece a cualquier parte del plano.
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 60/171
En las figuras, á ; â y è están en posiciónnormal; observa además que á IIIC y â IIC.¿A qué cuadrante pertenece è?
02. Ángulos cuadrantalesSon aquellos ángulos que ubicados en posiciónnormal su lado final pertenece a alguno de los
semiejes coordenados.
Al conjunto de todos los ángulos cuadrantales seles representa así: {90° k; k Z} o
03. Ubicación de un ángulo
Si è es un ángulo positivos y menor de unavuelta se cumple:
è IC 0° < è < 90°è IIC 90° < è < 180°è IIIC 180° < è < 270°è IVC 270° < è < 360°
è IC 0 rad < è < rad
è IIC rad < è < ð rad
è IIIC ð rad < è < rad
è IVC rad < è < 2ð rad
() Sea á un ángulo en posición normal y P unpunto de su lado final; x es la abscisa de P e y esla ordenada de P.
() Radio vector (r) es la distancia de P al origen decoordenadas
() Seno: Sená =
Coseno: Cosá =
Tangente: Tgá = (x 0)
Cotangente: Ctgá = (y 0)
Secante: Secá = (x 0)
Cosecante: Cscá = (y 0)
05. Signos de las razones trigonométricas:
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 61/171
Sen 100° es +Cos 200° .........Tg300° .........Sená > 0 y Cosá < 0 á IICTgá < 0 y Secá > 0 .........
Cosá = y Sená > 0 .........
06. Razones trigonométricas de ángulos cuadrantales.
0° 90° 180° 270° 360° Sen0° = Cos 180° =
Sen 0 1 0 -1 0 Sen90° = Cos270° =
Cos 1 0 -1 0 1 Senð = Cos =
Tg 0 N 0 N 0 Sen = Cos0 =
Ctg N 0 N 0 N Sen(kð) = ............; k Z
Sec 1 N -1 N 1 Cos(kð) = ............; k Z
Csc N 1 N -1 N Tg(kð) = ............; k Z
() N: significa: no existe
07. Ángulos coterminalesSon aquellos ángulos trigonométricos queubicados en posición normal tienen los mismoselementos (lado inicial, lado final y vértice)
En la figura adjunta á y è son ánguloscoterminales.
7.1 Propiedades7.1.1 Si á y è son ángulos coterminales su
diferencia es un número entero de vueltas.
á - è = n(360°), n Z
á - è = n(2ð rad); n Z
7.1.2 Si á y è son ángulos coterminales las R.T. (á)son respectivamente iguales a las R.T. (è)
PROBLEMAS PROPUESTOS
01. Si: (-2; ) es un punto que pertenece al ladofinal de un ángulo en posición normal “è”, calcular
“k”
A) - B) C) -
D) E)
02. Hallar el signo de: E=Tgè+Ctgè - Cosè
si: A) + B) - C) + ó -
D) + y - E) No se puede determinar
03. Si P(a; ) es un punto de lado final de unángulo en posición normal “è”, calcular (a0);
A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5
04. Según el gráfico mostrado, calcular: Secè+Cscè
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 62/171
A) B) 2 C) -
D) -2 E) 1
05. Siendo el área del triángulo AOB es igual a 7 u2,calcular : Ctgè+CtgÖ
A) 1/3 B) 1/6 C) 5/6D) 2/3 E) 13/6
06. Calcular: Ctgá (P: Centro)
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
07. De la figura calcular:E=7Tgè+15Secè
si: c(7; 24) es el centro de la circunferencia deradio 15
A) 7 B) 15 C) 20
D) 24 E) 25
08. Siendo “è” positivo y menor que una vuelta;determine el signo de:
A) (-) B) (+) C) (±)D) 0 E) N.A.
09. Del gráfico calcular : Secá Cscâ
A) -2/5 B) 5/2 C) -5D) -5/2 E) 2/5
10. Si |Tgè|+Tgè=0
y :
calcular la medida del ángulo “è” A) ð/6 B) 5ð/6 C) 7ð/6
D) ð/2 E) 11ð/611. Siendo Cosè<0 y además :
hallar el valor de : Cscè+CtgèNota : Considere ð=22/7
A) 1/3 B) 1/7 C) 2D) 1/4 E) 1/2
12. Hallar el valor de : Sen nð+Cos nð+Tg nð(n Z)
A) 1 B) -1 C) -1n
D) (-1)n E) 0
13. Dos ángulos coterminales en posición normalestán en la relación de 13 a 1, la diferenciade ellos es mayor que 1 200°, pero menor que1 500°. Hallar el mayor ángulo
A) 1 560° B) 120° C) 1 440°D) 1 000° E) 500°
14. Si: Sená=
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 63/171
calcular : E=Tgá+Tgè+Tg(á-è)
A) 3,5 B) 3,75 C) -3,5D) -3,75 E) 4,5
15. Determinar si es verdadero (V) o falso (F) :( ) Todo ángulo en posición estándar
perteneciente al IC es positivo.( ) La mitad de todo ángulo perteneciente al IC
también pertenece al IC.
( ) Un ángulo que mide rad pertenece al IIC.
( ) 180° + á, pertenece al IIIC. A) FFFF B) VVFF C) VFVFD) FVFV E) FVVV
16. Si :2530°< á < 2610° y -1530° < è < -1440°determinar a qué cuadrante pertenecen á y è
A) I y IV B) I y III C) II y IIID) II y IV E) III y IV
17. Sabiendo que:
|Senè| = y Tgè < 0
calcular : 7Senè + 3Cosè
A) -2 B) -3 C) -5D) 4 E) 6
18. Marcar lo incorrecto (n Z)
A) Sen(4n + 1)
B) Cos(2nð) = 1C) Tg(nð) = 0
D) Ctg(2n + 1)
E) Sec(2n + 1) ð = 1
19. Si ak = Sen , calcular:
A) -2 B) 2 C) 1D) -1 E) 0
20. Calcule el valor de Tgè + TgÖ
A) -3/4 B) -5/4 C) -3/2
D) -7/4 E) -9/4
TAREA
01. Si : Cosá = 0,25; 270° < á < 360°, calcular:
P =
A) -4 B) -2 C) 3
D) 4 E)
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 64/171
02. Determinar el valor de verdad:( ) Todo ángulo del IC es positivo.
( ) Si Cosè = - 1 è IC è IVC( ) Si á es negativo Sená es negativo
A) VVV B) FVF C) VFVD) VVF E) FFV
03. En la figura AO = OB. G es el baricentro deltriángulo ABC. Calcular :
A) -3/2 B) -1/3 C) - /3
D) -2/3 E) /4
04. Si á es un ángulo positivo y menor que una vueltadel IIC, determinar el signo de :
M = Sen Sen y
N = Sen2áCos
A) +; + B) +; - C) -; -D) -; + E) ±; -
05. Del gráfico adjunto hallar :E = Ctgè - Tgè
A) /3 B) /4 C) /6
D) 2 /3 E) /2
06. Marcar lo incorrecto (k Z):
A) Sen(4k-1) = -1 B) Cos(2k+1)ð = -1
C) Sec(kð) = 1 D) Csc(4k +3) = -1
E) Tg(2kð) = 0
07. Sea á = 1° + 2° + 3° + .... + n°, n Z. Si á es unángulo en posición normal menor de una vuelta,calcular el mayor valor entero de á pertenecienteal IIC.
A) 156° B) 162° C) 171°D) 136° E) 144°
08. Calcular la media aritmética de todos los ángulospositivos coterminales con 230° y menores de 10 000°
A) 5270° B) 5630° C) 4910°D) 5990° E) 4550°
09. Dada la igualdad = Sená donde “è” no
pertenece al II o IV cuadrante. Calcule el valor de:E = Sen2
á + Cos2è
A) 1/3 B) 1 C) 5/6D) 2/5 E) 2
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 65/171
10. En la figura mostrada Tgá = 2/3. Determinar :
E = Sec2è - Tgè
A) 3/2 B) 7/4 C) 9/4D) 11/4 E) 13/4
REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE
Consiste en relacionar las razones trigonométricas deángulos en posición estándar con las razonestrigonométricas de ángulos agudos (ángulos quepertenecen al primer cuadrante).Veremos los siguientes casos:
I. REDUCCIÓN PARA ÁNGULOS POSITIVOSMENORES QUE UNA VUELTA
A)
R.T.(90°±á) = ±CO - RT(á)
R.T.(270°±á) = ±CO - RT(á)
NOTA: El signo ± depende enque cuadrante se encuentra el
ángulo que queremos reducir
Reducir al primer cuadrante
- Sen110° = Sen(90° + ........) = ..........- Cos260° = Cos(270° - .......) = ..........- Tg320° = Tg(270° + .........) = ...........
- Sen
- Sec
- Tg(270° + á) = .............
B)
R.T.(180°±á) = ±RT(á)
R.T.(360°±á) = ±RT(á)
NOTA: El signo ± depende en que cuadrante seencuentra el ángulo que queremos reducir.
Reducir al primer cuadrante- Sen110° = Sen(180° - ........) = ........- Cos260° = Cos(180° + ........) = .......- Tg320° = Tg(360° - .........) = ..........
- Sen(2ð - á) = ................- Tg(ð + á) = ................- Sec(ð - á) = ..............
II. REDUCCIÓN PARA ÁNGULOS POSITIVOSMAYORES DE UNA VUELTAEn estos casos se divide la variable angular entre360° para finalmente tomar en cuenta el residuo.Ejemplo explicativo:
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 66/171
- Reducir al primer cuadrante Tg1240°
Tg1240° = Tg160°Tg1240° = Tg(180° - 20°)Tg1240° = ....................
- Reducir al primer cuadrante Sen4442°
Tg4442° = Tg122°Tg4442° = Tg(90° + .........)Tg4442° = ..................
; k ZR.T. (k vueltas + è) = R.T (è)
III. REDUCCIÓN PARA ÁNGULOS NEGATIVOS
Sen(-è) = -Senè
Cos(-è) = Cosè
Tg(-è) = -Tgè
Ctg(-è) = -Ctgè
Sec(-è) = Secè
Csc(-è) = Cscè
Ejemplo:- Sen(-40°) = .................- Tg(-80°) = ................- Sec(-10°) = ...............- Sen(-200°) = ...............
PROBLEMAS PROPUESTOS
01. Si:
hallar “m” A) 11 B) 13 C) 1/7D) -7 E) -13
02. Según la figura:
calcular el valor de:
A) -1 B) -2 C) 1D) 2 E) 1/2
03. Sabiendo que: Ctg260°=khallar Cos350°
A) B) C)
D) E) -
04. Reducir la expresión:
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 67/171
A) B) C) -
D) - E)
05. Sabiendo que:Sen2x+1 2|Senx|
además: 180° < x < 360°el valor de Sen(x+30°)+Sen(x - 30°) es:
A) B) - C)
D) - E) Hay 2 respuestas
06. Siendo “x” y “z” medidas de ánguloscomplementarios.Reducir la expresión :
A) 2 B) 0 C) -2D) Tgx E) Tgz
07. Del gráfico calcular
E= Cscè - Ctgè
A) 1 B) -1 C) 7D) -7 E) 5
08. Reducir al tercer cuadrante Tg2 480° A) Tg210° B) -Tg190° C) Tg220°D) -Tg240° E) -Tg220°
09. Hallar:
para á=ð/3
A) -2 B) -4 C) 6
D) -8 E) 2
10. Hallar Tgè
A) 3a/b B) b/3a C) -b/3aD) -3a/b E) a/b
11. De la figura mostrada calcule :2Tgá - 21Ctgá
A) -1 B) 1 C) 11D) 0 E) -11
12. Del gráfico mostrado :
calcular : Tgè+Ctgè A) 5/2 B) -5/2 C) 3/2D) -3/2 E) -1/2
13. Decir verdadero (V) o falso (F) :( ) Tg190°=Tg10°( ) Sen2753°=Sen53°( ) Cos5349°=Cos51°
( ) Cos57 =Cos
A) FFVV B) VFVF C) VVVVD) FVVV E) VFVV
14. Calcular el valor de :
n Z A) -1 B) 1 C) 1/2D) -2 E) 0
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 68/171
15. Si : Tg11°= m, hallar : Csc(-1339°)
A) B) - C)
D) - E) 2
16. Calcular el valor de la siguiente expresión:
A) /2 B) /3 C) /4
D) /5 E) /6
17. Reducir :
A) 0 B) 2 C) 4D) -2 E) -4
18. Hallar á, sabiendo que está en el tercer cuadrante, es positivo mayor que una vuelta peromenor que dos vueltas y que :
Cosá = -Senð/13 A) 40 ð/13 B) 89 ð/26 C) 91 ð/26D) 41 ð/13 E) 14 ð/13
19. Del gráfico calcular 3Sec2è - Tgè
A) 15 B) 13 C) 11D) 9 E) 7
20. Calcule la suma de los valores de “n” en lassiguientes igualdades :
Tg = n2 + 9n + 4
Ctg = 2n2 + 3n + 9
A) 1 B) 4 C) 5D) 6 E) 7
TAREA
01. Simplificar:
A) Ctgx B) -Tgx C) TgxD) -Ctgx E) -1
02. Si: Tg = , calcular el valor de:
R =
A) B) - C)
D) - E) -
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 69/171
03. A partir del gráfico simplificar:
A =
A) -1 B) 3 C) 2D) 1 E) -2
04. Del gráfico calcular: Tgè
A) B) - C)
D) - E) -
05. Simplificar:
A =
A) -1 B) 1 C) 2D) 0 E) -2
06. Simplificar:
E =
A) 1 B) -1 C) Tg10°D) Ctg10° E) -Tg10°
07. Si x + y = ð, calcular:
A =
A) 5 B) 1 C) 2D) 3 E) 4
08. De la figura calcular el valor de:Tgá + Tgâ
A) B) C)
D) E) -
09. Si n Z y:
E =entonces:
A) E = 1 B) E = -1 C) E = (-1)n
D) E = (-1)n+1 E) E = 0
10. Siendo: a + b + c = 270°, reducir:
E =
A) Cosa B) -Cosa C) Cos(b+c)D) -Cos(b+c) E) Cosc
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA:
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 70/171
LÍNEAS TRIGONOMÉTRICAS
OBJETIVODefinir y representar las razones trigonométricas, nosólo de ángulos agudos sino también se podrá hablar de las razones trigonométricas de cualquier número
real mediante las llamadas líneas trigonométricas.
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICAEs aquella circunferencia cuyo centro coincide con elorigen de coordenadas rectangulares y cuyo radio esigual a la unidad, razón por la cual se le denominatambién circunferencia unitaria
La ecuación de la circunferencia trigonométrica es:
Para un mejor entendimiento de las definicionesposteriores se enuncian las siguientesdenominaciones a los puntos
A(1; 0) Como origen de arcosB(0; 1) Como origen de complementos
A'(-1; 0) Como origen de suplementosB'(0; -1) Sin nombre especialP1 P2 Extremo de arco
ARCO EN POSICIÓN ESTÁNDAREs aquel arco cuyo extremo inicial es el origen dearcos de la C.T. y su extremo final cualquier puntosobre la C.T. (es aquel que indica el cuadrante al cualpertenece dicho arco).
El ángulo central correspondiente a un arco enposición estándar tiene una medida en radianes quees igual a la medida del arco en unidades lineales.
“è” y “á” son arcos en posición estándar talesque:è es (+) è ICá es (-) á IIIC
OBSERVACIÓN:
Del gráfico estos extremos de arcos servirán comoreferencia para ubicar aproximadamente otros arcosen la C.T.
EjemploUbique gráficamente en la circunferenciatrigonométrica los extremos de arcos (en posiciónestándar)
; 4; -1
Para que los arcos se encuentren en posición
estándar en la C.T, éstos tendrán su posición inicialen el punto A(1; 0)
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 71/171
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ARCOS ENPOSICIÓN ESTÁNDAR
Son numéricamente iguales a las razonestrigonométricas de su respectivo ángulo central en laC.T.
IMPORTANTE:De la definición se tiene que:
Cálculo de las R.T.
Ejemplo:
OBSERVACIÓN:
Las coordenadas de “P” son (x0; y0), luego se tendrá:
COORDENADAS DEL EXTREMO DE ARCO
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 72/171
COORDENADAS OPUESTAS
COORDENADAS ORTOGONALES
LÍNEAS TRIGONOMÉTRICASSon segmentos de rectas dirigidas, los cuales nosrepresentan en la circunferencia trigonométrica, el valor numérico de una razón trigonométrica de un ángulo onúmero.
REPRESENTACIÓN DE SENO, COSENO,TANGENTE, COTANGENTE, SECANTE YCOSECANTE DE UN ARCO EN LA C.T.
REPRESENTACIÓN DE LA LÍNEA SENO.- El seno de
un arco viene a ser la ordenada trazada de su extremode arco.
RANGO DE VALORES
è
REPRESENTACIÓN DE LA LÍNEA COSENO: Elcoseno de un arco es la abscisa trazada, de su extremodel arco.
è
REPRESENTACIÓN DE LA LÍNEA TANGENTE: Latangente de un arco, es la ordenada del punto deintersección entre la recta tangente que pasa por elorigen de arcos y la prolongación del radio o diámetro
que pasa por el extremo del arco.
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 73/171
RANGO DE VALORES
è - / n Z
REPRESENTACIÓN DE LA LÍNEA COTANGENTE.-La cotangente de un arco es la abscisa del punto deintersección entre la recta tangente que pasa por elorigen de complementos y la prolongación del radio odiámetro que pasa por el extremo del arco.
RANGO DE VALORES
è - {nð}/ n Z
REPRESENTACIÓN DE LA LÍNEA SECANTE.- Lasecante de un arco es la abscisa del punto deintersección entre la línea tangente que pasa por elextremo del arco y el eje “X”
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 74/171
è - / n Z
REPRESENTACIÓN DE LA LÍNEA COSECANTE.- Lacosecante de un arco es la ordenada del punto deintersección entre la línea tangente que pasa por elextremo del arco y el eje “Y”.
P; Q y R: puntos de tangencia
è - (nð) / n Z
PROBLEMAS PROPUESTOS
01. Hallar el signo de las expresiones:Sen2; Cos3; Tg5
A) (+); (-); (-) B) (+); (+); (+)
C) (+); (-); (+) D) (+); (+); (-) E) (-); (-); (-)
02. Si las coordenadas de P y Q son (5/13; m)y (-24/25; n) respectivamente, calcular :
Ctgè + 2Tgá
A) 1 B) 7/12 C) 13/25D) 3/2 E) 3/5
03. Del gráfico mostrado, la expresión :
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 75/171
aTgè+bCscè+1equivale a :
A) 1 B) Senè C) CosèD) -Senè E) -Cosè
04. Calcular la suma de los valores enteros de “n” enla igualdad, si è II cuadrante y además:
4Cosè = n - 3 A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5
05. En la C.T. mostrada calcular las coordenadas delpunto “P”
A) (Cosá; -Sená) B) (-Sená; Cosá)C) (-Cosá; -Sená) D) (-Sená; -Cosá)E) (Sená; Cosá)
06. En la C.T. mostrada calcular :Tgè + Tgá + Secá
A) 0 B) -1 C) 1D) 1/2 E) -1/2
07. Si :calcular : Sená + Cosè + TgÖ
A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4
08. En un triángulo rectángulo ABC (m A=90) “C”menor ángulo. Dar la extensión de “m”, si 3m -
SenC = 4
A) ]4/3; 1[ B) ]2/3; 2[ C) ]4/3; 5/3[D) ]1/3; 4/3[ E) ]2/3; 4/3[
09. Dar la extensión de è en el intervalo [0; 2ð] si:
A) ]ð/3; ð/2[ ]3 ð/4; 5 ð/6[B) ]ð/6; ð/4[ ]3 ð/4; 5 ð/6[C) ]ð/2; 3 ð/2[D) ]0; ð/4[E) ]ð/2; 2ð[
10. Hallar el área de la región sombreada
A) 0,5(1 - Cosá) B) -0,5(1 - Cosá)C) 0,5(1 - Sená) D) -0,5(1 - Sená)E) 0,5SenáCosá
11. ¿Cuál es el área de la región sombreada ?
A) B) C)
D) E)
12. En la C.T. calcular el área de la región triangular
BPT
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 76/171
A) B) C)
D) - E)
13. Ordenar en forma creciente:
Tg1; Sec2; Csc3; Ctg4; Sen5 A) Sen5; Sec2; Ctg4; Tg1; Csc3B) Tg1; Sec2; Csc3; Ctg4; Sen5C) Sec2; Sen5; Tg1; Ctg4; Csc3D) Sec2; Sen5; Ctg4; Tg1; Csc3E) Sen5; Sec2; Ctg4; Csc3; Tg1
14. En una circunferencia trigonométrica si :3ð/2 < á < â < 2ð, determinar la veracidad (V) ofalsedad (F) de :( ) |Secá| < |Secâ|( ) Sená > Senâ( ) |Ctgá| < |Ctgâ|
A) FVF B) VFV C) FFF
D) VVV E) FFV
15. Si: 1+Tgâ=Sen2á, indicar entre que valores se
encuentra “â” para que la igualdad anterior secumpla:
A) B)
C) D)
E) [3ð/4; ð]
16. Si : è < á < â < 2ð y Sená - |Secâ| = 0, calcularel valor de la expresión :
K=Cos2á+Cos
A) 2 B) 1 C) 0D) -2 E) -1
17. Si: Tgè ]0; [, è ]0; 2ð[, determinar lavariación de :
E =
A) ]-1; 0[ ]3; 6[ B) ]-1; 1[ ]5; 7[C) ]-4; 2[ ]5; 7[ D) ]3; 4[ ]6; 7[E) ]-2; 1[ ]4; 6[
18. Hallar el mínimo valor que: puede tomar tomar “a” para que se cumpla la igualdad:
; si: 3 ð/2 á 2ð
A) B) 2 C) 2 -
D) 2+ E) 1+
19. Si: Tg2è=3Cosâ. Hallar la extensión de:
f(è)=2|Cosè|+1
A) [1; 3] B) [1; 2] C) [2; 3]
D) [2 +1; 3] E) [ ; 2]
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 77/171
20. Del gráfico calcular “x1x2" y en qué intervalo seencuentra “á”
A) ; á ]ð/6; ð/3[ B) ; á ]ð/2; 2ð/3[
C) ; á ]ð/6; ð/3[ D) ; á ]ð/2; 2ð/3[
E) ; á ]5ð/6; 4ð/3[
TAREA
01. Señale V o F en :( ) Sen2 > Sen3( ) Sen3 > Sen4( ) Sen4 > Sen5
A) VFV B) VFF C) VVVD) FVV E) FVF
02. Dar la extensión de Cosâ, si â [135°; 210°]
A) ]-1; /2] B) [-1; 0[ C) ]-1;- /2[
D) [-1; - /2[ E) [-1; - /2]
03. Si : y è IIIC, ¿entre qué límites
está “a”?
A) ]-1; 0[ B) ]-1/2; 1[ C) ]-1; 1[D) ]-1; 1/2[ E) ]-1/2; 1/3[
04. Calcular PR, si Senè =
A) 5/7 B) 13/7 C) 1D) 11/7 E) 9/7
05. Si se cumple la igualdad :
2 + =donde è IIIC, calcular: 3Ctgè + 2Cscx
A) -2 B) 6 C) 4D) -4 E) 3
06. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, “A”es el menor ángulo
si : 2TgA+x = 3indique el intervalo de x
A) ]1; 2[ B) ]1; 3[ C) ]1; 4[D) ]2; 3[ E) ]2; 4[
07. Ordenar en forma decreciente :a=Sen1; b=|Cos3|; c=Sec2; d=Tg1
A) a; b; c; d B) c; b; a; d C) c; a; b; dD) d; a; b; c E) d; b; a; c
08. Si : 0 < á < è < 2ð, además : Cosè+Cscá=0
hallar :
A) -1 B) 2 C) 1
D) 1,5 E) 2,5
09. Hallar el área de la región sombreada en la C.T.mostrada
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 78/171
A) (Senè + Cosè)(Cosè + Senè - 1)
B) (Cosè - Senè)(Cosè + Senè - 1)
C) (Cosè - Senè)(Cosè - Senè + 1)
D) (Cosè - Senè)(Cosè - Senè - 1)
E) (Cosè + Senè)(Cosè - Senè + 1)
10. Si ð < á1 < á2 < á3 < 3 ð/2señale lo incorrecto:
A) Tgá1 < Tgá2< Tgá3B) Sená1 > Sená2 > Sená3C) |Cosá1| > |Cosá2| > |Cosá3|D) Ctgá1 > Ctgá2 > Ctgá3E) Hay una incorrecta
LÍNEAS AUXILIARES
LÍNEA VERSOSegmento horizontal (dirigido) cuyo extremo inicialcoincide con el extremo inicial de la línea seno y suextremo final es el origen de arcos.
QA = Versá PA = VersÖNA = Versè MA = Versâ
Observa de la figura:
Conclusión:
ANÁLISIS DE LA LÍNEA VERSO
0 ð 2ð
Vers 0 1 2 1 0
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 79/171
LÍNEA COVERSOSegmento vertical (dirigido) cuyo extremo inicialcoincide con el extremo inicial de la línea coseno y suextremo final es el origen de complementos.
FB=Cová GB=CovâHB=CovÖ IB=Covè
Observa de la figura:
Conclusión:
ANÁLISIS DE LA LÍNEA COVERSO
0 ð 2ð
Cov 1 0 1 2 1
LÍNEA EXSECANTESegmento horizontal (dirigido) cuyo extremo inicial es
el origen de arcos y su extremo final coincide con elextremo final de la línea secante.
AM=Exsecá AN=Exsecè AG=ExsecÖ AF=Exsecâ
Observa de la figura:
Conclusión:
ANÁLISIS DE LA LÍNEA EXSECANTE
0 ð 2ð
Exsec 0 0 -2 2 0
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
CONCEPTO:Son aquellas igualdades donde intervienen funcionestrigonométricas de una cierta variable, las mismas quese verifican para todo valor admisible de dicha variable.
I D E N T I D A D E S T R I G O N O M É T R I C A SFUNDAMENTALES(n Z)
1. IDENTIDADES RECÍPROCAS (n Z)
2. IDENTIDADES POR COCIENTE
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 80/171
3. IDENTIDADES PITAGÓRICAS
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS AUXILIARES
Sen4x + Cos4x = 1- 2Sen2x.Cos2x
Sen6x + Cos6x = 1-3Sen2x.Cos2x
Tgx+ Ctgx = Secx.Cscx
Sec2x + Csc2x = Sec2x.Csc2x
(1±Senx ± Cosx)2 = 2(1 ± Senx) (1 ± Cosx)
;
PROBLEMAS RESUELTOS
01. Simplificar:
Resolución:
A seno y coseno:
02. Simplificar:K = Tg3
á (1-Ctg6á) + Ctg3
á (1-Tg6á)
Resolución:Efectuando:
03. Si: Tgè+Ctgè = 3calcular: M = Tg3
è + Ctg3è
Resolución:M = (Tgè+Ctgè) (Tg2
è +Ctg2è - 1)
M = (Tgè+Ctgè) ((Tgè+Ctgè)2 - 3)M = (3) ((3)2 - 3) = 18
04. Si: Sen2è + Sen2
á =
calcular:Cos2è.Cos2
á - Sen2è.Sen2
á
Resolución:
M = (1-Sen2è)(1-Sen2
á) - Sen2è.Sen2
á
M = 1 -(Sen2è+Sen2
á) M = 1 -(1/8) = 7/8
05. Sabiendo que: 3SenÖ+4CosÖ=5calcular: E = 3CscÖ + 4SecÖ
Resolución :
Del dato: 3SenÖ+4CosÖ=5 se deduce:
entonces: SenÖ= y CosÖ=
luego: E =
06. Sabiendo que:
, calcular: Sec2è+Csc2
è
Resolución: Aplicando identidades auxiliares se deduce:
se pide:
Sec2è + Csc2
è = Sec2è.Csc2
è =
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 81/171
07. Eliminar “è”: Senè+Cosè = mSenè-Cosè = n
Resolución:Elevando al cuadrado y sumando miembro amiembro(Senè+Cosè)2 + (Senè-Cosè)2 = m2+n2
2(Sen2è+Cos
2è) = m
2
+n2
m2+n2 = 2
08. Eliminar â de: Sec2â+Csc2
â=aTgâ-Ctgâ = b
Resolución:Elevando al cuadrado:(Tgâ-Ctgâ)2 = b2
Tg2â + Ctg2
â - 2 = b2
Sec2â - 1 + Csc2
â - 1 - 2 = b2
a = b
2
+4 a-4=b
2
PROBLEMAS PROPUESTOS
01. Calcular:
A) 3 B) 2 C) 1
D) -1 E) -2
02. Si Cová = 0,4, calcular el mayor valor de: Versá
A) 0,2 B) 0,6 C) 1,6D) 1,8 E) 1,4
03. Para qué valores de “á” la relación:
ExSecè = 0,25(2á - 5)no existe
A) [-15;2> B) [-1,5;2,5> C) <-1,5;2,5]D) <-1,5;2,5> E) [-1,5;2,5]
04. De los intervalos dados, en cuál de ellos se cumple:Cová > Versá
A) ]ð/4;3ð/4[ B) ]ð/4;5ð/4[ C) ]3ð/4;5ð/4[D) ]-3ð/4;ð/4[ E) ]-ð/4;3ð/4[
05. Calcular: OQ.PA
A) OA B) AQ C) OPD) TQ E) PT
06. Calcular AT en términos de è
A) Senè-Versè B) Cosè+Covè C) Senè+VersèD) Covè-Cosè E) Versè+Covè
07. De la figura hallar “r”
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 82/171
A) B) C)
D) E)
08. Si se cumple: 2 < á < â < 3analizar la verdad (V) o falsedad (F) de lassigientes proposiciones:( ) Versá > Versâ( ) Cová < Covâ( ) ExSec(á/2) < ExSec(â/2)
A) VVV B) FVF C) VFFD) FVF E) FVV
09. Si: |x| 4, calcular la suma del máximo y mínimovalor de:
A) 0,5 B) 1,0 C) 1,5D) 2,0 E) 2,5
10. Calcular el área de la región sombreada en funciónde è
A) B) C)
D) E)
11. Simplificar :R = CtgxCosx - Cscx(1 - 2Sen2x)
A) Senx B) Cosx C) TgxD) Ctgx E) Secx
12. Simplificar :
A) Tgx B) Ctgx C) SecxD) Cscx E) Cosx
13. Simplificar :
A) 2Sen2x B) -2Sen2x C) 2Cos2x
D) -2Cos2x E) -2Sec2x
14. Simplificar la expresión :
A) Sen2x B) Sen4x C) Cos4xD) Tg6x E) Sen6x
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 83/171
15. Simplificar la expresión :
A) Cscx B) Secx C) TgxD) Cosx E) Senx
16. Reducir :
A) 0 B) -1 C) -2D) 1 E) 2
17. Simplificar la expresión:
se obtiene: A) 1/4 B) 1/2 C) 1D) 2 E) 4
18. Simplificar
P = 4(Sen
6
x + Cos
6
x) - 3(Cos
4
x - Sen
4
x)
2
A) Sen x B) Cosx C) 1D) 2 E) 4
19. Simplificar la expresión:
A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) SenèCosè
20. Simplificar:
A) Sec2x B) Csc2x C) Ctg2xD) Tg2x E) 1
TAREA
01. ¿Para qué valores de L no es posible la igualdad?
A) [-8;8> B) <-8;8> C) <-8;4> - {0}D) <-8;8> - {0} E) [-8;8] - {0}
02. Hallar los valores de “x” que pertenecen a:<ð; 3ð/2> ; si:2Ctgx = 2 - Versè
A) <ð/4;3ð/2] - {ð} B) <5ð/4;3ð/2]
C) [5ð/4;3ð/2> D) <ð;3ð/2]
E) [ð;3ð/2]
03. De la C.T., hallar:
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 84/171
A) Cová B) C) Versá
D) E)
04. Calcular:E = Sen(á + 2â) + Sen(2á + â)
si:|Cová| + |1+ExSecâ| = 1
A) 2 B) -1 C) 0D) 1 E) -2
05. Hallar QP (Q: Punto de tangencia)
A) B) Covè(2 - Covè)
C) D)
E)
06. Marcar lo incorrecto: A) Sen220° + Cos2200° = 1B) 1 + Tg240° = Sec2400°C) 1 + Ctg230° = Csc2300°D) Cos50°Csc500° = 1E) Tg60°Ctg600° = 1
07. Simplificar la siguiente expresión:
A) 1 -Cosá B) 1-Cscá C) Secá.CscáD) Cosá+1 E) Cscá+1
08. Reducir la expresión:Secx+Tg3xCscx(2+Ctg2x)
A) 2Sen3x B) 2Cos3x C) 2Tg3xD) 2Ctg3x E) 2Sec3x
09. Simplificar :
A) 2Tgè B) 2Ctgè C) 2SenèD) 2Cosè E) 2Cscè
10. Simplificar:
A) B)
C) D)
E)
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
01. Simplificar:
A) Sen2x B) Cos2x C) Tg2xD) Ctg2x E) Sec2x
02. Simplificar:
A) 2Tgè B) 2Ctgè C) 2SenèD) 2Cosè E) 2Cscè
03. Reducir la expresión:Secx + Tg3xCscx(2 + Ctg2x)
A) 2Sen3x B) 2Cos3x C) 2Tg3xD) 2Ctg3x E) 2Sec3x
04. Hallar la extensión de la función:F(x) = (Ctgx + 1)Tgx + 2Cosx - Tgx
A) ]-1;3[ - {1} B) [-1;3] C) [-1;3[ - {1}D) ]-1;3[ E) ]-1;3[ - {0}
05. Si:Tgá + Secâ = 2Tgâ + Secá = 3
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 85/171
hallar:2Tgá + 3Tgâ
A) 5 B) 11/2 C) 6D) 13/2 E) 7
06. Si: Senx + Sen2x - 1 = 0calcular:
N = Cos4x + Cos2x + Senx
A) 1 B) C) 2
D) 2 E) 407. Si:
Tgá + Ctgá = 4calcular:
N = Tg3á - Ctg3
á
siendo:
A) -15 B) -30 C) -25
D) -24 E) -12
08. Si: è , simplificar:
A) B) 1/2 C) /2
D) - /2 E) -
09. Si: Cosx - Ctgx = 1, calcular:P = Cosx + Tgx
A) B) -1 C) 2
D) 2+ E) -
10. Si:
calcular:
A) 1/4 B) 0 C) 3D) 2 E) -5/4
11. Sabiendo que è ]-ð/4;ð/4[ simplificar:
A) -2Senè B) 2Senè C) -2Cosè
D) 2Cosè E) 012. Si:
calcular:
A) 1 + b2 B) 1 - b2 C)
D) 1 + b E)
13. Si: Secx - Senx = 1
calcular:
A) 0,5 B) 0 C) 1
D) -1 E) 214. Si:
calcular:(Sen2x-SenèCosè)(Cos2x+SenèCosè)(Sec2
è+Csc2è)
A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 6
15. Eliminar è de:(x - 2)Senè = Cosè(y + 2)Cosè = Senè
A) (x+2)(y-2) = 1 B) (x+2)(y+2) = 1C) (x-2)(y+2) = 1 D) (x+y)(x+2) = 1E) xy = 2
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 86/171
16. Eliminar á de:
A) x + y = 2a + b B) x + y = a + 2bC) x + y = 2a - b D) x - y = 2b - aE) x + y = a - b
17. Eliminar á a partir de:Tgá + Ctgá = x
Secá + Cscá = y A) x2 + y2 = 2xy B) x2 - y2 = 2xyC) y2 + 2y = x2 D) x2 + y2 = x + yE) x2 + 2x = y2
18. Eliminar è de las ecuaciones:a - bTgè = bCtgèaTgè + b = aCtgè
A) a4 + b2 = 4a2 - b4 B) a2 + b2 = 4abC) a4 - b4 = 4a2 + b2 D) a4 - b4 = 4a2b2
E) a4 - b4 = 4ab
19. Eliminar “è” de las ecuaciones dadas:aSenè + bCosè = + 1
aCosè - bSenè = - 1 A) a + b = 2 B) a - b = 2 C) (a + b)2 = 2D) (a - b)2 = 2 E) a2 + b2 = 2
20. Eliminar “á” en las ecuaciones dadas:
Senè - Cosè =Secè + Cscè = b
A) b2(1 + a)2 = 4(2 - a) B) b2(1 + a)2 = 4(2 + a)C) b2(1 - a)2 = 4(2 + a) D) b2(1 - a)2 = 4(2 - a)E) b2(1 + a2)2 = 4(2 - a2)
TAREA
01. Dado: ; encontrar el equivalente de
la expresión:
K = (1 + Senx - Cosx)
A) B) C)
D) E)
02. Si:
calcular:
A) (a + b) B) (a + b)-1 C) (a + b)2
D) (a + b)-2 E) (a + b)-3
03. Sabiendo que: 3Cosá + Sená = 1calcular:
A) 2 B) 2/3 C) 3D) 1/3 E) 4/3
04. Si: Cscè + Ctgè =
calcular:Cscè(1 + Sen2
è) - Tgè(Cosè + Ctg2è)
A) -8 B) -6 C) -9D) 0 E) 4
05. Si: è , simplificar:
A) Tgè B) Senè.Cosè C) Secè.CscèD) Ctgè E) -Senè.Cosè
06. Dar la extensión de la expresión “p”, si:
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 87/171
A) 1/2 < p < 2 B) 3/2 p 3 C) 1/2 p < 2D) 3/2 < p < 3 E) 1/2 p 2
07. Dada la expresión:2Sec2
è - Sec2á = 1
calcular el valor de:E = (2 - Sen2
á)(1 + Sen2è)
A) 1 B) -2 C) 0D) -1 E) 2
08. Eliminar è a partir de:a = Ctgè + Cosèb = Ctgè - Cosè
A) 4ab = (a2 - b2)2 B) 8ab = (a2 - b2)2
C) 2ab = (a2 - b2)2 D) 16ab = (a2 - b2)2
E) 8ab = (a2 + b2)2
09. Eliminar è:Senè + Cosè = m
Tgè + Ctgè = n A) n + 2 = m2n B) m + 2 = mn2
C) m2 + n2 = 2 D) m2 - n2 = 2E) mn - 2n = m2
10. Eliminar “è” de las ecuaciones:Tgè + Ctgè = a3
Secè - Cosè = b3 A) a2b2(a2 + b2) = 1 B) ab(a2 + b2) = 1C) a2b2(a2 - b2) = 1 D) ab(a2 - b2) = 1E) ab = a2 - b2
IDENTIDADES DE ÁNGULOS COMPUESTOS -PROPIEDADES
PARA TRES ÁNGULOS1. SENO DE UNA SUMA O DIFERENCIA
Sen(x ± y) = SenxCosy ± CosxSeny
2. COSENO DE UNA SUMA O DIFERENCIA
Cos(x ± y) = CosxCosy SenxSeny
3. TANGENTE DE UNA SUMA O DIFERENCIA
Ejercicios ilustrativos
A. Calcular Sen75°Sen75° = Sen(45° + 30°) desarrollandoSen75° = Sen45°Cos30° + Cos45°Sen30°
Sen75°= Sen75°=
B. Calcular Cos16°
Cos16° = Cos(53° - 37°)Cos16° = Cos53°Cos37° + Sen53°Sen37°
Cos16° = Cos16° =
C. Calcular Tg8°Tg8° = Tg(45° - 37°)
Tg8°= Tg8°=
En general :
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 88/171
IDENTIDADES ADICIONALES
Cos(x + y) . Cos(x - y) = Cos2x - Sen2y
Tgx ± Tgy ± Tg(x ±y)TgxTgy = Tg(x ±y)
CASO PARTICULAR
x ± y =
Tgx ± Tgy ± TgxTgy = 1
PROPIEDAD
a ; b , x es una variable real
aSenx ± bCosx = Sen(x ± è)Donde :
Senè = Cosè =
Ejercicios de aplicación :
Senx + Cosx = 2Sen(x + 60°)
Senx + Cosx = Sen(x + 45°)
PROPIEDAD
F(x) = aSenx ± bCosx x
Tal que :
- F(x)
Siendo :
F(x)max =
F(x)min = -
Ejemplo :
-5 3Senx ± 4Cosx 5
- Senx + Cosx
-2 2Senx ± Cosx
Senx ± Cosx
IDENTIDAD PARA TRES VARIABLESSen(x+y+z)=Cosx.Cosy.Cosz(Tgx+Tgy+Tgz-Tgx.Tgy.Tgz)
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 89/171
Cos(x+y+z)=Cosx.Cosy.Cosz(1-Tgx.Tgy-Tgy.Tgz-Tgx.Tgy)
Tg(x+y+z)=
PROPIEDAD
1. Si : x + y + z = (2k + 1) ; k Z
se cumple : Tgx . Tgy + Tgy . Tgz + Tgx . Tgz = 1 Ctgx + Ctgy + Ctgz = Ctgx . Ctgy . Ctgz
2. Si : x + y + z = kð; k Z
se cumple : Tgx + Tgy + Tgz = Tgx . Tgy . Tgz Ctgx . Ctgy + Ctgy . Ctgz + Ctgx . Ctgz = 1
PROBLEMAS PROPUESTOS
01. Calcule el valor de:
A) 1 B) 2 C) -1D) -2 E) 1
02. Calcular:
A) 1 B) C) 3/4
D) 2 E) /3
03. La expresión:
E = 2Sen50° - Cos70°equivale a:
A) Sen20° B) Cos20° C) Tg20°D) 2Sen20° E) 2Cos20°
04. Si:
calcular: Tg(a + c) A) 1/4 B) 1/2 C) 1D) 0 E) 1/3
05. Calcule “Tg(x-y)”, si se tiene que Tg(x+y) = 2 yademás se cumple:
Tg
2
x - Tg
2
y + 3Tg
2
xTg
2
y = 3 A) 1 B) 2/3 C) 3/2D) 5/3 E) 3/5
06. Del gráfico mostrado calcule Tgè
A) 1 B) 2/3 C) 3/2D) 3/4 E) 4/3
07. Simplificar:
A) 2 - 2 B) 2 + 2 C) 2
D) 2 E) 2 /3
08. En la figura mostrada calcule Tgè
A) 3/10 B) 5/11 C) 7/10D) 9/7 E) 11/10
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 90/171
09. Determine la extensión de “A + B” si se tiene que:
A =
B =
A) [-1/2;1/2] B) [-1;1] C) [- ; ]D) [- /2; /2] E) [-2;2]
10. Simplificar la expresión:
A) Tg2x B) Tg3x C) Tg5xD) Tg7x E) Tg8x
11. Calcule el valor de: “Cos(x-y)”sabiendo que:
Senx + Seny + Senz = 0
Cosx + Cosy + Cosz = 0 A) -1 B) 1/2 C) 0D) -1/2 E) 1
12. En la figura mostrada calcular “x”
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
13. Si se cumple que:
calcular: K = Ctga + Ctgc - 2Ctgb A) 1 B) 2 C) -1D) 0 E) 1/2
14. Determine el máximo valor para Tgè en la figura:
A) 5/6 B) 5/13 C) 5/12D) 5/7 E) 5/9
15. En un triángulo ABC:
hallar: Tg2 A . TgB . TgC A) 25/8 B) 13/4 C) 27/4D) 14/4 E) 29/4
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 91/171
16. Siendo A, B y C, los ángulos de un triángulo, en elcual se cumple que sus tangentes son tres númerosconsecutivos y además A > B > C, calcular:
A) 1/3 B) 1/4 C) 3/4D) 4/3 E) 2/5
17. Calcular:
donde A, B y C son los ángulos internos de untriángulo ABC
A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4
18. Siendo A + B + C = ð y además:
calcule el valor de: S = 3TgC + 4TgB
A) 1 B) 3 C) 5D) 7 E) 9
19. Si: á + è + Ö = 180° y además 2Tgá = Tgè + TgÖcalcular:
A) -1/2 B) 1/2 C) 1/4D) -1/4 E) 1/3
20. De la figura encontrar el valor máximo de Tgè
A) /3 B) /6 C) /6
D) /12 E) 3/4
TAREA
01. Dada la igualdad:2Sen(á + è) = 3Sen(á - è)calcule el valor de:
S = Ctgè(2Tgá + 3Tgè) A) 7 B) 9 C) 11D) 13 E) 15
02. Calcule el valor de:S = 4Tg40°(Tg70° - Tg50° - Tg20°)
A) 5 B) 4 C) 3
D) 2 E) 103. Hallar el máximo valor de Tgx
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 92/171
A) 1/2 B) 3/4 C) 4/3
D) /2 E) /3
04. Calcular el valor de Tg2è si:
A) 1/8 B) 1/4 C) 1/2D) 1 E) -1/4
05. Hallar la suma de los “n” primeros términos de:Tgx.Tg2x + Tg2xTg3x + Tg3x.Tg4x + .......
A) Tg(n + 1)xTgx + 1 + nB) Tg(n + 1)xCtgx + 1 + nC) Tg(n + 1)xTgx - 1 - nD) Tg(n + 1)xCtgx - 1 - nE) Tg(n + 1)xCtgx - 1 + n
06. Calcular F(7) si:F(x) = xSenx° + Cosx°
A) ( - 1) B) ( + 1) C) ( - 1)
D) ( + 1) E) 7
07. Si:Sen(á + â) = mCosèCos(á + â) = nSenè
hallar: Sen(á + â + è)
A) B) C)
D) E)
08. En un triángulo ABC, se tiene que:2SenA = 3SenBCosC
calcule el valor de:S = (TgB + TgC)(2CtgB + CtgC)
A) 1 B) 2 C) 4D) 5 E) 6
09. En un triángulo ABC, calcular el valor de:
A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5
10. Si se cumple que:Tg3á + Tg3â + Tg3Ö = Tg3áTg3âTg3Ö
y á + â + Ö <ð; 3ð/2>calcular: Tg(2á + 2â + 2Ö)
A) - B) C) - /3
D) /3 E) 0
IDENTIDADES DEL ÁNGULO DOBLE
IDENTIDADES DEL ÁNGULO DOBLE
Sabemos:
Sen(A + B) = SenACosB + SenBCosACos(A + B) = CosACosB - SenASenB
Tg(A + B) =
Haciendo que: A = B = x
Sen(x + x) = SenxCosx + SenxCosx
Sen2x = 2SenxCosx
Cos(x + x) = CosxCosx - SenxSenx
Cos2x = Cos2x - Sen2x
Tg(x + x) =
Tg2x =
Resumiendo:
* Sen2x = 2SenxCosx
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 93/171
* Cos2x =
* Tg2x =
PROPIEDADES
1. SenxCosx
Min Max
2. Fórmulas de degradación
2Sen2x = 1 - Cos2x
2Cos2x = 1 + Cos2x
3. Sen4x + Cos4x = + Cos4x
Sen6x + Cos6x = + Cos4x
4. Triángulo del ángulo doble
Sen2x =
Cos2x =
5. Sec2x + 1 =
Sec2x - 1 = Tg2xTgx
6. Tgx + Ctgx = 2Csc2xCtgx - Tgx = 2Ctg2x
PROBLEMAS PROPUESTOS
01. Reducir la expresión:
A) 2Tg10° B) 2 C) 2Tg35°D) 2Tg20° E) 2Tg70°
02. Si: (Sen11° + Cos11°)2 - 2Sen211° = nhallar: Cos46°
A) n2 B) n2 - 1 C) 2n
D) 1 - n2
E) 1 + n2
03. Si se cumple que:
Tg2x - Tgx + 1 = 0 0 < x <
calcular Csc4x
A) 3/2 B) 13/12 C) /2
D) /3 E) 5/4
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 94/171
04. Calcular “m” en la igualdad:
A) 1/4 B) 1/3 C) 3/4D) 4/3 E) 2/3
05. Simplificar:
A) 2 B) 2Ctg2á C) 2Csc2áD) 2Tg2á E) 2Sec2á
06. Si:Sen(è + 45°) = 1/3
calcular: Cos2è
A) B) C) ±
D) E)
07. Sabiendo que:Tgá + Ctgá = 8
calcular:Sen2á + Cos4á
A) 9/8 B) 7/8 C) 3/4D) 1/4 E) 5/4
08. Determinar la diferencia entre los valores máximoy mínimo de la expresión:
S = 16Sen2x + Cos4x A) 12 B) 14 C) 16D) 18 E) 20
09. En la figura calcule Tg2è
A) 1/3 B) 2/3 C) 3/2D) 1/2 E) 1
10. Simplificar:
si: ð/4 < è < ð/2 A) 2Senè B) -2Senè C) ±2SenèD) 2Cosè E) -2Cosè
11. Resolver la ecuación:x2Sen2a - 2(Sena + Cosa)x + 2 = 0
A) Seca; Csca B) Sena; Cosa C) Tga; CtgaD) Cosa; Seca E) Sena; Csca
12. Si ABCD es un rombo, calcule Cos2á
A) 7/16 B) 1/2 C) 14/15D) 7/8 E) 2/7
13. La gráfica de la función:F(x) = Sen6x + Cos6x intercepta a la recta: y = 1/4en los puntos, cuyas abscisas son de la forma: (n Z)
A) B) (4n+1) C) (2n+1)
D) 2nð E) (4n+1)
14. Calcular el rango de la función:F(x) = 3Sen2x + 5SenxCosx - 9Cos2x - 1
A) [-25/2;1/2] B) [-8/5;13/2] C) [-21/2;5/2]D) [-10;2] E) [-2;5/2]
15. Calcular Cos2x de:
Cosè = Cosx + Cos3x
Senè = Senx - Sen3x A) 1/2 B) 1/3 C) 1/4D) 1/6 E) 1/8
16. Simplificar:(2Cosá-1)(2Cosá+1)(2Cos2á-1)(2Cos4á-1)(2Cos8á-
1) A) 8Cos32á + 1 B) 4Cos4á - 1 C) 4Cos16á - 1D) 4Cos2á - 1 E) 2Cos16á + 1
17. Hallar “x” en la figura mostrada:
A) 14 B) 13 C) 12D) 11 E) 10
18. Hallar el valor de K para que R seaindependiente de è
R = Sen6è + Cos6
è - KCos4è
A) 1/4 B) 3/8 C) -3/8D) -1/4 E) -1/8
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 95/171
19. Simplificar:Cosx.Cos2x.Cos4x......... “n” factores
A) Sen2nx/2nSenxB) Sen2nx/4nSenxC) Sen4nx/4nSenxD) Sen2nx/SenxE) Sen6nx/6nSenx
20. Expresar:7Sen4
è + Cos4è
en forma lineal A) 3 - 3Cos2è + Cos4èB) 3 + 3Cos2è + Cos4èC) 3 - 3Cos2è - Cos4èD) 3 + 3Cos2è - Cos4èE) -3 - 3Cos2è - Cos4è
TAREA
01. Si se tiene que: Sec2á - Sec2
â = 4calcule el valor de:
A) 1 B) 2 C) 4D) -2 E) -4
02. Dada la igualdad:
Cos4x + 4Cos2x = Cos Sen4x - 3
calcule el valor de:
A) -3 B) -5 C) -7D) -1/5 E) -1/7
03. Calcular el valor de la expresión:
M = Sec20° - Csc20° A) -4 B) -3 C) 0D) 3 E) 4
04. Hallar “n” si:
A) n = 1 B) n = 2 C) n = 3D) n = 4 E) n = 5
05. Si se verifica:
hallar Cos4è A) 1/2 B) -1/2 C) 1D) -1/5 E) 1/3
06. Siendo Sená y Senâ raíces de la ecuación4x2 + 3x - 1 = 0,
calcular el valor de:Cos2á + Cos2â A) 0 B) 1/8 C) -1/8D) 11/8 E) -11/8
07. Si se tiene que:
Senx + Cosx = 3/2calcular el valor de:
M = Sen2x - Cos2x A) -1 B) -1/2 C) 1/4D) 1/2 E) 1
08. Simplificar:
A) -Tgè B) -3Tgè C) -2CtgèD) 3Tgè E) -2Tgè
09. Hallar el rango de la función:
A) [ -1; +1] B) [ -1; +1]
C) [- +1; -1] D) [- +1; -1]
E) [- -1; -1]
10. Calcular:
si se cumple: = a
A) a - 2n B) a + n C) a + 2nD) a - n E) n - a
IDENTIDADES DEL ÁNGULO MITAD - TRIPLE
IDENTIDADES DEL ÁNGULO MITAD Por degradación:
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 96/171
2Sen2 = 1 - Cosx
2Cos2 = 1 + Cosx
Despejando:
Sen =
Cos =
Tg =
NOTA:El signo + o - va a depender del cuadrante del ángulo
FÓRMULAS RACIONALIZADAS
Tg = Cscx - Ctgx =
Ctg = Cscx - Ctgx =
Ejemplo:Calcular Sen22°30'
Resolución:
Sen22°30' = Sen
Sen22°30'=
Sen22°30' = =
Sen22°30' =
PROPIEDAD
*
*
IDENTIDADES DEL ÁNGULO TRIPLE
Sabemos : Sen(A + B) = SenACosB + SenBCosA
Sea : A = 2x; B = x reemplazando :
Sen(2x + x) = Sen2xCosx + SenxCos2x
Sen3x = 2SenxCosx.Cosx + Senx(1 - 2Sen2x)
Sen3x = 2Senx(1 -Sen2x) + Senx(1 -2Sen2x)
Reduciendo :
Sen3x = 3Senx - 4Sen3x
En forma análoga :
Cos3x = 4Cos3x - 3Cosx
Tg3x =
FÓRMULAS ESPECIALES
Sen3x = Sen(2Cos2x + 1)
Cos3x = Cosx(2Cos2x - 1)
Tg3x =
Ejemplo : Si Sen2x = Cos3x
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 97/171
donde : 0° < x < 90°, calcular : Senx
Resolución :
2SenxCosx = Cosx(2Cos2x - 1) 2Senx = 2(1 - 2Sen2x) - 1 4Sen2x - 2Senx - 1 = 0
Resolviendo : Senx =
por s complementarios
2x + 3x = 90° x = 18° Sen18° =
PROPIEDADES
1. SenxSen(60° - x)Sen(60° + x) =
CosxCos(60° -x) Cos(60° + x) =
TgxTg(60° - x)Tg(60° + x) = Tg3x
2. Tgx + Tg(x - 120°) + Tg(x + 120°) = 3Tg3x
PROBLEMAS PROPUESTOS01. Si: 90° < x < 180°
y Cos2x = 49/81, calcular el valor de Cos
A) -4/7 B) -3/7 C) 1/3D) 3/7 E) 4/7
02. Si se tiene que è III cuadrante y además:
Tgè = , calcule el valor de:
E = 1 +
A) 5 B) 4 C) 3D) 2 E) 1
03. Si se tiene que: Cscx = 3 + Ctgx, calcule un valor de:
Tg
A) -2 B) +4 C) -1
D) +2 E) 2 +3
04. Reducir la expresión:S = Tgx + Csc(1 - Secx)
A) Tgx B) Ctg(x/2) C) CtgxD) Tg(x/2) E) Sen2x
05. Reducir la expresión:E = 2Csc20° + Csc40° + Csc80° - Ctg20°
A) Tg20° B) Tg10° C) Ctg20°D) Ctg10° E) Csc10°
06. Simplificar la expresión:
A) Sen2x B) Cos2x C) Tg2xD) Sec2x E) Csc2x
07. Simplificar:
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 98/171
A) 1 B) -1 C) CscxD) Secx E) Cosx
08. Simplificar la expresión:E = Cosx(Tgx/2 + 2Csc2x.[1-Cosx])
A) Senx B) Cosx C) TgxD) Sen2x E) Cos2x
09. Reducir la expresión:
A) Senx B) Cosx C) TgxD) Secx E) Cscx
10. Simplificar la expresión:
M = Secx - Tg
A) -Senx B) -Cosx C) -TgxD) -Ctgx E) -Secx
11. Determine la sumatoria de los “n” primerostérminos de la serie:
M = Cscx + Csc2x + Csc4x + ........
A) Ctg - Ctg2nx B) Ctg - Ctg2n+1x
C) Ctg - Ctg2n-1x D) Ctg + Ctg2nx
E) Ctg + Ctg2n+1x
12. Encontrar las raíces de la ecuación:x2 - 2xCscè + 1 = 0
A) Tg ; Ctg B) Csc ; Ctg
C) 2Csc ; 2Ctg D) Csc ; 2Csc
E) Sec ; Csc
13. Calcular el valor de:
A) B)
C) D)
E)
14. Si:F(x) = (4Cos24x - 3)Sen7xCos7x
hallar: F(5) A) 1 B) 1/2 C) 1/4D) 1/8 E) 1/16
15. Hallar el mayor valor de x si:
A) n B) 2n C) 3nD) n/3 E) n/2
16. Si: Cosx - Senx = 2/3calcular: Sen3x
A) 21/27 B) 20/27 C) 3/8D) 23/27 E) 7/17
17. Calcule el valor de:E = Sen35°Sen55°(1 - 4Sen220°)
A) 1/2 B) 1/3 C) 1/4
D) /2 E) 3/4
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 99/171
18. Del gráfico mostrado calcule “x”
A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5
19. Calcule Cos2x de la igualdad:
A) 1/3 B) 1/2 C) 2/3D) 3/4 E) 3/7
20. Del gráfico mostrado calcule “27h”
A) 184 B) 164 C) 124D) 154 E) 144
TAREA
01. Simplificar:
A) B) C) 2Ctg
D) Ctg E)
02. Si se cumple que: Csc2x = Cosx + Ctg2xcalcular: E = (1 + Cos2x)(3 + Cos2x)
A) +1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5
03. Si:CscA + CscB + CscC = CtgA + CtgB + CtgC
hallar:
A) 1 B) 2 C) 3D) 1/2 E) 1/3
04. Si se tiene que: 2ð < x < 3ð, reducir la expresión:
A) - Senx B) - Cosx C) - /2Senx
D) - /2Cosx E) Senx/2
05. Determine “TgèTgÖ” si se t iene que:2SenèSen2èTg(Ö - è) = Sen3è
A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5
06. Dada la igualdad:
calcule el valor de: E = 2 + a Tg20° A) +1 B) +3 C) +5D) +7 E) +9
07. Calcule el mínimo valor positivo de:
A) 2 /3 B) /3 C) 4 /3
D) 5 /3 E) 2
08. Calcular “m”: Ctg18° = mCtg36°
A) B) C)
D) E) 1
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 100/171
09. Hallar el valor de m, para que la siguiente igualdad:
sea una identidad
A) /8 B) /4 C) 3 /2
D) 3 /4 E) 2 /3
10. Calcular el valor de “á”
A) 10° B) 15° C) 20°D) 25° E) 30°
TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS
DE SUMA O DIFERENCIA A PRODUCTO Para transformar a producto una expresión se deberátener la suma o diferencia de senos o cosenos, conángulos ordenados de mayor a menor.Los ángulos resultantes en el producto serán lasemisuma y la semidiferencia de los ángulos iniciales.No necesariamente A > B, sólo interesa su orden.
Fórmula :
Aplicaciones :
DE PRODUCTO A SUMA O DIFERENCIA
Este caso consiste en el desdoblamiento del producto.Los ángulos resultantes en el desdoblamiento serán ladiferencia y la suma de los ángulos iniciales.No necesariamente x > y, sólo interesa su orden.
Fórmula :
2Senx.Cosy = Sen(x + y) + Sen(x - y)
2Cosx.Cosy = Cos(x + y) + Cos(x - y)
2Senx.Seny = Cos(x - y) + Cos(x + y)
Aplicaciones :
PROBLEMAS PROPUESTOS
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 101/171
01. Transformar a producto:S = Cos22è - Sen23è
A) CosèCos2è B) Cos2èCos3èC) Cos3èCos4è D) CosèCos5èE) Cos2èCos5è
02. Simplificar:
A) Tg10° B) Tg20° C) Tg35°D) Ctg35° E) Tg30°
03. Si:Sen38° + Sen12° = m - nCos38° + Cos12° = m + n
calcular: Ctg65°
A) B) C)
D) E)
04. Hallar “K”:KSen40° = Sec40° + Sec100°
A) 2 B) -2 C) 1
D) 4 E) -4
05. Transformar a producto:E = 1 + Cos2x + Cos4x + Cos6x
A) 4CosxCos2xCos3xB) 4CosxSen2xCos3xC) 4SenxSen2xSen3xD) 4CosxCos2xCos4x
E) 4CosxCos2xSen3x
06. Reducir la expresión:
A) Tgx B) Tg2x C) Tg3xD) Tg4x E) Tg5x
07. Eliminar “x” de la relación:
A) a(a - b) = b(a + b)B) a(a + b) = b(a - b)C) a(a + c) = b(b - a)D) a(a - c) = b(b - a)E) a(a + c) = b(b + a)
08. Transformar a producto: A = 2Cos40° + 2Cos20° + 1
A) Sen50°Sec10° B) Sen50°Sec20°C) Sen40°Sec10° D) Sen50°Csc10°
E) Sen50°Csc20°
09. Transformar a producto:M = 4CosxCos3x + 1
A) Sen5xSecx B) Sen5xCscx C) Cos5xSecxD) Cos5xCscx E) SecxCos7x
10. Si se tiene que:
Cosx = Cos5x + 2Sen4xcalcule el valor de:
M = Sen5x + Senx - 2Cos4x A) 1 B) -2 C) 0D) -1 E) 2
11. Determine el valor agudo de “è” para que severifique la igualdad:
1 + Tg20°Tg2è = 4Cos40° A) 20° B) 40° C) 60°D) 80° E) 50°
12. Calcular el valor de:
A) 2 B) 4 C)
D) /2 E) /4
13. En un Ä ABC, reducir:
A) B) C)
D) E)
14. Calcule la suma de los “n” primeros términos de:S = SenxCosx + Sen2xCos4x + Sen3xCos9x + ....
A) Senn(n+1)x B) Cosn(n+1)x
C) Senn(n-1)x D) Cosn(n-1)x
E) Senn(n-1)
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 102/171
15. Si se tiene que a + b + c = ð y además:
calcule el valor de Cos2a A) -1/2 B) -1/8 C) 3/4D) 1/8 E) 1/2
16. Calcular:Sen2x + Sen22x + Sen23x + ..... + Sen2nx
para:
A) n+2 B) C)
D) n E) (n+1)2
17. Simplificar:
A) Tg B) Ctg C) Tg
D) Ctg E) Tg
18. Hallar:
A) n B) n/4 C) n/2D) 2n E) 4n
19. Simplificar la expresión:
A) Ctgn B) Tgn C) Ctg
D) Tg E) Tg
20. Si: A = Sen1° + Sen2° + Sen3° + ... + Sen180°B = Cos1° + Cos2° + Cos3° + ... + Cos180°
calcular: A.B A) Tg(1/2)° B) -1/2 C) -Ctg(1/2)°D) 1 E) -1
TAREA
01. Hallar el valor de:
A) -3/2 B) 15/4 C) 7D) 15/2 E) -15
02. Si: Tg(á + è) + Tg(á - è) = 2
calcular:
A) 1 B) -1 C) 1/2
D) -1/2 E) 2
03. Transformar en otra equivalente:
A) 0,25(Sec3è - Secè) B) 0,25(Secè - Sec3è)C) 0,25(Sec2è + Secè) D) 0,25(Secè - Secè)E) 0,25(Sec4è - Sec2è)
04. Hallar x en:
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 103/171
siendo x agudo
A) 45° B) 15° C) 30°D) 60° E) 40°
05. En un triángulo ABC se cumple:
2SenBSenC = SenACtg
se trata de un triángulo:
A) Equilátero B) Rectángulo C) IsóscelesD) Acutángulo E) Obtusángulo
06. Si se tiene que: , calcular el valor de:
E = (Cosè - Cos5è)(Cos2è - Cos3è)(Cos4è - Cos6è)
A) /4 B) /8 C) /16
D) /2 E)
07. Calcular el valor de:
E = Ctg20° - 4Cos20° A) 1 B) 2 C) 3
D) E) 1/2
08. Eliminar x e y de las igualdadesSenx + Seny = aCosx + Cosy = bSen(x+y) = c - 1
A) a2 + b2 = 2abc B) a2 + c2 = 2abcC) b2 + c2 = 2abc D) a2 + b2 + c2 = 2abc
E) abc = a + b + c
09. Si se cumple que:CosáCos2áCos3á = 1/4
calcule el valor de:
A) 1/2 B) -1/4 C) 1D) 1/4 E) -1/2
10. En un triángulo ABC transforman a producto laexpresión:
Sen2A + Sen2B - Sen2C A) 4SenASenBSenCB) 4CosACosBSenCC) 4SenASenBSenCD) 4CosACosBCosCE) 4SenACosBSenC
S E R I E S T R I G O N O M É T R I C A S Y F U N C I O N E STRIGONOMÉTRICAS
SERIES TRIGONOMÉTRICASSe llama serie a toda sumatoria de senos o cosenos conángulos en progresión aritmética; siendo las principalesseries las siguientes :
1. Serie de Senos :S = Senx1 + Senx2 + .......... + Senxn
2. Serie de CosenosS = Cosx1 + Cosx2 + .......... + Cosxn
donde :n : Número de términosr : Razónx1 : 1er ánguloxn : Último ángulo
3. Serie especial de Cosenos
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 104/171
PRODUCTOS ESPECIALES
Aplicaciones
1. Simplificar la serie :S = Senx + Sen3x + Sen5x + Sen7x + Sen9x
S =
S = Sen25xCscx
2. Simplificar la serie :
S = Cosx + Cos3x + Cos5x + Cos7x + Cos9x
S =
S = Sen10x.Cscx
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE VARIABLEREAL
Una función trigonométrica es aquella función donde suspares ordenados son de la forma (x; y) tal que y = F.T(x)(regla de correspondencia)
Es decir :
F = {(x; y) / x ; y ; y = F.T(x)}
Ejemplo : Si : y = Senx
DOMINIO DE LA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA
Es el conjunto que tiene como elementos a los valores dela variable “x” (en radianes), de tal manera que la funciónexista.
Ejemplos : Hallar el dominio de las siguientes funciones:
i. y = Senxii. y = Ctgxiii. y = Secx - Cscx
Resolución :i. y = Senx
Ubicamos los “x” en C.T.Se observa que existe losSenx x DomF = o también - < x < +
ii. y = Ctgx
Sabemos que y = es fracción existe si el
denominador :
es decir x nð / n Z DomF = - nð / n Z
iii. y = Secx - Cscx
Sabemos que y = esta función existe si
Cosx 0 Senx 0
es decir : x ; ...........; x 0;ð; 2ð; ...........
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 105/171
Ordenando : x 0; ; .............. ....
x 0 ; ; ............. x / n Z
DomF = - / n Z
A continuación se indica el dominio de las funcionestrigonométricas elementales:
1) y = Senx Dominio : o - < x < +2) y = Cosx Dominio : o - < x < +
3) y = Tgx Dominio : - (2n + 1) / n Z
4) y = Ctgx Dominio : - nð / n Z
5) y = Secx Dominio : - (2n + 1) / n Z
6) y = Cscx Dominio : - nð / n Z
RANGO DE LA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICAEs el conjunto que tiene como elementos a los valores dela variable “y” tal que y = F.T(x)
NOTA : Los criterios que se tiene para calcular el rangode una función trigonométrica es dependiendode la forma y tomando en cuenta los criterios delas funciones reales.
Ejemplos : Hallar el rango de las siguientes funciones :
i. y = Senxii. y = 2Senx + 3
iii. y = 3Senx + 4Cosx + 1
Resolución :i) y = Senx
Sabemos que la extensión de : -1 Senx 1 ; x -1 y 1 RanF = [-1; 1]
ii) y = 2Senx + 3Se sabe que : -1 Senx 1 x Formando la función : -2 2Senx 2
1 2Senx + 3 5 1 y 5 RanF = [1; 5]
iii) y = 3Senx + 4Cosx
Se sabe que :
- ; x
Propiedad de ángulos compuestos
-5 3Senx + 4Cosx 5 -4 3Senx + 4Cosx + 1 6 -4 y 6 RanF = [-4; 6]
En el cuadro adjunto se muestra el rango de algunasfunciones elementales:
Si n es par positivo
0
Sennx
10 Cosnx 10 Tgnx < +0 Ctgnx < +1 Secnx < +1 Cscnx < +
Si n es impar positivo
-1
Sennx
1-1 Cosnx 1- < Tgnx < +- < Ctgnx < +
Secnx -1 Secnx 1Cscnx -1 Cscnx 1
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 106/171
PROBLEMAS PROPUESTOS
01. Simplificar la expresión :
= Sen2x + Sen4x + Sen6x + ...+ Sen20x A) Sen11xSen10xCscx B) Sen11xSen10xSecxC) Sen12xSen9xCscx D) Sen12xSen9xSecx
E) Sen13xSen11xCscx
02. Calcular :
4 ;
A) -Sec B) -Csc C) -Tg
D) -Ctg E)
03. Calcular :
S =
A) B) C)
D) D)
04. Calcular la suma de los “n” primeros términossabiendo que “n” es impar
A) B)
C) D)
E)
05. Calcular :
A) 3/4 B) 3/8 C) 3/16D) 6/7 E) 8/7
06. Calcular el dominio de
F(x) =
A) B) C)
D) E)
07. Calcular el dominio de :
G(x) = ; n Æ
A) B) C)
D) E)
08. Calcular el dominio :
H(x) = ; k Æ
A) B)
C) D)
E)
09. Determinar el dominio :
F(x) = ; n Æ
A) B)
C) D)
E)
10. Determinar el dominio:
F(x) = ; k Æ
A) B)
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 107/171
C) D)
E)
11. Si H(x) =
determinar el valor de verdad:
( ) DomH :( ) RanH : [ -2 ; 2 ]
( ) a
A) VVV B) VFV C) VVFD) FVF E) FFV
12. Dada la función :
G(x) =determinar su dominio.( k Æ )
A) B) C)
D) E)
13. Determinar el dominio de G :
G(x) = ; n Æ
A)
B)
C)
D)
E)
14. Si H =
F(x) =
¿cuáles son los elementos de la función H que nopertenecen al dominio de F?.
A) B)
C) D)
E)
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 108/171
15. Sabiendo que el dominio de la función F es [-2;2],hallar su rango : F(x) =
A) [ -1; 1 ] B) [ -2; 1 ] C) [ -1; 2 ]D) [ -2; 2 ] E) [ -4; 4 ]
16. Hallar el rango de :
F(x) =
A) B) C)
D) E)
17. Determinar el rango de :
F(x) =
A) B) C)
D) E)
18. Hallar el rango de la función :
G(x) =
A) B) C)D) E)
19. Si , determinar el rango de la función F
definida por la regla :F(x) =
A) B) C)D) E)
20. Determinar el rango de F:
F(x) =
A) B) C)D) E)
TAREA
01. Calcular la suma de los “n” primeros términos de lasiguiente serie:
S =
A) B) C)
D) E)
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 109/171
02. Sabiendo que , calcular :
A) B) C)
D) E)
03. Calcular :
R =
A) B) C)
D) E)
04. Determinar si es verdadero (V) o falso (F):
( ) Si F(x) = RanF =[-1; 1]( ) Si G(x) = SenxCosx RanG =
( ) Si H(x) = Senx - Cosx RanH =
A) VVV B) VVF C) FFVD) FVF E) VFV
05. Si H(x) = ,determinar su dominio. ( k Æ )
A) B)
C) D)
E)
06. Determinar el dominio de :
G(x) = ; k Æ
A) B)
C) D)
E)
07. Si G(x) = ,determinar el rango de G.
A) [ -1; + B) [ -2; + C) [ 2; + D) [1; + E) [ -1; 2
08. Hallar el rango de G :
G(x) =
A) [ 0; 2 B) 0 ;2 C) [ 0 ;2 ]D) [ -1; 2 ] E) 0 ;2 ]
09. Determinar el rango :
G(x) =
A) -; 0 B) 0 ; + C) [ 0 ; + D) -1; 0 E) - ; 0 ]
10. Si x , determinar el rango de la
función : F(x) =
A) [ -1; + B) - ; 1 ] C) [ 1; + D) - ; -1 E) [ -1; 1
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE VARIABLE REAL
GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 110/171
Es el conjunto de todos los puntos (x; y) ubicados en el plano cartesiano tal que : y = F.T(x)
Ejemplo : Graficar : y = Senx
Realizamos una tabulación :
X 0 1 ð .......
Y 0 Sen1 1 0 .......
Ubicamos en el plano cartesiano los pares ordenados y se obtiene :
En general :1) y = Senx
De la gráfica se obtiene : Dominio : DomF = Rango : RanF = [-1; 1] Curva : Senoide ; si P(xo; yo) y = Sen x yo = Sen xo Función impar : Sen(-x) = -Sen x Periodo : T = 2ð
2) y = Cosx
De la gráfica se obtiene : Dominio : DomF = Rango : RanF = [-1; 1] Curva : Cosenoide ; si P(xo; yo) y = Cosx yo = Cosxo Función par : Cos(-x) = Cosx Periodo : T = 2ð
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 111/171
3) y = Tgx
De la gráfica se obtiene :
Dominio : DomF = - (2n + 1) / n Z
Rango : RanF = Curva : Tangentoide ; si P(xo; yo) y = Tgx yo = Tgxo Función impar : Tg(-x) = -Tgx Periodo : T = ð
Asíntotas : x = (2n + 1) / n Z
4) y = Ctgx
De la gráfica se obtiene : Dominio : DomF = - nð / n Z Rango : RanF = Curva : Cotangentoide; si P(xo; yo) y = Ctgx yo = Ctgxo Función impar : Ctg(-x) = -Ctgx Periodo : T = ð Asíntotas : x = nð / n Z
5) y = Secx
De la gráfica se obtiene :
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 112/171
Dominio : DomF = - (2n + 1) / n Z
Rango : RanF = ] -; -1 ] [ 1; + [ Curva : Secantoide ; si P(xo; yo) y = Secx yo = Secxo Función par : Sec(-x) = Secx Periodo: T = 2ð
Asíntotas : x = (2n + 1) / n Z
6) y = Cscx
De la gráfica se obtiene : Dominio : DomF = - nð / n Z Rango : RanF = ]-; -1] [1; +[ Curva : Cosecantoide ; si P(xo; yo) y = Cscx yo = Cscxo Función impar : Csc(-x) = -Cscx Periodo: T = 2ð Asíntotas : x = nð / n Z
PROBLEMAS PROPUESTOS
01. En la figura adjunta calcular
A) 6ð B) 4ð C) 5,5ðD) 8,5ð E) 7ð
02. El punto pertenece a la gráfica de la
función y = Cosx. Calcular n
A) 1/2 B) 3/2 C) 5/2D) 3/4 E) 4/3
03. Calcular el área de la región limitada por la rectay + 1 = 0 y la curva cuya ecuación es y = Cos x, six [0 ; 2ð].
A) 2ð B) ð C) 3ðD) 4ð E) 1,5ð
04. Si H(x) = Senx - Cosx , hallar las coordenadas de lospuntos de intersección de H con el eje X ,sabiendoque x 0 ; 2ð .
A) B)
C) D)
E)
05. Graficar :
F(x) =
A)
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 113/171
B)
C)
D)
E)
06.Graficar :
F(x) =
A)
B)
C)
D)
E)
07. De la figura calcular el área del triángulo MNP
A) 2ð B) ð C) ð/2D) ð/4 E) 2,5ð
08. Con centro en el origen de coordenadas se dibuja una
circunferencia de radio / 4 que interseca a lagráfica de la función y = Tgx en A y B. Calcular laraíz cuadrada del producto de abscisas y ordenadasde dichos puntos.
A) B) C)
D) E)
09. Si es el punto de intersección de las gráficas
de las funciones F(x) = Senx y G(x) = Ctgx en
0 ; ð ,calcular A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5
10. En cuál de los siguientes intervalos la funcióny = Senx decrece.
A) B) C)
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 114/171
D) E)
11. Sea F la función definida por F(x) = Ctgx + Cosx,
hallar el rango de F en .
A) B)
C) D)
E)
12. En la figura adjunta la ordenada del baricentro del
triángulo FGH es . Calcular su abscisa.
A) B) C)
D) E)
13. De las funciones que se indican cuál no es par: A) B)C) D)E)
14. En la figura adjunta las coordenadas de P y F son
respectivamente. Hallar las
coordenadas de Q y G.
A)
B)
C)
D)
E)
15. Si la longitud de la curva cuya ecuación esy = Senx en [ 0 ; 2ð ] es L ,calcular el perímetro de laregión limitada por las curvas y = Senx e y = Cosx
en .
A) L B) 2L C) 3L
D) E)
16. Respecto a la función y = Tgx podemos afirmar que :
A) Es creciente en todo su dominioB) Es decreciente en
C) Es continua sólo en
D) Tiene asíntotas para todo x =
E) Su periodo mínimo es 2ð
17. Al intersecar las gráficas de y = Cscx e y = Secxen se obtienen dos puntos A y B. Hallar lasuma de abscisas y ordenadas de dichos puntos.
A) B) C)
D) E)
18. Sean los periodos de las funciones
y= Senx, y = Tgx, y = Secx ,respectivamente. Calcular:
A) 1 B) -1 C) 2D) -2 E) 0
19. Graficar : F(x) =
A) B)
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 115/171
C) D)
E)
20. Calcular la suma del mínimo valor de F y el máximovalor de G.
F(x) =
G(x) =
A) 0 B) 1 C) -1D) 2 E) -2
TAREA
01. De los puntos que se indican cuál no pertenece a lasinusoide : y = Senx
A) B) C)
D) E)
02. En cuántos puntos intersecta la curva y=Senx
al eje X , x
A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5
03. Graficar G(x) =
A) B)
C) D)
E)
04. Los puntos:
pertenecen a la tangentoide y = Tgx . Calcular
:
A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5
05. En cuál de los siguientes intervalos la funcióny = Tgx decrece.
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 116/171
A) B) C)
D) E) Ninguno
06. Hallar el número de puntos de intersección de las
gráficas de las funciones y = e y = Senx. A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 4
07. Hallar las abscisas de los puntos de intersección delas funciones y = Senx e y = Cscx.
A) B)
C) D)
E)
08. Determinar el número de asíntotas que presenta la
gráfica de la función y = Ctgx , si
A) 3 B) 4 C) 5D) 6 E) 7
09. Si determinar el valor de verdad de
cada una de las siguientes proposiciones :( ) La función y = Tgx es creciente
( ) La función y = Ctgx es continua( ) La función y = Senx es decreciente
A) VVV B) FFF C) FFVD) FVV E) VFV
10. Si el punto se obtiene de la intersección de lasfunciones y = Tgx e y = Ctgx en ,calcular :
A) B) C) 0
D) 2 E)
FUNCIÓN PERIÓDICA - CÁLCULO DE PERIODOSGRÁFICAS GENERALES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
1. FUNCIÓN PERIÓDICA
Si F(x) es una función periódica existe T 0 que cumplacon:
F(x+T)=F(x)/x + T DF
Al menor valor positivo de T se le denomina periodo
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 117/171
mínimo o simplemente periodoEjemplos: Hallar el periodo de las siguientes funciones :
i) F(x) = Sen2x ii) F(x)=Cos(Cosx)
Resolución:i) F(x+T) = F(x) Sen(2x+2T) = Sen2x
Sen(2x + 2T) - Sen2x = 0 2CosxSenT = 0 SenT = 0 T = ð, 2ð, 3ð, .........
Periodo mínimo : T = ð
i i) F(x + T) = F(x) Cos(Cos(x+T)) = Cos(Cosx) Aplicando el criterio de reducción al primer cuadrante;se reemplaza T por los ángulos cuadrantales :
T = , ð , , 2ð, .......
si T = Cos Cos(Cosx)
si T = ð Cos(Cos(ð + x) = Cos(Cosx)
si T = Cos Cos(Cosx)
Si T = 2ð Cos(Cos(2ð+x)=Cos(Cosx)
T = ð, 2ð, 3ð, .... Periodo mínimo T = ð
2. CÁLCULO DE PERIODOS DE FUNCIONESTRIGONOMÉTRICAS Sea la función : F(x) = AF.T.n(Bx+C) + D paracalcular su periodo intervienen las constantes n y Bi) Si F.T. : Sen, Cos, Sec, Csc
para n impar:
para n par :
Ejem:
* F(x) = 2Sen34x T =
* F(x) = 3Cos4 = 5ð
* F(x) = 4Sec5 = 3ð
* F(x) = 2Csc6
i i) Si F.T. : Tg, Ctg
para n par o impar :
Ejem :
* F(x) = 2Tg34x
* F(x) = 3Tg4 =
* F(x) = Ctg5 = 3ð
Si : F(x) = A| F.T.(Bx)| para todo F.T.
GRÁFICAS ESPECIALES :
1. i) F(x) = ASenBx (A > 0)
ii) F(x) = ACosBx (A > 0)
2. i) F(x)=A|SenBx| (A > 0)
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 118/171
ii) F(x)=A|CosBx| (A > 0)
NOTA:i) y = -Senx
ii) y = -Cosx
3. Desplazamiento Horizontal (D.H.)
F(x) = Asen(Bx + C) D.H. = -
NOTA:* F(x)=AF.T.(Bx+C)
La constante C no altera el periodo
* F(x) = AF.T(Bx) + DLa constante D no altera el periodo
Ejem : Graficar F(x) = 3Sen(2x - )
D.H : = (Desplaz. a la derecha)
i) Graficamos : F(x) = 3Sen2x
ii) Con desplazamiento
NOTA:
* Si F(x) = Sen|x|No tiene periodo
* Si F(x) =Cos|x| = CosxPeriodo : 2ð
* Si F(x) = Tg|x|No tiene periodo
4. Desplazamiento Vertical
F(x) = ASenBx + D D.V. = D
Ejemplo: Graficar
i. F(x) = -Cosx + 1 = Versx
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 119/171
NOTA:
Grafica de F(x) = Covx
5. Gráficas Generalizadas
i. F(x) = ASen(Bx + C) + D, (A > 0)
ii) F(x) = ACos(Bx + C) + D
Donde :
i) Amplitud : A =
siendo : Fmax = A + D Fmin = A - D
ii) Periodo :
iii) Desplazamiento horizontal :iv) Desplazamiento vertical : D = Fmáx-A
PROBLEMAS PROPUESTOS
01. Calcular la suma de los periodos de las siguientesfunciones :F(x) = Sen5x ; G(x) = y H(x) = .
A) B) C)
D) E)
02. Calcular el periodo de :F(x) =
A) B) C)
D) E)
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 120/171
03. Si F(x) = y G(x) = ,n y k ,calcular el periodo de F , si el periodo de G es alperiodo de F como 3 es a 4 y el periodo de la suma
es .
A) B) C)
D) E)
04. Si el periodo mínimo de F(x) = Senkx + Coskx, k>0
es , calcular el periodo de G(x) = SenkxCoskx
A) B) C)
D) E)
05. En la figura adjunta se muestra la gráfica de unafunción senoidal . Determinar su periodo.
A) B) C)
D) E)
06. Calcular el periodo de :
G(x) =
A) B) C)
D) E)
07. Dada la función: F(x) = , determinar si esverdadero (V) o falso (F)
( ) El periodo mínimo de F es 8ð
( ) es un elemento de F
( ) La amplitud de F es -4 A) VVV B) VVF C) VFFD) VFV E) FFF
08. Hallar la ecuación de la sinusoide mostrada
A) F(x) =
B) F(x) =
C) F(x) =
D) F(x) =
E) F(x) =
09. En la figura adjunta se muestra la gráfica de lafunción F cuya regla de correspondencia es :
F(x) =
Determinar las coordenadas de cada uno de lospuntos que se indican, marcar lo incorrecto.
A) F B) G
C) J D) H
E) E
10. En la figura adjunta las coordenadas de A y B son
respectivamente .Hallar la
ecuación de la sinusoide mostrada.
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 121/171
A) F(x) =
B) F(x) =
C) F(x) =
D) F(x) =
E) F(x) =
11. Graficar F(x)=
A)
B)
C)
D)
E)
12. Hallar el periodo de :G(x) =
A) 2ð B) ð C) 4ð
D) E)
13. Graficar :
A)
B)
C)
D)
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 122/171
E)
14. Dada la función , sabiendoque su amplitud es 10, su periodo es 4ð y F(0)= -6,calcular el menor valor que puede tomar A.
A) -8 B) -6 C) -4D) 6 E) 8
15. Calcular el periodo de :
A) 12ð B) 15ð C) 25ðD) 60ð E) 120ð
16. Si F es la función definida por ,
determinar si es verdadero ( V ) o falso ( F )
( ) El periodo de F es
( ) La función F es decreciente en
( ) La función F es creciente en
A) VVF B) VVV C) VFFD) FVV E) FVF
17. En cuántos puntos intercepta al eje X la gráfica de lafunción f definida por :
A) 2 B) 3 C) 4D) 1 E) 6
18. Calcular E = Sen3x + Cos4x , si x y
es un punto que pertenece a la función
F(x) = Cosx
A) 0,5 B) 1 C) 1,5D) 2 E) 2,5
19. Si el periodo de F es 3, calcular su máximo valor.
A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6
20. Dada la función y = ATgkx, k > 0 , calcular A+k, si
un punto de la curva es y su periodo
es
A) 5,5 B) 6 C) 6,5D) 7 E) 7,5
TAREA
01. De las funciones que se indican determinar cuál tieneel mayor periodo.
A) B)
C) D)
E)
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 123/171
02. Calcular el periodo de :
A) B) C)
D) E)
03. Determinar el periodo de la función senoidal cuyagráfica es :
A) B) C)
D) E)
04. Calcular el periodo de :
A) 0,5 B) 1 C) 1,5D) 2 E) 2,5
05. Calcular el periodo mínimo de G
A) ð B) 2ð C) 3ðD) E)
06. Calcular el periodo de :
A) 2ð B) 4ð C) 6ðD) 12ð E) 24ð
07. Si F es una función definida en
calcular :
A) B) C)
D) E)
08. En el gráfico adjunto .Calcular : ab
A) 1 B) 0,75 C) 0,5D) 0,25 E) 0,125
09. La ecuación de la curva adjunta es
Calcular : (A -k - 3B)h
A) 2ð B) 4ð C) 3ðD) -4ð E) -2ð
10. El punto es un elemento de la función :
y = ACtgBx , B > 0, las rectas definidas por la
ecuación 4x-ð = 0 son las asíntotas más cercanasal eje Y. Calcular : AB
A) 8 B) 6 C) 4D) 2 E) 1
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 124/171
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS I
1. NOCIONES PRELIMINARES
1.1. Función Inyectiva
Una función F es inyectiva o univalente si y solosi para todo x1, x2 DF se cumple que:F(x1) = F(x2) x1 = x2
Interpretación Geométrica: Una función F esinyectiva si cualquier recta horizontal corta a lagráfica de F a lo más en un punto.
De las figuras mostradas se deduce que F esinyectiva. G no es inyectiva en todo su dominio; paraque G sea inyectiva se debe redefinir la función, esdecir, se restringe el dominio, por ejemplo si seescoge el dominio de G : <-;h] entonces G esinyectiva, también se puede elegir como dominio[h;+
>
1.2. Función Inversa
Dada la función F = {(x; y) / y = F(x); x DF}Si F es inyectiva entonces F tiene inversa y serepresenta por F* o F-1 y se define por:
F-1 = {(y; x) / y = F(x), x DF}
También se puede escribir así:F-1 = {(y; x) / x = F -1 (y), y RF}
La gráfica de F-1 se obtiene reflejando la gráfica de F através de la recta y = x
Se deduce que:
= RF = DF
2. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
Como las funciones trigonométricas son periódicas,entonces no son inyectivas por lo tanto no tienen inversaen todo su dominio.
Para que existan las inversas de dichas funciones, sedebe restringir el dominio de modo que sean inyectivas.
Las restricciones para las Funciones Trigonométricasson:
Función(F)
Dominio (F) Rango (F)
y = Senx
y = Cosx
y = Tgx
y = Ctgx
y = Secx
y = Cscx
[0; ð]
< 0; ð >
[-1; 1]
[-1; 1]
<-; >
<-; >
<-; -1] [1; >
<-; -1] [1; >
2.1. FUNCIÓN SENO INVERSO O ARCO SENO
y = ArcSenx Dominio: [-1;1]
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 125/171
2.2. FUNCIÓN COSENO INVERSO O ARCOCOSENO
y = ArcCosx Dominio: [-1;1]
2.3. FUNCIÓN TANGENTE INVERSO O ARCOTANGENTE
y = ArcTgx Dominio:
2.4. FUNCIÓN COTANGENTE INVERSO O ARCOCOTANGENTE
y = ArcCtgx Dominio:
2.5. FUNCIÓN SECANTE INVERSA O ARCOSECANTE
y = ArcSecx Dominio: <-;-1] [1; >
2.6. FUNCIÓN COSECANTE INVERSA O ARCOCOSECANTE
y = ArcCscx Dominio: <-;-1] [1; >
3. PROPIEDADES3.1
Sen (ArcSenx) = x , si : x [-1; 1]Cos (ArcCosx) = x , si : x [-1; 1]Tg (ArcTgx) = x , si : x Ctg (ArcCtgx) = x , si : x Sec (ArcSecx) = x , si : x - <-1; 1>Csc (ArcCscx) = x , si : x - <-1; 1>
Ejemplos:
a) Sen , [-1; 1]
b) Cos , - [-1; 1]
c) Tg(ArcTg4) = 4 , 4
d) Sec(ArcSec2 ) = 2 , 2 - <-1; 1>e) Csc , ¡tenga cuidado de hacer
esto!
pues: - <-1; 1> Csc
f) Sen (ArcSenb) = b , siempre que: b [-1; 1]
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 126/171
3.2
ArcSen(Senx) = x , si : x
ArcCos(Cosx) = x , si : x [0; ð]
ArcTg(Tgx) = x , si : x
ArcCtg(Ctgx) = x , si : x < 0; ð >
ArcSec(Secx) = x , si : x [0; ð] -
ArcCsc(Cscx) = x , si : x - {0}
Ejemplos:
a) ArcSen = ,
b) ArcCos , [0; ð]
c) ArcTg ,
d) ArcSec ,
e) ArcSec , pues:
Para aplicar la propiedad es necesario hacer unprevio cambio:
Sabemos que :
Luego: ArcSec
f) Arc Sen
hacemos un cambio:
ArcSen
g) ArcCos (Cosp) = p , siempre que : p [0; ð]
3.3
ArcSen(-x) = -ArcSenx , si : x [-1; 1] ArcCos(-x) = ð - ArcCosx , si : x [-1; 1] ArcTg(-x) = -ArcTgx ,
si : x
ArcCtg(-x) = ð - ArcCtgx ,
si : x ArcSec(-x) = ð - ArcSecx ,
si : x - <-1; 1> ArcCsc(-x) = -ArcCscx , si : x - <-1; 1>
Ejemplos:
a)
b)
c)
d)
e)
3.4
ArcSen(x) = ArcCsc , si : x [-1; 1] - {0}
ArcCos(x) = ArcSec , si : x [-1; 1] - {0}
ArcTg(x) = ArcCtg , si : x < 0; >
ArcTg(x) = - ð + ArcCtg , si : x < -; 0 >
ArcCtg(x) = ArcTg , si : x < 0; >
ArcCtg(x) = ð + ArcTg , si : x < -; 0 >
ArcSec(x) = ArcCos , si : x - < -1; 1
>
ArcCsc(x) = ArcCsc , si : x - < -1; 1
>
Ejemplos:
a)
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 127/171
b)
c)
3.5
ArcSenx + ArcCosx = , x [-1; 1]
ArcTgx + ArcCtgx = , x
ArcSecx + ArcCscx = , x - <-1; 1>
Ejemplos:
a)
b)
3.6
Donde:Si : ab < 1 k = 0Si : ab > 1 y a > 0 b > 0 k = 1Si : ab > 1 y a < 0 b < 0 k = -1
Ejemplos:
a) è =
a b
Como : ab =
b) á = ArcTg2 + ArcTg4 a b
Como:
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 128/171
PROBLEMAS PROPUESTOS
01. Marcar lo correcto :
A)
B)
C)
D)
E)
02. Si y , calcular
la diferencia del máximo valor de F y el mínimovalor de G .
A) B) C)
D) E)
03. Si ,
determinar el signo en cada caso :U =N =I =
A) + , - , - B) - , - , + C) - , - , -D) + , + , + E) + , + , -
04. Calcular
A) B) C)
D) E)
05. Si Sen è = 0,1 , Cos è < 0 y 0 < è < 2ð, entonces
podemos afirmar que :I. è = ArcSen(0,1)II. è = ð - ArcSen(0,1)
III. è = + ArcCos(0,1)
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo IIID) II y III E) I y III
06. Calcular la suma de todos los valores enteros e
impares que puede tomar k,si :
A) 8 B) 9 C) 10
D) 12 E) 14
07. Si ,
calcular : Cos( á + è )
A) B) C)
D) E)
08. Hallar el valor de k.
A) B) C)
D) E)
09. Sabiendo que k Z, calcular la suma de todos losvalores que puede tomar k.
A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6
10. Calcular : n
A) B) C)
D) E)
11. Calcular :
A) B) C)
D) E)
12. Determinar si es verdadero (V) o falso (F) :
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 129/171
( )
( )
( )
A) VVV B) VVF C) FFFD) FFV E) VFV
13. Calcular :
A) B) C)
D) E)
14. Determinar el dominio de F.
A) [ 0 ; 4 ] B) [ 0 ; 6 ] C) [ -2 ; 5 ]D) [ -1 ; 1 ] E) [ -1 ; 3 ]
15. Si
determinar el conjunto de valores que puede tomar x.
A) B) C)
D) E)
16. Simplificar :
A) B) C)
D) E)
17. Calcular:
A) B) C)
D) E)
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 130/171
18. Calcular el valor de k :
A) 0 B) 1 C) -1D) 0.5 E) -0,5
19. Sabiendo que :
, ¿cuál de las siguientes
igualdades es correcta ?
A) á + â = è B) á - â = è C) á = â = èD) á = â + è E) á = â - è
20. Marcar lo correcto :
A)
B)
C)
D)
E)
TAREA
01. Calcular : á + â + è
A) B) C)
D) E)
02. Calcular :
A) 16 B) 12 C) -8D) -26 E) 10
03. Determinar el conjunto de valores enteros que puede
tomar n si . Dar como respuesta
la suma de dichos valores.
A) 14 B) 13 C) 12D) 10 E) 9
04. Calcular :
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 131/171
+
A) -3 B) -2 C) -1
D) 0 E) 1
05. Calcular el valor de k : ArcCtg3 + ArcTg2 = ArcCtgk
A) B) C)
D) E)
06. Calcular Csc(á + â), sabiendo que :á = ArcTg(-1/4)â = ArcCtg(-1/3)
A) B) C)
D) E)
07. Si , ¿cuál de los siguientes valores
no puede tomar á?
A) B) C)
D) E)
08. Si Cos è = 0,25 y , calcular è
A)
B)
C)
D)
E)
09. Sabiendo que ,
calcular : è (7) + è (13)
A) B) C)
D) E)
10. Determinar el conjunto de valores que puede tomarx.
A) B) C)
D) E)
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSASGRÁFICAS GENERALES
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 132/171
Análisis de las gráficas de funciones de la forma : y = A ArcSenB(x - h) + k ; y = A ArcCosB(x - h) + k
dominio : (B > 0)
y = ArcSen2x
y = ArcCos
y = A ArcSenx ........... Rango : ; A 0
y = A ArcCosx ........... Rango : [0; Að]; A > 0 o [Að; 0], A < 0
Si : A < 0 la gráfica se obtiene haciendo una reflexión respecto al eje X de la función básica
y = 2ArcSenx y = -2ArcSenx
y = 2ArcCosx y = -2ArcCosx
Traslación Verticaly = ArcSenx + k ; y = ArcCosx + kLa gráfica de la función básica se desplaza k unidades hacia arriba si k > 0 y k unidades hacia abajo si k < 0
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 133/171
y = ArcSenx + y = ArcCosx -
Traslación Horizontal
y = ArcSen(x - h) ; y = ArcCos(x - h)
La gráfica de la función básica se traslada h unidades a la derecha si h > 0 y h unidades a la izquierda si h < 0
y = ArcSen(x + 2) y = ArcCos(x - 3)
Forma General: y = A ArcSenB(x - h) + k
()
()
()
A > 0 si la función es creciente A < 0 si la función es decreciente
Ejemplo : Determinar la ecuación de F
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 134/171
Partimos de : y=A ArcSenB(x-h)+k
() ;
()
()
Como F es decreciente : A = -2() Finalmente la ecuación es :
y = -2ArcSen (x - 1) +
PROBLEMAS PROPUESTOS
En los siguientes dos problemas se obtienen dos
cantidades una en la columna R y otra en la columna S.Tiene que determinar la relación entre ambas
01. El dominio de la función F definida por :F(x) = ArcSen(2x + 3) es [a; b]
R S
|b - a| ab
A) La cantidad en R es mayor que la cantidad en SB) La cantidad en S es mayor que la cantidad en RC) Ambas cantidades son igualesD) Falta informaciónE) Las cantidades no se pueden comparar
02. Hallar Fmáx en la función definida por F :
R S
F(x) = ArcSenx F(x) = ArcCosx
A) La cantidad en R es mayor que la cantidad en SB) La cantidad en S es mayor que la cantidad en RC) Ambas cantidades son igualesD) Falta informaciónE) Las cantidades no se pueden comparar
03. Determinar si es verdadero (V) o falso (F) :
( ) Si á = ArcSen(-1/2) y â = ArcCos(- /2)entonces: á + â = 2ð/3
( ) Si F es una función definida por F(x) = ArcSen|x|entonces F es una función par
( ) Si x [-1; 1] entonces : ArcSenx + ArcCosx = ð/2 A) VVV B) VVF C) VFVD) FVV E) FFV
04. Los puntos (1; m) y (-3; n) pertenecen a la función F
cuya regla de correspondencia es: y = 2ArcCos
Calcular :
A) 2ð/3 B) ð/3 C) ð/6D) 5ð/6 E) 5ð/12
05. Si H(x) = 3ArcSen(4x - 3) + , determinar el
dominio de G, si G(x) = H
A) [-2; 1] B) [-1/2; 3/2] C) [-1; 0]
D) [-2; 0] E) [-3/2; 1/2]
06. Calcular el rango de :
G(x)=ArcSen +ArcCos +ArcTg
A) B) <0; ð> -
C) <0; ð> D) ; - {0}
E) <ð; 2ð>07. Determinar el rango de la función F :
F(x) = 4ArcSen - 3ArcCos
A) [-4ð; 0] B) [-2ð; 0] C) [-ð; ð]D) [-2ð; 2ð] E) [-2ð; ð]
08. Determinar el rango de F si :
F= (x; y)/y = ArcTg ; x <-2; 3>
A) B) C)
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 135/171
D) E)
09. Si : G(x- ) = 3ArcCtg( x - 1) +
calcular el rango de G(x)
A) B) C)
D) E)
10. Determinar si es verdadero (V) o falso (F) :
( ) La función y = ArcSen es inyectiva x
( ) x [-1; 1 ] la función y = ArcCos es
decreciente( ) ! x / ArcCosx = |x|
A) FVV B) VFF C) VVV
D) FVF E) FFF11. En la figura adjunta se muestran 3 funciones, F(x);
G(x); H(x). ¿Qué relación hay entre ellas?
A) F(x) + G(x) = H(x) B) F(x) + H(x) = G(x)
C) G(x) + H(x)= F(x) D) G(x)H(x) = F(x)E) H(x)F(x) = G(x)
12. Hallar las coordenadas de P, si F(x) = mArcSen(nx)
A) B)
C) D)
E)
13. Hallar la ecuación de F(x)
A) y = -
B) y = -
C) y = -
D) y =
E) y = -
14. En la figura adjunta F(x)=ArcSen(x - 1) + , el
perímetro de la región sombreada es L. Calcular elperímetro de la región determinada por los puntos A,B y C
A) L - 2ð B) L - ð - 2 C) L + ð - 2
D) L - ð - 1 E) L + ð - 1
15. Si G(x) = ð + ArcCos(x), graficar G(-x)
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 136/171
16. Calcular la suma de las ordenadas de P y Q, si: F(x) = ArcTgx
A) ð/7 B) 2ð/7 C) ð/4D) ð/12 E) ð/3
17. Si F es una función cuya regla de correspondenciaes: F(x) = 2ArcTgx, determinar si es verdadero (V) ofalso (F):( ) La gráfica de la función F intersepta al eje X en un
punto( ) La gráfica de la función F intersepta al eje Y en un
punto( ) F(-1) < F(1)
A) FFV B) FVV C) VFVD) VVF E) VVV
18. En el siguiente problema se ofrecen 2 datos pararesolverlo. Identifique qué datos son necesarios pararesolver el problema.Hallar el rango de la función F definida por F(x)=kArcSen(nx)I. n = 5
II. k =
A) El dato I es suficiente y el dato II no lo esB) El dato II es suficiente y el dato I no lo esC) Es necesario utilizar I y II conjuntamenteD) Cada uno de los datos por separado es suficienteE) Se necesitan más datos
19. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos
donde la función G tiene su máximo y mínimo valor G(x) = 3ArcCos(x - 2) +
A) 3ðx + 2y - 5ð = 0B) 4ðx + 6y - 17ð = 0C) 2ðx - 3y - 9ð = 0D) 6ðx + 4y - 19ð = 0E) 4ðx - 6y - 21ð = 0
20. Calcular el área del triángulo formado por los puntosF, O, G
A) B) C)
D) E)
TAREA
01. Si F y G son funciones definidas por :
F(x) = y G(x) =
calcular : F + G
es igual a : A) 4 B) 6 C) 8D) 9 E) 10
02. Si x <-1; 1> entonces el rango de la función F
definida por F(x) = ArcCos(|x| - 1) es :
A) [0; 1] B) C)
D) E) [-1; 1]
03. Si G(x) = mArcSen(nx+p) + q
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 137/171
qué datos se necesitan para hallar el dominio de lafunción
A) m y q B) m y n C) n y pD) n y q E) m y p
04. Sabiendo que H(x) = ArcSen(x), graficar H(x + 2)
05. Determinar la ecuación de la curva :
A) y = - ArcSen
B) y = 2ð - 4ArcSen
C) y = ð - 2ArcSen
D) y = 2ð - 4ArcCos3xE) y = 2ð - 4ArcCos6x
06. Sabiendo que :
calcular :
A) 2-1 B) 2-2 C) 2D) 22 E) 1
07. Determinar el rango de :G(x) = 3ArcTgx - kArcCtgx
sabiendo que G(1) =
A) 1 B) 2 C) -1D) -2 E) 1/4
08. Calcular el área de la región sombreada
A) 2ð B) 3ð C) 4ðD) 6ð E) 10ð
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 138/171
09. Hallar la ecuación de la curva :
A) y = 3ArcSen + 2ð
B) y = 3ArcSen(2x - 1) + 2ð
C) y = 3ArcSen + ð
D) y = 3ArcSen(x - 2) + 2ðE) y = 3ArcSen(x - 2) + ð
10. La ecuación de la curva la adjunta es: y = mArcSen(nx+p)+q
calcular :
A) 2 B) 4 C) 1/2ðD) 1/2 E) -1/ð
LÍMITES Y DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
1. CONCEPTO DE LÍMITE
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 139/171
Dada una función y = F(x), el límite de F(x) cuando x se aproxima o tiende a un valor h, es el valor hacia donde seaproxima la función.
Por ejemplo sea F(x) = x2 + 3 cuando x tiende a 2 (observa el cuadro adjunto) F(x) tiende a 7
x tiende a 2 por la izquierda x tiende a 2 por la derecha
x 196 197 198 199 2 201 202 203 204
F(x) 68416 68809 69204 69601 7 70401 70804 71209 71616
F(x) tiende a 7 F(x) tiende a 7
1.1 Notación
F(x) = L ................ “El límite de F(x) cuando x tiende a h, es igual a L”
F(x) = L1 .............. “El límite de F(x) cuando x tiende a h, por la derecha es igual a L 1”
F(x) = L2 ................ “El límite de F(x) cuando x tiende a h, por la izquierda es igual a L2”
1.2 Teorema
El límite de una función F(x) cuando x h, existe si y solo si los límites laterales son iguales, es decir, si :
F(x) = F(x) = L
Entonces : F(x) = L
Ejemplo : Calcular : a) Senx b)
Solución:
A. Senx =
B.
1.3 Teorema de Intercalación (Teorema de emparedado)
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 140/171
Sean F(x), G(x), H(x) funciones que satisfacen :F(x) G(h) H(x) para toda x muy próxima a h (conla posible excepción de h).
Si F(x) = H(x) = L
entonces : G(x) = L
Ejemplo : Calcular x2Sen
Solución :
() Sabemos que : -1 Sen 1 ............... (x 0)
() Entonces :
Observa :Explicando el teorema anterior se deduce :
x2Sen = 0
1.4 Límites de Funciones Trigonométricas
Demostración de :
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 141/171
() Observa que : MP = Senx ; AQ = Tgxademás el arco AP = x
() Se deduce del gráfico que :MP AP AQSenx x Tgx
() Se divide a toda la expresión por Senx, obteniendo:1 invirtiendo
() Calculando el límite : 1 = 1, (Cosx) = Cos0 = 1
entonces :
1.5 Límites de Funciones Trigonométricas Inversas
Ejemplos :
A. = = 6 = 6(1) = 6
B. = = .
C. = = 1
D. = =
E. Observa que cuando x 2+ +
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 142/171
2. DEFINICIÓN DE DERIVADA
La derivada de una función y = F(x) que se denota : F'(x); es :
F'(x) = , si este límite existe
2.1 Observaciones
() La derivada de una función y = F(x) también se representa así :
y' ; F'(x) ; ; Dxy ;
() Si una función se deriva más de una vez, se les denomina derivada de orden superior
Segunda derivada : y" ; F"(x) ; ; ;
Tercera derivada : y"' ; F"'(x) ; ; ;
y así sucesivamente
() Otra manera de expresar la definición de derivada es :
F'(x) =
Ejemplo : Calcular la derivada de : F(x) = Senx
Solución : F'(x) =
F'(x) = =
= +
Conclusión : Si F(x) = Senx F'(x) = Cosx
() La derivada de una función y = F(x) en x = a; se puede interpretar como la pendiente de la recta tangente a lacurva en dicho punto.
Observa en la figura adjunta que lapendiente de L es:
m = Tgè =
Cuando h es muy pequeño (tiende a cero)el punto Q esta muy próximo a P, por lotanto la recta L es tangente a la curva en P.
Conclusión : Dada una función y = F(x) la derivada de F(x) en x = a es la pendiente de la recta tangente a la curvade F(x) en x = a
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 143/171
Ejemplo : Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de F(x) = 2x3 + 4x2 - 5x - 3, en un punto de la curvacuya abscisa es 1.
Solución :
() Calculamos el punto de tangencia para x = 1F(1) = 2(1)3 + 4(1)2 - 5(1) - 3 F(1) = -2 ; el punto de tangencia es (1; -2)
() Calculamos la pendiente de la recta tangenteF(x) = 2x3 + 4x2 - 5x - 3 F'(x) = 6x2 + 8x - 5Para x = 1 F'(1) = 6(1)2 + 8(1) - 5 = 9 ......... (pendiente)
() Ecuación de la recta tangente :y - yo = m(x - xo) y - (-2) = 9(x - 1) 9x - y - 11 = 0
2.2 Derivadas de Funciones Trigonométricas
En el cuadro adjunto se muestran las derivadas de las funciones trigonométricas, se considera que u = G(x) dondeG es una función derivable y se restringe de tal manera que la función trigonométrica está definida.
Dx(Senu) = CosuDxu Dx(Ctgu) = -Csc2uDxu
Dx(Cosu) = -SenuDxu Dx(Secu) = SecuTguDxu
Dx(Tgu) = Sec2uDxu Dx(Cscu) = -CscuCtguDxu
Ejemplos : Calcular F'(x) en cada caso
A. F(x) = Sen6x .......... F'(x) = Cos6x F'(x) = 6Cos6x
B. F(x) = Cos(x2 + 4) .......... F'(x) = -Sen(x2 + 4) F'(x) = -2xSen(x2 + 4)
C. F(x) = Tg3(5x) .......... F'(x) = 3Tg25x Dx(Tg5x) = 3Tg25x
F’(x) = 15Tg25xSec25x
2.3 Cálculo de Límites Utilizando la Regla de L’ Hospital
Regla de L’ Hospital
Sea <a; b> un intervalo que contiene a “c” y sean F y G funciones definidas y derivables en<a; b> (excepto posiblemente en c). Si G'(x) 0 para x c y F(x) / G(x) tiene la formaindeterminada 0/0 o bien / entonces :
=
NOTA : La regla de L’Hospital también es válida para límites unilaterales y para límites al infinito :(x c+; x c-; x +; x -)
Ejemplos :
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 144/171
A. Calcular :
Solución :
() Observa que cuando x Tgx - y 1 + Secx -
entonces tenemos la forma indeterminada /
() Aplicando la regla de L’Hospital
= =
=
B. Calcular :
() Observa que cuando x 0 : Tgx - x 0 y x3 0entonces tenemos la forma indeterminada 0/0
() Aplicando la regla de L’Hospital
=
() Observa que cuando x 0 : Sec2x - 1 0 y x2 0nuevamente tenemos la forma indeterminada 0/0
() Volvemos a aplicar la regla de L’Hospital
= =
= =
PROBLEMAS PROPUESTOS
01. Calcular :
A) -1 B) -2 C) 0
D) 1 E) 2
02. Calcular : A) B) C)
D) -1 E) 0
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 145/171
03. Calcular :
A) B) C)
D) E) 1
04. Calcular :
A) Cosa B) Tga C) CtgaD) Seca E) Sena
05. Calcular :
A) B) C)
D) E)
06. Calcular :
A) B) C)
D) E)
07. Calcular :
A) 0 B) 1 C) -1D) 2 E) -2
08. Calcular :
A) 0 B) 1 C) 1/2D) -1/2 E) -1/4
09. Calcular:
A) 4/3 B) 8/3 C) 16/3D) 1/3 E) 2/3
10. El área de la región comprendida por la curvay = Sen x y el eje X en [0 ; 2ð] se calcula de lasiguiente manera :
Calcular : S
A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 6
11. Marcar lo incorrecto:
A)
B)
C)
D)
E)
12. Si F(x) = 1 + Senx + Cosxcalcular : F(x) + F‘(x) + F‘’(x) + F‘’‘(x)
A) 1 B) 2Senx C) 2CosxD) -2Senx E) -2Cosx
13. Si F(x) = Senx + 2Sen2x + 3Sen3x +...+nSennxcalcular : F’(0)
A) B)
C) D)
E)
14. Si ,calcular el valor de A;sabiendo que H‘(x) = ASen4x.
A) -8 B) -12 C) 10D) 16 E) -16
15. Si ,calcular M sabiendo que:
A) B) C)
D) E)
16. Si F(x) = SenxSen2xSen3xcalcular : F‘(ð/2)
A) 1 B) -1 C) 2D) -2 E) 0
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 146/171
17. Si , calcular : G‘’(x)
A) B) C)
D) E)
18. Si ,calcular : A + Bsabiendo que : F‘(x) = ACosx + BCos5x
A) 0 B) 10 C) -10D) 12 E) -12
19. Si G(x) = Senx(ASenx + BCosx)calcular la suma del mínimo valor de G(x) y la mitaddel máximo valor de G‘(x).
A) A/2 B) -A/2 C) B/2D) - B/2 E) 0
20. Si , calcular : F‘(x)
A)
B)
C)
D)
E)
TAREA
01. Calcular :
A) 8 B) 6 C) 4,25D) 4,5 E) 4,8
02. Calcular ::;
A) 1 B) -1 C) 0
D) E)
03. Calcular :
A) B) C)
D) E)
04. Calcular :
A) -Tga B) -Ctga C) TgaD) Ctga E) 1
05. Calcular:
A) -1/2 B) 1/2 C) 1/4D) -1/4 E) 1
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 147/171
06. Calcular:
A) 1 B) -1 C) 0D) 2 E) -2
07. Si
calcular : H‘(x)
A) B) C)
D) E)
08. Si , calcular : G‘(x)
A) Sen4x B) -Sen4x C) Cos4xD) -Cos4x E) -Sen2x
09. Si F(x) = ASen2x + BCos3x , calcular : A + Bsabiendo que .
A) -10 B) -12 C) 8D) 10 E) 0
10. Sicalcular : H‘(x)
A ) B) C)
D) E)
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
DEFINICIÓNSon igualdades establecidas entre razonestrigonométricas, las cuales se verifican para ciertonúmero de valores de la variable o incógnita.En una ecuación trigonométrica la variable deberá estar en el ángulo o arco y resolver la ecuación consiste endeterminar los valores de dicha variable que verifican laigualdad, siendo estos valores las soluciones de laecuación.
Al conjunto de todas las soluciones de una ecuación se lellama conjunto solución o solución general de dicha
ecuación.
Si son ecuaciones trigonométricas
No son ecuaciones trigonométricas
ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA ELEMENTAL
Se llama así a aquella igualdad en la cual se conoce elvalor de una razón trigonométrica de una determinadavariable, es decir son igualdades de la forma :
R.T = (wx + è) = n
Ejemplo : Resolver la ecuación :
Resolución : Ubicamos en la C.T la igualdad
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 148/171
2x = 2kð + 2x = 2kð +
x = kð + x = kð +
C.S = {x/x kð + kð + ; k Z
Ejemplo : Resolver la ecuación :
Resolución : Ubicamos en la C.T la igualdad
2x + = 2kð + 2x + = 2kð -
x = kð + x = kð -
C.S = {x/x = kð + x = kð - , k Z}
EXPRESIONES GENERALES PARA EL ARCO
1. Para el seno o cosecante :
Si k ZSenè = a
Cscè = bè = kð +(-1)k (è)
2. Para el coseno o secante :
Si ZCosè = a
Secè = bè = 2kð ± (è)
3. Para la tangente o cotangente :
Si ZTgè = a
Ctgè = bè = kð + (è)
è es un arco que verifica la ecuación.
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 149/171
Ejemplos:
Determinar el conjunto solución o solución general encada caso.
A) Sen x =
C.S =
B) Cos 3x =
3x = 2kð ±
C.S =
C) Tg (4x - ) = 1
4x - = mð +
4x = mð +
C.S =
CASOS ESPECIALES
Ecuación Conjunto Solución(k Z)
Sen x = 1x = (4k + 1)
Sen x = 0 x = kð
Sen x = -1x = (4k - 1)
Cos x = 1 x = 2kð
Cos x = 0x = (2k + 1)
Cos x = -1 x = (2k + 1)ð
Tg x = 0 x = kð
Ctg x = 0x = (2k + 1)
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 150/171
PROBLEMAS PROPUESTOS
01. En las ecuaciones que se proponen, se indica unasolución, marcar lo incorrecto:
A) | Senx | = ; x =
B) Cos2x = ; x = -
C) Senx + Cosx = 1 ; x = 2ð
D) 2Sen = 1 ; x =
E) SenxTgxCtgx = 1 ;
02. Si G(x) = x + Sen2x , hallar el conjunto de valores dex < 0 ; 2ð > tal que: G (x) = 0. Dar como respuestala suma de dichos valores
A) 2ð B) ð C)3ð/2D) 4ð E) 5ð
03. Si una solución de la ecuación ACos2x - Senx = 1/2
es x = , hallar la mayor solución negativa de dicha
ecuación A) - ð/10 B) -3ð/10 C) -ð/5D) -2ð/5 E) -ð/8
04. Si el determinante de la matriz A es igual a 2, calcular è. (n Z)
A =
A) (2n + 1) B) C) (2n + 1)
D) E) (4n + 1)
05. Determinar las dos primeras soluciones positivas dela ecuación:
(1 + Senx)(1 + Cosx) =
A) B)
C) D)
E)
06. Calcular la suma de soluciones positivas y menoresde una vuelta de la ecuación:
2(1 + Senx + Cosx)(1 - Senx - Cosx) = 1 A) 900 ° B) 850 ° C) 725 °D) 675 ° E) 565 °
07. Resolver, n Z
A) B)
C) D)
E)
08. Determinar el número de elementos del conjunto:F = {x [0 ; 2ð]/ Cos2xSecx + Secx + 1 = 0}
A)1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5
09. Hallar todos los valores de k para que la ecuación:Senx(Senx + Cos(-x)) + k = 0 tenga solución
A)
B)
C)
D)
E)
10. Resolver: |Ctgx|Senx = ; n Z
A) nð + (-1)n B) 2nð ±
C) nð ± D) nð + (-1)n
E) 2nð ±
11. Si F(x) = , calcular la suma de todos los
valores de x < 0 ; 2ð > / F(x) = 3 + 2 A) ð B) 3ð/2 C) 2ð/3D) 5ð/6 E) 2ð
12. Si : 2Senx + 3Cosx = Cos(x - á)determinar el conjunto de valores que puede tomar á(n Z)
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 151/171
A) nð + ArcTg B) nð + ArcTg
C) 2nð + ArcTg D) 2nð + ArcTg
E) nð ± ArcTg
13. Resolver:
3 Cos + = -2, n Z
A) B)
C) D)
E)
14. Determinar el conjunto de valores de x para los queF(x) alcanza su máximo valor .
F(x) = Cos2x + 3Sen2x + 2 ; n Z
A)
B)
C)
D)
E)
15. Si: x , determinar el número de soluciones
de la ecuación : 1 + |Senx| - |Ctgx| = 0 A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5
16. Sabiendo que x e y
resolver el sistema :
A) x = ; y =
B) x = ; y =
C) x = ; y =
D) x = ; y =
E) x = ; y =
17. Resolver el sistema : 90 ° < x < 180 °
dar como respuesta : + 2y
A) -40° B) -60 ° C) -80 °D) 10 ° E) 20°
18. Resolver el sistema : x , y
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 152/171
A) x = ; y =
B) x = ; y =
C) x = ; y =
D) x = ; y =
E) x = ; y =
19. Resolver el sistema : (k Z) ; (n Z)
A) x = k(180°) ± 30° + 10°y = k(180°) ± 30° - 10°
B) x = k(180°) ± 60° + 10°y = k(180°) ± 60° - 10°
C) x = k(180°) ± 30°y = k(180°) ± 60°
D) x = k(180°) ± 60°y = k(180°) ± 30°
E) x = k(180°) ± 40°y = k(180°) ± 20°
20. Resolver el sistema ; (k Z) ; (n Z)
A) x = kð + (-1)k
y = 2nð ±
B) x = kð + (-1)k
y = 2nð ±
C) x = kð + (-1)k
y = 2nð ±
D) x = kð ±
y = kð + (-1)k
E) x = kð ±
y = kð + (-1)k
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 153/171
TAREA01. Determinar el número de elementos del conjunto:
G = {x [-ð ; ð] / 1 + Senx - 2Cos2x = 0} A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5
02. Resolver:
Ctg = Senx + CosxCscx , k Z
A) B)
C) D)
E)
03. Si : è [0 ; 2ð], calcular la suma de valores quesatisfacen la ecuación:
Sen4è+ Cos4
è + Sec4è(1-2Sen2
è) = 1+ Cosè -Tg2è(Tg2
è+2Cos4è)
A) 2ð B) ð C) 3ðD) 4ð E) 5ð
04. Resolver:
|Tgx|Cosx = , n Z
A) 2nð ± B) nð ± C) nð + (-1)n
D) 2nð ± E) nð ±
05. Hallar la menor solución positiva de la ecuación:
SexSen Sen =
A) ð/18 B) ð/20 C) ð/5D) 2ð/5 E) 3ð/10
06. Si :Tgè =
calcular la suma de valores de è comprendidosen < 0 ; 2ð >
A) B) C)
D) E)
07. Resolver: Sená + Cosè = 2 , n y k Z
A) á = 2nð + ; è = 2kð
B) á = 2nð ; è = 2kð + ð/2
C) á = nð + ; è = kð - ð/2
D) á = ; è = 2kð
E) á = 2nð + ; è = 2kð - ð
08. Resolver : 540 ° < x < 630 ° , 180 ° < y < 270 °
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 154/171
A) x = 600 ° ; y = 210 °B) x = 570 ° ; y = 240 °C) x = 540 ° ; y = 270 °D) x = 620 ° ; y = 260 °E) A y B
09. Resolver el sistema x ; y
A) x = ; y =
B) x = ; y =
C) x = ; y =
D) x = ; y =
E) x = ; y =
10. Resolver el sistema : (k Z) ; (y Z)
A) x = kð +
y = nð +
B) x = kð +
y = nð +
C) x = kð +
y = nð +
D) x = kð -
y = nð -
E) x = kð +
y = nð -
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 155/171
INECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Se denomina inecuaciones trigonométricas a todadesigualdad entre funciones trigonométricas que se va ono a verificar para un conjunto de valores de la variable.Si la inecuación se verifica se llamará compatible en caso
contrario incompatible
Ejm : Senx > Cos2x Senx + Cosx 1 2 + 3Senx < Cos2x
INECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA ELEMENTAL (I.T.E)
Es toda inecuación trigonométrica que tiene la forma :
Ejemplo :
Sen2x >
Tg 1
Sec 2
Cos <
CASO ITeniendo la I.T.E deberá asumirse la igualdad :
F.T (kx + è) = N
En este caso se deberá resolver en los cuadrantescorrespondientes para (kx + è). Deberá ubicarse en laC.T. los arcos hallados anteriormente, para luegorepresentar la F.T. en un intervalo adecuado, donde sesatisfacen las desigualdades iniciales.Para la solución general se agregará 2nð (n Z) esto enel caso que la inecuación involucre : Sen, Cos, Sec, Csc.Si la inecuación involucra Tg y Ctg, agregaremos nð
RESOLUCIÓN DE UNA I.T.E
Ejm 1Resolver :
Resolución Analizando en la C.T.
Senx =
En la C.T. observamos que :
Senx > se resuelve para :
C.S < x <
La solución general :
, k Z
CASO IIEn el caso de una inecuación trigonométrica no elemental
Ejm :Resolver : Senx > Cos2x
Para x ]0; 2ð[
Resolución :I. Graficamos :
F(x) = Senx T = 2ðG(x) = Cos2x T = ð
II. Sombreamos donde F(x) > G(x)
III. Para hallar los puntos de intersección se iguala a :
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 156/171
F(x) = G(x)Senx = Cos2x
x + 2x = x =
x + 2x = x =
< x <
En General :
PROBLEMAS PROPUESTOS
01. En cada una de las siguientes inecuaciones se indicauna solución, marcar lo incorrecto:
A) Senx > 1/2 ; x = 3ð/4B) Tgx < 1 ; x = 7ð/6C) |Cosx| < 1/2 ; x = 11ð/6D) |Ctgx| 1 ; x = 3ð/20E) Sec2x 2 ; x = 4ð/9
02. Si x < 0 ; 2ð >
resolver : Senx
A) B)
C) D)
E)
03. Resolver:
> 0 , n Z
A) - B) - {nð}
C) - D) -
E) -
04. Resolver :
2Sen2x + 3Senx + 1 0 ; x < 0 ; 2ð >
A) x
B) x
C) x
D) < ð ; 2ð >E) < 0 ; ð >
05. Resolver : Cos2xCosx < Cos3x
A) (4n+1) < x < (4n+3)
B) (4n+1) < x < (2n+1)ð (2n+1)ð < x <
(4n+3)
C) (2n-1) < x < 2nð 2nð < x < (2n+1)ð
D) (4n-1) < x < 2nð 2nð < x < (4n+1)
E) (4n+1) < x < 2nð 2nð < x < (4n+3)
06. Resolver:
Senx - Cosx > ; n Z
A) 2nð + < x < (2n+1)ð
B) nð + < x < nð +
C) 2nð + < x < 2nð +
D) nð + < x < nð +
E) 2nð + < x < 2nð +
07. Resolver en < ð ; 2ð >
Sen2x + Cosx 0
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 157/171
A) x x < 2ð
B) x
C) x
D) x
E) < ð ; 2ð > -
08. Resolver : |2Senx| - 1 > 0 ; 0 x 2ð
A)
B)
C)
D)
E)
09. Resolver: Tg2x - Tgx > 0 ; 0 ° < x < 180 ° A) 60 ° < x < 90 ° 90 ° < x < 180 °B) 30 ° < x < 60 ° 120 ° < x < 180 °C) 30 ° < x < 90 ° 150 ° < x < 180 °D) 60 ° x 90 ° 120 ° x < 180 °E) 45 ° < x < 90 ° 135 ° < x < 180 °
10. Resolver: Cosx < Secx ; k Z
A) 2kð - < x < 2kð + x 2kð
B) 2kð + < x < 2kð + x kð
C) kð - < x < kð + x kð
D) kð + < x < kð + x
E) kð - < x < kð + x
11. Resolver :
3Sen2x - Sen2x > 3Cos2x ; 0 ° < x < 360 °
A) 60 ° < x < 150 ° 240 ° < x < 330 °B) 60 ° < x < 180 ° 240 ° < x < 360 °C) 30 ° < x < 150 ° 210 ° < x < 330 °D) 30 ° < x < 120 ° 210 ° < x < 300 °E) 45 ° < x < 135 ° 225 ° < x < 315 °
12. Resolver:(Senx + Cosx)2 - 4Cos2 x < 0 ; k Z
A) kð - ArcTg3 < x < kð +
B) kð - ArcTg2 < x < kð +
C) 2kð - ArcTg2 < x < 2kð +
D) 2kð - ArcTg < x < kð +
E) kð - ArcTg < x < kð +
13. Hallar los valores de x en <0 ; ð> para los que existeF(x) si:
F(x) =
A) B) C)
D) E)
14. Resolver: ; -ð < x < ð
A) B) C)
D) E)
15. Si G(x) = Sen4x + Cos4x / G(x) , de los
intervalos que se indican, cuál no es una solución
A) B) C)
D) E)
16. Resolver:
< 0 , si x
A) B) C) ;
D) E)
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 158/171
17. Para qué valores de x <0 ; ð> se cumple :
Ctg >
A) <0 ; ð> - B) C)
D) E)
18. Resolver:Sen4x + Sen3x - Sen2x + Senx - 2 < 0 ; x <0 ; 2ð>
A) <0 ; 2ð> -
B) <0 ; ð> -
C) -
D) - {ð}
E) - {ð}
19. Resolver:
A) ; kð +
B) ; kð +
C) ; kð +
D) ; kð +
E) ; kð +
20. Si F(x) = Senx + Cosx ; resolver en <0 ; 2ð>F(x) > F(x)
A)
B)
C)
D)
E)
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 159/171
TAREA
01. De la figura adjunta se deduce:
(I) x [x1 ; x2] ; a Senx 1(II) x [x2 ; x3] ; a Senx -1(III) x [x3 ; x4] ; 0 Senx a
A) Sólo I B) Sólo II C) I y IID) I y III E) II y III
02. Resolver en
2Senx < Tgx
A) ð < x < < x < 2ð
B) < x < ð < x <
C) < x < < x <
D) ð < x < < x <
E) < x < < x <
03. Resolver :
< 1 ; n Z
A) nð < x < (4n + 1)
B) (4n + 1) < x < (2n + 1)
C) nð < x < (2n + 1)
D) < x <
E) 2nð < x < (2n + 1)
04. De los intervalos que se indican, cuál no es solución
de:
< 0 ; 0 ° x 360 °
A) 0 ° x < 45 °B) 90 ° < x < 135 °C) 225 ° < x < 270 °D) 315 ° < x 360 °E) 135 ° < x < 225 °
05. Resolver: ArcSenx - ArcCosx
A) [-1 ; 1] B) <-2 ; 2> C) [-1 ; 1] - {0}D) <-2 ; 2> - {0} E) [-2 ; 2]
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 160/171
06. Si : F(x) = |Senx| y G(x) = 1 + Cosxresolver : F(x) > G(x) ; si : x <0 ; 2ð>
A)
B)
C)
D)
E)
07. Resolver : Tg2 + ( + 1)Tgx ; x <0 ; ð>
A) B) C)
D) E)
08. Resolver :
A)
B)
C)
D)
E)
09. Resolver : -1 Tg(ðx) ; si x <0 ; 2>
A)
B)
C)
D)
E)
10. Resolver:|Senx| - |Cosx| > 0 ; x <-3ð ; -2ð>
A)
B) <-3ð ; -2ð>
C)
D)
E)
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 161/171
RESOLUCIÓN DE FIGURASÁREAS DE REGIONES TRIANGULARES
1. LEY DE SENOSEn todo triángulo cada lado es directamenteproporcional a los senos de los ángulos opuestos eigual a una constante que viene a ser el diámetro dela circunferencia circunscrita.
a = 2RSenA b = 2RSenB c = 2RSenC
2. LEY DE COSENOSEn todo triángulo ABC se cumple :
a2 = b2 + c2 - 2bcCosA
b2 = a2 + c2 - 2acCosB
c2 = a2 + b2 - 2abCosC
2a. CÁLCULO DEL COSENO EN FUNCIÓN DE LOSLADOS DEL TRIÁNGULO
Sabemos por Ley de Cosenos :a2 = b2 + c2 -2bcCosA
2bcCosA = b2 +c2 - a2 CosA =
EN GENERAL
En todo triángulo ABC :
CosA =
CosB =
CosC =
3. LEY DE TANGENTES
Dado un triángulo ABC: , s e cumple
4. LEY DE PROYECCIONESDado un triángulo ABC se cumple :
a = bCosC + cCosB
b = aCosC + cCosA
c = aCosB + bCosA
5. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOSSEMIÁNGULOS DE UN TRIÁNGULO
Dado un triángulo ABC se cumple :
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 162/171
Donde :
(semiperímetro)
Completa
ÁREA DE UNA REGIÓN TRIANGULAR
S : Área de la región triangular 2p : Perímetro R : Radio de la circunferencia circunscrita r : Radio de la circunferencia inscrita r a, r b, r c : Radio de la circunferencia exinscritas
relativas a los lados a, b y c respectivamente
S =
Fórmula de Herón :
S =
S =
S = p . r
S = (p -a)r a
S = (p - b)r b S = (p - c)r c
PROBLEMAS PROPUESTOS
01. En un triángulo ABC , A = 37° , C = 30° , BC = x + 1y AB = x - 1 . Calcular x.
A) 8 B) 9 C) 10D) 11 E) 12
02. En un triángulo ABC ,simpli ficar :
A) 0 B) 1 C) aD) b E) c
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 163/171
03. En un triángulo ABC ,simpli ficar :
A) B) C)
D) E)
04. En un triángulo ABC ,simpli ficar :
A) B) C)
D) E)
05. En un triángulo ABC ,simpli ficar :
A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 0
06. En un triángulo ABC se cumple :
Calcular : Cos A + Cos B + Cos C
A) B) C)
D) E)
07. En un triángulo ABC ,simpli ficar :
A) Sen A B) Sen B C) Sen CD) Sec A E) Sec B
08. Si en un triángulo ABC se cumple :
donde R es el circunradio, calcular : TgATgBTgC A) 2 B) 1,5 C) 1D) 0,5 E) 2,5
09. En un triángulo ABC se cumple :
Calcular : TgC
A) B) C)
D) E)
10. Las diagonales de un paralelogramo miden 4 y 6,unode sus ángulos mide 45°.Calcular el producto de laslongitudes de sus lados.
A) B) C)
D) E)
11. En un cuadrado ABCD se inscribe una circunferenciaque interseca a la diagonal AC en un punto F.Calcular el seno del ángulo BFD.
A) B) C)
D) E)
12. En un triángulo ABC de área S. Calcular :
A) 1 B) 2 C) 1/2D) 4 E) 1/4
13. Hallar el área del triángulo ABC, si el circunradio mide
8 m , .
A) B) C)
D) E)
14. En un triangulo ABC de área S se cumple :
Calcular : A) 3 B) 5 C) 7D) 9 E) 11
15. En un triangulo ABC, R es el circunradio, S es el área
y : .Calcular R.
A) B) C)
D) E)
16. En un triangulo ABC de área S se cumple :
Calcular :
A) B) C)
D) E)
17. En un triángulo ABC ,C = 2A y 6a = 5c. Calcular :
A) -1/4 B) -1/2 C) 1D) 1/2 E) 1/4
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 164/171
18. En un triángulo acutángulo ABC se cumple :
Donde R es el circunradio. Calcular : Tg2C
A) B) C)
D) E)
19. En un triángulo ABC, BC = 5, AB = 11, A = 3C.Calcular la longitud del lado AC.
A) B) C)
D) E)
20. En un triángulo ABC, r es el inradio, R es el circun-radio y p es el semiperimetro.
Calcular :
A) B) C)
D) E)
TAREA
01. En un triángulo ABC, simplificar :
A) CosA B) - CosA C) 2CosAD) -2CosA E) 1
02. En un triángulo ABC, se cumple :
¿Qué relación cumplen los lados ?
A) Progresión aritméticaB) Progresión geométricaC) Progresión armónicaD) Son iguales
E) No hay relación03. En un triángulo ABC (AB = BC) se traza la bisectriz
interior AD, D pertenece a BC. Si AC = 10 y AD = 12,calcular la medida del ángulo ADC.
A) B) C)
D) E)
04. En un triángulo ABC se cumple :
y B - C = 15°
Calcular : 2Cos2B + Tg3C
A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5
05. El diámetro de la circunferencia circunscrita al
triángulo ABC mide cm y la media geométrica
de sus lados es .Calcular el área del triángulo.
A) B) C)
D) E)
06. S es el área de un triángulo ABC. Expresar entérminos de S :
A) B) C)D) E)
07. En un triángulo ABC expresar :
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 165/171
en términos del área S.
A) B) C)
D) E)
08. En un triángulo ABC, cuya área es S, simplificar :
A) S/2 B) S C) 2SD) 4S E) 8S
09. En un triángulo ABC se cumple : b+c = 2a. Calcular el área del triángulo.
A) B) C)
D) E)
10. En un triángulo ABC,la expresión : en términos del área S
es igual a :
A) B) C)
D) E)
RESOLUCIÓN DE FIGURAS - LÍNEAS NOTABLESCUADRILÁTEROS
I. BISECTRICESa) Cálculo de la bisectriz interior (V)
Va : bisectriz interior relativa al lado “a”
Demostración:
Del gráfico deducimos que : S Ä ABC = S Ä ABM + S Ä AMC
Análogamente
* Vb =
* Vc =
b) Cálculo de la bisectriz exterior (V’)* V’a : bisectriz exterior relativa al lado a
Demostración : Sea : c > b, del gráfico deducimos que :S Ä ABC = S Ä ABM - S Ä ACM
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 166/171
b.c.2Sen Cos =V’aCos [c - b]
V’a =
Análogamente:
* V’b =
* V’c =
II. MEDIANA
* ma : Mediana relativa al lado “a”
Demostración:
Trazando : L1 // AC L2 //AB BACA’ : paralelogramo
* Ley de cosenos en el triángulo ABA’(2ma)
2 = b2 + c2 - 2bcCos(B + C)
Análogamente:
III. ALTURAS
* ha : altura relativa al lado “a”
Demostración :
Del gráfico :
Multiplicando (1) y (2)
= bcSenB.SenC ....... (*)
Pero por ley de senos : SenB = ; SenC = en (*)
= b.c.
Análogamente
*
*
IV. INRADIO
r = (p - a)Tg
r = (p - b)Tg
r = (p -c)Tg
p : Semiperímetro :
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 167/171
Demostración:
Del gráfico :* 2m + 2n + 2t = 2p m = p - (n + t)
m = p - a
Luego :
IV. RADIOS DE LAS CIRCUNFERENCIASEX-INSCRITAS (EX-RADIO)
r a : Ex - radio relativo al lado “a”
r a = pTg
Demostración :
Del gráfico :* b + m = c + n (por ser tangentes a la circunferencia)* 2p = b + m + c + n
2p = (b + m) + (b + m) p = b + m
Del gráfico :
Tg = r a = (b + m)Tg
Análogamente:
* r b = pTg
* r c = pTg
Expresiones del inradio y ex-radios en términos delcircuncentro y los tres ángulos del triángulo ABC
r = 4RSen Sen Sen
r a = 4RSen Cos Cos
r b = 4RCos Sen Cos
r c = 4RCos Cos Sen
* queda para el lector verificar dichas relaciones
ÁREAS DE REGIONES CUADRANGULARES
1. En términos de sus diagonales y el ángulocomprendido entre estas
Se cumple :
Donde :d1 y d2 : Diagonales del cuadrilátero ABCDá : Medida del ángulo formado por las diagonales(S : Área del cuadrilátero ABCD)
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 168/171
2. En términos de sus lados y sus ángulos opuestos
Se cumple :
Donde :
p : Semiperímetro
* p =
* è : Es la semisuma de dos ángulos opuestos
è = ó è =
Casos particulares
a) Para un cuadrilátero inscriptible (è = 90°)
S =
b) Para un cuadrilátero circunscriptiblea + c = b + d (teorema de Pitot)
S = .Senè
c) Para un cuadrilátero bicéntrico(inscriptible y circunscriptible a la vez)
S =
PROBLEMAS PROPUESTOS
01. La media armónica de dos de los lados de untriangulo es “ k “ y el ángulo que dichos lados formanes 2è.Calcular la longitud de la bisectriz interior dedicho ángulo.
A) kCosè B) 2kCosè C) 3kCosèE) 0,5kCosè E) 0,25kCosè
02. En un triángulo ABC, es la bisctriz interior del
ángulo A.
Calcular :
A) B) C)
D) E)
03. En un triangulo ABC ,la bisectriz interior del ángulo
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 169/171
B se puede expresar como dondeR es el circunradio .Calcular k.
A) B) C)
D) E)
04. son las bisectrices exterior e interior,
respectivamente del ángulo A de un triángulo ABC.Simplificar:
A) B) C)
D) E)
05. son las medianas de un triángulo ABC.
Simplificar :
A) 12 B) 8 C) 6D) 3/4 E) 4/3
06. En un triángulo ABC la mediana relativa al lado a esigual a :
Si R es el circunradio ,hallar k. A) 2 B) -2 C) 4
D) -4 E) 1
07. En un triángulo ABC, a = 6 u, b = 8 u y .Calcular la longitud de la mediana relativa al lado c.
A) B) C)
D) E)
08. En un triángulo ABC la longitud de la mediana relativaal lado BC es media proporcional de las longitudes
de los otros dos lados. Calcular :
A) B) C)
D) E)
09. En un triángulo ABC cuyas medianas son se cumple :
.Hallar k.
A) B) C)
D) E)
10. son las bisectrices interiores de los ángulos
C y A respectivamente. A qué es igual :
A) B) C)
D) E)
11. En un triangulo ABC simplificar :
A) p B) 2p C) 3pD) 4p E) 6p
12. Expresar en términos de r (inradio ), B y C
A) B)
C) D)
E)
13. En un triángulo ABC, r = inradio , p = semiperímetro
Simplificar :
A) B) C)
D) E)
14. En un triángulo ABC simplificar :
A) B) C)
D) E)
15. En un triángulo ABC se cumple :
Calcular la medida del ángulo A.
A) B) C)
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 170/171
D) E)
16. En un triángulo ABC se cumple :
Hallar k. A) 1/2 B) 1/4 C) 1/8D) 2 E) 4
17. En un triángulo ABC se cumple :
A) 4 B) 2 C) 3D) 6 E) 8
18. Si ABCD es un cuadrilátero circunscriptible,simplificar la expresión:
A)
B)
C)
D)
E)
19. Un cuadrilátero ABCD es tal que puede inscribirse en
él una circunferencia y circunscribirsele otra.Calcular CosA en términos de sus lados .
A) B) C)
D) E)
20. ABCD es un cuadrilátero bicentrico. Calcular
en términos de sus lados.
A) B) C)
D) E)
TAREA
01. El inradio de un triángulo ABC es igual a :
(I) (II)(III)
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III
7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría
http://slidepdf.com/reader/full/libro-1-anual-uni-trigonometria 171/171
D) I y II E) I y III
02. En un triángulo ABC simplificar :
A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 6
03. En un triángulo ABC, es la mediana relativa al
lado b, simplificar : ; S es el área
del triángulo.
A) B) C)
D) E)
04. En un triángulo ABC, r es inradio y p es el
semiperímetro .Si , hallar k.
A)
E)
07. En un triángulo ABC cuyo semiperímetro es p,
calcular :
A) B) C)
D) E)
08. El área de un cuadrilátero cíclico ABCD es S,simplificar :
A) 2SenA B) 2CosA C) 2TgAD) 2CtgA E) 2CscA
09. El áreas de un cuadrilátero inscriptible ABCD es S yla media geométrica de sus lados es “m”.
Calcular :
A) B) C)
D) E)