Aplicaciones físicas:
• Mecánica: péndulo de Foucault• Electro-magnetostática• Dispersión y difracción E.M.• Mecánica Cuántica: precesión spin• Teoría de Campos: ecuación Dirac• (Relatividad General)
Ejemplos de álgebras geométricas
• Números complejos C • Cuaterniones de Hamilton H• Álgebra de Pauli• Álgebra de Dirac
Extensión del espacio vectorial
• inverso de un vector • reflexiones, rotaciones, transf. de Lorentz• integrales: Cauchy (≥ 2 d), Stokes general
Basado en la idea de MULTIVECTORES:
incluyendo métrica: ...321 aaa ∧∧
21 aa ⋅
11 , −− ∇A
Propiedades Algebraicas R+
• cerradura• conmutatividad• asociatividad• cero• negativo• y + distributividad
Espacios vectoriales:
•• cerradura• conmutatividad• asociatividad• unidad• recíproco
combin. lineales
Extensión a álgebras
• incluir métrica:• definir producto geométrico
PRIMER PASO: Inverso de un vector a ≠ 0
ba ⋅
aaaaa
aaa ⋅====− 2
221 ,
ˆa
a
a-1
a 1 20
Base ortonormal3d: ê1 ê2 ê3
êi • êk = δi k
êi-1 = êi
Euclidiano
4d: γ0 γ 1 γ 2 γ 3
γ µ • γ ν= gµν (1,-1,-1,-1)
Minkowski
1
Ejemplo: (ê1 + ê2)-1 = (ê1 + ê2)/2
Electrostática: método de imágeneswr
−
+→−
+→
+→+→
2ˆ
ˆ12
2ˆ
ˆ1
ˆ1ˆ 1
1
1
111
eer
eerer
err
•q
•- q
•q
•ql
Plano: carga -q en cê1, imagen (-q) en -cê1
Esfera radio a, carga q en bê1, encontrar imagen (?)
Escalas en r y en w libres
q’ = ??-c
qbc
V = 0a0
cargawr
−
+=
2ˆ
ˆ/12 1
1
eer
wc
aβ
−−
−=
baq
ba
bqV
/ˆˆ41)(
12
10 eweww
πε
SEGUNDO PASO: FÓRMULAS DE EULER
⊥⊥× ×+= AkAk )ˆ sen(cosˆ θθθe
⊥⊥ −=×× AAkk )ˆ(ˆ
1ˆ senhˆcosh1)ˆ( senˆcos
2
2
=+=−=+=
bbaa
b
a
bbeiaiaei
En 3-d:
'ˆ AAk =×θe
dado que
En general, girando A alrededor de θ k:
Ejemplo 1: Ecuación de Lorentz
ˆ :desoluciónes)(ˆ)( :Derivando
)( 0ˆ
vkvvkvvv k
×−=×−=
=−= ×−
qBmtt
ett t
&
& ωωθ ω
q
B = B k
mqB
B ,ˆ == ωBk
⊥⊥= ×−+= 000 )(sen)(cos)( vkvvv)
ttt ωω
Ejemplo 2: Péndulo de Foucault
rωSgr &&& ×−+= mmm 2ρωρρ &&& ×−≅ zmmm 22
0ω
shz
zz
5
22
107242
sen 0
−×≈=−=
=+=
πωωβ
λωωωωα
mlS=0ω
•CoriolisS
mg
l
0)( ρρ k×−=)tti eet βα
TERCER PASO: PRODUCTO ANTISIM.
ab ∧
ba ∧barrido
barrido
a
b
a
b
• anticonmutativo• asociativo• distributivo• valor absoluto = área
Producto geométrico o matricial
21
2
a
aaa
aaaabababababaab
=
=⋅=∧−⋅=∧+⋅=
−
• no conmutativo• asociativo• distributivo• cerradura:
extender espacio vect.• unidad 1• inverso (condicional)
Ejemplos de álgebras de Clifford
2m+nsignatura (m,n)Clm,n
16DiracCl1,3
8PauliCl3
4cuaternionesCl0,2
2complejosCl0,1
4planoCl2
Dim.GeometríaNotación
bivector
vectorescalar1
1e 2e
I==∧ 2121 ˆˆˆˆ eeee
IIIikikkiki
aaeeeeee
−=−=
=+=
1
2ˆˆˆˆˆ,ˆ2
δ R
I R
R2
C = álgebra par = espinores
C isomorfo a R2
1 e1
I e2
• z
• z*⇔
a
z = ê1aê1z = a
Reflexión: z z*
a a’ = ê1z* = ê1a ê1
En general, a’ = n a n, con n2 = 1
Rotaciones en R2
Euler:
e1
e2
a
a’φ
2/2/''
ϕϕ
ϕϕ
II
II
eeeeaa
aaa−
−
===
ϕϕϕ senˆˆcos 21)ˆˆ( 21 eeee +=e
Inverso de un multivector en Cl2
Conjugado:
AAA
AAAA
AAAA
IAIA
~~
~~
escalar ~~
~
1 ==
=
−−=⇔++=
−
βαβα aa
21
aaa =−Generalizando
pseudoescalar
bivector
vector
escalar
ê3ê1 ê1ê2
ê3
1ê1ê2ê3= i331
ê2
ê2ê3
ê1
1
iii
ikikkiki
aaeeeeee=−=
=+=
1
2ˆˆˆˆˆ,ˆ2
δ
RiRR3
H = R + i R3 == álgebra par = espinores
iR3
En Cl3 , el producto geométrico:
babaab ×+⋅= i
babababa ∧−=××=∧ ii ,
ϕϕ
ϕϕ
nn
nn
aa
aaaaaanna
ˆˆ
ˆˆ
21
21
'
'
)ˆ(ˆ
ii
ii
ee
ee−
⊥−
⊥⊥
⊥=
=
==
+==Rotaciones:
e B/2 genera rotaciones respecto al plano B,para el bivector B
EspinoresC x C3-d
C2-d
C∈
→
βαβα
βα
, ,''
con matriz Pauli, σ
i êk pj σk ( )i p ê3j ( )
êk p ê3σk ( )p0 + i p = p( )
Cl3Pauli
Interacción de spin con campo magnético B
• Hamiltoniano cuántico de Pauli:A potencial vectorial
p p – q A, acoplamiento mínimo,
AB
BAp
×∇=
+⋅−−=
2
)(21 2 Vσ
mqq
mH I
momento magnético: µ = γ S = ħγσ/2
Precesión de spin con B uniforme:
En Cl3, espinor (cuaternión) Ψ,
Ψ=Ψ=Ψ Be γγ iiB kk 21
21 ˆ&
)( 021
Ψ=Ψ tiet BγSolución en Cl3El spin precede en el plano i B con frec. angular:
Bγω 21
0 = ¡ independiente de ħ !
γ1γ2 γ3 γ0γ1 γ3γ2 γ3 γ0
γ1γ3γ2 γ3γ1γ2
γ1
4γ0γ1 γ2
γ0γ2 γ0γ3
γ3
1γ0γ1 γ2γ3
6
4
1
γ2
γ0γ1
γ0
1
IIII
gg
µµ
µννµ
γγγγγγ
γγ
−=−==
−−−==
1
)1,1,1,1( diag 2,2
3210
Los 6 bivectores se dividen en: êi = γ i γ 0 e I êk = γ i γ j
Relatividad especial y paravectores en Cl3
• Paravector p = p0 + pEjemplos de paravectores:
ρ + jjφ + AAE + ppγ + uuct + rx
211v−
=γ
Transformaciones de Lorentz
)(senˆ)(cos
)(senhˆ)(cosh
21
21
21
21
21
21
θiθeR
wweBi θ
wθ
w
−==
+==−
transforman el paravectorp = p0 + p = p0 + p= + p en:
B p B = B2 (p0 + p=) + p
R p R† = p0 + p= + R2 p
Cálculo Geométrico
∇ es un operador diferencial vectorialϕ (r) – campo escalarE(r) – campo vectorial
EEEEE
×∇+⋅∇+∇==∧∇+⋅∇+∇=+∇
iϕϕϕ
)(
Funciones de Green de primer orden
21
∇∇=∇ − )(
412 rδπ
=
−∇
r
Para espacios euclidianos:
ngyxyxyx
−−
Ω= 1),( es solución de
)(),( )( yxyx −=∇ ng δ
Inverso de paravectores diferenciales
22
21 ,
∇−∂∂
∇−∂∂
=∂∇+∂∂=∂ −
t
tt
Helmholtz:
( )re
kjkjk
rkj±− −=
+∇+∇=−∇
π41', ,)( 22
1 xxG
onda esférica (saliente o entrante)
Ecuación de Maxwell
• Multivector de Maxwell F = E + i c B• paravector corriente J = (ε0c)-1(cρ + j) La ecuación de Maxwell se escribe como:
JF~
=∂
( ) ( )jBE cictc
−=+
∇+
∂∂ ρ
ε 0
11
Electrostática
∇
∇=
∇==∇ − ρ
ερ
ερ
ε 02
0
1
0
111 1 EE
Ley de Gauss. Solución usando la funciónde Green de primer orden
Explícitamente:
'con ')'(4
1)( 30
xxrrxxE −== ∫ τρεπ
dr
Magnetostática
jjBjB 2020011
∇×∇−=∇
∇==∇ µµµ ii
Ley de Ampère. Solución usando la funciónde Green de primer orden:
Explícitamente:
'con ')'(4
)( 30 xxrrxjxB −=×= ∫ τ
πµ d
r
Teorema Fundamental del Cálculo• Caso Euclidiano:
dX = volumen orientado, p.ej. ê1 ê2 ê3
dS = superficie orientada, p.ej. ê1 ê2 = iê3
F – multivector, ∂V – frontera de V
GGFF ∫ ∫∫ ∫∂∂
=∇=∇V VV V
dSdXdSdX &&&&
Caso general: proyección tangente, )(∇=∂ P
Ejemplo: teorema de Gauss
• dX = d3 x = i dτ , donde dτ = |d3 x| • dS = d2 x = i nda , donde da = |d2 x| • G = v(r)
daddaiidV VV V
ˆ ˆ ∫ ∫∫ ∫∂∂
⋅=⋅∇=∇ vnvvnv ττ
Teorema de Green (caso Euclidiano)
• donde la función de Green de primer orden está dada por:
)'(')',(
)()(
)'('')',()(
)(
1
1
∫
∫
∂
+
+
−−
+∇−=
V
nV
n
dSgI
dXgI
xxxx
xxxx
x
F
F)F(
nn
g''1)',(xxxxxx
−−
Ω=
Teorema de Cauchy en n dimensiones
• Caso particular: F = f y ∇ f = 0
donde f (x) es un campo multivectorialmonogénico
)'('
''1
)()( 1∫
∂
−
−−
Ω−=
V
nn
n
n
fdI
f xxxxxx
xx)(
Difracción electromagnética
• Ecuación de Helmholtz de primer orden:
• Principio de Huygens exacto:
para el caso homogéneo J = 0
para ')'(ˆ)'(∫ +=−−=S
icdaG BExnxxx FF)F(
FJF jk+=∇~
Ecuación de Dirac en Cl1,3
• Vector en espacio de Minkoski:
• Cuantización:
( ) 2200
0 con , pγp −=//⋅−=/ ppppp γ
)( 0 ∇⋅−∂→/ γtjp γh
Propagador – función de Green 1er orden
• El propagador representa la amplitud de probabilidad condicional
• Transformada de Fourier:
)'()'()( )4( xxxxSmp F −=−−/ δ
)0(lim ,1)( →+−/
= εεjmp
pSF
• Incluyendo campo externo A la ecuación de Dirac se escribe como:
• y el propagador:
da origen a la polarización del vacío
)'();'()( )4( xxAxxSmAqp F −=−−/−/ δ
'|1|)',( xjmAqp
xxxSF ε+−/−/=