LEZIONE 1 9 3 2020
l'algebra delle matrici
Rappresentazione matriciale dei sistemi lineari
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L'ALGEBRA DELLE MATRICI
IN campo numerico ad esempio 112,0 4
DEFINIZIONEUna matura di tipo min è una tabelladi elementi di 1K disposti su in righe e
n colonne
Mix min matrici di tipo fan a coefficienti ink
ESINO IN a
A E Maki
In generale A E Mpx m.nl
a µ p iAms hmm
CASIPAMTGWRI.snn una matura di tipo mim si dice
motrice quadrata di ordine un
M M m e Mix m
ma 1 una matrice di tipo a n si dice
anche vettore riga di lunghezza n µ
nel una matrice di tipo m 1 si dice
anche vette colonna di lunghezza in
UGUAGLIANZA TRA rettrici
A e M min Benito p 9 A Bcon mtp oppure ut qA B E Mai min A_
BEDaijebijViV j
sonrAthANtTRlCI
i.Mik min x M min Mix fu n
A B Atb
A a B by A 113 a bis
ESEMPIOA 113
I ii ii ti2 4
Proprietà della somma
I PROPRIETA ASSOCIATIVAA B C E Mix min
A B C A Btc12
I proprieta CorruttivaH A B e Mix min
1 B BAA
III ESISTENZA dell'Elemento NEUTRO
0mm e Miti min0 O
A EM min A 10mm Omnia A
E Esistenza dell'Elemento Opposto
FAE Mix min 7 A e Maxine n tale daAta 1 A
0min05sA ai A ai
PRODOTTO DI UNO SCALARE E DI UNA MATRICE
1K x Mix min Mix mint A aD LA taiI
scalare
tap p 1
Proprietà del prodotto scabre matricee Proprietà Distributiva a sinistra
t.se 1K HA c MINIMA 13
t.is A TA sat a
somma di 1K somma di Marfin n
e Proprietà Distributiva a destratalk V A B E Mir mint B ta TB
II Proprietà Associativatis Elk HA c Mix min
tp A TEAprodotto di K II
prodotto scabrepanatine
E Esistenza dell'Elemento Neutro7 sia tale che t.tt terA Erik min
1µA A
osseo HA aid 7 A ai te 1 A 0mm
ai C Noi f 1 aiil
A c 1 ANotazione l'opposta della natura A verrà indicata
con A
14
Nik 2,1esento sistemi lineari
lì I HAI il il S
litri L L
prodotto RIGHE PER colonne
Mix min x Mix n p Mix m pA B AB
A ai l 1 nn je 1 n
B by i L m jet p
C AB ci i 1 m je 1 p
ci ÈI die byEsempio A E My 1 n BEN n 1
A Ian and B
AB E NIK 1 a 15
car
Cn È Amber e
Am but Anzbar t 1 ambra
A e Mix an BEN n p
A a an gbio bip
c ABE Mace
bnp
p colonne
car car Cap
Crj A I esima colonna di B
A fi o il B
AB E Mir 43
c tiro in no I1 3 0 1 12T 1 Fi to 1 2 o no to fi 12.4
2T 13 TI 8
16
Caso generale Ae Min min BEN up
AD c Mix me p
ci j prodotto righe per colonne dellai esimo riga di A per la
j esima colonna di B
at L Bit il
abitualdinatiti e me3471 sa 1 ENTI
Proprietà del prodotto righe per colonneCI proprieta ASSOCIATIVA
A EM mm tt BEN Imp tic ErikCraAB c A CBCA aManip Martin
e Proprietà Distributiva a destraA EM min B C Enix n pA Btc AB Al
P esanno di Miti up sanno di Mix M p
17
e Pronta distributiva a sinistraA B e MKCM.in HC EMA n pAt B C Act BCt t
sanno in Mhm n sanno in Malm p
Proprieta DI OMOGENEITA
A te 1K A AEM min V'BEMA upt.CA B HAI13 1 HB
E Esistenza dell'Elemento Neutro a destra e sinistra
Ian p Ii e Miriam0 O
Ida viene detta tramite identità di ordine n
A E M min
A Ida A
Idf A
II In generale Idm Idm
Fenomeni particolarinon maturi quadrate di ordine n
A EM n n
IdmA Aidan A
À data una matrice quadrata A
18 esiste una motrice A tale che 1 A A Ida
Risposta In generale la matrice inversa non
esiste
Non vale la legge di annullamento del prodottoA EM min Berk n p
AB On.pe A OmnoppuveB 0n p
ESEMPIOA no B f
1 BE M sia AB 1 o a a o
a ti BelAB Edi Gr Abe I f
Non vale la proprietà commutativa
AEM min B e Mir n pAB è ben definito ma è dettoche sia anche ben definito il
prodotto BA
BA è ben definito se ne pA E Mix min B E Max n n
AB cMix mim
BA Emir min19
per poter confrontare AB e BA serve
che me ne p devo prenderedue matrici quadrate dello stesso ordine
Anche in questo caso A BEN min
il prodotto righe per colonne non è in
generale commutativa
Esempio
T.it BelAB
H H
a È fi
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SISTEMI LINEARI
ax b ato 7 soluzione
xba
a O b O 0 0
infinite soluzionib o 0 b
nessuna soluzione
dixit Amin b
se esiste dito allora sino le
soluzioni come
aitri b aah Quan
Xi b asx amen
in questo caso ho infinite soluzioniche dipendono dalla scelta dei valori
pel Xi Xii Xiii InNotazione l'equazione ha con soluzioni
In generale consideriamo un sistema con
n incognite Xm e in equazioniAn Xs t as.cn Xu be
ma anxn.ba IIIIi nella icona
ama 1 t a.mn Xm bm equazione 21
An Xs t 9am Xu
Èil L
in Mps m a
Scrittura Mahinda deporblu Xs 9am Xm Qi Xl ArnimAza XL T 1 Arm Xu Q2l t.it
Quanti
pScrittura matricide tipo 2
M min Mfm n Mafaiblu Xs 9am Xu
afi pfama
a.mn ama amai
III a22
Rappresentazione classicaAn Xs t as.cn Xu beA2a XL 1 t Arm Xu b
È ia.mx ÈRappresentazione mattinale A I
iRappresentazione compatta A la
it
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