Lección 2.3
Ecuaciones Cuadráticas
02/17/2016 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 1 de 18
Actividades 2.3• Capítulo 2 –
o Sección 1.5 Ecuaciones Cuadráticas y Aplicaciones. Realice los
ejercicios impares del 7-29, 33-51
o Sección 3.4 Funciones Cuadráticas impares 47 - 55
• Asignación 2.3 –
o De la Sección 1.5, resuelva problemas 20, 30 y 44
o De la Sección 3.4, resuelva 50
• Referencias en el Web:
o José Anadalón: Tipos de Ecuaciones Cuadráticas; Resolviendo
ecuaciones cuadráticas por factorización; Fórmula Cuadrática
o Khan Academy: Solving Ecuaciones Cuadráticas (1) tomando la
raíz cuadrada; (2) Por factorización; (3) Método de Completar el
Cuadrado
o Julio Profes: Desigualdades Cuadráticas Ejercicio 1; Ejercicio 2:
Ejercicio 3; Ejercicio 4
Prof. José G. Rodríguez Ahumada02/17/2016 2 de 18
• Es una ecuación cuadrática es una ecuación con una
variable que se puede expresar de la forma:
La Ecuacion Cuadrática
2 0ax bx c
02/17/2016
a, b, c son números reales. a es distinto de 0.
Ejemplos:
Prof. José G. Rodríguez Ahumada
3𝑥2 − 27 = 0
2𝑥2 − 𝑥 − 6 = 0
−3𝑥2 − 𝑥 = 0
Soluciones:
−3
2, 2
0 ,−1
3
−3 , 3 = ±3
3 de 18
Resolución por la Propiedad de la Raíz Cuadrada
• Si x, a son dos números reales tal que a es positivo:
Prof. José G. Rodríguez Ahumada02/17/2016
𝑥2 = 25
𝑥2 = 𝑎 𝑥 = 𝑎 ó 𝑥 = − 𝑎
𝑥 = 25 = 5 ó
𝑥 = − 25 = −5
3𝑥2 = 27
𝑥 = ± 9 = ±3
𝑥2
3=27
9
𝑥2 = 9
4 de 18
𝑥 = ±5
Mas ejempos• Resuelva:
Prof. José G. Rodríguez Ahumada02/17/2016
(2𝑦 + 5)2 = 8
2𝑦 + 5 = 8
2𝑦 + 5 =
2𝑦 + 5 = − 8
2𝑦 = −5 + 2 2
𝑦 =−5 + 2 2
2
2 2 2𝑦 + 5 =
2𝑦 = −5 − 2 2
𝑦 =−5 − 2 2
2
−2 2
𝒚 =−𝟓 ± 𝟐 𝟐
𝟐
5 de 18
Resolución por la propiedad del Cero
• Si a, b son dos números reales:
Prof. José G. Rodríguez Ahumada02/17/2016
𝑥(𝑥 + 2) = 0
𝑎 ∙ 𝑏 = 0 𝑎 = 0 ó 𝑏 = 0
𝑥 = 0 ó 𝑥 + 2 = 0
𝑥 = −2
𝑥(𝑥 + 4)(𝑥 − 3) = 0
𝑥 = 0 ó 𝑥 + 4 = 0𝑥 = −4
𝑥 − 3 = 0𝑥 = 3
𝑥(𝑥 − 9) = 0
𝑥 = 0 ó 𝑥 − 9 = 0
𝑥 = 9
𝑥2 − 9𝑥 = 03(𝑥2 − 4) = 0
𝑥 − 2 = 0 ó 𝑥 + 2 = 0𝑥 = 2
3𝑥2 − 12 = 0
3(𝑥 − 2)(𝑥 + 2) = 0
𝑥 = −2
6 de 18
Soluciones: 0,−2
Soluciones: 0, 9
Soluciones: 0,−4, 3
Soluciones: ±2
Resolución por factorización
• Resuelva.
02/17/2016
2 6 8 0x x
( 4)( 2) 0x x
4 0x 2 0x
4x 2x
Prof. José G. Rodríguez Ahumada
2𝑥2 + 𝑥 − 6 = 0
2𝑥2 + 4𝑥 − 3𝑥 − 6 = 0
2𝑥 𝑥 + 2 − 3(𝑥 + 2) = 0
2𝑥 − 3 (𝑥 + 2) = 0
2𝑥 − 3 = 0 𝑥 + 2 = 02𝑥 = 3
𝑥 =3
2
𝑥 = −2
7 de 18
Soluciones: 4, 2Soluciones:
3
2, −2
Completando el cuadrado
• Algunos trinomios se pueden expresar como el cuadrado de un
binomio. Ejemplo:
• Si se desea modificar un binomio para convertirlo a un trinomio
que se pueda expresar como un cuadrado perfecto añádale el
término 𝑏
2
2
• Ejemplo:
02/17/2016
22 )3(96 xxx
22 )3(96 xxx
22 )1(12 xxx
22 )2
1(
4
1 yyy
22 ?)(?8 xxx
𝑏
2
2
= 𝑏
2
Prof. José G. Rodríguez Ahumada
𝑥2 + 8𝑥 + 16 = 𝑥 + 4 2
8 de 18
Resolución completando el cuadrado• Resuelva
02/17/2016 Prof. José G. Rodríguez Ahumada
𝑥2 + 8𝑥 − 4 = 0
𝑥2 + 8𝑥 = 0 + 4
𝑥2 + 8𝑥 = 4
𝑥 + 4 2
𝑏
2
2
=
𝑏
2
+ 16 + 16
= 20
2𝑥2 + 10𝑥 − 2 = 0
𝑥2 + 5𝑥 = 0 + 1
𝑥2 + 5𝑥 = 1
𝑥 +5
2
2
+5
2
2
+5
2
2
=29
4𝑥 + 4 = ± 20
𝑥 + 4 = ±2 5
𝑥 = −4 ± 2 5
𝑥2 + 5𝑥 − 1 = 0
𝑥 +5
2= ±
29
4
𝑥 = −5
2±
29
2
= ±29
2
=−5 ± 29
2
9 de 18
Fórmula cuadrática
• Sea entonces,
Si 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0, la ecuación sólo tiene 1 solución real
Si 𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0, la ecuación NO tiene solución real
Si 𝑏2 − 4𝑎𝑐 > 0, la ecuación tiene 2 soluciones reales.
• Ejemplo: Identifique el tipo de solución de
02/17/2016
02 cbxax
a
acbbx
2
]4[ 2
Prof. José G. Rodríguez Ahumada
−𝑥2 + 3𝑥 − 4 = 0
𝑎 = −1
𝑏 = 3
𝑐 = −4
𝑏2 − 4𝑎𝑐 =
(3)2−4(−1)(−4) =
9 − 16 = −7
𝑁𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑟𝑒𝑎𝑙
10 de 18
Resolución por la Fórmula Cuadrática
• Resuelva
• Entonces,
o Paso 1: Identifique coeficientes
a = 2, b = -3, c = 1
o Paso 2: Reemplace los valores en la fórmula
02/17/2016
0132 2 xx
)2(2
])1)(2(4)3()3([ 2 x
a
acbbx
2
]4[ 2
Prof. José G. Rodríguez Ahumada 11 de 18
Ejemplo (cont.’)
• Simplifique …
02/17/2016
)2(2
])1)(2(4)3()3([ 2 x
4
]893[ x
4
]13[ x
14
13
x
2
1
4
13
x
Soluciones: 1,1
2
Prof. José G. Rodríguez Ahumada 12 de 18
Ejercicio
• Resuelva la ecuación: . Luego,
aproxímela a la centésima más cercana.
a
acbbx
2
]4[ 2
0842 xx
)1(2
])8)(1(4)4()4([ 2 x
2
]32164[ x
2
]484[ x 322x
02/17/2016 Prof. José G. Rodríguez Ahumada
2
]344[ x
322x
322x
464101615.5
464101615.1
46.5
46.1
13 de 18
Ejercicio del Texto
Prof. José G. Rodríguez Ahumada02/17/2016 14 de 18
DESIGUALDADES
CUADRÁTICAS
02/17/2016 Prof. José G. Rodríguez Ahumada
3𝑥2 − 27 ≤ 0
2𝑥2 − 𝑥 − 6 > 0
−3𝑥2 − 𝑥 < 0
15 de 18
Ejemplo 1
• Resuelva
• Paso 1 – Resuelva la ecuación cuadrática
• Paso 2 – Identifique los intervalos de interés
• Paso 3 – Identifique los signos de la expresión al evaluarlo en
valores en los intervalos de interés
Prof. José G. Rodríguez Ahumada02/17/2016
𝑥2 + 𝑥 − 6 < 0
𝑥2 + 𝑥 − 6 = 0
(𝑥 + 3)(𝑥 − 2) = 0
𝑥 = −3 , 𝑥 = 2
0-3 2−∞,−3 −3, 2 2, −∞
+ − +
Solución: −𝟑, 𝟐
16 de 18
Ejemplo 2
• Resuelva
• Paso 1 – Resuelva la ecuación cuadrática
• Paso 2 – Identifique los intervalos de interés
• Paso 3 – Identifique los signos de la expresión al evaluarlo en
valores en los intervalos de interés
Prof. José G. Rodríguez Ahumada02/17/2016
𝑥2 − 1 ≥ 4𝑥
𝑥2 − 4𝑥 − 1 = 0
02 − 5 2 + 5
−∞, 2−√5 2 − 5, 2 + 5 2 + 5,∞
+ − +
Solución:
𝑥 =−(−4) ± (−4)2−4(1)(−1)
2(1)=4 ± 16 + 4
2
=4 ± 2 5
2= 2 ± 5 ≈ −0.2, 4.2
𝑥2 − 4𝑥 − 1 ≥ 0
−∞, 2−√5 ∪ 2 + 5,∞
17 de 18
Ejercicios del Texto
• Resuelva y exprese en notación de intervalos
Prof. José G. Rodríguez Ahumada02/17/2016 18 de 18
Top Related