Lección 1Teoría Semiclásica de las propiedades de transporte
• Velocidad de fase-velocidad de grupo.• Modelo semiclásico: paquetes de ondas. • Dinámica del electrón. • Contribución de las bandas llenas al transporte de carga. • Huecos: propiedades dinámicas. • Modelo de Drude para semiconductores.• Resistividad y efecto Hall.• Magnetorresistencia.• Conductividad en corriente alterna.• Resonancia ciclotrónica
Velocidad de fase / velocidad de grupo
)sin(),( 1101 txkAtxA ω−=
−
−−
+
−+
= txkktxkkAtxA22
cos22
sin2),( 212121210
ωωωω
( ) ( )txktxkAtxA ωω ∆−∆−= cossin2),( 000
0=∆−∆ txk ωkdt
dx∆∆
=ω
dkd
kv kg
ωω=
∆∆
= →∆ 0lim
Los máximos corresponden a cierto valor de la fase
)sin(),( 2202 txkAtxA ω−=
)sin()sin(),( 220110 txkAtxkAtxA ωω −+−=
Velocidad de fase
2
22
1
11 k
vk
v ffωω
==
Ondas sinusoidales
Interferencia
Velocidad de fase / velocidad de grupo
dkekAtxu tkkxi ))(()(),( ω−∫=
)()()()()( 00000
kkvkkkdkdkk g
kk
−+=−
+=
=
ωωωω
dkekAetxu ktvxittvki gg )()( )(),( 00 −− ∫= ω
dkekAxu ikx∫= )()0,(
)0,(),( )( 00 tvxuetxu gttvki g −= −ω
Paquete de ondas
∑ −Ψk
)t)k(R.ki(knn e)r()kg(=t),R+r( n
rh
rrr
rrrrr ε
φ
tki
k
n
e)r(kn)kg(=t),r(n h
r
rrrr)(ε
φ−
∑Ψg(k) solo es distinto de cero para un intervalo pequeño de k0,|k-k0| < ∆k ~π/a ∆R >> a
APROXIMACIÓN SEMICLÁSICA DE LOS ESTADOS ELECTRÓNICOS EN EL SÓLIDO: PAQUETE DE ONDAS
Velocidad electrón = Velocidad de grupo del paquete de ondas
Teoría cuántica
)()()()(
)()()()(2
22
reRrrURrU
rkrrUm
knRki
kn
knnkn
rrrrrr
rrrrh
rrr
r
rr
φφ
φεφ
⋅=+=+
=
+∇−
Aproximación semiclásica: paquete de ondas
k)k(1=
k=)k(v n
n r
r
hr
rr
∂∂
∂∂ εω
dP dk= = F = ( e)(E +vxB)dt dt
−rr
r r rrh )()( rUkH extn
rr+= ε
En la aproximación semiclásica el paquete de ondas se mueve de acuerdo con las leyes de la macánica clásica
TRANSPORTE DE CARGA
( )∫∫
∫∫
∂∂
∂∂
∂∂
−=−
kn
3knn
3E
kn
3k3
dkk
41=dk
kk
41=J
dkk
41e)(dv
41e)(=J
rr
rr
r
r
h
rr
r
h
r
r
r
h
rr
τεπ
τεεπ
τεπ
τπ
2)(21)()(1
)(1
LAS BANDAS LLENAS NO CONTRIBUYEN AL TRANSPORTE DE ELECTRONES.
kx
ky
2π/a
π/a
π/a
k
-k)()(
)(1)(1)()(
kvkvk
kkk
kk
nn
nn
rrrr
r
r
hr
r
h
rr
−−=∂
−∂−=
∂∂
−=
εε
εε
LAS INTEGRALES, EXTENDIDAS A TODOS LOS VALORES DE k (dentro de la 1ª zona de Brillouin) SE ANULAN (ver Ashcroft-Mermim).
En ausencia de campo eléctrico
0)(1=
∂∂
−=− ∫∫ ZB kn
3ZB k3 dkk
41e)(dv
41e)(=J rr r
r
h
rrτε
πτ
π
LAS BANDAS LLENAS NO CONTRIBUYEN AL TRANSPORTE DE ELECTRONES.
En presencia de campo eléctrico
kx
ky
2π/a
1
2 3
1'
2'3'
K1
K2K3
E
ja
ia
K
ja
K
ia
K
rrr
rr
rr
ππ
π
π
22
2
2
3
2
1
−−=
−=
−=
tEektk
Eedtkd
∆−=∆
−=
r
h
rs
rr
h
0)(
0)(1=
∂∂
−=− ∫∫ ZB kn
3ZB k3 dkk
41e)(dv
41e)(=J rr r
r
h
rrτε
πτ
π
CONTRIBUCIÓN DE BANDAS CASI VACÍAS (ELECTRONES)
∫ =−ocupadok
k3 dv4
1e)(=Jr
rrr
0τπ
kx
ky
2π/a
π/a
π/a
0)()(
0
=
−−=
=
Jkvkv
simétricaónDistribuciE
r
rrrr
rEn ausencia de campo eléctrico
CONTRIBUCIÓN DE BANDAS CASI VACÍAS (ELECTRONES)
nm
tEed4m
tEedv4
1e)(=Jocupadoocupado k
k3k
k3 *
2
*
2 1 ∆=
∆=− ∫∫
rrrr
r
r
r
r τπ
τπ
En presencia de campo eléctrico
kx
ky
2π/a
π/a
π/a
E
∆k tmEe
mkv
tEek
simétricanoónDistribuciE
∆−=∆
=
∆−=∆
≠
**
0
rr
h
h
rr
r
CONTRIBUCIÓN DE BANDAS CASI LLENAS (HUECOS)
∫ =−ocupadok
k3 dv4
1e)(=Jr
rrr
0τπ
0)()(
0
=
−−=
=
Jkvkv
simétricaónDistribuciE
r
rrrr
rEn ausencia de campo eléctrico
kx
ky
2π/a
π/a
π/a
∫−ocupadok
k3 dv4
1e)(=Jr
rrr
τπ
∫∫
∫∫
−−=−
−−
vacíoocupado
vacíoocupado
kk3
kk3
kk3
kk3
dv4
1e)(dv4
1e)(
0=dv4
1e)(+dv4
1e)(
r
r
r
r
r
r
r
r
rr
rr
τπ
τπ
τπ
τπ
En presencia de campo eléctrico
CONTRIBUCIÓN DE BANDAS CASI LLENAS (HUECOS)
kx
ky
2π/a
π/a
π/a
E
∆k
tEek
simétricanoónDistribuciE
∆−=∆
≠
h
rr
r0
∫+vacíok
k3 dv4
1e)(=Jr
rrr
τπ
Las bandas parcialmente llenas si contribuyen al transporte de electrones y lo podemos representar como si se tratase del transporte de cargas positivas ficticias: HUECOS (su masa efectiva será diferente).
( )0**
20
2
0 2kk
m=
k)k(1=)k(v
mkk
)k(=)k(rrh
r
r
h
rrrr
hrr−−
∂∂−
−εεε
)Bxv+E(me=
dtkd
m=)k(v
dtd=a
rrrr
hrrr**
−
Transporte de carga en una banda LCAO
a)k+ak+ak2A(+E=)k( zyx coscoscosmin
rε
−==
∂∂=
−=⇒−=
ateEkAaakAak
)k(1v
teEkkeEdt
dk
xxx
xx
xxx
xx
)(sin2)sin(20
0
hhh
r
h
hh
ε
La velocidad resulta variar armónicamente, lo que indica que, en un sólido, un campo eléctrico uniforme daría lugar a una corriente alterna (esto si los portadores pudiesen alcanzar un k suficientemente grande). Este resultado es general dada la periodicidad de la relación ε(k) en el espacio recíproco.
MODELO DE DRUDE
τγγ v
mEe=v
mmEe=
dtvd vEe=
dtvdm
rrr
rrrrr
−−−***
*
E=Emev=
dtvd rrrr
µτ*0 =
mne=en= E=E
me(en)=ven=J
2
**
τµσστ rrrr
En el estado estacionario
LEY DE OHM: CONDUCTIVIDAD ELÉCTRICA
En este modelo se supone que todos los electrones (o huecos) son dispersados en promedio con un intervalo de tiempo τ (tiempo de relajación), perdiendo la energía adquirida en ese intervalo, lo que equivaldría al efecto de una fuerza disipativa
Campo magnético en la dirección del eje Z Campos eléctricos y corrientes en el plano perpendicular).
*
*
xx yc
yy c x
e v0 = vEme v0 = vE
m
ωτ
ωτ
−+
− −
τv
m)Bxve(
mEe=
dtvd rrrrr
−+ **
*
*
2
x xx yc
2
y yx yc
ne=J J E Emne=J J E Em
τω τ σ
τω τ σ
− =
=+
*meB
c =ω
frecuencia ciclotrónica de los electrones
EFECTO HALL
Multiplicando por (en) y sustituyendo envx=Jx y envy=Jy
x
y
z Br
xEr
yErJ
r
+ + + + +
- - - - - -
JBR=JenB=E
E=J
0=J
xHxy
xx
y
σ
Si la muestra tiene unos electrodos en las caras perpendiculares al eje X (campo eléctrico según X), que inyectan una corriente constante, y la muestra es finita entonces no puede haber flujo neto de carga en la dirección del eje Y.
Muestra paralelepipédica: medidas con “4 puntas”
l
h
d
hdI
SIJ x ==
lVEx =
hVE H
H =
IV
lhd=
lV=
hdI ρ
ρ1
IBdV
RdhIBR=
hV H
HHH =
En una muestra finita la conductividad es independiente del campo magnético: el campo de Hall compensa el efecto del campo magnético.
*
*
2
x xx yc
2
y yx yc
ne=J J E Emne=J J E Em
τω τ σ
τω τ σ
− =
=+
Si la muestra es infinita no se anula ninguna componente de la densidad de corriente (y no aparecerá ningún campo de Hall).
x c yx 2 2
c
c x yy 2 2
c
E E=J 1+
E E=J 1+
ω τσ
ω τω τ
σω τ
+
− +
)B21(1=)
21(1=)(B
+1=(B) E
+1=J
2222c0B
22c
22c
µστωσσ
τω
σστω
σ
−−→
Las trayectorias electrónicas entre choques son arcos de circunferencia y el recorrido libre medio en la dirección del campo eléctrico es menor, lo que equivale a una disminución de la conductividad.
MAGNETORRESISTENCIA
x
y
z Br
xEr
yErJ
r
+ + + + +
- - - - - -
En presencia de un campo eléctrico de la forma E0eiωt, es fácil ver que, si buscamos en la ecuación del movimiento soluciones de la forma v= v0eiωt:
La conductividad pasa a ser compleja. Dado el valor tan pequeño de los tiempos de relajación, este efecto solo se observa para frecuencias muy elevadas (microondas) y en semiconductores para los que la movilidad sea alta.
τω
ωωω
tititi ev
meEeevi=
dtvd 0
*0
0
rrr
r−=
ωττ
iE
mev
+=
11
0*0
rr
ωτσσi+
=1
0
CONDUCTIVIDAD EN CORRIENTE ALTERNA
En presencia de un campo eléctrico alterno de la forma E0eiωt
ωτσσi+
=1
0
CONDUCTIVIDAD versus SUSCEPTIBILIDAD (ELÉCTRICAS)
Conductividadmne=en= E=E
me(en)=ven=J
2
**
τµσστ rrrr
Susceptibilidad Eren=Prrr
χε 0= Jven=dtPd rrr
=
JPi=dtPd rrr
=ω
EEi=Pirrr
σχωεω =0 σχωε =0i )(1)(0
ωσωε
ωχi
=
)1(1
11)( *
2
0
0
0 ωττ
ωεωτσ
ωεωχ
imne
iii +=
+= *
0
22
mne
P εω =
2
2
1)(1)(ω
τω
ωωχωε−
+=+= iP
2
2
1)(ωωωε P−=
ωτ
<<1
La resonancia ciclotrónica es un fenómeno de absorción resonante de ondas de alta frecuencia (microondas), en presencia de un campo magnético intenso (campo eléctrico E0eiωt y soluciones de la forma v= v0eiωt):
τω 0
*0
*0
0v
m)Bxve(
mEe=vi
rrrrr −+
00 00 *
00 00 *
xx c yx
yy c xy
e vi v = vEme vi v = + vE
m
ω ωτ
ω ωτ
−−
−
20
0 00 *
20
0 00 *
xx c yx
yy c xy
e n Ji J = JEme n Ji J = + JEm
ω ωτ
ω ωτ
−−
−
0 0 00 0
0 0 00 0
x c y xx
y c x yy
i J = J JEi J = + J JE
ωτ σ τωωτ σ ω τ
−−−
000 0
00 0 0
( 1)( 1)
xc yx
yc x y
i J =J Ei J =J E
ωτ τ σωωτ σω τ
+ +− + +
x
y
zB
vFr
11
>>=>><<=<<
BTBT
cc
cc
µτωτµτωτCampo débil
Campo intenso
RESONANCIA CICLOTRÓNICA
La parte real del tensor conductividad tiene un máximo para ω = ωC , lo que indica que habrá un fenómeno resonante a esa frecuencia. Este fenómeno constituye la base del método más preciso utilizado para medir la masa efectiva (m*=eBres/ω) según diferentes direcciones:
0 00 00 0 02 2 2 2 2 2
0 00 00 0 02 2 2 2 2 2
(1 ) (1 )(1 ) 1 ( ) 2
(1 ) (1 )(1 ) 1 ( ) 2
y yC Cx xx
c c
C Cy yx xy
c c
i E i EE EJ =i i
E Ei E i EJ =
i i
ω τ ω τωτ ωτσ σ
ωτ ω τ ω ω τ ωτω τ ω τωτ ωτ
σ σωτ ω τ ω ω τ ωτ
− −+ +=
+ + + − +
+ ++ +=
+ + + − +
xxxx EEJP
EJEJP
σRe21Re
21
Re21
20
*
*
>=<=
>⋅<>=⋅=<rrrr
yyyxyxy
yxyxxxx
EEJEEJ
00
00
σσ
σσ
+=
+=
( )( )[ ]
+−+
++=
22222
222200
41
121
τωωω
τωωσc
cEP( )
+−++
=ωττωω
ωτσi
iEPc 21
1Re21
222200
Se han de producir dos condiciones: (i) campo intenso (ωCτ>>1), para que un electrón complete varias órbitas ciclotrónicas sin
ser dispersado, (ii) (ii) la energía que ganan los electrones al absorber las microondas ha de ser mayor que
su energía térmica media ( ).kTc >>ωh
Interpretación cuántica de la resonancia ciclotrónica
( )ixBA
rErAeim
rr
rrrh
=
Ψ=Ψ+∇− )()(2
1 2*
*
22
221)(
mknkE z
cznh
h +
+= ω
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