La estadística descriptiva proporciona métodos gráficos y métodos numéricos para el análisis
de uno o varios conjuntos de datos.
Variables Cualitativas
•Barras Simples
•Barras Proporcionales
•Barras Agrupadas
•Diagramas Sectoriales
Variables Cuantitativas Discretas
•Bastones
Variables Cuantitativas Continuas
•Histograma
•Polígono de Frecuencias Simples
•Polígono de Frecuencias Acumuladas
En todo análisis y/o interpretación se pueden utilizar diversas medidas descriptivas que representan las propiedades de tendencia central, dispersión y forma para extraer y
resumir las principales características de los datos.
Centralización
Indican valores con respecto a los que los datos parecen agruparse.
Media, mediana y moda
Posición
Dividen un conjunto ordenado de datos en grupos con la misma cantidad de individuos.
Cuartiles, deciles, percentiles
Dispersión
Indican la mayor o menor concentración de los datos con respecto a las medidas de centralización.
Rango, Varianza, Desviación típica, Coeficiente de Variación.
Forma
Asimetría
La mayor parte de los conjuntos de datos muestran una tendencia a agruparse alrededor de un punto “central”.
La media aritmética es la medida más común de centralización de un grupo de datos.
Serie Simple:
Si las observaciones de una muestra de tamaño n son x1,x2, …, xn entonces la media muestral se define como:
1
n
i
i
x
Xn
Serie de Frecuencias: Si las observaciones de una muestra de tamaño n son x1,x2, …, xi y f1, f2, …, fi son sus respectivas frecuencias absolutas entonces la media muestral se define como:
1
n
i i
i
x f
Xn
Nº de hijos f i 0 5
1 8
2 10
3 12
4 15
5 13
6 10
7 7
n = 80
0 5 1 8 2 10 3 12 4 15 5 13 6 10 7 7
80
3,725
X
X
Ejemplo:
Intervalos de clase: Sean xm1,xm2, …, xmi las marcas de clases de los intervalos y f1, f2, …, fi sus respectivas frecuencias absolutas entonces la media muestral se define como:
1
k
mi i
i
x f
Xn
Intervalo xmi
[29.5 – 34.5) 32
[34.5 – 39.5) 37
[39.5 – 44.5) 42
[44.5 – 49.5) 47
[49.5 – 54.5) 52
32 8 37 14 42 20 47 12 52 4
58
41,14
X
X
f i
8
14
20
12
4
Ejemplo:
Es el punto donde la muestra se divide en dos partes iguales.
Serie Simple:
Sean x1,x2, …, xn una muestra ordenada en forma creciente, entonces la mediana se define como:
1 /2
/2 1 /2
si es impar
si es par2
n
n n
x n
Me x xn
MEDIANA
MEDIANA
Ejemplo 1: 1, 3, 4, 2, 7, 6 y 8
La media muestral es 4,4
1, 2, 3, 4, 6, 7, 8
Ejemplo 2: 1, 3, 4, 2, 7, 2450 y 8
La media muestral es 353,6
1, 2, 3, 4, 7, 8, 2450
Serie de Frecuencias:
Es aquel valor de la variable cuya frecuencia absoluta acumulada
es inmediatamente mayor a la mitad de las observaciones
Nº de hijos f i F
0 5 5
1 8 13
2 10 23
3 12 35
4 15 50
5 13 63
6 10 73
7 7 80
80
El número de hijos en 80 familias se distribuye de la siguiente forma:
402
80
2
n
Me = 4 hijos
Ejemplo:
Intervalos de clases: Para calcular la mediana se usa la
siguiente fórmula:
inf2 *
aa
i
nF
Me L af
donde:
Linf = Límite inferior del primer intervalo cuya Fa es mayor a n/2.
Faa = Frecuencia acumulada del intervalo anterior al primer intervalo
cuya Fa es mayor a n/2.
fi = Frecuencia absoluta del primer intervalo cuya Fa es mayor a n/2.
a = Amplitud de los intervalos
Intervalo f i
[29.5 – 34.5) 8
[34.5 – 39.5) 14
[39.5 – 44.5) 20
[44.5 – 49.5) 12
[49.5 – 54.5) 4
F
8
22
42
54
58
af
Fn
LMei
aa
*2inf
25.415*20
222
58
5.39
Me
Ejemplo: 58
292 2
n
0,00
10,00
20,00
30,00
40,00
50,00
60,00
70,00
80,00
90,00
100,00
41 47 53 59 65 71 77
Putuaciones
Po
rcen
taje
s
25%
75%
Serie Simple:
Ejemplo 1: 3 , 6 , 9 , 3 , 5 , 8 , 3 , 10 , 4 , 6 , 3 , 1
La moda es 3.
Ejemplo 2: 3 , 6 , 9 , 3 , 5 , 8 , 3 , 10 , 4 , 6 , 3 , 1 , 6 , 2 , 5 , 6
Las modas son 3 y 6.
Ejemplo 3: 1, 3, 4, 7, 8, 9, 2, 19, 6
En este caso, no hay moda.
Intervalos de clase: Para calcular el valor puntual de la moda se usa la siguiente fórmula:
add
dLMo *
21
1inf
donde:
Linf = Límite inferior del intervalo que tiene mayor frecuencia absoluta
(intervalo modal).
d1 = Diferencia entre las frecuencias absolutas del intervalo modal y
el intervalo pre-modal.
d2 = Diferencia entre las frecuencias absolutas del intervalo modal y
el intervalo post-modal.
a = Amplitud de los intervalos
A
Agrupando en 6 clases
Intervalos Frecuencias
[13.5 - 16.5) 2
[16.5 - 19.5) 9
[19.5 - 22.5) 13
[22.5 - 25.5) 9
[25.5 - 28.5) 9
[28.5 - 31.5) 1
TOTAL 43
B
Agrupando en 5 clases
Intervalos Frecuencias
[12.5 - 16.5) 2
[16.5 - 20.5) 13
[20.5 - 24.5) 16
[24.5 - 28.5) 11
[28.5 - 32.5) 1
TOTAL 43
Clase Modal = [19.5-22.5) Clase Modal = [20.5-24.5)
419,5 .3 21
4 4Mo
320,5 .4 22
3 5Mo
Cuando se divide un conjunto ordenado de datos en cuatro partes iguales, los puntos de división se conocen como cuartiles.
Mínimo Máximo Cuartil 1
Q1 Cuartil 3
Q3 Mediana Cuartil 2
Q2
25% 25% 25% 25%
25% 75%
25% 75%
1 /4
/4 1 /4
si es impar
si es par2
n j
j nj n j
x n
Q x xn
Serie Simple:
Sean x1,x2, …, xn una muestra ordenada en forma creciente, entonces la mediana se define como:
Serie de Frecuencias:
Nº de hijos f i F
0 5 5
1 8 13
2 10 23
3 12 35
4 15 50
5 13 63
6 10 73
7 7 80
80
80. .4 4
nj j
Q1 = 2 hijos
8020
4 4
n
803. 3. 60
4 4
n
Q3 = 5 hijos
Intervalos de clases:
inf
.4 *
aa
j
i
nj F
Q L af
donde:
Linf = Límite inferior del primer intervalo cuya Fa es mayor a j.n/4
Faa = Frecuencia acumulada del intervalo anterior al primer intervalo
cuya Fa es mayor a j.n/4.
fi = Frecuencia absoluta del primer intervalo cuya Fa es mayor a j.n/4
a = Amplitud de los intervalos.
Cuando se divide un conjunto ordenado de datos en diez partes iguales, los puntos de división se conocen como deciles.
Mínimo Máximo Decil 2
D2
20% 80%
Cuando se divide un conjunto ordenado de datos en cien partes iguales, los puntos de división se conocen como percentil.
Mínimo Máximo Percentil 18
P18
18% 82%
0,00
10,00
20,00
30,00
40,00
50,00
60,00
70,00
80,00
90,00
100,00
41 47 53 59 65 71 77
Putuaciones
Po
rcen
taje
s
Q1 P40 Q3
25%
75%
El rango de la muestra es la medida de variabilidad más sencilla entre todas las mencionadas; y se define como la diferencia entre la observación más grande y la más pequeña :
max minr x x
Para el conjunto de datos x1, x2,….,xn
Las diferencias determinan las desviaciones de la media.
Dado que la suma de estas desviaciones es cero, se utiliza como medida
de variabilidad el promedio de los cuadrados de tales desviaciones.
2
2 1
( )n
i
i
x x
sn
Sin embargo, como sólo hay n-1 desviaciones independientes conviene
dividir entre n-1, es decir…
Esta medida de variabilidad se denomina Varianza.
Como S2 no tiene las mismas unidades que los
datos, se define la Desviación Estándar como la raíz
cuadrada (positiva) de la varianza a fin de tener una
medida en las mismas unidades de los datos. La
desviación estándar es útil para comparar dispersión
entre dos poblaciones, pero también lo es para
calcular el porcentaje de la población que pueden
localizarse a menos de una distancia específica de la
media.
Resumiendo…
Varianza para datos no agrupados 1
)(1
2
2
n
Xx
S
n
i
i
Varianza para datos agrupados (Serie de
Frecuencias) 1
)(1
2
2
n
fXx
S
n
i
ii
Varianza para datos agrupados (Intervalos de
clases)
2
2 1
( )
1
k
mi i
i
x X f
Sn
Desvío Estándar para
datos no agrupados
Desvío Estándar para
datos agrupados (Serie de
Frecuencia)
Desvío Estándar para
datos agrupados
(Intervalos de clases)
2
1
)(1
1
n
i
i Xxn
S
i
n
i
i fXxn
S 2
1
)(1
1
Representa la variabilidad existente en un conjunto de datos, así podemos
tener dos muestras que tienen la misma media, pero que tienen diferente
Desviación Estándar.
2
1
1( )
1
k
mi i
i
S x X fn
Nos permite la comparación entre distintas variables y
poblaciones.
Mide el grado de homogeneidad o heterogeneidad en una o mas
poblaciones.
Su principal característica es estar desprovisto de unidades.
El valor se puede expresar en términos porcentuales.
100%S
CVX
Ejemplo: Si tenemos el peso de 5 pacientes (70, 60, 56, 83 y 79 Kg) cuya media es de 69,6 kg. y su desviación estándar (s) = 10,44 y la presión arterial de los mismos (150, 170, 135, 180 y 195 mmHg) cuya media es de 166 mmHg y su desviación estándar de 21,3. La pregunta sería: ¿qué distribución es más dispersa, el peso o la presión arterial? Si comparamos las desviaciones estándar observamos que la desviación estándar de la presión arterial es mucho mayor; sin embargo, no podemos comparar dos variables que tienen escalas de medidas diferentes, por lo que calculamos los coeficientes de variación:
CV de la variable peso =
CV de la variable Presión =
Una tercera propiedad de un conjunto de datos es su forma, la manera en que se distribuyen los datos.
Una distribución de datos puede ser simétrica o no. Si la distribución de datos no es simétrica, se le denomina asimétrica o sesgada.
Todo lo que se requiere para describir la forma es comparar la media, la mediana y la modo.
Forma
Centralización
Indican valores con respecto a los que los datos parecen agruparse.
Media, mediana y moda
Posición
Dividen un conjunto ordenado de datos en grupos con la misma cantidad de individuos.
Cuartiles, deciles, percentiles
Dispersión
Indican la mayor o menor concentración de los datos con respecto a las medidas de centralización.
Rango, Varianza, Desviación típica, Coeficiente de Variación.
Forma
Asimetría
Probabilidad Condicional. Teorema de Bayes
Axiomática de la teoría de probabilidades
Axiomática de la teoría de probabilidades Probabilidad Condicional. Teorema de Bayes.
Axiomática de la teoría de probabilidades
Probabilidad Condicional:
Con la incorporación de las nuevas carreras de informática la facultad de ingeniería ha
incorporado 100 notebook, de las cuales 20 poseen software comercial y 80 software
libre. Supongamos que escogemos en forma aleatoria dos notebook.
Definimos lo siguientes eventos:
Axiomática de la teoría de probabilidades
Probabilidad Condicional:
Para introducir este nuevo concepto consideremos la siguiente situación:
Con la incorporación de las nuevas carreras de informática la facultad de ingeniería ha
incorporado 100 notebook, de las cuales 20 poseen software comercial y 80 software
libre. Supongamos que escogemos en forma aleatoria dos notebook.
Definimos lo siguientes sucesos:
la primer notebook tiene software comercialA
la segunda notebook tiene software comercialB
Axiomática de la teoría de probabilidades
Probabilidad Condicional:
Para introducir este nuevo concepto consideremos la siguiente situación:
Con la incorporación de las nuevas carreras de informática la facultad de ingeniería ha
incorporado 100 notebook, de las cuales 20 poseen software comercial y 80 software
libre. Supongamos que escogemos en forma aleatoria dos notebook.
Definimos lo siguientes sucesos:
la primer notebook tiene software comercialA
la segunda notebook tiene software comercialB
a) Supongamos que estamos haciendo la extracción CON SUSTITUCIÓN.
Axiomática de la teoría de probabilidades
Probabilidad Condicional:
Para introducir este nuevo concepto consideremos la siguiente situación:
Con la incorporación de las nuevas carreras de informática la facultad de ingeniería ha
incorporado 100 notebook, de las cuales 20 poseen software comercial y 80 software
libre. Supongamos que escogemos en forma aleatoria dos notebook.
Definimos lo siguientes sucesos:
la primer notebook tiene software comercialA
la segunda notebook tiene software comercialB
a) Supongamos que estamos haciendo la extracción CON SUSTITUCIÓN.
Cada vez que extraemos una notebook del lote, existen 20 notebook con software
comercial de un total de 100.
Axiomática de la teoría de probabilidades
Probabilidad Condicional:
Para introducir este nuevo concepto consideremos la siguiente situación:
Con la incorporación de las nuevas carreras de informática la facultad de ingeniería ha
incorporado 100 notebook, de las cuales 20 poseen software comercial y 80 software
libre. Supongamos que escogemos en forma aleatoria dos notebook.
Definimos lo siguientes sucesos:
la primer notebook tiene software comercialA
la segunda notebook tiene software comercialB
a) Supongamos que estamos haciendo la extracción CON SUSTITUCIÓN.
Cada vez que extraemos una notebook del lote, existen 20 notebook con software
comercial de un total de 100.
20 1
100 5P BP A
Axiomática de la teoría de probabilidades
la primer notebook tiene software comercialA
la segunda notebook tiene software comercialB
b) Supongamos que estamos haciendo la extracción SIN SUSTITUCIÓN.
20 con software comercial100 notebook
80 con software libre
Probabilidad Condicional:
Axiomática de la teoría de probabilidades
la primer notebook tiene software comercialA
la segunda notebook tiene software comercialB
b) Supongamos que estamos haciendo la extracción SIN SUSTITUCIÓN.
1
5P A
20 con software comercial100 notebook
80 con software libre
Probabilidad Condicional:
Axiomática de la teoría de probabilidades
la primer notebook tiene software comercialA
la segunda notebook tiene software comercialB
b) Supongamos que estamos haciendo la extracción SIN SUSTITUCIÓN.
1
5P A
20 con software comercial100 notebook
80 con software libre
?P B
Probabilidad Condicional:
Axiomática de la teoría de probabilidades
la primer notebook tiene software comercialA
la segunda notebook tiene software comercialB
b) Supongamos que estamos haciendo la extracción SIN SUSTITUCIÓN.
1
5P A
Debemos conocer la composición del lote al momento de
extraer la segunda notebook.
20 con software comercial100 notebook
80 con software libre
?P B
Probabilidad Condicional:
Axiomática de la teoría de probabilidades
la primer notebook tiene software comercialA
la segunda notebook tiene software comercialB
b) Supongamos que estamos haciendo la extracción SIN SUSTITUCIÓN.
1
5P A
Debemos conocer la composición del lote al momento de
extraer la segunda notebook.
Debemos saber si A ocurre o no
20 con software comercial100 notebook
80 con software libre
?P B
20 si no ocurre A
99
19 si ocurre A
99
P B
Probabilidad Condicional:
Axiomática de la teoría de probabilidades
la primer notebook tiene software comercialA
la segunda notebook tiene software comercialB
b) Supongamos que estamos haciendo la extracción SIN SUSTITUCIÓN.
1
5P A
Debemos conocer la composición del lote al momento de
extraer la segunda notebook.
Debemos saber si A ocurre o no
20 con software comercial100 notebook
80 con software libre
?P B
20 si no ocurre A
99
19 si ocurre A
99
P B
Probabilidad Condicional:
/P B A
Axiomática de la teoría de probabilidades
Sean A y B dos sucesos asociados a un experimento tal que P(A)>0, se define la
probabilidad de B condicionada al evento A como:
/P A B
P B AP A
Probabilidad Condicional:
Axiomática de la teoría de probabilidades
Ejemplo: Dos dados equilibrados son lanzados, registrándose el resultado como (x1,
x2), donde xi es el resultado del i-ésimo dado con i=1,2.
1 2 1 2, / 10A x x x x
1 2 1 2, /B x x x x
Probabilidad Condicional:
Axiomática de la teoría de probabilidades
Ejemplo: Dos dados equilibrados son lanzados, registrándose el resultado como (x1,
x2), donde xi es el resultado del i-ésimo dado con i=1,2.
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
1 2 1 2, / 10A x x x x
1 2 1 2, /B x x x x S
Probabilidad Condicional:
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
Axiomática de la teoría de probabilidades
Ejemplo: Dos dados equilibrados son lanzados, registrándose el resultado como (x1,
x2), donde xi es el resultado del i-ésimo dado con i=1,2.
1 2 1 2, / 10A x x x x
1 2 1 2, /B x x x x S
Probabilidad Condicional:
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
Axiomática de la teoría de probabilidades
Ejemplo: Dos dados equilibrados son lanzados, registrándose el resultado como (x1,
x2), donde xi es el resultado del i-ésimo dado con i=1,2.
1 2 1 2, / 10A x x x x
1 2 1 2, /B x x x x S
3
36P A
Probabilidad Condicional:
Axiomática de la teoría de probabilidades
Ejemplo: Dos dados equilibrados son lanzados, registrándose el resultado como (x1,
x2), donde xi es el resultado del i-ésimo dado con i=1,2.
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
1 2 1 2, / 10A x x x x
1 2 1 2, /B x x x x S
3
36P A
Probabilidad Condicional:
Axiomática de la teoría de probabilidades
Ejemplo: Dos dados equilibrados son lanzados, registrándose el resultado como (x1,
x2), donde xi es el resultado del i-ésimo dado con i=1,2.
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
1 2 1 2, / 10A x x x x
1 2 1 2, /B x x x x S
3
36P A
Probabilidad Condicional:
15
36P B
Axiomática de la teoría de probabilidades
Ejemplo: Dos dados equilibrados son lanzados, registrándose el resultado como (x1,
x2), donde xi es el resultado del i-ésimo dado con i=1,2.
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
1 2 1 2, / 10A x x x x
1 2 1 2, /B x x x x S
3
36P A
15
36P B
Probabilidad Condicional:
Axiomática de la teoría de probabilidades
Ejemplo: Dos dados equilibrados son lanzados, registrándose el resultado como (x1,
x2), donde xi es el resultado del i-ésimo dado con i=1,2.
1 2 1 2, / 10A x x x x
1 2 1 2, /B x x x x
3
36P A
15
36P B
1
136/ ;15 15
36
P A BP A B
P B
1
136/ ;3 3
36
P A BP B A
P A
Probabilidad Condicional:
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
S
Axiomática de la teoría de probabilidades
La probabilidad condicional cumple con las siguientes propiedades:
) /P B
a B A P B AP A
Probabilidad Condicional:
A
B
Axiomática de la teoría de probabilidades
La probabilidad condicional cumple con las siguientes propiedades:
A
B
/P B A P B
P B A P BP A P A
) /P B
a B A P B AP A
Probabilidad Condicional:
Axiomática de la teoría de probabilidades
La probabilidad condicional cumple con las siguientes propiedades:
) / 1P A
b A B P B AP A
Probabilidad Condicional:
B
A
Axiomática de la teoría de probabilidades
La probabilidad condicional cumple con las siguientes propiedades:
B
A
/ 1P B A P A
P B AP A P A
) / 1P A
b A B P B AP A
Probabilidad Condicional:
Axiomática de la teoría de probabilidades
La probabilidad condicional cumple con las siguientes propiedades:
) / 0c A B P B A
Probabilidad Condicional:
A
B
Axiomática de la teoría de probabilidades
La probabilidad condicional cumple con las siguientes propiedades:
/ 0P B A P
P B A P BP A P A
) / 0c A B P B A
A
B
Probabilidad Condicional:
Axiomática de la teoría de probabilidades
La probabilidad condicional cumple con las siguientes propiedades:
) /P A B
d A B P B AP A
Probabilidad Condicional:
A
B
Axiomática de la teoría de probabilidades
La probabilidad condicional cumple con las siguientes propiedades:
/P B A
P B AP A
) /P A B
d A B P B AP A
A
B
Probabilidad Condicional:
Axiomática de la teoría de probabilidades
De la definición de probabilidad condicional tenemos que:
0, / /
o su equivalente
0, / /
P A BP A P B A P A B P A P B A
P A
P A BP B P A B P A B P B P A B
P B
Teorema del producto de probabilidades
Axiomática de la teoría de probabilidades
De la definición de probabilidad condicional tenesmos que: :
la primer notebook tiene software comercialA
la segunda notebook tiene software comercialB
20 con software comercial100 notebook
80 con software libre
Teorema del producto de probabilidades
Retomemos el ejemplo de las Notebook. Extracción SIN SUSTITUCIÓN.
0, / /
o su equivalente
0, / /
P A BP A P B A P A B P A P B A
P A
P A BP B P A B P A B P B P A B
P B
Axiomática de la teoría de probabilidades
De la definición de probabilidad condicional tenesmos que: :
la primer notebook tiene software comercialA
la segunda notebook tiene software comercialB
Retomemos el ejemplo de las Notebook. Extracción SIN SUSTITUCIÓN.
20 con software comercial100 notebook
80 con software libre
20 19
/100 99
P A B P A P B A
Teorema del producto de probabilidades
0, / /
o su equivalente
0, / /
P A BP A P B A P A B P A P B A
P A
P A BP B P A B P A B P B P A B
P B
Axiomática de la teoría de probabilidades
Podemos generalizar el resultado para una secuencia de sucesos
1 2 1 2 1 3 1 2 1 2 1/ / /n n nP A A A P A P A A P A A A P A A A A
1 2, , , nA A A
Teorema del producto de probabilidades
Axiomática de la teoría de probabilidades
1 2 1 2 1 3 1 2 1 2 1/ / /n n nP A A A P A P A A P A A A P A A A A
la primer notebook tiene software comercialA
la segunda notebook tiene software comercialB
Retomemos el ejemplo de las Notebook. Extracción SIN SUSTITUCIÓN.
20 con software comercial100 notebook
80 con software libre
la tercera notebook tiene software comercialC
Teorema del producto de probabilidades
Podemos generalizar el resultado para una secuencia de sucesos 1 2, , , nA A A
Axiomática de la teoría de probabilidades
1 2 1 2 1 3 1 2 1 2 1/ / /n n nP A A A P A P A A P A A A P A A A A
la primer notebook tiene software comercialA
la segunda notebook tiene software comercialB
20 con software comercial100 notebook
80 con software libre
/ /P A B C P A P B A P C A B
la tercera notebook tiene software comercialC
Teorema del producto de probabilidades
Retomemos el ejemplo de las Notebook. Extracción SIN SUSTITUCIÓN.
Podemos generalizar el resultado para una secuencia de sucesos 1 2, , , nA A A
Axiomática de la teoría de probabilidades
1 2 1 2 1 3 1 2 1 2 1/ / /n n nP A A A P A P A A P A A A P A A A A
la primer notebook tiene software comercialA
la segunda notebook tiene software comercialB
20 con software comercial100 notebook
80 con software libre
20 19 18
/ /100 99 98
P A B C P A P B A P C A B
la tercera notebook tiene software comercialC
Teorema del producto de probabilidades
Retomemos el ejemplo de las Notebook. Extracción SIN SUSTITUCIÓN.
Podemos generalizar el resultado para una secuencia de sucesos 1 2, , , nA A A
Axiomática de la teoría de probabilidades
De las propiedades b) y c) de la probabilidad condicional:
) / 0c A B P A B
) / 1P B
b B A P A BP B
La ocurrencia del suceso B,
nos da información precisa
sobre la ocurrencia del
suceso A.
Sucesos Independientes
Axiomática de la teoría de probabilidades
De las propiedades b) y c) de la probabilidad condicional:
) / 0c A B P A B
) / 1P B
b B A P A BP B
Existen muchos casos en los cuales la ocurrencia de un suceso B no tiene influencia
alguna en la ocurrencia o no ocurrencia de otro suceso A.
Sucesos Independientes
La ocurrencia del suceso B,
nos da información precisa
sobre la ocurrencia del
suceso A.
Axiomática de la teoría de probabilidades
Ejemplo: Dos dados equilibrados son lanzados, registrándose el resultado como
(x1, x2), donde xi es el resultado del i-ésimo dado con i=1,2.
Eventos Independientes
1 2 1, / es parA x x x
1 2 2 2, / es impar, 1 B x x x x
Axiomática de la teoría de probabilidades
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
S
Eventos Independientes
Ejemplo: Dos dados equilibrados son lanzados, registrándose el resultado como
(x1, x2), donde xi es el resultado del i-ésimo dado con i=1,2.
1 2 1, / es parA x x x
1 2 2 2, / es impar, 1 B x x x x
Axiomática de la teoría de probabilidades
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
S
Eventos Independientes
Ejemplo: Dos dados equilibrados son lanzados, registrándose el resultado como
(x1, x2), donde xi es el resultado del i-ésimo dado con i=1,2.
1 2 1, / es parA x x x
1 2 2 2, / es impar, 1 B x x x x
Axiomática de la teoría de probabilidades
18 1
36 2P A
Eventos Independientes
Ejemplo: Dos dados equilibrados son lanzados, registrándose el resultado como
(x1, x2), donde xi es el resultado del i-ésimo dado con i=1,2.
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
S
1 2 1, / es parA x x x
1 2 2 2, / es impar, 1 B x x x x
Axiomática de la teoría de probabilidades
18 1
36 2P A
Eventos Independientes
Ejemplo: Dos dados equilibrados son lanzados, registrándose el resultado como
(x1, x2), donde xi es el resultado del i-ésimo dado con i=1,2.
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
S
1 2 1, / es parA x x x
1 2 2 2, / es impar, 1 B x x x x
Axiomática de la teoría de probabilidades
1 2 1, / es parA x x x
1 2 2 2, / es impar, 1 B x x x x
18 1
36 2P A
12 1
36 3P B
Eventos Independientes
Ejemplo: Dos dados equilibrados son lanzados, registrándose el resultado como
(x1, x2), donde xi es el resultado del i-ésimo dado con i=1,2.
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
S
Axiomática de la teoría de probabilidades
1 2 1, / es parA x x x
1 2 2 2, / es impar, 1 B x x x x
18 1
36 2P A
12 1
36 3P B
Eventos Independientes
Ejemplo: Dos dados equilibrados son lanzados, registrándose el resultado como
(x1, x2), donde xi es el resultado del i-ésimo dado con i=1,2.
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
S
Axiomática de la teoría de probabilidades
1 2 1, / es parA x x x
1 2 2 2, / es impar, 1 B x x x x
18 1
36 2P A
12 1
36 3P B
6 1
;36 6
P A B
Eventos Independientes
Ejemplo: Dos dados equilibrados son lanzados, registrándose el resultado como
(x1, x2), donde xi es el resultado del i-ésimo dado con i=1,2.
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
S
Axiomática de la teoría de probabilidades
1 2 1, / es parA x x x
1 2 2 2, / es impar, 1 B x x x x
18 1
36 2P A
12 1
36 3P B
6
136/ ;12 2
36
P A BP A B
P B
6
136/ ;18 3
36
P A BP B A
P A
Podríamos inclinarnos a decir que dos sucesos A y B son independientes sí:
/ /P A B P A y P B A P B
6 1
;36 6
P A B
Eventos Independientes
Ejemplo: Dos dados equilibrados son lanzados, registrándose el resultado como
(x1, x2), donde xi es el resultado del i-ésimo dado con i=1,2.
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
S
Axiomática de la teoría de probabilidades
/
/
P A B P A P B A P A P B
P A B P B P A B P B P A
De la definición de probabilidad conjunta tenemos que:
Eventos Independientes
Axiomática de la teoría de probabilidades
/
/
P A B P A P B A P A P B
P A B P B P A B P B P A
De la definición de probabilidad conjunta tenemos que:
Por lo tanto diremos que dos sucesos A y B son independientes si y sólo sí:
P A B P A P B
Eventos Independientes
Axiomática de la teoría de probabilidades
/
/
P A B P A P B A P A P B
P A B P B P A B P B P A
De la definición de probabilidad conjunta tenemos que:
Por lo tanto diremos que dos sucesos A y B son independientes si y sólo sí:
P A B P A P B
1 2 1, / es parA x x x
1 2 2 2, / es impar, 1 B x x x x
18 1
36 2P A
12 1
36 3P B
1
6P A B P A P B
Eventos Independientes
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
S
Axiomática de la teoría de probabilidades
Ejemplo: Para una señalización de emergencia se han instalado dos indicadores
que funcionan en forma independiente. Las probabilidades de falla, durante una
eventual emergencia, son de 0.05 para el primer indicador y 0,1 para el segundo.
a) Determinar la probabilidad de que el sistema de indicadores no funcione
durante la avería.
b) Determinar la probabilidad de que durante la avería funcione sólo un indicador.
Eventos Independientes
Axiomática de la teoría de probabilidades
Ejemplo: Para una señalización de emergencia se han instalado dos indicadores
que funcionan en forma independiente. Las probabilidades de falla, durante una
eventual emergencia, son de 0.05 para el primer indicador y 0,1 para el segundo.
a) Determinar la probabilidad de que el sistema de indicadores no funcione
durante la avería.
b) Determinar la probabilidad de que durante la avería funcione sólo un indicador.
Eventos Independientes
Axiomática de la teoría de probabilidades
Ejemplo: Para una señalización de emergencia se han instalado dos indicadores
que funcionan en forma independiente. Las probabilidades de falla, durante una
eventual emergencia, son de 0.05 para el primer indicador y 0,1 para el segundo.
a) Determinar la probabilidad de que el sistema de indicadores no funcione
durante la avería.
b) Determinar la probabilidad de que durante la avería funcione sólo un indicador.
Generalización:
son sucesos independientes si y solo sí para k=2,…,n
1 2 1 2k ki i i i i iP A A A P A P A P A
1 2, , , nA A A
Eventos Independientes
Axiomática de la teoría de probabilidades
Definición: Diremos que los sucesos representan una partición del
espacio muestral S si:
1
)
)
) 0
i j
n
ii
i
a B B i j
b S B
c P B i
1 2, , , nB B B
En palabras: cuando se efectúa el experimento, ocurre uno y sólo uno de los sucesos Bi
Teorema de la probabilidad total
Axiomática de la teoría de probabilidades
Ejemplo: En el lanzamiento de un dado:
1 2 31,2 3,4,5 6 representa una partición del espacio muestral.B B B
1 21,2,3,4 4,5,6 representa una partición del espacio muestral.C C NO
Teorema de la probabilidad total
Definición: Diremos que los sucesos representan una partición del
espacio muestral S si:
1
)
)
) 0
i j
n
ii
i
a B B i j
b S B
c P B i
1 2, , , nB B B
En palabras: cuando se efectúa el experimento, ocurre uno y sólo uno de los sucesos Bi
Axiomática de la teoría de probabilidades
B3 B4
B1
B2
A
S
Teorema de la probabilidad total
Sea A algún suceso respecto a
S y B1 B2 B3 B4 una partición de
S.
Axiomática de la teoría de probabilidades
B3 B4
B1
B2
A = (A B1) U (A B2) U (A B3) U (A B4)
A
S
Teorema de la probabilidad total
Sea A algún suceso respecto a
S y B1 B2 B3 B4 una partición de
S.
Axiomática de la teoría de probabilidades
B3 B4
B1
B2
A = (A B1) U (A B2) U (A B3) U (A B4)
A
S
P(A) = P(A B1)+P (A B2)+P (A B3)+P (A B4)
Teorema de la probabilidad total
Sea A algún suceso respecto a
S y B1 B2 B3 B4 una partición de
S.
Axiomática de la teoría de probabilidades
B1 B2
B3 B4
A
Si conocemos la probabilidad de A en
cada uno de los componentes de un
sistema exhaustivo y excluyente de
sucesos, entonces podemos calcular la
probabilidad de A como la suma:
P(A) = P(A B1) + P(A B2) + P(A B3) + P(A B4)
P(A) = P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) + P(A|B3)P(B3) + P(A|B4)P(B4)
Teorema de la probabilidad total
Axiomática de la teoría de probabilidades
Sea B1, B2, ... ,Bn una partición de S y sea A un seceso cualquiera asociado a S del que
se conocen las probabilidades condicionales P(A/Bi), entonces la probabilidad del
suceso A está dada por:
1
( ) ( | ) ( )n
i ii
P A P A B P B
B1 B2
B3 B4
A
Teorema de la probabilidad total
Axiomática de la teoría de probabilidades
Ejemplo: La compra de las notebook adquiridas por la FI fue a través de dos
proveedores diferentes, B1, B2. El 70% de las notebook fueron compradas a B1 y el
resto a B2. El porcentaje de notebook con batería de 4 celdas que se reciben de B1 es
del 10% y de B2 del 20%, siendo las restantes de 6 celdas. Determinar la probabilidad
de que una notebook tomada al azar tenga una batería de 4 celdas.
Axiomática de la teoría de probabilidades
Proveedor B1
Ejemplo: La compra de las notebook adquiridas por la FI fue a través de dos
proveedores diferentes, B1, B2. El 70% de las notebook fueron compradas a B1 y el
resto a B2. El porcentaje de notebook con batería de 4 celdas que se reciben de B1 es
del 10% y de B2 del 20%, siendo las restantes de 6 celdas. Determinar la probabilidad
de que una notebook tomada al azar tenga una batería de 4 celdas.
4 celdas
Pro
veed
or B
2
Axiomática de la teoría de probabilidades
Proveedor B1
Ejemplo: La compra de las notebook adquiridas por la FI fue a través de dos
proveedores diferentes, B1, B2. El 70% de las notebook fueron compradas a B1 y el
resto a B2. El porcentaje de notebook con batería de 4 celdas que se reciben de B1 es
del 10% y de B2 del 20%, siendo las restantes de 6 celdas. Determinar la probabilidad
de que una notebook tomada al azar tenga una batería de 4 celdas.
4 celdas
Pro
veed
or B
2 Notebook
B1 0,7
0,3
B2
Axiomática de la teoría de probabilidades
Proveedor B1
Ejemplo: La compra de las notebook adquiridas por la FI fue a través de dos
proveedores diferentes, B1, B2. El 70% de las notebook fueron compradas a B1 y el
resto a B2. El porcentaje de notebook con batería de 4 celdas que se reciben de B1 es
del 10% y de B2 del 20%, siendo las restantes de 6 celdas. Determinar la probabilidad
de que una notebook tomada al azar tenga una batería de 4 celdas.
4 celdas
Pro
veed
or B
2 Notebook
B1
6 celdas
4 celdas
6 celdas
4 celdas
0,7
0,1
0,2 0,3
0,8
0,9
B2
Axiomática de la teoría de probabilidades
Proveedor B1
Ejemplo: La compra de las notebook adquiridas por la FI fue a través de dos
proveedores diferentes, B1, B2. El 70% de las notebook fueron compradas a B1 y el
resto a B2. El porcentaje de notebook con batería de 4 celdas que se reciben de B1 es
del 10% y de B2 del 20%, siendo las restantes de 6 celdas. Determinar la probabilidad
de que una notebook tomada al azar tenga una batería de 4 celdas.
4 celdas
Pro
veed
or B
2 Notebook
B1
6 celdas
4 celdas
6 celdas
4 celdas
0,7
0,1
0,2 0,3
0,8
0,9
B2
4 4 | 1 1 4 | 2 2 = 0,1 0,7 0,2 0,3 0,13 P C P C B P B P C B P B
Axiomática de la teoría de probabilidades
Ejemplo: La compra de las notebook adquiridas por la FI fue a través de dos
proveedores diferentes, B1, B2. El 70% de las notebook fueron compradas a B1 y el
resto a B2. El porcentaje de notebook con batería de 4 celdas que se reciben de B1 es
del 10% y de B2 del 20%, siendo las restantes de 6 celdas. Determinar la probabilidad
de que una notebook tomada al azar tenga una batería de 4 celdas.
Supongamos ahora que escogemos una notebook y en sus especificaciones
comprobamos que tiene una batería de 4 celdas. ¿Cuál será la probabilidad de
que la notebook provenga del proveedor B2?
Axiomática de la teoría de probabilidades
Proveedor B1
Ejemplo: La compra de las notebook adquiridas por la FI fue a través de dos
proveedores diferentes, B1, B2. El 70% de las notebook fueron compradas a B1 y el
resto a B2. El porcentaje de notebook con batería de 4 celdas que se reciben de B1 es
del 10% y de B2 del 20%, siendo las restantes de 6 celdas. Determinar la probabilidad
de que una notebook tomada al azar tenga una batería de 4 celdas.
Supongamos ahora que escogemos una notebook y en sus especificaciones
comprobamos que tiene una batería de 4 celdas. ¿Cuál será la probabilidad de
que la notebook provenga del proveedor B2?
4 celdas
Pro
veed
or B
2
2 2 2
2
4 4 /( / 4 )
4 4
P B C P C B P BP B C
P C P C
2 2
2
4 / 0.2 0.3( / 4 ) 0.4615
4 0.13
P C B P BP B C
P C
Axiomática de la teoría de probabilidades
Proveedor B1
Ejemplo: La compra de las notebook adquiridas por la FI fue a través de dos
proveedores diferentes, B1, B2. El 70% de las notebook fueron compradas a B1 y el
resto a B2. El porcentaje de notebook con batería de 4 celdas que se reciben de B1 es
del 10% y de B2 del 20%, siendo las restantes de 6 celdas. Determinar la probabilidad
de que una notebook tomada al azar tenga una batería de 4 celdas.
Supongamos ahora que escogemos una notebook y en sus especificaciones
comprobamos que tiene una batería de 4 celdas. ¿Cuál será la probabilidad de que la
notebook provenga del proveedor B2?
4 celdas
Pro
veed
or B
2
Se puede generalizar el método empleado para resolver este problema con el fin de
originar el Teorema de Bayes.
2 2 2
2
4 4 /( / 4 )
4 4
P B C P C B P BP B C
P C P C
2 2
2
4 / 0.2 0.3( / 4 ) 0.4615
4 0.13
P C B P BP B C
P C
Axiomática de la teoría de probabilidades
1
/( / )
( | ) ( )
j j j
j n
i ii
P B A P A B P BP B A
P A P A B P B
B1 B2
B3 B4
A
El Teorema de Bayes nos permite calcular las
probabilidades a posteriori conocidas las
probabilidades a priori.
Teorema de Bayes
Sea B1, B2, ... ,Bn una partición de S y sea A un seceso cualquiera asociado a S del que
se conocen las probabilidades condicionales P(A/Bi), entonces:
( ) son las probabilidades a priori
( / ) es la probabilidad de en la hpótesis
( / ) son las probabilidades a posteriori
j
j i
j
P B
P A B A B
P B A
Axiomática de la teoría de probabilidades
Ejemplo: El 2% de los individuos que acuden a una consulta padecen diabetes.
Mediante un test se mide la presencia de glucosuria un indicador de diabetes. La
sensibilidad del test (la tasa de aciertos sobre enfermos) es de 0,945 y la especificidad
(tasa de aciertos sobre sanos) es de 0,977. Determinar los índices predictivos, es
decir la probabilidad de que, sabiendo que el test sea positivo, el paciente sea diabético
y la probabilidad de que, sabiendo que el test es negativo, el paciente está sano.
Axiomática de la teoría de probabilidades
Ejemplo: El 2% de los individuos que acuden a una consulta padecen diabetes.
Mediante un test se mide la presencia de glucosuria un indicador de diabetes. La
sensibilidad del test (la tasa de aciertos sobre enfermos) es de 0,945 y la especificidad
(tasa de aciertos sobre sanos) es de 0,977. Determinar los índices predictivos, es decir
la probabilidad de que, sabiendo que el test sea positivo, el paciente sea diabético y la
probabilidad de que, sabiendo que el test es negativo, el paciente está sano.
La diabetes afecta al 2% de los individuos.
La presencia de glucosuria se usa como indicador de diabetes.
Su sensibilidad es de 0,945.
La especificidad de 0,977.
Calcular los índices predictivos.
Individuo
0,02 0,98
Axiomática de la teoría de probabilidades
Ejemplo: El 2% de los individuos que acuden a una consulta padecen diabetes.
Mediante un test se mide la presencia de glucosuria un indicador de diabetes. La
sensibilidad del test (la tasa de aciertos sobre enfermos) es de 0,945 y la especificidad
(tasa de aciertos sobre sanos) es de 0,977. Determinar los índices predictivos, es decir
la probabilidad de que, sabiendo que el test sea positivo, el paciente sea diabético y la
probabilidad de que, sabiendo que el test es negativo, el paciente está sano.
La diabetes afecta al 2% de los individuos.
La presencia de glucosuria se usa como indicador de diabetes.
Su sensibilidad es de 0,945.
La especificidad de 0,977.
Calcular los índices predictivos.
Individuo
T- T+ T- T+
0,945 0,023 0,977
0,055
0,02 0,98
Axiomática de la teoría de probabilidades
)(
)()|(
TP
TEnfPTEnfP
( )( | )
( )
P Sano TP Sano T
P T
456,0023,098,0945,002,0
945,002,0
)|()()|()(
)|()(
)(
)()|(
EnfTPEnfPSanoTPSanoP
EnfTPEnfP
TP
TEnfPTEnfP
999,0055,002,0977,098,0
977,098,0
)|()()|()(
)|()(
)(
)()|(
EnfTPEnfPSanoTPSanoP
SanoTPSanoP
TP
TSanoPTSanoP
Solución
Axiomática de la teoría de probabilidades
Observaciones
En el ejemplo anterior, al llegar un individuo a la consulta tenemos una idea a priori sobre la probabilidad de que tenga una enfermedad.
A continuación se le pasa una prueba diagnóstica que nos aportará nueva
información: Presenta glucosuria o no.
En función del resultado tenemos una nueva idea (a posteriori) sobre la probabilidad de que
esté enfermo.
Nuestra opinión a priori ha sido modificada por el resultado de un experimento.
-¿Qué probabilidad
tengo de estar
enfermo?
- En principio un 2%.
Le haremos unas
pruebas.
Axiomática de la teoría de probabilidades
Observaciones
En el ejemplo anterior, al llegar un individuo a la consulta tenemos una idea a priori sobre la probabilidad de que tenga una enfermedad.
A continuación se le pasa una prueba diagnóstica que nos aportará nueva
información: Presenta glucosuria o no.
En función del resultado tenemos una nueva idea (a posteriori) sobre la probabilidad de que
esté enfermo.
Nuestra opinión a priori ha sido modificada por el resultado de un experimento.
-¿Qué probabilidad
tengo de estar
enfermo?
- En principio un 2%.
Le haremos unas
pruebas.
Axiomática de la teoría de probabilidades
Observaciones
En el ejemplo anterior, al llegar un individuo a la consulta tenemos una idea a priori sobre la probabilidad de que tenga una enfermedad.
A continuación se le pasa una prueba diagnóstica que nos aportará nueva
información: Presenta glucosuria o no.
En función del resultado tenemos una nueva idea (a posteriori) sobre la probabilidad de que
esté enfermo.
Nuestra opinión a priori ha sido modificada por el resultado de un experimento.
-¿Qué probabilidad
tengo de estar
enfermo?
- En principio un 2%.
Le haremos unas
pruebas.
Presenta glucosuria.
La probabilidad ahora
es del 45,6%.
Axiomática de la teoría de probabilidades
Observaciones
En el ejemplo anterior, al llegar un individuo a la consulta tenemos una idea a priori sobre la probabilidad de que tenga una enfermedad.
A continuación se le pasa una prueba diagnóstica que nos aportará nueva
información: Presenta glucosuria o no.
En función del resultado tenemos una nueva idea (a posteriori) sobre la probabilidad de que
esté enfermo.
Nuestra opinión a priori ha sido modificada por el resultado de un experimento.
-¿Qué probabilidad
tengo de estar
enfermo?
- En principio un 2%.
Le haremos unas
pruebas.
Presenta glucosuria.
La probabilidad ahora
es del 45,6%.
Axiomática de la teoría de probabilidades Probabilidad Condicional. Independencia. Teorema de Bayes.
Axiomática de la teoría de probabilidades
Algunas Distribuciones Estadísticas Teóricas
Distribuciones Discretas:
a) Distribución de Bernoulli
b) Distribución de Binomial
c) Distribución de Poisson
d) Aproximación de la Distribución Binomial por la Distribución
de Poisson
Distribución Binomial X es una variable aleatoria con distribución binomial si su distribución de
probabilidades esta dada por:
donde 0<p<1 (p constante) y n es un número entero positivo.
Características:
Mide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos
independientes de Bernoulli con una probabilidad fija p de ocurrencia del
éxito entre los ensayos.
Esperanza:
Varianza:
1 0,1, ,n kk
nP X k p p k n
k
E X np
1Var X np p
Forma de la Distribución Binomial
Simétrica
Si p=0.5 la distribución binomial será simétrica independientemente del tamaño de la muestra.
Forma de la Distribución Binomial
Sesgada a derecha
Si p0 la distribución binomial tendrá un sesgo hacia la derecha.
Forma de la Distribución Binomial
Sesgada a izquierda
Si p1 la distribución binomial tendrá un sesgo hacia la izquierda.
Distribución de Hipergeométrica
Definición: Se dice que X es una variable aleatoria hipergeométrica con parámetros
N, n y k, si su distribución de probabilidades está dada por:
-
-( )
A N A
k n kP X k
N
n
( )k
E X nN
( ) 11
N nV x np p
N
Donde:
n: Tamaño de la muestra.
N: Tamaño de la población
A: número de éxitos en la
población.
N-A: número de fracasos en la
población.
K: número de éxitos en la
muestra.
Distribución Binomial
Para identificar el modelo binomial:
• Hay n repeticiones independientes.
• El resultado de cada prueba es dicotómico: un suceso A o su contrario.
•La probabilidad de A es p, constante en cada prueba.
Distribución Hipergeométrica
Para identificar el modelo Hipergeométrico:
• Hay n repeticiones no independientes.
• El resultado de cada prueba es dicotómico: un suceso A o su contrario.
•La probabilidad de A no es constante, varía en cada prueba.
Distribución de Poisson
X es una variable aleatoria con distribución de Poisson si su distribución de
probabilidades está dada por:
donde representa el número promedio de eventos por unidad.
Principales características numéricas:
Esperanza
Varianza
0,1,2, , ,!
keP X k k n
k
0
E X
Var X
Forma de la Distribución de Poisson
El eje horizontal es el índice k. La función solamente está definida en valores enteros de k. Las
líneas que conectan los puntos son solo guías para el ojo y no indican continuidad.
1
4
10
Consideremos :
El número de pacientes que ingresan en un día por urgencias en un hospital.
El número de denuncias que se presentan diariamente en un juzgado.
El número de coches que circulan por una rotonda en el lapso de una hora.
Las v.a. definidas en los ejemplos anteriores comparten las siguientes características:
Todas ellas se refieren a contar el número de veces que un determinado suceso ocurre en un periodo de tiempo determinado.
La probabilidad de que dicho suceso ocurra es la misma a lo largo del tiempo. (si la unidad de tiempo es un día, la probabilidad de que el suceso en cuestión ocurra es la misma para hoy, para mañana, etc.)
El número de sucesos que ocurren en una unidad de tiempo es independiente del número de sucesos que ocurren durante cualquier otra unidad.
Distribución de Poisson
Sea X una variable aleatoria que cuenta el número de veces que un determinado suceso ocurre en una unidad (normalmente de tiempo o de espacio). Si verifica que :
1) La probabilidad de que el suceso estudiado se produzca en la unidad es constante a lo largo del tiempo.
2) El número de veces que ocurre un suceso durante la unidad considerada es independiente del número de veces que ocurre dicho suceso en otra unidad.
3) Si se considera una unidad inferior (superior), la probabilidad de que ocurra un determinado número de sucesos se reduce (aumenta) proporcionalmente.
Entonces X es una v.a. que sigue una distribución de POISSON.
Distribución de Poisson
Sea X una variable aleatoria distribuida binomialmente con parámetros n y
p. Esto es:
Cuando y de manera tal que tenemos que:
1 0,1,2,3,4, ,n kk
nP X k p p k n
k
1!
kn kk
n eP X k p p
k k
n 0p np
La distribución de Poisson como una aproximación a
la distribución Binomial
Conclusión “Gráficamente” podemos concluir que a medida que n aumentamos y p
disminuye, la distribución de Poisson se aproxima a la distribución Binomial.
El teorema anterior nos dice que podemos aproximar las probabilidades binomiales con las probabilidades de la distribución de Poisson siempre que n sea “grande” y p “pequeño”.
En la práctica esto es para n mayor o igual que 50, si np es menor o igual que 5.
La distribución de Poisson como una aproximación a
la distribución Binomial
Algunas Distribuciones Estadísticas Teóricas
Distribución Continuas:
a) Distribución Uniforme
b) Distribución de Exponencial
c) Relación entre la Distribuciones de Poisson y Exponencial.
d) Distribución Normal
Distribución Uniforme
Se dice que la variable aleatoria X se distribuye uniformemente en el intervalo [a,b] si
su función de densidad de probabilidades (f.d.p) está dada por:
Esperanza
Varianza
2
b aE X
2
12
b aV X
1
( ) -
0
si a x bf x b a
en otro caso
0 si x < a
F(x)= si a x b
1 si x > b
x a
b a
Distribución Uniforme
Si X es una variable aleatoria distribuida uniformemente en el intervalo [a,b] su
función de distribución acumulativa (FDA) está dada por:
Los trenes de cierta línea de subterráneos corren cada media hora entre la medianoche y las seis de la mañana. ¿Cuál es la probabilidad de que un hombre que entra a la estación a una hora al azar, durante ese período tenga que esperar por lo menos 20 minutos?
X: tiempo, en minutos, hasta el siguiente tren. U[0;30]
1si 0 30
f(x)= 30
0 en otro caso
x
Distribución Uniforme
La probabilidad sólo depende de la longitud del intervalo y no de la ubicación
del mismo.
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
0 1 2 3 4 5 6 7 8
2.0
Se dice que X, que toma todos los valores no negativos, tiene una
distribución exponencial, con parámetro , si su fdp está dada por: 0
- si x 0f(x)
0 si x < 0
xe
(en la distribución de Poisson)
1.0
0.5
Distribución Exponencial
Esta distribución: suele ser el modelo de aquellos fenómenos
aleatorios que miden el tiempo que transcurre entre la ocurrencia de
dos sucesos.
Demostrar las características numéricas de la función exponencial:
2
1 1( ) V(x)=E x
Distribución Exponencial
La FDA está dada por:
1 si x 0F(x)
0 si x<0
xe
F(x)
1
x
Distribución Exponencial
Sea X una v.a distribuida exponencialmente, con parámetro , su
función de distribución acumulativa (FDA) está dada por:
0
El tiempo que un dispositivo funciona eficazmente, es decir, el tiempo en
horas de duración hasta la primera falla, se distribuye de manera
exponencial con una vida media de 360 hs. ¿Cuál es la probabilidad de que
un dispositivo funcione eficazmente:
a) Menos de 180 hs? b) Más de 720 hs?
Distribución Exponencial
T: El tiempo que un dispositivo funciona eficazmente
1 1
( ) 360 360360
E T
1 si t 0( )
0 si t < 0
teF t
1
.180360a) P(T<180)= F(180)=1-e 0.3935
Usamos la FDA:
El tiempo que un dispositivo funciona eficazmente, es decir, el tiempo en
horas de duración hasta la primera falla, se distribuye de manera
exponencial con una vida media de 360 hs. ¿Cuál es la probabilidad de que
un dispositivo funcione eficazmente:
a) Menos de 180 hs? b) Más de 720 hs?
Distribución Exponencial
T: El tiempo que un dispositivo funciona eficazmente
1 1
( ) 360 360360
E T
1 si t 0( )
0 si t < 0
teF tUsamos la FDA:
1 720.720
360 360b) P(T>720)=1-P(T 720)=1-F(720)=1- 1 0,1353e e
La probabilidad de que el elemento falle en una hora (o en un día, o en segundo) no depende del tiempo que lleve funcionando.
( ) ( ) ( )( / )
( ) 1 ( )
P s x s t F s t F sP x s t x s
P x s F s
( )1 1 ( 1)
1 (1 )
s t s as t s s t
s s s
e e e e e e e
e e e
1 ( ) ( )te F t P x t
Propiedad fundamental de la Distribuciones Exponencial
La distribución exponencial no tiene memoria :
P( x< s + t / x> s ) = P( x< t )
Relación entre la Distribuciones de Poisson y Exponencial
La v.a X que es igual a la distancia entre conteos sucesivos de un proceso
de Poisson con media tiene una distribución exponencial con
parámetro :
0 0
: º 1min
.( )
!
30.10.5 ( 2)01 ( 2) 1 ( 0) ( 1
60
1 0,91 0,09
k
X n de partìculas en
eP X k
k
P X P X P X P X
Sea X el número de partículas emitidas por una fuente radioactiva. Si se sabe que
el número esperado de demisiones en una hora es de 30 partículas: ¿Cuál es la
probabilidad de que sean emitidas al menos 2 partículas en un lapso de 1 minuto?
Solución/
Relación entre la Distribuciones de Poisson y Exponencial
Sea X el número de partículas emitidas por una fuente radioactiva. Si se
sabe que el número esperado de demisiones en una hora es de 30
partículas: Cuál es la probabilidad de que el tiempo entre emisiones
sucesivas sea mayor a 3 minutos?
Solución/
0 1.5
: (min) ,
30.3: 3min, 1.5
60
(1.5) .( 3) ( 0) 0.22
0!
T tiempo hasta que ocurre la prox emision
Y partìculas emitidas en
eP T P Y
Relación entre la Distribuciones de Poisson y Exponencial
Sin duda la distribución continua de
probabilidad más importante, por la
frecuencia con que se encuentra y
por sus aplicaciones teóricas, es la
distribución normal, gaussiana o de
Laplace - Gauss. Fue descubierta y
publicada por primera vez en 1733
por De Moivre. A la misma llegaron,
de forma independiente, Laplace
(1812) y Gauss (1809), en relación
con la teoría de los errores de
observación astronómica y física .
Pierre Simon de Laplace (1749-1827)
Karl F. Gauss (1777-1855)
Distribución Normal
1) Numerosos fenómenos pueden aproximarse mediante esta
distribución:
a) Caracteres morfológicos de individuos (personas, animales, plantas,...) de una especie
(tallas, pesos, diámetros, perímetros,...).
b) Caracteres sociológicos, por ejemplo: consumo de cierto producto por un mismo grupo
de individuos, puntuaciones de examen, ...
c) Caracteres fisiológicos, por ejemplo: efecto de una misma dosis de un fármaco.
d) Errores cometidos al medir ciertas magnitudes.
e) En general cualquier característica que se obtenga como suma de muchos factores
2) Se usa para aproximar distribuciones de variables discretas.
3) Proporciona la base de la inferencia estadística por su relación con el
teorema del límite central.
Distribución Normal
Se dice que X que toma todos los valores reales, tiene una distribución normal, si su
fdp está dada por:
21
21f(x) con - < x <
2
x
e
Distribución Normal
2( ) ( )E x y V x
La función depende de únicamente de dos parámetros, μ y σ, su media y
desviación estándar, respectivamente. Una vez que se especifican μ y σ, la
curva normal queda determinada por completo.
Distribución Normal: Principales Características:
1.La función tiene un máximo en x = .
2.La curva es simétrica alrededor del eje vertical x=μ, donde coinciden la
mediana (Me) y la moda (Mo ).
3.Los puntos de inflexión tienen como abscisas los valores en x=μ ± σ, es
cóncava hacia abajo si μ-σ<X< μ+σ, y es cóncava hacia arriba en cualquier
otro punto.
4.La curva normal se aproxima al eje horizontal de manera asintótica
conforme nos alejamos de la media en cualquier dirección, es decir Para x
tendiendo a , el límite f(x) =0.
5.El área total bajo la curva y sobre el eje horizontal es igual a 1.
6.Los parámetros μ y σ son realmente la media y la desviación estándar de
la distribución normal.
Distribución normal con =0 para varios valores
0
0.4
0.8
1.2
1.6
-2.50 -1.50 -0.50 0.50 1.50 2.50
0.25
0.5
1
p(x)
N(μ, σ):
Interpretación geométrica
• La media se puede interpretar como un factor de traslación.
• Y la desviación típica como un factor de escala, grado de dispersión,…
Estandarización de la Distribución Normal
Dada la dificultad que se encuentra al resolver las integrales de una
funciones densidades de probabilidades asociada a una v.a. normal, es
necesario contar con una tabulación de las áreas de la curva normal para
una referencia rápida. Sin embargo, sería una tarea difícil intentar
establecer tablas separadas para cada valor de μ y σ.
Afortunadamente, podemos transformar todas las observaciones de
cualquier v.a. normal X a un nuevo conjunto de observaciones de una
variable normal Z con media 0 y desviación estándar 1.
2Si X N , Z= , Z N 0,1
x
2
21
2
tz
P Z z z e dt
Sea X una v.a su función de distribución acumulativa (FDA)
está dada por: 0,1X N
P(Z<z)
Estandarización de la Distribución Normal
Regla de las tres sigmas
Es un caso particular de desviación prefijada.
Si = 3 P 3 P 3 3 P 3 3x x x
3 33 3
3 1 3 2. 3 1 0,9974
Esto significa que el suceso 3x
Es prácticamente un suceso cierto, o que el suceso contrario es poco probable y
puede considerarse prácticamente imposible.
Regla de las tres sigmas: Su esencia.
Si una variable aleatoria está distribuida normalmente, entonces la desviación respecto de la esperanza matemática, en valor absoluto, no es mayor que el triple de la dispersión.
En la práctica se aplica así: si la distribución de una variable no se conoce, pero se cumple la condición
3x
Se puede suponer que dicha variable está distribuida normalmente.
Para ilustrar el uso de las Tablas, calculemos la probabilidad de que Z sea menor
que 1.64. Primero localizamos un valor de z igual a 1.6 en la primera columna
(izquierda), después nos “movemos” a lo largo de la fila hasta encontrar la columna correspondiente a 0.04, donde leemos 0.9594. Por lo tanto P(Z<1.64)=0.9495.
Para encontrar un valor de z que corresponda a una probabilidad dada, el proceso se
invierte. Po ejemplo, el valor de z que deja un área de 0.9 bajo la curva a la izquierda
de z es de 1.28.
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