7242019 La derivada de una funci on real de variable real
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La derivada de una funcion real de variable real
Por SUacuteAREZ AZPUR Fredy R
Mayo de 2015
1 La derivada
La nocion de la derivada de una funcion esta relacionada con el cambio de los valores de la funcion cuando
cambia su variable independiente por ejemplo en fısica con el cambio de posicion de una partıcula conforme
trascurre el tiempo cuando el cambio sucede en intervalos pequenos de tiempo da como resultado la velocidad
de la partıcula en ese instante En este artıculo presentaremos la derivada y sus aplicaciones que seran claves
para el desarrollo del calculo diferencial
Definicion 11 (La derivada de una funcion en un punto) Sean empty = A sub a isin A a un punto de
acumulaciacute on de A f A minusrarr
una funci on Consideremos la funciacute on F A minus a minusrarr
definida por
F (x) = f (x) minus f (a)
x minus a
La funciacute on ldquo f rdquo es derivable en el punto ldquo ardquo si existe el lımite lımxrarra
F (x) dicho l ımite se denominara la derivada
de f en ldquo ardquo y lo denotaremos por f prime(a) es decir
f prime(a) = lımxrarra
f (x) minus f (a)
x minus a
Definicion 12 (La derivada de una funcion en un conjunto) Sean empty = A sub
empty = M sub ALa funciacute on f A minusrarr
es derivable en el conjunto M si es derivable en todo x isin M
Interpretacion de la derivada La expresion f (x) minus f (a)
x minus a es la pendiente de la recta secante a la grafica de
f que pasa por los puntos(
a f (a)852009
y(
x f (x)852009
a medida que x se aproxima hacia ldquoardquo esta recta secante se
aproxima a la recta tangente a la grafica de f en el punto(
a f (a)852009
por tanto f prime(a) = lımxrarra
f (x) minus f (a)
x minus a es la
pendiente de la recta tangente a la grafica de f en dicho punto
1
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La derivada de una funcion real de variable real
Teorema 11 Sean empty = A sub a isin A a un punto de acumulacion de A f A minusrarr
a) Si f es derivable en a entonces la ecuaciacute on de la recta tangente a la gracute afica de la funciacute on f en el punto(a f (a)
852009 es
L T y minus f (a) = f prime(a)(x minus a)
b) Si f es derivable en a y f
prime
(a) = 0 entonces la ecuaciacute on de la recta normal a la gracute afica de la funciacute on f en el punto
(a f (a)
852009 es
L N y minus f (a) = minus1
f prime(a)(x minus a)
c) Si f es derivable en a y f prime(a) = 0 entonces las ecuaciones de la recta tangente y normal a la gracute afica de la
funciacute on f en el punto(
a f (a)852009
son
L T y = f (a) and L N x = a
Observacion Si el punto a es un punto de acumulacion del conjunto A no se puede garantizar que a isin A por
ejemplo a = 0 es un punto de acumulacion del conjunto A =1048699 1
n983087
n isin +983165
pero a isin A mientras que a = 3 es
un punto de acumulacion del conjunto A = [3 5] y a isin A
Si el punto a es un punto de acumulacion del conjunto A y a isin A entonces se denotara por a isin A cap A prime
Teorema 12 Sean empty = A sub
a isin A cap A prime f A minusrarr
g A minusrarr
dos funciones
1 Si f y g son funciones derivables en a entonces f + g f minus g λf (con λ isin ) y f g son derivables en a y
ademacute as
a) (f + g) prime(a) = f prime(a) + g prime(a)
b) (f minus
g) prime(a) = f prime(a)minus
g prime(a)
c) (λf ) prime(a) = λf prime(a)
d) (f g) prime(a) = f prime(a)g(a) + f (a)g prime(a)
2 Si f y g son funciones derivables en a y g(a) = 0 entonces 1g f g son derivables en a y
a)
10486161
g
1048617prime(a) =
minusg prime(a)
[g(a)]2 b)
1048616f
g
1048617prime(a) =
f prime(a)g(a) minus f (a)g prime(a)
[g(a)]2
Observacion Si la funcion f + g es derivable en el punto a de su dominio no podemos garantizar que las
funciones f y g sean derivables en el punto a
Ejemplo 11
1 La funcion f definida por f (x) = C cuyo dominio es es derivable en tondo y f prime(x) = 0 para todo
x isin
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La derivada de una funcion real de variable real
2 Sea la funcion f definida por f (x) = radic
x cuyo dominio es [0 +infin⟩ entonces
f prime(2) = lımxrarr2
radic x minus radic
2
x minus 2 = lım
xrarr2
radic x minus radic
2
x minus 2 middot
radic x +
radic 2radic
x +radic
2= lım
xrarr2
1radic x +
radic 2
= 1
2radic
2
f prime(5) = lımxrarr5
radic x minus radic
5
x minus 5 = lım
xrarr5
radic x minus radic
5
x minus 5 middot
radic x +
radic 5radic
x +radic
5= lım
xrarr5
1radic x +
radic 5
= 1
2radic
5
f prime
(0) no existe pues lımxrarr0+
radic x
minusradic
0
x minus 0 = lımxrarr0+
1radic x = +infin y lımxrarr0minus
radic x
minusradic
0
x minus 0 = lımxrarr0minus
1radic x no tiene sentido
ya que Dom(f ) = [0 +infin⟩
3 Sea la funcion f definida por f (x) = |x| cuyo dominio es R entonces
f prime(3) = lımxrarr3
|x| minus |3|x minus 3
= lımxrarr3
x minus 3
x minus 3 = lım
xrarr31 = 1
f prime(minus4) = lımxrarrminus4
|x| minus | minus 4|x minus (minus4)
= lımxrarrminus4
minusx minus 4
x minus (minus4) = lım
xrarrminus4(minus1) = minus1
f prime(0) no existe pues lımxrarr0+
|x| minus |0|x minus 0
= lımxrarr0+
(1) = 1 y lımxrarr0minus
|x| minus |0|x minus 0
= lımxrarr0minus
(minus1) = minus1
En general Si x lt 0 f prime
(x) = minus1 si x gt 0 f prime
(x) = 1 y si x = 0 f prime
(x) no existe
4 Sea la funcion f definida por f (x) = x cuyo dominio es R entonces
f prime(3) = lımxrarr3
x minus 3
x minus 3 = lım
xrarr31 = 1 f prime(minus4) = lım
xrarrminus4
x minus (minus4)
x minus (minus4) = lım
xrarrminus4(1) = 1
es mas para todo x isin tenemos f prime(x) = 1
5 La funcion f
minusrarr
definida por f (x) = x2 es derivable en todo
y f prime(x) = 2x para todo x isin
6 La funcion f
minusrarr
definida por f (x) = x3 es derivable en todo
y f prime(x) = 3x2 para todo x isin
7 La funcion f
minusrarr
definida por f (x) = xn con n
isin
es derivable en todo
y f prime(x) = nxnminus1 para
todo x isin
8 La funcion f
minusrarr
definida por f (x) = 3radic
x no es derivable en x = 0 pero si es derivable en
minus 0
ademas f prime(x) = 1
3 3radic
x2para todo x = 0
9 La funcion f
minusrarr
definida por f (x) = 3radic
x2 no es derivable en x = 0 pero si es derivable en
minus 0
ademas f prime(x) = 2
3 3radic
x para todo x = 0
10 Las funciones exponenciales son derivables en todo su dominio si f (x) = ax entonces f prime(x) = ax ln a para
todo x isin
En particular si f (x) = ex entonces f prime(x) = ex para todo x isin
11 Las funciones logarıtmicas son derivables en todo su dominio si f (x) = loga x entonces f prime(x) = 1x ln a
para todo x gt 0 En particular si f (x) = ln x entonces f prime(x) = 1
x para todo x gt 0
12 Las funciones trigonometricas son derivables en todo su dominio tambien son derivables en su dominio las
funciones trigonometricas inversas
Definicion 13 Sean empty = A sub a isin A cap A prime f A minusrarr
una funciacute on Si f es derivable en el punto ldquo ardquo a
la derivada de f en el punto ldquo ardquo tambien lo denotaremos mediante
df
dx(a) f prime(x)x=a Dxf (a) f (1)(a)
En la definicion 11 al realizar el cambio de variable h = x minusa tenemos el siguiente teorema que nos proporciona
otro metodo para calcular la derivada de una funcion en un punto
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La derivada de una funcion real de variable real
Teorema 13 Sean empty = A sub a isin A cap A prime f A minusrarr una funci on Si f es derivable en el punto lsquo ardquo
entonces
f prime(a) = lımhrarr0
f (a + h) minus f (a)
h
Definicion 14 Si f es una funcion la funciacute on derivada de f denotada por f prime estacute a definida por la regla
f prime
(x) = lımhrarr0
f (x + h)
minusf (x)
h
donde x estacute a en el dominio de f para los cuales f prime(x) existe Aquı Dom(f prime) sub Dom (f )
Teorema 14 (Regla de la cadena) Sean las funciones f A minusrarr g B minusrarr
con Ran(f ) sub B
a isin A cap A prime b = f (a) isin B cap B prime Si existen f prime(a) y g prime(b) entonces la funciacute on g f A minusrarr es derivable en el
punto ldquo ardquo y ademacute as su derivada en ese punto es
(g f )prime(a) = g prime(b)f prime(a) = g prime(
f (a)852009
f prime(a)
Teorema 15 (Regla de la cadena) Sean las funciones f A minusrarr g B minusrarr
con Ran(f ) sub B
x isin A cap Aprime
f (x) isin B cap Bprime
Si existen f prime
(x) y gprime(
f (x)852009
entonces la funciacute on g f A minusrarr
es derivable en el punto ldquo xrdquo y ademas la regla de correspondencia de la derivada de la funciacute on g f en todos los puntos de A
donde es derivable es
(g f )prime(x) = g prime(
f (x)852009
f prime(x)
Definicion 15 (Funciones trigonometricas hiperbolicas) El seno hiperbacute olico y el coseno hiperbacute olico y
las cuatro funciones relacionadas se definen por
sinh x = e
x minus e minusx
2 para todo x isin
cosh x = e
x + e minusx
2 para todo x isin
tanh x = sinh xcosh x
= e
x
minus e
minusx
e x + e
minusx para todo x isin
coth x = 1tanh x
= e
x
+ e
minusx
e x minus e
minusx para todo x isin
minus 0
sech x = 1
cosh x =
2
e x + e
minusx para todo x isin csch x =
1
sinh x =
2
e x minus e
minusx para todo x isin
minus 0
Observacion Las funciones trigonometricas hiperbolicas son derivables en todo su dominio tambien son
derivables en su dominio las funciones trigonometricas hiperbolicas inversas
11 Derivadas laterales
Definicion 16 Sean empty = A sub
f A minusrarr
una funciacute on
1 Para a isin A cap [a +infin⟩ definimos la derivada por la derecha de la funciacute on f en el punto ldquo ardquo como el siguiente
lımite
f prime+(a) = lımxrarra+
f (x) minus f (a)
x minus a
si es que existe En este caso diremos que f es derivable por derecha en a
2 Para a isin Acap⟨minusinfin a] definimos la derivada por la izquierda de la funciacute on f en el punto ldquo ardquo como el siguiente
lımite
f primeminus
(a) = lımxrarraminus
f (x) minus f (a)
x
minusa
si es que existe
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La derivada de una funcion real de variable real
Teorema 16 Sean empty = A sub a isin A cap A prime y f A minusrarr La funciacute on f es derivable en el punto ldquo ardquo si y solo
si existen f prime+(a) f primeminus
(a) y son iguales En este caso
f prime(a) = f prime+(a) = f primeminus
(a)
Ejemplo 12
1 Sea la funcion f cuya regla es f (x) =
983163 2x si 0 lt x lt 3
x3 si 3 le x lt 6
⋆ f prime+(3) = lımxrarr3+
f (x) minus f (3)
x minus 3 = lım
xrarr3
x3 minus 33
x minus 3 = lım
xrarr3(x2 + 3x + 9) = 27
⋆ f primeminus
(3) = lımxrarr3minus
f (x) minus f (3)
x minus 3 = lım
xrarr3minus
2x minus 33
x minus 3 = +infin
Los resultados anteriores indican que existe f prime+(3) y es igual a 27 pero f primeminus
(3) no existe y de acuerdo al
teorema 16 f no es derivable en x = 3
2 Sea la funcion f cuya regla es f (x) = 983163 x2 si 0 lt x lt 1
2x minus 1 si 1 le x lt 5
⋆ f prime+(1) = lımxrarr1+
f (x) minus f (1)
x minus 1 = lım
xrarr1+
9830802x minus 1
983081minus983080
2(1) minus 1983081
x minus 1 = lım
xrarr1+
2x minus 2
x minus 1 = 2
⋆ f primeminus
(1) = lımxrarr1minus
f (x) minus f (1)
x minus 1 = lım
xrarr1minus
x2 minus983080
2(1) minus 1983081
x minus 1 = lım
xrarr1minus
x2 minus 1
x minus 1 = lım
xrarr1minus(x + 1) = 2
Los resultados anteriores indican que existen f prime+(1) y f primeminus
(1) y que ademas son iguales a 2 de acuerdo al
teorema 16 f es derivable en x = 1 y la derivada de f en x = 1 es
f prime(1) = f prime+(1) = f primeminus(1) = 2
Observaciones
1 Si una de las derivadas laterales f prime+(a) f primeminus
(a) no existen entonces f no es derivable en a
2 Si las derivadas laterales f prime+(a) f primeminus
(a) existen pero son diferentes entonces f no es derivable en a
12 Derivacion y continuidad
Teorema 17 Sean empty = A sub
a isin A cap A prime f A minusrarr
una funciacute on Si la funciacute on f es derivable en el punto
ldquo ardquo entonces es continua en ldquo ardquo
Observaciones
1 Si una funcion es continua en un punto no se puede garantizar que sea derivable en ese punto
2 Si una funcion no es continua en un punto entonces no es derivable en ese punto
Ejemplo 13
1 Sea la funcion f definida por f (x) =
radic 1 minus x si x lt 1
(1
minusx)2 si x
ge 1
⋆ lımxrarr1minus
f (x) = lımxrarr1minus
radic 1 minus x = 0 lım
xrarr1+f (x) = lım
xrarr1+(1 minus x)2 = 0 y f (1) = 0
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La derivada de una funcion real de variable real
⋆ lımxrarr1minus
f (x) minus f (1)
x minus 1 = lım
xrarr1minus
radic 1 minus x minus 0
x minus 1 = minusinfin
⋆ lımxrarr1+
f (x) minus f (1)
x minus 1 = lım
xrarr1+
(1 minus x)2 minus 0
x minus 1 = 0
Con los resultados anteriores vemos que f es continua en x = 1 pero no es derivable en ese punto En este
caso el ser continua en un punto no implica que sea derivable en el mismo punto
2 Sea la funcion f definida por f (x) =
1 si x lt 4
2 si x ge 4
⋆ lımxrarr4minus
f (x) = 1 lımxrarr4+
f (x) = 2 y f (4) = 2
⋆ lımxrarr4minus
f (x) minus f (4)
x minus 4 = lım
xrarr4minus
1 minus 2
x minus 4 =
minus1
0minus= +infin
⋆ lımxrarr4+
f (x)
minusf (4)
x minus 4 = lımxrarr4+
2
minus2
x minus 4 = lımxrarr4+(0) = 0
Con los resultados anteriores vemos que f es no continua en x = 4 entonces no es derivable en x = 4 no
era necesario calcular f prime+(4) y f primeminus
(4) para demostrar que f no es derivable en x = 4
3 Sea la funcion f definida por f (x) =
x2 si x lt minus1
minus1 minus 2x si x ge minus1
⋆ lımxrarrminus1minus
f (x) minus f (minus1)
x minus (minus1) = lım
xrarrminus1
x2 minus 1
x + 1 = lım
xrarrminus1(x minus 1) = minus2
⋆ lımxrarrminus1+
f (x)minus
f (minus
1)
x minus (minus1) = lımxrarrminus1 minus1
minus2x
minus1
x + 1 = lımxrarrminus1 minus2
minus2x
x + 1 = lımxrarrminus1(minus2) = minus2
Los resultados anteriores implican que f es derivable en x = minus1 y por tanto es continua en ese punto
Ejercicio 1 Utilice la definiciacute on de la derivada para calcular la derivada de f en el punto a
1) f (x) = 1radic
x + 1 a = 3
2) f (x) = 3x a = 5
3) f (x) = sin 2x a = π
4) f (x) = x + 3
2x minus 5 a = 2
Ejercicio 2 A continuaciacute on presentamos las reglas de correspondencia de ciertas funciones halle la regla de
correspondencia de su funciacute on derivada Utilice la tabla de derivadas que estacute a en la siguiente pacute agina
1) f (x) = x4 + 3x2 minus 6
2) f (x) = (1 + 4x3)(1 + 2x2)
3) f (x) = x(2x minus 1)(3x + 2)
4) f (x) = tan x
x2
5) f (x) =radic
4 minus xx
6) f (x) =
1
(x + a)n middot 1
(x + b)m
7) f (x) =
radic 2x2 minus 2x + 1
x
8) f (x) =
radic x2 + 1 +
radic x2 minus 1radic
x2 + 1 minus radic x2 minus 1
9) f (x) =991770
x +radic
x +radic
x
10) f (x) = arctan
1048616radic 1 minus cos xradic 1 + cos x
1048617
11) f (x) = 1radic
x middot e
x2 middot arctan x + 1
2 ln x + 1
12) f (x) = ln983080radic
2sin x + 1 +radic
2sin x minus 1983081
13) f (x) = 3
1057306 ln983080
sin(x + 3
4
852009983081UNSCH 6 Designed in LATEX by Suarez Azpur Fredy R
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La derivada de una funcion real de variable real
Tabla de derivadas de las funciones mas importantes Sean u = u(x) v = v(x) dos funciones derivables
C una constante real entonces tenemos la siguiente tabla que contiene a dichas funciones y sus derivadas en los
puntos en donde esta existen
Funcion Derivada
y = f (x) dy
dx = f prime(x)
C 0
x 1
Cf (x) Cf prime(x)
un nunminus1 middot du
dx
u plusmn v uprime plusmn vprime
u v uprimev + uvprime
u
v
uprimev minus uvprime
v2
ln u 1
u middot du
dx
loga u 1
u ln a middot du
dx
e u e u middot dudx
au au ln a middot du
dx
Funcion Derivada
y = f (x) dy
dx
= f prime(x)
sin u cos u middot du
dx
cos u minus sin u middot du
dx
tan u sec2 u middot du
dx
cot u minus csc2 u middot du
dx
sec u sec u middot tan u middot du
dx
csc u minus csc u middot cot u middot du
dx
arcsin u 1radic
1 minus u2 middot du
dx
arc cosu minus1radic
1 minus u2 middot du
dx
arctan u 1
1 + u2 middot du
dx
arc cot u minus11 + u2 middot dudx
arcsec u 1
uradic
u2 minus 1middot du
dx
arccsc u minus1
uradic
u2 minus 1middot du
dx
Funcion Derivada
y = f (x)
dy
dx = f prime
(x)
sinh u cosh u middot du
dx
cosh u sinh u middot du
dx
tanh u sech2u middot du
dx
coth u minuscsch2u middot du
dx
sech u minussech u middot tanh u middot dudx
csch u minuscsch u middot coth u middot du
dx
radic u
1
2radic
u middot du
dx
n
radic u
1
n n
radic (u)nminus1
middot du
dx
|u
| u
|u| middot du
dx
uv uv
1048616v
u middot du
dx +
dv
dx middot ln u
1048617
1
u minus 1
u2 middot du
dx
13 Derivadas de orden superior
131 Notacion de derivadas
En la definicion 14 si f A minusrarr es una funcion su funcion derivada f prime cuya regla de correspondencia es
f prime(x) = lımhrarr0
f (x + h) minus f (x)
h
tiene por dominio a Dom (f prime) = x isin A existe f prime(x) que generalmente esta contenido en A pudiendo ser
A = Dom (f prime) tal es el caso de la funcion f
minusrarr definida por f (x) = sin x donde f prime(x) = cos x para
todo x isin es decir Dom (f prime) = Sin embargo existen casos en el cual A sub Dom (f prime) y A = Dom (f prime) como
por ejemplo si f [0 +infin⟩ minusrarr definida por f (x) =
radic x donde f prime(x) =
1
2radic
x para todo x gt 0 es decir
Dom(f prime) = ⟨0 +infin⟩
A la funcion derivada de f tambien las denotaremos por df dx f (1) entonces con estas notaciones escribimos
f prime(x) = df
dx(x) f prime(x) = f (1)(x) en todo x isin Dom (f ) para los cuales existe f prime(x)
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La derivada de una funcion real de variable real
132 El operador d
dx
Cuando trabajamos con funciones derivables el proceso de derivacion es hallar la funcion derivada de cierta
funcion que evidentemente tendra otra regla de correspondencia para ellos empleamos el operador d
dx que
transforma la regla de correspondencia de una funcion f en la regla de correspondencia de su funcion derivada
es decir d
dx(f (x)852009 = f prime(x)
Ejemplo 14 Si f (x) = radic
x entonces d
dx
(f (x)
852009=
d
dx
(radic x852009
= 1
2radic
x para todo x gt 0
Empleando el teorema 12 y la definicion 14 es facil demostrar que d
dx es un operador lineal es decir
d
dx
852059f (x) + g(x)
852061=
d
dx
1048667f (x)
1048669+
d
dx
852059g(x)
852061 y
d
dx
1048667λf (x)
1048669= λ middot d
dx
852059f (x)
852061 donde λ isin
y que ademas
d
dx1048667f (x)g(x)1048669 =
d
dx852059f (x)852061 middot
g(x) + f (x)
middot
d
dx852059g(x)852061 y
d
dx1048667
f (x)
g(x)1048669 =
d
dx 852059f (x)
852061middot g(x) minus f (x) middot d
dx 852059g(x)
852061[g(x)]
2
En forma abreviada dado que d
dx
983080f (x)
983081= f prime(x)
1048667f (x) + g(x)
1048669prime
=852059
f (x)852061prime
+852059
g(x)852061prime
y852059
λf (x)852061prime
= λ852059
f (x)852061prime
donde λ isin
de manera similar1048667f (x)g(x)
1048669prime
=852059
f (x)852061prime
g(x) + f (x)852059
g(x)852061prime
y1048667f (x)
g(x)
1048669prime
=
852059f (x)
852061primeg(x) minus f (x)
852059g(x)
852061prime[g(x)]2
Ejemplo 15 En cada caso halle f prime(x) utilizando el operador d
dx
1 Sea f
minusrarr
definido por f (x) = sin(2x)minus
e3x emplearemos simultaneamente la regla de la cadena y
la tabla de derivadas para hallar f prime(x)
f (x) = sin(2x) minus e3x minusrarr d
dx[f (x)] =
d
dx[sin(2x) minus e3x]
minusrarr d
dx[f (x)] =
d
dx[sin(2x)] minus d
dx[e3x]
minusrarr d
dx[f (x)] = cos(2x)
d
dx[2x] minus e3x
d
dx[3x]
minusrarr d
dx[f (x)] = cos(2x) middot 2 minus e3x middot 3
there4 f prime(x) = 2 cos(2x) minus 3e3x para todo x isin
2 Sea f minusrarr definido por f (x) = x3
sin xe5x
emplearemos simultaneamente la regla de la cadena y la
tabla de derivadas para hallar f prime(x)
f (x) = x3 sin x
e5x minusrarr [f (x)]prime =
983131x3 sin x
e5x
983133prime
minusrarr f prime(x) = [x3 sin x]prime middot e5x minus x3 sin x middot [e5x]prime
[e5x]2
minusrarr f prime(x) =
983080[x3]prime sin x + x3[sin x]prime
983081middot e5x minus x3 sin x middot [e5x]prime
[e5x]2
minusrarr f prime(x) = 9830803x2 middot sin x + x3 middot cos x983081 middot e5x minus x3 sin x middot e5x middot [5x]prime
[e5x]2
minusrarr f prime(x) =
9830803x2 middot sin x + x3 middot cos x
983081middot e5x minus x3 sin x middot e5x middot 5
[e5x]2
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La derivada de una funcion real de variable real
Reduciendo y agrupando la expresion tenemos
f prime(x) = eminus5x983080
(3x2 minus 5x3)sin x + x3 cos x983081
para todo x isin
3 Sea f
minusrarr
definido por f (x) = (x4 + 2)4cos2x emplearemos simultaneamente la regla de la cadena
y la tabla de derivadas para hallar f prime(x)
f (x) = (x4 + 2)4cos2x minusrarr ln[f (x)] = ln1048667
(x4 + 2)4cos2x1048669
= 4cos 2x middot ln(x4 + 2)
luego derivando respecto a x
minusrarr f prime(x)
f (x) =
10486674cos2x middot ln(x4 + 2)
1048669prime
minusrarr f prime(x)
f (x) =
10486674cos2x
1048669prime
middot ln(x4 + 2) + 4 cos 2x middot1048667
ln(x4 + 2)1048669prime
minusrarr f prime(x)
f (x) = 4
1048667cos2x
1048669prime
middot ln(x4 + 2) + 4 cos 2x middot [x4 + 2]prime
x4 + 2
minusrarr f prime(x)
f (x) = 4(minus sin2x)[2x]prime
middot ln(x4
+ 2) + 4cos 2x middot [x4]prime + [2]prime
x4 + 2
minusrarr f prime(x)
f (x) = 4(minus sin2x)2 middot ln(x4 + 2) + 4cos 2x middot 4x3 + 0
x4 + 2
minusrarr f prime(x)
f (x) = minus8sin2x middot ln(x4 + 2) +
16x3
x4 + 2 middot cos2x
there4 f prime(x) = (x4 + 2)4cos2x983080
minus 8sin2x middot ln(x4 + 2) + 16x3
x4 + 2 middot cos2x
983081 para todo x isin
Observacion El operador d
dx es muy especıfico en el siguiente sentido Si u es una expresion que depende de
x es decir u = u(x) entonces ddx
[u] = ddx
[u(x)] = u prime(x) Sin embargo supongamos que W es una expresion
que no depende de la variable x entonces al hallar d
dx[W ] nos resultara ldquo0rdquo ya que el operador a la expresion
W lo interpreta como una constante
Es necesario especificar cuando utilizamos el operador d
dx que estamos derivando respecto a la variable
ldquoxrdquo solamente y no respecto a otra variable Es ası si utilizamos el operador d
dy estamos derivando respecto a
la variable ldquoyrdquo y si utilizamos el operador d
dt estamos derivando respecto a la variable ldquotrdquo ası sucesivamente
Ejemplo 16
1 Hallemos d
dx[u] si u = 5x + tan x
d
dx[u] =
d
dx[5x + tan x] =
d
dx[5x] +
d
dx[tan x] = 5
d
dx[x] + sec2 x = 5 + sec2 x
2 Hallemos d
dx[W ] si W = 5e5t+1 + tan(3x) donde t no depende de x
d
dx[W ] =
d
dx[5e5t+1 + tan(3x)] =
d
dx[5e5t+1] +
d
dx[tan(3x)] = 0 + sec2(3x)
d
dx[3x] = sec2(3x) middot 3
3 Hallemos d
dx[W ] si W = cos(5x + t) + ln(x2 + z) donde z y t no dependen de x
ddx
[W ] = ddx
1048667cos(5x + t) + ln(x2 + z)
1048669= minussin(5x + t) middot d
dx[5x + t] + 1
x2 + z middot d
dx[x2 + z]
=rArr d
dx[W ] = minussin(5x + t) middot (5 + 0) +
1
x2 + z middot (2x + 0) = minus5 sin(5x + t) +
2x
x2 + z
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La derivada de una funcion real de variable real
4 Si U solo depende de x entonces d
dy[U ] = 0
d
dx[U ] = U prime(x)
d
dt[U ] = 0 y
d
dz[U ] = 0
133 La segunda derivada
Definicion 17 Sea f una funciacute on derivable en a la segunda derivada de f en a es
f primeprime
(a) = lımxrarra
f prime(x)
minusf prime(a)
x minus a = lımhrarr0
f prime(a + h)
minusf prime(a)
h
si es que dicho l ımite existe La funciacute on segunda derivada de f denotada por f primeprime es definida por
f primeprime(x) = lımhrarr0
f prime(x + h) minus f prime(x)
h
Observaciones
1 La segunda derivada de f en un punto es la derivada de f prime en dicho punto
2 El dominio de f primeprime esta formado por todos los puntos ldquoxrdquo del dominio de f para los cuales existe f primeprime(x)
3 Los dominios de f f prime y f primeprime no siempre coinciden generalmente se tiene
Dom(f primeprime) sub Dom (f prime) sub Dom (f )
4 Si existe f primeprime(a) diremos que f es dos veces derivable en a
5 Si f no es derivable en a entonces no es dos veces derivable en a
6 Si f es dos veces derivable en a entonces es derivable en a
7 Si f es derivable en a no siempre es dos veces derivable en a
8 Si f es dos veces derivable en a entonces es continua en a
Ejemplo 17
1 Sea f [0 +infin⟩ minusrarr una funcion definida por f (x) =
radic x La funcion derivada de f sera f prime ⟨0 +infin⟩ minusrarr
cuya regla de correspondencia es f prime(x) = 1
2radic
x mientras que la funcion segunda derivada de f sera f primeprime
⟨0 +infin⟩ minusrarr
cuya regla de correspondencia es f primeprime(x) = minus1
4radic
x3
En este caso
Dom(f primeprime) sub Dom (f prime) sub Dom (f ) y Dom (f primeprime) = Dom (f prime) = Dom (f )
2 Sea f
minusrarr
una funcion definida por f (x) = x3 + sin x La funcion derivada de f sera f prime
minusrarr
cuya regla de correspondencia es f prime(x) = 3x2 +cos x y la funcion segunda derivada de f sera f primeprime
minusrarr
cuya regla de correspondencia es f primeprime(x) = 6x minus sin x
En este caso
Dom(f primeprime) = Dom(f prime) = Dom(f )
134 Derivada de ordenes mayores a dos
En forma analoga a la definicion 17 definimos la tercera derivada de la funcion f en el punto ldquoardquo por
f primeprimeprime(a) = lımxrarra
f primeprime(x) minus f primeprime(a)
x
minusa
= lımhrarr0
f primeprime(a + h) minus f primeprime(a)
h
si es que el l ımite existe y la funcion tercera derivada de f por
f primeprimeprime(x) = lımhrarr0
f primeprime(x + h) minus f primeprime(x)
h
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La derivada de una funcion real de variable real
La tercera derivada de f en a es la derivada de la segunda derivada de f en a y la funcion tercera derivada de
f es la funcion derivada de la funcion segunda derivada de f es decir f primeprimeprime = (f primeprime)prime
Ası llegarıamos a definir la nminusesima derivada de la funcion f en el punto ldquoardquo por
f (n)(a) = lımxrarr
a
f (nminus1)(x) minus f (nminus1)(a)
x minus a
= lımhrarr
0
f (nminus1)(a + h) minus f (nminus1)(a)
hsi es que el l ımite existe y la funcion nminusesima derivada de f por
f (n)(x) = lımhrarr0
f (nminus1)(x + h) minus f (nminus1)(x)
h
135 Notacion de derivadas de ordenes superiores
Generalizando el operador d
dx para derivadas de ordenes mayores a uno tenemos los siguientes operadores
1 El operador d
dx transforma a f (x) en f prime(x)
2 El operador d2
dx2 transforma a f (x) en f primeprime(x) y d2
dx2 = d
dx
983080 ddx
983081
3 El operador d3
dx3 transforma a f (x) en f primeprimeprime(x) y
d3
dx3 =
d
dx
983080 d2
dx2
983081=
d
dx
1048616 d
dx
983080 d
dx
9830811048617
4 El operador dn
dxn transforma a f (x) en f (n)(x) y
dn
dxn =
d
dx
983080 dnminus1
dxnminus1
983081=
d
dx
1048616 d
dx
983080 dnminus2
dxnminus2
9830811048617
Ejemplo 18 Sea f (x) = x5 + 2x2 entonces
1 d
dx1048667f (x)
1048669=
d
dx[x5 + 2x2] = 5x4 + 4x
2 d2
dx2
1048667f (x)
1048669=
d
dx
983131 d
dx
1048667f (x)
1048669983133=
d
dx[5x4 + 4x] = 20x3 + 4
3 d3
dx3
1048667f (x)
1048669=
d
dx
983131 d2
dx2
1048667f (x)
1048669983133=
d
dx[20x3 + 4] = 60x2
4 d4
dx4
1048667f (x)
1048669=
d
dx
983131 d3
dx3
1048667f (x)
1048669983133=
d
dx[60x2] = 120x
5 d5
dx5
1048667f (x)
1048669=
d
dx
983131 d4
dx4
1048667f (x)
1048669983133=
d
dx[120x] = 120
6
d6
dx61048667
f (x)1048669
=
d
dx983131 d5
dx51048667
f (x)1048669983133
=
d
dx [120] = 0 y
dn
dxn1048667
f (x)1048669
= 0 foralln ge 6
Ejercicio 3 Halle una facute ormula para expresar f (n)(x) si
1 f (x) = ex
2 f (x) = eax
3 f (x) = akx
4 f (x) = 1
(x minus a)k
5 f (x) = 1 minus x
1 + x
6 f (x) = 5x minus 2
x2 minus 4
7 f (x) = sin ax
8 f (x) = cos ax
9 f (x) = ln(a + bx)
10 f (x) = 1
x2 minus 3x + 2
11 f (x) = 8x minus 5
2x2 + x minus 6
12 f (x) = x ex
13 f (x) = 5x minus 1
x2 + x minus 12
14 f (x) = ex sin x
15 f (x) = sin2 x
16 f (x) = xnradic
x
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La derivada de una funcion real de variable real
14 Derivadas implıcitas
Sea F (x y) = C una ecuacion que contiene dos variables si en esta ecuacion no se ha despejado la variable
y diremos que y esta expresado en F (x y) = C de manera implıcita
Sea F U sub
2 minusrarr una funcion y f A sub
minusrarr una funcion cuya regla de correspondencia esta en
la forma implıcita en la ecuacionF (x y) = C donde y = f (x)
Las derivadas implıcitas permiten hallar f prime(x) sin necesidad de conocer la regla de correspondencia de f es
mas podemos hallar las derivadas de orden superior de f
Ejemplo 19 Si ldquo yrdquo es una expresiacute on que depende de ldquo xrdquo halle dy
dx
1 e5y = sin(x + y)
e5y = sin(x + y) minusrarr d
dx[e5y] =
d
dx[sin(x + y)]
minusrarr e5y ddx
[5y] = cos(x + y) ddx
[x + y]
minusrarr e5y middot 5 middot dy
dx = cos(x + y)(1 +
dy
dx)
minusrarr 5e5y middot dy
dx = cos(x + y)(1 +
dy
dx)
there4dy
dx =
cos(x + y)
5e5y minus cos(x + y)
2 x = ln(x3 + y)
x = ln(x3 + y) minusrarr
d
dx[x] =
d
dx1048667 ln(x3 + y)1048669
minusrarr 1 = 1
x3 + y middot d
dx[x3 + y]
minusrarr 1 = 1
x3 + y middot (3x2 +
dy
dx)
minusrarr dy
dx = x3 minus 3x2 + y
Derivando una vez mas respecto de x tenemos d
dx[
dy
dx] =
d
dx[x3 minus 3x2 + y] = 3x2 minus 6x +
dy
dx
=rArr d2y
dx2 = 3x2 minus 6x +
dy
dx = 3x2 minus 6x + x3 minus 3x2 + y = x3 minus 6x + y
there4dydx
= x3 minus 3x2 + y y d2ydx2
= x3 minus 6x + y
3 Halle dy
dx si exp
1048616860698 x +
radic y
x minus radic y
1048617+ ln
860698 x minus radic
y
x +radic
y = 8
4 Halle dy
dx si sin(xy) + cos(xy) = tan(x + y)
5 Halle dy
dx si x minus y = arcsin x minus arcsin y
6 Halle dy
dx
si 860698 y minus radic x
y + radic x + 860698 y +
radic x
y minus radic x =
5
2
7 Halle dy
dx si x2 minus a
radic xy + y2 = a2 a constante
8 Halle d2y
dx2 si x12 + y12 = 2 a constante
9 Halle d2y
dx2 si b2x2 minus a2y2 = a2b2 a b constantes
10 Halle d2y
dx2 si x23 + y23 = a23 a constante
11 Halle d2y
dx2
si 3x2
minus2xy + y2 = a2 a constante
12 En los ejercicios anteriores halle dx
dy si x = x(y)
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La derivada de una funcion real de variable real
141 Ecuaciones diferenciales ordinarias de lugares geometricos
Definicion 18 (Ecuacion diferencial) Una ecuaciacute on diferencial es aquella que contiene una o macute as fun-
ciones de una o macute as variables y algunas de sus derivadas respecto a sus variables independientes
Definicion 19 (Ecuacion diferencial ordinaria) Una ecuaciacute on diferencial ordinaria es aquella que con-
tiene una o macute as funciones de una variable y algunas de sus derivadas respecto a su variable independiente El
orden de esta ecuaciacute on diferencial ordinaria es el de la derivada de mayor orden contenida en ella
Ejemplo 110 La siguientes son ecuaciones diferenciales ordinarias
1 2yprimeprime + xyprime + y = sen x su orden es 2
2 yprimeprimeprime minus 2yprimeprime + 5yprime + y = ln x su orden es 3
3 xyprime + sen x = tan x su orden es 1
4 y(5) + y(4) + yprimeprimeprime + yprimeprime + yprime + y = 0 su orden es 5
5 2yprimeprime + xyprime + y3 = sen x su orden es 2
6 (yprimeprimeprime)2 minus 2(yprimeprime)7 + 5yprime + y = ln x su orden es
7 xyprime + sen x = tan y su orden es 3
8 y(5) + y(4) + yprimeprimeprime + (yprimeprime)4 + yprime + ln y = 0 su orden es 5
9 yy primeprime + x2y = x su orden es 2
Definicion 110 Un lugar geometrico del plano
2 es un conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen una
o macute as ecuaciones del tipo F (x y) = K
Ejemplo 111 La recta la circunferencia la paracute abola la elipse la hiperbola las graficas de funciones son
ejemplos de lugares geometricos
Definicion 111 La ecuaciacute on diferencial ordinaria de un lugar geometrico cuya ecuaciacute on es F (x y) = K es
aquella que se obtiene al derivar esta ecuaciacute on con respecto a una de sus variables
Teorema 18 Si un lugar geometrico cuya ecuaciacute on es F (x y) = K contiene n constantes independiente
entonces su ecuaciacute on diferencial ordinaria tendracute a orden n
Ejemplo 112 Halle la ecuaciacute on diferencial ordinaria de todas las circunferencias con centro el origen de
coordenadas
Solucion La ecuacion de esta familia de circunferencias es x2 + y2 = r2 y contiene una sola constante Al
derivar a ambos miembros respecto a x tenemos 2x + 2yyprime = 0 Por tanto la ecuacion diferencial ordinaria de
estas circunferencias sera
x + yy prime = 0 o yprime = minusy
x
Ejemplo 113 Halle la ecuaciacute on diferencial ordinaria de todas las rectas horizontales
Solucion La ecuacion de esta familia de rectas es y = K y contiene una sola constante Al derivar a ambos
miembros respecto a x tenemos y prime = 0 Por tanto la ecuacion diferencial ordinaria de estas rectas sera
yprime = 0
Ejemplo 114 Halle la ecuaciacute on diferencial ordinaria de todas las rectas con pendiente 2
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La derivada de una funcion real de variable real
Solucion La ecuacion de esta familia de rectas es y = 2x + K y contiene una sola constante Al derivar a
ambos miembros respecto a x tenemos y prime = 2 Por tanto la ecuacion diferencial ordinaria de estas rectas sera
yprime = 2
Ejemplo 115 Halle la ecuaciacute on diferencial ordinaria de todas las rectas que pasan por el origen de coordenadas
Solucion Solo consideraremos a las rectas no verticales que pasan por el origen La ecuaci on de esta familia
de rectas es y = Kx y contiene una sola constante entonces su ecuacion diferencial debe ser de orden uno
Al derivar a ambos miembros respecto a x tenemos yprime = K pero K = y
x Por tanto la ecuacion diferencial
ordinaria de estas rectas sera
yprime = y
x si x = 0 yprime = 0 si y = 0
Ejemplo 116 En los siguientes ejemplos dada una funciacute on obtener la ecuaciacute on diferencial de la cual es
soluciacute on
1 y = ceminus2x + x
El orden de la ecuacion diferencia buscada es 1 entonces derivando tenemos
yprime
= minus2ceminus
2x + 1 = minus2ceminus
2x + 1 + 2x minus 2x = minus2(ceminus
2x + x) + 1 + 2x = minus2y + 1 + 2x
there4dy
dx = 1 minus 2(y minus x) es la ecuacion diferencial buscada
2 y = C 1 sen 4x + C 2 cos 4x + x
El orden de la ecuacion diferencia buscada es 2 entonces derivando tenemos
yprime = 4C 1 cos 4x minus 4C 2 sen 4x + 1 yprimeprime = minus16C 1 sen 4x minus 16C 2 cos 4x
yprimeprime = minus16(C 1 sen 4x + C 2 cos 4x) = minus16(y minus x)
there4 yprimeprime + 16y minus 16x = 0 es la ecuacion diferencial buscada
3 y = ax3 + bx2 + cx
El orden de la ecuacion diferencia buscada es 3 entonces derivando tenemos
yprime = 3ax2 + 2bx + c yprimeprime = 6ax + 2b yprimeprimeprime = 6a Reemplazando en la ecuacion a b y c
y = yprimeprimeprime
6 x3 +
1
2
983080yprimeprime minus yprimeprimeprimex
983081x2 +
983080yprime minus yprimeprime
2 minus yprimeprimeprimex
983081x
there4 11x3yprimeprimeprime minus 3x2yprimeprime + 6xyprime + 6y = 0 es la ecuacion diferencial buscada
4 Hallar la ecuacion diferencial de la familia de circunferencias de radio 1 con centro en la recta bisectriz del
primer y tercer cuadrante
Solucion
x
y
y = x
h
h1
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La derivada de una funcion real de variable real
La ecuacion de la familia de circunferencias es (x minus h)2 + (y minus h)2 = 1 en ella solo figura una constante
entonces el orden de la ecuacion diferencia buscada es 1
Derivando respecto a x tenemos 2(x minus h) + 2(y minus h)yprime = 0 =rArr x minus h + yy prime minus hyprime = 0
=rArr h(1 + yprime) = x + yy prime =rArr h = x + yy prime
yprime + 1
Reemplazando en la ecuacion de las circunferencias
1048616x minus
x + yy prime
yprime + 110486172
+1048616
y minus x + yy prime
yprime + 110486172
= 1
=rArr (x(yprime + 1) minus x minus yy prime
8520092+(
yy prime + y minus x minus yy prime8520092
= (yprime + 1)2
=rArr (xyprime minus yy prime
8520092+(
y minus x8520092
= (yprime + 1)2
=rArr (yprime)2(x minus y)2 + (x minus y)2 = (yprime + 1)2
=rArr (x minus y)2(
(yprime)2 + 1852009
= (yprime + 1)2 es la ecuacion diferencial buscada
5 Formular la ecuacion diferencial que representa a todas las tangentes no verticales de la par abola y2 = 2x
Solucion
x
y
a
b
L
y = 2 x 2
La ecuacion de la recta tangente L a la parabola en el punto (a b) es
L y minus b = m(x minus a) Hallando la pendiente m derivando L y prime = m Por otro lado derivando la ecuacion
de la parabola tenemos 2yyprime = 2 =rArr y prime = 1
y cuyo significado es y prime(x) =
1
y(x) para x gt 0
En el punto (a b) de la parabola se tiene yprime(a) = 1
y(a) =
1
b = m Ademas como (a b) es un punto de la
parabola se tiene b2 = 2a =rArr a = b2
2 Luego en la ecuacion de la tangente
y minus b = 1b
1048616x minus b
2
2
1048617 =rArr yb minus b2 = x minus b
2
2
=rArr y = x
b +
b
2 pero b =
1
yprime
=rArr y = xy prime + 1
2yprime
=rArr 2y(yprime)2 minus 2xyprime + 1 = 0 es la ecuacion diferencial buscada
6 y2 = 4ax
Primero tenemos a = y2
4x el cual se utilizara luego Derivando la ecuacion original tenemos 2yyprime = 4a
=rArr 2yyprime
= 41048616 y2
4x1048617
= y2
x =rArr 2xyyprime
= y2 =rArr 2xyprime
= y si y = 0 =rArr 2x dy
dx minus y = 0
Por lo tanto 2x dy
dx minus y = 0 es la ecuacion diferencial buscada
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La derivada de una funcion real de variable real
7 y = C 1 sen 4x + C 2 cos 4x + x
Solucion
yprime = 4C 1 cos 4x minus 4C 2 sen 4x + 1 yprimeprime = minus16C 1 sen 4x minus 16C 2 cos 4x de la segunda derivada tenemos
minusyprimeprime
16 = C 1 sen 4x + C 2 cos 4x = y minus x luego minus(16)minus1yprimeprime = y minus x =rArr minusyprimeprime = 16y minus 16x
Por lo tanto yprimeprime = 16(xminus
y) es ecuacion diferencial buscada
8 I = teminust + eminust + 2sen 3t
Solucion En esta parte I es una funcion que depende de t y las derivadas seran respecto a t
I prime = eminust minus teminust minus eminust + 6cos 6t Pero teminust + eminust = I minus 2sen3t
=rArr I prime = eminust minus I + 2sen 3t + 6cos 3t =rArr I primeprime = minuseminust minus I prime minus 6cos3t minus 18sen3t
sumando las dos ultimas ecuaciones I prime + I primeprime = minusI minus I prime minus 16sen3t de donde I primeprime + 2I prime + I = minus16sen3t
9 x2 minus ay2 = 1
Solucion
Derivando 2x minus 2ay dy
dx = 0 =rArr y prime =
dy
dx =
minus2x
minus2ay
=rArr a = x
yy prime reemplazando en la ecuacion original
x2 minus x
yyprimey2 = 1 =rArr x2yyprime minus yyprime minus xy2 = 0
=rArr (x2 minus 1)yprime = xy
=rArr yprime = xy
x2 + 1 es la ecuacion diferencial buscada
10 x2 + y2 minus cx = 0
Derivando 2x + 2yyprime = c
Reemplazando en la ecuacion original x2 + y2 minus (2x + 2yy prime)x = 0
=
rArr yprime =
x2 minus y2
2xy
es la ecuacion diferencial buscada
11 Hallar la ecuacion diferencial de cada uno de las siguientes familias de curvas
a) y = x sen(x + c) Rta (xyprime minus y)2 = x2(x2 minus y2)
b) Todos los cırculos que pasan por (1 0) y (minus1 0) Rta 2xy = (x2 minus y2 minus 1)yprime
c) Todos los cırculos con centro en la recta y = x que son tangentes a ambos ejes
Rta (x minus y)2(1 + yprime)2 = (x + yy prime)2
d) Todas las rectas tangentes a la parabola x2 = 4y
Sugerencia La pendiente de la recta tangente en (2a a2) es a Rta y + yprime = xy prime
e) Todas las rectas tangentes al cırculo unidad x2
+ y2
= 1 Rta (y minus xyprime
)2
= 1 minus (yprime
)2
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La derivada de una funcion real de variable real
Definicion 112 Sea la ecuaciacute on diferencial ordinaria lineal de orden n
any(n) + middot middot middot + a2y primeprime + a1y prime + a0 = b
La funciacute on f A minusrarr
es una de sus soluciones si para todo x isin A
anf (n)(x) + middot middot middot + a2f primeprime(x) + a1f prime(x) + a0 = b
Ejercicio 4 Demuestre que la funciacute on f
minusrarr definida por f (x) = sin x es una soluciacute on de la ecuaciacute on
diferencial y primeprime + y = 0
Solucion Lo unico que debemos hacer es derivar a f dos veces y sumar los resultados
f (x) = sin x minusrarr f prime(x) = cos x minusrarr f primeprime(x) = minus sin x sumando f primeprime(x) + f (x) = 0 por lo tanto f
es una solucion de la ecuacion diferencial y primeprime + y = 0
Ejercicio 5 Demuestre que la funciacute on f
minusrarr
definida por f (x) = 8ex+xex es una soluciacute on de la ecuaciacute on
diferencial yprimeprime minus 2yprime + y = 0
Solucion Derivemos a f hasta dos veces y reemplacemos en el primer miembro de la ecuacion diferencial Siresulta cero tal reemplazo entonces la funcion f es una solucion de tal ecuacion diferencial
f (x) = 8ex + xex =rArr f prime(x) = [8ex] prime + [xex] prime = 8ex + [x]primeex + x[ex] prime = 8ex + ex + xex = 9ex + xex
=rArr f primeprime(x) = [9ex] prime + [xex] prime = 9ex + [x]primeex + x[ex] prime = 9ex + ex + xex = 10ex + xex
Reemplazemos en el primer miembro de la ecuacion diferencial
f primeprime(x) minus 2f prime(x) + f (x) =1048667
10ex + xex1048669minus 2
10486679ex + xex
1048669+1048667
8ex + xex1048669
= 10ex + xex minus 18ex minus 2xex + 8ex + xex
= [10
minus18 + 8]ex + [1
minus2 + 1]xex
= 0
Dado que resulta f primeprime(x)minus2f prime(x)+f (x) = 0 entonces f (x) = 8ex+xex es una solucion de la ecuacion diferencial
ordinaria y primeprime minus 2yprime + y = 0
Ejercicio 6 Demuestre o descarte las siguientes afirmaciones
1 x + y2 = K describe la soluciacute on general de las ecuaciones diferenciales dy
dx = minus 1
2y 2yyprime + 1 = 0
2 y = K ex es la soluciacute on general de la ecuaciacute on diferencial yprime minus y = 0
3 y = sin x
x
es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial xyprime + y = cos x
4 y = 1
cos x es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial yprime minus y tan x = 0
5 y = 2xradic
1 minus x2 es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial yy prime = 4x minus 8x3
6 y = x
cos x es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial xyprime minus y = x2 tan x sec x
7 y = ex(x + 1) es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial yprimeprime minus 2yprime + y = 0
8 y = ln(x + c) + 2 es la soluciacute on general de la ecuaciacute on diferencial yprimeeyminus2 minus 1 = 0
9 y = sen3 x es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial yprimeprime + (tan x minus 2cot x)yprime = 0
10 y = arcsin(xy) describe una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial xyprime + y = yradic
1 minus x2y2
11 y = c1eminusx + c2ex + c3eminus2x + c4e2x es soluciacute on general de la ecuaciacute on diferencial y(iv) minus 5yprimeprime + 4y = 0
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La derivada de una funcion real de variable real
15 Funciones derivables
151 Funciones derivables en un intervalo
Sin ser redundantes presentamos a los intervalos de
1 [a b] = x isin
a le x le b
2 ⟨a b⟩ = x isin
a lt x lt b
3 ⟨a b] = x isin
a lt x le b
4 [a b⟩ = x isin
a le x lt b
5 ⟨minusinfin b⟩ = x isin 1048623x lt b
6 ⟨minusinfin b] = x isin
1048623x le b
7 ⟨a +infin⟩ = x isin
1048623a lt x
8 [a +infin⟩ = x isin
1048623a le x
9 ⟨minusinfin +infin⟩ =
y
10 [a a] = a
Los cuatro primeros y el ultimo son los intervalos limitados los cinco siguientes son intervalos ilimitados el
ultimo se denomina un intervalo degenerado desde el segundo hasta el cuarto intervalo a lt b
Definicion 113 Sea la funciacute on f I minusrarr donde I es un intervalo de
1 La funciacute on f ⟨a b⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨a b⟩ si lo es en cada punto de ⟨a b⟩
2 La funciacute on f ⟨minusinfin b⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨minusinfin b⟩ si lo es en cada punto de ⟨minusinfin b⟩
3 La funciacute on f ⟨a +infin⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨a +infin⟩ si lo es en cada punto de ⟨a +infin⟩
4 La funciacute on f [a b⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo [a b⟩ si existe un intervalo abierto del tipo ⟨ p q ⟩ que
contiene a [a b⟩ tal que f sea derivable sobre ⟨ p q ⟩
5 La funciacute on f ⟨a b] minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨a b] si existe un intervalo abierto del tipo ⟨ p q ⟩ que
contiene a ⟨a b] tal que f sea derivable sobre ⟨ p q ⟩
6 La funciacute on f [a +infin⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo [a +infin⟩ si existe un intervalo abierto del tipo⟨ p +infin⟩ que contiene a [a +infin⟩ tal que f sea derivable sobre ⟨ p +infin⟩
7 La funciacute on f ⟨minusinfin b] minusrarr es derivable en el intervalo ⟨minusinfin b] si existe un intervalo abierto del tipo
⟨minusinfin q ⟩ que contiene a ⟨minusinfin b] tal que f sea derivable sobre ⟨minusinfin q ⟩
8 La funcion f [a b] minusrarr es derivable en el intervalo [a b] si existe un intervalo abierto del tipo ⟨ p q ⟩ que
contiene a [a b] tal que f sea derivable sobre ⟨ p q ⟩
Observaciones
1 La funcion f [a b
⟩ minusrarr es derivable en el intervalo [a b
⟩ si y solo si es derivable en cada punto de
⟨a b
⟩y existe f prime+(a)
2 La funcion f [a +infin⟩ minusrarr es derivable en el intervalo [a +infin⟩ si y solo si es derivable en cada punto de
⟨a +infin⟩ y existe f prime+(a)
3 La funcion f ⟨a b] minusrarr es derivable en el intervalo ⟨a b] si y solo si es derivable en cada punto de ⟨a b⟩
y existe f primeminus
(b)
4 La funcion f ⟨minusinfin b] minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨minusinfin b] si y solo si es derivable en cada punto de
⟨minusinfin b⟩ y existe f primeminus
(b)
5 La funcion f [a b] minusrarr
es derivable en el intervalo [a b] si y solo si es derivable en cada punto de ⟨a b⟩y existen f prime+(a) y f prime
minus(b)
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La derivada de una funcion real de variable real
6 Sea I un intervalo abierto Si la funcion f I minusrarr es derivable su funcion derivada f prime I minusrarr tendra el
mismo dominio que f
7 Sea I un intervalo abierto Si la funcion f I minusrarr
es k veces derivable su funcion kndashesima derivada
f (k) I minusrarr
tendra el mismo dominio que f
8 Sea I un intervalo no abierto Si la funcion f I minusrarr
es derivable su funcion derivada f prime J minusrarr
tendra como dominio al interior de I
152 Funciones de clase C k
Sea I un intervalo de
Si la funcion f I minusrarr
es derivable en I entonces es continua en I pero
posiblemente la funcion derivada f prime J minusrarr
no sea continua en I J = int (I )
Definicion 114 Sea I un intervalo de Si la funcion f I minusrarr es continua en I diremos que ldquo f rdquo es una
funciacute on de clase cero C 0 sobre I
⋆ Si ldquof rdquo es una funcion de clase C 0 sobre I lo denotamos por f
isin C 0(I )
Definicion 115 Sea I un intervalo abierto de
Si la funciacute on f I minusrarr
es derivable en I y la funciacute on
f prime I minusrarr es continua en I diremos que f es continuamente derivable en I o simplemente la funciacute on ldquo f rdquo es
de clase C 1 sobre I
⋆ Si ldquof rdquo es una funcion de clase C 1 sobre I lo denotamos por f isin C 1(I )
Definicion 116 Sea I un intervalo abierto de
La funcion f I minusrarr
es de clase C k sobre el intervalo I
si es k veces derivable sobre I y la funciacute on f (k) I minusrarr
es continua en I
⋆ Si ldquof rdquo es una funcion de clase C k sobre I lo denotamos por f
isin C k(I )
Definicion 117 Sea I un intervalo abierto de La funciacute on f I minusrarr es de clase C infin sobre el intervalo I
si existe f (n) para todo n isin 0 1 2 middot middot middot
⋆ Si ldquof rdquo es una funcion de clase C infin sobre I lo denotamos por f isin C infin(I )
Ejemplo 117
1 La funcion f
minusrarr
definida por f (x) = ex es de clase C infin sobre
Con la notaciones presentadas
tenemos la pertenencia f isin C infin(
)
2 La funcion f minusrarr
definida por f (x) = p(x) donde p(x) es un polinomio es de clase C infin
sobre
Conla notaciones presentadas tenemos la pertenencia f isin C infin( )
3 La funcion f [0 +infin⟩ minusrarr definida por f (x) =
radic x es de clase C infin sobre ⟨0 +infin⟩ Con la notaciones
presentadas tenemos la pertenencia f isin C infin983080
[0 +infin⟩983081
153 Funciones no derivables
Sea f una funcion cuyo dominio sea el conjunto A sub
Si f es derivable en el punto a isin A entonces la
grafica de f en su punto (a f (a)) tiene una unica recta tangente La idea de recta tangente en este caso no es
la misma que usted tiene a cerca de una recta tangente a una circunferencia en donde ellos tienen un unico
punto en comun es decir si la recta L es tangente a la circunferencia C entonces L y C tienen un unico punto
en comun llamado punto de tangencia Mientras que si L es una recta tangente a la grafica de la funcion f
es posible que ellos tengan otro punto en comun a parte del punto de tangencia la idea de tangencia que se
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La derivada de una funcion real de variable real
expone es local y no global en el sentido de que si L es una recta tangente a la grafica de la funcion f el punto
de tangencia es unico cerca de el especıficamente La recta L es una tangente a la grafica de la funcion f en su
punto (a f (a)) si existe un cırculo de centro (a f (a)) dentro del cual L y la grafica de la funcion f tienen un
unico punto en comun y los puntos de la grafica de f que pertenecen al cırculo estan a un solo lado de L Y si
ademas la funcion f es derivable en a la pendiente de L es f prime(a)
X
Y
L L L
y f x ( )=a
X
Y
L L L
y f x ( )=a
Si una funcion f es continua en un punto a no siempre sera derivable en dicho punto existe la posibilidad de
que lo sea como tambien que no como por ejemplo
La funcion f ⟨0 2⟩ minusrarr
definida por f (x) =
983163 2x si 0 lt x lt 1
2 si 1 le x lt 2es continua en el punto a = 1 pero
no es derivable en dicho punto pues no existe f prime(1) La existencia de la derivada f prime(1) implica que la grafica
de la funcion f tiene una unica recta tangente en el punto (1 f (1)) la no existencia de f prime(1) implica que la
grafica de la funcion f tiene una varias rectas en ese punto o no en este ejemplo como veremos gr aficamente
la funcion f posee varia rectas tangentes en su punto (1 f (1))
X
Y
y f x ( )=
1 2
X
Y
L L L
y x 2=
y x 3=
1
2
3
Grafico de f (x) =983163 2x si 0 lt x lt 1
2 si 1 le x lt 2 Grafico de f (x) =
x2 si
minus1 lt x lt 1
2x3
3 si 1 le x lt 2
Si una funcion f es derivable en un punto a entonces por el teorema 17 sera continua en dicho punto por
ejemplo la funcion f ⟨0 2⟩ minusrarr
f (x) =
x2 si minus1 lt x lt 1
2x3
3 si 1 le x lt 2
es derivable en a = 1 mas aun es
continua en dicho punto Es mas la grafica de f tiene una unica recta tangente en su punto (1 f (1))
De acuerdo al teorema 16 una funcion es no derivable en el punto ldquoardquo si f primeminus
(a) = f prime+(a) o una de la
derivadas laterales f primeminus
(a) f prime+(a) no existe Y de acuerdo al teorema 17 si f no es continua en el punto ldquoardquo
entonces no es derivable en ese punto
Los siguientes son ejemplos graficos de funciones no derivables en un punto
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La derivada de una funcion real de variable real
X X
Y Y
a a b
y f x = ( ) y f x = ( )
f a f a bno es derivable en no es derivable en y
f a
f b
es derivable en por derecha
es derivable en por izquierda
2 Teoremas sobre funciones derivables
21 Extremos relativos de una funcion
Definicion 21 Sean empty = X sub
y m isin
Diremos que ldquo mrdquo es el mınimo del conjunto X si m isin X y m le x
para todo x isin X
Definicion 22 Sean empty = X sub
y M isin
Diremos que ldquo M rdquo es el macute aximo del conjunto X si M isin X y
M ge x para todo x isin X
Observaciones
1 No todo subconjunto no vacıo de
posee maximo yo mınimo
2 Si un subconjunto no vacıo de
posee maximo yo mınimo este es unico y ademas es uno de los elementos
del conjunto
3 Si ldquomrdquo es el mınimo del conjunto X entonces lo denotamos por m = mın X
4 Si ldquoM rdquo es el maximo del conjunto X entonces lo denotamos por M = max X
5 Si m = mın X y M = max X entonces m le M y ademas m le x le M para todo x isin X
Ejemplo 21
1 El conjunto de los numeros naturales posee mınimo y es 1 es decir 1 = mın pero no posee maximo
2 El conjunto
el de los numeros enteros no posee ni maximo ni mınimo El conjunto
el de los numeros
racionales no posee ni maximo ni mınimo
3 Veamos algunos intervalos
a) Los intervalos ⟨a b⟩ ⟨a b] ⟨a +infin⟩ no poseen mınimo
b) Los intervalos ⟨a b⟩ [a b⟩ ⟨minusinfin b⟩ no poseen maximo
c) a = mın[a b] a = mın[a b⟩ a = mın[a +infin⟩
d) b = max[a b] b = max⟨a b] b = max⟨minusinfin b]
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La derivada de una funcion real de variable real
Definicion 23 Sean empty = A sub f A minusrarr una funciacute on y x0 isin A
1 La funciacute on ldquo f rdquo tiene un mınimo absoluto en x0 si f (x0) le f (x) para todo x isin A
2 La funciacute on ldquo f rdquo tiene un macute aximo absoluto en x0 si f (x) le f (x0) para todo x isin A
3 La funci on ldquo f rdquo tiene un mınimo relativo en x0 si existe un δ gt 0 tal que f (x0) le f (x) para todo
x isin A cap ⟨x0 minus δ x0 + δ ⟩
4 La funci on ldquo f rdquo tiene un macute aximo relativo en x0 si existe un δ gt 0 tal que f (x) le f (x0) para todo
x isin A cap ⟨x0 minus δ x0 + δ ⟩
Observaciones Sean empty = A sub
f A minusrarr
una funcion y x0 isin A
1 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo relativo en x0 diremos tambien que f tiene un mınimo local en x0
2 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo relativo en x0 diremos tambien que f tiene un maximo local en x0
3 La funcion ldquof rdquo tiene un extremo absoluto en x0 si tiene un mınimo o maximo absoluto en dicho punto
4 La funcion ldquof rdquo tiene un extremo relativo en x0 si tiene un mınimo o maximo relativo en dicho punto
5 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo absoluto en x0 entonces f (x0) es el mınimo del rango de la funcion es
decir
f (x0) = mın Ran (f )
Al numero f (x0) lo denominaremos el valor mınimo de f en su dominio
6 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo absoluto en x0 entonces f (x0) es el maximo del rango de la funcion es
decir
f (x0) = max Ran (f )
Al numero f (x0) lo denominaremos el valor maximo de f en su dominio
7 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo relativo en x0 entonces f no siempre tendra un mınimo absoluto en x0
Una funcion puede poseer un mınimo relativo sin tener un mınimo absoluto
8 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo relativo en x0 entonces f no siempre tendra un maximo absoluto en
x0 Una funcion puede poseer un maximo relativo sin tener un maximo absoluto
9 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo absoluto en x0 entonces f tiene un mınimo relativo en dicho punto Lo
contrario no siempre es cierto
En la figura la funcion f minusrarr tiene maximo
relativo en x = 0 pero no posee maximo absolutoen su dominio
En la figura la funcion g minusrarr tiene mınimo
relativo en x = 0 pero no posee mınimo absolutoen su dominio
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La derivada de una funcion real de variable real
10 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo absoluto en x0 entonces f tiene un maximo relativo en dicho punto Lo
contrario no siempre es cierto
11 Una funcion puede tener extremos absolutos en mas de un punto vea el siguiente grafico
En la figura la funcion f
minusrarr
tiene mınimo
absoluto en dos puntos diferentes
En la figura la funcion g
minusrarr
tiene maximo
absoluto en dos puntos diferentes
12 La funcion ldquof rdquo tiene un extremo en el punto x0 si tiene un maximo o mınimo absoluto o relativo en dicho
punto
Y Y
X X
figura (a) figura (b)
x x x x 0 1 2 3 4 5 6x x x x x x x x x x 0 1 2 3 4 5 6
y f x = ( )
y f x = ( )
En la figura (a) Dom(f ) = [x0 x6] la funcion tiene
un mınimo absoluto en el punto x2 y maximo absolu-
to en el punto x5 mientras que tiene mınimo relativo
en los puntos x0 x2 x4 y x6 y maximo relativo en
los puntos x1 x3 y x5
En la figura (b) Dom (f ) = [x0 x6⟩minusx3 la funcion
no tiene mınimo absoluto ni maximo absoluto mien-
tras que tiene mınimo relativo en los puntos x0 x2 y
x4 y maximo relativo en los puntos x1 y x5
Teorema 21 Si la funcion f tiene un extremo en x0 y f prime(x0) existe entonces f prime(x0) = 0
Observaciones
1 Lo contrario no siempre es cierto es decir si f prime(x0) = 0 entonces f no siempre tendra un extremo en x0
Un ejemplo simple es para f (x) = (x minus 2)3 en x0 = 2
2 Si la funcion f tiene un extremo en x0 y f prime
(x0) existe entonces la recta tangente a la grafica de la funcionen el punto
(x0 f (x0)
852009 en horizontal
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La derivada de una funcion real de variable real
3 Si la funcion f tiene un extremo en x0 y f prime(x0) no existe entonces o bien no existe recta tangente a la
grafica de la funcion en el punto(
x0 f (x0)852009
o existen infinitas rectas tangente a la grafica de la funcion en
el punto(
x0 f (x0)852009
pudiendo ser una de ellas una recta vertical
En la figura la funcion f
minusrarr
tiene un extremo
en x = 0 pero f prime(0) no existe ademas la grafica de
esta funcion posee infinitas rectas tangente en el pun-
to(
0 f (0)852009
En la figura la funcion g
minusrarr
tiene extremo en
los puntos x0 x1 existen g prime(x0) g prime(x1) y las rectas
tangente en(
x0 g(x0)852009
y(
x1 g(x1)852009
son horizontales
22 El teorema del valor medio
Teorema 22 (Teorema de Rolle) Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si f es continua en [a b] es derivable en
⟨a b⟩ y f (a) = f (b) entonces existe un c isin ⟨a b⟩ tal que f prime(c) = 0
Observaciones
1 Si la funcion f satisface las hipotesis del teorema de Rolle la existencia del punto c tales que f prime(c) = 0 no
siempre es unica pueden existir otros puntos del intervalo ⟨a b⟩ cuya primera derivada en esos puntos sea
cero
2 La condicion f (a) = f (b) indica que la recta que pasa por los puntos(
a f (a)852009
y(
b f (b)852009
es horizontal El
teorema garantiza la existencia de al menos un punto c isin ⟨a b⟩ tal que la recta tangente a la grafica de la
funcion f el punto(
c f (c)852009
tambien sea horizontal
X X
Y Y
y=f x( )
y=f x( )
figura (a) figura (b)
a c c b1 3 a b
c2
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La derivada de una funcion real de variable real
En la figura (a) la funcion f satisface las hipotesis del
teorema de Rolle por tanto en este caso existen pun-
tos c1 c2 y c3 del intervalo ⟨a b⟩ tal que f prime(c1) = 0
f prime(c2) = 0 y f prime(c3) = 0
En la figura (b) la funcion f no satisface las hipotesis
del teorema de Rolle en tanto no se garantiza la exis-
tencia de puntos del intervalo ⟨a b⟩ tal que la primera
derivada de f en esos puntos sea cero
Teorema 23 (El teorema del valor medio de Lagrange) Sea la funciacute on f [a b]
minusrarr
Si f es continua
en [a b] es derivable en ⟨a b⟩ entonces existe un c isin ⟨a b⟩ tal que
f prime(c) = f (b) minus f (a)
b minus a
Observaciones
1 Si la funcion f satisface las hipotesis del teorema del valor medio de Lagrange la existencia del punto c tales
que f prime(c) = f (b) minus f (a)
b minus a no siempre es unica pueden existir otros puntos del intervalo ⟨a b⟩ cuya primera
derivada en esos puntos sea igual a f (b) minus f (a)
b minus a
2 Sea L la recta que pasa por los puntos(
a f (a)852009
y(
b f (b)852009
el teorema garantiza la existencia de al menosun punto c isin ⟨a b⟩ tal que la recta tangente a la grafica de la funcion f el punto
(c f (c)
852009 sea paralela a L
Y Y
X X
y = f x ( ) y = f x ( )
f a ( )
f a ( )
f b( )
f b( )
figura (a) figura (b)
a c b1 b
c 2 a
L L L
L L L
En la figura (a) la funcion f satisface las hipotesis del
teorema de Lagrange por tanto en este caso existen
puntos c1 y c2 del intervalo ⟨a b⟩ tal que
f prime(c1) = f (b) minus f (a)
b minus a y f prime(c2) =
f (b) minus f (a)
b minus a
En la figura (b) la funcion f no satisface las hipotesis
del teorema de Lagrange en tanto no se garantiza
la existencia de puntos del intervalo ⟨a b⟩ tal que laprimera derivada en ese punto sea igual a
f (b) minus f (a)
b minus a
Teorema 24 (El teorema generalizado del valor medio de Cauchy) Sean las funciones f [a b] minusrarr
y g [a b] minusrarr
continuas en [a b] y derivables en ⟨a b⟩ con g(b) = g(a) y g prime(x) = 0 para todo x isin ⟨a b⟩
entonces existe un c isin ⟨a b⟩ tal que f prime(c)
g prime(c) =
f (b) minus f (a)
g(b) minus g(a)
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La derivada de una funcion real de variable real
23 Funciones crecientes y decrecientes
Definicion 24 (Funcion creciente) Sean empty = A sub
y la funciacute on f A minusrarr
Diremos que la funciacute on f
es creciente o estrictamente creciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) lt f (x2)
Definicion 25 (Funcion decreciente) Sean empty = A sub
y la funci on f A minusrarr
Diremos que la funcion f
es decreciente o estrictamente decreciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) gt f (x2)
Y Y
X X
f x ( )1
f x ( )1
x 1
x 1x 2
x 2
f x ( )2
f x ( )2
Graacutefico de una funcioacutenestrictamente creciente
Graacutefico de una funcioacutenestrictamente decreciente
Definicion 26 (Funcion no creciente) Sean empty = A sub y la funci on f A minusrarr
Diremos que la funciacute on
f es no creciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) ge f (x2)
Definicion 27 (Funcion no decreciente) Sean empty = A sub y la funciacute on f A minusrarr
Diremos que la
funciacute on f es no decreciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) le f (x2)
Y Y
X X
x 1 x 2 x 1 x 2
Graacutefico de una funcioacuten
no decreciente
Graacutefico de una funcioacuten
no creciente
Definicion 28 (Funcion monotona) Sean empty = A sub
y la funci on f A minusrarr
Diremos que la funciacute on f
es monacute otona sobre A si es creciente o decreciente o no creciente o no decreciente sobre A
Observaciones
1 Para definir funciones monotonas (crecientes decrecientes no crecientes o no decrecientes) no es necesario
saber la continuidad y la derivabilidad de la funcion en su dominio
2 Existen funciones monotonas que no son derivables yo continuas en su dominio
Teorema 25 Sean empty = A sub y la funciacute on f A minusrarr Si la funciacute on f es estrictamente creciente sobre A
entonces f es una funciacute on inyectiva y su funcion inversa f lowast tambien es estrictamente creciente sobre Ran(f )
Teorema 26 Sean empty = A sub
y la funci on f A minusrarr
Si la funci on f es estrictamente decreciente sobre A
entonces f es una funciacute on inyectiva y su funciacute on inversa f lowast tambien es estrictamente decreciente sobre Ran(f )
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La derivada de una funcion real de variable real
Y Y
X X
f
f
f
f
Teorema 27 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr
Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩
con f
prime
(x) gt 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es estrictamente creciente sobre [a b]
Teorema 28 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩
con f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es estrictamente decreciente sobre [a b]
X X
a
a b
b
Observaciones
1 Del teorema 27 si la pendiente de todas las rectas tangente a la grafica de la funcion sobre ⟨a b⟩ es positiva
entonces la funcion es estrictamente creciente sobre [a b]
2 Del teorema 28 si la pendiente de todas las rectas tangente a la grafica de la funcion sobre ⟨a b⟩ es negativa
entonces la funcion es estrictamente decreciente sobre [a b]
Teorema 29 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr
Si la funcion f es continua sobre [a b] y es inyectiva en [a b]
entonces f es estrictamente creciente o estrictamente decreciente sobre [a b] pero no ambos
X X
a
a b
b
f ab
ab
es continua e inyectiva sobre [ ]en este caso es creciente sobre [ ]
f ab
ab
es continua e inyectiva sobre [ ]en este caso es decreciente sobre [ ]
f f
Teorema 210 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funciacute on f es continua y estrictamente creciente sobre
[a b] entonces Ran(f ) =1048667
f (a) f (b)1048669
y su funciacute on inversa f lowast 1048667
f (a) f (b)1048669 minusrarr
es tambien continua y
estrictamente creciente sobre [a b]
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La derivada de una funcion real de variable real
Teorema 211 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funcion f es continua y estrictamente decreciente sobre
[a b] entonces Ran(f ) =1048667
f (b) f (a)1048669
y su funciacute on inversa f lowast 1048667
f (b) f (a)1048669 minusrarr
es tambien continua y
estrictamente decreciente sobre [a b]
Teorema 212 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre
⟨a b⟩ con f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es no decreciente sobre [a b]
Teorema 213 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre
⟨a b⟩ con f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es no creciente sobre [a b]
Teorema 214 (de la funcion constante) Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre
[a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩ con f prime(x) = 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es constante sobre [a b] es decir
existe una constante C tal que f (x) = C para todo [a b]
Teorema 215 (de la diferencia constante) Sean las funciones f [a b] minusrarr
y f [a b] minusrarr
Si las
funciones f y g son continuas sobre [a b] y es derivables sobre ⟨a b⟩ con f prime(x) = g prime(x) para todo x isin ⟨a b⟩entonces existe una constante C tal que f (x) = g(x) + C para todo [a b]
Definicion 29 (Punto crıtico) Sean I un intervalo de
x0 un punto de I y la funciacute on f I minusrarr
El
punto x0 es un punto crıtico de la funciacute on f I minusrarr si x0 satisface alguna de las siguientes condiciones
a) f prime(x0) = 0 o b) f prime(x0) = 0 no existe o c) f tiene un extremo en x0
Observaciones
1 Si x0 es un punto crıtico de la funcion f no podemos concluir con certeza una de las condiciones mencionadas
2 Si x0 es un punto crıtico de la funcion f y f prime(x0) = 0 no podemos concluir con certeza que f tiene un
extremo en dicho punto
Por ejemplo sea la funcion f [1 3] minusrarr definida
por f (x) = (x minus 2)3 cuya funcion derivada es
f prime ⟨1 3⟩ minusrarr
983087 f prime(x) = 3(x minus 2)2
En x0 = 2 tenemos f prime(x0) = 0 pero f no tiene
maximo ni mınimo en 2 f tiene un mınimo en 1
y un maximo en 3 por tanto 1 2 y 3 son puntos
crıticos de f
Y
X
1
2
Ejercicio 7 Hal le los puntos crıticos de las siguientes funciones
1 f
minusrarr que estacute a definida por
f (x) = 1
4(x4 minus 6x2 + 8x) + 5
2 f
minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = 3
radic (x + 4)2(x minus 5)
3 f
minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = 5x23 minus x53
4 f
minusrarr
que estacute a definida por f (x) = x + 1
x2 + 1
5 f
minus 1 minusrarr que estacute a definida por
f (x) = x3 minus 2
(x minus 1)2
6 f
minusrarr
que estacute a definida por f (x) = x2 + 3radic
x2 + 1
7 f [minusπ2
π2
] minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = sin2 x minus |x|
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La derivada de una funcion real de variable real
231 Criterio de la primera derivada para extremos de una funcion
Aquı presentamos un criterio que nos ayuda a determinar si un punto crıtico es aquel en donde una funcion
alcanza su valor maximo o mınimo
Teorema 216 (Criterio de la primera derivada) Sean la funciacute on f A minusrarr
el intervalo [a b] contenido
en A y x0
isin ⟨a b
⟩ un punto crıtico de f
1 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f tiene un macute aximo en el punto x0
2 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f tiene un mınimo en el punto x0
3 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) gt 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) gt 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f no tiene macute aximo ni mınimo en el punto x0
4 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f no tiene macute aximo ni mınimo en el punto x0
X X
a bx 0a bx 0
f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0lt gt f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0gt lt
f
f
f tiene un maacuteximo en x 0 f tiene un miacutenimo en x 0
X X a bx 0a bx 0
f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0lt lt f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0gt gt
f f
f no tiene un extremo en x 0 f no tiene un extremo en x 0
Observaciones
1 Al ser x0 un punto crıtico de f el criterio de la primera derivada no garantiza que exista f prime(x0)
2 El criterio de la primera derivada requiere que f sea derivable en ⟨a x0⟩ cup ⟨x0 b⟩ mas no en x0
3 Un metodo que nos permite hallar puntos crıticos de la funcion f en [a b] es resolver la ecuacion f prime(x) = 0
sujeta a la condicion x isin ⟨a b⟩ pero tal metodo solo nos proporciona todos los puntos crıticos de f que
cumple la primera condicion dada en la definicion 29
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La derivada de una funcion real de variable real
4 Los graficos anteriores presentan al punto crıtico x0 de f en el cual existe f prime(x0) y es igual a cero es mas
en los dos primeros graficos la recta tangente en el punto (x0 f (x0)) es horizontal iquestCual es el aspecto de
la grafica de f si es que no existiera f prime(x0)
5 Sea x0 isin ⟨a b⟩ un punto crıtico de la funcion f Al utilizar el criterio de la primera derivada para averiguar
si f tiene maximo o mınimo en x0 es necesario resolver las inecuaciones f prime(x) lt 0 y f prime(x) gt 0 sujetas
a la restriccion x isin ⟨a b⟩ tales procesos son sencillos para algunas funciones pero existen funciones paralos cuales tales resoluciones son complicadas y ahı el criterio de la primera derivada no es recomendable
utilizarlo pero tal deficiencia se supera utilizando otro criterio para determinar extremo de una funcion
6 El criterio de la primera derivada tambien es aplicable cuando en lugar del intervalo ⟨a b⟩ se considera a
otros tipos de intervalos abiertos si es que estan contenidos en el dominio de la funcion
Por ejemplo para la funcion f
minusrarr
definida por f (x) = x2 su unico punto crıtico es x0 = 0 f prime(x) lt 0
para todo x lt 0 y f prime(x) gt 0 para todo x gt 0 por tanto f tiene un mınimo en 0 y su valor mınimo es
f (0) = 0
232 Criterio de la segunda derivada para extremos de una funcion
Aquı presentamos otro criterio que nos ayuda a determinar si un punto crıtico es aquel en donde una funcion
alcanza su valor maximo o mınimo este metodo requiere la existencia de la segunda de la funcion en su punto
crıtico
Teorema 217 (Criterio de la segunda derivada) Sean la funciacute on f A minusrarr
el intervalo [a b] contenido
en A y x0 isin ⟨a b⟩ un punto crıtico de f para el cual f primeprime(x0) existe
1 Si la funciacute on f es derivable en ⟨a b⟩ f prime(x0) = 0 y f primeprime(x0) lt 0 entonces f tiene un macute aximo en el punto x0
2 Si la funciacute on f es derivable en
⟨a b
⟩ f prime(x0) = 0 y f primeprime(x0) gt 0 entonces f tiene un mınimo en el punto x0
X X
a bx 0a bx 0
f a b f f es derivable en ( ) 0 ( ) 0 x x 0 0= lt f a b f f es derivable en ( ) 0 ( ) 0 x x 0 0= gt
f
f
f tiene un maacuteximo en x 0 f tiene un miacutenimo en x 0
Observaciones
1 Los graficos anteriores presentan al punto crıtico x0 de f en el cual existe f primeprime(x0) y es diferente a cero
2 El criterio de la segunda derivada tambien es aplicable cuando en lugar del intervalo ⟨a b⟩ se considera a
otros tipos de intervalos abiertos si es que estan contenidos en el dominio de la funcion
Por ejemplo para la funcion f
minusrarr
definida por f (x) = x2 su unico punto crıtico es x0 = 0 y
f primeprime(0) = 2 gt 0 por tanto f tiene un mınimo en 0 y su valor mınimo es f (0) = 0
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La derivada de una funcion real de variable real
24 Concavidad y puntos de inflexion
25 La regla de Lrsquo Hospital
3 Aplicaciones de la derivada
31 Trazado de grafica de funciones
32 Derivadas parametricas
321 Regla de la cadena
33 Diferencial de una funcion
34 Razon de cambio
Indice
1 La derivada 111 Derivadas laterales 4
12 Derivacion y continuidad 5
13 Derivadas de orden superior 7
131 Notacion de derivadas 7
132 El operador d
dx 8
133 La segunda derivada 10
134 Derivada de ordenes mayores a dos 10
135 Notacion de derivadas de ordenes superiores 11
14 Derivadas implıcitas 12
141 Ecuaciones diferenciales ordinarias de lugares geometricos 13
15 Funciones derivables 18
151 Funciones derivables en un intervalo 18
152 Funciones de clase C k 19
153 Funciones no derivables 19
2 Teoremas sobre funciones derivables 21
21 Extremos relativos de una funcion 21
22 El teorema del valor medio 24
23 Funciones crecientes y decrecientes 26
231 Criterio de la primera derivada para extremos de una funcion 29
232 Criterio de la segunda derivada para extremos de una funcion 30
24 Concavidad y puntos de inflexion 31
25 La regla de Lrsquo Hospital 31
3 Aplicaciones de la derivada 31
31 Trazado de grafica de funciones 31
32 Derivadas parametricas 31
321 Regla de la cadena 31
33 Diferencial de una funcion 31
34 Razon de cambio 31
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La derivada de una funcion real de variable real
Teorema 11 Sean empty = A sub a isin A a un punto de acumulacion de A f A minusrarr
a) Si f es derivable en a entonces la ecuaciacute on de la recta tangente a la gracute afica de la funciacute on f en el punto(a f (a)
852009 es
L T y minus f (a) = f prime(a)(x minus a)
b) Si f es derivable en a y f
prime
(a) = 0 entonces la ecuaciacute on de la recta normal a la gracute afica de la funciacute on f en el punto
(a f (a)
852009 es
L N y minus f (a) = minus1
f prime(a)(x minus a)
c) Si f es derivable en a y f prime(a) = 0 entonces las ecuaciones de la recta tangente y normal a la gracute afica de la
funciacute on f en el punto(
a f (a)852009
son
L T y = f (a) and L N x = a
Observacion Si el punto a es un punto de acumulacion del conjunto A no se puede garantizar que a isin A por
ejemplo a = 0 es un punto de acumulacion del conjunto A =1048699 1
n983087
n isin +983165
pero a isin A mientras que a = 3 es
un punto de acumulacion del conjunto A = [3 5] y a isin A
Si el punto a es un punto de acumulacion del conjunto A y a isin A entonces se denotara por a isin A cap A prime
Teorema 12 Sean empty = A sub
a isin A cap A prime f A minusrarr
g A minusrarr
dos funciones
1 Si f y g son funciones derivables en a entonces f + g f minus g λf (con λ isin ) y f g son derivables en a y
ademacute as
a) (f + g) prime(a) = f prime(a) + g prime(a)
b) (f minus
g) prime(a) = f prime(a)minus
g prime(a)
c) (λf ) prime(a) = λf prime(a)
d) (f g) prime(a) = f prime(a)g(a) + f (a)g prime(a)
2 Si f y g son funciones derivables en a y g(a) = 0 entonces 1g f g son derivables en a y
a)
10486161
g
1048617prime(a) =
minusg prime(a)
[g(a)]2 b)
1048616f
g
1048617prime(a) =
f prime(a)g(a) minus f (a)g prime(a)
[g(a)]2
Observacion Si la funcion f + g es derivable en el punto a de su dominio no podemos garantizar que las
funciones f y g sean derivables en el punto a
Ejemplo 11
1 La funcion f definida por f (x) = C cuyo dominio es es derivable en tondo y f prime(x) = 0 para todo
x isin
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La derivada de una funcion real de variable real
2 Sea la funcion f definida por f (x) = radic
x cuyo dominio es [0 +infin⟩ entonces
f prime(2) = lımxrarr2
radic x minus radic
2
x minus 2 = lım
xrarr2
radic x minus radic
2
x minus 2 middot
radic x +
radic 2radic
x +radic
2= lım
xrarr2
1radic x +
radic 2
= 1
2radic
2
f prime(5) = lımxrarr5
radic x minus radic
5
x minus 5 = lım
xrarr5
radic x minus radic
5
x minus 5 middot
radic x +
radic 5radic
x +radic
5= lım
xrarr5
1radic x +
radic 5
= 1
2radic
5
f prime
(0) no existe pues lımxrarr0+
radic x
minusradic
0
x minus 0 = lımxrarr0+
1radic x = +infin y lımxrarr0minus
radic x
minusradic
0
x minus 0 = lımxrarr0minus
1radic x no tiene sentido
ya que Dom(f ) = [0 +infin⟩
3 Sea la funcion f definida por f (x) = |x| cuyo dominio es R entonces
f prime(3) = lımxrarr3
|x| minus |3|x minus 3
= lımxrarr3
x minus 3
x minus 3 = lım
xrarr31 = 1
f prime(minus4) = lımxrarrminus4
|x| minus | minus 4|x minus (minus4)
= lımxrarrminus4
minusx minus 4
x minus (minus4) = lım
xrarrminus4(minus1) = minus1
f prime(0) no existe pues lımxrarr0+
|x| minus |0|x minus 0
= lımxrarr0+
(1) = 1 y lımxrarr0minus
|x| minus |0|x minus 0
= lımxrarr0minus
(minus1) = minus1
En general Si x lt 0 f prime
(x) = minus1 si x gt 0 f prime
(x) = 1 y si x = 0 f prime
(x) no existe
4 Sea la funcion f definida por f (x) = x cuyo dominio es R entonces
f prime(3) = lımxrarr3
x minus 3
x minus 3 = lım
xrarr31 = 1 f prime(minus4) = lım
xrarrminus4
x minus (minus4)
x minus (minus4) = lım
xrarrminus4(1) = 1
es mas para todo x isin tenemos f prime(x) = 1
5 La funcion f
minusrarr
definida por f (x) = x2 es derivable en todo
y f prime(x) = 2x para todo x isin
6 La funcion f
minusrarr
definida por f (x) = x3 es derivable en todo
y f prime(x) = 3x2 para todo x isin
7 La funcion f
minusrarr
definida por f (x) = xn con n
isin
es derivable en todo
y f prime(x) = nxnminus1 para
todo x isin
8 La funcion f
minusrarr
definida por f (x) = 3radic
x no es derivable en x = 0 pero si es derivable en
minus 0
ademas f prime(x) = 1
3 3radic
x2para todo x = 0
9 La funcion f
minusrarr
definida por f (x) = 3radic
x2 no es derivable en x = 0 pero si es derivable en
minus 0
ademas f prime(x) = 2
3 3radic
x para todo x = 0
10 Las funciones exponenciales son derivables en todo su dominio si f (x) = ax entonces f prime(x) = ax ln a para
todo x isin
En particular si f (x) = ex entonces f prime(x) = ex para todo x isin
11 Las funciones logarıtmicas son derivables en todo su dominio si f (x) = loga x entonces f prime(x) = 1x ln a
para todo x gt 0 En particular si f (x) = ln x entonces f prime(x) = 1
x para todo x gt 0
12 Las funciones trigonometricas son derivables en todo su dominio tambien son derivables en su dominio las
funciones trigonometricas inversas
Definicion 13 Sean empty = A sub a isin A cap A prime f A minusrarr
una funciacute on Si f es derivable en el punto ldquo ardquo a
la derivada de f en el punto ldquo ardquo tambien lo denotaremos mediante
df
dx(a) f prime(x)x=a Dxf (a) f (1)(a)
En la definicion 11 al realizar el cambio de variable h = x minusa tenemos el siguiente teorema que nos proporciona
otro metodo para calcular la derivada de una funcion en un punto
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La derivada de una funcion real de variable real
Teorema 13 Sean empty = A sub a isin A cap A prime f A minusrarr una funci on Si f es derivable en el punto lsquo ardquo
entonces
f prime(a) = lımhrarr0
f (a + h) minus f (a)
h
Definicion 14 Si f es una funcion la funciacute on derivada de f denotada por f prime estacute a definida por la regla
f prime
(x) = lımhrarr0
f (x + h)
minusf (x)
h
donde x estacute a en el dominio de f para los cuales f prime(x) existe Aquı Dom(f prime) sub Dom (f )
Teorema 14 (Regla de la cadena) Sean las funciones f A minusrarr g B minusrarr
con Ran(f ) sub B
a isin A cap A prime b = f (a) isin B cap B prime Si existen f prime(a) y g prime(b) entonces la funciacute on g f A minusrarr es derivable en el
punto ldquo ardquo y ademacute as su derivada en ese punto es
(g f )prime(a) = g prime(b)f prime(a) = g prime(
f (a)852009
f prime(a)
Teorema 15 (Regla de la cadena) Sean las funciones f A minusrarr g B minusrarr
con Ran(f ) sub B
x isin A cap Aprime
f (x) isin B cap Bprime
Si existen f prime
(x) y gprime(
f (x)852009
entonces la funciacute on g f A minusrarr
es derivable en el punto ldquo xrdquo y ademas la regla de correspondencia de la derivada de la funciacute on g f en todos los puntos de A
donde es derivable es
(g f )prime(x) = g prime(
f (x)852009
f prime(x)
Definicion 15 (Funciones trigonometricas hiperbolicas) El seno hiperbacute olico y el coseno hiperbacute olico y
las cuatro funciones relacionadas se definen por
sinh x = e
x minus e minusx
2 para todo x isin
cosh x = e
x + e minusx
2 para todo x isin
tanh x = sinh xcosh x
= e
x
minus e
minusx
e x + e
minusx para todo x isin
coth x = 1tanh x
= e
x
+ e
minusx
e x minus e
minusx para todo x isin
minus 0
sech x = 1
cosh x =
2
e x + e
minusx para todo x isin csch x =
1
sinh x =
2
e x minus e
minusx para todo x isin
minus 0
Observacion Las funciones trigonometricas hiperbolicas son derivables en todo su dominio tambien son
derivables en su dominio las funciones trigonometricas hiperbolicas inversas
11 Derivadas laterales
Definicion 16 Sean empty = A sub
f A minusrarr
una funciacute on
1 Para a isin A cap [a +infin⟩ definimos la derivada por la derecha de la funciacute on f en el punto ldquo ardquo como el siguiente
lımite
f prime+(a) = lımxrarra+
f (x) minus f (a)
x minus a
si es que existe En este caso diremos que f es derivable por derecha en a
2 Para a isin Acap⟨minusinfin a] definimos la derivada por la izquierda de la funciacute on f en el punto ldquo ardquo como el siguiente
lımite
f primeminus
(a) = lımxrarraminus
f (x) minus f (a)
x
minusa
si es que existe
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La derivada de una funcion real de variable real
Teorema 16 Sean empty = A sub a isin A cap A prime y f A minusrarr La funciacute on f es derivable en el punto ldquo ardquo si y solo
si existen f prime+(a) f primeminus
(a) y son iguales En este caso
f prime(a) = f prime+(a) = f primeminus
(a)
Ejemplo 12
1 Sea la funcion f cuya regla es f (x) =
983163 2x si 0 lt x lt 3
x3 si 3 le x lt 6
⋆ f prime+(3) = lımxrarr3+
f (x) minus f (3)
x minus 3 = lım
xrarr3
x3 minus 33
x minus 3 = lım
xrarr3(x2 + 3x + 9) = 27
⋆ f primeminus
(3) = lımxrarr3minus
f (x) minus f (3)
x minus 3 = lım
xrarr3minus
2x minus 33
x minus 3 = +infin
Los resultados anteriores indican que existe f prime+(3) y es igual a 27 pero f primeminus
(3) no existe y de acuerdo al
teorema 16 f no es derivable en x = 3
2 Sea la funcion f cuya regla es f (x) = 983163 x2 si 0 lt x lt 1
2x minus 1 si 1 le x lt 5
⋆ f prime+(1) = lımxrarr1+
f (x) minus f (1)
x minus 1 = lım
xrarr1+
9830802x minus 1
983081minus983080
2(1) minus 1983081
x minus 1 = lım
xrarr1+
2x minus 2
x minus 1 = 2
⋆ f primeminus
(1) = lımxrarr1minus
f (x) minus f (1)
x minus 1 = lım
xrarr1minus
x2 minus983080
2(1) minus 1983081
x minus 1 = lım
xrarr1minus
x2 minus 1
x minus 1 = lım
xrarr1minus(x + 1) = 2
Los resultados anteriores indican que existen f prime+(1) y f primeminus
(1) y que ademas son iguales a 2 de acuerdo al
teorema 16 f es derivable en x = 1 y la derivada de f en x = 1 es
f prime(1) = f prime+(1) = f primeminus(1) = 2
Observaciones
1 Si una de las derivadas laterales f prime+(a) f primeminus
(a) no existen entonces f no es derivable en a
2 Si las derivadas laterales f prime+(a) f primeminus
(a) existen pero son diferentes entonces f no es derivable en a
12 Derivacion y continuidad
Teorema 17 Sean empty = A sub
a isin A cap A prime f A minusrarr
una funciacute on Si la funciacute on f es derivable en el punto
ldquo ardquo entonces es continua en ldquo ardquo
Observaciones
1 Si una funcion es continua en un punto no se puede garantizar que sea derivable en ese punto
2 Si una funcion no es continua en un punto entonces no es derivable en ese punto
Ejemplo 13
1 Sea la funcion f definida por f (x) =
radic 1 minus x si x lt 1
(1
minusx)2 si x
ge 1
⋆ lımxrarr1minus
f (x) = lımxrarr1minus
radic 1 minus x = 0 lım
xrarr1+f (x) = lım
xrarr1+(1 minus x)2 = 0 y f (1) = 0
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La derivada de una funcion real de variable real
⋆ lımxrarr1minus
f (x) minus f (1)
x minus 1 = lım
xrarr1minus
radic 1 minus x minus 0
x minus 1 = minusinfin
⋆ lımxrarr1+
f (x) minus f (1)
x minus 1 = lım
xrarr1+
(1 minus x)2 minus 0
x minus 1 = 0
Con los resultados anteriores vemos que f es continua en x = 1 pero no es derivable en ese punto En este
caso el ser continua en un punto no implica que sea derivable en el mismo punto
2 Sea la funcion f definida por f (x) =
1 si x lt 4
2 si x ge 4
⋆ lımxrarr4minus
f (x) = 1 lımxrarr4+
f (x) = 2 y f (4) = 2
⋆ lımxrarr4minus
f (x) minus f (4)
x minus 4 = lım
xrarr4minus
1 minus 2
x minus 4 =
minus1
0minus= +infin
⋆ lımxrarr4+
f (x)
minusf (4)
x minus 4 = lımxrarr4+
2
minus2
x minus 4 = lımxrarr4+(0) = 0
Con los resultados anteriores vemos que f es no continua en x = 4 entonces no es derivable en x = 4 no
era necesario calcular f prime+(4) y f primeminus
(4) para demostrar que f no es derivable en x = 4
3 Sea la funcion f definida por f (x) =
x2 si x lt minus1
minus1 minus 2x si x ge minus1
⋆ lımxrarrminus1minus
f (x) minus f (minus1)
x minus (minus1) = lım
xrarrminus1
x2 minus 1
x + 1 = lım
xrarrminus1(x minus 1) = minus2
⋆ lımxrarrminus1+
f (x)minus
f (minus
1)
x minus (minus1) = lımxrarrminus1 minus1
minus2x
minus1
x + 1 = lımxrarrminus1 minus2
minus2x
x + 1 = lımxrarrminus1(minus2) = minus2
Los resultados anteriores implican que f es derivable en x = minus1 y por tanto es continua en ese punto
Ejercicio 1 Utilice la definiciacute on de la derivada para calcular la derivada de f en el punto a
1) f (x) = 1radic
x + 1 a = 3
2) f (x) = 3x a = 5
3) f (x) = sin 2x a = π
4) f (x) = x + 3
2x minus 5 a = 2
Ejercicio 2 A continuaciacute on presentamos las reglas de correspondencia de ciertas funciones halle la regla de
correspondencia de su funciacute on derivada Utilice la tabla de derivadas que estacute a en la siguiente pacute agina
1) f (x) = x4 + 3x2 minus 6
2) f (x) = (1 + 4x3)(1 + 2x2)
3) f (x) = x(2x minus 1)(3x + 2)
4) f (x) = tan x
x2
5) f (x) =radic
4 minus xx
6) f (x) =
1
(x + a)n middot 1
(x + b)m
7) f (x) =
radic 2x2 minus 2x + 1
x
8) f (x) =
radic x2 + 1 +
radic x2 minus 1radic
x2 + 1 minus radic x2 minus 1
9) f (x) =991770
x +radic
x +radic
x
10) f (x) = arctan
1048616radic 1 minus cos xradic 1 + cos x
1048617
11) f (x) = 1radic
x middot e
x2 middot arctan x + 1
2 ln x + 1
12) f (x) = ln983080radic
2sin x + 1 +radic
2sin x minus 1983081
13) f (x) = 3
1057306 ln983080
sin(x + 3
4
852009983081UNSCH 6 Designed in LATEX by Suarez Azpur Fredy R
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La derivada de una funcion real de variable real
Tabla de derivadas de las funciones mas importantes Sean u = u(x) v = v(x) dos funciones derivables
C una constante real entonces tenemos la siguiente tabla que contiene a dichas funciones y sus derivadas en los
puntos en donde esta existen
Funcion Derivada
y = f (x) dy
dx = f prime(x)
C 0
x 1
Cf (x) Cf prime(x)
un nunminus1 middot du
dx
u plusmn v uprime plusmn vprime
u v uprimev + uvprime
u
v
uprimev minus uvprime
v2
ln u 1
u middot du
dx
loga u 1
u ln a middot du
dx
e u e u middot dudx
au au ln a middot du
dx
Funcion Derivada
y = f (x) dy
dx
= f prime(x)
sin u cos u middot du
dx
cos u minus sin u middot du
dx
tan u sec2 u middot du
dx
cot u minus csc2 u middot du
dx
sec u sec u middot tan u middot du
dx
csc u minus csc u middot cot u middot du
dx
arcsin u 1radic
1 minus u2 middot du
dx
arc cosu minus1radic
1 minus u2 middot du
dx
arctan u 1
1 + u2 middot du
dx
arc cot u minus11 + u2 middot dudx
arcsec u 1
uradic
u2 minus 1middot du
dx
arccsc u minus1
uradic
u2 minus 1middot du
dx
Funcion Derivada
y = f (x)
dy
dx = f prime
(x)
sinh u cosh u middot du
dx
cosh u sinh u middot du
dx
tanh u sech2u middot du
dx
coth u minuscsch2u middot du
dx
sech u minussech u middot tanh u middot dudx
csch u minuscsch u middot coth u middot du
dx
radic u
1
2radic
u middot du
dx
n
radic u
1
n n
radic (u)nminus1
middot du
dx
|u
| u
|u| middot du
dx
uv uv
1048616v
u middot du
dx +
dv
dx middot ln u
1048617
1
u minus 1
u2 middot du
dx
13 Derivadas de orden superior
131 Notacion de derivadas
En la definicion 14 si f A minusrarr es una funcion su funcion derivada f prime cuya regla de correspondencia es
f prime(x) = lımhrarr0
f (x + h) minus f (x)
h
tiene por dominio a Dom (f prime) = x isin A existe f prime(x) que generalmente esta contenido en A pudiendo ser
A = Dom (f prime) tal es el caso de la funcion f
minusrarr definida por f (x) = sin x donde f prime(x) = cos x para
todo x isin es decir Dom (f prime) = Sin embargo existen casos en el cual A sub Dom (f prime) y A = Dom (f prime) como
por ejemplo si f [0 +infin⟩ minusrarr definida por f (x) =
radic x donde f prime(x) =
1
2radic
x para todo x gt 0 es decir
Dom(f prime) = ⟨0 +infin⟩
A la funcion derivada de f tambien las denotaremos por df dx f (1) entonces con estas notaciones escribimos
f prime(x) = df
dx(x) f prime(x) = f (1)(x) en todo x isin Dom (f ) para los cuales existe f prime(x)
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La derivada de una funcion real de variable real
132 El operador d
dx
Cuando trabajamos con funciones derivables el proceso de derivacion es hallar la funcion derivada de cierta
funcion que evidentemente tendra otra regla de correspondencia para ellos empleamos el operador d
dx que
transforma la regla de correspondencia de una funcion f en la regla de correspondencia de su funcion derivada
es decir d
dx(f (x)852009 = f prime(x)
Ejemplo 14 Si f (x) = radic
x entonces d
dx
(f (x)
852009=
d
dx
(radic x852009
= 1
2radic
x para todo x gt 0
Empleando el teorema 12 y la definicion 14 es facil demostrar que d
dx es un operador lineal es decir
d
dx
852059f (x) + g(x)
852061=
d
dx
1048667f (x)
1048669+
d
dx
852059g(x)
852061 y
d
dx
1048667λf (x)
1048669= λ middot d
dx
852059f (x)
852061 donde λ isin
y que ademas
d
dx1048667f (x)g(x)1048669 =
d
dx852059f (x)852061 middot
g(x) + f (x)
middot
d
dx852059g(x)852061 y
d
dx1048667
f (x)
g(x)1048669 =
d
dx 852059f (x)
852061middot g(x) minus f (x) middot d
dx 852059g(x)
852061[g(x)]
2
En forma abreviada dado que d
dx
983080f (x)
983081= f prime(x)
1048667f (x) + g(x)
1048669prime
=852059
f (x)852061prime
+852059
g(x)852061prime
y852059
λf (x)852061prime
= λ852059
f (x)852061prime
donde λ isin
de manera similar1048667f (x)g(x)
1048669prime
=852059
f (x)852061prime
g(x) + f (x)852059
g(x)852061prime
y1048667f (x)
g(x)
1048669prime
=
852059f (x)
852061primeg(x) minus f (x)
852059g(x)
852061prime[g(x)]2
Ejemplo 15 En cada caso halle f prime(x) utilizando el operador d
dx
1 Sea f
minusrarr
definido por f (x) = sin(2x)minus
e3x emplearemos simultaneamente la regla de la cadena y
la tabla de derivadas para hallar f prime(x)
f (x) = sin(2x) minus e3x minusrarr d
dx[f (x)] =
d
dx[sin(2x) minus e3x]
minusrarr d
dx[f (x)] =
d
dx[sin(2x)] minus d
dx[e3x]
minusrarr d
dx[f (x)] = cos(2x)
d
dx[2x] minus e3x
d
dx[3x]
minusrarr d
dx[f (x)] = cos(2x) middot 2 minus e3x middot 3
there4 f prime(x) = 2 cos(2x) minus 3e3x para todo x isin
2 Sea f minusrarr definido por f (x) = x3
sin xe5x
emplearemos simultaneamente la regla de la cadena y la
tabla de derivadas para hallar f prime(x)
f (x) = x3 sin x
e5x minusrarr [f (x)]prime =
983131x3 sin x
e5x
983133prime
minusrarr f prime(x) = [x3 sin x]prime middot e5x minus x3 sin x middot [e5x]prime
[e5x]2
minusrarr f prime(x) =
983080[x3]prime sin x + x3[sin x]prime
983081middot e5x minus x3 sin x middot [e5x]prime
[e5x]2
minusrarr f prime(x) = 9830803x2 middot sin x + x3 middot cos x983081 middot e5x minus x3 sin x middot e5x middot [5x]prime
[e5x]2
minusrarr f prime(x) =
9830803x2 middot sin x + x3 middot cos x
983081middot e5x minus x3 sin x middot e5x middot 5
[e5x]2
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La derivada de una funcion real de variable real
Reduciendo y agrupando la expresion tenemos
f prime(x) = eminus5x983080
(3x2 minus 5x3)sin x + x3 cos x983081
para todo x isin
3 Sea f
minusrarr
definido por f (x) = (x4 + 2)4cos2x emplearemos simultaneamente la regla de la cadena
y la tabla de derivadas para hallar f prime(x)
f (x) = (x4 + 2)4cos2x minusrarr ln[f (x)] = ln1048667
(x4 + 2)4cos2x1048669
= 4cos 2x middot ln(x4 + 2)
luego derivando respecto a x
minusrarr f prime(x)
f (x) =
10486674cos2x middot ln(x4 + 2)
1048669prime
minusrarr f prime(x)
f (x) =
10486674cos2x
1048669prime
middot ln(x4 + 2) + 4 cos 2x middot1048667
ln(x4 + 2)1048669prime
minusrarr f prime(x)
f (x) = 4
1048667cos2x
1048669prime
middot ln(x4 + 2) + 4 cos 2x middot [x4 + 2]prime
x4 + 2
minusrarr f prime(x)
f (x) = 4(minus sin2x)[2x]prime
middot ln(x4
+ 2) + 4cos 2x middot [x4]prime + [2]prime
x4 + 2
minusrarr f prime(x)
f (x) = 4(minus sin2x)2 middot ln(x4 + 2) + 4cos 2x middot 4x3 + 0
x4 + 2
minusrarr f prime(x)
f (x) = minus8sin2x middot ln(x4 + 2) +
16x3
x4 + 2 middot cos2x
there4 f prime(x) = (x4 + 2)4cos2x983080
minus 8sin2x middot ln(x4 + 2) + 16x3
x4 + 2 middot cos2x
983081 para todo x isin
Observacion El operador d
dx es muy especıfico en el siguiente sentido Si u es una expresion que depende de
x es decir u = u(x) entonces ddx
[u] = ddx
[u(x)] = u prime(x) Sin embargo supongamos que W es una expresion
que no depende de la variable x entonces al hallar d
dx[W ] nos resultara ldquo0rdquo ya que el operador a la expresion
W lo interpreta como una constante
Es necesario especificar cuando utilizamos el operador d
dx que estamos derivando respecto a la variable
ldquoxrdquo solamente y no respecto a otra variable Es ası si utilizamos el operador d
dy estamos derivando respecto a
la variable ldquoyrdquo y si utilizamos el operador d
dt estamos derivando respecto a la variable ldquotrdquo ası sucesivamente
Ejemplo 16
1 Hallemos d
dx[u] si u = 5x + tan x
d
dx[u] =
d
dx[5x + tan x] =
d
dx[5x] +
d
dx[tan x] = 5
d
dx[x] + sec2 x = 5 + sec2 x
2 Hallemos d
dx[W ] si W = 5e5t+1 + tan(3x) donde t no depende de x
d
dx[W ] =
d
dx[5e5t+1 + tan(3x)] =
d
dx[5e5t+1] +
d
dx[tan(3x)] = 0 + sec2(3x)
d
dx[3x] = sec2(3x) middot 3
3 Hallemos d
dx[W ] si W = cos(5x + t) + ln(x2 + z) donde z y t no dependen de x
ddx
[W ] = ddx
1048667cos(5x + t) + ln(x2 + z)
1048669= minussin(5x + t) middot d
dx[5x + t] + 1
x2 + z middot d
dx[x2 + z]
=rArr d
dx[W ] = minussin(5x + t) middot (5 + 0) +
1
x2 + z middot (2x + 0) = minus5 sin(5x + t) +
2x
x2 + z
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La derivada de una funcion real de variable real
4 Si U solo depende de x entonces d
dy[U ] = 0
d
dx[U ] = U prime(x)
d
dt[U ] = 0 y
d
dz[U ] = 0
133 La segunda derivada
Definicion 17 Sea f una funciacute on derivable en a la segunda derivada de f en a es
f primeprime
(a) = lımxrarra
f prime(x)
minusf prime(a)
x minus a = lımhrarr0
f prime(a + h)
minusf prime(a)
h
si es que dicho l ımite existe La funciacute on segunda derivada de f denotada por f primeprime es definida por
f primeprime(x) = lımhrarr0
f prime(x + h) minus f prime(x)
h
Observaciones
1 La segunda derivada de f en un punto es la derivada de f prime en dicho punto
2 El dominio de f primeprime esta formado por todos los puntos ldquoxrdquo del dominio de f para los cuales existe f primeprime(x)
3 Los dominios de f f prime y f primeprime no siempre coinciden generalmente se tiene
Dom(f primeprime) sub Dom (f prime) sub Dom (f )
4 Si existe f primeprime(a) diremos que f es dos veces derivable en a
5 Si f no es derivable en a entonces no es dos veces derivable en a
6 Si f es dos veces derivable en a entonces es derivable en a
7 Si f es derivable en a no siempre es dos veces derivable en a
8 Si f es dos veces derivable en a entonces es continua en a
Ejemplo 17
1 Sea f [0 +infin⟩ minusrarr una funcion definida por f (x) =
radic x La funcion derivada de f sera f prime ⟨0 +infin⟩ minusrarr
cuya regla de correspondencia es f prime(x) = 1
2radic
x mientras que la funcion segunda derivada de f sera f primeprime
⟨0 +infin⟩ minusrarr
cuya regla de correspondencia es f primeprime(x) = minus1
4radic
x3
En este caso
Dom(f primeprime) sub Dom (f prime) sub Dom (f ) y Dom (f primeprime) = Dom (f prime) = Dom (f )
2 Sea f
minusrarr
una funcion definida por f (x) = x3 + sin x La funcion derivada de f sera f prime
minusrarr
cuya regla de correspondencia es f prime(x) = 3x2 +cos x y la funcion segunda derivada de f sera f primeprime
minusrarr
cuya regla de correspondencia es f primeprime(x) = 6x minus sin x
En este caso
Dom(f primeprime) = Dom(f prime) = Dom(f )
134 Derivada de ordenes mayores a dos
En forma analoga a la definicion 17 definimos la tercera derivada de la funcion f en el punto ldquoardquo por
f primeprimeprime(a) = lımxrarra
f primeprime(x) minus f primeprime(a)
x
minusa
= lımhrarr0
f primeprime(a + h) minus f primeprime(a)
h
si es que el l ımite existe y la funcion tercera derivada de f por
f primeprimeprime(x) = lımhrarr0
f primeprime(x + h) minus f primeprime(x)
h
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La derivada de una funcion real de variable real
La tercera derivada de f en a es la derivada de la segunda derivada de f en a y la funcion tercera derivada de
f es la funcion derivada de la funcion segunda derivada de f es decir f primeprimeprime = (f primeprime)prime
Ası llegarıamos a definir la nminusesima derivada de la funcion f en el punto ldquoardquo por
f (n)(a) = lımxrarr
a
f (nminus1)(x) minus f (nminus1)(a)
x minus a
= lımhrarr
0
f (nminus1)(a + h) minus f (nminus1)(a)
hsi es que el l ımite existe y la funcion nminusesima derivada de f por
f (n)(x) = lımhrarr0
f (nminus1)(x + h) minus f (nminus1)(x)
h
135 Notacion de derivadas de ordenes superiores
Generalizando el operador d
dx para derivadas de ordenes mayores a uno tenemos los siguientes operadores
1 El operador d
dx transforma a f (x) en f prime(x)
2 El operador d2
dx2 transforma a f (x) en f primeprime(x) y d2
dx2 = d
dx
983080 ddx
983081
3 El operador d3
dx3 transforma a f (x) en f primeprimeprime(x) y
d3
dx3 =
d
dx
983080 d2
dx2
983081=
d
dx
1048616 d
dx
983080 d
dx
9830811048617
4 El operador dn
dxn transforma a f (x) en f (n)(x) y
dn
dxn =
d
dx
983080 dnminus1
dxnminus1
983081=
d
dx
1048616 d
dx
983080 dnminus2
dxnminus2
9830811048617
Ejemplo 18 Sea f (x) = x5 + 2x2 entonces
1 d
dx1048667f (x)
1048669=
d
dx[x5 + 2x2] = 5x4 + 4x
2 d2
dx2
1048667f (x)
1048669=
d
dx
983131 d
dx
1048667f (x)
1048669983133=
d
dx[5x4 + 4x] = 20x3 + 4
3 d3
dx3
1048667f (x)
1048669=
d
dx
983131 d2
dx2
1048667f (x)
1048669983133=
d
dx[20x3 + 4] = 60x2
4 d4
dx4
1048667f (x)
1048669=
d
dx
983131 d3
dx3
1048667f (x)
1048669983133=
d
dx[60x2] = 120x
5 d5
dx5
1048667f (x)
1048669=
d
dx
983131 d4
dx4
1048667f (x)
1048669983133=
d
dx[120x] = 120
6
d6
dx61048667
f (x)1048669
=
d
dx983131 d5
dx51048667
f (x)1048669983133
=
d
dx [120] = 0 y
dn
dxn1048667
f (x)1048669
= 0 foralln ge 6
Ejercicio 3 Halle una facute ormula para expresar f (n)(x) si
1 f (x) = ex
2 f (x) = eax
3 f (x) = akx
4 f (x) = 1
(x minus a)k
5 f (x) = 1 minus x
1 + x
6 f (x) = 5x minus 2
x2 minus 4
7 f (x) = sin ax
8 f (x) = cos ax
9 f (x) = ln(a + bx)
10 f (x) = 1
x2 minus 3x + 2
11 f (x) = 8x minus 5
2x2 + x minus 6
12 f (x) = x ex
13 f (x) = 5x minus 1
x2 + x minus 12
14 f (x) = ex sin x
15 f (x) = sin2 x
16 f (x) = xnradic
x
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La derivada de una funcion real de variable real
14 Derivadas implıcitas
Sea F (x y) = C una ecuacion que contiene dos variables si en esta ecuacion no se ha despejado la variable
y diremos que y esta expresado en F (x y) = C de manera implıcita
Sea F U sub
2 minusrarr una funcion y f A sub
minusrarr una funcion cuya regla de correspondencia esta en
la forma implıcita en la ecuacionF (x y) = C donde y = f (x)
Las derivadas implıcitas permiten hallar f prime(x) sin necesidad de conocer la regla de correspondencia de f es
mas podemos hallar las derivadas de orden superior de f
Ejemplo 19 Si ldquo yrdquo es una expresiacute on que depende de ldquo xrdquo halle dy
dx
1 e5y = sin(x + y)
e5y = sin(x + y) minusrarr d
dx[e5y] =
d
dx[sin(x + y)]
minusrarr e5y ddx
[5y] = cos(x + y) ddx
[x + y]
minusrarr e5y middot 5 middot dy
dx = cos(x + y)(1 +
dy
dx)
minusrarr 5e5y middot dy
dx = cos(x + y)(1 +
dy
dx)
there4dy
dx =
cos(x + y)
5e5y minus cos(x + y)
2 x = ln(x3 + y)
x = ln(x3 + y) minusrarr
d
dx[x] =
d
dx1048667 ln(x3 + y)1048669
minusrarr 1 = 1
x3 + y middot d
dx[x3 + y]
minusrarr 1 = 1
x3 + y middot (3x2 +
dy
dx)
minusrarr dy
dx = x3 minus 3x2 + y
Derivando una vez mas respecto de x tenemos d
dx[
dy
dx] =
d
dx[x3 minus 3x2 + y] = 3x2 minus 6x +
dy
dx
=rArr d2y
dx2 = 3x2 minus 6x +
dy
dx = 3x2 minus 6x + x3 minus 3x2 + y = x3 minus 6x + y
there4dydx
= x3 minus 3x2 + y y d2ydx2
= x3 minus 6x + y
3 Halle dy
dx si exp
1048616860698 x +
radic y
x minus radic y
1048617+ ln
860698 x minus radic
y
x +radic
y = 8
4 Halle dy
dx si sin(xy) + cos(xy) = tan(x + y)
5 Halle dy
dx si x minus y = arcsin x minus arcsin y
6 Halle dy
dx
si 860698 y minus radic x
y + radic x + 860698 y +
radic x
y minus radic x =
5
2
7 Halle dy
dx si x2 minus a
radic xy + y2 = a2 a constante
8 Halle d2y
dx2 si x12 + y12 = 2 a constante
9 Halle d2y
dx2 si b2x2 minus a2y2 = a2b2 a b constantes
10 Halle d2y
dx2 si x23 + y23 = a23 a constante
11 Halle d2y
dx2
si 3x2
minus2xy + y2 = a2 a constante
12 En los ejercicios anteriores halle dx
dy si x = x(y)
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La derivada de una funcion real de variable real
141 Ecuaciones diferenciales ordinarias de lugares geometricos
Definicion 18 (Ecuacion diferencial) Una ecuaciacute on diferencial es aquella que contiene una o macute as fun-
ciones de una o macute as variables y algunas de sus derivadas respecto a sus variables independientes
Definicion 19 (Ecuacion diferencial ordinaria) Una ecuaciacute on diferencial ordinaria es aquella que con-
tiene una o macute as funciones de una variable y algunas de sus derivadas respecto a su variable independiente El
orden de esta ecuaciacute on diferencial ordinaria es el de la derivada de mayor orden contenida en ella
Ejemplo 110 La siguientes son ecuaciones diferenciales ordinarias
1 2yprimeprime + xyprime + y = sen x su orden es 2
2 yprimeprimeprime minus 2yprimeprime + 5yprime + y = ln x su orden es 3
3 xyprime + sen x = tan x su orden es 1
4 y(5) + y(4) + yprimeprimeprime + yprimeprime + yprime + y = 0 su orden es 5
5 2yprimeprime + xyprime + y3 = sen x su orden es 2
6 (yprimeprimeprime)2 minus 2(yprimeprime)7 + 5yprime + y = ln x su orden es
7 xyprime + sen x = tan y su orden es 3
8 y(5) + y(4) + yprimeprimeprime + (yprimeprime)4 + yprime + ln y = 0 su orden es 5
9 yy primeprime + x2y = x su orden es 2
Definicion 110 Un lugar geometrico del plano
2 es un conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen una
o macute as ecuaciones del tipo F (x y) = K
Ejemplo 111 La recta la circunferencia la paracute abola la elipse la hiperbola las graficas de funciones son
ejemplos de lugares geometricos
Definicion 111 La ecuaciacute on diferencial ordinaria de un lugar geometrico cuya ecuaciacute on es F (x y) = K es
aquella que se obtiene al derivar esta ecuaciacute on con respecto a una de sus variables
Teorema 18 Si un lugar geometrico cuya ecuaciacute on es F (x y) = K contiene n constantes independiente
entonces su ecuaciacute on diferencial ordinaria tendracute a orden n
Ejemplo 112 Halle la ecuaciacute on diferencial ordinaria de todas las circunferencias con centro el origen de
coordenadas
Solucion La ecuacion de esta familia de circunferencias es x2 + y2 = r2 y contiene una sola constante Al
derivar a ambos miembros respecto a x tenemos 2x + 2yyprime = 0 Por tanto la ecuacion diferencial ordinaria de
estas circunferencias sera
x + yy prime = 0 o yprime = minusy
x
Ejemplo 113 Halle la ecuaciacute on diferencial ordinaria de todas las rectas horizontales
Solucion La ecuacion de esta familia de rectas es y = K y contiene una sola constante Al derivar a ambos
miembros respecto a x tenemos y prime = 0 Por tanto la ecuacion diferencial ordinaria de estas rectas sera
yprime = 0
Ejemplo 114 Halle la ecuaciacute on diferencial ordinaria de todas las rectas con pendiente 2
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La derivada de una funcion real de variable real
Solucion La ecuacion de esta familia de rectas es y = 2x + K y contiene una sola constante Al derivar a
ambos miembros respecto a x tenemos y prime = 2 Por tanto la ecuacion diferencial ordinaria de estas rectas sera
yprime = 2
Ejemplo 115 Halle la ecuaciacute on diferencial ordinaria de todas las rectas que pasan por el origen de coordenadas
Solucion Solo consideraremos a las rectas no verticales que pasan por el origen La ecuaci on de esta familia
de rectas es y = Kx y contiene una sola constante entonces su ecuacion diferencial debe ser de orden uno
Al derivar a ambos miembros respecto a x tenemos yprime = K pero K = y
x Por tanto la ecuacion diferencial
ordinaria de estas rectas sera
yprime = y
x si x = 0 yprime = 0 si y = 0
Ejemplo 116 En los siguientes ejemplos dada una funciacute on obtener la ecuaciacute on diferencial de la cual es
soluciacute on
1 y = ceminus2x + x
El orden de la ecuacion diferencia buscada es 1 entonces derivando tenemos
yprime
= minus2ceminus
2x + 1 = minus2ceminus
2x + 1 + 2x minus 2x = minus2(ceminus
2x + x) + 1 + 2x = minus2y + 1 + 2x
there4dy
dx = 1 minus 2(y minus x) es la ecuacion diferencial buscada
2 y = C 1 sen 4x + C 2 cos 4x + x
El orden de la ecuacion diferencia buscada es 2 entonces derivando tenemos
yprime = 4C 1 cos 4x minus 4C 2 sen 4x + 1 yprimeprime = minus16C 1 sen 4x minus 16C 2 cos 4x
yprimeprime = minus16(C 1 sen 4x + C 2 cos 4x) = minus16(y minus x)
there4 yprimeprime + 16y minus 16x = 0 es la ecuacion diferencial buscada
3 y = ax3 + bx2 + cx
El orden de la ecuacion diferencia buscada es 3 entonces derivando tenemos
yprime = 3ax2 + 2bx + c yprimeprime = 6ax + 2b yprimeprimeprime = 6a Reemplazando en la ecuacion a b y c
y = yprimeprimeprime
6 x3 +
1
2
983080yprimeprime minus yprimeprimeprimex
983081x2 +
983080yprime minus yprimeprime
2 minus yprimeprimeprimex
983081x
there4 11x3yprimeprimeprime minus 3x2yprimeprime + 6xyprime + 6y = 0 es la ecuacion diferencial buscada
4 Hallar la ecuacion diferencial de la familia de circunferencias de radio 1 con centro en la recta bisectriz del
primer y tercer cuadrante
Solucion
x
y
y = x
h
h1
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La derivada de una funcion real de variable real
La ecuacion de la familia de circunferencias es (x minus h)2 + (y minus h)2 = 1 en ella solo figura una constante
entonces el orden de la ecuacion diferencia buscada es 1
Derivando respecto a x tenemos 2(x minus h) + 2(y minus h)yprime = 0 =rArr x minus h + yy prime minus hyprime = 0
=rArr h(1 + yprime) = x + yy prime =rArr h = x + yy prime
yprime + 1
Reemplazando en la ecuacion de las circunferencias
1048616x minus
x + yy prime
yprime + 110486172
+1048616
y minus x + yy prime
yprime + 110486172
= 1
=rArr (x(yprime + 1) minus x minus yy prime
8520092+(
yy prime + y minus x minus yy prime8520092
= (yprime + 1)2
=rArr (xyprime minus yy prime
8520092+(
y minus x8520092
= (yprime + 1)2
=rArr (yprime)2(x minus y)2 + (x minus y)2 = (yprime + 1)2
=rArr (x minus y)2(
(yprime)2 + 1852009
= (yprime + 1)2 es la ecuacion diferencial buscada
5 Formular la ecuacion diferencial que representa a todas las tangentes no verticales de la par abola y2 = 2x
Solucion
x
y
a
b
L
y = 2 x 2
La ecuacion de la recta tangente L a la parabola en el punto (a b) es
L y minus b = m(x minus a) Hallando la pendiente m derivando L y prime = m Por otro lado derivando la ecuacion
de la parabola tenemos 2yyprime = 2 =rArr y prime = 1
y cuyo significado es y prime(x) =
1
y(x) para x gt 0
En el punto (a b) de la parabola se tiene yprime(a) = 1
y(a) =
1
b = m Ademas como (a b) es un punto de la
parabola se tiene b2 = 2a =rArr a = b2
2 Luego en la ecuacion de la tangente
y minus b = 1b
1048616x minus b
2
2
1048617 =rArr yb minus b2 = x minus b
2
2
=rArr y = x
b +
b
2 pero b =
1
yprime
=rArr y = xy prime + 1
2yprime
=rArr 2y(yprime)2 minus 2xyprime + 1 = 0 es la ecuacion diferencial buscada
6 y2 = 4ax
Primero tenemos a = y2
4x el cual se utilizara luego Derivando la ecuacion original tenemos 2yyprime = 4a
=rArr 2yyprime
= 41048616 y2
4x1048617
= y2
x =rArr 2xyyprime
= y2 =rArr 2xyprime
= y si y = 0 =rArr 2x dy
dx minus y = 0
Por lo tanto 2x dy
dx minus y = 0 es la ecuacion diferencial buscada
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7 y = C 1 sen 4x + C 2 cos 4x + x
Solucion
yprime = 4C 1 cos 4x minus 4C 2 sen 4x + 1 yprimeprime = minus16C 1 sen 4x minus 16C 2 cos 4x de la segunda derivada tenemos
minusyprimeprime
16 = C 1 sen 4x + C 2 cos 4x = y minus x luego minus(16)minus1yprimeprime = y minus x =rArr minusyprimeprime = 16y minus 16x
Por lo tanto yprimeprime = 16(xminus
y) es ecuacion diferencial buscada
8 I = teminust + eminust + 2sen 3t
Solucion En esta parte I es una funcion que depende de t y las derivadas seran respecto a t
I prime = eminust minus teminust minus eminust + 6cos 6t Pero teminust + eminust = I minus 2sen3t
=rArr I prime = eminust minus I + 2sen 3t + 6cos 3t =rArr I primeprime = minuseminust minus I prime minus 6cos3t minus 18sen3t
sumando las dos ultimas ecuaciones I prime + I primeprime = minusI minus I prime minus 16sen3t de donde I primeprime + 2I prime + I = minus16sen3t
9 x2 minus ay2 = 1
Solucion
Derivando 2x minus 2ay dy
dx = 0 =rArr y prime =
dy
dx =
minus2x
minus2ay
=rArr a = x
yy prime reemplazando en la ecuacion original
x2 minus x
yyprimey2 = 1 =rArr x2yyprime minus yyprime minus xy2 = 0
=rArr (x2 minus 1)yprime = xy
=rArr yprime = xy
x2 + 1 es la ecuacion diferencial buscada
10 x2 + y2 minus cx = 0
Derivando 2x + 2yyprime = c
Reemplazando en la ecuacion original x2 + y2 minus (2x + 2yy prime)x = 0
=
rArr yprime =
x2 minus y2
2xy
es la ecuacion diferencial buscada
11 Hallar la ecuacion diferencial de cada uno de las siguientes familias de curvas
a) y = x sen(x + c) Rta (xyprime minus y)2 = x2(x2 minus y2)
b) Todos los cırculos que pasan por (1 0) y (minus1 0) Rta 2xy = (x2 minus y2 minus 1)yprime
c) Todos los cırculos con centro en la recta y = x que son tangentes a ambos ejes
Rta (x minus y)2(1 + yprime)2 = (x + yy prime)2
d) Todas las rectas tangentes a la parabola x2 = 4y
Sugerencia La pendiente de la recta tangente en (2a a2) es a Rta y + yprime = xy prime
e) Todas las rectas tangentes al cırculo unidad x2
+ y2
= 1 Rta (y minus xyprime
)2
= 1 minus (yprime
)2
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La derivada de una funcion real de variable real
Definicion 112 Sea la ecuaciacute on diferencial ordinaria lineal de orden n
any(n) + middot middot middot + a2y primeprime + a1y prime + a0 = b
La funciacute on f A minusrarr
es una de sus soluciones si para todo x isin A
anf (n)(x) + middot middot middot + a2f primeprime(x) + a1f prime(x) + a0 = b
Ejercicio 4 Demuestre que la funciacute on f
minusrarr definida por f (x) = sin x es una soluciacute on de la ecuaciacute on
diferencial y primeprime + y = 0
Solucion Lo unico que debemos hacer es derivar a f dos veces y sumar los resultados
f (x) = sin x minusrarr f prime(x) = cos x minusrarr f primeprime(x) = minus sin x sumando f primeprime(x) + f (x) = 0 por lo tanto f
es una solucion de la ecuacion diferencial y primeprime + y = 0
Ejercicio 5 Demuestre que la funciacute on f
minusrarr
definida por f (x) = 8ex+xex es una soluciacute on de la ecuaciacute on
diferencial yprimeprime minus 2yprime + y = 0
Solucion Derivemos a f hasta dos veces y reemplacemos en el primer miembro de la ecuacion diferencial Siresulta cero tal reemplazo entonces la funcion f es una solucion de tal ecuacion diferencial
f (x) = 8ex + xex =rArr f prime(x) = [8ex] prime + [xex] prime = 8ex + [x]primeex + x[ex] prime = 8ex + ex + xex = 9ex + xex
=rArr f primeprime(x) = [9ex] prime + [xex] prime = 9ex + [x]primeex + x[ex] prime = 9ex + ex + xex = 10ex + xex
Reemplazemos en el primer miembro de la ecuacion diferencial
f primeprime(x) minus 2f prime(x) + f (x) =1048667
10ex + xex1048669minus 2
10486679ex + xex
1048669+1048667
8ex + xex1048669
= 10ex + xex minus 18ex minus 2xex + 8ex + xex
= [10
minus18 + 8]ex + [1
minus2 + 1]xex
= 0
Dado que resulta f primeprime(x)minus2f prime(x)+f (x) = 0 entonces f (x) = 8ex+xex es una solucion de la ecuacion diferencial
ordinaria y primeprime minus 2yprime + y = 0
Ejercicio 6 Demuestre o descarte las siguientes afirmaciones
1 x + y2 = K describe la soluciacute on general de las ecuaciones diferenciales dy
dx = minus 1
2y 2yyprime + 1 = 0
2 y = K ex es la soluciacute on general de la ecuaciacute on diferencial yprime minus y = 0
3 y = sin x
x
es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial xyprime + y = cos x
4 y = 1
cos x es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial yprime minus y tan x = 0
5 y = 2xradic
1 minus x2 es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial yy prime = 4x minus 8x3
6 y = x
cos x es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial xyprime minus y = x2 tan x sec x
7 y = ex(x + 1) es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial yprimeprime minus 2yprime + y = 0
8 y = ln(x + c) + 2 es la soluciacute on general de la ecuaciacute on diferencial yprimeeyminus2 minus 1 = 0
9 y = sen3 x es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial yprimeprime + (tan x minus 2cot x)yprime = 0
10 y = arcsin(xy) describe una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial xyprime + y = yradic
1 minus x2y2
11 y = c1eminusx + c2ex + c3eminus2x + c4e2x es soluciacute on general de la ecuaciacute on diferencial y(iv) minus 5yprimeprime + 4y = 0
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La derivada de una funcion real de variable real
15 Funciones derivables
151 Funciones derivables en un intervalo
Sin ser redundantes presentamos a los intervalos de
1 [a b] = x isin
a le x le b
2 ⟨a b⟩ = x isin
a lt x lt b
3 ⟨a b] = x isin
a lt x le b
4 [a b⟩ = x isin
a le x lt b
5 ⟨minusinfin b⟩ = x isin 1048623x lt b
6 ⟨minusinfin b] = x isin
1048623x le b
7 ⟨a +infin⟩ = x isin
1048623a lt x
8 [a +infin⟩ = x isin
1048623a le x
9 ⟨minusinfin +infin⟩ =
y
10 [a a] = a
Los cuatro primeros y el ultimo son los intervalos limitados los cinco siguientes son intervalos ilimitados el
ultimo se denomina un intervalo degenerado desde el segundo hasta el cuarto intervalo a lt b
Definicion 113 Sea la funciacute on f I minusrarr donde I es un intervalo de
1 La funciacute on f ⟨a b⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨a b⟩ si lo es en cada punto de ⟨a b⟩
2 La funciacute on f ⟨minusinfin b⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨minusinfin b⟩ si lo es en cada punto de ⟨minusinfin b⟩
3 La funciacute on f ⟨a +infin⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨a +infin⟩ si lo es en cada punto de ⟨a +infin⟩
4 La funciacute on f [a b⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo [a b⟩ si existe un intervalo abierto del tipo ⟨ p q ⟩ que
contiene a [a b⟩ tal que f sea derivable sobre ⟨ p q ⟩
5 La funciacute on f ⟨a b] minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨a b] si existe un intervalo abierto del tipo ⟨ p q ⟩ que
contiene a ⟨a b] tal que f sea derivable sobre ⟨ p q ⟩
6 La funciacute on f [a +infin⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo [a +infin⟩ si existe un intervalo abierto del tipo⟨ p +infin⟩ que contiene a [a +infin⟩ tal que f sea derivable sobre ⟨ p +infin⟩
7 La funciacute on f ⟨minusinfin b] minusrarr es derivable en el intervalo ⟨minusinfin b] si existe un intervalo abierto del tipo
⟨minusinfin q ⟩ que contiene a ⟨minusinfin b] tal que f sea derivable sobre ⟨minusinfin q ⟩
8 La funcion f [a b] minusrarr es derivable en el intervalo [a b] si existe un intervalo abierto del tipo ⟨ p q ⟩ que
contiene a [a b] tal que f sea derivable sobre ⟨ p q ⟩
Observaciones
1 La funcion f [a b
⟩ minusrarr es derivable en el intervalo [a b
⟩ si y solo si es derivable en cada punto de
⟨a b
⟩y existe f prime+(a)
2 La funcion f [a +infin⟩ minusrarr es derivable en el intervalo [a +infin⟩ si y solo si es derivable en cada punto de
⟨a +infin⟩ y existe f prime+(a)
3 La funcion f ⟨a b] minusrarr es derivable en el intervalo ⟨a b] si y solo si es derivable en cada punto de ⟨a b⟩
y existe f primeminus
(b)
4 La funcion f ⟨minusinfin b] minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨minusinfin b] si y solo si es derivable en cada punto de
⟨minusinfin b⟩ y existe f primeminus
(b)
5 La funcion f [a b] minusrarr
es derivable en el intervalo [a b] si y solo si es derivable en cada punto de ⟨a b⟩y existen f prime+(a) y f prime
minus(b)
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La derivada de una funcion real de variable real
6 Sea I un intervalo abierto Si la funcion f I minusrarr es derivable su funcion derivada f prime I minusrarr tendra el
mismo dominio que f
7 Sea I un intervalo abierto Si la funcion f I minusrarr
es k veces derivable su funcion kndashesima derivada
f (k) I minusrarr
tendra el mismo dominio que f
8 Sea I un intervalo no abierto Si la funcion f I minusrarr
es derivable su funcion derivada f prime J minusrarr
tendra como dominio al interior de I
152 Funciones de clase C k
Sea I un intervalo de
Si la funcion f I minusrarr
es derivable en I entonces es continua en I pero
posiblemente la funcion derivada f prime J minusrarr
no sea continua en I J = int (I )
Definicion 114 Sea I un intervalo de Si la funcion f I minusrarr es continua en I diremos que ldquo f rdquo es una
funciacute on de clase cero C 0 sobre I
⋆ Si ldquof rdquo es una funcion de clase C 0 sobre I lo denotamos por f
isin C 0(I )
Definicion 115 Sea I un intervalo abierto de
Si la funciacute on f I minusrarr
es derivable en I y la funciacute on
f prime I minusrarr es continua en I diremos que f es continuamente derivable en I o simplemente la funciacute on ldquo f rdquo es
de clase C 1 sobre I
⋆ Si ldquof rdquo es una funcion de clase C 1 sobre I lo denotamos por f isin C 1(I )
Definicion 116 Sea I un intervalo abierto de
La funcion f I minusrarr
es de clase C k sobre el intervalo I
si es k veces derivable sobre I y la funciacute on f (k) I minusrarr
es continua en I
⋆ Si ldquof rdquo es una funcion de clase C k sobre I lo denotamos por f
isin C k(I )
Definicion 117 Sea I un intervalo abierto de La funciacute on f I minusrarr es de clase C infin sobre el intervalo I
si existe f (n) para todo n isin 0 1 2 middot middot middot
⋆ Si ldquof rdquo es una funcion de clase C infin sobre I lo denotamos por f isin C infin(I )
Ejemplo 117
1 La funcion f
minusrarr
definida por f (x) = ex es de clase C infin sobre
Con la notaciones presentadas
tenemos la pertenencia f isin C infin(
)
2 La funcion f minusrarr
definida por f (x) = p(x) donde p(x) es un polinomio es de clase C infin
sobre
Conla notaciones presentadas tenemos la pertenencia f isin C infin( )
3 La funcion f [0 +infin⟩ minusrarr definida por f (x) =
radic x es de clase C infin sobre ⟨0 +infin⟩ Con la notaciones
presentadas tenemos la pertenencia f isin C infin983080
[0 +infin⟩983081
153 Funciones no derivables
Sea f una funcion cuyo dominio sea el conjunto A sub
Si f es derivable en el punto a isin A entonces la
grafica de f en su punto (a f (a)) tiene una unica recta tangente La idea de recta tangente en este caso no es
la misma que usted tiene a cerca de una recta tangente a una circunferencia en donde ellos tienen un unico
punto en comun es decir si la recta L es tangente a la circunferencia C entonces L y C tienen un unico punto
en comun llamado punto de tangencia Mientras que si L es una recta tangente a la grafica de la funcion f
es posible que ellos tengan otro punto en comun a parte del punto de tangencia la idea de tangencia que se
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La derivada de una funcion real de variable real
expone es local y no global en el sentido de que si L es una recta tangente a la grafica de la funcion f el punto
de tangencia es unico cerca de el especıficamente La recta L es una tangente a la grafica de la funcion f en su
punto (a f (a)) si existe un cırculo de centro (a f (a)) dentro del cual L y la grafica de la funcion f tienen un
unico punto en comun y los puntos de la grafica de f que pertenecen al cırculo estan a un solo lado de L Y si
ademas la funcion f es derivable en a la pendiente de L es f prime(a)
X
Y
L L L
y f x ( )=a
X
Y
L L L
y f x ( )=a
Si una funcion f es continua en un punto a no siempre sera derivable en dicho punto existe la posibilidad de
que lo sea como tambien que no como por ejemplo
La funcion f ⟨0 2⟩ minusrarr
definida por f (x) =
983163 2x si 0 lt x lt 1
2 si 1 le x lt 2es continua en el punto a = 1 pero
no es derivable en dicho punto pues no existe f prime(1) La existencia de la derivada f prime(1) implica que la grafica
de la funcion f tiene una unica recta tangente en el punto (1 f (1)) la no existencia de f prime(1) implica que la
grafica de la funcion f tiene una varias rectas en ese punto o no en este ejemplo como veremos gr aficamente
la funcion f posee varia rectas tangentes en su punto (1 f (1))
X
Y
y f x ( )=
1 2
X
Y
L L L
y x 2=
y x 3=
1
2
3
Grafico de f (x) =983163 2x si 0 lt x lt 1
2 si 1 le x lt 2 Grafico de f (x) =
x2 si
minus1 lt x lt 1
2x3
3 si 1 le x lt 2
Si una funcion f es derivable en un punto a entonces por el teorema 17 sera continua en dicho punto por
ejemplo la funcion f ⟨0 2⟩ minusrarr
f (x) =
x2 si minus1 lt x lt 1
2x3
3 si 1 le x lt 2
es derivable en a = 1 mas aun es
continua en dicho punto Es mas la grafica de f tiene una unica recta tangente en su punto (1 f (1))
De acuerdo al teorema 16 una funcion es no derivable en el punto ldquoardquo si f primeminus
(a) = f prime+(a) o una de la
derivadas laterales f primeminus
(a) f prime+(a) no existe Y de acuerdo al teorema 17 si f no es continua en el punto ldquoardquo
entonces no es derivable en ese punto
Los siguientes son ejemplos graficos de funciones no derivables en un punto
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La derivada de una funcion real de variable real
X X
Y Y
a a b
y f x = ( ) y f x = ( )
f a f a bno es derivable en no es derivable en y
f a
f b
es derivable en por derecha
es derivable en por izquierda
2 Teoremas sobre funciones derivables
21 Extremos relativos de una funcion
Definicion 21 Sean empty = X sub
y m isin
Diremos que ldquo mrdquo es el mınimo del conjunto X si m isin X y m le x
para todo x isin X
Definicion 22 Sean empty = X sub
y M isin
Diremos que ldquo M rdquo es el macute aximo del conjunto X si M isin X y
M ge x para todo x isin X
Observaciones
1 No todo subconjunto no vacıo de
posee maximo yo mınimo
2 Si un subconjunto no vacıo de
posee maximo yo mınimo este es unico y ademas es uno de los elementos
del conjunto
3 Si ldquomrdquo es el mınimo del conjunto X entonces lo denotamos por m = mın X
4 Si ldquoM rdquo es el maximo del conjunto X entonces lo denotamos por M = max X
5 Si m = mın X y M = max X entonces m le M y ademas m le x le M para todo x isin X
Ejemplo 21
1 El conjunto de los numeros naturales posee mınimo y es 1 es decir 1 = mın pero no posee maximo
2 El conjunto
el de los numeros enteros no posee ni maximo ni mınimo El conjunto
el de los numeros
racionales no posee ni maximo ni mınimo
3 Veamos algunos intervalos
a) Los intervalos ⟨a b⟩ ⟨a b] ⟨a +infin⟩ no poseen mınimo
b) Los intervalos ⟨a b⟩ [a b⟩ ⟨minusinfin b⟩ no poseen maximo
c) a = mın[a b] a = mın[a b⟩ a = mın[a +infin⟩
d) b = max[a b] b = max⟨a b] b = max⟨minusinfin b]
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La derivada de una funcion real de variable real
Definicion 23 Sean empty = A sub f A minusrarr una funciacute on y x0 isin A
1 La funciacute on ldquo f rdquo tiene un mınimo absoluto en x0 si f (x0) le f (x) para todo x isin A
2 La funciacute on ldquo f rdquo tiene un macute aximo absoluto en x0 si f (x) le f (x0) para todo x isin A
3 La funci on ldquo f rdquo tiene un mınimo relativo en x0 si existe un δ gt 0 tal que f (x0) le f (x) para todo
x isin A cap ⟨x0 minus δ x0 + δ ⟩
4 La funci on ldquo f rdquo tiene un macute aximo relativo en x0 si existe un δ gt 0 tal que f (x) le f (x0) para todo
x isin A cap ⟨x0 minus δ x0 + δ ⟩
Observaciones Sean empty = A sub
f A minusrarr
una funcion y x0 isin A
1 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo relativo en x0 diremos tambien que f tiene un mınimo local en x0
2 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo relativo en x0 diremos tambien que f tiene un maximo local en x0
3 La funcion ldquof rdquo tiene un extremo absoluto en x0 si tiene un mınimo o maximo absoluto en dicho punto
4 La funcion ldquof rdquo tiene un extremo relativo en x0 si tiene un mınimo o maximo relativo en dicho punto
5 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo absoluto en x0 entonces f (x0) es el mınimo del rango de la funcion es
decir
f (x0) = mın Ran (f )
Al numero f (x0) lo denominaremos el valor mınimo de f en su dominio
6 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo absoluto en x0 entonces f (x0) es el maximo del rango de la funcion es
decir
f (x0) = max Ran (f )
Al numero f (x0) lo denominaremos el valor maximo de f en su dominio
7 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo relativo en x0 entonces f no siempre tendra un mınimo absoluto en x0
Una funcion puede poseer un mınimo relativo sin tener un mınimo absoluto
8 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo relativo en x0 entonces f no siempre tendra un maximo absoluto en
x0 Una funcion puede poseer un maximo relativo sin tener un maximo absoluto
9 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo absoluto en x0 entonces f tiene un mınimo relativo en dicho punto Lo
contrario no siempre es cierto
En la figura la funcion f minusrarr tiene maximo
relativo en x = 0 pero no posee maximo absolutoen su dominio
En la figura la funcion g minusrarr tiene mınimo
relativo en x = 0 pero no posee mınimo absolutoen su dominio
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La derivada de una funcion real de variable real
10 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo absoluto en x0 entonces f tiene un maximo relativo en dicho punto Lo
contrario no siempre es cierto
11 Una funcion puede tener extremos absolutos en mas de un punto vea el siguiente grafico
En la figura la funcion f
minusrarr
tiene mınimo
absoluto en dos puntos diferentes
En la figura la funcion g
minusrarr
tiene maximo
absoluto en dos puntos diferentes
12 La funcion ldquof rdquo tiene un extremo en el punto x0 si tiene un maximo o mınimo absoluto o relativo en dicho
punto
Y Y
X X
figura (a) figura (b)
x x x x 0 1 2 3 4 5 6x x x x x x x x x x 0 1 2 3 4 5 6
y f x = ( )
y f x = ( )
En la figura (a) Dom(f ) = [x0 x6] la funcion tiene
un mınimo absoluto en el punto x2 y maximo absolu-
to en el punto x5 mientras que tiene mınimo relativo
en los puntos x0 x2 x4 y x6 y maximo relativo en
los puntos x1 x3 y x5
En la figura (b) Dom (f ) = [x0 x6⟩minusx3 la funcion
no tiene mınimo absoluto ni maximo absoluto mien-
tras que tiene mınimo relativo en los puntos x0 x2 y
x4 y maximo relativo en los puntos x1 y x5
Teorema 21 Si la funcion f tiene un extremo en x0 y f prime(x0) existe entonces f prime(x0) = 0
Observaciones
1 Lo contrario no siempre es cierto es decir si f prime(x0) = 0 entonces f no siempre tendra un extremo en x0
Un ejemplo simple es para f (x) = (x minus 2)3 en x0 = 2
2 Si la funcion f tiene un extremo en x0 y f prime
(x0) existe entonces la recta tangente a la grafica de la funcionen el punto
(x0 f (x0)
852009 en horizontal
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La derivada de una funcion real de variable real
3 Si la funcion f tiene un extremo en x0 y f prime(x0) no existe entonces o bien no existe recta tangente a la
grafica de la funcion en el punto(
x0 f (x0)852009
o existen infinitas rectas tangente a la grafica de la funcion en
el punto(
x0 f (x0)852009
pudiendo ser una de ellas una recta vertical
En la figura la funcion f
minusrarr
tiene un extremo
en x = 0 pero f prime(0) no existe ademas la grafica de
esta funcion posee infinitas rectas tangente en el pun-
to(
0 f (0)852009
En la figura la funcion g
minusrarr
tiene extremo en
los puntos x0 x1 existen g prime(x0) g prime(x1) y las rectas
tangente en(
x0 g(x0)852009
y(
x1 g(x1)852009
son horizontales
22 El teorema del valor medio
Teorema 22 (Teorema de Rolle) Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si f es continua en [a b] es derivable en
⟨a b⟩ y f (a) = f (b) entonces existe un c isin ⟨a b⟩ tal que f prime(c) = 0
Observaciones
1 Si la funcion f satisface las hipotesis del teorema de Rolle la existencia del punto c tales que f prime(c) = 0 no
siempre es unica pueden existir otros puntos del intervalo ⟨a b⟩ cuya primera derivada en esos puntos sea
cero
2 La condicion f (a) = f (b) indica que la recta que pasa por los puntos(
a f (a)852009
y(
b f (b)852009
es horizontal El
teorema garantiza la existencia de al menos un punto c isin ⟨a b⟩ tal que la recta tangente a la grafica de la
funcion f el punto(
c f (c)852009
tambien sea horizontal
X X
Y Y
y=f x( )
y=f x( )
figura (a) figura (b)
a c c b1 3 a b
c2
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La derivada de una funcion real de variable real
En la figura (a) la funcion f satisface las hipotesis del
teorema de Rolle por tanto en este caso existen pun-
tos c1 c2 y c3 del intervalo ⟨a b⟩ tal que f prime(c1) = 0
f prime(c2) = 0 y f prime(c3) = 0
En la figura (b) la funcion f no satisface las hipotesis
del teorema de Rolle en tanto no se garantiza la exis-
tencia de puntos del intervalo ⟨a b⟩ tal que la primera
derivada de f en esos puntos sea cero
Teorema 23 (El teorema del valor medio de Lagrange) Sea la funciacute on f [a b]
minusrarr
Si f es continua
en [a b] es derivable en ⟨a b⟩ entonces existe un c isin ⟨a b⟩ tal que
f prime(c) = f (b) minus f (a)
b minus a
Observaciones
1 Si la funcion f satisface las hipotesis del teorema del valor medio de Lagrange la existencia del punto c tales
que f prime(c) = f (b) minus f (a)
b minus a no siempre es unica pueden existir otros puntos del intervalo ⟨a b⟩ cuya primera
derivada en esos puntos sea igual a f (b) minus f (a)
b minus a
2 Sea L la recta que pasa por los puntos(
a f (a)852009
y(
b f (b)852009
el teorema garantiza la existencia de al menosun punto c isin ⟨a b⟩ tal que la recta tangente a la grafica de la funcion f el punto
(c f (c)
852009 sea paralela a L
Y Y
X X
y = f x ( ) y = f x ( )
f a ( )
f a ( )
f b( )
f b( )
figura (a) figura (b)
a c b1 b
c 2 a
L L L
L L L
En la figura (a) la funcion f satisface las hipotesis del
teorema de Lagrange por tanto en este caso existen
puntos c1 y c2 del intervalo ⟨a b⟩ tal que
f prime(c1) = f (b) minus f (a)
b minus a y f prime(c2) =
f (b) minus f (a)
b minus a
En la figura (b) la funcion f no satisface las hipotesis
del teorema de Lagrange en tanto no se garantiza
la existencia de puntos del intervalo ⟨a b⟩ tal que laprimera derivada en ese punto sea igual a
f (b) minus f (a)
b minus a
Teorema 24 (El teorema generalizado del valor medio de Cauchy) Sean las funciones f [a b] minusrarr
y g [a b] minusrarr
continuas en [a b] y derivables en ⟨a b⟩ con g(b) = g(a) y g prime(x) = 0 para todo x isin ⟨a b⟩
entonces existe un c isin ⟨a b⟩ tal que f prime(c)
g prime(c) =
f (b) minus f (a)
g(b) minus g(a)
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La derivada de una funcion real de variable real
23 Funciones crecientes y decrecientes
Definicion 24 (Funcion creciente) Sean empty = A sub
y la funciacute on f A minusrarr
Diremos que la funciacute on f
es creciente o estrictamente creciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) lt f (x2)
Definicion 25 (Funcion decreciente) Sean empty = A sub
y la funci on f A minusrarr
Diremos que la funcion f
es decreciente o estrictamente decreciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) gt f (x2)
Y Y
X X
f x ( )1
f x ( )1
x 1
x 1x 2
x 2
f x ( )2
f x ( )2
Graacutefico de una funcioacutenestrictamente creciente
Graacutefico de una funcioacutenestrictamente decreciente
Definicion 26 (Funcion no creciente) Sean empty = A sub y la funci on f A minusrarr
Diremos que la funciacute on
f es no creciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) ge f (x2)
Definicion 27 (Funcion no decreciente) Sean empty = A sub y la funciacute on f A minusrarr
Diremos que la
funciacute on f es no decreciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) le f (x2)
Y Y
X X
x 1 x 2 x 1 x 2
Graacutefico de una funcioacuten
no decreciente
Graacutefico de una funcioacuten
no creciente
Definicion 28 (Funcion monotona) Sean empty = A sub
y la funci on f A minusrarr
Diremos que la funciacute on f
es monacute otona sobre A si es creciente o decreciente o no creciente o no decreciente sobre A
Observaciones
1 Para definir funciones monotonas (crecientes decrecientes no crecientes o no decrecientes) no es necesario
saber la continuidad y la derivabilidad de la funcion en su dominio
2 Existen funciones monotonas que no son derivables yo continuas en su dominio
Teorema 25 Sean empty = A sub y la funciacute on f A minusrarr Si la funciacute on f es estrictamente creciente sobre A
entonces f es una funciacute on inyectiva y su funcion inversa f lowast tambien es estrictamente creciente sobre Ran(f )
Teorema 26 Sean empty = A sub
y la funci on f A minusrarr
Si la funci on f es estrictamente decreciente sobre A
entonces f es una funciacute on inyectiva y su funciacute on inversa f lowast tambien es estrictamente decreciente sobre Ran(f )
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La derivada de una funcion real de variable real
Y Y
X X
f
f
f
f
Teorema 27 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr
Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩
con f
prime
(x) gt 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es estrictamente creciente sobre [a b]
Teorema 28 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩
con f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es estrictamente decreciente sobre [a b]
X X
a
a b
b
Observaciones
1 Del teorema 27 si la pendiente de todas las rectas tangente a la grafica de la funcion sobre ⟨a b⟩ es positiva
entonces la funcion es estrictamente creciente sobre [a b]
2 Del teorema 28 si la pendiente de todas las rectas tangente a la grafica de la funcion sobre ⟨a b⟩ es negativa
entonces la funcion es estrictamente decreciente sobre [a b]
Teorema 29 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr
Si la funcion f es continua sobre [a b] y es inyectiva en [a b]
entonces f es estrictamente creciente o estrictamente decreciente sobre [a b] pero no ambos
X X
a
a b
b
f ab
ab
es continua e inyectiva sobre [ ]en este caso es creciente sobre [ ]
f ab
ab
es continua e inyectiva sobre [ ]en este caso es decreciente sobre [ ]
f f
Teorema 210 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funciacute on f es continua y estrictamente creciente sobre
[a b] entonces Ran(f ) =1048667
f (a) f (b)1048669
y su funciacute on inversa f lowast 1048667
f (a) f (b)1048669 minusrarr
es tambien continua y
estrictamente creciente sobre [a b]
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La derivada de una funcion real de variable real
Teorema 211 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funcion f es continua y estrictamente decreciente sobre
[a b] entonces Ran(f ) =1048667
f (b) f (a)1048669
y su funciacute on inversa f lowast 1048667
f (b) f (a)1048669 minusrarr
es tambien continua y
estrictamente decreciente sobre [a b]
Teorema 212 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre
⟨a b⟩ con f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es no decreciente sobre [a b]
Teorema 213 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre
⟨a b⟩ con f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es no creciente sobre [a b]
Teorema 214 (de la funcion constante) Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre
[a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩ con f prime(x) = 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es constante sobre [a b] es decir
existe una constante C tal que f (x) = C para todo [a b]
Teorema 215 (de la diferencia constante) Sean las funciones f [a b] minusrarr
y f [a b] minusrarr
Si las
funciones f y g son continuas sobre [a b] y es derivables sobre ⟨a b⟩ con f prime(x) = g prime(x) para todo x isin ⟨a b⟩entonces existe una constante C tal que f (x) = g(x) + C para todo [a b]
Definicion 29 (Punto crıtico) Sean I un intervalo de
x0 un punto de I y la funciacute on f I minusrarr
El
punto x0 es un punto crıtico de la funciacute on f I minusrarr si x0 satisface alguna de las siguientes condiciones
a) f prime(x0) = 0 o b) f prime(x0) = 0 no existe o c) f tiene un extremo en x0
Observaciones
1 Si x0 es un punto crıtico de la funcion f no podemos concluir con certeza una de las condiciones mencionadas
2 Si x0 es un punto crıtico de la funcion f y f prime(x0) = 0 no podemos concluir con certeza que f tiene un
extremo en dicho punto
Por ejemplo sea la funcion f [1 3] minusrarr definida
por f (x) = (x minus 2)3 cuya funcion derivada es
f prime ⟨1 3⟩ minusrarr
983087 f prime(x) = 3(x minus 2)2
En x0 = 2 tenemos f prime(x0) = 0 pero f no tiene
maximo ni mınimo en 2 f tiene un mınimo en 1
y un maximo en 3 por tanto 1 2 y 3 son puntos
crıticos de f
Y
X
1
2
Ejercicio 7 Hal le los puntos crıticos de las siguientes funciones
1 f
minusrarr que estacute a definida por
f (x) = 1
4(x4 minus 6x2 + 8x) + 5
2 f
minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = 3
radic (x + 4)2(x minus 5)
3 f
minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = 5x23 minus x53
4 f
minusrarr
que estacute a definida por f (x) = x + 1
x2 + 1
5 f
minus 1 minusrarr que estacute a definida por
f (x) = x3 minus 2
(x minus 1)2
6 f
minusrarr
que estacute a definida por f (x) = x2 + 3radic
x2 + 1
7 f [minusπ2
π2
] minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = sin2 x minus |x|
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La derivada de una funcion real de variable real
231 Criterio de la primera derivada para extremos de una funcion
Aquı presentamos un criterio que nos ayuda a determinar si un punto crıtico es aquel en donde una funcion
alcanza su valor maximo o mınimo
Teorema 216 (Criterio de la primera derivada) Sean la funciacute on f A minusrarr
el intervalo [a b] contenido
en A y x0
isin ⟨a b
⟩ un punto crıtico de f
1 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f tiene un macute aximo en el punto x0
2 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f tiene un mınimo en el punto x0
3 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) gt 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) gt 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f no tiene macute aximo ni mınimo en el punto x0
4 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f no tiene macute aximo ni mınimo en el punto x0
X X
a bx 0a bx 0
f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0lt gt f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0gt lt
f
f
f tiene un maacuteximo en x 0 f tiene un miacutenimo en x 0
X X a bx 0a bx 0
f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0lt lt f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0gt gt
f f
f no tiene un extremo en x 0 f no tiene un extremo en x 0
Observaciones
1 Al ser x0 un punto crıtico de f el criterio de la primera derivada no garantiza que exista f prime(x0)
2 El criterio de la primera derivada requiere que f sea derivable en ⟨a x0⟩ cup ⟨x0 b⟩ mas no en x0
3 Un metodo que nos permite hallar puntos crıticos de la funcion f en [a b] es resolver la ecuacion f prime(x) = 0
sujeta a la condicion x isin ⟨a b⟩ pero tal metodo solo nos proporciona todos los puntos crıticos de f que
cumple la primera condicion dada en la definicion 29
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La derivada de una funcion real de variable real
4 Los graficos anteriores presentan al punto crıtico x0 de f en el cual existe f prime(x0) y es igual a cero es mas
en los dos primeros graficos la recta tangente en el punto (x0 f (x0)) es horizontal iquestCual es el aspecto de
la grafica de f si es que no existiera f prime(x0)
5 Sea x0 isin ⟨a b⟩ un punto crıtico de la funcion f Al utilizar el criterio de la primera derivada para averiguar
si f tiene maximo o mınimo en x0 es necesario resolver las inecuaciones f prime(x) lt 0 y f prime(x) gt 0 sujetas
a la restriccion x isin ⟨a b⟩ tales procesos son sencillos para algunas funciones pero existen funciones paralos cuales tales resoluciones son complicadas y ahı el criterio de la primera derivada no es recomendable
utilizarlo pero tal deficiencia se supera utilizando otro criterio para determinar extremo de una funcion
6 El criterio de la primera derivada tambien es aplicable cuando en lugar del intervalo ⟨a b⟩ se considera a
otros tipos de intervalos abiertos si es que estan contenidos en el dominio de la funcion
Por ejemplo para la funcion f
minusrarr
definida por f (x) = x2 su unico punto crıtico es x0 = 0 f prime(x) lt 0
para todo x lt 0 y f prime(x) gt 0 para todo x gt 0 por tanto f tiene un mınimo en 0 y su valor mınimo es
f (0) = 0
232 Criterio de la segunda derivada para extremos de una funcion
Aquı presentamos otro criterio que nos ayuda a determinar si un punto crıtico es aquel en donde una funcion
alcanza su valor maximo o mınimo este metodo requiere la existencia de la segunda de la funcion en su punto
crıtico
Teorema 217 (Criterio de la segunda derivada) Sean la funciacute on f A minusrarr
el intervalo [a b] contenido
en A y x0 isin ⟨a b⟩ un punto crıtico de f para el cual f primeprime(x0) existe
1 Si la funciacute on f es derivable en ⟨a b⟩ f prime(x0) = 0 y f primeprime(x0) lt 0 entonces f tiene un macute aximo en el punto x0
2 Si la funciacute on f es derivable en
⟨a b
⟩ f prime(x0) = 0 y f primeprime(x0) gt 0 entonces f tiene un mınimo en el punto x0
X X
a bx 0a bx 0
f a b f f es derivable en ( ) 0 ( ) 0 x x 0 0= lt f a b f f es derivable en ( ) 0 ( ) 0 x x 0 0= gt
f
f
f tiene un maacuteximo en x 0 f tiene un miacutenimo en x 0
Observaciones
1 Los graficos anteriores presentan al punto crıtico x0 de f en el cual existe f primeprime(x0) y es diferente a cero
2 El criterio de la segunda derivada tambien es aplicable cuando en lugar del intervalo ⟨a b⟩ se considera a
otros tipos de intervalos abiertos si es que estan contenidos en el dominio de la funcion
Por ejemplo para la funcion f
minusrarr
definida por f (x) = x2 su unico punto crıtico es x0 = 0 y
f primeprime(0) = 2 gt 0 por tanto f tiene un mınimo en 0 y su valor mınimo es f (0) = 0
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La derivada de una funcion real de variable real
24 Concavidad y puntos de inflexion
25 La regla de Lrsquo Hospital
3 Aplicaciones de la derivada
31 Trazado de grafica de funciones
32 Derivadas parametricas
321 Regla de la cadena
33 Diferencial de una funcion
34 Razon de cambio
Indice
1 La derivada 111 Derivadas laterales 4
12 Derivacion y continuidad 5
13 Derivadas de orden superior 7
131 Notacion de derivadas 7
132 El operador d
dx 8
133 La segunda derivada 10
134 Derivada de ordenes mayores a dos 10
135 Notacion de derivadas de ordenes superiores 11
14 Derivadas implıcitas 12
141 Ecuaciones diferenciales ordinarias de lugares geometricos 13
15 Funciones derivables 18
151 Funciones derivables en un intervalo 18
152 Funciones de clase C k 19
153 Funciones no derivables 19
2 Teoremas sobre funciones derivables 21
21 Extremos relativos de una funcion 21
22 El teorema del valor medio 24
23 Funciones crecientes y decrecientes 26
231 Criterio de la primera derivada para extremos de una funcion 29
232 Criterio de la segunda derivada para extremos de una funcion 30
24 Concavidad y puntos de inflexion 31
25 La regla de Lrsquo Hospital 31
3 Aplicaciones de la derivada 31
31 Trazado de grafica de funciones 31
32 Derivadas parametricas 31
321 Regla de la cadena 31
33 Diferencial de una funcion 31
34 Razon de cambio 31
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La derivada de una funcion real de variable real
2 Sea la funcion f definida por f (x) = radic
x cuyo dominio es [0 +infin⟩ entonces
f prime(2) = lımxrarr2
radic x minus radic
2
x minus 2 = lım
xrarr2
radic x minus radic
2
x minus 2 middot
radic x +
radic 2radic
x +radic
2= lım
xrarr2
1radic x +
radic 2
= 1
2radic
2
f prime(5) = lımxrarr5
radic x minus radic
5
x minus 5 = lım
xrarr5
radic x minus radic
5
x minus 5 middot
radic x +
radic 5radic
x +radic
5= lım
xrarr5
1radic x +
radic 5
= 1
2radic
5
f prime
(0) no existe pues lımxrarr0+
radic x
minusradic
0
x minus 0 = lımxrarr0+
1radic x = +infin y lımxrarr0minus
radic x
minusradic
0
x minus 0 = lımxrarr0minus
1radic x no tiene sentido
ya que Dom(f ) = [0 +infin⟩
3 Sea la funcion f definida por f (x) = |x| cuyo dominio es R entonces
f prime(3) = lımxrarr3
|x| minus |3|x minus 3
= lımxrarr3
x minus 3
x minus 3 = lım
xrarr31 = 1
f prime(minus4) = lımxrarrminus4
|x| minus | minus 4|x minus (minus4)
= lımxrarrminus4
minusx minus 4
x minus (minus4) = lım
xrarrminus4(minus1) = minus1
f prime(0) no existe pues lımxrarr0+
|x| minus |0|x minus 0
= lımxrarr0+
(1) = 1 y lımxrarr0minus
|x| minus |0|x minus 0
= lımxrarr0minus
(minus1) = minus1
En general Si x lt 0 f prime
(x) = minus1 si x gt 0 f prime
(x) = 1 y si x = 0 f prime
(x) no existe
4 Sea la funcion f definida por f (x) = x cuyo dominio es R entonces
f prime(3) = lımxrarr3
x minus 3
x minus 3 = lım
xrarr31 = 1 f prime(minus4) = lım
xrarrminus4
x minus (minus4)
x minus (minus4) = lım
xrarrminus4(1) = 1
es mas para todo x isin tenemos f prime(x) = 1
5 La funcion f
minusrarr
definida por f (x) = x2 es derivable en todo
y f prime(x) = 2x para todo x isin
6 La funcion f
minusrarr
definida por f (x) = x3 es derivable en todo
y f prime(x) = 3x2 para todo x isin
7 La funcion f
minusrarr
definida por f (x) = xn con n
isin
es derivable en todo
y f prime(x) = nxnminus1 para
todo x isin
8 La funcion f
minusrarr
definida por f (x) = 3radic
x no es derivable en x = 0 pero si es derivable en
minus 0
ademas f prime(x) = 1
3 3radic
x2para todo x = 0
9 La funcion f
minusrarr
definida por f (x) = 3radic
x2 no es derivable en x = 0 pero si es derivable en
minus 0
ademas f prime(x) = 2
3 3radic
x para todo x = 0
10 Las funciones exponenciales son derivables en todo su dominio si f (x) = ax entonces f prime(x) = ax ln a para
todo x isin
En particular si f (x) = ex entonces f prime(x) = ex para todo x isin
11 Las funciones logarıtmicas son derivables en todo su dominio si f (x) = loga x entonces f prime(x) = 1x ln a
para todo x gt 0 En particular si f (x) = ln x entonces f prime(x) = 1
x para todo x gt 0
12 Las funciones trigonometricas son derivables en todo su dominio tambien son derivables en su dominio las
funciones trigonometricas inversas
Definicion 13 Sean empty = A sub a isin A cap A prime f A minusrarr
una funciacute on Si f es derivable en el punto ldquo ardquo a
la derivada de f en el punto ldquo ardquo tambien lo denotaremos mediante
df
dx(a) f prime(x)x=a Dxf (a) f (1)(a)
En la definicion 11 al realizar el cambio de variable h = x minusa tenemos el siguiente teorema que nos proporciona
otro metodo para calcular la derivada de una funcion en un punto
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La derivada de una funcion real de variable real
Teorema 13 Sean empty = A sub a isin A cap A prime f A minusrarr una funci on Si f es derivable en el punto lsquo ardquo
entonces
f prime(a) = lımhrarr0
f (a + h) minus f (a)
h
Definicion 14 Si f es una funcion la funciacute on derivada de f denotada por f prime estacute a definida por la regla
f prime
(x) = lımhrarr0
f (x + h)
minusf (x)
h
donde x estacute a en el dominio de f para los cuales f prime(x) existe Aquı Dom(f prime) sub Dom (f )
Teorema 14 (Regla de la cadena) Sean las funciones f A minusrarr g B minusrarr
con Ran(f ) sub B
a isin A cap A prime b = f (a) isin B cap B prime Si existen f prime(a) y g prime(b) entonces la funciacute on g f A minusrarr es derivable en el
punto ldquo ardquo y ademacute as su derivada en ese punto es
(g f )prime(a) = g prime(b)f prime(a) = g prime(
f (a)852009
f prime(a)
Teorema 15 (Regla de la cadena) Sean las funciones f A minusrarr g B minusrarr
con Ran(f ) sub B
x isin A cap Aprime
f (x) isin B cap Bprime
Si existen f prime
(x) y gprime(
f (x)852009
entonces la funciacute on g f A minusrarr
es derivable en el punto ldquo xrdquo y ademas la regla de correspondencia de la derivada de la funciacute on g f en todos los puntos de A
donde es derivable es
(g f )prime(x) = g prime(
f (x)852009
f prime(x)
Definicion 15 (Funciones trigonometricas hiperbolicas) El seno hiperbacute olico y el coseno hiperbacute olico y
las cuatro funciones relacionadas se definen por
sinh x = e
x minus e minusx
2 para todo x isin
cosh x = e
x + e minusx
2 para todo x isin
tanh x = sinh xcosh x
= e
x
minus e
minusx
e x + e
minusx para todo x isin
coth x = 1tanh x
= e
x
+ e
minusx
e x minus e
minusx para todo x isin
minus 0
sech x = 1
cosh x =
2
e x + e
minusx para todo x isin csch x =
1
sinh x =
2
e x minus e
minusx para todo x isin
minus 0
Observacion Las funciones trigonometricas hiperbolicas son derivables en todo su dominio tambien son
derivables en su dominio las funciones trigonometricas hiperbolicas inversas
11 Derivadas laterales
Definicion 16 Sean empty = A sub
f A minusrarr
una funciacute on
1 Para a isin A cap [a +infin⟩ definimos la derivada por la derecha de la funciacute on f en el punto ldquo ardquo como el siguiente
lımite
f prime+(a) = lımxrarra+
f (x) minus f (a)
x minus a
si es que existe En este caso diremos que f es derivable por derecha en a
2 Para a isin Acap⟨minusinfin a] definimos la derivada por la izquierda de la funciacute on f en el punto ldquo ardquo como el siguiente
lımite
f primeminus
(a) = lımxrarraminus
f (x) minus f (a)
x
minusa
si es que existe
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La derivada de una funcion real de variable real
Teorema 16 Sean empty = A sub a isin A cap A prime y f A minusrarr La funciacute on f es derivable en el punto ldquo ardquo si y solo
si existen f prime+(a) f primeminus
(a) y son iguales En este caso
f prime(a) = f prime+(a) = f primeminus
(a)
Ejemplo 12
1 Sea la funcion f cuya regla es f (x) =
983163 2x si 0 lt x lt 3
x3 si 3 le x lt 6
⋆ f prime+(3) = lımxrarr3+
f (x) minus f (3)
x minus 3 = lım
xrarr3
x3 minus 33
x minus 3 = lım
xrarr3(x2 + 3x + 9) = 27
⋆ f primeminus
(3) = lımxrarr3minus
f (x) minus f (3)
x minus 3 = lım
xrarr3minus
2x minus 33
x minus 3 = +infin
Los resultados anteriores indican que existe f prime+(3) y es igual a 27 pero f primeminus
(3) no existe y de acuerdo al
teorema 16 f no es derivable en x = 3
2 Sea la funcion f cuya regla es f (x) = 983163 x2 si 0 lt x lt 1
2x minus 1 si 1 le x lt 5
⋆ f prime+(1) = lımxrarr1+
f (x) minus f (1)
x minus 1 = lım
xrarr1+
9830802x minus 1
983081minus983080
2(1) minus 1983081
x minus 1 = lım
xrarr1+
2x minus 2
x minus 1 = 2
⋆ f primeminus
(1) = lımxrarr1minus
f (x) minus f (1)
x minus 1 = lım
xrarr1minus
x2 minus983080
2(1) minus 1983081
x minus 1 = lım
xrarr1minus
x2 minus 1
x minus 1 = lım
xrarr1minus(x + 1) = 2
Los resultados anteriores indican que existen f prime+(1) y f primeminus
(1) y que ademas son iguales a 2 de acuerdo al
teorema 16 f es derivable en x = 1 y la derivada de f en x = 1 es
f prime(1) = f prime+(1) = f primeminus(1) = 2
Observaciones
1 Si una de las derivadas laterales f prime+(a) f primeminus
(a) no existen entonces f no es derivable en a
2 Si las derivadas laterales f prime+(a) f primeminus
(a) existen pero son diferentes entonces f no es derivable en a
12 Derivacion y continuidad
Teorema 17 Sean empty = A sub
a isin A cap A prime f A minusrarr
una funciacute on Si la funciacute on f es derivable en el punto
ldquo ardquo entonces es continua en ldquo ardquo
Observaciones
1 Si una funcion es continua en un punto no se puede garantizar que sea derivable en ese punto
2 Si una funcion no es continua en un punto entonces no es derivable en ese punto
Ejemplo 13
1 Sea la funcion f definida por f (x) =
radic 1 minus x si x lt 1
(1
minusx)2 si x
ge 1
⋆ lımxrarr1minus
f (x) = lımxrarr1minus
radic 1 minus x = 0 lım
xrarr1+f (x) = lım
xrarr1+(1 minus x)2 = 0 y f (1) = 0
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La derivada de una funcion real de variable real
⋆ lımxrarr1minus
f (x) minus f (1)
x minus 1 = lım
xrarr1minus
radic 1 minus x minus 0
x minus 1 = minusinfin
⋆ lımxrarr1+
f (x) minus f (1)
x minus 1 = lım
xrarr1+
(1 minus x)2 minus 0
x minus 1 = 0
Con los resultados anteriores vemos que f es continua en x = 1 pero no es derivable en ese punto En este
caso el ser continua en un punto no implica que sea derivable en el mismo punto
2 Sea la funcion f definida por f (x) =
1 si x lt 4
2 si x ge 4
⋆ lımxrarr4minus
f (x) = 1 lımxrarr4+
f (x) = 2 y f (4) = 2
⋆ lımxrarr4minus
f (x) minus f (4)
x minus 4 = lım
xrarr4minus
1 minus 2
x minus 4 =
minus1
0minus= +infin
⋆ lımxrarr4+
f (x)
minusf (4)
x minus 4 = lımxrarr4+
2
minus2
x minus 4 = lımxrarr4+(0) = 0
Con los resultados anteriores vemos que f es no continua en x = 4 entonces no es derivable en x = 4 no
era necesario calcular f prime+(4) y f primeminus
(4) para demostrar que f no es derivable en x = 4
3 Sea la funcion f definida por f (x) =
x2 si x lt minus1
minus1 minus 2x si x ge minus1
⋆ lımxrarrminus1minus
f (x) minus f (minus1)
x minus (minus1) = lım
xrarrminus1
x2 minus 1
x + 1 = lım
xrarrminus1(x minus 1) = minus2
⋆ lımxrarrminus1+
f (x)minus
f (minus
1)
x minus (minus1) = lımxrarrminus1 minus1
minus2x
minus1
x + 1 = lımxrarrminus1 minus2
minus2x
x + 1 = lımxrarrminus1(minus2) = minus2
Los resultados anteriores implican que f es derivable en x = minus1 y por tanto es continua en ese punto
Ejercicio 1 Utilice la definiciacute on de la derivada para calcular la derivada de f en el punto a
1) f (x) = 1radic
x + 1 a = 3
2) f (x) = 3x a = 5
3) f (x) = sin 2x a = π
4) f (x) = x + 3
2x minus 5 a = 2
Ejercicio 2 A continuaciacute on presentamos las reglas de correspondencia de ciertas funciones halle la regla de
correspondencia de su funciacute on derivada Utilice la tabla de derivadas que estacute a en la siguiente pacute agina
1) f (x) = x4 + 3x2 minus 6
2) f (x) = (1 + 4x3)(1 + 2x2)
3) f (x) = x(2x minus 1)(3x + 2)
4) f (x) = tan x
x2
5) f (x) =radic
4 minus xx
6) f (x) =
1
(x + a)n middot 1
(x + b)m
7) f (x) =
radic 2x2 minus 2x + 1
x
8) f (x) =
radic x2 + 1 +
radic x2 minus 1radic
x2 + 1 minus radic x2 minus 1
9) f (x) =991770
x +radic
x +radic
x
10) f (x) = arctan
1048616radic 1 minus cos xradic 1 + cos x
1048617
11) f (x) = 1radic
x middot e
x2 middot arctan x + 1
2 ln x + 1
12) f (x) = ln983080radic
2sin x + 1 +radic
2sin x minus 1983081
13) f (x) = 3
1057306 ln983080
sin(x + 3
4
852009983081UNSCH 6 Designed in LATEX by Suarez Azpur Fredy R
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La derivada de una funcion real de variable real
Tabla de derivadas de las funciones mas importantes Sean u = u(x) v = v(x) dos funciones derivables
C una constante real entonces tenemos la siguiente tabla que contiene a dichas funciones y sus derivadas en los
puntos en donde esta existen
Funcion Derivada
y = f (x) dy
dx = f prime(x)
C 0
x 1
Cf (x) Cf prime(x)
un nunminus1 middot du
dx
u plusmn v uprime plusmn vprime
u v uprimev + uvprime
u
v
uprimev minus uvprime
v2
ln u 1
u middot du
dx
loga u 1
u ln a middot du
dx
e u e u middot dudx
au au ln a middot du
dx
Funcion Derivada
y = f (x) dy
dx
= f prime(x)
sin u cos u middot du
dx
cos u minus sin u middot du
dx
tan u sec2 u middot du
dx
cot u minus csc2 u middot du
dx
sec u sec u middot tan u middot du
dx
csc u minus csc u middot cot u middot du
dx
arcsin u 1radic
1 minus u2 middot du
dx
arc cosu minus1radic
1 minus u2 middot du
dx
arctan u 1
1 + u2 middot du
dx
arc cot u minus11 + u2 middot dudx
arcsec u 1
uradic
u2 minus 1middot du
dx
arccsc u minus1
uradic
u2 minus 1middot du
dx
Funcion Derivada
y = f (x)
dy
dx = f prime
(x)
sinh u cosh u middot du
dx
cosh u sinh u middot du
dx
tanh u sech2u middot du
dx
coth u minuscsch2u middot du
dx
sech u minussech u middot tanh u middot dudx
csch u minuscsch u middot coth u middot du
dx
radic u
1
2radic
u middot du
dx
n
radic u
1
n n
radic (u)nminus1
middot du
dx
|u
| u
|u| middot du
dx
uv uv
1048616v
u middot du
dx +
dv
dx middot ln u
1048617
1
u minus 1
u2 middot du
dx
13 Derivadas de orden superior
131 Notacion de derivadas
En la definicion 14 si f A minusrarr es una funcion su funcion derivada f prime cuya regla de correspondencia es
f prime(x) = lımhrarr0
f (x + h) minus f (x)
h
tiene por dominio a Dom (f prime) = x isin A existe f prime(x) que generalmente esta contenido en A pudiendo ser
A = Dom (f prime) tal es el caso de la funcion f
minusrarr definida por f (x) = sin x donde f prime(x) = cos x para
todo x isin es decir Dom (f prime) = Sin embargo existen casos en el cual A sub Dom (f prime) y A = Dom (f prime) como
por ejemplo si f [0 +infin⟩ minusrarr definida por f (x) =
radic x donde f prime(x) =
1
2radic
x para todo x gt 0 es decir
Dom(f prime) = ⟨0 +infin⟩
A la funcion derivada de f tambien las denotaremos por df dx f (1) entonces con estas notaciones escribimos
f prime(x) = df
dx(x) f prime(x) = f (1)(x) en todo x isin Dom (f ) para los cuales existe f prime(x)
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La derivada de una funcion real de variable real
132 El operador d
dx
Cuando trabajamos con funciones derivables el proceso de derivacion es hallar la funcion derivada de cierta
funcion que evidentemente tendra otra regla de correspondencia para ellos empleamos el operador d
dx que
transforma la regla de correspondencia de una funcion f en la regla de correspondencia de su funcion derivada
es decir d
dx(f (x)852009 = f prime(x)
Ejemplo 14 Si f (x) = radic
x entonces d
dx
(f (x)
852009=
d
dx
(radic x852009
= 1
2radic
x para todo x gt 0
Empleando el teorema 12 y la definicion 14 es facil demostrar que d
dx es un operador lineal es decir
d
dx
852059f (x) + g(x)
852061=
d
dx
1048667f (x)
1048669+
d
dx
852059g(x)
852061 y
d
dx
1048667λf (x)
1048669= λ middot d
dx
852059f (x)
852061 donde λ isin
y que ademas
d
dx1048667f (x)g(x)1048669 =
d
dx852059f (x)852061 middot
g(x) + f (x)
middot
d
dx852059g(x)852061 y
d
dx1048667
f (x)
g(x)1048669 =
d
dx 852059f (x)
852061middot g(x) minus f (x) middot d
dx 852059g(x)
852061[g(x)]
2
En forma abreviada dado que d
dx
983080f (x)
983081= f prime(x)
1048667f (x) + g(x)
1048669prime
=852059
f (x)852061prime
+852059
g(x)852061prime
y852059
λf (x)852061prime
= λ852059
f (x)852061prime
donde λ isin
de manera similar1048667f (x)g(x)
1048669prime
=852059
f (x)852061prime
g(x) + f (x)852059
g(x)852061prime
y1048667f (x)
g(x)
1048669prime
=
852059f (x)
852061primeg(x) minus f (x)
852059g(x)
852061prime[g(x)]2
Ejemplo 15 En cada caso halle f prime(x) utilizando el operador d
dx
1 Sea f
minusrarr
definido por f (x) = sin(2x)minus
e3x emplearemos simultaneamente la regla de la cadena y
la tabla de derivadas para hallar f prime(x)
f (x) = sin(2x) minus e3x minusrarr d
dx[f (x)] =
d
dx[sin(2x) minus e3x]
minusrarr d
dx[f (x)] =
d
dx[sin(2x)] minus d
dx[e3x]
minusrarr d
dx[f (x)] = cos(2x)
d
dx[2x] minus e3x
d
dx[3x]
minusrarr d
dx[f (x)] = cos(2x) middot 2 minus e3x middot 3
there4 f prime(x) = 2 cos(2x) minus 3e3x para todo x isin
2 Sea f minusrarr definido por f (x) = x3
sin xe5x
emplearemos simultaneamente la regla de la cadena y la
tabla de derivadas para hallar f prime(x)
f (x) = x3 sin x
e5x minusrarr [f (x)]prime =
983131x3 sin x
e5x
983133prime
minusrarr f prime(x) = [x3 sin x]prime middot e5x minus x3 sin x middot [e5x]prime
[e5x]2
minusrarr f prime(x) =
983080[x3]prime sin x + x3[sin x]prime
983081middot e5x minus x3 sin x middot [e5x]prime
[e5x]2
minusrarr f prime(x) = 9830803x2 middot sin x + x3 middot cos x983081 middot e5x minus x3 sin x middot e5x middot [5x]prime
[e5x]2
minusrarr f prime(x) =
9830803x2 middot sin x + x3 middot cos x
983081middot e5x minus x3 sin x middot e5x middot 5
[e5x]2
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La derivada de una funcion real de variable real
Reduciendo y agrupando la expresion tenemos
f prime(x) = eminus5x983080
(3x2 minus 5x3)sin x + x3 cos x983081
para todo x isin
3 Sea f
minusrarr
definido por f (x) = (x4 + 2)4cos2x emplearemos simultaneamente la regla de la cadena
y la tabla de derivadas para hallar f prime(x)
f (x) = (x4 + 2)4cos2x minusrarr ln[f (x)] = ln1048667
(x4 + 2)4cos2x1048669
= 4cos 2x middot ln(x4 + 2)
luego derivando respecto a x
minusrarr f prime(x)
f (x) =
10486674cos2x middot ln(x4 + 2)
1048669prime
minusrarr f prime(x)
f (x) =
10486674cos2x
1048669prime
middot ln(x4 + 2) + 4 cos 2x middot1048667
ln(x4 + 2)1048669prime
minusrarr f prime(x)
f (x) = 4
1048667cos2x
1048669prime
middot ln(x4 + 2) + 4 cos 2x middot [x4 + 2]prime
x4 + 2
minusrarr f prime(x)
f (x) = 4(minus sin2x)[2x]prime
middot ln(x4
+ 2) + 4cos 2x middot [x4]prime + [2]prime
x4 + 2
minusrarr f prime(x)
f (x) = 4(minus sin2x)2 middot ln(x4 + 2) + 4cos 2x middot 4x3 + 0
x4 + 2
minusrarr f prime(x)
f (x) = minus8sin2x middot ln(x4 + 2) +
16x3
x4 + 2 middot cos2x
there4 f prime(x) = (x4 + 2)4cos2x983080
minus 8sin2x middot ln(x4 + 2) + 16x3
x4 + 2 middot cos2x
983081 para todo x isin
Observacion El operador d
dx es muy especıfico en el siguiente sentido Si u es una expresion que depende de
x es decir u = u(x) entonces ddx
[u] = ddx
[u(x)] = u prime(x) Sin embargo supongamos que W es una expresion
que no depende de la variable x entonces al hallar d
dx[W ] nos resultara ldquo0rdquo ya que el operador a la expresion
W lo interpreta como una constante
Es necesario especificar cuando utilizamos el operador d
dx que estamos derivando respecto a la variable
ldquoxrdquo solamente y no respecto a otra variable Es ası si utilizamos el operador d
dy estamos derivando respecto a
la variable ldquoyrdquo y si utilizamos el operador d
dt estamos derivando respecto a la variable ldquotrdquo ası sucesivamente
Ejemplo 16
1 Hallemos d
dx[u] si u = 5x + tan x
d
dx[u] =
d
dx[5x + tan x] =
d
dx[5x] +
d
dx[tan x] = 5
d
dx[x] + sec2 x = 5 + sec2 x
2 Hallemos d
dx[W ] si W = 5e5t+1 + tan(3x) donde t no depende de x
d
dx[W ] =
d
dx[5e5t+1 + tan(3x)] =
d
dx[5e5t+1] +
d
dx[tan(3x)] = 0 + sec2(3x)
d
dx[3x] = sec2(3x) middot 3
3 Hallemos d
dx[W ] si W = cos(5x + t) + ln(x2 + z) donde z y t no dependen de x
ddx
[W ] = ddx
1048667cos(5x + t) + ln(x2 + z)
1048669= minussin(5x + t) middot d
dx[5x + t] + 1
x2 + z middot d
dx[x2 + z]
=rArr d
dx[W ] = minussin(5x + t) middot (5 + 0) +
1
x2 + z middot (2x + 0) = minus5 sin(5x + t) +
2x
x2 + z
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La derivada de una funcion real de variable real
4 Si U solo depende de x entonces d
dy[U ] = 0
d
dx[U ] = U prime(x)
d
dt[U ] = 0 y
d
dz[U ] = 0
133 La segunda derivada
Definicion 17 Sea f una funciacute on derivable en a la segunda derivada de f en a es
f primeprime
(a) = lımxrarra
f prime(x)
minusf prime(a)
x minus a = lımhrarr0
f prime(a + h)
minusf prime(a)
h
si es que dicho l ımite existe La funciacute on segunda derivada de f denotada por f primeprime es definida por
f primeprime(x) = lımhrarr0
f prime(x + h) minus f prime(x)
h
Observaciones
1 La segunda derivada de f en un punto es la derivada de f prime en dicho punto
2 El dominio de f primeprime esta formado por todos los puntos ldquoxrdquo del dominio de f para los cuales existe f primeprime(x)
3 Los dominios de f f prime y f primeprime no siempre coinciden generalmente se tiene
Dom(f primeprime) sub Dom (f prime) sub Dom (f )
4 Si existe f primeprime(a) diremos que f es dos veces derivable en a
5 Si f no es derivable en a entonces no es dos veces derivable en a
6 Si f es dos veces derivable en a entonces es derivable en a
7 Si f es derivable en a no siempre es dos veces derivable en a
8 Si f es dos veces derivable en a entonces es continua en a
Ejemplo 17
1 Sea f [0 +infin⟩ minusrarr una funcion definida por f (x) =
radic x La funcion derivada de f sera f prime ⟨0 +infin⟩ minusrarr
cuya regla de correspondencia es f prime(x) = 1
2radic
x mientras que la funcion segunda derivada de f sera f primeprime
⟨0 +infin⟩ minusrarr
cuya regla de correspondencia es f primeprime(x) = minus1
4radic
x3
En este caso
Dom(f primeprime) sub Dom (f prime) sub Dom (f ) y Dom (f primeprime) = Dom (f prime) = Dom (f )
2 Sea f
minusrarr
una funcion definida por f (x) = x3 + sin x La funcion derivada de f sera f prime
minusrarr
cuya regla de correspondencia es f prime(x) = 3x2 +cos x y la funcion segunda derivada de f sera f primeprime
minusrarr
cuya regla de correspondencia es f primeprime(x) = 6x minus sin x
En este caso
Dom(f primeprime) = Dom(f prime) = Dom(f )
134 Derivada de ordenes mayores a dos
En forma analoga a la definicion 17 definimos la tercera derivada de la funcion f en el punto ldquoardquo por
f primeprimeprime(a) = lımxrarra
f primeprime(x) minus f primeprime(a)
x
minusa
= lımhrarr0
f primeprime(a + h) minus f primeprime(a)
h
si es que el l ımite existe y la funcion tercera derivada de f por
f primeprimeprime(x) = lımhrarr0
f primeprime(x + h) minus f primeprime(x)
h
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La derivada de una funcion real de variable real
La tercera derivada de f en a es la derivada de la segunda derivada de f en a y la funcion tercera derivada de
f es la funcion derivada de la funcion segunda derivada de f es decir f primeprimeprime = (f primeprime)prime
Ası llegarıamos a definir la nminusesima derivada de la funcion f en el punto ldquoardquo por
f (n)(a) = lımxrarr
a
f (nminus1)(x) minus f (nminus1)(a)
x minus a
= lımhrarr
0
f (nminus1)(a + h) minus f (nminus1)(a)
hsi es que el l ımite existe y la funcion nminusesima derivada de f por
f (n)(x) = lımhrarr0
f (nminus1)(x + h) minus f (nminus1)(x)
h
135 Notacion de derivadas de ordenes superiores
Generalizando el operador d
dx para derivadas de ordenes mayores a uno tenemos los siguientes operadores
1 El operador d
dx transforma a f (x) en f prime(x)
2 El operador d2
dx2 transforma a f (x) en f primeprime(x) y d2
dx2 = d
dx
983080 ddx
983081
3 El operador d3
dx3 transforma a f (x) en f primeprimeprime(x) y
d3
dx3 =
d
dx
983080 d2
dx2
983081=
d
dx
1048616 d
dx
983080 d
dx
9830811048617
4 El operador dn
dxn transforma a f (x) en f (n)(x) y
dn
dxn =
d
dx
983080 dnminus1
dxnminus1
983081=
d
dx
1048616 d
dx
983080 dnminus2
dxnminus2
9830811048617
Ejemplo 18 Sea f (x) = x5 + 2x2 entonces
1 d
dx1048667f (x)
1048669=
d
dx[x5 + 2x2] = 5x4 + 4x
2 d2
dx2
1048667f (x)
1048669=
d
dx
983131 d
dx
1048667f (x)
1048669983133=
d
dx[5x4 + 4x] = 20x3 + 4
3 d3
dx3
1048667f (x)
1048669=
d
dx
983131 d2
dx2
1048667f (x)
1048669983133=
d
dx[20x3 + 4] = 60x2
4 d4
dx4
1048667f (x)
1048669=
d
dx
983131 d3
dx3
1048667f (x)
1048669983133=
d
dx[60x2] = 120x
5 d5
dx5
1048667f (x)
1048669=
d
dx
983131 d4
dx4
1048667f (x)
1048669983133=
d
dx[120x] = 120
6
d6
dx61048667
f (x)1048669
=
d
dx983131 d5
dx51048667
f (x)1048669983133
=
d
dx [120] = 0 y
dn
dxn1048667
f (x)1048669
= 0 foralln ge 6
Ejercicio 3 Halle una facute ormula para expresar f (n)(x) si
1 f (x) = ex
2 f (x) = eax
3 f (x) = akx
4 f (x) = 1
(x minus a)k
5 f (x) = 1 minus x
1 + x
6 f (x) = 5x minus 2
x2 minus 4
7 f (x) = sin ax
8 f (x) = cos ax
9 f (x) = ln(a + bx)
10 f (x) = 1
x2 minus 3x + 2
11 f (x) = 8x minus 5
2x2 + x minus 6
12 f (x) = x ex
13 f (x) = 5x minus 1
x2 + x minus 12
14 f (x) = ex sin x
15 f (x) = sin2 x
16 f (x) = xnradic
x
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La derivada de una funcion real de variable real
14 Derivadas implıcitas
Sea F (x y) = C una ecuacion que contiene dos variables si en esta ecuacion no se ha despejado la variable
y diremos que y esta expresado en F (x y) = C de manera implıcita
Sea F U sub
2 minusrarr una funcion y f A sub
minusrarr una funcion cuya regla de correspondencia esta en
la forma implıcita en la ecuacionF (x y) = C donde y = f (x)
Las derivadas implıcitas permiten hallar f prime(x) sin necesidad de conocer la regla de correspondencia de f es
mas podemos hallar las derivadas de orden superior de f
Ejemplo 19 Si ldquo yrdquo es una expresiacute on que depende de ldquo xrdquo halle dy
dx
1 e5y = sin(x + y)
e5y = sin(x + y) minusrarr d
dx[e5y] =
d
dx[sin(x + y)]
minusrarr e5y ddx
[5y] = cos(x + y) ddx
[x + y]
minusrarr e5y middot 5 middot dy
dx = cos(x + y)(1 +
dy
dx)
minusrarr 5e5y middot dy
dx = cos(x + y)(1 +
dy
dx)
there4dy
dx =
cos(x + y)
5e5y minus cos(x + y)
2 x = ln(x3 + y)
x = ln(x3 + y) minusrarr
d
dx[x] =
d
dx1048667 ln(x3 + y)1048669
minusrarr 1 = 1
x3 + y middot d
dx[x3 + y]
minusrarr 1 = 1
x3 + y middot (3x2 +
dy
dx)
minusrarr dy
dx = x3 minus 3x2 + y
Derivando una vez mas respecto de x tenemos d
dx[
dy
dx] =
d
dx[x3 minus 3x2 + y] = 3x2 minus 6x +
dy
dx
=rArr d2y
dx2 = 3x2 minus 6x +
dy
dx = 3x2 minus 6x + x3 minus 3x2 + y = x3 minus 6x + y
there4dydx
= x3 minus 3x2 + y y d2ydx2
= x3 minus 6x + y
3 Halle dy
dx si exp
1048616860698 x +
radic y
x minus radic y
1048617+ ln
860698 x minus radic
y
x +radic
y = 8
4 Halle dy
dx si sin(xy) + cos(xy) = tan(x + y)
5 Halle dy
dx si x minus y = arcsin x minus arcsin y
6 Halle dy
dx
si 860698 y minus radic x
y + radic x + 860698 y +
radic x
y minus radic x =
5
2
7 Halle dy
dx si x2 minus a
radic xy + y2 = a2 a constante
8 Halle d2y
dx2 si x12 + y12 = 2 a constante
9 Halle d2y
dx2 si b2x2 minus a2y2 = a2b2 a b constantes
10 Halle d2y
dx2 si x23 + y23 = a23 a constante
11 Halle d2y
dx2
si 3x2
minus2xy + y2 = a2 a constante
12 En los ejercicios anteriores halle dx
dy si x = x(y)
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7242019 La derivada de una funci on real de variable real
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La derivada de una funcion real de variable real
141 Ecuaciones diferenciales ordinarias de lugares geometricos
Definicion 18 (Ecuacion diferencial) Una ecuaciacute on diferencial es aquella que contiene una o macute as fun-
ciones de una o macute as variables y algunas de sus derivadas respecto a sus variables independientes
Definicion 19 (Ecuacion diferencial ordinaria) Una ecuaciacute on diferencial ordinaria es aquella que con-
tiene una o macute as funciones de una variable y algunas de sus derivadas respecto a su variable independiente El
orden de esta ecuaciacute on diferencial ordinaria es el de la derivada de mayor orden contenida en ella
Ejemplo 110 La siguientes son ecuaciones diferenciales ordinarias
1 2yprimeprime + xyprime + y = sen x su orden es 2
2 yprimeprimeprime minus 2yprimeprime + 5yprime + y = ln x su orden es 3
3 xyprime + sen x = tan x su orden es 1
4 y(5) + y(4) + yprimeprimeprime + yprimeprime + yprime + y = 0 su orden es 5
5 2yprimeprime + xyprime + y3 = sen x su orden es 2
6 (yprimeprimeprime)2 minus 2(yprimeprime)7 + 5yprime + y = ln x su orden es
7 xyprime + sen x = tan y su orden es 3
8 y(5) + y(4) + yprimeprimeprime + (yprimeprime)4 + yprime + ln y = 0 su orden es 5
9 yy primeprime + x2y = x su orden es 2
Definicion 110 Un lugar geometrico del plano
2 es un conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen una
o macute as ecuaciones del tipo F (x y) = K
Ejemplo 111 La recta la circunferencia la paracute abola la elipse la hiperbola las graficas de funciones son
ejemplos de lugares geometricos
Definicion 111 La ecuaciacute on diferencial ordinaria de un lugar geometrico cuya ecuaciacute on es F (x y) = K es
aquella que se obtiene al derivar esta ecuaciacute on con respecto a una de sus variables
Teorema 18 Si un lugar geometrico cuya ecuaciacute on es F (x y) = K contiene n constantes independiente
entonces su ecuaciacute on diferencial ordinaria tendracute a orden n
Ejemplo 112 Halle la ecuaciacute on diferencial ordinaria de todas las circunferencias con centro el origen de
coordenadas
Solucion La ecuacion de esta familia de circunferencias es x2 + y2 = r2 y contiene una sola constante Al
derivar a ambos miembros respecto a x tenemos 2x + 2yyprime = 0 Por tanto la ecuacion diferencial ordinaria de
estas circunferencias sera
x + yy prime = 0 o yprime = minusy
x
Ejemplo 113 Halle la ecuaciacute on diferencial ordinaria de todas las rectas horizontales
Solucion La ecuacion de esta familia de rectas es y = K y contiene una sola constante Al derivar a ambos
miembros respecto a x tenemos y prime = 0 Por tanto la ecuacion diferencial ordinaria de estas rectas sera
yprime = 0
Ejemplo 114 Halle la ecuaciacute on diferencial ordinaria de todas las rectas con pendiente 2
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La derivada de una funcion real de variable real
Solucion La ecuacion de esta familia de rectas es y = 2x + K y contiene una sola constante Al derivar a
ambos miembros respecto a x tenemos y prime = 2 Por tanto la ecuacion diferencial ordinaria de estas rectas sera
yprime = 2
Ejemplo 115 Halle la ecuaciacute on diferencial ordinaria de todas las rectas que pasan por el origen de coordenadas
Solucion Solo consideraremos a las rectas no verticales que pasan por el origen La ecuaci on de esta familia
de rectas es y = Kx y contiene una sola constante entonces su ecuacion diferencial debe ser de orden uno
Al derivar a ambos miembros respecto a x tenemos yprime = K pero K = y
x Por tanto la ecuacion diferencial
ordinaria de estas rectas sera
yprime = y
x si x = 0 yprime = 0 si y = 0
Ejemplo 116 En los siguientes ejemplos dada una funciacute on obtener la ecuaciacute on diferencial de la cual es
soluciacute on
1 y = ceminus2x + x
El orden de la ecuacion diferencia buscada es 1 entonces derivando tenemos
yprime
= minus2ceminus
2x + 1 = minus2ceminus
2x + 1 + 2x minus 2x = minus2(ceminus
2x + x) + 1 + 2x = minus2y + 1 + 2x
there4dy
dx = 1 minus 2(y minus x) es la ecuacion diferencial buscada
2 y = C 1 sen 4x + C 2 cos 4x + x
El orden de la ecuacion diferencia buscada es 2 entonces derivando tenemos
yprime = 4C 1 cos 4x minus 4C 2 sen 4x + 1 yprimeprime = minus16C 1 sen 4x minus 16C 2 cos 4x
yprimeprime = minus16(C 1 sen 4x + C 2 cos 4x) = minus16(y minus x)
there4 yprimeprime + 16y minus 16x = 0 es la ecuacion diferencial buscada
3 y = ax3 + bx2 + cx
El orden de la ecuacion diferencia buscada es 3 entonces derivando tenemos
yprime = 3ax2 + 2bx + c yprimeprime = 6ax + 2b yprimeprimeprime = 6a Reemplazando en la ecuacion a b y c
y = yprimeprimeprime
6 x3 +
1
2
983080yprimeprime minus yprimeprimeprimex
983081x2 +
983080yprime minus yprimeprime
2 minus yprimeprimeprimex
983081x
there4 11x3yprimeprimeprime minus 3x2yprimeprime + 6xyprime + 6y = 0 es la ecuacion diferencial buscada
4 Hallar la ecuacion diferencial de la familia de circunferencias de radio 1 con centro en la recta bisectriz del
primer y tercer cuadrante
Solucion
x
y
y = x
h
h1
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La derivada de una funcion real de variable real
La ecuacion de la familia de circunferencias es (x minus h)2 + (y minus h)2 = 1 en ella solo figura una constante
entonces el orden de la ecuacion diferencia buscada es 1
Derivando respecto a x tenemos 2(x minus h) + 2(y minus h)yprime = 0 =rArr x minus h + yy prime minus hyprime = 0
=rArr h(1 + yprime) = x + yy prime =rArr h = x + yy prime
yprime + 1
Reemplazando en la ecuacion de las circunferencias
1048616x minus
x + yy prime
yprime + 110486172
+1048616
y minus x + yy prime
yprime + 110486172
= 1
=rArr (x(yprime + 1) minus x minus yy prime
8520092+(
yy prime + y minus x minus yy prime8520092
= (yprime + 1)2
=rArr (xyprime minus yy prime
8520092+(
y minus x8520092
= (yprime + 1)2
=rArr (yprime)2(x minus y)2 + (x minus y)2 = (yprime + 1)2
=rArr (x minus y)2(
(yprime)2 + 1852009
= (yprime + 1)2 es la ecuacion diferencial buscada
5 Formular la ecuacion diferencial que representa a todas las tangentes no verticales de la par abola y2 = 2x
Solucion
x
y
a
b
L
y = 2 x 2
La ecuacion de la recta tangente L a la parabola en el punto (a b) es
L y minus b = m(x minus a) Hallando la pendiente m derivando L y prime = m Por otro lado derivando la ecuacion
de la parabola tenemos 2yyprime = 2 =rArr y prime = 1
y cuyo significado es y prime(x) =
1
y(x) para x gt 0
En el punto (a b) de la parabola se tiene yprime(a) = 1
y(a) =
1
b = m Ademas como (a b) es un punto de la
parabola se tiene b2 = 2a =rArr a = b2
2 Luego en la ecuacion de la tangente
y minus b = 1b
1048616x minus b
2
2
1048617 =rArr yb minus b2 = x minus b
2
2
=rArr y = x
b +
b
2 pero b =
1
yprime
=rArr y = xy prime + 1
2yprime
=rArr 2y(yprime)2 minus 2xyprime + 1 = 0 es la ecuacion diferencial buscada
6 y2 = 4ax
Primero tenemos a = y2
4x el cual se utilizara luego Derivando la ecuacion original tenemos 2yyprime = 4a
=rArr 2yyprime
= 41048616 y2
4x1048617
= y2
x =rArr 2xyyprime
= y2 =rArr 2xyprime
= y si y = 0 =rArr 2x dy
dx minus y = 0
Por lo tanto 2x dy
dx minus y = 0 es la ecuacion diferencial buscada
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La derivada de una funcion real de variable real
7 y = C 1 sen 4x + C 2 cos 4x + x
Solucion
yprime = 4C 1 cos 4x minus 4C 2 sen 4x + 1 yprimeprime = minus16C 1 sen 4x minus 16C 2 cos 4x de la segunda derivada tenemos
minusyprimeprime
16 = C 1 sen 4x + C 2 cos 4x = y minus x luego minus(16)minus1yprimeprime = y minus x =rArr minusyprimeprime = 16y minus 16x
Por lo tanto yprimeprime = 16(xminus
y) es ecuacion diferencial buscada
8 I = teminust + eminust + 2sen 3t
Solucion En esta parte I es una funcion que depende de t y las derivadas seran respecto a t
I prime = eminust minus teminust minus eminust + 6cos 6t Pero teminust + eminust = I minus 2sen3t
=rArr I prime = eminust minus I + 2sen 3t + 6cos 3t =rArr I primeprime = minuseminust minus I prime minus 6cos3t minus 18sen3t
sumando las dos ultimas ecuaciones I prime + I primeprime = minusI minus I prime minus 16sen3t de donde I primeprime + 2I prime + I = minus16sen3t
9 x2 minus ay2 = 1
Solucion
Derivando 2x minus 2ay dy
dx = 0 =rArr y prime =
dy
dx =
minus2x
minus2ay
=rArr a = x
yy prime reemplazando en la ecuacion original
x2 minus x
yyprimey2 = 1 =rArr x2yyprime minus yyprime minus xy2 = 0
=rArr (x2 minus 1)yprime = xy
=rArr yprime = xy
x2 + 1 es la ecuacion diferencial buscada
10 x2 + y2 minus cx = 0
Derivando 2x + 2yyprime = c
Reemplazando en la ecuacion original x2 + y2 minus (2x + 2yy prime)x = 0
=
rArr yprime =
x2 minus y2
2xy
es la ecuacion diferencial buscada
11 Hallar la ecuacion diferencial de cada uno de las siguientes familias de curvas
a) y = x sen(x + c) Rta (xyprime minus y)2 = x2(x2 minus y2)
b) Todos los cırculos que pasan por (1 0) y (minus1 0) Rta 2xy = (x2 minus y2 minus 1)yprime
c) Todos los cırculos con centro en la recta y = x que son tangentes a ambos ejes
Rta (x minus y)2(1 + yprime)2 = (x + yy prime)2
d) Todas las rectas tangentes a la parabola x2 = 4y
Sugerencia La pendiente de la recta tangente en (2a a2) es a Rta y + yprime = xy prime
e) Todas las rectas tangentes al cırculo unidad x2
+ y2
= 1 Rta (y minus xyprime
)2
= 1 minus (yprime
)2
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La derivada de una funcion real de variable real
Definicion 112 Sea la ecuaciacute on diferencial ordinaria lineal de orden n
any(n) + middot middot middot + a2y primeprime + a1y prime + a0 = b
La funciacute on f A minusrarr
es una de sus soluciones si para todo x isin A
anf (n)(x) + middot middot middot + a2f primeprime(x) + a1f prime(x) + a0 = b
Ejercicio 4 Demuestre que la funciacute on f
minusrarr definida por f (x) = sin x es una soluciacute on de la ecuaciacute on
diferencial y primeprime + y = 0
Solucion Lo unico que debemos hacer es derivar a f dos veces y sumar los resultados
f (x) = sin x minusrarr f prime(x) = cos x minusrarr f primeprime(x) = minus sin x sumando f primeprime(x) + f (x) = 0 por lo tanto f
es una solucion de la ecuacion diferencial y primeprime + y = 0
Ejercicio 5 Demuestre que la funciacute on f
minusrarr
definida por f (x) = 8ex+xex es una soluciacute on de la ecuaciacute on
diferencial yprimeprime minus 2yprime + y = 0
Solucion Derivemos a f hasta dos veces y reemplacemos en el primer miembro de la ecuacion diferencial Siresulta cero tal reemplazo entonces la funcion f es una solucion de tal ecuacion diferencial
f (x) = 8ex + xex =rArr f prime(x) = [8ex] prime + [xex] prime = 8ex + [x]primeex + x[ex] prime = 8ex + ex + xex = 9ex + xex
=rArr f primeprime(x) = [9ex] prime + [xex] prime = 9ex + [x]primeex + x[ex] prime = 9ex + ex + xex = 10ex + xex
Reemplazemos en el primer miembro de la ecuacion diferencial
f primeprime(x) minus 2f prime(x) + f (x) =1048667
10ex + xex1048669minus 2
10486679ex + xex
1048669+1048667
8ex + xex1048669
= 10ex + xex minus 18ex minus 2xex + 8ex + xex
= [10
minus18 + 8]ex + [1
minus2 + 1]xex
= 0
Dado que resulta f primeprime(x)minus2f prime(x)+f (x) = 0 entonces f (x) = 8ex+xex es una solucion de la ecuacion diferencial
ordinaria y primeprime minus 2yprime + y = 0
Ejercicio 6 Demuestre o descarte las siguientes afirmaciones
1 x + y2 = K describe la soluciacute on general de las ecuaciones diferenciales dy
dx = minus 1
2y 2yyprime + 1 = 0
2 y = K ex es la soluciacute on general de la ecuaciacute on diferencial yprime minus y = 0
3 y = sin x
x
es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial xyprime + y = cos x
4 y = 1
cos x es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial yprime minus y tan x = 0
5 y = 2xradic
1 minus x2 es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial yy prime = 4x minus 8x3
6 y = x
cos x es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial xyprime minus y = x2 tan x sec x
7 y = ex(x + 1) es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial yprimeprime minus 2yprime + y = 0
8 y = ln(x + c) + 2 es la soluciacute on general de la ecuaciacute on diferencial yprimeeyminus2 minus 1 = 0
9 y = sen3 x es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial yprimeprime + (tan x minus 2cot x)yprime = 0
10 y = arcsin(xy) describe una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial xyprime + y = yradic
1 minus x2y2
11 y = c1eminusx + c2ex + c3eminus2x + c4e2x es soluciacute on general de la ecuaciacute on diferencial y(iv) minus 5yprimeprime + 4y = 0
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La derivada de una funcion real de variable real
15 Funciones derivables
151 Funciones derivables en un intervalo
Sin ser redundantes presentamos a los intervalos de
1 [a b] = x isin
a le x le b
2 ⟨a b⟩ = x isin
a lt x lt b
3 ⟨a b] = x isin
a lt x le b
4 [a b⟩ = x isin
a le x lt b
5 ⟨minusinfin b⟩ = x isin 1048623x lt b
6 ⟨minusinfin b] = x isin
1048623x le b
7 ⟨a +infin⟩ = x isin
1048623a lt x
8 [a +infin⟩ = x isin
1048623a le x
9 ⟨minusinfin +infin⟩ =
y
10 [a a] = a
Los cuatro primeros y el ultimo son los intervalos limitados los cinco siguientes son intervalos ilimitados el
ultimo se denomina un intervalo degenerado desde el segundo hasta el cuarto intervalo a lt b
Definicion 113 Sea la funciacute on f I minusrarr donde I es un intervalo de
1 La funciacute on f ⟨a b⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨a b⟩ si lo es en cada punto de ⟨a b⟩
2 La funciacute on f ⟨minusinfin b⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨minusinfin b⟩ si lo es en cada punto de ⟨minusinfin b⟩
3 La funciacute on f ⟨a +infin⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨a +infin⟩ si lo es en cada punto de ⟨a +infin⟩
4 La funciacute on f [a b⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo [a b⟩ si existe un intervalo abierto del tipo ⟨ p q ⟩ que
contiene a [a b⟩ tal que f sea derivable sobre ⟨ p q ⟩
5 La funciacute on f ⟨a b] minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨a b] si existe un intervalo abierto del tipo ⟨ p q ⟩ que
contiene a ⟨a b] tal que f sea derivable sobre ⟨ p q ⟩
6 La funciacute on f [a +infin⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo [a +infin⟩ si existe un intervalo abierto del tipo⟨ p +infin⟩ que contiene a [a +infin⟩ tal que f sea derivable sobre ⟨ p +infin⟩
7 La funciacute on f ⟨minusinfin b] minusrarr es derivable en el intervalo ⟨minusinfin b] si existe un intervalo abierto del tipo
⟨minusinfin q ⟩ que contiene a ⟨minusinfin b] tal que f sea derivable sobre ⟨minusinfin q ⟩
8 La funcion f [a b] minusrarr es derivable en el intervalo [a b] si existe un intervalo abierto del tipo ⟨ p q ⟩ que
contiene a [a b] tal que f sea derivable sobre ⟨ p q ⟩
Observaciones
1 La funcion f [a b
⟩ minusrarr es derivable en el intervalo [a b
⟩ si y solo si es derivable en cada punto de
⟨a b
⟩y existe f prime+(a)
2 La funcion f [a +infin⟩ minusrarr es derivable en el intervalo [a +infin⟩ si y solo si es derivable en cada punto de
⟨a +infin⟩ y existe f prime+(a)
3 La funcion f ⟨a b] minusrarr es derivable en el intervalo ⟨a b] si y solo si es derivable en cada punto de ⟨a b⟩
y existe f primeminus
(b)
4 La funcion f ⟨minusinfin b] minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨minusinfin b] si y solo si es derivable en cada punto de
⟨minusinfin b⟩ y existe f primeminus
(b)
5 La funcion f [a b] minusrarr
es derivable en el intervalo [a b] si y solo si es derivable en cada punto de ⟨a b⟩y existen f prime+(a) y f prime
minus(b)
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La derivada de una funcion real de variable real
6 Sea I un intervalo abierto Si la funcion f I minusrarr es derivable su funcion derivada f prime I minusrarr tendra el
mismo dominio que f
7 Sea I un intervalo abierto Si la funcion f I minusrarr
es k veces derivable su funcion kndashesima derivada
f (k) I minusrarr
tendra el mismo dominio que f
8 Sea I un intervalo no abierto Si la funcion f I minusrarr
es derivable su funcion derivada f prime J minusrarr
tendra como dominio al interior de I
152 Funciones de clase C k
Sea I un intervalo de
Si la funcion f I minusrarr
es derivable en I entonces es continua en I pero
posiblemente la funcion derivada f prime J minusrarr
no sea continua en I J = int (I )
Definicion 114 Sea I un intervalo de Si la funcion f I minusrarr es continua en I diremos que ldquo f rdquo es una
funciacute on de clase cero C 0 sobre I
⋆ Si ldquof rdquo es una funcion de clase C 0 sobre I lo denotamos por f
isin C 0(I )
Definicion 115 Sea I un intervalo abierto de
Si la funciacute on f I minusrarr
es derivable en I y la funciacute on
f prime I minusrarr es continua en I diremos que f es continuamente derivable en I o simplemente la funciacute on ldquo f rdquo es
de clase C 1 sobre I
⋆ Si ldquof rdquo es una funcion de clase C 1 sobre I lo denotamos por f isin C 1(I )
Definicion 116 Sea I un intervalo abierto de
La funcion f I minusrarr
es de clase C k sobre el intervalo I
si es k veces derivable sobre I y la funciacute on f (k) I minusrarr
es continua en I
⋆ Si ldquof rdquo es una funcion de clase C k sobre I lo denotamos por f
isin C k(I )
Definicion 117 Sea I un intervalo abierto de La funciacute on f I minusrarr es de clase C infin sobre el intervalo I
si existe f (n) para todo n isin 0 1 2 middot middot middot
⋆ Si ldquof rdquo es una funcion de clase C infin sobre I lo denotamos por f isin C infin(I )
Ejemplo 117
1 La funcion f
minusrarr
definida por f (x) = ex es de clase C infin sobre
Con la notaciones presentadas
tenemos la pertenencia f isin C infin(
)
2 La funcion f minusrarr
definida por f (x) = p(x) donde p(x) es un polinomio es de clase C infin
sobre
Conla notaciones presentadas tenemos la pertenencia f isin C infin( )
3 La funcion f [0 +infin⟩ minusrarr definida por f (x) =
radic x es de clase C infin sobre ⟨0 +infin⟩ Con la notaciones
presentadas tenemos la pertenencia f isin C infin983080
[0 +infin⟩983081
153 Funciones no derivables
Sea f una funcion cuyo dominio sea el conjunto A sub
Si f es derivable en el punto a isin A entonces la
grafica de f en su punto (a f (a)) tiene una unica recta tangente La idea de recta tangente en este caso no es
la misma que usted tiene a cerca de una recta tangente a una circunferencia en donde ellos tienen un unico
punto en comun es decir si la recta L es tangente a la circunferencia C entonces L y C tienen un unico punto
en comun llamado punto de tangencia Mientras que si L es una recta tangente a la grafica de la funcion f
es posible que ellos tengan otro punto en comun a parte del punto de tangencia la idea de tangencia que se
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La derivada de una funcion real de variable real
expone es local y no global en el sentido de que si L es una recta tangente a la grafica de la funcion f el punto
de tangencia es unico cerca de el especıficamente La recta L es una tangente a la grafica de la funcion f en su
punto (a f (a)) si existe un cırculo de centro (a f (a)) dentro del cual L y la grafica de la funcion f tienen un
unico punto en comun y los puntos de la grafica de f que pertenecen al cırculo estan a un solo lado de L Y si
ademas la funcion f es derivable en a la pendiente de L es f prime(a)
X
Y
L L L
y f x ( )=a
X
Y
L L L
y f x ( )=a
Si una funcion f es continua en un punto a no siempre sera derivable en dicho punto existe la posibilidad de
que lo sea como tambien que no como por ejemplo
La funcion f ⟨0 2⟩ minusrarr
definida por f (x) =
983163 2x si 0 lt x lt 1
2 si 1 le x lt 2es continua en el punto a = 1 pero
no es derivable en dicho punto pues no existe f prime(1) La existencia de la derivada f prime(1) implica que la grafica
de la funcion f tiene una unica recta tangente en el punto (1 f (1)) la no existencia de f prime(1) implica que la
grafica de la funcion f tiene una varias rectas en ese punto o no en este ejemplo como veremos gr aficamente
la funcion f posee varia rectas tangentes en su punto (1 f (1))
X
Y
y f x ( )=
1 2
X
Y
L L L
y x 2=
y x 3=
1
2
3
Grafico de f (x) =983163 2x si 0 lt x lt 1
2 si 1 le x lt 2 Grafico de f (x) =
x2 si
minus1 lt x lt 1
2x3
3 si 1 le x lt 2
Si una funcion f es derivable en un punto a entonces por el teorema 17 sera continua en dicho punto por
ejemplo la funcion f ⟨0 2⟩ minusrarr
f (x) =
x2 si minus1 lt x lt 1
2x3
3 si 1 le x lt 2
es derivable en a = 1 mas aun es
continua en dicho punto Es mas la grafica de f tiene una unica recta tangente en su punto (1 f (1))
De acuerdo al teorema 16 una funcion es no derivable en el punto ldquoardquo si f primeminus
(a) = f prime+(a) o una de la
derivadas laterales f primeminus
(a) f prime+(a) no existe Y de acuerdo al teorema 17 si f no es continua en el punto ldquoardquo
entonces no es derivable en ese punto
Los siguientes son ejemplos graficos de funciones no derivables en un punto
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La derivada de una funcion real de variable real
X X
Y Y
a a b
y f x = ( ) y f x = ( )
f a f a bno es derivable en no es derivable en y
f a
f b
es derivable en por derecha
es derivable en por izquierda
2 Teoremas sobre funciones derivables
21 Extremos relativos de una funcion
Definicion 21 Sean empty = X sub
y m isin
Diremos que ldquo mrdquo es el mınimo del conjunto X si m isin X y m le x
para todo x isin X
Definicion 22 Sean empty = X sub
y M isin
Diremos que ldquo M rdquo es el macute aximo del conjunto X si M isin X y
M ge x para todo x isin X
Observaciones
1 No todo subconjunto no vacıo de
posee maximo yo mınimo
2 Si un subconjunto no vacıo de
posee maximo yo mınimo este es unico y ademas es uno de los elementos
del conjunto
3 Si ldquomrdquo es el mınimo del conjunto X entonces lo denotamos por m = mın X
4 Si ldquoM rdquo es el maximo del conjunto X entonces lo denotamos por M = max X
5 Si m = mın X y M = max X entonces m le M y ademas m le x le M para todo x isin X
Ejemplo 21
1 El conjunto de los numeros naturales posee mınimo y es 1 es decir 1 = mın pero no posee maximo
2 El conjunto
el de los numeros enteros no posee ni maximo ni mınimo El conjunto
el de los numeros
racionales no posee ni maximo ni mınimo
3 Veamos algunos intervalos
a) Los intervalos ⟨a b⟩ ⟨a b] ⟨a +infin⟩ no poseen mınimo
b) Los intervalos ⟨a b⟩ [a b⟩ ⟨minusinfin b⟩ no poseen maximo
c) a = mın[a b] a = mın[a b⟩ a = mın[a +infin⟩
d) b = max[a b] b = max⟨a b] b = max⟨minusinfin b]
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La derivada de una funcion real de variable real
Definicion 23 Sean empty = A sub f A minusrarr una funciacute on y x0 isin A
1 La funciacute on ldquo f rdquo tiene un mınimo absoluto en x0 si f (x0) le f (x) para todo x isin A
2 La funciacute on ldquo f rdquo tiene un macute aximo absoluto en x0 si f (x) le f (x0) para todo x isin A
3 La funci on ldquo f rdquo tiene un mınimo relativo en x0 si existe un δ gt 0 tal que f (x0) le f (x) para todo
x isin A cap ⟨x0 minus δ x0 + δ ⟩
4 La funci on ldquo f rdquo tiene un macute aximo relativo en x0 si existe un δ gt 0 tal que f (x) le f (x0) para todo
x isin A cap ⟨x0 minus δ x0 + δ ⟩
Observaciones Sean empty = A sub
f A minusrarr
una funcion y x0 isin A
1 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo relativo en x0 diremos tambien que f tiene un mınimo local en x0
2 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo relativo en x0 diremos tambien que f tiene un maximo local en x0
3 La funcion ldquof rdquo tiene un extremo absoluto en x0 si tiene un mınimo o maximo absoluto en dicho punto
4 La funcion ldquof rdquo tiene un extremo relativo en x0 si tiene un mınimo o maximo relativo en dicho punto
5 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo absoluto en x0 entonces f (x0) es el mınimo del rango de la funcion es
decir
f (x0) = mın Ran (f )
Al numero f (x0) lo denominaremos el valor mınimo de f en su dominio
6 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo absoluto en x0 entonces f (x0) es el maximo del rango de la funcion es
decir
f (x0) = max Ran (f )
Al numero f (x0) lo denominaremos el valor maximo de f en su dominio
7 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo relativo en x0 entonces f no siempre tendra un mınimo absoluto en x0
Una funcion puede poseer un mınimo relativo sin tener un mınimo absoluto
8 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo relativo en x0 entonces f no siempre tendra un maximo absoluto en
x0 Una funcion puede poseer un maximo relativo sin tener un maximo absoluto
9 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo absoluto en x0 entonces f tiene un mınimo relativo en dicho punto Lo
contrario no siempre es cierto
En la figura la funcion f minusrarr tiene maximo
relativo en x = 0 pero no posee maximo absolutoen su dominio
En la figura la funcion g minusrarr tiene mınimo
relativo en x = 0 pero no posee mınimo absolutoen su dominio
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La derivada de una funcion real de variable real
10 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo absoluto en x0 entonces f tiene un maximo relativo en dicho punto Lo
contrario no siempre es cierto
11 Una funcion puede tener extremos absolutos en mas de un punto vea el siguiente grafico
En la figura la funcion f
minusrarr
tiene mınimo
absoluto en dos puntos diferentes
En la figura la funcion g
minusrarr
tiene maximo
absoluto en dos puntos diferentes
12 La funcion ldquof rdquo tiene un extremo en el punto x0 si tiene un maximo o mınimo absoluto o relativo en dicho
punto
Y Y
X X
figura (a) figura (b)
x x x x 0 1 2 3 4 5 6x x x x x x x x x x 0 1 2 3 4 5 6
y f x = ( )
y f x = ( )
En la figura (a) Dom(f ) = [x0 x6] la funcion tiene
un mınimo absoluto en el punto x2 y maximo absolu-
to en el punto x5 mientras que tiene mınimo relativo
en los puntos x0 x2 x4 y x6 y maximo relativo en
los puntos x1 x3 y x5
En la figura (b) Dom (f ) = [x0 x6⟩minusx3 la funcion
no tiene mınimo absoluto ni maximo absoluto mien-
tras que tiene mınimo relativo en los puntos x0 x2 y
x4 y maximo relativo en los puntos x1 y x5
Teorema 21 Si la funcion f tiene un extremo en x0 y f prime(x0) existe entonces f prime(x0) = 0
Observaciones
1 Lo contrario no siempre es cierto es decir si f prime(x0) = 0 entonces f no siempre tendra un extremo en x0
Un ejemplo simple es para f (x) = (x minus 2)3 en x0 = 2
2 Si la funcion f tiene un extremo en x0 y f prime
(x0) existe entonces la recta tangente a la grafica de la funcionen el punto
(x0 f (x0)
852009 en horizontal
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La derivada de una funcion real de variable real
3 Si la funcion f tiene un extremo en x0 y f prime(x0) no existe entonces o bien no existe recta tangente a la
grafica de la funcion en el punto(
x0 f (x0)852009
o existen infinitas rectas tangente a la grafica de la funcion en
el punto(
x0 f (x0)852009
pudiendo ser una de ellas una recta vertical
En la figura la funcion f
minusrarr
tiene un extremo
en x = 0 pero f prime(0) no existe ademas la grafica de
esta funcion posee infinitas rectas tangente en el pun-
to(
0 f (0)852009
En la figura la funcion g
minusrarr
tiene extremo en
los puntos x0 x1 existen g prime(x0) g prime(x1) y las rectas
tangente en(
x0 g(x0)852009
y(
x1 g(x1)852009
son horizontales
22 El teorema del valor medio
Teorema 22 (Teorema de Rolle) Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si f es continua en [a b] es derivable en
⟨a b⟩ y f (a) = f (b) entonces existe un c isin ⟨a b⟩ tal que f prime(c) = 0
Observaciones
1 Si la funcion f satisface las hipotesis del teorema de Rolle la existencia del punto c tales que f prime(c) = 0 no
siempre es unica pueden existir otros puntos del intervalo ⟨a b⟩ cuya primera derivada en esos puntos sea
cero
2 La condicion f (a) = f (b) indica que la recta que pasa por los puntos(
a f (a)852009
y(
b f (b)852009
es horizontal El
teorema garantiza la existencia de al menos un punto c isin ⟨a b⟩ tal que la recta tangente a la grafica de la
funcion f el punto(
c f (c)852009
tambien sea horizontal
X X
Y Y
y=f x( )
y=f x( )
figura (a) figura (b)
a c c b1 3 a b
c2
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La derivada de una funcion real de variable real
En la figura (a) la funcion f satisface las hipotesis del
teorema de Rolle por tanto en este caso existen pun-
tos c1 c2 y c3 del intervalo ⟨a b⟩ tal que f prime(c1) = 0
f prime(c2) = 0 y f prime(c3) = 0
En la figura (b) la funcion f no satisface las hipotesis
del teorema de Rolle en tanto no se garantiza la exis-
tencia de puntos del intervalo ⟨a b⟩ tal que la primera
derivada de f en esos puntos sea cero
Teorema 23 (El teorema del valor medio de Lagrange) Sea la funciacute on f [a b]
minusrarr
Si f es continua
en [a b] es derivable en ⟨a b⟩ entonces existe un c isin ⟨a b⟩ tal que
f prime(c) = f (b) minus f (a)
b minus a
Observaciones
1 Si la funcion f satisface las hipotesis del teorema del valor medio de Lagrange la existencia del punto c tales
que f prime(c) = f (b) minus f (a)
b minus a no siempre es unica pueden existir otros puntos del intervalo ⟨a b⟩ cuya primera
derivada en esos puntos sea igual a f (b) minus f (a)
b minus a
2 Sea L la recta que pasa por los puntos(
a f (a)852009
y(
b f (b)852009
el teorema garantiza la existencia de al menosun punto c isin ⟨a b⟩ tal que la recta tangente a la grafica de la funcion f el punto
(c f (c)
852009 sea paralela a L
Y Y
X X
y = f x ( ) y = f x ( )
f a ( )
f a ( )
f b( )
f b( )
figura (a) figura (b)
a c b1 b
c 2 a
L L L
L L L
En la figura (a) la funcion f satisface las hipotesis del
teorema de Lagrange por tanto en este caso existen
puntos c1 y c2 del intervalo ⟨a b⟩ tal que
f prime(c1) = f (b) minus f (a)
b minus a y f prime(c2) =
f (b) minus f (a)
b minus a
En la figura (b) la funcion f no satisface las hipotesis
del teorema de Lagrange en tanto no se garantiza
la existencia de puntos del intervalo ⟨a b⟩ tal que laprimera derivada en ese punto sea igual a
f (b) minus f (a)
b minus a
Teorema 24 (El teorema generalizado del valor medio de Cauchy) Sean las funciones f [a b] minusrarr
y g [a b] minusrarr
continuas en [a b] y derivables en ⟨a b⟩ con g(b) = g(a) y g prime(x) = 0 para todo x isin ⟨a b⟩
entonces existe un c isin ⟨a b⟩ tal que f prime(c)
g prime(c) =
f (b) minus f (a)
g(b) minus g(a)
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La derivada de una funcion real de variable real
23 Funciones crecientes y decrecientes
Definicion 24 (Funcion creciente) Sean empty = A sub
y la funciacute on f A minusrarr
Diremos que la funciacute on f
es creciente o estrictamente creciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) lt f (x2)
Definicion 25 (Funcion decreciente) Sean empty = A sub
y la funci on f A minusrarr
Diremos que la funcion f
es decreciente o estrictamente decreciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) gt f (x2)
Y Y
X X
f x ( )1
f x ( )1
x 1
x 1x 2
x 2
f x ( )2
f x ( )2
Graacutefico de una funcioacutenestrictamente creciente
Graacutefico de una funcioacutenestrictamente decreciente
Definicion 26 (Funcion no creciente) Sean empty = A sub y la funci on f A minusrarr
Diremos que la funciacute on
f es no creciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) ge f (x2)
Definicion 27 (Funcion no decreciente) Sean empty = A sub y la funciacute on f A minusrarr
Diremos que la
funciacute on f es no decreciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) le f (x2)
Y Y
X X
x 1 x 2 x 1 x 2
Graacutefico de una funcioacuten
no decreciente
Graacutefico de una funcioacuten
no creciente
Definicion 28 (Funcion monotona) Sean empty = A sub
y la funci on f A minusrarr
Diremos que la funciacute on f
es monacute otona sobre A si es creciente o decreciente o no creciente o no decreciente sobre A
Observaciones
1 Para definir funciones monotonas (crecientes decrecientes no crecientes o no decrecientes) no es necesario
saber la continuidad y la derivabilidad de la funcion en su dominio
2 Existen funciones monotonas que no son derivables yo continuas en su dominio
Teorema 25 Sean empty = A sub y la funciacute on f A minusrarr Si la funciacute on f es estrictamente creciente sobre A
entonces f es una funciacute on inyectiva y su funcion inversa f lowast tambien es estrictamente creciente sobre Ran(f )
Teorema 26 Sean empty = A sub
y la funci on f A minusrarr
Si la funci on f es estrictamente decreciente sobre A
entonces f es una funciacute on inyectiva y su funciacute on inversa f lowast tambien es estrictamente decreciente sobre Ran(f )
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La derivada de una funcion real de variable real
Y Y
X X
f
f
f
f
Teorema 27 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr
Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩
con f
prime
(x) gt 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es estrictamente creciente sobre [a b]
Teorema 28 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩
con f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es estrictamente decreciente sobre [a b]
X X
a
a b
b
Observaciones
1 Del teorema 27 si la pendiente de todas las rectas tangente a la grafica de la funcion sobre ⟨a b⟩ es positiva
entonces la funcion es estrictamente creciente sobre [a b]
2 Del teorema 28 si la pendiente de todas las rectas tangente a la grafica de la funcion sobre ⟨a b⟩ es negativa
entonces la funcion es estrictamente decreciente sobre [a b]
Teorema 29 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr
Si la funcion f es continua sobre [a b] y es inyectiva en [a b]
entonces f es estrictamente creciente o estrictamente decreciente sobre [a b] pero no ambos
X X
a
a b
b
f ab
ab
es continua e inyectiva sobre [ ]en este caso es creciente sobre [ ]
f ab
ab
es continua e inyectiva sobre [ ]en este caso es decreciente sobre [ ]
f f
Teorema 210 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funciacute on f es continua y estrictamente creciente sobre
[a b] entonces Ran(f ) =1048667
f (a) f (b)1048669
y su funciacute on inversa f lowast 1048667
f (a) f (b)1048669 minusrarr
es tambien continua y
estrictamente creciente sobre [a b]
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La derivada de una funcion real de variable real
Teorema 211 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funcion f es continua y estrictamente decreciente sobre
[a b] entonces Ran(f ) =1048667
f (b) f (a)1048669
y su funciacute on inversa f lowast 1048667
f (b) f (a)1048669 minusrarr
es tambien continua y
estrictamente decreciente sobre [a b]
Teorema 212 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre
⟨a b⟩ con f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es no decreciente sobre [a b]
Teorema 213 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre
⟨a b⟩ con f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es no creciente sobre [a b]
Teorema 214 (de la funcion constante) Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre
[a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩ con f prime(x) = 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es constante sobre [a b] es decir
existe una constante C tal que f (x) = C para todo [a b]
Teorema 215 (de la diferencia constante) Sean las funciones f [a b] minusrarr
y f [a b] minusrarr
Si las
funciones f y g son continuas sobre [a b] y es derivables sobre ⟨a b⟩ con f prime(x) = g prime(x) para todo x isin ⟨a b⟩entonces existe una constante C tal que f (x) = g(x) + C para todo [a b]
Definicion 29 (Punto crıtico) Sean I un intervalo de
x0 un punto de I y la funciacute on f I minusrarr
El
punto x0 es un punto crıtico de la funciacute on f I minusrarr si x0 satisface alguna de las siguientes condiciones
a) f prime(x0) = 0 o b) f prime(x0) = 0 no existe o c) f tiene un extremo en x0
Observaciones
1 Si x0 es un punto crıtico de la funcion f no podemos concluir con certeza una de las condiciones mencionadas
2 Si x0 es un punto crıtico de la funcion f y f prime(x0) = 0 no podemos concluir con certeza que f tiene un
extremo en dicho punto
Por ejemplo sea la funcion f [1 3] minusrarr definida
por f (x) = (x minus 2)3 cuya funcion derivada es
f prime ⟨1 3⟩ minusrarr
983087 f prime(x) = 3(x minus 2)2
En x0 = 2 tenemos f prime(x0) = 0 pero f no tiene
maximo ni mınimo en 2 f tiene un mınimo en 1
y un maximo en 3 por tanto 1 2 y 3 son puntos
crıticos de f
Y
X
1
2
Ejercicio 7 Hal le los puntos crıticos de las siguientes funciones
1 f
minusrarr que estacute a definida por
f (x) = 1
4(x4 minus 6x2 + 8x) + 5
2 f
minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = 3
radic (x + 4)2(x minus 5)
3 f
minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = 5x23 minus x53
4 f
minusrarr
que estacute a definida por f (x) = x + 1
x2 + 1
5 f
minus 1 minusrarr que estacute a definida por
f (x) = x3 minus 2
(x minus 1)2
6 f
minusrarr
que estacute a definida por f (x) = x2 + 3radic
x2 + 1
7 f [minusπ2
π2
] minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = sin2 x minus |x|
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La derivada de una funcion real de variable real
231 Criterio de la primera derivada para extremos de una funcion
Aquı presentamos un criterio que nos ayuda a determinar si un punto crıtico es aquel en donde una funcion
alcanza su valor maximo o mınimo
Teorema 216 (Criterio de la primera derivada) Sean la funciacute on f A minusrarr
el intervalo [a b] contenido
en A y x0
isin ⟨a b
⟩ un punto crıtico de f
1 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f tiene un macute aximo en el punto x0
2 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f tiene un mınimo en el punto x0
3 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) gt 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) gt 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f no tiene macute aximo ni mınimo en el punto x0
4 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f no tiene macute aximo ni mınimo en el punto x0
X X
a bx 0a bx 0
f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0lt gt f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0gt lt
f
f
f tiene un maacuteximo en x 0 f tiene un miacutenimo en x 0
X X a bx 0a bx 0
f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0lt lt f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0gt gt
f f
f no tiene un extremo en x 0 f no tiene un extremo en x 0
Observaciones
1 Al ser x0 un punto crıtico de f el criterio de la primera derivada no garantiza que exista f prime(x0)
2 El criterio de la primera derivada requiere que f sea derivable en ⟨a x0⟩ cup ⟨x0 b⟩ mas no en x0
3 Un metodo que nos permite hallar puntos crıticos de la funcion f en [a b] es resolver la ecuacion f prime(x) = 0
sujeta a la condicion x isin ⟨a b⟩ pero tal metodo solo nos proporciona todos los puntos crıticos de f que
cumple la primera condicion dada en la definicion 29
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La derivada de una funcion real de variable real
4 Los graficos anteriores presentan al punto crıtico x0 de f en el cual existe f prime(x0) y es igual a cero es mas
en los dos primeros graficos la recta tangente en el punto (x0 f (x0)) es horizontal iquestCual es el aspecto de
la grafica de f si es que no existiera f prime(x0)
5 Sea x0 isin ⟨a b⟩ un punto crıtico de la funcion f Al utilizar el criterio de la primera derivada para averiguar
si f tiene maximo o mınimo en x0 es necesario resolver las inecuaciones f prime(x) lt 0 y f prime(x) gt 0 sujetas
a la restriccion x isin ⟨a b⟩ tales procesos son sencillos para algunas funciones pero existen funciones paralos cuales tales resoluciones son complicadas y ahı el criterio de la primera derivada no es recomendable
utilizarlo pero tal deficiencia se supera utilizando otro criterio para determinar extremo de una funcion
6 El criterio de la primera derivada tambien es aplicable cuando en lugar del intervalo ⟨a b⟩ se considera a
otros tipos de intervalos abiertos si es que estan contenidos en el dominio de la funcion
Por ejemplo para la funcion f
minusrarr
definida por f (x) = x2 su unico punto crıtico es x0 = 0 f prime(x) lt 0
para todo x lt 0 y f prime(x) gt 0 para todo x gt 0 por tanto f tiene un mınimo en 0 y su valor mınimo es
f (0) = 0
232 Criterio de la segunda derivada para extremos de una funcion
Aquı presentamos otro criterio que nos ayuda a determinar si un punto crıtico es aquel en donde una funcion
alcanza su valor maximo o mınimo este metodo requiere la existencia de la segunda de la funcion en su punto
crıtico
Teorema 217 (Criterio de la segunda derivada) Sean la funciacute on f A minusrarr
el intervalo [a b] contenido
en A y x0 isin ⟨a b⟩ un punto crıtico de f para el cual f primeprime(x0) existe
1 Si la funciacute on f es derivable en ⟨a b⟩ f prime(x0) = 0 y f primeprime(x0) lt 0 entonces f tiene un macute aximo en el punto x0
2 Si la funciacute on f es derivable en
⟨a b
⟩ f prime(x0) = 0 y f primeprime(x0) gt 0 entonces f tiene un mınimo en el punto x0
X X
a bx 0a bx 0
f a b f f es derivable en ( ) 0 ( ) 0 x x 0 0= lt f a b f f es derivable en ( ) 0 ( ) 0 x x 0 0= gt
f
f
f tiene un maacuteximo en x 0 f tiene un miacutenimo en x 0
Observaciones
1 Los graficos anteriores presentan al punto crıtico x0 de f en el cual existe f primeprime(x0) y es diferente a cero
2 El criterio de la segunda derivada tambien es aplicable cuando en lugar del intervalo ⟨a b⟩ se considera a
otros tipos de intervalos abiertos si es que estan contenidos en el dominio de la funcion
Por ejemplo para la funcion f
minusrarr
definida por f (x) = x2 su unico punto crıtico es x0 = 0 y
f primeprime(0) = 2 gt 0 por tanto f tiene un mınimo en 0 y su valor mınimo es f (0) = 0
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La derivada de una funcion real de variable real
24 Concavidad y puntos de inflexion
25 La regla de Lrsquo Hospital
3 Aplicaciones de la derivada
31 Trazado de grafica de funciones
32 Derivadas parametricas
321 Regla de la cadena
33 Diferencial de una funcion
34 Razon de cambio
Indice
1 La derivada 111 Derivadas laterales 4
12 Derivacion y continuidad 5
13 Derivadas de orden superior 7
131 Notacion de derivadas 7
132 El operador d
dx 8
133 La segunda derivada 10
134 Derivada de ordenes mayores a dos 10
135 Notacion de derivadas de ordenes superiores 11
14 Derivadas implıcitas 12
141 Ecuaciones diferenciales ordinarias de lugares geometricos 13
15 Funciones derivables 18
151 Funciones derivables en un intervalo 18
152 Funciones de clase C k 19
153 Funciones no derivables 19
2 Teoremas sobre funciones derivables 21
21 Extremos relativos de una funcion 21
22 El teorema del valor medio 24
23 Funciones crecientes y decrecientes 26
231 Criterio de la primera derivada para extremos de una funcion 29
232 Criterio de la segunda derivada para extremos de una funcion 30
24 Concavidad y puntos de inflexion 31
25 La regla de Lrsquo Hospital 31
3 Aplicaciones de la derivada 31
31 Trazado de grafica de funciones 31
32 Derivadas parametricas 31
321 Regla de la cadena 31
33 Diferencial de una funcion 31
34 Razon de cambio 31
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La derivada de una funcion real de variable real
Teorema 13 Sean empty = A sub a isin A cap A prime f A minusrarr una funci on Si f es derivable en el punto lsquo ardquo
entonces
f prime(a) = lımhrarr0
f (a + h) minus f (a)
h
Definicion 14 Si f es una funcion la funciacute on derivada de f denotada por f prime estacute a definida por la regla
f prime
(x) = lımhrarr0
f (x + h)
minusf (x)
h
donde x estacute a en el dominio de f para los cuales f prime(x) existe Aquı Dom(f prime) sub Dom (f )
Teorema 14 (Regla de la cadena) Sean las funciones f A minusrarr g B minusrarr
con Ran(f ) sub B
a isin A cap A prime b = f (a) isin B cap B prime Si existen f prime(a) y g prime(b) entonces la funciacute on g f A minusrarr es derivable en el
punto ldquo ardquo y ademacute as su derivada en ese punto es
(g f )prime(a) = g prime(b)f prime(a) = g prime(
f (a)852009
f prime(a)
Teorema 15 (Regla de la cadena) Sean las funciones f A minusrarr g B minusrarr
con Ran(f ) sub B
x isin A cap Aprime
f (x) isin B cap Bprime
Si existen f prime
(x) y gprime(
f (x)852009
entonces la funciacute on g f A minusrarr
es derivable en el punto ldquo xrdquo y ademas la regla de correspondencia de la derivada de la funciacute on g f en todos los puntos de A
donde es derivable es
(g f )prime(x) = g prime(
f (x)852009
f prime(x)
Definicion 15 (Funciones trigonometricas hiperbolicas) El seno hiperbacute olico y el coseno hiperbacute olico y
las cuatro funciones relacionadas se definen por
sinh x = e
x minus e minusx
2 para todo x isin
cosh x = e
x + e minusx
2 para todo x isin
tanh x = sinh xcosh x
= e
x
minus e
minusx
e x + e
minusx para todo x isin
coth x = 1tanh x
= e
x
+ e
minusx
e x minus e
minusx para todo x isin
minus 0
sech x = 1
cosh x =
2
e x + e
minusx para todo x isin csch x =
1
sinh x =
2
e x minus e
minusx para todo x isin
minus 0
Observacion Las funciones trigonometricas hiperbolicas son derivables en todo su dominio tambien son
derivables en su dominio las funciones trigonometricas hiperbolicas inversas
11 Derivadas laterales
Definicion 16 Sean empty = A sub
f A minusrarr
una funciacute on
1 Para a isin A cap [a +infin⟩ definimos la derivada por la derecha de la funciacute on f en el punto ldquo ardquo como el siguiente
lımite
f prime+(a) = lımxrarra+
f (x) minus f (a)
x minus a
si es que existe En este caso diremos que f es derivable por derecha en a
2 Para a isin Acap⟨minusinfin a] definimos la derivada por la izquierda de la funciacute on f en el punto ldquo ardquo como el siguiente
lımite
f primeminus
(a) = lımxrarraminus
f (x) minus f (a)
x
minusa
si es que existe
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La derivada de una funcion real de variable real
Teorema 16 Sean empty = A sub a isin A cap A prime y f A minusrarr La funciacute on f es derivable en el punto ldquo ardquo si y solo
si existen f prime+(a) f primeminus
(a) y son iguales En este caso
f prime(a) = f prime+(a) = f primeminus
(a)
Ejemplo 12
1 Sea la funcion f cuya regla es f (x) =
983163 2x si 0 lt x lt 3
x3 si 3 le x lt 6
⋆ f prime+(3) = lımxrarr3+
f (x) minus f (3)
x minus 3 = lım
xrarr3
x3 minus 33
x minus 3 = lım
xrarr3(x2 + 3x + 9) = 27
⋆ f primeminus
(3) = lımxrarr3minus
f (x) minus f (3)
x minus 3 = lım
xrarr3minus
2x minus 33
x minus 3 = +infin
Los resultados anteriores indican que existe f prime+(3) y es igual a 27 pero f primeminus
(3) no existe y de acuerdo al
teorema 16 f no es derivable en x = 3
2 Sea la funcion f cuya regla es f (x) = 983163 x2 si 0 lt x lt 1
2x minus 1 si 1 le x lt 5
⋆ f prime+(1) = lımxrarr1+
f (x) minus f (1)
x minus 1 = lım
xrarr1+
9830802x minus 1
983081minus983080
2(1) minus 1983081
x minus 1 = lım
xrarr1+
2x minus 2
x minus 1 = 2
⋆ f primeminus
(1) = lımxrarr1minus
f (x) minus f (1)
x minus 1 = lım
xrarr1minus
x2 minus983080
2(1) minus 1983081
x minus 1 = lım
xrarr1minus
x2 minus 1
x minus 1 = lım
xrarr1minus(x + 1) = 2
Los resultados anteriores indican que existen f prime+(1) y f primeminus
(1) y que ademas son iguales a 2 de acuerdo al
teorema 16 f es derivable en x = 1 y la derivada de f en x = 1 es
f prime(1) = f prime+(1) = f primeminus(1) = 2
Observaciones
1 Si una de las derivadas laterales f prime+(a) f primeminus
(a) no existen entonces f no es derivable en a
2 Si las derivadas laterales f prime+(a) f primeminus
(a) existen pero son diferentes entonces f no es derivable en a
12 Derivacion y continuidad
Teorema 17 Sean empty = A sub
a isin A cap A prime f A minusrarr
una funciacute on Si la funciacute on f es derivable en el punto
ldquo ardquo entonces es continua en ldquo ardquo
Observaciones
1 Si una funcion es continua en un punto no se puede garantizar que sea derivable en ese punto
2 Si una funcion no es continua en un punto entonces no es derivable en ese punto
Ejemplo 13
1 Sea la funcion f definida por f (x) =
radic 1 minus x si x lt 1
(1
minusx)2 si x
ge 1
⋆ lımxrarr1minus
f (x) = lımxrarr1minus
radic 1 minus x = 0 lım
xrarr1+f (x) = lım
xrarr1+(1 minus x)2 = 0 y f (1) = 0
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La derivada de una funcion real de variable real
⋆ lımxrarr1minus
f (x) minus f (1)
x minus 1 = lım
xrarr1minus
radic 1 minus x minus 0
x minus 1 = minusinfin
⋆ lımxrarr1+
f (x) minus f (1)
x minus 1 = lım
xrarr1+
(1 minus x)2 minus 0
x minus 1 = 0
Con los resultados anteriores vemos que f es continua en x = 1 pero no es derivable en ese punto En este
caso el ser continua en un punto no implica que sea derivable en el mismo punto
2 Sea la funcion f definida por f (x) =
1 si x lt 4
2 si x ge 4
⋆ lımxrarr4minus
f (x) = 1 lımxrarr4+
f (x) = 2 y f (4) = 2
⋆ lımxrarr4minus
f (x) minus f (4)
x minus 4 = lım
xrarr4minus
1 minus 2
x minus 4 =
minus1
0minus= +infin
⋆ lımxrarr4+
f (x)
minusf (4)
x minus 4 = lımxrarr4+
2
minus2
x minus 4 = lımxrarr4+(0) = 0
Con los resultados anteriores vemos que f es no continua en x = 4 entonces no es derivable en x = 4 no
era necesario calcular f prime+(4) y f primeminus
(4) para demostrar que f no es derivable en x = 4
3 Sea la funcion f definida por f (x) =
x2 si x lt minus1
minus1 minus 2x si x ge minus1
⋆ lımxrarrminus1minus
f (x) minus f (minus1)
x minus (minus1) = lım
xrarrminus1
x2 minus 1
x + 1 = lım
xrarrminus1(x minus 1) = minus2
⋆ lımxrarrminus1+
f (x)minus
f (minus
1)
x minus (minus1) = lımxrarrminus1 minus1
minus2x
minus1
x + 1 = lımxrarrminus1 minus2
minus2x
x + 1 = lımxrarrminus1(minus2) = minus2
Los resultados anteriores implican que f es derivable en x = minus1 y por tanto es continua en ese punto
Ejercicio 1 Utilice la definiciacute on de la derivada para calcular la derivada de f en el punto a
1) f (x) = 1radic
x + 1 a = 3
2) f (x) = 3x a = 5
3) f (x) = sin 2x a = π
4) f (x) = x + 3
2x minus 5 a = 2
Ejercicio 2 A continuaciacute on presentamos las reglas de correspondencia de ciertas funciones halle la regla de
correspondencia de su funciacute on derivada Utilice la tabla de derivadas que estacute a en la siguiente pacute agina
1) f (x) = x4 + 3x2 minus 6
2) f (x) = (1 + 4x3)(1 + 2x2)
3) f (x) = x(2x minus 1)(3x + 2)
4) f (x) = tan x
x2
5) f (x) =radic
4 minus xx
6) f (x) =
1
(x + a)n middot 1
(x + b)m
7) f (x) =
radic 2x2 minus 2x + 1
x
8) f (x) =
radic x2 + 1 +
radic x2 minus 1radic
x2 + 1 minus radic x2 minus 1
9) f (x) =991770
x +radic
x +radic
x
10) f (x) = arctan
1048616radic 1 minus cos xradic 1 + cos x
1048617
11) f (x) = 1radic
x middot e
x2 middot arctan x + 1
2 ln x + 1
12) f (x) = ln983080radic
2sin x + 1 +radic
2sin x minus 1983081
13) f (x) = 3
1057306 ln983080
sin(x + 3
4
852009983081UNSCH 6 Designed in LATEX by Suarez Azpur Fredy R
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La derivada de una funcion real de variable real
Tabla de derivadas de las funciones mas importantes Sean u = u(x) v = v(x) dos funciones derivables
C una constante real entonces tenemos la siguiente tabla que contiene a dichas funciones y sus derivadas en los
puntos en donde esta existen
Funcion Derivada
y = f (x) dy
dx = f prime(x)
C 0
x 1
Cf (x) Cf prime(x)
un nunminus1 middot du
dx
u plusmn v uprime plusmn vprime
u v uprimev + uvprime
u
v
uprimev minus uvprime
v2
ln u 1
u middot du
dx
loga u 1
u ln a middot du
dx
e u e u middot dudx
au au ln a middot du
dx
Funcion Derivada
y = f (x) dy
dx
= f prime(x)
sin u cos u middot du
dx
cos u minus sin u middot du
dx
tan u sec2 u middot du
dx
cot u minus csc2 u middot du
dx
sec u sec u middot tan u middot du
dx
csc u minus csc u middot cot u middot du
dx
arcsin u 1radic
1 minus u2 middot du
dx
arc cosu minus1radic
1 minus u2 middot du
dx
arctan u 1
1 + u2 middot du
dx
arc cot u minus11 + u2 middot dudx
arcsec u 1
uradic
u2 minus 1middot du
dx
arccsc u minus1
uradic
u2 minus 1middot du
dx
Funcion Derivada
y = f (x)
dy
dx = f prime
(x)
sinh u cosh u middot du
dx
cosh u sinh u middot du
dx
tanh u sech2u middot du
dx
coth u minuscsch2u middot du
dx
sech u minussech u middot tanh u middot dudx
csch u minuscsch u middot coth u middot du
dx
radic u
1
2radic
u middot du
dx
n
radic u
1
n n
radic (u)nminus1
middot du
dx
|u
| u
|u| middot du
dx
uv uv
1048616v
u middot du
dx +
dv
dx middot ln u
1048617
1
u minus 1
u2 middot du
dx
13 Derivadas de orden superior
131 Notacion de derivadas
En la definicion 14 si f A minusrarr es una funcion su funcion derivada f prime cuya regla de correspondencia es
f prime(x) = lımhrarr0
f (x + h) minus f (x)
h
tiene por dominio a Dom (f prime) = x isin A existe f prime(x) que generalmente esta contenido en A pudiendo ser
A = Dom (f prime) tal es el caso de la funcion f
minusrarr definida por f (x) = sin x donde f prime(x) = cos x para
todo x isin es decir Dom (f prime) = Sin embargo existen casos en el cual A sub Dom (f prime) y A = Dom (f prime) como
por ejemplo si f [0 +infin⟩ minusrarr definida por f (x) =
radic x donde f prime(x) =
1
2radic
x para todo x gt 0 es decir
Dom(f prime) = ⟨0 +infin⟩
A la funcion derivada de f tambien las denotaremos por df dx f (1) entonces con estas notaciones escribimos
f prime(x) = df
dx(x) f prime(x) = f (1)(x) en todo x isin Dom (f ) para los cuales existe f prime(x)
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La derivada de una funcion real de variable real
132 El operador d
dx
Cuando trabajamos con funciones derivables el proceso de derivacion es hallar la funcion derivada de cierta
funcion que evidentemente tendra otra regla de correspondencia para ellos empleamos el operador d
dx que
transforma la regla de correspondencia de una funcion f en la regla de correspondencia de su funcion derivada
es decir d
dx(f (x)852009 = f prime(x)
Ejemplo 14 Si f (x) = radic
x entonces d
dx
(f (x)
852009=
d
dx
(radic x852009
= 1
2radic
x para todo x gt 0
Empleando el teorema 12 y la definicion 14 es facil demostrar que d
dx es un operador lineal es decir
d
dx
852059f (x) + g(x)
852061=
d
dx
1048667f (x)
1048669+
d
dx
852059g(x)
852061 y
d
dx
1048667λf (x)
1048669= λ middot d
dx
852059f (x)
852061 donde λ isin
y que ademas
d
dx1048667f (x)g(x)1048669 =
d
dx852059f (x)852061 middot
g(x) + f (x)
middot
d
dx852059g(x)852061 y
d
dx1048667
f (x)
g(x)1048669 =
d
dx 852059f (x)
852061middot g(x) minus f (x) middot d
dx 852059g(x)
852061[g(x)]
2
En forma abreviada dado que d
dx
983080f (x)
983081= f prime(x)
1048667f (x) + g(x)
1048669prime
=852059
f (x)852061prime
+852059
g(x)852061prime
y852059
λf (x)852061prime
= λ852059
f (x)852061prime
donde λ isin
de manera similar1048667f (x)g(x)
1048669prime
=852059
f (x)852061prime
g(x) + f (x)852059
g(x)852061prime
y1048667f (x)
g(x)
1048669prime
=
852059f (x)
852061primeg(x) minus f (x)
852059g(x)
852061prime[g(x)]2
Ejemplo 15 En cada caso halle f prime(x) utilizando el operador d
dx
1 Sea f
minusrarr
definido por f (x) = sin(2x)minus
e3x emplearemos simultaneamente la regla de la cadena y
la tabla de derivadas para hallar f prime(x)
f (x) = sin(2x) minus e3x minusrarr d
dx[f (x)] =
d
dx[sin(2x) minus e3x]
minusrarr d
dx[f (x)] =
d
dx[sin(2x)] minus d
dx[e3x]
minusrarr d
dx[f (x)] = cos(2x)
d
dx[2x] minus e3x
d
dx[3x]
minusrarr d
dx[f (x)] = cos(2x) middot 2 minus e3x middot 3
there4 f prime(x) = 2 cos(2x) minus 3e3x para todo x isin
2 Sea f minusrarr definido por f (x) = x3
sin xe5x
emplearemos simultaneamente la regla de la cadena y la
tabla de derivadas para hallar f prime(x)
f (x) = x3 sin x
e5x minusrarr [f (x)]prime =
983131x3 sin x
e5x
983133prime
minusrarr f prime(x) = [x3 sin x]prime middot e5x minus x3 sin x middot [e5x]prime
[e5x]2
minusrarr f prime(x) =
983080[x3]prime sin x + x3[sin x]prime
983081middot e5x minus x3 sin x middot [e5x]prime
[e5x]2
minusrarr f prime(x) = 9830803x2 middot sin x + x3 middot cos x983081 middot e5x minus x3 sin x middot e5x middot [5x]prime
[e5x]2
minusrarr f prime(x) =
9830803x2 middot sin x + x3 middot cos x
983081middot e5x minus x3 sin x middot e5x middot 5
[e5x]2
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La derivada de una funcion real de variable real
Reduciendo y agrupando la expresion tenemos
f prime(x) = eminus5x983080
(3x2 minus 5x3)sin x + x3 cos x983081
para todo x isin
3 Sea f
minusrarr
definido por f (x) = (x4 + 2)4cos2x emplearemos simultaneamente la regla de la cadena
y la tabla de derivadas para hallar f prime(x)
f (x) = (x4 + 2)4cos2x minusrarr ln[f (x)] = ln1048667
(x4 + 2)4cos2x1048669
= 4cos 2x middot ln(x4 + 2)
luego derivando respecto a x
minusrarr f prime(x)
f (x) =
10486674cos2x middot ln(x4 + 2)
1048669prime
minusrarr f prime(x)
f (x) =
10486674cos2x
1048669prime
middot ln(x4 + 2) + 4 cos 2x middot1048667
ln(x4 + 2)1048669prime
minusrarr f prime(x)
f (x) = 4
1048667cos2x
1048669prime
middot ln(x4 + 2) + 4 cos 2x middot [x4 + 2]prime
x4 + 2
minusrarr f prime(x)
f (x) = 4(minus sin2x)[2x]prime
middot ln(x4
+ 2) + 4cos 2x middot [x4]prime + [2]prime
x4 + 2
minusrarr f prime(x)
f (x) = 4(minus sin2x)2 middot ln(x4 + 2) + 4cos 2x middot 4x3 + 0
x4 + 2
minusrarr f prime(x)
f (x) = minus8sin2x middot ln(x4 + 2) +
16x3
x4 + 2 middot cos2x
there4 f prime(x) = (x4 + 2)4cos2x983080
minus 8sin2x middot ln(x4 + 2) + 16x3
x4 + 2 middot cos2x
983081 para todo x isin
Observacion El operador d
dx es muy especıfico en el siguiente sentido Si u es una expresion que depende de
x es decir u = u(x) entonces ddx
[u] = ddx
[u(x)] = u prime(x) Sin embargo supongamos que W es una expresion
que no depende de la variable x entonces al hallar d
dx[W ] nos resultara ldquo0rdquo ya que el operador a la expresion
W lo interpreta como una constante
Es necesario especificar cuando utilizamos el operador d
dx que estamos derivando respecto a la variable
ldquoxrdquo solamente y no respecto a otra variable Es ası si utilizamos el operador d
dy estamos derivando respecto a
la variable ldquoyrdquo y si utilizamos el operador d
dt estamos derivando respecto a la variable ldquotrdquo ası sucesivamente
Ejemplo 16
1 Hallemos d
dx[u] si u = 5x + tan x
d
dx[u] =
d
dx[5x + tan x] =
d
dx[5x] +
d
dx[tan x] = 5
d
dx[x] + sec2 x = 5 + sec2 x
2 Hallemos d
dx[W ] si W = 5e5t+1 + tan(3x) donde t no depende de x
d
dx[W ] =
d
dx[5e5t+1 + tan(3x)] =
d
dx[5e5t+1] +
d
dx[tan(3x)] = 0 + sec2(3x)
d
dx[3x] = sec2(3x) middot 3
3 Hallemos d
dx[W ] si W = cos(5x + t) + ln(x2 + z) donde z y t no dependen de x
ddx
[W ] = ddx
1048667cos(5x + t) + ln(x2 + z)
1048669= minussin(5x + t) middot d
dx[5x + t] + 1
x2 + z middot d
dx[x2 + z]
=rArr d
dx[W ] = minussin(5x + t) middot (5 + 0) +
1
x2 + z middot (2x + 0) = minus5 sin(5x + t) +
2x
x2 + z
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La derivada de una funcion real de variable real
4 Si U solo depende de x entonces d
dy[U ] = 0
d
dx[U ] = U prime(x)
d
dt[U ] = 0 y
d
dz[U ] = 0
133 La segunda derivada
Definicion 17 Sea f una funciacute on derivable en a la segunda derivada de f en a es
f primeprime
(a) = lımxrarra
f prime(x)
minusf prime(a)
x minus a = lımhrarr0
f prime(a + h)
minusf prime(a)
h
si es que dicho l ımite existe La funciacute on segunda derivada de f denotada por f primeprime es definida por
f primeprime(x) = lımhrarr0
f prime(x + h) minus f prime(x)
h
Observaciones
1 La segunda derivada de f en un punto es la derivada de f prime en dicho punto
2 El dominio de f primeprime esta formado por todos los puntos ldquoxrdquo del dominio de f para los cuales existe f primeprime(x)
3 Los dominios de f f prime y f primeprime no siempre coinciden generalmente se tiene
Dom(f primeprime) sub Dom (f prime) sub Dom (f )
4 Si existe f primeprime(a) diremos que f es dos veces derivable en a
5 Si f no es derivable en a entonces no es dos veces derivable en a
6 Si f es dos veces derivable en a entonces es derivable en a
7 Si f es derivable en a no siempre es dos veces derivable en a
8 Si f es dos veces derivable en a entonces es continua en a
Ejemplo 17
1 Sea f [0 +infin⟩ minusrarr una funcion definida por f (x) =
radic x La funcion derivada de f sera f prime ⟨0 +infin⟩ minusrarr
cuya regla de correspondencia es f prime(x) = 1
2radic
x mientras que la funcion segunda derivada de f sera f primeprime
⟨0 +infin⟩ minusrarr
cuya regla de correspondencia es f primeprime(x) = minus1
4radic
x3
En este caso
Dom(f primeprime) sub Dom (f prime) sub Dom (f ) y Dom (f primeprime) = Dom (f prime) = Dom (f )
2 Sea f
minusrarr
una funcion definida por f (x) = x3 + sin x La funcion derivada de f sera f prime
minusrarr
cuya regla de correspondencia es f prime(x) = 3x2 +cos x y la funcion segunda derivada de f sera f primeprime
minusrarr
cuya regla de correspondencia es f primeprime(x) = 6x minus sin x
En este caso
Dom(f primeprime) = Dom(f prime) = Dom(f )
134 Derivada de ordenes mayores a dos
En forma analoga a la definicion 17 definimos la tercera derivada de la funcion f en el punto ldquoardquo por
f primeprimeprime(a) = lımxrarra
f primeprime(x) minus f primeprime(a)
x
minusa
= lımhrarr0
f primeprime(a + h) minus f primeprime(a)
h
si es que el l ımite existe y la funcion tercera derivada de f por
f primeprimeprime(x) = lımhrarr0
f primeprime(x + h) minus f primeprime(x)
h
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La derivada de una funcion real de variable real
La tercera derivada de f en a es la derivada de la segunda derivada de f en a y la funcion tercera derivada de
f es la funcion derivada de la funcion segunda derivada de f es decir f primeprimeprime = (f primeprime)prime
Ası llegarıamos a definir la nminusesima derivada de la funcion f en el punto ldquoardquo por
f (n)(a) = lımxrarr
a
f (nminus1)(x) minus f (nminus1)(a)
x minus a
= lımhrarr
0
f (nminus1)(a + h) minus f (nminus1)(a)
hsi es que el l ımite existe y la funcion nminusesima derivada de f por
f (n)(x) = lımhrarr0
f (nminus1)(x + h) minus f (nminus1)(x)
h
135 Notacion de derivadas de ordenes superiores
Generalizando el operador d
dx para derivadas de ordenes mayores a uno tenemos los siguientes operadores
1 El operador d
dx transforma a f (x) en f prime(x)
2 El operador d2
dx2 transforma a f (x) en f primeprime(x) y d2
dx2 = d
dx
983080 ddx
983081
3 El operador d3
dx3 transforma a f (x) en f primeprimeprime(x) y
d3
dx3 =
d
dx
983080 d2
dx2
983081=
d
dx
1048616 d
dx
983080 d
dx
9830811048617
4 El operador dn
dxn transforma a f (x) en f (n)(x) y
dn
dxn =
d
dx
983080 dnminus1
dxnminus1
983081=
d
dx
1048616 d
dx
983080 dnminus2
dxnminus2
9830811048617
Ejemplo 18 Sea f (x) = x5 + 2x2 entonces
1 d
dx1048667f (x)
1048669=
d
dx[x5 + 2x2] = 5x4 + 4x
2 d2
dx2
1048667f (x)
1048669=
d
dx
983131 d
dx
1048667f (x)
1048669983133=
d
dx[5x4 + 4x] = 20x3 + 4
3 d3
dx3
1048667f (x)
1048669=
d
dx
983131 d2
dx2
1048667f (x)
1048669983133=
d
dx[20x3 + 4] = 60x2
4 d4
dx4
1048667f (x)
1048669=
d
dx
983131 d3
dx3
1048667f (x)
1048669983133=
d
dx[60x2] = 120x
5 d5
dx5
1048667f (x)
1048669=
d
dx
983131 d4
dx4
1048667f (x)
1048669983133=
d
dx[120x] = 120
6
d6
dx61048667
f (x)1048669
=
d
dx983131 d5
dx51048667
f (x)1048669983133
=
d
dx [120] = 0 y
dn
dxn1048667
f (x)1048669
= 0 foralln ge 6
Ejercicio 3 Halle una facute ormula para expresar f (n)(x) si
1 f (x) = ex
2 f (x) = eax
3 f (x) = akx
4 f (x) = 1
(x minus a)k
5 f (x) = 1 minus x
1 + x
6 f (x) = 5x minus 2
x2 minus 4
7 f (x) = sin ax
8 f (x) = cos ax
9 f (x) = ln(a + bx)
10 f (x) = 1
x2 minus 3x + 2
11 f (x) = 8x minus 5
2x2 + x minus 6
12 f (x) = x ex
13 f (x) = 5x minus 1
x2 + x minus 12
14 f (x) = ex sin x
15 f (x) = sin2 x
16 f (x) = xnradic
x
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La derivada de una funcion real de variable real
14 Derivadas implıcitas
Sea F (x y) = C una ecuacion que contiene dos variables si en esta ecuacion no se ha despejado la variable
y diremos que y esta expresado en F (x y) = C de manera implıcita
Sea F U sub
2 minusrarr una funcion y f A sub
minusrarr una funcion cuya regla de correspondencia esta en
la forma implıcita en la ecuacionF (x y) = C donde y = f (x)
Las derivadas implıcitas permiten hallar f prime(x) sin necesidad de conocer la regla de correspondencia de f es
mas podemos hallar las derivadas de orden superior de f
Ejemplo 19 Si ldquo yrdquo es una expresiacute on que depende de ldquo xrdquo halle dy
dx
1 e5y = sin(x + y)
e5y = sin(x + y) minusrarr d
dx[e5y] =
d
dx[sin(x + y)]
minusrarr e5y ddx
[5y] = cos(x + y) ddx
[x + y]
minusrarr e5y middot 5 middot dy
dx = cos(x + y)(1 +
dy
dx)
minusrarr 5e5y middot dy
dx = cos(x + y)(1 +
dy
dx)
there4dy
dx =
cos(x + y)
5e5y minus cos(x + y)
2 x = ln(x3 + y)
x = ln(x3 + y) minusrarr
d
dx[x] =
d
dx1048667 ln(x3 + y)1048669
minusrarr 1 = 1
x3 + y middot d
dx[x3 + y]
minusrarr 1 = 1
x3 + y middot (3x2 +
dy
dx)
minusrarr dy
dx = x3 minus 3x2 + y
Derivando una vez mas respecto de x tenemos d
dx[
dy
dx] =
d
dx[x3 minus 3x2 + y] = 3x2 minus 6x +
dy
dx
=rArr d2y
dx2 = 3x2 minus 6x +
dy
dx = 3x2 minus 6x + x3 minus 3x2 + y = x3 minus 6x + y
there4dydx
= x3 minus 3x2 + y y d2ydx2
= x3 minus 6x + y
3 Halle dy
dx si exp
1048616860698 x +
radic y
x minus radic y
1048617+ ln
860698 x minus radic
y
x +radic
y = 8
4 Halle dy
dx si sin(xy) + cos(xy) = tan(x + y)
5 Halle dy
dx si x minus y = arcsin x minus arcsin y
6 Halle dy
dx
si 860698 y minus radic x
y + radic x + 860698 y +
radic x
y minus radic x =
5
2
7 Halle dy
dx si x2 minus a
radic xy + y2 = a2 a constante
8 Halle d2y
dx2 si x12 + y12 = 2 a constante
9 Halle d2y
dx2 si b2x2 minus a2y2 = a2b2 a b constantes
10 Halle d2y
dx2 si x23 + y23 = a23 a constante
11 Halle d2y
dx2
si 3x2
minus2xy + y2 = a2 a constante
12 En los ejercicios anteriores halle dx
dy si x = x(y)
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La derivada de una funcion real de variable real
141 Ecuaciones diferenciales ordinarias de lugares geometricos
Definicion 18 (Ecuacion diferencial) Una ecuaciacute on diferencial es aquella que contiene una o macute as fun-
ciones de una o macute as variables y algunas de sus derivadas respecto a sus variables independientes
Definicion 19 (Ecuacion diferencial ordinaria) Una ecuaciacute on diferencial ordinaria es aquella que con-
tiene una o macute as funciones de una variable y algunas de sus derivadas respecto a su variable independiente El
orden de esta ecuaciacute on diferencial ordinaria es el de la derivada de mayor orden contenida en ella
Ejemplo 110 La siguientes son ecuaciones diferenciales ordinarias
1 2yprimeprime + xyprime + y = sen x su orden es 2
2 yprimeprimeprime minus 2yprimeprime + 5yprime + y = ln x su orden es 3
3 xyprime + sen x = tan x su orden es 1
4 y(5) + y(4) + yprimeprimeprime + yprimeprime + yprime + y = 0 su orden es 5
5 2yprimeprime + xyprime + y3 = sen x su orden es 2
6 (yprimeprimeprime)2 minus 2(yprimeprime)7 + 5yprime + y = ln x su orden es
7 xyprime + sen x = tan y su orden es 3
8 y(5) + y(4) + yprimeprimeprime + (yprimeprime)4 + yprime + ln y = 0 su orden es 5
9 yy primeprime + x2y = x su orden es 2
Definicion 110 Un lugar geometrico del plano
2 es un conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen una
o macute as ecuaciones del tipo F (x y) = K
Ejemplo 111 La recta la circunferencia la paracute abola la elipse la hiperbola las graficas de funciones son
ejemplos de lugares geometricos
Definicion 111 La ecuaciacute on diferencial ordinaria de un lugar geometrico cuya ecuaciacute on es F (x y) = K es
aquella que se obtiene al derivar esta ecuaciacute on con respecto a una de sus variables
Teorema 18 Si un lugar geometrico cuya ecuaciacute on es F (x y) = K contiene n constantes independiente
entonces su ecuaciacute on diferencial ordinaria tendracute a orden n
Ejemplo 112 Halle la ecuaciacute on diferencial ordinaria de todas las circunferencias con centro el origen de
coordenadas
Solucion La ecuacion de esta familia de circunferencias es x2 + y2 = r2 y contiene una sola constante Al
derivar a ambos miembros respecto a x tenemos 2x + 2yyprime = 0 Por tanto la ecuacion diferencial ordinaria de
estas circunferencias sera
x + yy prime = 0 o yprime = minusy
x
Ejemplo 113 Halle la ecuaciacute on diferencial ordinaria de todas las rectas horizontales
Solucion La ecuacion de esta familia de rectas es y = K y contiene una sola constante Al derivar a ambos
miembros respecto a x tenemos y prime = 0 Por tanto la ecuacion diferencial ordinaria de estas rectas sera
yprime = 0
Ejemplo 114 Halle la ecuaciacute on diferencial ordinaria de todas las rectas con pendiente 2
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La derivada de una funcion real de variable real
Solucion La ecuacion de esta familia de rectas es y = 2x + K y contiene una sola constante Al derivar a
ambos miembros respecto a x tenemos y prime = 2 Por tanto la ecuacion diferencial ordinaria de estas rectas sera
yprime = 2
Ejemplo 115 Halle la ecuaciacute on diferencial ordinaria de todas las rectas que pasan por el origen de coordenadas
Solucion Solo consideraremos a las rectas no verticales que pasan por el origen La ecuaci on de esta familia
de rectas es y = Kx y contiene una sola constante entonces su ecuacion diferencial debe ser de orden uno
Al derivar a ambos miembros respecto a x tenemos yprime = K pero K = y
x Por tanto la ecuacion diferencial
ordinaria de estas rectas sera
yprime = y
x si x = 0 yprime = 0 si y = 0
Ejemplo 116 En los siguientes ejemplos dada una funciacute on obtener la ecuaciacute on diferencial de la cual es
soluciacute on
1 y = ceminus2x + x
El orden de la ecuacion diferencia buscada es 1 entonces derivando tenemos
yprime
= minus2ceminus
2x + 1 = minus2ceminus
2x + 1 + 2x minus 2x = minus2(ceminus
2x + x) + 1 + 2x = minus2y + 1 + 2x
there4dy
dx = 1 minus 2(y minus x) es la ecuacion diferencial buscada
2 y = C 1 sen 4x + C 2 cos 4x + x
El orden de la ecuacion diferencia buscada es 2 entonces derivando tenemos
yprime = 4C 1 cos 4x minus 4C 2 sen 4x + 1 yprimeprime = minus16C 1 sen 4x minus 16C 2 cos 4x
yprimeprime = minus16(C 1 sen 4x + C 2 cos 4x) = minus16(y minus x)
there4 yprimeprime + 16y minus 16x = 0 es la ecuacion diferencial buscada
3 y = ax3 + bx2 + cx
El orden de la ecuacion diferencia buscada es 3 entonces derivando tenemos
yprime = 3ax2 + 2bx + c yprimeprime = 6ax + 2b yprimeprimeprime = 6a Reemplazando en la ecuacion a b y c
y = yprimeprimeprime
6 x3 +
1
2
983080yprimeprime minus yprimeprimeprimex
983081x2 +
983080yprime minus yprimeprime
2 minus yprimeprimeprimex
983081x
there4 11x3yprimeprimeprime minus 3x2yprimeprime + 6xyprime + 6y = 0 es la ecuacion diferencial buscada
4 Hallar la ecuacion diferencial de la familia de circunferencias de radio 1 con centro en la recta bisectriz del
primer y tercer cuadrante
Solucion
x
y
y = x
h
h1
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La derivada de una funcion real de variable real
La ecuacion de la familia de circunferencias es (x minus h)2 + (y minus h)2 = 1 en ella solo figura una constante
entonces el orden de la ecuacion diferencia buscada es 1
Derivando respecto a x tenemos 2(x minus h) + 2(y minus h)yprime = 0 =rArr x minus h + yy prime minus hyprime = 0
=rArr h(1 + yprime) = x + yy prime =rArr h = x + yy prime
yprime + 1
Reemplazando en la ecuacion de las circunferencias
1048616x minus
x + yy prime
yprime + 110486172
+1048616
y minus x + yy prime
yprime + 110486172
= 1
=rArr (x(yprime + 1) minus x minus yy prime
8520092+(
yy prime + y minus x minus yy prime8520092
= (yprime + 1)2
=rArr (xyprime minus yy prime
8520092+(
y minus x8520092
= (yprime + 1)2
=rArr (yprime)2(x minus y)2 + (x minus y)2 = (yprime + 1)2
=rArr (x minus y)2(
(yprime)2 + 1852009
= (yprime + 1)2 es la ecuacion diferencial buscada
5 Formular la ecuacion diferencial que representa a todas las tangentes no verticales de la par abola y2 = 2x
Solucion
x
y
a
b
L
y = 2 x 2
La ecuacion de la recta tangente L a la parabola en el punto (a b) es
L y minus b = m(x minus a) Hallando la pendiente m derivando L y prime = m Por otro lado derivando la ecuacion
de la parabola tenemos 2yyprime = 2 =rArr y prime = 1
y cuyo significado es y prime(x) =
1
y(x) para x gt 0
En el punto (a b) de la parabola se tiene yprime(a) = 1
y(a) =
1
b = m Ademas como (a b) es un punto de la
parabola se tiene b2 = 2a =rArr a = b2
2 Luego en la ecuacion de la tangente
y minus b = 1b
1048616x minus b
2
2
1048617 =rArr yb minus b2 = x minus b
2
2
=rArr y = x
b +
b
2 pero b =
1
yprime
=rArr y = xy prime + 1
2yprime
=rArr 2y(yprime)2 minus 2xyprime + 1 = 0 es la ecuacion diferencial buscada
6 y2 = 4ax
Primero tenemos a = y2
4x el cual se utilizara luego Derivando la ecuacion original tenemos 2yyprime = 4a
=rArr 2yyprime
= 41048616 y2
4x1048617
= y2
x =rArr 2xyyprime
= y2 =rArr 2xyprime
= y si y = 0 =rArr 2x dy
dx minus y = 0
Por lo tanto 2x dy
dx minus y = 0 es la ecuacion diferencial buscada
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7 y = C 1 sen 4x + C 2 cos 4x + x
Solucion
yprime = 4C 1 cos 4x minus 4C 2 sen 4x + 1 yprimeprime = minus16C 1 sen 4x minus 16C 2 cos 4x de la segunda derivada tenemos
minusyprimeprime
16 = C 1 sen 4x + C 2 cos 4x = y minus x luego minus(16)minus1yprimeprime = y minus x =rArr minusyprimeprime = 16y minus 16x
Por lo tanto yprimeprime = 16(xminus
y) es ecuacion diferencial buscada
8 I = teminust + eminust + 2sen 3t
Solucion En esta parte I es una funcion que depende de t y las derivadas seran respecto a t
I prime = eminust minus teminust minus eminust + 6cos 6t Pero teminust + eminust = I minus 2sen3t
=rArr I prime = eminust minus I + 2sen 3t + 6cos 3t =rArr I primeprime = minuseminust minus I prime minus 6cos3t minus 18sen3t
sumando las dos ultimas ecuaciones I prime + I primeprime = minusI minus I prime minus 16sen3t de donde I primeprime + 2I prime + I = minus16sen3t
9 x2 minus ay2 = 1
Solucion
Derivando 2x minus 2ay dy
dx = 0 =rArr y prime =
dy
dx =
minus2x
minus2ay
=rArr a = x
yy prime reemplazando en la ecuacion original
x2 minus x
yyprimey2 = 1 =rArr x2yyprime minus yyprime minus xy2 = 0
=rArr (x2 minus 1)yprime = xy
=rArr yprime = xy
x2 + 1 es la ecuacion diferencial buscada
10 x2 + y2 minus cx = 0
Derivando 2x + 2yyprime = c
Reemplazando en la ecuacion original x2 + y2 minus (2x + 2yy prime)x = 0
=
rArr yprime =
x2 minus y2
2xy
es la ecuacion diferencial buscada
11 Hallar la ecuacion diferencial de cada uno de las siguientes familias de curvas
a) y = x sen(x + c) Rta (xyprime minus y)2 = x2(x2 minus y2)
b) Todos los cırculos que pasan por (1 0) y (minus1 0) Rta 2xy = (x2 minus y2 minus 1)yprime
c) Todos los cırculos con centro en la recta y = x que son tangentes a ambos ejes
Rta (x minus y)2(1 + yprime)2 = (x + yy prime)2
d) Todas las rectas tangentes a la parabola x2 = 4y
Sugerencia La pendiente de la recta tangente en (2a a2) es a Rta y + yprime = xy prime
e) Todas las rectas tangentes al cırculo unidad x2
+ y2
= 1 Rta (y minus xyprime
)2
= 1 minus (yprime
)2
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La derivada de una funcion real de variable real
Definicion 112 Sea la ecuaciacute on diferencial ordinaria lineal de orden n
any(n) + middot middot middot + a2y primeprime + a1y prime + a0 = b
La funciacute on f A minusrarr
es una de sus soluciones si para todo x isin A
anf (n)(x) + middot middot middot + a2f primeprime(x) + a1f prime(x) + a0 = b
Ejercicio 4 Demuestre que la funciacute on f
minusrarr definida por f (x) = sin x es una soluciacute on de la ecuaciacute on
diferencial y primeprime + y = 0
Solucion Lo unico que debemos hacer es derivar a f dos veces y sumar los resultados
f (x) = sin x minusrarr f prime(x) = cos x minusrarr f primeprime(x) = minus sin x sumando f primeprime(x) + f (x) = 0 por lo tanto f
es una solucion de la ecuacion diferencial y primeprime + y = 0
Ejercicio 5 Demuestre que la funciacute on f
minusrarr
definida por f (x) = 8ex+xex es una soluciacute on de la ecuaciacute on
diferencial yprimeprime minus 2yprime + y = 0
Solucion Derivemos a f hasta dos veces y reemplacemos en el primer miembro de la ecuacion diferencial Siresulta cero tal reemplazo entonces la funcion f es una solucion de tal ecuacion diferencial
f (x) = 8ex + xex =rArr f prime(x) = [8ex] prime + [xex] prime = 8ex + [x]primeex + x[ex] prime = 8ex + ex + xex = 9ex + xex
=rArr f primeprime(x) = [9ex] prime + [xex] prime = 9ex + [x]primeex + x[ex] prime = 9ex + ex + xex = 10ex + xex
Reemplazemos en el primer miembro de la ecuacion diferencial
f primeprime(x) minus 2f prime(x) + f (x) =1048667
10ex + xex1048669minus 2
10486679ex + xex
1048669+1048667
8ex + xex1048669
= 10ex + xex minus 18ex minus 2xex + 8ex + xex
= [10
minus18 + 8]ex + [1
minus2 + 1]xex
= 0
Dado que resulta f primeprime(x)minus2f prime(x)+f (x) = 0 entonces f (x) = 8ex+xex es una solucion de la ecuacion diferencial
ordinaria y primeprime minus 2yprime + y = 0
Ejercicio 6 Demuestre o descarte las siguientes afirmaciones
1 x + y2 = K describe la soluciacute on general de las ecuaciones diferenciales dy
dx = minus 1
2y 2yyprime + 1 = 0
2 y = K ex es la soluciacute on general de la ecuaciacute on diferencial yprime minus y = 0
3 y = sin x
x
es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial xyprime + y = cos x
4 y = 1
cos x es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial yprime minus y tan x = 0
5 y = 2xradic
1 minus x2 es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial yy prime = 4x minus 8x3
6 y = x
cos x es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial xyprime minus y = x2 tan x sec x
7 y = ex(x + 1) es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial yprimeprime minus 2yprime + y = 0
8 y = ln(x + c) + 2 es la soluciacute on general de la ecuaciacute on diferencial yprimeeyminus2 minus 1 = 0
9 y = sen3 x es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial yprimeprime + (tan x minus 2cot x)yprime = 0
10 y = arcsin(xy) describe una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial xyprime + y = yradic
1 minus x2y2
11 y = c1eminusx + c2ex + c3eminus2x + c4e2x es soluciacute on general de la ecuaciacute on diferencial y(iv) minus 5yprimeprime + 4y = 0
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La derivada de una funcion real de variable real
15 Funciones derivables
151 Funciones derivables en un intervalo
Sin ser redundantes presentamos a los intervalos de
1 [a b] = x isin
a le x le b
2 ⟨a b⟩ = x isin
a lt x lt b
3 ⟨a b] = x isin
a lt x le b
4 [a b⟩ = x isin
a le x lt b
5 ⟨minusinfin b⟩ = x isin 1048623x lt b
6 ⟨minusinfin b] = x isin
1048623x le b
7 ⟨a +infin⟩ = x isin
1048623a lt x
8 [a +infin⟩ = x isin
1048623a le x
9 ⟨minusinfin +infin⟩ =
y
10 [a a] = a
Los cuatro primeros y el ultimo son los intervalos limitados los cinco siguientes son intervalos ilimitados el
ultimo se denomina un intervalo degenerado desde el segundo hasta el cuarto intervalo a lt b
Definicion 113 Sea la funciacute on f I minusrarr donde I es un intervalo de
1 La funciacute on f ⟨a b⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨a b⟩ si lo es en cada punto de ⟨a b⟩
2 La funciacute on f ⟨minusinfin b⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨minusinfin b⟩ si lo es en cada punto de ⟨minusinfin b⟩
3 La funciacute on f ⟨a +infin⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨a +infin⟩ si lo es en cada punto de ⟨a +infin⟩
4 La funciacute on f [a b⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo [a b⟩ si existe un intervalo abierto del tipo ⟨ p q ⟩ que
contiene a [a b⟩ tal que f sea derivable sobre ⟨ p q ⟩
5 La funciacute on f ⟨a b] minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨a b] si existe un intervalo abierto del tipo ⟨ p q ⟩ que
contiene a ⟨a b] tal que f sea derivable sobre ⟨ p q ⟩
6 La funciacute on f [a +infin⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo [a +infin⟩ si existe un intervalo abierto del tipo⟨ p +infin⟩ que contiene a [a +infin⟩ tal que f sea derivable sobre ⟨ p +infin⟩
7 La funciacute on f ⟨minusinfin b] minusrarr es derivable en el intervalo ⟨minusinfin b] si existe un intervalo abierto del tipo
⟨minusinfin q ⟩ que contiene a ⟨minusinfin b] tal que f sea derivable sobre ⟨minusinfin q ⟩
8 La funcion f [a b] minusrarr es derivable en el intervalo [a b] si existe un intervalo abierto del tipo ⟨ p q ⟩ que
contiene a [a b] tal que f sea derivable sobre ⟨ p q ⟩
Observaciones
1 La funcion f [a b
⟩ minusrarr es derivable en el intervalo [a b
⟩ si y solo si es derivable en cada punto de
⟨a b
⟩y existe f prime+(a)
2 La funcion f [a +infin⟩ minusrarr es derivable en el intervalo [a +infin⟩ si y solo si es derivable en cada punto de
⟨a +infin⟩ y existe f prime+(a)
3 La funcion f ⟨a b] minusrarr es derivable en el intervalo ⟨a b] si y solo si es derivable en cada punto de ⟨a b⟩
y existe f primeminus
(b)
4 La funcion f ⟨minusinfin b] minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨minusinfin b] si y solo si es derivable en cada punto de
⟨minusinfin b⟩ y existe f primeminus
(b)
5 La funcion f [a b] minusrarr
es derivable en el intervalo [a b] si y solo si es derivable en cada punto de ⟨a b⟩y existen f prime+(a) y f prime
minus(b)
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La derivada de una funcion real de variable real
6 Sea I un intervalo abierto Si la funcion f I minusrarr es derivable su funcion derivada f prime I minusrarr tendra el
mismo dominio que f
7 Sea I un intervalo abierto Si la funcion f I minusrarr
es k veces derivable su funcion kndashesima derivada
f (k) I minusrarr
tendra el mismo dominio que f
8 Sea I un intervalo no abierto Si la funcion f I minusrarr
es derivable su funcion derivada f prime J minusrarr
tendra como dominio al interior de I
152 Funciones de clase C k
Sea I un intervalo de
Si la funcion f I minusrarr
es derivable en I entonces es continua en I pero
posiblemente la funcion derivada f prime J minusrarr
no sea continua en I J = int (I )
Definicion 114 Sea I un intervalo de Si la funcion f I minusrarr es continua en I diremos que ldquo f rdquo es una
funciacute on de clase cero C 0 sobre I
⋆ Si ldquof rdquo es una funcion de clase C 0 sobre I lo denotamos por f
isin C 0(I )
Definicion 115 Sea I un intervalo abierto de
Si la funciacute on f I minusrarr
es derivable en I y la funciacute on
f prime I minusrarr es continua en I diremos que f es continuamente derivable en I o simplemente la funciacute on ldquo f rdquo es
de clase C 1 sobre I
⋆ Si ldquof rdquo es una funcion de clase C 1 sobre I lo denotamos por f isin C 1(I )
Definicion 116 Sea I un intervalo abierto de
La funcion f I minusrarr
es de clase C k sobre el intervalo I
si es k veces derivable sobre I y la funciacute on f (k) I minusrarr
es continua en I
⋆ Si ldquof rdquo es una funcion de clase C k sobre I lo denotamos por f
isin C k(I )
Definicion 117 Sea I un intervalo abierto de La funciacute on f I minusrarr es de clase C infin sobre el intervalo I
si existe f (n) para todo n isin 0 1 2 middot middot middot
⋆ Si ldquof rdquo es una funcion de clase C infin sobre I lo denotamos por f isin C infin(I )
Ejemplo 117
1 La funcion f
minusrarr
definida por f (x) = ex es de clase C infin sobre
Con la notaciones presentadas
tenemos la pertenencia f isin C infin(
)
2 La funcion f minusrarr
definida por f (x) = p(x) donde p(x) es un polinomio es de clase C infin
sobre
Conla notaciones presentadas tenemos la pertenencia f isin C infin( )
3 La funcion f [0 +infin⟩ minusrarr definida por f (x) =
radic x es de clase C infin sobre ⟨0 +infin⟩ Con la notaciones
presentadas tenemos la pertenencia f isin C infin983080
[0 +infin⟩983081
153 Funciones no derivables
Sea f una funcion cuyo dominio sea el conjunto A sub
Si f es derivable en el punto a isin A entonces la
grafica de f en su punto (a f (a)) tiene una unica recta tangente La idea de recta tangente en este caso no es
la misma que usted tiene a cerca de una recta tangente a una circunferencia en donde ellos tienen un unico
punto en comun es decir si la recta L es tangente a la circunferencia C entonces L y C tienen un unico punto
en comun llamado punto de tangencia Mientras que si L es una recta tangente a la grafica de la funcion f
es posible que ellos tengan otro punto en comun a parte del punto de tangencia la idea de tangencia que se
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La derivada de una funcion real de variable real
expone es local y no global en el sentido de que si L es una recta tangente a la grafica de la funcion f el punto
de tangencia es unico cerca de el especıficamente La recta L es una tangente a la grafica de la funcion f en su
punto (a f (a)) si existe un cırculo de centro (a f (a)) dentro del cual L y la grafica de la funcion f tienen un
unico punto en comun y los puntos de la grafica de f que pertenecen al cırculo estan a un solo lado de L Y si
ademas la funcion f es derivable en a la pendiente de L es f prime(a)
X
Y
L L L
y f x ( )=a
X
Y
L L L
y f x ( )=a
Si una funcion f es continua en un punto a no siempre sera derivable en dicho punto existe la posibilidad de
que lo sea como tambien que no como por ejemplo
La funcion f ⟨0 2⟩ minusrarr
definida por f (x) =
983163 2x si 0 lt x lt 1
2 si 1 le x lt 2es continua en el punto a = 1 pero
no es derivable en dicho punto pues no existe f prime(1) La existencia de la derivada f prime(1) implica que la grafica
de la funcion f tiene una unica recta tangente en el punto (1 f (1)) la no existencia de f prime(1) implica que la
grafica de la funcion f tiene una varias rectas en ese punto o no en este ejemplo como veremos gr aficamente
la funcion f posee varia rectas tangentes en su punto (1 f (1))
X
Y
y f x ( )=
1 2
X
Y
L L L
y x 2=
y x 3=
1
2
3
Grafico de f (x) =983163 2x si 0 lt x lt 1
2 si 1 le x lt 2 Grafico de f (x) =
x2 si
minus1 lt x lt 1
2x3
3 si 1 le x lt 2
Si una funcion f es derivable en un punto a entonces por el teorema 17 sera continua en dicho punto por
ejemplo la funcion f ⟨0 2⟩ minusrarr
f (x) =
x2 si minus1 lt x lt 1
2x3
3 si 1 le x lt 2
es derivable en a = 1 mas aun es
continua en dicho punto Es mas la grafica de f tiene una unica recta tangente en su punto (1 f (1))
De acuerdo al teorema 16 una funcion es no derivable en el punto ldquoardquo si f primeminus
(a) = f prime+(a) o una de la
derivadas laterales f primeminus
(a) f prime+(a) no existe Y de acuerdo al teorema 17 si f no es continua en el punto ldquoardquo
entonces no es derivable en ese punto
Los siguientes son ejemplos graficos de funciones no derivables en un punto
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La derivada de una funcion real de variable real
X X
Y Y
a a b
y f x = ( ) y f x = ( )
f a f a bno es derivable en no es derivable en y
f a
f b
es derivable en por derecha
es derivable en por izquierda
2 Teoremas sobre funciones derivables
21 Extremos relativos de una funcion
Definicion 21 Sean empty = X sub
y m isin
Diremos que ldquo mrdquo es el mınimo del conjunto X si m isin X y m le x
para todo x isin X
Definicion 22 Sean empty = X sub
y M isin
Diremos que ldquo M rdquo es el macute aximo del conjunto X si M isin X y
M ge x para todo x isin X
Observaciones
1 No todo subconjunto no vacıo de
posee maximo yo mınimo
2 Si un subconjunto no vacıo de
posee maximo yo mınimo este es unico y ademas es uno de los elementos
del conjunto
3 Si ldquomrdquo es el mınimo del conjunto X entonces lo denotamos por m = mın X
4 Si ldquoM rdquo es el maximo del conjunto X entonces lo denotamos por M = max X
5 Si m = mın X y M = max X entonces m le M y ademas m le x le M para todo x isin X
Ejemplo 21
1 El conjunto de los numeros naturales posee mınimo y es 1 es decir 1 = mın pero no posee maximo
2 El conjunto
el de los numeros enteros no posee ni maximo ni mınimo El conjunto
el de los numeros
racionales no posee ni maximo ni mınimo
3 Veamos algunos intervalos
a) Los intervalos ⟨a b⟩ ⟨a b] ⟨a +infin⟩ no poseen mınimo
b) Los intervalos ⟨a b⟩ [a b⟩ ⟨minusinfin b⟩ no poseen maximo
c) a = mın[a b] a = mın[a b⟩ a = mın[a +infin⟩
d) b = max[a b] b = max⟨a b] b = max⟨minusinfin b]
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La derivada de una funcion real de variable real
Definicion 23 Sean empty = A sub f A minusrarr una funciacute on y x0 isin A
1 La funciacute on ldquo f rdquo tiene un mınimo absoluto en x0 si f (x0) le f (x) para todo x isin A
2 La funciacute on ldquo f rdquo tiene un macute aximo absoluto en x0 si f (x) le f (x0) para todo x isin A
3 La funci on ldquo f rdquo tiene un mınimo relativo en x0 si existe un δ gt 0 tal que f (x0) le f (x) para todo
x isin A cap ⟨x0 minus δ x0 + δ ⟩
4 La funci on ldquo f rdquo tiene un macute aximo relativo en x0 si existe un δ gt 0 tal que f (x) le f (x0) para todo
x isin A cap ⟨x0 minus δ x0 + δ ⟩
Observaciones Sean empty = A sub
f A minusrarr
una funcion y x0 isin A
1 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo relativo en x0 diremos tambien que f tiene un mınimo local en x0
2 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo relativo en x0 diremos tambien que f tiene un maximo local en x0
3 La funcion ldquof rdquo tiene un extremo absoluto en x0 si tiene un mınimo o maximo absoluto en dicho punto
4 La funcion ldquof rdquo tiene un extremo relativo en x0 si tiene un mınimo o maximo relativo en dicho punto
5 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo absoluto en x0 entonces f (x0) es el mınimo del rango de la funcion es
decir
f (x0) = mın Ran (f )
Al numero f (x0) lo denominaremos el valor mınimo de f en su dominio
6 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo absoluto en x0 entonces f (x0) es el maximo del rango de la funcion es
decir
f (x0) = max Ran (f )
Al numero f (x0) lo denominaremos el valor maximo de f en su dominio
7 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo relativo en x0 entonces f no siempre tendra un mınimo absoluto en x0
Una funcion puede poseer un mınimo relativo sin tener un mınimo absoluto
8 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo relativo en x0 entonces f no siempre tendra un maximo absoluto en
x0 Una funcion puede poseer un maximo relativo sin tener un maximo absoluto
9 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo absoluto en x0 entonces f tiene un mınimo relativo en dicho punto Lo
contrario no siempre es cierto
En la figura la funcion f minusrarr tiene maximo
relativo en x = 0 pero no posee maximo absolutoen su dominio
En la figura la funcion g minusrarr tiene mınimo
relativo en x = 0 pero no posee mınimo absolutoen su dominio
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La derivada de una funcion real de variable real
10 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo absoluto en x0 entonces f tiene un maximo relativo en dicho punto Lo
contrario no siempre es cierto
11 Una funcion puede tener extremos absolutos en mas de un punto vea el siguiente grafico
En la figura la funcion f
minusrarr
tiene mınimo
absoluto en dos puntos diferentes
En la figura la funcion g
minusrarr
tiene maximo
absoluto en dos puntos diferentes
12 La funcion ldquof rdquo tiene un extremo en el punto x0 si tiene un maximo o mınimo absoluto o relativo en dicho
punto
Y Y
X X
figura (a) figura (b)
x x x x 0 1 2 3 4 5 6x x x x x x x x x x 0 1 2 3 4 5 6
y f x = ( )
y f x = ( )
En la figura (a) Dom(f ) = [x0 x6] la funcion tiene
un mınimo absoluto en el punto x2 y maximo absolu-
to en el punto x5 mientras que tiene mınimo relativo
en los puntos x0 x2 x4 y x6 y maximo relativo en
los puntos x1 x3 y x5
En la figura (b) Dom (f ) = [x0 x6⟩minusx3 la funcion
no tiene mınimo absoluto ni maximo absoluto mien-
tras que tiene mınimo relativo en los puntos x0 x2 y
x4 y maximo relativo en los puntos x1 y x5
Teorema 21 Si la funcion f tiene un extremo en x0 y f prime(x0) existe entonces f prime(x0) = 0
Observaciones
1 Lo contrario no siempre es cierto es decir si f prime(x0) = 0 entonces f no siempre tendra un extremo en x0
Un ejemplo simple es para f (x) = (x minus 2)3 en x0 = 2
2 Si la funcion f tiene un extremo en x0 y f prime
(x0) existe entonces la recta tangente a la grafica de la funcionen el punto
(x0 f (x0)
852009 en horizontal
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La derivada de una funcion real de variable real
3 Si la funcion f tiene un extremo en x0 y f prime(x0) no existe entonces o bien no existe recta tangente a la
grafica de la funcion en el punto(
x0 f (x0)852009
o existen infinitas rectas tangente a la grafica de la funcion en
el punto(
x0 f (x0)852009
pudiendo ser una de ellas una recta vertical
En la figura la funcion f
minusrarr
tiene un extremo
en x = 0 pero f prime(0) no existe ademas la grafica de
esta funcion posee infinitas rectas tangente en el pun-
to(
0 f (0)852009
En la figura la funcion g
minusrarr
tiene extremo en
los puntos x0 x1 existen g prime(x0) g prime(x1) y las rectas
tangente en(
x0 g(x0)852009
y(
x1 g(x1)852009
son horizontales
22 El teorema del valor medio
Teorema 22 (Teorema de Rolle) Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si f es continua en [a b] es derivable en
⟨a b⟩ y f (a) = f (b) entonces existe un c isin ⟨a b⟩ tal que f prime(c) = 0
Observaciones
1 Si la funcion f satisface las hipotesis del teorema de Rolle la existencia del punto c tales que f prime(c) = 0 no
siempre es unica pueden existir otros puntos del intervalo ⟨a b⟩ cuya primera derivada en esos puntos sea
cero
2 La condicion f (a) = f (b) indica que la recta que pasa por los puntos(
a f (a)852009
y(
b f (b)852009
es horizontal El
teorema garantiza la existencia de al menos un punto c isin ⟨a b⟩ tal que la recta tangente a la grafica de la
funcion f el punto(
c f (c)852009
tambien sea horizontal
X X
Y Y
y=f x( )
y=f x( )
figura (a) figura (b)
a c c b1 3 a b
c2
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La derivada de una funcion real de variable real
En la figura (a) la funcion f satisface las hipotesis del
teorema de Rolle por tanto en este caso existen pun-
tos c1 c2 y c3 del intervalo ⟨a b⟩ tal que f prime(c1) = 0
f prime(c2) = 0 y f prime(c3) = 0
En la figura (b) la funcion f no satisface las hipotesis
del teorema de Rolle en tanto no se garantiza la exis-
tencia de puntos del intervalo ⟨a b⟩ tal que la primera
derivada de f en esos puntos sea cero
Teorema 23 (El teorema del valor medio de Lagrange) Sea la funciacute on f [a b]
minusrarr
Si f es continua
en [a b] es derivable en ⟨a b⟩ entonces existe un c isin ⟨a b⟩ tal que
f prime(c) = f (b) minus f (a)
b minus a
Observaciones
1 Si la funcion f satisface las hipotesis del teorema del valor medio de Lagrange la existencia del punto c tales
que f prime(c) = f (b) minus f (a)
b minus a no siempre es unica pueden existir otros puntos del intervalo ⟨a b⟩ cuya primera
derivada en esos puntos sea igual a f (b) minus f (a)
b minus a
2 Sea L la recta que pasa por los puntos(
a f (a)852009
y(
b f (b)852009
el teorema garantiza la existencia de al menosun punto c isin ⟨a b⟩ tal que la recta tangente a la grafica de la funcion f el punto
(c f (c)
852009 sea paralela a L
Y Y
X X
y = f x ( ) y = f x ( )
f a ( )
f a ( )
f b( )
f b( )
figura (a) figura (b)
a c b1 b
c 2 a
L L L
L L L
En la figura (a) la funcion f satisface las hipotesis del
teorema de Lagrange por tanto en este caso existen
puntos c1 y c2 del intervalo ⟨a b⟩ tal que
f prime(c1) = f (b) minus f (a)
b minus a y f prime(c2) =
f (b) minus f (a)
b minus a
En la figura (b) la funcion f no satisface las hipotesis
del teorema de Lagrange en tanto no se garantiza
la existencia de puntos del intervalo ⟨a b⟩ tal que laprimera derivada en ese punto sea igual a
f (b) minus f (a)
b minus a
Teorema 24 (El teorema generalizado del valor medio de Cauchy) Sean las funciones f [a b] minusrarr
y g [a b] minusrarr
continuas en [a b] y derivables en ⟨a b⟩ con g(b) = g(a) y g prime(x) = 0 para todo x isin ⟨a b⟩
entonces existe un c isin ⟨a b⟩ tal que f prime(c)
g prime(c) =
f (b) minus f (a)
g(b) minus g(a)
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La derivada de una funcion real de variable real
23 Funciones crecientes y decrecientes
Definicion 24 (Funcion creciente) Sean empty = A sub
y la funciacute on f A minusrarr
Diremos que la funciacute on f
es creciente o estrictamente creciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) lt f (x2)
Definicion 25 (Funcion decreciente) Sean empty = A sub
y la funci on f A minusrarr
Diremos que la funcion f
es decreciente o estrictamente decreciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) gt f (x2)
Y Y
X X
f x ( )1
f x ( )1
x 1
x 1x 2
x 2
f x ( )2
f x ( )2
Graacutefico de una funcioacutenestrictamente creciente
Graacutefico de una funcioacutenestrictamente decreciente
Definicion 26 (Funcion no creciente) Sean empty = A sub y la funci on f A minusrarr
Diremos que la funciacute on
f es no creciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) ge f (x2)
Definicion 27 (Funcion no decreciente) Sean empty = A sub y la funciacute on f A minusrarr
Diremos que la
funciacute on f es no decreciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) le f (x2)
Y Y
X X
x 1 x 2 x 1 x 2
Graacutefico de una funcioacuten
no decreciente
Graacutefico de una funcioacuten
no creciente
Definicion 28 (Funcion monotona) Sean empty = A sub
y la funci on f A minusrarr
Diremos que la funciacute on f
es monacute otona sobre A si es creciente o decreciente o no creciente o no decreciente sobre A
Observaciones
1 Para definir funciones monotonas (crecientes decrecientes no crecientes o no decrecientes) no es necesario
saber la continuidad y la derivabilidad de la funcion en su dominio
2 Existen funciones monotonas que no son derivables yo continuas en su dominio
Teorema 25 Sean empty = A sub y la funciacute on f A minusrarr Si la funciacute on f es estrictamente creciente sobre A
entonces f es una funciacute on inyectiva y su funcion inversa f lowast tambien es estrictamente creciente sobre Ran(f )
Teorema 26 Sean empty = A sub
y la funci on f A minusrarr
Si la funci on f es estrictamente decreciente sobre A
entonces f es una funciacute on inyectiva y su funciacute on inversa f lowast tambien es estrictamente decreciente sobre Ran(f )
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La derivada de una funcion real de variable real
Y Y
X X
f
f
f
f
Teorema 27 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr
Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩
con f
prime
(x) gt 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es estrictamente creciente sobre [a b]
Teorema 28 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩
con f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es estrictamente decreciente sobre [a b]
X X
a
a b
b
Observaciones
1 Del teorema 27 si la pendiente de todas las rectas tangente a la grafica de la funcion sobre ⟨a b⟩ es positiva
entonces la funcion es estrictamente creciente sobre [a b]
2 Del teorema 28 si la pendiente de todas las rectas tangente a la grafica de la funcion sobre ⟨a b⟩ es negativa
entonces la funcion es estrictamente decreciente sobre [a b]
Teorema 29 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr
Si la funcion f es continua sobre [a b] y es inyectiva en [a b]
entonces f es estrictamente creciente o estrictamente decreciente sobre [a b] pero no ambos
X X
a
a b
b
f ab
ab
es continua e inyectiva sobre [ ]en este caso es creciente sobre [ ]
f ab
ab
es continua e inyectiva sobre [ ]en este caso es decreciente sobre [ ]
f f
Teorema 210 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funciacute on f es continua y estrictamente creciente sobre
[a b] entonces Ran(f ) =1048667
f (a) f (b)1048669
y su funciacute on inversa f lowast 1048667
f (a) f (b)1048669 minusrarr
es tambien continua y
estrictamente creciente sobre [a b]
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La derivada de una funcion real de variable real
Teorema 211 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funcion f es continua y estrictamente decreciente sobre
[a b] entonces Ran(f ) =1048667
f (b) f (a)1048669
y su funciacute on inversa f lowast 1048667
f (b) f (a)1048669 minusrarr
es tambien continua y
estrictamente decreciente sobre [a b]
Teorema 212 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre
⟨a b⟩ con f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es no decreciente sobre [a b]
Teorema 213 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre
⟨a b⟩ con f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es no creciente sobre [a b]
Teorema 214 (de la funcion constante) Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre
[a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩ con f prime(x) = 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es constante sobre [a b] es decir
existe una constante C tal que f (x) = C para todo [a b]
Teorema 215 (de la diferencia constante) Sean las funciones f [a b] minusrarr
y f [a b] minusrarr
Si las
funciones f y g son continuas sobre [a b] y es derivables sobre ⟨a b⟩ con f prime(x) = g prime(x) para todo x isin ⟨a b⟩entonces existe una constante C tal que f (x) = g(x) + C para todo [a b]
Definicion 29 (Punto crıtico) Sean I un intervalo de
x0 un punto de I y la funciacute on f I minusrarr
El
punto x0 es un punto crıtico de la funciacute on f I minusrarr si x0 satisface alguna de las siguientes condiciones
a) f prime(x0) = 0 o b) f prime(x0) = 0 no existe o c) f tiene un extremo en x0
Observaciones
1 Si x0 es un punto crıtico de la funcion f no podemos concluir con certeza una de las condiciones mencionadas
2 Si x0 es un punto crıtico de la funcion f y f prime(x0) = 0 no podemos concluir con certeza que f tiene un
extremo en dicho punto
Por ejemplo sea la funcion f [1 3] minusrarr definida
por f (x) = (x minus 2)3 cuya funcion derivada es
f prime ⟨1 3⟩ minusrarr
983087 f prime(x) = 3(x minus 2)2
En x0 = 2 tenemos f prime(x0) = 0 pero f no tiene
maximo ni mınimo en 2 f tiene un mınimo en 1
y un maximo en 3 por tanto 1 2 y 3 son puntos
crıticos de f
Y
X
1
2
Ejercicio 7 Hal le los puntos crıticos de las siguientes funciones
1 f
minusrarr que estacute a definida por
f (x) = 1
4(x4 minus 6x2 + 8x) + 5
2 f
minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = 3
radic (x + 4)2(x minus 5)
3 f
minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = 5x23 minus x53
4 f
minusrarr
que estacute a definida por f (x) = x + 1
x2 + 1
5 f
minus 1 minusrarr que estacute a definida por
f (x) = x3 minus 2
(x minus 1)2
6 f
minusrarr
que estacute a definida por f (x) = x2 + 3radic
x2 + 1
7 f [minusπ2
π2
] minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = sin2 x minus |x|
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La derivada de una funcion real de variable real
231 Criterio de la primera derivada para extremos de una funcion
Aquı presentamos un criterio que nos ayuda a determinar si un punto crıtico es aquel en donde una funcion
alcanza su valor maximo o mınimo
Teorema 216 (Criterio de la primera derivada) Sean la funciacute on f A minusrarr
el intervalo [a b] contenido
en A y x0
isin ⟨a b
⟩ un punto crıtico de f
1 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f tiene un macute aximo en el punto x0
2 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f tiene un mınimo en el punto x0
3 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) gt 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) gt 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f no tiene macute aximo ni mınimo en el punto x0
4 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f no tiene macute aximo ni mınimo en el punto x0
X X
a bx 0a bx 0
f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0lt gt f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0gt lt
f
f
f tiene un maacuteximo en x 0 f tiene un miacutenimo en x 0
X X a bx 0a bx 0
f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0lt lt f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0gt gt
f f
f no tiene un extremo en x 0 f no tiene un extremo en x 0
Observaciones
1 Al ser x0 un punto crıtico de f el criterio de la primera derivada no garantiza que exista f prime(x0)
2 El criterio de la primera derivada requiere que f sea derivable en ⟨a x0⟩ cup ⟨x0 b⟩ mas no en x0
3 Un metodo que nos permite hallar puntos crıticos de la funcion f en [a b] es resolver la ecuacion f prime(x) = 0
sujeta a la condicion x isin ⟨a b⟩ pero tal metodo solo nos proporciona todos los puntos crıticos de f que
cumple la primera condicion dada en la definicion 29
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La derivada de una funcion real de variable real
4 Los graficos anteriores presentan al punto crıtico x0 de f en el cual existe f prime(x0) y es igual a cero es mas
en los dos primeros graficos la recta tangente en el punto (x0 f (x0)) es horizontal iquestCual es el aspecto de
la grafica de f si es que no existiera f prime(x0)
5 Sea x0 isin ⟨a b⟩ un punto crıtico de la funcion f Al utilizar el criterio de la primera derivada para averiguar
si f tiene maximo o mınimo en x0 es necesario resolver las inecuaciones f prime(x) lt 0 y f prime(x) gt 0 sujetas
a la restriccion x isin ⟨a b⟩ tales procesos son sencillos para algunas funciones pero existen funciones paralos cuales tales resoluciones son complicadas y ahı el criterio de la primera derivada no es recomendable
utilizarlo pero tal deficiencia se supera utilizando otro criterio para determinar extremo de una funcion
6 El criterio de la primera derivada tambien es aplicable cuando en lugar del intervalo ⟨a b⟩ se considera a
otros tipos de intervalos abiertos si es que estan contenidos en el dominio de la funcion
Por ejemplo para la funcion f
minusrarr
definida por f (x) = x2 su unico punto crıtico es x0 = 0 f prime(x) lt 0
para todo x lt 0 y f prime(x) gt 0 para todo x gt 0 por tanto f tiene un mınimo en 0 y su valor mınimo es
f (0) = 0
232 Criterio de la segunda derivada para extremos de una funcion
Aquı presentamos otro criterio que nos ayuda a determinar si un punto crıtico es aquel en donde una funcion
alcanza su valor maximo o mınimo este metodo requiere la existencia de la segunda de la funcion en su punto
crıtico
Teorema 217 (Criterio de la segunda derivada) Sean la funciacute on f A minusrarr
el intervalo [a b] contenido
en A y x0 isin ⟨a b⟩ un punto crıtico de f para el cual f primeprime(x0) existe
1 Si la funciacute on f es derivable en ⟨a b⟩ f prime(x0) = 0 y f primeprime(x0) lt 0 entonces f tiene un macute aximo en el punto x0
2 Si la funciacute on f es derivable en
⟨a b
⟩ f prime(x0) = 0 y f primeprime(x0) gt 0 entonces f tiene un mınimo en el punto x0
X X
a bx 0a bx 0
f a b f f es derivable en ( ) 0 ( ) 0 x x 0 0= lt f a b f f es derivable en ( ) 0 ( ) 0 x x 0 0= gt
f
f
f tiene un maacuteximo en x 0 f tiene un miacutenimo en x 0
Observaciones
1 Los graficos anteriores presentan al punto crıtico x0 de f en el cual existe f primeprime(x0) y es diferente a cero
2 El criterio de la segunda derivada tambien es aplicable cuando en lugar del intervalo ⟨a b⟩ se considera a
otros tipos de intervalos abiertos si es que estan contenidos en el dominio de la funcion
Por ejemplo para la funcion f
minusrarr
definida por f (x) = x2 su unico punto crıtico es x0 = 0 y
f primeprime(0) = 2 gt 0 por tanto f tiene un mınimo en 0 y su valor mınimo es f (0) = 0
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La derivada de una funcion real de variable real
24 Concavidad y puntos de inflexion
25 La regla de Lrsquo Hospital
3 Aplicaciones de la derivada
31 Trazado de grafica de funciones
32 Derivadas parametricas
321 Regla de la cadena
33 Diferencial de una funcion
34 Razon de cambio
Indice
1 La derivada 111 Derivadas laterales 4
12 Derivacion y continuidad 5
13 Derivadas de orden superior 7
131 Notacion de derivadas 7
132 El operador d
dx 8
133 La segunda derivada 10
134 Derivada de ordenes mayores a dos 10
135 Notacion de derivadas de ordenes superiores 11
14 Derivadas implıcitas 12
141 Ecuaciones diferenciales ordinarias de lugares geometricos 13
15 Funciones derivables 18
151 Funciones derivables en un intervalo 18
152 Funciones de clase C k 19
153 Funciones no derivables 19
2 Teoremas sobre funciones derivables 21
21 Extremos relativos de una funcion 21
22 El teorema del valor medio 24
23 Funciones crecientes y decrecientes 26
231 Criterio de la primera derivada para extremos de una funcion 29
232 Criterio de la segunda derivada para extremos de una funcion 30
24 Concavidad y puntos de inflexion 31
25 La regla de Lrsquo Hospital 31
3 Aplicaciones de la derivada 31
31 Trazado de grafica de funciones 31
32 Derivadas parametricas 31
321 Regla de la cadena 31
33 Diferencial de una funcion 31
34 Razon de cambio 31
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La derivada de una funcion real de variable real
Teorema 16 Sean empty = A sub a isin A cap A prime y f A minusrarr La funciacute on f es derivable en el punto ldquo ardquo si y solo
si existen f prime+(a) f primeminus
(a) y son iguales En este caso
f prime(a) = f prime+(a) = f primeminus
(a)
Ejemplo 12
1 Sea la funcion f cuya regla es f (x) =
983163 2x si 0 lt x lt 3
x3 si 3 le x lt 6
⋆ f prime+(3) = lımxrarr3+
f (x) minus f (3)
x minus 3 = lım
xrarr3
x3 minus 33
x minus 3 = lım
xrarr3(x2 + 3x + 9) = 27
⋆ f primeminus
(3) = lımxrarr3minus
f (x) minus f (3)
x minus 3 = lım
xrarr3minus
2x minus 33
x minus 3 = +infin
Los resultados anteriores indican que existe f prime+(3) y es igual a 27 pero f primeminus
(3) no existe y de acuerdo al
teorema 16 f no es derivable en x = 3
2 Sea la funcion f cuya regla es f (x) = 983163 x2 si 0 lt x lt 1
2x minus 1 si 1 le x lt 5
⋆ f prime+(1) = lımxrarr1+
f (x) minus f (1)
x minus 1 = lım
xrarr1+
9830802x minus 1
983081minus983080
2(1) minus 1983081
x minus 1 = lım
xrarr1+
2x minus 2
x minus 1 = 2
⋆ f primeminus
(1) = lımxrarr1minus
f (x) minus f (1)
x minus 1 = lım
xrarr1minus
x2 minus983080
2(1) minus 1983081
x minus 1 = lım
xrarr1minus
x2 minus 1
x minus 1 = lım
xrarr1minus(x + 1) = 2
Los resultados anteriores indican que existen f prime+(1) y f primeminus
(1) y que ademas son iguales a 2 de acuerdo al
teorema 16 f es derivable en x = 1 y la derivada de f en x = 1 es
f prime(1) = f prime+(1) = f primeminus(1) = 2
Observaciones
1 Si una de las derivadas laterales f prime+(a) f primeminus
(a) no existen entonces f no es derivable en a
2 Si las derivadas laterales f prime+(a) f primeminus
(a) existen pero son diferentes entonces f no es derivable en a
12 Derivacion y continuidad
Teorema 17 Sean empty = A sub
a isin A cap A prime f A minusrarr
una funciacute on Si la funciacute on f es derivable en el punto
ldquo ardquo entonces es continua en ldquo ardquo
Observaciones
1 Si una funcion es continua en un punto no se puede garantizar que sea derivable en ese punto
2 Si una funcion no es continua en un punto entonces no es derivable en ese punto
Ejemplo 13
1 Sea la funcion f definida por f (x) =
radic 1 minus x si x lt 1
(1
minusx)2 si x
ge 1
⋆ lımxrarr1minus
f (x) = lımxrarr1minus
radic 1 minus x = 0 lım
xrarr1+f (x) = lım
xrarr1+(1 minus x)2 = 0 y f (1) = 0
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La derivada de una funcion real de variable real
⋆ lımxrarr1minus
f (x) minus f (1)
x minus 1 = lım
xrarr1minus
radic 1 minus x minus 0
x minus 1 = minusinfin
⋆ lımxrarr1+
f (x) minus f (1)
x minus 1 = lım
xrarr1+
(1 minus x)2 minus 0
x minus 1 = 0
Con los resultados anteriores vemos que f es continua en x = 1 pero no es derivable en ese punto En este
caso el ser continua en un punto no implica que sea derivable en el mismo punto
2 Sea la funcion f definida por f (x) =
1 si x lt 4
2 si x ge 4
⋆ lımxrarr4minus
f (x) = 1 lımxrarr4+
f (x) = 2 y f (4) = 2
⋆ lımxrarr4minus
f (x) minus f (4)
x minus 4 = lım
xrarr4minus
1 minus 2
x minus 4 =
minus1
0minus= +infin
⋆ lımxrarr4+
f (x)
minusf (4)
x minus 4 = lımxrarr4+
2
minus2
x minus 4 = lımxrarr4+(0) = 0
Con los resultados anteriores vemos que f es no continua en x = 4 entonces no es derivable en x = 4 no
era necesario calcular f prime+(4) y f primeminus
(4) para demostrar que f no es derivable en x = 4
3 Sea la funcion f definida por f (x) =
x2 si x lt minus1
minus1 minus 2x si x ge minus1
⋆ lımxrarrminus1minus
f (x) minus f (minus1)
x minus (minus1) = lım
xrarrminus1
x2 minus 1
x + 1 = lım
xrarrminus1(x minus 1) = minus2
⋆ lımxrarrminus1+
f (x)minus
f (minus
1)
x minus (minus1) = lımxrarrminus1 minus1
minus2x
minus1
x + 1 = lımxrarrminus1 minus2
minus2x
x + 1 = lımxrarrminus1(minus2) = minus2
Los resultados anteriores implican que f es derivable en x = minus1 y por tanto es continua en ese punto
Ejercicio 1 Utilice la definiciacute on de la derivada para calcular la derivada de f en el punto a
1) f (x) = 1radic
x + 1 a = 3
2) f (x) = 3x a = 5
3) f (x) = sin 2x a = π
4) f (x) = x + 3
2x minus 5 a = 2
Ejercicio 2 A continuaciacute on presentamos las reglas de correspondencia de ciertas funciones halle la regla de
correspondencia de su funciacute on derivada Utilice la tabla de derivadas que estacute a en la siguiente pacute agina
1) f (x) = x4 + 3x2 minus 6
2) f (x) = (1 + 4x3)(1 + 2x2)
3) f (x) = x(2x minus 1)(3x + 2)
4) f (x) = tan x
x2
5) f (x) =radic
4 minus xx
6) f (x) =
1
(x + a)n middot 1
(x + b)m
7) f (x) =
radic 2x2 minus 2x + 1
x
8) f (x) =
radic x2 + 1 +
radic x2 minus 1radic
x2 + 1 minus radic x2 minus 1
9) f (x) =991770
x +radic
x +radic
x
10) f (x) = arctan
1048616radic 1 minus cos xradic 1 + cos x
1048617
11) f (x) = 1radic
x middot e
x2 middot arctan x + 1
2 ln x + 1
12) f (x) = ln983080radic
2sin x + 1 +radic
2sin x minus 1983081
13) f (x) = 3
1057306 ln983080
sin(x + 3
4
852009983081UNSCH 6 Designed in LATEX by Suarez Azpur Fredy R
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La derivada de una funcion real de variable real
Tabla de derivadas de las funciones mas importantes Sean u = u(x) v = v(x) dos funciones derivables
C una constante real entonces tenemos la siguiente tabla que contiene a dichas funciones y sus derivadas en los
puntos en donde esta existen
Funcion Derivada
y = f (x) dy
dx = f prime(x)
C 0
x 1
Cf (x) Cf prime(x)
un nunminus1 middot du
dx
u plusmn v uprime plusmn vprime
u v uprimev + uvprime
u
v
uprimev minus uvprime
v2
ln u 1
u middot du
dx
loga u 1
u ln a middot du
dx
e u e u middot dudx
au au ln a middot du
dx
Funcion Derivada
y = f (x) dy
dx
= f prime(x)
sin u cos u middot du
dx
cos u minus sin u middot du
dx
tan u sec2 u middot du
dx
cot u minus csc2 u middot du
dx
sec u sec u middot tan u middot du
dx
csc u minus csc u middot cot u middot du
dx
arcsin u 1radic
1 minus u2 middot du
dx
arc cosu minus1radic
1 minus u2 middot du
dx
arctan u 1
1 + u2 middot du
dx
arc cot u minus11 + u2 middot dudx
arcsec u 1
uradic
u2 minus 1middot du
dx
arccsc u minus1
uradic
u2 minus 1middot du
dx
Funcion Derivada
y = f (x)
dy
dx = f prime
(x)
sinh u cosh u middot du
dx
cosh u sinh u middot du
dx
tanh u sech2u middot du
dx
coth u minuscsch2u middot du
dx
sech u minussech u middot tanh u middot dudx
csch u minuscsch u middot coth u middot du
dx
radic u
1
2radic
u middot du
dx
n
radic u
1
n n
radic (u)nminus1
middot du
dx
|u
| u
|u| middot du
dx
uv uv
1048616v
u middot du
dx +
dv
dx middot ln u
1048617
1
u minus 1
u2 middot du
dx
13 Derivadas de orden superior
131 Notacion de derivadas
En la definicion 14 si f A minusrarr es una funcion su funcion derivada f prime cuya regla de correspondencia es
f prime(x) = lımhrarr0
f (x + h) minus f (x)
h
tiene por dominio a Dom (f prime) = x isin A existe f prime(x) que generalmente esta contenido en A pudiendo ser
A = Dom (f prime) tal es el caso de la funcion f
minusrarr definida por f (x) = sin x donde f prime(x) = cos x para
todo x isin es decir Dom (f prime) = Sin embargo existen casos en el cual A sub Dom (f prime) y A = Dom (f prime) como
por ejemplo si f [0 +infin⟩ minusrarr definida por f (x) =
radic x donde f prime(x) =
1
2radic
x para todo x gt 0 es decir
Dom(f prime) = ⟨0 +infin⟩
A la funcion derivada de f tambien las denotaremos por df dx f (1) entonces con estas notaciones escribimos
f prime(x) = df
dx(x) f prime(x) = f (1)(x) en todo x isin Dom (f ) para los cuales existe f prime(x)
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La derivada de una funcion real de variable real
132 El operador d
dx
Cuando trabajamos con funciones derivables el proceso de derivacion es hallar la funcion derivada de cierta
funcion que evidentemente tendra otra regla de correspondencia para ellos empleamos el operador d
dx que
transforma la regla de correspondencia de una funcion f en la regla de correspondencia de su funcion derivada
es decir d
dx(f (x)852009 = f prime(x)
Ejemplo 14 Si f (x) = radic
x entonces d
dx
(f (x)
852009=
d
dx
(radic x852009
= 1
2radic
x para todo x gt 0
Empleando el teorema 12 y la definicion 14 es facil demostrar que d
dx es un operador lineal es decir
d
dx
852059f (x) + g(x)
852061=
d
dx
1048667f (x)
1048669+
d
dx
852059g(x)
852061 y
d
dx
1048667λf (x)
1048669= λ middot d
dx
852059f (x)
852061 donde λ isin
y que ademas
d
dx1048667f (x)g(x)1048669 =
d
dx852059f (x)852061 middot
g(x) + f (x)
middot
d
dx852059g(x)852061 y
d
dx1048667
f (x)
g(x)1048669 =
d
dx 852059f (x)
852061middot g(x) minus f (x) middot d
dx 852059g(x)
852061[g(x)]
2
En forma abreviada dado que d
dx
983080f (x)
983081= f prime(x)
1048667f (x) + g(x)
1048669prime
=852059
f (x)852061prime
+852059
g(x)852061prime
y852059
λf (x)852061prime
= λ852059
f (x)852061prime
donde λ isin
de manera similar1048667f (x)g(x)
1048669prime
=852059
f (x)852061prime
g(x) + f (x)852059
g(x)852061prime
y1048667f (x)
g(x)
1048669prime
=
852059f (x)
852061primeg(x) minus f (x)
852059g(x)
852061prime[g(x)]2
Ejemplo 15 En cada caso halle f prime(x) utilizando el operador d
dx
1 Sea f
minusrarr
definido por f (x) = sin(2x)minus
e3x emplearemos simultaneamente la regla de la cadena y
la tabla de derivadas para hallar f prime(x)
f (x) = sin(2x) minus e3x minusrarr d
dx[f (x)] =
d
dx[sin(2x) minus e3x]
minusrarr d
dx[f (x)] =
d
dx[sin(2x)] minus d
dx[e3x]
minusrarr d
dx[f (x)] = cos(2x)
d
dx[2x] minus e3x
d
dx[3x]
minusrarr d
dx[f (x)] = cos(2x) middot 2 minus e3x middot 3
there4 f prime(x) = 2 cos(2x) minus 3e3x para todo x isin
2 Sea f minusrarr definido por f (x) = x3
sin xe5x
emplearemos simultaneamente la regla de la cadena y la
tabla de derivadas para hallar f prime(x)
f (x) = x3 sin x
e5x minusrarr [f (x)]prime =
983131x3 sin x
e5x
983133prime
minusrarr f prime(x) = [x3 sin x]prime middot e5x minus x3 sin x middot [e5x]prime
[e5x]2
minusrarr f prime(x) =
983080[x3]prime sin x + x3[sin x]prime
983081middot e5x minus x3 sin x middot [e5x]prime
[e5x]2
minusrarr f prime(x) = 9830803x2 middot sin x + x3 middot cos x983081 middot e5x minus x3 sin x middot e5x middot [5x]prime
[e5x]2
minusrarr f prime(x) =
9830803x2 middot sin x + x3 middot cos x
983081middot e5x minus x3 sin x middot e5x middot 5
[e5x]2
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La derivada de una funcion real de variable real
Reduciendo y agrupando la expresion tenemos
f prime(x) = eminus5x983080
(3x2 minus 5x3)sin x + x3 cos x983081
para todo x isin
3 Sea f
minusrarr
definido por f (x) = (x4 + 2)4cos2x emplearemos simultaneamente la regla de la cadena
y la tabla de derivadas para hallar f prime(x)
f (x) = (x4 + 2)4cos2x minusrarr ln[f (x)] = ln1048667
(x4 + 2)4cos2x1048669
= 4cos 2x middot ln(x4 + 2)
luego derivando respecto a x
minusrarr f prime(x)
f (x) =
10486674cos2x middot ln(x4 + 2)
1048669prime
minusrarr f prime(x)
f (x) =
10486674cos2x
1048669prime
middot ln(x4 + 2) + 4 cos 2x middot1048667
ln(x4 + 2)1048669prime
minusrarr f prime(x)
f (x) = 4
1048667cos2x
1048669prime
middot ln(x4 + 2) + 4 cos 2x middot [x4 + 2]prime
x4 + 2
minusrarr f prime(x)
f (x) = 4(minus sin2x)[2x]prime
middot ln(x4
+ 2) + 4cos 2x middot [x4]prime + [2]prime
x4 + 2
minusrarr f prime(x)
f (x) = 4(minus sin2x)2 middot ln(x4 + 2) + 4cos 2x middot 4x3 + 0
x4 + 2
minusrarr f prime(x)
f (x) = minus8sin2x middot ln(x4 + 2) +
16x3
x4 + 2 middot cos2x
there4 f prime(x) = (x4 + 2)4cos2x983080
minus 8sin2x middot ln(x4 + 2) + 16x3
x4 + 2 middot cos2x
983081 para todo x isin
Observacion El operador d
dx es muy especıfico en el siguiente sentido Si u es una expresion que depende de
x es decir u = u(x) entonces ddx
[u] = ddx
[u(x)] = u prime(x) Sin embargo supongamos que W es una expresion
que no depende de la variable x entonces al hallar d
dx[W ] nos resultara ldquo0rdquo ya que el operador a la expresion
W lo interpreta como una constante
Es necesario especificar cuando utilizamos el operador d
dx que estamos derivando respecto a la variable
ldquoxrdquo solamente y no respecto a otra variable Es ası si utilizamos el operador d
dy estamos derivando respecto a
la variable ldquoyrdquo y si utilizamos el operador d
dt estamos derivando respecto a la variable ldquotrdquo ası sucesivamente
Ejemplo 16
1 Hallemos d
dx[u] si u = 5x + tan x
d
dx[u] =
d
dx[5x + tan x] =
d
dx[5x] +
d
dx[tan x] = 5
d
dx[x] + sec2 x = 5 + sec2 x
2 Hallemos d
dx[W ] si W = 5e5t+1 + tan(3x) donde t no depende de x
d
dx[W ] =
d
dx[5e5t+1 + tan(3x)] =
d
dx[5e5t+1] +
d
dx[tan(3x)] = 0 + sec2(3x)
d
dx[3x] = sec2(3x) middot 3
3 Hallemos d
dx[W ] si W = cos(5x + t) + ln(x2 + z) donde z y t no dependen de x
ddx
[W ] = ddx
1048667cos(5x + t) + ln(x2 + z)
1048669= minussin(5x + t) middot d
dx[5x + t] + 1
x2 + z middot d
dx[x2 + z]
=rArr d
dx[W ] = minussin(5x + t) middot (5 + 0) +
1
x2 + z middot (2x + 0) = minus5 sin(5x + t) +
2x
x2 + z
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La derivada de una funcion real de variable real
4 Si U solo depende de x entonces d
dy[U ] = 0
d
dx[U ] = U prime(x)
d
dt[U ] = 0 y
d
dz[U ] = 0
133 La segunda derivada
Definicion 17 Sea f una funciacute on derivable en a la segunda derivada de f en a es
f primeprime
(a) = lımxrarra
f prime(x)
minusf prime(a)
x minus a = lımhrarr0
f prime(a + h)
minusf prime(a)
h
si es que dicho l ımite existe La funciacute on segunda derivada de f denotada por f primeprime es definida por
f primeprime(x) = lımhrarr0
f prime(x + h) minus f prime(x)
h
Observaciones
1 La segunda derivada de f en un punto es la derivada de f prime en dicho punto
2 El dominio de f primeprime esta formado por todos los puntos ldquoxrdquo del dominio de f para los cuales existe f primeprime(x)
3 Los dominios de f f prime y f primeprime no siempre coinciden generalmente se tiene
Dom(f primeprime) sub Dom (f prime) sub Dom (f )
4 Si existe f primeprime(a) diremos que f es dos veces derivable en a
5 Si f no es derivable en a entonces no es dos veces derivable en a
6 Si f es dos veces derivable en a entonces es derivable en a
7 Si f es derivable en a no siempre es dos veces derivable en a
8 Si f es dos veces derivable en a entonces es continua en a
Ejemplo 17
1 Sea f [0 +infin⟩ minusrarr una funcion definida por f (x) =
radic x La funcion derivada de f sera f prime ⟨0 +infin⟩ minusrarr
cuya regla de correspondencia es f prime(x) = 1
2radic
x mientras que la funcion segunda derivada de f sera f primeprime
⟨0 +infin⟩ minusrarr
cuya regla de correspondencia es f primeprime(x) = minus1
4radic
x3
En este caso
Dom(f primeprime) sub Dom (f prime) sub Dom (f ) y Dom (f primeprime) = Dom (f prime) = Dom (f )
2 Sea f
minusrarr
una funcion definida por f (x) = x3 + sin x La funcion derivada de f sera f prime
minusrarr
cuya regla de correspondencia es f prime(x) = 3x2 +cos x y la funcion segunda derivada de f sera f primeprime
minusrarr
cuya regla de correspondencia es f primeprime(x) = 6x minus sin x
En este caso
Dom(f primeprime) = Dom(f prime) = Dom(f )
134 Derivada de ordenes mayores a dos
En forma analoga a la definicion 17 definimos la tercera derivada de la funcion f en el punto ldquoardquo por
f primeprimeprime(a) = lımxrarra
f primeprime(x) minus f primeprime(a)
x
minusa
= lımhrarr0
f primeprime(a + h) minus f primeprime(a)
h
si es que el l ımite existe y la funcion tercera derivada de f por
f primeprimeprime(x) = lımhrarr0
f primeprime(x + h) minus f primeprime(x)
h
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La derivada de una funcion real de variable real
La tercera derivada de f en a es la derivada de la segunda derivada de f en a y la funcion tercera derivada de
f es la funcion derivada de la funcion segunda derivada de f es decir f primeprimeprime = (f primeprime)prime
Ası llegarıamos a definir la nminusesima derivada de la funcion f en el punto ldquoardquo por
f (n)(a) = lımxrarr
a
f (nminus1)(x) minus f (nminus1)(a)
x minus a
= lımhrarr
0
f (nminus1)(a + h) minus f (nminus1)(a)
hsi es que el l ımite existe y la funcion nminusesima derivada de f por
f (n)(x) = lımhrarr0
f (nminus1)(x + h) minus f (nminus1)(x)
h
135 Notacion de derivadas de ordenes superiores
Generalizando el operador d
dx para derivadas de ordenes mayores a uno tenemos los siguientes operadores
1 El operador d
dx transforma a f (x) en f prime(x)
2 El operador d2
dx2 transforma a f (x) en f primeprime(x) y d2
dx2 = d
dx
983080 ddx
983081
3 El operador d3
dx3 transforma a f (x) en f primeprimeprime(x) y
d3
dx3 =
d
dx
983080 d2
dx2
983081=
d
dx
1048616 d
dx
983080 d
dx
9830811048617
4 El operador dn
dxn transforma a f (x) en f (n)(x) y
dn
dxn =
d
dx
983080 dnminus1
dxnminus1
983081=
d
dx
1048616 d
dx
983080 dnminus2
dxnminus2
9830811048617
Ejemplo 18 Sea f (x) = x5 + 2x2 entonces
1 d
dx1048667f (x)
1048669=
d
dx[x5 + 2x2] = 5x4 + 4x
2 d2
dx2
1048667f (x)
1048669=
d
dx
983131 d
dx
1048667f (x)
1048669983133=
d
dx[5x4 + 4x] = 20x3 + 4
3 d3
dx3
1048667f (x)
1048669=
d
dx
983131 d2
dx2
1048667f (x)
1048669983133=
d
dx[20x3 + 4] = 60x2
4 d4
dx4
1048667f (x)
1048669=
d
dx
983131 d3
dx3
1048667f (x)
1048669983133=
d
dx[60x2] = 120x
5 d5
dx5
1048667f (x)
1048669=
d
dx
983131 d4
dx4
1048667f (x)
1048669983133=
d
dx[120x] = 120
6
d6
dx61048667
f (x)1048669
=
d
dx983131 d5
dx51048667
f (x)1048669983133
=
d
dx [120] = 0 y
dn
dxn1048667
f (x)1048669
= 0 foralln ge 6
Ejercicio 3 Halle una facute ormula para expresar f (n)(x) si
1 f (x) = ex
2 f (x) = eax
3 f (x) = akx
4 f (x) = 1
(x minus a)k
5 f (x) = 1 minus x
1 + x
6 f (x) = 5x minus 2
x2 minus 4
7 f (x) = sin ax
8 f (x) = cos ax
9 f (x) = ln(a + bx)
10 f (x) = 1
x2 minus 3x + 2
11 f (x) = 8x minus 5
2x2 + x minus 6
12 f (x) = x ex
13 f (x) = 5x minus 1
x2 + x minus 12
14 f (x) = ex sin x
15 f (x) = sin2 x
16 f (x) = xnradic
x
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La derivada de una funcion real de variable real
14 Derivadas implıcitas
Sea F (x y) = C una ecuacion que contiene dos variables si en esta ecuacion no se ha despejado la variable
y diremos que y esta expresado en F (x y) = C de manera implıcita
Sea F U sub
2 minusrarr una funcion y f A sub
minusrarr una funcion cuya regla de correspondencia esta en
la forma implıcita en la ecuacionF (x y) = C donde y = f (x)
Las derivadas implıcitas permiten hallar f prime(x) sin necesidad de conocer la regla de correspondencia de f es
mas podemos hallar las derivadas de orden superior de f
Ejemplo 19 Si ldquo yrdquo es una expresiacute on que depende de ldquo xrdquo halle dy
dx
1 e5y = sin(x + y)
e5y = sin(x + y) minusrarr d
dx[e5y] =
d
dx[sin(x + y)]
minusrarr e5y ddx
[5y] = cos(x + y) ddx
[x + y]
minusrarr e5y middot 5 middot dy
dx = cos(x + y)(1 +
dy
dx)
minusrarr 5e5y middot dy
dx = cos(x + y)(1 +
dy
dx)
there4dy
dx =
cos(x + y)
5e5y minus cos(x + y)
2 x = ln(x3 + y)
x = ln(x3 + y) minusrarr
d
dx[x] =
d
dx1048667 ln(x3 + y)1048669
minusrarr 1 = 1
x3 + y middot d
dx[x3 + y]
minusrarr 1 = 1
x3 + y middot (3x2 +
dy
dx)
minusrarr dy
dx = x3 minus 3x2 + y
Derivando una vez mas respecto de x tenemos d
dx[
dy
dx] =
d
dx[x3 minus 3x2 + y] = 3x2 minus 6x +
dy
dx
=rArr d2y
dx2 = 3x2 minus 6x +
dy
dx = 3x2 minus 6x + x3 minus 3x2 + y = x3 minus 6x + y
there4dydx
= x3 minus 3x2 + y y d2ydx2
= x3 minus 6x + y
3 Halle dy
dx si exp
1048616860698 x +
radic y
x minus radic y
1048617+ ln
860698 x minus radic
y
x +radic
y = 8
4 Halle dy
dx si sin(xy) + cos(xy) = tan(x + y)
5 Halle dy
dx si x minus y = arcsin x minus arcsin y
6 Halle dy
dx
si 860698 y minus radic x
y + radic x + 860698 y +
radic x
y minus radic x =
5
2
7 Halle dy
dx si x2 minus a
radic xy + y2 = a2 a constante
8 Halle d2y
dx2 si x12 + y12 = 2 a constante
9 Halle d2y
dx2 si b2x2 minus a2y2 = a2b2 a b constantes
10 Halle d2y
dx2 si x23 + y23 = a23 a constante
11 Halle d2y
dx2
si 3x2
minus2xy + y2 = a2 a constante
12 En los ejercicios anteriores halle dx
dy si x = x(y)
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La derivada de una funcion real de variable real
141 Ecuaciones diferenciales ordinarias de lugares geometricos
Definicion 18 (Ecuacion diferencial) Una ecuaciacute on diferencial es aquella que contiene una o macute as fun-
ciones de una o macute as variables y algunas de sus derivadas respecto a sus variables independientes
Definicion 19 (Ecuacion diferencial ordinaria) Una ecuaciacute on diferencial ordinaria es aquella que con-
tiene una o macute as funciones de una variable y algunas de sus derivadas respecto a su variable independiente El
orden de esta ecuaciacute on diferencial ordinaria es el de la derivada de mayor orden contenida en ella
Ejemplo 110 La siguientes son ecuaciones diferenciales ordinarias
1 2yprimeprime + xyprime + y = sen x su orden es 2
2 yprimeprimeprime minus 2yprimeprime + 5yprime + y = ln x su orden es 3
3 xyprime + sen x = tan x su orden es 1
4 y(5) + y(4) + yprimeprimeprime + yprimeprime + yprime + y = 0 su orden es 5
5 2yprimeprime + xyprime + y3 = sen x su orden es 2
6 (yprimeprimeprime)2 minus 2(yprimeprime)7 + 5yprime + y = ln x su orden es
7 xyprime + sen x = tan y su orden es 3
8 y(5) + y(4) + yprimeprimeprime + (yprimeprime)4 + yprime + ln y = 0 su orden es 5
9 yy primeprime + x2y = x su orden es 2
Definicion 110 Un lugar geometrico del plano
2 es un conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen una
o macute as ecuaciones del tipo F (x y) = K
Ejemplo 111 La recta la circunferencia la paracute abola la elipse la hiperbola las graficas de funciones son
ejemplos de lugares geometricos
Definicion 111 La ecuaciacute on diferencial ordinaria de un lugar geometrico cuya ecuaciacute on es F (x y) = K es
aquella que se obtiene al derivar esta ecuaciacute on con respecto a una de sus variables
Teorema 18 Si un lugar geometrico cuya ecuaciacute on es F (x y) = K contiene n constantes independiente
entonces su ecuaciacute on diferencial ordinaria tendracute a orden n
Ejemplo 112 Halle la ecuaciacute on diferencial ordinaria de todas las circunferencias con centro el origen de
coordenadas
Solucion La ecuacion de esta familia de circunferencias es x2 + y2 = r2 y contiene una sola constante Al
derivar a ambos miembros respecto a x tenemos 2x + 2yyprime = 0 Por tanto la ecuacion diferencial ordinaria de
estas circunferencias sera
x + yy prime = 0 o yprime = minusy
x
Ejemplo 113 Halle la ecuaciacute on diferencial ordinaria de todas las rectas horizontales
Solucion La ecuacion de esta familia de rectas es y = K y contiene una sola constante Al derivar a ambos
miembros respecto a x tenemos y prime = 0 Por tanto la ecuacion diferencial ordinaria de estas rectas sera
yprime = 0
Ejemplo 114 Halle la ecuaciacute on diferencial ordinaria de todas las rectas con pendiente 2
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La derivada de una funcion real de variable real
Solucion La ecuacion de esta familia de rectas es y = 2x + K y contiene una sola constante Al derivar a
ambos miembros respecto a x tenemos y prime = 2 Por tanto la ecuacion diferencial ordinaria de estas rectas sera
yprime = 2
Ejemplo 115 Halle la ecuaciacute on diferencial ordinaria de todas las rectas que pasan por el origen de coordenadas
Solucion Solo consideraremos a las rectas no verticales que pasan por el origen La ecuaci on de esta familia
de rectas es y = Kx y contiene una sola constante entonces su ecuacion diferencial debe ser de orden uno
Al derivar a ambos miembros respecto a x tenemos yprime = K pero K = y
x Por tanto la ecuacion diferencial
ordinaria de estas rectas sera
yprime = y
x si x = 0 yprime = 0 si y = 0
Ejemplo 116 En los siguientes ejemplos dada una funciacute on obtener la ecuaciacute on diferencial de la cual es
soluciacute on
1 y = ceminus2x + x
El orden de la ecuacion diferencia buscada es 1 entonces derivando tenemos
yprime
= minus2ceminus
2x + 1 = minus2ceminus
2x + 1 + 2x minus 2x = minus2(ceminus
2x + x) + 1 + 2x = minus2y + 1 + 2x
there4dy
dx = 1 minus 2(y minus x) es la ecuacion diferencial buscada
2 y = C 1 sen 4x + C 2 cos 4x + x
El orden de la ecuacion diferencia buscada es 2 entonces derivando tenemos
yprime = 4C 1 cos 4x minus 4C 2 sen 4x + 1 yprimeprime = minus16C 1 sen 4x minus 16C 2 cos 4x
yprimeprime = minus16(C 1 sen 4x + C 2 cos 4x) = minus16(y minus x)
there4 yprimeprime + 16y minus 16x = 0 es la ecuacion diferencial buscada
3 y = ax3 + bx2 + cx
El orden de la ecuacion diferencia buscada es 3 entonces derivando tenemos
yprime = 3ax2 + 2bx + c yprimeprime = 6ax + 2b yprimeprimeprime = 6a Reemplazando en la ecuacion a b y c
y = yprimeprimeprime
6 x3 +
1
2
983080yprimeprime minus yprimeprimeprimex
983081x2 +
983080yprime minus yprimeprime
2 minus yprimeprimeprimex
983081x
there4 11x3yprimeprimeprime minus 3x2yprimeprime + 6xyprime + 6y = 0 es la ecuacion diferencial buscada
4 Hallar la ecuacion diferencial de la familia de circunferencias de radio 1 con centro en la recta bisectriz del
primer y tercer cuadrante
Solucion
x
y
y = x
h
h1
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La derivada de una funcion real de variable real
La ecuacion de la familia de circunferencias es (x minus h)2 + (y minus h)2 = 1 en ella solo figura una constante
entonces el orden de la ecuacion diferencia buscada es 1
Derivando respecto a x tenemos 2(x minus h) + 2(y minus h)yprime = 0 =rArr x minus h + yy prime minus hyprime = 0
=rArr h(1 + yprime) = x + yy prime =rArr h = x + yy prime
yprime + 1
Reemplazando en la ecuacion de las circunferencias
1048616x minus
x + yy prime
yprime + 110486172
+1048616
y minus x + yy prime
yprime + 110486172
= 1
=rArr (x(yprime + 1) minus x minus yy prime
8520092+(
yy prime + y minus x minus yy prime8520092
= (yprime + 1)2
=rArr (xyprime minus yy prime
8520092+(
y minus x8520092
= (yprime + 1)2
=rArr (yprime)2(x minus y)2 + (x minus y)2 = (yprime + 1)2
=rArr (x minus y)2(
(yprime)2 + 1852009
= (yprime + 1)2 es la ecuacion diferencial buscada
5 Formular la ecuacion diferencial que representa a todas las tangentes no verticales de la par abola y2 = 2x
Solucion
x
y
a
b
L
y = 2 x 2
La ecuacion de la recta tangente L a la parabola en el punto (a b) es
L y minus b = m(x minus a) Hallando la pendiente m derivando L y prime = m Por otro lado derivando la ecuacion
de la parabola tenemos 2yyprime = 2 =rArr y prime = 1
y cuyo significado es y prime(x) =
1
y(x) para x gt 0
En el punto (a b) de la parabola se tiene yprime(a) = 1
y(a) =
1
b = m Ademas como (a b) es un punto de la
parabola se tiene b2 = 2a =rArr a = b2
2 Luego en la ecuacion de la tangente
y minus b = 1b
1048616x minus b
2
2
1048617 =rArr yb minus b2 = x minus b
2
2
=rArr y = x
b +
b
2 pero b =
1
yprime
=rArr y = xy prime + 1
2yprime
=rArr 2y(yprime)2 minus 2xyprime + 1 = 0 es la ecuacion diferencial buscada
6 y2 = 4ax
Primero tenemos a = y2
4x el cual se utilizara luego Derivando la ecuacion original tenemos 2yyprime = 4a
=rArr 2yyprime
= 41048616 y2
4x1048617
= y2
x =rArr 2xyyprime
= y2 =rArr 2xyprime
= y si y = 0 =rArr 2x dy
dx minus y = 0
Por lo tanto 2x dy
dx minus y = 0 es la ecuacion diferencial buscada
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La derivada de una funcion real de variable real
7 y = C 1 sen 4x + C 2 cos 4x + x
Solucion
yprime = 4C 1 cos 4x minus 4C 2 sen 4x + 1 yprimeprime = minus16C 1 sen 4x minus 16C 2 cos 4x de la segunda derivada tenemos
minusyprimeprime
16 = C 1 sen 4x + C 2 cos 4x = y minus x luego minus(16)minus1yprimeprime = y minus x =rArr minusyprimeprime = 16y minus 16x
Por lo tanto yprimeprime = 16(xminus
y) es ecuacion diferencial buscada
8 I = teminust + eminust + 2sen 3t
Solucion En esta parte I es una funcion que depende de t y las derivadas seran respecto a t
I prime = eminust minus teminust minus eminust + 6cos 6t Pero teminust + eminust = I minus 2sen3t
=rArr I prime = eminust minus I + 2sen 3t + 6cos 3t =rArr I primeprime = minuseminust minus I prime minus 6cos3t minus 18sen3t
sumando las dos ultimas ecuaciones I prime + I primeprime = minusI minus I prime minus 16sen3t de donde I primeprime + 2I prime + I = minus16sen3t
9 x2 minus ay2 = 1
Solucion
Derivando 2x minus 2ay dy
dx = 0 =rArr y prime =
dy
dx =
minus2x
minus2ay
=rArr a = x
yy prime reemplazando en la ecuacion original
x2 minus x
yyprimey2 = 1 =rArr x2yyprime minus yyprime minus xy2 = 0
=rArr (x2 minus 1)yprime = xy
=rArr yprime = xy
x2 + 1 es la ecuacion diferencial buscada
10 x2 + y2 minus cx = 0
Derivando 2x + 2yyprime = c
Reemplazando en la ecuacion original x2 + y2 minus (2x + 2yy prime)x = 0
=
rArr yprime =
x2 minus y2
2xy
es la ecuacion diferencial buscada
11 Hallar la ecuacion diferencial de cada uno de las siguientes familias de curvas
a) y = x sen(x + c) Rta (xyprime minus y)2 = x2(x2 minus y2)
b) Todos los cırculos que pasan por (1 0) y (minus1 0) Rta 2xy = (x2 minus y2 minus 1)yprime
c) Todos los cırculos con centro en la recta y = x que son tangentes a ambos ejes
Rta (x minus y)2(1 + yprime)2 = (x + yy prime)2
d) Todas las rectas tangentes a la parabola x2 = 4y
Sugerencia La pendiente de la recta tangente en (2a a2) es a Rta y + yprime = xy prime
e) Todas las rectas tangentes al cırculo unidad x2
+ y2
= 1 Rta (y minus xyprime
)2
= 1 minus (yprime
)2
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La derivada de una funcion real de variable real
Definicion 112 Sea la ecuaciacute on diferencial ordinaria lineal de orden n
any(n) + middot middot middot + a2y primeprime + a1y prime + a0 = b
La funciacute on f A minusrarr
es una de sus soluciones si para todo x isin A
anf (n)(x) + middot middot middot + a2f primeprime(x) + a1f prime(x) + a0 = b
Ejercicio 4 Demuestre que la funciacute on f
minusrarr definida por f (x) = sin x es una soluciacute on de la ecuaciacute on
diferencial y primeprime + y = 0
Solucion Lo unico que debemos hacer es derivar a f dos veces y sumar los resultados
f (x) = sin x minusrarr f prime(x) = cos x minusrarr f primeprime(x) = minus sin x sumando f primeprime(x) + f (x) = 0 por lo tanto f
es una solucion de la ecuacion diferencial y primeprime + y = 0
Ejercicio 5 Demuestre que la funciacute on f
minusrarr
definida por f (x) = 8ex+xex es una soluciacute on de la ecuaciacute on
diferencial yprimeprime minus 2yprime + y = 0
Solucion Derivemos a f hasta dos veces y reemplacemos en el primer miembro de la ecuacion diferencial Siresulta cero tal reemplazo entonces la funcion f es una solucion de tal ecuacion diferencial
f (x) = 8ex + xex =rArr f prime(x) = [8ex] prime + [xex] prime = 8ex + [x]primeex + x[ex] prime = 8ex + ex + xex = 9ex + xex
=rArr f primeprime(x) = [9ex] prime + [xex] prime = 9ex + [x]primeex + x[ex] prime = 9ex + ex + xex = 10ex + xex
Reemplazemos en el primer miembro de la ecuacion diferencial
f primeprime(x) minus 2f prime(x) + f (x) =1048667
10ex + xex1048669minus 2
10486679ex + xex
1048669+1048667
8ex + xex1048669
= 10ex + xex minus 18ex minus 2xex + 8ex + xex
= [10
minus18 + 8]ex + [1
minus2 + 1]xex
= 0
Dado que resulta f primeprime(x)minus2f prime(x)+f (x) = 0 entonces f (x) = 8ex+xex es una solucion de la ecuacion diferencial
ordinaria y primeprime minus 2yprime + y = 0
Ejercicio 6 Demuestre o descarte las siguientes afirmaciones
1 x + y2 = K describe la soluciacute on general de las ecuaciones diferenciales dy
dx = minus 1
2y 2yyprime + 1 = 0
2 y = K ex es la soluciacute on general de la ecuaciacute on diferencial yprime minus y = 0
3 y = sin x
x
es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial xyprime + y = cos x
4 y = 1
cos x es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial yprime minus y tan x = 0
5 y = 2xradic
1 minus x2 es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial yy prime = 4x minus 8x3
6 y = x
cos x es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial xyprime minus y = x2 tan x sec x
7 y = ex(x + 1) es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial yprimeprime minus 2yprime + y = 0
8 y = ln(x + c) + 2 es la soluciacute on general de la ecuaciacute on diferencial yprimeeyminus2 minus 1 = 0
9 y = sen3 x es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial yprimeprime + (tan x minus 2cot x)yprime = 0
10 y = arcsin(xy) describe una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial xyprime + y = yradic
1 minus x2y2
11 y = c1eminusx + c2ex + c3eminus2x + c4e2x es soluciacute on general de la ecuaciacute on diferencial y(iv) minus 5yprimeprime + 4y = 0
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La derivada de una funcion real de variable real
15 Funciones derivables
151 Funciones derivables en un intervalo
Sin ser redundantes presentamos a los intervalos de
1 [a b] = x isin
a le x le b
2 ⟨a b⟩ = x isin
a lt x lt b
3 ⟨a b] = x isin
a lt x le b
4 [a b⟩ = x isin
a le x lt b
5 ⟨minusinfin b⟩ = x isin 1048623x lt b
6 ⟨minusinfin b] = x isin
1048623x le b
7 ⟨a +infin⟩ = x isin
1048623a lt x
8 [a +infin⟩ = x isin
1048623a le x
9 ⟨minusinfin +infin⟩ =
y
10 [a a] = a
Los cuatro primeros y el ultimo son los intervalos limitados los cinco siguientes son intervalos ilimitados el
ultimo se denomina un intervalo degenerado desde el segundo hasta el cuarto intervalo a lt b
Definicion 113 Sea la funciacute on f I minusrarr donde I es un intervalo de
1 La funciacute on f ⟨a b⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨a b⟩ si lo es en cada punto de ⟨a b⟩
2 La funciacute on f ⟨minusinfin b⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨minusinfin b⟩ si lo es en cada punto de ⟨minusinfin b⟩
3 La funciacute on f ⟨a +infin⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨a +infin⟩ si lo es en cada punto de ⟨a +infin⟩
4 La funciacute on f [a b⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo [a b⟩ si existe un intervalo abierto del tipo ⟨ p q ⟩ que
contiene a [a b⟩ tal que f sea derivable sobre ⟨ p q ⟩
5 La funciacute on f ⟨a b] minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨a b] si existe un intervalo abierto del tipo ⟨ p q ⟩ que
contiene a ⟨a b] tal que f sea derivable sobre ⟨ p q ⟩
6 La funciacute on f [a +infin⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo [a +infin⟩ si existe un intervalo abierto del tipo⟨ p +infin⟩ que contiene a [a +infin⟩ tal que f sea derivable sobre ⟨ p +infin⟩
7 La funciacute on f ⟨minusinfin b] minusrarr es derivable en el intervalo ⟨minusinfin b] si existe un intervalo abierto del tipo
⟨minusinfin q ⟩ que contiene a ⟨minusinfin b] tal que f sea derivable sobre ⟨minusinfin q ⟩
8 La funcion f [a b] minusrarr es derivable en el intervalo [a b] si existe un intervalo abierto del tipo ⟨ p q ⟩ que
contiene a [a b] tal que f sea derivable sobre ⟨ p q ⟩
Observaciones
1 La funcion f [a b
⟩ minusrarr es derivable en el intervalo [a b
⟩ si y solo si es derivable en cada punto de
⟨a b
⟩y existe f prime+(a)
2 La funcion f [a +infin⟩ minusrarr es derivable en el intervalo [a +infin⟩ si y solo si es derivable en cada punto de
⟨a +infin⟩ y existe f prime+(a)
3 La funcion f ⟨a b] minusrarr es derivable en el intervalo ⟨a b] si y solo si es derivable en cada punto de ⟨a b⟩
y existe f primeminus
(b)
4 La funcion f ⟨minusinfin b] minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨minusinfin b] si y solo si es derivable en cada punto de
⟨minusinfin b⟩ y existe f primeminus
(b)
5 La funcion f [a b] minusrarr
es derivable en el intervalo [a b] si y solo si es derivable en cada punto de ⟨a b⟩y existen f prime+(a) y f prime
minus(b)
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La derivada de una funcion real de variable real
6 Sea I un intervalo abierto Si la funcion f I minusrarr es derivable su funcion derivada f prime I minusrarr tendra el
mismo dominio que f
7 Sea I un intervalo abierto Si la funcion f I minusrarr
es k veces derivable su funcion kndashesima derivada
f (k) I minusrarr
tendra el mismo dominio que f
8 Sea I un intervalo no abierto Si la funcion f I minusrarr
es derivable su funcion derivada f prime J minusrarr
tendra como dominio al interior de I
152 Funciones de clase C k
Sea I un intervalo de
Si la funcion f I minusrarr
es derivable en I entonces es continua en I pero
posiblemente la funcion derivada f prime J minusrarr
no sea continua en I J = int (I )
Definicion 114 Sea I un intervalo de Si la funcion f I minusrarr es continua en I diremos que ldquo f rdquo es una
funciacute on de clase cero C 0 sobre I
⋆ Si ldquof rdquo es una funcion de clase C 0 sobre I lo denotamos por f
isin C 0(I )
Definicion 115 Sea I un intervalo abierto de
Si la funciacute on f I minusrarr
es derivable en I y la funciacute on
f prime I minusrarr es continua en I diremos que f es continuamente derivable en I o simplemente la funciacute on ldquo f rdquo es
de clase C 1 sobre I
⋆ Si ldquof rdquo es una funcion de clase C 1 sobre I lo denotamos por f isin C 1(I )
Definicion 116 Sea I un intervalo abierto de
La funcion f I minusrarr
es de clase C k sobre el intervalo I
si es k veces derivable sobre I y la funciacute on f (k) I minusrarr
es continua en I
⋆ Si ldquof rdquo es una funcion de clase C k sobre I lo denotamos por f
isin C k(I )
Definicion 117 Sea I un intervalo abierto de La funciacute on f I minusrarr es de clase C infin sobre el intervalo I
si existe f (n) para todo n isin 0 1 2 middot middot middot
⋆ Si ldquof rdquo es una funcion de clase C infin sobre I lo denotamos por f isin C infin(I )
Ejemplo 117
1 La funcion f
minusrarr
definida por f (x) = ex es de clase C infin sobre
Con la notaciones presentadas
tenemos la pertenencia f isin C infin(
)
2 La funcion f minusrarr
definida por f (x) = p(x) donde p(x) es un polinomio es de clase C infin
sobre
Conla notaciones presentadas tenemos la pertenencia f isin C infin( )
3 La funcion f [0 +infin⟩ minusrarr definida por f (x) =
radic x es de clase C infin sobre ⟨0 +infin⟩ Con la notaciones
presentadas tenemos la pertenencia f isin C infin983080
[0 +infin⟩983081
153 Funciones no derivables
Sea f una funcion cuyo dominio sea el conjunto A sub
Si f es derivable en el punto a isin A entonces la
grafica de f en su punto (a f (a)) tiene una unica recta tangente La idea de recta tangente en este caso no es
la misma que usted tiene a cerca de una recta tangente a una circunferencia en donde ellos tienen un unico
punto en comun es decir si la recta L es tangente a la circunferencia C entonces L y C tienen un unico punto
en comun llamado punto de tangencia Mientras que si L es una recta tangente a la grafica de la funcion f
es posible que ellos tengan otro punto en comun a parte del punto de tangencia la idea de tangencia que se
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La derivada de una funcion real de variable real
expone es local y no global en el sentido de que si L es una recta tangente a la grafica de la funcion f el punto
de tangencia es unico cerca de el especıficamente La recta L es una tangente a la grafica de la funcion f en su
punto (a f (a)) si existe un cırculo de centro (a f (a)) dentro del cual L y la grafica de la funcion f tienen un
unico punto en comun y los puntos de la grafica de f que pertenecen al cırculo estan a un solo lado de L Y si
ademas la funcion f es derivable en a la pendiente de L es f prime(a)
X
Y
L L L
y f x ( )=a
X
Y
L L L
y f x ( )=a
Si una funcion f es continua en un punto a no siempre sera derivable en dicho punto existe la posibilidad de
que lo sea como tambien que no como por ejemplo
La funcion f ⟨0 2⟩ minusrarr
definida por f (x) =
983163 2x si 0 lt x lt 1
2 si 1 le x lt 2es continua en el punto a = 1 pero
no es derivable en dicho punto pues no existe f prime(1) La existencia de la derivada f prime(1) implica que la grafica
de la funcion f tiene una unica recta tangente en el punto (1 f (1)) la no existencia de f prime(1) implica que la
grafica de la funcion f tiene una varias rectas en ese punto o no en este ejemplo como veremos gr aficamente
la funcion f posee varia rectas tangentes en su punto (1 f (1))
X
Y
y f x ( )=
1 2
X
Y
L L L
y x 2=
y x 3=
1
2
3
Grafico de f (x) =983163 2x si 0 lt x lt 1
2 si 1 le x lt 2 Grafico de f (x) =
x2 si
minus1 lt x lt 1
2x3
3 si 1 le x lt 2
Si una funcion f es derivable en un punto a entonces por el teorema 17 sera continua en dicho punto por
ejemplo la funcion f ⟨0 2⟩ minusrarr
f (x) =
x2 si minus1 lt x lt 1
2x3
3 si 1 le x lt 2
es derivable en a = 1 mas aun es
continua en dicho punto Es mas la grafica de f tiene una unica recta tangente en su punto (1 f (1))
De acuerdo al teorema 16 una funcion es no derivable en el punto ldquoardquo si f primeminus
(a) = f prime+(a) o una de la
derivadas laterales f primeminus
(a) f prime+(a) no existe Y de acuerdo al teorema 17 si f no es continua en el punto ldquoardquo
entonces no es derivable en ese punto
Los siguientes son ejemplos graficos de funciones no derivables en un punto
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La derivada de una funcion real de variable real
X X
Y Y
a a b
y f x = ( ) y f x = ( )
f a f a bno es derivable en no es derivable en y
f a
f b
es derivable en por derecha
es derivable en por izquierda
2 Teoremas sobre funciones derivables
21 Extremos relativos de una funcion
Definicion 21 Sean empty = X sub
y m isin
Diremos que ldquo mrdquo es el mınimo del conjunto X si m isin X y m le x
para todo x isin X
Definicion 22 Sean empty = X sub
y M isin
Diremos que ldquo M rdquo es el macute aximo del conjunto X si M isin X y
M ge x para todo x isin X
Observaciones
1 No todo subconjunto no vacıo de
posee maximo yo mınimo
2 Si un subconjunto no vacıo de
posee maximo yo mınimo este es unico y ademas es uno de los elementos
del conjunto
3 Si ldquomrdquo es el mınimo del conjunto X entonces lo denotamos por m = mın X
4 Si ldquoM rdquo es el maximo del conjunto X entonces lo denotamos por M = max X
5 Si m = mın X y M = max X entonces m le M y ademas m le x le M para todo x isin X
Ejemplo 21
1 El conjunto de los numeros naturales posee mınimo y es 1 es decir 1 = mın pero no posee maximo
2 El conjunto
el de los numeros enteros no posee ni maximo ni mınimo El conjunto
el de los numeros
racionales no posee ni maximo ni mınimo
3 Veamos algunos intervalos
a) Los intervalos ⟨a b⟩ ⟨a b] ⟨a +infin⟩ no poseen mınimo
b) Los intervalos ⟨a b⟩ [a b⟩ ⟨minusinfin b⟩ no poseen maximo
c) a = mın[a b] a = mın[a b⟩ a = mın[a +infin⟩
d) b = max[a b] b = max⟨a b] b = max⟨minusinfin b]
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La derivada de una funcion real de variable real
Definicion 23 Sean empty = A sub f A minusrarr una funciacute on y x0 isin A
1 La funciacute on ldquo f rdquo tiene un mınimo absoluto en x0 si f (x0) le f (x) para todo x isin A
2 La funciacute on ldquo f rdquo tiene un macute aximo absoluto en x0 si f (x) le f (x0) para todo x isin A
3 La funci on ldquo f rdquo tiene un mınimo relativo en x0 si existe un δ gt 0 tal que f (x0) le f (x) para todo
x isin A cap ⟨x0 minus δ x0 + δ ⟩
4 La funci on ldquo f rdquo tiene un macute aximo relativo en x0 si existe un δ gt 0 tal que f (x) le f (x0) para todo
x isin A cap ⟨x0 minus δ x0 + δ ⟩
Observaciones Sean empty = A sub
f A minusrarr
una funcion y x0 isin A
1 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo relativo en x0 diremos tambien que f tiene un mınimo local en x0
2 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo relativo en x0 diremos tambien que f tiene un maximo local en x0
3 La funcion ldquof rdquo tiene un extremo absoluto en x0 si tiene un mınimo o maximo absoluto en dicho punto
4 La funcion ldquof rdquo tiene un extremo relativo en x0 si tiene un mınimo o maximo relativo en dicho punto
5 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo absoluto en x0 entonces f (x0) es el mınimo del rango de la funcion es
decir
f (x0) = mın Ran (f )
Al numero f (x0) lo denominaremos el valor mınimo de f en su dominio
6 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo absoluto en x0 entonces f (x0) es el maximo del rango de la funcion es
decir
f (x0) = max Ran (f )
Al numero f (x0) lo denominaremos el valor maximo de f en su dominio
7 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo relativo en x0 entonces f no siempre tendra un mınimo absoluto en x0
Una funcion puede poseer un mınimo relativo sin tener un mınimo absoluto
8 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo relativo en x0 entonces f no siempre tendra un maximo absoluto en
x0 Una funcion puede poseer un maximo relativo sin tener un maximo absoluto
9 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo absoluto en x0 entonces f tiene un mınimo relativo en dicho punto Lo
contrario no siempre es cierto
En la figura la funcion f minusrarr tiene maximo
relativo en x = 0 pero no posee maximo absolutoen su dominio
En la figura la funcion g minusrarr tiene mınimo
relativo en x = 0 pero no posee mınimo absolutoen su dominio
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La derivada de una funcion real de variable real
10 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo absoluto en x0 entonces f tiene un maximo relativo en dicho punto Lo
contrario no siempre es cierto
11 Una funcion puede tener extremos absolutos en mas de un punto vea el siguiente grafico
En la figura la funcion f
minusrarr
tiene mınimo
absoluto en dos puntos diferentes
En la figura la funcion g
minusrarr
tiene maximo
absoluto en dos puntos diferentes
12 La funcion ldquof rdquo tiene un extremo en el punto x0 si tiene un maximo o mınimo absoluto o relativo en dicho
punto
Y Y
X X
figura (a) figura (b)
x x x x 0 1 2 3 4 5 6x x x x x x x x x x 0 1 2 3 4 5 6
y f x = ( )
y f x = ( )
En la figura (a) Dom(f ) = [x0 x6] la funcion tiene
un mınimo absoluto en el punto x2 y maximo absolu-
to en el punto x5 mientras que tiene mınimo relativo
en los puntos x0 x2 x4 y x6 y maximo relativo en
los puntos x1 x3 y x5
En la figura (b) Dom (f ) = [x0 x6⟩minusx3 la funcion
no tiene mınimo absoluto ni maximo absoluto mien-
tras que tiene mınimo relativo en los puntos x0 x2 y
x4 y maximo relativo en los puntos x1 y x5
Teorema 21 Si la funcion f tiene un extremo en x0 y f prime(x0) existe entonces f prime(x0) = 0
Observaciones
1 Lo contrario no siempre es cierto es decir si f prime(x0) = 0 entonces f no siempre tendra un extremo en x0
Un ejemplo simple es para f (x) = (x minus 2)3 en x0 = 2
2 Si la funcion f tiene un extremo en x0 y f prime
(x0) existe entonces la recta tangente a la grafica de la funcionen el punto
(x0 f (x0)
852009 en horizontal
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La derivada de una funcion real de variable real
3 Si la funcion f tiene un extremo en x0 y f prime(x0) no existe entonces o bien no existe recta tangente a la
grafica de la funcion en el punto(
x0 f (x0)852009
o existen infinitas rectas tangente a la grafica de la funcion en
el punto(
x0 f (x0)852009
pudiendo ser una de ellas una recta vertical
En la figura la funcion f
minusrarr
tiene un extremo
en x = 0 pero f prime(0) no existe ademas la grafica de
esta funcion posee infinitas rectas tangente en el pun-
to(
0 f (0)852009
En la figura la funcion g
minusrarr
tiene extremo en
los puntos x0 x1 existen g prime(x0) g prime(x1) y las rectas
tangente en(
x0 g(x0)852009
y(
x1 g(x1)852009
son horizontales
22 El teorema del valor medio
Teorema 22 (Teorema de Rolle) Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si f es continua en [a b] es derivable en
⟨a b⟩ y f (a) = f (b) entonces existe un c isin ⟨a b⟩ tal que f prime(c) = 0
Observaciones
1 Si la funcion f satisface las hipotesis del teorema de Rolle la existencia del punto c tales que f prime(c) = 0 no
siempre es unica pueden existir otros puntos del intervalo ⟨a b⟩ cuya primera derivada en esos puntos sea
cero
2 La condicion f (a) = f (b) indica que la recta que pasa por los puntos(
a f (a)852009
y(
b f (b)852009
es horizontal El
teorema garantiza la existencia de al menos un punto c isin ⟨a b⟩ tal que la recta tangente a la grafica de la
funcion f el punto(
c f (c)852009
tambien sea horizontal
X X
Y Y
y=f x( )
y=f x( )
figura (a) figura (b)
a c c b1 3 a b
c2
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La derivada de una funcion real de variable real
En la figura (a) la funcion f satisface las hipotesis del
teorema de Rolle por tanto en este caso existen pun-
tos c1 c2 y c3 del intervalo ⟨a b⟩ tal que f prime(c1) = 0
f prime(c2) = 0 y f prime(c3) = 0
En la figura (b) la funcion f no satisface las hipotesis
del teorema de Rolle en tanto no se garantiza la exis-
tencia de puntos del intervalo ⟨a b⟩ tal que la primera
derivada de f en esos puntos sea cero
Teorema 23 (El teorema del valor medio de Lagrange) Sea la funciacute on f [a b]
minusrarr
Si f es continua
en [a b] es derivable en ⟨a b⟩ entonces existe un c isin ⟨a b⟩ tal que
f prime(c) = f (b) minus f (a)
b minus a
Observaciones
1 Si la funcion f satisface las hipotesis del teorema del valor medio de Lagrange la existencia del punto c tales
que f prime(c) = f (b) minus f (a)
b minus a no siempre es unica pueden existir otros puntos del intervalo ⟨a b⟩ cuya primera
derivada en esos puntos sea igual a f (b) minus f (a)
b minus a
2 Sea L la recta que pasa por los puntos(
a f (a)852009
y(
b f (b)852009
el teorema garantiza la existencia de al menosun punto c isin ⟨a b⟩ tal que la recta tangente a la grafica de la funcion f el punto
(c f (c)
852009 sea paralela a L
Y Y
X X
y = f x ( ) y = f x ( )
f a ( )
f a ( )
f b( )
f b( )
figura (a) figura (b)
a c b1 b
c 2 a
L L L
L L L
En la figura (a) la funcion f satisface las hipotesis del
teorema de Lagrange por tanto en este caso existen
puntos c1 y c2 del intervalo ⟨a b⟩ tal que
f prime(c1) = f (b) minus f (a)
b minus a y f prime(c2) =
f (b) minus f (a)
b minus a
En la figura (b) la funcion f no satisface las hipotesis
del teorema de Lagrange en tanto no se garantiza
la existencia de puntos del intervalo ⟨a b⟩ tal que laprimera derivada en ese punto sea igual a
f (b) minus f (a)
b minus a
Teorema 24 (El teorema generalizado del valor medio de Cauchy) Sean las funciones f [a b] minusrarr
y g [a b] minusrarr
continuas en [a b] y derivables en ⟨a b⟩ con g(b) = g(a) y g prime(x) = 0 para todo x isin ⟨a b⟩
entonces existe un c isin ⟨a b⟩ tal que f prime(c)
g prime(c) =
f (b) minus f (a)
g(b) minus g(a)
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La derivada de una funcion real de variable real
23 Funciones crecientes y decrecientes
Definicion 24 (Funcion creciente) Sean empty = A sub
y la funciacute on f A minusrarr
Diremos que la funciacute on f
es creciente o estrictamente creciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) lt f (x2)
Definicion 25 (Funcion decreciente) Sean empty = A sub
y la funci on f A minusrarr
Diremos que la funcion f
es decreciente o estrictamente decreciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) gt f (x2)
Y Y
X X
f x ( )1
f x ( )1
x 1
x 1x 2
x 2
f x ( )2
f x ( )2
Graacutefico de una funcioacutenestrictamente creciente
Graacutefico de una funcioacutenestrictamente decreciente
Definicion 26 (Funcion no creciente) Sean empty = A sub y la funci on f A minusrarr
Diremos que la funciacute on
f es no creciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) ge f (x2)
Definicion 27 (Funcion no decreciente) Sean empty = A sub y la funciacute on f A minusrarr
Diremos que la
funciacute on f es no decreciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) le f (x2)
Y Y
X X
x 1 x 2 x 1 x 2
Graacutefico de una funcioacuten
no decreciente
Graacutefico de una funcioacuten
no creciente
Definicion 28 (Funcion monotona) Sean empty = A sub
y la funci on f A minusrarr
Diremos que la funciacute on f
es monacute otona sobre A si es creciente o decreciente o no creciente o no decreciente sobre A
Observaciones
1 Para definir funciones monotonas (crecientes decrecientes no crecientes o no decrecientes) no es necesario
saber la continuidad y la derivabilidad de la funcion en su dominio
2 Existen funciones monotonas que no son derivables yo continuas en su dominio
Teorema 25 Sean empty = A sub y la funciacute on f A minusrarr Si la funciacute on f es estrictamente creciente sobre A
entonces f es una funciacute on inyectiva y su funcion inversa f lowast tambien es estrictamente creciente sobre Ran(f )
Teorema 26 Sean empty = A sub
y la funci on f A minusrarr
Si la funci on f es estrictamente decreciente sobre A
entonces f es una funciacute on inyectiva y su funciacute on inversa f lowast tambien es estrictamente decreciente sobre Ran(f )
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La derivada de una funcion real de variable real
Y Y
X X
f
f
f
f
Teorema 27 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr
Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩
con f
prime
(x) gt 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es estrictamente creciente sobre [a b]
Teorema 28 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩
con f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es estrictamente decreciente sobre [a b]
X X
a
a b
b
Observaciones
1 Del teorema 27 si la pendiente de todas las rectas tangente a la grafica de la funcion sobre ⟨a b⟩ es positiva
entonces la funcion es estrictamente creciente sobre [a b]
2 Del teorema 28 si la pendiente de todas las rectas tangente a la grafica de la funcion sobre ⟨a b⟩ es negativa
entonces la funcion es estrictamente decreciente sobre [a b]
Teorema 29 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr
Si la funcion f es continua sobre [a b] y es inyectiva en [a b]
entonces f es estrictamente creciente o estrictamente decreciente sobre [a b] pero no ambos
X X
a
a b
b
f ab
ab
es continua e inyectiva sobre [ ]en este caso es creciente sobre [ ]
f ab
ab
es continua e inyectiva sobre [ ]en este caso es decreciente sobre [ ]
f f
Teorema 210 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funciacute on f es continua y estrictamente creciente sobre
[a b] entonces Ran(f ) =1048667
f (a) f (b)1048669
y su funciacute on inversa f lowast 1048667
f (a) f (b)1048669 minusrarr
es tambien continua y
estrictamente creciente sobre [a b]
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La derivada de una funcion real de variable real
Teorema 211 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funcion f es continua y estrictamente decreciente sobre
[a b] entonces Ran(f ) =1048667
f (b) f (a)1048669
y su funciacute on inversa f lowast 1048667
f (b) f (a)1048669 minusrarr
es tambien continua y
estrictamente decreciente sobre [a b]
Teorema 212 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre
⟨a b⟩ con f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es no decreciente sobre [a b]
Teorema 213 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre
⟨a b⟩ con f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es no creciente sobre [a b]
Teorema 214 (de la funcion constante) Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre
[a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩ con f prime(x) = 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es constante sobre [a b] es decir
existe una constante C tal que f (x) = C para todo [a b]
Teorema 215 (de la diferencia constante) Sean las funciones f [a b] minusrarr
y f [a b] minusrarr
Si las
funciones f y g son continuas sobre [a b] y es derivables sobre ⟨a b⟩ con f prime(x) = g prime(x) para todo x isin ⟨a b⟩entonces existe una constante C tal que f (x) = g(x) + C para todo [a b]
Definicion 29 (Punto crıtico) Sean I un intervalo de
x0 un punto de I y la funciacute on f I minusrarr
El
punto x0 es un punto crıtico de la funciacute on f I minusrarr si x0 satisface alguna de las siguientes condiciones
a) f prime(x0) = 0 o b) f prime(x0) = 0 no existe o c) f tiene un extremo en x0
Observaciones
1 Si x0 es un punto crıtico de la funcion f no podemos concluir con certeza una de las condiciones mencionadas
2 Si x0 es un punto crıtico de la funcion f y f prime(x0) = 0 no podemos concluir con certeza que f tiene un
extremo en dicho punto
Por ejemplo sea la funcion f [1 3] minusrarr definida
por f (x) = (x minus 2)3 cuya funcion derivada es
f prime ⟨1 3⟩ minusrarr
983087 f prime(x) = 3(x minus 2)2
En x0 = 2 tenemos f prime(x0) = 0 pero f no tiene
maximo ni mınimo en 2 f tiene un mınimo en 1
y un maximo en 3 por tanto 1 2 y 3 son puntos
crıticos de f
Y
X
1
2
Ejercicio 7 Hal le los puntos crıticos de las siguientes funciones
1 f
minusrarr que estacute a definida por
f (x) = 1
4(x4 minus 6x2 + 8x) + 5
2 f
minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = 3
radic (x + 4)2(x minus 5)
3 f
minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = 5x23 minus x53
4 f
minusrarr
que estacute a definida por f (x) = x + 1
x2 + 1
5 f
minus 1 minusrarr que estacute a definida por
f (x) = x3 minus 2
(x minus 1)2
6 f
minusrarr
que estacute a definida por f (x) = x2 + 3radic
x2 + 1
7 f [minusπ2
π2
] minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = sin2 x minus |x|
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La derivada de una funcion real de variable real
231 Criterio de la primera derivada para extremos de una funcion
Aquı presentamos un criterio que nos ayuda a determinar si un punto crıtico es aquel en donde una funcion
alcanza su valor maximo o mınimo
Teorema 216 (Criterio de la primera derivada) Sean la funciacute on f A minusrarr
el intervalo [a b] contenido
en A y x0
isin ⟨a b
⟩ un punto crıtico de f
1 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f tiene un macute aximo en el punto x0
2 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f tiene un mınimo en el punto x0
3 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) gt 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) gt 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f no tiene macute aximo ni mınimo en el punto x0
4 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f no tiene macute aximo ni mınimo en el punto x0
X X
a bx 0a bx 0
f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0lt gt f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0gt lt
f
f
f tiene un maacuteximo en x 0 f tiene un miacutenimo en x 0
X X a bx 0a bx 0
f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0lt lt f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0gt gt
f f
f no tiene un extremo en x 0 f no tiene un extremo en x 0
Observaciones
1 Al ser x0 un punto crıtico de f el criterio de la primera derivada no garantiza que exista f prime(x0)
2 El criterio de la primera derivada requiere que f sea derivable en ⟨a x0⟩ cup ⟨x0 b⟩ mas no en x0
3 Un metodo que nos permite hallar puntos crıticos de la funcion f en [a b] es resolver la ecuacion f prime(x) = 0
sujeta a la condicion x isin ⟨a b⟩ pero tal metodo solo nos proporciona todos los puntos crıticos de f que
cumple la primera condicion dada en la definicion 29
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La derivada de una funcion real de variable real
4 Los graficos anteriores presentan al punto crıtico x0 de f en el cual existe f prime(x0) y es igual a cero es mas
en los dos primeros graficos la recta tangente en el punto (x0 f (x0)) es horizontal iquestCual es el aspecto de
la grafica de f si es que no existiera f prime(x0)
5 Sea x0 isin ⟨a b⟩ un punto crıtico de la funcion f Al utilizar el criterio de la primera derivada para averiguar
si f tiene maximo o mınimo en x0 es necesario resolver las inecuaciones f prime(x) lt 0 y f prime(x) gt 0 sujetas
a la restriccion x isin ⟨a b⟩ tales procesos son sencillos para algunas funciones pero existen funciones paralos cuales tales resoluciones son complicadas y ahı el criterio de la primera derivada no es recomendable
utilizarlo pero tal deficiencia se supera utilizando otro criterio para determinar extremo de una funcion
6 El criterio de la primera derivada tambien es aplicable cuando en lugar del intervalo ⟨a b⟩ se considera a
otros tipos de intervalos abiertos si es que estan contenidos en el dominio de la funcion
Por ejemplo para la funcion f
minusrarr
definida por f (x) = x2 su unico punto crıtico es x0 = 0 f prime(x) lt 0
para todo x lt 0 y f prime(x) gt 0 para todo x gt 0 por tanto f tiene un mınimo en 0 y su valor mınimo es
f (0) = 0
232 Criterio de la segunda derivada para extremos de una funcion
Aquı presentamos otro criterio que nos ayuda a determinar si un punto crıtico es aquel en donde una funcion
alcanza su valor maximo o mınimo este metodo requiere la existencia de la segunda de la funcion en su punto
crıtico
Teorema 217 (Criterio de la segunda derivada) Sean la funciacute on f A minusrarr
el intervalo [a b] contenido
en A y x0 isin ⟨a b⟩ un punto crıtico de f para el cual f primeprime(x0) existe
1 Si la funciacute on f es derivable en ⟨a b⟩ f prime(x0) = 0 y f primeprime(x0) lt 0 entonces f tiene un macute aximo en el punto x0
2 Si la funciacute on f es derivable en
⟨a b
⟩ f prime(x0) = 0 y f primeprime(x0) gt 0 entonces f tiene un mınimo en el punto x0
X X
a bx 0a bx 0
f a b f f es derivable en ( ) 0 ( ) 0 x x 0 0= lt f a b f f es derivable en ( ) 0 ( ) 0 x x 0 0= gt
f
f
f tiene un maacuteximo en x 0 f tiene un miacutenimo en x 0
Observaciones
1 Los graficos anteriores presentan al punto crıtico x0 de f en el cual existe f primeprime(x0) y es diferente a cero
2 El criterio de la segunda derivada tambien es aplicable cuando en lugar del intervalo ⟨a b⟩ se considera a
otros tipos de intervalos abiertos si es que estan contenidos en el dominio de la funcion
Por ejemplo para la funcion f
minusrarr
definida por f (x) = x2 su unico punto crıtico es x0 = 0 y
f primeprime(0) = 2 gt 0 por tanto f tiene un mınimo en 0 y su valor mınimo es f (0) = 0
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La derivada de una funcion real de variable real
24 Concavidad y puntos de inflexion
25 La regla de Lrsquo Hospital
3 Aplicaciones de la derivada
31 Trazado de grafica de funciones
32 Derivadas parametricas
321 Regla de la cadena
33 Diferencial de una funcion
34 Razon de cambio
Indice
1 La derivada 111 Derivadas laterales 4
12 Derivacion y continuidad 5
13 Derivadas de orden superior 7
131 Notacion de derivadas 7
132 El operador d
dx 8
133 La segunda derivada 10
134 Derivada de ordenes mayores a dos 10
135 Notacion de derivadas de ordenes superiores 11
14 Derivadas implıcitas 12
141 Ecuaciones diferenciales ordinarias de lugares geometricos 13
15 Funciones derivables 18
151 Funciones derivables en un intervalo 18
152 Funciones de clase C k 19
153 Funciones no derivables 19
2 Teoremas sobre funciones derivables 21
21 Extremos relativos de una funcion 21
22 El teorema del valor medio 24
23 Funciones crecientes y decrecientes 26
231 Criterio de la primera derivada para extremos de una funcion 29
232 Criterio de la segunda derivada para extremos de una funcion 30
24 Concavidad y puntos de inflexion 31
25 La regla de Lrsquo Hospital 31
3 Aplicaciones de la derivada 31
31 Trazado de grafica de funciones 31
32 Derivadas parametricas 31
321 Regla de la cadena 31
33 Diferencial de una funcion 31
34 Razon de cambio 31
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La derivada de una funcion real de variable real
⋆ lımxrarr1minus
f (x) minus f (1)
x minus 1 = lım
xrarr1minus
radic 1 minus x minus 0
x minus 1 = minusinfin
⋆ lımxrarr1+
f (x) minus f (1)
x minus 1 = lım
xrarr1+
(1 minus x)2 minus 0
x minus 1 = 0
Con los resultados anteriores vemos que f es continua en x = 1 pero no es derivable en ese punto En este
caso el ser continua en un punto no implica que sea derivable en el mismo punto
2 Sea la funcion f definida por f (x) =
1 si x lt 4
2 si x ge 4
⋆ lımxrarr4minus
f (x) = 1 lımxrarr4+
f (x) = 2 y f (4) = 2
⋆ lımxrarr4minus
f (x) minus f (4)
x minus 4 = lım
xrarr4minus
1 minus 2
x minus 4 =
minus1
0minus= +infin
⋆ lımxrarr4+
f (x)
minusf (4)
x minus 4 = lımxrarr4+
2
minus2
x minus 4 = lımxrarr4+(0) = 0
Con los resultados anteriores vemos que f es no continua en x = 4 entonces no es derivable en x = 4 no
era necesario calcular f prime+(4) y f primeminus
(4) para demostrar que f no es derivable en x = 4
3 Sea la funcion f definida por f (x) =
x2 si x lt minus1
minus1 minus 2x si x ge minus1
⋆ lımxrarrminus1minus
f (x) minus f (minus1)
x minus (minus1) = lım
xrarrminus1
x2 minus 1
x + 1 = lım
xrarrminus1(x minus 1) = minus2
⋆ lımxrarrminus1+
f (x)minus
f (minus
1)
x minus (minus1) = lımxrarrminus1 minus1
minus2x
minus1
x + 1 = lımxrarrminus1 minus2
minus2x
x + 1 = lımxrarrminus1(minus2) = minus2
Los resultados anteriores implican que f es derivable en x = minus1 y por tanto es continua en ese punto
Ejercicio 1 Utilice la definiciacute on de la derivada para calcular la derivada de f en el punto a
1) f (x) = 1radic
x + 1 a = 3
2) f (x) = 3x a = 5
3) f (x) = sin 2x a = π
4) f (x) = x + 3
2x minus 5 a = 2
Ejercicio 2 A continuaciacute on presentamos las reglas de correspondencia de ciertas funciones halle la regla de
correspondencia de su funciacute on derivada Utilice la tabla de derivadas que estacute a en la siguiente pacute agina
1) f (x) = x4 + 3x2 minus 6
2) f (x) = (1 + 4x3)(1 + 2x2)
3) f (x) = x(2x minus 1)(3x + 2)
4) f (x) = tan x
x2
5) f (x) =radic
4 minus xx
6) f (x) =
1
(x + a)n middot 1
(x + b)m
7) f (x) =
radic 2x2 minus 2x + 1
x
8) f (x) =
radic x2 + 1 +
radic x2 minus 1radic
x2 + 1 minus radic x2 minus 1
9) f (x) =991770
x +radic
x +radic
x
10) f (x) = arctan
1048616radic 1 minus cos xradic 1 + cos x
1048617
11) f (x) = 1radic
x middot e
x2 middot arctan x + 1
2 ln x + 1
12) f (x) = ln983080radic
2sin x + 1 +radic
2sin x minus 1983081
13) f (x) = 3
1057306 ln983080
sin(x + 3
4
852009983081UNSCH 6 Designed in LATEX by Suarez Azpur Fredy R
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La derivada de una funcion real de variable real
Tabla de derivadas de las funciones mas importantes Sean u = u(x) v = v(x) dos funciones derivables
C una constante real entonces tenemos la siguiente tabla que contiene a dichas funciones y sus derivadas en los
puntos en donde esta existen
Funcion Derivada
y = f (x) dy
dx = f prime(x)
C 0
x 1
Cf (x) Cf prime(x)
un nunminus1 middot du
dx
u plusmn v uprime plusmn vprime
u v uprimev + uvprime
u
v
uprimev minus uvprime
v2
ln u 1
u middot du
dx
loga u 1
u ln a middot du
dx
e u e u middot dudx
au au ln a middot du
dx
Funcion Derivada
y = f (x) dy
dx
= f prime(x)
sin u cos u middot du
dx
cos u minus sin u middot du
dx
tan u sec2 u middot du
dx
cot u minus csc2 u middot du
dx
sec u sec u middot tan u middot du
dx
csc u minus csc u middot cot u middot du
dx
arcsin u 1radic
1 minus u2 middot du
dx
arc cosu minus1radic
1 minus u2 middot du
dx
arctan u 1
1 + u2 middot du
dx
arc cot u minus11 + u2 middot dudx
arcsec u 1
uradic
u2 minus 1middot du
dx
arccsc u minus1
uradic
u2 minus 1middot du
dx
Funcion Derivada
y = f (x)
dy
dx = f prime
(x)
sinh u cosh u middot du
dx
cosh u sinh u middot du
dx
tanh u sech2u middot du
dx
coth u minuscsch2u middot du
dx
sech u minussech u middot tanh u middot dudx
csch u minuscsch u middot coth u middot du
dx
radic u
1
2radic
u middot du
dx
n
radic u
1
n n
radic (u)nminus1
middot du
dx
|u
| u
|u| middot du
dx
uv uv
1048616v
u middot du
dx +
dv
dx middot ln u
1048617
1
u minus 1
u2 middot du
dx
13 Derivadas de orden superior
131 Notacion de derivadas
En la definicion 14 si f A minusrarr es una funcion su funcion derivada f prime cuya regla de correspondencia es
f prime(x) = lımhrarr0
f (x + h) minus f (x)
h
tiene por dominio a Dom (f prime) = x isin A existe f prime(x) que generalmente esta contenido en A pudiendo ser
A = Dom (f prime) tal es el caso de la funcion f
minusrarr definida por f (x) = sin x donde f prime(x) = cos x para
todo x isin es decir Dom (f prime) = Sin embargo existen casos en el cual A sub Dom (f prime) y A = Dom (f prime) como
por ejemplo si f [0 +infin⟩ minusrarr definida por f (x) =
radic x donde f prime(x) =
1
2radic
x para todo x gt 0 es decir
Dom(f prime) = ⟨0 +infin⟩
A la funcion derivada de f tambien las denotaremos por df dx f (1) entonces con estas notaciones escribimos
f prime(x) = df
dx(x) f prime(x) = f (1)(x) en todo x isin Dom (f ) para los cuales existe f prime(x)
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La derivada de una funcion real de variable real
132 El operador d
dx
Cuando trabajamos con funciones derivables el proceso de derivacion es hallar la funcion derivada de cierta
funcion que evidentemente tendra otra regla de correspondencia para ellos empleamos el operador d
dx que
transforma la regla de correspondencia de una funcion f en la regla de correspondencia de su funcion derivada
es decir d
dx(f (x)852009 = f prime(x)
Ejemplo 14 Si f (x) = radic
x entonces d
dx
(f (x)
852009=
d
dx
(radic x852009
= 1
2radic
x para todo x gt 0
Empleando el teorema 12 y la definicion 14 es facil demostrar que d
dx es un operador lineal es decir
d
dx
852059f (x) + g(x)
852061=
d
dx
1048667f (x)
1048669+
d
dx
852059g(x)
852061 y
d
dx
1048667λf (x)
1048669= λ middot d
dx
852059f (x)
852061 donde λ isin
y que ademas
d
dx1048667f (x)g(x)1048669 =
d
dx852059f (x)852061 middot
g(x) + f (x)
middot
d
dx852059g(x)852061 y
d
dx1048667
f (x)
g(x)1048669 =
d
dx 852059f (x)
852061middot g(x) minus f (x) middot d
dx 852059g(x)
852061[g(x)]
2
En forma abreviada dado que d
dx
983080f (x)
983081= f prime(x)
1048667f (x) + g(x)
1048669prime
=852059
f (x)852061prime
+852059
g(x)852061prime
y852059
λf (x)852061prime
= λ852059
f (x)852061prime
donde λ isin
de manera similar1048667f (x)g(x)
1048669prime
=852059
f (x)852061prime
g(x) + f (x)852059
g(x)852061prime
y1048667f (x)
g(x)
1048669prime
=
852059f (x)
852061primeg(x) minus f (x)
852059g(x)
852061prime[g(x)]2
Ejemplo 15 En cada caso halle f prime(x) utilizando el operador d
dx
1 Sea f
minusrarr
definido por f (x) = sin(2x)minus
e3x emplearemos simultaneamente la regla de la cadena y
la tabla de derivadas para hallar f prime(x)
f (x) = sin(2x) minus e3x minusrarr d
dx[f (x)] =
d
dx[sin(2x) minus e3x]
minusrarr d
dx[f (x)] =
d
dx[sin(2x)] minus d
dx[e3x]
minusrarr d
dx[f (x)] = cos(2x)
d
dx[2x] minus e3x
d
dx[3x]
minusrarr d
dx[f (x)] = cos(2x) middot 2 minus e3x middot 3
there4 f prime(x) = 2 cos(2x) minus 3e3x para todo x isin
2 Sea f minusrarr definido por f (x) = x3
sin xe5x
emplearemos simultaneamente la regla de la cadena y la
tabla de derivadas para hallar f prime(x)
f (x) = x3 sin x
e5x minusrarr [f (x)]prime =
983131x3 sin x
e5x
983133prime
minusrarr f prime(x) = [x3 sin x]prime middot e5x minus x3 sin x middot [e5x]prime
[e5x]2
minusrarr f prime(x) =
983080[x3]prime sin x + x3[sin x]prime
983081middot e5x minus x3 sin x middot [e5x]prime
[e5x]2
minusrarr f prime(x) = 9830803x2 middot sin x + x3 middot cos x983081 middot e5x minus x3 sin x middot e5x middot [5x]prime
[e5x]2
minusrarr f prime(x) =
9830803x2 middot sin x + x3 middot cos x
983081middot e5x minus x3 sin x middot e5x middot 5
[e5x]2
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La derivada de una funcion real de variable real
Reduciendo y agrupando la expresion tenemos
f prime(x) = eminus5x983080
(3x2 minus 5x3)sin x + x3 cos x983081
para todo x isin
3 Sea f
minusrarr
definido por f (x) = (x4 + 2)4cos2x emplearemos simultaneamente la regla de la cadena
y la tabla de derivadas para hallar f prime(x)
f (x) = (x4 + 2)4cos2x minusrarr ln[f (x)] = ln1048667
(x4 + 2)4cos2x1048669
= 4cos 2x middot ln(x4 + 2)
luego derivando respecto a x
minusrarr f prime(x)
f (x) =
10486674cos2x middot ln(x4 + 2)
1048669prime
minusrarr f prime(x)
f (x) =
10486674cos2x
1048669prime
middot ln(x4 + 2) + 4 cos 2x middot1048667
ln(x4 + 2)1048669prime
minusrarr f prime(x)
f (x) = 4
1048667cos2x
1048669prime
middot ln(x4 + 2) + 4 cos 2x middot [x4 + 2]prime
x4 + 2
minusrarr f prime(x)
f (x) = 4(minus sin2x)[2x]prime
middot ln(x4
+ 2) + 4cos 2x middot [x4]prime + [2]prime
x4 + 2
minusrarr f prime(x)
f (x) = 4(minus sin2x)2 middot ln(x4 + 2) + 4cos 2x middot 4x3 + 0
x4 + 2
minusrarr f prime(x)
f (x) = minus8sin2x middot ln(x4 + 2) +
16x3
x4 + 2 middot cos2x
there4 f prime(x) = (x4 + 2)4cos2x983080
minus 8sin2x middot ln(x4 + 2) + 16x3
x4 + 2 middot cos2x
983081 para todo x isin
Observacion El operador d
dx es muy especıfico en el siguiente sentido Si u es una expresion que depende de
x es decir u = u(x) entonces ddx
[u] = ddx
[u(x)] = u prime(x) Sin embargo supongamos que W es una expresion
que no depende de la variable x entonces al hallar d
dx[W ] nos resultara ldquo0rdquo ya que el operador a la expresion
W lo interpreta como una constante
Es necesario especificar cuando utilizamos el operador d
dx que estamos derivando respecto a la variable
ldquoxrdquo solamente y no respecto a otra variable Es ası si utilizamos el operador d
dy estamos derivando respecto a
la variable ldquoyrdquo y si utilizamos el operador d
dt estamos derivando respecto a la variable ldquotrdquo ası sucesivamente
Ejemplo 16
1 Hallemos d
dx[u] si u = 5x + tan x
d
dx[u] =
d
dx[5x + tan x] =
d
dx[5x] +
d
dx[tan x] = 5
d
dx[x] + sec2 x = 5 + sec2 x
2 Hallemos d
dx[W ] si W = 5e5t+1 + tan(3x) donde t no depende de x
d
dx[W ] =
d
dx[5e5t+1 + tan(3x)] =
d
dx[5e5t+1] +
d
dx[tan(3x)] = 0 + sec2(3x)
d
dx[3x] = sec2(3x) middot 3
3 Hallemos d
dx[W ] si W = cos(5x + t) + ln(x2 + z) donde z y t no dependen de x
ddx
[W ] = ddx
1048667cos(5x + t) + ln(x2 + z)
1048669= minussin(5x + t) middot d
dx[5x + t] + 1
x2 + z middot d
dx[x2 + z]
=rArr d
dx[W ] = minussin(5x + t) middot (5 + 0) +
1
x2 + z middot (2x + 0) = minus5 sin(5x + t) +
2x
x2 + z
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La derivada de una funcion real de variable real
4 Si U solo depende de x entonces d
dy[U ] = 0
d
dx[U ] = U prime(x)
d
dt[U ] = 0 y
d
dz[U ] = 0
133 La segunda derivada
Definicion 17 Sea f una funciacute on derivable en a la segunda derivada de f en a es
f primeprime
(a) = lımxrarra
f prime(x)
minusf prime(a)
x minus a = lımhrarr0
f prime(a + h)
minusf prime(a)
h
si es que dicho l ımite existe La funciacute on segunda derivada de f denotada por f primeprime es definida por
f primeprime(x) = lımhrarr0
f prime(x + h) minus f prime(x)
h
Observaciones
1 La segunda derivada de f en un punto es la derivada de f prime en dicho punto
2 El dominio de f primeprime esta formado por todos los puntos ldquoxrdquo del dominio de f para los cuales existe f primeprime(x)
3 Los dominios de f f prime y f primeprime no siempre coinciden generalmente se tiene
Dom(f primeprime) sub Dom (f prime) sub Dom (f )
4 Si existe f primeprime(a) diremos que f es dos veces derivable en a
5 Si f no es derivable en a entonces no es dos veces derivable en a
6 Si f es dos veces derivable en a entonces es derivable en a
7 Si f es derivable en a no siempre es dos veces derivable en a
8 Si f es dos veces derivable en a entonces es continua en a
Ejemplo 17
1 Sea f [0 +infin⟩ minusrarr una funcion definida por f (x) =
radic x La funcion derivada de f sera f prime ⟨0 +infin⟩ minusrarr
cuya regla de correspondencia es f prime(x) = 1
2radic
x mientras que la funcion segunda derivada de f sera f primeprime
⟨0 +infin⟩ minusrarr
cuya regla de correspondencia es f primeprime(x) = minus1
4radic
x3
En este caso
Dom(f primeprime) sub Dom (f prime) sub Dom (f ) y Dom (f primeprime) = Dom (f prime) = Dom (f )
2 Sea f
minusrarr
una funcion definida por f (x) = x3 + sin x La funcion derivada de f sera f prime
minusrarr
cuya regla de correspondencia es f prime(x) = 3x2 +cos x y la funcion segunda derivada de f sera f primeprime
minusrarr
cuya regla de correspondencia es f primeprime(x) = 6x minus sin x
En este caso
Dom(f primeprime) = Dom(f prime) = Dom(f )
134 Derivada de ordenes mayores a dos
En forma analoga a la definicion 17 definimos la tercera derivada de la funcion f en el punto ldquoardquo por
f primeprimeprime(a) = lımxrarra
f primeprime(x) minus f primeprime(a)
x
minusa
= lımhrarr0
f primeprime(a + h) minus f primeprime(a)
h
si es que el l ımite existe y la funcion tercera derivada de f por
f primeprimeprime(x) = lımhrarr0
f primeprime(x + h) minus f primeprime(x)
h
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La derivada de una funcion real de variable real
La tercera derivada de f en a es la derivada de la segunda derivada de f en a y la funcion tercera derivada de
f es la funcion derivada de la funcion segunda derivada de f es decir f primeprimeprime = (f primeprime)prime
Ası llegarıamos a definir la nminusesima derivada de la funcion f en el punto ldquoardquo por
f (n)(a) = lımxrarr
a
f (nminus1)(x) minus f (nminus1)(a)
x minus a
= lımhrarr
0
f (nminus1)(a + h) minus f (nminus1)(a)
hsi es que el l ımite existe y la funcion nminusesima derivada de f por
f (n)(x) = lımhrarr0
f (nminus1)(x + h) minus f (nminus1)(x)
h
135 Notacion de derivadas de ordenes superiores
Generalizando el operador d
dx para derivadas de ordenes mayores a uno tenemos los siguientes operadores
1 El operador d
dx transforma a f (x) en f prime(x)
2 El operador d2
dx2 transforma a f (x) en f primeprime(x) y d2
dx2 = d
dx
983080 ddx
983081
3 El operador d3
dx3 transforma a f (x) en f primeprimeprime(x) y
d3
dx3 =
d
dx
983080 d2
dx2
983081=
d
dx
1048616 d
dx
983080 d
dx
9830811048617
4 El operador dn
dxn transforma a f (x) en f (n)(x) y
dn
dxn =
d
dx
983080 dnminus1
dxnminus1
983081=
d
dx
1048616 d
dx
983080 dnminus2
dxnminus2
9830811048617
Ejemplo 18 Sea f (x) = x5 + 2x2 entonces
1 d
dx1048667f (x)
1048669=
d
dx[x5 + 2x2] = 5x4 + 4x
2 d2
dx2
1048667f (x)
1048669=
d
dx
983131 d
dx
1048667f (x)
1048669983133=
d
dx[5x4 + 4x] = 20x3 + 4
3 d3
dx3
1048667f (x)
1048669=
d
dx
983131 d2
dx2
1048667f (x)
1048669983133=
d
dx[20x3 + 4] = 60x2
4 d4
dx4
1048667f (x)
1048669=
d
dx
983131 d3
dx3
1048667f (x)
1048669983133=
d
dx[60x2] = 120x
5 d5
dx5
1048667f (x)
1048669=
d
dx
983131 d4
dx4
1048667f (x)
1048669983133=
d
dx[120x] = 120
6
d6
dx61048667
f (x)1048669
=
d
dx983131 d5
dx51048667
f (x)1048669983133
=
d
dx [120] = 0 y
dn
dxn1048667
f (x)1048669
= 0 foralln ge 6
Ejercicio 3 Halle una facute ormula para expresar f (n)(x) si
1 f (x) = ex
2 f (x) = eax
3 f (x) = akx
4 f (x) = 1
(x minus a)k
5 f (x) = 1 minus x
1 + x
6 f (x) = 5x minus 2
x2 minus 4
7 f (x) = sin ax
8 f (x) = cos ax
9 f (x) = ln(a + bx)
10 f (x) = 1
x2 minus 3x + 2
11 f (x) = 8x minus 5
2x2 + x minus 6
12 f (x) = x ex
13 f (x) = 5x minus 1
x2 + x minus 12
14 f (x) = ex sin x
15 f (x) = sin2 x
16 f (x) = xnradic
x
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La derivada de una funcion real de variable real
14 Derivadas implıcitas
Sea F (x y) = C una ecuacion que contiene dos variables si en esta ecuacion no se ha despejado la variable
y diremos que y esta expresado en F (x y) = C de manera implıcita
Sea F U sub
2 minusrarr una funcion y f A sub
minusrarr una funcion cuya regla de correspondencia esta en
la forma implıcita en la ecuacionF (x y) = C donde y = f (x)
Las derivadas implıcitas permiten hallar f prime(x) sin necesidad de conocer la regla de correspondencia de f es
mas podemos hallar las derivadas de orden superior de f
Ejemplo 19 Si ldquo yrdquo es una expresiacute on que depende de ldquo xrdquo halle dy
dx
1 e5y = sin(x + y)
e5y = sin(x + y) minusrarr d
dx[e5y] =
d
dx[sin(x + y)]
minusrarr e5y ddx
[5y] = cos(x + y) ddx
[x + y]
minusrarr e5y middot 5 middot dy
dx = cos(x + y)(1 +
dy
dx)
minusrarr 5e5y middot dy
dx = cos(x + y)(1 +
dy
dx)
there4dy
dx =
cos(x + y)
5e5y minus cos(x + y)
2 x = ln(x3 + y)
x = ln(x3 + y) minusrarr
d
dx[x] =
d
dx1048667 ln(x3 + y)1048669
minusrarr 1 = 1
x3 + y middot d
dx[x3 + y]
minusrarr 1 = 1
x3 + y middot (3x2 +
dy
dx)
minusrarr dy
dx = x3 minus 3x2 + y
Derivando una vez mas respecto de x tenemos d
dx[
dy
dx] =
d
dx[x3 minus 3x2 + y] = 3x2 minus 6x +
dy
dx
=rArr d2y
dx2 = 3x2 minus 6x +
dy
dx = 3x2 minus 6x + x3 minus 3x2 + y = x3 minus 6x + y
there4dydx
= x3 minus 3x2 + y y d2ydx2
= x3 minus 6x + y
3 Halle dy
dx si exp
1048616860698 x +
radic y
x minus radic y
1048617+ ln
860698 x minus radic
y
x +radic
y = 8
4 Halle dy
dx si sin(xy) + cos(xy) = tan(x + y)
5 Halle dy
dx si x minus y = arcsin x minus arcsin y
6 Halle dy
dx
si 860698 y minus radic x
y + radic x + 860698 y +
radic x
y minus radic x =
5
2
7 Halle dy
dx si x2 minus a
radic xy + y2 = a2 a constante
8 Halle d2y
dx2 si x12 + y12 = 2 a constante
9 Halle d2y
dx2 si b2x2 minus a2y2 = a2b2 a b constantes
10 Halle d2y
dx2 si x23 + y23 = a23 a constante
11 Halle d2y
dx2
si 3x2
minus2xy + y2 = a2 a constante
12 En los ejercicios anteriores halle dx
dy si x = x(y)
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La derivada de una funcion real de variable real
141 Ecuaciones diferenciales ordinarias de lugares geometricos
Definicion 18 (Ecuacion diferencial) Una ecuaciacute on diferencial es aquella que contiene una o macute as fun-
ciones de una o macute as variables y algunas de sus derivadas respecto a sus variables independientes
Definicion 19 (Ecuacion diferencial ordinaria) Una ecuaciacute on diferencial ordinaria es aquella que con-
tiene una o macute as funciones de una variable y algunas de sus derivadas respecto a su variable independiente El
orden de esta ecuaciacute on diferencial ordinaria es el de la derivada de mayor orden contenida en ella
Ejemplo 110 La siguientes son ecuaciones diferenciales ordinarias
1 2yprimeprime + xyprime + y = sen x su orden es 2
2 yprimeprimeprime minus 2yprimeprime + 5yprime + y = ln x su orden es 3
3 xyprime + sen x = tan x su orden es 1
4 y(5) + y(4) + yprimeprimeprime + yprimeprime + yprime + y = 0 su orden es 5
5 2yprimeprime + xyprime + y3 = sen x su orden es 2
6 (yprimeprimeprime)2 minus 2(yprimeprime)7 + 5yprime + y = ln x su orden es
7 xyprime + sen x = tan y su orden es 3
8 y(5) + y(4) + yprimeprimeprime + (yprimeprime)4 + yprime + ln y = 0 su orden es 5
9 yy primeprime + x2y = x su orden es 2
Definicion 110 Un lugar geometrico del plano
2 es un conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen una
o macute as ecuaciones del tipo F (x y) = K
Ejemplo 111 La recta la circunferencia la paracute abola la elipse la hiperbola las graficas de funciones son
ejemplos de lugares geometricos
Definicion 111 La ecuaciacute on diferencial ordinaria de un lugar geometrico cuya ecuaciacute on es F (x y) = K es
aquella que se obtiene al derivar esta ecuaciacute on con respecto a una de sus variables
Teorema 18 Si un lugar geometrico cuya ecuaciacute on es F (x y) = K contiene n constantes independiente
entonces su ecuaciacute on diferencial ordinaria tendracute a orden n
Ejemplo 112 Halle la ecuaciacute on diferencial ordinaria de todas las circunferencias con centro el origen de
coordenadas
Solucion La ecuacion de esta familia de circunferencias es x2 + y2 = r2 y contiene una sola constante Al
derivar a ambos miembros respecto a x tenemos 2x + 2yyprime = 0 Por tanto la ecuacion diferencial ordinaria de
estas circunferencias sera
x + yy prime = 0 o yprime = minusy
x
Ejemplo 113 Halle la ecuaciacute on diferencial ordinaria de todas las rectas horizontales
Solucion La ecuacion de esta familia de rectas es y = K y contiene una sola constante Al derivar a ambos
miembros respecto a x tenemos y prime = 0 Por tanto la ecuacion diferencial ordinaria de estas rectas sera
yprime = 0
Ejemplo 114 Halle la ecuaciacute on diferencial ordinaria de todas las rectas con pendiente 2
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La derivada de una funcion real de variable real
Solucion La ecuacion de esta familia de rectas es y = 2x + K y contiene una sola constante Al derivar a
ambos miembros respecto a x tenemos y prime = 2 Por tanto la ecuacion diferencial ordinaria de estas rectas sera
yprime = 2
Ejemplo 115 Halle la ecuaciacute on diferencial ordinaria de todas las rectas que pasan por el origen de coordenadas
Solucion Solo consideraremos a las rectas no verticales que pasan por el origen La ecuaci on de esta familia
de rectas es y = Kx y contiene una sola constante entonces su ecuacion diferencial debe ser de orden uno
Al derivar a ambos miembros respecto a x tenemos yprime = K pero K = y
x Por tanto la ecuacion diferencial
ordinaria de estas rectas sera
yprime = y
x si x = 0 yprime = 0 si y = 0
Ejemplo 116 En los siguientes ejemplos dada una funciacute on obtener la ecuaciacute on diferencial de la cual es
soluciacute on
1 y = ceminus2x + x
El orden de la ecuacion diferencia buscada es 1 entonces derivando tenemos
yprime
= minus2ceminus
2x + 1 = minus2ceminus
2x + 1 + 2x minus 2x = minus2(ceminus
2x + x) + 1 + 2x = minus2y + 1 + 2x
there4dy
dx = 1 minus 2(y minus x) es la ecuacion diferencial buscada
2 y = C 1 sen 4x + C 2 cos 4x + x
El orden de la ecuacion diferencia buscada es 2 entonces derivando tenemos
yprime = 4C 1 cos 4x minus 4C 2 sen 4x + 1 yprimeprime = minus16C 1 sen 4x minus 16C 2 cos 4x
yprimeprime = minus16(C 1 sen 4x + C 2 cos 4x) = minus16(y minus x)
there4 yprimeprime + 16y minus 16x = 0 es la ecuacion diferencial buscada
3 y = ax3 + bx2 + cx
El orden de la ecuacion diferencia buscada es 3 entonces derivando tenemos
yprime = 3ax2 + 2bx + c yprimeprime = 6ax + 2b yprimeprimeprime = 6a Reemplazando en la ecuacion a b y c
y = yprimeprimeprime
6 x3 +
1
2
983080yprimeprime minus yprimeprimeprimex
983081x2 +
983080yprime minus yprimeprime
2 minus yprimeprimeprimex
983081x
there4 11x3yprimeprimeprime minus 3x2yprimeprime + 6xyprime + 6y = 0 es la ecuacion diferencial buscada
4 Hallar la ecuacion diferencial de la familia de circunferencias de radio 1 con centro en la recta bisectriz del
primer y tercer cuadrante
Solucion
x
y
y = x
h
h1
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La derivada de una funcion real de variable real
La ecuacion de la familia de circunferencias es (x minus h)2 + (y minus h)2 = 1 en ella solo figura una constante
entonces el orden de la ecuacion diferencia buscada es 1
Derivando respecto a x tenemos 2(x minus h) + 2(y minus h)yprime = 0 =rArr x minus h + yy prime minus hyprime = 0
=rArr h(1 + yprime) = x + yy prime =rArr h = x + yy prime
yprime + 1
Reemplazando en la ecuacion de las circunferencias
1048616x minus
x + yy prime
yprime + 110486172
+1048616
y minus x + yy prime
yprime + 110486172
= 1
=rArr (x(yprime + 1) minus x minus yy prime
8520092+(
yy prime + y minus x minus yy prime8520092
= (yprime + 1)2
=rArr (xyprime minus yy prime
8520092+(
y minus x8520092
= (yprime + 1)2
=rArr (yprime)2(x minus y)2 + (x minus y)2 = (yprime + 1)2
=rArr (x minus y)2(
(yprime)2 + 1852009
= (yprime + 1)2 es la ecuacion diferencial buscada
5 Formular la ecuacion diferencial que representa a todas las tangentes no verticales de la par abola y2 = 2x
Solucion
x
y
a
b
L
y = 2 x 2
La ecuacion de la recta tangente L a la parabola en el punto (a b) es
L y minus b = m(x minus a) Hallando la pendiente m derivando L y prime = m Por otro lado derivando la ecuacion
de la parabola tenemos 2yyprime = 2 =rArr y prime = 1
y cuyo significado es y prime(x) =
1
y(x) para x gt 0
En el punto (a b) de la parabola se tiene yprime(a) = 1
y(a) =
1
b = m Ademas como (a b) es un punto de la
parabola se tiene b2 = 2a =rArr a = b2
2 Luego en la ecuacion de la tangente
y minus b = 1b
1048616x minus b
2
2
1048617 =rArr yb minus b2 = x minus b
2
2
=rArr y = x
b +
b
2 pero b =
1
yprime
=rArr y = xy prime + 1
2yprime
=rArr 2y(yprime)2 minus 2xyprime + 1 = 0 es la ecuacion diferencial buscada
6 y2 = 4ax
Primero tenemos a = y2
4x el cual se utilizara luego Derivando la ecuacion original tenemos 2yyprime = 4a
=rArr 2yyprime
= 41048616 y2
4x1048617
= y2
x =rArr 2xyyprime
= y2 =rArr 2xyprime
= y si y = 0 =rArr 2x dy
dx minus y = 0
Por lo tanto 2x dy
dx minus y = 0 es la ecuacion diferencial buscada
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La derivada de una funcion real de variable real
7 y = C 1 sen 4x + C 2 cos 4x + x
Solucion
yprime = 4C 1 cos 4x minus 4C 2 sen 4x + 1 yprimeprime = minus16C 1 sen 4x minus 16C 2 cos 4x de la segunda derivada tenemos
minusyprimeprime
16 = C 1 sen 4x + C 2 cos 4x = y minus x luego minus(16)minus1yprimeprime = y minus x =rArr minusyprimeprime = 16y minus 16x
Por lo tanto yprimeprime = 16(xminus
y) es ecuacion diferencial buscada
8 I = teminust + eminust + 2sen 3t
Solucion En esta parte I es una funcion que depende de t y las derivadas seran respecto a t
I prime = eminust minus teminust minus eminust + 6cos 6t Pero teminust + eminust = I minus 2sen3t
=rArr I prime = eminust minus I + 2sen 3t + 6cos 3t =rArr I primeprime = minuseminust minus I prime minus 6cos3t minus 18sen3t
sumando las dos ultimas ecuaciones I prime + I primeprime = minusI minus I prime minus 16sen3t de donde I primeprime + 2I prime + I = minus16sen3t
9 x2 minus ay2 = 1
Solucion
Derivando 2x minus 2ay dy
dx = 0 =rArr y prime =
dy
dx =
minus2x
minus2ay
=rArr a = x
yy prime reemplazando en la ecuacion original
x2 minus x
yyprimey2 = 1 =rArr x2yyprime minus yyprime minus xy2 = 0
=rArr (x2 minus 1)yprime = xy
=rArr yprime = xy
x2 + 1 es la ecuacion diferencial buscada
10 x2 + y2 minus cx = 0
Derivando 2x + 2yyprime = c
Reemplazando en la ecuacion original x2 + y2 minus (2x + 2yy prime)x = 0
=
rArr yprime =
x2 minus y2
2xy
es la ecuacion diferencial buscada
11 Hallar la ecuacion diferencial de cada uno de las siguientes familias de curvas
a) y = x sen(x + c) Rta (xyprime minus y)2 = x2(x2 minus y2)
b) Todos los cırculos que pasan por (1 0) y (minus1 0) Rta 2xy = (x2 minus y2 minus 1)yprime
c) Todos los cırculos con centro en la recta y = x que son tangentes a ambos ejes
Rta (x minus y)2(1 + yprime)2 = (x + yy prime)2
d) Todas las rectas tangentes a la parabola x2 = 4y
Sugerencia La pendiente de la recta tangente en (2a a2) es a Rta y + yprime = xy prime
e) Todas las rectas tangentes al cırculo unidad x2
+ y2
= 1 Rta (y minus xyprime
)2
= 1 minus (yprime
)2
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La derivada de una funcion real de variable real
Definicion 112 Sea la ecuaciacute on diferencial ordinaria lineal de orden n
any(n) + middot middot middot + a2y primeprime + a1y prime + a0 = b
La funciacute on f A minusrarr
es una de sus soluciones si para todo x isin A
anf (n)(x) + middot middot middot + a2f primeprime(x) + a1f prime(x) + a0 = b
Ejercicio 4 Demuestre que la funciacute on f
minusrarr definida por f (x) = sin x es una soluciacute on de la ecuaciacute on
diferencial y primeprime + y = 0
Solucion Lo unico que debemos hacer es derivar a f dos veces y sumar los resultados
f (x) = sin x minusrarr f prime(x) = cos x minusrarr f primeprime(x) = minus sin x sumando f primeprime(x) + f (x) = 0 por lo tanto f
es una solucion de la ecuacion diferencial y primeprime + y = 0
Ejercicio 5 Demuestre que la funciacute on f
minusrarr
definida por f (x) = 8ex+xex es una soluciacute on de la ecuaciacute on
diferencial yprimeprime minus 2yprime + y = 0
Solucion Derivemos a f hasta dos veces y reemplacemos en el primer miembro de la ecuacion diferencial Siresulta cero tal reemplazo entonces la funcion f es una solucion de tal ecuacion diferencial
f (x) = 8ex + xex =rArr f prime(x) = [8ex] prime + [xex] prime = 8ex + [x]primeex + x[ex] prime = 8ex + ex + xex = 9ex + xex
=rArr f primeprime(x) = [9ex] prime + [xex] prime = 9ex + [x]primeex + x[ex] prime = 9ex + ex + xex = 10ex + xex
Reemplazemos en el primer miembro de la ecuacion diferencial
f primeprime(x) minus 2f prime(x) + f (x) =1048667
10ex + xex1048669minus 2
10486679ex + xex
1048669+1048667
8ex + xex1048669
= 10ex + xex minus 18ex minus 2xex + 8ex + xex
= [10
minus18 + 8]ex + [1
minus2 + 1]xex
= 0
Dado que resulta f primeprime(x)minus2f prime(x)+f (x) = 0 entonces f (x) = 8ex+xex es una solucion de la ecuacion diferencial
ordinaria y primeprime minus 2yprime + y = 0
Ejercicio 6 Demuestre o descarte las siguientes afirmaciones
1 x + y2 = K describe la soluciacute on general de las ecuaciones diferenciales dy
dx = minus 1
2y 2yyprime + 1 = 0
2 y = K ex es la soluciacute on general de la ecuaciacute on diferencial yprime minus y = 0
3 y = sin x
x
es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial xyprime + y = cos x
4 y = 1
cos x es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial yprime minus y tan x = 0
5 y = 2xradic
1 minus x2 es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial yy prime = 4x minus 8x3
6 y = x
cos x es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial xyprime minus y = x2 tan x sec x
7 y = ex(x + 1) es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial yprimeprime minus 2yprime + y = 0
8 y = ln(x + c) + 2 es la soluciacute on general de la ecuaciacute on diferencial yprimeeyminus2 minus 1 = 0
9 y = sen3 x es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial yprimeprime + (tan x minus 2cot x)yprime = 0
10 y = arcsin(xy) describe una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial xyprime + y = yradic
1 minus x2y2
11 y = c1eminusx + c2ex + c3eminus2x + c4e2x es soluciacute on general de la ecuaciacute on diferencial y(iv) minus 5yprimeprime + 4y = 0
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La derivada de una funcion real de variable real
15 Funciones derivables
151 Funciones derivables en un intervalo
Sin ser redundantes presentamos a los intervalos de
1 [a b] = x isin
a le x le b
2 ⟨a b⟩ = x isin
a lt x lt b
3 ⟨a b] = x isin
a lt x le b
4 [a b⟩ = x isin
a le x lt b
5 ⟨minusinfin b⟩ = x isin 1048623x lt b
6 ⟨minusinfin b] = x isin
1048623x le b
7 ⟨a +infin⟩ = x isin
1048623a lt x
8 [a +infin⟩ = x isin
1048623a le x
9 ⟨minusinfin +infin⟩ =
y
10 [a a] = a
Los cuatro primeros y el ultimo son los intervalos limitados los cinco siguientes son intervalos ilimitados el
ultimo se denomina un intervalo degenerado desde el segundo hasta el cuarto intervalo a lt b
Definicion 113 Sea la funciacute on f I minusrarr donde I es un intervalo de
1 La funciacute on f ⟨a b⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨a b⟩ si lo es en cada punto de ⟨a b⟩
2 La funciacute on f ⟨minusinfin b⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨minusinfin b⟩ si lo es en cada punto de ⟨minusinfin b⟩
3 La funciacute on f ⟨a +infin⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨a +infin⟩ si lo es en cada punto de ⟨a +infin⟩
4 La funciacute on f [a b⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo [a b⟩ si existe un intervalo abierto del tipo ⟨ p q ⟩ que
contiene a [a b⟩ tal que f sea derivable sobre ⟨ p q ⟩
5 La funciacute on f ⟨a b] minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨a b] si existe un intervalo abierto del tipo ⟨ p q ⟩ que
contiene a ⟨a b] tal que f sea derivable sobre ⟨ p q ⟩
6 La funciacute on f [a +infin⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo [a +infin⟩ si existe un intervalo abierto del tipo⟨ p +infin⟩ que contiene a [a +infin⟩ tal que f sea derivable sobre ⟨ p +infin⟩
7 La funciacute on f ⟨minusinfin b] minusrarr es derivable en el intervalo ⟨minusinfin b] si existe un intervalo abierto del tipo
⟨minusinfin q ⟩ que contiene a ⟨minusinfin b] tal que f sea derivable sobre ⟨minusinfin q ⟩
8 La funcion f [a b] minusrarr es derivable en el intervalo [a b] si existe un intervalo abierto del tipo ⟨ p q ⟩ que
contiene a [a b] tal que f sea derivable sobre ⟨ p q ⟩
Observaciones
1 La funcion f [a b
⟩ minusrarr es derivable en el intervalo [a b
⟩ si y solo si es derivable en cada punto de
⟨a b
⟩y existe f prime+(a)
2 La funcion f [a +infin⟩ minusrarr es derivable en el intervalo [a +infin⟩ si y solo si es derivable en cada punto de
⟨a +infin⟩ y existe f prime+(a)
3 La funcion f ⟨a b] minusrarr es derivable en el intervalo ⟨a b] si y solo si es derivable en cada punto de ⟨a b⟩
y existe f primeminus
(b)
4 La funcion f ⟨minusinfin b] minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨minusinfin b] si y solo si es derivable en cada punto de
⟨minusinfin b⟩ y existe f primeminus
(b)
5 La funcion f [a b] minusrarr
es derivable en el intervalo [a b] si y solo si es derivable en cada punto de ⟨a b⟩y existen f prime+(a) y f prime
minus(b)
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La derivada de una funcion real de variable real
6 Sea I un intervalo abierto Si la funcion f I minusrarr es derivable su funcion derivada f prime I minusrarr tendra el
mismo dominio que f
7 Sea I un intervalo abierto Si la funcion f I minusrarr
es k veces derivable su funcion kndashesima derivada
f (k) I minusrarr
tendra el mismo dominio que f
8 Sea I un intervalo no abierto Si la funcion f I minusrarr
es derivable su funcion derivada f prime J minusrarr
tendra como dominio al interior de I
152 Funciones de clase C k
Sea I un intervalo de
Si la funcion f I minusrarr
es derivable en I entonces es continua en I pero
posiblemente la funcion derivada f prime J minusrarr
no sea continua en I J = int (I )
Definicion 114 Sea I un intervalo de Si la funcion f I minusrarr es continua en I diremos que ldquo f rdquo es una
funciacute on de clase cero C 0 sobre I
⋆ Si ldquof rdquo es una funcion de clase C 0 sobre I lo denotamos por f
isin C 0(I )
Definicion 115 Sea I un intervalo abierto de
Si la funciacute on f I minusrarr
es derivable en I y la funciacute on
f prime I minusrarr es continua en I diremos que f es continuamente derivable en I o simplemente la funciacute on ldquo f rdquo es
de clase C 1 sobre I
⋆ Si ldquof rdquo es una funcion de clase C 1 sobre I lo denotamos por f isin C 1(I )
Definicion 116 Sea I un intervalo abierto de
La funcion f I minusrarr
es de clase C k sobre el intervalo I
si es k veces derivable sobre I y la funciacute on f (k) I minusrarr
es continua en I
⋆ Si ldquof rdquo es una funcion de clase C k sobre I lo denotamos por f
isin C k(I )
Definicion 117 Sea I un intervalo abierto de La funciacute on f I minusrarr es de clase C infin sobre el intervalo I
si existe f (n) para todo n isin 0 1 2 middot middot middot
⋆ Si ldquof rdquo es una funcion de clase C infin sobre I lo denotamos por f isin C infin(I )
Ejemplo 117
1 La funcion f
minusrarr
definida por f (x) = ex es de clase C infin sobre
Con la notaciones presentadas
tenemos la pertenencia f isin C infin(
)
2 La funcion f minusrarr
definida por f (x) = p(x) donde p(x) es un polinomio es de clase C infin
sobre
Conla notaciones presentadas tenemos la pertenencia f isin C infin( )
3 La funcion f [0 +infin⟩ minusrarr definida por f (x) =
radic x es de clase C infin sobre ⟨0 +infin⟩ Con la notaciones
presentadas tenemos la pertenencia f isin C infin983080
[0 +infin⟩983081
153 Funciones no derivables
Sea f una funcion cuyo dominio sea el conjunto A sub
Si f es derivable en el punto a isin A entonces la
grafica de f en su punto (a f (a)) tiene una unica recta tangente La idea de recta tangente en este caso no es
la misma que usted tiene a cerca de una recta tangente a una circunferencia en donde ellos tienen un unico
punto en comun es decir si la recta L es tangente a la circunferencia C entonces L y C tienen un unico punto
en comun llamado punto de tangencia Mientras que si L es una recta tangente a la grafica de la funcion f
es posible que ellos tengan otro punto en comun a parte del punto de tangencia la idea de tangencia que se
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La derivada de una funcion real de variable real
expone es local y no global en el sentido de que si L es una recta tangente a la grafica de la funcion f el punto
de tangencia es unico cerca de el especıficamente La recta L es una tangente a la grafica de la funcion f en su
punto (a f (a)) si existe un cırculo de centro (a f (a)) dentro del cual L y la grafica de la funcion f tienen un
unico punto en comun y los puntos de la grafica de f que pertenecen al cırculo estan a un solo lado de L Y si
ademas la funcion f es derivable en a la pendiente de L es f prime(a)
X
Y
L L L
y f x ( )=a
X
Y
L L L
y f x ( )=a
Si una funcion f es continua en un punto a no siempre sera derivable en dicho punto existe la posibilidad de
que lo sea como tambien que no como por ejemplo
La funcion f ⟨0 2⟩ minusrarr
definida por f (x) =
983163 2x si 0 lt x lt 1
2 si 1 le x lt 2es continua en el punto a = 1 pero
no es derivable en dicho punto pues no existe f prime(1) La existencia de la derivada f prime(1) implica que la grafica
de la funcion f tiene una unica recta tangente en el punto (1 f (1)) la no existencia de f prime(1) implica que la
grafica de la funcion f tiene una varias rectas en ese punto o no en este ejemplo como veremos gr aficamente
la funcion f posee varia rectas tangentes en su punto (1 f (1))
X
Y
y f x ( )=
1 2
X
Y
L L L
y x 2=
y x 3=
1
2
3
Grafico de f (x) =983163 2x si 0 lt x lt 1
2 si 1 le x lt 2 Grafico de f (x) =
x2 si
minus1 lt x lt 1
2x3
3 si 1 le x lt 2
Si una funcion f es derivable en un punto a entonces por el teorema 17 sera continua en dicho punto por
ejemplo la funcion f ⟨0 2⟩ minusrarr
f (x) =
x2 si minus1 lt x lt 1
2x3
3 si 1 le x lt 2
es derivable en a = 1 mas aun es
continua en dicho punto Es mas la grafica de f tiene una unica recta tangente en su punto (1 f (1))
De acuerdo al teorema 16 una funcion es no derivable en el punto ldquoardquo si f primeminus
(a) = f prime+(a) o una de la
derivadas laterales f primeminus
(a) f prime+(a) no existe Y de acuerdo al teorema 17 si f no es continua en el punto ldquoardquo
entonces no es derivable en ese punto
Los siguientes son ejemplos graficos de funciones no derivables en un punto
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La derivada de una funcion real de variable real
X X
Y Y
a a b
y f x = ( ) y f x = ( )
f a f a bno es derivable en no es derivable en y
f a
f b
es derivable en por derecha
es derivable en por izquierda
2 Teoremas sobre funciones derivables
21 Extremos relativos de una funcion
Definicion 21 Sean empty = X sub
y m isin
Diremos que ldquo mrdquo es el mınimo del conjunto X si m isin X y m le x
para todo x isin X
Definicion 22 Sean empty = X sub
y M isin
Diremos que ldquo M rdquo es el macute aximo del conjunto X si M isin X y
M ge x para todo x isin X
Observaciones
1 No todo subconjunto no vacıo de
posee maximo yo mınimo
2 Si un subconjunto no vacıo de
posee maximo yo mınimo este es unico y ademas es uno de los elementos
del conjunto
3 Si ldquomrdquo es el mınimo del conjunto X entonces lo denotamos por m = mın X
4 Si ldquoM rdquo es el maximo del conjunto X entonces lo denotamos por M = max X
5 Si m = mın X y M = max X entonces m le M y ademas m le x le M para todo x isin X
Ejemplo 21
1 El conjunto de los numeros naturales posee mınimo y es 1 es decir 1 = mın pero no posee maximo
2 El conjunto
el de los numeros enteros no posee ni maximo ni mınimo El conjunto
el de los numeros
racionales no posee ni maximo ni mınimo
3 Veamos algunos intervalos
a) Los intervalos ⟨a b⟩ ⟨a b] ⟨a +infin⟩ no poseen mınimo
b) Los intervalos ⟨a b⟩ [a b⟩ ⟨minusinfin b⟩ no poseen maximo
c) a = mın[a b] a = mın[a b⟩ a = mın[a +infin⟩
d) b = max[a b] b = max⟨a b] b = max⟨minusinfin b]
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La derivada de una funcion real de variable real
Definicion 23 Sean empty = A sub f A minusrarr una funciacute on y x0 isin A
1 La funciacute on ldquo f rdquo tiene un mınimo absoluto en x0 si f (x0) le f (x) para todo x isin A
2 La funciacute on ldquo f rdquo tiene un macute aximo absoluto en x0 si f (x) le f (x0) para todo x isin A
3 La funci on ldquo f rdquo tiene un mınimo relativo en x0 si existe un δ gt 0 tal que f (x0) le f (x) para todo
x isin A cap ⟨x0 minus δ x0 + δ ⟩
4 La funci on ldquo f rdquo tiene un macute aximo relativo en x0 si existe un δ gt 0 tal que f (x) le f (x0) para todo
x isin A cap ⟨x0 minus δ x0 + δ ⟩
Observaciones Sean empty = A sub
f A minusrarr
una funcion y x0 isin A
1 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo relativo en x0 diremos tambien que f tiene un mınimo local en x0
2 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo relativo en x0 diremos tambien que f tiene un maximo local en x0
3 La funcion ldquof rdquo tiene un extremo absoluto en x0 si tiene un mınimo o maximo absoluto en dicho punto
4 La funcion ldquof rdquo tiene un extremo relativo en x0 si tiene un mınimo o maximo relativo en dicho punto
5 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo absoluto en x0 entonces f (x0) es el mınimo del rango de la funcion es
decir
f (x0) = mın Ran (f )
Al numero f (x0) lo denominaremos el valor mınimo de f en su dominio
6 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo absoluto en x0 entonces f (x0) es el maximo del rango de la funcion es
decir
f (x0) = max Ran (f )
Al numero f (x0) lo denominaremos el valor maximo de f en su dominio
7 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo relativo en x0 entonces f no siempre tendra un mınimo absoluto en x0
Una funcion puede poseer un mınimo relativo sin tener un mınimo absoluto
8 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo relativo en x0 entonces f no siempre tendra un maximo absoluto en
x0 Una funcion puede poseer un maximo relativo sin tener un maximo absoluto
9 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo absoluto en x0 entonces f tiene un mınimo relativo en dicho punto Lo
contrario no siempre es cierto
En la figura la funcion f minusrarr tiene maximo
relativo en x = 0 pero no posee maximo absolutoen su dominio
En la figura la funcion g minusrarr tiene mınimo
relativo en x = 0 pero no posee mınimo absolutoen su dominio
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La derivada de una funcion real de variable real
10 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo absoluto en x0 entonces f tiene un maximo relativo en dicho punto Lo
contrario no siempre es cierto
11 Una funcion puede tener extremos absolutos en mas de un punto vea el siguiente grafico
En la figura la funcion f
minusrarr
tiene mınimo
absoluto en dos puntos diferentes
En la figura la funcion g
minusrarr
tiene maximo
absoluto en dos puntos diferentes
12 La funcion ldquof rdquo tiene un extremo en el punto x0 si tiene un maximo o mınimo absoluto o relativo en dicho
punto
Y Y
X X
figura (a) figura (b)
x x x x 0 1 2 3 4 5 6x x x x x x x x x x 0 1 2 3 4 5 6
y f x = ( )
y f x = ( )
En la figura (a) Dom(f ) = [x0 x6] la funcion tiene
un mınimo absoluto en el punto x2 y maximo absolu-
to en el punto x5 mientras que tiene mınimo relativo
en los puntos x0 x2 x4 y x6 y maximo relativo en
los puntos x1 x3 y x5
En la figura (b) Dom (f ) = [x0 x6⟩minusx3 la funcion
no tiene mınimo absoluto ni maximo absoluto mien-
tras que tiene mınimo relativo en los puntos x0 x2 y
x4 y maximo relativo en los puntos x1 y x5
Teorema 21 Si la funcion f tiene un extremo en x0 y f prime(x0) existe entonces f prime(x0) = 0
Observaciones
1 Lo contrario no siempre es cierto es decir si f prime(x0) = 0 entonces f no siempre tendra un extremo en x0
Un ejemplo simple es para f (x) = (x minus 2)3 en x0 = 2
2 Si la funcion f tiene un extremo en x0 y f prime
(x0) existe entonces la recta tangente a la grafica de la funcionen el punto
(x0 f (x0)
852009 en horizontal
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La derivada de una funcion real de variable real
3 Si la funcion f tiene un extremo en x0 y f prime(x0) no existe entonces o bien no existe recta tangente a la
grafica de la funcion en el punto(
x0 f (x0)852009
o existen infinitas rectas tangente a la grafica de la funcion en
el punto(
x0 f (x0)852009
pudiendo ser una de ellas una recta vertical
En la figura la funcion f
minusrarr
tiene un extremo
en x = 0 pero f prime(0) no existe ademas la grafica de
esta funcion posee infinitas rectas tangente en el pun-
to(
0 f (0)852009
En la figura la funcion g
minusrarr
tiene extremo en
los puntos x0 x1 existen g prime(x0) g prime(x1) y las rectas
tangente en(
x0 g(x0)852009
y(
x1 g(x1)852009
son horizontales
22 El teorema del valor medio
Teorema 22 (Teorema de Rolle) Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si f es continua en [a b] es derivable en
⟨a b⟩ y f (a) = f (b) entonces existe un c isin ⟨a b⟩ tal que f prime(c) = 0
Observaciones
1 Si la funcion f satisface las hipotesis del teorema de Rolle la existencia del punto c tales que f prime(c) = 0 no
siempre es unica pueden existir otros puntos del intervalo ⟨a b⟩ cuya primera derivada en esos puntos sea
cero
2 La condicion f (a) = f (b) indica que la recta que pasa por los puntos(
a f (a)852009
y(
b f (b)852009
es horizontal El
teorema garantiza la existencia de al menos un punto c isin ⟨a b⟩ tal que la recta tangente a la grafica de la
funcion f el punto(
c f (c)852009
tambien sea horizontal
X X
Y Y
y=f x( )
y=f x( )
figura (a) figura (b)
a c c b1 3 a b
c2
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La derivada de una funcion real de variable real
En la figura (a) la funcion f satisface las hipotesis del
teorema de Rolle por tanto en este caso existen pun-
tos c1 c2 y c3 del intervalo ⟨a b⟩ tal que f prime(c1) = 0
f prime(c2) = 0 y f prime(c3) = 0
En la figura (b) la funcion f no satisface las hipotesis
del teorema de Rolle en tanto no se garantiza la exis-
tencia de puntos del intervalo ⟨a b⟩ tal que la primera
derivada de f en esos puntos sea cero
Teorema 23 (El teorema del valor medio de Lagrange) Sea la funciacute on f [a b]
minusrarr
Si f es continua
en [a b] es derivable en ⟨a b⟩ entonces existe un c isin ⟨a b⟩ tal que
f prime(c) = f (b) minus f (a)
b minus a
Observaciones
1 Si la funcion f satisface las hipotesis del teorema del valor medio de Lagrange la existencia del punto c tales
que f prime(c) = f (b) minus f (a)
b minus a no siempre es unica pueden existir otros puntos del intervalo ⟨a b⟩ cuya primera
derivada en esos puntos sea igual a f (b) minus f (a)
b minus a
2 Sea L la recta que pasa por los puntos(
a f (a)852009
y(
b f (b)852009
el teorema garantiza la existencia de al menosun punto c isin ⟨a b⟩ tal que la recta tangente a la grafica de la funcion f el punto
(c f (c)
852009 sea paralela a L
Y Y
X X
y = f x ( ) y = f x ( )
f a ( )
f a ( )
f b( )
f b( )
figura (a) figura (b)
a c b1 b
c 2 a
L L L
L L L
En la figura (a) la funcion f satisface las hipotesis del
teorema de Lagrange por tanto en este caso existen
puntos c1 y c2 del intervalo ⟨a b⟩ tal que
f prime(c1) = f (b) minus f (a)
b minus a y f prime(c2) =
f (b) minus f (a)
b minus a
En la figura (b) la funcion f no satisface las hipotesis
del teorema de Lagrange en tanto no se garantiza
la existencia de puntos del intervalo ⟨a b⟩ tal que laprimera derivada en ese punto sea igual a
f (b) minus f (a)
b minus a
Teorema 24 (El teorema generalizado del valor medio de Cauchy) Sean las funciones f [a b] minusrarr
y g [a b] minusrarr
continuas en [a b] y derivables en ⟨a b⟩ con g(b) = g(a) y g prime(x) = 0 para todo x isin ⟨a b⟩
entonces existe un c isin ⟨a b⟩ tal que f prime(c)
g prime(c) =
f (b) minus f (a)
g(b) minus g(a)
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La derivada de una funcion real de variable real
23 Funciones crecientes y decrecientes
Definicion 24 (Funcion creciente) Sean empty = A sub
y la funciacute on f A minusrarr
Diremos que la funciacute on f
es creciente o estrictamente creciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) lt f (x2)
Definicion 25 (Funcion decreciente) Sean empty = A sub
y la funci on f A minusrarr
Diremos que la funcion f
es decreciente o estrictamente decreciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) gt f (x2)
Y Y
X X
f x ( )1
f x ( )1
x 1
x 1x 2
x 2
f x ( )2
f x ( )2
Graacutefico de una funcioacutenestrictamente creciente
Graacutefico de una funcioacutenestrictamente decreciente
Definicion 26 (Funcion no creciente) Sean empty = A sub y la funci on f A minusrarr
Diremos que la funciacute on
f es no creciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) ge f (x2)
Definicion 27 (Funcion no decreciente) Sean empty = A sub y la funciacute on f A minusrarr
Diremos que la
funciacute on f es no decreciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) le f (x2)
Y Y
X X
x 1 x 2 x 1 x 2
Graacutefico de una funcioacuten
no decreciente
Graacutefico de una funcioacuten
no creciente
Definicion 28 (Funcion monotona) Sean empty = A sub
y la funci on f A minusrarr
Diremos que la funciacute on f
es monacute otona sobre A si es creciente o decreciente o no creciente o no decreciente sobre A
Observaciones
1 Para definir funciones monotonas (crecientes decrecientes no crecientes o no decrecientes) no es necesario
saber la continuidad y la derivabilidad de la funcion en su dominio
2 Existen funciones monotonas que no son derivables yo continuas en su dominio
Teorema 25 Sean empty = A sub y la funciacute on f A minusrarr Si la funciacute on f es estrictamente creciente sobre A
entonces f es una funciacute on inyectiva y su funcion inversa f lowast tambien es estrictamente creciente sobre Ran(f )
Teorema 26 Sean empty = A sub
y la funci on f A minusrarr
Si la funci on f es estrictamente decreciente sobre A
entonces f es una funciacute on inyectiva y su funciacute on inversa f lowast tambien es estrictamente decreciente sobre Ran(f )
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La derivada de una funcion real de variable real
Y Y
X X
f
f
f
f
Teorema 27 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr
Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩
con f
prime
(x) gt 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es estrictamente creciente sobre [a b]
Teorema 28 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩
con f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es estrictamente decreciente sobre [a b]
X X
a
a b
b
Observaciones
1 Del teorema 27 si la pendiente de todas las rectas tangente a la grafica de la funcion sobre ⟨a b⟩ es positiva
entonces la funcion es estrictamente creciente sobre [a b]
2 Del teorema 28 si la pendiente de todas las rectas tangente a la grafica de la funcion sobre ⟨a b⟩ es negativa
entonces la funcion es estrictamente decreciente sobre [a b]
Teorema 29 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr
Si la funcion f es continua sobre [a b] y es inyectiva en [a b]
entonces f es estrictamente creciente o estrictamente decreciente sobre [a b] pero no ambos
X X
a
a b
b
f ab
ab
es continua e inyectiva sobre [ ]en este caso es creciente sobre [ ]
f ab
ab
es continua e inyectiva sobre [ ]en este caso es decreciente sobre [ ]
f f
Teorema 210 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funciacute on f es continua y estrictamente creciente sobre
[a b] entonces Ran(f ) =1048667
f (a) f (b)1048669
y su funciacute on inversa f lowast 1048667
f (a) f (b)1048669 minusrarr
es tambien continua y
estrictamente creciente sobre [a b]
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La derivada de una funcion real de variable real
Teorema 211 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funcion f es continua y estrictamente decreciente sobre
[a b] entonces Ran(f ) =1048667
f (b) f (a)1048669
y su funciacute on inversa f lowast 1048667
f (b) f (a)1048669 minusrarr
es tambien continua y
estrictamente decreciente sobre [a b]
Teorema 212 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre
⟨a b⟩ con f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es no decreciente sobre [a b]
Teorema 213 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre
⟨a b⟩ con f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es no creciente sobre [a b]
Teorema 214 (de la funcion constante) Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre
[a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩ con f prime(x) = 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es constante sobre [a b] es decir
existe una constante C tal que f (x) = C para todo [a b]
Teorema 215 (de la diferencia constante) Sean las funciones f [a b] minusrarr
y f [a b] minusrarr
Si las
funciones f y g son continuas sobre [a b] y es derivables sobre ⟨a b⟩ con f prime(x) = g prime(x) para todo x isin ⟨a b⟩entonces existe una constante C tal que f (x) = g(x) + C para todo [a b]
Definicion 29 (Punto crıtico) Sean I un intervalo de
x0 un punto de I y la funciacute on f I minusrarr
El
punto x0 es un punto crıtico de la funciacute on f I minusrarr si x0 satisface alguna de las siguientes condiciones
a) f prime(x0) = 0 o b) f prime(x0) = 0 no existe o c) f tiene un extremo en x0
Observaciones
1 Si x0 es un punto crıtico de la funcion f no podemos concluir con certeza una de las condiciones mencionadas
2 Si x0 es un punto crıtico de la funcion f y f prime(x0) = 0 no podemos concluir con certeza que f tiene un
extremo en dicho punto
Por ejemplo sea la funcion f [1 3] minusrarr definida
por f (x) = (x minus 2)3 cuya funcion derivada es
f prime ⟨1 3⟩ minusrarr
983087 f prime(x) = 3(x minus 2)2
En x0 = 2 tenemos f prime(x0) = 0 pero f no tiene
maximo ni mınimo en 2 f tiene un mınimo en 1
y un maximo en 3 por tanto 1 2 y 3 son puntos
crıticos de f
Y
X
1
2
Ejercicio 7 Hal le los puntos crıticos de las siguientes funciones
1 f
minusrarr que estacute a definida por
f (x) = 1
4(x4 minus 6x2 + 8x) + 5
2 f
minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = 3
radic (x + 4)2(x minus 5)
3 f
minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = 5x23 minus x53
4 f
minusrarr
que estacute a definida por f (x) = x + 1
x2 + 1
5 f
minus 1 minusrarr que estacute a definida por
f (x) = x3 minus 2
(x minus 1)2
6 f
minusrarr
que estacute a definida por f (x) = x2 + 3radic
x2 + 1
7 f [minusπ2
π2
] minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = sin2 x minus |x|
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La derivada de una funcion real de variable real
231 Criterio de la primera derivada para extremos de una funcion
Aquı presentamos un criterio que nos ayuda a determinar si un punto crıtico es aquel en donde una funcion
alcanza su valor maximo o mınimo
Teorema 216 (Criterio de la primera derivada) Sean la funciacute on f A minusrarr
el intervalo [a b] contenido
en A y x0
isin ⟨a b
⟩ un punto crıtico de f
1 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f tiene un macute aximo en el punto x0
2 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f tiene un mınimo en el punto x0
3 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) gt 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) gt 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f no tiene macute aximo ni mınimo en el punto x0
4 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f no tiene macute aximo ni mınimo en el punto x0
X X
a bx 0a bx 0
f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0lt gt f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0gt lt
f
f
f tiene un maacuteximo en x 0 f tiene un miacutenimo en x 0
X X a bx 0a bx 0
f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0lt lt f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0gt gt
f f
f no tiene un extremo en x 0 f no tiene un extremo en x 0
Observaciones
1 Al ser x0 un punto crıtico de f el criterio de la primera derivada no garantiza que exista f prime(x0)
2 El criterio de la primera derivada requiere que f sea derivable en ⟨a x0⟩ cup ⟨x0 b⟩ mas no en x0
3 Un metodo que nos permite hallar puntos crıticos de la funcion f en [a b] es resolver la ecuacion f prime(x) = 0
sujeta a la condicion x isin ⟨a b⟩ pero tal metodo solo nos proporciona todos los puntos crıticos de f que
cumple la primera condicion dada en la definicion 29
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La derivada de una funcion real de variable real
4 Los graficos anteriores presentan al punto crıtico x0 de f en el cual existe f prime(x0) y es igual a cero es mas
en los dos primeros graficos la recta tangente en el punto (x0 f (x0)) es horizontal iquestCual es el aspecto de
la grafica de f si es que no existiera f prime(x0)
5 Sea x0 isin ⟨a b⟩ un punto crıtico de la funcion f Al utilizar el criterio de la primera derivada para averiguar
si f tiene maximo o mınimo en x0 es necesario resolver las inecuaciones f prime(x) lt 0 y f prime(x) gt 0 sujetas
a la restriccion x isin ⟨a b⟩ tales procesos son sencillos para algunas funciones pero existen funciones paralos cuales tales resoluciones son complicadas y ahı el criterio de la primera derivada no es recomendable
utilizarlo pero tal deficiencia se supera utilizando otro criterio para determinar extremo de una funcion
6 El criterio de la primera derivada tambien es aplicable cuando en lugar del intervalo ⟨a b⟩ se considera a
otros tipos de intervalos abiertos si es que estan contenidos en el dominio de la funcion
Por ejemplo para la funcion f
minusrarr
definida por f (x) = x2 su unico punto crıtico es x0 = 0 f prime(x) lt 0
para todo x lt 0 y f prime(x) gt 0 para todo x gt 0 por tanto f tiene un mınimo en 0 y su valor mınimo es
f (0) = 0
232 Criterio de la segunda derivada para extremos de una funcion
Aquı presentamos otro criterio que nos ayuda a determinar si un punto crıtico es aquel en donde una funcion
alcanza su valor maximo o mınimo este metodo requiere la existencia de la segunda de la funcion en su punto
crıtico
Teorema 217 (Criterio de la segunda derivada) Sean la funciacute on f A minusrarr
el intervalo [a b] contenido
en A y x0 isin ⟨a b⟩ un punto crıtico de f para el cual f primeprime(x0) existe
1 Si la funciacute on f es derivable en ⟨a b⟩ f prime(x0) = 0 y f primeprime(x0) lt 0 entonces f tiene un macute aximo en el punto x0
2 Si la funciacute on f es derivable en
⟨a b
⟩ f prime(x0) = 0 y f primeprime(x0) gt 0 entonces f tiene un mınimo en el punto x0
X X
a bx 0a bx 0
f a b f f es derivable en ( ) 0 ( ) 0 x x 0 0= lt f a b f f es derivable en ( ) 0 ( ) 0 x x 0 0= gt
f
f
f tiene un maacuteximo en x 0 f tiene un miacutenimo en x 0
Observaciones
1 Los graficos anteriores presentan al punto crıtico x0 de f en el cual existe f primeprime(x0) y es diferente a cero
2 El criterio de la segunda derivada tambien es aplicable cuando en lugar del intervalo ⟨a b⟩ se considera a
otros tipos de intervalos abiertos si es que estan contenidos en el dominio de la funcion
Por ejemplo para la funcion f
minusrarr
definida por f (x) = x2 su unico punto crıtico es x0 = 0 y
f primeprime(0) = 2 gt 0 por tanto f tiene un mınimo en 0 y su valor mınimo es f (0) = 0
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La derivada de una funcion real de variable real
24 Concavidad y puntos de inflexion
25 La regla de Lrsquo Hospital
3 Aplicaciones de la derivada
31 Trazado de grafica de funciones
32 Derivadas parametricas
321 Regla de la cadena
33 Diferencial de una funcion
34 Razon de cambio
Indice
1 La derivada 111 Derivadas laterales 4
12 Derivacion y continuidad 5
13 Derivadas de orden superior 7
131 Notacion de derivadas 7
132 El operador d
dx 8
133 La segunda derivada 10
134 Derivada de ordenes mayores a dos 10
135 Notacion de derivadas de ordenes superiores 11
14 Derivadas implıcitas 12
141 Ecuaciones diferenciales ordinarias de lugares geometricos 13
15 Funciones derivables 18
151 Funciones derivables en un intervalo 18
152 Funciones de clase C k 19
153 Funciones no derivables 19
2 Teoremas sobre funciones derivables 21
21 Extremos relativos de una funcion 21
22 El teorema del valor medio 24
23 Funciones crecientes y decrecientes 26
231 Criterio de la primera derivada para extremos de una funcion 29
232 Criterio de la segunda derivada para extremos de una funcion 30
24 Concavidad y puntos de inflexion 31
25 La regla de Lrsquo Hospital 31
3 Aplicaciones de la derivada 31
31 Trazado de grafica de funciones 31
32 Derivadas parametricas 31
321 Regla de la cadena 31
33 Diferencial de una funcion 31
34 Razon de cambio 31
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La derivada de una funcion real de variable real
Tabla de derivadas de las funciones mas importantes Sean u = u(x) v = v(x) dos funciones derivables
C una constante real entonces tenemos la siguiente tabla que contiene a dichas funciones y sus derivadas en los
puntos en donde esta existen
Funcion Derivada
y = f (x) dy
dx = f prime(x)
C 0
x 1
Cf (x) Cf prime(x)
un nunminus1 middot du
dx
u plusmn v uprime plusmn vprime
u v uprimev + uvprime
u
v
uprimev minus uvprime
v2
ln u 1
u middot du
dx
loga u 1
u ln a middot du
dx
e u e u middot dudx
au au ln a middot du
dx
Funcion Derivada
y = f (x) dy
dx
= f prime(x)
sin u cos u middot du
dx
cos u minus sin u middot du
dx
tan u sec2 u middot du
dx
cot u minus csc2 u middot du
dx
sec u sec u middot tan u middot du
dx
csc u minus csc u middot cot u middot du
dx
arcsin u 1radic
1 minus u2 middot du
dx
arc cosu minus1radic
1 minus u2 middot du
dx
arctan u 1
1 + u2 middot du
dx
arc cot u minus11 + u2 middot dudx
arcsec u 1
uradic
u2 minus 1middot du
dx
arccsc u minus1
uradic
u2 minus 1middot du
dx
Funcion Derivada
y = f (x)
dy
dx = f prime
(x)
sinh u cosh u middot du
dx
cosh u sinh u middot du
dx
tanh u sech2u middot du
dx
coth u minuscsch2u middot du
dx
sech u minussech u middot tanh u middot dudx
csch u minuscsch u middot coth u middot du
dx
radic u
1
2radic
u middot du
dx
n
radic u
1
n n
radic (u)nminus1
middot du
dx
|u
| u
|u| middot du
dx
uv uv
1048616v
u middot du
dx +
dv
dx middot ln u
1048617
1
u minus 1
u2 middot du
dx
13 Derivadas de orden superior
131 Notacion de derivadas
En la definicion 14 si f A minusrarr es una funcion su funcion derivada f prime cuya regla de correspondencia es
f prime(x) = lımhrarr0
f (x + h) minus f (x)
h
tiene por dominio a Dom (f prime) = x isin A existe f prime(x) que generalmente esta contenido en A pudiendo ser
A = Dom (f prime) tal es el caso de la funcion f
minusrarr definida por f (x) = sin x donde f prime(x) = cos x para
todo x isin es decir Dom (f prime) = Sin embargo existen casos en el cual A sub Dom (f prime) y A = Dom (f prime) como
por ejemplo si f [0 +infin⟩ minusrarr definida por f (x) =
radic x donde f prime(x) =
1
2radic
x para todo x gt 0 es decir
Dom(f prime) = ⟨0 +infin⟩
A la funcion derivada de f tambien las denotaremos por df dx f (1) entonces con estas notaciones escribimos
f prime(x) = df
dx(x) f prime(x) = f (1)(x) en todo x isin Dom (f ) para los cuales existe f prime(x)
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La derivada de una funcion real de variable real
132 El operador d
dx
Cuando trabajamos con funciones derivables el proceso de derivacion es hallar la funcion derivada de cierta
funcion que evidentemente tendra otra regla de correspondencia para ellos empleamos el operador d
dx que
transforma la regla de correspondencia de una funcion f en la regla de correspondencia de su funcion derivada
es decir d
dx(f (x)852009 = f prime(x)
Ejemplo 14 Si f (x) = radic
x entonces d
dx
(f (x)
852009=
d
dx
(radic x852009
= 1
2radic
x para todo x gt 0
Empleando el teorema 12 y la definicion 14 es facil demostrar que d
dx es un operador lineal es decir
d
dx
852059f (x) + g(x)
852061=
d
dx
1048667f (x)
1048669+
d
dx
852059g(x)
852061 y
d
dx
1048667λf (x)
1048669= λ middot d
dx
852059f (x)
852061 donde λ isin
y que ademas
d
dx1048667f (x)g(x)1048669 =
d
dx852059f (x)852061 middot
g(x) + f (x)
middot
d
dx852059g(x)852061 y
d
dx1048667
f (x)
g(x)1048669 =
d
dx 852059f (x)
852061middot g(x) minus f (x) middot d
dx 852059g(x)
852061[g(x)]
2
En forma abreviada dado que d
dx
983080f (x)
983081= f prime(x)
1048667f (x) + g(x)
1048669prime
=852059
f (x)852061prime
+852059
g(x)852061prime
y852059
λf (x)852061prime
= λ852059
f (x)852061prime
donde λ isin
de manera similar1048667f (x)g(x)
1048669prime
=852059
f (x)852061prime
g(x) + f (x)852059
g(x)852061prime
y1048667f (x)
g(x)
1048669prime
=
852059f (x)
852061primeg(x) minus f (x)
852059g(x)
852061prime[g(x)]2
Ejemplo 15 En cada caso halle f prime(x) utilizando el operador d
dx
1 Sea f
minusrarr
definido por f (x) = sin(2x)minus
e3x emplearemos simultaneamente la regla de la cadena y
la tabla de derivadas para hallar f prime(x)
f (x) = sin(2x) minus e3x minusrarr d
dx[f (x)] =
d
dx[sin(2x) minus e3x]
minusrarr d
dx[f (x)] =
d
dx[sin(2x)] minus d
dx[e3x]
minusrarr d
dx[f (x)] = cos(2x)
d
dx[2x] minus e3x
d
dx[3x]
minusrarr d
dx[f (x)] = cos(2x) middot 2 minus e3x middot 3
there4 f prime(x) = 2 cos(2x) minus 3e3x para todo x isin
2 Sea f minusrarr definido por f (x) = x3
sin xe5x
emplearemos simultaneamente la regla de la cadena y la
tabla de derivadas para hallar f prime(x)
f (x) = x3 sin x
e5x minusrarr [f (x)]prime =
983131x3 sin x
e5x
983133prime
minusrarr f prime(x) = [x3 sin x]prime middot e5x minus x3 sin x middot [e5x]prime
[e5x]2
minusrarr f prime(x) =
983080[x3]prime sin x + x3[sin x]prime
983081middot e5x minus x3 sin x middot [e5x]prime
[e5x]2
minusrarr f prime(x) = 9830803x2 middot sin x + x3 middot cos x983081 middot e5x minus x3 sin x middot e5x middot [5x]prime
[e5x]2
minusrarr f prime(x) =
9830803x2 middot sin x + x3 middot cos x
983081middot e5x minus x3 sin x middot e5x middot 5
[e5x]2
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La derivada de una funcion real de variable real
Reduciendo y agrupando la expresion tenemos
f prime(x) = eminus5x983080
(3x2 minus 5x3)sin x + x3 cos x983081
para todo x isin
3 Sea f
minusrarr
definido por f (x) = (x4 + 2)4cos2x emplearemos simultaneamente la regla de la cadena
y la tabla de derivadas para hallar f prime(x)
f (x) = (x4 + 2)4cos2x minusrarr ln[f (x)] = ln1048667
(x4 + 2)4cos2x1048669
= 4cos 2x middot ln(x4 + 2)
luego derivando respecto a x
minusrarr f prime(x)
f (x) =
10486674cos2x middot ln(x4 + 2)
1048669prime
minusrarr f prime(x)
f (x) =
10486674cos2x
1048669prime
middot ln(x4 + 2) + 4 cos 2x middot1048667
ln(x4 + 2)1048669prime
minusrarr f prime(x)
f (x) = 4
1048667cos2x
1048669prime
middot ln(x4 + 2) + 4 cos 2x middot [x4 + 2]prime
x4 + 2
minusrarr f prime(x)
f (x) = 4(minus sin2x)[2x]prime
middot ln(x4
+ 2) + 4cos 2x middot [x4]prime + [2]prime
x4 + 2
minusrarr f prime(x)
f (x) = 4(minus sin2x)2 middot ln(x4 + 2) + 4cos 2x middot 4x3 + 0
x4 + 2
minusrarr f prime(x)
f (x) = minus8sin2x middot ln(x4 + 2) +
16x3
x4 + 2 middot cos2x
there4 f prime(x) = (x4 + 2)4cos2x983080
minus 8sin2x middot ln(x4 + 2) + 16x3
x4 + 2 middot cos2x
983081 para todo x isin
Observacion El operador d
dx es muy especıfico en el siguiente sentido Si u es una expresion que depende de
x es decir u = u(x) entonces ddx
[u] = ddx
[u(x)] = u prime(x) Sin embargo supongamos que W es una expresion
que no depende de la variable x entonces al hallar d
dx[W ] nos resultara ldquo0rdquo ya que el operador a la expresion
W lo interpreta como una constante
Es necesario especificar cuando utilizamos el operador d
dx que estamos derivando respecto a la variable
ldquoxrdquo solamente y no respecto a otra variable Es ası si utilizamos el operador d
dy estamos derivando respecto a
la variable ldquoyrdquo y si utilizamos el operador d
dt estamos derivando respecto a la variable ldquotrdquo ası sucesivamente
Ejemplo 16
1 Hallemos d
dx[u] si u = 5x + tan x
d
dx[u] =
d
dx[5x + tan x] =
d
dx[5x] +
d
dx[tan x] = 5
d
dx[x] + sec2 x = 5 + sec2 x
2 Hallemos d
dx[W ] si W = 5e5t+1 + tan(3x) donde t no depende de x
d
dx[W ] =
d
dx[5e5t+1 + tan(3x)] =
d
dx[5e5t+1] +
d
dx[tan(3x)] = 0 + sec2(3x)
d
dx[3x] = sec2(3x) middot 3
3 Hallemos d
dx[W ] si W = cos(5x + t) + ln(x2 + z) donde z y t no dependen de x
ddx
[W ] = ddx
1048667cos(5x + t) + ln(x2 + z)
1048669= minussin(5x + t) middot d
dx[5x + t] + 1
x2 + z middot d
dx[x2 + z]
=rArr d
dx[W ] = minussin(5x + t) middot (5 + 0) +
1
x2 + z middot (2x + 0) = minus5 sin(5x + t) +
2x
x2 + z
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La derivada de una funcion real de variable real
4 Si U solo depende de x entonces d
dy[U ] = 0
d
dx[U ] = U prime(x)
d
dt[U ] = 0 y
d
dz[U ] = 0
133 La segunda derivada
Definicion 17 Sea f una funciacute on derivable en a la segunda derivada de f en a es
f primeprime
(a) = lımxrarra
f prime(x)
minusf prime(a)
x minus a = lımhrarr0
f prime(a + h)
minusf prime(a)
h
si es que dicho l ımite existe La funciacute on segunda derivada de f denotada por f primeprime es definida por
f primeprime(x) = lımhrarr0
f prime(x + h) minus f prime(x)
h
Observaciones
1 La segunda derivada de f en un punto es la derivada de f prime en dicho punto
2 El dominio de f primeprime esta formado por todos los puntos ldquoxrdquo del dominio de f para los cuales existe f primeprime(x)
3 Los dominios de f f prime y f primeprime no siempre coinciden generalmente se tiene
Dom(f primeprime) sub Dom (f prime) sub Dom (f )
4 Si existe f primeprime(a) diremos que f es dos veces derivable en a
5 Si f no es derivable en a entonces no es dos veces derivable en a
6 Si f es dos veces derivable en a entonces es derivable en a
7 Si f es derivable en a no siempre es dos veces derivable en a
8 Si f es dos veces derivable en a entonces es continua en a
Ejemplo 17
1 Sea f [0 +infin⟩ minusrarr una funcion definida por f (x) =
radic x La funcion derivada de f sera f prime ⟨0 +infin⟩ minusrarr
cuya regla de correspondencia es f prime(x) = 1
2radic
x mientras que la funcion segunda derivada de f sera f primeprime
⟨0 +infin⟩ minusrarr
cuya regla de correspondencia es f primeprime(x) = minus1
4radic
x3
En este caso
Dom(f primeprime) sub Dom (f prime) sub Dom (f ) y Dom (f primeprime) = Dom (f prime) = Dom (f )
2 Sea f
minusrarr
una funcion definida por f (x) = x3 + sin x La funcion derivada de f sera f prime
minusrarr
cuya regla de correspondencia es f prime(x) = 3x2 +cos x y la funcion segunda derivada de f sera f primeprime
minusrarr
cuya regla de correspondencia es f primeprime(x) = 6x minus sin x
En este caso
Dom(f primeprime) = Dom(f prime) = Dom(f )
134 Derivada de ordenes mayores a dos
En forma analoga a la definicion 17 definimos la tercera derivada de la funcion f en el punto ldquoardquo por
f primeprimeprime(a) = lımxrarra
f primeprime(x) minus f primeprime(a)
x
minusa
= lımhrarr0
f primeprime(a + h) minus f primeprime(a)
h
si es que el l ımite existe y la funcion tercera derivada de f por
f primeprimeprime(x) = lımhrarr0
f primeprime(x + h) minus f primeprime(x)
h
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La derivada de una funcion real de variable real
La tercera derivada de f en a es la derivada de la segunda derivada de f en a y la funcion tercera derivada de
f es la funcion derivada de la funcion segunda derivada de f es decir f primeprimeprime = (f primeprime)prime
Ası llegarıamos a definir la nminusesima derivada de la funcion f en el punto ldquoardquo por
f (n)(a) = lımxrarr
a
f (nminus1)(x) minus f (nminus1)(a)
x minus a
= lımhrarr
0
f (nminus1)(a + h) minus f (nminus1)(a)
hsi es que el l ımite existe y la funcion nminusesima derivada de f por
f (n)(x) = lımhrarr0
f (nminus1)(x + h) minus f (nminus1)(x)
h
135 Notacion de derivadas de ordenes superiores
Generalizando el operador d
dx para derivadas de ordenes mayores a uno tenemos los siguientes operadores
1 El operador d
dx transforma a f (x) en f prime(x)
2 El operador d2
dx2 transforma a f (x) en f primeprime(x) y d2
dx2 = d
dx
983080 ddx
983081
3 El operador d3
dx3 transforma a f (x) en f primeprimeprime(x) y
d3
dx3 =
d
dx
983080 d2
dx2
983081=
d
dx
1048616 d
dx
983080 d
dx
9830811048617
4 El operador dn
dxn transforma a f (x) en f (n)(x) y
dn
dxn =
d
dx
983080 dnminus1
dxnminus1
983081=
d
dx
1048616 d
dx
983080 dnminus2
dxnminus2
9830811048617
Ejemplo 18 Sea f (x) = x5 + 2x2 entonces
1 d
dx1048667f (x)
1048669=
d
dx[x5 + 2x2] = 5x4 + 4x
2 d2
dx2
1048667f (x)
1048669=
d
dx
983131 d
dx
1048667f (x)
1048669983133=
d
dx[5x4 + 4x] = 20x3 + 4
3 d3
dx3
1048667f (x)
1048669=
d
dx
983131 d2
dx2
1048667f (x)
1048669983133=
d
dx[20x3 + 4] = 60x2
4 d4
dx4
1048667f (x)
1048669=
d
dx
983131 d3
dx3
1048667f (x)
1048669983133=
d
dx[60x2] = 120x
5 d5
dx5
1048667f (x)
1048669=
d
dx
983131 d4
dx4
1048667f (x)
1048669983133=
d
dx[120x] = 120
6
d6
dx61048667
f (x)1048669
=
d
dx983131 d5
dx51048667
f (x)1048669983133
=
d
dx [120] = 0 y
dn
dxn1048667
f (x)1048669
= 0 foralln ge 6
Ejercicio 3 Halle una facute ormula para expresar f (n)(x) si
1 f (x) = ex
2 f (x) = eax
3 f (x) = akx
4 f (x) = 1
(x minus a)k
5 f (x) = 1 minus x
1 + x
6 f (x) = 5x minus 2
x2 minus 4
7 f (x) = sin ax
8 f (x) = cos ax
9 f (x) = ln(a + bx)
10 f (x) = 1
x2 minus 3x + 2
11 f (x) = 8x minus 5
2x2 + x minus 6
12 f (x) = x ex
13 f (x) = 5x minus 1
x2 + x minus 12
14 f (x) = ex sin x
15 f (x) = sin2 x
16 f (x) = xnradic
x
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La derivada de una funcion real de variable real
14 Derivadas implıcitas
Sea F (x y) = C una ecuacion que contiene dos variables si en esta ecuacion no se ha despejado la variable
y diremos que y esta expresado en F (x y) = C de manera implıcita
Sea F U sub
2 minusrarr una funcion y f A sub
minusrarr una funcion cuya regla de correspondencia esta en
la forma implıcita en la ecuacionF (x y) = C donde y = f (x)
Las derivadas implıcitas permiten hallar f prime(x) sin necesidad de conocer la regla de correspondencia de f es
mas podemos hallar las derivadas de orden superior de f
Ejemplo 19 Si ldquo yrdquo es una expresiacute on que depende de ldquo xrdquo halle dy
dx
1 e5y = sin(x + y)
e5y = sin(x + y) minusrarr d
dx[e5y] =
d
dx[sin(x + y)]
minusrarr e5y ddx
[5y] = cos(x + y) ddx
[x + y]
minusrarr e5y middot 5 middot dy
dx = cos(x + y)(1 +
dy
dx)
minusrarr 5e5y middot dy
dx = cos(x + y)(1 +
dy
dx)
there4dy
dx =
cos(x + y)
5e5y minus cos(x + y)
2 x = ln(x3 + y)
x = ln(x3 + y) minusrarr
d
dx[x] =
d
dx1048667 ln(x3 + y)1048669
minusrarr 1 = 1
x3 + y middot d
dx[x3 + y]
minusrarr 1 = 1
x3 + y middot (3x2 +
dy
dx)
minusrarr dy
dx = x3 minus 3x2 + y
Derivando una vez mas respecto de x tenemos d
dx[
dy
dx] =
d
dx[x3 minus 3x2 + y] = 3x2 minus 6x +
dy
dx
=rArr d2y
dx2 = 3x2 minus 6x +
dy
dx = 3x2 minus 6x + x3 minus 3x2 + y = x3 minus 6x + y
there4dydx
= x3 minus 3x2 + y y d2ydx2
= x3 minus 6x + y
3 Halle dy
dx si exp
1048616860698 x +
radic y
x minus radic y
1048617+ ln
860698 x minus radic
y
x +radic
y = 8
4 Halle dy
dx si sin(xy) + cos(xy) = tan(x + y)
5 Halle dy
dx si x minus y = arcsin x minus arcsin y
6 Halle dy
dx
si 860698 y minus radic x
y + radic x + 860698 y +
radic x
y minus radic x =
5
2
7 Halle dy
dx si x2 minus a
radic xy + y2 = a2 a constante
8 Halle d2y
dx2 si x12 + y12 = 2 a constante
9 Halle d2y
dx2 si b2x2 minus a2y2 = a2b2 a b constantes
10 Halle d2y
dx2 si x23 + y23 = a23 a constante
11 Halle d2y
dx2
si 3x2
minus2xy + y2 = a2 a constante
12 En los ejercicios anteriores halle dx
dy si x = x(y)
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La derivada de una funcion real de variable real
141 Ecuaciones diferenciales ordinarias de lugares geometricos
Definicion 18 (Ecuacion diferencial) Una ecuaciacute on diferencial es aquella que contiene una o macute as fun-
ciones de una o macute as variables y algunas de sus derivadas respecto a sus variables independientes
Definicion 19 (Ecuacion diferencial ordinaria) Una ecuaciacute on diferencial ordinaria es aquella que con-
tiene una o macute as funciones de una variable y algunas de sus derivadas respecto a su variable independiente El
orden de esta ecuaciacute on diferencial ordinaria es el de la derivada de mayor orden contenida en ella
Ejemplo 110 La siguientes son ecuaciones diferenciales ordinarias
1 2yprimeprime + xyprime + y = sen x su orden es 2
2 yprimeprimeprime minus 2yprimeprime + 5yprime + y = ln x su orden es 3
3 xyprime + sen x = tan x su orden es 1
4 y(5) + y(4) + yprimeprimeprime + yprimeprime + yprime + y = 0 su orden es 5
5 2yprimeprime + xyprime + y3 = sen x su orden es 2
6 (yprimeprimeprime)2 minus 2(yprimeprime)7 + 5yprime + y = ln x su orden es
7 xyprime + sen x = tan y su orden es 3
8 y(5) + y(4) + yprimeprimeprime + (yprimeprime)4 + yprime + ln y = 0 su orden es 5
9 yy primeprime + x2y = x su orden es 2
Definicion 110 Un lugar geometrico del plano
2 es un conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen una
o macute as ecuaciones del tipo F (x y) = K
Ejemplo 111 La recta la circunferencia la paracute abola la elipse la hiperbola las graficas de funciones son
ejemplos de lugares geometricos
Definicion 111 La ecuaciacute on diferencial ordinaria de un lugar geometrico cuya ecuaciacute on es F (x y) = K es
aquella que se obtiene al derivar esta ecuaciacute on con respecto a una de sus variables
Teorema 18 Si un lugar geometrico cuya ecuaciacute on es F (x y) = K contiene n constantes independiente
entonces su ecuaciacute on diferencial ordinaria tendracute a orden n
Ejemplo 112 Halle la ecuaciacute on diferencial ordinaria de todas las circunferencias con centro el origen de
coordenadas
Solucion La ecuacion de esta familia de circunferencias es x2 + y2 = r2 y contiene una sola constante Al
derivar a ambos miembros respecto a x tenemos 2x + 2yyprime = 0 Por tanto la ecuacion diferencial ordinaria de
estas circunferencias sera
x + yy prime = 0 o yprime = minusy
x
Ejemplo 113 Halle la ecuaciacute on diferencial ordinaria de todas las rectas horizontales
Solucion La ecuacion de esta familia de rectas es y = K y contiene una sola constante Al derivar a ambos
miembros respecto a x tenemos y prime = 0 Por tanto la ecuacion diferencial ordinaria de estas rectas sera
yprime = 0
Ejemplo 114 Halle la ecuaciacute on diferencial ordinaria de todas las rectas con pendiente 2
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La derivada de una funcion real de variable real
Solucion La ecuacion de esta familia de rectas es y = 2x + K y contiene una sola constante Al derivar a
ambos miembros respecto a x tenemos y prime = 2 Por tanto la ecuacion diferencial ordinaria de estas rectas sera
yprime = 2
Ejemplo 115 Halle la ecuaciacute on diferencial ordinaria de todas las rectas que pasan por el origen de coordenadas
Solucion Solo consideraremos a las rectas no verticales que pasan por el origen La ecuaci on de esta familia
de rectas es y = Kx y contiene una sola constante entonces su ecuacion diferencial debe ser de orden uno
Al derivar a ambos miembros respecto a x tenemos yprime = K pero K = y
x Por tanto la ecuacion diferencial
ordinaria de estas rectas sera
yprime = y
x si x = 0 yprime = 0 si y = 0
Ejemplo 116 En los siguientes ejemplos dada una funciacute on obtener la ecuaciacute on diferencial de la cual es
soluciacute on
1 y = ceminus2x + x
El orden de la ecuacion diferencia buscada es 1 entonces derivando tenemos
yprime
= minus2ceminus
2x + 1 = minus2ceminus
2x + 1 + 2x minus 2x = minus2(ceminus
2x + x) + 1 + 2x = minus2y + 1 + 2x
there4dy
dx = 1 minus 2(y minus x) es la ecuacion diferencial buscada
2 y = C 1 sen 4x + C 2 cos 4x + x
El orden de la ecuacion diferencia buscada es 2 entonces derivando tenemos
yprime = 4C 1 cos 4x minus 4C 2 sen 4x + 1 yprimeprime = minus16C 1 sen 4x minus 16C 2 cos 4x
yprimeprime = minus16(C 1 sen 4x + C 2 cos 4x) = minus16(y minus x)
there4 yprimeprime + 16y minus 16x = 0 es la ecuacion diferencial buscada
3 y = ax3 + bx2 + cx
El orden de la ecuacion diferencia buscada es 3 entonces derivando tenemos
yprime = 3ax2 + 2bx + c yprimeprime = 6ax + 2b yprimeprimeprime = 6a Reemplazando en la ecuacion a b y c
y = yprimeprimeprime
6 x3 +
1
2
983080yprimeprime minus yprimeprimeprimex
983081x2 +
983080yprime minus yprimeprime
2 minus yprimeprimeprimex
983081x
there4 11x3yprimeprimeprime minus 3x2yprimeprime + 6xyprime + 6y = 0 es la ecuacion diferencial buscada
4 Hallar la ecuacion diferencial de la familia de circunferencias de radio 1 con centro en la recta bisectriz del
primer y tercer cuadrante
Solucion
x
y
y = x
h
h1
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La derivada de una funcion real de variable real
La ecuacion de la familia de circunferencias es (x minus h)2 + (y minus h)2 = 1 en ella solo figura una constante
entonces el orden de la ecuacion diferencia buscada es 1
Derivando respecto a x tenemos 2(x minus h) + 2(y minus h)yprime = 0 =rArr x minus h + yy prime minus hyprime = 0
=rArr h(1 + yprime) = x + yy prime =rArr h = x + yy prime
yprime + 1
Reemplazando en la ecuacion de las circunferencias
1048616x minus
x + yy prime
yprime + 110486172
+1048616
y minus x + yy prime
yprime + 110486172
= 1
=rArr (x(yprime + 1) minus x minus yy prime
8520092+(
yy prime + y minus x minus yy prime8520092
= (yprime + 1)2
=rArr (xyprime minus yy prime
8520092+(
y minus x8520092
= (yprime + 1)2
=rArr (yprime)2(x minus y)2 + (x minus y)2 = (yprime + 1)2
=rArr (x minus y)2(
(yprime)2 + 1852009
= (yprime + 1)2 es la ecuacion diferencial buscada
5 Formular la ecuacion diferencial que representa a todas las tangentes no verticales de la par abola y2 = 2x
Solucion
x
y
a
b
L
y = 2 x 2
La ecuacion de la recta tangente L a la parabola en el punto (a b) es
L y minus b = m(x minus a) Hallando la pendiente m derivando L y prime = m Por otro lado derivando la ecuacion
de la parabola tenemos 2yyprime = 2 =rArr y prime = 1
y cuyo significado es y prime(x) =
1
y(x) para x gt 0
En el punto (a b) de la parabola se tiene yprime(a) = 1
y(a) =
1
b = m Ademas como (a b) es un punto de la
parabola se tiene b2 = 2a =rArr a = b2
2 Luego en la ecuacion de la tangente
y minus b = 1b
1048616x minus b
2
2
1048617 =rArr yb minus b2 = x minus b
2
2
=rArr y = x
b +
b
2 pero b =
1
yprime
=rArr y = xy prime + 1
2yprime
=rArr 2y(yprime)2 minus 2xyprime + 1 = 0 es la ecuacion diferencial buscada
6 y2 = 4ax
Primero tenemos a = y2
4x el cual se utilizara luego Derivando la ecuacion original tenemos 2yyprime = 4a
=rArr 2yyprime
= 41048616 y2
4x1048617
= y2
x =rArr 2xyyprime
= y2 =rArr 2xyprime
= y si y = 0 =rArr 2x dy
dx minus y = 0
Por lo tanto 2x dy
dx minus y = 0 es la ecuacion diferencial buscada
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La derivada de una funcion real de variable real
7 y = C 1 sen 4x + C 2 cos 4x + x
Solucion
yprime = 4C 1 cos 4x minus 4C 2 sen 4x + 1 yprimeprime = minus16C 1 sen 4x minus 16C 2 cos 4x de la segunda derivada tenemos
minusyprimeprime
16 = C 1 sen 4x + C 2 cos 4x = y minus x luego minus(16)minus1yprimeprime = y minus x =rArr minusyprimeprime = 16y minus 16x
Por lo tanto yprimeprime = 16(xminus
y) es ecuacion diferencial buscada
8 I = teminust + eminust + 2sen 3t
Solucion En esta parte I es una funcion que depende de t y las derivadas seran respecto a t
I prime = eminust minus teminust minus eminust + 6cos 6t Pero teminust + eminust = I minus 2sen3t
=rArr I prime = eminust minus I + 2sen 3t + 6cos 3t =rArr I primeprime = minuseminust minus I prime minus 6cos3t minus 18sen3t
sumando las dos ultimas ecuaciones I prime + I primeprime = minusI minus I prime minus 16sen3t de donde I primeprime + 2I prime + I = minus16sen3t
9 x2 minus ay2 = 1
Solucion
Derivando 2x minus 2ay dy
dx = 0 =rArr y prime =
dy
dx =
minus2x
minus2ay
=rArr a = x
yy prime reemplazando en la ecuacion original
x2 minus x
yyprimey2 = 1 =rArr x2yyprime minus yyprime minus xy2 = 0
=rArr (x2 minus 1)yprime = xy
=rArr yprime = xy
x2 + 1 es la ecuacion diferencial buscada
10 x2 + y2 minus cx = 0
Derivando 2x + 2yyprime = c
Reemplazando en la ecuacion original x2 + y2 minus (2x + 2yy prime)x = 0
=
rArr yprime =
x2 minus y2
2xy
es la ecuacion diferencial buscada
11 Hallar la ecuacion diferencial de cada uno de las siguientes familias de curvas
a) y = x sen(x + c) Rta (xyprime minus y)2 = x2(x2 minus y2)
b) Todos los cırculos que pasan por (1 0) y (minus1 0) Rta 2xy = (x2 minus y2 minus 1)yprime
c) Todos los cırculos con centro en la recta y = x que son tangentes a ambos ejes
Rta (x minus y)2(1 + yprime)2 = (x + yy prime)2
d) Todas las rectas tangentes a la parabola x2 = 4y
Sugerencia La pendiente de la recta tangente en (2a a2) es a Rta y + yprime = xy prime
e) Todas las rectas tangentes al cırculo unidad x2
+ y2
= 1 Rta (y minus xyprime
)2
= 1 minus (yprime
)2
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La derivada de una funcion real de variable real
Definicion 112 Sea la ecuaciacute on diferencial ordinaria lineal de orden n
any(n) + middot middot middot + a2y primeprime + a1y prime + a0 = b
La funciacute on f A minusrarr
es una de sus soluciones si para todo x isin A
anf (n)(x) + middot middot middot + a2f primeprime(x) + a1f prime(x) + a0 = b
Ejercicio 4 Demuestre que la funciacute on f
minusrarr definida por f (x) = sin x es una soluciacute on de la ecuaciacute on
diferencial y primeprime + y = 0
Solucion Lo unico que debemos hacer es derivar a f dos veces y sumar los resultados
f (x) = sin x minusrarr f prime(x) = cos x minusrarr f primeprime(x) = minus sin x sumando f primeprime(x) + f (x) = 0 por lo tanto f
es una solucion de la ecuacion diferencial y primeprime + y = 0
Ejercicio 5 Demuestre que la funciacute on f
minusrarr
definida por f (x) = 8ex+xex es una soluciacute on de la ecuaciacute on
diferencial yprimeprime minus 2yprime + y = 0
Solucion Derivemos a f hasta dos veces y reemplacemos en el primer miembro de la ecuacion diferencial Siresulta cero tal reemplazo entonces la funcion f es una solucion de tal ecuacion diferencial
f (x) = 8ex + xex =rArr f prime(x) = [8ex] prime + [xex] prime = 8ex + [x]primeex + x[ex] prime = 8ex + ex + xex = 9ex + xex
=rArr f primeprime(x) = [9ex] prime + [xex] prime = 9ex + [x]primeex + x[ex] prime = 9ex + ex + xex = 10ex + xex
Reemplazemos en el primer miembro de la ecuacion diferencial
f primeprime(x) minus 2f prime(x) + f (x) =1048667
10ex + xex1048669minus 2
10486679ex + xex
1048669+1048667
8ex + xex1048669
= 10ex + xex minus 18ex minus 2xex + 8ex + xex
= [10
minus18 + 8]ex + [1
minus2 + 1]xex
= 0
Dado que resulta f primeprime(x)minus2f prime(x)+f (x) = 0 entonces f (x) = 8ex+xex es una solucion de la ecuacion diferencial
ordinaria y primeprime minus 2yprime + y = 0
Ejercicio 6 Demuestre o descarte las siguientes afirmaciones
1 x + y2 = K describe la soluciacute on general de las ecuaciones diferenciales dy
dx = minus 1
2y 2yyprime + 1 = 0
2 y = K ex es la soluciacute on general de la ecuaciacute on diferencial yprime minus y = 0
3 y = sin x
x
es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial xyprime + y = cos x
4 y = 1
cos x es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial yprime minus y tan x = 0
5 y = 2xradic
1 minus x2 es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial yy prime = 4x minus 8x3
6 y = x
cos x es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial xyprime minus y = x2 tan x sec x
7 y = ex(x + 1) es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial yprimeprime minus 2yprime + y = 0
8 y = ln(x + c) + 2 es la soluciacute on general de la ecuaciacute on diferencial yprimeeyminus2 minus 1 = 0
9 y = sen3 x es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial yprimeprime + (tan x minus 2cot x)yprime = 0
10 y = arcsin(xy) describe una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial xyprime + y = yradic
1 minus x2y2
11 y = c1eminusx + c2ex + c3eminus2x + c4e2x es soluciacute on general de la ecuaciacute on diferencial y(iv) minus 5yprimeprime + 4y = 0
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La derivada de una funcion real de variable real
15 Funciones derivables
151 Funciones derivables en un intervalo
Sin ser redundantes presentamos a los intervalos de
1 [a b] = x isin
a le x le b
2 ⟨a b⟩ = x isin
a lt x lt b
3 ⟨a b] = x isin
a lt x le b
4 [a b⟩ = x isin
a le x lt b
5 ⟨minusinfin b⟩ = x isin 1048623x lt b
6 ⟨minusinfin b] = x isin
1048623x le b
7 ⟨a +infin⟩ = x isin
1048623a lt x
8 [a +infin⟩ = x isin
1048623a le x
9 ⟨minusinfin +infin⟩ =
y
10 [a a] = a
Los cuatro primeros y el ultimo son los intervalos limitados los cinco siguientes son intervalos ilimitados el
ultimo se denomina un intervalo degenerado desde el segundo hasta el cuarto intervalo a lt b
Definicion 113 Sea la funciacute on f I minusrarr donde I es un intervalo de
1 La funciacute on f ⟨a b⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨a b⟩ si lo es en cada punto de ⟨a b⟩
2 La funciacute on f ⟨minusinfin b⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨minusinfin b⟩ si lo es en cada punto de ⟨minusinfin b⟩
3 La funciacute on f ⟨a +infin⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨a +infin⟩ si lo es en cada punto de ⟨a +infin⟩
4 La funciacute on f [a b⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo [a b⟩ si existe un intervalo abierto del tipo ⟨ p q ⟩ que
contiene a [a b⟩ tal que f sea derivable sobre ⟨ p q ⟩
5 La funciacute on f ⟨a b] minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨a b] si existe un intervalo abierto del tipo ⟨ p q ⟩ que
contiene a ⟨a b] tal que f sea derivable sobre ⟨ p q ⟩
6 La funciacute on f [a +infin⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo [a +infin⟩ si existe un intervalo abierto del tipo⟨ p +infin⟩ que contiene a [a +infin⟩ tal que f sea derivable sobre ⟨ p +infin⟩
7 La funciacute on f ⟨minusinfin b] minusrarr es derivable en el intervalo ⟨minusinfin b] si existe un intervalo abierto del tipo
⟨minusinfin q ⟩ que contiene a ⟨minusinfin b] tal que f sea derivable sobre ⟨minusinfin q ⟩
8 La funcion f [a b] minusrarr es derivable en el intervalo [a b] si existe un intervalo abierto del tipo ⟨ p q ⟩ que
contiene a [a b] tal que f sea derivable sobre ⟨ p q ⟩
Observaciones
1 La funcion f [a b
⟩ minusrarr es derivable en el intervalo [a b
⟩ si y solo si es derivable en cada punto de
⟨a b
⟩y existe f prime+(a)
2 La funcion f [a +infin⟩ minusrarr es derivable en el intervalo [a +infin⟩ si y solo si es derivable en cada punto de
⟨a +infin⟩ y existe f prime+(a)
3 La funcion f ⟨a b] minusrarr es derivable en el intervalo ⟨a b] si y solo si es derivable en cada punto de ⟨a b⟩
y existe f primeminus
(b)
4 La funcion f ⟨minusinfin b] minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨minusinfin b] si y solo si es derivable en cada punto de
⟨minusinfin b⟩ y existe f primeminus
(b)
5 La funcion f [a b] minusrarr
es derivable en el intervalo [a b] si y solo si es derivable en cada punto de ⟨a b⟩y existen f prime+(a) y f prime
minus(b)
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La derivada de una funcion real de variable real
6 Sea I un intervalo abierto Si la funcion f I minusrarr es derivable su funcion derivada f prime I minusrarr tendra el
mismo dominio que f
7 Sea I un intervalo abierto Si la funcion f I minusrarr
es k veces derivable su funcion kndashesima derivada
f (k) I minusrarr
tendra el mismo dominio que f
8 Sea I un intervalo no abierto Si la funcion f I minusrarr
es derivable su funcion derivada f prime J minusrarr
tendra como dominio al interior de I
152 Funciones de clase C k
Sea I un intervalo de
Si la funcion f I minusrarr
es derivable en I entonces es continua en I pero
posiblemente la funcion derivada f prime J minusrarr
no sea continua en I J = int (I )
Definicion 114 Sea I un intervalo de Si la funcion f I minusrarr es continua en I diremos que ldquo f rdquo es una
funciacute on de clase cero C 0 sobre I
⋆ Si ldquof rdquo es una funcion de clase C 0 sobre I lo denotamos por f
isin C 0(I )
Definicion 115 Sea I un intervalo abierto de
Si la funciacute on f I minusrarr
es derivable en I y la funciacute on
f prime I minusrarr es continua en I diremos que f es continuamente derivable en I o simplemente la funciacute on ldquo f rdquo es
de clase C 1 sobre I
⋆ Si ldquof rdquo es una funcion de clase C 1 sobre I lo denotamos por f isin C 1(I )
Definicion 116 Sea I un intervalo abierto de
La funcion f I minusrarr
es de clase C k sobre el intervalo I
si es k veces derivable sobre I y la funciacute on f (k) I minusrarr
es continua en I
⋆ Si ldquof rdquo es una funcion de clase C k sobre I lo denotamos por f
isin C k(I )
Definicion 117 Sea I un intervalo abierto de La funciacute on f I minusrarr es de clase C infin sobre el intervalo I
si existe f (n) para todo n isin 0 1 2 middot middot middot
⋆ Si ldquof rdquo es una funcion de clase C infin sobre I lo denotamos por f isin C infin(I )
Ejemplo 117
1 La funcion f
minusrarr
definida por f (x) = ex es de clase C infin sobre
Con la notaciones presentadas
tenemos la pertenencia f isin C infin(
)
2 La funcion f minusrarr
definida por f (x) = p(x) donde p(x) es un polinomio es de clase C infin
sobre
Conla notaciones presentadas tenemos la pertenencia f isin C infin( )
3 La funcion f [0 +infin⟩ minusrarr definida por f (x) =
radic x es de clase C infin sobre ⟨0 +infin⟩ Con la notaciones
presentadas tenemos la pertenencia f isin C infin983080
[0 +infin⟩983081
153 Funciones no derivables
Sea f una funcion cuyo dominio sea el conjunto A sub
Si f es derivable en el punto a isin A entonces la
grafica de f en su punto (a f (a)) tiene una unica recta tangente La idea de recta tangente en este caso no es
la misma que usted tiene a cerca de una recta tangente a una circunferencia en donde ellos tienen un unico
punto en comun es decir si la recta L es tangente a la circunferencia C entonces L y C tienen un unico punto
en comun llamado punto de tangencia Mientras que si L es una recta tangente a la grafica de la funcion f
es posible que ellos tengan otro punto en comun a parte del punto de tangencia la idea de tangencia que se
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La derivada de una funcion real de variable real
expone es local y no global en el sentido de que si L es una recta tangente a la grafica de la funcion f el punto
de tangencia es unico cerca de el especıficamente La recta L es una tangente a la grafica de la funcion f en su
punto (a f (a)) si existe un cırculo de centro (a f (a)) dentro del cual L y la grafica de la funcion f tienen un
unico punto en comun y los puntos de la grafica de f que pertenecen al cırculo estan a un solo lado de L Y si
ademas la funcion f es derivable en a la pendiente de L es f prime(a)
X
Y
L L L
y f x ( )=a
X
Y
L L L
y f x ( )=a
Si una funcion f es continua en un punto a no siempre sera derivable en dicho punto existe la posibilidad de
que lo sea como tambien que no como por ejemplo
La funcion f ⟨0 2⟩ minusrarr
definida por f (x) =
983163 2x si 0 lt x lt 1
2 si 1 le x lt 2es continua en el punto a = 1 pero
no es derivable en dicho punto pues no existe f prime(1) La existencia de la derivada f prime(1) implica que la grafica
de la funcion f tiene una unica recta tangente en el punto (1 f (1)) la no existencia de f prime(1) implica que la
grafica de la funcion f tiene una varias rectas en ese punto o no en este ejemplo como veremos gr aficamente
la funcion f posee varia rectas tangentes en su punto (1 f (1))
X
Y
y f x ( )=
1 2
X
Y
L L L
y x 2=
y x 3=
1
2
3
Grafico de f (x) =983163 2x si 0 lt x lt 1
2 si 1 le x lt 2 Grafico de f (x) =
x2 si
minus1 lt x lt 1
2x3
3 si 1 le x lt 2
Si una funcion f es derivable en un punto a entonces por el teorema 17 sera continua en dicho punto por
ejemplo la funcion f ⟨0 2⟩ minusrarr
f (x) =
x2 si minus1 lt x lt 1
2x3
3 si 1 le x lt 2
es derivable en a = 1 mas aun es
continua en dicho punto Es mas la grafica de f tiene una unica recta tangente en su punto (1 f (1))
De acuerdo al teorema 16 una funcion es no derivable en el punto ldquoardquo si f primeminus
(a) = f prime+(a) o una de la
derivadas laterales f primeminus
(a) f prime+(a) no existe Y de acuerdo al teorema 17 si f no es continua en el punto ldquoardquo
entonces no es derivable en ese punto
Los siguientes son ejemplos graficos de funciones no derivables en un punto
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La derivada de una funcion real de variable real
X X
Y Y
a a b
y f x = ( ) y f x = ( )
f a f a bno es derivable en no es derivable en y
f a
f b
es derivable en por derecha
es derivable en por izquierda
2 Teoremas sobre funciones derivables
21 Extremos relativos de una funcion
Definicion 21 Sean empty = X sub
y m isin
Diremos que ldquo mrdquo es el mınimo del conjunto X si m isin X y m le x
para todo x isin X
Definicion 22 Sean empty = X sub
y M isin
Diremos que ldquo M rdquo es el macute aximo del conjunto X si M isin X y
M ge x para todo x isin X
Observaciones
1 No todo subconjunto no vacıo de
posee maximo yo mınimo
2 Si un subconjunto no vacıo de
posee maximo yo mınimo este es unico y ademas es uno de los elementos
del conjunto
3 Si ldquomrdquo es el mınimo del conjunto X entonces lo denotamos por m = mın X
4 Si ldquoM rdquo es el maximo del conjunto X entonces lo denotamos por M = max X
5 Si m = mın X y M = max X entonces m le M y ademas m le x le M para todo x isin X
Ejemplo 21
1 El conjunto de los numeros naturales posee mınimo y es 1 es decir 1 = mın pero no posee maximo
2 El conjunto
el de los numeros enteros no posee ni maximo ni mınimo El conjunto
el de los numeros
racionales no posee ni maximo ni mınimo
3 Veamos algunos intervalos
a) Los intervalos ⟨a b⟩ ⟨a b] ⟨a +infin⟩ no poseen mınimo
b) Los intervalos ⟨a b⟩ [a b⟩ ⟨minusinfin b⟩ no poseen maximo
c) a = mın[a b] a = mın[a b⟩ a = mın[a +infin⟩
d) b = max[a b] b = max⟨a b] b = max⟨minusinfin b]
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La derivada de una funcion real de variable real
Definicion 23 Sean empty = A sub f A minusrarr una funciacute on y x0 isin A
1 La funciacute on ldquo f rdquo tiene un mınimo absoluto en x0 si f (x0) le f (x) para todo x isin A
2 La funciacute on ldquo f rdquo tiene un macute aximo absoluto en x0 si f (x) le f (x0) para todo x isin A
3 La funci on ldquo f rdquo tiene un mınimo relativo en x0 si existe un δ gt 0 tal que f (x0) le f (x) para todo
x isin A cap ⟨x0 minus δ x0 + δ ⟩
4 La funci on ldquo f rdquo tiene un macute aximo relativo en x0 si existe un δ gt 0 tal que f (x) le f (x0) para todo
x isin A cap ⟨x0 minus δ x0 + δ ⟩
Observaciones Sean empty = A sub
f A minusrarr
una funcion y x0 isin A
1 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo relativo en x0 diremos tambien que f tiene un mınimo local en x0
2 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo relativo en x0 diremos tambien que f tiene un maximo local en x0
3 La funcion ldquof rdquo tiene un extremo absoluto en x0 si tiene un mınimo o maximo absoluto en dicho punto
4 La funcion ldquof rdquo tiene un extremo relativo en x0 si tiene un mınimo o maximo relativo en dicho punto
5 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo absoluto en x0 entonces f (x0) es el mınimo del rango de la funcion es
decir
f (x0) = mın Ran (f )
Al numero f (x0) lo denominaremos el valor mınimo de f en su dominio
6 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo absoluto en x0 entonces f (x0) es el maximo del rango de la funcion es
decir
f (x0) = max Ran (f )
Al numero f (x0) lo denominaremos el valor maximo de f en su dominio
7 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo relativo en x0 entonces f no siempre tendra un mınimo absoluto en x0
Una funcion puede poseer un mınimo relativo sin tener un mınimo absoluto
8 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo relativo en x0 entonces f no siempre tendra un maximo absoluto en
x0 Una funcion puede poseer un maximo relativo sin tener un maximo absoluto
9 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo absoluto en x0 entonces f tiene un mınimo relativo en dicho punto Lo
contrario no siempre es cierto
En la figura la funcion f minusrarr tiene maximo
relativo en x = 0 pero no posee maximo absolutoen su dominio
En la figura la funcion g minusrarr tiene mınimo
relativo en x = 0 pero no posee mınimo absolutoen su dominio
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La derivada de una funcion real de variable real
10 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo absoluto en x0 entonces f tiene un maximo relativo en dicho punto Lo
contrario no siempre es cierto
11 Una funcion puede tener extremos absolutos en mas de un punto vea el siguiente grafico
En la figura la funcion f
minusrarr
tiene mınimo
absoluto en dos puntos diferentes
En la figura la funcion g
minusrarr
tiene maximo
absoluto en dos puntos diferentes
12 La funcion ldquof rdquo tiene un extremo en el punto x0 si tiene un maximo o mınimo absoluto o relativo en dicho
punto
Y Y
X X
figura (a) figura (b)
x x x x 0 1 2 3 4 5 6x x x x x x x x x x 0 1 2 3 4 5 6
y f x = ( )
y f x = ( )
En la figura (a) Dom(f ) = [x0 x6] la funcion tiene
un mınimo absoluto en el punto x2 y maximo absolu-
to en el punto x5 mientras que tiene mınimo relativo
en los puntos x0 x2 x4 y x6 y maximo relativo en
los puntos x1 x3 y x5
En la figura (b) Dom (f ) = [x0 x6⟩minusx3 la funcion
no tiene mınimo absoluto ni maximo absoluto mien-
tras que tiene mınimo relativo en los puntos x0 x2 y
x4 y maximo relativo en los puntos x1 y x5
Teorema 21 Si la funcion f tiene un extremo en x0 y f prime(x0) existe entonces f prime(x0) = 0
Observaciones
1 Lo contrario no siempre es cierto es decir si f prime(x0) = 0 entonces f no siempre tendra un extremo en x0
Un ejemplo simple es para f (x) = (x minus 2)3 en x0 = 2
2 Si la funcion f tiene un extremo en x0 y f prime
(x0) existe entonces la recta tangente a la grafica de la funcionen el punto
(x0 f (x0)
852009 en horizontal
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La derivada de una funcion real de variable real
3 Si la funcion f tiene un extremo en x0 y f prime(x0) no existe entonces o bien no existe recta tangente a la
grafica de la funcion en el punto(
x0 f (x0)852009
o existen infinitas rectas tangente a la grafica de la funcion en
el punto(
x0 f (x0)852009
pudiendo ser una de ellas una recta vertical
En la figura la funcion f
minusrarr
tiene un extremo
en x = 0 pero f prime(0) no existe ademas la grafica de
esta funcion posee infinitas rectas tangente en el pun-
to(
0 f (0)852009
En la figura la funcion g
minusrarr
tiene extremo en
los puntos x0 x1 existen g prime(x0) g prime(x1) y las rectas
tangente en(
x0 g(x0)852009
y(
x1 g(x1)852009
son horizontales
22 El teorema del valor medio
Teorema 22 (Teorema de Rolle) Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si f es continua en [a b] es derivable en
⟨a b⟩ y f (a) = f (b) entonces existe un c isin ⟨a b⟩ tal que f prime(c) = 0
Observaciones
1 Si la funcion f satisface las hipotesis del teorema de Rolle la existencia del punto c tales que f prime(c) = 0 no
siempre es unica pueden existir otros puntos del intervalo ⟨a b⟩ cuya primera derivada en esos puntos sea
cero
2 La condicion f (a) = f (b) indica que la recta que pasa por los puntos(
a f (a)852009
y(
b f (b)852009
es horizontal El
teorema garantiza la existencia de al menos un punto c isin ⟨a b⟩ tal que la recta tangente a la grafica de la
funcion f el punto(
c f (c)852009
tambien sea horizontal
X X
Y Y
y=f x( )
y=f x( )
figura (a) figura (b)
a c c b1 3 a b
c2
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La derivada de una funcion real de variable real
En la figura (a) la funcion f satisface las hipotesis del
teorema de Rolle por tanto en este caso existen pun-
tos c1 c2 y c3 del intervalo ⟨a b⟩ tal que f prime(c1) = 0
f prime(c2) = 0 y f prime(c3) = 0
En la figura (b) la funcion f no satisface las hipotesis
del teorema de Rolle en tanto no se garantiza la exis-
tencia de puntos del intervalo ⟨a b⟩ tal que la primera
derivada de f en esos puntos sea cero
Teorema 23 (El teorema del valor medio de Lagrange) Sea la funciacute on f [a b]
minusrarr
Si f es continua
en [a b] es derivable en ⟨a b⟩ entonces existe un c isin ⟨a b⟩ tal que
f prime(c) = f (b) minus f (a)
b minus a
Observaciones
1 Si la funcion f satisface las hipotesis del teorema del valor medio de Lagrange la existencia del punto c tales
que f prime(c) = f (b) minus f (a)
b minus a no siempre es unica pueden existir otros puntos del intervalo ⟨a b⟩ cuya primera
derivada en esos puntos sea igual a f (b) minus f (a)
b minus a
2 Sea L la recta que pasa por los puntos(
a f (a)852009
y(
b f (b)852009
el teorema garantiza la existencia de al menosun punto c isin ⟨a b⟩ tal que la recta tangente a la grafica de la funcion f el punto
(c f (c)
852009 sea paralela a L
Y Y
X X
y = f x ( ) y = f x ( )
f a ( )
f a ( )
f b( )
f b( )
figura (a) figura (b)
a c b1 b
c 2 a
L L L
L L L
En la figura (a) la funcion f satisface las hipotesis del
teorema de Lagrange por tanto en este caso existen
puntos c1 y c2 del intervalo ⟨a b⟩ tal que
f prime(c1) = f (b) minus f (a)
b minus a y f prime(c2) =
f (b) minus f (a)
b minus a
En la figura (b) la funcion f no satisface las hipotesis
del teorema de Lagrange en tanto no se garantiza
la existencia de puntos del intervalo ⟨a b⟩ tal que laprimera derivada en ese punto sea igual a
f (b) minus f (a)
b minus a
Teorema 24 (El teorema generalizado del valor medio de Cauchy) Sean las funciones f [a b] minusrarr
y g [a b] minusrarr
continuas en [a b] y derivables en ⟨a b⟩ con g(b) = g(a) y g prime(x) = 0 para todo x isin ⟨a b⟩
entonces existe un c isin ⟨a b⟩ tal que f prime(c)
g prime(c) =
f (b) minus f (a)
g(b) minus g(a)
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La derivada de una funcion real de variable real
23 Funciones crecientes y decrecientes
Definicion 24 (Funcion creciente) Sean empty = A sub
y la funciacute on f A minusrarr
Diremos que la funciacute on f
es creciente o estrictamente creciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) lt f (x2)
Definicion 25 (Funcion decreciente) Sean empty = A sub
y la funci on f A minusrarr
Diremos que la funcion f
es decreciente o estrictamente decreciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) gt f (x2)
Y Y
X X
f x ( )1
f x ( )1
x 1
x 1x 2
x 2
f x ( )2
f x ( )2
Graacutefico de una funcioacutenestrictamente creciente
Graacutefico de una funcioacutenestrictamente decreciente
Definicion 26 (Funcion no creciente) Sean empty = A sub y la funci on f A minusrarr
Diremos que la funciacute on
f es no creciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) ge f (x2)
Definicion 27 (Funcion no decreciente) Sean empty = A sub y la funciacute on f A minusrarr
Diremos que la
funciacute on f es no decreciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) le f (x2)
Y Y
X X
x 1 x 2 x 1 x 2
Graacutefico de una funcioacuten
no decreciente
Graacutefico de una funcioacuten
no creciente
Definicion 28 (Funcion monotona) Sean empty = A sub
y la funci on f A minusrarr
Diremos que la funciacute on f
es monacute otona sobre A si es creciente o decreciente o no creciente o no decreciente sobre A
Observaciones
1 Para definir funciones monotonas (crecientes decrecientes no crecientes o no decrecientes) no es necesario
saber la continuidad y la derivabilidad de la funcion en su dominio
2 Existen funciones monotonas que no son derivables yo continuas en su dominio
Teorema 25 Sean empty = A sub y la funciacute on f A minusrarr Si la funciacute on f es estrictamente creciente sobre A
entonces f es una funciacute on inyectiva y su funcion inversa f lowast tambien es estrictamente creciente sobre Ran(f )
Teorema 26 Sean empty = A sub
y la funci on f A minusrarr
Si la funci on f es estrictamente decreciente sobre A
entonces f es una funciacute on inyectiva y su funciacute on inversa f lowast tambien es estrictamente decreciente sobre Ran(f )
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La derivada de una funcion real de variable real
Y Y
X X
f
f
f
f
Teorema 27 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr
Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩
con f
prime
(x) gt 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es estrictamente creciente sobre [a b]
Teorema 28 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩
con f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es estrictamente decreciente sobre [a b]
X X
a
a b
b
Observaciones
1 Del teorema 27 si la pendiente de todas las rectas tangente a la grafica de la funcion sobre ⟨a b⟩ es positiva
entonces la funcion es estrictamente creciente sobre [a b]
2 Del teorema 28 si la pendiente de todas las rectas tangente a la grafica de la funcion sobre ⟨a b⟩ es negativa
entonces la funcion es estrictamente decreciente sobre [a b]
Teorema 29 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr
Si la funcion f es continua sobre [a b] y es inyectiva en [a b]
entonces f es estrictamente creciente o estrictamente decreciente sobre [a b] pero no ambos
X X
a
a b
b
f ab
ab
es continua e inyectiva sobre [ ]en este caso es creciente sobre [ ]
f ab
ab
es continua e inyectiva sobre [ ]en este caso es decreciente sobre [ ]
f f
Teorema 210 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funciacute on f es continua y estrictamente creciente sobre
[a b] entonces Ran(f ) =1048667
f (a) f (b)1048669
y su funciacute on inversa f lowast 1048667
f (a) f (b)1048669 minusrarr
es tambien continua y
estrictamente creciente sobre [a b]
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La derivada de una funcion real de variable real
Teorema 211 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funcion f es continua y estrictamente decreciente sobre
[a b] entonces Ran(f ) =1048667
f (b) f (a)1048669
y su funciacute on inversa f lowast 1048667
f (b) f (a)1048669 minusrarr
es tambien continua y
estrictamente decreciente sobre [a b]
Teorema 212 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre
⟨a b⟩ con f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es no decreciente sobre [a b]
Teorema 213 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre
⟨a b⟩ con f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es no creciente sobre [a b]
Teorema 214 (de la funcion constante) Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre
[a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩ con f prime(x) = 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es constante sobre [a b] es decir
existe una constante C tal que f (x) = C para todo [a b]
Teorema 215 (de la diferencia constante) Sean las funciones f [a b] minusrarr
y f [a b] minusrarr
Si las
funciones f y g son continuas sobre [a b] y es derivables sobre ⟨a b⟩ con f prime(x) = g prime(x) para todo x isin ⟨a b⟩entonces existe una constante C tal que f (x) = g(x) + C para todo [a b]
Definicion 29 (Punto crıtico) Sean I un intervalo de
x0 un punto de I y la funciacute on f I minusrarr
El
punto x0 es un punto crıtico de la funciacute on f I minusrarr si x0 satisface alguna de las siguientes condiciones
a) f prime(x0) = 0 o b) f prime(x0) = 0 no existe o c) f tiene un extremo en x0
Observaciones
1 Si x0 es un punto crıtico de la funcion f no podemos concluir con certeza una de las condiciones mencionadas
2 Si x0 es un punto crıtico de la funcion f y f prime(x0) = 0 no podemos concluir con certeza que f tiene un
extremo en dicho punto
Por ejemplo sea la funcion f [1 3] minusrarr definida
por f (x) = (x minus 2)3 cuya funcion derivada es
f prime ⟨1 3⟩ minusrarr
983087 f prime(x) = 3(x minus 2)2
En x0 = 2 tenemos f prime(x0) = 0 pero f no tiene
maximo ni mınimo en 2 f tiene un mınimo en 1
y un maximo en 3 por tanto 1 2 y 3 son puntos
crıticos de f
Y
X
1
2
Ejercicio 7 Hal le los puntos crıticos de las siguientes funciones
1 f
minusrarr que estacute a definida por
f (x) = 1
4(x4 minus 6x2 + 8x) + 5
2 f
minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = 3
radic (x + 4)2(x minus 5)
3 f
minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = 5x23 minus x53
4 f
minusrarr
que estacute a definida por f (x) = x + 1
x2 + 1
5 f
minus 1 minusrarr que estacute a definida por
f (x) = x3 minus 2
(x minus 1)2
6 f
minusrarr
que estacute a definida por f (x) = x2 + 3radic
x2 + 1
7 f [minusπ2
π2
] minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = sin2 x minus |x|
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La derivada de una funcion real de variable real
231 Criterio de la primera derivada para extremos de una funcion
Aquı presentamos un criterio que nos ayuda a determinar si un punto crıtico es aquel en donde una funcion
alcanza su valor maximo o mınimo
Teorema 216 (Criterio de la primera derivada) Sean la funciacute on f A minusrarr
el intervalo [a b] contenido
en A y x0
isin ⟨a b
⟩ un punto crıtico de f
1 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f tiene un macute aximo en el punto x0
2 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f tiene un mınimo en el punto x0
3 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) gt 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) gt 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f no tiene macute aximo ni mınimo en el punto x0
4 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f no tiene macute aximo ni mınimo en el punto x0
X X
a bx 0a bx 0
f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0lt gt f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0gt lt
f
f
f tiene un maacuteximo en x 0 f tiene un miacutenimo en x 0
X X a bx 0a bx 0
f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0lt lt f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0gt gt
f f
f no tiene un extremo en x 0 f no tiene un extremo en x 0
Observaciones
1 Al ser x0 un punto crıtico de f el criterio de la primera derivada no garantiza que exista f prime(x0)
2 El criterio de la primera derivada requiere que f sea derivable en ⟨a x0⟩ cup ⟨x0 b⟩ mas no en x0
3 Un metodo que nos permite hallar puntos crıticos de la funcion f en [a b] es resolver la ecuacion f prime(x) = 0
sujeta a la condicion x isin ⟨a b⟩ pero tal metodo solo nos proporciona todos los puntos crıticos de f que
cumple la primera condicion dada en la definicion 29
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La derivada de una funcion real de variable real
4 Los graficos anteriores presentan al punto crıtico x0 de f en el cual existe f prime(x0) y es igual a cero es mas
en los dos primeros graficos la recta tangente en el punto (x0 f (x0)) es horizontal iquestCual es el aspecto de
la grafica de f si es que no existiera f prime(x0)
5 Sea x0 isin ⟨a b⟩ un punto crıtico de la funcion f Al utilizar el criterio de la primera derivada para averiguar
si f tiene maximo o mınimo en x0 es necesario resolver las inecuaciones f prime(x) lt 0 y f prime(x) gt 0 sujetas
a la restriccion x isin ⟨a b⟩ tales procesos son sencillos para algunas funciones pero existen funciones paralos cuales tales resoluciones son complicadas y ahı el criterio de la primera derivada no es recomendable
utilizarlo pero tal deficiencia se supera utilizando otro criterio para determinar extremo de una funcion
6 El criterio de la primera derivada tambien es aplicable cuando en lugar del intervalo ⟨a b⟩ se considera a
otros tipos de intervalos abiertos si es que estan contenidos en el dominio de la funcion
Por ejemplo para la funcion f
minusrarr
definida por f (x) = x2 su unico punto crıtico es x0 = 0 f prime(x) lt 0
para todo x lt 0 y f prime(x) gt 0 para todo x gt 0 por tanto f tiene un mınimo en 0 y su valor mınimo es
f (0) = 0
232 Criterio de la segunda derivada para extremos de una funcion
Aquı presentamos otro criterio que nos ayuda a determinar si un punto crıtico es aquel en donde una funcion
alcanza su valor maximo o mınimo este metodo requiere la existencia de la segunda de la funcion en su punto
crıtico
Teorema 217 (Criterio de la segunda derivada) Sean la funciacute on f A minusrarr
el intervalo [a b] contenido
en A y x0 isin ⟨a b⟩ un punto crıtico de f para el cual f primeprime(x0) existe
1 Si la funciacute on f es derivable en ⟨a b⟩ f prime(x0) = 0 y f primeprime(x0) lt 0 entonces f tiene un macute aximo en el punto x0
2 Si la funciacute on f es derivable en
⟨a b
⟩ f prime(x0) = 0 y f primeprime(x0) gt 0 entonces f tiene un mınimo en el punto x0
X X
a bx 0a bx 0
f a b f f es derivable en ( ) 0 ( ) 0 x x 0 0= lt f a b f f es derivable en ( ) 0 ( ) 0 x x 0 0= gt
f
f
f tiene un maacuteximo en x 0 f tiene un miacutenimo en x 0
Observaciones
1 Los graficos anteriores presentan al punto crıtico x0 de f en el cual existe f primeprime(x0) y es diferente a cero
2 El criterio de la segunda derivada tambien es aplicable cuando en lugar del intervalo ⟨a b⟩ se considera a
otros tipos de intervalos abiertos si es que estan contenidos en el dominio de la funcion
Por ejemplo para la funcion f
minusrarr
definida por f (x) = x2 su unico punto crıtico es x0 = 0 y
f primeprime(0) = 2 gt 0 por tanto f tiene un mınimo en 0 y su valor mınimo es f (0) = 0
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La derivada de una funcion real de variable real
24 Concavidad y puntos de inflexion
25 La regla de Lrsquo Hospital
3 Aplicaciones de la derivada
31 Trazado de grafica de funciones
32 Derivadas parametricas
321 Regla de la cadena
33 Diferencial de una funcion
34 Razon de cambio
Indice
1 La derivada 111 Derivadas laterales 4
12 Derivacion y continuidad 5
13 Derivadas de orden superior 7
131 Notacion de derivadas 7
132 El operador d
dx 8
133 La segunda derivada 10
134 Derivada de ordenes mayores a dos 10
135 Notacion de derivadas de ordenes superiores 11
14 Derivadas implıcitas 12
141 Ecuaciones diferenciales ordinarias de lugares geometricos 13
15 Funciones derivables 18
151 Funciones derivables en un intervalo 18
152 Funciones de clase C k 19
153 Funciones no derivables 19
2 Teoremas sobre funciones derivables 21
21 Extremos relativos de una funcion 21
22 El teorema del valor medio 24
23 Funciones crecientes y decrecientes 26
231 Criterio de la primera derivada para extremos de una funcion 29
232 Criterio de la segunda derivada para extremos de una funcion 30
24 Concavidad y puntos de inflexion 31
25 La regla de Lrsquo Hospital 31
3 Aplicaciones de la derivada 31
31 Trazado de grafica de funciones 31
32 Derivadas parametricas 31
321 Regla de la cadena 31
33 Diferencial de una funcion 31
34 Razon de cambio 31
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La derivada de una funcion real de variable real
132 El operador d
dx
Cuando trabajamos con funciones derivables el proceso de derivacion es hallar la funcion derivada de cierta
funcion que evidentemente tendra otra regla de correspondencia para ellos empleamos el operador d
dx que
transforma la regla de correspondencia de una funcion f en la regla de correspondencia de su funcion derivada
es decir d
dx(f (x)852009 = f prime(x)
Ejemplo 14 Si f (x) = radic
x entonces d
dx
(f (x)
852009=
d
dx
(radic x852009
= 1
2radic
x para todo x gt 0
Empleando el teorema 12 y la definicion 14 es facil demostrar que d
dx es un operador lineal es decir
d
dx
852059f (x) + g(x)
852061=
d
dx
1048667f (x)
1048669+
d
dx
852059g(x)
852061 y
d
dx
1048667λf (x)
1048669= λ middot d
dx
852059f (x)
852061 donde λ isin
y que ademas
d
dx1048667f (x)g(x)1048669 =
d
dx852059f (x)852061 middot
g(x) + f (x)
middot
d
dx852059g(x)852061 y
d
dx1048667
f (x)
g(x)1048669 =
d
dx 852059f (x)
852061middot g(x) minus f (x) middot d
dx 852059g(x)
852061[g(x)]
2
En forma abreviada dado que d
dx
983080f (x)
983081= f prime(x)
1048667f (x) + g(x)
1048669prime
=852059
f (x)852061prime
+852059
g(x)852061prime
y852059
λf (x)852061prime
= λ852059
f (x)852061prime
donde λ isin
de manera similar1048667f (x)g(x)
1048669prime
=852059
f (x)852061prime
g(x) + f (x)852059
g(x)852061prime
y1048667f (x)
g(x)
1048669prime
=
852059f (x)
852061primeg(x) minus f (x)
852059g(x)
852061prime[g(x)]2
Ejemplo 15 En cada caso halle f prime(x) utilizando el operador d
dx
1 Sea f
minusrarr
definido por f (x) = sin(2x)minus
e3x emplearemos simultaneamente la regla de la cadena y
la tabla de derivadas para hallar f prime(x)
f (x) = sin(2x) minus e3x minusrarr d
dx[f (x)] =
d
dx[sin(2x) minus e3x]
minusrarr d
dx[f (x)] =
d
dx[sin(2x)] minus d
dx[e3x]
minusrarr d
dx[f (x)] = cos(2x)
d
dx[2x] minus e3x
d
dx[3x]
minusrarr d
dx[f (x)] = cos(2x) middot 2 minus e3x middot 3
there4 f prime(x) = 2 cos(2x) minus 3e3x para todo x isin
2 Sea f minusrarr definido por f (x) = x3
sin xe5x
emplearemos simultaneamente la regla de la cadena y la
tabla de derivadas para hallar f prime(x)
f (x) = x3 sin x
e5x minusrarr [f (x)]prime =
983131x3 sin x
e5x
983133prime
minusrarr f prime(x) = [x3 sin x]prime middot e5x minus x3 sin x middot [e5x]prime
[e5x]2
minusrarr f prime(x) =
983080[x3]prime sin x + x3[sin x]prime
983081middot e5x minus x3 sin x middot [e5x]prime
[e5x]2
minusrarr f prime(x) = 9830803x2 middot sin x + x3 middot cos x983081 middot e5x minus x3 sin x middot e5x middot [5x]prime
[e5x]2
minusrarr f prime(x) =
9830803x2 middot sin x + x3 middot cos x
983081middot e5x minus x3 sin x middot e5x middot 5
[e5x]2
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La derivada de una funcion real de variable real
Reduciendo y agrupando la expresion tenemos
f prime(x) = eminus5x983080
(3x2 minus 5x3)sin x + x3 cos x983081
para todo x isin
3 Sea f
minusrarr
definido por f (x) = (x4 + 2)4cos2x emplearemos simultaneamente la regla de la cadena
y la tabla de derivadas para hallar f prime(x)
f (x) = (x4 + 2)4cos2x minusrarr ln[f (x)] = ln1048667
(x4 + 2)4cos2x1048669
= 4cos 2x middot ln(x4 + 2)
luego derivando respecto a x
minusrarr f prime(x)
f (x) =
10486674cos2x middot ln(x4 + 2)
1048669prime
minusrarr f prime(x)
f (x) =
10486674cos2x
1048669prime
middot ln(x4 + 2) + 4 cos 2x middot1048667
ln(x4 + 2)1048669prime
minusrarr f prime(x)
f (x) = 4
1048667cos2x
1048669prime
middot ln(x4 + 2) + 4 cos 2x middot [x4 + 2]prime
x4 + 2
minusrarr f prime(x)
f (x) = 4(minus sin2x)[2x]prime
middot ln(x4
+ 2) + 4cos 2x middot [x4]prime + [2]prime
x4 + 2
minusrarr f prime(x)
f (x) = 4(minus sin2x)2 middot ln(x4 + 2) + 4cos 2x middot 4x3 + 0
x4 + 2
minusrarr f prime(x)
f (x) = minus8sin2x middot ln(x4 + 2) +
16x3
x4 + 2 middot cos2x
there4 f prime(x) = (x4 + 2)4cos2x983080
minus 8sin2x middot ln(x4 + 2) + 16x3
x4 + 2 middot cos2x
983081 para todo x isin
Observacion El operador d
dx es muy especıfico en el siguiente sentido Si u es una expresion que depende de
x es decir u = u(x) entonces ddx
[u] = ddx
[u(x)] = u prime(x) Sin embargo supongamos que W es una expresion
que no depende de la variable x entonces al hallar d
dx[W ] nos resultara ldquo0rdquo ya que el operador a la expresion
W lo interpreta como una constante
Es necesario especificar cuando utilizamos el operador d
dx que estamos derivando respecto a la variable
ldquoxrdquo solamente y no respecto a otra variable Es ası si utilizamos el operador d
dy estamos derivando respecto a
la variable ldquoyrdquo y si utilizamos el operador d
dt estamos derivando respecto a la variable ldquotrdquo ası sucesivamente
Ejemplo 16
1 Hallemos d
dx[u] si u = 5x + tan x
d
dx[u] =
d
dx[5x + tan x] =
d
dx[5x] +
d
dx[tan x] = 5
d
dx[x] + sec2 x = 5 + sec2 x
2 Hallemos d
dx[W ] si W = 5e5t+1 + tan(3x) donde t no depende de x
d
dx[W ] =
d
dx[5e5t+1 + tan(3x)] =
d
dx[5e5t+1] +
d
dx[tan(3x)] = 0 + sec2(3x)
d
dx[3x] = sec2(3x) middot 3
3 Hallemos d
dx[W ] si W = cos(5x + t) + ln(x2 + z) donde z y t no dependen de x
ddx
[W ] = ddx
1048667cos(5x + t) + ln(x2 + z)
1048669= minussin(5x + t) middot d
dx[5x + t] + 1
x2 + z middot d
dx[x2 + z]
=rArr d
dx[W ] = minussin(5x + t) middot (5 + 0) +
1
x2 + z middot (2x + 0) = minus5 sin(5x + t) +
2x
x2 + z
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La derivada de una funcion real de variable real
4 Si U solo depende de x entonces d
dy[U ] = 0
d
dx[U ] = U prime(x)
d
dt[U ] = 0 y
d
dz[U ] = 0
133 La segunda derivada
Definicion 17 Sea f una funciacute on derivable en a la segunda derivada de f en a es
f primeprime
(a) = lımxrarra
f prime(x)
minusf prime(a)
x minus a = lımhrarr0
f prime(a + h)
minusf prime(a)
h
si es que dicho l ımite existe La funciacute on segunda derivada de f denotada por f primeprime es definida por
f primeprime(x) = lımhrarr0
f prime(x + h) minus f prime(x)
h
Observaciones
1 La segunda derivada de f en un punto es la derivada de f prime en dicho punto
2 El dominio de f primeprime esta formado por todos los puntos ldquoxrdquo del dominio de f para los cuales existe f primeprime(x)
3 Los dominios de f f prime y f primeprime no siempre coinciden generalmente se tiene
Dom(f primeprime) sub Dom (f prime) sub Dom (f )
4 Si existe f primeprime(a) diremos que f es dos veces derivable en a
5 Si f no es derivable en a entonces no es dos veces derivable en a
6 Si f es dos veces derivable en a entonces es derivable en a
7 Si f es derivable en a no siempre es dos veces derivable en a
8 Si f es dos veces derivable en a entonces es continua en a
Ejemplo 17
1 Sea f [0 +infin⟩ minusrarr una funcion definida por f (x) =
radic x La funcion derivada de f sera f prime ⟨0 +infin⟩ minusrarr
cuya regla de correspondencia es f prime(x) = 1
2radic
x mientras que la funcion segunda derivada de f sera f primeprime
⟨0 +infin⟩ minusrarr
cuya regla de correspondencia es f primeprime(x) = minus1
4radic
x3
En este caso
Dom(f primeprime) sub Dom (f prime) sub Dom (f ) y Dom (f primeprime) = Dom (f prime) = Dom (f )
2 Sea f
minusrarr
una funcion definida por f (x) = x3 + sin x La funcion derivada de f sera f prime
minusrarr
cuya regla de correspondencia es f prime(x) = 3x2 +cos x y la funcion segunda derivada de f sera f primeprime
minusrarr
cuya regla de correspondencia es f primeprime(x) = 6x minus sin x
En este caso
Dom(f primeprime) = Dom(f prime) = Dom(f )
134 Derivada de ordenes mayores a dos
En forma analoga a la definicion 17 definimos la tercera derivada de la funcion f en el punto ldquoardquo por
f primeprimeprime(a) = lımxrarra
f primeprime(x) minus f primeprime(a)
x
minusa
= lımhrarr0
f primeprime(a + h) minus f primeprime(a)
h
si es que el l ımite existe y la funcion tercera derivada de f por
f primeprimeprime(x) = lımhrarr0
f primeprime(x + h) minus f primeprime(x)
h
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La derivada de una funcion real de variable real
La tercera derivada de f en a es la derivada de la segunda derivada de f en a y la funcion tercera derivada de
f es la funcion derivada de la funcion segunda derivada de f es decir f primeprimeprime = (f primeprime)prime
Ası llegarıamos a definir la nminusesima derivada de la funcion f en el punto ldquoardquo por
f (n)(a) = lımxrarr
a
f (nminus1)(x) minus f (nminus1)(a)
x minus a
= lımhrarr
0
f (nminus1)(a + h) minus f (nminus1)(a)
hsi es que el l ımite existe y la funcion nminusesima derivada de f por
f (n)(x) = lımhrarr0
f (nminus1)(x + h) minus f (nminus1)(x)
h
135 Notacion de derivadas de ordenes superiores
Generalizando el operador d
dx para derivadas de ordenes mayores a uno tenemos los siguientes operadores
1 El operador d
dx transforma a f (x) en f prime(x)
2 El operador d2
dx2 transforma a f (x) en f primeprime(x) y d2
dx2 = d
dx
983080 ddx
983081
3 El operador d3
dx3 transforma a f (x) en f primeprimeprime(x) y
d3
dx3 =
d
dx
983080 d2
dx2
983081=
d
dx
1048616 d
dx
983080 d
dx
9830811048617
4 El operador dn
dxn transforma a f (x) en f (n)(x) y
dn
dxn =
d
dx
983080 dnminus1
dxnminus1
983081=
d
dx
1048616 d
dx
983080 dnminus2
dxnminus2
9830811048617
Ejemplo 18 Sea f (x) = x5 + 2x2 entonces
1 d
dx1048667f (x)
1048669=
d
dx[x5 + 2x2] = 5x4 + 4x
2 d2
dx2
1048667f (x)
1048669=
d
dx
983131 d
dx
1048667f (x)
1048669983133=
d
dx[5x4 + 4x] = 20x3 + 4
3 d3
dx3
1048667f (x)
1048669=
d
dx
983131 d2
dx2
1048667f (x)
1048669983133=
d
dx[20x3 + 4] = 60x2
4 d4
dx4
1048667f (x)
1048669=
d
dx
983131 d3
dx3
1048667f (x)
1048669983133=
d
dx[60x2] = 120x
5 d5
dx5
1048667f (x)
1048669=
d
dx
983131 d4
dx4
1048667f (x)
1048669983133=
d
dx[120x] = 120
6
d6
dx61048667
f (x)1048669
=
d
dx983131 d5
dx51048667
f (x)1048669983133
=
d
dx [120] = 0 y
dn
dxn1048667
f (x)1048669
= 0 foralln ge 6
Ejercicio 3 Halle una facute ormula para expresar f (n)(x) si
1 f (x) = ex
2 f (x) = eax
3 f (x) = akx
4 f (x) = 1
(x minus a)k
5 f (x) = 1 minus x
1 + x
6 f (x) = 5x minus 2
x2 minus 4
7 f (x) = sin ax
8 f (x) = cos ax
9 f (x) = ln(a + bx)
10 f (x) = 1
x2 minus 3x + 2
11 f (x) = 8x minus 5
2x2 + x minus 6
12 f (x) = x ex
13 f (x) = 5x minus 1
x2 + x minus 12
14 f (x) = ex sin x
15 f (x) = sin2 x
16 f (x) = xnradic
x
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La derivada de una funcion real de variable real
14 Derivadas implıcitas
Sea F (x y) = C una ecuacion que contiene dos variables si en esta ecuacion no se ha despejado la variable
y diremos que y esta expresado en F (x y) = C de manera implıcita
Sea F U sub
2 minusrarr una funcion y f A sub
minusrarr una funcion cuya regla de correspondencia esta en
la forma implıcita en la ecuacionF (x y) = C donde y = f (x)
Las derivadas implıcitas permiten hallar f prime(x) sin necesidad de conocer la regla de correspondencia de f es
mas podemos hallar las derivadas de orden superior de f
Ejemplo 19 Si ldquo yrdquo es una expresiacute on que depende de ldquo xrdquo halle dy
dx
1 e5y = sin(x + y)
e5y = sin(x + y) minusrarr d
dx[e5y] =
d
dx[sin(x + y)]
minusrarr e5y ddx
[5y] = cos(x + y) ddx
[x + y]
minusrarr e5y middot 5 middot dy
dx = cos(x + y)(1 +
dy
dx)
minusrarr 5e5y middot dy
dx = cos(x + y)(1 +
dy
dx)
there4dy
dx =
cos(x + y)
5e5y minus cos(x + y)
2 x = ln(x3 + y)
x = ln(x3 + y) minusrarr
d
dx[x] =
d
dx1048667 ln(x3 + y)1048669
minusrarr 1 = 1
x3 + y middot d
dx[x3 + y]
minusrarr 1 = 1
x3 + y middot (3x2 +
dy
dx)
minusrarr dy
dx = x3 minus 3x2 + y
Derivando una vez mas respecto de x tenemos d
dx[
dy
dx] =
d
dx[x3 minus 3x2 + y] = 3x2 minus 6x +
dy
dx
=rArr d2y
dx2 = 3x2 minus 6x +
dy
dx = 3x2 minus 6x + x3 minus 3x2 + y = x3 minus 6x + y
there4dydx
= x3 minus 3x2 + y y d2ydx2
= x3 minus 6x + y
3 Halle dy
dx si exp
1048616860698 x +
radic y
x minus radic y
1048617+ ln
860698 x minus radic
y
x +radic
y = 8
4 Halle dy
dx si sin(xy) + cos(xy) = tan(x + y)
5 Halle dy
dx si x minus y = arcsin x minus arcsin y
6 Halle dy
dx
si 860698 y minus radic x
y + radic x + 860698 y +
radic x
y minus radic x =
5
2
7 Halle dy
dx si x2 minus a
radic xy + y2 = a2 a constante
8 Halle d2y
dx2 si x12 + y12 = 2 a constante
9 Halle d2y
dx2 si b2x2 minus a2y2 = a2b2 a b constantes
10 Halle d2y
dx2 si x23 + y23 = a23 a constante
11 Halle d2y
dx2
si 3x2
minus2xy + y2 = a2 a constante
12 En los ejercicios anteriores halle dx
dy si x = x(y)
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La derivada de una funcion real de variable real
141 Ecuaciones diferenciales ordinarias de lugares geometricos
Definicion 18 (Ecuacion diferencial) Una ecuaciacute on diferencial es aquella que contiene una o macute as fun-
ciones de una o macute as variables y algunas de sus derivadas respecto a sus variables independientes
Definicion 19 (Ecuacion diferencial ordinaria) Una ecuaciacute on diferencial ordinaria es aquella que con-
tiene una o macute as funciones de una variable y algunas de sus derivadas respecto a su variable independiente El
orden de esta ecuaciacute on diferencial ordinaria es el de la derivada de mayor orden contenida en ella
Ejemplo 110 La siguientes son ecuaciones diferenciales ordinarias
1 2yprimeprime + xyprime + y = sen x su orden es 2
2 yprimeprimeprime minus 2yprimeprime + 5yprime + y = ln x su orden es 3
3 xyprime + sen x = tan x su orden es 1
4 y(5) + y(4) + yprimeprimeprime + yprimeprime + yprime + y = 0 su orden es 5
5 2yprimeprime + xyprime + y3 = sen x su orden es 2
6 (yprimeprimeprime)2 minus 2(yprimeprime)7 + 5yprime + y = ln x su orden es
7 xyprime + sen x = tan y su orden es 3
8 y(5) + y(4) + yprimeprimeprime + (yprimeprime)4 + yprime + ln y = 0 su orden es 5
9 yy primeprime + x2y = x su orden es 2
Definicion 110 Un lugar geometrico del plano
2 es un conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen una
o macute as ecuaciones del tipo F (x y) = K
Ejemplo 111 La recta la circunferencia la paracute abola la elipse la hiperbola las graficas de funciones son
ejemplos de lugares geometricos
Definicion 111 La ecuaciacute on diferencial ordinaria de un lugar geometrico cuya ecuaciacute on es F (x y) = K es
aquella que se obtiene al derivar esta ecuaciacute on con respecto a una de sus variables
Teorema 18 Si un lugar geometrico cuya ecuaciacute on es F (x y) = K contiene n constantes independiente
entonces su ecuaciacute on diferencial ordinaria tendracute a orden n
Ejemplo 112 Halle la ecuaciacute on diferencial ordinaria de todas las circunferencias con centro el origen de
coordenadas
Solucion La ecuacion de esta familia de circunferencias es x2 + y2 = r2 y contiene una sola constante Al
derivar a ambos miembros respecto a x tenemos 2x + 2yyprime = 0 Por tanto la ecuacion diferencial ordinaria de
estas circunferencias sera
x + yy prime = 0 o yprime = minusy
x
Ejemplo 113 Halle la ecuaciacute on diferencial ordinaria de todas las rectas horizontales
Solucion La ecuacion de esta familia de rectas es y = K y contiene una sola constante Al derivar a ambos
miembros respecto a x tenemos y prime = 0 Por tanto la ecuacion diferencial ordinaria de estas rectas sera
yprime = 0
Ejemplo 114 Halle la ecuaciacute on diferencial ordinaria de todas las rectas con pendiente 2
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La derivada de una funcion real de variable real
Solucion La ecuacion de esta familia de rectas es y = 2x + K y contiene una sola constante Al derivar a
ambos miembros respecto a x tenemos y prime = 2 Por tanto la ecuacion diferencial ordinaria de estas rectas sera
yprime = 2
Ejemplo 115 Halle la ecuaciacute on diferencial ordinaria de todas las rectas que pasan por el origen de coordenadas
Solucion Solo consideraremos a las rectas no verticales que pasan por el origen La ecuaci on de esta familia
de rectas es y = Kx y contiene una sola constante entonces su ecuacion diferencial debe ser de orden uno
Al derivar a ambos miembros respecto a x tenemos yprime = K pero K = y
x Por tanto la ecuacion diferencial
ordinaria de estas rectas sera
yprime = y
x si x = 0 yprime = 0 si y = 0
Ejemplo 116 En los siguientes ejemplos dada una funciacute on obtener la ecuaciacute on diferencial de la cual es
soluciacute on
1 y = ceminus2x + x
El orden de la ecuacion diferencia buscada es 1 entonces derivando tenemos
yprime
= minus2ceminus
2x + 1 = minus2ceminus
2x + 1 + 2x minus 2x = minus2(ceminus
2x + x) + 1 + 2x = minus2y + 1 + 2x
there4dy
dx = 1 minus 2(y minus x) es la ecuacion diferencial buscada
2 y = C 1 sen 4x + C 2 cos 4x + x
El orden de la ecuacion diferencia buscada es 2 entonces derivando tenemos
yprime = 4C 1 cos 4x minus 4C 2 sen 4x + 1 yprimeprime = minus16C 1 sen 4x minus 16C 2 cos 4x
yprimeprime = minus16(C 1 sen 4x + C 2 cos 4x) = minus16(y minus x)
there4 yprimeprime + 16y minus 16x = 0 es la ecuacion diferencial buscada
3 y = ax3 + bx2 + cx
El orden de la ecuacion diferencia buscada es 3 entonces derivando tenemos
yprime = 3ax2 + 2bx + c yprimeprime = 6ax + 2b yprimeprimeprime = 6a Reemplazando en la ecuacion a b y c
y = yprimeprimeprime
6 x3 +
1
2
983080yprimeprime minus yprimeprimeprimex
983081x2 +
983080yprime minus yprimeprime
2 minus yprimeprimeprimex
983081x
there4 11x3yprimeprimeprime minus 3x2yprimeprime + 6xyprime + 6y = 0 es la ecuacion diferencial buscada
4 Hallar la ecuacion diferencial de la familia de circunferencias de radio 1 con centro en la recta bisectriz del
primer y tercer cuadrante
Solucion
x
y
y = x
h
h1
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La derivada de una funcion real de variable real
La ecuacion de la familia de circunferencias es (x minus h)2 + (y minus h)2 = 1 en ella solo figura una constante
entonces el orden de la ecuacion diferencia buscada es 1
Derivando respecto a x tenemos 2(x minus h) + 2(y minus h)yprime = 0 =rArr x minus h + yy prime minus hyprime = 0
=rArr h(1 + yprime) = x + yy prime =rArr h = x + yy prime
yprime + 1
Reemplazando en la ecuacion de las circunferencias
1048616x minus
x + yy prime
yprime + 110486172
+1048616
y minus x + yy prime
yprime + 110486172
= 1
=rArr (x(yprime + 1) minus x minus yy prime
8520092+(
yy prime + y minus x minus yy prime8520092
= (yprime + 1)2
=rArr (xyprime minus yy prime
8520092+(
y minus x8520092
= (yprime + 1)2
=rArr (yprime)2(x minus y)2 + (x minus y)2 = (yprime + 1)2
=rArr (x minus y)2(
(yprime)2 + 1852009
= (yprime + 1)2 es la ecuacion diferencial buscada
5 Formular la ecuacion diferencial que representa a todas las tangentes no verticales de la par abola y2 = 2x
Solucion
x
y
a
b
L
y = 2 x 2
La ecuacion de la recta tangente L a la parabola en el punto (a b) es
L y minus b = m(x minus a) Hallando la pendiente m derivando L y prime = m Por otro lado derivando la ecuacion
de la parabola tenemos 2yyprime = 2 =rArr y prime = 1
y cuyo significado es y prime(x) =
1
y(x) para x gt 0
En el punto (a b) de la parabola se tiene yprime(a) = 1
y(a) =
1
b = m Ademas como (a b) es un punto de la
parabola se tiene b2 = 2a =rArr a = b2
2 Luego en la ecuacion de la tangente
y minus b = 1b
1048616x minus b
2
2
1048617 =rArr yb minus b2 = x minus b
2
2
=rArr y = x
b +
b
2 pero b =
1
yprime
=rArr y = xy prime + 1
2yprime
=rArr 2y(yprime)2 minus 2xyprime + 1 = 0 es la ecuacion diferencial buscada
6 y2 = 4ax
Primero tenemos a = y2
4x el cual se utilizara luego Derivando la ecuacion original tenemos 2yyprime = 4a
=rArr 2yyprime
= 41048616 y2
4x1048617
= y2
x =rArr 2xyyprime
= y2 =rArr 2xyprime
= y si y = 0 =rArr 2x dy
dx minus y = 0
Por lo tanto 2x dy
dx minus y = 0 es la ecuacion diferencial buscada
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La derivada de una funcion real de variable real
7 y = C 1 sen 4x + C 2 cos 4x + x
Solucion
yprime = 4C 1 cos 4x minus 4C 2 sen 4x + 1 yprimeprime = minus16C 1 sen 4x minus 16C 2 cos 4x de la segunda derivada tenemos
minusyprimeprime
16 = C 1 sen 4x + C 2 cos 4x = y minus x luego minus(16)minus1yprimeprime = y minus x =rArr minusyprimeprime = 16y minus 16x
Por lo tanto yprimeprime = 16(xminus
y) es ecuacion diferencial buscada
8 I = teminust + eminust + 2sen 3t
Solucion En esta parte I es una funcion que depende de t y las derivadas seran respecto a t
I prime = eminust minus teminust minus eminust + 6cos 6t Pero teminust + eminust = I minus 2sen3t
=rArr I prime = eminust minus I + 2sen 3t + 6cos 3t =rArr I primeprime = minuseminust minus I prime minus 6cos3t minus 18sen3t
sumando las dos ultimas ecuaciones I prime + I primeprime = minusI minus I prime minus 16sen3t de donde I primeprime + 2I prime + I = minus16sen3t
9 x2 minus ay2 = 1
Solucion
Derivando 2x minus 2ay dy
dx = 0 =rArr y prime =
dy
dx =
minus2x
minus2ay
=rArr a = x
yy prime reemplazando en la ecuacion original
x2 minus x
yyprimey2 = 1 =rArr x2yyprime minus yyprime minus xy2 = 0
=rArr (x2 minus 1)yprime = xy
=rArr yprime = xy
x2 + 1 es la ecuacion diferencial buscada
10 x2 + y2 minus cx = 0
Derivando 2x + 2yyprime = c
Reemplazando en la ecuacion original x2 + y2 minus (2x + 2yy prime)x = 0
=
rArr yprime =
x2 minus y2
2xy
es la ecuacion diferencial buscada
11 Hallar la ecuacion diferencial de cada uno de las siguientes familias de curvas
a) y = x sen(x + c) Rta (xyprime minus y)2 = x2(x2 minus y2)
b) Todos los cırculos que pasan por (1 0) y (minus1 0) Rta 2xy = (x2 minus y2 minus 1)yprime
c) Todos los cırculos con centro en la recta y = x que son tangentes a ambos ejes
Rta (x minus y)2(1 + yprime)2 = (x + yy prime)2
d) Todas las rectas tangentes a la parabola x2 = 4y
Sugerencia La pendiente de la recta tangente en (2a a2) es a Rta y + yprime = xy prime
e) Todas las rectas tangentes al cırculo unidad x2
+ y2
= 1 Rta (y minus xyprime
)2
= 1 minus (yprime
)2
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La derivada de una funcion real de variable real
Definicion 112 Sea la ecuaciacute on diferencial ordinaria lineal de orden n
any(n) + middot middot middot + a2y primeprime + a1y prime + a0 = b
La funciacute on f A minusrarr
es una de sus soluciones si para todo x isin A
anf (n)(x) + middot middot middot + a2f primeprime(x) + a1f prime(x) + a0 = b
Ejercicio 4 Demuestre que la funciacute on f
minusrarr definida por f (x) = sin x es una soluciacute on de la ecuaciacute on
diferencial y primeprime + y = 0
Solucion Lo unico que debemos hacer es derivar a f dos veces y sumar los resultados
f (x) = sin x minusrarr f prime(x) = cos x minusrarr f primeprime(x) = minus sin x sumando f primeprime(x) + f (x) = 0 por lo tanto f
es una solucion de la ecuacion diferencial y primeprime + y = 0
Ejercicio 5 Demuestre que la funciacute on f
minusrarr
definida por f (x) = 8ex+xex es una soluciacute on de la ecuaciacute on
diferencial yprimeprime minus 2yprime + y = 0
Solucion Derivemos a f hasta dos veces y reemplacemos en el primer miembro de la ecuacion diferencial Siresulta cero tal reemplazo entonces la funcion f es una solucion de tal ecuacion diferencial
f (x) = 8ex + xex =rArr f prime(x) = [8ex] prime + [xex] prime = 8ex + [x]primeex + x[ex] prime = 8ex + ex + xex = 9ex + xex
=rArr f primeprime(x) = [9ex] prime + [xex] prime = 9ex + [x]primeex + x[ex] prime = 9ex + ex + xex = 10ex + xex
Reemplazemos en el primer miembro de la ecuacion diferencial
f primeprime(x) minus 2f prime(x) + f (x) =1048667
10ex + xex1048669minus 2
10486679ex + xex
1048669+1048667
8ex + xex1048669
= 10ex + xex minus 18ex minus 2xex + 8ex + xex
= [10
minus18 + 8]ex + [1
minus2 + 1]xex
= 0
Dado que resulta f primeprime(x)minus2f prime(x)+f (x) = 0 entonces f (x) = 8ex+xex es una solucion de la ecuacion diferencial
ordinaria y primeprime minus 2yprime + y = 0
Ejercicio 6 Demuestre o descarte las siguientes afirmaciones
1 x + y2 = K describe la soluciacute on general de las ecuaciones diferenciales dy
dx = minus 1
2y 2yyprime + 1 = 0
2 y = K ex es la soluciacute on general de la ecuaciacute on diferencial yprime minus y = 0
3 y = sin x
x
es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial xyprime + y = cos x
4 y = 1
cos x es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial yprime minus y tan x = 0
5 y = 2xradic
1 minus x2 es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial yy prime = 4x minus 8x3
6 y = x
cos x es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial xyprime minus y = x2 tan x sec x
7 y = ex(x + 1) es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial yprimeprime minus 2yprime + y = 0
8 y = ln(x + c) + 2 es la soluciacute on general de la ecuaciacute on diferencial yprimeeyminus2 minus 1 = 0
9 y = sen3 x es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial yprimeprime + (tan x minus 2cot x)yprime = 0
10 y = arcsin(xy) describe una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial xyprime + y = yradic
1 minus x2y2
11 y = c1eminusx + c2ex + c3eminus2x + c4e2x es soluciacute on general de la ecuaciacute on diferencial y(iv) minus 5yprimeprime + 4y = 0
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La derivada de una funcion real de variable real
15 Funciones derivables
151 Funciones derivables en un intervalo
Sin ser redundantes presentamos a los intervalos de
1 [a b] = x isin
a le x le b
2 ⟨a b⟩ = x isin
a lt x lt b
3 ⟨a b] = x isin
a lt x le b
4 [a b⟩ = x isin
a le x lt b
5 ⟨minusinfin b⟩ = x isin 1048623x lt b
6 ⟨minusinfin b] = x isin
1048623x le b
7 ⟨a +infin⟩ = x isin
1048623a lt x
8 [a +infin⟩ = x isin
1048623a le x
9 ⟨minusinfin +infin⟩ =
y
10 [a a] = a
Los cuatro primeros y el ultimo son los intervalos limitados los cinco siguientes son intervalos ilimitados el
ultimo se denomina un intervalo degenerado desde el segundo hasta el cuarto intervalo a lt b
Definicion 113 Sea la funciacute on f I minusrarr donde I es un intervalo de
1 La funciacute on f ⟨a b⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨a b⟩ si lo es en cada punto de ⟨a b⟩
2 La funciacute on f ⟨minusinfin b⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨minusinfin b⟩ si lo es en cada punto de ⟨minusinfin b⟩
3 La funciacute on f ⟨a +infin⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨a +infin⟩ si lo es en cada punto de ⟨a +infin⟩
4 La funciacute on f [a b⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo [a b⟩ si existe un intervalo abierto del tipo ⟨ p q ⟩ que
contiene a [a b⟩ tal que f sea derivable sobre ⟨ p q ⟩
5 La funciacute on f ⟨a b] minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨a b] si existe un intervalo abierto del tipo ⟨ p q ⟩ que
contiene a ⟨a b] tal que f sea derivable sobre ⟨ p q ⟩
6 La funciacute on f [a +infin⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo [a +infin⟩ si existe un intervalo abierto del tipo⟨ p +infin⟩ que contiene a [a +infin⟩ tal que f sea derivable sobre ⟨ p +infin⟩
7 La funciacute on f ⟨minusinfin b] minusrarr es derivable en el intervalo ⟨minusinfin b] si existe un intervalo abierto del tipo
⟨minusinfin q ⟩ que contiene a ⟨minusinfin b] tal que f sea derivable sobre ⟨minusinfin q ⟩
8 La funcion f [a b] minusrarr es derivable en el intervalo [a b] si existe un intervalo abierto del tipo ⟨ p q ⟩ que
contiene a [a b] tal que f sea derivable sobre ⟨ p q ⟩
Observaciones
1 La funcion f [a b
⟩ minusrarr es derivable en el intervalo [a b
⟩ si y solo si es derivable en cada punto de
⟨a b
⟩y existe f prime+(a)
2 La funcion f [a +infin⟩ minusrarr es derivable en el intervalo [a +infin⟩ si y solo si es derivable en cada punto de
⟨a +infin⟩ y existe f prime+(a)
3 La funcion f ⟨a b] minusrarr es derivable en el intervalo ⟨a b] si y solo si es derivable en cada punto de ⟨a b⟩
y existe f primeminus
(b)
4 La funcion f ⟨minusinfin b] minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨minusinfin b] si y solo si es derivable en cada punto de
⟨minusinfin b⟩ y existe f primeminus
(b)
5 La funcion f [a b] minusrarr
es derivable en el intervalo [a b] si y solo si es derivable en cada punto de ⟨a b⟩y existen f prime+(a) y f prime
minus(b)
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La derivada de una funcion real de variable real
6 Sea I un intervalo abierto Si la funcion f I minusrarr es derivable su funcion derivada f prime I minusrarr tendra el
mismo dominio que f
7 Sea I un intervalo abierto Si la funcion f I minusrarr
es k veces derivable su funcion kndashesima derivada
f (k) I minusrarr
tendra el mismo dominio que f
8 Sea I un intervalo no abierto Si la funcion f I minusrarr
es derivable su funcion derivada f prime J minusrarr
tendra como dominio al interior de I
152 Funciones de clase C k
Sea I un intervalo de
Si la funcion f I minusrarr
es derivable en I entonces es continua en I pero
posiblemente la funcion derivada f prime J minusrarr
no sea continua en I J = int (I )
Definicion 114 Sea I un intervalo de Si la funcion f I minusrarr es continua en I diremos que ldquo f rdquo es una
funciacute on de clase cero C 0 sobre I
⋆ Si ldquof rdquo es una funcion de clase C 0 sobre I lo denotamos por f
isin C 0(I )
Definicion 115 Sea I un intervalo abierto de
Si la funciacute on f I minusrarr
es derivable en I y la funciacute on
f prime I minusrarr es continua en I diremos que f es continuamente derivable en I o simplemente la funciacute on ldquo f rdquo es
de clase C 1 sobre I
⋆ Si ldquof rdquo es una funcion de clase C 1 sobre I lo denotamos por f isin C 1(I )
Definicion 116 Sea I un intervalo abierto de
La funcion f I minusrarr
es de clase C k sobre el intervalo I
si es k veces derivable sobre I y la funciacute on f (k) I minusrarr
es continua en I
⋆ Si ldquof rdquo es una funcion de clase C k sobre I lo denotamos por f
isin C k(I )
Definicion 117 Sea I un intervalo abierto de La funciacute on f I minusrarr es de clase C infin sobre el intervalo I
si existe f (n) para todo n isin 0 1 2 middot middot middot
⋆ Si ldquof rdquo es una funcion de clase C infin sobre I lo denotamos por f isin C infin(I )
Ejemplo 117
1 La funcion f
minusrarr
definida por f (x) = ex es de clase C infin sobre
Con la notaciones presentadas
tenemos la pertenencia f isin C infin(
)
2 La funcion f minusrarr
definida por f (x) = p(x) donde p(x) es un polinomio es de clase C infin
sobre
Conla notaciones presentadas tenemos la pertenencia f isin C infin( )
3 La funcion f [0 +infin⟩ minusrarr definida por f (x) =
radic x es de clase C infin sobre ⟨0 +infin⟩ Con la notaciones
presentadas tenemos la pertenencia f isin C infin983080
[0 +infin⟩983081
153 Funciones no derivables
Sea f una funcion cuyo dominio sea el conjunto A sub
Si f es derivable en el punto a isin A entonces la
grafica de f en su punto (a f (a)) tiene una unica recta tangente La idea de recta tangente en este caso no es
la misma que usted tiene a cerca de una recta tangente a una circunferencia en donde ellos tienen un unico
punto en comun es decir si la recta L es tangente a la circunferencia C entonces L y C tienen un unico punto
en comun llamado punto de tangencia Mientras que si L es una recta tangente a la grafica de la funcion f
es posible que ellos tengan otro punto en comun a parte del punto de tangencia la idea de tangencia que se
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La derivada de una funcion real de variable real
expone es local y no global en el sentido de que si L es una recta tangente a la grafica de la funcion f el punto
de tangencia es unico cerca de el especıficamente La recta L es una tangente a la grafica de la funcion f en su
punto (a f (a)) si existe un cırculo de centro (a f (a)) dentro del cual L y la grafica de la funcion f tienen un
unico punto en comun y los puntos de la grafica de f que pertenecen al cırculo estan a un solo lado de L Y si
ademas la funcion f es derivable en a la pendiente de L es f prime(a)
X
Y
L L L
y f x ( )=a
X
Y
L L L
y f x ( )=a
Si una funcion f es continua en un punto a no siempre sera derivable en dicho punto existe la posibilidad de
que lo sea como tambien que no como por ejemplo
La funcion f ⟨0 2⟩ minusrarr
definida por f (x) =
983163 2x si 0 lt x lt 1
2 si 1 le x lt 2es continua en el punto a = 1 pero
no es derivable en dicho punto pues no existe f prime(1) La existencia de la derivada f prime(1) implica que la grafica
de la funcion f tiene una unica recta tangente en el punto (1 f (1)) la no existencia de f prime(1) implica que la
grafica de la funcion f tiene una varias rectas en ese punto o no en este ejemplo como veremos gr aficamente
la funcion f posee varia rectas tangentes en su punto (1 f (1))
X
Y
y f x ( )=
1 2
X
Y
L L L
y x 2=
y x 3=
1
2
3
Grafico de f (x) =983163 2x si 0 lt x lt 1
2 si 1 le x lt 2 Grafico de f (x) =
x2 si
minus1 lt x lt 1
2x3
3 si 1 le x lt 2
Si una funcion f es derivable en un punto a entonces por el teorema 17 sera continua en dicho punto por
ejemplo la funcion f ⟨0 2⟩ minusrarr
f (x) =
x2 si minus1 lt x lt 1
2x3
3 si 1 le x lt 2
es derivable en a = 1 mas aun es
continua en dicho punto Es mas la grafica de f tiene una unica recta tangente en su punto (1 f (1))
De acuerdo al teorema 16 una funcion es no derivable en el punto ldquoardquo si f primeminus
(a) = f prime+(a) o una de la
derivadas laterales f primeminus
(a) f prime+(a) no existe Y de acuerdo al teorema 17 si f no es continua en el punto ldquoardquo
entonces no es derivable en ese punto
Los siguientes son ejemplos graficos de funciones no derivables en un punto
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La derivada de una funcion real de variable real
X X
Y Y
a a b
y f x = ( ) y f x = ( )
f a f a bno es derivable en no es derivable en y
f a
f b
es derivable en por derecha
es derivable en por izquierda
2 Teoremas sobre funciones derivables
21 Extremos relativos de una funcion
Definicion 21 Sean empty = X sub
y m isin
Diremos que ldquo mrdquo es el mınimo del conjunto X si m isin X y m le x
para todo x isin X
Definicion 22 Sean empty = X sub
y M isin
Diremos que ldquo M rdquo es el macute aximo del conjunto X si M isin X y
M ge x para todo x isin X
Observaciones
1 No todo subconjunto no vacıo de
posee maximo yo mınimo
2 Si un subconjunto no vacıo de
posee maximo yo mınimo este es unico y ademas es uno de los elementos
del conjunto
3 Si ldquomrdquo es el mınimo del conjunto X entonces lo denotamos por m = mın X
4 Si ldquoM rdquo es el maximo del conjunto X entonces lo denotamos por M = max X
5 Si m = mın X y M = max X entonces m le M y ademas m le x le M para todo x isin X
Ejemplo 21
1 El conjunto de los numeros naturales posee mınimo y es 1 es decir 1 = mın pero no posee maximo
2 El conjunto
el de los numeros enteros no posee ni maximo ni mınimo El conjunto
el de los numeros
racionales no posee ni maximo ni mınimo
3 Veamos algunos intervalos
a) Los intervalos ⟨a b⟩ ⟨a b] ⟨a +infin⟩ no poseen mınimo
b) Los intervalos ⟨a b⟩ [a b⟩ ⟨minusinfin b⟩ no poseen maximo
c) a = mın[a b] a = mın[a b⟩ a = mın[a +infin⟩
d) b = max[a b] b = max⟨a b] b = max⟨minusinfin b]
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La derivada de una funcion real de variable real
Definicion 23 Sean empty = A sub f A minusrarr una funciacute on y x0 isin A
1 La funciacute on ldquo f rdquo tiene un mınimo absoluto en x0 si f (x0) le f (x) para todo x isin A
2 La funciacute on ldquo f rdquo tiene un macute aximo absoluto en x0 si f (x) le f (x0) para todo x isin A
3 La funci on ldquo f rdquo tiene un mınimo relativo en x0 si existe un δ gt 0 tal que f (x0) le f (x) para todo
x isin A cap ⟨x0 minus δ x0 + δ ⟩
4 La funci on ldquo f rdquo tiene un macute aximo relativo en x0 si existe un δ gt 0 tal que f (x) le f (x0) para todo
x isin A cap ⟨x0 minus δ x0 + δ ⟩
Observaciones Sean empty = A sub
f A minusrarr
una funcion y x0 isin A
1 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo relativo en x0 diremos tambien que f tiene un mınimo local en x0
2 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo relativo en x0 diremos tambien que f tiene un maximo local en x0
3 La funcion ldquof rdquo tiene un extremo absoluto en x0 si tiene un mınimo o maximo absoluto en dicho punto
4 La funcion ldquof rdquo tiene un extremo relativo en x0 si tiene un mınimo o maximo relativo en dicho punto
5 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo absoluto en x0 entonces f (x0) es el mınimo del rango de la funcion es
decir
f (x0) = mın Ran (f )
Al numero f (x0) lo denominaremos el valor mınimo de f en su dominio
6 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo absoluto en x0 entonces f (x0) es el maximo del rango de la funcion es
decir
f (x0) = max Ran (f )
Al numero f (x0) lo denominaremos el valor maximo de f en su dominio
7 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo relativo en x0 entonces f no siempre tendra un mınimo absoluto en x0
Una funcion puede poseer un mınimo relativo sin tener un mınimo absoluto
8 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo relativo en x0 entonces f no siempre tendra un maximo absoluto en
x0 Una funcion puede poseer un maximo relativo sin tener un maximo absoluto
9 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo absoluto en x0 entonces f tiene un mınimo relativo en dicho punto Lo
contrario no siempre es cierto
En la figura la funcion f minusrarr tiene maximo
relativo en x = 0 pero no posee maximo absolutoen su dominio
En la figura la funcion g minusrarr tiene mınimo
relativo en x = 0 pero no posee mınimo absolutoen su dominio
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La derivada de una funcion real de variable real
10 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo absoluto en x0 entonces f tiene un maximo relativo en dicho punto Lo
contrario no siempre es cierto
11 Una funcion puede tener extremos absolutos en mas de un punto vea el siguiente grafico
En la figura la funcion f
minusrarr
tiene mınimo
absoluto en dos puntos diferentes
En la figura la funcion g
minusrarr
tiene maximo
absoluto en dos puntos diferentes
12 La funcion ldquof rdquo tiene un extremo en el punto x0 si tiene un maximo o mınimo absoluto o relativo en dicho
punto
Y Y
X X
figura (a) figura (b)
x x x x 0 1 2 3 4 5 6x x x x x x x x x x 0 1 2 3 4 5 6
y f x = ( )
y f x = ( )
En la figura (a) Dom(f ) = [x0 x6] la funcion tiene
un mınimo absoluto en el punto x2 y maximo absolu-
to en el punto x5 mientras que tiene mınimo relativo
en los puntos x0 x2 x4 y x6 y maximo relativo en
los puntos x1 x3 y x5
En la figura (b) Dom (f ) = [x0 x6⟩minusx3 la funcion
no tiene mınimo absoluto ni maximo absoluto mien-
tras que tiene mınimo relativo en los puntos x0 x2 y
x4 y maximo relativo en los puntos x1 y x5
Teorema 21 Si la funcion f tiene un extremo en x0 y f prime(x0) existe entonces f prime(x0) = 0
Observaciones
1 Lo contrario no siempre es cierto es decir si f prime(x0) = 0 entonces f no siempre tendra un extremo en x0
Un ejemplo simple es para f (x) = (x minus 2)3 en x0 = 2
2 Si la funcion f tiene un extremo en x0 y f prime
(x0) existe entonces la recta tangente a la grafica de la funcionen el punto
(x0 f (x0)
852009 en horizontal
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La derivada de una funcion real de variable real
3 Si la funcion f tiene un extremo en x0 y f prime(x0) no existe entonces o bien no existe recta tangente a la
grafica de la funcion en el punto(
x0 f (x0)852009
o existen infinitas rectas tangente a la grafica de la funcion en
el punto(
x0 f (x0)852009
pudiendo ser una de ellas una recta vertical
En la figura la funcion f
minusrarr
tiene un extremo
en x = 0 pero f prime(0) no existe ademas la grafica de
esta funcion posee infinitas rectas tangente en el pun-
to(
0 f (0)852009
En la figura la funcion g
minusrarr
tiene extremo en
los puntos x0 x1 existen g prime(x0) g prime(x1) y las rectas
tangente en(
x0 g(x0)852009
y(
x1 g(x1)852009
son horizontales
22 El teorema del valor medio
Teorema 22 (Teorema de Rolle) Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si f es continua en [a b] es derivable en
⟨a b⟩ y f (a) = f (b) entonces existe un c isin ⟨a b⟩ tal que f prime(c) = 0
Observaciones
1 Si la funcion f satisface las hipotesis del teorema de Rolle la existencia del punto c tales que f prime(c) = 0 no
siempre es unica pueden existir otros puntos del intervalo ⟨a b⟩ cuya primera derivada en esos puntos sea
cero
2 La condicion f (a) = f (b) indica que la recta que pasa por los puntos(
a f (a)852009
y(
b f (b)852009
es horizontal El
teorema garantiza la existencia de al menos un punto c isin ⟨a b⟩ tal que la recta tangente a la grafica de la
funcion f el punto(
c f (c)852009
tambien sea horizontal
X X
Y Y
y=f x( )
y=f x( )
figura (a) figura (b)
a c c b1 3 a b
c2
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La derivada de una funcion real de variable real
En la figura (a) la funcion f satisface las hipotesis del
teorema de Rolle por tanto en este caso existen pun-
tos c1 c2 y c3 del intervalo ⟨a b⟩ tal que f prime(c1) = 0
f prime(c2) = 0 y f prime(c3) = 0
En la figura (b) la funcion f no satisface las hipotesis
del teorema de Rolle en tanto no se garantiza la exis-
tencia de puntos del intervalo ⟨a b⟩ tal que la primera
derivada de f en esos puntos sea cero
Teorema 23 (El teorema del valor medio de Lagrange) Sea la funciacute on f [a b]
minusrarr
Si f es continua
en [a b] es derivable en ⟨a b⟩ entonces existe un c isin ⟨a b⟩ tal que
f prime(c) = f (b) minus f (a)
b minus a
Observaciones
1 Si la funcion f satisface las hipotesis del teorema del valor medio de Lagrange la existencia del punto c tales
que f prime(c) = f (b) minus f (a)
b minus a no siempre es unica pueden existir otros puntos del intervalo ⟨a b⟩ cuya primera
derivada en esos puntos sea igual a f (b) minus f (a)
b minus a
2 Sea L la recta que pasa por los puntos(
a f (a)852009
y(
b f (b)852009
el teorema garantiza la existencia de al menosun punto c isin ⟨a b⟩ tal que la recta tangente a la grafica de la funcion f el punto
(c f (c)
852009 sea paralela a L
Y Y
X X
y = f x ( ) y = f x ( )
f a ( )
f a ( )
f b( )
f b( )
figura (a) figura (b)
a c b1 b
c 2 a
L L L
L L L
En la figura (a) la funcion f satisface las hipotesis del
teorema de Lagrange por tanto en este caso existen
puntos c1 y c2 del intervalo ⟨a b⟩ tal que
f prime(c1) = f (b) minus f (a)
b minus a y f prime(c2) =
f (b) minus f (a)
b minus a
En la figura (b) la funcion f no satisface las hipotesis
del teorema de Lagrange en tanto no se garantiza
la existencia de puntos del intervalo ⟨a b⟩ tal que laprimera derivada en ese punto sea igual a
f (b) minus f (a)
b minus a
Teorema 24 (El teorema generalizado del valor medio de Cauchy) Sean las funciones f [a b] minusrarr
y g [a b] minusrarr
continuas en [a b] y derivables en ⟨a b⟩ con g(b) = g(a) y g prime(x) = 0 para todo x isin ⟨a b⟩
entonces existe un c isin ⟨a b⟩ tal que f prime(c)
g prime(c) =
f (b) minus f (a)
g(b) minus g(a)
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La derivada de una funcion real de variable real
23 Funciones crecientes y decrecientes
Definicion 24 (Funcion creciente) Sean empty = A sub
y la funciacute on f A minusrarr
Diremos que la funciacute on f
es creciente o estrictamente creciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) lt f (x2)
Definicion 25 (Funcion decreciente) Sean empty = A sub
y la funci on f A minusrarr
Diremos que la funcion f
es decreciente o estrictamente decreciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) gt f (x2)
Y Y
X X
f x ( )1
f x ( )1
x 1
x 1x 2
x 2
f x ( )2
f x ( )2
Graacutefico de una funcioacutenestrictamente creciente
Graacutefico de una funcioacutenestrictamente decreciente
Definicion 26 (Funcion no creciente) Sean empty = A sub y la funci on f A minusrarr
Diremos que la funciacute on
f es no creciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) ge f (x2)
Definicion 27 (Funcion no decreciente) Sean empty = A sub y la funciacute on f A minusrarr
Diremos que la
funciacute on f es no decreciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) le f (x2)
Y Y
X X
x 1 x 2 x 1 x 2
Graacutefico de una funcioacuten
no decreciente
Graacutefico de una funcioacuten
no creciente
Definicion 28 (Funcion monotona) Sean empty = A sub
y la funci on f A minusrarr
Diremos que la funciacute on f
es monacute otona sobre A si es creciente o decreciente o no creciente o no decreciente sobre A
Observaciones
1 Para definir funciones monotonas (crecientes decrecientes no crecientes o no decrecientes) no es necesario
saber la continuidad y la derivabilidad de la funcion en su dominio
2 Existen funciones monotonas que no son derivables yo continuas en su dominio
Teorema 25 Sean empty = A sub y la funciacute on f A minusrarr Si la funciacute on f es estrictamente creciente sobre A
entonces f es una funciacute on inyectiva y su funcion inversa f lowast tambien es estrictamente creciente sobre Ran(f )
Teorema 26 Sean empty = A sub
y la funci on f A minusrarr
Si la funci on f es estrictamente decreciente sobre A
entonces f es una funciacute on inyectiva y su funciacute on inversa f lowast tambien es estrictamente decreciente sobre Ran(f )
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La derivada de una funcion real de variable real
Y Y
X X
f
f
f
f
Teorema 27 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr
Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩
con f
prime
(x) gt 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es estrictamente creciente sobre [a b]
Teorema 28 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩
con f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es estrictamente decreciente sobre [a b]
X X
a
a b
b
Observaciones
1 Del teorema 27 si la pendiente de todas las rectas tangente a la grafica de la funcion sobre ⟨a b⟩ es positiva
entonces la funcion es estrictamente creciente sobre [a b]
2 Del teorema 28 si la pendiente de todas las rectas tangente a la grafica de la funcion sobre ⟨a b⟩ es negativa
entonces la funcion es estrictamente decreciente sobre [a b]
Teorema 29 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr
Si la funcion f es continua sobre [a b] y es inyectiva en [a b]
entonces f es estrictamente creciente o estrictamente decreciente sobre [a b] pero no ambos
X X
a
a b
b
f ab
ab
es continua e inyectiva sobre [ ]en este caso es creciente sobre [ ]
f ab
ab
es continua e inyectiva sobre [ ]en este caso es decreciente sobre [ ]
f f
Teorema 210 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funciacute on f es continua y estrictamente creciente sobre
[a b] entonces Ran(f ) =1048667
f (a) f (b)1048669
y su funciacute on inversa f lowast 1048667
f (a) f (b)1048669 minusrarr
es tambien continua y
estrictamente creciente sobre [a b]
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La derivada de una funcion real de variable real
Teorema 211 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funcion f es continua y estrictamente decreciente sobre
[a b] entonces Ran(f ) =1048667
f (b) f (a)1048669
y su funciacute on inversa f lowast 1048667
f (b) f (a)1048669 minusrarr
es tambien continua y
estrictamente decreciente sobre [a b]
Teorema 212 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre
⟨a b⟩ con f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es no decreciente sobre [a b]
Teorema 213 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre
⟨a b⟩ con f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es no creciente sobre [a b]
Teorema 214 (de la funcion constante) Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre
[a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩ con f prime(x) = 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es constante sobre [a b] es decir
existe una constante C tal que f (x) = C para todo [a b]
Teorema 215 (de la diferencia constante) Sean las funciones f [a b] minusrarr
y f [a b] minusrarr
Si las
funciones f y g son continuas sobre [a b] y es derivables sobre ⟨a b⟩ con f prime(x) = g prime(x) para todo x isin ⟨a b⟩entonces existe una constante C tal que f (x) = g(x) + C para todo [a b]
Definicion 29 (Punto crıtico) Sean I un intervalo de
x0 un punto de I y la funciacute on f I minusrarr
El
punto x0 es un punto crıtico de la funciacute on f I minusrarr si x0 satisface alguna de las siguientes condiciones
a) f prime(x0) = 0 o b) f prime(x0) = 0 no existe o c) f tiene un extremo en x0
Observaciones
1 Si x0 es un punto crıtico de la funcion f no podemos concluir con certeza una de las condiciones mencionadas
2 Si x0 es un punto crıtico de la funcion f y f prime(x0) = 0 no podemos concluir con certeza que f tiene un
extremo en dicho punto
Por ejemplo sea la funcion f [1 3] minusrarr definida
por f (x) = (x minus 2)3 cuya funcion derivada es
f prime ⟨1 3⟩ minusrarr
983087 f prime(x) = 3(x minus 2)2
En x0 = 2 tenemos f prime(x0) = 0 pero f no tiene
maximo ni mınimo en 2 f tiene un mınimo en 1
y un maximo en 3 por tanto 1 2 y 3 son puntos
crıticos de f
Y
X
1
2
Ejercicio 7 Hal le los puntos crıticos de las siguientes funciones
1 f
minusrarr que estacute a definida por
f (x) = 1
4(x4 minus 6x2 + 8x) + 5
2 f
minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = 3
radic (x + 4)2(x minus 5)
3 f
minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = 5x23 minus x53
4 f
minusrarr
que estacute a definida por f (x) = x + 1
x2 + 1
5 f
minus 1 minusrarr que estacute a definida por
f (x) = x3 minus 2
(x minus 1)2
6 f
minusrarr
que estacute a definida por f (x) = x2 + 3radic
x2 + 1
7 f [minusπ2
π2
] minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = sin2 x minus |x|
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La derivada de una funcion real de variable real
231 Criterio de la primera derivada para extremos de una funcion
Aquı presentamos un criterio que nos ayuda a determinar si un punto crıtico es aquel en donde una funcion
alcanza su valor maximo o mınimo
Teorema 216 (Criterio de la primera derivada) Sean la funciacute on f A minusrarr
el intervalo [a b] contenido
en A y x0
isin ⟨a b
⟩ un punto crıtico de f
1 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f tiene un macute aximo en el punto x0
2 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f tiene un mınimo en el punto x0
3 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) gt 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) gt 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f no tiene macute aximo ni mınimo en el punto x0
4 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f no tiene macute aximo ni mınimo en el punto x0
X X
a bx 0a bx 0
f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0lt gt f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0gt lt
f
f
f tiene un maacuteximo en x 0 f tiene un miacutenimo en x 0
X X a bx 0a bx 0
f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0lt lt f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0gt gt
f f
f no tiene un extremo en x 0 f no tiene un extremo en x 0
Observaciones
1 Al ser x0 un punto crıtico de f el criterio de la primera derivada no garantiza que exista f prime(x0)
2 El criterio de la primera derivada requiere que f sea derivable en ⟨a x0⟩ cup ⟨x0 b⟩ mas no en x0
3 Un metodo que nos permite hallar puntos crıticos de la funcion f en [a b] es resolver la ecuacion f prime(x) = 0
sujeta a la condicion x isin ⟨a b⟩ pero tal metodo solo nos proporciona todos los puntos crıticos de f que
cumple la primera condicion dada en la definicion 29
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La derivada de una funcion real de variable real
4 Los graficos anteriores presentan al punto crıtico x0 de f en el cual existe f prime(x0) y es igual a cero es mas
en los dos primeros graficos la recta tangente en el punto (x0 f (x0)) es horizontal iquestCual es el aspecto de
la grafica de f si es que no existiera f prime(x0)
5 Sea x0 isin ⟨a b⟩ un punto crıtico de la funcion f Al utilizar el criterio de la primera derivada para averiguar
si f tiene maximo o mınimo en x0 es necesario resolver las inecuaciones f prime(x) lt 0 y f prime(x) gt 0 sujetas
a la restriccion x isin ⟨a b⟩ tales procesos son sencillos para algunas funciones pero existen funciones paralos cuales tales resoluciones son complicadas y ahı el criterio de la primera derivada no es recomendable
utilizarlo pero tal deficiencia se supera utilizando otro criterio para determinar extremo de una funcion
6 El criterio de la primera derivada tambien es aplicable cuando en lugar del intervalo ⟨a b⟩ se considera a
otros tipos de intervalos abiertos si es que estan contenidos en el dominio de la funcion
Por ejemplo para la funcion f
minusrarr
definida por f (x) = x2 su unico punto crıtico es x0 = 0 f prime(x) lt 0
para todo x lt 0 y f prime(x) gt 0 para todo x gt 0 por tanto f tiene un mınimo en 0 y su valor mınimo es
f (0) = 0
232 Criterio de la segunda derivada para extremos de una funcion
Aquı presentamos otro criterio que nos ayuda a determinar si un punto crıtico es aquel en donde una funcion
alcanza su valor maximo o mınimo este metodo requiere la existencia de la segunda de la funcion en su punto
crıtico
Teorema 217 (Criterio de la segunda derivada) Sean la funciacute on f A minusrarr
el intervalo [a b] contenido
en A y x0 isin ⟨a b⟩ un punto crıtico de f para el cual f primeprime(x0) existe
1 Si la funciacute on f es derivable en ⟨a b⟩ f prime(x0) = 0 y f primeprime(x0) lt 0 entonces f tiene un macute aximo en el punto x0
2 Si la funciacute on f es derivable en
⟨a b
⟩ f prime(x0) = 0 y f primeprime(x0) gt 0 entonces f tiene un mınimo en el punto x0
X X
a bx 0a bx 0
f a b f f es derivable en ( ) 0 ( ) 0 x x 0 0= lt f a b f f es derivable en ( ) 0 ( ) 0 x x 0 0= gt
f
f
f tiene un maacuteximo en x 0 f tiene un miacutenimo en x 0
Observaciones
1 Los graficos anteriores presentan al punto crıtico x0 de f en el cual existe f primeprime(x0) y es diferente a cero
2 El criterio de la segunda derivada tambien es aplicable cuando en lugar del intervalo ⟨a b⟩ se considera a
otros tipos de intervalos abiertos si es que estan contenidos en el dominio de la funcion
Por ejemplo para la funcion f
minusrarr
definida por f (x) = x2 su unico punto crıtico es x0 = 0 y
f primeprime(0) = 2 gt 0 por tanto f tiene un mınimo en 0 y su valor mınimo es f (0) = 0
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La derivada de una funcion real de variable real
24 Concavidad y puntos de inflexion
25 La regla de Lrsquo Hospital
3 Aplicaciones de la derivada
31 Trazado de grafica de funciones
32 Derivadas parametricas
321 Regla de la cadena
33 Diferencial de una funcion
34 Razon de cambio
Indice
1 La derivada 111 Derivadas laterales 4
12 Derivacion y continuidad 5
13 Derivadas de orden superior 7
131 Notacion de derivadas 7
132 El operador d
dx 8
133 La segunda derivada 10
134 Derivada de ordenes mayores a dos 10
135 Notacion de derivadas de ordenes superiores 11
14 Derivadas implıcitas 12
141 Ecuaciones diferenciales ordinarias de lugares geometricos 13
15 Funciones derivables 18
151 Funciones derivables en un intervalo 18
152 Funciones de clase C k 19
153 Funciones no derivables 19
2 Teoremas sobre funciones derivables 21
21 Extremos relativos de una funcion 21
22 El teorema del valor medio 24
23 Funciones crecientes y decrecientes 26
231 Criterio de la primera derivada para extremos de una funcion 29
232 Criterio de la segunda derivada para extremos de una funcion 30
24 Concavidad y puntos de inflexion 31
25 La regla de Lrsquo Hospital 31
3 Aplicaciones de la derivada 31
31 Trazado de grafica de funciones 31
32 Derivadas parametricas 31
321 Regla de la cadena 31
33 Diferencial de una funcion 31
34 Razon de cambio 31
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La derivada de una funcion real de variable real
Reduciendo y agrupando la expresion tenemos
f prime(x) = eminus5x983080
(3x2 minus 5x3)sin x + x3 cos x983081
para todo x isin
3 Sea f
minusrarr
definido por f (x) = (x4 + 2)4cos2x emplearemos simultaneamente la regla de la cadena
y la tabla de derivadas para hallar f prime(x)
f (x) = (x4 + 2)4cos2x minusrarr ln[f (x)] = ln1048667
(x4 + 2)4cos2x1048669
= 4cos 2x middot ln(x4 + 2)
luego derivando respecto a x
minusrarr f prime(x)
f (x) =
10486674cos2x middot ln(x4 + 2)
1048669prime
minusrarr f prime(x)
f (x) =
10486674cos2x
1048669prime
middot ln(x4 + 2) + 4 cos 2x middot1048667
ln(x4 + 2)1048669prime
minusrarr f prime(x)
f (x) = 4
1048667cos2x
1048669prime
middot ln(x4 + 2) + 4 cos 2x middot [x4 + 2]prime
x4 + 2
minusrarr f prime(x)
f (x) = 4(minus sin2x)[2x]prime
middot ln(x4
+ 2) + 4cos 2x middot [x4]prime + [2]prime
x4 + 2
minusrarr f prime(x)
f (x) = 4(minus sin2x)2 middot ln(x4 + 2) + 4cos 2x middot 4x3 + 0
x4 + 2
minusrarr f prime(x)
f (x) = minus8sin2x middot ln(x4 + 2) +
16x3
x4 + 2 middot cos2x
there4 f prime(x) = (x4 + 2)4cos2x983080
minus 8sin2x middot ln(x4 + 2) + 16x3
x4 + 2 middot cos2x
983081 para todo x isin
Observacion El operador d
dx es muy especıfico en el siguiente sentido Si u es una expresion que depende de
x es decir u = u(x) entonces ddx
[u] = ddx
[u(x)] = u prime(x) Sin embargo supongamos que W es una expresion
que no depende de la variable x entonces al hallar d
dx[W ] nos resultara ldquo0rdquo ya que el operador a la expresion
W lo interpreta como una constante
Es necesario especificar cuando utilizamos el operador d
dx que estamos derivando respecto a la variable
ldquoxrdquo solamente y no respecto a otra variable Es ası si utilizamos el operador d
dy estamos derivando respecto a
la variable ldquoyrdquo y si utilizamos el operador d
dt estamos derivando respecto a la variable ldquotrdquo ası sucesivamente
Ejemplo 16
1 Hallemos d
dx[u] si u = 5x + tan x
d
dx[u] =
d
dx[5x + tan x] =
d
dx[5x] +
d
dx[tan x] = 5
d
dx[x] + sec2 x = 5 + sec2 x
2 Hallemos d
dx[W ] si W = 5e5t+1 + tan(3x) donde t no depende de x
d
dx[W ] =
d
dx[5e5t+1 + tan(3x)] =
d
dx[5e5t+1] +
d
dx[tan(3x)] = 0 + sec2(3x)
d
dx[3x] = sec2(3x) middot 3
3 Hallemos d
dx[W ] si W = cos(5x + t) + ln(x2 + z) donde z y t no dependen de x
ddx
[W ] = ddx
1048667cos(5x + t) + ln(x2 + z)
1048669= minussin(5x + t) middot d
dx[5x + t] + 1
x2 + z middot d
dx[x2 + z]
=rArr d
dx[W ] = minussin(5x + t) middot (5 + 0) +
1
x2 + z middot (2x + 0) = minus5 sin(5x + t) +
2x
x2 + z
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La derivada de una funcion real de variable real
4 Si U solo depende de x entonces d
dy[U ] = 0
d
dx[U ] = U prime(x)
d
dt[U ] = 0 y
d
dz[U ] = 0
133 La segunda derivada
Definicion 17 Sea f una funciacute on derivable en a la segunda derivada de f en a es
f primeprime
(a) = lımxrarra
f prime(x)
minusf prime(a)
x minus a = lımhrarr0
f prime(a + h)
minusf prime(a)
h
si es que dicho l ımite existe La funciacute on segunda derivada de f denotada por f primeprime es definida por
f primeprime(x) = lımhrarr0
f prime(x + h) minus f prime(x)
h
Observaciones
1 La segunda derivada de f en un punto es la derivada de f prime en dicho punto
2 El dominio de f primeprime esta formado por todos los puntos ldquoxrdquo del dominio de f para los cuales existe f primeprime(x)
3 Los dominios de f f prime y f primeprime no siempre coinciden generalmente se tiene
Dom(f primeprime) sub Dom (f prime) sub Dom (f )
4 Si existe f primeprime(a) diremos que f es dos veces derivable en a
5 Si f no es derivable en a entonces no es dos veces derivable en a
6 Si f es dos veces derivable en a entonces es derivable en a
7 Si f es derivable en a no siempre es dos veces derivable en a
8 Si f es dos veces derivable en a entonces es continua en a
Ejemplo 17
1 Sea f [0 +infin⟩ minusrarr una funcion definida por f (x) =
radic x La funcion derivada de f sera f prime ⟨0 +infin⟩ minusrarr
cuya regla de correspondencia es f prime(x) = 1
2radic
x mientras que la funcion segunda derivada de f sera f primeprime
⟨0 +infin⟩ minusrarr
cuya regla de correspondencia es f primeprime(x) = minus1
4radic
x3
En este caso
Dom(f primeprime) sub Dom (f prime) sub Dom (f ) y Dom (f primeprime) = Dom (f prime) = Dom (f )
2 Sea f
minusrarr
una funcion definida por f (x) = x3 + sin x La funcion derivada de f sera f prime
minusrarr
cuya regla de correspondencia es f prime(x) = 3x2 +cos x y la funcion segunda derivada de f sera f primeprime
minusrarr
cuya regla de correspondencia es f primeprime(x) = 6x minus sin x
En este caso
Dom(f primeprime) = Dom(f prime) = Dom(f )
134 Derivada de ordenes mayores a dos
En forma analoga a la definicion 17 definimos la tercera derivada de la funcion f en el punto ldquoardquo por
f primeprimeprime(a) = lımxrarra
f primeprime(x) minus f primeprime(a)
x
minusa
= lımhrarr0
f primeprime(a + h) minus f primeprime(a)
h
si es que el l ımite existe y la funcion tercera derivada de f por
f primeprimeprime(x) = lımhrarr0
f primeprime(x + h) minus f primeprime(x)
h
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La derivada de una funcion real de variable real
La tercera derivada de f en a es la derivada de la segunda derivada de f en a y la funcion tercera derivada de
f es la funcion derivada de la funcion segunda derivada de f es decir f primeprimeprime = (f primeprime)prime
Ası llegarıamos a definir la nminusesima derivada de la funcion f en el punto ldquoardquo por
f (n)(a) = lımxrarr
a
f (nminus1)(x) minus f (nminus1)(a)
x minus a
= lımhrarr
0
f (nminus1)(a + h) minus f (nminus1)(a)
hsi es que el l ımite existe y la funcion nminusesima derivada de f por
f (n)(x) = lımhrarr0
f (nminus1)(x + h) minus f (nminus1)(x)
h
135 Notacion de derivadas de ordenes superiores
Generalizando el operador d
dx para derivadas de ordenes mayores a uno tenemos los siguientes operadores
1 El operador d
dx transforma a f (x) en f prime(x)
2 El operador d2
dx2 transforma a f (x) en f primeprime(x) y d2
dx2 = d
dx
983080 ddx
983081
3 El operador d3
dx3 transforma a f (x) en f primeprimeprime(x) y
d3
dx3 =
d
dx
983080 d2
dx2
983081=
d
dx
1048616 d
dx
983080 d
dx
9830811048617
4 El operador dn
dxn transforma a f (x) en f (n)(x) y
dn
dxn =
d
dx
983080 dnminus1
dxnminus1
983081=
d
dx
1048616 d
dx
983080 dnminus2
dxnminus2
9830811048617
Ejemplo 18 Sea f (x) = x5 + 2x2 entonces
1 d
dx1048667f (x)
1048669=
d
dx[x5 + 2x2] = 5x4 + 4x
2 d2
dx2
1048667f (x)
1048669=
d
dx
983131 d
dx
1048667f (x)
1048669983133=
d
dx[5x4 + 4x] = 20x3 + 4
3 d3
dx3
1048667f (x)
1048669=
d
dx
983131 d2
dx2
1048667f (x)
1048669983133=
d
dx[20x3 + 4] = 60x2
4 d4
dx4
1048667f (x)
1048669=
d
dx
983131 d3
dx3
1048667f (x)
1048669983133=
d
dx[60x2] = 120x
5 d5
dx5
1048667f (x)
1048669=
d
dx
983131 d4
dx4
1048667f (x)
1048669983133=
d
dx[120x] = 120
6
d6
dx61048667
f (x)1048669
=
d
dx983131 d5
dx51048667
f (x)1048669983133
=
d
dx [120] = 0 y
dn
dxn1048667
f (x)1048669
= 0 foralln ge 6
Ejercicio 3 Halle una facute ormula para expresar f (n)(x) si
1 f (x) = ex
2 f (x) = eax
3 f (x) = akx
4 f (x) = 1
(x minus a)k
5 f (x) = 1 minus x
1 + x
6 f (x) = 5x minus 2
x2 minus 4
7 f (x) = sin ax
8 f (x) = cos ax
9 f (x) = ln(a + bx)
10 f (x) = 1
x2 minus 3x + 2
11 f (x) = 8x minus 5
2x2 + x minus 6
12 f (x) = x ex
13 f (x) = 5x minus 1
x2 + x minus 12
14 f (x) = ex sin x
15 f (x) = sin2 x
16 f (x) = xnradic
x
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La derivada de una funcion real de variable real
14 Derivadas implıcitas
Sea F (x y) = C una ecuacion que contiene dos variables si en esta ecuacion no se ha despejado la variable
y diremos que y esta expresado en F (x y) = C de manera implıcita
Sea F U sub
2 minusrarr una funcion y f A sub
minusrarr una funcion cuya regla de correspondencia esta en
la forma implıcita en la ecuacionF (x y) = C donde y = f (x)
Las derivadas implıcitas permiten hallar f prime(x) sin necesidad de conocer la regla de correspondencia de f es
mas podemos hallar las derivadas de orden superior de f
Ejemplo 19 Si ldquo yrdquo es una expresiacute on que depende de ldquo xrdquo halle dy
dx
1 e5y = sin(x + y)
e5y = sin(x + y) minusrarr d
dx[e5y] =
d
dx[sin(x + y)]
minusrarr e5y ddx
[5y] = cos(x + y) ddx
[x + y]
minusrarr e5y middot 5 middot dy
dx = cos(x + y)(1 +
dy
dx)
minusrarr 5e5y middot dy
dx = cos(x + y)(1 +
dy
dx)
there4dy
dx =
cos(x + y)
5e5y minus cos(x + y)
2 x = ln(x3 + y)
x = ln(x3 + y) minusrarr
d
dx[x] =
d
dx1048667 ln(x3 + y)1048669
minusrarr 1 = 1
x3 + y middot d
dx[x3 + y]
minusrarr 1 = 1
x3 + y middot (3x2 +
dy
dx)
minusrarr dy
dx = x3 minus 3x2 + y
Derivando una vez mas respecto de x tenemos d
dx[
dy
dx] =
d
dx[x3 minus 3x2 + y] = 3x2 minus 6x +
dy
dx
=rArr d2y
dx2 = 3x2 minus 6x +
dy
dx = 3x2 minus 6x + x3 minus 3x2 + y = x3 minus 6x + y
there4dydx
= x3 minus 3x2 + y y d2ydx2
= x3 minus 6x + y
3 Halle dy
dx si exp
1048616860698 x +
radic y
x minus radic y
1048617+ ln
860698 x minus radic
y
x +radic
y = 8
4 Halle dy
dx si sin(xy) + cos(xy) = tan(x + y)
5 Halle dy
dx si x minus y = arcsin x minus arcsin y
6 Halle dy
dx
si 860698 y minus radic x
y + radic x + 860698 y +
radic x
y minus radic x =
5
2
7 Halle dy
dx si x2 minus a
radic xy + y2 = a2 a constante
8 Halle d2y
dx2 si x12 + y12 = 2 a constante
9 Halle d2y
dx2 si b2x2 minus a2y2 = a2b2 a b constantes
10 Halle d2y
dx2 si x23 + y23 = a23 a constante
11 Halle d2y
dx2
si 3x2
minus2xy + y2 = a2 a constante
12 En los ejercicios anteriores halle dx
dy si x = x(y)
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La derivada de una funcion real de variable real
141 Ecuaciones diferenciales ordinarias de lugares geometricos
Definicion 18 (Ecuacion diferencial) Una ecuaciacute on diferencial es aquella que contiene una o macute as fun-
ciones de una o macute as variables y algunas de sus derivadas respecto a sus variables independientes
Definicion 19 (Ecuacion diferencial ordinaria) Una ecuaciacute on diferencial ordinaria es aquella que con-
tiene una o macute as funciones de una variable y algunas de sus derivadas respecto a su variable independiente El
orden de esta ecuaciacute on diferencial ordinaria es el de la derivada de mayor orden contenida en ella
Ejemplo 110 La siguientes son ecuaciones diferenciales ordinarias
1 2yprimeprime + xyprime + y = sen x su orden es 2
2 yprimeprimeprime minus 2yprimeprime + 5yprime + y = ln x su orden es 3
3 xyprime + sen x = tan x su orden es 1
4 y(5) + y(4) + yprimeprimeprime + yprimeprime + yprime + y = 0 su orden es 5
5 2yprimeprime + xyprime + y3 = sen x su orden es 2
6 (yprimeprimeprime)2 minus 2(yprimeprime)7 + 5yprime + y = ln x su orden es
7 xyprime + sen x = tan y su orden es 3
8 y(5) + y(4) + yprimeprimeprime + (yprimeprime)4 + yprime + ln y = 0 su orden es 5
9 yy primeprime + x2y = x su orden es 2
Definicion 110 Un lugar geometrico del plano
2 es un conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen una
o macute as ecuaciones del tipo F (x y) = K
Ejemplo 111 La recta la circunferencia la paracute abola la elipse la hiperbola las graficas de funciones son
ejemplos de lugares geometricos
Definicion 111 La ecuaciacute on diferencial ordinaria de un lugar geometrico cuya ecuaciacute on es F (x y) = K es
aquella que se obtiene al derivar esta ecuaciacute on con respecto a una de sus variables
Teorema 18 Si un lugar geometrico cuya ecuaciacute on es F (x y) = K contiene n constantes independiente
entonces su ecuaciacute on diferencial ordinaria tendracute a orden n
Ejemplo 112 Halle la ecuaciacute on diferencial ordinaria de todas las circunferencias con centro el origen de
coordenadas
Solucion La ecuacion de esta familia de circunferencias es x2 + y2 = r2 y contiene una sola constante Al
derivar a ambos miembros respecto a x tenemos 2x + 2yyprime = 0 Por tanto la ecuacion diferencial ordinaria de
estas circunferencias sera
x + yy prime = 0 o yprime = minusy
x
Ejemplo 113 Halle la ecuaciacute on diferencial ordinaria de todas las rectas horizontales
Solucion La ecuacion de esta familia de rectas es y = K y contiene una sola constante Al derivar a ambos
miembros respecto a x tenemos y prime = 0 Por tanto la ecuacion diferencial ordinaria de estas rectas sera
yprime = 0
Ejemplo 114 Halle la ecuaciacute on diferencial ordinaria de todas las rectas con pendiente 2
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La derivada de una funcion real de variable real
Solucion La ecuacion de esta familia de rectas es y = 2x + K y contiene una sola constante Al derivar a
ambos miembros respecto a x tenemos y prime = 2 Por tanto la ecuacion diferencial ordinaria de estas rectas sera
yprime = 2
Ejemplo 115 Halle la ecuaciacute on diferencial ordinaria de todas las rectas que pasan por el origen de coordenadas
Solucion Solo consideraremos a las rectas no verticales que pasan por el origen La ecuaci on de esta familia
de rectas es y = Kx y contiene una sola constante entonces su ecuacion diferencial debe ser de orden uno
Al derivar a ambos miembros respecto a x tenemos yprime = K pero K = y
x Por tanto la ecuacion diferencial
ordinaria de estas rectas sera
yprime = y
x si x = 0 yprime = 0 si y = 0
Ejemplo 116 En los siguientes ejemplos dada una funciacute on obtener la ecuaciacute on diferencial de la cual es
soluciacute on
1 y = ceminus2x + x
El orden de la ecuacion diferencia buscada es 1 entonces derivando tenemos
yprime
= minus2ceminus
2x + 1 = minus2ceminus
2x + 1 + 2x minus 2x = minus2(ceminus
2x + x) + 1 + 2x = minus2y + 1 + 2x
there4dy
dx = 1 minus 2(y minus x) es la ecuacion diferencial buscada
2 y = C 1 sen 4x + C 2 cos 4x + x
El orden de la ecuacion diferencia buscada es 2 entonces derivando tenemos
yprime = 4C 1 cos 4x minus 4C 2 sen 4x + 1 yprimeprime = minus16C 1 sen 4x minus 16C 2 cos 4x
yprimeprime = minus16(C 1 sen 4x + C 2 cos 4x) = minus16(y minus x)
there4 yprimeprime + 16y minus 16x = 0 es la ecuacion diferencial buscada
3 y = ax3 + bx2 + cx
El orden de la ecuacion diferencia buscada es 3 entonces derivando tenemos
yprime = 3ax2 + 2bx + c yprimeprime = 6ax + 2b yprimeprimeprime = 6a Reemplazando en la ecuacion a b y c
y = yprimeprimeprime
6 x3 +
1
2
983080yprimeprime minus yprimeprimeprimex
983081x2 +
983080yprime minus yprimeprime
2 minus yprimeprimeprimex
983081x
there4 11x3yprimeprimeprime minus 3x2yprimeprime + 6xyprime + 6y = 0 es la ecuacion diferencial buscada
4 Hallar la ecuacion diferencial de la familia de circunferencias de radio 1 con centro en la recta bisectriz del
primer y tercer cuadrante
Solucion
x
y
y = x
h
h1
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La derivada de una funcion real de variable real
La ecuacion de la familia de circunferencias es (x minus h)2 + (y minus h)2 = 1 en ella solo figura una constante
entonces el orden de la ecuacion diferencia buscada es 1
Derivando respecto a x tenemos 2(x minus h) + 2(y minus h)yprime = 0 =rArr x minus h + yy prime minus hyprime = 0
=rArr h(1 + yprime) = x + yy prime =rArr h = x + yy prime
yprime + 1
Reemplazando en la ecuacion de las circunferencias
1048616x minus
x + yy prime
yprime + 110486172
+1048616
y minus x + yy prime
yprime + 110486172
= 1
=rArr (x(yprime + 1) minus x minus yy prime
8520092+(
yy prime + y minus x minus yy prime8520092
= (yprime + 1)2
=rArr (xyprime minus yy prime
8520092+(
y minus x8520092
= (yprime + 1)2
=rArr (yprime)2(x minus y)2 + (x minus y)2 = (yprime + 1)2
=rArr (x minus y)2(
(yprime)2 + 1852009
= (yprime + 1)2 es la ecuacion diferencial buscada
5 Formular la ecuacion diferencial que representa a todas las tangentes no verticales de la par abola y2 = 2x
Solucion
x
y
a
b
L
y = 2 x 2
La ecuacion de la recta tangente L a la parabola en el punto (a b) es
L y minus b = m(x minus a) Hallando la pendiente m derivando L y prime = m Por otro lado derivando la ecuacion
de la parabola tenemos 2yyprime = 2 =rArr y prime = 1
y cuyo significado es y prime(x) =
1
y(x) para x gt 0
En el punto (a b) de la parabola se tiene yprime(a) = 1
y(a) =
1
b = m Ademas como (a b) es un punto de la
parabola se tiene b2 = 2a =rArr a = b2
2 Luego en la ecuacion de la tangente
y minus b = 1b
1048616x minus b
2
2
1048617 =rArr yb minus b2 = x minus b
2
2
=rArr y = x
b +
b
2 pero b =
1
yprime
=rArr y = xy prime + 1
2yprime
=rArr 2y(yprime)2 minus 2xyprime + 1 = 0 es la ecuacion diferencial buscada
6 y2 = 4ax
Primero tenemos a = y2
4x el cual se utilizara luego Derivando la ecuacion original tenemos 2yyprime = 4a
=rArr 2yyprime
= 41048616 y2
4x1048617
= y2
x =rArr 2xyyprime
= y2 =rArr 2xyprime
= y si y = 0 =rArr 2x dy
dx minus y = 0
Por lo tanto 2x dy
dx minus y = 0 es la ecuacion diferencial buscada
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La derivada de una funcion real de variable real
7 y = C 1 sen 4x + C 2 cos 4x + x
Solucion
yprime = 4C 1 cos 4x minus 4C 2 sen 4x + 1 yprimeprime = minus16C 1 sen 4x minus 16C 2 cos 4x de la segunda derivada tenemos
minusyprimeprime
16 = C 1 sen 4x + C 2 cos 4x = y minus x luego minus(16)minus1yprimeprime = y minus x =rArr minusyprimeprime = 16y minus 16x
Por lo tanto yprimeprime = 16(xminus
y) es ecuacion diferencial buscada
8 I = teminust + eminust + 2sen 3t
Solucion En esta parte I es una funcion que depende de t y las derivadas seran respecto a t
I prime = eminust minus teminust minus eminust + 6cos 6t Pero teminust + eminust = I minus 2sen3t
=rArr I prime = eminust minus I + 2sen 3t + 6cos 3t =rArr I primeprime = minuseminust minus I prime minus 6cos3t minus 18sen3t
sumando las dos ultimas ecuaciones I prime + I primeprime = minusI minus I prime minus 16sen3t de donde I primeprime + 2I prime + I = minus16sen3t
9 x2 minus ay2 = 1
Solucion
Derivando 2x minus 2ay dy
dx = 0 =rArr y prime =
dy
dx =
minus2x
minus2ay
=rArr a = x
yy prime reemplazando en la ecuacion original
x2 minus x
yyprimey2 = 1 =rArr x2yyprime minus yyprime minus xy2 = 0
=rArr (x2 minus 1)yprime = xy
=rArr yprime = xy
x2 + 1 es la ecuacion diferencial buscada
10 x2 + y2 minus cx = 0
Derivando 2x + 2yyprime = c
Reemplazando en la ecuacion original x2 + y2 minus (2x + 2yy prime)x = 0
=
rArr yprime =
x2 minus y2
2xy
es la ecuacion diferencial buscada
11 Hallar la ecuacion diferencial de cada uno de las siguientes familias de curvas
a) y = x sen(x + c) Rta (xyprime minus y)2 = x2(x2 minus y2)
b) Todos los cırculos que pasan por (1 0) y (minus1 0) Rta 2xy = (x2 minus y2 minus 1)yprime
c) Todos los cırculos con centro en la recta y = x que son tangentes a ambos ejes
Rta (x minus y)2(1 + yprime)2 = (x + yy prime)2
d) Todas las rectas tangentes a la parabola x2 = 4y
Sugerencia La pendiente de la recta tangente en (2a a2) es a Rta y + yprime = xy prime
e) Todas las rectas tangentes al cırculo unidad x2
+ y2
= 1 Rta (y minus xyprime
)2
= 1 minus (yprime
)2
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La derivada de una funcion real de variable real
Definicion 112 Sea la ecuaciacute on diferencial ordinaria lineal de orden n
any(n) + middot middot middot + a2y primeprime + a1y prime + a0 = b
La funciacute on f A minusrarr
es una de sus soluciones si para todo x isin A
anf (n)(x) + middot middot middot + a2f primeprime(x) + a1f prime(x) + a0 = b
Ejercicio 4 Demuestre que la funciacute on f
minusrarr definida por f (x) = sin x es una soluciacute on de la ecuaciacute on
diferencial y primeprime + y = 0
Solucion Lo unico que debemos hacer es derivar a f dos veces y sumar los resultados
f (x) = sin x minusrarr f prime(x) = cos x minusrarr f primeprime(x) = minus sin x sumando f primeprime(x) + f (x) = 0 por lo tanto f
es una solucion de la ecuacion diferencial y primeprime + y = 0
Ejercicio 5 Demuestre que la funciacute on f
minusrarr
definida por f (x) = 8ex+xex es una soluciacute on de la ecuaciacute on
diferencial yprimeprime minus 2yprime + y = 0
Solucion Derivemos a f hasta dos veces y reemplacemos en el primer miembro de la ecuacion diferencial Siresulta cero tal reemplazo entonces la funcion f es una solucion de tal ecuacion diferencial
f (x) = 8ex + xex =rArr f prime(x) = [8ex] prime + [xex] prime = 8ex + [x]primeex + x[ex] prime = 8ex + ex + xex = 9ex + xex
=rArr f primeprime(x) = [9ex] prime + [xex] prime = 9ex + [x]primeex + x[ex] prime = 9ex + ex + xex = 10ex + xex
Reemplazemos en el primer miembro de la ecuacion diferencial
f primeprime(x) minus 2f prime(x) + f (x) =1048667
10ex + xex1048669minus 2
10486679ex + xex
1048669+1048667
8ex + xex1048669
= 10ex + xex minus 18ex minus 2xex + 8ex + xex
= [10
minus18 + 8]ex + [1
minus2 + 1]xex
= 0
Dado que resulta f primeprime(x)minus2f prime(x)+f (x) = 0 entonces f (x) = 8ex+xex es una solucion de la ecuacion diferencial
ordinaria y primeprime minus 2yprime + y = 0
Ejercicio 6 Demuestre o descarte las siguientes afirmaciones
1 x + y2 = K describe la soluciacute on general de las ecuaciones diferenciales dy
dx = minus 1
2y 2yyprime + 1 = 0
2 y = K ex es la soluciacute on general de la ecuaciacute on diferencial yprime minus y = 0
3 y = sin x
x
es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial xyprime + y = cos x
4 y = 1
cos x es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial yprime minus y tan x = 0
5 y = 2xradic
1 minus x2 es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial yy prime = 4x minus 8x3
6 y = x
cos x es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial xyprime minus y = x2 tan x sec x
7 y = ex(x + 1) es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial yprimeprime minus 2yprime + y = 0
8 y = ln(x + c) + 2 es la soluciacute on general de la ecuaciacute on diferencial yprimeeyminus2 minus 1 = 0
9 y = sen3 x es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial yprimeprime + (tan x minus 2cot x)yprime = 0
10 y = arcsin(xy) describe una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial xyprime + y = yradic
1 minus x2y2
11 y = c1eminusx + c2ex + c3eminus2x + c4e2x es soluciacute on general de la ecuaciacute on diferencial y(iv) minus 5yprimeprime + 4y = 0
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La derivada de una funcion real de variable real
15 Funciones derivables
151 Funciones derivables en un intervalo
Sin ser redundantes presentamos a los intervalos de
1 [a b] = x isin
a le x le b
2 ⟨a b⟩ = x isin
a lt x lt b
3 ⟨a b] = x isin
a lt x le b
4 [a b⟩ = x isin
a le x lt b
5 ⟨minusinfin b⟩ = x isin 1048623x lt b
6 ⟨minusinfin b] = x isin
1048623x le b
7 ⟨a +infin⟩ = x isin
1048623a lt x
8 [a +infin⟩ = x isin
1048623a le x
9 ⟨minusinfin +infin⟩ =
y
10 [a a] = a
Los cuatro primeros y el ultimo son los intervalos limitados los cinco siguientes son intervalos ilimitados el
ultimo se denomina un intervalo degenerado desde el segundo hasta el cuarto intervalo a lt b
Definicion 113 Sea la funciacute on f I minusrarr donde I es un intervalo de
1 La funciacute on f ⟨a b⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨a b⟩ si lo es en cada punto de ⟨a b⟩
2 La funciacute on f ⟨minusinfin b⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨minusinfin b⟩ si lo es en cada punto de ⟨minusinfin b⟩
3 La funciacute on f ⟨a +infin⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨a +infin⟩ si lo es en cada punto de ⟨a +infin⟩
4 La funciacute on f [a b⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo [a b⟩ si existe un intervalo abierto del tipo ⟨ p q ⟩ que
contiene a [a b⟩ tal que f sea derivable sobre ⟨ p q ⟩
5 La funciacute on f ⟨a b] minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨a b] si existe un intervalo abierto del tipo ⟨ p q ⟩ que
contiene a ⟨a b] tal que f sea derivable sobre ⟨ p q ⟩
6 La funciacute on f [a +infin⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo [a +infin⟩ si existe un intervalo abierto del tipo⟨ p +infin⟩ que contiene a [a +infin⟩ tal que f sea derivable sobre ⟨ p +infin⟩
7 La funciacute on f ⟨minusinfin b] minusrarr es derivable en el intervalo ⟨minusinfin b] si existe un intervalo abierto del tipo
⟨minusinfin q ⟩ que contiene a ⟨minusinfin b] tal que f sea derivable sobre ⟨minusinfin q ⟩
8 La funcion f [a b] minusrarr es derivable en el intervalo [a b] si existe un intervalo abierto del tipo ⟨ p q ⟩ que
contiene a [a b] tal que f sea derivable sobre ⟨ p q ⟩
Observaciones
1 La funcion f [a b
⟩ minusrarr es derivable en el intervalo [a b
⟩ si y solo si es derivable en cada punto de
⟨a b
⟩y existe f prime+(a)
2 La funcion f [a +infin⟩ minusrarr es derivable en el intervalo [a +infin⟩ si y solo si es derivable en cada punto de
⟨a +infin⟩ y existe f prime+(a)
3 La funcion f ⟨a b] minusrarr es derivable en el intervalo ⟨a b] si y solo si es derivable en cada punto de ⟨a b⟩
y existe f primeminus
(b)
4 La funcion f ⟨minusinfin b] minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨minusinfin b] si y solo si es derivable en cada punto de
⟨minusinfin b⟩ y existe f primeminus
(b)
5 La funcion f [a b] minusrarr
es derivable en el intervalo [a b] si y solo si es derivable en cada punto de ⟨a b⟩y existen f prime+(a) y f prime
minus(b)
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La derivada de una funcion real de variable real
6 Sea I un intervalo abierto Si la funcion f I minusrarr es derivable su funcion derivada f prime I minusrarr tendra el
mismo dominio que f
7 Sea I un intervalo abierto Si la funcion f I minusrarr
es k veces derivable su funcion kndashesima derivada
f (k) I minusrarr
tendra el mismo dominio que f
8 Sea I un intervalo no abierto Si la funcion f I minusrarr
es derivable su funcion derivada f prime J minusrarr
tendra como dominio al interior de I
152 Funciones de clase C k
Sea I un intervalo de
Si la funcion f I minusrarr
es derivable en I entonces es continua en I pero
posiblemente la funcion derivada f prime J minusrarr
no sea continua en I J = int (I )
Definicion 114 Sea I un intervalo de Si la funcion f I minusrarr es continua en I diremos que ldquo f rdquo es una
funciacute on de clase cero C 0 sobre I
⋆ Si ldquof rdquo es una funcion de clase C 0 sobre I lo denotamos por f
isin C 0(I )
Definicion 115 Sea I un intervalo abierto de
Si la funciacute on f I minusrarr
es derivable en I y la funciacute on
f prime I minusrarr es continua en I diremos que f es continuamente derivable en I o simplemente la funciacute on ldquo f rdquo es
de clase C 1 sobre I
⋆ Si ldquof rdquo es una funcion de clase C 1 sobre I lo denotamos por f isin C 1(I )
Definicion 116 Sea I un intervalo abierto de
La funcion f I minusrarr
es de clase C k sobre el intervalo I
si es k veces derivable sobre I y la funciacute on f (k) I minusrarr
es continua en I
⋆ Si ldquof rdquo es una funcion de clase C k sobre I lo denotamos por f
isin C k(I )
Definicion 117 Sea I un intervalo abierto de La funciacute on f I minusrarr es de clase C infin sobre el intervalo I
si existe f (n) para todo n isin 0 1 2 middot middot middot
⋆ Si ldquof rdquo es una funcion de clase C infin sobre I lo denotamos por f isin C infin(I )
Ejemplo 117
1 La funcion f
minusrarr
definida por f (x) = ex es de clase C infin sobre
Con la notaciones presentadas
tenemos la pertenencia f isin C infin(
)
2 La funcion f minusrarr
definida por f (x) = p(x) donde p(x) es un polinomio es de clase C infin
sobre
Conla notaciones presentadas tenemos la pertenencia f isin C infin( )
3 La funcion f [0 +infin⟩ minusrarr definida por f (x) =
radic x es de clase C infin sobre ⟨0 +infin⟩ Con la notaciones
presentadas tenemos la pertenencia f isin C infin983080
[0 +infin⟩983081
153 Funciones no derivables
Sea f una funcion cuyo dominio sea el conjunto A sub
Si f es derivable en el punto a isin A entonces la
grafica de f en su punto (a f (a)) tiene una unica recta tangente La idea de recta tangente en este caso no es
la misma que usted tiene a cerca de una recta tangente a una circunferencia en donde ellos tienen un unico
punto en comun es decir si la recta L es tangente a la circunferencia C entonces L y C tienen un unico punto
en comun llamado punto de tangencia Mientras que si L es una recta tangente a la grafica de la funcion f
es posible que ellos tengan otro punto en comun a parte del punto de tangencia la idea de tangencia que se
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La derivada de una funcion real de variable real
expone es local y no global en el sentido de que si L es una recta tangente a la grafica de la funcion f el punto
de tangencia es unico cerca de el especıficamente La recta L es una tangente a la grafica de la funcion f en su
punto (a f (a)) si existe un cırculo de centro (a f (a)) dentro del cual L y la grafica de la funcion f tienen un
unico punto en comun y los puntos de la grafica de f que pertenecen al cırculo estan a un solo lado de L Y si
ademas la funcion f es derivable en a la pendiente de L es f prime(a)
X
Y
L L L
y f x ( )=a
X
Y
L L L
y f x ( )=a
Si una funcion f es continua en un punto a no siempre sera derivable en dicho punto existe la posibilidad de
que lo sea como tambien que no como por ejemplo
La funcion f ⟨0 2⟩ minusrarr
definida por f (x) =
983163 2x si 0 lt x lt 1
2 si 1 le x lt 2es continua en el punto a = 1 pero
no es derivable en dicho punto pues no existe f prime(1) La existencia de la derivada f prime(1) implica que la grafica
de la funcion f tiene una unica recta tangente en el punto (1 f (1)) la no existencia de f prime(1) implica que la
grafica de la funcion f tiene una varias rectas en ese punto o no en este ejemplo como veremos gr aficamente
la funcion f posee varia rectas tangentes en su punto (1 f (1))
X
Y
y f x ( )=
1 2
X
Y
L L L
y x 2=
y x 3=
1
2
3
Grafico de f (x) =983163 2x si 0 lt x lt 1
2 si 1 le x lt 2 Grafico de f (x) =
x2 si
minus1 lt x lt 1
2x3
3 si 1 le x lt 2
Si una funcion f es derivable en un punto a entonces por el teorema 17 sera continua en dicho punto por
ejemplo la funcion f ⟨0 2⟩ minusrarr
f (x) =
x2 si minus1 lt x lt 1
2x3
3 si 1 le x lt 2
es derivable en a = 1 mas aun es
continua en dicho punto Es mas la grafica de f tiene una unica recta tangente en su punto (1 f (1))
De acuerdo al teorema 16 una funcion es no derivable en el punto ldquoardquo si f primeminus
(a) = f prime+(a) o una de la
derivadas laterales f primeminus
(a) f prime+(a) no existe Y de acuerdo al teorema 17 si f no es continua en el punto ldquoardquo
entonces no es derivable en ese punto
Los siguientes son ejemplos graficos de funciones no derivables en un punto
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La derivada de una funcion real de variable real
X X
Y Y
a a b
y f x = ( ) y f x = ( )
f a f a bno es derivable en no es derivable en y
f a
f b
es derivable en por derecha
es derivable en por izquierda
2 Teoremas sobre funciones derivables
21 Extremos relativos de una funcion
Definicion 21 Sean empty = X sub
y m isin
Diremos que ldquo mrdquo es el mınimo del conjunto X si m isin X y m le x
para todo x isin X
Definicion 22 Sean empty = X sub
y M isin
Diremos que ldquo M rdquo es el macute aximo del conjunto X si M isin X y
M ge x para todo x isin X
Observaciones
1 No todo subconjunto no vacıo de
posee maximo yo mınimo
2 Si un subconjunto no vacıo de
posee maximo yo mınimo este es unico y ademas es uno de los elementos
del conjunto
3 Si ldquomrdquo es el mınimo del conjunto X entonces lo denotamos por m = mın X
4 Si ldquoM rdquo es el maximo del conjunto X entonces lo denotamos por M = max X
5 Si m = mın X y M = max X entonces m le M y ademas m le x le M para todo x isin X
Ejemplo 21
1 El conjunto de los numeros naturales posee mınimo y es 1 es decir 1 = mın pero no posee maximo
2 El conjunto
el de los numeros enteros no posee ni maximo ni mınimo El conjunto
el de los numeros
racionales no posee ni maximo ni mınimo
3 Veamos algunos intervalos
a) Los intervalos ⟨a b⟩ ⟨a b] ⟨a +infin⟩ no poseen mınimo
b) Los intervalos ⟨a b⟩ [a b⟩ ⟨minusinfin b⟩ no poseen maximo
c) a = mın[a b] a = mın[a b⟩ a = mın[a +infin⟩
d) b = max[a b] b = max⟨a b] b = max⟨minusinfin b]
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La derivada de una funcion real de variable real
Definicion 23 Sean empty = A sub f A minusrarr una funciacute on y x0 isin A
1 La funciacute on ldquo f rdquo tiene un mınimo absoluto en x0 si f (x0) le f (x) para todo x isin A
2 La funciacute on ldquo f rdquo tiene un macute aximo absoluto en x0 si f (x) le f (x0) para todo x isin A
3 La funci on ldquo f rdquo tiene un mınimo relativo en x0 si existe un δ gt 0 tal que f (x0) le f (x) para todo
x isin A cap ⟨x0 minus δ x0 + δ ⟩
4 La funci on ldquo f rdquo tiene un macute aximo relativo en x0 si existe un δ gt 0 tal que f (x) le f (x0) para todo
x isin A cap ⟨x0 minus δ x0 + δ ⟩
Observaciones Sean empty = A sub
f A minusrarr
una funcion y x0 isin A
1 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo relativo en x0 diremos tambien que f tiene un mınimo local en x0
2 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo relativo en x0 diremos tambien que f tiene un maximo local en x0
3 La funcion ldquof rdquo tiene un extremo absoluto en x0 si tiene un mınimo o maximo absoluto en dicho punto
4 La funcion ldquof rdquo tiene un extremo relativo en x0 si tiene un mınimo o maximo relativo en dicho punto
5 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo absoluto en x0 entonces f (x0) es el mınimo del rango de la funcion es
decir
f (x0) = mın Ran (f )
Al numero f (x0) lo denominaremos el valor mınimo de f en su dominio
6 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo absoluto en x0 entonces f (x0) es el maximo del rango de la funcion es
decir
f (x0) = max Ran (f )
Al numero f (x0) lo denominaremos el valor maximo de f en su dominio
7 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo relativo en x0 entonces f no siempre tendra un mınimo absoluto en x0
Una funcion puede poseer un mınimo relativo sin tener un mınimo absoluto
8 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo relativo en x0 entonces f no siempre tendra un maximo absoluto en
x0 Una funcion puede poseer un maximo relativo sin tener un maximo absoluto
9 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo absoluto en x0 entonces f tiene un mınimo relativo en dicho punto Lo
contrario no siempre es cierto
En la figura la funcion f minusrarr tiene maximo
relativo en x = 0 pero no posee maximo absolutoen su dominio
En la figura la funcion g minusrarr tiene mınimo
relativo en x = 0 pero no posee mınimo absolutoen su dominio
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La derivada de una funcion real de variable real
10 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo absoluto en x0 entonces f tiene un maximo relativo en dicho punto Lo
contrario no siempre es cierto
11 Una funcion puede tener extremos absolutos en mas de un punto vea el siguiente grafico
En la figura la funcion f
minusrarr
tiene mınimo
absoluto en dos puntos diferentes
En la figura la funcion g
minusrarr
tiene maximo
absoluto en dos puntos diferentes
12 La funcion ldquof rdquo tiene un extremo en el punto x0 si tiene un maximo o mınimo absoluto o relativo en dicho
punto
Y Y
X X
figura (a) figura (b)
x x x x 0 1 2 3 4 5 6x x x x x x x x x x 0 1 2 3 4 5 6
y f x = ( )
y f x = ( )
En la figura (a) Dom(f ) = [x0 x6] la funcion tiene
un mınimo absoluto en el punto x2 y maximo absolu-
to en el punto x5 mientras que tiene mınimo relativo
en los puntos x0 x2 x4 y x6 y maximo relativo en
los puntos x1 x3 y x5
En la figura (b) Dom (f ) = [x0 x6⟩minusx3 la funcion
no tiene mınimo absoluto ni maximo absoluto mien-
tras que tiene mınimo relativo en los puntos x0 x2 y
x4 y maximo relativo en los puntos x1 y x5
Teorema 21 Si la funcion f tiene un extremo en x0 y f prime(x0) existe entonces f prime(x0) = 0
Observaciones
1 Lo contrario no siempre es cierto es decir si f prime(x0) = 0 entonces f no siempre tendra un extremo en x0
Un ejemplo simple es para f (x) = (x minus 2)3 en x0 = 2
2 Si la funcion f tiene un extremo en x0 y f prime
(x0) existe entonces la recta tangente a la grafica de la funcionen el punto
(x0 f (x0)
852009 en horizontal
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La derivada de una funcion real de variable real
3 Si la funcion f tiene un extremo en x0 y f prime(x0) no existe entonces o bien no existe recta tangente a la
grafica de la funcion en el punto(
x0 f (x0)852009
o existen infinitas rectas tangente a la grafica de la funcion en
el punto(
x0 f (x0)852009
pudiendo ser una de ellas una recta vertical
En la figura la funcion f
minusrarr
tiene un extremo
en x = 0 pero f prime(0) no existe ademas la grafica de
esta funcion posee infinitas rectas tangente en el pun-
to(
0 f (0)852009
En la figura la funcion g
minusrarr
tiene extremo en
los puntos x0 x1 existen g prime(x0) g prime(x1) y las rectas
tangente en(
x0 g(x0)852009
y(
x1 g(x1)852009
son horizontales
22 El teorema del valor medio
Teorema 22 (Teorema de Rolle) Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si f es continua en [a b] es derivable en
⟨a b⟩ y f (a) = f (b) entonces existe un c isin ⟨a b⟩ tal que f prime(c) = 0
Observaciones
1 Si la funcion f satisface las hipotesis del teorema de Rolle la existencia del punto c tales que f prime(c) = 0 no
siempre es unica pueden existir otros puntos del intervalo ⟨a b⟩ cuya primera derivada en esos puntos sea
cero
2 La condicion f (a) = f (b) indica que la recta que pasa por los puntos(
a f (a)852009
y(
b f (b)852009
es horizontal El
teorema garantiza la existencia de al menos un punto c isin ⟨a b⟩ tal que la recta tangente a la grafica de la
funcion f el punto(
c f (c)852009
tambien sea horizontal
X X
Y Y
y=f x( )
y=f x( )
figura (a) figura (b)
a c c b1 3 a b
c2
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La derivada de una funcion real de variable real
En la figura (a) la funcion f satisface las hipotesis del
teorema de Rolle por tanto en este caso existen pun-
tos c1 c2 y c3 del intervalo ⟨a b⟩ tal que f prime(c1) = 0
f prime(c2) = 0 y f prime(c3) = 0
En la figura (b) la funcion f no satisface las hipotesis
del teorema de Rolle en tanto no se garantiza la exis-
tencia de puntos del intervalo ⟨a b⟩ tal que la primera
derivada de f en esos puntos sea cero
Teorema 23 (El teorema del valor medio de Lagrange) Sea la funciacute on f [a b]
minusrarr
Si f es continua
en [a b] es derivable en ⟨a b⟩ entonces existe un c isin ⟨a b⟩ tal que
f prime(c) = f (b) minus f (a)
b minus a
Observaciones
1 Si la funcion f satisface las hipotesis del teorema del valor medio de Lagrange la existencia del punto c tales
que f prime(c) = f (b) minus f (a)
b minus a no siempre es unica pueden existir otros puntos del intervalo ⟨a b⟩ cuya primera
derivada en esos puntos sea igual a f (b) minus f (a)
b minus a
2 Sea L la recta que pasa por los puntos(
a f (a)852009
y(
b f (b)852009
el teorema garantiza la existencia de al menosun punto c isin ⟨a b⟩ tal que la recta tangente a la grafica de la funcion f el punto
(c f (c)
852009 sea paralela a L
Y Y
X X
y = f x ( ) y = f x ( )
f a ( )
f a ( )
f b( )
f b( )
figura (a) figura (b)
a c b1 b
c 2 a
L L L
L L L
En la figura (a) la funcion f satisface las hipotesis del
teorema de Lagrange por tanto en este caso existen
puntos c1 y c2 del intervalo ⟨a b⟩ tal que
f prime(c1) = f (b) minus f (a)
b minus a y f prime(c2) =
f (b) minus f (a)
b minus a
En la figura (b) la funcion f no satisface las hipotesis
del teorema de Lagrange en tanto no se garantiza
la existencia de puntos del intervalo ⟨a b⟩ tal que laprimera derivada en ese punto sea igual a
f (b) minus f (a)
b minus a
Teorema 24 (El teorema generalizado del valor medio de Cauchy) Sean las funciones f [a b] minusrarr
y g [a b] minusrarr
continuas en [a b] y derivables en ⟨a b⟩ con g(b) = g(a) y g prime(x) = 0 para todo x isin ⟨a b⟩
entonces existe un c isin ⟨a b⟩ tal que f prime(c)
g prime(c) =
f (b) minus f (a)
g(b) minus g(a)
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La derivada de una funcion real de variable real
23 Funciones crecientes y decrecientes
Definicion 24 (Funcion creciente) Sean empty = A sub
y la funciacute on f A minusrarr
Diremos que la funciacute on f
es creciente o estrictamente creciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) lt f (x2)
Definicion 25 (Funcion decreciente) Sean empty = A sub
y la funci on f A minusrarr
Diremos que la funcion f
es decreciente o estrictamente decreciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) gt f (x2)
Y Y
X X
f x ( )1
f x ( )1
x 1
x 1x 2
x 2
f x ( )2
f x ( )2
Graacutefico de una funcioacutenestrictamente creciente
Graacutefico de una funcioacutenestrictamente decreciente
Definicion 26 (Funcion no creciente) Sean empty = A sub y la funci on f A minusrarr
Diremos que la funciacute on
f es no creciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) ge f (x2)
Definicion 27 (Funcion no decreciente) Sean empty = A sub y la funciacute on f A minusrarr
Diremos que la
funciacute on f es no decreciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) le f (x2)
Y Y
X X
x 1 x 2 x 1 x 2
Graacutefico de una funcioacuten
no decreciente
Graacutefico de una funcioacuten
no creciente
Definicion 28 (Funcion monotona) Sean empty = A sub
y la funci on f A minusrarr
Diremos que la funciacute on f
es monacute otona sobre A si es creciente o decreciente o no creciente o no decreciente sobre A
Observaciones
1 Para definir funciones monotonas (crecientes decrecientes no crecientes o no decrecientes) no es necesario
saber la continuidad y la derivabilidad de la funcion en su dominio
2 Existen funciones monotonas que no son derivables yo continuas en su dominio
Teorema 25 Sean empty = A sub y la funciacute on f A minusrarr Si la funciacute on f es estrictamente creciente sobre A
entonces f es una funciacute on inyectiva y su funcion inversa f lowast tambien es estrictamente creciente sobre Ran(f )
Teorema 26 Sean empty = A sub
y la funci on f A minusrarr
Si la funci on f es estrictamente decreciente sobre A
entonces f es una funciacute on inyectiva y su funciacute on inversa f lowast tambien es estrictamente decreciente sobre Ran(f )
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La derivada de una funcion real de variable real
Y Y
X X
f
f
f
f
Teorema 27 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr
Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩
con f
prime
(x) gt 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es estrictamente creciente sobre [a b]
Teorema 28 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩
con f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es estrictamente decreciente sobre [a b]
X X
a
a b
b
Observaciones
1 Del teorema 27 si la pendiente de todas las rectas tangente a la grafica de la funcion sobre ⟨a b⟩ es positiva
entonces la funcion es estrictamente creciente sobre [a b]
2 Del teorema 28 si la pendiente de todas las rectas tangente a la grafica de la funcion sobre ⟨a b⟩ es negativa
entonces la funcion es estrictamente decreciente sobre [a b]
Teorema 29 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr
Si la funcion f es continua sobre [a b] y es inyectiva en [a b]
entonces f es estrictamente creciente o estrictamente decreciente sobre [a b] pero no ambos
X X
a
a b
b
f ab
ab
es continua e inyectiva sobre [ ]en este caso es creciente sobre [ ]
f ab
ab
es continua e inyectiva sobre [ ]en este caso es decreciente sobre [ ]
f f
Teorema 210 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funciacute on f es continua y estrictamente creciente sobre
[a b] entonces Ran(f ) =1048667
f (a) f (b)1048669
y su funciacute on inversa f lowast 1048667
f (a) f (b)1048669 minusrarr
es tambien continua y
estrictamente creciente sobre [a b]
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La derivada de una funcion real de variable real
Teorema 211 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funcion f es continua y estrictamente decreciente sobre
[a b] entonces Ran(f ) =1048667
f (b) f (a)1048669
y su funciacute on inversa f lowast 1048667
f (b) f (a)1048669 minusrarr
es tambien continua y
estrictamente decreciente sobre [a b]
Teorema 212 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre
⟨a b⟩ con f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es no decreciente sobre [a b]
Teorema 213 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre
⟨a b⟩ con f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es no creciente sobre [a b]
Teorema 214 (de la funcion constante) Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre
[a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩ con f prime(x) = 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es constante sobre [a b] es decir
existe una constante C tal que f (x) = C para todo [a b]
Teorema 215 (de la diferencia constante) Sean las funciones f [a b] minusrarr
y f [a b] minusrarr
Si las
funciones f y g son continuas sobre [a b] y es derivables sobre ⟨a b⟩ con f prime(x) = g prime(x) para todo x isin ⟨a b⟩entonces existe una constante C tal que f (x) = g(x) + C para todo [a b]
Definicion 29 (Punto crıtico) Sean I un intervalo de
x0 un punto de I y la funciacute on f I minusrarr
El
punto x0 es un punto crıtico de la funciacute on f I minusrarr si x0 satisface alguna de las siguientes condiciones
a) f prime(x0) = 0 o b) f prime(x0) = 0 no existe o c) f tiene un extremo en x0
Observaciones
1 Si x0 es un punto crıtico de la funcion f no podemos concluir con certeza una de las condiciones mencionadas
2 Si x0 es un punto crıtico de la funcion f y f prime(x0) = 0 no podemos concluir con certeza que f tiene un
extremo en dicho punto
Por ejemplo sea la funcion f [1 3] minusrarr definida
por f (x) = (x minus 2)3 cuya funcion derivada es
f prime ⟨1 3⟩ minusrarr
983087 f prime(x) = 3(x minus 2)2
En x0 = 2 tenemos f prime(x0) = 0 pero f no tiene
maximo ni mınimo en 2 f tiene un mınimo en 1
y un maximo en 3 por tanto 1 2 y 3 son puntos
crıticos de f
Y
X
1
2
Ejercicio 7 Hal le los puntos crıticos de las siguientes funciones
1 f
minusrarr que estacute a definida por
f (x) = 1
4(x4 minus 6x2 + 8x) + 5
2 f
minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = 3
radic (x + 4)2(x minus 5)
3 f
minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = 5x23 minus x53
4 f
minusrarr
que estacute a definida por f (x) = x + 1
x2 + 1
5 f
minus 1 minusrarr que estacute a definida por
f (x) = x3 minus 2
(x minus 1)2
6 f
minusrarr
que estacute a definida por f (x) = x2 + 3radic
x2 + 1
7 f [minusπ2
π2
] minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = sin2 x minus |x|
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7242019 La derivada de una funci on real de variable real
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La derivada de una funcion real de variable real
231 Criterio de la primera derivada para extremos de una funcion
Aquı presentamos un criterio que nos ayuda a determinar si un punto crıtico es aquel en donde una funcion
alcanza su valor maximo o mınimo
Teorema 216 (Criterio de la primera derivada) Sean la funciacute on f A minusrarr
el intervalo [a b] contenido
en A y x0
isin ⟨a b
⟩ un punto crıtico de f
1 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f tiene un macute aximo en el punto x0
2 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f tiene un mınimo en el punto x0
3 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) gt 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) gt 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f no tiene macute aximo ni mınimo en el punto x0
4 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f no tiene macute aximo ni mınimo en el punto x0
X X
a bx 0a bx 0
f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0lt gt f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0gt lt
f
f
f tiene un maacuteximo en x 0 f tiene un miacutenimo en x 0
X X a bx 0a bx 0
f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0lt lt f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0gt gt
f f
f no tiene un extremo en x 0 f no tiene un extremo en x 0
Observaciones
1 Al ser x0 un punto crıtico de f el criterio de la primera derivada no garantiza que exista f prime(x0)
2 El criterio de la primera derivada requiere que f sea derivable en ⟨a x0⟩ cup ⟨x0 b⟩ mas no en x0
3 Un metodo que nos permite hallar puntos crıticos de la funcion f en [a b] es resolver la ecuacion f prime(x) = 0
sujeta a la condicion x isin ⟨a b⟩ pero tal metodo solo nos proporciona todos los puntos crıticos de f que
cumple la primera condicion dada en la definicion 29
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La derivada de una funcion real de variable real
4 Los graficos anteriores presentan al punto crıtico x0 de f en el cual existe f prime(x0) y es igual a cero es mas
en los dos primeros graficos la recta tangente en el punto (x0 f (x0)) es horizontal iquestCual es el aspecto de
la grafica de f si es que no existiera f prime(x0)
5 Sea x0 isin ⟨a b⟩ un punto crıtico de la funcion f Al utilizar el criterio de la primera derivada para averiguar
si f tiene maximo o mınimo en x0 es necesario resolver las inecuaciones f prime(x) lt 0 y f prime(x) gt 0 sujetas
a la restriccion x isin ⟨a b⟩ tales procesos son sencillos para algunas funciones pero existen funciones paralos cuales tales resoluciones son complicadas y ahı el criterio de la primera derivada no es recomendable
utilizarlo pero tal deficiencia se supera utilizando otro criterio para determinar extremo de una funcion
6 El criterio de la primera derivada tambien es aplicable cuando en lugar del intervalo ⟨a b⟩ se considera a
otros tipos de intervalos abiertos si es que estan contenidos en el dominio de la funcion
Por ejemplo para la funcion f
minusrarr
definida por f (x) = x2 su unico punto crıtico es x0 = 0 f prime(x) lt 0
para todo x lt 0 y f prime(x) gt 0 para todo x gt 0 por tanto f tiene un mınimo en 0 y su valor mınimo es
f (0) = 0
232 Criterio de la segunda derivada para extremos de una funcion
Aquı presentamos otro criterio que nos ayuda a determinar si un punto crıtico es aquel en donde una funcion
alcanza su valor maximo o mınimo este metodo requiere la existencia de la segunda de la funcion en su punto
crıtico
Teorema 217 (Criterio de la segunda derivada) Sean la funciacute on f A minusrarr
el intervalo [a b] contenido
en A y x0 isin ⟨a b⟩ un punto crıtico de f para el cual f primeprime(x0) existe
1 Si la funciacute on f es derivable en ⟨a b⟩ f prime(x0) = 0 y f primeprime(x0) lt 0 entonces f tiene un macute aximo en el punto x0
2 Si la funciacute on f es derivable en
⟨a b
⟩ f prime(x0) = 0 y f primeprime(x0) gt 0 entonces f tiene un mınimo en el punto x0
X X
a bx 0a bx 0
f a b f f es derivable en ( ) 0 ( ) 0 x x 0 0= lt f a b f f es derivable en ( ) 0 ( ) 0 x x 0 0= gt
f
f
f tiene un maacuteximo en x 0 f tiene un miacutenimo en x 0
Observaciones
1 Los graficos anteriores presentan al punto crıtico x0 de f en el cual existe f primeprime(x0) y es diferente a cero
2 El criterio de la segunda derivada tambien es aplicable cuando en lugar del intervalo ⟨a b⟩ se considera a
otros tipos de intervalos abiertos si es que estan contenidos en el dominio de la funcion
Por ejemplo para la funcion f
minusrarr
definida por f (x) = x2 su unico punto crıtico es x0 = 0 y
f primeprime(0) = 2 gt 0 por tanto f tiene un mınimo en 0 y su valor mınimo es f (0) = 0
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La derivada de una funcion real de variable real
24 Concavidad y puntos de inflexion
25 La regla de Lrsquo Hospital
3 Aplicaciones de la derivada
31 Trazado de grafica de funciones
32 Derivadas parametricas
321 Regla de la cadena
33 Diferencial de una funcion
34 Razon de cambio
Indice
1 La derivada 111 Derivadas laterales 4
12 Derivacion y continuidad 5
13 Derivadas de orden superior 7
131 Notacion de derivadas 7
132 El operador d
dx 8
133 La segunda derivada 10
134 Derivada de ordenes mayores a dos 10
135 Notacion de derivadas de ordenes superiores 11
14 Derivadas implıcitas 12
141 Ecuaciones diferenciales ordinarias de lugares geometricos 13
15 Funciones derivables 18
151 Funciones derivables en un intervalo 18
152 Funciones de clase C k 19
153 Funciones no derivables 19
2 Teoremas sobre funciones derivables 21
21 Extremos relativos de una funcion 21
22 El teorema del valor medio 24
23 Funciones crecientes y decrecientes 26
231 Criterio de la primera derivada para extremos de una funcion 29
232 Criterio de la segunda derivada para extremos de una funcion 30
24 Concavidad y puntos de inflexion 31
25 La regla de Lrsquo Hospital 31
3 Aplicaciones de la derivada 31
31 Trazado de grafica de funciones 31
32 Derivadas parametricas 31
321 Regla de la cadena 31
33 Diferencial de una funcion 31
34 Razon de cambio 31
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La derivada de una funcion real de variable real
4 Si U solo depende de x entonces d
dy[U ] = 0
d
dx[U ] = U prime(x)
d
dt[U ] = 0 y
d
dz[U ] = 0
133 La segunda derivada
Definicion 17 Sea f una funciacute on derivable en a la segunda derivada de f en a es
f primeprime
(a) = lımxrarra
f prime(x)
minusf prime(a)
x minus a = lımhrarr0
f prime(a + h)
minusf prime(a)
h
si es que dicho l ımite existe La funciacute on segunda derivada de f denotada por f primeprime es definida por
f primeprime(x) = lımhrarr0
f prime(x + h) minus f prime(x)
h
Observaciones
1 La segunda derivada de f en un punto es la derivada de f prime en dicho punto
2 El dominio de f primeprime esta formado por todos los puntos ldquoxrdquo del dominio de f para los cuales existe f primeprime(x)
3 Los dominios de f f prime y f primeprime no siempre coinciden generalmente se tiene
Dom(f primeprime) sub Dom (f prime) sub Dom (f )
4 Si existe f primeprime(a) diremos que f es dos veces derivable en a
5 Si f no es derivable en a entonces no es dos veces derivable en a
6 Si f es dos veces derivable en a entonces es derivable en a
7 Si f es derivable en a no siempre es dos veces derivable en a
8 Si f es dos veces derivable en a entonces es continua en a
Ejemplo 17
1 Sea f [0 +infin⟩ minusrarr una funcion definida por f (x) =
radic x La funcion derivada de f sera f prime ⟨0 +infin⟩ minusrarr
cuya regla de correspondencia es f prime(x) = 1
2radic
x mientras que la funcion segunda derivada de f sera f primeprime
⟨0 +infin⟩ minusrarr
cuya regla de correspondencia es f primeprime(x) = minus1
4radic
x3
En este caso
Dom(f primeprime) sub Dom (f prime) sub Dom (f ) y Dom (f primeprime) = Dom (f prime) = Dom (f )
2 Sea f
minusrarr
una funcion definida por f (x) = x3 + sin x La funcion derivada de f sera f prime
minusrarr
cuya regla de correspondencia es f prime(x) = 3x2 +cos x y la funcion segunda derivada de f sera f primeprime
minusrarr
cuya regla de correspondencia es f primeprime(x) = 6x minus sin x
En este caso
Dom(f primeprime) = Dom(f prime) = Dom(f )
134 Derivada de ordenes mayores a dos
En forma analoga a la definicion 17 definimos la tercera derivada de la funcion f en el punto ldquoardquo por
f primeprimeprime(a) = lımxrarra
f primeprime(x) minus f primeprime(a)
x
minusa
= lımhrarr0
f primeprime(a + h) minus f primeprime(a)
h
si es que el l ımite existe y la funcion tercera derivada de f por
f primeprimeprime(x) = lımhrarr0
f primeprime(x + h) minus f primeprime(x)
h
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La derivada de una funcion real de variable real
La tercera derivada de f en a es la derivada de la segunda derivada de f en a y la funcion tercera derivada de
f es la funcion derivada de la funcion segunda derivada de f es decir f primeprimeprime = (f primeprime)prime
Ası llegarıamos a definir la nminusesima derivada de la funcion f en el punto ldquoardquo por
f (n)(a) = lımxrarr
a
f (nminus1)(x) minus f (nminus1)(a)
x minus a
= lımhrarr
0
f (nminus1)(a + h) minus f (nminus1)(a)
hsi es que el l ımite existe y la funcion nminusesima derivada de f por
f (n)(x) = lımhrarr0
f (nminus1)(x + h) minus f (nminus1)(x)
h
135 Notacion de derivadas de ordenes superiores
Generalizando el operador d
dx para derivadas de ordenes mayores a uno tenemos los siguientes operadores
1 El operador d
dx transforma a f (x) en f prime(x)
2 El operador d2
dx2 transforma a f (x) en f primeprime(x) y d2
dx2 = d
dx
983080 ddx
983081
3 El operador d3
dx3 transforma a f (x) en f primeprimeprime(x) y
d3
dx3 =
d
dx
983080 d2
dx2
983081=
d
dx
1048616 d
dx
983080 d
dx
9830811048617
4 El operador dn
dxn transforma a f (x) en f (n)(x) y
dn
dxn =
d
dx
983080 dnminus1
dxnminus1
983081=
d
dx
1048616 d
dx
983080 dnminus2
dxnminus2
9830811048617
Ejemplo 18 Sea f (x) = x5 + 2x2 entonces
1 d
dx1048667f (x)
1048669=
d
dx[x5 + 2x2] = 5x4 + 4x
2 d2
dx2
1048667f (x)
1048669=
d
dx
983131 d
dx
1048667f (x)
1048669983133=
d
dx[5x4 + 4x] = 20x3 + 4
3 d3
dx3
1048667f (x)
1048669=
d
dx
983131 d2
dx2
1048667f (x)
1048669983133=
d
dx[20x3 + 4] = 60x2
4 d4
dx4
1048667f (x)
1048669=
d
dx
983131 d3
dx3
1048667f (x)
1048669983133=
d
dx[60x2] = 120x
5 d5
dx5
1048667f (x)
1048669=
d
dx
983131 d4
dx4
1048667f (x)
1048669983133=
d
dx[120x] = 120
6
d6
dx61048667
f (x)1048669
=
d
dx983131 d5
dx51048667
f (x)1048669983133
=
d
dx [120] = 0 y
dn
dxn1048667
f (x)1048669
= 0 foralln ge 6
Ejercicio 3 Halle una facute ormula para expresar f (n)(x) si
1 f (x) = ex
2 f (x) = eax
3 f (x) = akx
4 f (x) = 1
(x minus a)k
5 f (x) = 1 minus x
1 + x
6 f (x) = 5x minus 2
x2 minus 4
7 f (x) = sin ax
8 f (x) = cos ax
9 f (x) = ln(a + bx)
10 f (x) = 1
x2 minus 3x + 2
11 f (x) = 8x minus 5
2x2 + x minus 6
12 f (x) = x ex
13 f (x) = 5x minus 1
x2 + x minus 12
14 f (x) = ex sin x
15 f (x) = sin2 x
16 f (x) = xnradic
x
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La derivada de una funcion real de variable real
14 Derivadas implıcitas
Sea F (x y) = C una ecuacion que contiene dos variables si en esta ecuacion no se ha despejado la variable
y diremos que y esta expresado en F (x y) = C de manera implıcita
Sea F U sub
2 minusrarr una funcion y f A sub
minusrarr una funcion cuya regla de correspondencia esta en
la forma implıcita en la ecuacionF (x y) = C donde y = f (x)
Las derivadas implıcitas permiten hallar f prime(x) sin necesidad de conocer la regla de correspondencia de f es
mas podemos hallar las derivadas de orden superior de f
Ejemplo 19 Si ldquo yrdquo es una expresiacute on que depende de ldquo xrdquo halle dy
dx
1 e5y = sin(x + y)
e5y = sin(x + y) minusrarr d
dx[e5y] =
d
dx[sin(x + y)]
minusrarr e5y ddx
[5y] = cos(x + y) ddx
[x + y]
minusrarr e5y middot 5 middot dy
dx = cos(x + y)(1 +
dy
dx)
minusrarr 5e5y middot dy
dx = cos(x + y)(1 +
dy
dx)
there4dy
dx =
cos(x + y)
5e5y minus cos(x + y)
2 x = ln(x3 + y)
x = ln(x3 + y) minusrarr
d
dx[x] =
d
dx1048667 ln(x3 + y)1048669
minusrarr 1 = 1
x3 + y middot d
dx[x3 + y]
minusrarr 1 = 1
x3 + y middot (3x2 +
dy
dx)
minusrarr dy
dx = x3 minus 3x2 + y
Derivando una vez mas respecto de x tenemos d
dx[
dy
dx] =
d
dx[x3 minus 3x2 + y] = 3x2 minus 6x +
dy
dx
=rArr d2y
dx2 = 3x2 minus 6x +
dy
dx = 3x2 minus 6x + x3 minus 3x2 + y = x3 minus 6x + y
there4dydx
= x3 minus 3x2 + y y d2ydx2
= x3 minus 6x + y
3 Halle dy
dx si exp
1048616860698 x +
radic y
x minus radic y
1048617+ ln
860698 x minus radic
y
x +radic
y = 8
4 Halle dy
dx si sin(xy) + cos(xy) = tan(x + y)
5 Halle dy
dx si x minus y = arcsin x minus arcsin y
6 Halle dy
dx
si 860698 y minus radic x
y + radic x + 860698 y +
radic x
y minus radic x =
5
2
7 Halle dy
dx si x2 minus a
radic xy + y2 = a2 a constante
8 Halle d2y
dx2 si x12 + y12 = 2 a constante
9 Halle d2y
dx2 si b2x2 minus a2y2 = a2b2 a b constantes
10 Halle d2y
dx2 si x23 + y23 = a23 a constante
11 Halle d2y
dx2
si 3x2
minus2xy + y2 = a2 a constante
12 En los ejercicios anteriores halle dx
dy si x = x(y)
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La derivada de una funcion real de variable real
141 Ecuaciones diferenciales ordinarias de lugares geometricos
Definicion 18 (Ecuacion diferencial) Una ecuaciacute on diferencial es aquella que contiene una o macute as fun-
ciones de una o macute as variables y algunas de sus derivadas respecto a sus variables independientes
Definicion 19 (Ecuacion diferencial ordinaria) Una ecuaciacute on diferencial ordinaria es aquella que con-
tiene una o macute as funciones de una variable y algunas de sus derivadas respecto a su variable independiente El
orden de esta ecuaciacute on diferencial ordinaria es el de la derivada de mayor orden contenida en ella
Ejemplo 110 La siguientes son ecuaciones diferenciales ordinarias
1 2yprimeprime + xyprime + y = sen x su orden es 2
2 yprimeprimeprime minus 2yprimeprime + 5yprime + y = ln x su orden es 3
3 xyprime + sen x = tan x su orden es 1
4 y(5) + y(4) + yprimeprimeprime + yprimeprime + yprime + y = 0 su orden es 5
5 2yprimeprime + xyprime + y3 = sen x su orden es 2
6 (yprimeprimeprime)2 minus 2(yprimeprime)7 + 5yprime + y = ln x su orden es
7 xyprime + sen x = tan y su orden es 3
8 y(5) + y(4) + yprimeprimeprime + (yprimeprime)4 + yprime + ln y = 0 su orden es 5
9 yy primeprime + x2y = x su orden es 2
Definicion 110 Un lugar geometrico del plano
2 es un conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen una
o macute as ecuaciones del tipo F (x y) = K
Ejemplo 111 La recta la circunferencia la paracute abola la elipse la hiperbola las graficas de funciones son
ejemplos de lugares geometricos
Definicion 111 La ecuaciacute on diferencial ordinaria de un lugar geometrico cuya ecuaciacute on es F (x y) = K es
aquella que se obtiene al derivar esta ecuaciacute on con respecto a una de sus variables
Teorema 18 Si un lugar geometrico cuya ecuaciacute on es F (x y) = K contiene n constantes independiente
entonces su ecuaciacute on diferencial ordinaria tendracute a orden n
Ejemplo 112 Halle la ecuaciacute on diferencial ordinaria de todas las circunferencias con centro el origen de
coordenadas
Solucion La ecuacion de esta familia de circunferencias es x2 + y2 = r2 y contiene una sola constante Al
derivar a ambos miembros respecto a x tenemos 2x + 2yyprime = 0 Por tanto la ecuacion diferencial ordinaria de
estas circunferencias sera
x + yy prime = 0 o yprime = minusy
x
Ejemplo 113 Halle la ecuaciacute on diferencial ordinaria de todas las rectas horizontales
Solucion La ecuacion de esta familia de rectas es y = K y contiene una sola constante Al derivar a ambos
miembros respecto a x tenemos y prime = 0 Por tanto la ecuacion diferencial ordinaria de estas rectas sera
yprime = 0
Ejemplo 114 Halle la ecuaciacute on diferencial ordinaria de todas las rectas con pendiente 2
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La derivada de una funcion real de variable real
Solucion La ecuacion de esta familia de rectas es y = 2x + K y contiene una sola constante Al derivar a
ambos miembros respecto a x tenemos y prime = 2 Por tanto la ecuacion diferencial ordinaria de estas rectas sera
yprime = 2
Ejemplo 115 Halle la ecuaciacute on diferencial ordinaria de todas las rectas que pasan por el origen de coordenadas
Solucion Solo consideraremos a las rectas no verticales que pasan por el origen La ecuaci on de esta familia
de rectas es y = Kx y contiene una sola constante entonces su ecuacion diferencial debe ser de orden uno
Al derivar a ambos miembros respecto a x tenemos yprime = K pero K = y
x Por tanto la ecuacion diferencial
ordinaria de estas rectas sera
yprime = y
x si x = 0 yprime = 0 si y = 0
Ejemplo 116 En los siguientes ejemplos dada una funciacute on obtener la ecuaciacute on diferencial de la cual es
soluciacute on
1 y = ceminus2x + x
El orden de la ecuacion diferencia buscada es 1 entonces derivando tenemos
yprime
= minus2ceminus
2x + 1 = minus2ceminus
2x + 1 + 2x minus 2x = minus2(ceminus
2x + x) + 1 + 2x = minus2y + 1 + 2x
there4dy
dx = 1 minus 2(y minus x) es la ecuacion diferencial buscada
2 y = C 1 sen 4x + C 2 cos 4x + x
El orden de la ecuacion diferencia buscada es 2 entonces derivando tenemos
yprime = 4C 1 cos 4x minus 4C 2 sen 4x + 1 yprimeprime = minus16C 1 sen 4x minus 16C 2 cos 4x
yprimeprime = minus16(C 1 sen 4x + C 2 cos 4x) = minus16(y minus x)
there4 yprimeprime + 16y minus 16x = 0 es la ecuacion diferencial buscada
3 y = ax3 + bx2 + cx
El orden de la ecuacion diferencia buscada es 3 entonces derivando tenemos
yprime = 3ax2 + 2bx + c yprimeprime = 6ax + 2b yprimeprimeprime = 6a Reemplazando en la ecuacion a b y c
y = yprimeprimeprime
6 x3 +
1
2
983080yprimeprime minus yprimeprimeprimex
983081x2 +
983080yprime minus yprimeprime
2 minus yprimeprimeprimex
983081x
there4 11x3yprimeprimeprime minus 3x2yprimeprime + 6xyprime + 6y = 0 es la ecuacion diferencial buscada
4 Hallar la ecuacion diferencial de la familia de circunferencias de radio 1 con centro en la recta bisectriz del
primer y tercer cuadrante
Solucion
x
y
y = x
h
h1
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La derivada de una funcion real de variable real
La ecuacion de la familia de circunferencias es (x minus h)2 + (y minus h)2 = 1 en ella solo figura una constante
entonces el orden de la ecuacion diferencia buscada es 1
Derivando respecto a x tenemos 2(x minus h) + 2(y minus h)yprime = 0 =rArr x minus h + yy prime minus hyprime = 0
=rArr h(1 + yprime) = x + yy prime =rArr h = x + yy prime
yprime + 1
Reemplazando en la ecuacion de las circunferencias
1048616x minus
x + yy prime
yprime + 110486172
+1048616
y minus x + yy prime
yprime + 110486172
= 1
=rArr (x(yprime + 1) minus x minus yy prime
8520092+(
yy prime + y minus x minus yy prime8520092
= (yprime + 1)2
=rArr (xyprime minus yy prime
8520092+(
y minus x8520092
= (yprime + 1)2
=rArr (yprime)2(x minus y)2 + (x minus y)2 = (yprime + 1)2
=rArr (x minus y)2(
(yprime)2 + 1852009
= (yprime + 1)2 es la ecuacion diferencial buscada
5 Formular la ecuacion diferencial que representa a todas las tangentes no verticales de la par abola y2 = 2x
Solucion
x
y
a
b
L
y = 2 x 2
La ecuacion de la recta tangente L a la parabola en el punto (a b) es
L y minus b = m(x minus a) Hallando la pendiente m derivando L y prime = m Por otro lado derivando la ecuacion
de la parabola tenemos 2yyprime = 2 =rArr y prime = 1
y cuyo significado es y prime(x) =
1
y(x) para x gt 0
En el punto (a b) de la parabola se tiene yprime(a) = 1
y(a) =
1
b = m Ademas como (a b) es un punto de la
parabola se tiene b2 = 2a =rArr a = b2
2 Luego en la ecuacion de la tangente
y minus b = 1b
1048616x minus b
2
2
1048617 =rArr yb minus b2 = x minus b
2
2
=rArr y = x
b +
b
2 pero b =
1
yprime
=rArr y = xy prime + 1
2yprime
=rArr 2y(yprime)2 minus 2xyprime + 1 = 0 es la ecuacion diferencial buscada
6 y2 = 4ax
Primero tenemos a = y2
4x el cual se utilizara luego Derivando la ecuacion original tenemos 2yyprime = 4a
=rArr 2yyprime
= 41048616 y2
4x1048617
= y2
x =rArr 2xyyprime
= y2 =rArr 2xyprime
= y si y = 0 =rArr 2x dy
dx minus y = 0
Por lo tanto 2x dy
dx minus y = 0 es la ecuacion diferencial buscada
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La derivada de una funcion real de variable real
7 y = C 1 sen 4x + C 2 cos 4x + x
Solucion
yprime = 4C 1 cos 4x minus 4C 2 sen 4x + 1 yprimeprime = minus16C 1 sen 4x minus 16C 2 cos 4x de la segunda derivada tenemos
minusyprimeprime
16 = C 1 sen 4x + C 2 cos 4x = y minus x luego minus(16)minus1yprimeprime = y minus x =rArr minusyprimeprime = 16y minus 16x
Por lo tanto yprimeprime = 16(xminus
y) es ecuacion diferencial buscada
8 I = teminust + eminust + 2sen 3t
Solucion En esta parte I es una funcion que depende de t y las derivadas seran respecto a t
I prime = eminust minus teminust minus eminust + 6cos 6t Pero teminust + eminust = I minus 2sen3t
=rArr I prime = eminust minus I + 2sen 3t + 6cos 3t =rArr I primeprime = minuseminust minus I prime minus 6cos3t minus 18sen3t
sumando las dos ultimas ecuaciones I prime + I primeprime = minusI minus I prime minus 16sen3t de donde I primeprime + 2I prime + I = minus16sen3t
9 x2 minus ay2 = 1
Solucion
Derivando 2x minus 2ay dy
dx = 0 =rArr y prime =
dy
dx =
minus2x
minus2ay
=rArr a = x
yy prime reemplazando en la ecuacion original
x2 minus x
yyprimey2 = 1 =rArr x2yyprime minus yyprime minus xy2 = 0
=rArr (x2 minus 1)yprime = xy
=rArr yprime = xy
x2 + 1 es la ecuacion diferencial buscada
10 x2 + y2 minus cx = 0
Derivando 2x + 2yyprime = c
Reemplazando en la ecuacion original x2 + y2 minus (2x + 2yy prime)x = 0
=
rArr yprime =
x2 minus y2
2xy
es la ecuacion diferencial buscada
11 Hallar la ecuacion diferencial de cada uno de las siguientes familias de curvas
a) y = x sen(x + c) Rta (xyprime minus y)2 = x2(x2 minus y2)
b) Todos los cırculos que pasan por (1 0) y (minus1 0) Rta 2xy = (x2 minus y2 minus 1)yprime
c) Todos los cırculos con centro en la recta y = x que son tangentes a ambos ejes
Rta (x minus y)2(1 + yprime)2 = (x + yy prime)2
d) Todas las rectas tangentes a la parabola x2 = 4y
Sugerencia La pendiente de la recta tangente en (2a a2) es a Rta y + yprime = xy prime
e) Todas las rectas tangentes al cırculo unidad x2
+ y2
= 1 Rta (y minus xyprime
)2
= 1 minus (yprime
)2
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La derivada de una funcion real de variable real
Definicion 112 Sea la ecuaciacute on diferencial ordinaria lineal de orden n
any(n) + middot middot middot + a2y primeprime + a1y prime + a0 = b
La funciacute on f A minusrarr
es una de sus soluciones si para todo x isin A
anf (n)(x) + middot middot middot + a2f primeprime(x) + a1f prime(x) + a0 = b
Ejercicio 4 Demuestre que la funciacute on f
minusrarr definida por f (x) = sin x es una soluciacute on de la ecuaciacute on
diferencial y primeprime + y = 0
Solucion Lo unico que debemos hacer es derivar a f dos veces y sumar los resultados
f (x) = sin x minusrarr f prime(x) = cos x minusrarr f primeprime(x) = minus sin x sumando f primeprime(x) + f (x) = 0 por lo tanto f
es una solucion de la ecuacion diferencial y primeprime + y = 0
Ejercicio 5 Demuestre que la funciacute on f
minusrarr
definida por f (x) = 8ex+xex es una soluciacute on de la ecuaciacute on
diferencial yprimeprime minus 2yprime + y = 0
Solucion Derivemos a f hasta dos veces y reemplacemos en el primer miembro de la ecuacion diferencial Siresulta cero tal reemplazo entonces la funcion f es una solucion de tal ecuacion diferencial
f (x) = 8ex + xex =rArr f prime(x) = [8ex] prime + [xex] prime = 8ex + [x]primeex + x[ex] prime = 8ex + ex + xex = 9ex + xex
=rArr f primeprime(x) = [9ex] prime + [xex] prime = 9ex + [x]primeex + x[ex] prime = 9ex + ex + xex = 10ex + xex
Reemplazemos en el primer miembro de la ecuacion diferencial
f primeprime(x) minus 2f prime(x) + f (x) =1048667
10ex + xex1048669minus 2
10486679ex + xex
1048669+1048667
8ex + xex1048669
= 10ex + xex minus 18ex minus 2xex + 8ex + xex
= [10
minus18 + 8]ex + [1
minus2 + 1]xex
= 0
Dado que resulta f primeprime(x)minus2f prime(x)+f (x) = 0 entonces f (x) = 8ex+xex es una solucion de la ecuacion diferencial
ordinaria y primeprime minus 2yprime + y = 0
Ejercicio 6 Demuestre o descarte las siguientes afirmaciones
1 x + y2 = K describe la soluciacute on general de las ecuaciones diferenciales dy
dx = minus 1
2y 2yyprime + 1 = 0
2 y = K ex es la soluciacute on general de la ecuaciacute on diferencial yprime minus y = 0
3 y = sin x
x
es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial xyprime + y = cos x
4 y = 1
cos x es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial yprime minus y tan x = 0
5 y = 2xradic
1 minus x2 es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial yy prime = 4x minus 8x3
6 y = x
cos x es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial xyprime minus y = x2 tan x sec x
7 y = ex(x + 1) es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial yprimeprime minus 2yprime + y = 0
8 y = ln(x + c) + 2 es la soluciacute on general de la ecuaciacute on diferencial yprimeeyminus2 minus 1 = 0
9 y = sen3 x es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial yprimeprime + (tan x minus 2cot x)yprime = 0
10 y = arcsin(xy) describe una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial xyprime + y = yradic
1 minus x2y2
11 y = c1eminusx + c2ex + c3eminus2x + c4e2x es soluciacute on general de la ecuaciacute on diferencial y(iv) minus 5yprimeprime + 4y = 0
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La derivada de una funcion real de variable real
15 Funciones derivables
151 Funciones derivables en un intervalo
Sin ser redundantes presentamos a los intervalos de
1 [a b] = x isin
a le x le b
2 ⟨a b⟩ = x isin
a lt x lt b
3 ⟨a b] = x isin
a lt x le b
4 [a b⟩ = x isin
a le x lt b
5 ⟨minusinfin b⟩ = x isin 1048623x lt b
6 ⟨minusinfin b] = x isin
1048623x le b
7 ⟨a +infin⟩ = x isin
1048623a lt x
8 [a +infin⟩ = x isin
1048623a le x
9 ⟨minusinfin +infin⟩ =
y
10 [a a] = a
Los cuatro primeros y el ultimo son los intervalos limitados los cinco siguientes son intervalos ilimitados el
ultimo se denomina un intervalo degenerado desde el segundo hasta el cuarto intervalo a lt b
Definicion 113 Sea la funciacute on f I minusrarr donde I es un intervalo de
1 La funciacute on f ⟨a b⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨a b⟩ si lo es en cada punto de ⟨a b⟩
2 La funciacute on f ⟨minusinfin b⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨minusinfin b⟩ si lo es en cada punto de ⟨minusinfin b⟩
3 La funciacute on f ⟨a +infin⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨a +infin⟩ si lo es en cada punto de ⟨a +infin⟩
4 La funciacute on f [a b⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo [a b⟩ si existe un intervalo abierto del tipo ⟨ p q ⟩ que
contiene a [a b⟩ tal que f sea derivable sobre ⟨ p q ⟩
5 La funciacute on f ⟨a b] minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨a b] si existe un intervalo abierto del tipo ⟨ p q ⟩ que
contiene a ⟨a b] tal que f sea derivable sobre ⟨ p q ⟩
6 La funciacute on f [a +infin⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo [a +infin⟩ si existe un intervalo abierto del tipo⟨ p +infin⟩ que contiene a [a +infin⟩ tal que f sea derivable sobre ⟨ p +infin⟩
7 La funciacute on f ⟨minusinfin b] minusrarr es derivable en el intervalo ⟨minusinfin b] si existe un intervalo abierto del tipo
⟨minusinfin q ⟩ que contiene a ⟨minusinfin b] tal que f sea derivable sobre ⟨minusinfin q ⟩
8 La funcion f [a b] minusrarr es derivable en el intervalo [a b] si existe un intervalo abierto del tipo ⟨ p q ⟩ que
contiene a [a b] tal que f sea derivable sobre ⟨ p q ⟩
Observaciones
1 La funcion f [a b
⟩ minusrarr es derivable en el intervalo [a b
⟩ si y solo si es derivable en cada punto de
⟨a b
⟩y existe f prime+(a)
2 La funcion f [a +infin⟩ minusrarr es derivable en el intervalo [a +infin⟩ si y solo si es derivable en cada punto de
⟨a +infin⟩ y existe f prime+(a)
3 La funcion f ⟨a b] minusrarr es derivable en el intervalo ⟨a b] si y solo si es derivable en cada punto de ⟨a b⟩
y existe f primeminus
(b)
4 La funcion f ⟨minusinfin b] minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨minusinfin b] si y solo si es derivable en cada punto de
⟨minusinfin b⟩ y existe f primeminus
(b)
5 La funcion f [a b] minusrarr
es derivable en el intervalo [a b] si y solo si es derivable en cada punto de ⟨a b⟩y existen f prime+(a) y f prime
minus(b)
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La derivada de una funcion real de variable real
6 Sea I un intervalo abierto Si la funcion f I minusrarr es derivable su funcion derivada f prime I minusrarr tendra el
mismo dominio que f
7 Sea I un intervalo abierto Si la funcion f I minusrarr
es k veces derivable su funcion kndashesima derivada
f (k) I minusrarr
tendra el mismo dominio que f
8 Sea I un intervalo no abierto Si la funcion f I minusrarr
es derivable su funcion derivada f prime J minusrarr
tendra como dominio al interior de I
152 Funciones de clase C k
Sea I un intervalo de
Si la funcion f I minusrarr
es derivable en I entonces es continua en I pero
posiblemente la funcion derivada f prime J minusrarr
no sea continua en I J = int (I )
Definicion 114 Sea I un intervalo de Si la funcion f I minusrarr es continua en I diremos que ldquo f rdquo es una
funciacute on de clase cero C 0 sobre I
⋆ Si ldquof rdquo es una funcion de clase C 0 sobre I lo denotamos por f
isin C 0(I )
Definicion 115 Sea I un intervalo abierto de
Si la funciacute on f I minusrarr
es derivable en I y la funciacute on
f prime I minusrarr es continua en I diremos que f es continuamente derivable en I o simplemente la funciacute on ldquo f rdquo es
de clase C 1 sobre I
⋆ Si ldquof rdquo es una funcion de clase C 1 sobre I lo denotamos por f isin C 1(I )
Definicion 116 Sea I un intervalo abierto de
La funcion f I minusrarr
es de clase C k sobre el intervalo I
si es k veces derivable sobre I y la funciacute on f (k) I minusrarr
es continua en I
⋆ Si ldquof rdquo es una funcion de clase C k sobre I lo denotamos por f
isin C k(I )
Definicion 117 Sea I un intervalo abierto de La funciacute on f I minusrarr es de clase C infin sobre el intervalo I
si existe f (n) para todo n isin 0 1 2 middot middot middot
⋆ Si ldquof rdquo es una funcion de clase C infin sobre I lo denotamos por f isin C infin(I )
Ejemplo 117
1 La funcion f
minusrarr
definida por f (x) = ex es de clase C infin sobre
Con la notaciones presentadas
tenemos la pertenencia f isin C infin(
)
2 La funcion f minusrarr
definida por f (x) = p(x) donde p(x) es un polinomio es de clase C infin
sobre
Conla notaciones presentadas tenemos la pertenencia f isin C infin( )
3 La funcion f [0 +infin⟩ minusrarr definida por f (x) =
radic x es de clase C infin sobre ⟨0 +infin⟩ Con la notaciones
presentadas tenemos la pertenencia f isin C infin983080
[0 +infin⟩983081
153 Funciones no derivables
Sea f una funcion cuyo dominio sea el conjunto A sub
Si f es derivable en el punto a isin A entonces la
grafica de f en su punto (a f (a)) tiene una unica recta tangente La idea de recta tangente en este caso no es
la misma que usted tiene a cerca de una recta tangente a una circunferencia en donde ellos tienen un unico
punto en comun es decir si la recta L es tangente a la circunferencia C entonces L y C tienen un unico punto
en comun llamado punto de tangencia Mientras que si L es una recta tangente a la grafica de la funcion f
es posible que ellos tengan otro punto en comun a parte del punto de tangencia la idea de tangencia que se
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La derivada de una funcion real de variable real
expone es local y no global en el sentido de que si L es una recta tangente a la grafica de la funcion f el punto
de tangencia es unico cerca de el especıficamente La recta L es una tangente a la grafica de la funcion f en su
punto (a f (a)) si existe un cırculo de centro (a f (a)) dentro del cual L y la grafica de la funcion f tienen un
unico punto en comun y los puntos de la grafica de f que pertenecen al cırculo estan a un solo lado de L Y si
ademas la funcion f es derivable en a la pendiente de L es f prime(a)
X
Y
L L L
y f x ( )=a
X
Y
L L L
y f x ( )=a
Si una funcion f es continua en un punto a no siempre sera derivable en dicho punto existe la posibilidad de
que lo sea como tambien que no como por ejemplo
La funcion f ⟨0 2⟩ minusrarr
definida por f (x) =
983163 2x si 0 lt x lt 1
2 si 1 le x lt 2es continua en el punto a = 1 pero
no es derivable en dicho punto pues no existe f prime(1) La existencia de la derivada f prime(1) implica que la grafica
de la funcion f tiene una unica recta tangente en el punto (1 f (1)) la no existencia de f prime(1) implica que la
grafica de la funcion f tiene una varias rectas en ese punto o no en este ejemplo como veremos gr aficamente
la funcion f posee varia rectas tangentes en su punto (1 f (1))
X
Y
y f x ( )=
1 2
X
Y
L L L
y x 2=
y x 3=
1
2
3
Grafico de f (x) =983163 2x si 0 lt x lt 1
2 si 1 le x lt 2 Grafico de f (x) =
x2 si
minus1 lt x lt 1
2x3
3 si 1 le x lt 2
Si una funcion f es derivable en un punto a entonces por el teorema 17 sera continua en dicho punto por
ejemplo la funcion f ⟨0 2⟩ minusrarr
f (x) =
x2 si minus1 lt x lt 1
2x3
3 si 1 le x lt 2
es derivable en a = 1 mas aun es
continua en dicho punto Es mas la grafica de f tiene una unica recta tangente en su punto (1 f (1))
De acuerdo al teorema 16 una funcion es no derivable en el punto ldquoardquo si f primeminus
(a) = f prime+(a) o una de la
derivadas laterales f primeminus
(a) f prime+(a) no existe Y de acuerdo al teorema 17 si f no es continua en el punto ldquoardquo
entonces no es derivable en ese punto
Los siguientes son ejemplos graficos de funciones no derivables en un punto
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La derivada de una funcion real de variable real
X X
Y Y
a a b
y f x = ( ) y f x = ( )
f a f a bno es derivable en no es derivable en y
f a
f b
es derivable en por derecha
es derivable en por izquierda
2 Teoremas sobre funciones derivables
21 Extremos relativos de una funcion
Definicion 21 Sean empty = X sub
y m isin
Diremos que ldquo mrdquo es el mınimo del conjunto X si m isin X y m le x
para todo x isin X
Definicion 22 Sean empty = X sub
y M isin
Diremos que ldquo M rdquo es el macute aximo del conjunto X si M isin X y
M ge x para todo x isin X
Observaciones
1 No todo subconjunto no vacıo de
posee maximo yo mınimo
2 Si un subconjunto no vacıo de
posee maximo yo mınimo este es unico y ademas es uno de los elementos
del conjunto
3 Si ldquomrdquo es el mınimo del conjunto X entonces lo denotamos por m = mın X
4 Si ldquoM rdquo es el maximo del conjunto X entonces lo denotamos por M = max X
5 Si m = mın X y M = max X entonces m le M y ademas m le x le M para todo x isin X
Ejemplo 21
1 El conjunto de los numeros naturales posee mınimo y es 1 es decir 1 = mın pero no posee maximo
2 El conjunto
el de los numeros enteros no posee ni maximo ni mınimo El conjunto
el de los numeros
racionales no posee ni maximo ni mınimo
3 Veamos algunos intervalos
a) Los intervalos ⟨a b⟩ ⟨a b] ⟨a +infin⟩ no poseen mınimo
b) Los intervalos ⟨a b⟩ [a b⟩ ⟨minusinfin b⟩ no poseen maximo
c) a = mın[a b] a = mın[a b⟩ a = mın[a +infin⟩
d) b = max[a b] b = max⟨a b] b = max⟨minusinfin b]
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La derivada de una funcion real de variable real
Definicion 23 Sean empty = A sub f A minusrarr una funciacute on y x0 isin A
1 La funciacute on ldquo f rdquo tiene un mınimo absoluto en x0 si f (x0) le f (x) para todo x isin A
2 La funciacute on ldquo f rdquo tiene un macute aximo absoluto en x0 si f (x) le f (x0) para todo x isin A
3 La funci on ldquo f rdquo tiene un mınimo relativo en x0 si existe un δ gt 0 tal que f (x0) le f (x) para todo
x isin A cap ⟨x0 minus δ x0 + δ ⟩
4 La funci on ldquo f rdquo tiene un macute aximo relativo en x0 si existe un δ gt 0 tal que f (x) le f (x0) para todo
x isin A cap ⟨x0 minus δ x0 + δ ⟩
Observaciones Sean empty = A sub
f A minusrarr
una funcion y x0 isin A
1 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo relativo en x0 diremos tambien que f tiene un mınimo local en x0
2 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo relativo en x0 diremos tambien que f tiene un maximo local en x0
3 La funcion ldquof rdquo tiene un extremo absoluto en x0 si tiene un mınimo o maximo absoluto en dicho punto
4 La funcion ldquof rdquo tiene un extremo relativo en x0 si tiene un mınimo o maximo relativo en dicho punto
5 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo absoluto en x0 entonces f (x0) es el mınimo del rango de la funcion es
decir
f (x0) = mın Ran (f )
Al numero f (x0) lo denominaremos el valor mınimo de f en su dominio
6 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo absoluto en x0 entonces f (x0) es el maximo del rango de la funcion es
decir
f (x0) = max Ran (f )
Al numero f (x0) lo denominaremos el valor maximo de f en su dominio
7 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo relativo en x0 entonces f no siempre tendra un mınimo absoluto en x0
Una funcion puede poseer un mınimo relativo sin tener un mınimo absoluto
8 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo relativo en x0 entonces f no siempre tendra un maximo absoluto en
x0 Una funcion puede poseer un maximo relativo sin tener un maximo absoluto
9 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo absoluto en x0 entonces f tiene un mınimo relativo en dicho punto Lo
contrario no siempre es cierto
En la figura la funcion f minusrarr tiene maximo
relativo en x = 0 pero no posee maximo absolutoen su dominio
En la figura la funcion g minusrarr tiene mınimo
relativo en x = 0 pero no posee mınimo absolutoen su dominio
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La derivada de una funcion real de variable real
10 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo absoluto en x0 entonces f tiene un maximo relativo en dicho punto Lo
contrario no siempre es cierto
11 Una funcion puede tener extremos absolutos en mas de un punto vea el siguiente grafico
En la figura la funcion f
minusrarr
tiene mınimo
absoluto en dos puntos diferentes
En la figura la funcion g
minusrarr
tiene maximo
absoluto en dos puntos diferentes
12 La funcion ldquof rdquo tiene un extremo en el punto x0 si tiene un maximo o mınimo absoluto o relativo en dicho
punto
Y Y
X X
figura (a) figura (b)
x x x x 0 1 2 3 4 5 6x x x x x x x x x x 0 1 2 3 4 5 6
y f x = ( )
y f x = ( )
En la figura (a) Dom(f ) = [x0 x6] la funcion tiene
un mınimo absoluto en el punto x2 y maximo absolu-
to en el punto x5 mientras que tiene mınimo relativo
en los puntos x0 x2 x4 y x6 y maximo relativo en
los puntos x1 x3 y x5
En la figura (b) Dom (f ) = [x0 x6⟩minusx3 la funcion
no tiene mınimo absoluto ni maximo absoluto mien-
tras que tiene mınimo relativo en los puntos x0 x2 y
x4 y maximo relativo en los puntos x1 y x5
Teorema 21 Si la funcion f tiene un extremo en x0 y f prime(x0) existe entonces f prime(x0) = 0
Observaciones
1 Lo contrario no siempre es cierto es decir si f prime(x0) = 0 entonces f no siempre tendra un extremo en x0
Un ejemplo simple es para f (x) = (x minus 2)3 en x0 = 2
2 Si la funcion f tiene un extremo en x0 y f prime
(x0) existe entonces la recta tangente a la grafica de la funcionen el punto
(x0 f (x0)
852009 en horizontal
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La derivada de una funcion real de variable real
3 Si la funcion f tiene un extremo en x0 y f prime(x0) no existe entonces o bien no existe recta tangente a la
grafica de la funcion en el punto(
x0 f (x0)852009
o existen infinitas rectas tangente a la grafica de la funcion en
el punto(
x0 f (x0)852009
pudiendo ser una de ellas una recta vertical
En la figura la funcion f
minusrarr
tiene un extremo
en x = 0 pero f prime(0) no existe ademas la grafica de
esta funcion posee infinitas rectas tangente en el pun-
to(
0 f (0)852009
En la figura la funcion g
minusrarr
tiene extremo en
los puntos x0 x1 existen g prime(x0) g prime(x1) y las rectas
tangente en(
x0 g(x0)852009
y(
x1 g(x1)852009
son horizontales
22 El teorema del valor medio
Teorema 22 (Teorema de Rolle) Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si f es continua en [a b] es derivable en
⟨a b⟩ y f (a) = f (b) entonces existe un c isin ⟨a b⟩ tal que f prime(c) = 0
Observaciones
1 Si la funcion f satisface las hipotesis del teorema de Rolle la existencia del punto c tales que f prime(c) = 0 no
siempre es unica pueden existir otros puntos del intervalo ⟨a b⟩ cuya primera derivada en esos puntos sea
cero
2 La condicion f (a) = f (b) indica que la recta que pasa por los puntos(
a f (a)852009
y(
b f (b)852009
es horizontal El
teorema garantiza la existencia de al menos un punto c isin ⟨a b⟩ tal que la recta tangente a la grafica de la
funcion f el punto(
c f (c)852009
tambien sea horizontal
X X
Y Y
y=f x( )
y=f x( )
figura (a) figura (b)
a c c b1 3 a b
c2
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La derivada de una funcion real de variable real
En la figura (a) la funcion f satisface las hipotesis del
teorema de Rolle por tanto en este caso existen pun-
tos c1 c2 y c3 del intervalo ⟨a b⟩ tal que f prime(c1) = 0
f prime(c2) = 0 y f prime(c3) = 0
En la figura (b) la funcion f no satisface las hipotesis
del teorema de Rolle en tanto no se garantiza la exis-
tencia de puntos del intervalo ⟨a b⟩ tal que la primera
derivada de f en esos puntos sea cero
Teorema 23 (El teorema del valor medio de Lagrange) Sea la funciacute on f [a b]
minusrarr
Si f es continua
en [a b] es derivable en ⟨a b⟩ entonces existe un c isin ⟨a b⟩ tal que
f prime(c) = f (b) minus f (a)
b minus a
Observaciones
1 Si la funcion f satisface las hipotesis del teorema del valor medio de Lagrange la existencia del punto c tales
que f prime(c) = f (b) minus f (a)
b minus a no siempre es unica pueden existir otros puntos del intervalo ⟨a b⟩ cuya primera
derivada en esos puntos sea igual a f (b) minus f (a)
b minus a
2 Sea L la recta que pasa por los puntos(
a f (a)852009
y(
b f (b)852009
el teorema garantiza la existencia de al menosun punto c isin ⟨a b⟩ tal que la recta tangente a la grafica de la funcion f el punto
(c f (c)
852009 sea paralela a L
Y Y
X X
y = f x ( ) y = f x ( )
f a ( )
f a ( )
f b( )
f b( )
figura (a) figura (b)
a c b1 b
c 2 a
L L L
L L L
En la figura (a) la funcion f satisface las hipotesis del
teorema de Lagrange por tanto en este caso existen
puntos c1 y c2 del intervalo ⟨a b⟩ tal que
f prime(c1) = f (b) minus f (a)
b minus a y f prime(c2) =
f (b) minus f (a)
b minus a
En la figura (b) la funcion f no satisface las hipotesis
del teorema de Lagrange en tanto no se garantiza
la existencia de puntos del intervalo ⟨a b⟩ tal que laprimera derivada en ese punto sea igual a
f (b) minus f (a)
b minus a
Teorema 24 (El teorema generalizado del valor medio de Cauchy) Sean las funciones f [a b] minusrarr
y g [a b] minusrarr
continuas en [a b] y derivables en ⟨a b⟩ con g(b) = g(a) y g prime(x) = 0 para todo x isin ⟨a b⟩
entonces existe un c isin ⟨a b⟩ tal que f prime(c)
g prime(c) =
f (b) minus f (a)
g(b) minus g(a)
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La derivada de una funcion real de variable real
23 Funciones crecientes y decrecientes
Definicion 24 (Funcion creciente) Sean empty = A sub
y la funciacute on f A minusrarr
Diremos que la funciacute on f
es creciente o estrictamente creciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) lt f (x2)
Definicion 25 (Funcion decreciente) Sean empty = A sub
y la funci on f A minusrarr
Diremos que la funcion f
es decreciente o estrictamente decreciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) gt f (x2)
Y Y
X X
f x ( )1
f x ( )1
x 1
x 1x 2
x 2
f x ( )2
f x ( )2
Graacutefico de una funcioacutenestrictamente creciente
Graacutefico de una funcioacutenestrictamente decreciente
Definicion 26 (Funcion no creciente) Sean empty = A sub y la funci on f A minusrarr
Diremos que la funciacute on
f es no creciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) ge f (x2)
Definicion 27 (Funcion no decreciente) Sean empty = A sub y la funciacute on f A minusrarr
Diremos que la
funciacute on f es no decreciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) le f (x2)
Y Y
X X
x 1 x 2 x 1 x 2
Graacutefico de una funcioacuten
no decreciente
Graacutefico de una funcioacuten
no creciente
Definicion 28 (Funcion monotona) Sean empty = A sub
y la funci on f A minusrarr
Diremos que la funciacute on f
es monacute otona sobre A si es creciente o decreciente o no creciente o no decreciente sobre A
Observaciones
1 Para definir funciones monotonas (crecientes decrecientes no crecientes o no decrecientes) no es necesario
saber la continuidad y la derivabilidad de la funcion en su dominio
2 Existen funciones monotonas que no son derivables yo continuas en su dominio
Teorema 25 Sean empty = A sub y la funciacute on f A minusrarr Si la funciacute on f es estrictamente creciente sobre A
entonces f es una funciacute on inyectiva y su funcion inversa f lowast tambien es estrictamente creciente sobre Ran(f )
Teorema 26 Sean empty = A sub
y la funci on f A minusrarr
Si la funci on f es estrictamente decreciente sobre A
entonces f es una funciacute on inyectiva y su funciacute on inversa f lowast tambien es estrictamente decreciente sobre Ran(f )
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La derivada de una funcion real de variable real
Y Y
X X
f
f
f
f
Teorema 27 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr
Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩
con f
prime
(x) gt 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es estrictamente creciente sobre [a b]
Teorema 28 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩
con f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es estrictamente decreciente sobre [a b]
X X
a
a b
b
Observaciones
1 Del teorema 27 si la pendiente de todas las rectas tangente a la grafica de la funcion sobre ⟨a b⟩ es positiva
entonces la funcion es estrictamente creciente sobre [a b]
2 Del teorema 28 si la pendiente de todas las rectas tangente a la grafica de la funcion sobre ⟨a b⟩ es negativa
entonces la funcion es estrictamente decreciente sobre [a b]
Teorema 29 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr
Si la funcion f es continua sobre [a b] y es inyectiva en [a b]
entonces f es estrictamente creciente o estrictamente decreciente sobre [a b] pero no ambos
X X
a
a b
b
f ab
ab
es continua e inyectiva sobre [ ]en este caso es creciente sobre [ ]
f ab
ab
es continua e inyectiva sobre [ ]en este caso es decreciente sobre [ ]
f f
Teorema 210 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funciacute on f es continua y estrictamente creciente sobre
[a b] entonces Ran(f ) =1048667
f (a) f (b)1048669
y su funciacute on inversa f lowast 1048667
f (a) f (b)1048669 minusrarr
es tambien continua y
estrictamente creciente sobre [a b]
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La derivada de una funcion real de variable real
Teorema 211 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funcion f es continua y estrictamente decreciente sobre
[a b] entonces Ran(f ) =1048667
f (b) f (a)1048669
y su funciacute on inversa f lowast 1048667
f (b) f (a)1048669 minusrarr
es tambien continua y
estrictamente decreciente sobre [a b]
Teorema 212 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre
⟨a b⟩ con f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es no decreciente sobre [a b]
Teorema 213 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre
⟨a b⟩ con f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es no creciente sobre [a b]
Teorema 214 (de la funcion constante) Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre
[a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩ con f prime(x) = 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es constante sobre [a b] es decir
existe una constante C tal que f (x) = C para todo [a b]
Teorema 215 (de la diferencia constante) Sean las funciones f [a b] minusrarr
y f [a b] minusrarr
Si las
funciones f y g son continuas sobre [a b] y es derivables sobre ⟨a b⟩ con f prime(x) = g prime(x) para todo x isin ⟨a b⟩entonces existe una constante C tal que f (x) = g(x) + C para todo [a b]
Definicion 29 (Punto crıtico) Sean I un intervalo de
x0 un punto de I y la funciacute on f I minusrarr
El
punto x0 es un punto crıtico de la funciacute on f I minusrarr si x0 satisface alguna de las siguientes condiciones
a) f prime(x0) = 0 o b) f prime(x0) = 0 no existe o c) f tiene un extremo en x0
Observaciones
1 Si x0 es un punto crıtico de la funcion f no podemos concluir con certeza una de las condiciones mencionadas
2 Si x0 es un punto crıtico de la funcion f y f prime(x0) = 0 no podemos concluir con certeza que f tiene un
extremo en dicho punto
Por ejemplo sea la funcion f [1 3] minusrarr definida
por f (x) = (x minus 2)3 cuya funcion derivada es
f prime ⟨1 3⟩ minusrarr
983087 f prime(x) = 3(x minus 2)2
En x0 = 2 tenemos f prime(x0) = 0 pero f no tiene
maximo ni mınimo en 2 f tiene un mınimo en 1
y un maximo en 3 por tanto 1 2 y 3 son puntos
crıticos de f
Y
X
1
2
Ejercicio 7 Hal le los puntos crıticos de las siguientes funciones
1 f
minusrarr que estacute a definida por
f (x) = 1
4(x4 minus 6x2 + 8x) + 5
2 f
minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = 3
radic (x + 4)2(x minus 5)
3 f
minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = 5x23 minus x53
4 f
minusrarr
que estacute a definida por f (x) = x + 1
x2 + 1
5 f
minus 1 minusrarr que estacute a definida por
f (x) = x3 minus 2
(x minus 1)2
6 f
minusrarr
que estacute a definida por f (x) = x2 + 3radic
x2 + 1
7 f [minusπ2
π2
] minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = sin2 x minus |x|
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La derivada de una funcion real de variable real
231 Criterio de la primera derivada para extremos de una funcion
Aquı presentamos un criterio que nos ayuda a determinar si un punto crıtico es aquel en donde una funcion
alcanza su valor maximo o mınimo
Teorema 216 (Criterio de la primera derivada) Sean la funciacute on f A minusrarr
el intervalo [a b] contenido
en A y x0
isin ⟨a b
⟩ un punto crıtico de f
1 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f tiene un macute aximo en el punto x0
2 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f tiene un mınimo en el punto x0
3 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) gt 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) gt 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f no tiene macute aximo ni mınimo en el punto x0
4 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f no tiene macute aximo ni mınimo en el punto x0
X X
a bx 0a bx 0
f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0lt gt f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0gt lt
f
f
f tiene un maacuteximo en x 0 f tiene un miacutenimo en x 0
X X a bx 0a bx 0
f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0lt lt f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0gt gt
f f
f no tiene un extremo en x 0 f no tiene un extremo en x 0
Observaciones
1 Al ser x0 un punto crıtico de f el criterio de la primera derivada no garantiza que exista f prime(x0)
2 El criterio de la primera derivada requiere que f sea derivable en ⟨a x0⟩ cup ⟨x0 b⟩ mas no en x0
3 Un metodo que nos permite hallar puntos crıticos de la funcion f en [a b] es resolver la ecuacion f prime(x) = 0
sujeta a la condicion x isin ⟨a b⟩ pero tal metodo solo nos proporciona todos los puntos crıticos de f que
cumple la primera condicion dada en la definicion 29
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La derivada de una funcion real de variable real
4 Los graficos anteriores presentan al punto crıtico x0 de f en el cual existe f prime(x0) y es igual a cero es mas
en los dos primeros graficos la recta tangente en el punto (x0 f (x0)) es horizontal iquestCual es el aspecto de
la grafica de f si es que no existiera f prime(x0)
5 Sea x0 isin ⟨a b⟩ un punto crıtico de la funcion f Al utilizar el criterio de la primera derivada para averiguar
si f tiene maximo o mınimo en x0 es necesario resolver las inecuaciones f prime(x) lt 0 y f prime(x) gt 0 sujetas
a la restriccion x isin ⟨a b⟩ tales procesos son sencillos para algunas funciones pero existen funciones paralos cuales tales resoluciones son complicadas y ahı el criterio de la primera derivada no es recomendable
utilizarlo pero tal deficiencia se supera utilizando otro criterio para determinar extremo de una funcion
6 El criterio de la primera derivada tambien es aplicable cuando en lugar del intervalo ⟨a b⟩ se considera a
otros tipos de intervalos abiertos si es que estan contenidos en el dominio de la funcion
Por ejemplo para la funcion f
minusrarr
definida por f (x) = x2 su unico punto crıtico es x0 = 0 f prime(x) lt 0
para todo x lt 0 y f prime(x) gt 0 para todo x gt 0 por tanto f tiene un mınimo en 0 y su valor mınimo es
f (0) = 0
232 Criterio de la segunda derivada para extremos de una funcion
Aquı presentamos otro criterio que nos ayuda a determinar si un punto crıtico es aquel en donde una funcion
alcanza su valor maximo o mınimo este metodo requiere la existencia de la segunda de la funcion en su punto
crıtico
Teorema 217 (Criterio de la segunda derivada) Sean la funciacute on f A minusrarr
el intervalo [a b] contenido
en A y x0 isin ⟨a b⟩ un punto crıtico de f para el cual f primeprime(x0) existe
1 Si la funciacute on f es derivable en ⟨a b⟩ f prime(x0) = 0 y f primeprime(x0) lt 0 entonces f tiene un macute aximo en el punto x0
2 Si la funciacute on f es derivable en
⟨a b
⟩ f prime(x0) = 0 y f primeprime(x0) gt 0 entonces f tiene un mınimo en el punto x0
X X
a bx 0a bx 0
f a b f f es derivable en ( ) 0 ( ) 0 x x 0 0= lt f a b f f es derivable en ( ) 0 ( ) 0 x x 0 0= gt
f
f
f tiene un maacuteximo en x 0 f tiene un miacutenimo en x 0
Observaciones
1 Los graficos anteriores presentan al punto crıtico x0 de f en el cual existe f primeprime(x0) y es diferente a cero
2 El criterio de la segunda derivada tambien es aplicable cuando en lugar del intervalo ⟨a b⟩ se considera a
otros tipos de intervalos abiertos si es que estan contenidos en el dominio de la funcion
Por ejemplo para la funcion f
minusrarr
definida por f (x) = x2 su unico punto crıtico es x0 = 0 y
f primeprime(0) = 2 gt 0 por tanto f tiene un mınimo en 0 y su valor mınimo es f (0) = 0
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La derivada de una funcion real de variable real
24 Concavidad y puntos de inflexion
25 La regla de Lrsquo Hospital
3 Aplicaciones de la derivada
31 Trazado de grafica de funciones
32 Derivadas parametricas
321 Regla de la cadena
33 Diferencial de una funcion
34 Razon de cambio
Indice
1 La derivada 111 Derivadas laterales 4
12 Derivacion y continuidad 5
13 Derivadas de orden superior 7
131 Notacion de derivadas 7
132 El operador d
dx 8
133 La segunda derivada 10
134 Derivada de ordenes mayores a dos 10
135 Notacion de derivadas de ordenes superiores 11
14 Derivadas implıcitas 12
141 Ecuaciones diferenciales ordinarias de lugares geometricos 13
15 Funciones derivables 18
151 Funciones derivables en un intervalo 18
152 Funciones de clase C k 19
153 Funciones no derivables 19
2 Teoremas sobre funciones derivables 21
21 Extremos relativos de una funcion 21
22 El teorema del valor medio 24
23 Funciones crecientes y decrecientes 26
231 Criterio de la primera derivada para extremos de una funcion 29
232 Criterio de la segunda derivada para extremos de una funcion 30
24 Concavidad y puntos de inflexion 31
25 La regla de Lrsquo Hospital 31
3 Aplicaciones de la derivada 31
31 Trazado de grafica de funciones 31
32 Derivadas parametricas 31
321 Regla de la cadena 31
33 Diferencial de una funcion 31
34 Razon de cambio 31
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La derivada de una funcion real de variable real
La tercera derivada de f en a es la derivada de la segunda derivada de f en a y la funcion tercera derivada de
f es la funcion derivada de la funcion segunda derivada de f es decir f primeprimeprime = (f primeprime)prime
Ası llegarıamos a definir la nminusesima derivada de la funcion f en el punto ldquoardquo por
f (n)(a) = lımxrarr
a
f (nminus1)(x) minus f (nminus1)(a)
x minus a
= lımhrarr
0
f (nminus1)(a + h) minus f (nminus1)(a)
hsi es que el l ımite existe y la funcion nminusesima derivada de f por
f (n)(x) = lımhrarr0
f (nminus1)(x + h) minus f (nminus1)(x)
h
135 Notacion de derivadas de ordenes superiores
Generalizando el operador d
dx para derivadas de ordenes mayores a uno tenemos los siguientes operadores
1 El operador d
dx transforma a f (x) en f prime(x)
2 El operador d2
dx2 transforma a f (x) en f primeprime(x) y d2
dx2 = d
dx
983080 ddx
983081
3 El operador d3
dx3 transforma a f (x) en f primeprimeprime(x) y
d3
dx3 =
d
dx
983080 d2
dx2
983081=
d
dx
1048616 d
dx
983080 d
dx
9830811048617
4 El operador dn
dxn transforma a f (x) en f (n)(x) y
dn
dxn =
d
dx
983080 dnminus1
dxnminus1
983081=
d
dx
1048616 d
dx
983080 dnminus2
dxnminus2
9830811048617
Ejemplo 18 Sea f (x) = x5 + 2x2 entonces
1 d
dx1048667f (x)
1048669=
d
dx[x5 + 2x2] = 5x4 + 4x
2 d2
dx2
1048667f (x)
1048669=
d
dx
983131 d
dx
1048667f (x)
1048669983133=
d
dx[5x4 + 4x] = 20x3 + 4
3 d3
dx3
1048667f (x)
1048669=
d
dx
983131 d2
dx2
1048667f (x)
1048669983133=
d
dx[20x3 + 4] = 60x2
4 d4
dx4
1048667f (x)
1048669=
d
dx
983131 d3
dx3
1048667f (x)
1048669983133=
d
dx[60x2] = 120x
5 d5
dx5
1048667f (x)
1048669=
d
dx
983131 d4
dx4
1048667f (x)
1048669983133=
d
dx[120x] = 120
6
d6
dx61048667
f (x)1048669
=
d
dx983131 d5
dx51048667
f (x)1048669983133
=
d
dx [120] = 0 y
dn
dxn1048667
f (x)1048669
= 0 foralln ge 6
Ejercicio 3 Halle una facute ormula para expresar f (n)(x) si
1 f (x) = ex
2 f (x) = eax
3 f (x) = akx
4 f (x) = 1
(x minus a)k
5 f (x) = 1 minus x
1 + x
6 f (x) = 5x minus 2
x2 minus 4
7 f (x) = sin ax
8 f (x) = cos ax
9 f (x) = ln(a + bx)
10 f (x) = 1
x2 minus 3x + 2
11 f (x) = 8x minus 5
2x2 + x minus 6
12 f (x) = x ex
13 f (x) = 5x minus 1
x2 + x minus 12
14 f (x) = ex sin x
15 f (x) = sin2 x
16 f (x) = xnradic
x
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7242019 La derivada de una funci on real de variable real
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La derivada de una funcion real de variable real
14 Derivadas implıcitas
Sea F (x y) = C una ecuacion que contiene dos variables si en esta ecuacion no se ha despejado la variable
y diremos que y esta expresado en F (x y) = C de manera implıcita
Sea F U sub
2 minusrarr una funcion y f A sub
minusrarr una funcion cuya regla de correspondencia esta en
la forma implıcita en la ecuacionF (x y) = C donde y = f (x)
Las derivadas implıcitas permiten hallar f prime(x) sin necesidad de conocer la regla de correspondencia de f es
mas podemos hallar las derivadas de orden superior de f
Ejemplo 19 Si ldquo yrdquo es una expresiacute on que depende de ldquo xrdquo halle dy
dx
1 e5y = sin(x + y)
e5y = sin(x + y) minusrarr d
dx[e5y] =
d
dx[sin(x + y)]
minusrarr e5y ddx
[5y] = cos(x + y) ddx
[x + y]
minusrarr e5y middot 5 middot dy
dx = cos(x + y)(1 +
dy
dx)
minusrarr 5e5y middot dy
dx = cos(x + y)(1 +
dy
dx)
there4dy
dx =
cos(x + y)
5e5y minus cos(x + y)
2 x = ln(x3 + y)
x = ln(x3 + y) minusrarr
d
dx[x] =
d
dx1048667 ln(x3 + y)1048669
minusrarr 1 = 1
x3 + y middot d
dx[x3 + y]
minusrarr 1 = 1
x3 + y middot (3x2 +
dy
dx)
minusrarr dy
dx = x3 minus 3x2 + y
Derivando una vez mas respecto de x tenemos d
dx[
dy
dx] =
d
dx[x3 minus 3x2 + y] = 3x2 minus 6x +
dy
dx
=rArr d2y
dx2 = 3x2 minus 6x +
dy
dx = 3x2 minus 6x + x3 minus 3x2 + y = x3 minus 6x + y
there4dydx
= x3 minus 3x2 + y y d2ydx2
= x3 minus 6x + y
3 Halle dy
dx si exp
1048616860698 x +
radic y
x minus radic y
1048617+ ln
860698 x minus radic
y
x +radic
y = 8
4 Halle dy
dx si sin(xy) + cos(xy) = tan(x + y)
5 Halle dy
dx si x minus y = arcsin x minus arcsin y
6 Halle dy
dx
si 860698 y minus radic x
y + radic x + 860698 y +
radic x
y minus radic x =
5
2
7 Halle dy
dx si x2 minus a
radic xy + y2 = a2 a constante
8 Halle d2y
dx2 si x12 + y12 = 2 a constante
9 Halle d2y
dx2 si b2x2 minus a2y2 = a2b2 a b constantes
10 Halle d2y
dx2 si x23 + y23 = a23 a constante
11 Halle d2y
dx2
si 3x2
minus2xy + y2 = a2 a constante
12 En los ejercicios anteriores halle dx
dy si x = x(y)
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La derivada de una funcion real de variable real
141 Ecuaciones diferenciales ordinarias de lugares geometricos
Definicion 18 (Ecuacion diferencial) Una ecuaciacute on diferencial es aquella que contiene una o macute as fun-
ciones de una o macute as variables y algunas de sus derivadas respecto a sus variables independientes
Definicion 19 (Ecuacion diferencial ordinaria) Una ecuaciacute on diferencial ordinaria es aquella que con-
tiene una o macute as funciones de una variable y algunas de sus derivadas respecto a su variable independiente El
orden de esta ecuaciacute on diferencial ordinaria es el de la derivada de mayor orden contenida en ella
Ejemplo 110 La siguientes son ecuaciones diferenciales ordinarias
1 2yprimeprime + xyprime + y = sen x su orden es 2
2 yprimeprimeprime minus 2yprimeprime + 5yprime + y = ln x su orden es 3
3 xyprime + sen x = tan x su orden es 1
4 y(5) + y(4) + yprimeprimeprime + yprimeprime + yprime + y = 0 su orden es 5
5 2yprimeprime + xyprime + y3 = sen x su orden es 2
6 (yprimeprimeprime)2 minus 2(yprimeprime)7 + 5yprime + y = ln x su orden es
7 xyprime + sen x = tan y su orden es 3
8 y(5) + y(4) + yprimeprimeprime + (yprimeprime)4 + yprime + ln y = 0 su orden es 5
9 yy primeprime + x2y = x su orden es 2
Definicion 110 Un lugar geometrico del plano
2 es un conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen una
o macute as ecuaciones del tipo F (x y) = K
Ejemplo 111 La recta la circunferencia la paracute abola la elipse la hiperbola las graficas de funciones son
ejemplos de lugares geometricos
Definicion 111 La ecuaciacute on diferencial ordinaria de un lugar geometrico cuya ecuaciacute on es F (x y) = K es
aquella que se obtiene al derivar esta ecuaciacute on con respecto a una de sus variables
Teorema 18 Si un lugar geometrico cuya ecuaciacute on es F (x y) = K contiene n constantes independiente
entonces su ecuaciacute on diferencial ordinaria tendracute a orden n
Ejemplo 112 Halle la ecuaciacute on diferencial ordinaria de todas las circunferencias con centro el origen de
coordenadas
Solucion La ecuacion de esta familia de circunferencias es x2 + y2 = r2 y contiene una sola constante Al
derivar a ambos miembros respecto a x tenemos 2x + 2yyprime = 0 Por tanto la ecuacion diferencial ordinaria de
estas circunferencias sera
x + yy prime = 0 o yprime = minusy
x
Ejemplo 113 Halle la ecuaciacute on diferencial ordinaria de todas las rectas horizontales
Solucion La ecuacion de esta familia de rectas es y = K y contiene una sola constante Al derivar a ambos
miembros respecto a x tenemos y prime = 0 Por tanto la ecuacion diferencial ordinaria de estas rectas sera
yprime = 0
Ejemplo 114 Halle la ecuaciacute on diferencial ordinaria de todas las rectas con pendiente 2
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La derivada de una funcion real de variable real
Solucion La ecuacion de esta familia de rectas es y = 2x + K y contiene una sola constante Al derivar a
ambos miembros respecto a x tenemos y prime = 2 Por tanto la ecuacion diferencial ordinaria de estas rectas sera
yprime = 2
Ejemplo 115 Halle la ecuaciacute on diferencial ordinaria de todas las rectas que pasan por el origen de coordenadas
Solucion Solo consideraremos a las rectas no verticales que pasan por el origen La ecuaci on de esta familia
de rectas es y = Kx y contiene una sola constante entonces su ecuacion diferencial debe ser de orden uno
Al derivar a ambos miembros respecto a x tenemos yprime = K pero K = y
x Por tanto la ecuacion diferencial
ordinaria de estas rectas sera
yprime = y
x si x = 0 yprime = 0 si y = 0
Ejemplo 116 En los siguientes ejemplos dada una funciacute on obtener la ecuaciacute on diferencial de la cual es
soluciacute on
1 y = ceminus2x + x
El orden de la ecuacion diferencia buscada es 1 entonces derivando tenemos
yprime
= minus2ceminus
2x + 1 = minus2ceminus
2x + 1 + 2x minus 2x = minus2(ceminus
2x + x) + 1 + 2x = minus2y + 1 + 2x
there4dy
dx = 1 minus 2(y minus x) es la ecuacion diferencial buscada
2 y = C 1 sen 4x + C 2 cos 4x + x
El orden de la ecuacion diferencia buscada es 2 entonces derivando tenemos
yprime = 4C 1 cos 4x minus 4C 2 sen 4x + 1 yprimeprime = minus16C 1 sen 4x minus 16C 2 cos 4x
yprimeprime = minus16(C 1 sen 4x + C 2 cos 4x) = minus16(y minus x)
there4 yprimeprime + 16y minus 16x = 0 es la ecuacion diferencial buscada
3 y = ax3 + bx2 + cx
El orden de la ecuacion diferencia buscada es 3 entonces derivando tenemos
yprime = 3ax2 + 2bx + c yprimeprime = 6ax + 2b yprimeprimeprime = 6a Reemplazando en la ecuacion a b y c
y = yprimeprimeprime
6 x3 +
1
2
983080yprimeprime minus yprimeprimeprimex
983081x2 +
983080yprime minus yprimeprime
2 minus yprimeprimeprimex
983081x
there4 11x3yprimeprimeprime minus 3x2yprimeprime + 6xyprime + 6y = 0 es la ecuacion diferencial buscada
4 Hallar la ecuacion diferencial de la familia de circunferencias de radio 1 con centro en la recta bisectriz del
primer y tercer cuadrante
Solucion
x
y
y = x
h
h1
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La derivada de una funcion real de variable real
La ecuacion de la familia de circunferencias es (x minus h)2 + (y minus h)2 = 1 en ella solo figura una constante
entonces el orden de la ecuacion diferencia buscada es 1
Derivando respecto a x tenemos 2(x minus h) + 2(y minus h)yprime = 0 =rArr x minus h + yy prime minus hyprime = 0
=rArr h(1 + yprime) = x + yy prime =rArr h = x + yy prime
yprime + 1
Reemplazando en la ecuacion de las circunferencias
1048616x minus
x + yy prime
yprime + 110486172
+1048616
y minus x + yy prime
yprime + 110486172
= 1
=rArr (x(yprime + 1) minus x minus yy prime
8520092+(
yy prime + y minus x minus yy prime8520092
= (yprime + 1)2
=rArr (xyprime minus yy prime
8520092+(
y minus x8520092
= (yprime + 1)2
=rArr (yprime)2(x minus y)2 + (x minus y)2 = (yprime + 1)2
=rArr (x minus y)2(
(yprime)2 + 1852009
= (yprime + 1)2 es la ecuacion diferencial buscada
5 Formular la ecuacion diferencial que representa a todas las tangentes no verticales de la par abola y2 = 2x
Solucion
x
y
a
b
L
y = 2 x 2
La ecuacion de la recta tangente L a la parabola en el punto (a b) es
L y minus b = m(x minus a) Hallando la pendiente m derivando L y prime = m Por otro lado derivando la ecuacion
de la parabola tenemos 2yyprime = 2 =rArr y prime = 1
y cuyo significado es y prime(x) =
1
y(x) para x gt 0
En el punto (a b) de la parabola se tiene yprime(a) = 1
y(a) =
1
b = m Ademas como (a b) es un punto de la
parabola se tiene b2 = 2a =rArr a = b2
2 Luego en la ecuacion de la tangente
y minus b = 1b
1048616x minus b
2
2
1048617 =rArr yb minus b2 = x minus b
2
2
=rArr y = x
b +
b
2 pero b =
1
yprime
=rArr y = xy prime + 1
2yprime
=rArr 2y(yprime)2 minus 2xyprime + 1 = 0 es la ecuacion diferencial buscada
6 y2 = 4ax
Primero tenemos a = y2
4x el cual se utilizara luego Derivando la ecuacion original tenemos 2yyprime = 4a
=rArr 2yyprime
= 41048616 y2
4x1048617
= y2
x =rArr 2xyyprime
= y2 =rArr 2xyprime
= y si y = 0 =rArr 2x dy
dx minus y = 0
Por lo tanto 2x dy
dx minus y = 0 es la ecuacion diferencial buscada
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La derivada de una funcion real de variable real
7 y = C 1 sen 4x + C 2 cos 4x + x
Solucion
yprime = 4C 1 cos 4x minus 4C 2 sen 4x + 1 yprimeprime = minus16C 1 sen 4x minus 16C 2 cos 4x de la segunda derivada tenemos
minusyprimeprime
16 = C 1 sen 4x + C 2 cos 4x = y minus x luego minus(16)minus1yprimeprime = y minus x =rArr minusyprimeprime = 16y minus 16x
Por lo tanto yprimeprime = 16(xminus
y) es ecuacion diferencial buscada
8 I = teminust + eminust + 2sen 3t
Solucion En esta parte I es una funcion que depende de t y las derivadas seran respecto a t
I prime = eminust minus teminust minus eminust + 6cos 6t Pero teminust + eminust = I minus 2sen3t
=rArr I prime = eminust minus I + 2sen 3t + 6cos 3t =rArr I primeprime = minuseminust minus I prime minus 6cos3t minus 18sen3t
sumando las dos ultimas ecuaciones I prime + I primeprime = minusI minus I prime minus 16sen3t de donde I primeprime + 2I prime + I = minus16sen3t
9 x2 minus ay2 = 1
Solucion
Derivando 2x minus 2ay dy
dx = 0 =rArr y prime =
dy
dx =
minus2x
minus2ay
=rArr a = x
yy prime reemplazando en la ecuacion original
x2 minus x
yyprimey2 = 1 =rArr x2yyprime minus yyprime minus xy2 = 0
=rArr (x2 minus 1)yprime = xy
=rArr yprime = xy
x2 + 1 es la ecuacion diferencial buscada
10 x2 + y2 minus cx = 0
Derivando 2x + 2yyprime = c
Reemplazando en la ecuacion original x2 + y2 minus (2x + 2yy prime)x = 0
=
rArr yprime =
x2 minus y2
2xy
es la ecuacion diferencial buscada
11 Hallar la ecuacion diferencial de cada uno de las siguientes familias de curvas
a) y = x sen(x + c) Rta (xyprime minus y)2 = x2(x2 minus y2)
b) Todos los cırculos que pasan por (1 0) y (minus1 0) Rta 2xy = (x2 minus y2 minus 1)yprime
c) Todos los cırculos con centro en la recta y = x que son tangentes a ambos ejes
Rta (x minus y)2(1 + yprime)2 = (x + yy prime)2
d) Todas las rectas tangentes a la parabola x2 = 4y
Sugerencia La pendiente de la recta tangente en (2a a2) es a Rta y + yprime = xy prime
e) Todas las rectas tangentes al cırculo unidad x2
+ y2
= 1 Rta (y minus xyprime
)2
= 1 minus (yprime
)2
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La derivada de una funcion real de variable real
Definicion 112 Sea la ecuaciacute on diferencial ordinaria lineal de orden n
any(n) + middot middot middot + a2y primeprime + a1y prime + a0 = b
La funciacute on f A minusrarr
es una de sus soluciones si para todo x isin A
anf (n)(x) + middot middot middot + a2f primeprime(x) + a1f prime(x) + a0 = b
Ejercicio 4 Demuestre que la funciacute on f
minusrarr definida por f (x) = sin x es una soluciacute on de la ecuaciacute on
diferencial y primeprime + y = 0
Solucion Lo unico que debemos hacer es derivar a f dos veces y sumar los resultados
f (x) = sin x minusrarr f prime(x) = cos x minusrarr f primeprime(x) = minus sin x sumando f primeprime(x) + f (x) = 0 por lo tanto f
es una solucion de la ecuacion diferencial y primeprime + y = 0
Ejercicio 5 Demuestre que la funciacute on f
minusrarr
definida por f (x) = 8ex+xex es una soluciacute on de la ecuaciacute on
diferencial yprimeprime minus 2yprime + y = 0
Solucion Derivemos a f hasta dos veces y reemplacemos en el primer miembro de la ecuacion diferencial Siresulta cero tal reemplazo entonces la funcion f es una solucion de tal ecuacion diferencial
f (x) = 8ex + xex =rArr f prime(x) = [8ex] prime + [xex] prime = 8ex + [x]primeex + x[ex] prime = 8ex + ex + xex = 9ex + xex
=rArr f primeprime(x) = [9ex] prime + [xex] prime = 9ex + [x]primeex + x[ex] prime = 9ex + ex + xex = 10ex + xex
Reemplazemos en el primer miembro de la ecuacion diferencial
f primeprime(x) minus 2f prime(x) + f (x) =1048667
10ex + xex1048669minus 2
10486679ex + xex
1048669+1048667
8ex + xex1048669
= 10ex + xex minus 18ex minus 2xex + 8ex + xex
= [10
minus18 + 8]ex + [1
minus2 + 1]xex
= 0
Dado que resulta f primeprime(x)minus2f prime(x)+f (x) = 0 entonces f (x) = 8ex+xex es una solucion de la ecuacion diferencial
ordinaria y primeprime minus 2yprime + y = 0
Ejercicio 6 Demuestre o descarte las siguientes afirmaciones
1 x + y2 = K describe la soluciacute on general de las ecuaciones diferenciales dy
dx = minus 1
2y 2yyprime + 1 = 0
2 y = K ex es la soluciacute on general de la ecuaciacute on diferencial yprime minus y = 0
3 y = sin x
x
es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial xyprime + y = cos x
4 y = 1
cos x es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial yprime minus y tan x = 0
5 y = 2xradic
1 minus x2 es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial yy prime = 4x minus 8x3
6 y = x
cos x es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial xyprime minus y = x2 tan x sec x
7 y = ex(x + 1) es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial yprimeprime minus 2yprime + y = 0
8 y = ln(x + c) + 2 es la soluciacute on general de la ecuaciacute on diferencial yprimeeyminus2 minus 1 = 0
9 y = sen3 x es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial yprimeprime + (tan x minus 2cot x)yprime = 0
10 y = arcsin(xy) describe una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial xyprime + y = yradic
1 minus x2y2
11 y = c1eminusx + c2ex + c3eminus2x + c4e2x es soluciacute on general de la ecuaciacute on diferencial y(iv) minus 5yprimeprime + 4y = 0
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La derivada de una funcion real de variable real
15 Funciones derivables
151 Funciones derivables en un intervalo
Sin ser redundantes presentamos a los intervalos de
1 [a b] = x isin
a le x le b
2 ⟨a b⟩ = x isin
a lt x lt b
3 ⟨a b] = x isin
a lt x le b
4 [a b⟩ = x isin
a le x lt b
5 ⟨minusinfin b⟩ = x isin 1048623x lt b
6 ⟨minusinfin b] = x isin
1048623x le b
7 ⟨a +infin⟩ = x isin
1048623a lt x
8 [a +infin⟩ = x isin
1048623a le x
9 ⟨minusinfin +infin⟩ =
y
10 [a a] = a
Los cuatro primeros y el ultimo son los intervalos limitados los cinco siguientes son intervalos ilimitados el
ultimo se denomina un intervalo degenerado desde el segundo hasta el cuarto intervalo a lt b
Definicion 113 Sea la funciacute on f I minusrarr donde I es un intervalo de
1 La funciacute on f ⟨a b⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨a b⟩ si lo es en cada punto de ⟨a b⟩
2 La funciacute on f ⟨minusinfin b⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨minusinfin b⟩ si lo es en cada punto de ⟨minusinfin b⟩
3 La funciacute on f ⟨a +infin⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨a +infin⟩ si lo es en cada punto de ⟨a +infin⟩
4 La funciacute on f [a b⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo [a b⟩ si existe un intervalo abierto del tipo ⟨ p q ⟩ que
contiene a [a b⟩ tal que f sea derivable sobre ⟨ p q ⟩
5 La funciacute on f ⟨a b] minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨a b] si existe un intervalo abierto del tipo ⟨ p q ⟩ que
contiene a ⟨a b] tal que f sea derivable sobre ⟨ p q ⟩
6 La funciacute on f [a +infin⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo [a +infin⟩ si existe un intervalo abierto del tipo⟨ p +infin⟩ que contiene a [a +infin⟩ tal que f sea derivable sobre ⟨ p +infin⟩
7 La funciacute on f ⟨minusinfin b] minusrarr es derivable en el intervalo ⟨minusinfin b] si existe un intervalo abierto del tipo
⟨minusinfin q ⟩ que contiene a ⟨minusinfin b] tal que f sea derivable sobre ⟨minusinfin q ⟩
8 La funcion f [a b] minusrarr es derivable en el intervalo [a b] si existe un intervalo abierto del tipo ⟨ p q ⟩ que
contiene a [a b] tal que f sea derivable sobre ⟨ p q ⟩
Observaciones
1 La funcion f [a b
⟩ minusrarr es derivable en el intervalo [a b
⟩ si y solo si es derivable en cada punto de
⟨a b
⟩y existe f prime+(a)
2 La funcion f [a +infin⟩ minusrarr es derivable en el intervalo [a +infin⟩ si y solo si es derivable en cada punto de
⟨a +infin⟩ y existe f prime+(a)
3 La funcion f ⟨a b] minusrarr es derivable en el intervalo ⟨a b] si y solo si es derivable en cada punto de ⟨a b⟩
y existe f primeminus
(b)
4 La funcion f ⟨minusinfin b] minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨minusinfin b] si y solo si es derivable en cada punto de
⟨minusinfin b⟩ y existe f primeminus
(b)
5 La funcion f [a b] minusrarr
es derivable en el intervalo [a b] si y solo si es derivable en cada punto de ⟨a b⟩y existen f prime+(a) y f prime
minus(b)
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La derivada de una funcion real de variable real
6 Sea I un intervalo abierto Si la funcion f I minusrarr es derivable su funcion derivada f prime I minusrarr tendra el
mismo dominio que f
7 Sea I un intervalo abierto Si la funcion f I minusrarr
es k veces derivable su funcion kndashesima derivada
f (k) I minusrarr
tendra el mismo dominio que f
8 Sea I un intervalo no abierto Si la funcion f I minusrarr
es derivable su funcion derivada f prime J minusrarr
tendra como dominio al interior de I
152 Funciones de clase C k
Sea I un intervalo de
Si la funcion f I minusrarr
es derivable en I entonces es continua en I pero
posiblemente la funcion derivada f prime J minusrarr
no sea continua en I J = int (I )
Definicion 114 Sea I un intervalo de Si la funcion f I minusrarr es continua en I diremos que ldquo f rdquo es una
funciacute on de clase cero C 0 sobre I
⋆ Si ldquof rdquo es una funcion de clase C 0 sobre I lo denotamos por f
isin C 0(I )
Definicion 115 Sea I un intervalo abierto de
Si la funciacute on f I minusrarr
es derivable en I y la funciacute on
f prime I minusrarr es continua en I diremos que f es continuamente derivable en I o simplemente la funciacute on ldquo f rdquo es
de clase C 1 sobre I
⋆ Si ldquof rdquo es una funcion de clase C 1 sobre I lo denotamos por f isin C 1(I )
Definicion 116 Sea I un intervalo abierto de
La funcion f I minusrarr
es de clase C k sobre el intervalo I
si es k veces derivable sobre I y la funciacute on f (k) I minusrarr
es continua en I
⋆ Si ldquof rdquo es una funcion de clase C k sobre I lo denotamos por f
isin C k(I )
Definicion 117 Sea I un intervalo abierto de La funciacute on f I minusrarr es de clase C infin sobre el intervalo I
si existe f (n) para todo n isin 0 1 2 middot middot middot
⋆ Si ldquof rdquo es una funcion de clase C infin sobre I lo denotamos por f isin C infin(I )
Ejemplo 117
1 La funcion f
minusrarr
definida por f (x) = ex es de clase C infin sobre
Con la notaciones presentadas
tenemos la pertenencia f isin C infin(
)
2 La funcion f minusrarr
definida por f (x) = p(x) donde p(x) es un polinomio es de clase C infin
sobre
Conla notaciones presentadas tenemos la pertenencia f isin C infin( )
3 La funcion f [0 +infin⟩ minusrarr definida por f (x) =
radic x es de clase C infin sobre ⟨0 +infin⟩ Con la notaciones
presentadas tenemos la pertenencia f isin C infin983080
[0 +infin⟩983081
153 Funciones no derivables
Sea f una funcion cuyo dominio sea el conjunto A sub
Si f es derivable en el punto a isin A entonces la
grafica de f en su punto (a f (a)) tiene una unica recta tangente La idea de recta tangente en este caso no es
la misma que usted tiene a cerca de una recta tangente a una circunferencia en donde ellos tienen un unico
punto en comun es decir si la recta L es tangente a la circunferencia C entonces L y C tienen un unico punto
en comun llamado punto de tangencia Mientras que si L es una recta tangente a la grafica de la funcion f
es posible que ellos tengan otro punto en comun a parte del punto de tangencia la idea de tangencia que se
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La derivada de una funcion real de variable real
expone es local y no global en el sentido de que si L es una recta tangente a la grafica de la funcion f el punto
de tangencia es unico cerca de el especıficamente La recta L es una tangente a la grafica de la funcion f en su
punto (a f (a)) si existe un cırculo de centro (a f (a)) dentro del cual L y la grafica de la funcion f tienen un
unico punto en comun y los puntos de la grafica de f que pertenecen al cırculo estan a un solo lado de L Y si
ademas la funcion f es derivable en a la pendiente de L es f prime(a)
X
Y
L L L
y f x ( )=a
X
Y
L L L
y f x ( )=a
Si una funcion f es continua en un punto a no siempre sera derivable en dicho punto existe la posibilidad de
que lo sea como tambien que no como por ejemplo
La funcion f ⟨0 2⟩ minusrarr
definida por f (x) =
983163 2x si 0 lt x lt 1
2 si 1 le x lt 2es continua en el punto a = 1 pero
no es derivable en dicho punto pues no existe f prime(1) La existencia de la derivada f prime(1) implica que la grafica
de la funcion f tiene una unica recta tangente en el punto (1 f (1)) la no existencia de f prime(1) implica que la
grafica de la funcion f tiene una varias rectas en ese punto o no en este ejemplo como veremos gr aficamente
la funcion f posee varia rectas tangentes en su punto (1 f (1))
X
Y
y f x ( )=
1 2
X
Y
L L L
y x 2=
y x 3=
1
2
3
Grafico de f (x) =983163 2x si 0 lt x lt 1
2 si 1 le x lt 2 Grafico de f (x) =
x2 si
minus1 lt x lt 1
2x3
3 si 1 le x lt 2
Si una funcion f es derivable en un punto a entonces por el teorema 17 sera continua en dicho punto por
ejemplo la funcion f ⟨0 2⟩ minusrarr
f (x) =
x2 si minus1 lt x lt 1
2x3
3 si 1 le x lt 2
es derivable en a = 1 mas aun es
continua en dicho punto Es mas la grafica de f tiene una unica recta tangente en su punto (1 f (1))
De acuerdo al teorema 16 una funcion es no derivable en el punto ldquoardquo si f primeminus
(a) = f prime+(a) o una de la
derivadas laterales f primeminus
(a) f prime+(a) no existe Y de acuerdo al teorema 17 si f no es continua en el punto ldquoardquo
entonces no es derivable en ese punto
Los siguientes son ejemplos graficos de funciones no derivables en un punto
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La derivada de una funcion real de variable real
X X
Y Y
a a b
y f x = ( ) y f x = ( )
f a f a bno es derivable en no es derivable en y
f a
f b
es derivable en por derecha
es derivable en por izquierda
2 Teoremas sobre funciones derivables
21 Extremos relativos de una funcion
Definicion 21 Sean empty = X sub
y m isin
Diremos que ldquo mrdquo es el mınimo del conjunto X si m isin X y m le x
para todo x isin X
Definicion 22 Sean empty = X sub
y M isin
Diremos que ldquo M rdquo es el macute aximo del conjunto X si M isin X y
M ge x para todo x isin X
Observaciones
1 No todo subconjunto no vacıo de
posee maximo yo mınimo
2 Si un subconjunto no vacıo de
posee maximo yo mınimo este es unico y ademas es uno de los elementos
del conjunto
3 Si ldquomrdquo es el mınimo del conjunto X entonces lo denotamos por m = mın X
4 Si ldquoM rdquo es el maximo del conjunto X entonces lo denotamos por M = max X
5 Si m = mın X y M = max X entonces m le M y ademas m le x le M para todo x isin X
Ejemplo 21
1 El conjunto de los numeros naturales posee mınimo y es 1 es decir 1 = mın pero no posee maximo
2 El conjunto
el de los numeros enteros no posee ni maximo ni mınimo El conjunto
el de los numeros
racionales no posee ni maximo ni mınimo
3 Veamos algunos intervalos
a) Los intervalos ⟨a b⟩ ⟨a b] ⟨a +infin⟩ no poseen mınimo
b) Los intervalos ⟨a b⟩ [a b⟩ ⟨minusinfin b⟩ no poseen maximo
c) a = mın[a b] a = mın[a b⟩ a = mın[a +infin⟩
d) b = max[a b] b = max⟨a b] b = max⟨minusinfin b]
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La derivada de una funcion real de variable real
Definicion 23 Sean empty = A sub f A minusrarr una funciacute on y x0 isin A
1 La funciacute on ldquo f rdquo tiene un mınimo absoluto en x0 si f (x0) le f (x) para todo x isin A
2 La funciacute on ldquo f rdquo tiene un macute aximo absoluto en x0 si f (x) le f (x0) para todo x isin A
3 La funci on ldquo f rdquo tiene un mınimo relativo en x0 si existe un δ gt 0 tal que f (x0) le f (x) para todo
x isin A cap ⟨x0 minus δ x0 + δ ⟩
4 La funci on ldquo f rdquo tiene un macute aximo relativo en x0 si existe un δ gt 0 tal que f (x) le f (x0) para todo
x isin A cap ⟨x0 minus δ x0 + δ ⟩
Observaciones Sean empty = A sub
f A minusrarr
una funcion y x0 isin A
1 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo relativo en x0 diremos tambien que f tiene un mınimo local en x0
2 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo relativo en x0 diremos tambien que f tiene un maximo local en x0
3 La funcion ldquof rdquo tiene un extremo absoluto en x0 si tiene un mınimo o maximo absoluto en dicho punto
4 La funcion ldquof rdquo tiene un extremo relativo en x0 si tiene un mınimo o maximo relativo en dicho punto
5 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo absoluto en x0 entonces f (x0) es el mınimo del rango de la funcion es
decir
f (x0) = mın Ran (f )
Al numero f (x0) lo denominaremos el valor mınimo de f en su dominio
6 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo absoluto en x0 entonces f (x0) es el maximo del rango de la funcion es
decir
f (x0) = max Ran (f )
Al numero f (x0) lo denominaremos el valor maximo de f en su dominio
7 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo relativo en x0 entonces f no siempre tendra un mınimo absoluto en x0
Una funcion puede poseer un mınimo relativo sin tener un mınimo absoluto
8 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo relativo en x0 entonces f no siempre tendra un maximo absoluto en
x0 Una funcion puede poseer un maximo relativo sin tener un maximo absoluto
9 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo absoluto en x0 entonces f tiene un mınimo relativo en dicho punto Lo
contrario no siempre es cierto
En la figura la funcion f minusrarr tiene maximo
relativo en x = 0 pero no posee maximo absolutoen su dominio
En la figura la funcion g minusrarr tiene mınimo
relativo en x = 0 pero no posee mınimo absolutoen su dominio
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La derivada de una funcion real de variable real
10 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo absoluto en x0 entonces f tiene un maximo relativo en dicho punto Lo
contrario no siempre es cierto
11 Una funcion puede tener extremos absolutos en mas de un punto vea el siguiente grafico
En la figura la funcion f
minusrarr
tiene mınimo
absoluto en dos puntos diferentes
En la figura la funcion g
minusrarr
tiene maximo
absoluto en dos puntos diferentes
12 La funcion ldquof rdquo tiene un extremo en el punto x0 si tiene un maximo o mınimo absoluto o relativo en dicho
punto
Y Y
X X
figura (a) figura (b)
x x x x 0 1 2 3 4 5 6x x x x x x x x x x 0 1 2 3 4 5 6
y f x = ( )
y f x = ( )
En la figura (a) Dom(f ) = [x0 x6] la funcion tiene
un mınimo absoluto en el punto x2 y maximo absolu-
to en el punto x5 mientras que tiene mınimo relativo
en los puntos x0 x2 x4 y x6 y maximo relativo en
los puntos x1 x3 y x5
En la figura (b) Dom (f ) = [x0 x6⟩minusx3 la funcion
no tiene mınimo absoluto ni maximo absoluto mien-
tras que tiene mınimo relativo en los puntos x0 x2 y
x4 y maximo relativo en los puntos x1 y x5
Teorema 21 Si la funcion f tiene un extremo en x0 y f prime(x0) existe entonces f prime(x0) = 0
Observaciones
1 Lo contrario no siempre es cierto es decir si f prime(x0) = 0 entonces f no siempre tendra un extremo en x0
Un ejemplo simple es para f (x) = (x minus 2)3 en x0 = 2
2 Si la funcion f tiene un extremo en x0 y f prime
(x0) existe entonces la recta tangente a la grafica de la funcionen el punto
(x0 f (x0)
852009 en horizontal
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La derivada de una funcion real de variable real
3 Si la funcion f tiene un extremo en x0 y f prime(x0) no existe entonces o bien no existe recta tangente a la
grafica de la funcion en el punto(
x0 f (x0)852009
o existen infinitas rectas tangente a la grafica de la funcion en
el punto(
x0 f (x0)852009
pudiendo ser una de ellas una recta vertical
En la figura la funcion f
minusrarr
tiene un extremo
en x = 0 pero f prime(0) no existe ademas la grafica de
esta funcion posee infinitas rectas tangente en el pun-
to(
0 f (0)852009
En la figura la funcion g
minusrarr
tiene extremo en
los puntos x0 x1 existen g prime(x0) g prime(x1) y las rectas
tangente en(
x0 g(x0)852009
y(
x1 g(x1)852009
son horizontales
22 El teorema del valor medio
Teorema 22 (Teorema de Rolle) Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si f es continua en [a b] es derivable en
⟨a b⟩ y f (a) = f (b) entonces existe un c isin ⟨a b⟩ tal que f prime(c) = 0
Observaciones
1 Si la funcion f satisface las hipotesis del teorema de Rolle la existencia del punto c tales que f prime(c) = 0 no
siempre es unica pueden existir otros puntos del intervalo ⟨a b⟩ cuya primera derivada en esos puntos sea
cero
2 La condicion f (a) = f (b) indica que la recta que pasa por los puntos(
a f (a)852009
y(
b f (b)852009
es horizontal El
teorema garantiza la existencia de al menos un punto c isin ⟨a b⟩ tal que la recta tangente a la grafica de la
funcion f el punto(
c f (c)852009
tambien sea horizontal
X X
Y Y
y=f x( )
y=f x( )
figura (a) figura (b)
a c c b1 3 a b
c2
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La derivada de una funcion real de variable real
En la figura (a) la funcion f satisface las hipotesis del
teorema de Rolle por tanto en este caso existen pun-
tos c1 c2 y c3 del intervalo ⟨a b⟩ tal que f prime(c1) = 0
f prime(c2) = 0 y f prime(c3) = 0
En la figura (b) la funcion f no satisface las hipotesis
del teorema de Rolle en tanto no se garantiza la exis-
tencia de puntos del intervalo ⟨a b⟩ tal que la primera
derivada de f en esos puntos sea cero
Teorema 23 (El teorema del valor medio de Lagrange) Sea la funciacute on f [a b]
minusrarr
Si f es continua
en [a b] es derivable en ⟨a b⟩ entonces existe un c isin ⟨a b⟩ tal que
f prime(c) = f (b) minus f (a)
b minus a
Observaciones
1 Si la funcion f satisface las hipotesis del teorema del valor medio de Lagrange la existencia del punto c tales
que f prime(c) = f (b) minus f (a)
b minus a no siempre es unica pueden existir otros puntos del intervalo ⟨a b⟩ cuya primera
derivada en esos puntos sea igual a f (b) minus f (a)
b minus a
2 Sea L la recta que pasa por los puntos(
a f (a)852009
y(
b f (b)852009
el teorema garantiza la existencia de al menosun punto c isin ⟨a b⟩ tal que la recta tangente a la grafica de la funcion f el punto
(c f (c)
852009 sea paralela a L
Y Y
X X
y = f x ( ) y = f x ( )
f a ( )
f a ( )
f b( )
f b( )
figura (a) figura (b)
a c b1 b
c 2 a
L L L
L L L
En la figura (a) la funcion f satisface las hipotesis del
teorema de Lagrange por tanto en este caso existen
puntos c1 y c2 del intervalo ⟨a b⟩ tal que
f prime(c1) = f (b) minus f (a)
b minus a y f prime(c2) =
f (b) minus f (a)
b minus a
En la figura (b) la funcion f no satisface las hipotesis
del teorema de Lagrange en tanto no se garantiza
la existencia de puntos del intervalo ⟨a b⟩ tal que laprimera derivada en ese punto sea igual a
f (b) minus f (a)
b minus a
Teorema 24 (El teorema generalizado del valor medio de Cauchy) Sean las funciones f [a b] minusrarr
y g [a b] minusrarr
continuas en [a b] y derivables en ⟨a b⟩ con g(b) = g(a) y g prime(x) = 0 para todo x isin ⟨a b⟩
entonces existe un c isin ⟨a b⟩ tal que f prime(c)
g prime(c) =
f (b) minus f (a)
g(b) minus g(a)
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La derivada de una funcion real de variable real
23 Funciones crecientes y decrecientes
Definicion 24 (Funcion creciente) Sean empty = A sub
y la funciacute on f A minusrarr
Diremos que la funciacute on f
es creciente o estrictamente creciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) lt f (x2)
Definicion 25 (Funcion decreciente) Sean empty = A sub
y la funci on f A minusrarr
Diremos que la funcion f
es decreciente o estrictamente decreciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) gt f (x2)
Y Y
X X
f x ( )1
f x ( )1
x 1
x 1x 2
x 2
f x ( )2
f x ( )2
Graacutefico de una funcioacutenestrictamente creciente
Graacutefico de una funcioacutenestrictamente decreciente
Definicion 26 (Funcion no creciente) Sean empty = A sub y la funci on f A minusrarr
Diremos que la funciacute on
f es no creciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) ge f (x2)
Definicion 27 (Funcion no decreciente) Sean empty = A sub y la funciacute on f A minusrarr
Diremos que la
funciacute on f es no decreciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) le f (x2)
Y Y
X X
x 1 x 2 x 1 x 2
Graacutefico de una funcioacuten
no decreciente
Graacutefico de una funcioacuten
no creciente
Definicion 28 (Funcion monotona) Sean empty = A sub
y la funci on f A minusrarr
Diremos que la funciacute on f
es monacute otona sobre A si es creciente o decreciente o no creciente o no decreciente sobre A
Observaciones
1 Para definir funciones monotonas (crecientes decrecientes no crecientes o no decrecientes) no es necesario
saber la continuidad y la derivabilidad de la funcion en su dominio
2 Existen funciones monotonas que no son derivables yo continuas en su dominio
Teorema 25 Sean empty = A sub y la funciacute on f A minusrarr Si la funciacute on f es estrictamente creciente sobre A
entonces f es una funciacute on inyectiva y su funcion inversa f lowast tambien es estrictamente creciente sobre Ran(f )
Teorema 26 Sean empty = A sub
y la funci on f A minusrarr
Si la funci on f es estrictamente decreciente sobre A
entonces f es una funciacute on inyectiva y su funciacute on inversa f lowast tambien es estrictamente decreciente sobre Ran(f )
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La derivada de una funcion real de variable real
Y Y
X X
f
f
f
f
Teorema 27 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr
Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩
con f
prime
(x) gt 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es estrictamente creciente sobre [a b]
Teorema 28 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩
con f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es estrictamente decreciente sobre [a b]
X X
a
a b
b
Observaciones
1 Del teorema 27 si la pendiente de todas las rectas tangente a la grafica de la funcion sobre ⟨a b⟩ es positiva
entonces la funcion es estrictamente creciente sobre [a b]
2 Del teorema 28 si la pendiente de todas las rectas tangente a la grafica de la funcion sobre ⟨a b⟩ es negativa
entonces la funcion es estrictamente decreciente sobre [a b]
Teorema 29 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr
Si la funcion f es continua sobre [a b] y es inyectiva en [a b]
entonces f es estrictamente creciente o estrictamente decreciente sobre [a b] pero no ambos
X X
a
a b
b
f ab
ab
es continua e inyectiva sobre [ ]en este caso es creciente sobre [ ]
f ab
ab
es continua e inyectiva sobre [ ]en este caso es decreciente sobre [ ]
f f
Teorema 210 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funciacute on f es continua y estrictamente creciente sobre
[a b] entonces Ran(f ) =1048667
f (a) f (b)1048669
y su funciacute on inversa f lowast 1048667
f (a) f (b)1048669 minusrarr
es tambien continua y
estrictamente creciente sobre [a b]
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La derivada de una funcion real de variable real
Teorema 211 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funcion f es continua y estrictamente decreciente sobre
[a b] entonces Ran(f ) =1048667
f (b) f (a)1048669
y su funciacute on inversa f lowast 1048667
f (b) f (a)1048669 minusrarr
es tambien continua y
estrictamente decreciente sobre [a b]
Teorema 212 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre
⟨a b⟩ con f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es no decreciente sobre [a b]
Teorema 213 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre
⟨a b⟩ con f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es no creciente sobre [a b]
Teorema 214 (de la funcion constante) Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre
[a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩ con f prime(x) = 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es constante sobre [a b] es decir
existe una constante C tal que f (x) = C para todo [a b]
Teorema 215 (de la diferencia constante) Sean las funciones f [a b] minusrarr
y f [a b] minusrarr
Si las
funciones f y g son continuas sobre [a b] y es derivables sobre ⟨a b⟩ con f prime(x) = g prime(x) para todo x isin ⟨a b⟩entonces existe una constante C tal que f (x) = g(x) + C para todo [a b]
Definicion 29 (Punto crıtico) Sean I un intervalo de
x0 un punto de I y la funciacute on f I minusrarr
El
punto x0 es un punto crıtico de la funciacute on f I minusrarr si x0 satisface alguna de las siguientes condiciones
a) f prime(x0) = 0 o b) f prime(x0) = 0 no existe o c) f tiene un extremo en x0
Observaciones
1 Si x0 es un punto crıtico de la funcion f no podemos concluir con certeza una de las condiciones mencionadas
2 Si x0 es un punto crıtico de la funcion f y f prime(x0) = 0 no podemos concluir con certeza que f tiene un
extremo en dicho punto
Por ejemplo sea la funcion f [1 3] minusrarr definida
por f (x) = (x minus 2)3 cuya funcion derivada es
f prime ⟨1 3⟩ minusrarr
983087 f prime(x) = 3(x minus 2)2
En x0 = 2 tenemos f prime(x0) = 0 pero f no tiene
maximo ni mınimo en 2 f tiene un mınimo en 1
y un maximo en 3 por tanto 1 2 y 3 son puntos
crıticos de f
Y
X
1
2
Ejercicio 7 Hal le los puntos crıticos de las siguientes funciones
1 f
minusrarr que estacute a definida por
f (x) = 1
4(x4 minus 6x2 + 8x) + 5
2 f
minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = 3
radic (x + 4)2(x minus 5)
3 f
minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = 5x23 minus x53
4 f
minusrarr
que estacute a definida por f (x) = x + 1
x2 + 1
5 f
minus 1 minusrarr que estacute a definida por
f (x) = x3 minus 2
(x minus 1)2
6 f
minusrarr
que estacute a definida por f (x) = x2 + 3radic
x2 + 1
7 f [minusπ2
π2
] minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = sin2 x minus |x|
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La derivada de una funcion real de variable real
231 Criterio de la primera derivada para extremos de una funcion
Aquı presentamos un criterio que nos ayuda a determinar si un punto crıtico es aquel en donde una funcion
alcanza su valor maximo o mınimo
Teorema 216 (Criterio de la primera derivada) Sean la funciacute on f A minusrarr
el intervalo [a b] contenido
en A y x0
isin ⟨a b
⟩ un punto crıtico de f
1 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f tiene un macute aximo en el punto x0
2 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f tiene un mınimo en el punto x0
3 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) gt 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) gt 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f no tiene macute aximo ni mınimo en el punto x0
4 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f no tiene macute aximo ni mınimo en el punto x0
X X
a bx 0a bx 0
f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0lt gt f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0gt lt
f
f
f tiene un maacuteximo en x 0 f tiene un miacutenimo en x 0
X X a bx 0a bx 0
f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0lt lt f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0gt gt
f f
f no tiene un extremo en x 0 f no tiene un extremo en x 0
Observaciones
1 Al ser x0 un punto crıtico de f el criterio de la primera derivada no garantiza que exista f prime(x0)
2 El criterio de la primera derivada requiere que f sea derivable en ⟨a x0⟩ cup ⟨x0 b⟩ mas no en x0
3 Un metodo que nos permite hallar puntos crıticos de la funcion f en [a b] es resolver la ecuacion f prime(x) = 0
sujeta a la condicion x isin ⟨a b⟩ pero tal metodo solo nos proporciona todos los puntos crıticos de f que
cumple la primera condicion dada en la definicion 29
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7242019 La derivada de una funci on real de variable real
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La derivada de una funcion real de variable real
4 Los graficos anteriores presentan al punto crıtico x0 de f en el cual existe f prime(x0) y es igual a cero es mas
en los dos primeros graficos la recta tangente en el punto (x0 f (x0)) es horizontal iquestCual es el aspecto de
la grafica de f si es que no existiera f prime(x0)
5 Sea x0 isin ⟨a b⟩ un punto crıtico de la funcion f Al utilizar el criterio de la primera derivada para averiguar
si f tiene maximo o mınimo en x0 es necesario resolver las inecuaciones f prime(x) lt 0 y f prime(x) gt 0 sujetas
a la restriccion x isin ⟨a b⟩ tales procesos son sencillos para algunas funciones pero existen funciones paralos cuales tales resoluciones son complicadas y ahı el criterio de la primera derivada no es recomendable
utilizarlo pero tal deficiencia se supera utilizando otro criterio para determinar extremo de una funcion
6 El criterio de la primera derivada tambien es aplicable cuando en lugar del intervalo ⟨a b⟩ se considera a
otros tipos de intervalos abiertos si es que estan contenidos en el dominio de la funcion
Por ejemplo para la funcion f
minusrarr
definida por f (x) = x2 su unico punto crıtico es x0 = 0 f prime(x) lt 0
para todo x lt 0 y f prime(x) gt 0 para todo x gt 0 por tanto f tiene un mınimo en 0 y su valor mınimo es
f (0) = 0
232 Criterio de la segunda derivada para extremos de una funcion
Aquı presentamos otro criterio que nos ayuda a determinar si un punto crıtico es aquel en donde una funcion
alcanza su valor maximo o mınimo este metodo requiere la existencia de la segunda de la funcion en su punto
crıtico
Teorema 217 (Criterio de la segunda derivada) Sean la funciacute on f A minusrarr
el intervalo [a b] contenido
en A y x0 isin ⟨a b⟩ un punto crıtico de f para el cual f primeprime(x0) existe
1 Si la funciacute on f es derivable en ⟨a b⟩ f prime(x0) = 0 y f primeprime(x0) lt 0 entonces f tiene un macute aximo en el punto x0
2 Si la funciacute on f es derivable en
⟨a b
⟩ f prime(x0) = 0 y f primeprime(x0) gt 0 entonces f tiene un mınimo en el punto x0
X X
a bx 0a bx 0
f a b f f es derivable en ( ) 0 ( ) 0 x x 0 0= lt f a b f f es derivable en ( ) 0 ( ) 0 x x 0 0= gt
f
f
f tiene un maacuteximo en x 0 f tiene un miacutenimo en x 0
Observaciones
1 Los graficos anteriores presentan al punto crıtico x0 de f en el cual existe f primeprime(x0) y es diferente a cero
2 El criterio de la segunda derivada tambien es aplicable cuando en lugar del intervalo ⟨a b⟩ se considera a
otros tipos de intervalos abiertos si es que estan contenidos en el dominio de la funcion
Por ejemplo para la funcion f
minusrarr
definida por f (x) = x2 su unico punto crıtico es x0 = 0 y
f primeprime(0) = 2 gt 0 por tanto f tiene un mınimo en 0 y su valor mınimo es f (0) = 0
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7242019 La derivada de una funci on real de variable real
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La derivada de una funcion real de variable real
24 Concavidad y puntos de inflexion
25 La regla de Lrsquo Hospital
3 Aplicaciones de la derivada
31 Trazado de grafica de funciones
32 Derivadas parametricas
321 Regla de la cadena
33 Diferencial de una funcion
34 Razon de cambio
Indice
1 La derivada 111 Derivadas laterales 4
12 Derivacion y continuidad 5
13 Derivadas de orden superior 7
131 Notacion de derivadas 7
132 El operador d
dx 8
133 La segunda derivada 10
134 Derivada de ordenes mayores a dos 10
135 Notacion de derivadas de ordenes superiores 11
14 Derivadas implıcitas 12
141 Ecuaciones diferenciales ordinarias de lugares geometricos 13
15 Funciones derivables 18
151 Funciones derivables en un intervalo 18
152 Funciones de clase C k 19
153 Funciones no derivables 19
2 Teoremas sobre funciones derivables 21
21 Extremos relativos de una funcion 21
22 El teorema del valor medio 24
23 Funciones crecientes y decrecientes 26
231 Criterio de la primera derivada para extremos de una funcion 29
232 Criterio de la segunda derivada para extremos de una funcion 30
24 Concavidad y puntos de inflexion 31
25 La regla de Lrsquo Hospital 31
3 Aplicaciones de la derivada 31
31 Trazado de grafica de funciones 31
32 Derivadas parametricas 31
321 Regla de la cadena 31
33 Diferencial de una funcion 31
34 Razon de cambio 31
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La derivada de una funcion real de variable real
14 Derivadas implıcitas
Sea F (x y) = C una ecuacion que contiene dos variables si en esta ecuacion no se ha despejado la variable
y diremos que y esta expresado en F (x y) = C de manera implıcita
Sea F U sub
2 minusrarr una funcion y f A sub
minusrarr una funcion cuya regla de correspondencia esta en
la forma implıcita en la ecuacionF (x y) = C donde y = f (x)
Las derivadas implıcitas permiten hallar f prime(x) sin necesidad de conocer la regla de correspondencia de f es
mas podemos hallar las derivadas de orden superior de f
Ejemplo 19 Si ldquo yrdquo es una expresiacute on que depende de ldquo xrdquo halle dy
dx
1 e5y = sin(x + y)
e5y = sin(x + y) minusrarr d
dx[e5y] =
d
dx[sin(x + y)]
minusrarr e5y ddx
[5y] = cos(x + y) ddx
[x + y]
minusrarr e5y middot 5 middot dy
dx = cos(x + y)(1 +
dy
dx)
minusrarr 5e5y middot dy
dx = cos(x + y)(1 +
dy
dx)
there4dy
dx =
cos(x + y)
5e5y minus cos(x + y)
2 x = ln(x3 + y)
x = ln(x3 + y) minusrarr
d
dx[x] =
d
dx1048667 ln(x3 + y)1048669
minusrarr 1 = 1
x3 + y middot d
dx[x3 + y]
minusrarr 1 = 1
x3 + y middot (3x2 +
dy
dx)
minusrarr dy
dx = x3 minus 3x2 + y
Derivando una vez mas respecto de x tenemos d
dx[
dy
dx] =
d
dx[x3 minus 3x2 + y] = 3x2 minus 6x +
dy
dx
=rArr d2y
dx2 = 3x2 minus 6x +
dy
dx = 3x2 minus 6x + x3 minus 3x2 + y = x3 minus 6x + y
there4dydx
= x3 minus 3x2 + y y d2ydx2
= x3 minus 6x + y
3 Halle dy
dx si exp
1048616860698 x +
radic y
x minus radic y
1048617+ ln
860698 x minus radic
y
x +radic
y = 8
4 Halle dy
dx si sin(xy) + cos(xy) = tan(x + y)
5 Halle dy
dx si x minus y = arcsin x minus arcsin y
6 Halle dy
dx
si 860698 y minus radic x
y + radic x + 860698 y +
radic x
y minus radic x =
5
2
7 Halle dy
dx si x2 minus a
radic xy + y2 = a2 a constante
8 Halle d2y
dx2 si x12 + y12 = 2 a constante
9 Halle d2y
dx2 si b2x2 minus a2y2 = a2b2 a b constantes
10 Halle d2y
dx2 si x23 + y23 = a23 a constante
11 Halle d2y
dx2
si 3x2
minus2xy + y2 = a2 a constante
12 En los ejercicios anteriores halle dx
dy si x = x(y)
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La derivada de una funcion real de variable real
141 Ecuaciones diferenciales ordinarias de lugares geometricos
Definicion 18 (Ecuacion diferencial) Una ecuaciacute on diferencial es aquella que contiene una o macute as fun-
ciones de una o macute as variables y algunas de sus derivadas respecto a sus variables independientes
Definicion 19 (Ecuacion diferencial ordinaria) Una ecuaciacute on diferencial ordinaria es aquella que con-
tiene una o macute as funciones de una variable y algunas de sus derivadas respecto a su variable independiente El
orden de esta ecuaciacute on diferencial ordinaria es el de la derivada de mayor orden contenida en ella
Ejemplo 110 La siguientes son ecuaciones diferenciales ordinarias
1 2yprimeprime + xyprime + y = sen x su orden es 2
2 yprimeprimeprime minus 2yprimeprime + 5yprime + y = ln x su orden es 3
3 xyprime + sen x = tan x su orden es 1
4 y(5) + y(4) + yprimeprimeprime + yprimeprime + yprime + y = 0 su orden es 5
5 2yprimeprime + xyprime + y3 = sen x su orden es 2
6 (yprimeprimeprime)2 minus 2(yprimeprime)7 + 5yprime + y = ln x su orden es
7 xyprime + sen x = tan y su orden es 3
8 y(5) + y(4) + yprimeprimeprime + (yprimeprime)4 + yprime + ln y = 0 su orden es 5
9 yy primeprime + x2y = x su orden es 2
Definicion 110 Un lugar geometrico del plano
2 es un conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen una
o macute as ecuaciones del tipo F (x y) = K
Ejemplo 111 La recta la circunferencia la paracute abola la elipse la hiperbola las graficas de funciones son
ejemplos de lugares geometricos
Definicion 111 La ecuaciacute on diferencial ordinaria de un lugar geometrico cuya ecuaciacute on es F (x y) = K es
aquella que se obtiene al derivar esta ecuaciacute on con respecto a una de sus variables
Teorema 18 Si un lugar geometrico cuya ecuaciacute on es F (x y) = K contiene n constantes independiente
entonces su ecuaciacute on diferencial ordinaria tendracute a orden n
Ejemplo 112 Halle la ecuaciacute on diferencial ordinaria de todas las circunferencias con centro el origen de
coordenadas
Solucion La ecuacion de esta familia de circunferencias es x2 + y2 = r2 y contiene una sola constante Al
derivar a ambos miembros respecto a x tenemos 2x + 2yyprime = 0 Por tanto la ecuacion diferencial ordinaria de
estas circunferencias sera
x + yy prime = 0 o yprime = minusy
x
Ejemplo 113 Halle la ecuaciacute on diferencial ordinaria de todas las rectas horizontales
Solucion La ecuacion de esta familia de rectas es y = K y contiene una sola constante Al derivar a ambos
miembros respecto a x tenemos y prime = 0 Por tanto la ecuacion diferencial ordinaria de estas rectas sera
yprime = 0
Ejemplo 114 Halle la ecuaciacute on diferencial ordinaria de todas las rectas con pendiente 2
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La derivada de una funcion real de variable real
Solucion La ecuacion de esta familia de rectas es y = 2x + K y contiene una sola constante Al derivar a
ambos miembros respecto a x tenemos y prime = 2 Por tanto la ecuacion diferencial ordinaria de estas rectas sera
yprime = 2
Ejemplo 115 Halle la ecuaciacute on diferencial ordinaria de todas las rectas que pasan por el origen de coordenadas
Solucion Solo consideraremos a las rectas no verticales que pasan por el origen La ecuaci on de esta familia
de rectas es y = Kx y contiene una sola constante entonces su ecuacion diferencial debe ser de orden uno
Al derivar a ambos miembros respecto a x tenemos yprime = K pero K = y
x Por tanto la ecuacion diferencial
ordinaria de estas rectas sera
yprime = y
x si x = 0 yprime = 0 si y = 0
Ejemplo 116 En los siguientes ejemplos dada una funciacute on obtener la ecuaciacute on diferencial de la cual es
soluciacute on
1 y = ceminus2x + x
El orden de la ecuacion diferencia buscada es 1 entonces derivando tenemos
yprime
= minus2ceminus
2x + 1 = minus2ceminus
2x + 1 + 2x minus 2x = minus2(ceminus
2x + x) + 1 + 2x = minus2y + 1 + 2x
there4dy
dx = 1 minus 2(y minus x) es la ecuacion diferencial buscada
2 y = C 1 sen 4x + C 2 cos 4x + x
El orden de la ecuacion diferencia buscada es 2 entonces derivando tenemos
yprime = 4C 1 cos 4x minus 4C 2 sen 4x + 1 yprimeprime = minus16C 1 sen 4x minus 16C 2 cos 4x
yprimeprime = minus16(C 1 sen 4x + C 2 cos 4x) = minus16(y minus x)
there4 yprimeprime + 16y minus 16x = 0 es la ecuacion diferencial buscada
3 y = ax3 + bx2 + cx
El orden de la ecuacion diferencia buscada es 3 entonces derivando tenemos
yprime = 3ax2 + 2bx + c yprimeprime = 6ax + 2b yprimeprimeprime = 6a Reemplazando en la ecuacion a b y c
y = yprimeprimeprime
6 x3 +
1
2
983080yprimeprime minus yprimeprimeprimex
983081x2 +
983080yprime minus yprimeprime
2 minus yprimeprimeprimex
983081x
there4 11x3yprimeprimeprime minus 3x2yprimeprime + 6xyprime + 6y = 0 es la ecuacion diferencial buscada
4 Hallar la ecuacion diferencial de la familia de circunferencias de radio 1 con centro en la recta bisectriz del
primer y tercer cuadrante
Solucion
x
y
y = x
h
h1
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La derivada de una funcion real de variable real
La ecuacion de la familia de circunferencias es (x minus h)2 + (y minus h)2 = 1 en ella solo figura una constante
entonces el orden de la ecuacion diferencia buscada es 1
Derivando respecto a x tenemos 2(x minus h) + 2(y minus h)yprime = 0 =rArr x minus h + yy prime minus hyprime = 0
=rArr h(1 + yprime) = x + yy prime =rArr h = x + yy prime
yprime + 1
Reemplazando en la ecuacion de las circunferencias
1048616x minus
x + yy prime
yprime + 110486172
+1048616
y minus x + yy prime
yprime + 110486172
= 1
=rArr (x(yprime + 1) minus x minus yy prime
8520092+(
yy prime + y minus x minus yy prime8520092
= (yprime + 1)2
=rArr (xyprime minus yy prime
8520092+(
y minus x8520092
= (yprime + 1)2
=rArr (yprime)2(x minus y)2 + (x minus y)2 = (yprime + 1)2
=rArr (x minus y)2(
(yprime)2 + 1852009
= (yprime + 1)2 es la ecuacion diferencial buscada
5 Formular la ecuacion diferencial que representa a todas las tangentes no verticales de la par abola y2 = 2x
Solucion
x
y
a
b
L
y = 2 x 2
La ecuacion de la recta tangente L a la parabola en el punto (a b) es
L y minus b = m(x minus a) Hallando la pendiente m derivando L y prime = m Por otro lado derivando la ecuacion
de la parabola tenemos 2yyprime = 2 =rArr y prime = 1
y cuyo significado es y prime(x) =
1
y(x) para x gt 0
En el punto (a b) de la parabola se tiene yprime(a) = 1
y(a) =
1
b = m Ademas como (a b) es un punto de la
parabola se tiene b2 = 2a =rArr a = b2
2 Luego en la ecuacion de la tangente
y minus b = 1b
1048616x minus b
2
2
1048617 =rArr yb minus b2 = x minus b
2
2
=rArr y = x
b +
b
2 pero b =
1
yprime
=rArr y = xy prime + 1
2yprime
=rArr 2y(yprime)2 minus 2xyprime + 1 = 0 es la ecuacion diferencial buscada
6 y2 = 4ax
Primero tenemos a = y2
4x el cual se utilizara luego Derivando la ecuacion original tenemos 2yyprime = 4a
=rArr 2yyprime
= 41048616 y2
4x1048617
= y2
x =rArr 2xyyprime
= y2 =rArr 2xyprime
= y si y = 0 =rArr 2x dy
dx minus y = 0
Por lo tanto 2x dy
dx minus y = 0 es la ecuacion diferencial buscada
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La derivada de una funcion real de variable real
7 y = C 1 sen 4x + C 2 cos 4x + x
Solucion
yprime = 4C 1 cos 4x minus 4C 2 sen 4x + 1 yprimeprime = minus16C 1 sen 4x minus 16C 2 cos 4x de la segunda derivada tenemos
minusyprimeprime
16 = C 1 sen 4x + C 2 cos 4x = y minus x luego minus(16)minus1yprimeprime = y minus x =rArr minusyprimeprime = 16y minus 16x
Por lo tanto yprimeprime = 16(xminus
y) es ecuacion diferencial buscada
8 I = teminust + eminust + 2sen 3t
Solucion En esta parte I es una funcion que depende de t y las derivadas seran respecto a t
I prime = eminust minus teminust minus eminust + 6cos 6t Pero teminust + eminust = I minus 2sen3t
=rArr I prime = eminust minus I + 2sen 3t + 6cos 3t =rArr I primeprime = minuseminust minus I prime minus 6cos3t minus 18sen3t
sumando las dos ultimas ecuaciones I prime + I primeprime = minusI minus I prime minus 16sen3t de donde I primeprime + 2I prime + I = minus16sen3t
9 x2 minus ay2 = 1
Solucion
Derivando 2x minus 2ay dy
dx = 0 =rArr y prime =
dy
dx =
minus2x
minus2ay
=rArr a = x
yy prime reemplazando en la ecuacion original
x2 minus x
yyprimey2 = 1 =rArr x2yyprime minus yyprime minus xy2 = 0
=rArr (x2 minus 1)yprime = xy
=rArr yprime = xy
x2 + 1 es la ecuacion diferencial buscada
10 x2 + y2 minus cx = 0
Derivando 2x + 2yyprime = c
Reemplazando en la ecuacion original x2 + y2 minus (2x + 2yy prime)x = 0
=
rArr yprime =
x2 minus y2
2xy
es la ecuacion diferencial buscada
11 Hallar la ecuacion diferencial de cada uno de las siguientes familias de curvas
a) y = x sen(x + c) Rta (xyprime minus y)2 = x2(x2 minus y2)
b) Todos los cırculos que pasan por (1 0) y (minus1 0) Rta 2xy = (x2 minus y2 minus 1)yprime
c) Todos los cırculos con centro en la recta y = x que son tangentes a ambos ejes
Rta (x minus y)2(1 + yprime)2 = (x + yy prime)2
d) Todas las rectas tangentes a la parabola x2 = 4y
Sugerencia La pendiente de la recta tangente en (2a a2) es a Rta y + yprime = xy prime
e) Todas las rectas tangentes al cırculo unidad x2
+ y2
= 1 Rta (y minus xyprime
)2
= 1 minus (yprime
)2
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La derivada de una funcion real de variable real
Definicion 112 Sea la ecuaciacute on diferencial ordinaria lineal de orden n
any(n) + middot middot middot + a2y primeprime + a1y prime + a0 = b
La funciacute on f A minusrarr
es una de sus soluciones si para todo x isin A
anf (n)(x) + middot middot middot + a2f primeprime(x) + a1f prime(x) + a0 = b
Ejercicio 4 Demuestre que la funciacute on f
minusrarr definida por f (x) = sin x es una soluciacute on de la ecuaciacute on
diferencial y primeprime + y = 0
Solucion Lo unico que debemos hacer es derivar a f dos veces y sumar los resultados
f (x) = sin x minusrarr f prime(x) = cos x minusrarr f primeprime(x) = minus sin x sumando f primeprime(x) + f (x) = 0 por lo tanto f
es una solucion de la ecuacion diferencial y primeprime + y = 0
Ejercicio 5 Demuestre que la funciacute on f
minusrarr
definida por f (x) = 8ex+xex es una soluciacute on de la ecuaciacute on
diferencial yprimeprime minus 2yprime + y = 0
Solucion Derivemos a f hasta dos veces y reemplacemos en el primer miembro de la ecuacion diferencial Siresulta cero tal reemplazo entonces la funcion f es una solucion de tal ecuacion diferencial
f (x) = 8ex + xex =rArr f prime(x) = [8ex] prime + [xex] prime = 8ex + [x]primeex + x[ex] prime = 8ex + ex + xex = 9ex + xex
=rArr f primeprime(x) = [9ex] prime + [xex] prime = 9ex + [x]primeex + x[ex] prime = 9ex + ex + xex = 10ex + xex
Reemplazemos en el primer miembro de la ecuacion diferencial
f primeprime(x) minus 2f prime(x) + f (x) =1048667
10ex + xex1048669minus 2
10486679ex + xex
1048669+1048667
8ex + xex1048669
= 10ex + xex minus 18ex minus 2xex + 8ex + xex
= [10
minus18 + 8]ex + [1
minus2 + 1]xex
= 0
Dado que resulta f primeprime(x)minus2f prime(x)+f (x) = 0 entonces f (x) = 8ex+xex es una solucion de la ecuacion diferencial
ordinaria y primeprime minus 2yprime + y = 0
Ejercicio 6 Demuestre o descarte las siguientes afirmaciones
1 x + y2 = K describe la soluciacute on general de las ecuaciones diferenciales dy
dx = minus 1
2y 2yyprime + 1 = 0
2 y = K ex es la soluciacute on general de la ecuaciacute on diferencial yprime minus y = 0
3 y = sin x
x
es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial xyprime + y = cos x
4 y = 1
cos x es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial yprime minus y tan x = 0
5 y = 2xradic
1 minus x2 es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial yy prime = 4x minus 8x3
6 y = x
cos x es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial xyprime minus y = x2 tan x sec x
7 y = ex(x + 1) es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial yprimeprime minus 2yprime + y = 0
8 y = ln(x + c) + 2 es la soluciacute on general de la ecuaciacute on diferencial yprimeeyminus2 minus 1 = 0
9 y = sen3 x es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial yprimeprime + (tan x minus 2cot x)yprime = 0
10 y = arcsin(xy) describe una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial xyprime + y = yradic
1 minus x2y2
11 y = c1eminusx + c2ex + c3eminus2x + c4e2x es soluciacute on general de la ecuaciacute on diferencial y(iv) minus 5yprimeprime + 4y = 0
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La derivada de una funcion real de variable real
15 Funciones derivables
151 Funciones derivables en un intervalo
Sin ser redundantes presentamos a los intervalos de
1 [a b] = x isin
a le x le b
2 ⟨a b⟩ = x isin
a lt x lt b
3 ⟨a b] = x isin
a lt x le b
4 [a b⟩ = x isin
a le x lt b
5 ⟨minusinfin b⟩ = x isin 1048623x lt b
6 ⟨minusinfin b] = x isin
1048623x le b
7 ⟨a +infin⟩ = x isin
1048623a lt x
8 [a +infin⟩ = x isin
1048623a le x
9 ⟨minusinfin +infin⟩ =
y
10 [a a] = a
Los cuatro primeros y el ultimo son los intervalos limitados los cinco siguientes son intervalos ilimitados el
ultimo se denomina un intervalo degenerado desde el segundo hasta el cuarto intervalo a lt b
Definicion 113 Sea la funciacute on f I minusrarr donde I es un intervalo de
1 La funciacute on f ⟨a b⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨a b⟩ si lo es en cada punto de ⟨a b⟩
2 La funciacute on f ⟨minusinfin b⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨minusinfin b⟩ si lo es en cada punto de ⟨minusinfin b⟩
3 La funciacute on f ⟨a +infin⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨a +infin⟩ si lo es en cada punto de ⟨a +infin⟩
4 La funciacute on f [a b⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo [a b⟩ si existe un intervalo abierto del tipo ⟨ p q ⟩ que
contiene a [a b⟩ tal que f sea derivable sobre ⟨ p q ⟩
5 La funciacute on f ⟨a b] minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨a b] si existe un intervalo abierto del tipo ⟨ p q ⟩ que
contiene a ⟨a b] tal que f sea derivable sobre ⟨ p q ⟩
6 La funciacute on f [a +infin⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo [a +infin⟩ si existe un intervalo abierto del tipo⟨ p +infin⟩ que contiene a [a +infin⟩ tal que f sea derivable sobre ⟨ p +infin⟩
7 La funciacute on f ⟨minusinfin b] minusrarr es derivable en el intervalo ⟨minusinfin b] si existe un intervalo abierto del tipo
⟨minusinfin q ⟩ que contiene a ⟨minusinfin b] tal que f sea derivable sobre ⟨minusinfin q ⟩
8 La funcion f [a b] minusrarr es derivable en el intervalo [a b] si existe un intervalo abierto del tipo ⟨ p q ⟩ que
contiene a [a b] tal que f sea derivable sobre ⟨ p q ⟩
Observaciones
1 La funcion f [a b
⟩ minusrarr es derivable en el intervalo [a b
⟩ si y solo si es derivable en cada punto de
⟨a b
⟩y existe f prime+(a)
2 La funcion f [a +infin⟩ minusrarr es derivable en el intervalo [a +infin⟩ si y solo si es derivable en cada punto de
⟨a +infin⟩ y existe f prime+(a)
3 La funcion f ⟨a b] minusrarr es derivable en el intervalo ⟨a b] si y solo si es derivable en cada punto de ⟨a b⟩
y existe f primeminus
(b)
4 La funcion f ⟨minusinfin b] minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨minusinfin b] si y solo si es derivable en cada punto de
⟨minusinfin b⟩ y existe f primeminus
(b)
5 La funcion f [a b] minusrarr
es derivable en el intervalo [a b] si y solo si es derivable en cada punto de ⟨a b⟩y existen f prime+(a) y f prime
minus(b)
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La derivada de una funcion real de variable real
6 Sea I un intervalo abierto Si la funcion f I minusrarr es derivable su funcion derivada f prime I minusrarr tendra el
mismo dominio que f
7 Sea I un intervalo abierto Si la funcion f I minusrarr
es k veces derivable su funcion kndashesima derivada
f (k) I minusrarr
tendra el mismo dominio que f
8 Sea I un intervalo no abierto Si la funcion f I minusrarr
es derivable su funcion derivada f prime J minusrarr
tendra como dominio al interior de I
152 Funciones de clase C k
Sea I un intervalo de
Si la funcion f I minusrarr
es derivable en I entonces es continua en I pero
posiblemente la funcion derivada f prime J minusrarr
no sea continua en I J = int (I )
Definicion 114 Sea I un intervalo de Si la funcion f I minusrarr es continua en I diremos que ldquo f rdquo es una
funciacute on de clase cero C 0 sobre I
⋆ Si ldquof rdquo es una funcion de clase C 0 sobre I lo denotamos por f
isin C 0(I )
Definicion 115 Sea I un intervalo abierto de
Si la funciacute on f I minusrarr
es derivable en I y la funciacute on
f prime I minusrarr es continua en I diremos que f es continuamente derivable en I o simplemente la funciacute on ldquo f rdquo es
de clase C 1 sobre I
⋆ Si ldquof rdquo es una funcion de clase C 1 sobre I lo denotamos por f isin C 1(I )
Definicion 116 Sea I un intervalo abierto de
La funcion f I minusrarr
es de clase C k sobre el intervalo I
si es k veces derivable sobre I y la funciacute on f (k) I minusrarr
es continua en I
⋆ Si ldquof rdquo es una funcion de clase C k sobre I lo denotamos por f
isin C k(I )
Definicion 117 Sea I un intervalo abierto de La funciacute on f I minusrarr es de clase C infin sobre el intervalo I
si existe f (n) para todo n isin 0 1 2 middot middot middot
⋆ Si ldquof rdquo es una funcion de clase C infin sobre I lo denotamos por f isin C infin(I )
Ejemplo 117
1 La funcion f
minusrarr
definida por f (x) = ex es de clase C infin sobre
Con la notaciones presentadas
tenemos la pertenencia f isin C infin(
)
2 La funcion f minusrarr
definida por f (x) = p(x) donde p(x) es un polinomio es de clase C infin
sobre
Conla notaciones presentadas tenemos la pertenencia f isin C infin( )
3 La funcion f [0 +infin⟩ minusrarr definida por f (x) =
radic x es de clase C infin sobre ⟨0 +infin⟩ Con la notaciones
presentadas tenemos la pertenencia f isin C infin983080
[0 +infin⟩983081
153 Funciones no derivables
Sea f una funcion cuyo dominio sea el conjunto A sub
Si f es derivable en el punto a isin A entonces la
grafica de f en su punto (a f (a)) tiene una unica recta tangente La idea de recta tangente en este caso no es
la misma que usted tiene a cerca de una recta tangente a una circunferencia en donde ellos tienen un unico
punto en comun es decir si la recta L es tangente a la circunferencia C entonces L y C tienen un unico punto
en comun llamado punto de tangencia Mientras que si L es una recta tangente a la grafica de la funcion f
es posible que ellos tengan otro punto en comun a parte del punto de tangencia la idea de tangencia que se
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expone es local y no global en el sentido de que si L es una recta tangente a la grafica de la funcion f el punto
de tangencia es unico cerca de el especıficamente La recta L es una tangente a la grafica de la funcion f en su
punto (a f (a)) si existe un cırculo de centro (a f (a)) dentro del cual L y la grafica de la funcion f tienen un
unico punto en comun y los puntos de la grafica de f que pertenecen al cırculo estan a un solo lado de L Y si
ademas la funcion f es derivable en a la pendiente de L es f prime(a)
X
Y
L L L
y f x ( )=a
X
Y
L L L
y f x ( )=a
Si una funcion f es continua en un punto a no siempre sera derivable en dicho punto existe la posibilidad de
que lo sea como tambien que no como por ejemplo
La funcion f ⟨0 2⟩ minusrarr
definida por f (x) =
983163 2x si 0 lt x lt 1
2 si 1 le x lt 2es continua en el punto a = 1 pero
no es derivable en dicho punto pues no existe f prime(1) La existencia de la derivada f prime(1) implica que la grafica
de la funcion f tiene una unica recta tangente en el punto (1 f (1)) la no existencia de f prime(1) implica que la
grafica de la funcion f tiene una varias rectas en ese punto o no en este ejemplo como veremos gr aficamente
la funcion f posee varia rectas tangentes en su punto (1 f (1))
X
Y
y f x ( )=
1 2
X
Y
L L L
y x 2=
y x 3=
1
2
3
Grafico de f (x) =983163 2x si 0 lt x lt 1
2 si 1 le x lt 2 Grafico de f (x) =
x2 si
minus1 lt x lt 1
2x3
3 si 1 le x lt 2
Si una funcion f es derivable en un punto a entonces por el teorema 17 sera continua en dicho punto por
ejemplo la funcion f ⟨0 2⟩ minusrarr
f (x) =
x2 si minus1 lt x lt 1
2x3
3 si 1 le x lt 2
es derivable en a = 1 mas aun es
continua en dicho punto Es mas la grafica de f tiene una unica recta tangente en su punto (1 f (1))
De acuerdo al teorema 16 una funcion es no derivable en el punto ldquoardquo si f primeminus
(a) = f prime+(a) o una de la
derivadas laterales f primeminus
(a) f prime+(a) no existe Y de acuerdo al teorema 17 si f no es continua en el punto ldquoardquo
entonces no es derivable en ese punto
Los siguientes son ejemplos graficos de funciones no derivables en un punto
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La derivada de una funcion real de variable real
X X
Y Y
a a b
y f x = ( ) y f x = ( )
f a f a bno es derivable en no es derivable en y
f a
f b
es derivable en por derecha
es derivable en por izquierda
2 Teoremas sobre funciones derivables
21 Extremos relativos de una funcion
Definicion 21 Sean empty = X sub
y m isin
Diremos que ldquo mrdquo es el mınimo del conjunto X si m isin X y m le x
para todo x isin X
Definicion 22 Sean empty = X sub
y M isin
Diremos que ldquo M rdquo es el macute aximo del conjunto X si M isin X y
M ge x para todo x isin X
Observaciones
1 No todo subconjunto no vacıo de
posee maximo yo mınimo
2 Si un subconjunto no vacıo de
posee maximo yo mınimo este es unico y ademas es uno de los elementos
del conjunto
3 Si ldquomrdquo es el mınimo del conjunto X entonces lo denotamos por m = mın X
4 Si ldquoM rdquo es el maximo del conjunto X entonces lo denotamos por M = max X
5 Si m = mın X y M = max X entonces m le M y ademas m le x le M para todo x isin X
Ejemplo 21
1 El conjunto de los numeros naturales posee mınimo y es 1 es decir 1 = mın pero no posee maximo
2 El conjunto
el de los numeros enteros no posee ni maximo ni mınimo El conjunto
el de los numeros
racionales no posee ni maximo ni mınimo
3 Veamos algunos intervalos
a) Los intervalos ⟨a b⟩ ⟨a b] ⟨a +infin⟩ no poseen mınimo
b) Los intervalos ⟨a b⟩ [a b⟩ ⟨minusinfin b⟩ no poseen maximo
c) a = mın[a b] a = mın[a b⟩ a = mın[a +infin⟩
d) b = max[a b] b = max⟨a b] b = max⟨minusinfin b]
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La derivada de una funcion real de variable real
Definicion 23 Sean empty = A sub f A minusrarr una funciacute on y x0 isin A
1 La funciacute on ldquo f rdquo tiene un mınimo absoluto en x0 si f (x0) le f (x) para todo x isin A
2 La funciacute on ldquo f rdquo tiene un macute aximo absoluto en x0 si f (x) le f (x0) para todo x isin A
3 La funci on ldquo f rdquo tiene un mınimo relativo en x0 si existe un δ gt 0 tal que f (x0) le f (x) para todo
x isin A cap ⟨x0 minus δ x0 + δ ⟩
4 La funci on ldquo f rdquo tiene un macute aximo relativo en x0 si existe un δ gt 0 tal que f (x) le f (x0) para todo
x isin A cap ⟨x0 minus δ x0 + δ ⟩
Observaciones Sean empty = A sub
f A minusrarr
una funcion y x0 isin A
1 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo relativo en x0 diremos tambien que f tiene un mınimo local en x0
2 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo relativo en x0 diremos tambien que f tiene un maximo local en x0
3 La funcion ldquof rdquo tiene un extremo absoluto en x0 si tiene un mınimo o maximo absoluto en dicho punto
4 La funcion ldquof rdquo tiene un extremo relativo en x0 si tiene un mınimo o maximo relativo en dicho punto
5 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo absoluto en x0 entonces f (x0) es el mınimo del rango de la funcion es
decir
f (x0) = mın Ran (f )
Al numero f (x0) lo denominaremos el valor mınimo de f en su dominio
6 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo absoluto en x0 entonces f (x0) es el maximo del rango de la funcion es
decir
f (x0) = max Ran (f )
Al numero f (x0) lo denominaremos el valor maximo de f en su dominio
7 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo relativo en x0 entonces f no siempre tendra un mınimo absoluto en x0
Una funcion puede poseer un mınimo relativo sin tener un mınimo absoluto
8 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo relativo en x0 entonces f no siempre tendra un maximo absoluto en
x0 Una funcion puede poseer un maximo relativo sin tener un maximo absoluto
9 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo absoluto en x0 entonces f tiene un mınimo relativo en dicho punto Lo
contrario no siempre es cierto
En la figura la funcion f minusrarr tiene maximo
relativo en x = 0 pero no posee maximo absolutoen su dominio
En la figura la funcion g minusrarr tiene mınimo
relativo en x = 0 pero no posee mınimo absolutoen su dominio
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La derivada de una funcion real de variable real
10 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo absoluto en x0 entonces f tiene un maximo relativo en dicho punto Lo
contrario no siempre es cierto
11 Una funcion puede tener extremos absolutos en mas de un punto vea el siguiente grafico
En la figura la funcion f
minusrarr
tiene mınimo
absoluto en dos puntos diferentes
En la figura la funcion g
minusrarr
tiene maximo
absoluto en dos puntos diferentes
12 La funcion ldquof rdquo tiene un extremo en el punto x0 si tiene un maximo o mınimo absoluto o relativo en dicho
punto
Y Y
X X
figura (a) figura (b)
x x x x 0 1 2 3 4 5 6x x x x x x x x x x 0 1 2 3 4 5 6
y f x = ( )
y f x = ( )
En la figura (a) Dom(f ) = [x0 x6] la funcion tiene
un mınimo absoluto en el punto x2 y maximo absolu-
to en el punto x5 mientras que tiene mınimo relativo
en los puntos x0 x2 x4 y x6 y maximo relativo en
los puntos x1 x3 y x5
En la figura (b) Dom (f ) = [x0 x6⟩minusx3 la funcion
no tiene mınimo absoluto ni maximo absoluto mien-
tras que tiene mınimo relativo en los puntos x0 x2 y
x4 y maximo relativo en los puntos x1 y x5
Teorema 21 Si la funcion f tiene un extremo en x0 y f prime(x0) existe entonces f prime(x0) = 0
Observaciones
1 Lo contrario no siempre es cierto es decir si f prime(x0) = 0 entonces f no siempre tendra un extremo en x0
Un ejemplo simple es para f (x) = (x minus 2)3 en x0 = 2
2 Si la funcion f tiene un extremo en x0 y f prime
(x0) existe entonces la recta tangente a la grafica de la funcionen el punto
(x0 f (x0)
852009 en horizontal
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La derivada de una funcion real de variable real
3 Si la funcion f tiene un extremo en x0 y f prime(x0) no existe entonces o bien no existe recta tangente a la
grafica de la funcion en el punto(
x0 f (x0)852009
o existen infinitas rectas tangente a la grafica de la funcion en
el punto(
x0 f (x0)852009
pudiendo ser una de ellas una recta vertical
En la figura la funcion f
minusrarr
tiene un extremo
en x = 0 pero f prime(0) no existe ademas la grafica de
esta funcion posee infinitas rectas tangente en el pun-
to(
0 f (0)852009
En la figura la funcion g
minusrarr
tiene extremo en
los puntos x0 x1 existen g prime(x0) g prime(x1) y las rectas
tangente en(
x0 g(x0)852009
y(
x1 g(x1)852009
son horizontales
22 El teorema del valor medio
Teorema 22 (Teorema de Rolle) Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si f es continua en [a b] es derivable en
⟨a b⟩ y f (a) = f (b) entonces existe un c isin ⟨a b⟩ tal que f prime(c) = 0
Observaciones
1 Si la funcion f satisface las hipotesis del teorema de Rolle la existencia del punto c tales que f prime(c) = 0 no
siempre es unica pueden existir otros puntos del intervalo ⟨a b⟩ cuya primera derivada en esos puntos sea
cero
2 La condicion f (a) = f (b) indica que la recta que pasa por los puntos(
a f (a)852009
y(
b f (b)852009
es horizontal El
teorema garantiza la existencia de al menos un punto c isin ⟨a b⟩ tal que la recta tangente a la grafica de la
funcion f el punto(
c f (c)852009
tambien sea horizontal
X X
Y Y
y=f x( )
y=f x( )
figura (a) figura (b)
a c c b1 3 a b
c2
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La derivada de una funcion real de variable real
En la figura (a) la funcion f satisface las hipotesis del
teorema de Rolle por tanto en este caso existen pun-
tos c1 c2 y c3 del intervalo ⟨a b⟩ tal que f prime(c1) = 0
f prime(c2) = 0 y f prime(c3) = 0
En la figura (b) la funcion f no satisface las hipotesis
del teorema de Rolle en tanto no se garantiza la exis-
tencia de puntos del intervalo ⟨a b⟩ tal que la primera
derivada de f en esos puntos sea cero
Teorema 23 (El teorema del valor medio de Lagrange) Sea la funciacute on f [a b]
minusrarr
Si f es continua
en [a b] es derivable en ⟨a b⟩ entonces existe un c isin ⟨a b⟩ tal que
f prime(c) = f (b) minus f (a)
b minus a
Observaciones
1 Si la funcion f satisface las hipotesis del teorema del valor medio de Lagrange la existencia del punto c tales
que f prime(c) = f (b) minus f (a)
b minus a no siempre es unica pueden existir otros puntos del intervalo ⟨a b⟩ cuya primera
derivada en esos puntos sea igual a f (b) minus f (a)
b minus a
2 Sea L la recta que pasa por los puntos(
a f (a)852009
y(
b f (b)852009
el teorema garantiza la existencia de al menosun punto c isin ⟨a b⟩ tal que la recta tangente a la grafica de la funcion f el punto
(c f (c)
852009 sea paralela a L
Y Y
X X
y = f x ( ) y = f x ( )
f a ( )
f a ( )
f b( )
f b( )
figura (a) figura (b)
a c b1 b
c 2 a
L L L
L L L
En la figura (a) la funcion f satisface las hipotesis del
teorema de Lagrange por tanto en este caso existen
puntos c1 y c2 del intervalo ⟨a b⟩ tal que
f prime(c1) = f (b) minus f (a)
b minus a y f prime(c2) =
f (b) minus f (a)
b minus a
En la figura (b) la funcion f no satisface las hipotesis
del teorema de Lagrange en tanto no se garantiza
la existencia de puntos del intervalo ⟨a b⟩ tal que laprimera derivada en ese punto sea igual a
f (b) minus f (a)
b minus a
Teorema 24 (El teorema generalizado del valor medio de Cauchy) Sean las funciones f [a b] minusrarr
y g [a b] minusrarr
continuas en [a b] y derivables en ⟨a b⟩ con g(b) = g(a) y g prime(x) = 0 para todo x isin ⟨a b⟩
entonces existe un c isin ⟨a b⟩ tal que f prime(c)
g prime(c) =
f (b) minus f (a)
g(b) minus g(a)
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La derivada de una funcion real de variable real
23 Funciones crecientes y decrecientes
Definicion 24 (Funcion creciente) Sean empty = A sub
y la funciacute on f A minusrarr
Diremos que la funciacute on f
es creciente o estrictamente creciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) lt f (x2)
Definicion 25 (Funcion decreciente) Sean empty = A sub
y la funci on f A minusrarr
Diremos que la funcion f
es decreciente o estrictamente decreciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) gt f (x2)
Y Y
X X
f x ( )1
f x ( )1
x 1
x 1x 2
x 2
f x ( )2
f x ( )2
Graacutefico de una funcioacutenestrictamente creciente
Graacutefico de una funcioacutenestrictamente decreciente
Definicion 26 (Funcion no creciente) Sean empty = A sub y la funci on f A minusrarr
Diremos que la funciacute on
f es no creciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) ge f (x2)
Definicion 27 (Funcion no decreciente) Sean empty = A sub y la funciacute on f A minusrarr
Diremos que la
funciacute on f es no decreciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) le f (x2)
Y Y
X X
x 1 x 2 x 1 x 2
Graacutefico de una funcioacuten
no decreciente
Graacutefico de una funcioacuten
no creciente
Definicion 28 (Funcion monotona) Sean empty = A sub
y la funci on f A minusrarr
Diremos que la funciacute on f
es monacute otona sobre A si es creciente o decreciente o no creciente o no decreciente sobre A
Observaciones
1 Para definir funciones monotonas (crecientes decrecientes no crecientes o no decrecientes) no es necesario
saber la continuidad y la derivabilidad de la funcion en su dominio
2 Existen funciones monotonas que no son derivables yo continuas en su dominio
Teorema 25 Sean empty = A sub y la funciacute on f A minusrarr Si la funciacute on f es estrictamente creciente sobre A
entonces f es una funciacute on inyectiva y su funcion inversa f lowast tambien es estrictamente creciente sobre Ran(f )
Teorema 26 Sean empty = A sub
y la funci on f A minusrarr
Si la funci on f es estrictamente decreciente sobre A
entonces f es una funciacute on inyectiva y su funciacute on inversa f lowast tambien es estrictamente decreciente sobre Ran(f )
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La derivada de una funcion real de variable real
Y Y
X X
f
f
f
f
Teorema 27 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr
Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩
con f
prime
(x) gt 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es estrictamente creciente sobre [a b]
Teorema 28 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩
con f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es estrictamente decreciente sobre [a b]
X X
a
a b
b
Observaciones
1 Del teorema 27 si la pendiente de todas las rectas tangente a la grafica de la funcion sobre ⟨a b⟩ es positiva
entonces la funcion es estrictamente creciente sobre [a b]
2 Del teorema 28 si la pendiente de todas las rectas tangente a la grafica de la funcion sobre ⟨a b⟩ es negativa
entonces la funcion es estrictamente decreciente sobre [a b]
Teorema 29 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr
Si la funcion f es continua sobre [a b] y es inyectiva en [a b]
entonces f es estrictamente creciente o estrictamente decreciente sobre [a b] pero no ambos
X X
a
a b
b
f ab
ab
es continua e inyectiva sobre [ ]en este caso es creciente sobre [ ]
f ab
ab
es continua e inyectiva sobre [ ]en este caso es decreciente sobre [ ]
f f
Teorema 210 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funciacute on f es continua y estrictamente creciente sobre
[a b] entonces Ran(f ) =1048667
f (a) f (b)1048669
y su funciacute on inversa f lowast 1048667
f (a) f (b)1048669 minusrarr
es tambien continua y
estrictamente creciente sobre [a b]
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La derivada de una funcion real de variable real
Teorema 211 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funcion f es continua y estrictamente decreciente sobre
[a b] entonces Ran(f ) =1048667
f (b) f (a)1048669
y su funciacute on inversa f lowast 1048667
f (b) f (a)1048669 minusrarr
es tambien continua y
estrictamente decreciente sobre [a b]
Teorema 212 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre
⟨a b⟩ con f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es no decreciente sobre [a b]
Teorema 213 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre
⟨a b⟩ con f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es no creciente sobre [a b]
Teorema 214 (de la funcion constante) Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre
[a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩ con f prime(x) = 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es constante sobre [a b] es decir
existe una constante C tal que f (x) = C para todo [a b]
Teorema 215 (de la diferencia constante) Sean las funciones f [a b] minusrarr
y f [a b] minusrarr
Si las
funciones f y g son continuas sobre [a b] y es derivables sobre ⟨a b⟩ con f prime(x) = g prime(x) para todo x isin ⟨a b⟩entonces existe una constante C tal que f (x) = g(x) + C para todo [a b]
Definicion 29 (Punto crıtico) Sean I un intervalo de
x0 un punto de I y la funciacute on f I minusrarr
El
punto x0 es un punto crıtico de la funciacute on f I minusrarr si x0 satisface alguna de las siguientes condiciones
a) f prime(x0) = 0 o b) f prime(x0) = 0 no existe o c) f tiene un extremo en x0
Observaciones
1 Si x0 es un punto crıtico de la funcion f no podemos concluir con certeza una de las condiciones mencionadas
2 Si x0 es un punto crıtico de la funcion f y f prime(x0) = 0 no podemos concluir con certeza que f tiene un
extremo en dicho punto
Por ejemplo sea la funcion f [1 3] minusrarr definida
por f (x) = (x minus 2)3 cuya funcion derivada es
f prime ⟨1 3⟩ minusrarr
983087 f prime(x) = 3(x minus 2)2
En x0 = 2 tenemos f prime(x0) = 0 pero f no tiene
maximo ni mınimo en 2 f tiene un mınimo en 1
y un maximo en 3 por tanto 1 2 y 3 son puntos
crıticos de f
Y
X
1
2
Ejercicio 7 Hal le los puntos crıticos de las siguientes funciones
1 f
minusrarr que estacute a definida por
f (x) = 1
4(x4 minus 6x2 + 8x) + 5
2 f
minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = 3
radic (x + 4)2(x minus 5)
3 f
minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = 5x23 minus x53
4 f
minusrarr
que estacute a definida por f (x) = x + 1
x2 + 1
5 f
minus 1 minusrarr que estacute a definida por
f (x) = x3 minus 2
(x minus 1)2
6 f
minusrarr
que estacute a definida por f (x) = x2 + 3radic
x2 + 1
7 f [minusπ2
π2
] minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = sin2 x minus |x|
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7242019 La derivada de una funci on real de variable real
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La derivada de una funcion real de variable real
231 Criterio de la primera derivada para extremos de una funcion
Aquı presentamos un criterio que nos ayuda a determinar si un punto crıtico es aquel en donde una funcion
alcanza su valor maximo o mınimo
Teorema 216 (Criterio de la primera derivada) Sean la funciacute on f A minusrarr
el intervalo [a b] contenido
en A y x0
isin ⟨a b
⟩ un punto crıtico de f
1 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f tiene un macute aximo en el punto x0
2 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f tiene un mınimo en el punto x0
3 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) gt 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) gt 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f no tiene macute aximo ni mınimo en el punto x0
4 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f no tiene macute aximo ni mınimo en el punto x0
X X
a bx 0a bx 0
f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0lt gt f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0gt lt
f
f
f tiene un maacuteximo en x 0 f tiene un miacutenimo en x 0
X X a bx 0a bx 0
f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0lt lt f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0gt gt
f f
f no tiene un extremo en x 0 f no tiene un extremo en x 0
Observaciones
1 Al ser x0 un punto crıtico de f el criterio de la primera derivada no garantiza que exista f prime(x0)
2 El criterio de la primera derivada requiere que f sea derivable en ⟨a x0⟩ cup ⟨x0 b⟩ mas no en x0
3 Un metodo que nos permite hallar puntos crıticos de la funcion f en [a b] es resolver la ecuacion f prime(x) = 0
sujeta a la condicion x isin ⟨a b⟩ pero tal metodo solo nos proporciona todos los puntos crıticos de f que
cumple la primera condicion dada en la definicion 29
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La derivada de una funcion real de variable real
4 Los graficos anteriores presentan al punto crıtico x0 de f en el cual existe f prime(x0) y es igual a cero es mas
en los dos primeros graficos la recta tangente en el punto (x0 f (x0)) es horizontal iquestCual es el aspecto de
la grafica de f si es que no existiera f prime(x0)
5 Sea x0 isin ⟨a b⟩ un punto crıtico de la funcion f Al utilizar el criterio de la primera derivada para averiguar
si f tiene maximo o mınimo en x0 es necesario resolver las inecuaciones f prime(x) lt 0 y f prime(x) gt 0 sujetas
a la restriccion x isin ⟨a b⟩ tales procesos son sencillos para algunas funciones pero existen funciones paralos cuales tales resoluciones son complicadas y ahı el criterio de la primera derivada no es recomendable
utilizarlo pero tal deficiencia se supera utilizando otro criterio para determinar extremo de una funcion
6 El criterio de la primera derivada tambien es aplicable cuando en lugar del intervalo ⟨a b⟩ se considera a
otros tipos de intervalos abiertos si es que estan contenidos en el dominio de la funcion
Por ejemplo para la funcion f
minusrarr
definida por f (x) = x2 su unico punto crıtico es x0 = 0 f prime(x) lt 0
para todo x lt 0 y f prime(x) gt 0 para todo x gt 0 por tanto f tiene un mınimo en 0 y su valor mınimo es
f (0) = 0
232 Criterio de la segunda derivada para extremos de una funcion
Aquı presentamos otro criterio que nos ayuda a determinar si un punto crıtico es aquel en donde una funcion
alcanza su valor maximo o mınimo este metodo requiere la existencia de la segunda de la funcion en su punto
crıtico
Teorema 217 (Criterio de la segunda derivada) Sean la funciacute on f A minusrarr
el intervalo [a b] contenido
en A y x0 isin ⟨a b⟩ un punto crıtico de f para el cual f primeprime(x0) existe
1 Si la funciacute on f es derivable en ⟨a b⟩ f prime(x0) = 0 y f primeprime(x0) lt 0 entonces f tiene un macute aximo en el punto x0
2 Si la funciacute on f es derivable en
⟨a b
⟩ f prime(x0) = 0 y f primeprime(x0) gt 0 entonces f tiene un mınimo en el punto x0
X X
a bx 0a bx 0
f a b f f es derivable en ( ) 0 ( ) 0 x x 0 0= lt f a b f f es derivable en ( ) 0 ( ) 0 x x 0 0= gt
f
f
f tiene un maacuteximo en x 0 f tiene un miacutenimo en x 0
Observaciones
1 Los graficos anteriores presentan al punto crıtico x0 de f en el cual existe f primeprime(x0) y es diferente a cero
2 El criterio de la segunda derivada tambien es aplicable cuando en lugar del intervalo ⟨a b⟩ se considera a
otros tipos de intervalos abiertos si es que estan contenidos en el dominio de la funcion
Por ejemplo para la funcion f
minusrarr
definida por f (x) = x2 su unico punto crıtico es x0 = 0 y
f primeprime(0) = 2 gt 0 por tanto f tiene un mınimo en 0 y su valor mınimo es f (0) = 0
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La derivada de una funcion real de variable real
24 Concavidad y puntos de inflexion
25 La regla de Lrsquo Hospital
3 Aplicaciones de la derivada
31 Trazado de grafica de funciones
32 Derivadas parametricas
321 Regla de la cadena
33 Diferencial de una funcion
34 Razon de cambio
Indice
1 La derivada 111 Derivadas laterales 4
12 Derivacion y continuidad 5
13 Derivadas de orden superior 7
131 Notacion de derivadas 7
132 El operador d
dx 8
133 La segunda derivada 10
134 Derivada de ordenes mayores a dos 10
135 Notacion de derivadas de ordenes superiores 11
14 Derivadas implıcitas 12
141 Ecuaciones diferenciales ordinarias de lugares geometricos 13
15 Funciones derivables 18
151 Funciones derivables en un intervalo 18
152 Funciones de clase C k 19
153 Funciones no derivables 19
2 Teoremas sobre funciones derivables 21
21 Extremos relativos de una funcion 21
22 El teorema del valor medio 24
23 Funciones crecientes y decrecientes 26
231 Criterio de la primera derivada para extremos de una funcion 29
232 Criterio de la segunda derivada para extremos de una funcion 30
24 Concavidad y puntos de inflexion 31
25 La regla de Lrsquo Hospital 31
3 Aplicaciones de la derivada 31
31 Trazado de grafica de funciones 31
32 Derivadas parametricas 31
321 Regla de la cadena 31
33 Diferencial de una funcion 31
34 Razon de cambio 31
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La derivada de una funcion real de variable real
141 Ecuaciones diferenciales ordinarias de lugares geometricos
Definicion 18 (Ecuacion diferencial) Una ecuaciacute on diferencial es aquella que contiene una o macute as fun-
ciones de una o macute as variables y algunas de sus derivadas respecto a sus variables independientes
Definicion 19 (Ecuacion diferencial ordinaria) Una ecuaciacute on diferencial ordinaria es aquella que con-
tiene una o macute as funciones de una variable y algunas de sus derivadas respecto a su variable independiente El
orden de esta ecuaciacute on diferencial ordinaria es el de la derivada de mayor orden contenida en ella
Ejemplo 110 La siguientes son ecuaciones diferenciales ordinarias
1 2yprimeprime + xyprime + y = sen x su orden es 2
2 yprimeprimeprime minus 2yprimeprime + 5yprime + y = ln x su orden es 3
3 xyprime + sen x = tan x su orden es 1
4 y(5) + y(4) + yprimeprimeprime + yprimeprime + yprime + y = 0 su orden es 5
5 2yprimeprime + xyprime + y3 = sen x su orden es 2
6 (yprimeprimeprime)2 minus 2(yprimeprime)7 + 5yprime + y = ln x su orden es
7 xyprime + sen x = tan y su orden es 3
8 y(5) + y(4) + yprimeprimeprime + (yprimeprime)4 + yprime + ln y = 0 su orden es 5
9 yy primeprime + x2y = x su orden es 2
Definicion 110 Un lugar geometrico del plano
2 es un conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen una
o macute as ecuaciones del tipo F (x y) = K
Ejemplo 111 La recta la circunferencia la paracute abola la elipse la hiperbola las graficas de funciones son
ejemplos de lugares geometricos
Definicion 111 La ecuaciacute on diferencial ordinaria de un lugar geometrico cuya ecuaciacute on es F (x y) = K es
aquella que se obtiene al derivar esta ecuaciacute on con respecto a una de sus variables
Teorema 18 Si un lugar geometrico cuya ecuaciacute on es F (x y) = K contiene n constantes independiente
entonces su ecuaciacute on diferencial ordinaria tendracute a orden n
Ejemplo 112 Halle la ecuaciacute on diferencial ordinaria de todas las circunferencias con centro el origen de
coordenadas
Solucion La ecuacion de esta familia de circunferencias es x2 + y2 = r2 y contiene una sola constante Al
derivar a ambos miembros respecto a x tenemos 2x + 2yyprime = 0 Por tanto la ecuacion diferencial ordinaria de
estas circunferencias sera
x + yy prime = 0 o yprime = minusy
x
Ejemplo 113 Halle la ecuaciacute on diferencial ordinaria de todas las rectas horizontales
Solucion La ecuacion de esta familia de rectas es y = K y contiene una sola constante Al derivar a ambos
miembros respecto a x tenemos y prime = 0 Por tanto la ecuacion diferencial ordinaria de estas rectas sera
yprime = 0
Ejemplo 114 Halle la ecuaciacute on diferencial ordinaria de todas las rectas con pendiente 2
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La derivada de una funcion real de variable real
Solucion La ecuacion de esta familia de rectas es y = 2x + K y contiene una sola constante Al derivar a
ambos miembros respecto a x tenemos y prime = 2 Por tanto la ecuacion diferencial ordinaria de estas rectas sera
yprime = 2
Ejemplo 115 Halle la ecuaciacute on diferencial ordinaria de todas las rectas que pasan por el origen de coordenadas
Solucion Solo consideraremos a las rectas no verticales que pasan por el origen La ecuaci on de esta familia
de rectas es y = Kx y contiene una sola constante entonces su ecuacion diferencial debe ser de orden uno
Al derivar a ambos miembros respecto a x tenemos yprime = K pero K = y
x Por tanto la ecuacion diferencial
ordinaria de estas rectas sera
yprime = y
x si x = 0 yprime = 0 si y = 0
Ejemplo 116 En los siguientes ejemplos dada una funciacute on obtener la ecuaciacute on diferencial de la cual es
soluciacute on
1 y = ceminus2x + x
El orden de la ecuacion diferencia buscada es 1 entonces derivando tenemos
yprime
= minus2ceminus
2x + 1 = minus2ceminus
2x + 1 + 2x minus 2x = minus2(ceminus
2x + x) + 1 + 2x = minus2y + 1 + 2x
there4dy
dx = 1 minus 2(y minus x) es la ecuacion diferencial buscada
2 y = C 1 sen 4x + C 2 cos 4x + x
El orden de la ecuacion diferencia buscada es 2 entonces derivando tenemos
yprime = 4C 1 cos 4x minus 4C 2 sen 4x + 1 yprimeprime = minus16C 1 sen 4x minus 16C 2 cos 4x
yprimeprime = minus16(C 1 sen 4x + C 2 cos 4x) = minus16(y minus x)
there4 yprimeprime + 16y minus 16x = 0 es la ecuacion diferencial buscada
3 y = ax3 + bx2 + cx
El orden de la ecuacion diferencia buscada es 3 entonces derivando tenemos
yprime = 3ax2 + 2bx + c yprimeprime = 6ax + 2b yprimeprimeprime = 6a Reemplazando en la ecuacion a b y c
y = yprimeprimeprime
6 x3 +
1
2
983080yprimeprime minus yprimeprimeprimex
983081x2 +
983080yprime minus yprimeprime
2 minus yprimeprimeprimex
983081x
there4 11x3yprimeprimeprime minus 3x2yprimeprime + 6xyprime + 6y = 0 es la ecuacion diferencial buscada
4 Hallar la ecuacion diferencial de la familia de circunferencias de radio 1 con centro en la recta bisectriz del
primer y tercer cuadrante
Solucion
x
y
y = x
h
h1
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La derivada de una funcion real de variable real
La ecuacion de la familia de circunferencias es (x minus h)2 + (y minus h)2 = 1 en ella solo figura una constante
entonces el orden de la ecuacion diferencia buscada es 1
Derivando respecto a x tenemos 2(x minus h) + 2(y minus h)yprime = 0 =rArr x minus h + yy prime minus hyprime = 0
=rArr h(1 + yprime) = x + yy prime =rArr h = x + yy prime
yprime + 1
Reemplazando en la ecuacion de las circunferencias
1048616x minus
x + yy prime
yprime + 110486172
+1048616
y minus x + yy prime
yprime + 110486172
= 1
=rArr (x(yprime + 1) minus x minus yy prime
8520092+(
yy prime + y minus x minus yy prime8520092
= (yprime + 1)2
=rArr (xyprime minus yy prime
8520092+(
y minus x8520092
= (yprime + 1)2
=rArr (yprime)2(x minus y)2 + (x minus y)2 = (yprime + 1)2
=rArr (x minus y)2(
(yprime)2 + 1852009
= (yprime + 1)2 es la ecuacion diferencial buscada
5 Formular la ecuacion diferencial que representa a todas las tangentes no verticales de la par abola y2 = 2x
Solucion
x
y
a
b
L
y = 2 x 2
La ecuacion de la recta tangente L a la parabola en el punto (a b) es
L y minus b = m(x minus a) Hallando la pendiente m derivando L y prime = m Por otro lado derivando la ecuacion
de la parabola tenemos 2yyprime = 2 =rArr y prime = 1
y cuyo significado es y prime(x) =
1
y(x) para x gt 0
En el punto (a b) de la parabola se tiene yprime(a) = 1
y(a) =
1
b = m Ademas como (a b) es un punto de la
parabola se tiene b2 = 2a =rArr a = b2
2 Luego en la ecuacion de la tangente
y minus b = 1b
1048616x minus b
2
2
1048617 =rArr yb minus b2 = x minus b
2
2
=rArr y = x
b +
b
2 pero b =
1
yprime
=rArr y = xy prime + 1
2yprime
=rArr 2y(yprime)2 minus 2xyprime + 1 = 0 es la ecuacion diferencial buscada
6 y2 = 4ax
Primero tenemos a = y2
4x el cual se utilizara luego Derivando la ecuacion original tenemos 2yyprime = 4a
=rArr 2yyprime
= 41048616 y2
4x1048617
= y2
x =rArr 2xyyprime
= y2 =rArr 2xyprime
= y si y = 0 =rArr 2x dy
dx minus y = 0
Por lo tanto 2x dy
dx minus y = 0 es la ecuacion diferencial buscada
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La derivada de una funcion real de variable real
7 y = C 1 sen 4x + C 2 cos 4x + x
Solucion
yprime = 4C 1 cos 4x minus 4C 2 sen 4x + 1 yprimeprime = minus16C 1 sen 4x minus 16C 2 cos 4x de la segunda derivada tenemos
minusyprimeprime
16 = C 1 sen 4x + C 2 cos 4x = y minus x luego minus(16)minus1yprimeprime = y minus x =rArr minusyprimeprime = 16y minus 16x
Por lo tanto yprimeprime = 16(xminus
y) es ecuacion diferencial buscada
8 I = teminust + eminust + 2sen 3t
Solucion En esta parte I es una funcion que depende de t y las derivadas seran respecto a t
I prime = eminust minus teminust minus eminust + 6cos 6t Pero teminust + eminust = I minus 2sen3t
=rArr I prime = eminust minus I + 2sen 3t + 6cos 3t =rArr I primeprime = minuseminust minus I prime minus 6cos3t minus 18sen3t
sumando las dos ultimas ecuaciones I prime + I primeprime = minusI minus I prime minus 16sen3t de donde I primeprime + 2I prime + I = minus16sen3t
9 x2 minus ay2 = 1
Solucion
Derivando 2x minus 2ay dy
dx = 0 =rArr y prime =
dy
dx =
minus2x
minus2ay
=rArr a = x
yy prime reemplazando en la ecuacion original
x2 minus x
yyprimey2 = 1 =rArr x2yyprime minus yyprime minus xy2 = 0
=rArr (x2 minus 1)yprime = xy
=rArr yprime = xy
x2 + 1 es la ecuacion diferencial buscada
10 x2 + y2 minus cx = 0
Derivando 2x + 2yyprime = c
Reemplazando en la ecuacion original x2 + y2 minus (2x + 2yy prime)x = 0
=
rArr yprime =
x2 minus y2
2xy
es la ecuacion diferencial buscada
11 Hallar la ecuacion diferencial de cada uno de las siguientes familias de curvas
a) y = x sen(x + c) Rta (xyprime minus y)2 = x2(x2 minus y2)
b) Todos los cırculos que pasan por (1 0) y (minus1 0) Rta 2xy = (x2 minus y2 minus 1)yprime
c) Todos los cırculos con centro en la recta y = x que son tangentes a ambos ejes
Rta (x minus y)2(1 + yprime)2 = (x + yy prime)2
d) Todas las rectas tangentes a la parabola x2 = 4y
Sugerencia La pendiente de la recta tangente en (2a a2) es a Rta y + yprime = xy prime
e) Todas las rectas tangentes al cırculo unidad x2
+ y2
= 1 Rta (y minus xyprime
)2
= 1 minus (yprime
)2
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La derivada de una funcion real de variable real
Definicion 112 Sea la ecuaciacute on diferencial ordinaria lineal de orden n
any(n) + middot middot middot + a2y primeprime + a1y prime + a0 = b
La funciacute on f A minusrarr
es una de sus soluciones si para todo x isin A
anf (n)(x) + middot middot middot + a2f primeprime(x) + a1f prime(x) + a0 = b
Ejercicio 4 Demuestre que la funciacute on f
minusrarr definida por f (x) = sin x es una soluciacute on de la ecuaciacute on
diferencial y primeprime + y = 0
Solucion Lo unico que debemos hacer es derivar a f dos veces y sumar los resultados
f (x) = sin x minusrarr f prime(x) = cos x minusrarr f primeprime(x) = minus sin x sumando f primeprime(x) + f (x) = 0 por lo tanto f
es una solucion de la ecuacion diferencial y primeprime + y = 0
Ejercicio 5 Demuestre que la funciacute on f
minusrarr
definida por f (x) = 8ex+xex es una soluciacute on de la ecuaciacute on
diferencial yprimeprime minus 2yprime + y = 0
Solucion Derivemos a f hasta dos veces y reemplacemos en el primer miembro de la ecuacion diferencial Siresulta cero tal reemplazo entonces la funcion f es una solucion de tal ecuacion diferencial
f (x) = 8ex + xex =rArr f prime(x) = [8ex] prime + [xex] prime = 8ex + [x]primeex + x[ex] prime = 8ex + ex + xex = 9ex + xex
=rArr f primeprime(x) = [9ex] prime + [xex] prime = 9ex + [x]primeex + x[ex] prime = 9ex + ex + xex = 10ex + xex
Reemplazemos en el primer miembro de la ecuacion diferencial
f primeprime(x) minus 2f prime(x) + f (x) =1048667
10ex + xex1048669minus 2
10486679ex + xex
1048669+1048667
8ex + xex1048669
= 10ex + xex minus 18ex minus 2xex + 8ex + xex
= [10
minus18 + 8]ex + [1
minus2 + 1]xex
= 0
Dado que resulta f primeprime(x)minus2f prime(x)+f (x) = 0 entonces f (x) = 8ex+xex es una solucion de la ecuacion diferencial
ordinaria y primeprime minus 2yprime + y = 0
Ejercicio 6 Demuestre o descarte las siguientes afirmaciones
1 x + y2 = K describe la soluciacute on general de las ecuaciones diferenciales dy
dx = minus 1
2y 2yyprime + 1 = 0
2 y = K ex es la soluciacute on general de la ecuaciacute on diferencial yprime minus y = 0
3 y = sin x
x
es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial xyprime + y = cos x
4 y = 1
cos x es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial yprime minus y tan x = 0
5 y = 2xradic
1 minus x2 es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial yy prime = 4x minus 8x3
6 y = x
cos x es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial xyprime minus y = x2 tan x sec x
7 y = ex(x + 1) es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial yprimeprime minus 2yprime + y = 0
8 y = ln(x + c) + 2 es la soluciacute on general de la ecuaciacute on diferencial yprimeeyminus2 minus 1 = 0
9 y = sen3 x es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial yprimeprime + (tan x minus 2cot x)yprime = 0
10 y = arcsin(xy) describe una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial xyprime + y = yradic
1 minus x2y2
11 y = c1eminusx + c2ex + c3eminus2x + c4e2x es soluciacute on general de la ecuaciacute on diferencial y(iv) minus 5yprimeprime + 4y = 0
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La derivada de una funcion real de variable real
15 Funciones derivables
151 Funciones derivables en un intervalo
Sin ser redundantes presentamos a los intervalos de
1 [a b] = x isin
a le x le b
2 ⟨a b⟩ = x isin
a lt x lt b
3 ⟨a b] = x isin
a lt x le b
4 [a b⟩ = x isin
a le x lt b
5 ⟨minusinfin b⟩ = x isin 1048623x lt b
6 ⟨minusinfin b] = x isin
1048623x le b
7 ⟨a +infin⟩ = x isin
1048623a lt x
8 [a +infin⟩ = x isin
1048623a le x
9 ⟨minusinfin +infin⟩ =
y
10 [a a] = a
Los cuatro primeros y el ultimo son los intervalos limitados los cinco siguientes son intervalos ilimitados el
ultimo se denomina un intervalo degenerado desde el segundo hasta el cuarto intervalo a lt b
Definicion 113 Sea la funciacute on f I minusrarr donde I es un intervalo de
1 La funciacute on f ⟨a b⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨a b⟩ si lo es en cada punto de ⟨a b⟩
2 La funciacute on f ⟨minusinfin b⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨minusinfin b⟩ si lo es en cada punto de ⟨minusinfin b⟩
3 La funciacute on f ⟨a +infin⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨a +infin⟩ si lo es en cada punto de ⟨a +infin⟩
4 La funciacute on f [a b⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo [a b⟩ si existe un intervalo abierto del tipo ⟨ p q ⟩ que
contiene a [a b⟩ tal que f sea derivable sobre ⟨ p q ⟩
5 La funciacute on f ⟨a b] minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨a b] si existe un intervalo abierto del tipo ⟨ p q ⟩ que
contiene a ⟨a b] tal que f sea derivable sobre ⟨ p q ⟩
6 La funciacute on f [a +infin⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo [a +infin⟩ si existe un intervalo abierto del tipo⟨ p +infin⟩ que contiene a [a +infin⟩ tal que f sea derivable sobre ⟨ p +infin⟩
7 La funciacute on f ⟨minusinfin b] minusrarr es derivable en el intervalo ⟨minusinfin b] si existe un intervalo abierto del tipo
⟨minusinfin q ⟩ que contiene a ⟨minusinfin b] tal que f sea derivable sobre ⟨minusinfin q ⟩
8 La funcion f [a b] minusrarr es derivable en el intervalo [a b] si existe un intervalo abierto del tipo ⟨ p q ⟩ que
contiene a [a b] tal que f sea derivable sobre ⟨ p q ⟩
Observaciones
1 La funcion f [a b
⟩ minusrarr es derivable en el intervalo [a b
⟩ si y solo si es derivable en cada punto de
⟨a b
⟩y existe f prime+(a)
2 La funcion f [a +infin⟩ minusrarr es derivable en el intervalo [a +infin⟩ si y solo si es derivable en cada punto de
⟨a +infin⟩ y existe f prime+(a)
3 La funcion f ⟨a b] minusrarr es derivable en el intervalo ⟨a b] si y solo si es derivable en cada punto de ⟨a b⟩
y existe f primeminus
(b)
4 La funcion f ⟨minusinfin b] minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨minusinfin b] si y solo si es derivable en cada punto de
⟨minusinfin b⟩ y existe f primeminus
(b)
5 La funcion f [a b] minusrarr
es derivable en el intervalo [a b] si y solo si es derivable en cada punto de ⟨a b⟩y existen f prime+(a) y f prime
minus(b)
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La derivada de una funcion real de variable real
6 Sea I un intervalo abierto Si la funcion f I minusrarr es derivable su funcion derivada f prime I minusrarr tendra el
mismo dominio que f
7 Sea I un intervalo abierto Si la funcion f I minusrarr
es k veces derivable su funcion kndashesima derivada
f (k) I minusrarr
tendra el mismo dominio que f
8 Sea I un intervalo no abierto Si la funcion f I minusrarr
es derivable su funcion derivada f prime J minusrarr
tendra como dominio al interior de I
152 Funciones de clase C k
Sea I un intervalo de
Si la funcion f I minusrarr
es derivable en I entonces es continua en I pero
posiblemente la funcion derivada f prime J minusrarr
no sea continua en I J = int (I )
Definicion 114 Sea I un intervalo de Si la funcion f I minusrarr es continua en I diremos que ldquo f rdquo es una
funciacute on de clase cero C 0 sobre I
⋆ Si ldquof rdquo es una funcion de clase C 0 sobre I lo denotamos por f
isin C 0(I )
Definicion 115 Sea I un intervalo abierto de
Si la funciacute on f I minusrarr
es derivable en I y la funciacute on
f prime I minusrarr es continua en I diremos que f es continuamente derivable en I o simplemente la funciacute on ldquo f rdquo es
de clase C 1 sobre I
⋆ Si ldquof rdquo es una funcion de clase C 1 sobre I lo denotamos por f isin C 1(I )
Definicion 116 Sea I un intervalo abierto de
La funcion f I minusrarr
es de clase C k sobre el intervalo I
si es k veces derivable sobre I y la funciacute on f (k) I minusrarr
es continua en I
⋆ Si ldquof rdquo es una funcion de clase C k sobre I lo denotamos por f
isin C k(I )
Definicion 117 Sea I un intervalo abierto de La funciacute on f I minusrarr es de clase C infin sobre el intervalo I
si existe f (n) para todo n isin 0 1 2 middot middot middot
⋆ Si ldquof rdquo es una funcion de clase C infin sobre I lo denotamos por f isin C infin(I )
Ejemplo 117
1 La funcion f
minusrarr
definida por f (x) = ex es de clase C infin sobre
Con la notaciones presentadas
tenemos la pertenencia f isin C infin(
)
2 La funcion f minusrarr
definida por f (x) = p(x) donde p(x) es un polinomio es de clase C infin
sobre
Conla notaciones presentadas tenemos la pertenencia f isin C infin( )
3 La funcion f [0 +infin⟩ minusrarr definida por f (x) =
radic x es de clase C infin sobre ⟨0 +infin⟩ Con la notaciones
presentadas tenemos la pertenencia f isin C infin983080
[0 +infin⟩983081
153 Funciones no derivables
Sea f una funcion cuyo dominio sea el conjunto A sub
Si f es derivable en el punto a isin A entonces la
grafica de f en su punto (a f (a)) tiene una unica recta tangente La idea de recta tangente en este caso no es
la misma que usted tiene a cerca de una recta tangente a una circunferencia en donde ellos tienen un unico
punto en comun es decir si la recta L es tangente a la circunferencia C entonces L y C tienen un unico punto
en comun llamado punto de tangencia Mientras que si L es una recta tangente a la grafica de la funcion f
es posible que ellos tengan otro punto en comun a parte del punto de tangencia la idea de tangencia que se
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La derivada de una funcion real de variable real
expone es local y no global en el sentido de que si L es una recta tangente a la grafica de la funcion f el punto
de tangencia es unico cerca de el especıficamente La recta L es una tangente a la grafica de la funcion f en su
punto (a f (a)) si existe un cırculo de centro (a f (a)) dentro del cual L y la grafica de la funcion f tienen un
unico punto en comun y los puntos de la grafica de f que pertenecen al cırculo estan a un solo lado de L Y si
ademas la funcion f es derivable en a la pendiente de L es f prime(a)
X
Y
L L L
y f x ( )=a
X
Y
L L L
y f x ( )=a
Si una funcion f es continua en un punto a no siempre sera derivable en dicho punto existe la posibilidad de
que lo sea como tambien que no como por ejemplo
La funcion f ⟨0 2⟩ minusrarr
definida por f (x) =
983163 2x si 0 lt x lt 1
2 si 1 le x lt 2es continua en el punto a = 1 pero
no es derivable en dicho punto pues no existe f prime(1) La existencia de la derivada f prime(1) implica que la grafica
de la funcion f tiene una unica recta tangente en el punto (1 f (1)) la no existencia de f prime(1) implica que la
grafica de la funcion f tiene una varias rectas en ese punto o no en este ejemplo como veremos gr aficamente
la funcion f posee varia rectas tangentes en su punto (1 f (1))
X
Y
y f x ( )=
1 2
X
Y
L L L
y x 2=
y x 3=
1
2
3
Grafico de f (x) =983163 2x si 0 lt x lt 1
2 si 1 le x lt 2 Grafico de f (x) =
x2 si
minus1 lt x lt 1
2x3
3 si 1 le x lt 2
Si una funcion f es derivable en un punto a entonces por el teorema 17 sera continua en dicho punto por
ejemplo la funcion f ⟨0 2⟩ minusrarr
f (x) =
x2 si minus1 lt x lt 1
2x3
3 si 1 le x lt 2
es derivable en a = 1 mas aun es
continua en dicho punto Es mas la grafica de f tiene una unica recta tangente en su punto (1 f (1))
De acuerdo al teorema 16 una funcion es no derivable en el punto ldquoardquo si f primeminus
(a) = f prime+(a) o una de la
derivadas laterales f primeminus
(a) f prime+(a) no existe Y de acuerdo al teorema 17 si f no es continua en el punto ldquoardquo
entonces no es derivable en ese punto
Los siguientes son ejemplos graficos de funciones no derivables en un punto
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La derivada de una funcion real de variable real
X X
Y Y
a a b
y f x = ( ) y f x = ( )
f a f a bno es derivable en no es derivable en y
f a
f b
es derivable en por derecha
es derivable en por izquierda
2 Teoremas sobre funciones derivables
21 Extremos relativos de una funcion
Definicion 21 Sean empty = X sub
y m isin
Diremos que ldquo mrdquo es el mınimo del conjunto X si m isin X y m le x
para todo x isin X
Definicion 22 Sean empty = X sub
y M isin
Diremos que ldquo M rdquo es el macute aximo del conjunto X si M isin X y
M ge x para todo x isin X
Observaciones
1 No todo subconjunto no vacıo de
posee maximo yo mınimo
2 Si un subconjunto no vacıo de
posee maximo yo mınimo este es unico y ademas es uno de los elementos
del conjunto
3 Si ldquomrdquo es el mınimo del conjunto X entonces lo denotamos por m = mın X
4 Si ldquoM rdquo es el maximo del conjunto X entonces lo denotamos por M = max X
5 Si m = mın X y M = max X entonces m le M y ademas m le x le M para todo x isin X
Ejemplo 21
1 El conjunto de los numeros naturales posee mınimo y es 1 es decir 1 = mın pero no posee maximo
2 El conjunto
el de los numeros enteros no posee ni maximo ni mınimo El conjunto
el de los numeros
racionales no posee ni maximo ni mınimo
3 Veamos algunos intervalos
a) Los intervalos ⟨a b⟩ ⟨a b] ⟨a +infin⟩ no poseen mınimo
b) Los intervalos ⟨a b⟩ [a b⟩ ⟨minusinfin b⟩ no poseen maximo
c) a = mın[a b] a = mın[a b⟩ a = mın[a +infin⟩
d) b = max[a b] b = max⟨a b] b = max⟨minusinfin b]
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La derivada de una funcion real de variable real
Definicion 23 Sean empty = A sub f A minusrarr una funciacute on y x0 isin A
1 La funciacute on ldquo f rdquo tiene un mınimo absoluto en x0 si f (x0) le f (x) para todo x isin A
2 La funciacute on ldquo f rdquo tiene un macute aximo absoluto en x0 si f (x) le f (x0) para todo x isin A
3 La funci on ldquo f rdquo tiene un mınimo relativo en x0 si existe un δ gt 0 tal que f (x0) le f (x) para todo
x isin A cap ⟨x0 minus δ x0 + δ ⟩
4 La funci on ldquo f rdquo tiene un macute aximo relativo en x0 si existe un δ gt 0 tal que f (x) le f (x0) para todo
x isin A cap ⟨x0 minus δ x0 + δ ⟩
Observaciones Sean empty = A sub
f A minusrarr
una funcion y x0 isin A
1 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo relativo en x0 diremos tambien que f tiene un mınimo local en x0
2 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo relativo en x0 diremos tambien que f tiene un maximo local en x0
3 La funcion ldquof rdquo tiene un extremo absoluto en x0 si tiene un mınimo o maximo absoluto en dicho punto
4 La funcion ldquof rdquo tiene un extremo relativo en x0 si tiene un mınimo o maximo relativo en dicho punto
5 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo absoluto en x0 entonces f (x0) es el mınimo del rango de la funcion es
decir
f (x0) = mın Ran (f )
Al numero f (x0) lo denominaremos el valor mınimo de f en su dominio
6 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo absoluto en x0 entonces f (x0) es el maximo del rango de la funcion es
decir
f (x0) = max Ran (f )
Al numero f (x0) lo denominaremos el valor maximo de f en su dominio
7 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo relativo en x0 entonces f no siempre tendra un mınimo absoluto en x0
Una funcion puede poseer un mınimo relativo sin tener un mınimo absoluto
8 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo relativo en x0 entonces f no siempre tendra un maximo absoluto en
x0 Una funcion puede poseer un maximo relativo sin tener un maximo absoluto
9 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo absoluto en x0 entonces f tiene un mınimo relativo en dicho punto Lo
contrario no siempre es cierto
En la figura la funcion f minusrarr tiene maximo
relativo en x = 0 pero no posee maximo absolutoen su dominio
En la figura la funcion g minusrarr tiene mınimo
relativo en x = 0 pero no posee mınimo absolutoen su dominio
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La derivada de una funcion real de variable real
10 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo absoluto en x0 entonces f tiene un maximo relativo en dicho punto Lo
contrario no siempre es cierto
11 Una funcion puede tener extremos absolutos en mas de un punto vea el siguiente grafico
En la figura la funcion f
minusrarr
tiene mınimo
absoluto en dos puntos diferentes
En la figura la funcion g
minusrarr
tiene maximo
absoluto en dos puntos diferentes
12 La funcion ldquof rdquo tiene un extremo en el punto x0 si tiene un maximo o mınimo absoluto o relativo en dicho
punto
Y Y
X X
figura (a) figura (b)
x x x x 0 1 2 3 4 5 6x x x x x x x x x x 0 1 2 3 4 5 6
y f x = ( )
y f x = ( )
En la figura (a) Dom(f ) = [x0 x6] la funcion tiene
un mınimo absoluto en el punto x2 y maximo absolu-
to en el punto x5 mientras que tiene mınimo relativo
en los puntos x0 x2 x4 y x6 y maximo relativo en
los puntos x1 x3 y x5
En la figura (b) Dom (f ) = [x0 x6⟩minusx3 la funcion
no tiene mınimo absoluto ni maximo absoluto mien-
tras que tiene mınimo relativo en los puntos x0 x2 y
x4 y maximo relativo en los puntos x1 y x5
Teorema 21 Si la funcion f tiene un extremo en x0 y f prime(x0) existe entonces f prime(x0) = 0
Observaciones
1 Lo contrario no siempre es cierto es decir si f prime(x0) = 0 entonces f no siempre tendra un extremo en x0
Un ejemplo simple es para f (x) = (x minus 2)3 en x0 = 2
2 Si la funcion f tiene un extremo en x0 y f prime
(x0) existe entonces la recta tangente a la grafica de la funcionen el punto
(x0 f (x0)
852009 en horizontal
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La derivada de una funcion real de variable real
3 Si la funcion f tiene un extremo en x0 y f prime(x0) no existe entonces o bien no existe recta tangente a la
grafica de la funcion en el punto(
x0 f (x0)852009
o existen infinitas rectas tangente a la grafica de la funcion en
el punto(
x0 f (x0)852009
pudiendo ser una de ellas una recta vertical
En la figura la funcion f
minusrarr
tiene un extremo
en x = 0 pero f prime(0) no existe ademas la grafica de
esta funcion posee infinitas rectas tangente en el pun-
to(
0 f (0)852009
En la figura la funcion g
minusrarr
tiene extremo en
los puntos x0 x1 existen g prime(x0) g prime(x1) y las rectas
tangente en(
x0 g(x0)852009
y(
x1 g(x1)852009
son horizontales
22 El teorema del valor medio
Teorema 22 (Teorema de Rolle) Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si f es continua en [a b] es derivable en
⟨a b⟩ y f (a) = f (b) entonces existe un c isin ⟨a b⟩ tal que f prime(c) = 0
Observaciones
1 Si la funcion f satisface las hipotesis del teorema de Rolle la existencia del punto c tales que f prime(c) = 0 no
siempre es unica pueden existir otros puntos del intervalo ⟨a b⟩ cuya primera derivada en esos puntos sea
cero
2 La condicion f (a) = f (b) indica que la recta que pasa por los puntos(
a f (a)852009
y(
b f (b)852009
es horizontal El
teorema garantiza la existencia de al menos un punto c isin ⟨a b⟩ tal que la recta tangente a la grafica de la
funcion f el punto(
c f (c)852009
tambien sea horizontal
X X
Y Y
y=f x( )
y=f x( )
figura (a) figura (b)
a c c b1 3 a b
c2
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La derivada de una funcion real de variable real
En la figura (a) la funcion f satisface las hipotesis del
teorema de Rolle por tanto en este caso existen pun-
tos c1 c2 y c3 del intervalo ⟨a b⟩ tal que f prime(c1) = 0
f prime(c2) = 0 y f prime(c3) = 0
En la figura (b) la funcion f no satisface las hipotesis
del teorema de Rolle en tanto no se garantiza la exis-
tencia de puntos del intervalo ⟨a b⟩ tal que la primera
derivada de f en esos puntos sea cero
Teorema 23 (El teorema del valor medio de Lagrange) Sea la funciacute on f [a b]
minusrarr
Si f es continua
en [a b] es derivable en ⟨a b⟩ entonces existe un c isin ⟨a b⟩ tal que
f prime(c) = f (b) minus f (a)
b minus a
Observaciones
1 Si la funcion f satisface las hipotesis del teorema del valor medio de Lagrange la existencia del punto c tales
que f prime(c) = f (b) minus f (a)
b minus a no siempre es unica pueden existir otros puntos del intervalo ⟨a b⟩ cuya primera
derivada en esos puntos sea igual a f (b) minus f (a)
b minus a
2 Sea L la recta que pasa por los puntos(
a f (a)852009
y(
b f (b)852009
el teorema garantiza la existencia de al menosun punto c isin ⟨a b⟩ tal que la recta tangente a la grafica de la funcion f el punto
(c f (c)
852009 sea paralela a L
Y Y
X X
y = f x ( ) y = f x ( )
f a ( )
f a ( )
f b( )
f b( )
figura (a) figura (b)
a c b1 b
c 2 a
L L L
L L L
En la figura (a) la funcion f satisface las hipotesis del
teorema de Lagrange por tanto en este caso existen
puntos c1 y c2 del intervalo ⟨a b⟩ tal que
f prime(c1) = f (b) minus f (a)
b minus a y f prime(c2) =
f (b) minus f (a)
b minus a
En la figura (b) la funcion f no satisface las hipotesis
del teorema de Lagrange en tanto no se garantiza
la existencia de puntos del intervalo ⟨a b⟩ tal que laprimera derivada en ese punto sea igual a
f (b) minus f (a)
b minus a
Teorema 24 (El teorema generalizado del valor medio de Cauchy) Sean las funciones f [a b] minusrarr
y g [a b] minusrarr
continuas en [a b] y derivables en ⟨a b⟩ con g(b) = g(a) y g prime(x) = 0 para todo x isin ⟨a b⟩
entonces existe un c isin ⟨a b⟩ tal que f prime(c)
g prime(c) =
f (b) minus f (a)
g(b) minus g(a)
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La derivada de una funcion real de variable real
23 Funciones crecientes y decrecientes
Definicion 24 (Funcion creciente) Sean empty = A sub
y la funciacute on f A minusrarr
Diremos que la funciacute on f
es creciente o estrictamente creciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) lt f (x2)
Definicion 25 (Funcion decreciente) Sean empty = A sub
y la funci on f A minusrarr
Diremos que la funcion f
es decreciente o estrictamente decreciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) gt f (x2)
Y Y
X X
f x ( )1
f x ( )1
x 1
x 1x 2
x 2
f x ( )2
f x ( )2
Graacutefico de una funcioacutenestrictamente creciente
Graacutefico de una funcioacutenestrictamente decreciente
Definicion 26 (Funcion no creciente) Sean empty = A sub y la funci on f A minusrarr
Diremos que la funciacute on
f es no creciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) ge f (x2)
Definicion 27 (Funcion no decreciente) Sean empty = A sub y la funciacute on f A minusrarr
Diremos que la
funciacute on f es no decreciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) le f (x2)
Y Y
X X
x 1 x 2 x 1 x 2
Graacutefico de una funcioacuten
no decreciente
Graacutefico de una funcioacuten
no creciente
Definicion 28 (Funcion monotona) Sean empty = A sub
y la funci on f A minusrarr
Diremos que la funciacute on f
es monacute otona sobre A si es creciente o decreciente o no creciente o no decreciente sobre A
Observaciones
1 Para definir funciones monotonas (crecientes decrecientes no crecientes o no decrecientes) no es necesario
saber la continuidad y la derivabilidad de la funcion en su dominio
2 Existen funciones monotonas que no son derivables yo continuas en su dominio
Teorema 25 Sean empty = A sub y la funciacute on f A minusrarr Si la funciacute on f es estrictamente creciente sobre A
entonces f es una funciacute on inyectiva y su funcion inversa f lowast tambien es estrictamente creciente sobre Ran(f )
Teorema 26 Sean empty = A sub
y la funci on f A minusrarr
Si la funci on f es estrictamente decreciente sobre A
entonces f es una funciacute on inyectiva y su funciacute on inversa f lowast tambien es estrictamente decreciente sobre Ran(f )
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La derivada de una funcion real de variable real
Y Y
X X
f
f
f
f
Teorema 27 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr
Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩
con f
prime
(x) gt 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es estrictamente creciente sobre [a b]
Teorema 28 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩
con f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es estrictamente decreciente sobre [a b]
X X
a
a b
b
Observaciones
1 Del teorema 27 si la pendiente de todas las rectas tangente a la grafica de la funcion sobre ⟨a b⟩ es positiva
entonces la funcion es estrictamente creciente sobre [a b]
2 Del teorema 28 si la pendiente de todas las rectas tangente a la grafica de la funcion sobre ⟨a b⟩ es negativa
entonces la funcion es estrictamente decreciente sobre [a b]
Teorema 29 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr
Si la funcion f es continua sobre [a b] y es inyectiva en [a b]
entonces f es estrictamente creciente o estrictamente decreciente sobre [a b] pero no ambos
X X
a
a b
b
f ab
ab
es continua e inyectiva sobre [ ]en este caso es creciente sobre [ ]
f ab
ab
es continua e inyectiva sobre [ ]en este caso es decreciente sobre [ ]
f f
Teorema 210 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funciacute on f es continua y estrictamente creciente sobre
[a b] entonces Ran(f ) =1048667
f (a) f (b)1048669
y su funciacute on inversa f lowast 1048667
f (a) f (b)1048669 minusrarr
es tambien continua y
estrictamente creciente sobre [a b]
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La derivada de una funcion real de variable real
Teorema 211 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funcion f es continua y estrictamente decreciente sobre
[a b] entonces Ran(f ) =1048667
f (b) f (a)1048669
y su funciacute on inversa f lowast 1048667
f (b) f (a)1048669 minusrarr
es tambien continua y
estrictamente decreciente sobre [a b]
Teorema 212 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre
⟨a b⟩ con f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es no decreciente sobre [a b]
Teorema 213 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre
⟨a b⟩ con f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es no creciente sobre [a b]
Teorema 214 (de la funcion constante) Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre
[a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩ con f prime(x) = 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es constante sobre [a b] es decir
existe una constante C tal que f (x) = C para todo [a b]
Teorema 215 (de la diferencia constante) Sean las funciones f [a b] minusrarr
y f [a b] minusrarr
Si las
funciones f y g son continuas sobre [a b] y es derivables sobre ⟨a b⟩ con f prime(x) = g prime(x) para todo x isin ⟨a b⟩entonces existe una constante C tal que f (x) = g(x) + C para todo [a b]
Definicion 29 (Punto crıtico) Sean I un intervalo de
x0 un punto de I y la funciacute on f I minusrarr
El
punto x0 es un punto crıtico de la funciacute on f I minusrarr si x0 satisface alguna de las siguientes condiciones
a) f prime(x0) = 0 o b) f prime(x0) = 0 no existe o c) f tiene un extremo en x0
Observaciones
1 Si x0 es un punto crıtico de la funcion f no podemos concluir con certeza una de las condiciones mencionadas
2 Si x0 es un punto crıtico de la funcion f y f prime(x0) = 0 no podemos concluir con certeza que f tiene un
extremo en dicho punto
Por ejemplo sea la funcion f [1 3] minusrarr definida
por f (x) = (x minus 2)3 cuya funcion derivada es
f prime ⟨1 3⟩ minusrarr
983087 f prime(x) = 3(x minus 2)2
En x0 = 2 tenemos f prime(x0) = 0 pero f no tiene
maximo ni mınimo en 2 f tiene un mınimo en 1
y un maximo en 3 por tanto 1 2 y 3 son puntos
crıticos de f
Y
X
1
2
Ejercicio 7 Hal le los puntos crıticos de las siguientes funciones
1 f
minusrarr que estacute a definida por
f (x) = 1
4(x4 minus 6x2 + 8x) + 5
2 f
minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = 3
radic (x + 4)2(x minus 5)
3 f
minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = 5x23 minus x53
4 f
minusrarr
que estacute a definida por f (x) = x + 1
x2 + 1
5 f
minus 1 minusrarr que estacute a definida por
f (x) = x3 minus 2
(x minus 1)2
6 f
minusrarr
que estacute a definida por f (x) = x2 + 3radic
x2 + 1
7 f [minusπ2
π2
] minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = sin2 x minus |x|
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La derivada de una funcion real de variable real
231 Criterio de la primera derivada para extremos de una funcion
Aquı presentamos un criterio que nos ayuda a determinar si un punto crıtico es aquel en donde una funcion
alcanza su valor maximo o mınimo
Teorema 216 (Criterio de la primera derivada) Sean la funciacute on f A minusrarr
el intervalo [a b] contenido
en A y x0
isin ⟨a b
⟩ un punto crıtico de f
1 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f tiene un macute aximo en el punto x0
2 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f tiene un mınimo en el punto x0
3 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) gt 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) gt 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f no tiene macute aximo ni mınimo en el punto x0
4 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f no tiene macute aximo ni mınimo en el punto x0
X X
a bx 0a bx 0
f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0lt gt f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0gt lt
f
f
f tiene un maacuteximo en x 0 f tiene un miacutenimo en x 0
X X a bx 0a bx 0
f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0lt lt f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0gt gt
f f
f no tiene un extremo en x 0 f no tiene un extremo en x 0
Observaciones
1 Al ser x0 un punto crıtico de f el criterio de la primera derivada no garantiza que exista f prime(x0)
2 El criterio de la primera derivada requiere que f sea derivable en ⟨a x0⟩ cup ⟨x0 b⟩ mas no en x0
3 Un metodo que nos permite hallar puntos crıticos de la funcion f en [a b] es resolver la ecuacion f prime(x) = 0
sujeta a la condicion x isin ⟨a b⟩ pero tal metodo solo nos proporciona todos los puntos crıticos de f que
cumple la primera condicion dada en la definicion 29
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La derivada de una funcion real de variable real
4 Los graficos anteriores presentan al punto crıtico x0 de f en el cual existe f prime(x0) y es igual a cero es mas
en los dos primeros graficos la recta tangente en el punto (x0 f (x0)) es horizontal iquestCual es el aspecto de
la grafica de f si es que no existiera f prime(x0)
5 Sea x0 isin ⟨a b⟩ un punto crıtico de la funcion f Al utilizar el criterio de la primera derivada para averiguar
si f tiene maximo o mınimo en x0 es necesario resolver las inecuaciones f prime(x) lt 0 y f prime(x) gt 0 sujetas
a la restriccion x isin ⟨a b⟩ tales procesos son sencillos para algunas funciones pero existen funciones paralos cuales tales resoluciones son complicadas y ahı el criterio de la primera derivada no es recomendable
utilizarlo pero tal deficiencia se supera utilizando otro criterio para determinar extremo de una funcion
6 El criterio de la primera derivada tambien es aplicable cuando en lugar del intervalo ⟨a b⟩ se considera a
otros tipos de intervalos abiertos si es que estan contenidos en el dominio de la funcion
Por ejemplo para la funcion f
minusrarr
definida por f (x) = x2 su unico punto crıtico es x0 = 0 f prime(x) lt 0
para todo x lt 0 y f prime(x) gt 0 para todo x gt 0 por tanto f tiene un mınimo en 0 y su valor mınimo es
f (0) = 0
232 Criterio de la segunda derivada para extremos de una funcion
Aquı presentamos otro criterio que nos ayuda a determinar si un punto crıtico es aquel en donde una funcion
alcanza su valor maximo o mınimo este metodo requiere la existencia de la segunda de la funcion en su punto
crıtico
Teorema 217 (Criterio de la segunda derivada) Sean la funciacute on f A minusrarr
el intervalo [a b] contenido
en A y x0 isin ⟨a b⟩ un punto crıtico de f para el cual f primeprime(x0) existe
1 Si la funciacute on f es derivable en ⟨a b⟩ f prime(x0) = 0 y f primeprime(x0) lt 0 entonces f tiene un macute aximo en el punto x0
2 Si la funciacute on f es derivable en
⟨a b
⟩ f prime(x0) = 0 y f primeprime(x0) gt 0 entonces f tiene un mınimo en el punto x0
X X
a bx 0a bx 0
f a b f f es derivable en ( ) 0 ( ) 0 x x 0 0= lt f a b f f es derivable en ( ) 0 ( ) 0 x x 0 0= gt
f
f
f tiene un maacuteximo en x 0 f tiene un miacutenimo en x 0
Observaciones
1 Los graficos anteriores presentan al punto crıtico x0 de f en el cual existe f primeprime(x0) y es diferente a cero
2 El criterio de la segunda derivada tambien es aplicable cuando en lugar del intervalo ⟨a b⟩ se considera a
otros tipos de intervalos abiertos si es que estan contenidos en el dominio de la funcion
Por ejemplo para la funcion f
minusrarr
definida por f (x) = x2 su unico punto crıtico es x0 = 0 y
f primeprime(0) = 2 gt 0 por tanto f tiene un mınimo en 0 y su valor mınimo es f (0) = 0
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La derivada de una funcion real de variable real
24 Concavidad y puntos de inflexion
25 La regla de Lrsquo Hospital
3 Aplicaciones de la derivada
31 Trazado de grafica de funciones
32 Derivadas parametricas
321 Regla de la cadena
33 Diferencial de una funcion
34 Razon de cambio
Indice
1 La derivada 111 Derivadas laterales 4
12 Derivacion y continuidad 5
13 Derivadas de orden superior 7
131 Notacion de derivadas 7
132 El operador d
dx 8
133 La segunda derivada 10
134 Derivada de ordenes mayores a dos 10
135 Notacion de derivadas de ordenes superiores 11
14 Derivadas implıcitas 12
141 Ecuaciones diferenciales ordinarias de lugares geometricos 13
15 Funciones derivables 18
151 Funciones derivables en un intervalo 18
152 Funciones de clase C k 19
153 Funciones no derivables 19
2 Teoremas sobre funciones derivables 21
21 Extremos relativos de una funcion 21
22 El teorema del valor medio 24
23 Funciones crecientes y decrecientes 26
231 Criterio de la primera derivada para extremos de una funcion 29
232 Criterio de la segunda derivada para extremos de una funcion 30
24 Concavidad y puntos de inflexion 31
25 La regla de Lrsquo Hospital 31
3 Aplicaciones de la derivada 31
31 Trazado de grafica de funciones 31
32 Derivadas parametricas 31
321 Regla de la cadena 31
33 Diferencial de una funcion 31
34 Razon de cambio 31
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La derivada de una funcion real de variable real
Solucion La ecuacion de esta familia de rectas es y = 2x + K y contiene una sola constante Al derivar a
ambos miembros respecto a x tenemos y prime = 2 Por tanto la ecuacion diferencial ordinaria de estas rectas sera
yprime = 2
Ejemplo 115 Halle la ecuaciacute on diferencial ordinaria de todas las rectas que pasan por el origen de coordenadas
Solucion Solo consideraremos a las rectas no verticales que pasan por el origen La ecuaci on de esta familia
de rectas es y = Kx y contiene una sola constante entonces su ecuacion diferencial debe ser de orden uno
Al derivar a ambos miembros respecto a x tenemos yprime = K pero K = y
x Por tanto la ecuacion diferencial
ordinaria de estas rectas sera
yprime = y
x si x = 0 yprime = 0 si y = 0
Ejemplo 116 En los siguientes ejemplos dada una funciacute on obtener la ecuaciacute on diferencial de la cual es
soluciacute on
1 y = ceminus2x + x
El orden de la ecuacion diferencia buscada es 1 entonces derivando tenemos
yprime
= minus2ceminus
2x + 1 = minus2ceminus
2x + 1 + 2x minus 2x = minus2(ceminus
2x + x) + 1 + 2x = minus2y + 1 + 2x
there4dy
dx = 1 minus 2(y minus x) es la ecuacion diferencial buscada
2 y = C 1 sen 4x + C 2 cos 4x + x
El orden de la ecuacion diferencia buscada es 2 entonces derivando tenemos
yprime = 4C 1 cos 4x minus 4C 2 sen 4x + 1 yprimeprime = minus16C 1 sen 4x minus 16C 2 cos 4x
yprimeprime = minus16(C 1 sen 4x + C 2 cos 4x) = minus16(y minus x)
there4 yprimeprime + 16y minus 16x = 0 es la ecuacion diferencial buscada
3 y = ax3 + bx2 + cx
El orden de la ecuacion diferencia buscada es 3 entonces derivando tenemos
yprime = 3ax2 + 2bx + c yprimeprime = 6ax + 2b yprimeprimeprime = 6a Reemplazando en la ecuacion a b y c
y = yprimeprimeprime
6 x3 +
1
2
983080yprimeprime minus yprimeprimeprimex
983081x2 +
983080yprime minus yprimeprime
2 minus yprimeprimeprimex
983081x
there4 11x3yprimeprimeprime minus 3x2yprimeprime + 6xyprime + 6y = 0 es la ecuacion diferencial buscada
4 Hallar la ecuacion diferencial de la familia de circunferencias de radio 1 con centro en la recta bisectriz del
primer y tercer cuadrante
Solucion
x
y
y = x
h
h1
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La derivada de una funcion real de variable real
La ecuacion de la familia de circunferencias es (x minus h)2 + (y minus h)2 = 1 en ella solo figura una constante
entonces el orden de la ecuacion diferencia buscada es 1
Derivando respecto a x tenemos 2(x minus h) + 2(y minus h)yprime = 0 =rArr x minus h + yy prime minus hyprime = 0
=rArr h(1 + yprime) = x + yy prime =rArr h = x + yy prime
yprime + 1
Reemplazando en la ecuacion de las circunferencias
1048616x minus
x + yy prime
yprime + 110486172
+1048616
y minus x + yy prime
yprime + 110486172
= 1
=rArr (x(yprime + 1) minus x minus yy prime
8520092+(
yy prime + y minus x minus yy prime8520092
= (yprime + 1)2
=rArr (xyprime minus yy prime
8520092+(
y minus x8520092
= (yprime + 1)2
=rArr (yprime)2(x minus y)2 + (x minus y)2 = (yprime + 1)2
=rArr (x minus y)2(
(yprime)2 + 1852009
= (yprime + 1)2 es la ecuacion diferencial buscada
5 Formular la ecuacion diferencial que representa a todas las tangentes no verticales de la par abola y2 = 2x
Solucion
x
y
a
b
L
y = 2 x 2
La ecuacion de la recta tangente L a la parabola en el punto (a b) es
L y minus b = m(x minus a) Hallando la pendiente m derivando L y prime = m Por otro lado derivando la ecuacion
de la parabola tenemos 2yyprime = 2 =rArr y prime = 1
y cuyo significado es y prime(x) =
1
y(x) para x gt 0
En el punto (a b) de la parabola se tiene yprime(a) = 1
y(a) =
1
b = m Ademas como (a b) es un punto de la
parabola se tiene b2 = 2a =rArr a = b2
2 Luego en la ecuacion de la tangente
y minus b = 1b
1048616x minus b
2
2
1048617 =rArr yb minus b2 = x minus b
2
2
=rArr y = x
b +
b
2 pero b =
1
yprime
=rArr y = xy prime + 1
2yprime
=rArr 2y(yprime)2 minus 2xyprime + 1 = 0 es la ecuacion diferencial buscada
6 y2 = 4ax
Primero tenemos a = y2
4x el cual se utilizara luego Derivando la ecuacion original tenemos 2yyprime = 4a
=rArr 2yyprime
= 41048616 y2
4x1048617
= y2
x =rArr 2xyyprime
= y2 =rArr 2xyprime
= y si y = 0 =rArr 2x dy
dx minus y = 0
Por lo tanto 2x dy
dx minus y = 0 es la ecuacion diferencial buscada
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La derivada de una funcion real de variable real
7 y = C 1 sen 4x + C 2 cos 4x + x
Solucion
yprime = 4C 1 cos 4x minus 4C 2 sen 4x + 1 yprimeprime = minus16C 1 sen 4x minus 16C 2 cos 4x de la segunda derivada tenemos
minusyprimeprime
16 = C 1 sen 4x + C 2 cos 4x = y minus x luego minus(16)minus1yprimeprime = y minus x =rArr minusyprimeprime = 16y minus 16x
Por lo tanto yprimeprime = 16(xminus
y) es ecuacion diferencial buscada
8 I = teminust + eminust + 2sen 3t
Solucion En esta parte I es una funcion que depende de t y las derivadas seran respecto a t
I prime = eminust minus teminust minus eminust + 6cos 6t Pero teminust + eminust = I minus 2sen3t
=rArr I prime = eminust minus I + 2sen 3t + 6cos 3t =rArr I primeprime = minuseminust minus I prime minus 6cos3t minus 18sen3t
sumando las dos ultimas ecuaciones I prime + I primeprime = minusI minus I prime minus 16sen3t de donde I primeprime + 2I prime + I = minus16sen3t
9 x2 minus ay2 = 1
Solucion
Derivando 2x minus 2ay dy
dx = 0 =rArr y prime =
dy
dx =
minus2x
minus2ay
=rArr a = x
yy prime reemplazando en la ecuacion original
x2 minus x
yyprimey2 = 1 =rArr x2yyprime minus yyprime minus xy2 = 0
=rArr (x2 minus 1)yprime = xy
=rArr yprime = xy
x2 + 1 es la ecuacion diferencial buscada
10 x2 + y2 minus cx = 0
Derivando 2x + 2yyprime = c
Reemplazando en la ecuacion original x2 + y2 minus (2x + 2yy prime)x = 0
=
rArr yprime =
x2 minus y2
2xy
es la ecuacion diferencial buscada
11 Hallar la ecuacion diferencial de cada uno de las siguientes familias de curvas
a) y = x sen(x + c) Rta (xyprime minus y)2 = x2(x2 minus y2)
b) Todos los cırculos que pasan por (1 0) y (minus1 0) Rta 2xy = (x2 minus y2 minus 1)yprime
c) Todos los cırculos con centro en la recta y = x que son tangentes a ambos ejes
Rta (x minus y)2(1 + yprime)2 = (x + yy prime)2
d) Todas las rectas tangentes a la parabola x2 = 4y
Sugerencia La pendiente de la recta tangente en (2a a2) es a Rta y + yprime = xy prime
e) Todas las rectas tangentes al cırculo unidad x2
+ y2
= 1 Rta (y minus xyprime
)2
= 1 minus (yprime
)2
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La derivada de una funcion real de variable real
Definicion 112 Sea la ecuaciacute on diferencial ordinaria lineal de orden n
any(n) + middot middot middot + a2y primeprime + a1y prime + a0 = b
La funciacute on f A minusrarr
es una de sus soluciones si para todo x isin A
anf (n)(x) + middot middot middot + a2f primeprime(x) + a1f prime(x) + a0 = b
Ejercicio 4 Demuestre que la funciacute on f
minusrarr definida por f (x) = sin x es una soluciacute on de la ecuaciacute on
diferencial y primeprime + y = 0
Solucion Lo unico que debemos hacer es derivar a f dos veces y sumar los resultados
f (x) = sin x minusrarr f prime(x) = cos x minusrarr f primeprime(x) = minus sin x sumando f primeprime(x) + f (x) = 0 por lo tanto f
es una solucion de la ecuacion diferencial y primeprime + y = 0
Ejercicio 5 Demuestre que la funciacute on f
minusrarr
definida por f (x) = 8ex+xex es una soluciacute on de la ecuaciacute on
diferencial yprimeprime minus 2yprime + y = 0
Solucion Derivemos a f hasta dos veces y reemplacemos en el primer miembro de la ecuacion diferencial Siresulta cero tal reemplazo entonces la funcion f es una solucion de tal ecuacion diferencial
f (x) = 8ex + xex =rArr f prime(x) = [8ex] prime + [xex] prime = 8ex + [x]primeex + x[ex] prime = 8ex + ex + xex = 9ex + xex
=rArr f primeprime(x) = [9ex] prime + [xex] prime = 9ex + [x]primeex + x[ex] prime = 9ex + ex + xex = 10ex + xex
Reemplazemos en el primer miembro de la ecuacion diferencial
f primeprime(x) minus 2f prime(x) + f (x) =1048667
10ex + xex1048669minus 2
10486679ex + xex
1048669+1048667
8ex + xex1048669
= 10ex + xex minus 18ex minus 2xex + 8ex + xex
= [10
minus18 + 8]ex + [1
minus2 + 1]xex
= 0
Dado que resulta f primeprime(x)minus2f prime(x)+f (x) = 0 entonces f (x) = 8ex+xex es una solucion de la ecuacion diferencial
ordinaria y primeprime minus 2yprime + y = 0
Ejercicio 6 Demuestre o descarte las siguientes afirmaciones
1 x + y2 = K describe la soluciacute on general de las ecuaciones diferenciales dy
dx = minus 1
2y 2yyprime + 1 = 0
2 y = K ex es la soluciacute on general de la ecuaciacute on diferencial yprime minus y = 0
3 y = sin x
x
es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial xyprime + y = cos x
4 y = 1
cos x es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial yprime minus y tan x = 0
5 y = 2xradic
1 minus x2 es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial yy prime = 4x minus 8x3
6 y = x
cos x es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial xyprime minus y = x2 tan x sec x
7 y = ex(x + 1) es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial yprimeprime minus 2yprime + y = 0
8 y = ln(x + c) + 2 es la soluciacute on general de la ecuaciacute on diferencial yprimeeyminus2 minus 1 = 0
9 y = sen3 x es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial yprimeprime + (tan x minus 2cot x)yprime = 0
10 y = arcsin(xy) describe una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial xyprime + y = yradic
1 minus x2y2
11 y = c1eminusx + c2ex + c3eminus2x + c4e2x es soluciacute on general de la ecuaciacute on diferencial y(iv) minus 5yprimeprime + 4y = 0
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La derivada de una funcion real de variable real
15 Funciones derivables
151 Funciones derivables en un intervalo
Sin ser redundantes presentamos a los intervalos de
1 [a b] = x isin
a le x le b
2 ⟨a b⟩ = x isin
a lt x lt b
3 ⟨a b] = x isin
a lt x le b
4 [a b⟩ = x isin
a le x lt b
5 ⟨minusinfin b⟩ = x isin 1048623x lt b
6 ⟨minusinfin b] = x isin
1048623x le b
7 ⟨a +infin⟩ = x isin
1048623a lt x
8 [a +infin⟩ = x isin
1048623a le x
9 ⟨minusinfin +infin⟩ =
y
10 [a a] = a
Los cuatro primeros y el ultimo son los intervalos limitados los cinco siguientes son intervalos ilimitados el
ultimo se denomina un intervalo degenerado desde el segundo hasta el cuarto intervalo a lt b
Definicion 113 Sea la funciacute on f I minusrarr donde I es un intervalo de
1 La funciacute on f ⟨a b⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨a b⟩ si lo es en cada punto de ⟨a b⟩
2 La funciacute on f ⟨minusinfin b⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨minusinfin b⟩ si lo es en cada punto de ⟨minusinfin b⟩
3 La funciacute on f ⟨a +infin⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨a +infin⟩ si lo es en cada punto de ⟨a +infin⟩
4 La funciacute on f [a b⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo [a b⟩ si existe un intervalo abierto del tipo ⟨ p q ⟩ que
contiene a [a b⟩ tal que f sea derivable sobre ⟨ p q ⟩
5 La funciacute on f ⟨a b] minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨a b] si existe un intervalo abierto del tipo ⟨ p q ⟩ que
contiene a ⟨a b] tal que f sea derivable sobre ⟨ p q ⟩
6 La funciacute on f [a +infin⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo [a +infin⟩ si existe un intervalo abierto del tipo⟨ p +infin⟩ que contiene a [a +infin⟩ tal que f sea derivable sobre ⟨ p +infin⟩
7 La funciacute on f ⟨minusinfin b] minusrarr es derivable en el intervalo ⟨minusinfin b] si existe un intervalo abierto del tipo
⟨minusinfin q ⟩ que contiene a ⟨minusinfin b] tal que f sea derivable sobre ⟨minusinfin q ⟩
8 La funcion f [a b] minusrarr es derivable en el intervalo [a b] si existe un intervalo abierto del tipo ⟨ p q ⟩ que
contiene a [a b] tal que f sea derivable sobre ⟨ p q ⟩
Observaciones
1 La funcion f [a b
⟩ minusrarr es derivable en el intervalo [a b
⟩ si y solo si es derivable en cada punto de
⟨a b
⟩y existe f prime+(a)
2 La funcion f [a +infin⟩ minusrarr es derivable en el intervalo [a +infin⟩ si y solo si es derivable en cada punto de
⟨a +infin⟩ y existe f prime+(a)
3 La funcion f ⟨a b] minusrarr es derivable en el intervalo ⟨a b] si y solo si es derivable en cada punto de ⟨a b⟩
y existe f primeminus
(b)
4 La funcion f ⟨minusinfin b] minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨minusinfin b] si y solo si es derivable en cada punto de
⟨minusinfin b⟩ y existe f primeminus
(b)
5 La funcion f [a b] minusrarr
es derivable en el intervalo [a b] si y solo si es derivable en cada punto de ⟨a b⟩y existen f prime+(a) y f prime
minus(b)
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La derivada de una funcion real de variable real
6 Sea I un intervalo abierto Si la funcion f I minusrarr es derivable su funcion derivada f prime I minusrarr tendra el
mismo dominio que f
7 Sea I un intervalo abierto Si la funcion f I minusrarr
es k veces derivable su funcion kndashesima derivada
f (k) I minusrarr
tendra el mismo dominio que f
8 Sea I un intervalo no abierto Si la funcion f I minusrarr
es derivable su funcion derivada f prime J minusrarr
tendra como dominio al interior de I
152 Funciones de clase C k
Sea I un intervalo de
Si la funcion f I minusrarr
es derivable en I entonces es continua en I pero
posiblemente la funcion derivada f prime J minusrarr
no sea continua en I J = int (I )
Definicion 114 Sea I un intervalo de Si la funcion f I minusrarr es continua en I diremos que ldquo f rdquo es una
funciacute on de clase cero C 0 sobre I
⋆ Si ldquof rdquo es una funcion de clase C 0 sobre I lo denotamos por f
isin C 0(I )
Definicion 115 Sea I un intervalo abierto de
Si la funciacute on f I minusrarr
es derivable en I y la funciacute on
f prime I minusrarr es continua en I diremos que f es continuamente derivable en I o simplemente la funciacute on ldquo f rdquo es
de clase C 1 sobre I
⋆ Si ldquof rdquo es una funcion de clase C 1 sobre I lo denotamos por f isin C 1(I )
Definicion 116 Sea I un intervalo abierto de
La funcion f I minusrarr
es de clase C k sobre el intervalo I
si es k veces derivable sobre I y la funciacute on f (k) I minusrarr
es continua en I
⋆ Si ldquof rdquo es una funcion de clase C k sobre I lo denotamos por f
isin C k(I )
Definicion 117 Sea I un intervalo abierto de La funciacute on f I minusrarr es de clase C infin sobre el intervalo I
si existe f (n) para todo n isin 0 1 2 middot middot middot
⋆ Si ldquof rdquo es una funcion de clase C infin sobre I lo denotamos por f isin C infin(I )
Ejemplo 117
1 La funcion f
minusrarr
definida por f (x) = ex es de clase C infin sobre
Con la notaciones presentadas
tenemos la pertenencia f isin C infin(
)
2 La funcion f minusrarr
definida por f (x) = p(x) donde p(x) es un polinomio es de clase C infin
sobre
Conla notaciones presentadas tenemos la pertenencia f isin C infin( )
3 La funcion f [0 +infin⟩ minusrarr definida por f (x) =
radic x es de clase C infin sobre ⟨0 +infin⟩ Con la notaciones
presentadas tenemos la pertenencia f isin C infin983080
[0 +infin⟩983081
153 Funciones no derivables
Sea f una funcion cuyo dominio sea el conjunto A sub
Si f es derivable en el punto a isin A entonces la
grafica de f en su punto (a f (a)) tiene una unica recta tangente La idea de recta tangente en este caso no es
la misma que usted tiene a cerca de una recta tangente a una circunferencia en donde ellos tienen un unico
punto en comun es decir si la recta L es tangente a la circunferencia C entonces L y C tienen un unico punto
en comun llamado punto de tangencia Mientras que si L es una recta tangente a la grafica de la funcion f
es posible que ellos tengan otro punto en comun a parte del punto de tangencia la idea de tangencia que se
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La derivada de una funcion real de variable real
expone es local y no global en el sentido de que si L es una recta tangente a la grafica de la funcion f el punto
de tangencia es unico cerca de el especıficamente La recta L es una tangente a la grafica de la funcion f en su
punto (a f (a)) si existe un cırculo de centro (a f (a)) dentro del cual L y la grafica de la funcion f tienen un
unico punto en comun y los puntos de la grafica de f que pertenecen al cırculo estan a un solo lado de L Y si
ademas la funcion f es derivable en a la pendiente de L es f prime(a)
X
Y
L L L
y f x ( )=a
X
Y
L L L
y f x ( )=a
Si una funcion f es continua en un punto a no siempre sera derivable en dicho punto existe la posibilidad de
que lo sea como tambien que no como por ejemplo
La funcion f ⟨0 2⟩ minusrarr
definida por f (x) =
983163 2x si 0 lt x lt 1
2 si 1 le x lt 2es continua en el punto a = 1 pero
no es derivable en dicho punto pues no existe f prime(1) La existencia de la derivada f prime(1) implica que la grafica
de la funcion f tiene una unica recta tangente en el punto (1 f (1)) la no existencia de f prime(1) implica que la
grafica de la funcion f tiene una varias rectas en ese punto o no en este ejemplo como veremos gr aficamente
la funcion f posee varia rectas tangentes en su punto (1 f (1))
X
Y
y f x ( )=
1 2
X
Y
L L L
y x 2=
y x 3=
1
2
3
Grafico de f (x) =983163 2x si 0 lt x lt 1
2 si 1 le x lt 2 Grafico de f (x) =
x2 si
minus1 lt x lt 1
2x3
3 si 1 le x lt 2
Si una funcion f es derivable en un punto a entonces por el teorema 17 sera continua en dicho punto por
ejemplo la funcion f ⟨0 2⟩ minusrarr
f (x) =
x2 si minus1 lt x lt 1
2x3
3 si 1 le x lt 2
es derivable en a = 1 mas aun es
continua en dicho punto Es mas la grafica de f tiene una unica recta tangente en su punto (1 f (1))
De acuerdo al teorema 16 una funcion es no derivable en el punto ldquoardquo si f primeminus
(a) = f prime+(a) o una de la
derivadas laterales f primeminus
(a) f prime+(a) no existe Y de acuerdo al teorema 17 si f no es continua en el punto ldquoardquo
entonces no es derivable en ese punto
Los siguientes son ejemplos graficos de funciones no derivables en un punto
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La derivada de una funcion real de variable real
X X
Y Y
a a b
y f x = ( ) y f x = ( )
f a f a bno es derivable en no es derivable en y
f a
f b
es derivable en por derecha
es derivable en por izquierda
2 Teoremas sobre funciones derivables
21 Extremos relativos de una funcion
Definicion 21 Sean empty = X sub
y m isin
Diremos que ldquo mrdquo es el mınimo del conjunto X si m isin X y m le x
para todo x isin X
Definicion 22 Sean empty = X sub
y M isin
Diremos que ldquo M rdquo es el macute aximo del conjunto X si M isin X y
M ge x para todo x isin X
Observaciones
1 No todo subconjunto no vacıo de
posee maximo yo mınimo
2 Si un subconjunto no vacıo de
posee maximo yo mınimo este es unico y ademas es uno de los elementos
del conjunto
3 Si ldquomrdquo es el mınimo del conjunto X entonces lo denotamos por m = mın X
4 Si ldquoM rdquo es el maximo del conjunto X entonces lo denotamos por M = max X
5 Si m = mın X y M = max X entonces m le M y ademas m le x le M para todo x isin X
Ejemplo 21
1 El conjunto de los numeros naturales posee mınimo y es 1 es decir 1 = mın pero no posee maximo
2 El conjunto
el de los numeros enteros no posee ni maximo ni mınimo El conjunto
el de los numeros
racionales no posee ni maximo ni mınimo
3 Veamos algunos intervalos
a) Los intervalos ⟨a b⟩ ⟨a b] ⟨a +infin⟩ no poseen mınimo
b) Los intervalos ⟨a b⟩ [a b⟩ ⟨minusinfin b⟩ no poseen maximo
c) a = mın[a b] a = mın[a b⟩ a = mın[a +infin⟩
d) b = max[a b] b = max⟨a b] b = max⟨minusinfin b]
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La derivada de una funcion real de variable real
Definicion 23 Sean empty = A sub f A minusrarr una funciacute on y x0 isin A
1 La funciacute on ldquo f rdquo tiene un mınimo absoluto en x0 si f (x0) le f (x) para todo x isin A
2 La funciacute on ldquo f rdquo tiene un macute aximo absoluto en x0 si f (x) le f (x0) para todo x isin A
3 La funci on ldquo f rdquo tiene un mınimo relativo en x0 si existe un δ gt 0 tal que f (x0) le f (x) para todo
x isin A cap ⟨x0 minus δ x0 + δ ⟩
4 La funci on ldquo f rdquo tiene un macute aximo relativo en x0 si existe un δ gt 0 tal que f (x) le f (x0) para todo
x isin A cap ⟨x0 minus δ x0 + δ ⟩
Observaciones Sean empty = A sub
f A minusrarr
una funcion y x0 isin A
1 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo relativo en x0 diremos tambien que f tiene un mınimo local en x0
2 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo relativo en x0 diremos tambien que f tiene un maximo local en x0
3 La funcion ldquof rdquo tiene un extremo absoluto en x0 si tiene un mınimo o maximo absoluto en dicho punto
4 La funcion ldquof rdquo tiene un extremo relativo en x0 si tiene un mınimo o maximo relativo en dicho punto
5 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo absoluto en x0 entonces f (x0) es el mınimo del rango de la funcion es
decir
f (x0) = mın Ran (f )
Al numero f (x0) lo denominaremos el valor mınimo de f en su dominio
6 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo absoluto en x0 entonces f (x0) es el maximo del rango de la funcion es
decir
f (x0) = max Ran (f )
Al numero f (x0) lo denominaremos el valor maximo de f en su dominio
7 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo relativo en x0 entonces f no siempre tendra un mınimo absoluto en x0
Una funcion puede poseer un mınimo relativo sin tener un mınimo absoluto
8 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo relativo en x0 entonces f no siempre tendra un maximo absoluto en
x0 Una funcion puede poseer un maximo relativo sin tener un maximo absoluto
9 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo absoluto en x0 entonces f tiene un mınimo relativo en dicho punto Lo
contrario no siempre es cierto
En la figura la funcion f minusrarr tiene maximo
relativo en x = 0 pero no posee maximo absolutoen su dominio
En la figura la funcion g minusrarr tiene mınimo
relativo en x = 0 pero no posee mınimo absolutoen su dominio
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La derivada de una funcion real de variable real
10 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo absoluto en x0 entonces f tiene un maximo relativo en dicho punto Lo
contrario no siempre es cierto
11 Una funcion puede tener extremos absolutos en mas de un punto vea el siguiente grafico
En la figura la funcion f
minusrarr
tiene mınimo
absoluto en dos puntos diferentes
En la figura la funcion g
minusrarr
tiene maximo
absoluto en dos puntos diferentes
12 La funcion ldquof rdquo tiene un extremo en el punto x0 si tiene un maximo o mınimo absoluto o relativo en dicho
punto
Y Y
X X
figura (a) figura (b)
x x x x 0 1 2 3 4 5 6x x x x x x x x x x 0 1 2 3 4 5 6
y f x = ( )
y f x = ( )
En la figura (a) Dom(f ) = [x0 x6] la funcion tiene
un mınimo absoluto en el punto x2 y maximo absolu-
to en el punto x5 mientras que tiene mınimo relativo
en los puntos x0 x2 x4 y x6 y maximo relativo en
los puntos x1 x3 y x5
En la figura (b) Dom (f ) = [x0 x6⟩minusx3 la funcion
no tiene mınimo absoluto ni maximo absoluto mien-
tras que tiene mınimo relativo en los puntos x0 x2 y
x4 y maximo relativo en los puntos x1 y x5
Teorema 21 Si la funcion f tiene un extremo en x0 y f prime(x0) existe entonces f prime(x0) = 0
Observaciones
1 Lo contrario no siempre es cierto es decir si f prime(x0) = 0 entonces f no siempre tendra un extremo en x0
Un ejemplo simple es para f (x) = (x minus 2)3 en x0 = 2
2 Si la funcion f tiene un extremo en x0 y f prime
(x0) existe entonces la recta tangente a la grafica de la funcionen el punto
(x0 f (x0)
852009 en horizontal
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La derivada de una funcion real de variable real
3 Si la funcion f tiene un extremo en x0 y f prime(x0) no existe entonces o bien no existe recta tangente a la
grafica de la funcion en el punto(
x0 f (x0)852009
o existen infinitas rectas tangente a la grafica de la funcion en
el punto(
x0 f (x0)852009
pudiendo ser una de ellas una recta vertical
En la figura la funcion f
minusrarr
tiene un extremo
en x = 0 pero f prime(0) no existe ademas la grafica de
esta funcion posee infinitas rectas tangente en el pun-
to(
0 f (0)852009
En la figura la funcion g
minusrarr
tiene extremo en
los puntos x0 x1 existen g prime(x0) g prime(x1) y las rectas
tangente en(
x0 g(x0)852009
y(
x1 g(x1)852009
son horizontales
22 El teorema del valor medio
Teorema 22 (Teorema de Rolle) Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si f es continua en [a b] es derivable en
⟨a b⟩ y f (a) = f (b) entonces existe un c isin ⟨a b⟩ tal que f prime(c) = 0
Observaciones
1 Si la funcion f satisface las hipotesis del teorema de Rolle la existencia del punto c tales que f prime(c) = 0 no
siempre es unica pueden existir otros puntos del intervalo ⟨a b⟩ cuya primera derivada en esos puntos sea
cero
2 La condicion f (a) = f (b) indica que la recta que pasa por los puntos(
a f (a)852009
y(
b f (b)852009
es horizontal El
teorema garantiza la existencia de al menos un punto c isin ⟨a b⟩ tal que la recta tangente a la grafica de la
funcion f el punto(
c f (c)852009
tambien sea horizontal
X X
Y Y
y=f x( )
y=f x( )
figura (a) figura (b)
a c c b1 3 a b
c2
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La derivada de una funcion real de variable real
En la figura (a) la funcion f satisface las hipotesis del
teorema de Rolle por tanto en este caso existen pun-
tos c1 c2 y c3 del intervalo ⟨a b⟩ tal que f prime(c1) = 0
f prime(c2) = 0 y f prime(c3) = 0
En la figura (b) la funcion f no satisface las hipotesis
del teorema de Rolle en tanto no se garantiza la exis-
tencia de puntos del intervalo ⟨a b⟩ tal que la primera
derivada de f en esos puntos sea cero
Teorema 23 (El teorema del valor medio de Lagrange) Sea la funciacute on f [a b]
minusrarr
Si f es continua
en [a b] es derivable en ⟨a b⟩ entonces existe un c isin ⟨a b⟩ tal que
f prime(c) = f (b) minus f (a)
b minus a
Observaciones
1 Si la funcion f satisface las hipotesis del teorema del valor medio de Lagrange la existencia del punto c tales
que f prime(c) = f (b) minus f (a)
b minus a no siempre es unica pueden existir otros puntos del intervalo ⟨a b⟩ cuya primera
derivada en esos puntos sea igual a f (b) minus f (a)
b minus a
2 Sea L la recta que pasa por los puntos(
a f (a)852009
y(
b f (b)852009
el teorema garantiza la existencia de al menosun punto c isin ⟨a b⟩ tal que la recta tangente a la grafica de la funcion f el punto
(c f (c)
852009 sea paralela a L
Y Y
X X
y = f x ( ) y = f x ( )
f a ( )
f a ( )
f b( )
f b( )
figura (a) figura (b)
a c b1 b
c 2 a
L L L
L L L
En la figura (a) la funcion f satisface las hipotesis del
teorema de Lagrange por tanto en este caso existen
puntos c1 y c2 del intervalo ⟨a b⟩ tal que
f prime(c1) = f (b) minus f (a)
b minus a y f prime(c2) =
f (b) minus f (a)
b minus a
En la figura (b) la funcion f no satisface las hipotesis
del teorema de Lagrange en tanto no se garantiza
la existencia de puntos del intervalo ⟨a b⟩ tal que laprimera derivada en ese punto sea igual a
f (b) minus f (a)
b minus a
Teorema 24 (El teorema generalizado del valor medio de Cauchy) Sean las funciones f [a b] minusrarr
y g [a b] minusrarr
continuas en [a b] y derivables en ⟨a b⟩ con g(b) = g(a) y g prime(x) = 0 para todo x isin ⟨a b⟩
entonces existe un c isin ⟨a b⟩ tal que f prime(c)
g prime(c) =
f (b) minus f (a)
g(b) minus g(a)
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La derivada de una funcion real de variable real
23 Funciones crecientes y decrecientes
Definicion 24 (Funcion creciente) Sean empty = A sub
y la funciacute on f A minusrarr
Diremos que la funciacute on f
es creciente o estrictamente creciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) lt f (x2)
Definicion 25 (Funcion decreciente) Sean empty = A sub
y la funci on f A minusrarr
Diremos que la funcion f
es decreciente o estrictamente decreciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) gt f (x2)
Y Y
X X
f x ( )1
f x ( )1
x 1
x 1x 2
x 2
f x ( )2
f x ( )2
Graacutefico de una funcioacutenestrictamente creciente
Graacutefico de una funcioacutenestrictamente decreciente
Definicion 26 (Funcion no creciente) Sean empty = A sub y la funci on f A minusrarr
Diremos que la funciacute on
f es no creciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) ge f (x2)
Definicion 27 (Funcion no decreciente) Sean empty = A sub y la funciacute on f A minusrarr
Diremos que la
funciacute on f es no decreciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) le f (x2)
Y Y
X X
x 1 x 2 x 1 x 2
Graacutefico de una funcioacuten
no decreciente
Graacutefico de una funcioacuten
no creciente
Definicion 28 (Funcion monotona) Sean empty = A sub
y la funci on f A minusrarr
Diremos que la funciacute on f
es monacute otona sobre A si es creciente o decreciente o no creciente o no decreciente sobre A
Observaciones
1 Para definir funciones monotonas (crecientes decrecientes no crecientes o no decrecientes) no es necesario
saber la continuidad y la derivabilidad de la funcion en su dominio
2 Existen funciones monotonas que no son derivables yo continuas en su dominio
Teorema 25 Sean empty = A sub y la funciacute on f A minusrarr Si la funciacute on f es estrictamente creciente sobre A
entonces f es una funciacute on inyectiva y su funcion inversa f lowast tambien es estrictamente creciente sobre Ran(f )
Teorema 26 Sean empty = A sub
y la funci on f A minusrarr
Si la funci on f es estrictamente decreciente sobre A
entonces f es una funciacute on inyectiva y su funciacute on inversa f lowast tambien es estrictamente decreciente sobre Ran(f )
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La derivada de una funcion real de variable real
Y Y
X X
f
f
f
f
Teorema 27 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr
Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩
con f
prime
(x) gt 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es estrictamente creciente sobre [a b]
Teorema 28 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩
con f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es estrictamente decreciente sobre [a b]
X X
a
a b
b
Observaciones
1 Del teorema 27 si la pendiente de todas las rectas tangente a la grafica de la funcion sobre ⟨a b⟩ es positiva
entonces la funcion es estrictamente creciente sobre [a b]
2 Del teorema 28 si la pendiente de todas las rectas tangente a la grafica de la funcion sobre ⟨a b⟩ es negativa
entonces la funcion es estrictamente decreciente sobre [a b]
Teorema 29 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr
Si la funcion f es continua sobre [a b] y es inyectiva en [a b]
entonces f es estrictamente creciente o estrictamente decreciente sobre [a b] pero no ambos
X X
a
a b
b
f ab
ab
es continua e inyectiva sobre [ ]en este caso es creciente sobre [ ]
f ab
ab
es continua e inyectiva sobre [ ]en este caso es decreciente sobre [ ]
f f
Teorema 210 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funciacute on f es continua y estrictamente creciente sobre
[a b] entonces Ran(f ) =1048667
f (a) f (b)1048669
y su funciacute on inversa f lowast 1048667
f (a) f (b)1048669 minusrarr
es tambien continua y
estrictamente creciente sobre [a b]
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La derivada de una funcion real de variable real
Teorema 211 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funcion f es continua y estrictamente decreciente sobre
[a b] entonces Ran(f ) =1048667
f (b) f (a)1048669
y su funciacute on inversa f lowast 1048667
f (b) f (a)1048669 minusrarr
es tambien continua y
estrictamente decreciente sobre [a b]
Teorema 212 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre
⟨a b⟩ con f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es no decreciente sobre [a b]
Teorema 213 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre
⟨a b⟩ con f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es no creciente sobre [a b]
Teorema 214 (de la funcion constante) Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre
[a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩ con f prime(x) = 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es constante sobre [a b] es decir
existe una constante C tal que f (x) = C para todo [a b]
Teorema 215 (de la diferencia constante) Sean las funciones f [a b] minusrarr
y f [a b] minusrarr
Si las
funciones f y g son continuas sobre [a b] y es derivables sobre ⟨a b⟩ con f prime(x) = g prime(x) para todo x isin ⟨a b⟩entonces existe una constante C tal que f (x) = g(x) + C para todo [a b]
Definicion 29 (Punto crıtico) Sean I un intervalo de
x0 un punto de I y la funciacute on f I minusrarr
El
punto x0 es un punto crıtico de la funciacute on f I minusrarr si x0 satisface alguna de las siguientes condiciones
a) f prime(x0) = 0 o b) f prime(x0) = 0 no existe o c) f tiene un extremo en x0
Observaciones
1 Si x0 es un punto crıtico de la funcion f no podemos concluir con certeza una de las condiciones mencionadas
2 Si x0 es un punto crıtico de la funcion f y f prime(x0) = 0 no podemos concluir con certeza que f tiene un
extremo en dicho punto
Por ejemplo sea la funcion f [1 3] minusrarr definida
por f (x) = (x minus 2)3 cuya funcion derivada es
f prime ⟨1 3⟩ minusrarr
983087 f prime(x) = 3(x minus 2)2
En x0 = 2 tenemos f prime(x0) = 0 pero f no tiene
maximo ni mınimo en 2 f tiene un mınimo en 1
y un maximo en 3 por tanto 1 2 y 3 son puntos
crıticos de f
Y
X
1
2
Ejercicio 7 Hal le los puntos crıticos de las siguientes funciones
1 f
minusrarr que estacute a definida por
f (x) = 1
4(x4 minus 6x2 + 8x) + 5
2 f
minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = 3
radic (x + 4)2(x minus 5)
3 f
minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = 5x23 minus x53
4 f
minusrarr
que estacute a definida por f (x) = x + 1
x2 + 1
5 f
minus 1 minusrarr que estacute a definida por
f (x) = x3 minus 2
(x minus 1)2
6 f
minusrarr
que estacute a definida por f (x) = x2 + 3radic
x2 + 1
7 f [minusπ2
π2
] minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = sin2 x minus |x|
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7242019 La derivada de una funci on real de variable real
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La derivada de una funcion real de variable real
231 Criterio de la primera derivada para extremos de una funcion
Aquı presentamos un criterio que nos ayuda a determinar si un punto crıtico es aquel en donde una funcion
alcanza su valor maximo o mınimo
Teorema 216 (Criterio de la primera derivada) Sean la funciacute on f A minusrarr
el intervalo [a b] contenido
en A y x0
isin ⟨a b
⟩ un punto crıtico de f
1 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f tiene un macute aximo en el punto x0
2 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f tiene un mınimo en el punto x0
3 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) gt 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) gt 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f no tiene macute aximo ni mınimo en el punto x0
4 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f no tiene macute aximo ni mınimo en el punto x0
X X
a bx 0a bx 0
f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0lt gt f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0gt lt
f
f
f tiene un maacuteximo en x 0 f tiene un miacutenimo en x 0
X X a bx 0a bx 0
f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0lt lt f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0gt gt
f f
f no tiene un extremo en x 0 f no tiene un extremo en x 0
Observaciones
1 Al ser x0 un punto crıtico de f el criterio de la primera derivada no garantiza que exista f prime(x0)
2 El criterio de la primera derivada requiere que f sea derivable en ⟨a x0⟩ cup ⟨x0 b⟩ mas no en x0
3 Un metodo que nos permite hallar puntos crıticos de la funcion f en [a b] es resolver la ecuacion f prime(x) = 0
sujeta a la condicion x isin ⟨a b⟩ pero tal metodo solo nos proporciona todos los puntos crıticos de f que
cumple la primera condicion dada en la definicion 29
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La derivada de una funcion real de variable real
4 Los graficos anteriores presentan al punto crıtico x0 de f en el cual existe f prime(x0) y es igual a cero es mas
en los dos primeros graficos la recta tangente en el punto (x0 f (x0)) es horizontal iquestCual es el aspecto de
la grafica de f si es que no existiera f prime(x0)
5 Sea x0 isin ⟨a b⟩ un punto crıtico de la funcion f Al utilizar el criterio de la primera derivada para averiguar
si f tiene maximo o mınimo en x0 es necesario resolver las inecuaciones f prime(x) lt 0 y f prime(x) gt 0 sujetas
a la restriccion x isin ⟨a b⟩ tales procesos son sencillos para algunas funciones pero existen funciones paralos cuales tales resoluciones son complicadas y ahı el criterio de la primera derivada no es recomendable
utilizarlo pero tal deficiencia se supera utilizando otro criterio para determinar extremo de una funcion
6 El criterio de la primera derivada tambien es aplicable cuando en lugar del intervalo ⟨a b⟩ se considera a
otros tipos de intervalos abiertos si es que estan contenidos en el dominio de la funcion
Por ejemplo para la funcion f
minusrarr
definida por f (x) = x2 su unico punto crıtico es x0 = 0 f prime(x) lt 0
para todo x lt 0 y f prime(x) gt 0 para todo x gt 0 por tanto f tiene un mınimo en 0 y su valor mınimo es
f (0) = 0
232 Criterio de la segunda derivada para extremos de una funcion
Aquı presentamos otro criterio que nos ayuda a determinar si un punto crıtico es aquel en donde una funcion
alcanza su valor maximo o mınimo este metodo requiere la existencia de la segunda de la funcion en su punto
crıtico
Teorema 217 (Criterio de la segunda derivada) Sean la funciacute on f A minusrarr
el intervalo [a b] contenido
en A y x0 isin ⟨a b⟩ un punto crıtico de f para el cual f primeprime(x0) existe
1 Si la funciacute on f es derivable en ⟨a b⟩ f prime(x0) = 0 y f primeprime(x0) lt 0 entonces f tiene un macute aximo en el punto x0
2 Si la funciacute on f es derivable en
⟨a b
⟩ f prime(x0) = 0 y f primeprime(x0) gt 0 entonces f tiene un mınimo en el punto x0
X X
a bx 0a bx 0
f a b f f es derivable en ( ) 0 ( ) 0 x x 0 0= lt f a b f f es derivable en ( ) 0 ( ) 0 x x 0 0= gt
f
f
f tiene un maacuteximo en x 0 f tiene un miacutenimo en x 0
Observaciones
1 Los graficos anteriores presentan al punto crıtico x0 de f en el cual existe f primeprime(x0) y es diferente a cero
2 El criterio de la segunda derivada tambien es aplicable cuando en lugar del intervalo ⟨a b⟩ se considera a
otros tipos de intervalos abiertos si es que estan contenidos en el dominio de la funcion
Por ejemplo para la funcion f
minusrarr
definida por f (x) = x2 su unico punto crıtico es x0 = 0 y
f primeprime(0) = 2 gt 0 por tanto f tiene un mınimo en 0 y su valor mınimo es f (0) = 0
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La derivada de una funcion real de variable real
24 Concavidad y puntos de inflexion
25 La regla de Lrsquo Hospital
3 Aplicaciones de la derivada
31 Trazado de grafica de funciones
32 Derivadas parametricas
321 Regla de la cadena
33 Diferencial de una funcion
34 Razon de cambio
Indice
1 La derivada 111 Derivadas laterales 4
12 Derivacion y continuidad 5
13 Derivadas de orden superior 7
131 Notacion de derivadas 7
132 El operador d
dx 8
133 La segunda derivada 10
134 Derivada de ordenes mayores a dos 10
135 Notacion de derivadas de ordenes superiores 11
14 Derivadas implıcitas 12
141 Ecuaciones diferenciales ordinarias de lugares geometricos 13
15 Funciones derivables 18
151 Funciones derivables en un intervalo 18
152 Funciones de clase C k 19
153 Funciones no derivables 19
2 Teoremas sobre funciones derivables 21
21 Extremos relativos de una funcion 21
22 El teorema del valor medio 24
23 Funciones crecientes y decrecientes 26
231 Criterio de la primera derivada para extremos de una funcion 29
232 Criterio de la segunda derivada para extremos de una funcion 30
24 Concavidad y puntos de inflexion 31
25 La regla de Lrsquo Hospital 31
3 Aplicaciones de la derivada 31
31 Trazado de grafica de funciones 31
32 Derivadas parametricas 31
321 Regla de la cadena 31
33 Diferencial de una funcion 31
34 Razon de cambio 31
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La derivada de una funcion real de variable real
La ecuacion de la familia de circunferencias es (x minus h)2 + (y minus h)2 = 1 en ella solo figura una constante
entonces el orden de la ecuacion diferencia buscada es 1
Derivando respecto a x tenemos 2(x minus h) + 2(y minus h)yprime = 0 =rArr x minus h + yy prime minus hyprime = 0
=rArr h(1 + yprime) = x + yy prime =rArr h = x + yy prime
yprime + 1
Reemplazando en la ecuacion de las circunferencias
1048616x minus
x + yy prime
yprime + 110486172
+1048616
y minus x + yy prime
yprime + 110486172
= 1
=rArr (x(yprime + 1) minus x minus yy prime
8520092+(
yy prime + y minus x minus yy prime8520092
= (yprime + 1)2
=rArr (xyprime minus yy prime
8520092+(
y minus x8520092
= (yprime + 1)2
=rArr (yprime)2(x minus y)2 + (x minus y)2 = (yprime + 1)2
=rArr (x minus y)2(
(yprime)2 + 1852009
= (yprime + 1)2 es la ecuacion diferencial buscada
5 Formular la ecuacion diferencial que representa a todas las tangentes no verticales de la par abola y2 = 2x
Solucion
x
y
a
b
L
y = 2 x 2
La ecuacion de la recta tangente L a la parabola en el punto (a b) es
L y minus b = m(x minus a) Hallando la pendiente m derivando L y prime = m Por otro lado derivando la ecuacion
de la parabola tenemos 2yyprime = 2 =rArr y prime = 1
y cuyo significado es y prime(x) =
1
y(x) para x gt 0
En el punto (a b) de la parabola se tiene yprime(a) = 1
y(a) =
1
b = m Ademas como (a b) es un punto de la
parabola se tiene b2 = 2a =rArr a = b2
2 Luego en la ecuacion de la tangente
y minus b = 1b
1048616x minus b
2
2
1048617 =rArr yb minus b2 = x minus b
2
2
=rArr y = x
b +
b
2 pero b =
1
yprime
=rArr y = xy prime + 1
2yprime
=rArr 2y(yprime)2 minus 2xyprime + 1 = 0 es la ecuacion diferencial buscada
6 y2 = 4ax
Primero tenemos a = y2
4x el cual se utilizara luego Derivando la ecuacion original tenemos 2yyprime = 4a
=rArr 2yyprime
= 41048616 y2
4x1048617
= y2
x =rArr 2xyyprime
= y2 =rArr 2xyprime
= y si y = 0 =rArr 2x dy
dx minus y = 0
Por lo tanto 2x dy
dx minus y = 0 es la ecuacion diferencial buscada
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La derivada de una funcion real de variable real
7 y = C 1 sen 4x + C 2 cos 4x + x
Solucion
yprime = 4C 1 cos 4x minus 4C 2 sen 4x + 1 yprimeprime = minus16C 1 sen 4x minus 16C 2 cos 4x de la segunda derivada tenemos
minusyprimeprime
16 = C 1 sen 4x + C 2 cos 4x = y minus x luego minus(16)minus1yprimeprime = y minus x =rArr minusyprimeprime = 16y minus 16x
Por lo tanto yprimeprime = 16(xminus
y) es ecuacion diferencial buscada
8 I = teminust + eminust + 2sen 3t
Solucion En esta parte I es una funcion que depende de t y las derivadas seran respecto a t
I prime = eminust minus teminust minus eminust + 6cos 6t Pero teminust + eminust = I minus 2sen3t
=rArr I prime = eminust minus I + 2sen 3t + 6cos 3t =rArr I primeprime = minuseminust minus I prime minus 6cos3t minus 18sen3t
sumando las dos ultimas ecuaciones I prime + I primeprime = minusI minus I prime minus 16sen3t de donde I primeprime + 2I prime + I = minus16sen3t
9 x2 minus ay2 = 1
Solucion
Derivando 2x minus 2ay dy
dx = 0 =rArr y prime =
dy
dx =
minus2x
minus2ay
=rArr a = x
yy prime reemplazando en la ecuacion original
x2 minus x
yyprimey2 = 1 =rArr x2yyprime minus yyprime minus xy2 = 0
=rArr (x2 minus 1)yprime = xy
=rArr yprime = xy
x2 + 1 es la ecuacion diferencial buscada
10 x2 + y2 minus cx = 0
Derivando 2x + 2yyprime = c
Reemplazando en la ecuacion original x2 + y2 minus (2x + 2yy prime)x = 0
=
rArr yprime =
x2 minus y2
2xy
es la ecuacion diferencial buscada
11 Hallar la ecuacion diferencial de cada uno de las siguientes familias de curvas
a) y = x sen(x + c) Rta (xyprime minus y)2 = x2(x2 minus y2)
b) Todos los cırculos que pasan por (1 0) y (minus1 0) Rta 2xy = (x2 minus y2 minus 1)yprime
c) Todos los cırculos con centro en la recta y = x que son tangentes a ambos ejes
Rta (x minus y)2(1 + yprime)2 = (x + yy prime)2
d) Todas las rectas tangentes a la parabola x2 = 4y
Sugerencia La pendiente de la recta tangente en (2a a2) es a Rta y + yprime = xy prime
e) Todas las rectas tangentes al cırculo unidad x2
+ y2
= 1 Rta (y minus xyprime
)2
= 1 minus (yprime
)2
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La derivada de una funcion real de variable real
Definicion 112 Sea la ecuaciacute on diferencial ordinaria lineal de orden n
any(n) + middot middot middot + a2y primeprime + a1y prime + a0 = b
La funciacute on f A minusrarr
es una de sus soluciones si para todo x isin A
anf (n)(x) + middot middot middot + a2f primeprime(x) + a1f prime(x) + a0 = b
Ejercicio 4 Demuestre que la funciacute on f
minusrarr definida por f (x) = sin x es una soluciacute on de la ecuaciacute on
diferencial y primeprime + y = 0
Solucion Lo unico que debemos hacer es derivar a f dos veces y sumar los resultados
f (x) = sin x minusrarr f prime(x) = cos x minusrarr f primeprime(x) = minus sin x sumando f primeprime(x) + f (x) = 0 por lo tanto f
es una solucion de la ecuacion diferencial y primeprime + y = 0
Ejercicio 5 Demuestre que la funciacute on f
minusrarr
definida por f (x) = 8ex+xex es una soluciacute on de la ecuaciacute on
diferencial yprimeprime minus 2yprime + y = 0
Solucion Derivemos a f hasta dos veces y reemplacemos en el primer miembro de la ecuacion diferencial Siresulta cero tal reemplazo entonces la funcion f es una solucion de tal ecuacion diferencial
f (x) = 8ex + xex =rArr f prime(x) = [8ex] prime + [xex] prime = 8ex + [x]primeex + x[ex] prime = 8ex + ex + xex = 9ex + xex
=rArr f primeprime(x) = [9ex] prime + [xex] prime = 9ex + [x]primeex + x[ex] prime = 9ex + ex + xex = 10ex + xex
Reemplazemos en el primer miembro de la ecuacion diferencial
f primeprime(x) minus 2f prime(x) + f (x) =1048667
10ex + xex1048669minus 2
10486679ex + xex
1048669+1048667
8ex + xex1048669
= 10ex + xex minus 18ex minus 2xex + 8ex + xex
= [10
minus18 + 8]ex + [1
minus2 + 1]xex
= 0
Dado que resulta f primeprime(x)minus2f prime(x)+f (x) = 0 entonces f (x) = 8ex+xex es una solucion de la ecuacion diferencial
ordinaria y primeprime minus 2yprime + y = 0
Ejercicio 6 Demuestre o descarte las siguientes afirmaciones
1 x + y2 = K describe la soluciacute on general de las ecuaciones diferenciales dy
dx = minus 1
2y 2yyprime + 1 = 0
2 y = K ex es la soluciacute on general de la ecuaciacute on diferencial yprime minus y = 0
3 y = sin x
x
es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial xyprime + y = cos x
4 y = 1
cos x es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial yprime minus y tan x = 0
5 y = 2xradic
1 minus x2 es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial yy prime = 4x minus 8x3
6 y = x
cos x es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial xyprime minus y = x2 tan x sec x
7 y = ex(x + 1) es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial yprimeprime minus 2yprime + y = 0
8 y = ln(x + c) + 2 es la soluciacute on general de la ecuaciacute on diferencial yprimeeyminus2 minus 1 = 0
9 y = sen3 x es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial yprimeprime + (tan x minus 2cot x)yprime = 0
10 y = arcsin(xy) describe una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial xyprime + y = yradic
1 minus x2y2
11 y = c1eminusx + c2ex + c3eminus2x + c4e2x es soluciacute on general de la ecuaciacute on diferencial y(iv) minus 5yprimeprime + 4y = 0
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La derivada de una funcion real de variable real
15 Funciones derivables
151 Funciones derivables en un intervalo
Sin ser redundantes presentamos a los intervalos de
1 [a b] = x isin
a le x le b
2 ⟨a b⟩ = x isin
a lt x lt b
3 ⟨a b] = x isin
a lt x le b
4 [a b⟩ = x isin
a le x lt b
5 ⟨minusinfin b⟩ = x isin 1048623x lt b
6 ⟨minusinfin b] = x isin
1048623x le b
7 ⟨a +infin⟩ = x isin
1048623a lt x
8 [a +infin⟩ = x isin
1048623a le x
9 ⟨minusinfin +infin⟩ =
y
10 [a a] = a
Los cuatro primeros y el ultimo son los intervalos limitados los cinco siguientes son intervalos ilimitados el
ultimo se denomina un intervalo degenerado desde el segundo hasta el cuarto intervalo a lt b
Definicion 113 Sea la funciacute on f I minusrarr donde I es un intervalo de
1 La funciacute on f ⟨a b⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨a b⟩ si lo es en cada punto de ⟨a b⟩
2 La funciacute on f ⟨minusinfin b⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨minusinfin b⟩ si lo es en cada punto de ⟨minusinfin b⟩
3 La funciacute on f ⟨a +infin⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨a +infin⟩ si lo es en cada punto de ⟨a +infin⟩
4 La funciacute on f [a b⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo [a b⟩ si existe un intervalo abierto del tipo ⟨ p q ⟩ que
contiene a [a b⟩ tal que f sea derivable sobre ⟨ p q ⟩
5 La funciacute on f ⟨a b] minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨a b] si existe un intervalo abierto del tipo ⟨ p q ⟩ que
contiene a ⟨a b] tal que f sea derivable sobre ⟨ p q ⟩
6 La funciacute on f [a +infin⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo [a +infin⟩ si existe un intervalo abierto del tipo⟨ p +infin⟩ que contiene a [a +infin⟩ tal que f sea derivable sobre ⟨ p +infin⟩
7 La funciacute on f ⟨minusinfin b] minusrarr es derivable en el intervalo ⟨minusinfin b] si existe un intervalo abierto del tipo
⟨minusinfin q ⟩ que contiene a ⟨minusinfin b] tal que f sea derivable sobre ⟨minusinfin q ⟩
8 La funcion f [a b] minusrarr es derivable en el intervalo [a b] si existe un intervalo abierto del tipo ⟨ p q ⟩ que
contiene a [a b] tal que f sea derivable sobre ⟨ p q ⟩
Observaciones
1 La funcion f [a b
⟩ minusrarr es derivable en el intervalo [a b
⟩ si y solo si es derivable en cada punto de
⟨a b
⟩y existe f prime+(a)
2 La funcion f [a +infin⟩ minusrarr es derivable en el intervalo [a +infin⟩ si y solo si es derivable en cada punto de
⟨a +infin⟩ y existe f prime+(a)
3 La funcion f ⟨a b] minusrarr es derivable en el intervalo ⟨a b] si y solo si es derivable en cada punto de ⟨a b⟩
y existe f primeminus
(b)
4 La funcion f ⟨minusinfin b] minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨minusinfin b] si y solo si es derivable en cada punto de
⟨minusinfin b⟩ y existe f primeminus
(b)
5 La funcion f [a b] minusrarr
es derivable en el intervalo [a b] si y solo si es derivable en cada punto de ⟨a b⟩y existen f prime+(a) y f prime
minus(b)
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La derivada de una funcion real de variable real
6 Sea I un intervalo abierto Si la funcion f I minusrarr es derivable su funcion derivada f prime I minusrarr tendra el
mismo dominio que f
7 Sea I un intervalo abierto Si la funcion f I minusrarr
es k veces derivable su funcion kndashesima derivada
f (k) I minusrarr
tendra el mismo dominio que f
8 Sea I un intervalo no abierto Si la funcion f I minusrarr
es derivable su funcion derivada f prime J minusrarr
tendra como dominio al interior de I
152 Funciones de clase C k
Sea I un intervalo de
Si la funcion f I minusrarr
es derivable en I entonces es continua en I pero
posiblemente la funcion derivada f prime J minusrarr
no sea continua en I J = int (I )
Definicion 114 Sea I un intervalo de Si la funcion f I minusrarr es continua en I diremos que ldquo f rdquo es una
funciacute on de clase cero C 0 sobre I
⋆ Si ldquof rdquo es una funcion de clase C 0 sobre I lo denotamos por f
isin C 0(I )
Definicion 115 Sea I un intervalo abierto de
Si la funciacute on f I minusrarr
es derivable en I y la funciacute on
f prime I minusrarr es continua en I diremos que f es continuamente derivable en I o simplemente la funciacute on ldquo f rdquo es
de clase C 1 sobre I
⋆ Si ldquof rdquo es una funcion de clase C 1 sobre I lo denotamos por f isin C 1(I )
Definicion 116 Sea I un intervalo abierto de
La funcion f I minusrarr
es de clase C k sobre el intervalo I
si es k veces derivable sobre I y la funciacute on f (k) I minusrarr
es continua en I
⋆ Si ldquof rdquo es una funcion de clase C k sobre I lo denotamos por f
isin C k(I )
Definicion 117 Sea I un intervalo abierto de La funciacute on f I minusrarr es de clase C infin sobre el intervalo I
si existe f (n) para todo n isin 0 1 2 middot middot middot
⋆ Si ldquof rdquo es una funcion de clase C infin sobre I lo denotamos por f isin C infin(I )
Ejemplo 117
1 La funcion f
minusrarr
definida por f (x) = ex es de clase C infin sobre
Con la notaciones presentadas
tenemos la pertenencia f isin C infin(
)
2 La funcion f minusrarr
definida por f (x) = p(x) donde p(x) es un polinomio es de clase C infin
sobre
Conla notaciones presentadas tenemos la pertenencia f isin C infin( )
3 La funcion f [0 +infin⟩ minusrarr definida por f (x) =
radic x es de clase C infin sobre ⟨0 +infin⟩ Con la notaciones
presentadas tenemos la pertenencia f isin C infin983080
[0 +infin⟩983081
153 Funciones no derivables
Sea f una funcion cuyo dominio sea el conjunto A sub
Si f es derivable en el punto a isin A entonces la
grafica de f en su punto (a f (a)) tiene una unica recta tangente La idea de recta tangente en este caso no es
la misma que usted tiene a cerca de una recta tangente a una circunferencia en donde ellos tienen un unico
punto en comun es decir si la recta L es tangente a la circunferencia C entonces L y C tienen un unico punto
en comun llamado punto de tangencia Mientras que si L es una recta tangente a la grafica de la funcion f
es posible que ellos tengan otro punto en comun a parte del punto de tangencia la idea de tangencia que se
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La derivada de una funcion real de variable real
expone es local y no global en el sentido de que si L es una recta tangente a la grafica de la funcion f el punto
de tangencia es unico cerca de el especıficamente La recta L es una tangente a la grafica de la funcion f en su
punto (a f (a)) si existe un cırculo de centro (a f (a)) dentro del cual L y la grafica de la funcion f tienen un
unico punto en comun y los puntos de la grafica de f que pertenecen al cırculo estan a un solo lado de L Y si
ademas la funcion f es derivable en a la pendiente de L es f prime(a)
X
Y
L L L
y f x ( )=a
X
Y
L L L
y f x ( )=a
Si una funcion f es continua en un punto a no siempre sera derivable en dicho punto existe la posibilidad de
que lo sea como tambien que no como por ejemplo
La funcion f ⟨0 2⟩ minusrarr
definida por f (x) =
983163 2x si 0 lt x lt 1
2 si 1 le x lt 2es continua en el punto a = 1 pero
no es derivable en dicho punto pues no existe f prime(1) La existencia de la derivada f prime(1) implica que la grafica
de la funcion f tiene una unica recta tangente en el punto (1 f (1)) la no existencia de f prime(1) implica que la
grafica de la funcion f tiene una varias rectas en ese punto o no en este ejemplo como veremos gr aficamente
la funcion f posee varia rectas tangentes en su punto (1 f (1))
X
Y
y f x ( )=
1 2
X
Y
L L L
y x 2=
y x 3=
1
2
3
Grafico de f (x) =983163 2x si 0 lt x lt 1
2 si 1 le x lt 2 Grafico de f (x) =
x2 si
minus1 lt x lt 1
2x3
3 si 1 le x lt 2
Si una funcion f es derivable en un punto a entonces por el teorema 17 sera continua en dicho punto por
ejemplo la funcion f ⟨0 2⟩ minusrarr
f (x) =
x2 si minus1 lt x lt 1
2x3
3 si 1 le x lt 2
es derivable en a = 1 mas aun es
continua en dicho punto Es mas la grafica de f tiene una unica recta tangente en su punto (1 f (1))
De acuerdo al teorema 16 una funcion es no derivable en el punto ldquoardquo si f primeminus
(a) = f prime+(a) o una de la
derivadas laterales f primeminus
(a) f prime+(a) no existe Y de acuerdo al teorema 17 si f no es continua en el punto ldquoardquo
entonces no es derivable en ese punto
Los siguientes son ejemplos graficos de funciones no derivables en un punto
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La derivada de una funcion real de variable real
X X
Y Y
a a b
y f x = ( ) y f x = ( )
f a f a bno es derivable en no es derivable en y
f a
f b
es derivable en por derecha
es derivable en por izquierda
2 Teoremas sobre funciones derivables
21 Extremos relativos de una funcion
Definicion 21 Sean empty = X sub
y m isin
Diremos que ldquo mrdquo es el mınimo del conjunto X si m isin X y m le x
para todo x isin X
Definicion 22 Sean empty = X sub
y M isin
Diremos que ldquo M rdquo es el macute aximo del conjunto X si M isin X y
M ge x para todo x isin X
Observaciones
1 No todo subconjunto no vacıo de
posee maximo yo mınimo
2 Si un subconjunto no vacıo de
posee maximo yo mınimo este es unico y ademas es uno de los elementos
del conjunto
3 Si ldquomrdquo es el mınimo del conjunto X entonces lo denotamos por m = mın X
4 Si ldquoM rdquo es el maximo del conjunto X entonces lo denotamos por M = max X
5 Si m = mın X y M = max X entonces m le M y ademas m le x le M para todo x isin X
Ejemplo 21
1 El conjunto de los numeros naturales posee mınimo y es 1 es decir 1 = mın pero no posee maximo
2 El conjunto
el de los numeros enteros no posee ni maximo ni mınimo El conjunto
el de los numeros
racionales no posee ni maximo ni mınimo
3 Veamos algunos intervalos
a) Los intervalos ⟨a b⟩ ⟨a b] ⟨a +infin⟩ no poseen mınimo
b) Los intervalos ⟨a b⟩ [a b⟩ ⟨minusinfin b⟩ no poseen maximo
c) a = mın[a b] a = mın[a b⟩ a = mın[a +infin⟩
d) b = max[a b] b = max⟨a b] b = max⟨minusinfin b]
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La derivada de una funcion real de variable real
Definicion 23 Sean empty = A sub f A minusrarr una funciacute on y x0 isin A
1 La funciacute on ldquo f rdquo tiene un mınimo absoluto en x0 si f (x0) le f (x) para todo x isin A
2 La funciacute on ldquo f rdquo tiene un macute aximo absoluto en x0 si f (x) le f (x0) para todo x isin A
3 La funci on ldquo f rdquo tiene un mınimo relativo en x0 si existe un δ gt 0 tal que f (x0) le f (x) para todo
x isin A cap ⟨x0 minus δ x0 + δ ⟩
4 La funci on ldquo f rdquo tiene un macute aximo relativo en x0 si existe un δ gt 0 tal que f (x) le f (x0) para todo
x isin A cap ⟨x0 minus δ x0 + δ ⟩
Observaciones Sean empty = A sub
f A minusrarr
una funcion y x0 isin A
1 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo relativo en x0 diremos tambien que f tiene un mınimo local en x0
2 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo relativo en x0 diremos tambien que f tiene un maximo local en x0
3 La funcion ldquof rdquo tiene un extremo absoluto en x0 si tiene un mınimo o maximo absoluto en dicho punto
4 La funcion ldquof rdquo tiene un extremo relativo en x0 si tiene un mınimo o maximo relativo en dicho punto
5 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo absoluto en x0 entonces f (x0) es el mınimo del rango de la funcion es
decir
f (x0) = mın Ran (f )
Al numero f (x0) lo denominaremos el valor mınimo de f en su dominio
6 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo absoluto en x0 entonces f (x0) es el maximo del rango de la funcion es
decir
f (x0) = max Ran (f )
Al numero f (x0) lo denominaremos el valor maximo de f en su dominio
7 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo relativo en x0 entonces f no siempre tendra un mınimo absoluto en x0
Una funcion puede poseer un mınimo relativo sin tener un mınimo absoluto
8 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo relativo en x0 entonces f no siempre tendra un maximo absoluto en
x0 Una funcion puede poseer un maximo relativo sin tener un maximo absoluto
9 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo absoluto en x0 entonces f tiene un mınimo relativo en dicho punto Lo
contrario no siempre es cierto
En la figura la funcion f minusrarr tiene maximo
relativo en x = 0 pero no posee maximo absolutoen su dominio
En la figura la funcion g minusrarr tiene mınimo
relativo en x = 0 pero no posee mınimo absolutoen su dominio
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La derivada de una funcion real de variable real
10 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo absoluto en x0 entonces f tiene un maximo relativo en dicho punto Lo
contrario no siempre es cierto
11 Una funcion puede tener extremos absolutos en mas de un punto vea el siguiente grafico
En la figura la funcion f
minusrarr
tiene mınimo
absoluto en dos puntos diferentes
En la figura la funcion g
minusrarr
tiene maximo
absoluto en dos puntos diferentes
12 La funcion ldquof rdquo tiene un extremo en el punto x0 si tiene un maximo o mınimo absoluto o relativo en dicho
punto
Y Y
X X
figura (a) figura (b)
x x x x 0 1 2 3 4 5 6x x x x x x x x x x 0 1 2 3 4 5 6
y f x = ( )
y f x = ( )
En la figura (a) Dom(f ) = [x0 x6] la funcion tiene
un mınimo absoluto en el punto x2 y maximo absolu-
to en el punto x5 mientras que tiene mınimo relativo
en los puntos x0 x2 x4 y x6 y maximo relativo en
los puntos x1 x3 y x5
En la figura (b) Dom (f ) = [x0 x6⟩minusx3 la funcion
no tiene mınimo absoluto ni maximo absoluto mien-
tras que tiene mınimo relativo en los puntos x0 x2 y
x4 y maximo relativo en los puntos x1 y x5
Teorema 21 Si la funcion f tiene un extremo en x0 y f prime(x0) existe entonces f prime(x0) = 0
Observaciones
1 Lo contrario no siempre es cierto es decir si f prime(x0) = 0 entonces f no siempre tendra un extremo en x0
Un ejemplo simple es para f (x) = (x minus 2)3 en x0 = 2
2 Si la funcion f tiene un extremo en x0 y f prime
(x0) existe entonces la recta tangente a la grafica de la funcionen el punto
(x0 f (x0)
852009 en horizontal
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La derivada de una funcion real de variable real
3 Si la funcion f tiene un extremo en x0 y f prime(x0) no existe entonces o bien no existe recta tangente a la
grafica de la funcion en el punto(
x0 f (x0)852009
o existen infinitas rectas tangente a la grafica de la funcion en
el punto(
x0 f (x0)852009
pudiendo ser una de ellas una recta vertical
En la figura la funcion f
minusrarr
tiene un extremo
en x = 0 pero f prime(0) no existe ademas la grafica de
esta funcion posee infinitas rectas tangente en el pun-
to(
0 f (0)852009
En la figura la funcion g
minusrarr
tiene extremo en
los puntos x0 x1 existen g prime(x0) g prime(x1) y las rectas
tangente en(
x0 g(x0)852009
y(
x1 g(x1)852009
son horizontales
22 El teorema del valor medio
Teorema 22 (Teorema de Rolle) Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si f es continua en [a b] es derivable en
⟨a b⟩ y f (a) = f (b) entonces existe un c isin ⟨a b⟩ tal que f prime(c) = 0
Observaciones
1 Si la funcion f satisface las hipotesis del teorema de Rolle la existencia del punto c tales que f prime(c) = 0 no
siempre es unica pueden existir otros puntos del intervalo ⟨a b⟩ cuya primera derivada en esos puntos sea
cero
2 La condicion f (a) = f (b) indica que la recta que pasa por los puntos(
a f (a)852009
y(
b f (b)852009
es horizontal El
teorema garantiza la existencia de al menos un punto c isin ⟨a b⟩ tal que la recta tangente a la grafica de la
funcion f el punto(
c f (c)852009
tambien sea horizontal
X X
Y Y
y=f x( )
y=f x( )
figura (a) figura (b)
a c c b1 3 a b
c2
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La derivada de una funcion real de variable real
En la figura (a) la funcion f satisface las hipotesis del
teorema de Rolle por tanto en este caso existen pun-
tos c1 c2 y c3 del intervalo ⟨a b⟩ tal que f prime(c1) = 0
f prime(c2) = 0 y f prime(c3) = 0
En la figura (b) la funcion f no satisface las hipotesis
del teorema de Rolle en tanto no se garantiza la exis-
tencia de puntos del intervalo ⟨a b⟩ tal que la primera
derivada de f en esos puntos sea cero
Teorema 23 (El teorema del valor medio de Lagrange) Sea la funciacute on f [a b]
minusrarr
Si f es continua
en [a b] es derivable en ⟨a b⟩ entonces existe un c isin ⟨a b⟩ tal que
f prime(c) = f (b) minus f (a)
b minus a
Observaciones
1 Si la funcion f satisface las hipotesis del teorema del valor medio de Lagrange la existencia del punto c tales
que f prime(c) = f (b) minus f (a)
b minus a no siempre es unica pueden existir otros puntos del intervalo ⟨a b⟩ cuya primera
derivada en esos puntos sea igual a f (b) minus f (a)
b minus a
2 Sea L la recta que pasa por los puntos(
a f (a)852009
y(
b f (b)852009
el teorema garantiza la existencia de al menosun punto c isin ⟨a b⟩ tal que la recta tangente a la grafica de la funcion f el punto
(c f (c)
852009 sea paralela a L
Y Y
X X
y = f x ( ) y = f x ( )
f a ( )
f a ( )
f b( )
f b( )
figura (a) figura (b)
a c b1 b
c 2 a
L L L
L L L
En la figura (a) la funcion f satisface las hipotesis del
teorema de Lagrange por tanto en este caso existen
puntos c1 y c2 del intervalo ⟨a b⟩ tal que
f prime(c1) = f (b) minus f (a)
b minus a y f prime(c2) =
f (b) minus f (a)
b minus a
En la figura (b) la funcion f no satisface las hipotesis
del teorema de Lagrange en tanto no se garantiza
la existencia de puntos del intervalo ⟨a b⟩ tal que laprimera derivada en ese punto sea igual a
f (b) minus f (a)
b minus a
Teorema 24 (El teorema generalizado del valor medio de Cauchy) Sean las funciones f [a b] minusrarr
y g [a b] minusrarr
continuas en [a b] y derivables en ⟨a b⟩ con g(b) = g(a) y g prime(x) = 0 para todo x isin ⟨a b⟩
entonces existe un c isin ⟨a b⟩ tal que f prime(c)
g prime(c) =
f (b) minus f (a)
g(b) minus g(a)
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La derivada de una funcion real de variable real
23 Funciones crecientes y decrecientes
Definicion 24 (Funcion creciente) Sean empty = A sub
y la funciacute on f A minusrarr
Diremos que la funciacute on f
es creciente o estrictamente creciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) lt f (x2)
Definicion 25 (Funcion decreciente) Sean empty = A sub
y la funci on f A minusrarr
Diremos que la funcion f
es decreciente o estrictamente decreciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) gt f (x2)
Y Y
X X
f x ( )1
f x ( )1
x 1
x 1x 2
x 2
f x ( )2
f x ( )2
Graacutefico de una funcioacutenestrictamente creciente
Graacutefico de una funcioacutenestrictamente decreciente
Definicion 26 (Funcion no creciente) Sean empty = A sub y la funci on f A minusrarr
Diremos que la funciacute on
f es no creciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) ge f (x2)
Definicion 27 (Funcion no decreciente) Sean empty = A sub y la funciacute on f A minusrarr
Diremos que la
funciacute on f es no decreciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) le f (x2)
Y Y
X X
x 1 x 2 x 1 x 2
Graacutefico de una funcioacuten
no decreciente
Graacutefico de una funcioacuten
no creciente
Definicion 28 (Funcion monotona) Sean empty = A sub
y la funci on f A minusrarr
Diremos que la funciacute on f
es monacute otona sobre A si es creciente o decreciente o no creciente o no decreciente sobre A
Observaciones
1 Para definir funciones monotonas (crecientes decrecientes no crecientes o no decrecientes) no es necesario
saber la continuidad y la derivabilidad de la funcion en su dominio
2 Existen funciones monotonas que no son derivables yo continuas en su dominio
Teorema 25 Sean empty = A sub y la funciacute on f A minusrarr Si la funciacute on f es estrictamente creciente sobre A
entonces f es una funciacute on inyectiva y su funcion inversa f lowast tambien es estrictamente creciente sobre Ran(f )
Teorema 26 Sean empty = A sub
y la funci on f A minusrarr
Si la funci on f es estrictamente decreciente sobre A
entonces f es una funciacute on inyectiva y su funciacute on inversa f lowast tambien es estrictamente decreciente sobre Ran(f )
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La derivada de una funcion real de variable real
Y Y
X X
f
f
f
f
Teorema 27 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr
Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩
con f
prime
(x) gt 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es estrictamente creciente sobre [a b]
Teorema 28 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩
con f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es estrictamente decreciente sobre [a b]
X X
a
a b
b
Observaciones
1 Del teorema 27 si la pendiente de todas las rectas tangente a la grafica de la funcion sobre ⟨a b⟩ es positiva
entonces la funcion es estrictamente creciente sobre [a b]
2 Del teorema 28 si la pendiente de todas las rectas tangente a la grafica de la funcion sobre ⟨a b⟩ es negativa
entonces la funcion es estrictamente decreciente sobre [a b]
Teorema 29 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr
Si la funcion f es continua sobre [a b] y es inyectiva en [a b]
entonces f es estrictamente creciente o estrictamente decreciente sobre [a b] pero no ambos
X X
a
a b
b
f ab
ab
es continua e inyectiva sobre [ ]en este caso es creciente sobre [ ]
f ab
ab
es continua e inyectiva sobre [ ]en este caso es decreciente sobre [ ]
f f
Teorema 210 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funciacute on f es continua y estrictamente creciente sobre
[a b] entonces Ran(f ) =1048667
f (a) f (b)1048669
y su funciacute on inversa f lowast 1048667
f (a) f (b)1048669 minusrarr
es tambien continua y
estrictamente creciente sobre [a b]
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La derivada de una funcion real de variable real
Teorema 211 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funcion f es continua y estrictamente decreciente sobre
[a b] entonces Ran(f ) =1048667
f (b) f (a)1048669
y su funciacute on inversa f lowast 1048667
f (b) f (a)1048669 minusrarr
es tambien continua y
estrictamente decreciente sobre [a b]
Teorema 212 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre
⟨a b⟩ con f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es no decreciente sobre [a b]
Teorema 213 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre
⟨a b⟩ con f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es no creciente sobre [a b]
Teorema 214 (de la funcion constante) Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre
[a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩ con f prime(x) = 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es constante sobre [a b] es decir
existe una constante C tal que f (x) = C para todo [a b]
Teorema 215 (de la diferencia constante) Sean las funciones f [a b] minusrarr
y f [a b] minusrarr
Si las
funciones f y g son continuas sobre [a b] y es derivables sobre ⟨a b⟩ con f prime(x) = g prime(x) para todo x isin ⟨a b⟩entonces existe una constante C tal que f (x) = g(x) + C para todo [a b]
Definicion 29 (Punto crıtico) Sean I un intervalo de
x0 un punto de I y la funciacute on f I minusrarr
El
punto x0 es un punto crıtico de la funciacute on f I minusrarr si x0 satisface alguna de las siguientes condiciones
a) f prime(x0) = 0 o b) f prime(x0) = 0 no existe o c) f tiene un extremo en x0
Observaciones
1 Si x0 es un punto crıtico de la funcion f no podemos concluir con certeza una de las condiciones mencionadas
2 Si x0 es un punto crıtico de la funcion f y f prime(x0) = 0 no podemos concluir con certeza que f tiene un
extremo en dicho punto
Por ejemplo sea la funcion f [1 3] minusrarr definida
por f (x) = (x minus 2)3 cuya funcion derivada es
f prime ⟨1 3⟩ minusrarr
983087 f prime(x) = 3(x minus 2)2
En x0 = 2 tenemos f prime(x0) = 0 pero f no tiene
maximo ni mınimo en 2 f tiene un mınimo en 1
y un maximo en 3 por tanto 1 2 y 3 son puntos
crıticos de f
Y
X
1
2
Ejercicio 7 Hal le los puntos crıticos de las siguientes funciones
1 f
minusrarr que estacute a definida por
f (x) = 1
4(x4 minus 6x2 + 8x) + 5
2 f
minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = 3
radic (x + 4)2(x minus 5)
3 f
minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = 5x23 minus x53
4 f
minusrarr
que estacute a definida por f (x) = x + 1
x2 + 1
5 f
minus 1 minusrarr que estacute a definida por
f (x) = x3 minus 2
(x minus 1)2
6 f
minusrarr
que estacute a definida por f (x) = x2 + 3radic
x2 + 1
7 f [minusπ2
π2
] minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = sin2 x minus |x|
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La derivada de una funcion real de variable real
231 Criterio de la primera derivada para extremos de una funcion
Aquı presentamos un criterio que nos ayuda a determinar si un punto crıtico es aquel en donde una funcion
alcanza su valor maximo o mınimo
Teorema 216 (Criterio de la primera derivada) Sean la funciacute on f A minusrarr
el intervalo [a b] contenido
en A y x0
isin ⟨a b
⟩ un punto crıtico de f
1 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f tiene un macute aximo en el punto x0
2 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f tiene un mınimo en el punto x0
3 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) gt 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) gt 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f no tiene macute aximo ni mınimo en el punto x0
4 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f no tiene macute aximo ni mınimo en el punto x0
X X
a bx 0a bx 0
f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0lt gt f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0gt lt
f
f
f tiene un maacuteximo en x 0 f tiene un miacutenimo en x 0
X X a bx 0a bx 0
f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0lt lt f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0gt gt
f f
f no tiene un extremo en x 0 f no tiene un extremo en x 0
Observaciones
1 Al ser x0 un punto crıtico de f el criterio de la primera derivada no garantiza que exista f prime(x0)
2 El criterio de la primera derivada requiere que f sea derivable en ⟨a x0⟩ cup ⟨x0 b⟩ mas no en x0
3 Un metodo que nos permite hallar puntos crıticos de la funcion f en [a b] es resolver la ecuacion f prime(x) = 0
sujeta a la condicion x isin ⟨a b⟩ pero tal metodo solo nos proporciona todos los puntos crıticos de f que
cumple la primera condicion dada en la definicion 29
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La derivada de una funcion real de variable real
4 Los graficos anteriores presentan al punto crıtico x0 de f en el cual existe f prime(x0) y es igual a cero es mas
en los dos primeros graficos la recta tangente en el punto (x0 f (x0)) es horizontal iquestCual es el aspecto de
la grafica de f si es que no existiera f prime(x0)
5 Sea x0 isin ⟨a b⟩ un punto crıtico de la funcion f Al utilizar el criterio de la primera derivada para averiguar
si f tiene maximo o mınimo en x0 es necesario resolver las inecuaciones f prime(x) lt 0 y f prime(x) gt 0 sujetas
a la restriccion x isin ⟨a b⟩ tales procesos son sencillos para algunas funciones pero existen funciones paralos cuales tales resoluciones son complicadas y ahı el criterio de la primera derivada no es recomendable
utilizarlo pero tal deficiencia se supera utilizando otro criterio para determinar extremo de una funcion
6 El criterio de la primera derivada tambien es aplicable cuando en lugar del intervalo ⟨a b⟩ se considera a
otros tipos de intervalos abiertos si es que estan contenidos en el dominio de la funcion
Por ejemplo para la funcion f
minusrarr
definida por f (x) = x2 su unico punto crıtico es x0 = 0 f prime(x) lt 0
para todo x lt 0 y f prime(x) gt 0 para todo x gt 0 por tanto f tiene un mınimo en 0 y su valor mınimo es
f (0) = 0
232 Criterio de la segunda derivada para extremos de una funcion
Aquı presentamos otro criterio que nos ayuda a determinar si un punto crıtico es aquel en donde una funcion
alcanza su valor maximo o mınimo este metodo requiere la existencia de la segunda de la funcion en su punto
crıtico
Teorema 217 (Criterio de la segunda derivada) Sean la funciacute on f A minusrarr
el intervalo [a b] contenido
en A y x0 isin ⟨a b⟩ un punto crıtico de f para el cual f primeprime(x0) existe
1 Si la funciacute on f es derivable en ⟨a b⟩ f prime(x0) = 0 y f primeprime(x0) lt 0 entonces f tiene un macute aximo en el punto x0
2 Si la funciacute on f es derivable en
⟨a b
⟩ f prime(x0) = 0 y f primeprime(x0) gt 0 entonces f tiene un mınimo en el punto x0
X X
a bx 0a bx 0
f a b f f es derivable en ( ) 0 ( ) 0 x x 0 0= lt f a b f f es derivable en ( ) 0 ( ) 0 x x 0 0= gt
f
f
f tiene un maacuteximo en x 0 f tiene un miacutenimo en x 0
Observaciones
1 Los graficos anteriores presentan al punto crıtico x0 de f en el cual existe f primeprime(x0) y es diferente a cero
2 El criterio de la segunda derivada tambien es aplicable cuando en lugar del intervalo ⟨a b⟩ se considera a
otros tipos de intervalos abiertos si es que estan contenidos en el dominio de la funcion
Por ejemplo para la funcion f
minusrarr
definida por f (x) = x2 su unico punto crıtico es x0 = 0 y
f primeprime(0) = 2 gt 0 por tanto f tiene un mınimo en 0 y su valor mınimo es f (0) = 0
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La derivada de una funcion real de variable real
24 Concavidad y puntos de inflexion
25 La regla de Lrsquo Hospital
3 Aplicaciones de la derivada
31 Trazado de grafica de funciones
32 Derivadas parametricas
321 Regla de la cadena
33 Diferencial de una funcion
34 Razon de cambio
Indice
1 La derivada 111 Derivadas laterales 4
12 Derivacion y continuidad 5
13 Derivadas de orden superior 7
131 Notacion de derivadas 7
132 El operador d
dx 8
133 La segunda derivada 10
134 Derivada de ordenes mayores a dos 10
135 Notacion de derivadas de ordenes superiores 11
14 Derivadas implıcitas 12
141 Ecuaciones diferenciales ordinarias de lugares geometricos 13
15 Funciones derivables 18
151 Funciones derivables en un intervalo 18
152 Funciones de clase C k 19
153 Funciones no derivables 19
2 Teoremas sobre funciones derivables 21
21 Extremos relativos de una funcion 21
22 El teorema del valor medio 24
23 Funciones crecientes y decrecientes 26
231 Criterio de la primera derivada para extremos de una funcion 29
232 Criterio de la segunda derivada para extremos de una funcion 30
24 Concavidad y puntos de inflexion 31
25 La regla de Lrsquo Hospital 31
3 Aplicaciones de la derivada 31
31 Trazado de grafica de funciones 31
32 Derivadas parametricas 31
321 Regla de la cadena 31
33 Diferencial de una funcion 31
34 Razon de cambio 31
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La derivada de una funcion real de variable real
7 y = C 1 sen 4x + C 2 cos 4x + x
Solucion
yprime = 4C 1 cos 4x minus 4C 2 sen 4x + 1 yprimeprime = minus16C 1 sen 4x minus 16C 2 cos 4x de la segunda derivada tenemos
minusyprimeprime
16 = C 1 sen 4x + C 2 cos 4x = y minus x luego minus(16)minus1yprimeprime = y minus x =rArr minusyprimeprime = 16y minus 16x
Por lo tanto yprimeprime = 16(xminus
y) es ecuacion diferencial buscada
8 I = teminust + eminust + 2sen 3t
Solucion En esta parte I es una funcion que depende de t y las derivadas seran respecto a t
I prime = eminust minus teminust minus eminust + 6cos 6t Pero teminust + eminust = I minus 2sen3t
=rArr I prime = eminust minus I + 2sen 3t + 6cos 3t =rArr I primeprime = minuseminust minus I prime minus 6cos3t minus 18sen3t
sumando las dos ultimas ecuaciones I prime + I primeprime = minusI minus I prime minus 16sen3t de donde I primeprime + 2I prime + I = minus16sen3t
9 x2 minus ay2 = 1
Solucion
Derivando 2x minus 2ay dy
dx = 0 =rArr y prime =
dy
dx =
minus2x
minus2ay
=rArr a = x
yy prime reemplazando en la ecuacion original
x2 minus x
yyprimey2 = 1 =rArr x2yyprime minus yyprime minus xy2 = 0
=rArr (x2 minus 1)yprime = xy
=rArr yprime = xy
x2 + 1 es la ecuacion diferencial buscada
10 x2 + y2 minus cx = 0
Derivando 2x + 2yyprime = c
Reemplazando en la ecuacion original x2 + y2 minus (2x + 2yy prime)x = 0
=
rArr yprime =
x2 minus y2
2xy
es la ecuacion diferencial buscada
11 Hallar la ecuacion diferencial de cada uno de las siguientes familias de curvas
a) y = x sen(x + c) Rta (xyprime minus y)2 = x2(x2 minus y2)
b) Todos los cırculos que pasan por (1 0) y (minus1 0) Rta 2xy = (x2 minus y2 minus 1)yprime
c) Todos los cırculos con centro en la recta y = x que son tangentes a ambos ejes
Rta (x minus y)2(1 + yprime)2 = (x + yy prime)2
d) Todas las rectas tangentes a la parabola x2 = 4y
Sugerencia La pendiente de la recta tangente en (2a a2) es a Rta y + yprime = xy prime
e) Todas las rectas tangentes al cırculo unidad x2
+ y2
= 1 Rta (y minus xyprime
)2
= 1 minus (yprime
)2
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La derivada de una funcion real de variable real
Definicion 112 Sea la ecuaciacute on diferencial ordinaria lineal de orden n
any(n) + middot middot middot + a2y primeprime + a1y prime + a0 = b
La funciacute on f A minusrarr
es una de sus soluciones si para todo x isin A
anf (n)(x) + middot middot middot + a2f primeprime(x) + a1f prime(x) + a0 = b
Ejercicio 4 Demuestre que la funciacute on f
minusrarr definida por f (x) = sin x es una soluciacute on de la ecuaciacute on
diferencial y primeprime + y = 0
Solucion Lo unico que debemos hacer es derivar a f dos veces y sumar los resultados
f (x) = sin x minusrarr f prime(x) = cos x minusrarr f primeprime(x) = minus sin x sumando f primeprime(x) + f (x) = 0 por lo tanto f
es una solucion de la ecuacion diferencial y primeprime + y = 0
Ejercicio 5 Demuestre que la funciacute on f
minusrarr
definida por f (x) = 8ex+xex es una soluciacute on de la ecuaciacute on
diferencial yprimeprime minus 2yprime + y = 0
Solucion Derivemos a f hasta dos veces y reemplacemos en el primer miembro de la ecuacion diferencial Siresulta cero tal reemplazo entonces la funcion f es una solucion de tal ecuacion diferencial
f (x) = 8ex + xex =rArr f prime(x) = [8ex] prime + [xex] prime = 8ex + [x]primeex + x[ex] prime = 8ex + ex + xex = 9ex + xex
=rArr f primeprime(x) = [9ex] prime + [xex] prime = 9ex + [x]primeex + x[ex] prime = 9ex + ex + xex = 10ex + xex
Reemplazemos en el primer miembro de la ecuacion diferencial
f primeprime(x) minus 2f prime(x) + f (x) =1048667
10ex + xex1048669minus 2
10486679ex + xex
1048669+1048667
8ex + xex1048669
= 10ex + xex minus 18ex minus 2xex + 8ex + xex
= [10
minus18 + 8]ex + [1
minus2 + 1]xex
= 0
Dado que resulta f primeprime(x)minus2f prime(x)+f (x) = 0 entonces f (x) = 8ex+xex es una solucion de la ecuacion diferencial
ordinaria y primeprime minus 2yprime + y = 0
Ejercicio 6 Demuestre o descarte las siguientes afirmaciones
1 x + y2 = K describe la soluciacute on general de las ecuaciones diferenciales dy
dx = minus 1
2y 2yyprime + 1 = 0
2 y = K ex es la soluciacute on general de la ecuaciacute on diferencial yprime minus y = 0
3 y = sin x
x
es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial xyprime + y = cos x
4 y = 1
cos x es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial yprime minus y tan x = 0
5 y = 2xradic
1 minus x2 es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial yy prime = 4x minus 8x3
6 y = x
cos x es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial xyprime minus y = x2 tan x sec x
7 y = ex(x + 1) es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial yprimeprime minus 2yprime + y = 0
8 y = ln(x + c) + 2 es la soluciacute on general de la ecuaciacute on diferencial yprimeeyminus2 minus 1 = 0
9 y = sen3 x es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial yprimeprime + (tan x minus 2cot x)yprime = 0
10 y = arcsin(xy) describe una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial xyprime + y = yradic
1 minus x2y2
11 y = c1eminusx + c2ex + c3eminus2x + c4e2x es soluciacute on general de la ecuaciacute on diferencial y(iv) minus 5yprimeprime + 4y = 0
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La derivada de una funcion real de variable real
15 Funciones derivables
151 Funciones derivables en un intervalo
Sin ser redundantes presentamos a los intervalos de
1 [a b] = x isin
a le x le b
2 ⟨a b⟩ = x isin
a lt x lt b
3 ⟨a b] = x isin
a lt x le b
4 [a b⟩ = x isin
a le x lt b
5 ⟨minusinfin b⟩ = x isin 1048623x lt b
6 ⟨minusinfin b] = x isin
1048623x le b
7 ⟨a +infin⟩ = x isin
1048623a lt x
8 [a +infin⟩ = x isin
1048623a le x
9 ⟨minusinfin +infin⟩ =
y
10 [a a] = a
Los cuatro primeros y el ultimo son los intervalos limitados los cinco siguientes son intervalos ilimitados el
ultimo se denomina un intervalo degenerado desde el segundo hasta el cuarto intervalo a lt b
Definicion 113 Sea la funciacute on f I minusrarr donde I es un intervalo de
1 La funciacute on f ⟨a b⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨a b⟩ si lo es en cada punto de ⟨a b⟩
2 La funciacute on f ⟨minusinfin b⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨minusinfin b⟩ si lo es en cada punto de ⟨minusinfin b⟩
3 La funciacute on f ⟨a +infin⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨a +infin⟩ si lo es en cada punto de ⟨a +infin⟩
4 La funciacute on f [a b⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo [a b⟩ si existe un intervalo abierto del tipo ⟨ p q ⟩ que
contiene a [a b⟩ tal que f sea derivable sobre ⟨ p q ⟩
5 La funciacute on f ⟨a b] minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨a b] si existe un intervalo abierto del tipo ⟨ p q ⟩ que
contiene a ⟨a b] tal que f sea derivable sobre ⟨ p q ⟩
6 La funciacute on f [a +infin⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo [a +infin⟩ si existe un intervalo abierto del tipo⟨ p +infin⟩ que contiene a [a +infin⟩ tal que f sea derivable sobre ⟨ p +infin⟩
7 La funciacute on f ⟨minusinfin b] minusrarr es derivable en el intervalo ⟨minusinfin b] si existe un intervalo abierto del tipo
⟨minusinfin q ⟩ que contiene a ⟨minusinfin b] tal que f sea derivable sobre ⟨minusinfin q ⟩
8 La funcion f [a b] minusrarr es derivable en el intervalo [a b] si existe un intervalo abierto del tipo ⟨ p q ⟩ que
contiene a [a b] tal que f sea derivable sobre ⟨ p q ⟩
Observaciones
1 La funcion f [a b
⟩ minusrarr es derivable en el intervalo [a b
⟩ si y solo si es derivable en cada punto de
⟨a b
⟩y existe f prime+(a)
2 La funcion f [a +infin⟩ minusrarr es derivable en el intervalo [a +infin⟩ si y solo si es derivable en cada punto de
⟨a +infin⟩ y existe f prime+(a)
3 La funcion f ⟨a b] minusrarr es derivable en el intervalo ⟨a b] si y solo si es derivable en cada punto de ⟨a b⟩
y existe f primeminus
(b)
4 La funcion f ⟨minusinfin b] minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨minusinfin b] si y solo si es derivable en cada punto de
⟨minusinfin b⟩ y existe f primeminus
(b)
5 La funcion f [a b] minusrarr
es derivable en el intervalo [a b] si y solo si es derivable en cada punto de ⟨a b⟩y existen f prime+(a) y f prime
minus(b)
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La derivada de una funcion real de variable real
6 Sea I un intervalo abierto Si la funcion f I minusrarr es derivable su funcion derivada f prime I minusrarr tendra el
mismo dominio que f
7 Sea I un intervalo abierto Si la funcion f I minusrarr
es k veces derivable su funcion kndashesima derivada
f (k) I minusrarr
tendra el mismo dominio que f
8 Sea I un intervalo no abierto Si la funcion f I minusrarr
es derivable su funcion derivada f prime J minusrarr
tendra como dominio al interior de I
152 Funciones de clase C k
Sea I un intervalo de
Si la funcion f I minusrarr
es derivable en I entonces es continua en I pero
posiblemente la funcion derivada f prime J minusrarr
no sea continua en I J = int (I )
Definicion 114 Sea I un intervalo de Si la funcion f I minusrarr es continua en I diremos que ldquo f rdquo es una
funciacute on de clase cero C 0 sobre I
⋆ Si ldquof rdquo es una funcion de clase C 0 sobre I lo denotamos por f
isin C 0(I )
Definicion 115 Sea I un intervalo abierto de
Si la funciacute on f I minusrarr
es derivable en I y la funciacute on
f prime I minusrarr es continua en I diremos que f es continuamente derivable en I o simplemente la funciacute on ldquo f rdquo es
de clase C 1 sobre I
⋆ Si ldquof rdquo es una funcion de clase C 1 sobre I lo denotamos por f isin C 1(I )
Definicion 116 Sea I un intervalo abierto de
La funcion f I minusrarr
es de clase C k sobre el intervalo I
si es k veces derivable sobre I y la funciacute on f (k) I minusrarr
es continua en I
⋆ Si ldquof rdquo es una funcion de clase C k sobre I lo denotamos por f
isin C k(I )
Definicion 117 Sea I un intervalo abierto de La funciacute on f I minusrarr es de clase C infin sobre el intervalo I
si existe f (n) para todo n isin 0 1 2 middot middot middot
⋆ Si ldquof rdquo es una funcion de clase C infin sobre I lo denotamos por f isin C infin(I )
Ejemplo 117
1 La funcion f
minusrarr
definida por f (x) = ex es de clase C infin sobre
Con la notaciones presentadas
tenemos la pertenencia f isin C infin(
)
2 La funcion f minusrarr
definida por f (x) = p(x) donde p(x) es un polinomio es de clase C infin
sobre
Conla notaciones presentadas tenemos la pertenencia f isin C infin( )
3 La funcion f [0 +infin⟩ minusrarr definida por f (x) =
radic x es de clase C infin sobre ⟨0 +infin⟩ Con la notaciones
presentadas tenemos la pertenencia f isin C infin983080
[0 +infin⟩983081
153 Funciones no derivables
Sea f una funcion cuyo dominio sea el conjunto A sub
Si f es derivable en el punto a isin A entonces la
grafica de f en su punto (a f (a)) tiene una unica recta tangente La idea de recta tangente en este caso no es
la misma que usted tiene a cerca de una recta tangente a una circunferencia en donde ellos tienen un unico
punto en comun es decir si la recta L es tangente a la circunferencia C entonces L y C tienen un unico punto
en comun llamado punto de tangencia Mientras que si L es una recta tangente a la grafica de la funcion f
es posible que ellos tengan otro punto en comun a parte del punto de tangencia la idea de tangencia que se
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La derivada de una funcion real de variable real
expone es local y no global en el sentido de que si L es una recta tangente a la grafica de la funcion f el punto
de tangencia es unico cerca de el especıficamente La recta L es una tangente a la grafica de la funcion f en su
punto (a f (a)) si existe un cırculo de centro (a f (a)) dentro del cual L y la grafica de la funcion f tienen un
unico punto en comun y los puntos de la grafica de f que pertenecen al cırculo estan a un solo lado de L Y si
ademas la funcion f es derivable en a la pendiente de L es f prime(a)
X
Y
L L L
y f x ( )=a
X
Y
L L L
y f x ( )=a
Si una funcion f es continua en un punto a no siempre sera derivable en dicho punto existe la posibilidad de
que lo sea como tambien que no como por ejemplo
La funcion f ⟨0 2⟩ minusrarr
definida por f (x) =
983163 2x si 0 lt x lt 1
2 si 1 le x lt 2es continua en el punto a = 1 pero
no es derivable en dicho punto pues no existe f prime(1) La existencia de la derivada f prime(1) implica que la grafica
de la funcion f tiene una unica recta tangente en el punto (1 f (1)) la no existencia de f prime(1) implica que la
grafica de la funcion f tiene una varias rectas en ese punto o no en este ejemplo como veremos gr aficamente
la funcion f posee varia rectas tangentes en su punto (1 f (1))
X
Y
y f x ( )=
1 2
X
Y
L L L
y x 2=
y x 3=
1
2
3
Grafico de f (x) =983163 2x si 0 lt x lt 1
2 si 1 le x lt 2 Grafico de f (x) =
x2 si
minus1 lt x lt 1
2x3
3 si 1 le x lt 2
Si una funcion f es derivable en un punto a entonces por el teorema 17 sera continua en dicho punto por
ejemplo la funcion f ⟨0 2⟩ minusrarr
f (x) =
x2 si minus1 lt x lt 1
2x3
3 si 1 le x lt 2
es derivable en a = 1 mas aun es
continua en dicho punto Es mas la grafica de f tiene una unica recta tangente en su punto (1 f (1))
De acuerdo al teorema 16 una funcion es no derivable en el punto ldquoardquo si f primeminus
(a) = f prime+(a) o una de la
derivadas laterales f primeminus
(a) f prime+(a) no existe Y de acuerdo al teorema 17 si f no es continua en el punto ldquoardquo
entonces no es derivable en ese punto
Los siguientes son ejemplos graficos de funciones no derivables en un punto
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X X
Y Y
a a b
y f x = ( ) y f x = ( )
f a f a bno es derivable en no es derivable en y
f a
f b
es derivable en por derecha
es derivable en por izquierda
2 Teoremas sobre funciones derivables
21 Extremos relativos de una funcion
Definicion 21 Sean empty = X sub
y m isin
Diremos que ldquo mrdquo es el mınimo del conjunto X si m isin X y m le x
para todo x isin X
Definicion 22 Sean empty = X sub
y M isin
Diremos que ldquo M rdquo es el macute aximo del conjunto X si M isin X y
M ge x para todo x isin X
Observaciones
1 No todo subconjunto no vacıo de
posee maximo yo mınimo
2 Si un subconjunto no vacıo de
posee maximo yo mınimo este es unico y ademas es uno de los elementos
del conjunto
3 Si ldquomrdquo es el mınimo del conjunto X entonces lo denotamos por m = mın X
4 Si ldquoM rdquo es el maximo del conjunto X entonces lo denotamos por M = max X
5 Si m = mın X y M = max X entonces m le M y ademas m le x le M para todo x isin X
Ejemplo 21
1 El conjunto de los numeros naturales posee mınimo y es 1 es decir 1 = mın pero no posee maximo
2 El conjunto
el de los numeros enteros no posee ni maximo ni mınimo El conjunto
el de los numeros
racionales no posee ni maximo ni mınimo
3 Veamos algunos intervalos
a) Los intervalos ⟨a b⟩ ⟨a b] ⟨a +infin⟩ no poseen mınimo
b) Los intervalos ⟨a b⟩ [a b⟩ ⟨minusinfin b⟩ no poseen maximo
c) a = mın[a b] a = mın[a b⟩ a = mın[a +infin⟩
d) b = max[a b] b = max⟨a b] b = max⟨minusinfin b]
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La derivada de una funcion real de variable real
Definicion 23 Sean empty = A sub f A minusrarr una funciacute on y x0 isin A
1 La funciacute on ldquo f rdquo tiene un mınimo absoluto en x0 si f (x0) le f (x) para todo x isin A
2 La funciacute on ldquo f rdquo tiene un macute aximo absoluto en x0 si f (x) le f (x0) para todo x isin A
3 La funci on ldquo f rdquo tiene un mınimo relativo en x0 si existe un δ gt 0 tal que f (x0) le f (x) para todo
x isin A cap ⟨x0 minus δ x0 + δ ⟩
4 La funci on ldquo f rdquo tiene un macute aximo relativo en x0 si existe un δ gt 0 tal que f (x) le f (x0) para todo
x isin A cap ⟨x0 minus δ x0 + δ ⟩
Observaciones Sean empty = A sub
f A minusrarr
una funcion y x0 isin A
1 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo relativo en x0 diremos tambien que f tiene un mınimo local en x0
2 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo relativo en x0 diremos tambien que f tiene un maximo local en x0
3 La funcion ldquof rdquo tiene un extremo absoluto en x0 si tiene un mınimo o maximo absoluto en dicho punto
4 La funcion ldquof rdquo tiene un extremo relativo en x0 si tiene un mınimo o maximo relativo en dicho punto
5 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo absoluto en x0 entonces f (x0) es el mınimo del rango de la funcion es
decir
f (x0) = mın Ran (f )
Al numero f (x0) lo denominaremos el valor mınimo de f en su dominio
6 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo absoluto en x0 entonces f (x0) es el maximo del rango de la funcion es
decir
f (x0) = max Ran (f )
Al numero f (x0) lo denominaremos el valor maximo de f en su dominio
7 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo relativo en x0 entonces f no siempre tendra un mınimo absoluto en x0
Una funcion puede poseer un mınimo relativo sin tener un mınimo absoluto
8 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo relativo en x0 entonces f no siempre tendra un maximo absoluto en
x0 Una funcion puede poseer un maximo relativo sin tener un maximo absoluto
9 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo absoluto en x0 entonces f tiene un mınimo relativo en dicho punto Lo
contrario no siempre es cierto
En la figura la funcion f minusrarr tiene maximo
relativo en x = 0 pero no posee maximo absolutoen su dominio
En la figura la funcion g minusrarr tiene mınimo
relativo en x = 0 pero no posee mınimo absolutoen su dominio
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La derivada de una funcion real de variable real
10 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo absoluto en x0 entonces f tiene un maximo relativo en dicho punto Lo
contrario no siempre es cierto
11 Una funcion puede tener extremos absolutos en mas de un punto vea el siguiente grafico
En la figura la funcion f
minusrarr
tiene mınimo
absoluto en dos puntos diferentes
En la figura la funcion g
minusrarr
tiene maximo
absoluto en dos puntos diferentes
12 La funcion ldquof rdquo tiene un extremo en el punto x0 si tiene un maximo o mınimo absoluto o relativo en dicho
punto
Y Y
X X
figura (a) figura (b)
x x x x 0 1 2 3 4 5 6x x x x x x x x x x 0 1 2 3 4 5 6
y f x = ( )
y f x = ( )
En la figura (a) Dom(f ) = [x0 x6] la funcion tiene
un mınimo absoluto en el punto x2 y maximo absolu-
to en el punto x5 mientras que tiene mınimo relativo
en los puntos x0 x2 x4 y x6 y maximo relativo en
los puntos x1 x3 y x5
En la figura (b) Dom (f ) = [x0 x6⟩minusx3 la funcion
no tiene mınimo absoluto ni maximo absoluto mien-
tras que tiene mınimo relativo en los puntos x0 x2 y
x4 y maximo relativo en los puntos x1 y x5
Teorema 21 Si la funcion f tiene un extremo en x0 y f prime(x0) existe entonces f prime(x0) = 0
Observaciones
1 Lo contrario no siempre es cierto es decir si f prime(x0) = 0 entonces f no siempre tendra un extremo en x0
Un ejemplo simple es para f (x) = (x minus 2)3 en x0 = 2
2 Si la funcion f tiene un extremo en x0 y f prime
(x0) existe entonces la recta tangente a la grafica de la funcionen el punto
(x0 f (x0)
852009 en horizontal
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La derivada de una funcion real de variable real
3 Si la funcion f tiene un extremo en x0 y f prime(x0) no existe entonces o bien no existe recta tangente a la
grafica de la funcion en el punto(
x0 f (x0)852009
o existen infinitas rectas tangente a la grafica de la funcion en
el punto(
x0 f (x0)852009
pudiendo ser una de ellas una recta vertical
En la figura la funcion f
minusrarr
tiene un extremo
en x = 0 pero f prime(0) no existe ademas la grafica de
esta funcion posee infinitas rectas tangente en el pun-
to(
0 f (0)852009
En la figura la funcion g
minusrarr
tiene extremo en
los puntos x0 x1 existen g prime(x0) g prime(x1) y las rectas
tangente en(
x0 g(x0)852009
y(
x1 g(x1)852009
son horizontales
22 El teorema del valor medio
Teorema 22 (Teorema de Rolle) Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si f es continua en [a b] es derivable en
⟨a b⟩ y f (a) = f (b) entonces existe un c isin ⟨a b⟩ tal que f prime(c) = 0
Observaciones
1 Si la funcion f satisface las hipotesis del teorema de Rolle la existencia del punto c tales que f prime(c) = 0 no
siempre es unica pueden existir otros puntos del intervalo ⟨a b⟩ cuya primera derivada en esos puntos sea
cero
2 La condicion f (a) = f (b) indica que la recta que pasa por los puntos(
a f (a)852009
y(
b f (b)852009
es horizontal El
teorema garantiza la existencia de al menos un punto c isin ⟨a b⟩ tal que la recta tangente a la grafica de la
funcion f el punto(
c f (c)852009
tambien sea horizontal
X X
Y Y
y=f x( )
y=f x( )
figura (a) figura (b)
a c c b1 3 a b
c2
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La derivada de una funcion real de variable real
En la figura (a) la funcion f satisface las hipotesis del
teorema de Rolle por tanto en este caso existen pun-
tos c1 c2 y c3 del intervalo ⟨a b⟩ tal que f prime(c1) = 0
f prime(c2) = 0 y f prime(c3) = 0
En la figura (b) la funcion f no satisface las hipotesis
del teorema de Rolle en tanto no se garantiza la exis-
tencia de puntos del intervalo ⟨a b⟩ tal que la primera
derivada de f en esos puntos sea cero
Teorema 23 (El teorema del valor medio de Lagrange) Sea la funciacute on f [a b]
minusrarr
Si f es continua
en [a b] es derivable en ⟨a b⟩ entonces existe un c isin ⟨a b⟩ tal que
f prime(c) = f (b) minus f (a)
b minus a
Observaciones
1 Si la funcion f satisface las hipotesis del teorema del valor medio de Lagrange la existencia del punto c tales
que f prime(c) = f (b) minus f (a)
b minus a no siempre es unica pueden existir otros puntos del intervalo ⟨a b⟩ cuya primera
derivada en esos puntos sea igual a f (b) minus f (a)
b minus a
2 Sea L la recta que pasa por los puntos(
a f (a)852009
y(
b f (b)852009
el teorema garantiza la existencia de al menosun punto c isin ⟨a b⟩ tal que la recta tangente a la grafica de la funcion f el punto
(c f (c)
852009 sea paralela a L
Y Y
X X
y = f x ( ) y = f x ( )
f a ( )
f a ( )
f b( )
f b( )
figura (a) figura (b)
a c b1 b
c 2 a
L L L
L L L
En la figura (a) la funcion f satisface las hipotesis del
teorema de Lagrange por tanto en este caso existen
puntos c1 y c2 del intervalo ⟨a b⟩ tal que
f prime(c1) = f (b) minus f (a)
b minus a y f prime(c2) =
f (b) minus f (a)
b minus a
En la figura (b) la funcion f no satisface las hipotesis
del teorema de Lagrange en tanto no se garantiza
la existencia de puntos del intervalo ⟨a b⟩ tal que laprimera derivada en ese punto sea igual a
f (b) minus f (a)
b minus a
Teorema 24 (El teorema generalizado del valor medio de Cauchy) Sean las funciones f [a b] minusrarr
y g [a b] minusrarr
continuas en [a b] y derivables en ⟨a b⟩ con g(b) = g(a) y g prime(x) = 0 para todo x isin ⟨a b⟩
entonces existe un c isin ⟨a b⟩ tal que f prime(c)
g prime(c) =
f (b) minus f (a)
g(b) minus g(a)
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La derivada de una funcion real de variable real
23 Funciones crecientes y decrecientes
Definicion 24 (Funcion creciente) Sean empty = A sub
y la funciacute on f A minusrarr
Diremos que la funciacute on f
es creciente o estrictamente creciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) lt f (x2)
Definicion 25 (Funcion decreciente) Sean empty = A sub
y la funci on f A minusrarr
Diremos que la funcion f
es decreciente o estrictamente decreciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) gt f (x2)
Y Y
X X
f x ( )1
f x ( )1
x 1
x 1x 2
x 2
f x ( )2
f x ( )2
Graacutefico de una funcioacutenestrictamente creciente
Graacutefico de una funcioacutenestrictamente decreciente
Definicion 26 (Funcion no creciente) Sean empty = A sub y la funci on f A minusrarr
Diremos que la funciacute on
f es no creciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) ge f (x2)
Definicion 27 (Funcion no decreciente) Sean empty = A sub y la funciacute on f A minusrarr
Diremos que la
funciacute on f es no decreciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) le f (x2)
Y Y
X X
x 1 x 2 x 1 x 2
Graacutefico de una funcioacuten
no decreciente
Graacutefico de una funcioacuten
no creciente
Definicion 28 (Funcion monotona) Sean empty = A sub
y la funci on f A minusrarr
Diremos que la funciacute on f
es monacute otona sobre A si es creciente o decreciente o no creciente o no decreciente sobre A
Observaciones
1 Para definir funciones monotonas (crecientes decrecientes no crecientes o no decrecientes) no es necesario
saber la continuidad y la derivabilidad de la funcion en su dominio
2 Existen funciones monotonas que no son derivables yo continuas en su dominio
Teorema 25 Sean empty = A sub y la funciacute on f A minusrarr Si la funciacute on f es estrictamente creciente sobre A
entonces f es una funciacute on inyectiva y su funcion inversa f lowast tambien es estrictamente creciente sobre Ran(f )
Teorema 26 Sean empty = A sub
y la funci on f A minusrarr
Si la funci on f es estrictamente decreciente sobre A
entonces f es una funciacute on inyectiva y su funciacute on inversa f lowast tambien es estrictamente decreciente sobre Ran(f )
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La derivada de una funcion real de variable real
Y Y
X X
f
f
f
f
Teorema 27 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr
Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩
con f
prime
(x) gt 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es estrictamente creciente sobre [a b]
Teorema 28 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩
con f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es estrictamente decreciente sobre [a b]
X X
a
a b
b
Observaciones
1 Del teorema 27 si la pendiente de todas las rectas tangente a la grafica de la funcion sobre ⟨a b⟩ es positiva
entonces la funcion es estrictamente creciente sobre [a b]
2 Del teorema 28 si la pendiente de todas las rectas tangente a la grafica de la funcion sobre ⟨a b⟩ es negativa
entonces la funcion es estrictamente decreciente sobre [a b]
Teorema 29 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr
Si la funcion f es continua sobre [a b] y es inyectiva en [a b]
entonces f es estrictamente creciente o estrictamente decreciente sobre [a b] pero no ambos
X X
a
a b
b
f ab
ab
es continua e inyectiva sobre [ ]en este caso es creciente sobre [ ]
f ab
ab
es continua e inyectiva sobre [ ]en este caso es decreciente sobre [ ]
f f
Teorema 210 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funciacute on f es continua y estrictamente creciente sobre
[a b] entonces Ran(f ) =1048667
f (a) f (b)1048669
y su funciacute on inversa f lowast 1048667
f (a) f (b)1048669 minusrarr
es tambien continua y
estrictamente creciente sobre [a b]
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La derivada de una funcion real de variable real
Teorema 211 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funcion f es continua y estrictamente decreciente sobre
[a b] entonces Ran(f ) =1048667
f (b) f (a)1048669
y su funciacute on inversa f lowast 1048667
f (b) f (a)1048669 minusrarr
es tambien continua y
estrictamente decreciente sobre [a b]
Teorema 212 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre
⟨a b⟩ con f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es no decreciente sobre [a b]
Teorema 213 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre
⟨a b⟩ con f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es no creciente sobre [a b]
Teorema 214 (de la funcion constante) Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre
[a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩ con f prime(x) = 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es constante sobre [a b] es decir
existe una constante C tal que f (x) = C para todo [a b]
Teorema 215 (de la diferencia constante) Sean las funciones f [a b] minusrarr
y f [a b] minusrarr
Si las
funciones f y g son continuas sobre [a b] y es derivables sobre ⟨a b⟩ con f prime(x) = g prime(x) para todo x isin ⟨a b⟩entonces existe una constante C tal que f (x) = g(x) + C para todo [a b]
Definicion 29 (Punto crıtico) Sean I un intervalo de
x0 un punto de I y la funciacute on f I minusrarr
El
punto x0 es un punto crıtico de la funciacute on f I minusrarr si x0 satisface alguna de las siguientes condiciones
a) f prime(x0) = 0 o b) f prime(x0) = 0 no existe o c) f tiene un extremo en x0
Observaciones
1 Si x0 es un punto crıtico de la funcion f no podemos concluir con certeza una de las condiciones mencionadas
2 Si x0 es un punto crıtico de la funcion f y f prime(x0) = 0 no podemos concluir con certeza que f tiene un
extremo en dicho punto
Por ejemplo sea la funcion f [1 3] minusrarr definida
por f (x) = (x minus 2)3 cuya funcion derivada es
f prime ⟨1 3⟩ minusrarr
983087 f prime(x) = 3(x minus 2)2
En x0 = 2 tenemos f prime(x0) = 0 pero f no tiene
maximo ni mınimo en 2 f tiene un mınimo en 1
y un maximo en 3 por tanto 1 2 y 3 son puntos
crıticos de f
Y
X
1
2
Ejercicio 7 Hal le los puntos crıticos de las siguientes funciones
1 f
minusrarr que estacute a definida por
f (x) = 1
4(x4 minus 6x2 + 8x) + 5
2 f
minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = 3
radic (x + 4)2(x minus 5)
3 f
minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = 5x23 minus x53
4 f
minusrarr
que estacute a definida por f (x) = x + 1
x2 + 1
5 f
minus 1 minusrarr que estacute a definida por
f (x) = x3 minus 2
(x minus 1)2
6 f
minusrarr
que estacute a definida por f (x) = x2 + 3radic
x2 + 1
7 f [minusπ2
π2
] minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = sin2 x minus |x|
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La derivada de una funcion real de variable real
231 Criterio de la primera derivada para extremos de una funcion
Aquı presentamos un criterio que nos ayuda a determinar si un punto crıtico es aquel en donde una funcion
alcanza su valor maximo o mınimo
Teorema 216 (Criterio de la primera derivada) Sean la funciacute on f A minusrarr
el intervalo [a b] contenido
en A y x0
isin ⟨a b
⟩ un punto crıtico de f
1 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f tiene un macute aximo en el punto x0
2 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f tiene un mınimo en el punto x0
3 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) gt 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) gt 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f no tiene macute aximo ni mınimo en el punto x0
4 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f no tiene macute aximo ni mınimo en el punto x0
X X
a bx 0a bx 0
f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0lt gt f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0gt lt
f
f
f tiene un maacuteximo en x 0 f tiene un miacutenimo en x 0
X X a bx 0a bx 0
f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0lt lt f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0gt gt
f f
f no tiene un extremo en x 0 f no tiene un extremo en x 0
Observaciones
1 Al ser x0 un punto crıtico de f el criterio de la primera derivada no garantiza que exista f prime(x0)
2 El criterio de la primera derivada requiere que f sea derivable en ⟨a x0⟩ cup ⟨x0 b⟩ mas no en x0
3 Un metodo que nos permite hallar puntos crıticos de la funcion f en [a b] es resolver la ecuacion f prime(x) = 0
sujeta a la condicion x isin ⟨a b⟩ pero tal metodo solo nos proporciona todos los puntos crıticos de f que
cumple la primera condicion dada en la definicion 29
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La derivada de una funcion real de variable real
4 Los graficos anteriores presentan al punto crıtico x0 de f en el cual existe f prime(x0) y es igual a cero es mas
en los dos primeros graficos la recta tangente en el punto (x0 f (x0)) es horizontal iquestCual es el aspecto de
la grafica de f si es que no existiera f prime(x0)
5 Sea x0 isin ⟨a b⟩ un punto crıtico de la funcion f Al utilizar el criterio de la primera derivada para averiguar
si f tiene maximo o mınimo en x0 es necesario resolver las inecuaciones f prime(x) lt 0 y f prime(x) gt 0 sujetas
a la restriccion x isin ⟨a b⟩ tales procesos son sencillos para algunas funciones pero existen funciones paralos cuales tales resoluciones son complicadas y ahı el criterio de la primera derivada no es recomendable
utilizarlo pero tal deficiencia se supera utilizando otro criterio para determinar extremo de una funcion
6 El criterio de la primera derivada tambien es aplicable cuando en lugar del intervalo ⟨a b⟩ se considera a
otros tipos de intervalos abiertos si es que estan contenidos en el dominio de la funcion
Por ejemplo para la funcion f
minusrarr
definida por f (x) = x2 su unico punto crıtico es x0 = 0 f prime(x) lt 0
para todo x lt 0 y f prime(x) gt 0 para todo x gt 0 por tanto f tiene un mınimo en 0 y su valor mınimo es
f (0) = 0
232 Criterio de la segunda derivada para extremos de una funcion
Aquı presentamos otro criterio que nos ayuda a determinar si un punto crıtico es aquel en donde una funcion
alcanza su valor maximo o mınimo este metodo requiere la existencia de la segunda de la funcion en su punto
crıtico
Teorema 217 (Criterio de la segunda derivada) Sean la funciacute on f A minusrarr
el intervalo [a b] contenido
en A y x0 isin ⟨a b⟩ un punto crıtico de f para el cual f primeprime(x0) existe
1 Si la funciacute on f es derivable en ⟨a b⟩ f prime(x0) = 0 y f primeprime(x0) lt 0 entonces f tiene un macute aximo en el punto x0
2 Si la funciacute on f es derivable en
⟨a b
⟩ f prime(x0) = 0 y f primeprime(x0) gt 0 entonces f tiene un mınimo en el punto x0
X X
a bx 0a bx 0
f a b f f es derivable en ( ) 0 ( ) 0 x x 0 0= lt f a b f f es derivable en ( ) 0 ( ) 0 x x 0 0= gt
f
f
f tiene un maacuteximo en x 0 f tiene un miacutenimo en x 0
Observaciones
1 Los graficos anteriores presentan al punto crıtico x0 de f en el cual existe f primeprime(x0) y es diferente a cero
2 El criterio de la segunda derivada tambien es aplicable cuando en lugar del intervalo ⟨a b⟩ se considera a
otros tipos de intervalos abiertos si es que estan contenidos en el dominio de la funcion
Por ejemplo para la funcion f
minusrarr
definida por f (x) = x2 su unico punto crıtico es x0 = 0 y
f primeprime(0) = 2 gt 0 por tanto f tiene un mınimo en 0 y su valor mınimo es f (0) = 0
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La derivada de una funcion real de variable real
24 Concavidad y puntos de inflexion
25 La regla de Lrsquo Hospital
3 Aplicaciones de la derivada
31 Trazado de grafica de funciones
32 Derivadas parametricas
321 Regla de la cadena
33 Diferencial de una funcion
34 Razon de cambio
Indice
1 La derivada 111 Derivadas laterales 4
12 Derivacion y continuidad 5
13 Derivadas de orden superior 7
131 Notacion de derivadas 7
132 El operador d
dx 8
133 La segunda derivada 10
134 Derivada de ordenes mayores a dos 10
135 Notacion de derivadas de ordenes superiores 11
14 Derivadas implıcitas 12
141 Ecuaciones diferenciales ordinarias de lugares geometricos 13
15 Funciones derivables 18
151 Funciones derivables en un intervalo 18
152 Funciones de clase C k 19
153 Funciones no derivables 19
2 Teoremas sobre funciones derivables 21
21 Extremos relativos de una funcion 21
22 El teorema del valor medio 24
23 Funciones crecientes y decrecientes 26
231 Criterio de la primera derivada para extremos de una funcion 29
232 Criterio de la segunda derivada para extremos de una funcion 30
24 Concavidad y puntos de inflexion 31
25 La regla de Lrsquo Hospital 31
3 Aplicaciones de la derivada 31
31 Trazado de grafica de funciones 31
32 Derivadas parametricas 31
321 Regla de la cadena 31
33 Diferencial de una funcion 31
34 Razon de cambio 31
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La derivada de una funcion real de variable real
Definicion 112 Sea la ecuaciacute on diferencial ordinaria lineal de orden n
any(n) + middot middot middot + a2y primeprime + a1y prime + a0 = b
La funciacute on f A minusrarr
es una de sus soluciones si para todo x isin A
anf (n)(x) + middot middot middot + a2f primeprime(x) + a1f prime(x) + a0 = b
Ejercicio 4 Demuestre que la funciacute on f
minusrarr definida por f (x) = sin x es una soluciacute on de la ecuaciacute on
diferencial y primeprime + y = 0
Solucion Lo unico que debemos hacer es derivar a f dos veces y sumar los resultados
f (x) = sin x minusrarr f prime(x) = cos x minusrarr f primeprime(x) = minus sin x sumando f primeprime(x) + f (x) = 0 por lo tanto f
es una solucion de la ecuacion diferencial y primeprime + y = 0
Ejercicio 5 Demuestre que la funciacute on f
minusrarr
definida por f (x) = 8ex+xex es una soluciacute on de la ecuaciacute on
diferencial yprimeprime minus 2yprime + y = 0
Solucion Derivemos a f hasta dos veces y reemplacemos en el primer miembro de la ecuacion diferencial Siresulta cero tal reemplazo entonces la funcion f es una solucion de tal ecuacion diferencial
f (x) = 8ex + xex =rArr f prime(x) = [8ex] prime + [xex] prime = 8ex + [x]primeex + x[ex] prime = 8ex + ex + xex = 9ex + xex
=rArr f primeprime(x) = [9ex] prime + [xex] prime = 9ex + [x]primeex + x[ex] prime = 9ex + ex + xex = 10ex + xex
Reemplazemos en el primer miembro de la ecuacion diferencial
f primeprime(x) minus 2f prime(x) + f (x) =1048667
10ex + xex1048669minus 2
10486679ex + xex
1048669+1048667
8ex + xex1048669
= 10ex + xex minus 18ex minus 2xex + 8ex + xex
= [10
minus18 + 8]ex + [1
minus2 + 1]xex
= 0
Dado que resulta f primeprime(x)minus2f prime(x)+f (x) = 0 entonces f (x) = 8ex+xex es una solucion de la ecuacion diferencial
ordinaria y primeprime minus 2yprime + y = 0
Ejercicio 6 Demuestre o descarte las siguientes afirmaciones
1 x + y2 = K describe la soluciacute on general de las ecuaciones diferenciales dy
dx = minus 1
2y 2yyprime + 1 = 0
2 y = K ex es la soluciacute on general de la ecuaciacute on diferencial yprime minus y = 0
3 y = sin x
x
es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial xyprime + y = cos x
4 y = 1
cos x es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial yprime minus y tan x = 0
5 y = 2xradic
1 minus x2 es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial yy prime = 4x minus 8x3
6 y = x
cos x es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial xyprime minus y = x2 tan x sec x
7 y = ex(x + 1) es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial yprimeprime minus 2yprime + y = 0
8 y = ln(x + c) + 2 es la soluciacute on general de la ecuaciacute on diferencial yprimeeyminus2 minus 1 = 0
9 y = sen3 x es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial yprimeprime + (tan x minus 2cot x)yprime = 0
10 y = arcsin(xy) describe una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial xyprime + y = yradic
1 minus x2y2
11 y = c1eminusx + c2ex + c3eminus2x + c4e2x es soluciacute on general de la ecuaciacute on diferencial y(iv) minus 5yprimeprime + 4y = 0
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La derivada de una funcion real de variable real
15 Funciones derivables
151 Funciones derivables en un intervalo
Sin ser redundantes presentamos a los intervalos de
1 [a b] = x isin
a le x le b
2 ⟨a b⟩ = x isin
a lt x lt b
3 ⟨a b] = x isin
a lt x le b
4 [a b⟩ = x isin
a le x lt b
5 ⟨minusinfin b⟩ = x isin 1048623x lt b
6 ⟨minusinfin b] = x isin
1048623x le b
7 ⟨a +infin⟩ = x isin
1048623a lt x
8 [a +infin⟩ = x isin
1048623a le x
9 ⟨minusinfin +infin⟩ =
y
10 [a a] = a
Los cuatro primeros y el ultimo son los intervalos limitados los cinco siguientes son intervalos ilimitados el
ultimo se denomina un intervalo degenerado desde el segundo hasta el cuarto intervalo a lt b
Definicion 113 Sea la funciacute on f I minusrarr donde I es un intervalo de
1 La funciacute on f ⟨a b⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨a b⟩ si lo es en cada punto de ⟨a b⟩
2 La funciacute on f ⟨minusinfin b⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨minusinfin b⟩ si lo es en cada punto de ⟨minusinfin b⟩
3 La funciacute on f ⟨a +infin⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨a +infin⟩ si lo es en cada punto de ⟨a +infin⟩
4 La funciacute on f [a b⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo [a b⟩ si existe un intervalo abierto del tipo ⟨ p q ⟩ que
contiene a [a b⟩ tal que f sea derivable sobre ⟨ p q ⟩
5 La funciacute on f ⟨a b] minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨a b] si existe un intervalo abierto del tipo ⟨ p q ⟩ que
contiene a ⟨a b] tal que f sea derivable sobre ⟨ p q ⟩
6 La funciacute on f [a +infin⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo [a +infin⟩ si existe un intervalo abierto del tipo⟨ p +infin⟩ que contiene a [a +infin⟩ tal que f sea derivable sobre ⟨ p +infin⟩
7 La funciacute on f ⟨minusinfin b] minusrarr es derivable en el intervalo ⟨minusinfin b] si existe un intervalo abierto del tipo
⟨minusinfin q ⟩ que contiene a ⟨minusinfin b] tal que f sea derivable sobre ⟨minusinfin q ⟩
8 La funcion f [a b] minusrarr es derivable en el intervalo [a b] si existe un intervalo abierto del tipo ⟨ p q ⟩ que
contiene a [a b] tal que f sea derivable sobre ⟨ p q ⟩
Observaciones
1 La funcion f [a b
⟩ minusrarr es derivable en el intervalo [a b
⟩ si y solo si es derivable en cada punto de
⟨a b
⟩y existe f prime+(a)
2 La funcion f [a +infin⟩ minusrarr es derivable en el intervalo [a +infin⟩ si y solo si es derivable en cada punto de
⟨a +infin⟩ y existe f prime+(a)
3 La funcion f ⟨a b] minusrarr es derivable en el intervalo ⟨a b] si y solo si es derivable en cada punto de ⟨a b⟩
y existe f primeminus
(b)
4 La funcion f ⟨minusinfin b] minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨minusinfin b] si y solo si es derivable en cada punto de
⟨minusinfin b⟩ y existe f primeminus
(b)
5 La funcion f [a b] minusrarr
es derivable en el intervalo [a b] si y solo si es derivable en cada punto de ⟨a b⟩y existen f prime+(a) y f prime
minus(b)
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La derivada de una funcion real de variable real
6 Sea I un intervalo abierto Si la funcion f I minusrarr es derivable su funcion derivada f prime I minusrarr tendra el
mismo dominio que f
7 Sea I un intervalo abierto Si la funcion f I minusrarr
es k veces derivable su funcion kndashesima derivada
f (k) I minusrarr
tendra el mismo dominio que f
8 Sea I un intervalo no abierto Si la funcion f I minusrarr
es derivable su funcion derivada f prime J minusrarr
tendra como dominio al interior de I
152 Funciones de clase C k
Sea I un intervalo de
Si la funcion f I minusrarr
es derivable en I entonces es continua en I pero
posiblemente la funcion derivada f prime J minusrarr
no sea continua en I J = int (I )
Definicion 114 Sea I un intervalo de Si la funcion f I minusrarr es continua en I diremos que ldquo f rdquo es una
funciacute on de clase cero C 0 sobre I
⋆ Si ldquof rdquo es una funcion de clase C 0 sobre I lo denotamos por f
isin C 0(I )
Definicion 115 Sea I un intervalo abierto de
Si la funciacute on f I minusrarr
es derivable en I y la funciacute on
f prime I minusrarr es continua en I diremos que f es continuamente derivable en I o simplemente la funciacute on ldquo f rdquo es
de clase C 1 sobre I
⋆ Si ldquof rdquo es una funcion de clase C 1 sobre I lo denotamos por f isin C 1(I )
Definicion 116 Sea I un intervalo abierto de
La funcion f I minusrarr
es de clase C k sobre el intervalo I
si es k veces derivable sobre I y la funciacute on f (k) I minusrarr
es continua en I
⋆ Si ldquof rdquo es una funcion de clase C k sobre I lo denotamos por f
isin C k(I )
Definicion 117 Sea I un intervalo abierto de La funciacute on f I minusrarr es de clase C infin sobre el intervalo I
si existe f (n) para todo n isin 0 1 2 middot middot middot
⋆ Si ldquof rdquo es una funcion de clase C infin sobre I lo denotamos por f isin C infin(I )
Ejemplo 117
1 La funcion f
minusrarr
definida por f (x) = ex es de clase C infin sobre
Con la notaciones presentadas
tenemos la pertenencia f isin C infin(
)
2 La funcion f minusrarr
definida por f (x) = p(x) donde p(x) es un polinomio es de clase C infin
sobre
Conla notaciones presentadas tenemos la pertenencia f isin C infin( )
3 La funcion f [0 +infin⟩ minusrarr definida por f (x) =
radic x es de clase C infin sobre ⟨0 +infin⟩ Con la notaciones
presentadas tenemos la pertenencia f isin C infin983080
[0 +infin⟩983081
153 Funciones no derivables
Sea f una funcion cuyo dominio sea el conjunto A sub
Si f es derivable en el punto a isin A entonces la
grafica de f en su punto (a f (a)) tiene una unica recta tangente La idea de recta tangente en este caso no es
la misma que usted tiene a cerca de una recta tangente a una circunferencia en donde ellos tienen un unico
punto en comun es decir si la recta L es tangente a la circunferencia C entonces L y C tienen un unico punto
en comun llamado punto de tangencia Mientras que si L es una recta tangente a la grafica de la funcion f
es posible que ellos tengan otro punto en comun a parte del punto de tangencia la idea de tangencia que se
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La derivada de una funcion real de variable real
expone es local y no global en el sentido de que si L es una recta tangente a la grafica de la funcion f el punto
de tangencia es unico cerca de el especıficamente La recta L es una tangente a la grafica de la funcion f en su
punto (a f (a)) si existe un cırculo de centro (a f (a)) dentro del cual L y la grafica de la funcion f tienen un
unico punto en comun y los puntos de la grafica de f que pertenecen al cırculo estan a un solo lado de L Y si
ademas la funcion f es derivable en a la pendiente de L es f prime(a)
X
Y
L L L
y f x ( )=a
X
Y
L L L
y f x ( )=a
Si una funcion f es continua en un punto a no siempre sera derivable en dicho punto existe la posibilidad de
que lo sea como tambien que no como por ejemplo
La funcion f ⟨0 2⟩ minusrarr
definida por f (x) =
983163 2x si 0 lt x lt 1
2 si 1 le x lt 2es continua en el punto a = 1 pero
no es derivable en dicho punto pues no existe f prime(1) La existencia de la derivada f prime(1) implica que la grafica
de la funcion f tiene una unica recta tangente en el punto (1 f (1)) la no existencia de f prime(1) implica que la
grafica de la funcion f tiene una varias rectas en ese punto o no en este ejemplo como veremos gr aficamente
la funcion f posee varia rectas tangentes en su punto (1 f (1))
X
Y
y f x ( )=
1 2
X
Y
L L L
y x 2=
y x 3=
1
2
3
Grafico de f (x) =983163 2x si 0 lt x lt 1
2 si 1 le x lt 2 Grafico de f (x) =
x2 si
minus1 lt x lt 1
2x3
3 si 1 le x lt 2
Si una funcion f es derivable en un punto a entonces por el teorema 17 sera continua en dicho punto por
ejemplo la funcion f ⟨0 2⟩ minusrarr
f (x) =
x2 si minus1 lt x lt 1
2x3
3 si 1 le x lt 2
es derivable en a = 1 mas aun es
continua en dicho punto Es mas la grafica de f tiene una unica recta tangente en su punto (1 f (1))
De acuerdo al teorema 16 una funcion es no derivable en el punto ldquoardquo si f primeminus
(a) = f prime+(a) o una de la
derivadas laterales f primeminus
(a) f prime+(a) no existe Y de acuerdo al teorema 17 si f no es continua en el punto ldquoardquo
entonces no es derivable en ese punto
Los siguientes son ejemplos graficos de funciones no derivables en un punto
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La derivada de una funcion real de variable real
X X
Y Y
a a b
y f x = ( ) y f x = ( )
f a f a bno es derivable en no es derivable en y
f a
f b
es derivable en por derecha
es derivable en por izquierda
2 Teoremas sobre funciones derivables
21 Extremos relativos de una funcion
Definicion 21 Sean empty = X sub
y m isin
Diremos que ldquo mrdquo es el mınimo del conjunto X si m isin X y m le x
para todo x isin X
Definicion 22 Sean empty = X sub
y M isin
Diremos que ldquo M rdquo es el macute aximo del conjunto X si M isin X y
M ge x para todo x isin X
Observaciones
1 No todo subconjunto no vacıo de
posee maximo yo mınimo
2 Si un subconjunto no vacıo de
posee maximo yo mınimo este es unico y ademas es uno de los elementos
del conjunto
3 Si ldquomrdquo es el mınimo del conjunto X entonces lo denotamos por m = mın X
4 Si ldquoM rdquo es el maximo del conjunto X entonces lo denotamos por M = max X
5 Si m = mın X y M = max X entonces m le M y ademas m le x le M para todo x isin X
Ejemplo 21
1 El conjunto de los numeros naturales posee mınimo y es 1 es decir 1 = mın pero no posee maximo
2 El conjunto
el de los numeros enteros no posee ni maximo ni mınimo El conjunto
el de los numeros
racionales no posee ni maximo ni mınimo
3 Veamos algunos intervalos
a) Los intervalos ⟨a b⟩ ⟨a b] ⟨a +infin⟩ no poseen mınimo
b) Los intervalos ⟨a b⟩ [a b⟩ ⟨minusinfin b⟩ no poseen maximo
c) a = mın[a b] a = mın[a b⟩ a = mın[a +infin⟩
d) b = max[a b] b = max⟨a b] b = max⟨minusinfin b]
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La derivada de una funcion real de variable real
Definicion 23 Sean empty = A sub f A minusrarr una funciacute on y x0 isin A
1 La funciacute on ldquo f rdquo tiene un mınimo absoluto en x0 si f (x0) le f (x) para todo x isin A
2 La funciacute on ldquo f rdquo tiene un macute aximo absoluto en x0 si f (x) le f (x0) para todo x isin A
3 La funci on ldquo f rdquo tiene un mınimo relativo en x0 si existe un δ gt 0 tal que f (x0) le f (x) para todo
x isin A cap ⟨x0 minus δ x0 + δ ⟩
4 La funci on ldquo f rdquo tiene un macute aximo relativo en x0 si existe un δ gt 0 tal que f (x) le f (x0) para todo
x isin A cap ⟨x0 minus δ x0 + δ ⟩
Observaciones Sean empty = A sub
f A minusrarr
una funcion y x0 isin A
1 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo relativo en x0 diremos tambien que f tiene un mınimo local en x0
2 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo relativo en x0 diremos tambien que f tiene un maximo local en x0
3 La funcion ldquof rdquo tiene un extremo absoluto en x0 si tiene un mınimo o maximo absoluto en dicho punto
4 La funcion ldquof rdquo tiene un extremo relativo en x0 si tiene un mınimo o maximo relativo en dicho punto
5 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo absoluto en x0 entonces f (x0) es el mınimo del rango de la funcion es
decir
f (x0) = mın Ran (f )
Al numero f (x0) lo denominaremos el valor mınimo de f en su dominio
6 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo absoluto en x0 entonces f (x0) es el maximo del rango de la funcion es
decir
f (x0) = max Ran (f )
Al numero f (x0) lo denominaremos el valor maximo de f en su dominio
7 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo relativo en x0 entonces f no siempre tendra un mınimo absoluto en x0
Una funcion puede poseer un mınimo relativo sin tener un mınimo absoluto
8 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo relativo en x0 entonces f no siempre tendra un maximo absoluto en
x0 Una funcion puede poseer un maximo relativo sin tener un maximo absoluto
9 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo absoluto en x0 entonces f tiene un mınimo relativo en dicho punto Lo
contrario no siempre es cierto
En la figura la funcion f minusrarr tiene maximo
relativo en x = 0 pero no posee maximo absolutoen su dominio
En la figura la funcion g minusrarr tiene mınimo
relativo en x = 0 pero no posee mınimo absolutoen su dominio
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La derivada de una funcion real de variable real
10 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo absoluto en x0 entonces f tiene un maximo relativo en dicho punto Lo
contrario no siempre es cierto
11 Una funcion puede tener extremos absolutos en mas de un punto vea el siguiente grafico
En la figura la funcion f
minusrarr
tiene mınimo
absoluto en dos puntos diferentes
En la figura la funcion g
minusrarr
tiene maximo
absoluto en dos puntos diferentes
12 La funcion ldquof rdquo tiene un extremo en el punto x0 si tiene un maximo o mınimo absoluto o relativo en dicho
punto
Y Y
X X
figura (a) figura (b)
x x x x 0 1 2 3 4 5 6x x x x x x x x x x 0 1 2 3 4 5 6
y f x = ( )
y f x = ( )
En la figura (a) Dom(f ) = [x0 x6] la funcion tiene
un mınimo absoluto en el punto x2 y maximo absolu-
to en el punto x5 mientras que tiene mınimo relativo
en los puntos x0 x2 x4 y x6 y maximo relativo en
los puntos x1 x3 y x5
En la figura (b) Dom (f ) = [x0 x6⟩minusx3 la funcion
no tiene mınimo absoluto ni maximo absoluto mien-
tras que tiene mınimo relativo en los puntos x0 x2 y
x4 y maximo relativo en los puntos x1 y x5
Teorema 21 Si la funcion f tiene un extremo en x0 y f prime(x0) existe entonces f prime(x0) = 0
Observaciones
1 Lo contrario no siempre es cierto es decir si f prime(x0) = 0 entonces f no siempre tendra un extremo en x0
Un ejemplo simple es para f (x) = (x minus 2)3 en x0 = 2
2 Si la funcion f tiene un extremo en x0 y f prime
(x0) existe entonces la recta tangente a la grafica de la funcionen el punto
(x0 f (x0)
852009 en horizontal
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La derivada de una funcion real de variable real
3 Si la funcion f tiene un extremo en x0 y f prime(x0) no existe entonces o bien no existe recta tangente a la
grafica de la funcion en el punto(
x0 f (x0)852009
o existen infinitas rectas tangente a la grafica de la funcion en
el punto(
x0 f (x0)852009
pudiendo ser una de ellas una recta vertical
En la figura la funcion f
minusrarr
tiene un extremo
en x = 0 pero f prime(0) no existe ademas la grafica de
esta funcion posee infinitas rectas tangente en el pun-
to(
0 f (0)852009
En la figura la funcion g
minusrarr
tiene extremo en
los puntos x0 x1 existen g prime(x0) g prime(x1) y las rectas
tangente en(
x0 g(x0)852009
y(
x1 g(x1)852009
son horizontales
22 El teorema del valor medio
Teorema 22 (Teorema de Rolle) Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si f es continua en [a b] es derivable en
⟨a b⟩ y f (a) = f (b) entonces existe un c isin ⟨a b⟩ tal que f prime(c) = 0
Observaciones
1 Si la funcion f satisface las hipotesis del teorema de Rolle la existencia del punto c tales que f prime(c) = 0 no
siempre es unica pueden existir otros puntos del intervalo ⟨a b⟩ cuya primera derivada en esos puntos sea
cero
2 La condicion f (a) = f (b) indica que la recta que pasa por los puntos(
a f (a)852009
y(
b f (b)852009
es horizontal El
teorema garantiza la existencia de al menos un punto c isin ⟨a b⟩ tal que la recta tangente a la grafica de la
funcion f el punto(
c f (c)852009
tambien sea horizontal
X X
Y Y
y=f x( )
y=f x( )
figura (a) figura (b)
a c c b1 3 a b
c2
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La derivada de una funcion real de variable real
En la figura (a) la funcion f satisface las hipotesis del
teorema de Rolle por tanto en este caso existen pun-
tos c1 c2 y c3 del intervalo ⟨a b⟩ tal que f prime(c1) = 0
f prime(c2) = 0 y f prime(c3) = 0
En la figura (b) la funcion f no satisface las hipotesis
del teorema de Rolle en tanto no se garantiza la exis-
tencia de puntos del intervalo ⟨a b⟩ tal que la primera
derivada de f en esos puntos sea cero
Teorema 23 (El teorema del valor medio de Lagrange) Sea la funciacute on f [a b]
minusrarr
Si f es continua
en [a b] es derivable en ⟨a b⟩ entonces existe un c isin ⟨a b⟩ tal que
f prime(c) = f (b) minus f (a)
b minus a
Observaciones
1 Si la funcion f satisface las hipotesis del teorema del valor medio de Lagrange la existencia del punto c tales
que f prime(c) = f (b) minus f (a)
b minus a no siempre es unica pueden existir otros puntos del intervalo ⟨a b⟩ cuya primera
derivada en esos puntos sea igual a f (b) minus f (a)
b minus a
2 Sea L la recta que pasa por los puntos(
a f (a)852009
y(
b f (b)852009
el teorema garantiza la existencia de al menosun punto c isin ⟨a b⟩ tal que la recta tangente a la grafica de la funcion f el punto
(c f (c)
852009 sea paralela a L
Y Y
X X
y = f x ( ) y = f x ( )
f a ( )
f a ( )
f b( )
f b( )
figura (a) figura (b)
a c b1 b
c 2 a
L L L
L L L
En la figura (a) la funcion f satisface las hipotesis del
teorema de Lagrange por tanto en este caso existen
puntos c1 y c2 del intervalo ⟨a b⟩ tal que
f prime(c1) = f (b) minus f (a)
b minus a y f prime(c2) =
f (b) minus f (a)
b minus a
En la figura (b) la funcion f no satisface las hipotesis
del teorema de Lagrange en tanto no se garantiza
la existencia de puntos del intervalo ⟨a b⟩ tal que laprimera derivada en ese punto sea igual a
f (b) minus f (a)
b minus a
Teorema 24 (El teorema generalizado del valor medio de Cauchy) Sean las funciones f [a b] minusrarr
y g [a b] minusrarr
continuas en [a b] y derivables en ⟨a b⟩ con g(b) = g(a) y g prime(x) = 0 para todo x isin ⟨a b⟩
entonces existe un c isin ⟨a b⟩ tal que f prime(c)
g prime(c) =
f (b) minus f (a)
g(b) minus g(a)
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La derivada de una funcion real de variable real
23 Funciones crecientes y decrecientes
Definicion 24 (Funcion creciente) Sean empty = A sub
y la funciacute on f A minusrarr
Diremos que la funciacute on f
es creciente o estrictamente creciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) lt f (x2)
Definicion 25 (Funcion decreciente) Sean empty = A sub
y la funci on f A minusrarr
Diremos que la funcion f
es decreciente o estrictamente decreciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) gt f (x2)
Y Y
X X
f x ( )1
f x ( )1
x 1
x 1x 2
x 2
f x ( )2
f x ( )2
Graacutefico de una funcioacutenestrictamente creciente
Graacutefico de una funcioacutenestrictamente decreciente
Definicion 26 (Funcion no creciente) Sean empty = A sub y la funci on f A minusrarr
Diremos que la funciacute on
f es no creciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) ge f (x2)
Definicion 27 (Funcion no decreciente) Sean empty = A sub y la funciacute on f A minusrarr
Diremos que la
funciacute on f es no decreciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) le f (x2)
Y Y
X X
x 1 x 2 x 1 x 2
Graacutefico de una funcioacuten
no decreciente
Graacutefico de una funcioacuten
no creciente
Definicion 28 (Funcion monotona) Sean empty = A sub
y la funci on f A minusrarr
Diremos que la funciacute on f
es monacute otona sobre A si es creciente o decreciente o no creciente o no decreciente sobre A
Observaciones
1 Para definir funciones monotonas (crecientes decrecientes no crecientes o no decrecientes) no es necesario
saber la continuidad y la derivabilidad de la funcion en su dominio
2 Existen funciones monotonas que no son derivables yo continuas en su dominio
Teorema 25 Sean empty = A sub y la funciacute on f A minusrarr Si la funciacute on f es estrictamente creciente sobre A
entonces f es una funciacute on inyectiva y su funcion inversa f lowast tambien es estrictamente creciente sobre Ran(f )
Teorema 26 Sean empty = A sub
y la funci on f A minusrarr
Si la funci on f es estrictamente decreciente sobre A
entonces f es una funciacute on inyectiva y su funciacute on inversa f lowast tambien es estrictamente decreciente sobre Ran(f )
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La derivada de una funcion real de variable real
Y Y
X X
f
f
f
f
Teorema 27 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr
Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩
con f
prime
(x) gt 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es estrictamente creciente sobre [a b]
Teorema 28 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩
con f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es estrictamente decreciente sobre [a b]
X X
a
a b
b
Observaciones
1 Del teorema 27 si la pendiente de todas las rectas tangente a la grafica de la funcion sobre ⟨a b⟩ es positiva
entonces la funcion es estrictamente creciente sobre [a b]
2 Del teorema 28 si la pendiente de todas las rectas tangente a la grafica de la funcion sobre ⟨a b⟩ es negativa
entonces la funcion es estrictamente decreciente sobre [a b]
Teorema 29 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr
Si la funcion f es continua sobre [a b] y es inyectiva en [a b]
entonces f es estrictamente creciente o estrictamente decreciente sobre [a b] pero no ambos
X X
a
a b
b
f ab
ab
es continua e inyectiva sobre [ ]en este caso es creciente sobre [ ]
f ab
ab
es continua e inyectiva sobre [ ]en este caso es decreciente sobre [ ]
f f
Teorema 210 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funciacute on f es continua y estrictamente creciente sobre
[a b] entonces Ran(f ) =1048667
f (a) f (b)1048669
y su funciacute on inversa f lowast 1048667
f (a) f (b)1048669 minusrarr
es tambien continua y
estrictamente creciente sobre [a b]
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La derivada de una funcion real de variable real
Teorema 211 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funcion f es continua y estrictamente decreciente sobre
[a b] entonces Ran(f ) =1048667
f (b) f (a)1048669
y su funciacute on inversa f lowast 1048667
f (b) f (a)1048669 minusrarr
es tambien continua y
estrictamente decreciente sobre [a b]
Teorema 212 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre
⟨a b⟩ con f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es no decreciente sobre [a b]
Teorema 213 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre
⟨a b⟩ con f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es no creciente sobre [a b]
Teorema 214 (de la funcion constante) Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre
[a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩ con f prime(x) = 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es constante sobre [a b] es decir
existe una constante C tal que f (x) = C para todo [a b]
Teorema 215 (de la diferencia constante) Sean las funciones f [a b] minusrarr
y f [a b] minusrarr
Si las
funciones f y g son continuas sobre [a b] y es derivables sobre ⟨a b⟩ con f prime(x) = g prime(x) para todo x isin ⟨a b⟩entonces existe una constante C tal que f (x) = g(x) + C para todo [a b]
Definicion 29 (Punto crıtico) Sean I un intervalo de
x0 un punto de I y la funciacute on f I minusrarr
El
punto x0 es un punto crıtico de la funciacute on f I minusrarr si x0 satisface alguna de las siguientes condiciones
a) f prime(x0) = 0 o b) f prime(x0) = 0 no existe o c) f tiene un extremo en x0
Observaciones
1 Si x0 es un punto crıtico de la funcion f no podemos concluir con certeza una de las condiciones mencionadas
2 Si x0 es un punto crıtico de la funcion f y f prime(x0) = 0 no podemos concluir con certeza que f tiene un
extremo en dicho punto
Por ejemplo sea la funcion f [1 3] minusrarr definida
por f (x) = (x minus 2)3 cuya funcion derivada es
f prime ⟨1 3⟩ minusrarr
983087 f prime(x) = 3(x minus 2)2
En x0 = 2 tenemos f prime(x0) = 0 pero f no tiene
maximo ni mınimo en 2 f tiene un mınimo en 1
y un maximo en 3 por tanto 1 2 y 3 son puntos
crıticos de f
Y
X
1
2
Ejercicio 7 Hal le los puntos crıticos de las siguientes funciones
1 f
minusrarr que estacute a definida por
f (x) = 1
4(x4 minus 6x2 + 8x) + 5
2 f
minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = 3
radic (x + 4)2(x minus 5)
3 f
minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = 5x23 minus x53
4 f
minusrarr
que estacute a definida por f (x) = x + 1
x2 + 1
5 f
minus 1 minusrarr que estacute a definida por
f (x) = x3 minus 2
(x minus 1)2
6 f
minusrarr
que estacute a definida por f (x) = x2 + 3radic
x2 + 1
7 f [minusπ2
π2
] minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = sin2 x minus |x|
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La derivada de una funcion real de variable real
231 Criterio de la primera derivada para extremos de una funcion
Aquı presentamos un criterio que nos ayuda a determinar si un punto crıtico es aquel en donde una funcion
alcanza su valor maximo o mınimo
Teorema 216 (Criterio de la primera derivada) Sean la funciacute on f A minusrarr
el intervalo [a b] contenido
en A y x0
isin ⟨a b
⟩ un punto crıtico de f
1 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f tiene un macute aximo en el punto x0
2 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f tiene un mınimo en el punto x0
3 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) gt 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) gt 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f no tiene macute aximo ni mınimo en el punto x0
4 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f no tiene macute aximo ni mınimo en el punto x0
X X
a bx 0a bx 0
f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0lt gt f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0gt lt
f
f
f tiene un maacuteximo en x 0 f tiene un miacutenimo en x 0
X X a bx 0a bx 0
f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0lt lt f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0gt gt
f f
f no tiene un extremo en x 0 f no tiene un extremo en x 0
Observaciones
1 Al ser x0 un punto crıtico de f el criterio de la primera derivada no garantiza que exista f prime(x0)
2 El criterio de la primera derivada requiere que f sea derivable en ⟨a x0⟩ cup ⟨x0 b⟩ mas no en x0
3 Un metodo que nos permite hallar puntos crıticos de la funcion f en [a b] es resolver la ecuacion f prime(x) = 0
sujeta a la condicion x isin ⟨a b⟩ pero tal metodo solo nos proporciona todos los puntos crıticos de f que
cumple la primera condicion dada en la definicion 29
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La derivada de una funcion real de variable real
4 Los graficos anteriores presentan al punto crıtico x0 de f en el cual existe f prime(x0) y es igual a cero es mas
en los dos primeros graficos la recta tangente en el punto (x0 f (x0)) es horizontal iquestCual es el aspecto de
la grafica de f si es que no existiera f prime(x0)
5 Sea x0 isin ⟨a b⟩ un punto crıtico de la funcion f Al utilizar el criterio de la primera derivada para averiguar
si f tiene maximo o mınimo en x0 es necesario resolver las inecuaciones f prime(x) lt 0 y f prime(x) gt 0 sujetas
a la restriccion x isin ⟨a b⟩ tales procesos son sencillos para algunas funciones pero existen funciones paralos cuales tales resoluciones son complicadas y ahı el criterio de la primera derivada no es recomendable
utilizarlo pero tal deficiencia se supera utilizando otro criterio para determinar extremo de una funcion
6 El criterio de la primera derivada tambien es aplicable cuando en lugar del intervalo ⟨a b⟩ se considera a
otros tipos de intervalos abiertos si es que estan contenidos en el dominio de la funcion
Por ejemplo para la funcion f
minusrarr
definida por f (x) = x2 su unico punto crıtico es x0 = 0 f prime(x) lt 0
para todo x lt 0 y f prime(x) gt 0 para todo x gt 0 por tanto f tiene un mınimo en 0 y su valor mınimo es
f (0) = 0
232 Criterio de la segunda derivada para extremos de una funcion
Aquı presentamos otro criterio que nos ayuda a determinar si un punto crıtico es aquel en donde una funcion
alcanza su valor maximo o mınimo este metodo requiere la existencia de la segunda de la funcion en su punto
crıtico
Teorema 217 (Criterio de la segunda derivada) Sean la funciacute on f A minusrarr
el intervalo [a b] contenido
en A y x0 isin ⟨a b⟩ un punto crıtico de f para el cual f primeprime(x0) existe
1 Si la funciacute on f es derivable en ⟨a b⟩ f prime(x0) = 0 y f primeprime(x0) lt 0 entonces f tiene un macute aximo en el punto x0
2 Si la funciacute on f es derivable en
⟨a b
⟩ f prime(x0) = 0 y f primeprime(x0) gt 0 entonces f tiene un mınimo en el punto x0
X X
a bx 0a bx 0
f a b f f es derivable en ( ) 0 ( ) 0 x x 0 0= lt f a b f f es derivable en ( ) 0 ( ) 0 x x 0 0= gt
f
f
f tiene un maacuteximo en x 0 f tiene un miacutenimo en x 0
Observaciones
1 Los graficos anteriores presentan al punto crıtico x0 de f en el cual existe f primeprime(x0) y es diferente a cero
2 El criterio de la segunda derivada tambien es aplicable cuando en lugar del intervalo ⟨a b⟩ se considera a
otros tipos de intervalos abiertos si es que estan contenidos en el dominio de la funcion
Por ejemplo para la funcion f
minusrarr
definida por f (x) = x2 su unico punto crıtico es x0 = 0 y
f primeprime(0) = 2 gt 0 por tanto f tiene un mınimo en 0 y su valor mınimo es f (0) = 0
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La derivada de una funcion real de variable real
24 Concavidad y puntos de inflexion
25 La regla de Lrsquo Hospital
3 Aplicaciones de la derivada
31 Trazado de grafica de funciones
32 Derivadas parametricas
321 Regla de la cadena
33 Diferencial de una funcion
34 Razon de cambio
Indice
1 La derivada 111 Derivadas laterales 4
12 Derivacion y continuidad 5
13 Derivadas de orden superior 7
131 Notacion de derivadas 7
132 El operador d
dx 8
133 La segunda derivada 10
134 Derivada de ordenes mayores a dos 10
135 Notacion de derivadas de ordenes superiores 11
14 Derivadas implıcitas 12
141 Ecuaciones diferenciales ordinarias de lugares geometricos 13
15 Funciones derivables 18
151 Funciones derivables en un intervalo 18
152 Funciones de clase C k 19
153 Funciones no derivables 19
2 Teoremas sobre funciones derivables 21
21 Extremos relativos de una funcion 21
22 El teorema del valor medio 24
23 Funciones crecientes y decrecientes 26
231 Criterio de la primera derivada para extremos de una funcion 29
232 Criterio de la segunda derivada para extremos de una funcion 30
24 Concavidad y puntos de inflexion 31
25 La regla de Lrsquo Hospital 31
3 Aplicaciones de la derivada 31
31 Trazado de grafica de funciones 31
32 Derivadas parametricas 31
321 Regla de la cadena 31
33 Diferencial de una funcion 31
34 Razon de cambio 31
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La derivada de una funcion real de variable real
15 Funciones derivables
151 Funciones derivables en un intervalo
Sin ser redundantes presentamos a los intervalos de
1 [a b] = x isin
a le x le b
2 ⟨a b⟩ = x isin
a lt x lt b
3 ⟨a b] = x isin
a lt x le b
4 [a b⟩ = x isin
a le x lt b
5 ⟨minusinfin b⟩ = x isin 1048623x lt b
6 ⟨minusinfin b] = x isin
1048623x le b
7 ⟨a +infin⟩ = x isin
1048623a lt x
8 [a +infin⟩ = x isin
1048623a le x
9 ⟨minusinfin +infin⟩ =
y
10 [a a] = a
Los cuatro primeros y el ultimo son los intervalos limitados los cinco siguientes son intervalos ilimitados el
ultimo se denomina un intervalo degenerado desde el segundo hasta el cuarto intervalo a lt b
Definicion 113 Sea la funciacute on f I minusrarr donde I es un intervalo de
1 La funciacute on f ⟨a b⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨a b⟩ si lo es en cada punto de ⟨a b⟩
2 La funciacute on f ⟨minusinfin b⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨minusinfin b⟩ si lo es en cada punto de ⟨minusinfin b⟩
3 La funciacute on f ⟨a +infin⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨a +infin⟩ si lo es en cada punto de ⟨a +infin⟩
4 La funciacute on f [a b⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo [a b⟩ si existe un intervalo abierto del tipo ⟨ p q ⟩ que
contiene a [a b⟩ tal que f sea derivable sobre ⟨ p q ⟩
5 La funciacute on f ⟨a b] minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨a b] si existe un intervalo abierto del tipo ⟨ p q ⟩ que
contiene a ⟨a b] tal que f sea derivable sobre ⟨ p q ⟩
6 La funciacute on f [a +infin⟩ minusrarr
es derivable en el intervalo [a +infin⟩ si existe un intervalo abierto del tipo⟨ p +infin⟩ que contiene a [a +infin⟩ tal que f sea derivable sobre ⟨ p +infin⟩
7 La funciacute on f ⟨minusinfin b] minusrarr es derivable en el intervalo ⟨minusinfin b] si existe un intervalo abierto del tipo
⟨minusinfin q ⟩ que contiene a ⟨minusinfin b] tal que f sea derivable sobre ⟨minusinfin q ⟩
8 La funcion f [a b] minusrarr es derivable en el intervalo [a b] si existe un intervalo abierto del tipo ⟨ p q ⟩ que
contiene a [a b] tal que f sea derivable sobre ⟨ p q ⟩
Observaciones
1 La funcion f [a b
⟩ minusrarr es derivable en el intervalo [a b
⟩ si y solo si es derivable en cada punto de
⟨a b
⟩y existe f prime+(a)
2 La funcion f [a +infin⟩ minusrarr es derivable en el intervalo [a +infin⟩ si y solo si es derivable en cada punto de
⟨a +infin⟩ y existe f prime+(a)
3 La funcion f ⟨a b] minusrarr es derivable en el intervalo ⟨a b] si y solo si es derivable en cada punto de ⟨a b⟩
y existe f primeminus
(b)
4 La funcion f ⟨minusinfin b] minusrarr
es derivable en el intervalo ⟨minusinfin b] si y solo si es derivable en cada punto de
⟨minusinfin b⟩ y existe f primeminus
(b)
5 La funcion f [a b] minusrarr
es derivable en el intervalo [a b] si y solo si es derivable en cada punto de ⟨a b⟩y existen f prime+(a) y f prime
minus(b)
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La derivada de una funcion real de variable real
6 Sea I un intervalo abierto Si la funcion f I minusrarr es derivable su funcion derivada f prime I minusrarr tendra el
mismo dominio que f
7 Sea I un intervalo abierto Si la funcion f I minusrarr
es k veces derivable su funcion kndashesima derivada
f (k) I minusrarr
tendra el mismo dominio que f
8 Sea I un intervalo no abierto Si la funcion f I minusrarr
es derivable su funcion derivada f prime J minusrarr
tendra como dominio al interior de I
152 Funciones de clase C k
Sea I un intervalo de
Si la funcion f I minusrarr
es derivable en I entonces es continua en I pero
posiblemente la funcion derivada f prime J minusrarr
no sea continua en I J = int (I )
Definicion 114 Sea I un intervalo de Si la funcion f I minusrarr es continua en I diremos que ldquo f rdquo es una
funciacute on de clase cero C 0 sobre I
⋆ Si ldquof rdquo es una funcion de clase C 0 sobre I lo denotamos por f
isin C 0(I )
Definicion 115 Sea I un intervalo abierto de
Si la funciacute on f I minusrarr
es derivable en I y la funciacute on
f prime I minusrarr es continua en I diremos que f es continuamente derivable en I o simplemente la funciacute on ldquo f rdquo es
de clase C 1 sobre I
⋆ Si ldquof rdquo es una funcion de clase C 1 sobre I lo denotamos por f isin C 1(I )
Definicion 116 Sea I un intervalo abierto de
La funcion f I minusrarr
es de clase C k sobre el intervalo I
si es k veces derivable sobre I y la funciacute on f (k) I minusrarr
es continua en I
⋆ Si ldquof rdquo es una funcion de clase C k sobre I lo denotamos por f
isin C k(I )
Definicion 117 Sea I un intervalo abierto de La funciacute on f I minusrarr es de clase C infin sobre el intervalo I
si existe f (n) para todo n isin 0 1 2 middot middot middot
⋆ Si ldquof rdquo es una funcion de clase C infin sobre I lo denotamos por f isin C infin(I )
Ejemplo 117
1 La funcion f
minusrarr
definida por f (x) = ex es de clase C infin sobre
Con la notaciones presentadas
tenemos la pertenencia f isin C infin(
)
2 La funcion f minusrarr
definida por f (x) = p(x) donde p(x) es un polinomio es de clase C infin
sobre
Conla notaciones presentadas tenemos la pertenencia f isin C infin( )
3 La funcion f [0 +infin⟩ minusrarr definida por f (x) =
radic x es de clase C infin sobre ⟨0 +infin⟩ Con la notaciones
presentadas tenemos la pertenencia f isin C infin983080
[0 +infin⟩983081
153 Funciones no derivables
Sea f una funcion cuyo dominio sea el conjunto A sub
Si f es derivable en el punto a isin A entonces la
grafica de f en su punto (a f (a)) tiene una unica recta tangente La idea de recta tangente en este caso no es
la misma que usted tiene a cerca de una recta tangente a una circunferencia en donde ellos tienen un unico
punto en comun es decir si la recta L es tangente a la circunferencia C entonces L y C tienen un unico punto
en comun llamado punto de tangencia Mientras que si L es una recta tangente a la grafica de la funcion f
es posible que ellos tengan otro punto en comun a parte del punto de tangencia la idea de tangencia que se
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La derivada de una funcion real de variable real
expone es local y no global en el sentido de que si L es una recta tangente a la grafica de la funcion f el punto
de tangencia es unico cerca de el especıficamente La recta L es una tangente a la grafica de la funcion f en su
punto (a f (a)) si existe un cırculo de centro (a f (a)) dentro del cual L y la grafica de la funcion f tienen un
unico punto en comun y los puntos de la grafica de f que pertenecen al cırculo estan a un solo lado de L Y si
ademas la funcion f es derivable en a la pendiente de L es f prime(a)
X
Y
L L L
y f x ( )=a
X
Y
L L L
y f x ( )=a
Si una funcion f es continua en un punto a no siempre sera derivable en dicho punto existe la posibilidad de
que lo sea como tambien que no como por ejemplo
La funcion f ⟨0 2⟩ minusrarr
definida por f (x) =
983163 2x si 0 lt x lt 1
2 si 1 le x lt 2es continua en el punto a = 1 pero
no es derivable en dicho punto pues no existe f prime(1) La existencia de la derivada f prime(1) implica que la grafica
de la funcion f tiene una unica recta tangente en el punto (1 f (1)) la no existencia de f prime(1) implica que la
grafica de la funcion f tiene una varias rectas en ese punto o no en este ejemplo como veremos gr aficamente
la funcion f posee varia rectas tangentes en su punto (1 f (1))
X
Y
y f x ( )=
1 2
X
Y
L L L
y x 2=
y x 3=
1
2
3
Grafico de f (x) =983163 2x si 0 lt x lt 1
2 si 1 le x lt 2 Grafico de f (x) =
x2 si
minus1 lt x lt 1
2x3
3 si 1 le x lt 2
Si una funcion f es derivable en un punto a entonces por el teorema 17 sera continua en dicho punto por
ejemplo la funcion f ⟨0 2⟩ minusrarr
f (x) =
x2 si minus1 lt x lt 1
2x3
3 si 1 le x lt 2
es derivable en a = 1 mas aun es
continua en dicho punto Es mas la grafica de f tiene una unica recta tangente en su punto (1 f (1))
De acuerdo al teorema 16 una funcion es no derivable en el punto ldquoardquo si f primeminus
(a) = f prime+(a) o una de la
derivadas laterales f primeminus
(a) f prime+(a) no existe Y de acuerdo al teorema 17 si f no es continua en el punto ldquoardquo
entonces no es derivable en ese punto
Los siguientes son ejemplos graficos de funciones no derivables en un punto
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La derivada de una funcion real de variable real
X X
Y Y
a a b
y f x = ( ) y f x = ( )
f a f a bno es derivable en no es derivable en y
f a
f b
es derivable en por derecha
es derivable en por izquierda
2 Teoremas sobre funciones derivables
21 Extremos relativos de una funcion
Definicion 21 Sean empty = X sub
y m isin
Diremos que ldquo mrdquo es el mınimo del conjunto X si m isin X y m le x
para todo x isin X
Definicion 22 Sean empty = X sub
y M isin
Diremos que ldquo M rdquo es el macute aximo del conjunto X si M isin X y
M ge x para todo x isin X
Observaciones
1 No todo subconjunto no vacıo de
posee maximo yo mınimo
2 Si un subconjunto no vacıo de
posee maximo yo mınimo este es unico y ademas es uno de los elementos
del conjunto
3 Si ldquomrdquo es el mınimo del conjunto X entonces lo denotamos por m = mın X
4 Si ldquoM rdquo es el maximo del conjunto X entonces lo denotamos por M = max X
5 Si m = mın X y M = max X entonces m le M y ademas m le x le M para todo x isin X
Ejemplo 21
1 El conjunto de los numeros naturales posee mınimo y es 1 es decir 1 = mın pero no posee maximo
2 El conjunto
el de los numeros enteros no posee ni maximo ni mınimo El conjunto
el de los numeros
racionales no posee ni maximo ni mınimo
3 Veamos algunos intervalos
a) Los intervalos ⟨a b⟩ ⟨a b] ⟨a +infin⟩ no poseen mınimo
b) Los intervalos ⟨a b⟩ [a b⟩ ⟨minusinfin b⟩ no poseen maximo
c) a = mın[a b] a = mın[a b⟩ a = mın[a +infin⟩
d) b = max[a b] b = max⟨a b] b = max⟨minusinfin b]
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La derivada de una funcion real de variable real
Definicion 23 Sean empty = A sub f A minusrarr una funciacute on y x0 isin A
1 La funciacute on ldquo f rdquo tiene un mınimo absoluto en x0 si f (x0) le f (x) para todo x isin A
2 La funciacute on ldquo f rdquo tiene un macute aximo absoluto en x0 si f (x) le f (x0) para todo x isin A
3 La funci on ldquo f rdquo tiene un mınimo relativo en x0 si existe un δ gt 0 tal que f (x0) le f (x) para todo
x isin A cap ⟨x0 minus δ x0 + δ ⟩
4 La funci on ldquo f rdquo tiene un macute aximo relativo en x0 si existe un δ gt 0 tal que f (x) le f (x0) para todo
x isin A cap ⟨x0 minus δ x0 + δ ⟩
Observaciones Sean empty = A sub
f A minusrarr
una funcion y x0 isin A
1 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo relativo en x0 diremos tambien que f tiene un mınimo local en x0
2 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo relativo en x0 diremos tambien que f tiene un maximo local en x0
3 La funcion ldquof rdquo tiene un extremo absoluto en x0 si tiene un mınimo o maximo absoluto en dicho punto
4 La funcion ldquof rdquo tiene un extremo relativo en x0 si tiene un mınimo o maximo relativo en dicho punto
5 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo absoluto en x0 entonces f (x0) es el mınimo del rango de la funcion es
decir
f (x0) = mın Ran (f )
Al numero f (x0) lo denominaremos el valor mınimo de f en su dominio
6 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo absoluto en x0 entonces f (x0) es el maximo del rango de la funcion es
decir
f (x0) = max Ran (f )
Al numero f (x0) lo denominaremos el valor maximo de f en su dominio
7 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo relativo en x0 entonces f no siempre tendra un mınimo absoluto en x0
Una funcion puede poseer un mınimo relativo sin tener un mınimo absoluto
8 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo relativo en x0 entonces f no siempre tendra un maximo absoluto en
x0 Una funcion puede poseer un maximo relativo sin tener un maximo absoluto
9 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo absoluto en x0 entonces f tiene un mınimo relativo en dicho punto Lo
contrario no siempre es cierto
En la figura la funcion f minusrarr tiene maximo
relativo en x = 0 pero no posee maximo absolutoen su dominio
En la figura la funcion g minusrarr tiene mınimo
relativo en x = 0 pero no posee mınimo absolutoen su dominio
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La derivada de una funcion real de variable real
10 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo absoluto en x0 entonces f tiene un maximo relativo en dicho punto Lo
contrario no siempre es cierto
11 Una funcion puede tener extremos absolutos en mas de un punto vea el siguiente grafico
En la figura la funcion f
minusrarr
tiene mınimo
absoluto en dos puntos diferentes
En la figura la funcion g
minusrarr
tiene maximo
absoluto en dos puntos diferentes
12 La funcion ldquof rdquo tiene un extremo en el punto x0 si tiene un maximo o mınimo absoluto o relativo en dicho
punto
Y Y
X X
figura (a) figura (b)
x x x x 0 1 2 3 4 5 6x x x x x x x x x x 0 1 2 3 4 5 6
y f x = ( )
y f x = ( )
En la figura (a) Dom(f ) = [x0 x6] la funcion tiene
un mınimo absoluto en el punto x2 y maximo absolu-
to en el punto x5 mientras que tiene mınimo relativo
en los puntos x0 x2 x4 y x6 y maximo relativo en
los puntos x1 x3 y x5
En la figura (b) Dom (f ) = [x0 x6⟩minusx3 la funcion
no tiene mınimo absoluto ni maximo absoluto mien-
tras que tiene mınimo relativo en los puntos x0 x2 y
x4 y maximo relativo en los puntos x1 y x5
Teorema 21 Si la funcion f tiene un extremo en x0 y f prime(x0) existe entonces f prime(x0) = 0
Observaciones
1 Lo contrario no siempre es cierto es decir si f prime(x0) = 0 entonces f no siempre tendra un extremo en x0
Un ejemplo simple es para f (x) = (x minus 2)3 en x0 = 2
2 Si la funcion f tiene un extremo en x0 y f prime
(x0) existe entonces la recta tangente a la grafica de la funcionen el punto
(x0 f (x0)
852009 en horizontal
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La derivada de una funcion real de variable real
3 Si la funcion f tiene un extremo en x0 y f prime(x0) no existe entonces o bien no existe recta tangente a la
grafica de la funcion en el punto(
x0 f (x0)852009
o existen infinitas rectas tangente a la grafica de la funcion en
el punto(
x0 f (x0)852009
pudiendo ser una de ellas una recta vertical
En la figura la funcion f
minusrarr
tiene un extremo
en x = 0 pero f prime(0) no existe ademas la grafica de
esta funcion posee infinitas rectas tangente en el pun-
to(
0 f (0)852009
En la figura la funcion g
minusrarr
tiene extremo en
los puntos x0 x1 existen g prime(x0) g prime(x1) y las rectas
tangente en(
x0 g(x0)852009
y(
x1 g(x1)852009
son horizontales
22 El teorema del valor medio
Teorema 22 (Teorema de Rolle) Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si f es continua en [a b] es derivable en
⟨a b⟩ y f (a) = f (b) entonces existe un c isin ⟨a b⟩ tal que f prime(c) = 0
Observaciones
1 Si la funcion f satisface las hipotesis del teorema de Rolle la existencia del punto c tales que f prime(c) = 0 no
siempre es unica pueden existir otros puntos del intervalo ⟨a b⟩ cuya primera derivada en esos puntos sea
cero
2 La condicion f (a) = f (b) indica que la recta que pasa por los puntos(
a f (a)852009
y(
b f (b)852009
es horizontal El
teorema garantiza la existencia de al menos un punto c isin ⟨a b⟩ tal que la recta tangente a la grafica de la
funcion f el punto(
c f (c)852009
tambien sea horizontal
X X
Y Y
y=f x( )
y=f x( )
figura (a) figura (b)
a c c b1 3 a b
c2
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La derivada de una funcion real de variable real
En la figura (a) la funcion f satisface las hipotesis del
teorema de Rolle por tanto en este caso existen pun-
tos c1 c2 y c3 del intervalo ⟨a b⟩ tal que f prime(c1) = 0
f prime(c2) = 0 y f prime(c3) = 0
En la figura (b) la funcion f no satisface las hipotesis
del teorema de Rolle en tanto no se garantiza la exis-
tencia de puntos del intervalo ⟨a b⟩ tal que la primera
derivada de f en esos puntos sea cero
Teorema 23 (El teorema del valor medio de Lagrange) Sea la funciacute on f [a b]
minusrarr
Si f es continua
en [a b] es derivable en ⟨a b⟩ entonces existe un c isin ⟨a b⟩ tal que
f prime(c) = f (b) minus f (a)
b minus a
Observaciones
1 Si la funcion f satisface las hipotesis del teorema del valor medio de Lagrange la existencia del punto c tales
que f prime(c) = f (b) minus f (a)
b minus a no siempre es unica pueden existir otros puntos del intervalo ⟨a b⟩ cuya primera
derivada en esos puntos sea igual a f (b) minus f (a)
b minus a
2 Sea L la recta que pasa por los puntos(
a f (a)852009
y(
b f (b)852009
el teorema garantiza la existencia de al menosun punto c isin ⟨a b⟩ tal que la recta tangente a la grafica de la funcion f el punto
(c f (c)
852009 sea paralela a L
Y Y
X X
y = f x ( ) y = f x ( )
f a ( )
f a ( )
f b( )
f b( )
figura (a) figura (b)
a c b1 b
c 2 a
L L L
L L L
En la figura (a) la funcion f satisface las hipotesis del
teorema de Lagrange por tanto en este caso existen
puntos c1 y c2 del intervalo ⟨a b⟩ tal que
f prime(c1) = f (b) minus f (a)
b minus a y f prime(c2) =
f (b) minus f (a)
b minus a
En la figura (b) la funcion f no satisface las hipotesis
del teorema de Lagrange en tanto no se garantiza
la existencia de puntos del intervalo ⟨a b⟩ tal que laprimera derivada en ese punto sea igual a
f (b) minus f (a)
b minus a
Teorema 24 (El teorema generalizado del valor medio de Cauchy) Sean las funciones f [a b] minusrarr
y g [a b] minusrarr
continuas en [a b] y derivables en ⟨a b⟩ con g(b) = g(a) y g prime(x) = 0 para todo x isin ⟨a b⟩
entonces existe un c isin ⟨a b⟩ tal que f prime(c)
g prime(c) =
f (b) minus f (a)
g(b) minus g(a)
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La derivada de una funcion real de variable real
23 Funciones crecientes y decrecientes
Definicion 24 (Funcion creciente) Sean empty = A sub
y la funciacute on f A minusrarr
Diremos que la funciacute on f
es creciente o estrictamente creciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) lt f (x2)
Definicion 25 (Funcion decreciente) Sean empty = A sub
y la funci on f A minusrarr
Diremos que la funcion f
es decreciente o estrictamente decreciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) gt f (x2)
Y Y
X X
f x ( )1
f x ( )1
x 1
x 1x 2
x 2
f x ( )2
f x ( )2
Graacutefico de una funcioacutenestrictamente creciente
Graacutefico de una funcioacutenestrictamente decreciente
Definicion 26 (Funcion no creciente) Sean empty = A sub y la funci on f A minusrarr
Diremos que la funciacute on
f es no creciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) ge f (x2)
Definicion 27 (Funcion no decreciente) Sean empty = A sub y la funciacute on f A minusrarr
Diremos que la
funciacute on f es no decreciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) le f (x2)
Y Y
X X
x 1 x 2 x 1 x 2
Graacutefico de una funcioacuten
no decreciente
Graacutefico de una funcioacuten
no creciente
Definicion 28 (Funcion monotona) Sean empty = A sub
y la funci on f A minusrarr
Diremos que la funciacute on f
es monacute otona sobre A si es creciente o decreciente o no creciente o no decreciente sobre A
Observaciones
1 Para definir funciones monotonas (crecientes decrecientes no crecientes o no decrecientes) no es necesario
saber la continuidad y la derivabilidad de la funcion en su dominio
2 Existen funciones monotonas que no son derivables yo continuas en su dominio
Teorema 25 Sean empty = A sub y la funciacute on f A minusrarr Si la funciacute on f es estrictamente creciente sobre A
entonces f es una funciacute on inyectiva y su funcion inversa f lowast tambien es estrictamente creciente sobre Ran(f )
Teorema 26 Sean empty = A sub
y la funci on f A minusrarr
Si la funci on f es estrictamente decreciente sobre A
entonces f es una funciacute on inyectiva y su funciacute on inversa f lowast tambien es estrictamente decreciente sobre Ran(f )
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La derivada de una funcion real de variable real
Y Y
X X
f
f
f
f
Teorema 27 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr
Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩
con f
prime
(x) gt 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es estrictamente creciente sobre [a b]
Teorema 28 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩
con f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es estrictamente decreciente sobre [a b]
X X
a
a b
b
Observaciones
1 Del teorema 27 si la pendiente de todas las rectas tangente a la grafica de la funcion sobre ⟨a b⟩ es positiva
entonces la funcion es estrictamente creciente sobre [a b]
2 Del teorema 28 si la pendiente de todas las rectas tangente a la grafica de la funcion sobre ⟨a b⟩ es negativa
entonces la funcion es estrictamente decreciente sobre [a b]
Teorema 29 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr
Si la funcion f es continua sobre [a b] y es inyectiva en [a b]
entonces f es estrictamente creciente o estrictamente decreciente sobre [a b] pero no ambos
X X
a
a b
b
f ab
ab
es continua e inyectiva sobre [ ]en este caso es creciente sobre [ ]
f ab
ab
es continua e inyectiva sobre [ ]en este caso es decreciente sobre [ ]
f f
Teorema 210 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funciacute on f es continua y estrictamente creciente sobre
[a b] entonces Ran(f ) =1048667
f (a) f (b)1048669
y su funciacute on inversa f lowast 1048667
f (a) f (b)1048669 minusrarr
es tambien continua y
estrictamente creciente sobre [a b]
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La derivada de una funcion real de variable real
Teorema 211 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funcion f es continua y estrictamente decreciente sobre
[a b] entonces Ran(f ) =1048667
f (b) f (a)1048669
y su funciacute on inversa f lowast 1048667
f (b) f (a)1048669 minusrarr
es tambien continua y
estrictamente decreciente sobre [a b]
Teorema 212 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre
⟨a b⟩ con f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es no decreciente sobre [a b]
Teorema 213 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre
⟨a b⟩ con f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es no creciente sobre [a b]
Teorema 214 (de la funcion constante) Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre
[a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩ con f prime(x) = 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es constante sobre [a b] es decir
existe una constante C tal que f (x) = C para todo [a b]
Teorema 215 (de la diferencia constante) Sean las funciones f [a b] minusrarr
y f [a b] minusrarr
Si las
funciones f y g son continuas sobre [a b] y es derivables sobre ⟨a b⟩ con f prime(x) = g prime(x) para todo x isin ⟨a b⟩entonces existe una constante C tal que f (x) = g(x) + C para todo [a b]
Definicion 29 (Punto crıtico) Sean I un intervalo de
x0 un punto de I y la funciacute on f I minusrarr
El
punto x0 es un punto crıtico de la funciacute on f I minusrarr si x0 satisface alguna de las siguientes condiciones
a) f prime(x0) = 0 o b) f prime(x0) = 0 no existe o c) f tiene un extremo en x0
Observaciones
1 Si x0 es un punto crıtico de la funcion f no podemos concluir con certeza una de las condiciones mencionadas
2 Si x0 es un punto crıtico de la funcion f y f prime(x0) = 0 no podemos concluir con certeza que f tiene un
extremo en dicho punto
Por ejemplo sea la funcion f [1 3] minusrarr definida
por f (x) = (x minus 2)3 cuya funcion derivada es
f prime ⟨1 3⟩ minusrarr
983087 f prime(x) = 3(x minus 2)2
En x0 = 2 tenemos f prime(x0) = 0 pero f no tiene
maximo ni mınimo en 2 f tiene un mınimo en 1
y un maximo en 3 por tanto 1 2 y 3 son puntos
crıticos de f
Y
X
1
2
Ejercicio 7 Hal le los puntos crıticos de las siguientes funciones
1 f
minusrarr que estacute a definida por
f (x) = 1
4(x4 minus 6x2 + 8x) + 5
2 f
minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = 3
radic (x + 4)2(x minus 5)
3 f
minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = 5x23 minus x53
4 f
minusrarr
que estacute a definida por f (x) = x + 1
x2 + 1
5 f
minus 1 minusrarr que estacute a definida por
f (x) = x3 minus 2
(x minus 1)2
6 f
minusrarr
que estacute a definida por f (x) = x2 + 3radic
x2 + 1
7 f [minusπ2
π2
] minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = sin2 x minus |x|
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La derivada de una funcion real de variable real
231 Criterio de la primera derivada para extremos de una funcion
Aquı presentamos un criterio que nos ayuda a determinar si un punto crıtico es aquel en donde una funcion
alcanza su valor maximo o mınimo
Teorema 216 (Criterio de la primera derivada) Sean la funciacute on f A minusrarr
el intervalo [a b] contenido
en A y x0
isin ⟨a b
⟩ un punto crıtico de f
1 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f tiene un macute aximo en el punto x0
2 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f tiene un mınimo en el punto x0
3 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) gt 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) gt 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f no tiene macute aximo ni mınimo en el punto x0
4 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f no tiene macute aximo ni mınimo en el punto x0
X X
a bx 0a bx 0
f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0lt gt f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0gt lt
f
f
f tiene un maacuteximo en x 0 f tiene un miacutenimo en x 0
X X a bx 0a bx 0
f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0lt lt f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0gt gt
f f
f no tiene un extremo en x 0 f no tiene un extremo en x 0
Observaciones
1 Al ser x0 un punto crıtico de f el criterio de la primera derivada no garantiza que exista f prime(x0)
2 El criterio de la primera derivada requiere que f sea derivable en ⟨a x0⟩ cup ⟨x0 b⟩ mas no en x0
3 Un metodo que nos permite hallar puntos crıticos de la funcion f en [a b] es resolver la ecuacion f prime(x) = 0
sujeta a la condicion x isin ⟨a b⟩ pero tal metodo solo nos proporciona todos los puntos crıticos de f que
cumple la primera condicion dada en la definicion 29
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La derivada de una funcion real de variable real
4 Los graficos anteriores presentan al punto crıtico x0 de f en el cual existe f prime(x0) y es igual a cero es mas
en los dos primeros graficos la recta tangente en el punto (x0 f (x0)) es horizontal iquestCual es el aspecto de
la grafica de f si es que no existiera f prime(x0)
5 Sea x0 isin ⟨a b⟩ un punto crıtico de la funcion f Al utilizar el criterio de la primera derivada para averiguar
si f tiene maximo o mınimo en x0 es necesario resolver las inecuaciones f prime(x) lt 0 y f prime(x) gt 0 sujetas
a la restriccion x isin ⟨a b⟩ tales procesos son sencillos para algunas funciones pero existen funciones paralos cuales tales resoluciones son complicadas y ahı el criterio de la primera derivada no es recomendable
utilizarlo pero tal deficiencia se supera utilizando otro criterio para determinar extremo de una funcion
6 El criterio de la primera derivada tambien es aplicable cuando en lugar del intervalo ⟨a b⟩ se considera a
otros tipos de intervalos abiertos si es que estan contenidos en el dominio de la funcion
Por ejemplo para la funcion f
minusrarr
definida por f (x) = x2 su unico punto crıtico es x0 = 0 f prime(x) lt 0
para todo x lt 0 y f prime(x) gt 0 para todo x gt 0 por tanto f tiene un mınimo en 0 y su valor mınimo es
f (0) = 0
232 Criterio de la segunda derivada para extremos de una funcion
Aquı presentamos otro criterio que nos ayuda a determinar si un punto crıtico es aquel en donde una funcion
alcanza su valor maximo o mınimo este metodo requiere la existencia de la segunda de la funcion en su punto
crıtico
Teorema 217 (Criterio de la segunda derivada) Sean la funciacute on f A minusrarr
el intervalo [a b] contenido
en A y x0 isin ⟨a b⟩ un punto crıtico de f para el cual f primeprime(x0) existe
1 Si la funciacute on f es derivable en ⟨a b⟩ f prime(x0) = 0 y f primeprime(x0) lt 0 entonces f tiene un macute aximo en el punto x0
2 Si la funciacute on f es derivable en
⟨a b
⟩ f prime(x0) = 0 y f primeprime(x0) gt 0 entonces f tiene un mınimo en el punto x0
X X
a bx 0a bx 0
f a b f f es derivable en ( ) 0 ( ) 0 x x 0 0= lt f a b f f es derivable en ( ) 0 ( ) 0 x x 0 0= gt
f
f
f tiene un maacuteximo en x 0 f tiene un miacutenimo en x 0
Observaciones
1 Los graficos anteriores presentan al punto crıtico x0 de f en el cual existe f primeprime(x0) y es diferente a cero
2 El criterio de la segunda derivada tambien es aplicable cuando en lugar del intervalo ⟨a b⟩ se considera a
otros tipos de intervalos abiertos si es que estan contenidos en el dominio de la funcion
Por ejemplo para la funcion f
minusrarr
definida por f (x) = x2 su unico punto crıtico es x0 = 0 y
f primeprime(0) = 2 gt 0 por tanto f tiene un mınimo en 0 y su valor mınimo es f (0) = 0
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La derivada de una funcion real de variable real
24 Concavidad y puntos de inflexion
25 La regla de Lrsquo Hospital
3 Aplicaciones de la derivada
31 Trazado de grafica de funciones
32 Derivadas parametricas
321 Regla de la cadena
33 Diferencial de una funcion
34 Razon de cambio
Indice
1 La derivada 111 Derivadas laterales 4
12 Derivacion y continuidad 5
13 Derivadas de orden superior 7
131 Notacion de derivadas 7
132 El operador d
dx 8
133 La segunda derivada 10
134 Derivada de ordenes mayores a dos 10
135 Notacion de derivadas de ordenes superiores 11
14 Derivadas implıcitas 12
141 Ecuaciones diferenciales ordinarias de lugares geometricos 13
15 Funciones derivables 18
151 Funciones derivables en un intervalo 18
152 Funciones de clase C k 19
153 Funciones no derivables 19
2 Teoremas sobre funciones derivables 21
21 Extremos relativos de una funcion 21
22 El teorema del valor medio 24
23 Funciones crecientes y decrecientes 26
231 Criterio de la primera derivada para extremos de una funcion 29
232 Criterio de la segunda derivada para extremos de una funcion 30
24 Concavidad y puntos de inflexion 31
25 La regla de Lrsquo Hospital 31
3 Aplicaciones de la derivada 31
31 Trazado de grafica de funciones 31
32 Derivadas parametricas 31
321 Regla de la cadena 31
33 Diferencial de una funcion 31
34 Razon de cambio 31
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La derivada de una funcion real de variable real
6 Sea I un intervalo abierto Si la funcion f I minusrarr es derivable su funcion derivada f prime I minusrarr tendra el
mismo dominio que f
7 Sea I un intervalo abierto Si la funcion f I minusrarr
es k veces derivable su funcion kndashesima derivada
f (k) I minusrarr
tendra el mismo dominio que f
8 Sea I un intervalo no abierto Si la funcion f I minusrarr
es derivable su funcion derivada f prime J minusrarr
tendra como dominio al interior de I
152 Funciones de clase C k
Sea I un intervalo de
Si la funcion f I minusrarr
es derivable en I entonces es continua en I pero
posiblemente la funcion derivada f prime J minusrarr
no sea continua en I J = int (I )
Definicion 114 Sea I un intervalo de Si la funcion f I minusrarr es continua en I diremos que ldquo f rdquo es una
funciacute on de clase cero C 0 sobre I
⋆ Si ldquof rdquo es una funcion de clase C 0 sobre I lo denotamos por f
isin C 0(I )
Definicion 115 Sea I un intervalo abierto de
Si la funciacute on f I minusrarr
es derivable en I y la funciacute on
f prime I minusrarr es continua en I diremos que f es continuamente derivable en I o simplemente la funciacute on ldquo f rdquo es
de clase C 1 sobre I
⋆ Si ldquof rdquo es una funcion de clase C 1 sobre I lo denotamos por f isin C 1(I )
Definicion 116 Sea I un intervalo abierto de
La funcion f I minusrarr
es de clase C k sobre el intervalo I
si es k veces derivable sobre I y la funciacute on f (k) I minusrarr
es continua en I
⋆ Si ldquof rdquo es una funcion de clase C k sobre I lo denotamos por f
isin C k(I )
Definicion 117 Sea I un intervalo abierto de La funciacute on f I minusrarr es de clase C infin sobre el intervalo I
si existe f (n) para todo n isin 0 1 2 middot middot middot
⋆ Si ldquof rdquo es una funcion de clase C infin sobre I lo denotamos por f isin C infin(I )
Ejemplo 117
1 La funcion f
minusrarr
definida por f (x) = ex es de clase C infin sobre
Con la notaciones presentadas
tenemos la pertenencia f isin C infin(
)
2 La funcion f minusrarr
definida por f (x) = p(x) donde p(x) es un polinomio es de clase C infin
sobre
Conla notaciones presentadas tenemos la pertenencia f isin C infin( )
3 La funcion f [0 +infin⟩ minusrarr definida por f (x) =
radic x es de clase C infin sobre ⟨0 +infin⟩ Con la notaciones
presentadas tenemos la pertenencia f isin C infin983080
[0 +infin⟩983081
153 Funciones no derivables
Sea f una funcion cuyo dominio sea el conjunto A sub
Si f es derivable en el punto a isin A entonces la
grafica de f en su punto (a f (a)) tiene una unica recta tangente La idea de recta tangente en este caso no es
la misma que usted tiene a cerca de una recta tangente a una circunferencia en donde ellos tienen un unico
punto en comun es decir si la recta L es tangente a la circunferencia C entonces L y C tienen un unico punto
en comun llamado punto de tangencia Mientras que si L es una recta tangente a la grafica de la funcion f
es posible que ellos tengan otro punto en comun a parte del punto de tangencia la idea de tangencia que se
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La derivada de una funcion real de variable real
expone es local y no global en el sentido de que si L es una recta tangente a la grafica de la funcion f el punto
de tangencia es unico cerca de el especıficamente La recta L es una tangente a la grafica de la funcion f en su
punto (a f (a)) si existe un cırculo de centro (a f (a)) dentro del cual L y la grafica de la funcion f tienen un
unico punto en comun y los puntos de la grafica de f que pertenecen al cırculo estan a un solo lado de L Y si
ademas la funcion f es derivable en a la pendiente de L es f prime(a)
X
Y
L L L
y f x ( )=a
X
Y
L L L
y f x ( )=a
Si una funcion f es continua en un punto a no siempre sera derivable en dicho punto existe la posibilidad de
que lo sea como tambien que no como por ejemplo
La funcion f ⟨0 2⟩ minusrarr
definida por f (x) =
983163 2x si 0 lt x lt 1
2 si 1 le x lt 2es continua en el punto a = 1 pero
no es derivable en dicho punto pues no existe f prime(1) La existencia de la derivada f prime(1) implica que la grafica
de la funcion f tiene una unica recta tangente en el punto (1 f (1)) la no existencia de f prime(1) implica que la
grafica de la funcion f tiene una varias rectas en ese punto o no en este ejemplo como veremos gr aficamente
la funcion f posee varia rectas tangentes en su punto (1 f (1))
X
Y
y f x ( )=
1 2
X
Y
L L L
y x 2=
y x 3=
1
2
3
Grafico de f (x) =983163 2x si 0 lt x lt 1
2 si 1 le x lt 2 Grafico de f (x) =
x2 si
minus1 lt x lt 1
2x3
3 si 1 le x lt 2
Si una funcion f es derivable en un punto a entonces por el teorema 17 sera continua en dicho punto por
ejemplo la funcion f ⟨0 2⟩ minusrarr
f (x) =
x2 si minus1 lt x lt 1
2x3
3 si 1 le x lt 2
es derivable en a = 1 mas aun es
continua en dicho punto Es mas la grafica de f tiene una unica recta tangente en su punto (1 f (1))
De acuerdo al teorema 16 una funcion es no derivable en el punto ldquoardquo si f primeminus
(a) = f prime+(a) o una de la
derivadas laterales f primeminus
(a) f prime+(a) no existe Y de acuerdo al teorema 17 si f no es continua en el punto ldquoardquo
entonces no es derivable en ese punto
Los siguientes son ejemplos graficos de funciones no derivables en un punto
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La derivada de una funcion real de variable real
X X
Y Y
a a b
y f x = ( ) y f x = ( )
f a f a bno es derivable en no es derivable en y
f a
f b
es derivable en por derecha
es derivable en por izquierda
2 Teoremas sobre funciones derivables
21 Extremos relativos de una funcion
Definicion 21 Sean empty = X sub
y m isin
Diremos que ldquo mrdquo es el mınimo del conjunto X si m isin X y m le x
para todo x isin X
Definicion 22 Sean empty = X sub
y M isin
Diremos que ldquo M rdquo es el macute aximo del conjunto X si M isin X y
M ge x para todo x isin X
Observaciones
1 No todo subconjunto no vacıo de
posee maximo yo mınimo
2 Si un subconjunto no vacıo de
posee maximo yo mınimo este es unico y ademas es uno de los elementos
del conjunto
3 Si ldquomrdquo es el mınimo del conjunto X entonces lo denotamos por m = mın X
4 Si ldquoM rdquo es el maximo del conjunto X entonces lo denotamos por M = max X
5 Si m = mın X y M = max X entonces m le M y ademas m le x le M para todo x isin X
Ejemplo 21
1 El conjunto de los numeros naturales posee mınimo y es 1 es decir 1 = mın pero no posee maximo
2 El conjunto
el de los numeros enteros no posee ni maximo ni mınimo El conjunto
el de los numeros
racionales no posee ni maximo ni mınimo
3 Veamos algunos intervalos
a) Los intervalos ⟨a b⟩ ⟨a b] ⟨a +infin⟩ no poseen mınimo
b) Los intervalos ⟨a b⟩ [a b⟩ ⟨minusinfin b⟩ no poseen maximo
c) a = mın[a b] a = mın[a b⟩ a = mın[a +infin⟩
d) b = max[a b] b = max⟨a b] b = max⟨minusinfin b]
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La derivada de una funcion real de variable real
Definicion 23 Sean empty = A sub f A minusrarr una funciacute on y x0 isin A
1 La funciacute on ldquo f rdquo tiene un mınimo absoluto en x0 si f (x0) le f (x) para todo x isin A
2 La funciacute on ldquo f rdquo tiene un macute aximo absoluto en x0 si f (x) le f (x0) para todo x isin A
3 La funci on ldquo f rdquo tiene un mınimo relativo en x0 si existe un δ gt 0 tal que f (x0) le f (x) para todo
x isin A cap ⟨x0 minus δ x0 + δ ⟩
4 La funci on ldquo f rdquo tiene un macute aximo relativo en x0 si existe un δ gt 0 tal que f (x) le f (x0) para todo
x isin A cap ⟨x0 minus δ x0 + δ ⟩
Observaciones Sean empty = A sub
f A minusrarr
una funcion y x0 isin A
1 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo relativo en x0 diremos tambien que f tiene un mınimo local en x0
2 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo relativo en x0 diremos tambien que f tiene un maximo local en x0
3 La funcion ldquof rdquo tiene un extremo absoluto en x0 si tiene un mınimo o maximo absoluto en dicho punto
4 La funcion ldquof rdquo tiene un extremo relativo en x0 si tiene un mınimo o maximo relativo en dicho punto
5 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo absoluto en x0 entonces f (x0) es el mınimo del rango de la funcion es
decir
f (x0) = mın Ran (f )
Al numero f (x0) lo denominaremos el valor mınimo de f en su dominio
6 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo absoluto en x0 entonces f (x0) es el maximo del rango de la funcion es
decir
f (x0) = max Ran (f )
Al numero f (x0) lo denominaremos el valor maximo de f en su dominio
7 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo relativo en x0 entonces f no siempre tendra un mınimo absoluto en x0
Una funcion puede poseer un mınimo relativo sin tener un mınimo absoluto
8 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo relativo en x0 entonces f no siempre tendra un maximo absoluto en
x0 Una funcion puede poseer un maximo relativo sin tener un maximo absoluto
9 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo absoluto en x0 entonces f tiene un mınimo relativo en dicho punto Lo
contrario no siempre es cierto
En la figura la funcion f minusrarr tiene maximo
relativo en x = 0 pero no posee maximo absolutoen su dominio
En la figura la funcion g minusrarr tiene mınimo
relativo en x = 0 pero no posee mınimo absolutoen su dominio
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La derivada de una funcion real de variable real
10 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo absoluto en x0 entonces f tiene un maximo relativo en dicho punto Lo
contrario no siempre es cierto
11 Una funcion puede tener extremos absolutos en mas de un punto vea el siguiente grafico
En la figura la funcion f
minusrarr
tiene mınimo
absoluto en dos puntos diferentes
En la figura la funcion g
minusrarr
tiene maximo
absoluto en dos puntos diferentes
12 La funcion ldquof rdquo tiene un extremo en el punto x0 si tiene un maximo o mınimo absoluto o relativo en dicho
punto
Y Y
X X
figura (a) figura (b)
x x x x 0 1 2 3 4 5 6x x x x x x x x x x 0 1 2 3 4 5 6
y f x = ( )
y f x = ( )
En la figura (a) Dom(f ) = [x0 x6] la funcion tiene
un mınimo absoluto en el punto x2 y maximo absolu-
to en el punto x5 mientras que tiene mınimo relativo
en los puntos x0 x2 x4 y x6 y maximo relativo en
los puntos x1 x3 y x5
En la figura (b) Dom (f ) = [x0 x6⟩minusx3 la funcion
no tiene mınimo absoluto ni maximo absoluto mien-
tras que tiene mınimo relativo en los puntos x0 x2 y
x4 y maximo relativo en los puntos x1 y x5
Teorema 21 Si la funcion f tiene un extremo en x0 y f prime(x0) existe entonces f prime(x0) = 0
Observaciones
1 Lo contrario no siempre es cierto es decir si f prime(x0) = 0 entonces f no siempre tendra un extremo en x0
Un ejemplo simple es para f (x) = (x minus 2)3 en x0 = 2
2 Si la funcion f tiene un extremo en x0 y f prime
(x0) existe entonces la recta tangente a la grafica de la funcionen el punto
(x0 f (x0)
852009 en horizontal
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La derivada de una funcion real de variable real
3 Si la funcion f tiene un extremo en x0 y f prime(x0) no existe entonces o bien no existe recta tangente a la
grafica de la funcion en el punto(
x0 f (x0)852009
o existen infinitas rectas tangente a la grafica de la funcion en
el punto(
x0 f (x0)852009
pudiendo ser una de ellas una recta vertical
En la figura la funcion f
minusrarr
tiene un extremo
en x = 0 pero f prime(0) no existe ademas la grafica de
esta funcion posee infinitas rectas tangente en el pun-
to(
0 f (0)852009
En la figura la funcion g
minusrarr
tiene extremo en
los puntos x0 x1 existen g prime(x0) g prime(x1) y las rectas
tangente en(
x0 g(x0)852009
y(
x1 g(x1)852009
son horizontales
22 El teorema del valor medio
Teorema 22 (Teorema de Rolle) Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si f es continua en [a b] es derivable en
⟨a b⟩ y f (a) = f (b) entonces existe un c isin ⟨a b⟩ tal que f prime(c) = 0
Observaciones
1 Si la funcion f satisface las hipotesis del teorema de Rolle la existencia del punto c tales que f prime(c) = 0 no
siempre es unica pueden existir otros puntos del intervalo ⟨a b⟩ cuya primera derivada en esos puntos sea
cero
2 La condicion f (a) = f (b) indica que la recta que pasa por los puntos(
a f (a)852009
y(
b f (b)852009
es horizontal El
teorema garantiza la existencia de al menos un punto c isin ⟨a b⟩ tal que la recta tangente a la grafica de la
funcion f el punto(
c f (c)852009
tambien sea horizontal
X X
Y Y
y=f x( )
y=f x( )
figura (a) figura (b)
a c c b1 3 a b
c2
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La derivada de una funcion real de variable real
En la figura (a) la funcion f satisface las hipotesis del
teorema de Rolle por tanto en este caso existen pun-
tos c1 c2 y c3 del intervalo ⟨a b⟩ tal que f prime(c1) = 0
f prime(c2) = 0 y f prime(c3) = 0
En la figura (b) la funcion f no satisface las hipotesis
del teorema de Rolle en tanto no se garantiza la exis-
tencia de puntos del intervalo ⟨a b⟩ tal que la primera
derivada de f en esos puntos sea cero
Teorema 23 (El teorema del valor medio de Lagrange) Sea la funciacute on f [a b]
minusrarr
Si f es continua
en [a b] es derivable en ⟨a b⟩ entonces existe un c isin ⟨a b⟩ tal que
f prime(c) = f (b) minus f (a)
b minus a
Observaciones
1 Si la funcion f satisface las hipotesis del teorema del valor medio de Lagrange la existencia del punto c tales
que f prime(c) = f (b) minus f (a)
b minus a no siempre es unica pueden existir otros puntos del intervalo ⟨a b⟩ cuya primera
derivada en esos puntos sea igual a f (b) minus f (a)
b minus a
2 Sea L la recta que pasa por los puntos(
a f (a)852009
y(
b f (b)852009
el teorema garantiza la existencia de al menosun punto c isin ⟨a b⟩ tal que la recta tangente a la grafica de la funcion f el punto
(c f (c)
852009 sea paralela a L
Y Y
X X
y = f x ( ) y = f x ( )
f a ( )
f a ( )
f b( )
f b( )
figura (a) figura (b)
a c b1 b
c 2 a
L L L
L L L
En la figura (a) la funcion f satisface las hipotesis del
teorema de Lagrange por tanto en este caso existen
puntos c1 y c2 del intervalo ⟨a b⟩ tal que
f prime(c1) = f (b) minus f (a)
b minus a y f prime(c2) =
f (b) minus f (a)
b minus a
En la figura (b) la funcion f no satisface las hipotesis
del teorema de Lagrange en tanto no se garantiza
la existencia de puntos del intervalo ⟨a b⟩ tal que laprimera derivada en ese punto sea igual a
f (b) minus f (a)
b minus a
Teorema 24 (El teorema generalizado del valor medio de Cauchy) Sean las funciones f [a b] minusrarr
y g [a b] minusrarr
continuas en [a b] y derivables en ⟨a b⟩ con g(b) = g(a) y g prime(x) = 0 para todo x isin ⟨a b⟩
entonces existe un c isin ⟨a b⟩ tal que f prime(c)
g prime(c) =
f (b) minus f (a)
g(b) minus g(a)
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La derivada de una funcion real de variable real
23 Funciones crecientes y decrecientes
Definicion 24 (Funcion creciente) Sean empty = A sub
y la funciacute on f A minusrarr
Diremos que la funciacute on f
es creciente o estrictamente creciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) lt f (x2)
Definicion 25 (Funcion decreciente) Sean empty = A sub
y la funci on f A minusrarr
Diremos que la funcion f
es decreciente o estrictamente decreciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) gt f (x2)
Y Y
X X
f x ( )1
f x ( )1
x 1
x 1x 2
x 2
f x ( )2
f x ( )2
Graacutefico de una funcioacutenestrictamente creciente
Graacutefico de una funcioacutenestrictamente decreciente
Definicion 26 (Funcion no creciente) Sean empty = A sub y la funci on f A minusrarr
Diremos que la funciacute on
f es no creciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) ge f (x2)
Definicion 27 (Funcion no decreciente) Sean empty = A sub y la funciacute on f A minusrarr
Diremos que la
funciacute on f es no decreciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) le f (x2)
Y Y
X X
x 1 x 2 x 1 x 2
Graacutefico de una funcioacuten
no decreciente
Graacutefico de una funcioacuten
no creciente
Definicion 28 (Funcion monotona) Sean empty = A sub
y la funci on f A minusrarr
Diremos que la funciacute on f
es monacute otona sobre A si es creciente o decreciente o no creciente o no decreciente sobre A
Observaciones
1 Para definir funciones monotonas (crecientes decrecientes no crecientes o no decrecientes) no es necesario
saber la continuidad y la derivabilidad de la funcion en su dominio
2 Existen funciones monotonas que no son derivables yo continuas en su dominio
Teorema 25 Sean empty = A sub y la funciacute on f A minusrarr Si la funciacute on f es estrictamente creciente sobre A
entonces f es una funciacute on inyectiva y su funcion inversa f lowast tambien es estrictamente creciente sobre Ran(f )
Teorema 26 Sean empty = A sub
y la funci on f A minusrarr
Si la funci on f es estrictamente decreciente sobre A
entonces f es una funciacute on inyectiva y su funciacute on inversa f lowast tambien es estrictamente decreciente sobre Ran(f )
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La derivada de una funcion real de variable real
Y Y
X X
f
f
f
f
Teorema 27 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr
Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩
con f
prime
(x) gt 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es estrictamente creciente sobre [a b]
Teorema 28 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩
con f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es estrictamente decreciente sobre [a b]
X X
a
a b
b
Observaciones
1 Del teorema 27 si la pendiente de todas las rectas tangente a la grafica de la funcion sobre ⟨a b⟩ es positiva
entonces la funcion es estrictamente creciente sobre [a b]
2 Del teorema 28 si la pendiente de todas las rectas tangente a la grafica de la funcion sobre ⟨a b⟩ es negativa
entonces la funcion es estrictamente decreciente sobre [a b]
Teorema 29 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr
Si la funcion f es continua sobre [a b] y es inyectiva en [a b]
entonces f es estrictamente creciente o estrictamente decreciente sobre [a b] pero no ambos
X X
a
a b
b
f ab
ab
es continua e inyectiva sobre [ ]en este caso es creciente sobre [ ]
f ab
ab
es continua e inyectiva sobre [ ]en este caso es decreciente sobre [ ]
f f
Teorema 210 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funciacute on f es continua y estrictamente creciente sobre
[a b] entonces Ran(f ) =1048667
f (a) f (b)1048669
y su funciacute on inversa f lowast 1048667
f (a) f (b)1048669 minusrarr
es tambien continua y
estrictamente creciente sobre [a b]
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La derivada de una funcion real de variable real
Teorema 211 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funcion f es continua y estrictamente decreciente sobre
[a b] entonces Ran(f ) =1048667
f (b) f (a)1048669
y su funciacute on inversa f lowast 1048667
f (b) f (a)1048669 minusrarr
es tambien continua y
estrictamente decreciente sobre [a b]
Teorema 212 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre
⟨a b⟩ con f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es no decreciente sobre [a b]
Teorema 213 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre
⟨a b⟩ con f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es no creciente sobre [a b]
Teorema 214 (de la funcion constante) Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre
[a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩ con f prime(x) = 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es constante sobre [a b] es decir
existe una constante C tal que f (x) = C para todo [a b]
Teorema 215 (de la diferencia constante) Sean las funciones f [a b] minusrarr
y f [a b] minusrarr
Si las
funciones f y g son continuas sobre [a b] y es derivables sobre ⟨a b⟩ con f prime(x) = g prime(x) para todo x isin ⟨a b⟩entonces existe una constante C tal que f (x) = g(x) + C para todo [a b]
Definicion 29 (Punto crıtico) Sean I un intervalo de
x0 un punto de I y la funciacute on f I minusrarr
El
punto x0 es un punto crıtico de la funciacute on f I minusrarr si x0 satisface alguna de las siguientes condiciones
a) f prime(x0) = 0 o b) f prime(x0) = 0 no existe o c) f tiene un extremo en x0
Observaciones
1 Si x0 es un punto crıtico de la funcion f no podemos concluir con certeza una de las condiciones mencionadas
2 Si x0 es un punto crıtico de la funcion f y f prime(x0) = 0 no podemos concluir con certeza que f tiene un
extremo en dicho punto
Por ejemplo sea la funcion f [1 3] minusrarr definida
por f (x) = (x minus 2)3 cuya funcion derivada es
f prime ⟨1 3⟩ minusrarr
983087 f prime(x) = 3(x minus 2)2
En x0 = 2 tenemos f prime(x0) = 0 pero f no tiene
maximo ni mınimo en 2 f tiene un mınimo en 1
y un maximo en 3 por tanto 1 2 y 3 son puntos
crıticos de f
Y
X
1
2
Ejercicio 7 Hal le los puntos crıticos de las siguientes funciones
1 f
minusrarr que estacute a definida por
f (x) = 1
4(x4 minus 6x2 + 8x) + 5
2 f
minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = 3
radic (x + 4)2(x minus 5)
3 f
minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = 5x23 minus x53
4 f
minusrarr
que estacute a definida por f (x) = x + 1
x2 + 1
5 f
minus 1 minusrarr que estacute a definida por
f (x) = x3 minus 2
(x minus 1)2
6 f
minusrarr
que estacute a definida por f (x) = x2 + 3radic
x2 + 1
7 f [minusπ2
π2
] minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = sin2 x minus |x|
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La derivada de una funcion real de variable real
231 Criterio de la primera derivada para extremos de una funcion
Aquı presentamos un criterio que nos ayuda a determinar si un punto crıtico es aquel en donde una funcion
alcanza su valor maximo o mınimo
Teorema 216 (Criterio de la primera derivada) Sean la funciacute on f A minusrarr
el intervalo [a b] contenido
en A y x0
isin ⟨a b
⟩ un punto crıtico de f
1 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f tiene un macute aximo en el punto x0
2 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f tiene un mınimo en el punto x0
3 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) gt 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) gt 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f no tiene macute aximo ni mınimo en el punto x0
4 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f no tiene macute aximo ni mınimo en el punto x0
X X
a bx 0a bx 0
f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0lt gt f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0gt lt
f
f
f tiene un maacuteximo en x 0 f tiene un miacutenimo en x 0
X X a bx 0a bx 0
f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0lt lt f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0gt gt
f f
f no tiene un extremo en x 0 f no tiene un extremo en x 0
Observaciones
1 Al ser x0 un punto crıtico de f el criterio de la primera derivada no garantiza que exista f prime(x0)
2 El criterio de la primera derivada requiere que f sea derivable en ⟨a x0⟩ cup ⟨x0 b⟩ mas no en x0
3 Un metodo que nos permite hallar puntos crıticos de la funcion f en [a b] es resolver la ecuacion f prime(x) = 0
sujeta a la condicion x isin ⟨a b⟩ pero tal metodo solo nos proporciona todos los puntos crıticos de f que
cumple la primera condicion dada en la definicion 29
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La derivada de una funcion real de variable real
4 Los graficos anteriores presentan al punto crıtico x0 de f en el cual existe f prime(x0) y es igual a cero es mas
en los dos primeros graficos la recta tangente en el punto (x0 f (x0)) es horizontal iquestCual es el aspecto de
la grafica de f si es que no existiera f prime(x0)
5 Sea x0 isin ⟨a b⟩ un punto crıtico de la funcion f Al utilizar el criterio de la primera derivada para averiguar
si f tiene maximo o mınimo en x0 es necesario resolver las inecuaciones f prime(x) lt 0 y f prime(x) gt 0 sujetas
a la restriccion x isin ⟨a b⟩ tales procesos son sencillos para algunas funciones pero existen funciones paralos cuales tales resoluciones son complicadas y ahı el criterio de la primera derivada no es recomendable
utilizarlo pero tal deficiencia se supera utilizando otro criterio para determinar extremo de una funcion
6 El criterio de la primera derivada tambien es aplicable cuando en lugar del intervalo ⟨a b⟩ se considera a
otros tipos de intervalos abiertos si es que estan contenidos en el dominio de la funcion
Por ejemplo para la funcion f
minusrarr
definida por f (x) = x2 su unico punto crıtico es x0 = 0 f prime(x) lt 0
para todo x lt 0 y f prime(x) gt 0 para todo x gt 0 por tanto f tiene un mınimo en 0 y su valor mınimo es
f (0) = 0
232 Criterio de la segunda derivada para extremos de una funcion
Aquı presentamos otro criterio que nos ayuda a determinar si un punto crıtico es aquel en donde una funcion
alcanza su valor maximo o mınimo este metodo requiere la existencia de la segunda de la funcion en su punto
crıtico
Teorema 217 (Criterio de la segunda derivada) Sean la funciacute on f A minusrarr
el intervalo [a b] contenido
en A y x0 isin ⟨a b⟩ un punto crıtico de f para el cual f primeprime(x0) existe
1 Si la funciacute on f es derivable en ⟨a b⟩ f prime(x0) = 0 y f primeprime(x0) lt 0 entonces f tiene un macute aximo en el punto x0
2 Si la funciacute on f es derivable en
⟨a b
⟩ f prime(x0) = 0 y f primeprime(x0) gt 0 entonces f tiene un mınimo en el punto x0
X X
a bx 0a bx 0
f a b f f es derivable en ( ) 0 ( ) 0 x x 0 0= lt f a b f f es derivable en ( ) 0 ( ) 0 x x 0 0= gt
f
f
f tiene un maacuteximo en x 0 f tiene un miacutenimo en x 0
Observaciones
1 Los graficos anteriores presentan al punto crıtico x0 de f en el cual existe f primeprime(x0) y es diferente a cero
2 El criterio de la segunda derivada tambien es aplicable cuando en lugar del intervalo ⟨a b⟩ se considera a
otros tipos de intervalos abiertos si es que estan contenidos en el dominio de la funcion
Por ejemplo para la funcion f
minusrarr
definida por f (x) = x2 su unico punto crıtico es x0 = 0 y
f primeprime(0) = 2 gt 0 por tanto f tiene un mınimo en 0 y su valor mınimo es f (0) = 0
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La derivada de una funcion real de variable real
24 Concavidad y puntos de inflexion
25 La regla de Lrsquo Hospital
3 Aplicaciones de la derivada
31 Trazado de grafica de funciones
32 Derivadas parametricas
321 Regla de la cadena
33 Diferencial de una funcion
34 Razon de cambio
Indice
1 La derivada 111 Derivadas laterales 4
12 Derivacion y continuidad 5
13 Derivadas de orden superior 7
131 Notacion de derivadas 7
132 El operador d
dx 8
133 La segunda derivada 10
134 Derivada de ordenes mayores a dos 10
135 Notacion de derivadas de ordenes superiores 11
14 Derivadas implıcitas 12
141 Ecuaciones diferenciales ordinarias de lugares geometricos 13
15 Funciones derivables 18
151 Funciones derivables en un intervalo 18
152 Funciones de clase C k 19
153 Funciones no derivables 19
2 Teoremas sobre funciones derivables 21
21 Extremos relativos de una funcion 21
22 El teorema del valor medio 24
23 Funciones crecientes y decrecientes 26
231 Criterio de la primera derivada para extremos de una funcion 29
232 Criterio de la segunda derivada para extremos de una funcion 30
24 Concavidad y puntos de inflexion 31
25 La regla de Lrsquo Hospital 31
3 Aplicaciones de la derivada 31
31 Trazado de grafica de funciones 31
32 Derivadas parametricas 31
321 Regla de la cadena 31
33 Diferencial de una funcion 31
34 Razon de cambio 31
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La derivada de una funcion real de variable real
expone es local y no global en el sentido de que si L es una recta tangente a la grafica de la funcion f el punto
de tangencia es unico cerca de el especıficamente La recta L es una tangente a la grafica de la funcion f en su
punto (a f (a)) si existe un cırculo de centro (a f (a)) dentro del cual L y la grafica de la funcion f tienen un
unico punto en comun y los puntos de la grafica de f que pertenecen al cırculo estan a un solo lado de L Y si
ademas la funcion f es derivable en a la pendiente de L es f prime(a)
X
Y
L L L
y f x ( )=a
X
Y
L L L
y f x ( )=a
Si una funcion f es continua en un punto a no siempre sera derivable en dicho punto existe la posibilidad de
que lo sea como tambien que no como por ejemplo
La funcion f ⟨0 2⟩ minusrarr
definida por f (x) =
983163 2x si 0 lt x lt 1
2 si 1 le x lt 2es continua en el punto a = 1 pero
no es derivable en dicho punto pues no existe f prime(1) La existencia de la derivada f prime(1) implica que la grafica
de la funcion f tiene una unica recta tangente en el punto (1 f (1)) la no existencia de f prime(1) implica que la
grafica de la funcion f tiene una varias rectas en ese punto o no en este ejemplo como veremos gr aficamente
la funcion f posee varia rectas tangentes en su punto (1 f (1))
X
Y
y f x ( )=
1 2
X
Y
L L L
y x 2=
y x 3=
1
2
3
Grafico de f (x) =983163 2x si 0 lt x lt 1
2 si 1 le x lt 2 Grafico de f (x) =
x2 si
minus1 lt x lt 1
2x3
3 si 1 le x lt 2
Si una funcion f es derivable en un punto a entonces por el teorema 17 sera continua en dicho punto por
ejemplo la funcion f ⟨0 2⟩ minusrarr
f (x) =
x2 si minus1 lt x lt 1
2x3
3 si 1 le x lt 2
es derivable en a = 1 mas aun es
continua en dicho punto Es mas la grafica de f tiene una unica recta tangente en su punto (1 f (1))
De acuerdo al teorema 16 una funcion es no derivable en el punto ldquoardquo si f primeminus
(a) = f prime+(a) o una de la
derivadas laterales f primeminus
(a) f prime+(a) no existe Y de acuerdo al teorema 17 si f no es continua en el punto ldquoardquo
entonces no es derivable en ese punto
Los siguientes son ejemplos graficos de funciones no derivables en un punto
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La derivada de una funcion real de variable real
X X
Y Y
a a b
y f x = ( ) y f x = ( )
f a f a bno es derivable en no es derivable en y
f a
f b
es derivable en por derecha
es derivable en por izquierda
2 Teoremas sobre funciones derivables
21 Extremos relativos de una funcion
Definicion 21 Sean empty = X sub
y m isin
Diremos que ldquo mrdquo es el mınimo del conjunto X si m isin X y m le x
para todo x isin X
Definicion 22 Sean empty = X sub
y M isin
Diremos que ldquo M rdquo es el macute aximo del conjunto X si M isin X y
M ge x para todo x isin X
Observaciones
1 No todo subconjunto no vacıo de
posee maximo yo mınimo
2 Si un subconjunto no vacıo de
posee maximo yo mınimo este es unico y ademas es uno de los elementos
del conjunto
3 Si ldquomrdquo es el mınimo del conjunto X entonces lo denotamos por m = mın X
4 Si ldquoM rdquo es el maximo del conjunto X entonces lo denotamos por M = max X
5 Si m = mın X y M = max X entonces m le M y ademas m le x le M para todo x isin X
Ejemplo 21
1 El conjunto de los numeros naturales posee mınimo y es 1 es decir 1 = mın pero no posee maximo
2 El conjunto
el de los numeros enteros no posee ni maximo ni mınimo El conjunto
el de los numeros
racionales no posee ni maximo ni mınimo
3 Veamos algunos intervalos
a) Los intervalos ⟨a b⟩ ⟨a b] ⟨a +infin⟩ no poseen mınimo
b) Los intervalos ⟨a b⟩ [a b⟩ ⟨minusinfin b⟩ no poseen maximo
c) a = mın[a b] a = mın[a b⟩ a = mın[a +infin⟩
d) b = max[a b] b = max⟨a b] b = max⟨minusinfin b]
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La derivada de una funcion real de variable real
Definicion 23 Sean empty = A sub f A minusrarr una funciacute on y x0 isin A
1 La funciacute on ldquo f rdquo tiene un mınimo absoluto en x0 si f (x0) le f (x) para todo x isin A
2 La funciacute on ldquo f rdquo tiene un macute aximo absoluto en x0 si f (x) le f (x0) para todo x isin A
3 La funci on ldquo f rdquo tiene un mınimo relativo en x0 si existe un δ gt 0 tal que f (x0) le f (x) para todo
x isin A cap ⟨x0 minus δ x0 + δ ⟩
4 La funci on ldquo f rdquo tiene un macute aximo relativo en x0 si existe un δ gt 0 tal que f (x) le f (x0) para todo
x isin A cap ⟨x0 minus δ x0 + δ ⟩
Observaciones Sean empty = A sub
f A minusrarr
una funcion y x0 isin A
1 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo relativo en x0 diremos tambien que f tiene un mınimo local en x0
2 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo relativo en x0 diremos tambien que f tiene un maximo local en x0
3 La funcion ldquof rdquo tiene un extremo absoluto en x0 si tiene un mınimo o maximo absoluto en dicho punto
4 La funcion ldquof rdquo tiene un extremo relativo en x0 si tiene un mınimo o maximo relativo en dicho punto
5 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo absoluto en x0 entonces f (x0) es el mınimo del rango de la funcion es
decir
f (x0) = mın Ran (f )
Al numero f (x0) lo denominaremos el valor mınimo de f en su dominio
6 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo absoluto en x0 entonces f (x0) es el maximo del rango de la funcion es
decir
f (x0) = max Ran (f )
Al numero f (x0) lo denominaremos el valor maximo de f en su dominio
7 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo relativo en x0 entonces f no siempre tendra un mınimo absoluto en x0
Una funcion puede poseer un mınimo relativo sin tener un mınimo absoluto
8 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo relativo en x0 entonces f no siempre tendra un maximo absoluto en
x0 Una funcion puede poseer un maximo relativo sin tener un maximo absoluto
9 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo absoluto en x0 entonces f tiene un mınimo relativo en dicho punto Lo
contrario no siempre es cierto
En la figura la funcion f minusrarr tiene maximo
relativo en x = 0 pero no posee maximo absolutoen su dominio
En la figura la funcion g minusrarr tiene mınimo
relativo en x = 0 pero no posee mınimo absolutoen su dominio
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La derivada de una funcion real de variable real
10 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo absoluto en x0 entonces f tiene un maximo relativo en dicho punto Lo
contrario no siempre es cierto
11 Una funcion puede tener extremos absolutos en mas de un punto vea el siguiente grafico
En la figura la funcion f
minusrarr
tiene mınimo
absoluto en dos puntos diferentes
En la figura la funcion g
minusrarr
tiene maximo
absoluto en dos puntos diferentes
12 La funcion ldquof rdquo tiene un extremo en el punto x0 si tiene un maximo o mınimo absoluto o relativo en dicho
punto
Y Y
X X
figura (a) figura (b)
x x x x 0 1 2 3 4 5 6x x x x x x x x x x 0 1 2 3 4 5 6
y f x = ( )
y f x = ( )
En la figura (a) Dom(f ) = [x0 x6] la funcion tiene
un mınimo absoluto en el punto x2 y maximo absolu-
to en el punto x5 mientras que tiene mınimo relativo
en los puntos x0 x2 x4 y x6 y maximo relativo en
los puntos x1 x3 y x5
En la figura (b) Dom (f ) = [x0 x6⟩minusx3 la funcion
no tiene mınimo absoluto ni maximo absoluto mien-
tras que tiene mınimo relativo en los puntos x0 x2 y
x4 y maximo relativo en los puntos x1 y x5
Teorema 21 Si la funcion f tiene un extremo en x0 y f prime(x0) existe entonces f prime(x0) = 0
Observaciones
1 Lo contrario no siempre es cierto es decir si f prime(x0) = 0 entonces f no siempre tendra un extremo en x0
Un ejemplo simple es para f (x) = (x minus 2)3 en x0 = 2
2 Si la funcion f tiene un extremo en x0 y f prime
(x0) existe entonces la recta tangente a la grafica de la funcionen el punto
(x0 f (x0)
852009 en horizontal
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La derivada de una funcion real de variable real
3 Si la funcion f tiene un extremo en x0 y f prime(x0) no existe entonces o bien no existe recta tangente a la
grafica de la funcion en el punto(
x0 f (x0)852009
o existen infinitas rectas tangente a la grafica de la funcion en
el punto(
x0 f (x0)852009
pudiendo ser una de ellas una recta vertical
En la figura la funcion f
minusrarr
tiene un extremo
en x = 0 pero f prime(0) no existe ademas la grafica de
esta funcion posee infinitas rectas tangente en el pun-
to(
0 f (0)852009
En la figura la funcion g
minusrarr
tiene extremo en
los puntos x0 x1 existen g prime(x0) g prime(x1) y las rectas
tangente en(
x0 g(x0)852009
y(
x1 g(x1)852009
son horizontales
22 El teorema del valor medio
Teorema 22 (Teorema de Rolle) Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si f es continua en [a b] es derivable en
⟨a b⟩ y f (a) = f (b) entonces existe un c isin ⟨a b⟩ tal que f prime(c) = 0
Observaciones
1 Si la funcion f satisface las hipotesis del teorema de Rolle la existencia del punto c tales que f prime(c) = 0 no
siempre es unica pueden existir otros puntos del intervalo ⟨a b⟩ cuya primera derivada en esos puntos sea
cero
2 La condicion f (a) = f (b) indica que la recta que pasa por los puntos(
a f (a)852009
y(
b f (b)852009
es horizontal El
teorema garantiza la existencia de al menos un punto c isin ⟨a b⟩ tal que la recta tangente a la grafica de la
funcion f el punto(
c f (c)852009
tambien sea horizontal
X X
Y Y
y=f x( )
y=f x( )
figura (a) figura (b)
a c c b1 3 a b
c2
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La derivada de una funcion real de variable real
En la figura (a) la funcion f satisface las hipotesis del
teorema de Rolle por tanto en este caso existen pun-
tos c1 c2 y c3 del intervalo ⟨a b⟩ tal que f prime(c1) = 0
f prime(c2) = 0 y f prime(c3) = 0
En la figura (b) la funcion f no satisface las hipotesis
del teorema de Rolle en tanto no se garantiza la exis-
tencia de puntos del intervalo ⟨a b⟩ tal que la primera
derivada de f en esos puntos sea cero
Teorema 23 (El teorema del valor medio de Lagrange) Sea la funciacute on f [a b]
minusrarr
Si f es continua
en [a b] es derivable en ⟨a b⟩ entonces existe un c isin ⟨a b⟩ tal que
f prime(c) = f (b) minus f (a)
b minus a
Observaciones
1 Si la funcion f satisface las hipotesis del teorema del valor medio de Lagrange la existencia del punto c tales
que f prime(c) = f (b) minus f (a)
b minus a no siempre es unica pueden existir otros puntos del intervalo ⟨a b⟩ cuya primera
derivada en esos puntos sea igual a f (b) minus f (a)
b minus a
2 Sea L la recta que pasa por los puntos(
a f (a)852009
y(
b f (b)852009
el teorema garantiza la existencia de al menosun punto c isin ⟨a b⟩ tal que la recta tangente a la grafica de la funcion f el punto
(c f (c)
852009 sea paralela a L
Y Y
X X
y = f x ( ) y = f x ( )
f a ( )
f a ( )
f b( )
f b( )
figura (a) figura (b)
a c b1 b
c 2 a
L L L
L L L
En la figura (a) la funcion f satisface las hipotesis del
teorema de Lagrange por tanto en este caso existen
puntos c1 y c2 del intervalo ⟨a b⟩ tal que
f prime(c1) = f (b) minus f (a)
b minus a y f prime(c2) =
f (b) minus f (a)
b minus a
En la figura (b) la funcion f no satisface las hipotesis
del teorema de Lagrange en tanto no se garantiza
la existencia de puntos del intervalo ⟨a b⟩ tal que laprimera derivada en ese punto sea igual a
f (b) minus f (a)
b minus a
Teorema 24 (El teorema generalizado del valor medio de Cauchy) Sean las funciones f [a b] minusrarr
y g [a b] minusrarr
continuas en [a b] y derivables en ⟨a b⟩ con g(b) = g(a) y g prime(x) = 0 para todo x isin ⟨a b⟩
entonces existe un c isin ⟨a b⟩ tal que f prime(c)
g prime(c) =
f (b) minus f (a)
g(b) minus g(a)
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La derivada de una funcion real de variable real
23 Funciones crecientes y decrecientes
Definicion 24 (Funcion creciente) Sean empty = A sub
y la funciacute on f A minusrarr
Diremos que la funciacute on f
es creciente o estrictamente creciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) lt f (x2)
Definicion 25 (Funcion decreciente) Sean empty = A sub
y la funci on f A minusrarr
Diremos que la funcion f
es decreciente o estrictamente decreciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) gt f (x2)
Y Y
X X
f x ( )1
f x ( )1
x 1
x 1x 2
x 2
f x ( )2
f x ( )2
Graacutefico de una funcioacutenestrictamente creciente
Graacutefico de una funcioacutenestrictamente decreciente
Definicion 26 (Funcion no creciente) Sean empty = A sub y la funci on f A minusrarr
Diremos que la funciacute on
f es no creciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) ge f (x2)
Definicion 27 (Funcion no decreciente) Sean empty = A sub y la funciacute on f A minusrarr
Diremos que la
funciacute on f es no decreciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) le f (x2)
Y Y
X X
x 1 x 2 x 1 x 2
Graacutefico de una funcioacuten
no decreciente
Graacutefico de una funcioacuten
no creciente
Definicion 28 (Funcion monotona) Sean empty = A sub
y la funci on f A minusrarr
Diremos que la funciacute on f
es monacute otona sobre A si es creciente o decreciente o no creciente o no decreciente sobre A
Observaciones
1 Para definir funciones monotonas (crecientes decrecientes no crecientes o no decrecientes) no es necesario
saber la continuidad y la derivabilidad de la funcion en su dominio
2 Existen funciones monotonas que no son derivables yo continuas en su dominio
Teorema 25 Sean empty = A sub y la funciacute on f A minusrarr Si la funciacute on f es estrictamente creciente sobre A
entonces f es una funciacute on inyectiva y su funcion inversa f lowast tambien es estrictamente creciente sobre Ran(f )
Teorema 26 Sean empty = A sub
y la funci on f A minusrarr
Si la funci on f es estrictamente decreciente sobre A
entonces f es una funciacute on inyectiva y su funciacute on inversa f lowast tambien es estrictamente decreciente sobre Ran(f )
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La derivada de una funcion real de variable real
Y Y
X X
f
f
f
f
Teorema 27 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr
Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩
con f
prime
(x) gt 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es estrictamente creciente sobre [a b]
Teorema 28 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩
con f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es estrictamente decreciente sobre [a b]
X X
a
a b
b
Observaciones
1 Del teorema 27 si la pendiente de todas las rectas tangente a la grafica de la funcion sobre ⟨a b⟩ es positiva
entonces la funcion es estrictamente creciente sobre [a b]
2 Del teorema 28 si la pendiente de todas las rectas tangente a la grafica de la funcion sobre ⟨a b⟩ es negativa
entonces la funcion es estrictamente decreciente sobre [a b]
Teorema 29 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr
Si la funcion f es continua sobre [a b] y es inyectiva en [a b]
entonces f es estrictamente creciente o estrictamente decreciente sobre [a b] pero no ambos
X X
a
a b
b
f ab
ab
es continua e inyectiva sobre [ ]en este caso es creciente sobre [ ]
f ab
ab
es continua e inyectiva sobre [ ]en este caso es decreciente sobre [ ]
f f
Teorema 210 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funciacute on f es continua y estrictamente creciente sobre
[a b] entonces Ran(f ) =1048667
f (a) f (b)1048669
y su funciacute on inversa f lowast 1048667
f (a) f (b)1048669 minusrarr
es tambien continua y
estrictamente creciente sobre [a b]
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La derivada de una funcion real de variable real
Teorema 211 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funcion f es continua y estrictamente decreciente sobre
[a b] entonces Ran(f ) =1048667
f (b) f (a)1048669
y su funciacute on inversa f lowast 1048667
f (b) f (a)1048669 minusrarr
es tambien continua y
estrictamente decreciente sobre [a b]
Teorema 212 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre
⟨a b⟩ con f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es no decreciente sobre [a b]
Teorema 213 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre
⟨a b⟩ con f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es no creciente sobre [a b]
Teorema 214 (de la funcion constante) Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre
[a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩ con f prime(x) = 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es constante sobre [a b] es decir
existe una constante C tal que f (x) = C para todo [a b]
Teorema 215 (de la diferencia constante) Sean las funciones f [a b] minusrarr
y f [a b] minusrarr
Si las
funciones f y g son continuas sobre [a b] y es derivables sobre ⟨a b⟩ con f prime(x) = g prime(x) para todo x isin ⟨a b⟩entonces existe una constante C tal que f (x) = g(x) + C para todo [a b]
Definicion 29 (Punto crıtico) Sean I un intervalo de
x0 un punto de I y la funciacute on f I minusrarr
El
punto x0 es un punto crıtico de la funciacute on f I minusrarr si x0 satisface alguna de las siguientes condiciones
a) f prime(x0) = 0 o b) f prime(x0) = 0 no existe o c) f tiene un extremo en x0
Observaciones
1 Si x0 es un punto crıtico de la funcion f no podemos concluir con certeza una de las condiciones mencionadas
2 Si x0 es un punto crıtico de la funcion f y f prime(x0) = 0 no podemos concluir con certeza que f tiene un
extremo en dicho punto
Por ejemplo sea la funcion f [1 3] minusrarr definida
por f (x) = (x minus 2)3 cuya funcion derivada es
f prime ⟨1 3⟩ minusrarr
983087 f prime(x) = 3(x minus 2)2
En x0 = 2 tenemos f prime(x0) = 0 pero f no tiene
maximo ni mınimo en 2 f tiene un mınimo en 1
y un maximo en 3 por tanto 1 2 y 3 son puntos
crıticos de f
Y
X
1
2
Ejercicio 7 Hal le los puntos crıticos de las siguientes funciones
1 f
minusrarr que estacute a definida por
f (x) = 1
4(x4 minus 6x2 + 8x) + 5
2 f
minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = 3
radic (x + 4)2(x minus 5)
3 f
minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = 5x23 minus x53
4 f
minusrarr
que estacute a definida por f (x) = x + 1
x2 + 1
5 f
minus 1 minusrarr que estacute a definida por
f (x) = x3 minus 2
(x minus 1)2
6 f
minusrarr
que estacute a definida por f (x) = x2 + 3radic
x2 + 1
7 f [minusπ2
π2
] minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = sin2 x minus |x|
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La derivada de una funcion real de variable real
231 Criterio de la primera derivada para extremos de una funcion
Aquı presentamos un criterio que nos ayuda a determinar si un punto crıtico es aquel en donde una funcion
alcanza su valor maximo o mınimo
Teorema 216 (Criterio de la primera derivada) Sean la funciacute on f A minusrarr
el intervalo [a b] contenido
en A y x0
isin ⟨a b
⟩ un punto crıtico de f
1 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f tiene un macute aximo en el punto x0
2 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f tiene un mınimo en el punto x0
3 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) gt 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) gt 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f no tiene macute aximo ni mınimo en el punto x0
4 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f no tiene macute aximo ni mınimo en el punto x0
X X
a bx 0a bx 0
f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0lt gt f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0gt lt
f
f
f tiene un maacuteximo en x 0 f tiene un miacutenimo en x 0
X X a bx 0a bx 0
f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0lt lt f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0gt gt
f f
f no tiene un extremo en x 0 f no tiene un extremo en x 0
Observaciones
1 Al ser x0 un punto crıtico de f el criterio de la primera derivada no garantiza que exista f prime(x0)
2 El criterio de la primera derivada requiere que f sea derivable en ⟨a x0⟩ cup ⟨x0 b⟩ mas no en x0
3 Un metodo que nos permite hallar puntos crıticos de la funcion f en [a b] es resolver la ecuacion f prime(x) = 0
sujeta a la condicion x isin ⟨a b⟩ pero tal metodo solo nos proporciona todos los puntos crıticos de f que
cumple la primera condicion dada en la definicion 29
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La derivada de una funcion real de variable real
4 Los graficos anteriores presentan al punto crıtico x0 de f en el cual existe f prime(x0) y es igual a cero es mas
en los dos primeros graficos la recta tangente en el punto (x0 f (x0)) es horizontal iquestCual es el aspecto de
la grafica de f si es que no existiera f prime(x0)
5 Sea x0 isin ⟨a b⟩ un punto crıtico de la funcion f Al utilizar el criterio de la primera derivada para averiguar
si f tiene maximo o mınimo en x0 es necesario resolver las inecuaciones f prime(x) lt 0 y f prime(x) gt 0 sujetas
a la restriccion x isin ⟨a b⟩ tales procesos son sencillos para algunas funciones pero existen funciones paralos cuales tales resoluciones son complicadas y ahı el criterio de la primera derivada no es recomendable
utilizarlo pero tal deficiencia se supera utilizando otro criterio para determinar extremo de una funcion
6 El criterio de la primera derivada tambien es aplicable cuando en lugar del intervalo ⟨a b⟩ se considera a
otros tipos de intervalos abiertos si es que estan contenidos en el dominio de la funcion
Por ejemplo para la funcion f
minusrarr
definida por f (x) = x2 su unico punto crıtico es x0 = 0 f prime(x) lt 0
para todo x lt 0 y f prime(x) gt 0 para todo x gt 0 por tanto f tiene un mınimo en 0 y su valor mınimo es
f (0) = 0
232 Criterio de la segunda derivada para extremos de una funcion
Aquı presentamos otro criterio que nos ayuda a determinar si un punto crıtico es aquel en donde una funcion
alcanza su valor maximo o mınimo este metodo requiere la existencia de la segunda de la funcion en su punto
crıtico
Teorema 217 (Criterio de la segunda derivada) Sean la funciacute on f A minusrarr
el intervalo [a b] contenido
en A y x0 isin ⟨a b⟩ un punto crıtico de f para el cual f primeprime(x0) existe
1 Si la funciacute on f es derivable en ⟨a b⟩ f prime(x0) = 0 y f primeprime(x0) lt 0 entonces f tiene un macute aximo en el punto x0
2 Si la funciacute on f es derivable en
⟨a b
⟩ f prime(x0) = 0 y f primeprime(x0) gt 0 entonces f tiene un mınimo en el punto x0
X X
a bx 0a bx 0
f a b f f es derivable en ( ) 0 ( ) 0 x x 0 0= lt f a b f f es derivable en ( ) 0 ( ) 0 x x 0 0= gt
f
f
f tiene un maacuteximo en x 0 f tiene un miacutenimo en x 0
Observaciones
1 Los graficos anteriores presentan al punto crıtico x0 de f en el cual existe f primeprime(x0) y es diferente a cero
2 El criterio de la segunda derivada tambien es aplicable cuando en lugar del intervalo ⟨a b⟩ se considera a
otros tipos de intervalos abiertos si es que estan contenidos en el dominio de la funcion
Por ejemplo para la funcion f
minusrarr
definida por f (x) = x2 su unico punto crıtico es x0 = 0 y
f primeprime(0) = 2 gt 0 por tanto f tiene un mınimo en 0 y su valor mınimo es f (0) = 0
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La derivada de una funcion real de variable real
24 Concavidad y puntos de inflexion
25 La regla de Lrsquo Hospital
3 Aplicaciones de la derivada
31 Trazado de grafica de funciones
32 Derivadas parametricas
321 Regla de la cadena
33 Diferencial de una funcion
34 Razon de cambio
Indice
1 La derivada 111 Derivadas laterales 4
12 Derivacion y continuidad 5
13 Derivadas de orden superior 7
131 Notacion de derivadas 7
132 El operador d
dx 8
133 La segunda derivada 10
134 Derivada de ordenes mayores a dos 10
135 Notacion de derivadas de ordenes superiores 11
14 Derivadas implıcitas 12
141 Ecuaciones diferenciales ordinarias de lugares geometricos 13
15 Funciones derivables 18
151 Funciones derivables en un intervalo 18
152 Funciones de clase C k 19
153 Funciones no derivables 19
2 Teoremas sobre funciones derivables 21
21 Extremos relativos de una funcion 21
22 El teorema del valor medio 24
23 Funciones crecientes y decrecientes 26
231 Criterio de la primera derivada para extremos de una funcion 29
232 Criterio de la segunda derivada para extremos de una funcion 30
24 Concavidad y puntos de inflexion 31
25 La regla de Lrsquo Hospital 31
3 Aplicaciones de la derivada 31
31 Trazado de grafica de funciones 31
32 Derivadas parametricas 31
321 Regla de la cadena 31
33 Diferencial de una funcion 31
34 Razon de cambio 31
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La derivada de una funcion real de variable real
X X
Y Y
a a b
y f x = ( ) y f x = ( )
f a f a bno es derivable en no es derivable en y
f a
f b
es derivable en por derecha
es derivable en por izquierda
2 Teoremas sobre funciones derivables
21 Extremos relativos de una funcion
Definicion 21 Sean empty = X sub
y m isin
Diremos que ldquo mrdquo es el mınimo del conjunto X si m isin X y m le x
para todo x isin X
Definicion 22 Sean empty = X sub
y M isin
Diremos que ldquo M rdquo es el macute aximo del conjunto X si M isin X y
M ge x para todo x isin X
Observaciones
1 No todo subconjunto no vacıo de
posee maximo yo mınimo
2 Si un subconjunto no vacıo de
posee maximo yo mınimo este es unico y ademas es uno de los elementos
del conjunto
3 Si ldquomrdquo es el mınimo del conjunto X entonces lo denotamos por m = mın X
4 Si ldquoM rdquo es el maximo del conjunto X entonces lo denotamos por M = max X
5 Si m = mın X y M = max X entonces m le M y ademas m le x le M para todo x isin X
Ejemplo 21
1 El conjunto de los numeros naturales posee mınimo y es 1 es decir 1 = mın pero no posee maximo
2 El conjunto
el de los numeros enteros no posee ni maximo ni mınimo El conjunto
el de los numeros
racionales no posee ni maximo ni mınimo
3 Veamos algunos intervalos
a) Los intervalos ⟨a b⟩ ⟨a b] ⟨a +infin⟩ no poseen mınimo
b) Los intervalos ⟨a b⟩ [a b⟩ ⟨minusinfin b⟩ no poseen maximo
c) a = mın[a b] a = mın[a b⟩ a = mın[a +infin⟩
d) b = max[a b] b = max⟨a b] b = max⟨minusinfin b]
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La derivada de una funcion real de variable real
Definicion 23 Sean empty = A sub f A minusrarr una funciacute on y x0 isin A
1 La funciacute on ldquo f rdquo tiene un mınimo absoluto en x0 si f (x0) le f (x) para todo x isin A
2 La funciacute on ldquo f rdquo tiene un macute aximo absoluto en x0 si f (x) le f (x0) para todo x isin A
3 La funci on ldquo f rdquo tiene un mınimo relativo en x0 si existe un δ gt 0 tal que f (x0) le f (x) para todo
x isin A cap ⟨x0 minus δ x0 + δ ⟩
4 La funci on ldquo f rdquo tiene un macute aximo relativo en x0 si existe un δ gt 0 tal que f (x) le f (x0) para todo
x isin A cap ⟨x0 minus δ x0 + δ ⟩
Observaciones Sean empty = A sub
f A minusrarr
una funcion y x0 isin A
1 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo relativo en x0 diremos tambien que f tiene un mınimo local en x0
2 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo relativo en x0 diremos tambien que f tiene un maximo local en x0
3 La funcion ldquof rdquo tiene un extremo absoluto en x0 si tiene un mınimo o maximo absoluto en dicho punto
4 La funcion ldquof rdquo tiene un extremo relativo en x0 si tiene un mınimo o maximo relativo en dicho punto
5 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo absoluto en x0 entonces f (x0) es el mınimo del rango de la funcion es
decir
f (x0) = mın Ran (f )
Al numero f (x0) lo denominaremos el valor mınimo de f en su dominio
6 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo absoluto en x0 entonces f (x0) es el maximo del rango de la funcion es
decir
f (x0) = max Ran (f )
Al numero f (x0) lo denominaremos el valor maximo de f en su dominio
7 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo relativo en x0 entonces f no siempre tendra un mınimo absoluto en x0
Una funcion puede poseer un mınimo relativo sin tener un mınimo absoluto
8 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo relativo en x0 entonces f no siempre tendra un maximo absoluto en
x0 Una funcion puede poseer un maximo relativo sin tener un maximo absoluto
9 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo absoluto en x0 entonces f tiene un mınimo relativo en dicho punto Lo
contrario no siempre es cierto
En la figura la funcion f minusrarr tiene maximo
relativo en x = 0 pero no posee maximo absolutoen su dominio
En la figura la funcion g minusrarr tiene mınimo
relativo en x = 0 pero no posee mınimo absolutoen su dominio
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La derivada de una funcion real de variable real
10 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo absoluto en x0 entonces f tiene un maximo relativo en dicho punto Lo
contrario no siempre es cierto
11 Una funcion puede tener extremos absolutos en mas de un punto vea el siguiente grafico
En la figura la funcion f
minusrarr
tiene mınimo
absoluto en dos puntos diferentes
En la figura la funcion g
minusrarr
tiene maximo
absoluto en dos puntos diferentes
12 La funcion ldquof rdquo tiene un extremo en el punto x0 si tiene un maximo o mınimo absoluto o relativo en dicho
punto
Y Y
X X
figura (a) figura (b)
x x x x 0 1 2 3 4 5 6x x x x x x x x x x 0 1 2 3 4 5 6
y f x = ( )
y f x = ( )
En la figura (a) Dom(f ) = [x0 x6] la funcion tiene
un mınimo absoluto en el punto x2 y maximo absolu-
to en el punto x5 mientras que tiene mınimo relativo
en los puntos x0 x2 x4 y x6 y maximo relativo en
los puntos x1 x3 y x5
En la figura (b) Dom (f ) = [x0 x6⟩minusx3 la funcion
no tiene mınimo absoluto ni maximo absoluto mien-
tras que tiene mınimo relativo en los puntos x0 x2 y
x4 y maximo relativo en los puntos x1 y x5
Teorema 21 Si la funcion f tiene un extremo en x0 y f prime(x0) existe entonces f prime(x0) = 0
Observaciones
1 Lo contrario no siempre es cierto es decir si f prime(x0) = 0 entonces f no siempre tendra un extremo en x0
Un ejemplo simple es para f (x) = (x minus 2)3 en x0 = 2
2 Si la funcion f tiene un extremo en x0 y f prime
(x0) existe entonces la recta tangente a la grafica de la funcionen el punto
(x0 f (x0)
852009 en horizontal
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La derivada de una funcion real de variable real
3 Si la funcion f tiene un extremo en x0 y f prime(x0) no existe entonces o bien no existe recta tangente a la
grafica de la funcion en el punto(
x0 f (x0)852009
o existen infinitas rectas tangente a la grafica de la funcion en
el punto(
x0 f (x0)852009
pudiendo ser una de ellas una recta vertical
En la figura la funcion f
minusrarr
tiene un extremo
en x = 0 pero f prime(0) no existe ademas la grafica de
esta funcion posee infinitas rectas tangente en el pun-
to(
0 f (0)852009
En la figura la funcion g
minusrarr
tiene extremo en
los puntos x0 x1 existen g prime(x0) g prime(x1) y las rectas
tangente en(
x0 g(x0)852009
y(
x1 g(x1)852009
son horizontales
22 El teorema del valor medio
Teorema 22 (Teorema de Rolle) Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si f es continua en [a b] es derivable en
⟨a b⟩ y f (a) = f (b) entonces existe un c isin ⟨a b⟩ tal que f prime(c) = 0
Observaciones
1 Si la funcion f satisface las hipotesis del teorema de Rolle la existencia del punto c tales que f prime(c) = 0 no
siempre es unica pueden existir otros puntos del intervalo ⟨a b⟩ cuya primera derivada en esos puntos sea
cero
2 La condicion f (a) = f (b) indica que la recta que pasa por los puntos(
a f (a)852009
y(
b f (b)852009
es horizontal El
teorema garantiza la existencia de al menos un punto c isin ⟨a b⟩ tal que la recta tangente a la grafica de la
funcion f el punto(
c f (c)852009
tambien sea horizontal
X X
Y Y
y=f x( )
y=f x( )
figura (a) figura (b)
a c c b1 3 a b
c2
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La derivada de una funcion real de variable real
En la figura (a) la funcion f satisface las hipotesis del
teorema de Rolle por tanto en este caso existen pun-
tos c1 c2 y c3 del intervalo ⟨a b⟩ tal que f prime(c1) = 0
f prime(c2) = 0 y f prime(c3) = 0
En la figura (b) la funcion f no satisface las hipotesis
del teorema de Rolle en tanto no se garantiza la exis-
tencia de puntos del intervalo ⟨a b⟩ tal que la primera
derivada de f en esos puntos sea cero
Teorema 23 (El teorema del valor medio de Lagrange) Sea la funciacute on f [a b]
minusrarr
Si f es continua
en [a b] es derivable en ⟨a b⟩ entonces existe un c isin ⟨a b⟩ tal que
f prime(c) = f (b) minus f (a)
b minus a
Observaciones
1 Si la funcion f satisface las hipotesis del teorema del valor medio de Lagrange la existencia del punto c tales
que f prime(c) = f (b) minus f (a)
b minus a no siempre es unica pueden existir otros puntos del intervalo ⟨a b⟩ cuya primera
derivada en esos puntos sea igual a f (b) minus f (a)
b minus a
2 Sea L la recta que pasa por los puntos(
a f (a)852009
y(
b f (b)852009
el teorema garantiza la existencia de al menosun punto c isin ⟨a b⟩ tal que la recta tangente a la grafica de la funcion f el punto
(c f (c)
852009 sea paralela a L
Y Y
X X
y = f x ( ) y = f x ( )
f a ( )
f a ( )
f b( )
f b( )
figura (a) figura (b)
a c b1 b
c 2 a
L L L
L L L
En la figura (a) la funcion f satisface las hipotesis del
teorema de Lagrange por tanto en este caso existen
puntos c1 y c2 del intervalo ⟨a b⟩ tal que
f prime(c1) = f (b) minus f (a)
b minus a y f prime(c2) =
f (b) minus f (a)
b minus a
En la figura (b) la funcion f no satisface las hipotesis
del teorema de Lagrange en tanto no se garantiza
la existencia de puntos del intervalo ⟨a b⟩ tal que laprimera derivada en ese punto sea igual a
f (b) minus f (a)
b minus a
Teorema 24 (El teorema generalizado del valor medio de Cauchy) Sean las funciones f [a b] minusrarr
y g [a b] minusrarr
continuas en [a b] y derivables en ⟨a b⟩ con g(b) = g(a) y g prime(x) = 0 para todo x isin ⟨a b⟩
entonces existe un c isin ⟨a b⟩ tal que f prime(c)
g prime(c) =
f (b) minus f (a)
g(b) minus g(a)
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La derivada de una funcion real de variable real
23 Funciones crecientes y decrecientes
Definicion 24 (Funcion creciente) Sean empty = A sub
y la funciacute on f A minusrarr
Diremos que la funciacute on f
es creciente o estrictamente creciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) lt f (x2)
Definicion 25 (Funcion decreciente) Sean empty = A sub
y la funci on f A minusrarr
Diremos que la funcion f
es decreciente o estrictamente decreciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) gt f (x2)
Y Y
X X
f x ( )1
f x ( )1
x 1
x 1x 2
x 2
f x ( )2
f x ( )2
Graacutefico de una funcioacutenestrictamente creciente
Graacutefico de una funcioacutenestrictamente decreciente
Definicion 26 (Funcion no creciente) Sean empty = A sub y la funci on f A minusrarr
Diremos que la funciacute on
f es no creciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) ge f (x2)
Definicion 27 (Funcion no decreciente) Sean empty = A sub y la funciacute on f A minusrarr
Diremos que la
funciacute on f es no decreciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) le f (x2)
Y Y
X X
x 1 x 2 x 1 x 2
Graacutefico de una funcioacuten
no decreciente
Graacutefico de una funcioacuten
no creciente
Definicion 28 (Funcion monotona) Sean empty = A sub
y la funci on f A minusrarr
Diremos que la funciacute on f
es monacute otona sobre A si es creciente o decreciente o no creciente o no decreciente sobre A
Observaciones
1 Para definir funciones monotonas (crecientes decrecientes no crecientes o no decrecientes) no es necesario
saber la continuidad y la derivabilidad de la funcion en su dominio
2 Existen funciones monotonas que no son derivables yo continuas en su dominio
Teorema 25 Sean empty = A sub y la funciacute on f A minusrarr Si la funciacute on f es estrictamente creciente sobre A
entonces f es una funciacute on inyectiva y su funcion inversa f lowast tambien es estrictamente creciente sobre Ran(f )
Teorema 26 Sean empty = A sub
y la funci on f A minusrarr
Si la funci on f es estrictamente decreciente sobre A
entonces f es una funciacute on inyectiva y su funciacute on inversa f lowast tambien es estrictamente decreciente sobre Ran(f )
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La derivada de una funcion real de variable real
Y Y
X X
f
f
f
f
Teorema 27 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr
Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩
con f
prime
(x) gt 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es estrictamente creciente sobre [a b]
Teorema 28 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩
con f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es estrictamente decreciente sobre [a b]
X X
a
a b
b
Observaciones
1 Del teorema 27 si la pendiente de todas las rectas tangente a la grafica de la funcion sobre ⟨a b⟩ es positiva
entonces la funcion es estrictamente creciente sobre [a b]
2 Del teorema 28 si la pendiente de todas las rectas tangente a la grafica de la funcion sobre ⟨a b⟩ es negativa
entonces la funcion es estrictamente decreciente sobre [a b]
Teorema 29 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr
Si la funcion f es continua sobre [a b] y es inyectiva en [a b]
entonces f es estrictamente creciente o estrictamente decreciente sobre [a b] pero no ambos
X X
a
a b
b
f ab
ab
es continua e inyectiva sobre [ ]en este caso es creciente sobre [ ]
f ab
ab
es continua e inyectiva sobre [ ]en este caso es decreciente sobre [ ]
f f
Teorema 210 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funciacute on f es continua y estrictamente creciente sobre
[a b] entonces Ran(f ) =1048667
f (a) f (b)1048669
y su funciacute on inversa f lowast 1048667
f (a) f (b)1048669 minusrarr
es tambien continua y
estrictamente creciente sobre [a b]
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La derivada de una funcion real de variable real
Teorema 211 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funcion f es continua y estrictamente decreciente sobre
[a b] entonces Ran(f ) =1048667
f (b) f (a)1048669
y su funciacute on inversa f lowast 1048667
f (b) f (a)1048669 minusrarr
es tambien continua y
estrictamente decreciente sobre [a b]
Teorema 212 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre
⟨a b⟩ con f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es no decreciente sobre [a b]
Teorema 213 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre
⟨a b⟩ con f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es no creciente sobre [a b]
Teorema 214 (de la funcion constante) Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre
[a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩ con f prime(x) = 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es constante sobre [a b] es decir
existe una constante C tal que f (x) = C para todo [a b]
Teorema 215 (de la diferencia constante) Sean las funciones f [a b] minusrarr
y f [a b] minusrarr
Si las
funciones f y g son continuas sobre [a b] y es derivables sobre ⟨a b⟩ con f prime(x) = g prime(x) para todo x isin ⟨a b⟩entonces existe una constante C tal que f (x) = g(x) + C para todo [a b]
Definicion 29 (Punto crıtico) Sean I un intervalo de
x0 un punto de I y la funciacute on f I minusrarr
El
punto x0 es un punto crıtico de la funciacute on f I minusrarr si x0 satisface alguna de las siguientes condiciones
a) f prime(x0) = 0 o b) f prime(x0) = 0 no existe o c) f tiene un extremo en x0
Observaciones
1 Si x0 es un punto crıtico de la funcion f no podemos concluir con certeza una de las condiciones mencionadas
2 Si x0 es un punto crıtico de la funcion f y f prime(x0) = 0 no podemos concluir con certeza que f tiene un
extremo en dicho punto
Por ejemplo sea la funcion f [1 3] minusrarr definida
por f (x) = (x minus 2)3 cuya funcion derivada es
f prime ⟨1 3⟩ minusrarr
983087 f prime(x) = 3(x minus 2)2
En x0 = 2 tenemos f prime(x0) = 0 pero f no tiene
maximo ni mınimo en 2 f tiene un mınimo en 1
y un maximo en 3 por tanto 1 2 y 3 son puntos
crıticos de f
Y
X
1
2
Ejercicio 7 Hal le los puntos crıticos de las siguientes funciones
1 f
minusrarr que estacute a definida por
f (x) = 1
4(x4 minus 6x2 + 8x) + 5
2 f
minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = 3
radic (x + 4)2(x minus 5)
3 f
minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = 5x23 minus x53
4 f
minusrarr
que estacute a definida por f (x) = x + 1
x2 + 1
5 f
minus 1 minusrarr que estacute a definida por
f (x) = x3 minus 2
(x minus 1)2
6 f
minusrarr
que estacute a definida por f (x) = x2 + 3radic
x2 + 1
7 f [minusπ2
π2
] minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = sin2 x minus |x|
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La derivada de una funcion real de variable real
231 Criterio de la primera derivada para extremos de una funcion
Aquı presentamos un criterio que nos ayuda a determinar si un punto crıtico es aquel en donde una funcion
alcanza su valor maximo o mınimo
Teorema 216 (Criterio de la primera derivada) Sean la funciacute on f A minusrarr
el intervalo [a b] contenido
en A y x0
isin ⟨a b
⟩ un punto crıtico de f
1 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f tiene un macute aximo en el punto x0
2 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f tiene un mınimo en el punto x0
3 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) gt 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) gt 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f no tiene macute aximo ni mınimo en el punto x0
4 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f no tiene macute aximo ni mınimo en el punto x0
X X
a bx 0a bx 0
f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0lt gt f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0gt lt
f
f
f tiene un maacuteximo en x 0 f tiene un miacutenimo en x 0
X X a bx 0a bx 0
f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0lt lt f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0gt gt
f f
f no tiene un extremo en x 0 f no tiene un extremo en x 0
Observaciones
1 Al ser x0 un punto crıtico de f el criterio de la primera derivada no garantiza que exista f prime(x0)
2 El criterio de la primera derivada requiere que f sea derivable en ⟨a x0⟩ cup ⟨x0 b⟩ mas no en x0
3 Un metodo que nos permite hallar puntos crıticos de la funcion f en [a b] es resolver la ecuacion f prime(x) = 0
sujeta a la condicion x isin ⟨a b⟩ pero tal metodo solo nos proporciona todos los puntos crıticos de f que
cumple la primera condicion dada en la definicion 29
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La derivada de una funcion real de variable real
4 Los graficos anteriores presentan al punto crıtico x0 de f en el cual existe f prime(x0) y es igual a cero es mas
en los dos primeros graficos la recta tangente en el punto (x0 f (x0)) es horizontal iquestCual es el aspecto de
la grafica de f si es que no existiera f prime(x0)
5 Sea x0 isin ⟨a b⟩ un punto crıtico de la funcion f Al utilizar el criterio de la primera derivada para averiguar
si f tiene maximo o mınimo en x0 es necesario resolver las inecuaciones f prime(x) lt 0 y f prime(x) gt 0 sujetas
a la restriccion x isin ⟨a b⟩ tales procesos son sencillos para algunas funciones pero existen funciones paralos cuales tales resoluciones son complicadas y ahı el criterio de la primera derivada no es recomendable
utilizarlo pero tal deficiencia se supera utilizando otro criterio para determinar extremo de una funcion
6 El criterio de la primera derivada tambien es aplicable cuando en lugar del intervalo ⟨a b⟩ se considera a
otros tipos de intervalos abiertos si es que estan contenidos en el dominio de la funcion
Por ejemplo para la funcion f
minusrarr
definida por f (x) = x2 su unico punto crıtico es x0 = 0 f prime(x) lt 0
para todo x lt 0 y f prime(x) gt 0 para todo x gt 0 por tanto f tiene un mınimo en 0 y su valor mınimo es
f (0) = 0
232 Criterio de la segunda derivada para extremos de una funcion
Aquı presentamos otro criterio que nos ayuda a determinar si un punto crıtico es aquel en donde una funcion
alcanza su valor maximo o mınimo este metodo requiere la existencia de la segunda de la funcion en su punto
crıtico
Teorema 217 (Criterio de la segunda derivada) Sean la funciacute on f A minusrarr
el intervalo [a b] contenido
en A y x0 isin ⟨a b⟩ un punto crıtico de f para el cual f primeprime(x0) existe
1 Si la funciacute on f es derivable en ⟨a b⟩ f prime(x0) = 0 y f primeprime(x0) lt 0 entonces f tiene un macute aximo en el punto x0
2 Si la funciacute on f es derivable en
⟨a b
⟩ f prime(x0) = 0 y f primeprime(x0) gt 0 entonces f tiene un mınimo en el punto x0
X X
a bx 0a bx 0
f a b f f es derivable en ( ) 0 ( ) 0 x x 0 0= lt f a b f f es derivable en ( ) 0 ( ) 0 x x 0 0= gt
f
f
f tiene un maacuteximo en x 0 f tiene un miacutenimo en x 0
Observaciones
1 Los graficos anteriores presentan al punto crıtico x0 de f en el cual existe f primeprime(x0) y es diferente a cero
2 El criterio de la segunda derivada tambien es aplicable cuando en lugar del intervalo ⟨a b⟩ se considera a
otros tipos de intervalos abiertos si es que estan contenidos en el dominio de la funcion
Por ejemplo para la funcion f
minusrarr
definida por f (x) = x2 su unico punto crıtico es x0 = 0 y
f primeprime(0) = 2 gt 0 por tanto f tiene un mınimo en 0 y su valor mınimo es f (0) = 0
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La derivada de una funcion real de variable real
24 Concavidad y puntos de inflexion
25 La regla de Lrsquo Hospital
3 Aplicaciones de la derivada
31 Trazado de grafica de funciones
32 Derivadas parametricas
321 Regla de la cadena
33 Diferencial de una funcion
34 Razon de cambio
Indice
1 La derivada 111 Derivadas laterales 4
12 Derivacion y continuidad 5
13 Derivadas de orden superior 7
131 Notacion de derivadas 7
132 El operador d
dx 8
133 La segunda derivada 10
134 Derivada de ordenes mayores a dos 10
135 Notacion de derivadas de ordenes superiores 11
14 Derivadas implıcitas 12
141 Ecuaciones diferenciales ordinarias de lugares geometricos 13
15 Funciones derivables 18
151 Funciones derivables en un intervalo 18
152 Funciones de clase C k 19
153 Funciones no derivables 19
2 Teoremas sobre funciones derivables 21
21 Extremos relativos de una funcion 21
22 El teorema del valor medio 24
23 Funciones crecientes y decrecientes 26
231 Criterio de la primera derivada para extremos de una funcion 29
232 Criterio de la segunda derivada para extremos de una funcion 30
24 Concavidad y puntos de inflexion 31
25 La regla de Lrsquo Hospital 31
3 Aplicaciones de la derivada 31
31 Trazado de grafica de funciones 31
32 Derivadas parametricas 31
321 Regla de la cadena 31
33 Diferencial de una funcion 31
34 Razon de cambio 31
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La derivada de una funcion real de variable real
Definicion 23 Sean empty = A sub f A minusrarr una funciacute on y x0 isin A
1 La funciacute on ldquo f rdquo tiene un mınimo absoluto en x0 si f (x0) le f (x) para todo x isin A
2 La funciacute on ldquo f rdquo tiene un macute aximo absoluto en x0 si f (x) le f (x0) para todo x isin A
3 La funci on ldquo f rdquo tiene un mınimo relativo en x0 si existe un δ gt 0 tal que f (x0) le f (x) para todo
x isin A cap ⟨x0 minus δ x0 + δ ⟩
4 La funci on ldquo f rdquo tiene un macute aximo relativo en x0 si existe un δ gt 0 tal que f (x) le f (x0) para todo
x isin A cap ⟨x0 minus δ x0 + δ ⟩
Observaciones Sean empty = A sub
f A minusrarr
una funcion y x0 isin A
1 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo relativo en x0 diremos tambien que f tiene un mınimo local en x0
2 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo relativo en x0 diremos tambien que f tiene un maximo local en x0
3 La funcion ldquof rdquo tiene un extremo absoluto en x0 si tiene un mınimo o maximo absoluto en dicho punto
4 La funcion ldquof rdquo tiene un extremo relativo en x0 si tiene un mınimo o maximo relativo en dicho punto
5 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo absoluto en x0 entonces f (x0) es el mınimo del rango de la funcion es
decir
f (x0) = mın Ran (f )
Al numero f (x0) lo denominaremos el valor mınimo de f en su dominio
6 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo absoluto en x0 entonces f (x0) es el maximo del rango de la funcion es
decir
f (x0) = max Ran (f )
Al numero f (x0) lo denominaremos el valor maximo de f en su dominio
7 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo relativo en x0 entonces f no siempre tendra un mınimo absoluto en x0
Una funcion puede poseer un mınimo relativo sin tener un mınimo absoluto
8 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo relativo en x0 entonces f no siempre tendra un maximo absoluto en
x0 Una funcion puede poseer un maximo relativo sin tener un maximo absoluto
9 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo absoluto en x0 entonces f tiene un mınimo relativo en dicho punto Lo
contrario no siempre es cierto
En la figura la funcion f minusrarr tiene maximo
relativo en x = 0 pero no posee maximo absolutoen su dominio
En la figura la funcion g minusrarr tiene mınimo
relativo en x = 0 pero no posee mınimo absolutoen su dominio
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La derivada de una funcion real de variable real
10 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo absoluto en x0 entonces f tiene un maximo relativo en dicho punto Lo
contrario no siempre es cierto
11 Una funcion puede tener extremos absolutos en mas de un punto vea el siguiente grafico
En la figura la funcion f
minusrarr
tiene mınimo
absoluto en dos puntos diferentes
En la figura la funcion g
minusrarr
tiene maximo
absoluto en dos puntos diferentes
12 La funcion ldquof rdquo tiene un extremo en el punto x0 si tiene un maximo o mınimo absoluto o relativo en dicho
punto
Y Y
X X
figura (a) figura (b)
x x x x 0 1 2 3 4 5 6x x x x x x x x x x 0 1 2 3 4 5 6
y f x = ( )
y f x = ( )
En la figura (a) Dom(f ) = [x0 x6] la funcion tiene
un mınimo absoluto en el punto x2 y maximo absolu-
to en el punto x5 mientras que tiene mınimo relativo
en los puntos x0 x2 x4 y x6 y maximo relativo en
los puntos x1 x3 y x5
En la figura (b) Dom (f ) = [x0 x6⟩minusx3 la funcion
no tiene mınimo absoluto ni maximo absoluto mien-
tras que tiene mınimo relativo en los puntos x0 x2 y
x4 y maximo relativo en los puntos x1 y x5
Teorema 21 Si la funcion f tiene un extremo en x0 y f prime(x0) existe entonces f prime(x0) = 0
Observaciones
1 Lo contrario no siempre es cierto es decir si f prime(x0) = 0 entonces f no siempre tendra un extremo en x0
Un ejemplo simple es para f (x) = (x minus 2)3 en x0 = 2
2 Si la funcion f tiene un extremo en x0 y f prime
(x0) existe entonces la recta tangente a la grafica de la funcionen el punto
(x0 f (x0)
852009 en horizontal
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La derivada de una funcion real de variable real
3 Si la funcion f tiene un extremo en x0 y f prime(x0) no existe entonces o bien no existe recta tangente a la
grafica de la funcion en el punto(
x0 f (x0)852009
o existen infinitas rectas tangente a la grafica de la funcion en
el punto(
x0 f (x0)852009
pudiendo ser una de ellas una recta vertical
En la figura la funcion f
minusrarr
tiene un extremo
en x = 0 pero f prime(0) no existe ademas la grafica de
esta funcion posee infinitas rectas tangente en el pun-
to(
0 f (0)852009
En la figura la funcion g
minusrarr
tiene extremo en
los puntos x0 x1 existen g prime(x0) g prime(x1) y las rectas
tangente en(
x0 g(x0)852009
y(
x1 g(x1)852009
son horizontales
22 El teorema del valor medio
Teorema 22 (Teorema de Rolle) Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si f es continua en [a b] es derivable en
⟨a b⟩ y f (a) = f (b) entonces existe un c isin ⟨a b⟩ tal que f prime(c) = 0
Observaciones
1 Si la funcion f satisface las hipotesis del teorema de Rolle la existencia del punto c tales que f prime(c) = 0 no
siempre es unica pueden existir otros puntos del intervalo ⟨a b⟩ cuya primera derivada en esos puntos sea
cero
2 La condicion f (a) = f (b) indica que la recta que pasa por los puntos(
a f (a)852009
y(
b f (b)852009
es horizontal El
teorema garantiza la existencia de al menos un punto c isin ⟨a b⟩ tal que la recta tangente a la grafica de la
funcion f el punto(
c f (c)852009
tambien sea horizontal
X X
Y Y
y=f x( )
y=f x( )
figura (a) figura (b)
a c c b1 3 a b
c2
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La derivada de una funcion real de variable real
En la figura (a) la funcion f satisface las hipotesis del
teorema de Rolle por tanto en este caso existen pun-
tos c1 c2 y c3 del intervalo ⟨a b⟩ tal que f prime(c1) = 0
f prime(c2) = 0 y f prime(c3) = 0
En la figura (b) la funcion f no satisface las hipotesis
del teorema de Rolle en tanto no se garantiza la exis-
tencia de puntos del intervalo ⟨a b⟩ tal que la primera
derivada de f en esos puntos sea cero
Teorema 23 (El teorema del valor medio de Lagrange) Sea la funciacute on f [a b]
minusrarr
Si f es continua
en [a b] es derivable en ⟨a b⟩ entonces existe un c isin ⟨a b⟩ tal que
f prime(c) = f (b) minus f (a)
b minus a
Observaciones
1 Si la funcion f satisface las hipotesis del teorema del valor medio de Lagrange la existencia del punto c tales
que f prime(c) = f (b) minus f (a)
b minus a no siempre es unica pueden existir otros puntos del intervalo ⟨a b⟩ cuya primera
derivada en esos puntos sea igual a f (b) minus f (a)
b minus a
2 Sea L la recta que pasa por los puntos(
a f (a)852009
y(
b f (b)852009
el teorema garantiza la existencia de al menosun punto c isin ⟨a b⟩ tal que la recta tangente a la grafica de la funcion f el punto
(c f (c)
852009 sea paralela a L
Y Y
X X
y = f x ( ) y = f x ( )
f a ( )
f a ( )
f b( )
f b( )
figura (a) figura (b)
a c b1 b
c 2 a
L L L
L L L
En la figura (a) la funcion f satisface las hipotesis del
teorema de Lagrange por tanto en este caso existen
puntos c1 y c2 del intervalo ⟨a b⟩ tal que
f prime(c1) = f (b) minus f (a)
b minus a y f prime(c2) =
f (b) minus f (a)
b minus a
En la figura (b) la funcion f no satisface las hipotesis
del teorema de Lagrange en tanto no se garantiza
la existencia de puntos del intervalo ⟨a b⟩ tal que laprimera derivada en ese punto sea igual a
f (b) minus f (a)
b minus a
Teorema 24 (El teorema generalizado del valor medio de Cauchy) Sean las funciones f [a b] minusrarr
y g [a b] minusrarr
continuas en [a b] y derivables en ⟨a b⟩ con g(b) = g(a) y g prime(x) = 0 para todo x isin ⟨a b⟩
entonces existe un c isin ⟨a b⟩ tal que f prime(c)
g prime(c) =
f (b) minus f (a)
g(b) minus g(a)
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La derivada de una funcion real de variable real
23 Funciones crecientes y decrecientes
Definicion 24 (Funcion creciente) Sean empty = A sub
y la funciacute on f A minusrarr
Diremos que la funciacute on f
es creciente o estrictamente creciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) lt f (x2)
Definicion 25 (Funcion decreciente) Sean empty = A sub
y la funci on f A minusrarr
Diremos que la funcion f
es decreciente o estrictamente decreciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) gt f (x2)
Y Y
X X
f x ( )1
f x ( )1
x 1
x 1x 2
x 2
f x ( )2
f x ( )2
Graacutefico de una funcioacutenestrictamente creciente
Graacutefico de una funcioacutenestrictamente decreciente
Definicion 26 (Funcion no creciente) Sean empty = A sub y la funci on f A minusrarr
Diremos que la funciacute on
f es no creciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) ge f (x2)
Definicion 27 (Funcion no decreciente) Sean empty = A sub y la funciacute on f A minusrarr
Diremos que la
funciacute on f es no decreciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) le f (x2)
Y Y
X X
x 1 x 2 x 1 x 2
Graacutefico de una funcioacuten
no decreciente
Graacutefico de una funcioacuten
no creciente
Definicion 28 (Funcion monotona) Sean empty = A sub
y la funci on f A minusrarr
Diremos que la funciacute on f
es monacute otona sobre A si es creciente o decreciente o no creciente o no decreciente sobre A
Observaciones
1 Para definir funciones monotonas (crecientes decrecientes no crecientes o no decrecientes) no es necesario
saber la continuidad y la derivabilidad de la funcion en su dominio
2 Existen funciones monotonas que no son derivables yo continuas en su dominio
Teorema 25 Sean empty = A sub y la funciacute on f A minusrarr Si la funciacute on f es estrictamente creciente sobre A
entonces f es una funciacute on inyectiva y su funcion inversa f lowast tambien es estrictamente creciente sobre Ran(f )
Teorema 26 Sean empty = A sub
y la funci on f A minusrarr
Si la funci on f es estrictamente decreciente sobre A
entonces f es una funciacute on inyectiva y su funciacute on inversa f lowast tambien es estrictamente decreciente sobre Ran(f )
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La derivada de una funcion real de variable real
Y Y
X X
f
f
f
f
Teorema 27 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr
Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩
con f
prime
(x) gt 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es estrictamente creciente sobre [a b]
Teorema 28 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩
con f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es estrictamente decreciente sobre [a b]
X X
a
a b
b
Observaciones
1 Del teorema 27 si la pendiente de todas las rectas tangente a la grafica de la funcion sobre ⟨a b⟩ es positiva
entonces la funcion es estrictamente creciente sobre [a b]
2 Del teorema 28 si la pendiente de todas las rectas tangente a la grafica de la funcion sobre ⟨a b⟩ es negativa
entonces la funcion es estrictamente decreciente sobre [a b]
Teorema 29 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr
Si la funcion f es continua sobre [a b] y es inyectiva en [a b]
entonces f es estrictamente creciente o estrictamente decreciente sobre [a b] pero no ambos
X X
a
a b
b
f ab
ab
es continua e inyectiva sobre [ ]en este caso es creciente sobre [ ]
f ab
ab
es continua e inyectiva sobre [ ]en este caso es decreciente sobre [ ]
f f
Teorema 210 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funciacute on f es continua y estrictamente creciente sobre
[a b] entonces Ran(f ) =1048667
f (a) f (b)1048669
y su funciacute on inversa f lowast 1048667
f (a) f (b)1048669 minusrarr
es tambien continua y
estrictamente creciente sobre [a b]
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La derivada de una funcion real de variable real
Teorema 211 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funcion f es continua y estrictamente decreciente sobre
[a b] entonces Ran(f ) =1048667
f (b) f (a)1048669
y su funciacute on inversa f lowast 1048667
f (b) f (a)1048669 minusrarr
es tambien continua y
estrictamente decreciente sobre [a b]
Teorema 212 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre
⟨a b⟩ con f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es no decreciente sobre [a b]
Teorema 213 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre
⟨a b⟩ con f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es no creciente sobre [a b]
Teorema 214 (de la funcion constante) Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre
[a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩ con f prime(x) = 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es constante sobre [a b] es decir
existe una constante C tal que f (x) = C para todo [a b]
Teorema 215 (de la diferencia constante) Sean las funciones f [a b] minusrarr
y f [a b] minusrarr
Si las
funciones f y g son continuas sobre [a b] y es derivables sobre ⟨a b⟩ con f prime(x) = g prime(x) para todo x isin ⟨a b⟩entonces existe una constante C tal que f (x) = g(x) + C para todo [a b]
Definicion 29 (Punto crıtico) Sean I un intervalo de
x0 un punto de I y la funciacute on f I minusrarr
El
punto x0 es un punto crıtico de la funciacute on f I minusrarr si x0 satisface alguna de las siguientes condiciones
a) f prime(x0) = 0 o b) f prime(x0) = 0 no existe o c) f tiene un extremo en x0
Observaciones
1 Si x0 es un punto crıtico de la funcion f no podemos concluir con certeza una de las condiciones mencionadas
2 Si x0 es un punto crıtico de la funcion f y f prime(x0) = 0 no podemos concluir con certeza que f tiene un
extremo en dicho punto
Por ejemplo sea la funcion f [1 3] minusrarr definida
por f (x) = (x minus 2)3 cuya funcion derivada es
f prime ⟨1 3⟩ minusrarr
983087 f prime(x) = 3(x minus 2)2
En x0 = 2 tenemos f prime(x0) = 0 pero f no tiene
maximo ni mınimo en 2 f tiene un mınimo en 1
y un maximo en 3 por tanto 1 2 y 3 son puntos
crıticos de f
Y
X
1
2
Ejercicio 7 Hal le los puntos crıticos de las siguientes funciones
1 f
minusrarr que estacute a definida por
f (x) = 1
4(x4 minus 6x2 + 8x) + 5
2 f
minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = 3
radic (x + 4)2(x minus 5)
3 f
minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = 5x23 minus x53
4 f
minusrarr
que estacute a definida por f (x) = x + 1
x2 + 1
5 f
minus 1 minusrarr que estacute a definida por
f (x) = x3 minus 2
(x minus 1)2
6 f
minusrarr
que estacute a definida por f (x) = x2 + 3radic
x2 + 1
7 f [minusπ2
π2
] minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = sin2 x minus |x|
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La derivada de una funcion real de variable real
231 Criterio de la primera derivada para extremos de una funcion
Aquı presentamos un criterio que nos ayuda a determinar si un punto crıtico es aquel en donde una funcion
alcanza su valor maximo o mınimo
Teorema 216 (Criterio de la primera derivada) Sean la funciacute on f A minusrarr
el intervalo [a b] contenido
en A y x0
isin ⟨a b
⟩ un punto crıtico de f
1 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f tiene un macute aximo en el punto x0
2 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f tiene un mınimo en el punto x0
3 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) gt 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) gt 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f no tiene macute aximo ni mınimo en el punto x0
4 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f no tiene macute aximo ni mınimo en el punto x0
X X
a bx 0a bx 0
f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0lt gt f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0gt lt
f
f
f tiene un maacuteximo en x 0 f tiene un miacutenimo en x 0
X X a bx 0a bx 0
f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0lt lt f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0gt gt
f f
f no tiene un extremo en x 0 f no tiene un extremo en x 0
Observaciones
1 Al ser x0 un punto crıtico de f el criterio de la primera derivada no garantiza que exista f prime(x0)
2 El criterio de la primera derivada requiere que f sea derivable en ⟨a x0⟩ cup ⟨x0 b⟩ mas no en x0
3 Un metodo que nos permite hallar puntos crıticos de la funcion f en [a b] es resolver la ecuacion f prime(x) = 0
sujeta a la condicion x isin ⟨a b⟩ pero tal metodo solo nos proporciona todos los puntos crıticos de f que
cumple la primera condicion dada en la definicion 29
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La derivada de una funcion real de variable real
4 Los graficos anteriores presentan al punto crıtico x0 de f en el cual existe f prime(x0) y es igual a cero es mas
en los dos primeros graficos la recta tangente en el punto (x0 f (x0)) es horizontal iquestCual es el aspecto de
la grafica de f si es que no existiera f prime(x0)
5 Sea x0 isin ⟨a b⟩ un punto crıtico de la funcion f Al utilizar el criterio de la primera derivada para averiguar
si f tiene maximo o mınimo en x0 es necesario resolver las inecuaciones f prime(x) lt 0 y f prime(x) gt 0 sujetas
a la restriccion x isin ⟨a b⟩ tales procesos son sencillos para algunas funciones pero existen funciones paralos cuales tales resoluciones son complicadas y ahı el criterio de la primera derivada no es recomendable
utilizarlo pero tal deficiencia se supera utilizando otro criterio para determinar extremo de una funcion
6 El criterio de la primera derivada tambien es aplicable cuando en lugar del intervalo ⟨a b⟩ se considera a
otros tipos de intervalos abiertos si es que estan contenidos en el dominio de la funcion
Por ejemplo para la funcion f
minusrarr
definida por f (x) = x2 su unico punto crıtico es x0 = 0 f prime(x) lt 0
para todo x lt 0 y f prime(x) gt 0 para todo x gt 0 por tanto f tiene un mınimo en 0 y su valor mınimo es
f (0) = 0
232 Criterio de la segunda derivada para extremos de una funcion
Aquı presentamos otro criterio que nos ayuda a determinar si un punto crıtico es aquel en donde una funcion
alcanza su valor maximo o mınimo este metodo requiere la existencia de la segunda de la funcion en su punto
crıtico
Teorema 217 (Criterio de la segunda derivada) Sean la funciacute on f A minusrarr
el intervalo [a b] contenido
en A y x0 isin ⟨a b⟩ un punto crıtico de f para el cual f primeprime(x0) existe
1 Si la funciacute on f es derivable en ⟨a b⟩ f prime(x0) = 0 y f primeprime(x0) lt 0 entonces f tiene un macute aximo en el punto x0
2 Si la funciacute on f es derivable en
⟨a b
⟩ f prime(x0) = 0 y f primeprime(x0) gt 0 entonces f tiene un mınimo en el punto x0
X X
a bx 0a bx 0
f a b f f es derivable en ( ) 0 ( ) 0 x x 0 0= lt f a b f f es derivable en ( ) 0 ( ) 0 x x 0 0= gt
f
f
f tiene un maacuteximo en x 0 f tiene un miacutenimo en x 0
Observaciones
1 Los graficos anteriores presentan al punto crıtico x0 de f en el cual existe f primeprime(x0) y es diferente a cero
2 El criterio de la segunda derivada tambien es aplicable cuando en lugar del intervalo ⟨a b⟩ se considera a
otros tipos de intervalos abiertos si es que estan contenidos en el dominio de la funcion
Por ejemplo para la funcion f
minusrarr
definida por f (x) = x2 su unico punto crıtico es x0 = 0 y
f primeprime(0) = 2 gt 0 por tanto f tiene un mınimo en 0 y su valor mınimo es f (0) = 0
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La derivada de una funcion real de variable real
24 Concavidad y puntos de inflexion
25 La regla de Lrsquo Hospital
3 Aplicaciones de la derivada
31 Trazado de grafica de funciones
32 Derivadas parametricas
321 Regla de la cadena
33 Diferencial de una funcion
34 Razon de cambio
Indice
1 La derivada 111 Derivadas laterales 4
12 Derivacion y continuidad 5
13 Derivadas de orden superior 7
131 Notacion de derivadas 7
132 El operador d
dx 8
133 La segunda derivada 10
134 Derivada de ordenes mayores a dos 10
135 Notacion de derivadas de ordenes superiores 11
14 Derivadas implıcitas 12
141 Ecuaciones diferenciales ordinarias de lugares geometricos 13
15 Funciones derivables 18
151 Funciones derivables en un intervalo 18
152 Funciones de clase C k 19
153 Funciones no derivables 19
2 Teoremas sobre funciones derivables 21
21 Extremos relativos de una funcion 21
22 El teorema del valor medio 24
23 Funciones crecientes y decrecientes 26
231 Criterio de la primera derivada para extremos de una funcion 29
232 Criterio de la segunda derivada para extremos de una funcion 30
24 Concavidad y puntos de inflexion 31
25 La regla de Lrsquo Hospital 31
3 Aplicaciones de la derivada 31
31 Trazado de grafica de funciones 31
32 Derivadas parametricas 31
321 Regla de la cadena 31
33 Diferencial de una funcion 31
34 Razon de cambio 31
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La derivada de una funcion real de variable real
10 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo absoluto en x0 entonces f tiene un maximo relativo en dicho punto Lo
contrario no siempre es cierto
11 Una funcion puede tener extremos absolutos en mas de un punto vea el siguiente grafico
En la figura la funcion f
minusrarr
tiene mınimo
absoluto en dos puntos diferentes
En la figura la funcion g
minusrarr
tiene maximo
absoluto en dos puntos diferentes
12 La funcion ldquof rdquo tiene un extremo en el punto x0 si tiene un maximo o mınimo absoluto o relativo en dicho
punto
Y Y
X X
figura (a) figura (b)
x x x x 0 1 2 3 4 5 6x x x x x x x x x x 0 1 2 3 4 5 6
y f x = ( )
y f x = ( )
En la figura (a) Dom(f ) = [x0 x6] la funcion tiene
un mınimo absoluto en el punto x2 y maximo absolu-
to en el punto x5 mientras que tiene mınimo relativo
en los puntos x0 x2 x4 y x6 y maximo relativo en
los puntos x1 x3 y x5
En la figura (b) Dom (f ) = [x0 x6⟩minusx3 la funcion
no tiene mınimo absoluto ni maximo absoluto mien-
tras que tiene mınimo relativo en los puntos x0 x2 y
x4 y maximo relativo en los puntos x1 y x5
Teorema 21 Si la funcion f tiene un extremo en x0 y f prime(x0) existe entonces f prime(x0) = 0
Observaciones
1 Lo contrario no siempre es cierto es decir si f prime(x0) = 0 entonces f no siempre tendra un extremo en x0
Un ejemplo simple es para f (x) = (x minus 2)3 en x0 = 2
2 Si la funcion f tiene un extremo en x0 y f prime
(x0) existe entonces la recta tangente a la grafica de la funcionen el punto
(x0 f (x0)
852009 en horizontal
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La derivada de una funcion real de variable real
3 Si la funcion f tiene un extremo en x0 y f prime(x0) no existe entonces o bien no existe recta tangente a la
grafica de la funcion en el punto(
x0 f (x0)852009
o existen infinitas rectas tangente a la grafica de la funcion en
el punto(
x0 f (x0)852009
pudiendo ser una de ellas una recta vertical
En la figura la funcion f
minusrarr
tiene un extremo
en x = 0 pero f prime(0) no existe ademas la grafica de
esta funcion posee infinitas rectas tangente en el pun-
to(
0 f (0)852009
En la figura la funcion g
minusrarr
tiene extremo en
los puntos x0 x1 existen g prime(x0) g prime(x1) y las rectas
tangente en(
x0 g(x0)852009
y(
x1 g(x1)852009
son horizontales
22 El teorema del valor medio
Teorema 22 (Teorema de Rolle) Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si f es continua en [a b] es derivable en
⟨a b⟩ y f (a) = f (b) entonces existe un c isin ⟨a b⟩ tal que f prime(c) = 0
Observaciones
1 Si la funcion f satisface las hipotesis del teorema de Rolle la existencia del punto c tales que f prime(c) = 0 no
siempre es unica pueden existir otros puntos del intervalo ⟨a b⟩ cuya primera derivada en esos puntos sea
cero
2 La condicion f (a) = f (b) indica que la recta que pasa por los puntos(
a f (a)852009
y(
b f (b)852009
es horizontal El
teorema garantiza la existencia de al menos un punto c isin ⟨a b⟩ tal que la recta tangente a la grafica de la
funcion f el punto(
c f (c)852009
tambien sea horizontal
X X
Y Y
y=f x( )
y=f x( )
figura (a) figura (b)
a c c b1 3 a b
c2
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La derivada de una funcion real de variable real
En la figura (a) la funcion f satisface las hipotesis del
teorema de Rolle por tanto en este caso existen pun-
tos c1 c2 y c3 del intervalo ⟨a b⟩ tal que f prime(c1) = 0
f prime(c2) = 0 y f prime(c3) = 0
En la figura (b) la funcion f no satisface las hipotesis
del teorema de Rolle en tanto no se garantiza la exis-
tencia de puntos del intervalo ⟨a b⟩ tal que la primera
derivada de f en esos puntos sea cero
Teorema 23 (El teorema del valor medio de Lagrange) Sea la funciacute on f [a b]
minusrarr
Si f es continua
en [a b] es derivable en ⟨a b⟩ entonces existe un c isin ⟨a b⟩ tal que
f prime(c) = f (b) minus f (a)
b minus a
Observaciones
1 Si la funcion f satisface las hipotesis del teorema del valor medio de Lagrange la existencia del punto c tales
que f prime(c) = f (b) minus f (a)
b minus a no siempre es unica pueden existir otros puntos del intervalo ⟨a b⟩ cuya primera
derivada en esos puntos sea igual a f (b) minus f (a)
b minus a
2 Sea L la recta que pasa por los puntos(
a f (a)852009
y(
b f (b)852009
el teorema garantiza la existencia de al menosun punto c isin ⟨a b⟩ tal que la recta tangente a la grafica de la funcion f el punto
(c f (c)
852009 sea paralela a L
Y Y
X X
y = f x ( ) y = f x ( )
f a ( )
f a ( )
f b( )
f b( )
figura (a) figura (b)
a c b1 b
c 2 a
L L L
L L L
En la figura (a) la funcion f satisface las hipotesis del
teorema de Lagrange por tanto en este caso existen
puntos c1 y c2 del intervalo ⟨a b⟩ tal que
f prime(c1) = f (b) minus f (a)
b minus a y f prime(c2) =
f (b) minus f (a)
b minus a
En la figura (b) la funcion f no satisface las hipotesis
del teorema de Lagrange en tanto no se garantiza
la existencia de puntos del intervalo ⟨a b⟩ tal que laprimera derivada en ese punto sea igual a
f (b) minus f (a)
b minus a
Teorema 24 (El teorema generalizado del valor medio de Cauchy) Sean las funciones f [a b] minusrarr
y g [a b] minusrarr
continuas en [a b] y derivables en ⟨a b⟩ con g(b) = g(a) y g prime(x) = 0 para todo x isin ⟨a b⟩
entonces existe un c isin ⟨a b⟩ tal que f prime(c)
g prime(c) =
f (b) minus f (a)
g(b) minus g(a)
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La derivada de una funcion real de variable real
23 Funciones crecientes y decrecientes
Definicion 24 (Funcion creciente) Sean empty = A sub
y la funciacute on f A minusrarr
Diremos que la funciacute on f
es creciente o estrictamente creciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) lt f (x2)
Definicion 25 (Funcion decreciente) Sean empty = A sub
y la funci on f A minusrarr
Diremos que la funcion f
es decreciente o estrictamente decreciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) gt f (x2)
Y Y
X X
f x ( )1
f x ( )1
x 1
x 1x 2
x 2
f x ( )2
f x ( )2
Graacutefico de una funcioacutenestrictamente creciente
Graacutefico de una funcioacutenestrictamente decreciente
Definicion 26 (Funcion no creciente) Sean empty = A sub y la funci on f A minusrarr
Diremos que la funciacute on
f es no creciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) ge f (x2)
Definicion 27 (Funcion no decreciente) Sean empty = A sub y la funciacute on f A minusrarr
Diremos que la
funciacute on f es no decreciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) le f (x2)
Y Y
X X
x 1 x 2 x 1 x 2
Graacutefico de una funcioacuten
no decreciente
Graacutefico de una funcioacuten
no creciente
Definicion 28 (Funcion monotona) Sean empty = A sub
y la funci on f A minusrarr
Diremos que la funciacute on f
es monacute otona sobre A si es creciente o decreciente o no creciente o no decreciente sobre A
Observaciones
1 Para definir funciones monotonas (crecientes decrecientes no crecientes o no decrecientes) no es necesario
saber la continuidad y la derivabilidad de la funcion en su dominio
2 Existen funciones monotonas que no son derivables yo continuas en su dominio
Teorema 25 Sean empty = A sub y la funciacute on f A minusrarr Si la funciacute on f es estrictamente creciente sobre A
entonces f es una funciacute on inyectiva y su funcion inversa f lowast tambien es estrictamente creciente sobre Ran(f )
Teorema 26 Sean empty = A sub
y la funci on f A minusrarr
Si la funci on f es estrictamente decreciente sobre A
entonces f es una funciacute on inyectiva y su funciacute on inversa f lowast tambien es estrictamente decreciente sobre Ran(f )
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La derivada de una funcion real de variable real
Y Y
X X
f
f
f
f
Teorema 27 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr
Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩
con f
prime
(x) gt 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es estrictamente creciente sobre [a b]
Teorema 28 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩
con f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es estrictamente decreciente sobre [a b]
X X
a
a b
b
Observaciones
1 Del teorema 27 si la pendiente de todas las rectas tangente a la grafica de la funcion sobre ⟨a b⟩ es positiva
entonces la funcion es estrictamente creciente sobre [a b]
2 Del teorema 28 si la pendiente de todas las rectas tangente a la grafica de la funcion sobre ⟨a b⟩ es negativa
entonces la funcion es estrictamente decreciente sobre [a b]
Teorema 29 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr
Si la funcion f es continua sobre [a b] y es inyectiva en [a b]
entonces f es estrictamente creciente o estrictamente decreciente sobre [a b] pero no ambos
X X
a
a b
b
f ab
ab
es continua e inyectiva sobre [ ]en este caso es creciente sobre [ ]
f ab
ab
es continua e inyectiva sobre [ ]en este caso es decreciente sobre [ ]
f f
Teorema 210 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funciacute on f es continua y estrictamente creciente sobre
[a b] entonces Ran(f ) =1048667
f (a) f (b)1048669
y su funciacute on inversa f lowast 1048667
f (a) f (b)1048669 minusrarr
es tambien continua y
estrictamente creciente sobre [a b]
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La derivada de una funcion real de variable real
Teorema 211 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funcion f es continua y estrictamente decreciente sobre
[a b] entonces Ran(f ) =1048667
f (b) f (a)1048669
y su funciacute on inversa f lowast 1048667
f (b) f (a)1048669 minusrarr
es tambien continua y
estrictamente decreciente sobre [a b]
Teorema 212 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre
⟨a b⟩ con f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es no decreciente sobre [a b]
Teorema 213 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre
⟨a b⟩ con f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es no creciente sobre [a b]
Teorema 214 (de la funcion constante) Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre
[a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩ con f prime(x) = 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es constante sobre [a b] es decir
existe una constante C tal que f (x) = C para todo [a b]
Teorema 215 (de la diferencia constante) Sean las funciones f [a b] minusrarr
y f [a b] minusrarr
Si las
funciones f y g son continuas sobre [a b] y es derivables sobre ⟨a b⟩ con f prime(x) = g prime(x) para todo x isin ⟨a b⟩entonces existe una constante C tal que f (x) = g(x) + C para todo [a b]
Definicion 29 (Punto crıtico) Sean I un intervalo de
x0 un punto de I y la funciacute on f I minusrarr
El
punto x0 es un punto crıtico de la funciacute on f I minusrarr si x0 satisface alguna de las siguientes condiciones
a) f prime(x0) = 0 o b) f prime(x0) = 0 no existe o c) f tiene un extremo en x0
Observaciones
1 Si x0 es un punto crıtico de la funcion f no podemos concluir con certeza una de las condiciones mencionadas
2 Si x0 es un punto crıtico de la funcion f y f prime(x0) = 0 no podemos concluir con certeza que f tiene un
extremo en dicho punto
Por ejemplo sea la funcion f [1 3] minusrarr definida
por f (x) = (x minus 2)3 cuya funcion derivada es
f prime ⟨1 3⟩ minusrarr
983087 f prime(x) = 3(x minus 2)2
En x0 = 2 tenemos f prime(x0) = 0 pero f no tiene
maximo ni mınimo en 2 f tiene un mınimo en 1
y un maximo en 3 por tanto 1 2 y 3 son puntos
crıticos de f
Y
X
1
2
Ejercicio 7 Hal le los puntos crıticos de las siguientes funciones
1 f
minusrarr que estacute a definida por
f (x) = 1
4(x4 minus 6x2 + 8x) + 5
2 f
minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = 3
radic (x + 4)2(x minus 5)
3 f
minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = 5x23 minus x53
4 f
minusrarr
que estacute a definida por f (x) = x + 1
x2 + 1
5 f
minus 1 minusrarr que estacute a definida por
f (x) = x3 minus 2
(x minus 1)2
6 f
minusrarr
que estacute a definida por f (x) = x2 + 3radic
x2 + 1
7 f [minusπ2
π2
] minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = sin2 x minus |x|
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7242019 La derivada de una funci on real de variable real
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La derivada de una funcion real de variable real
231 Criterio de la primera derivada para extremos de una funcion
Aquı presentamos un criterio que nos ayuda a determinar si un punto crıtico es aquel en donde una funcion
alcanza su valor maximo o mınimo
Teorema 216 (Criterio de la primera derivada) Sean la funciacute on f A minusrarr
el intervalo [a b] contenido
en A y x0
isin ⟨a b
⟩ un punto crıtico de f
1 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f tiene un macute aximo en el punto x0
2 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f tiene un mınimo en el punto x0
3 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) gt 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) gt 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f no tiene macute aximo ni mınimo en el punto x0
4 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f no tiene macute aximo ni mınimo en el punto x0
X X
a bx 0a bx 0
f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0lt gt f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0gt lt
f
f
f tiene un maacuteximo en x 0 f tiene un miacutenimo en x 0
X X a bx 0a bx 0
f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0lt lt f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0gt gt
f f
f no tiene un extremo en x 0 f no tiene un extremo en x 0
Observaciones
1 Al ser x0 un punto crıtico de f el criterio de la primera derivada no garantiza que exista f prime(x0)
2 El criterio de la primera derivada requiere que f sea derivable en ⟨a x0⟩ cup ⟨x0 b⟩ mas no en x0
3 Un metodo que nos permite hallar puntos crıticos de la funcion f en [a b] es resolver la ecuacion f prime(x) = 0
sujeta a la condicion x isin ⟨a b⟩ pero tal metodo solo nos proporciona todos los puntos crıticos de f que
cumple la primera condicion dada en la definicion 29
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La derivada de una funcion real de variable real
4 Los graficos anteriores presentan al punto crıtico x0 de f en el cual existe f prime(x0) y es igual a cero es mas
en los dos primeros graficos la recta tangente en el punto (x0 f (x0)) es horizontal iquestCual es el aspecto de
la grafica de f si es que no existiera f prime(x0)
5 Sea x0 isin ⟨a b⟩ un punto crıtico de la funcion f Al utilizar el criterio de la primera derivada para averiguar
si f tiene maximo o mınimo en x0 es necesario resolver las inecuaciones f prime(x) lt 0 y f prime(x) gt 0 sujetas
a la restriccion x isin ⟨a b⟩ tales procesos son sencillos para algunas funciones pero existen funciones paralos cuales tales resoluciones son complicadas y ahı el criterio de la primera derivada no es recomendable
utilizarlo pero tal deficiencia se supera utilizando otro criterio para determinar extremo de una funcion
6 El criterio de la primera derivada tambien es aplicable cuando en lugar del intervalo ⟨a b⟩ se considera a
otros tipos de intervalos abiertos si es que estan contenidos en el dominio de la funcion
Por ejemplo para la funcion f
minusrarr
definida por f (x) = x2 su unico punto crıtico es x0 = 0 f prime(x) lt 0
para todo x lt 0 y f prime(x) gt 0 para todo x gt 0 por tanto f tiene un mınimo en 0 y su valor mınimo es
f (0) = 0
232 Criterio de la segunda derivada para extremos de una funcion
Aquı presentamos otro criterio que nos ayuda a determinar si un punto crıtico es aquel en donde una funcion
alcanza su valor maximo o mınimo este metodo requiere la existencia de la segunda de la funcion en su punto
crıtico
Teorema 217 (Criterio de la segunda derivada) Sean la funciacute on f A minusrarr
el intervalo [a b] contenido
en A y x0 isin ⟨a b⟩ un punto crıtico de f para el cual f primeprime(x0) existe
1 Si la funciacute on f es derivable en ⟨a b⟩ f prime(x0) = 0 y f primeprime(x0) lt 0 entonces f tiene un macute aximo en el punto x0
2 Si la funciacute on f es derivable en
⟨a b
⟩ f prime(x0) = 0 y f primeprime(x0) gt 0 entonces f tiene un mınimo en el punto x0
X X
a bx 0a bx 0
f a b f f es derivable en ( ) 0 ( ) 0 x x 0 0= lt f a b f f es derivable en ( ) 0 ( ) 0 x x 0 0= gt
f
f
f tiene un maacuteximo en x 0 f tiene un miacutenimo en x 0
Observaciones
1 Los graficos anteriores presentan al punto crıtico x0 de f en el cual existe f primeprime(x0) y es diferente a cero
2 El criterio de la segunda derivada tambien es aplicable cuando en lugar del intervalo ⟨a b⟩ se considera a
otros tipos de intervalos abiertos si es que estan contenidos en el dominio de la funcion
Por ejemplo para la funcion f
minusrarr
definida por f (x) = x2 su unico punto crıtico es x0 = 0 y
f primeprime(0) = 2 gt 0 por tanto f tiene un mınimo en 0 y su valor mınimo es f (0) = 0
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La derivada de una funcion real de variable real
24 Concavidad y puntos de inflexion
25 La regla de Lrsquo Hospital
3 Aplicaciones de la derivada
31 Trazado de grafica de funciones
32 Derivadas parametricas
321 Regla de la cadena
33 Diferencial de una funcion
34 Razon de cambio
Indice
1 La derivada 111 Derivadas laterales 4
12 Derivacion y continuidad 5
13 Derivadas de orden superior 7
131 Notacion de derivadas 7
132 El operador d
dx 8
133 La segunda derivada 10
134 Derivada de ordenes mayores a dos 10
135 Notacion de derivadas de ordenes superiores 11
14 Derivadas implıcitas 12
141 Ecuaciones diferenciales ordinarias de lugares geometricos 13
15 Funciones derivables 18
151 Funciones derivables en un intervalo 18
152 Funciones de clase C k 19
153 Funciones no derivables 19
2 Teoremas sobre funciones derivables 21
21 Extremos relativos de una funcion 21
22 El teorema del valor medio 24
23 Funciones crecientes y decrecientes 26
231 Criterio de la primera derivada para extremos de una funcion 29
232 Criterio de la segunda derivada para extremos de una funcion 30
24 Concavidad y puntos de inflexion 31
25 La regla de Lrsquo Hospital 31
3 Aplicaciones de la derivada 31
31 Trazado de grafica de funciones 31
32 Derivadas parametricas 31
321 Regla de la cadena 31
33 Diferencial de una funcion 31
34 Razon de cambio 31
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La derivada de una funcion real de variable real
3 Si la funcion f tiene un extremo en x0 y f prime(x0) no existe entonces o bien no existe recta tangente a la
grafica de la funcion en el punto(
x0 f (x0)852009
o existen infinitas rectas tangente a la grafica de la funcion en
el punto(
x0 f (x0)852009
pudiendo ser una de ellas una recta vertical
En la figura la funcion f
minusrarr
tiene un extremo
en x = 0 pero f prime(0) no existe ademas la grafica de
esta funcion posee infinitas rectas tangente en el pun-
to(
0 f (0)852009
En la figura la funcion g
minusrarr
tiene extremo en
los puntos x0 x1 existen g prime(x0) g prime(x1) y las rectas
tangente en(
x0 g(x0)852009
y(
x1 g(x1)852009
son horizontales
22 El teorema del valor medio
Teorema 22 (Teorema de Rolle) Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si f es continua en [a b] es derivable en
⟨a b⟩ y f (a) = f (b) entonces existe un c isin ⟨a b⟩ tal que f prime(c) = 0
Observaciones
1 Si la funcion f satisface las hipotesis del teorema de Rolle la existencia del punto c tales que f prime(c) = 0 no
siempre es unica pueden existir otros puntos del intervalo ⟨a b⟩ cuya primera derivada en esos puntos sea
cero
2 La condicion f (a) = f (b) indica que la recta que pasa por los puntos(
a f (a)852009
y(
b f (b)852009
es horizontal El
teorema garantiza la existencia de al menos un punto c isin ⟨a b⟩ tal que la recta tangente a la grafica de la
funcion f el punto(
c f (c)852009
tambien sea horizontal
X X
Y Y
y=f x( )
y=f x( )
figura (a) figura (b)
a c c b1 3 a b
c2
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La derivada de una funcion real de variable real
En la figura (a) la funcion f satisface las hipotesis del
teorema de Rolle por tanto en este caso existen pun-
tos c1 c2 y c3 del intervalo ⟨a b⟩ tal que f prime(c1) = 0
f prime(c2) = 0 y f prime(c3) = 0
En la figura (b) la funcion f no satisface las hipotesis
del teorema de Rolle en tanto no se garantiza la exis-
tencia de puntos del intervalo ⟨a b⟩ tal que la primera
derivada de f en esos puntos sea cero
Teorema 23 (El teorema del valor medio de Lagrange) Sea la funciacute on f [a b]
minusrarr
Si f es continua
en [a b] es derivable en ⟨a b⟩ entonces existe un c isin ⟨a b⟩ tal que
f prime(c) = f (b) minus f (a)
b minus a
Observaciones
1 Si la funcion f satisface las hipotesis del teorema del valor medio de Lagrange la existencia del punto c tales
que f prime(c) = f (b) minus f (a)
b minus a no siempre es unica pueden existir otros puntos del intervalo ⟨a b⟩ cuya primera
derivada en esos puntos sea igual a f (b) minus f (a)
b minus a
2 Sea L la recta que pasa por los puntos(
a f (a)852009
y(
b f (b)852009
el teorema garantiza la existencia de al menosun punto c isin ⟨a b⟩ tal que la recta tangente a la grafica de la funcion f el punto
(c f (c)
852009 sea paralela a L
Y Y
X X
y = f x ( ) y = f x ( )
f a ( )
f a ( )
f b( )
f b( )
figura (a) figura (b)
a c b1 b
c 2 a
L L L
L L L
En la figura (a) la funcion f satisface las hipotesis del
teorema de Lagrange por tanto en este caso existen
puntos c1 y c2 del intervalo ⟨a b⟩ tal que
f prime(c1) = f (b) minus f (a)
b minus a y f prime(c2) =
f (b) minus f (a)
b minus a
En la figura (b) la funcion f no satisface las hipotesis
del teorema de Lagrange en tanto no se garantiza
la existencia de puntos del intervalo ⟨a b⟩ tal que laprimera derivada en ese punto sea igual a
f (b) minus f (a)
b minus a
Teorema 24 (El teorema generalizado del valor medio de Cauchy) Sean las funciones f [a b] minusrarr
y g [a b] minusrarr
continuas en [a b] y derivables en ⟨a b⟩ con g(b) = g(a) y g prime(x) = 0 para todo x isin ⟨a b⟩
entonces existe un c isin ⟨a b⟩ tal que f prime(c)
g prime(c) =
f (b) minus f (a)
g(b) minus g(a)
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La derivada de una funcion real de variable real
23 Funciones crecientes y decrecientes
Definicion 24 (Funcion creciente) Sean empty = A sub
y la funciacute on f A minusrarr
Diremos que la funciacute on f
es creciente o estrictamente creciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) lt f (x2)
Definicion 25 (Funcion decreciente) Sean empty = A sub
y la funci on f A minusrarr
Diremos que la funcion f
es decreciente o estrictamente decreciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) gt f (x2)
Y Y
X X
f x ( )1
f x ( )1
x 1
x 1x 2
x 2
f x ( )2
f x ( )2
Graacutefico de una funcioacutenestrictamente creciente
Graacutefico de una funcioacutenestrictamente decreciente
Definicion 26 (Funcion no creciente) Sean empty = A sub y la funci on f A minusrarr
Diremos que la funciacute on
f es no creciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) ge f (x2)
Definicion 27 (Funcion no decreciente) Sean empty = A sub y la funciacute on f A minusrarr
Diremos que la
funciacute on f es no decreciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) le f (x2)
Y Y
X X
x 1 x 2 x 1 x 2
Graacutefico de una funcioacuten
no decreciente
Graacutefico de una funcioacuten
no creciente
Definicion 28 (Funcion monotona) Sean empty = A sub
y la funci on f A minusrarr
Diremos que la funciacute on f
es monacute otona sobre A si es creciente o decreciente o no creciente o no decreciente sobre A
Observaciones
1 Para definir funciones monotonas (crecientes decrecientes no crecientes o no decrecientes) no es necesario
saber la continuidad y la derivabilidad de la funcion en su dominio
2 Existen funciones monotonas que no son derivables yo continuas en su dominio
Teorema 25 Sean empty = A sub y la funciacute on f A minusrarr Si la funciacute on f es estrictamente creciente sobre A
entonces f es una funciacute on inyectiva y su funcion inversa f lowast tambien es estrictamente creciente sobre Ran(f )
Teorema 26 Sean empty = A sub
y la funci on f A minusrarr
Si la funci on f es estrictamente decreciente sobre A
entonces f es una funciacute on inyectiva y su funciacute on inversa f lowast tambien es estrictamente decreciente sobre Ran(f )
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La derivada de una funcion real de variable real
Y Y
X X
f
f
f
f
Teorema 27 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr
Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩
con f
prime
(x) gt 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es estrictamente creciente sobre [a b]
Teorema 28 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩
con f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es estrictamente decreciente sobre [a b]
X X
a
a b
b
Observaciones
1 Del teorema 27 si la pendiente de todas las rectas tangente a la grafica de la funcion sobre ⟨a b⟩ es positiva
entonces la funcion es estrictamente creciente sobre [a b]
2 Del teorema 28 si la pendiente de todas las rectas tangente a la grafica de la funcion sobre ⟨a b⟩ es negativa
entonces la funcion es estrictamente decreciente sobre [a b]
Teorema 29 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr
Si la funcion f es continua sobre [a b] y es inyectiva en [a b]
entonces f es estrictamente creciente o estrictamente decreciente sobre [a b] pero no ambos
X X
a
a b
b
f ab
ab
es continua e inyectiva sobre [ ]en este caso es creciente sobre [ ]
f ab
ab
es continua e inyectiva sobre [ ]en este caso es decreciente sobre [ ]
f f
Teorema 210 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funciacute on f es continua y estrictamente creciente sobre
[a b] entonces Ran(f ) =1048667
f (a) f (b)1048669
y su funciacute on inversa f lowast 1048667
f (a) f (b)1048669 minusrarr
es tambien continua y
estrictamente creciente sobre [a b]
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La derivada de una funcion real de variable real
Teorema 211 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funcion f es continua y estrictamente decreciente sobre
[a b] entonces Ran(f ) =1048667
f (b) f (a)1048669
y su funciacute on inversa f lowast 1048667
f (b) f (a)1048669 minusrarr
es tambien continua y
estrictamente decreciente sobre [a b]
Teorema 212 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre
⟨a b⟩ con f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es no decreciente sobre [a b]
Teorema 213 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre
⟨a b⟩ con f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es no creciente sobre [a b]
Teorema 214 (de la funcion constante) Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre
[a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩ con f prime(x) = 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es constante sobre [a b] es decir
existe una constante C tal que f (x) = C para todo [a b]
Teorema 215 (de la diferencia constante) Sean las funciones f [a b] minusrarr
y f [a b] minusrarr
Si las
funciones f y g son continuas sobre [a b] y es derivables sobre ⟨a b⟩ con f prime(x) = g prime(x) para todo x isin ⟨a b⟩entonces existe una constante C tal que f (x) = g(x) + C para todo [a b]
Definicion 29 (Punto crıtico) Sean I un intervalo de
x0 un punto de I y la funciacute on f I minusrarr
El
punto x0 es un punto crıtico de la funciacute on f I minusrarr si x0 satisface alguna de las siguientes condiciones
a) f prime(x0) = 0 o b) f prime(x0) = 0 no existe o c) f tiene un extremo en x0
Observaciones
1 Si x0 es un punto crıtico de la funcion f no podemos concluir con certeza una de las condiciones mencionadas
2 Si x0 es un punto crıtico de la funcion f y f prime(x0) = 0 no podemos concluir con certeza que f tiene un
extremo en dicho punto
Por ejemplo sea la funcion f [1 3] minusrarr definida
por f (x) = (x minus 2)3 cuya funcion derivada es
f prime ⟨1 3⟩ minusrarr
983087 f prime(x) = 3(x minus 2)2
En x0 = 2 tenemos f prime(x0) = 0 pero f no tiene
maximo ni mınimo en 2 f tiene un mınimo en 1
y un maximo en 3 por tanto 1 2 y 3 son puntos
crıticos de f
Y
X
1
2
Ejercicio 7 Hal le los puntos crıticos de las siguientes funciones
1 f
minusrarr que estacute a definida por
f (x) = 1
4(x4 minus 6x2 + 8x) + 5
2 f
minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = 3
radic (x + 4)2(x minus 5)
3 f
minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = 5x23 minus x53
4 f
minusrarr
que estacute a definida por f (x) = x + 1
x2 + 1
5 f
minus 1 minusrarr que estacute a definida por
f (x) = x3 minus 2
(x minus 1)2
6 f
minusrarr
que estacute a definida por f (x) = x2 + 3radic
x2 + 1
7 f [minusπ2
π2
] minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = sin2 x minus |x|
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La derivada de una funcion real de variable real
231 Criterio de la primera derivada para extremos de una funcion
Aquı presentamos un criterio que nos ayuda a determinar si un punto crıtico es aquel en donde una funcion
alcanza su valor maximo o mınimo
Teorema 216 (Criterio de la primera derivada) Sean la funciacute on f A minusrarr
el intervalo [a b] contenido
en A y x0
isin ⟨a b
⟩ un punto crıtico de f
1 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f tiene un macute aximo en el punto x0
2 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f tiene un mınimo en el punto x0
3 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) gt 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) gt 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f no tiene macute aximo ni mınimo en el punto x0
4 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f no tiene macute aximo ni mınimo en el punto x0
X X
a bx 0a bx 0
f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0lt gt f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0gt lt
f
f
f tiene un maacuteximo en x 0 f tiene un miacutenimo en x 0
X X a bx 0a bx 0
f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0lt lt f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0gt gt
f f
f no tiene un extremo en x 0 f no tiene un extremo en x 0
Observaciones
1 Al ser x0 un punto crıtico de f el criterio de la primera derivada no garantiza que exista f prime(x0)
2 El criterio de la primera derivada requiere que f sea derivable en ⟨a x0⟩ cup ⟨x0 b⟩ mas no en x0
3 Un metodo que nos permite hallar puntos crıticos de la funcion f en [a b] es resolver la ecuacion f prime(x) = 0
sujeta a la condicion x isin ⟨a b⟩ pero tal metodo solo nos proporciona todos los puntos crıticos de f que
cumple la primera condicion dada en la definicion 29
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La derivada de una funcion real de variable real
4 Los graficos anteriores presentan al punto crıtico x0 de f en el cual existe f prime(x0) y es igual a cero es mas
en los dos primeros graficos la recta tangente en el punto (x0 f (x0)) es horizontal iquestCual es el aspecto de
la grafica de f si es que no existiera f prime(x0)
5 Sea x0 isin ⟨a b⟩ un punto crıtico de la funcion f Al utilizar el criterio de la primera derivada para averiguar
si f tiene maximo o mınimo en x0 es necesario resolver las inecuaciones f prime(x) lt 0 y f prime(x) gt 0 sujetas
a la restriccion x isin ⟨a b⟩ tales procesos son sencillos para algunas funciones pero existen funciones paralos cuales tales resoluciones son complicadas y ahı el criterio de la primera derivada no es recomendable
utilizarlo pero tal deficiencia se supera utilizando otro criterio para determinar extremo de una funcion
6 El criterio de la primera derivada tambien es aplicable cuando en lugar del intervalo ⟨a b⟩ se considera a
otros tipos de intervalos abiertos si es que estan contenidos en el dominio de la funcion
Por ejemplo para la funcion f
minusrarr
definida por f (x) = x2 su unico punto crıtico es x0 = 0 f prime(x) lt 0
para todo x lt 0 y f prime(x) gt 0 para todo x gt 0 por tanto f tiene un mınimo en 0 y su valor mınimo es
f (0) = 0
232 Criterio de la segunda derivada para extremos de una funcion
Aquı presentamos otro criterio que nos ayuda a determinar si un punto crıtico es aquel en donde una funcion
alcanza su valor maximo o mınimo este metodo requiere la existencia de la segunda de la funcion en su punto
crıtico
Teorema 217 (Criterio de la segunda derivada) Sean la funciacute on f A minusrarr
el intervalo [a b] contenido
en A y x0 isin ⟨a b⟩ un punto crıtico de f para el cual f primeprime(x0) existe
1 Si la funciacute on f es derivable en ⟨a b⟩ f prime(x0) = 0 y f primeprime(x0) lt 0 entonces f tiene un macute aximo en el punto x0
2 Si la funciacute on f es derivable en
⟨a b
⟩ f prime(x0) = 0 y f primeprime(x0) gt 0 entonces f tiene un mınimo en el punto x0
X X
a bx 0a bx 0
f a b f f es derivable en ( ) 0 ( ) 0 x x 0 0= lt f a b f f es derivable en ( ) 0 ( ) 0 x x 0 0= gt
f
f
f tiene un maacuteximo en x 0 f tiene un miacutenimo en x 0
Observaciones
1 Los graficos anteriores presentan al punto crıtico x0 de f en el cual existe f primeprime(x0) y es diferente a cero
2 El criterio de la segunda derivada tambien es aplicable cuando en lugar del intervalo ⟨a b⟩ se considera a
otros tipos de intervalos abiertos si es que estan contenidos en el dominio de la funcion
Por ejemplo para la funcion f
minusrarr
definida por f (x) = x2 su unico punto crıtico es x0 = 0 y
f primeprime(0) = 2 gt 0 por tanto f tiene un mınimo en 0 y su valor mınimo es f (0) = 0
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La derivada de una funcion real de variable real
24 Concavidad y puntos de inflexion
25 La regla de Lrsquo Hospital
3 Aplicaciones de la derivada
31 Trazado de grafica de funciones
32 Derivadas parametricas
321 Regla de la cadena
33 Diferencial de una funcion
34 Razon de cambio
Indice
1 La derivada 111 Derivadas laterales 4
12 Derivacion y continuidad 5
13 Derivadas de orden superior 7
131 Notacion de derivadas 7
132 El operador d
dx 8
133 La segunda derivada 10
134 Derivada de ordenes mayores a dos 10
135 Notacion de derivadas de ordenes superiores 11
14 Derivadas implıcitas 12
141 Ecuaciones diferenciales ordinarias de lugares geometricos 13
15 Funciones derivables 18
151 Funciones derivables en un intervalo 18
152 Funciones de clase C k 19
153 Funciones no derivables 19
2 Teoremas sobre funciones derivables 21
21 Extremos relativos de una funcion 21
22 El teorema del valor medio 24
23 Funciones crecientes y decrecientes 26
231 Criterio de la primera derivada para extremos de una funcion 29
232 Criterio de la segunda derivada para extremos de una funcion 30
24 Concavidad y puntos de inflexion 31
25 La regla de Lrsquo Hospital 31
3 Aplicaciones de la derivada 31
31 Trazado de grafica de funciones 31
32 Derivadas parametricas 31
321 Regla de la cadena 31
33 Diferencial de una funcion 31
34 Razon de cambio 31
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La derivada de una funcion real de variable real
En la figura (a) la funcion f satisface las hipotesis del
teorema de Rolle por tanto en este caso existen pun-
tos c1 c2 y c3 del intervalo ⟨a b⟩ tal que f prime(c1) = 0
f prime(c2) = 0 y f prime(c3) = 0
En la figura (b) la funcion f no satisface las hipotesis
del teorema de Rolle en tanto no se garantiza la exis-
tencia de puntos del intervalo ⟨a b⟩ tal que la primera
derivada de f en esos puntos sea cero
Teorema 23 (El teorema del valor medio de Lagrange) Sea la funciacute on f [a b]
minusrarr
Si f es continua
en [a b] es derivable en ⟨a b⟩ entonces existe un c isin ⟨a b⟩ tal que
f prime(c) = f (b) minus f (a)
b minus a
Observaciones
1 Si la funcion f satisface las hipotesis del teorema del valor medio de Lagrange la existencia del punto c tales
que f prime(c) = f (b) minus f (a)
b minus a no siempre es unica pueden existir otros puntos del intervalo ⟨a b⟩ cuya primera
derivada en esos puntos sea igual a f (b) minus f (a)
b minus a
2 Sea L la recta que pasa por los puntos(
a f (a)852009
y(
b f (b)852009
el teorema garantiza la existencia de al menosun punto c isin ⟨a b⟩ tal que la recta tangente a la grafica de la funcion f el punto
(c f (c)
852009 sea paralela a L
Y Y
X X
y = f x ( ) y = f x ( )
f a ( )
f a ( )
f b( )
f b( )
figura (a) figura (b)
a c b1 b
c 2 a
L L L
L L L
En la figura (a) la funcion f satisface las hipotesis del
teorema de Lagrange por tanto en este caso existen
puntos c1 y c2 del intervalo ⟨a b⟩ tal que
f prime(c1) = f (b) minus f (a)
b minus a y f prime(c2) =
f (b) minus f (a)
b minus a
En la figura (b) la funcion f no satisface las hipotesis
del teorema de Lagrange en tanto no se garantiza
la existencia de puntos del intervalo ⟨a b⟩ tal que laprimera derivada en ese punto sea igual a
f (b) minus f (a)
b minus a
Teorema 24 (El teorema generalizado del valor medio de Cauchy) Sean las funciones f [a b] minusrarr
y g [a b] minusrarr
continuas en [a b] y derivables en ⟨a b⟩ con g(b) = g(a) y g prime(x) = 0 para todo x isin ⟨a b⟩
entonces existe un c isin ⟨a b⟩ tal que f prime(c)
g prime(c) =
f (b) minus f (a)
g(b) minus g(a)
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La derivada de una funcion real de variable real
23 Funciones crecientes y decrecientes
Definicion 24 (Funcion creciente) Sean empty = A sub
y la funciacute on f A minusrarr
Diremos que la funciacute on f
es creciente o estrictamente creciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) lt f (x2)
Definicion 25 (Funcion decreciente) Sean empty = A sub
y la funci on f A minusrarr
Diremos que la funcion f
es decreciente o estrictamente decreciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) gt f (x2)
Y Y
X X
f x ( )1
f x ( )1
x 1
x 1x 2
x 2
f x ( )2
f x ( )2
Graacutefico de una funcioacutenestrictamente creciente
Graacutefico de una funcioacutenestrictamente decreciente
Definicion 26 (Funcion no creciente) Sean empty = A sub y la funci on f A minusrarr
Diremos que la funciacute on
f es no creciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) ge f (x2)
Definicion 27 (Funcion no decreciente) Sean empty = A sub y la funciacute on f A minusrarr
Diremos que la
funciacute on f es no decreciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) le f (x2)
Y Y
X X
x 1 x 2 x 1 x 2
Graacutefico de una funcioacuten
no decreciente
Graacutefico de una funcioacuten
no creciente
Definicion 28 (Funcion monotona) Sean empty = A sub
y la funci on f A minusrarr
Diremos que la funciacute on f
es monacute otona sobre A si es creciente o decreciente o no creciente o no decreciente sobre A
Observaciones
1 Para definir funciones monotonas (crecientes decrecientes no crecientes o no decrecientes) no es necesario
saber la continuidad y la derivabilidad de la funcion en su dominio
2 Existen funciones monotonas que no son derivables yo continuas en su dominio
Teorema 25 Sean empty = A sub y la funciacute on f A minusrarr Si la funciacute on f es estrictamente creciente sobre A
entonces f es una funciacute on inyectiva y su funcion inversa f lowast tambien es estrictamente creciente sobre Ran(f )
Teorema 26 Sean empty = A sub
y la funci on f A minusrarr
Si la funci on f es estrictamente decreciente sobre A
entonces f es una funciacute on inyectiva y su funciacute on inversa f lowast tambien es estrictamente decreciente sobre Ran(f )
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La derivada de una funcion real de variable real
Y Y
X X
f
f
f
f
Teorema 27 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr
Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩
con f
prime
(x) gt 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es estrictamente creciente sobre [a b]
Teorema 28 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩
con f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es estrictamente decreciente sobre [a b]
X X
a
a b
b
Observaciones
1 Del teorema 27 si la pendiente de todas las rectas tangente a la grafica de la funcion sobre ⟨a b⟩ es positiva
entonces la funcion es estrictamente creciente sobre [a b]
2 Del teorema 28 si la pendiente de todas las rectas tangente a la grafica de la funcion sobre ⟨a b⟩ es negativa
entonces la funcion es estrictamente decreciente sobre [a b]
Teorema 29 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr
Si la funcion f es continua sobre [a b] y es inyectiva en [a b]
entonces f es estrictamente creciente o estrictamente decreciente sobre [a b] pero no ambos
X X
a
a b
b
f ab
ab
es continua e inyectiva sobre [ ]en este caso es creciente sobre [ ]
f ab
ab
es continua e inyectiva sobre [ ]en este caso es decreciente sobre [ ]
f f
Teorema 210 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funciacute on f es continua y estrictamente creciente sobre
[a b] entonces Ran(f ) =1048667
f (a) f (b)1048669
y su funciacute on inversa f lowast 1048667
f (a) f (b)1048669 minusrarr
es tambien continua y
estrictamente creciente sobre [a b]
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La derivada de una funcion real de variable real
Teorema 211 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funcion f es continua y estrictamente decreciente sobre
[a b] entonces Ran(f ) =1048667
f (b) f (a)1048669
y su funciacute on inversa f lowast 1048667
f (b) f (a)1048669 minusrarr
es tambien continua y
estrictamente decreciente sobre [a b]
Teorema 212 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre
⟨a b⟩ con f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es no decreciente sobre [a b]
Teorema 213 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre
⟨a b⟩ con f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es no creciente sobre [a b]
Teorema 214 (de la funcion constante) Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre
[a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩ con f prime(x) = 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es constante sobre [a b] es decir
existe una constante C tal que f (x) = C para todo [a b]
Teorema 215 (de la diferencia constante) Sean las funciones f [a b] minusrarr
y f [a b] minusrarr
Si las
funciones f y g son continuas sobre [a b] y es derivables sobre ⟨a b⟩ con f prime(x) = g prime(x) para todo x isin ⟨a b⟩entonces existe una constante C tal que f (x) = g(x) + C para todo [a b]
Definicion 29 (Punto crıtico) Sean I un intervalo de
x0 un punto de I y la funciacute on f I minusrarr
El
punto x0 es un punto crıtico de la funciacute on f I minusrarr si x0 satisface alguna de las siguientes condiciones
a) f prime(x0) = 0 o b) f prime(x0) = 0 no existe o c) f tiene un extremo en x0
Observaciones
1 Si x0 es un punto crıtico de la funcion f no podemos concluir con certeza una de las condiciones mencionadas
2 Si x0 es un punto crıtico de la funcion f y f prime(x0) = 0 no podemos concluir con certeza que f tiene un
extremo en dicho punto
Por ejemplo sea la funcion f [1 3] minusrarr definida
por f (x) = (x minus 2)3 cuya funcion derivada es
f prime ⟨1 3⟩ minusrarr
983087 f prime(x) = 3(x minus 2)2
En x0 = 2 tenemos f prime(x0) = 0 pero f no tiene
maximo ni mınimo en 2 f tiene un mınimo en 1
y un maximo en 3 por tanto 1 2 y 3 son puntos
crıticos de f
Y
X
1
2
Ejercicio 7 Hal le los puntos crıticos de las siguientes funciones
1 f
minusrarr que estacute a definida por
f (x) = 1
4(x4 minus 6x2 + 8x) + 5
2 f
minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = 3
radic (x + 4)2(x minus 5)
3 f
minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = 5x23 minus x53
4 f
minusrarr
que estacute a definida por f (x) = x + 1
x2 + 1
5 f
minus 1 minusrarr que estacute a definida por
f (x) = x3 minus 2
(x minus 1)2
6 f
minusrarr
que estacute a definida por f (x) = x2 + 3radic
x2 + 1
7 f [minusπ2
π2
] minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = sin2 x minus |x|
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La derivada de una funcion real de variable real
231 Criterio de la primera derivada para extremos de una funcion
Aquı presentamos un criterio que nos ayuda a determinar si un punto crıtico es aquel en donde una funcion
alcanza su valor maximo o mınimo
Teorema 216 (Criterio de la primera derivada) Sean la funciacute on f A minusrarr
el intervalo [a b] contenido
en A y x0
isin ⟨a b
⟩ un punto crıtico de f
1 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f tiene un macute aximo en el punto x0
2 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f tiene un mınimo en el punto x0
3 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) gt 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) gt 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f no tiene macute aximo ni mınimo en el punto x0
4 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f no tiene macute aximo ni mınimo en el punto x0
X X
a bx 0a bx 0
f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0lt gt f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0gt lt
f
f
f tiene un maacuteximo en x 0 f tiene un miacutenimo en x 0
X X a bx 0a bx 0
f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0lt lt f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0gt gt
f f
f no tiene un extremo en x 0 f no tiene un extremo en x 0
Observaciones
1 Al ser x0 un punto crıtico de f el criterio de la primera derivada no garantiza que exista f prime(x0)
2 El criterio de la primera derivada requiere que f sea derivable en ⟨a x0⟩ cup ⟨x0 b⟩ mas no en x0
3 Un metodo que nos permite hallar puntos crıticos de la funcion f en [a b] es resolver la ecuacion f prime(x) = 0
sujeta a la condicion x isin ⟨a b⟩ pero tal metodo solo nos proporciona todos los puntos crıticos de f que
cumple la primera condicion dada en la definicion 29
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La derivada de una funcion real de variable real
4 Los graficos anteriores presentan al punto crıtico x0 de f en el cual existe f prime(x0) y es igual a cero es mas
en los dos primeros graficos la recta tangente en el punto (x0 f (x0)) es horizontal iquestCual es el aspecto de
la grafica de f si es que no existiera f prime(x0)
5 Sea x0 isin ⟨a b⟩ un punto crıtico de la funcion f Al utilizar el criterio de la primera derivada para averiguar
si f tiene maximo o mınimo en x0 es necesario resolver las inecuaciones f prime(x) lt 0 y f prime(x) gt 0 sujetas
a la restriccion x isin ⟨a b⟩ tales procesos son sencillos para algunas funciones pero existen funciones paralos cuales tales resoluciones son complicadas y ahı el criterio de la primera derivada no es recomendable
utilizarlo pero tal deficiencia se supera utilizando otro criterio para determinar extremo de una funcion
6 El criterio de la primera derivada tambien es aplicable cuando en lugar del intervalo ⟨a b⟩ se considera a
otros tipos de intervalos abiertos si es que estan contenidos en el dominio de la funcion
Por ejemplo para la funcion f
minusrarr
definida por f (x) = x2 su unico punto crıtico es x0 = 0 f prime(x) lt 0
para todo x lt 0 y f prime(x) gt 0 para todo x gt 0 por tanto f tiene un mınimo en 0 y su valor mınimo es
f (0) = 0
232 Criterio de la segunda derivada para extremos de una funcion
Aquı presentamos otro criterio que nos ayuda a determinar si un punto crıtico es aquel en donde una funcion
alcanza su valor maximo o mınimo este metodo requiere la existencia de la segunda de la funcion en su punto
crıtico
Teorema 217 (Criterio de la segunda derivada) Sean la funciacute on f A minusrarr
el intervalo [a b] contenido
en A y x0 isin ⟨a b⟩ un punto crıtico de f para el cual f primeprime(x0) existe
1 Si la funciacute on f es derivable en ⟨a b⟩ f prime(x0) = 0 y f primeprime(x0) lt 0 entonces f tiene un macute aximo en el punto x0
2 Si la funciacute on f es derivable en
⟨a b
⟩ f prime(x0) = 0 y f primeprime(x0) gt 0 entonces f tiene un mınimo en el punto x0
X X
a bx 0a bx 0
f a b f f es derivable en ( ) 0 ( ) 0 x x 0 0= lt f a b f f es derivable en ( ) 0 ( ) 0 x x 0 0= gt
f
f
f tiene un maacuteximo en x 0 f tiene un miacutenimo en x 0
Observaciones
1 Los graficos anteriores presentan al punto crıtico x0 de f en el cual existe f primeprime(x0) y es diferente a cero
2 El criterio de la segunda derivada tambien es aplicable cuando en lugar del intervalo ⟨a b⟩ se considera a
otros tipos de intervalos abiertos si es que estan contenidos en el dominio de la funcion
Por ejemplo para la funcion f
minusrarr
definida por f (x) = x2 su unico punto crıtico es x0 = 0 y
f primeprime(0) = 2 gt 0 por tanto f tiene un mınimo en 0 y su valor mınimo es f (0) = 0
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La derivada de una funcion real de variable real
24 Concavidad y puntos de inflexion
25 La regla de Lrsquo Hospital
3 Aplicaciones de la derivada
31 Trazado de grafica de funciones
32 Derivadas parametricas
321 Regla de la cadena
33 Diferencial de una funcion
34 Razon de cambio
Indice
1 La derivada 111 Derivadas laterales 4
12 Derivacion y continuidad 5
13 Derivadas de orden superior 7
131 Notacion de derivadas 7
132 El operador d
dx 8
133 La segunda derivada 10
134 Derivada de ordenes mayores a dos 10
135 Notacion de derivadas de ordenes superiores 11
14 Derivadas implıcitas 12
141 Ecuaciones diferenciales ordinarias de lugares geometricos 13
15 Funciones derivables 18
151 Funciones derivables en un intervalo 18
152 Funciones de clase C k 19
153 Funciones no derivables 19
2 Teoremas sobre funciones derivables 21
21 Extremos relativos de una funcion 21
22 El teorema del valor medio 24
23 Funciones crecientes y decrecientes 26
231 Criterio de la primera derivada para extremos de una funcion 29
232 Criterio de la segunda derivada para extremos de una funcion 30
24 Concavidad y puntos de inflexion 31
25 La regla de Lrsquo Hospital 31
3 Aplicaciones de la derivada 31
31 Trazado de grafica de funciones 31
32 Derivadas parametricas 31
321 Regla de la cadena 31
33 Diferencial de una funcion 31
34 Razon de cambio 31
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La derivada de una funcion real de variable real
23 Funciones crecientes y decrecientes
Definicion 24 (Funcion creciente) Sean empty = A sub
y la funciacute on f A minusrarr
Diremos que la funciacute on f
es creciente o estrictamente creciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) lt f (x2)
Definicion 25 (Funcion decreciente) Sean empty = A sub
y la funci on f A minusrarr
Diremos que la funcion f
es decreciente o estrictamente decreciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) gt f (x2)
Y Y
X X
f x ( )1
f x ( )1
x 1
x 1x 2
x 2
f x ( )2
f x ( )2
Graacutefico de una funcioacutenestrictamente creciente
Graacutefico de una funcioacutenestrictamente decreciente
Definicion 26 (Funcion no creciente) Sean empty = A sub y la funci on f A minusrarr
Diremos que la funciacute on
f es no creciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) ge f (x2)
Definicion 27 (Funcion no decreciente) Sean empty = A sub y la funciacute on f A minusrarr
Diremos que la
funciacute on f es no decreciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) le f (x2)
Y Y
X X
x 1 x 2 x 1 x 2
Graacutefico de una funcioacuten
no decreciente
Graacutefico de una funcioacuten
no creciente
Definicion 28 (Funcion monotona) Sean empty = A sub
y la funci on f A minusrarr
Diremos que la funciacute on f
es monacute otona sobre A si es creciente o decreciente o no creciente o no decreciente sobre A
Observaciones
1 Para definir funciones monotonas (crecientes decrecientes no crecientes o no decrecientes) no es necesario
saber la continuidad y la derivabilidad de la funcion en su dominio
2 Existen funciones monotonas que no son derivables yo continuas en su dominio
Teorema 25 Sean empty = A sub y la funciacute on f A minusrarr Si la funciacute on f es estrictamente creciente sobre A
entonces f es una funciacute on inyectiva y su funcion inversa f lowast tambien es estrictamente creciente sobre Ran(f )
Teorema 26 Sean empty = A sub
y la funci on f A minusrarr
Si la funci on f es estrictamente decreciente sobre A
entonces f es una funciacute on inyectiva y su funciacute on inversa f lowast tambien es estrictamente decreciente sobre Ran(f )
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La derivada de una funcion real de variable real
Y Y
X X
f
f
f
f
Teorema 27 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr
Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩
con f
prime
(x) gt 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es estrictamente creciente sobre [a b]
Teorema 28 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩
con f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es estrictamente decreciente sobre [a b]
X X
a
a b
b
Observaciones
1 Del teorema 27 si la pendiente de todas las rectas tangente a la grafica de la funcion sobre ⟨a b⟩ es positiva
entonces la funcion es estrictamente creciente sobre [a b]
2 Del teorema 28 si la pendiente de todas las rectas tangente a la grafica de la funcion sobre ⟨a b⟩ es negativa
entonces la funcion es estrictamente decreciente sobre [a b]
Teorema 29 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr
Si la funcion f es continua sobre [a b] y es inyectiva en [a b]
entonces f es estrictamente creciente o estrictamente decreciente sobre [a b] pero no ambos
X X
a
a b
b
f ab
ab
es continua e inyectiva sobre [ ]en este caso es creciente sobre [ ]
f ab
ab
es continua e inyectiva sobre [ ]en este caso es decreciente sobre [ ]
f f
Teorema 210 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funciacute on f es continua y estrictamente creciente sobre
[a b] entonces Ran(f ) =1048667
f (a) f (b)1048669
y su funciacute on inversa f lowast 1048667
f (a) f (b)1048669 minusrarr
es tambien continua y
estrictamente creciente sobre [a b]
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La derivada de una funcion real de variable real
Teorema 211 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funcion f es continua y estrictamente decreciente sobre
[a b] entonces Ran(f ) =1048667
f (b) f (a)1048669
y su funciacute on inversa f lowast 1048667
f (b) f (a)1048669 minusrarr
es tambien continua y
estrictamente decreciente sobre [a b]
Teorema 212 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre
⟨a b⟩ con f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es no decreciente sobre [a b]
Teorema 213 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre
⟨a b⟩ con f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es no creciente sobre [a b]
Teorema 214 (de la funcion constante) Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre
[a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩ con f prime(x) = 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es constante sobre [a b] es decir
existe una constante C tal que f (x) = C para todo [a b]
Teorema 215 (de la diferencia constante) Sean las funciones f [a b] minusrarr
y f [a b] minusrarr
Si las
funciones f y g son continuas sobre [a b] y es derivables sobre ⟨a b⟩ con f prime(x) = g prime(x) para todo x isin ⟨a b⟩entonces existe una constante C tal que f (x) = g(x) + C para todo [a b]
Definicion 29 (Punto crıtico) Sean I un intervalo de
x0 un punto de I y la funciacute on f I minusrarr
El
punto x0 es un punto crıtico de la funciacute on f I minusrarr si x0 satisface alguna de las siguientes condiciones
a) f prime(x0) = 0 o b) f prime(x0) = 0 no existe o c) f tiene un extremo en x0
Observaciones
1 Si x0 es un punto crıtico de la funcion f no podemos concluir con certeza una de las condiciones mencionadas
2 Si x0 es un punto crıtico de la funcion f y f prime(x0) = 0 no podemos concluir con certeza que f tiene un
extremo en dicho punto
Por ejemplo sea la funcion f [1 3] minusrarr definida
por f (x) = (x minus 2)3 cuya funcion derivada es
f prime ⟨1 3⟩ minusrarr
983087 f prime(x) = 3(x minus 2)2
En x0 = 2 tenemos f prime(x0) = 0 pero f no tiene
maximo ni mınimo en 2 f tiene un mınimo en 1
y un maximo en 3 por tanto 1 2 y 3 son puntos
crıticos de f
Y
X
1
2
Ejercicio 7 Hal le los puntos crıticos de las siguientes funciones
1 f
minusrarr que estacute a definida por
f (x) = 1
4(x4 minus 6x2 + 8x) + 5
2 f
minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = 3
radic (x + 4)2(x minus 5)
3 f
minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = 5x23 minus x53
4 f
minusrarr
que estacute a definida por f (x) = x + 1
x2 + 1
5 f
minus 1 minusrarr que estacute a definida por
f (x) = x3 minus 2
(x minus 1)2
6 f
minusrarr
que estacute a definida por f (x) = x2 + 3radic
x2 + 1
7 f [minusπ2
π2
] minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = sin2 x minus |x|
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La derivada de una funcion real de variable real
231 Criterio de la primera derivada para extremos de una funcion
Aquı presentamos un criterio que nos ayuda a determinar si un punto crıtico es aquel en donde una funcion
alcanza su valor maximo o mınimo
Teorema 216 (Criterio de la primera derivada) Sean la funciacute on f A minusrarr
el intervalo [a b] contenido
en A y x0
isin ⟨a b
⟩ un punto crıtico de f
1 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f tiene un macute aximo en el punto x0
2 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f tiene un mınimo en el punto x0
3 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) gt 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) gt 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f no tiene macute aximo ni mınimo en el punto x0
4 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f no tiene macute aximo ni mınimo en el punto x0
X X
a bx 0a bx 0
f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0lt gt f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0gt lt
f
f
f tiene un maacuteximo en x 0 f tiene un miacutenimo en x 0
X X a bx 0a bx 0
f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0lt lt f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0gt gt
f f
f no tiene un extremo en x 0 f no tiene un extremo en x 0
Observaciones
1 Al ser x0 un punto crıtico de f el criterio de la primera derivada no garantiza que exista f prime(x0)
2 El criterio de la primera derivada requiere que f sea derivable en ⟨a x0⟩ cup ⟨x0 b⟩ mas no en x0
3 Un metodo que nos permite hallar puntos crıticos de la funcion f en [a b] es resolver la ecuacion f prime(x) = 0
sujeta a la condicion x isin ⟨a b⟩ pero tal metodo solo nos proporciona todos los puntos crıticos de f que
cumple la primera condicion dada en la definicion 29
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La derivada de una funcion real de variable real
4 Los graficos anteriores presentan al punto crıtico x0 de f en el cual existe f prime(x0) y es igual a cero es mas
en los dos primeros graficos la recta tangente en el punto (x0 f (x0)) es horizontal iquestCual es el aspecto de
la grafica de f si es que no existiera f prime(x0)
5 Sea x0 isin ⟨a b⟩ un punto crıtico de la funcion f Al utilizar el criterio de la primera derivada para averiguar
si f tiene maximo o mınimo en x0 es necesario resolver las inecuaciones f prime(x) lt 0 y f prime(x) gt 0 sujetas
a la restriccion x isin ⟨a b⟩ tales procesos son sencillos para algunas funciones pero existen funciones paralos cuales tales resoluciones son complicadas y ahı el criterio de la primera derivada no es recomendable
utilizarlo pero tal deficiencia se supera utilizando otro criterio para determinar extremo de una funcion
6 El criterio de la primera derivada tambien es aplicable cuando en lugar del intervalo ⟨a b⟩ se considera a
otros tipos de intervalos abiertos si es que estan contenidos en el dominio de la funcion
Por ejemplo para la funcion f
minusrarr
definida por f (x) = x2 su unico punto crıtico es x0 = 0 f prime(x) lt 0
para todo x lt 0 y f prime(x) gt 0 para todo x gt 0 por tanto f tiene un mınimo en 0 y su valor mınimo es
f (0) = 0
232 Criterio de la segunda derivada para extremos de una funcion
Aquı presentamos otro criterio que nos ayuda a determinar si un punto crıtico es aquel en donde una funcion
alcanza su valor maximo o mınimo este metodo requiere la existencia de la segunda de la funcion en su punto
crıtico
Teorema 217 (Criterio de la segunda derivada) Sean la funciacute on f A minusrarr
el intervalo [a b] contenido
en A y x0 isin ⟨a b⟩ un punto crıtico de f para el cual f primeprime(x0) existe
1 Si la funciacute on f es derivable en ⟨a b⟩ f prime(x0) = 0 y f primeprime(x0) lt 0 entonces f tiene un macute aximo en el punto x0
2 Si la funciacute on f es derivable en
⟨a b
⟩ f prime(x0) = 0 y f primeprime(x0) gt 0 entonces f tiene un mınimo en el punto x0
X X
a bx 0a bx 0
f a b f f es derivable en ( ) 0 ( ) 0 x x 0 0= lt f a b f f es derivable en ( ) 0 ( ) 0 x x 0 0= gt
f
f
f tiene un maacuteximo en x 0 f tiene un miacutenimo en x 0
Observaciones
1 Los graficos anteriores presentan al punto crıtico x0 de f en el cual existe f primeprime(x0) y es diferente a cero
2 El criterio de la segunda derivada tambien es aplicable cuando en lugar del intervalo ⟨a b⟩ se considera a
otros tipos de intervalos abiertos si es que estan contenidos en el dominio de la funcion
Por ejemplo para la funcion f
minusrarr
definida por f (x) = x2 su unico punto crıtico es x0 = 0 y
f primeprime(0) = 2 gt 0 por tanto f tiene un mınimo en 0 y su valor mınimo es f (0) = 0
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La derivada de una funcion real de variable real
24 Concavidad y puntos de inflexion
25 La regla de Lrsquo Hospital
3 Aplicaciones de la derivada
31 Trazado de grafica de funciones
32 Derivadas parametricas
321 Regla de la cadena
33 Diferencial de una funcion
34 Razon de cambio
Indice
1 La derivada 111 Derivadas laterales 4
12 Derivacion y continuidad 5
13 Derivadas de orden superior 7
131 Notacion de derivadas 7
132 El operador d
dx 8
133 La segunda derivada 10
134 Derivada de ordenes mayores a dos 10
135 Notacion de derivadas de ordenes superiores 11
14 Derivadas implıcitas 12
141 Ecuaciones diferenciales ordinarias de lugares geometricos 13
15 Funciones derivables 18
151 Funciones derivables en un intervalo 18
152 Funciones de clase C k 19
153 Funciones no derivables 19
2 Teoremas sobre funciones derivables 21
21 Extremos relativos de una funcion 21
22 El teorema del valor medio 24
23 Funciones crecientes y decrecientes 26
231 Criterio de la primera derivada para extremos de una funcion 29
232 Criterio de la segunda derivada para extremos de una funcion 30
24 Concavidad y puntos de inflexion 31
25 La regla de Lrsquo Hospital 31
3 Aplicaciones de la derivada 31
31 Trazado de grafica de funciones 31
32 Derivadas parametricas 31
321 Regla de la cadena 31
33 Diferencial de una funcion 31
34 Razon de cambio 31
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La derivada de una funcion real de variable real
Y Y
X X
f
f
f
f
Teorema 27 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr
Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩
con f
prime
(x) gt 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es estrictamente creciente sobre [a b]
Teorema 28 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩
con f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es estrictamente decreciente sobre [a b]
X X
a
a b
b
Observaciones
1 Del teorema 27 si la pendiente de todas las rectas tangente a la grafica de la funcion sobre ⟨a b⟩ es positiva
entonces la funcion es estrictamente creciente sobre [a b]
2 Del teorema 28 si la pendiente de todas las rectas tangente a la grafica de la funcion sobre ⟨a b⟩ es negativa
entonces la funcion es estrictamente decreciente sobre [a b]
Teorema 29 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr
Si la funcion f es continua sobre [a b] y es inyectiva en [a b]
entonces f es estrictamente creciente o estrictamente decreciente sobre [a b] pero no ambos
X X
a
a b
b
f ab
ab
es continua e inyectiva sobre [ ]en este caso es creciente sobre [ ]
f ab
ab
es continua e inyectiva sobre [ ]en este caso es decreciente sobre [ ]
f f
Teorema 210 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funciacute on f es continua y estrictamente creciente sobre
[a b] entonces Ran(f ) =1048667
f (a) f (b)1048669
y su funciacute on inversa f lowast 1048667
f (a) f (b)1048669 minusrarr
es tambien continua y
estrictamente creciente sobre [a b]
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La derivada de una funcion real de variable real
Teorema 211 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funcion f es continua y estrictamente decreciente sobre
[a b] entonces Ran(f ) =1048667
f (b) f (a)1048669
y su funciacute on inversa f lowast 1048667
f (b) f (a)1048669 minusrarr
es tambien continua y
estrictamente decreciente sobre [a b]
Teorema 212 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre
⟨a b⟩ con f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es no decreciente sobre [a b]
Teorema 213 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre
⟨a b⟩ con f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es no creciente sobre [a b]
Teorema 214 (de la funcion constante) Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre
[a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩ con f prime(x) = 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es constante sobre [a b] es decir
existe una constante C tal que f (x) = C para todo [a b]
Teorema 215 (de la diferencia constante) Sean las funciones f [a b] minusrarr
y f [a b] minusrarr
Si las
funciones f y g son continuas sobre [a b] y es derivables sobre ⟨a b⟩ con f prime(x) = g prime(x) para todo x isin ⟨a b⟩entonces existe una constante C tal que f (x) = g(x) + C para todo [a b]
Definicion 29 (Punto crıtico) Sean I un intervalo de
x0 un punto de I y la funciacute on f I minusrarr
El
punto x0 es un punto crıtico de la funciacute on f I minusrarr si x0 satisface alguna de las siguientes condiciones
a) f prime(x0) = 0 o b) f prime(x0) = 0 no existe o c) f tiene un extremo en x0
Observaciones
1 Si x0 es un punto crıtico de la funcion f no podemos concluir con certeza una de las condiciones mencionadas
2 Si x0 es un punto crıtico de la funcion f y f prime(x0) = 0 no podemos concluir con certeza que f tiene un
extremo en dicho punto
Por ejemplo sea la funcion f [1 3] minusrarr definida
por f (x) = (x minus 2)3 cuya funcion derivada es
f prime ⟨1 3⟩ minusrarr
983087 f prime(x) = 3(x minus 2)2
En x0 = 2 tenemos f prime(x0) = 0 pero f no tiene
maximo ni mınimo en 2 f tiene un mınimo en 1
y un maximo en 3 por tanto 1 2 y 3 son puntos
crıticos de f
Y
X
1
2
Ejercicio 7 Hal le los puntos crıticos de las siguientes funciones
1 f
minusrarr que estacute a definida por
f (x) = 1
4(x4 minus 6x2 + 8x) + 5
2 f
minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = 3
radic (x + 4)2(x minus 5)
3 f
minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = 5x23 minus x53
4 f
minusrarr
que estacute a definida por f (x) = x + 1
x2 + 1
5 f
minus 1 minusrarr que estacute a definida por
f (x) = x3 minus 2
(x minus 1)2
6 f
minusrarr
que estacute a definida por f (x) = x2 + 3radic
x2 + 1
7 f [minusπ2
π2
] minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = sin2 x minus |x|
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231 Criterio de la primera derivada para extremos de una funcion
Aquı presentamos un criterio que nos ayuda a determinar si un punto crıtico es aquel en donde una funcion
alcanza su valor maximo o mınimo
Teorema 216 (Criterio de la primera derivada) Sean la funciacute on f A minusrarr
el intervalo [a b] contenido
en A y x0
isin ⟨a b
⟩ un punto crıtico de f
1 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f tiene un macute aximo en el punto x0
2 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f tiene un mınimo en el punto x0
3 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) gt 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) gt 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f no tiene macute aximo ni mınimo en el punto x0
4 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f no tiene macute aximo ni mınimo en el punto x0
X X
a bx 0a bx 0
f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0lt gt f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0gt lt
f
f
f tiene un maacuteximo en x 0 f tiene un miacutenimo en x 0
X X a bx 0a bx 0
f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0lt lt f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0gt gt
f f
f no tiene un extremo en x 0 f no tiene un extremo en x 0
Observaciones
1 Al ser x0 un punto crıtico de f el criterio de la primera derivada no garantiza que exista f prime(x0)
2 El criterio de la primera derivada requiere que f sea derivable en ⟨a x0⟩ cup ⟨x0 b⟩ mas no en x0
3 Un metodo que nos permite hallar puntos crıticos de la funcion f en [a b] es resolver la ecuacion f prime(x) = 0
sujeta a la condicion x isin ⟨a b⟩ pero tal metodo solo nos proporciona todos los puntos crıticos de f que
cumple la primera condicion dada en la definicion 29
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La derivada de una funcion real de variable real
4 Los graficos anteriores presentan al punto crıtico x0 de f en el cual existe f prime(x0) y es igual a cero es mas
en los dos primeros graficos la recta tangente en el punto (x0 f (x0)) es horizontal iquestCual es el aspecto de
la grafica de f si es que no existiera f prime(x0)
5 Sea x0 isin ⟨a b⟩ un punto crıtico de la funcion f Al utilizar el criterio de la primera derivada para averiguar
si f tiene maximo o mınimo en x0 es necesario resolver las inecuaciones f prime(x) lt 0 y f prime(x) gt 0 sujetas
a la restriccion x isin ⟨a b⟩ tales procesos son sencillos para algunas funciones pero existen funciones paralos cuales tales resoluciones son complicadas y ahı el criterio de la primera derivada no es recomendable
utilizarlo pero tal deficiencia se supera utilizando otro criterio para determinar extremo de una funcion
6 El criterio de la primera derivada tambien es aplicable cuando en lugar del intervalo ⟨a b⟩ se considera a
otros tipos de intervalos abiertos si es que estan contenidos en el dominio de la funcion
Por ejemplo para la funcion f
minusrarr
definida por f (x) = x2 su unico punto crıtico es x0 = 0 f prime(x) lt 0
para todo x lt 0 y f prime(x) gt 0 para todo x gt 0 por tanto f tiene un mınimo en 0 y su valor mınimo es
f (0) = 0
232 Criterio de la segunda derivada para extremos de una funcion
Aquı presentamos otro criterio que nos ayuda a determinar si un punto crıtico es aquel en donde una funcion
alcanza su valor maximo o mınimo este metodo requiere la existencia de la segunda de la funcion en su punto
crıtico
Teorema 217 (Criterio de la segunda derivada) Sean la funciacute on f A minusrarr
el intervalo [a b] contenido
en A y x0 isin ⟨a b⟩ un punto crıtico de f para el cual f primeprime(x0) existe
1 Si la funciacute on f es derivable en ⟨a b⟩ f prime(x0) = 0 y f primeprime(x0) lt 0 entonces f tiene un macute aximo en el punto x0
2 Si la funciacute on f es derivable en
⟨a b
⟩ f prime(x0) = 0 y f primeprime(x0) gt 0 entonces f tiene un mınimo en el punto x0
X X
a bx 0a bx 0
f a b f f es derivable en ( ) 0 ( ) 0 x x 0 0= lt f a b f f es derivable en ( ) 0 ( ) 0 x x 0 0= gt
f
f
f tiene un maacuteximo en x 0 f tiene un miacutenimo en x 0
Observaciones
1 Los graficos anteriores presentan al punto crıtico x0 de f en el cual existe f primeprime(x0) y es diferente a cero
2 El criterio de la segunda derivada tambien es aplicable cuando en lugar del intervalo ⟨a b⟩ se considera a
otros tipos de intervalos abiertos si es que estan contenidos en el dominio de la funcion
Por ejemplo para la funcion f
minusrarr
definida por f (x) = x2 su unico punto crıtico es x0 = 0 y
f primeprime(0) = 2 gt 0 por tanto f tiene un mınimo en 0 y su valor mınimo es f (0) = 0
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24 Concavidad y puntos de inflexion
25 La regla de Lrsquo Hospital
3 Aplicaciones de la derivada
31 Trazado de grafica de funciones
32 Derivadas parametricas
321 Regla de la cadena
33 Diferencial de una funcion
34 Razon de cambio
Indice
1 La derivada 111 Derivadas laterales 4
12 Derivacion y continuidad 5
13 Derivadas de orden superior 7
131 Notacion de derivadas 7
132 El operador d
dx 8
133 La segunda derivada 10
134 Derivada de ordenes mayores a dos 10
135 Notacion de derivadas de ordenes superiores 11
14 Derivadas implıcitas 12
141 Ecuaciones diferenciales ordinarias de lugares geometricos 13
15 Funciones derivables 18
151 Funciones derivables en un intervalo 18
152 Funciones de clase C k 19
153 Funciones no derivables 19
2 Teoremas sobre funciones derivables 21
21 Extremos relativos de una funcion 21
22 El teorema del valor medio 24
23 Funciones crecientes y decrecientes 26
231 Criterio de la primera derivada para extremos de una funcion 29
232 Criterio de la segunda derivada para extremos de una funcion 30
24 Concavidad y puntos de inflexion 31
25 La regla de Lrsquo Hospital 31
3 Aplicaciones de la derivada 31
31 Trazado de grafica de funciones 31
32 Derivadas parametricas 31
321 Regla de la cadena 31
33 Diferencial de una funcion 31
34 Razon de cambio 31
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La derivada de una funcion real de variable real
Teorema 211 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funcion f es continua y estrictamente decreciente sobre
[a b] entonces Ran(f ) =1048667
f (b) f (a)1048669
y su funciacute on inversa f lowast 1048667
f (b) f (a)1048669 minusrarr
es tambien continua y
estrictamente decreciente sobre [a b]
Teorema 212 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre
⟨a b⟩ con f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es no decreciente sobre [a b]
Teorema 213 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre
⟨a b⟩ con f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es no creciente sobre [a b]
Teorema 214 (de la funcion constante) Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre
[a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩ con f prime(x) = 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es constante sobre [a b] es decir
existe una constante C tal que f (x) = C para todo [a b]
Teorema 215 (de la diferencia constante) Sean las funciones f [a b] minusrarr
y f [a b] minusrarr
Si las
funciones f y g son continuas sobre [a b] y es derivables sobre ⟨a b⟩ con f prime(x) = g prime(x) para todo x isin ⟨a b⟩entonces existe una constante C tal que f (x) = g(x) + C para todo [a b]
Definicion 29 (Punto crıtico) Sean I un intervalo de
x0 un punto de I y la funciacute on f I minusrarr
El
punto x0 es un punto crıtico de la funciacute on f I minusrarr si x0 satisface alguna de las siguientes condiciones
a) f prime(x0) = 0 o b) f prime(x0) = 0 no existe o c) f tiene un extremo en x0
Observaciones
1 Si x0 es un punto crıtico de la funcion f no podemos concluir con certeza una de las condiciones mencionadas
2 Si x0 es un punto crıtico de la funcion f y f prime(x0) = 0 no podemos concluir con certeza que f tiene un
extremo en dicho punto
Por ejemplo sea la funcion f [1 3] minusrarr definida
por f (x) = (x minus 2)3 cuya funcion derivada es
f prime ⟨1 3⟩ minusrarr
983087 f prime(x) = 3(x minus 2)2
En x0 = 2 tenemos f prime(x0) = 0 pero f no tiene
maximo ni mınimo en 2 f tiene un mınimo en 1
y un maximo en 3 por tanto 1 2 y 3 son puntos
crıticos de f
Y
X
1
2
Ejercicio 7 Hal le los puntos crıticos de las siguientes funciones
1 f
minusrarr que estacute a definida por
f (x) = 1
4(x4 minus 6x2 + 8x) + 5
2 f
minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = 3
radic (x + 4)2(x minus 5)
3 f
minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = 5x23 minus x53
4 f
minusrarr
que estacute a definida por f (x) = x + 1
x2 + 1
5 f
minus 1 minusrarr que estacute a definida por
f (x) = x3 minus 2
(x minus 1)2
6 f
minusrarr
que estacute a definida por f (x) = x2 + 3radic
x2 + 1
7 f [minusπ2
π2
] minusrarr
que estacute a definida por
f (x) = sin2 x minus |x|
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La derivada de una funcion real de variable real
231 Criterio de la primera derivada para extremos de una funcion
Aquı presentamos un criterio que nos ayuda a determinar si un punto crıtico es aquel en donde una funcion
alcanza su valor maximo o mınimo
Teorema 216 (Criterio de la primera derivada) Sean la funciacute on f A minusrarr
el intervalo [a b] contenido
en A y x0
isin ⟨a b
⟩ un punto crıtico de f
1 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f tiene un macute aximo en el punto x0
2 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f tiene un mınimo en el punto x0
3 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) gt 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) gt 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f no tiene macute aximo ni mınimo en el punto x0
4 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f no tiene macute aximo ni mınimo en el punto x0
X X
a bx 0a bx 0
f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0lt gt f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0gt lt
f
f
f tiene un maacuteximo en x 0 f tiene un miacutenimo en x 0
X X a bx 0a bx 0
f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0lt lt f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0gt gt
f f
f no tiene un extremo en x 0 f no tiene un extremo en x 0
Observaciones
1 Al ser x0 un punto crıtico de f el criterio de la primera derivada no garantiza que exista f prime(x0)
2 El criterio de la primera derivada requiere que f sea derivable en ⟨a x0⟩ cup ⟨x0 b⟩ mas no en x0
3 Un metodo que nos permite hallar puntos crıticos de la funcion f en [a b] es resolver la ecuacion f prime(x) = 0
sujeta a la condicion x isin ⟨a b⟩ pero tal metodo solo nos proporciona todos los puntos crıticos de f que
cumple la primera condicion dada en la definicion 29
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La derivada de una funcion real de variable real
4 Los graficos anteriores presentan al punto crıtico x0 de f en el cual existe f prime(x0) y es igual a cero es mas
en los dos primeros graficos la recta tangente en el punto (x0 f (x0)) es horizontal iquestCual es el aspecto de
la grafica de f si es que no existiera f prime(x0)
5 Sea x0 isin ⟨a b⟩ un punto crıtico de la funcion f Al utilizar el criterio de la primera derivada para averiguar
si f tiene maximo o mınimo en x0 es necesario resolver las inecuaciones f prime(x) lt 0 y f prime(x) gt 0 sujetas
a la restriccion x isin ⟨a b⟩ tales procesos son sencillos para algunas funciones pero existen funciones paralos cuales tales resoluciones son complicadas y ahı el criterio de la primera derivada no es recomendable
utilizarlo pero tal deficiencia se supera utilizando otro criterio para determinar extremo de una funcion
6 El criterio de la primera derivada tambien es aplicable cuando en lugar del intervalo ⟨a b⟩ se considera a
otros tipos de intervalos abiertos si es que estan contenidos en el dominio de la funcion
Por ejemplo para la funcion f
minusrarr
definida por f (x) = x2 su unico punto crıtico es x0 = 0 f prime(x) lt 0
para todo x lt 0 y f prime(x) gt 0 para todo x gt 0 por tanto f tiene un mınimo en 0 y su valor mınimo es
f (0) = 0
232 Criterio de la segunda derivada para extremos de una funcion
Aquı presentamos otro criterio que nos ayuda a determinar si un punto crıtico es aquel en donde una funcion
alcanza su valor maximo o mınimo este metodo requiere la existencia de la segunda de la funcion en su punto
crıtico
Teorema 217 (Criterio de la segunda derivada) Sean la funciacute on f A minusrarr
el intervalo [a b] contenido
en A y x0 isin ⟨a b⟩ un punto crıtico de f para el cual f primeprime(x0) existe
1 Si la funciacute on f es derivable en ⟨a b⟩ f prime(x0) = 0 y f primeprime(x0) lt 0 entonces f tiene un macute aximo en el punto x0
2 Si la funciacute on f es derivable en
⟨a b
⟩ f prime(x0) = 0 y f primeprime(x0) gt 0 entonces f tiene un mınimo en el punto x0
X X
a bx 0a bx 0
f a b f f es derivable en ( ) 0 ( ) 0 x x 0 0= lt f a b f f es derivable en ( ) 0 ( ) 0 x x 0 0= gt
f
f
f tiene un maacuteximo en x 0 f tiene un miacutenimo en x 0
Observaciones
1 Los graficos anteriores presentan al punto crıtico x0 de f en el cual existe f primeprime(x0) y es diferente a cero
2 El criterio de la segunda derivada tambien es aplicable cuando en lugar del intervalo ⟨a b⟩ se considera a
otros tipos de intervalos abiertos si es que estan contenidos en el dominio de la funcion
Por ejemplo para la funcion f
minusrarr
definida por f (x) = x2 su unico punto crıtico es x0 = 0 y
f primeprime(0) = 2 gt 0 por tanto f tiene un mınimo en 0 y su valor mınimo es f (0) = 0
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24 Concavidad y puntos de inflexion
25 La regla de Lrsquo Hospital
3 Aplicaciones de la derivada
31 Trazado de grafica de funciones
32 Derivadas parametricas
321 Regla de la cadena
33 Diferencial de una funcion
34 Razon de cambio
Indice
1 La derivada 111 Derivadas laterales 4
12 Derivacion y continuidad 5
13 Derivadas de orden superior 7
131 Notacion de derivadas 7
132 El operador d
dx 8
133 La segunda derivada 10
134 Derivada de ordenes mayores a dos 10
135 Notacion de derivadas de ordenes superiores 11
14 Derivadas implıcitas 12
141 Ecuaciones diferenciales ordinarias de lugares geometricos 13
15 Funciones derivables 18
151 Funciones derivables en un intervalo 18
152 Funciones de clase C k 19
153 Funciones no derivables 19
2 Teoremas sobre funciones derivables 21
21 Extremos relativos de una funcion 21
22 El teorema del valor medio 24
23 Funciones crecientes y decrecientes 26
231 Criterio de la primera derivada para extremos de una funcion 29
232 Criterio de la segunda derivada para extremos de una funcion 30
24 Concavidad y puntos de inflexion 31
25 La regla de Lrsquo Hospital 31
3 Aplicaciones de la derivada 31
31 Trazado de grafica de funciones 31
32 Derivadas parametricas 31
321 Regla de la cadena 31
33 Diferencial de una funcion 31
34 Razon de cambio 31
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La derivada de una funcion real de variable real
231 Criterio de la primera derivada para extremos de una funcion
Aquı presentamos un criterio que nos ayuda a determinar si un punto crıtico es aquel en donde una funcion
alcanza su valor maximo o mınimo
Teorema 216 (Criterio de la primera derivada) Sean la funciacute on f A minusrarr
el intervalo [a b] contenido
en A y x0
isin ⟨a b
⟩ un punto crıtico de f
1 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f tiene un macute aximo en el punto x0
2 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f tiene un mınimo en el punto x0
3 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) gt 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) gt 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f no tiene macute aximo ni mınimo en el punto x0
4 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩
entonces f no tiene macute aximo ni mınimo en el punto x0
X X
a bx 0a bx 0
f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0lt gt f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0gt lt
f
f
f tiene un maacuteximo en x 0 f tiene un miacutenimo en x 0
X X a bx 0a bx 0
f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0lt lt f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0gt gt
f f
f no tiene un extremo en x 0 f no tiene un extremo en x 0
Observaciones
1 Al ser x0 un punto crıtico de f el criterio de la primera derivada no garantiza que exista f prime(x0)
2 El criterio de la primera derivada requiere que f sea derivable en ⟨a x0⟩ cup ⟨x0 b⟩ mas no en x0
3 Un metodo que nos permite hallar puntos crıticos de la funcion f en [a b] es resolver la ecuacion f prime(x) = 0
sujeta a la condicion x isin ⟨a b⟩ pero tal metodo solo nos proporciona todos los puntos crıticos de f que
cumple la primera condicion dada en la definicion 29
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La derivada de una funcion real de variable real
4 Los graficos anteriores presentan al punto crıtico x0 de f en el cual existe f prime(x0) y es igual a cero es mas
en los dos primeros graficos la recta tangente en el punto (x0 f (x0)) es horizontal iquestCual es el aspecto de
la grafica de f si es que no existiera f prime(x0)
5 Sea x0 isin ⟨a b⟩ un punto crıtico de la funcion f Al utilizar el criterio de la primera derivada para averiguar
si f tiene maximo o mınimo en x0 es necesario resolver las inecuaciones f prime(x) lt 0 y f prime(x) gt 0 sujetas
a la restriccion x isin ⟨a b⟩ tales procesos son sencillos para algunas funciones pero existen funciones paralos cuales tales resoluciones son complicadas y ahı el criterio de la primera derivada no es recomendable
utilizarlo pero tal deficiencia se supera utilizando otro criterio para determinar extremo de una funcion
6 El criterio de la primera derivada tambien es aplicable cuando en lugar del intervalo ⟨a b⟩ se considera a
otros tipos de intervalos abiertos si es que estan contenidos en el dominio de la funcion
Por ejemplo para la funcion f
minusrarr
definida por f (x) = x2 su unico punto crıtico es x0 = 0 f prime(x) lt 0
para todo x lt 0 y f prime(x) gt 0 para todo x gt 0 por tanto f tiene un mınimo en 0 y su valor mınimo es
f (0) = 0
232 Criterio de la segunda derivada para extremos de una funcion
Aquı presentamos otro criterio que nos ayuda a determinar si un punto crıtico es aquel en donde una funcion
alcanza su valor maximo o mınimo este metodo requiere la existencia de la segunda de la funcion en su punto
crıtico
Teorema 217 (Criterio de la segunda derivada) Sean la funciacute on f A minusrarr
el intervalo [a b] contenido
en A y x0 isin ⟨a b⟩ un punto crıtico de f para el cual f primeprime(x0) existe
1 Si la funciacute on f es derivable en ⟨a b⟩ f prime(x0) = 0 y f primeprime(x0) lt 0 entonces f tiene un macute aximo en el punto x0
2 Si la funciacute on f es derivable en
⟨a b
⟩ f prime(x0) = 0 y f primeprime(x0) gt 0 entonces f tiene un mınimo en el punto x0
X X
a bx 0a bx 0
f a b f f es derivable en ( ) 0 ( ) 0 x x 0 0= lt f a b f f es derivable en ( ) 0 ( ) 0 x x 0 0= gt
f
f
f tiene un maacuteximo en x 0 f tiene un miacutenimo en x 0
Observaciones
1 Los graficos anteriores presentan al punto crıtico x0 de f en el cual existe f primeprime(x0) y es diferente a cero
2 El criterio de la segunda derivada tambien es aplicable cuando en lugar del intervalo ⟨a b⟩ se considera a
otros tipos de intervalos abiertos si es que estan contenidos en el dominio de la funcion
Por ejemplo para la funcion f
minusrarr
definida por f (x) = x2 su unico punto crıtico es x0 = 0 y
f primeprime(0) = 2 gt 0 por tanto f tiene un mınimo en 0 y su valor mınimo es f (0) = 0
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24 Concavidad y puntos de inflexion
25 La regla de Lrsquo Hospital
3 Aplicaciones de la derivada
31 Trazado de grafica de funciones
32 Derivadas parametricas
321 Regla de la cadena
33 Diferencial de una funcion
34 Razon de cambio
Indice
1 La derivada 111 Derivadas laterales 4
12 Derivacion y continuidad 5
13 Derivadas de orden superior 7
131 Notacion de derivadas 7
132 El operador d
dx 8
133 La segunda derivada 10
134 Derivada de ordenes mayores a dos 10
135 Notacion de derivadas de ordenes superiores 11
14 Derivadas implıcitas 12
141 Ecuaciones diferenciales ordinarias de lugares geometricos 13
15 Funciones derivables 18
151 Funciones derivables en un intervalo 18
152 Funciones de clase C k 19
153 Funciones no derivables 19
2 Teoremas sobre funciones derivables 21
21 Extremos relativos de una funcion 21
22 El teorema del valor medio 24
23 Funciones crecientes y decrecientes 26
231 Criterio de la primera derivada para extremos de una funcion 29
232 Criterio de la segunda derivada para extremos de una funcion 30
24 Concavidad y puntos de inflexion 31
25 La regla de Lrsquo Hospital 31
3 Aplicaciones de la derivada 31
31 Trazado de grafica de funciones 31
32 Derivadas parametricas 31
321 Regla de la cadena 31
33 Diferencial de una funcion 31
34 Razon de cambio 31
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La derivada de una funcion real de variable real
4 Los graficos anteriores presentan al punto crıtico x0 de f en el cual existe f prime(x0) y es igual a cero es mas
en los dos primeros graficos la recta tangente en el punto (x0 f (x0)) es horizontal iquestCual es el aspecto de
la grafica de f si es que no existiera f prime(x0)
5 Sea x0 isin ⟨a b⟩ un punto crıtico de la funcion f Al utilizar el criterio de la primera derivada para averiguar
si f tiene maximo o mınimo en x0 es necesario resolver las inecuaciones f prime(x) lt 0 y f prime(x) gt 0 sujetas
a la restriccion x isin ⟨a b⟩ tales procesos son sencillos para algunas funciones pero existen funciones paralos cuales tales resoluciones son complicadas y ahı el criterio de la primera derivada no es recomendable
utilizarlo pero tal deficiencia se supera utilizando otro criterio para determinar extremo de una funcion
6 El criterio de la primera derivada tambien es aplicable cuando en lugar del intervalo ⟨a b⟩ se considera a
otros tipos de intervalos abiertos si es que estan contenidos en el dominio de la funcion
Por ejemplo para la funcion f
minusrarr
definida por f (x) = x2 su unico punto crıtico es x0 = 0 f prime(x) lt 0
para todo x lt 0 y f prime(x) gt 0 para todo x gt 0 por tanto f tiene un mınimo en 0 y su valor mınimo es
f (0) = 0
232 Criterio de la segunda derivada para extremos de una funcion
Aquı presentamos otro criterio que nos ayuda a determinar si un punto crıtico es aquel en donde una funcion
alcanza su valor maximo o mınimo este metodo requiere la existencia de la segunda de la funcion en su punto
crıtico
Teorema 217 (Criterio de la segunda derivada) Sean la funciacute on f A minusrarr
el intervalo [a b] contenido
en A y x0 isin ⟨a b⟩ un punto crıtico de f para el cual f primeprime(x0) existe
1 Si la funciacute on f es derivable en ⟨a b⟩ f prime(x0) = 0 y f primeprime(x0) lt 0 entonces f tiene un macute aximo en el punto x0
2 Si la funciacute on f es derivable en
⟨a b
⟩ f prime(x0) = 0 y f primeprime(x0) gt 0 entonces f tiene un mınimo en el punto x0
X X
a bx 0a bx 0
f a b f f es derivable en ( ) 0 ( ) 0 x x 0 0= lt f a b f f es derivable en ( ) 0 ( ) 0 x x 0 0= gt
f
f
f tiene un maacuteximo en x 0 f tiene un miacutenimo en x 0
Observaciones
1 Los graficos anteriores presentan al punto crıtico x0 de f en el cual existe f primeprime(x0) y es diferente a cero
2 El criterio de la segunda derivada tambien es aplicable cuando en lugar del intervalo ⟨a b⟩ se considera a
otros tipos de intervalos abiertos si es que estan contenidos en el dominio de la funcion
Por ejemplo para la funcion f
minusrarr
definida por f (x) = x2 su unico punto crıtico es x0 = 0 y
f primeprime(0) = 2 gt 0 por tanto f tiene un mınimo en 0 y su valor mınimo es f (0) = 0
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25 La regla de Lrsquo Hospital
3 Aplicaciones de la derivada
31 Trazado de grafica de funciones
32 Derivadas parametricas
321 Regla de la cadena
33 Diferencial de una funcion
34 Razon de cambio
Indice
1 La derivada 111 Derivadas laterales 4
12 Derivacion y continuidad 5
13 Derivadas de orden superior 7
131 Notacion de derivadas 7
132 El operador d
dx 8
133 La segunda derivada 10
134 Derivada de ordenes mayores a dos 10
135 Notacion de derivadas de ordenes superiores 11
14 Derivadas implıcitas 12
141 Ecuaciones diferenciales ordinarias de lugares geometricos 13
15 Funciones derivables 18
151 Funciones derivables en un intervalo 18
152 Funciones de clase C k 19
153 Funciones no derivables 19
2 Teoremas sobre funciones derivables 21
21 Extremos relativos de una funcion 21
22 El teorema del valor medio 24
23 Funciones crecientes y decrecientes 26
231 Criterio de la primera derivada para extremos de una funcion 29
232 Criterio de la segunda derivada para extremos de una funcion 30
24 Concavidad y puntos de inflexion 31
25 La regla de Lrsquo Hospital 31
3 Aplicaciones de la derivada 31
31 Trazado de grafica de funciones 31
32 Derivadas parametricas 31
321 Regla de la cadena 31
33 Diferencial de una funcion 31
34 Razon de cambio 31
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25 La regla de Lrsquo Hospital
3 Aplicaciones de la derivada
31 Trazado de grafica de funciones
32 Derivadas parametricas
321 Regla de la cadena
33 Diferencial de una funcion
34 Razon de cambio
Indice
1 La derivada 111 Derivadas laterales 4
12 Derivacion y continuidad 5
13 Derivadas de orden superior 7
131 Notacion de derivadas 7
132 El operador d
dx 8
133 La segunda derivada 10
134 Derivada de ordenes mayores a dos 10
135 Notacion de derivadas de ordenes superiores 11
14 Derivadas implıcitas 12
141 Ecuaciones diferenciales ordinarias de lugares geometricos 13
15 Funciones derivables 18
151 Funciones derivables en un intervalo 18
152 Funciones de clase C k 19
153 Funciones no derivables 19
2 Teoremas sobre funciones derivables 21
21 Extremos relativos de una funcion 21
22 El teorema del valor medio 24
23 Funciones crecientes y decrecientes 26
231 Criterio de la primera derivada para extremos de una funcion 29
232 Criterio de la segunda derivada para extremos de una funcion 30
24 Concavidad y puntos de inflexion 31
25 La regla de Lrsquo Hospital 31
3 Aplicaciones de la derivada 31
31 Trazado de grafica de funciones 31
32 Derivadas parametricas 31
321 Regla de la cadena 31
33 Diferencial de una funcion 31
34 Razon de cambio 31
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