INVESTIGACIÓN OPERATIVA
UNIVERSIDAD NACIONAL
“SAN AGUSTIN” - AREQUIPA
Augusto JAVES SANCHEZ
Lic. Administración
Maestría en Gestión Estratégica de Organizaciones
Doctorado en Administración
EXPOSITOR
http://www.facebook.com/cursospara.emprendedores?sk=notes
http://cursosparaemprendedores.blogspot.com/p/tesis.html
3
Modelo de Transporte
ALGORITMO DE TRANSPORTE
De Hacia
Columbia
TOTAL
TOTAL
46
46
25
St. Louis Denver Los Ángeles
Indianápolis
Phoenix
Nueva York
Atlanta
35 36 60
55 30 25 25
40 50 80 90
30 40 66 75
15
6
14
11
10 12 15 9
TEXTO BASE:
4. IO - Transporte
ORGANIZACION
RESULTADOS
ORGANIZACION PARA LA CONVERSION
• DISEÑO DE PUESTOS DE TRABAJO
• ESTANDARES DE PRODUCCION / OPERACIONES
• MEDICION DEL TRABAJO
• ADMINISTRACION DE PROYECTOS
SISTEMATIZACION DE LA ADMINISTRACION DE OPERACIONES - EL MODELO
Tomado y adaptado de “Administración de Producción y las Operaciones”. Adam y Ebert
PLANIFICACION
INSUMOS
M
PLANIFICACION (DISEÑO) DE LOS SISTEMAS DE CONVERSION:
• ESTRATEGIAS DE OPERACION
• PREDICCION (PRONOSTICOS)
• ALTERNATIVAS DISEÑO PRODUCTOS/PROCESOS
• CAPACIDAD DE OPERACIONES
• PLANEACION UBICACION INSTALACIONES
• PLANEACION DISTRIBUCION FISICA
PROGRAMACION SISTEMAS CONVERSION • PROGRAMACION SISTEMAS Y PLANEACION AGREGADA
• PROGRAMACION OPERACIONES
SEGUIMIENTO PRODUCTOS
CONTROL • CONTROL DEL SISTEMA DE CONVERSION
• CONTROL DE INVENTARIO
• PLAN DE REQUERIMIENTOS DE MATERIALES
• ADMNISTRACION PARA LA CALIDAD
• CONTROL DE CALIDAD
CONTROL
RETROALIMENTACION
PROCESO de CONVERSION
MODELOS
MODELOS
MODELOS
M
• Productos
• Servicios
• Información
M
MODELO DE TRANSPORTE
Plantea que hay ciertas fuentes (F) abastecedoras
de determinados destinos (D) receptores, donde
hay que transportar cierta cantidad de recursos
productivos (naturales, intermedios o finales)
desde las fuentes hacia los destinos
FUENTES
Oferta
Capacidad de producción
Proveedores
Plantas de producción
Almacenes mayoristas
DESTINOS
Demanda
Capacidad de venta
Plantas de producción
Almacenes mayoristas
Tiendas minoristas
MODELO DE TRANSPORTE
Se desea determinar la distribución óptima de los
recursos productivos, lo que implica establecer la
combinación de distribución de fuentes a
destinos, que tenga el mínimo costo asociado
F1
F3
F2
Fn
D1
D2
D3
Dm
MODELO DE TRANSPORTE
Lo anterior se obtiene mediante el mínimo costo de transporte, lo que requiere considerar los costos unitarios de transporte desde cada fuente hacia cada destino
Se construye un modelo de transporte que, es un caso particular del método simplex
F.O. : Mín Z = n m
i=1 j=1
Cij Xij
• Cij : Costo unitario de
transporte desde la
fuente i hasta el destino j
• Xij : Unidades a trans-
portar desde la fuente i
hasta el destino j
i j Cij
MODELO DE TRANSPORTE
F.O. : Mín Z = n m
i=1 j=1
Cij Xij i j Cij
s.a. :
i=1
j=1
n
m
Xij
Xij
=
=
Qdemandada
Qofrecida
Xij > 0
A
i,j
ALGORITMO DE TRANSPORTE
Desde Hacia
F1
F2
F3
F4
D1 D2 D3 D4
TOTAL
TOTAL
X1j
X2j
X3j
X4j
Xi1 Xi2 Xi3 Xi4
Cij Xij
ALGORITMO DE TRANSPORTE
Desde Hacia
F1
F2
F3
F4
D1 D2 D3 D4
TOTAL
TOTAL
X1j
X2j
X3j
X4j
Xi1 Xi2 Xi3 Xi4
X23
C21
C11
C31
C41
C12
C22
C32
C42 C43
C33
C23
C13 C14
C24
C34
C44
X33
X43 X44 X42 X41
X34 X32 X31
X24 X22 X21
X14 X13 X12 X11
Xij Cij C23
X23 6
175
Significa que el costo unitario de transporte
desde la fuente 2 al destino 3 es de $6
A su vez, el número de unidades a transportar
desde la fuente 2 al destino 3 es de 175
SIGNIFICADO DE CADA CUADRO
ALGORITMO DE TRANSPORTE
Es el valor total producido en los
orígenes (Qofrecida) y es también
el valor total demandado por los
destinos (Qdemandada)
Qdemandada
Qofrecida
=
=
Xim Xi3 Xi2 Xi1
+
+ + + +
+ + +
.......
....... Xnj X3j X2j X1j
Necesariamente: Qdemandada Qofrecida =
ALGORITMO DE TRANSPORTE
Si Qdemandada Qofrecida, entonces significa
que falta en el cuadro una columna o fila, la que
representa las holguras existentes
=
=
Si Qdemandada Qofrecida
Holguras
Exceso de
Oferta
Exceso de
Demanda
Qdemandada Qofrecida
Qdemandada Qofrecida >
<
Holguras
VARIABLES DE HOLGURA
Cuando no se cumple la condición necesaria del
modelo de transporte (Qofrecida = Qdemandada),
se incorporan variables de holgura (o exceso), a
través de la creación una columna adicional o
una fila adicional en el cuadro
Se asume que el costo unitario de
transporte para la columna adicional o fila
adicional es cero, ya que las variables de
holgura o exceso no forman parte de la
función objetivo de optimización
VARIABLES DE HOLGURA
Dependiendo si se trata de un exceso de oferta
(Qofrecida > Qdemandada), o de un exceso de
demanda (Qdemandada > Qofrecida), las
variables de holgura (o exceso) que se añaden, a
través de la creación una columna adicional o
una fila adicional en el cuadro, representan
diferentes casos
Cada caso de variables de holgura o
exceso, con su posible columna adicional
o fila adicional, se identifica a partir del
contexto de cada situación particular
EXCESO DE OFERTA
Qofrecida Qdemandada Capacidad
Ociosa > Si
Se crea una columna adicional en el cuadro, que
representa a las unidades a no producir
Qofrecida Qdemandada Acumulación
de Inventario > Si
Se crea una columna adicional en el cuadro, que
corresponde a la acumulación de inventario
Casos Posibles:
Casos Posibles:
EXCESO DE DEMANDA
Si Qofrecida Qdemandada < Desacumulación
de Inventario
Se crea una fila adicional en el cuadro, que
corresponde a la desacumulación de inventario
Si Qofrecida Qdemandada < Demanda No
Satisfecha
Se crea una fila adicional en el cuadro, que
corresponde a la demanda no satisfecha
Qofrecida Qdemandada Producción en
Turno Extra < Si
Se crea una fila adicional en el cuadro, que
corresponde a la producción en turno extra
(sobretiempo)
Casos Posibles:
EXCESO DE DEMANDA
EJEMPLO
Una compañía manufacturera dispone de 3
fábricas con diferentes capacidades y costos de
transporte para el destino de sus 4 almacenes.
La información pertinente se muestra en la tabla:
Costo Unitario de Transporte a cada Almacén Capacidad
Planta Almacén 1 Almacén 2 Almacén 3 Almacén 4 (unidades)
1 23 18 21 25 650
2 21 24 23 18 600
3 18 21 27 23 700
Demanda 300 450 500 600
Para resolver se arma un cuadro simplex
METODOLOGIA DEL SIMPLEX
1) Se arma el tableau inicial
5) Se realizan tantas iteraciones como sean
necesarias hasta encontrar la solución óptima
4) Si no es la solución óptima, se itera hallando
una nueva solución factible, para verificar si la
nueva solución factible es o no es óptima
3) Evaluar si la solución factible es o no es óptima
2) El tableau inicial otorga la 1ª solución factible
METODOS PARA LOGRAR LA
1ª SOLUCION FACTIBLE
• Esquina Nor-Oeste
• Vogel
Ambos mecanismos no garantizan la optimalidad
inmediata, solo garantizan la factibilidad
Iteraciones: Si la solución básica no es óptima,
se deben reasignar recursos, mediante el criterio
de la minimización de los costos, lo que implica
realizar iteraciones al cuadro
22
PROBLEMAS DE TRANSPORTES - MODELO DE TRANSPORTES
23
PROBLEMAS DE TRANSPORTES - MODELO DE TRANSPORTES
METODO ESQUINA NOR-OESTE
Asigna el máximo número de unidades a
transportar en la celda ubicada en la esquina nor-
oeste del cuadro tableau
Luego, se asigna el máximo número de unidades
a transportar en la celda aledaña correspondiente,
según las restricciones de demanda en los
destinos y las restricciones de oferta en las
fuentes
METODO ESQUINA NOR-OESTE
Si en principio, la asignación de la esquina nor-
oeste es una restricción de demanda, entonces no
es posible asignar hacia abajo en el tableau y se
asigna hacia el lado
Mientras que, si la asignación inicial es una
restricción de oferta, entonces no es posible
asignar hacia el lado en el tableau y se asigna
hacia abajo
Así sucesivamente, se completa el cuadro tableau,
de acuerdo al criterio recientemente descrito
METODO ESQUINA NOR-OESTE
En general:
Si no se puede asignar más
por restricción de demanda
Si no se puede asignar más
por restricción de oferta
Se completa
hacia el lado
Se completa
hacia abajo
EJEMPLO DE TRANSPORTE
Desde Hacia
Planta 1
Planta 3
Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Oferta
Planta 2
Demanda
18 23 21 25
650
600
700
300 350
100 500
Inven.
0
600
600 500 300 450 1850 1950 100
100
Qofrecida Qdemandada > Como Acumulación
de Inventario
18 21 27 23 0
21 24 23 18 0
DIMENSION ESPACIO VECTORIAL
El problema de transporte es una aplicación de la
programación lineal, para el caso específico de
variables de decisión bidimensionales (Xij, con
dos subíndices: ij)
La programación lineal se concibe y comprende,
a partir de conceptos geométricos y un sistema
de ecuaciones lineales (que en el caso del
modelo de transporte: Qofrecida = Qdemandada)
Los conceptos geométricos implican el uso de
espacios vectoriales, con determinada dimensión
DIMENSION ESPACIO VECTORIAL
La dimensión es el rango del espacio vectorial, que
representa la cantidad de componentes requerida
en la base o vector de variables básicas ( XJ )
Si se cumple con el rango establecido, entonces el
conjunto de ecuaciones (restricciones) del sistema
cumple la condición de linealidad: o sea, todas las
restricciones son linealmente independientes (l.i.)
La condición de linealidad o restricciones
linealmente independientes, es condición
ineludible para aplicar la metodología del simplex
DIMENSION ESPACIO VECTORIAL
Programación Lineal con
variables de decisión
unidimensionales (caso Xi)
Programación Lineal con
variables de decisión
bidimensionales (caso Xij)
Rango = m
Rango = m + n - 1
Donde m es el número de restricciones l.i.
Donde: • m es el número de columnas del tableau
• n es el número de filas del tableau
Existe cuando en la solución básica hay al menos
una variable cuyo valor es igual a cero
Cuando la solución es óptima y a la vez
degenerada, entonces hay múltiples soluciones
óptimas: 2, 3, 4 o quizás infinitas soluciones
La solución degenerada no
implica dificultad para el
problema de programación
lineal, es simplemente un
caso particular
SOLUCION DEGENERADA
Número de Variables Básicas m + n - 1 =
m: Número de columnas en el tableau (destinos)
n : Número de filas en el tableau (fuentes)
Si Variables
básicas < ( m + n - 1 ) Existe
solución
degenerada
SOLUCION DEGENERADA
SOLUCION DEGENERADA
Para completar una base con solución
degenerada, se ingresan tantos valores ceros
como sean necesarios para completar el rango
(dimensión) requerido por el espacio vectorial
Cuando se ingresa uno o más valores ceros,
no se hace en cualquiera celda vacía al azar
El o los valores ceros, deben
ingresarse tal que se
disponga una base
linealmente independiente (l.i.)
EJEMPLO DE TRANSPORTE
( m + n - 1 ) = 7
Sin embargo, en la asignación inicial del método
de la esquina nor-oeste, solo hay 6 variables
básicas (celdas ocupadas)
Por lo tanto, existe una solución degenerada.
Luego, debe ingresarse un valor cero para
completar la base de iteración
Ingresa XP3A2 = 0 Pudo ser también en
otras celdas vacías
EJEMPLO DE TRANSPORTE
Desde Hacia
Planta 1
Planta 3
Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Oferta
Planta 2
Demanda
18 23 21 25
650
600
700
300 350
100 500
Inven.
0
600
600 500 300 450 1950 1950 100
100 0
XJ1 = (XP1A1,XP1A2,XP2A2,XP2A3,XP3A2,XP3A4,XP3INV)
21 24 23 18 0
18 21 27 23 0
BASE LINEALMENTE
INDEPENDIENTE (L.I.)
Una base es linealmente independiente cuando
permite realizar la verificación de la condición de
optimalidad para cada variable no básica (celda
vacía en el tableau)
Aquello acontece cuando se forma un único
lazo alrededor de cada una de las variables
no básicas, determinando para cada una de
éstas, si realizan o no realizan aporte a la
minimización de costos del problema
BUSQUEDA DE SOLUCION OPTIMA
Se realiza un análisis de sensibilidad, calculando
los precios sombra de cada una de las variables
no básicas (celdas vacías en el algoritmo de
transporte), para saber si es que hay algún ahorro
respecto del costo total (valor de la función
objetivo z) de la reciente iteración
Variables básicas ( XJ ): Están en el tableau y
toman un valor, que en general es mayor que cero
Variables no básicas ( XJ ): No están en el tableau
(celdas vacías) y necesariamente valen cero
VERIFICACION DE OPTIMALIDAD
Permite comprobar si una solución básica factible
es o no es óptima, evaluando el precio sombra o
costo marginal asociado al transporte o envío de
una unidad en cada variable no básica o celda
desocupada en el tableau
Verificar la condición de
optimalidad se efectúa por
medio de la formación de
“lazos”, alrededor de cada
variable no básica
Lazos: Son los caminos que se forman dentro del
tableau, alrededor de las celdas no básicas y, que
se cierran mediante movimientos exclusiva y
alternadamente, horizontales y verticales
Por ejemplo:
El primer vértice del lazo es una celda no
básica, la cual también es el último
vértice, cerrando el lazo. Los demás
vértices del lazo necesariamente son
variables o celdas básicas
VERIFICACION DE OPTIMALIDAD
El costo marginal referido a la verificación de la
optimalidad, se obtiene a través de los mismos
costos unitarios presentes en las celdas del lazo,
según la transferencia de unidades asignadas
que exista en cada celda del lazo:
Si la celda del lazo
recibe unidades
en la transferencia
Se suma el costo
unitario de la celda
para la verificación
Si la celda del lazo
entrega unidades
en la transferencia
Se resta el costo
unitario de la celda
para la verificación
VERIFICACION DE OPTIMALIDAD
En el ejemplo, para la celda P2A1
(planta 2 y almacén 1) se tiene:
300
100
350
Alm.1 Alm.2
Planta 1
Planta 2
+21 -24
-23 +18
CMg = +21 -24 +18 -23 = - 8
Hay un Ahorro
Marginal, es el
concepto de
precio sombra
VERIFICACION DE OPTIMALIDAD
PRECIO - SOMBRA
Es cuánto varía la función objetivo respecto del
cambio en una unidad de una de sus variables
componentes
La verificación de optimalidad requiere obtener el
precio sombra de todas las celdas vacías, para lo
cual se necesita formar los lazos respectivos
Una base linealmente
independiente garantiza un
único lazo alrededor de cada
una de las variables no básicas
CONDICION DE OPTIMALIDAD
Si ij 0 , ij XJ A
> Solución óptima
La solución factible es óptima cuando no
existe posibilidad alguna de ahorro marginal,
lo que ocurre cuando todos los precios
sombra son mayores o iguales a cero
Si ij 0 ,ij XJ < Solución no
es óptima
E
CONDICION DE OPTIMALIDAD
Mientras exista al menos un precio sombra
menor que cero en las celdas no básicas de las
iteraciones del tableau, entonces su solución
factible no es óptima, por lo que entonces deben
continuarse las iteraciones
Si hay dos o más precios sombra menores a cero,
se determina que ingresa a la base la variable no
básica que origina el precio sombra más negativo
ITERACIONES
Cuando hay ahorro marginal, lo máximo que se
transfiere hacia la celda no básica, es el mínimo
de las celdas que entregan unidades en la
transferencia, para así conservar la condición
de factibilidad Xij > 0
A
i,j
Cada vez que se realiza una iteración
(reasignación de unidades), a continuación se
necesita volver a calcular los precios sombra,
hasta verificar que se alcanza la solución óptima
CONCEPTO DE LA GRAN “M”
En caso de que no se pueda o no se desee
almacenar o asignar unidades, el método de
transporte define un costo unitario de transporte
igual a “M”, que representa un costo marginal
infinito, que en el tableau se expresa de la
siguiente manera:
Si CMg = 8 M
EJEMPLO DE TRANSPORTE
Desde Hacia
Planta 1
Planta 3
Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Oferta
Planta 2
Demanda
18 23
18
21 25
650
600
700
500
Inven.
0
600
600 500 300 450 1950 1950 100
100 0
Se deben calcular todos los precios sombra
-8
300 350
100
= + 21 - 24 + 18 - 23 = - 8 P2A1
21 24 23 18 0
0 23 27 21
EJEMPLO DE TRANSPORTE
Desde Hacia
Planta 1
Planta 3
Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Oferta
Planta 2
Demanda
18 23 21 25
650
600
700
300
Inven.
0
600
600 500 300 450 100
100 0
-8
= + 21 - 18 + 24 - 23 = + 4
+4 350
100 500
P1A3
21 24 23 18 0
0 23 27 21 18
EJEMPLO DE TRANSPORTE
Desde Hacia
Planta 1
Planta 3
Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Oferta
Planta 2
Demanda
18 23 21 25
650
600
700
300
100 500
Inven.
0
600 500 300 450 100
100
-8
= + 25 - 18 + 21 - 23 = + 5
+5 +4 350
0 600
P1A4
21 24 23 18 0
18 21 27 23 0
EJEMPLO DE TRANSPORTE
Desde Hacia
Planta 1
Planta 3
Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Oferta
Planta 2
Demanda
18 23
23 18 21
21
27
25
650
600
700
300
100 500
Inven.
0
600 500 300 450 100
0
-8
= + 0 - 18 + 21 - 0 = + 3
+5 +4 350
0 600 100
+3
P1INV
21 24 23 18 0
EJEMPLO DE TRANSPORTE
Desde Hacia
Planta 1
Planta 3
Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Oferta
Planta 2
Demanda
18 23 21 25
650
600
700
300
100 500
Inven.
0
600 500 300 450 100
-8
= + 18 - 24 + 21 - 23 = - 8
+5 +4 350
0 100
+3
600
-8
P2A4
21 24 23 18 0
0 23 27 21 18
EJEMPLO DE TRANSPORTE
Desde Hacia
Planta 1
Planta 3
Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Oferta
Planta 2
Demanda
18 23 21 25
650
600
700
300
100 500
Inven.
0
600 500 300 450 100
-8
= + 0 - 24 + 21 - 0 = - 3
+5 +4 350
0 100
+3
600
-8 -3
P2INV
21 24 23 18 0
18 21 27 23 0
EJEMPLO DE TRANSPORTE
Desde Hacia
Planta 1
Planta 3
Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Oferta
Planta 2
Demanda
18 23 21 25
650
600
700
500
Inven.
0
600 500 300 450 100
= No Existe
+5 +4 350
0 100
+3
600
-8 -3
Pues no pueden asignarse
unidades desde P3A2
-8
300
100
E
P3A1
0 18 23 24 21
23 0 27 21 18
EJEMPLO DE TRANSPORTE
Desde Hacia
Planta 1
Planta 3
Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Oferta
Planta 2
Demanda
18 23 21 25
650
600
700
Inven.
0
600 500 300 450 100
= No Existe
+5 +4 350
100
+3
600
-8 -3
Pues no pueden asignarse
unidades desde P3A2
-8
300
500 100
0
E E
P3A3
0 18 23 24 21
23 0 27 21 18
Desde Hacia
Planta 1
Planta 3
Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Oferta
Planta 2
Demanda
18 23 21 25
650
600
700
Inven.
0
600 500 300 450 100
350
100 600
-8 -8
300
500 100
0
P2A4
0 18 23 24 21
23 0 27 21 18
= + 18 - 24 + 21 - 23 = - 8
EJEMPLO DE TRANSPORTE
Revisión del lazo para la iteración correspondiente:
EJEMPLO DE TRANSPORTE
Desde Hacia
Planta 1
Planta 3
Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Oferta
Planta 2
Demanda
18 23 21 25
650
600
700
Inven.
0
600 500 300 450 100
350
100
300
500
Entra XP2A4
XJ2 = (XP1A1,XP1A2,XP2A3,XP2A4,XP3A2,XP3A4,XP3INV)
Unidades Transferir = 100
100
0 600
y Sale XP2A2.
100
100 500
0 18 23 24 21
0 21 27 23 18
EJEMPLO DE TRANSPORTE
Desde Hacia
Planta 1
Planta 3
Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Oferta
Planta 2
Demanda
18 23 21 25
650
600
700
Inven.
0
600 500 300 450 100
350
100 500
300
500
100
Cálculo de los Precios Sombra para 2ª iteración:
100
-4
-8 -1
0 +8
+5
+5
+3
21 24 23 0 18
18 21 27 23 0
Desde Hacia
Planta 1
Planta 3
Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Oferta
Planta 2
Demanda
18 23 21 25
650
600
700
Inven.
0
600 500 300 450 100
350
100 500
300
500
100
Revisión del lazo para la iteración correspondiente:
100
-8
21 24 23 0 18
18 21 27 23 0
P3A1 = + 18 - 23 + 18 - 21 = - 8
EJEMPLO DE TRANSPORTE
EJEMPLO DE TRANSPORTE
Desde Hacia
Planta 1
Planta 3
Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Oferta
Planta 2
Demanda
21 25
650
600
700
Inven.
0
600 500 300 450 100
100 500
500
Entra XP3A1
XJ3 = (XP1A1,XP1A2,XP2A3,XP2A4,XP3A1,XP3A4,XP3INV)
100
Unidades Transferir = 100 y Sale XP3A2.
300 350
100 100
450 200
18 23
21 24 23 18 0
18 21 27 23 0
EJEMPLO DE TRANSPORTE
Desde Hacia
Planta 1
Planta 3
Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Oferta
Planta 2
Demanda
18 23 25
650
600
700
Inven.
0
600 500 300 450 100
450
100 500
200
500
100
Cálculo de los Precios Sombra para 3ª iteración:
100
-12
+8 -1
+8 +16
-3
+5
-5
21 24 23 0 18
18 21 27 23 0
21
Desde Hacia
Planta 1
Planta 3
Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Oferta
Planta 2
Demanda
18 23 25
650
600
700
Inven.
0
600 500 300 450 100
450
100 500
200
500
100
100
-12
21 24 23 0 18
18 21 27 23 0
21
Revisión del lazo para la iteración correspondiente:
EJEMPLO DE TRANSPORTE
P1A3 = + 21 - 23 + 18 – 23 + 18 - 23 = - 12
EJEMPLO DE TRANSPORTE
Desde Hacia
Planta 1
Planta 3
Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Oferta
Planta 2
Demanda
18 23 21 25
650
600
700
Inven.
0
600 500 300 450 100
450
100
Entra XP1A3
XJ4 = (XP1A2,XP1A3,XP2A3,XP2A4,XP3A1,XP3A4,XP3INV)
Unidades Transferir = 200 y Sale XP1A1.
200
100 500
100 500
200
300 300
300 300
21 24 23 18 0
18 21 27 23 0
EJEMPLO DE TRANSPORTE
Desde Hacia
Planta 1
Planta 3
Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Oferta
Planta 2
Demanda
18 21 25
650
600
700
Inven.
0
600 500 300 450 100
450
100 300
200
300
300
Cálculo de los Precios Sombra para 4ª iteración:
300
+12
-4 -1
+8 +4
+9
+5
+7
21 24 23 18 0
18 21 27 23 0
23
Desde Hacia
Planta 1
Planta 3
Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Oferta
Planta 2
Demanda
18 21 25
650
600
700
Inven.
0
600 500 300 450 100
450
100 300
200
300
300
300
-4
21 24 23 18 0
18 21 27 23 0
23
Revisión del lazo para la iteración correspondiente:
EJEMPLO DE TRANSPORTE
P3A2 = + 21 - 18 + 21 – 23 + 18 - 23 = - 4
EJEMPLO DE TRANSPORTE
Desde Hacia
Planta 1
Planta 3
Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Oferta
Planta 2
Demanda
18 23 21 25
650
600
700
Inven.
0
600 500 300 450 100
100 300
Entra XP3A2
XJ4 = (XP1A2,XP1A3,XP2A3,XP2A4,XP3A1,XP3A2,XP3INV)
Transferir = 300 y Salen XP2A3 y XP3A4.
300
450 200
300 300
300
600
500 150
0
21 24 23 18 0
18 21 27 23 0
EJEMPLO DE TRANSPORTE
Desde Hacia
Planta 1
Planta 3
Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Oferta
Planta 2
Demanda
18 23 21 25
650
600
700
Inven.
0
600 500 300 450 100
150
100
500
300 300
Cálculo de los Precios Sombra para 5ª iteración:
600
+8
+4 +3
+9 +3
0
Se halló la solución óptima, que es degenerada
E E E 0 18 23 24 21
18 21 27 23 0
EJEMPLO DE TRANSPORTE
Solución Óptima del Ejercicio:
XJ = (XP1A2,XP1A3,XP2A3,XP2A4,XP3A1,XP3A2, XP3INV)
XP1A2
XP1A3
XP2A3
XP2A4
XP3A1
XP3A2
XP3INV
= 300
= 300
= 100
= 150
= 500
= 600
= 0
Z = (150*18) + (500*21) + (0*23) + (600*18) +
+ (300*18) + (300*21) + (0*100)
Z = Costo Total = $ 35.700
La solución no
es única, pues
es una solución
degenerada ij > 0
A
i,j XJ
EJEMPLO
Problema resuelto el método de esquina nor-oeste:
Costo Unitario de Transporte a cada Almacén Capacidad
Planta Almacén 1 Almacén 2 Almacén 3 Almacén 4 (unidades)
1 23 18 21 25 650
2 21 24 23 18 600
3 18 21 27 23 700
Demanda 300 450 500 600
Considere que los costos unitarios de producción
son de $18, $25 y $10 para las plantas 1, 2 y 3
respectivamente. Por política de la empresa, no se
permite almacenar inventario en las plantas 1 y 2.
Plantee como problema de programación lineal y
encuentre la asignación óptima por método Vogel
PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL
Cada vez que se plantea un problema
de programación lineal, se procede
cumpliendo las siguientes etapas:
1.- Comprensión del problema (lectura en detalle)
2.- Definición de las variables de decisión
3.- Descripción de la función objetivo
4.- Identificación de las restricciones del problema
PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL
En un problema de transporte, las
variables de decisión contemplan
todas las combinaciones posibles de
flujos de distribución física, a transferir
desde las fuentes hacia los destinos
Resulta imprescindible definir las variables de
decisión. Si no se definen las variables de decisión,
entonces es imposible determinar qué significan las
denominaciones Xij que, a continuación, se
describen en la función objetivo y las restricciones
PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL
Las restricciones incluyen un
conjunto de restricciones de
oferta (una por cada fuente) y
otro conjunto de restricciones
de demanda (una por cada
destino), sin olvidar la
condición de no negatividad
Se define como función objetivo la minimización
de los costos de transporte asociados a la red de
distribución física
PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL
Generalmente de ambos conjuntos de restricciones
(oferta y demanda), uno de ellos son desigualdades
( , ) y el otro de ellos son igualdades ( ), lo que
depende del contraste entre oferta total y demanda
total. Caso exceso de oferta:
Oferta
total
Demanda
total > Si
> < =
Restricciones Oferta
Restricciones Demanda <
= Situación válida tanto para acumulación
de inventario como capacidad ociosa
(unidades a no producir)
Generalmente de ambos conjuntos de restricciones
(oferta y demanda), uno de ellos son desigualdades
( , ) y el otro de ellos son igualdades ( ), lo que
depende del contraste entre oferta total y demanda
total. Caso exceso de demanda:
Oferta
total
Oferta
total
Demanda
total
Demanda
total
<
Si
Si
> < =
Restricciones Oferta
Restricciones Demanda
Restricciones Oferta
Restricciones Demanda
< =
< > =
PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL
Situación válida para caso de demanda no satisfecha
Situación válida para los casos de desacumulación de inventario y de producción en turno extra
El ejemplo considera dos categorías de costos,
por lo que se deben sumar los costos unitarios de
producción con los costos unitarios de transporte
La tabla de costos para plantear el problema de
programación lineal queda así:
INV A4 A3 A1 A2
P1 41 36 39 43 M
P2 46 49 48 43 M
P3 28 31 37 33 10
PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL
Sea Xij: Número de unidades a transportar desde
PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL
la fuente i-ésima hacia el destino j-ésimo
donde: i = { planta 1, planta 2, planta 3 }
j = { almacén 1, almacén 2, almacén 3,
almacén 4 }
Función objetivo: Minimizar Z
Mín Z = 41XP1A1 + 36XP1A2 + 39XP1A3 + 43XP1A4 +
46XP2A1 + 49XP2A2 + 48XP2A3 + 43XP2A4 +
28XP3A1 + 31XP3A2 + 37XP3A3 + 33XP3A4
(producción + transporte)
Para el ejemplo planteado:
Costo Unitario de Transporte a cada Almacén Capacidad
Planta Almacén 1 Almacén 2 Almacén 3 Almacén 4 (unidades)
1 23 18 21 25 650
2 21 24 23 18 600
3 18 21 27 23 700
Demanda 300 450 500 600
Oferta total = 1950
Demanda total = 1850 Hay un exceso de oferta
Luego, se plantean: Restricciones Oferta
Restricciones Demanda <
= • •
PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL
PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL
s.a. XP1A1 + XP1A2 + XP1A3 + XP1A4 650
Restricciones de Oferta:
XP2A1 + XP2A2 + XP2A3 + XP2A4 600
XP3A1 + XP3A2 + XP3A3 + XP3A4 700
Restricciones de Demanda:
< < <
s.a. XP1A1 + XP2A1 + XP3A1 300
XP1A2 + XP2A2 + XP3A2 450
XP1A3 + XP2A3 + XP3A3 500
XP1A4 + XP2A4 + XP3A4 600
= = = =
Restricciones de No Negatividad: Xij 0 > , ij
A
METODO DE VOGEL
Selecciona las diferencias de ahorros más altas y
luego asigna el máximo número de recursos
productivos en la celda con el mínimo costo
unitario, según las restricciones de oferta y de
demanda
Utiliza conceptos matemáticos y de cálculo
avanzado: calcula un gradiente moviéndose por
la mayor pendiente, asignando unidades en las
celdas con el menor costo marginal
Vogel es más inteligente y rápido que la esquina
noroeste, pero tampoco garantiza la optimalidad
Gradiente:
g(x) = z x i
z y j +
>
>
ETAPAS DEL METODO VOGEL
1) Calcular las diferencias entre los dos costos
unitarios más bajos para cada fila y para cada
columna, en el tableau
3) Se elimina la fila o columna que copa su oferta
total o demanda total, respectivamente, por
efecto de la asignación reciente
2) Se escoge la mayor de las diferencias y se
ubica en tal fila o columna (según sea el caso), la
celda con el menor costo unitario, asignándole el
máximo número de unidades posible
ETAPAS DEL METODO VOGEL
4) Se reinicia sucesivamente desde la etapa 1),
recalculando las diferencias entre los dos costos
unitarios más bajos para cada fila y para cada
columna, seleccionando la mayor de tales
diferencias, para identificar en dicha máxima
diferencia la celda con el menor costo unitario y
asignar en dicha celda el máximo número de
unidades posibles, según las restricciones de
oferta y de demanda. Esta etapa sigue hasta que
ya no se obtiene diferencia alguna en el tableau
5) Se asignan las celdas restantes en forma manual
Al resolver el problema de transporte, sólo se
consideran los costos diferenciales, por lo que si
bien se deben sumar los costos unitarios de
producción con los costos unitarios de transporte,
es posible reducir la tabla de costos según:
INV A4 A3 A1 A2
Como sólo interesan los costos
diferenciales, podría trabajarse
INV A1 A2 A3 A4
P1 31 26 29 33 M
P2 36 39 38 33 M
P3 18 21 27 23 0
P1 41 36 39 43 M
P2 46 49 48 43 M
P3 28 31 37 33 10
EJEMPLO DE TRANSPORTE
EJEMPLO DE TRANSPORTE
P.1
P.3
Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Ofta
P.2
Dda
650
600
700
Inven
600 500 300 450 100
5 13
18
3
3
10 2 M
100
1ª asignación: en la celda con menor costo de la
mayor de las diferencias de mínimos costos
23 27 21 18
36 39 38 33 M
31 26 29 33 M
0
EJEMPLO DE TRANSPORTE
P.1
P.3
Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Ofta
38 P.2
Dda
39
26 31
33
23 18
36
21
29
27
33
650
600
700
Inven
M
M
600 500 300 450 100
0
5
3
3
3
10 2 M
100
13
300
1ª asignación: XP3A3 = 100
2ª asignación: XP3A1 = 300
.... y así se completa
sucesivamente
EJEMPLO DE TRANSPORTE
P.1
P.3
Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Ofta
P.2
Dda
33
650
600
700
Inven
M
600 500 300 450 100
3
3
18
13 5 2 10 M
100
*
300
*
10
300 *
13 9 0 13
450
*
4
9
200 * 300 300
39 36
31 26 29
18 21 27
38 33 M
0 23
5
2 3
EJEMPLO DE TRANSPORTE
1ª asignación: XP3INV = 100, gradiente columna INV = M
2ª asignación: XP3A1 = 300, gradiente columna A1 = 13
3ª asignación: XP3A4 = 300, gradiente columna A4 = 10
4ª asignación: XP1A2 = 450, gradiente columna A2 = 13
5ª asignación: XP1A3 = 200, gradiente columna A3 = 9
6ª asignación: XP2A3 = 300
7ª asignación: XP2A4 = 300
Así, Vogel determina la 1ª solución básica factible,
sin embargo falta verificar la condición de optima-
lidad e iterar vía simplex si es que es necesario
Asignación
manual
EJEMPLO DE TRANSPORTE
Planta 1
Planta 3
Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Oferta
Planta 2
Demanda
26 31
33
18
36
21
29 33
650
600
700
Inven
M
M
600 500 300 450 100
0
100 300 300
450 200
38 39
300 300
27 23
Entra XP3A2
XJ1 = (XP1A2,XP1A3,XP2A3,XP2A4,XP3A1,XP3A4,XP3INV)
+12
+8 +4
-4 -1
+9 +M
+M
De acuerdo al cálculo de los precios sombra
Transferir = 300 y salen XP2A3 y XP3A4.
EJEMPLO DE TRANSPORTE
Planta 1
Planta 3
Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Oferta
Planta 2
Demanda
36
650
600
700
Inven
M
600 500 300 450 100
100 300
38 39
300 300
300 300
600
Hay solución degenerada, ingresa XP2A2 = 0
0
XJ2 = (XP1A2,XP1A3,XP2A2,XP2A4,XP3A1,XP3A2,XP3INV)
21 18 27 23 0
450 200 500 150
33
29 26 31 M 33
EJEMPLO DE TRANSPORTE
Planta 1
Planta 3
Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Oferta
Planta 2
Demanda
31
18
36
21
650
600
700
Inven
M
600 500 300 450 100
0
100 300 300
150 500
38 39
600 0
27 23 +8 +3
Cálculo de los Precios Sombra para 2ª iteración:
+8 E E
Ya que ij > 0 A
i,j XJ La solución
es óptima
33
33 29 26 +13
M +M
E
EJEMPLO DE TRANSPORTE
Solución óptima del ejemplo:
XJ = (XP1A2,XP1A3,XP2A2,XP2A4,XP3A1,XP3A2, XP3INV)
XP1A2
XP1A3
XP2A2
XP2A4
XP3A1
XP3A2
XP3INV
= 300
= 300
= 100
= 150
= 500
= 600
= 0
Z = (150*36) + (500*39) + (0*69) + (600*43) +
+ (300*28) + (300*31) + (100*10)
Z = Costo Total = $ 69.400
La solución no
es única, pues
es una solución
degenerada ij > 0
A
i,j XJ
(producción + transporte)