Universidad
Politécnica de
Tulancingo
Materia: Matemáticas Discretas
“Investigación”
Profesor: Luis Alfonso Santillán Moreno
Alumno: Duarte Pérez Juan Carlos
Desiderio Vargas Juan Carlos
Rodríguez Granillo Daniel
1
ÍNDICE
Introducción ................................................................................................................................ 2
Evolución en etapas de la lógica matemática .................................................................... 4
La Edad Antigua de la Lógica .............................................................................................. 4
La Edad Media de la Lógica ................................................................................................ 4
La Edad Moderna de la Lógica ........................................................................................... 5
Aportaciones ............................................................................................................................... 5
Augustus De Morgan .............................................................................................................. 5
Leyes de Morgan Ø (PÚ Q) Û Ø PÙ Ø Q Ø (PÙ Q) Û Ø PÚ Ø Q ....................................... 6
Aportación 2 Georg F. Cantor y la teoría de conjuntos ................................................. 8
Conceptos básicos de la Teoría de Conjuntos ................................................................. 8
Colecciones: Clases y Conjuntos. ........................................................................................ 9
Alan Turing ................................................................................................................................ 9
Ejemplos de aplicación ........................................................................................................... 10
1.-Sistemas expertos para la representación de los conocimientos. ........................... 10
2.- Teoría de las bases de datos ......................................................................................... 11
3.- Tecnología Orientada a Objetos. ................................................................................. 11
4.- La demostración automática de teoremas ............................................................... 12
Usos industriales ..................................................................................................................... 12
5.-Aplicación a la vida real ................................................................................................. 13
Conclusión ................................................................................................................................. 14
Referencias ................................................................................................................................ 14
2
Introducción
La importancia de la Lógica viene siendo reconocida desde la antigüedad, Ya los
griegos clásicos sabían que el razonamiento es un proceso sujeto a ciertos Esquemas
y que, al menos parcialmente, está gobernado por leyes perfectamente Formulables
. Pero su importancia en la actualidad se debe, sin Duda, al destacado papel que
ha tomado recientemente en los más diversos Campos de la Informática (análisis,
síntesis y verificación de programas, programación Lógica, inteligencia artificial,
control de procesos, robótica, etc) Y todo ello no de forma completamente
accidental ya que, como veremos, La Lógica nació como un intento de mecanizar
los procesos intelectivos del Razonamiento. En el caso que nos ocupa se suele
establecer, generalmente, que la Lógica Moderna se desarrolló a partir de la
confluencia de Matemáticas, Ingeniería y Lingüística. Cuando se concretan
referencias a la Ingeniería y a la Lingüística Se percibe un aroma con el que todo
matemático aplicado se siente identificado.
Comentaremos brevemente estas dos disciplinas para, en el resto de este Trabajo,
centrarnos fundamentalmente en la aportación de las Matemáticas.
Podríamos situar el comienzo de la aportación de la Ingeniería a la Lógica En 1938,
cuando Claude E. Shannon (más tarde famoso por su Teoría De la Información)
observó que las funciones realizada por circuitos combinatorios, Inicialmente
construidos con relés, se podían representar con la Notación simbólica del ´algebra
de Boole . A mediados de la década de
Los 50, D.A. Hoffman extendió este trabajo a los circuitos secuenciales, lo Cual dio
origen al desarrollo de la teoría de máquinas de estados finitos. La contribución de la
Lingüística llega a finales de los 50. Noam Chomsky, Con su teoría de las gramáticas
formales, establece las bases de la lingüística Matemática e inicia el camino hacia la
formalización en la descripción de Los lenguajes naturales. Al mismo tiempo, se
estaba trabajando en la
Especificación de la sintaxis de lenguajes de programación de ordenadores: Backus
adaptó algunos trabajos de E. Post a tales especificaciones en, Y obtuvo una
notación que era una variante de las gramáticas libres de Contexto de Chomsky. Por
otra parte, el estudio de las clases de lenguajes Generados por las gramáticas
formales y el estudio de las máquinas de estados Finitos llevo al establecimiento de
una relación inmediata y sorprendente: los
3
Mismos fenómenos aparecían de forma independiente en ambos campos, de
Manera que se podían establecer isomorfismos entre ambos modelos. La implicación
de la Lógica Matemática en el nacimiento de la Informática, Y de la Lógica
Computacional en su desarrollo actual, hace que el estudio De esta disciplina para
un docente e investigador en Matemática Aplicada Sea doblemente atractivo: por
una parte, es atrayente la juventud del campo de estudio frente otras ramas
tradicionales de las Matemáticas, por otra parte,
Sus orígenes resultan especialmente interesantes desde el punto de vista
Histórico.
Historia y evolución
Historia
Lógica matemática fue el nombre dado por Giuseppe Peano para esta disciplina.
En esencia, es la lógica de Aristóteles, pero desde el punto de vista de una nueva
notación, más abstracta, tomada del álgebra.
Previamente ya se hicieron algunos intentos de tratar las operaciones lógicas
formales de una manera simbólica por parte de algunos filósofos matemáticos como
Leibniz y Lambert, pero su labor permaneció desconocida y aislada.
Fueron George Boole y Augustus De Morgan, a mediados del siglo XIX, quienes
primero presentaron un sistema matemático para modelar operaciones lógicas. La
lógica tradicional aristotélica fue reformada y completada, obteniendo un
instrumento apropiado para investigar sobre los fundamentos de la matemática.
El tradicional desarrollo de la lógica enfatizaba su centro de interés en la forma de
argumentar, mientras que la actual lógica matemática lo centra en un estudio
combinatorio de los contenidos. Esto se aplica tanto a un nivel sintáctico (por
ejemplo, el envío de una cadena de símbolos perteneciente a un lenguaje formal a
un programa compilador que lo convierte en una secuencia de instrucciones
ejecutables por una máquina), como a un nivel semántico, construyendo modelos
apropiados (teoría de modelos). La lógica matemática estudia los sistemas formales
en relación con el modo en el que codifican conceptos intuitivos de objetos
matemáticos como conjuntos, números, demostraciones y computación.
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Evolución en etapas de la lógica matemática
La Edad Antigua de la Lógica
El embrión de la lógica moderna no es otro que la teoría silogística De Aristóteles
(384–322 a.C.), que se ha enseñado como parte del Trívium (Gramática, Retórica y
Dialéctica) desde la Edad Media hasta principios del siglo xx. La silogística de
Aristóteles fue el primer cálculo de razonamientos con los cuantificadores ((todos)) y
((algunos)) que, usando terminología moderna, traducimos como los cuantificadores
universal y existencial,
Respectivamente. Lógica proposicional Por lo que se refiere a la lógica
proposicional, Crisipo de Soli (c.281– 206 a.C.) introdujo las conectivas de
implicación, conjunción y disyunción exclusiva, y extrajo la propiedad característica
de la lógica proposicional: el valor de verdad o falsedad de proposiciones
compuesta a partir de estas conectivas está determinado por el conocimiento de la
verdad o falsedad de sus partes. De esta forma llevó a los estoicos a su periodo de
mayor relevancia a finales del siglo iii a.C. Los estoicos disponían de todos los
ingredientes para acometer una teoría lógica de la demostración matemática. Sin
embargo, con la muerte de Crisipo la escuela estoica pareció colapsarse, sus
trabajos se perdieron, y la Lógica volvió a reducirse al estudio de la silogística
aristotélica durante más de dos mil años. Cuando finalmente fueron descubiertos
algunos fragmentos de obras de los estoicos, fueron tratados con desdén. Algunos
tratados de historia dela lógica antigua describen la tabla de verdad de la
implicación como excesivamente estúpida. Sin embargo, ((. . . como todos
sabemos, de debajo del polvo de dos mil años, el genio de los estoicos volvió para
fertilizar el nacimiento de la era de los ordenadores: sus excesivamente estúpidas
tablas de verdad, embutidas en silicona, forman las mentes de nuestros, hoy por hoy,
imprescindibles computadores)).
La Edad Media de la Lógica
Decíamos que hubo que esperar más de dos mil años para que se volviesen a
conocer las tablas de verdad. Más concretamente, el ´algebra de clases y la lógica
de proposiciones fueron descubiertas de nuevo y desarrolladas mucho más
completamente a mediados del siglo xix por Augustus de Morgan (1806–1871) y
George Boole (1815–1864), La contribución de A. de Morgan representó una
extensión de la Silogística, introdujo conectivas proposicionales y sus leyes, así como
una rudimentaria teoría de relaciones. Por su parte, G. Boole (re-)descubrió las tablas
de verdad para las proposiciones y la forma normal disyuntiva (disyunción de
conjunciones de literales), que introdujo con el nombre de la ((ley de expansión)).
Fue el quien desarrolló un razonamiento sistemático de la lógica
5
De las proposiciones basadas en el ´algebra pura, cuyo trabajo llevó más tarde
A lo que se conoce como el ´algebra de la lógica.
La Edad Moderna de la Lógica
El siglo xix fue testigo de un esfuerzo concertado para desarrollar una base firme
sobre la que fundamentar las matemáticas, con definiciones precisas, axiomas y
construcciones. La imprecisión de las definiciones provocaba confusión y
controversia. Difícilmente se distinguía una función de su representación simbólica; la
continuidad de la continuidad uniforme, etc. El
Mismo Cauchy, uno de los grandes defensores del rigor en el análisis, dio una
((demostración)) de que la suma de una serie infinita de funciones continuas es
continua, a la que en 1826 Abel dio un contraejemplo. Hemos de retrasar nuestro
reloj unos dos mil quinientos años para recordar la elegancia del planteamiento de
los Elementos de Euclides, la geometría sintética se tomó como el fundamento
lógico de las matemáticas: cada campo de las matemáticas debía, pues, ser
reducido a la geometría. Con la introducción en el siglo xvii de los sistemas
coordenados, Descartes redujo la geometría sintética a la geometría analítica y, por
lo tanto, todo quedó reducido al ´algebra y a la aritmética. Este paso llevó al gran
esfuerzo para definir cualquier estructura matemática compleja en términos de otras
estructuras más simples. Finalmente, Dedekind y Peano como bien sabemos,
mostraron que incluso los naturales se pueden construir a partir ´únicamente de un
conjunto unitario (el 0 ´o el 1) y una función Sucesor S(x).
Aportaciones
Augustus De Morgan
En 1838 aporto el término "inducción matemática" utilizando un proceso que ha sido
usado. El término aparece en el artículo de De Morgan (Induction Mathematics) en
el Penny Cyclopedia.
Su contribución es como un reformador de la lógica matemática.
Morgan creo las leyes de Morgan, que son reglas de equivalencia en las que se
muestran que dos proposiciones pueden ser lógicamente equivalentes.
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Leyes de Morgan Ø (PÚ Q) Û Ø PÙ Ø Q Ø (PÙ Q) Û Ø PÚ Ø Q
Se trata de una combinación de compuertas de tal modo de encontrar una
equivalencia entre ellas, esto viene a consecuencia de que en algunos casos no se
dispones del integrado que se necesita pero si de otros que podrían producir los
mismos resultados que se están buscando.
1ºLey:
El producto lógico negado de varias variables lógicas es igual a la suma lógica de
cada una de dichas variables negadas. Si tomamos un ejemplo para 3 variables
tendríamos:
El primer miembro de esta ecuación equivale a una compuerta NAND de 3
entradas, representada en el siguiente gráfico y con su respectiva tabla de verdad.
El segundo miembro de la ecuación se puede obtener de dos formas:
Se tiene que verificar que la tabla de verdad es la misma, ya que los resultados
obtenidos son iguales. Acabamos de verificar la primera ley.
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La suma lógica negada de varias variables lógicas es igual al producto de cada una
de dichas variables negadas...
El primer miembro de esta ecuación equivale a una compuerta NOR de 3 entradas y
la representamos con su tabla de verdad.
El segundo miembro de la ecuación se puede obtener de diferente forma, aquí
solo dos.
Nuevamente, se observa que la tabla de verdad es la misma que para el primer
miembro en el gráfico anterior. Se acaba de verificar la segunda ley de Morga.
8
Aportación 2 Georg F. Cantor y la teoría de conjuntos
Al matemático alemán Georg F. Cantor, 1845-1918, se debe la idea del infinito
continuo, es decir, la posibilidad de considerar conjuntos infinitos dados
simultáneamente. Se le considera el creador de la teoría de los números irracionales
y de los conjuntos.
La Teoría de Conjuntos es una teoría matemática, que estudia básicamente a un
cierto tipo de objetos llamados conjuntos y algunas veces, a otros objetos
denominados no conjuntos, así como a los problemas relacionados con estos.
Intuitiva e informalmente los objetos de estudio de la Teoría de Conjuntos quedan
descritos así:
Si x no tiene elementos, entonces x es un objeto de la Teoría de Conjuntos.
Si x es un conjunto, entonces x es un objeto de la Teoría de Conjuntos.
Los únicos objetos de la Teoría de Conjuntos son los descritos en 1 y 2.
La importancia de la Teoría de Conjuntos radica en que a partir de ella se puede
reconstruir toda la matemática, salvo la Teoría de Categorías.
Por ejemplo, con la Teoría de Conjuntos se pueden definir los siguientes conceptos y
probar todas sus propiedades: par ordenado, relación, función, partición, orden,
estructuras algebraicas, los naturales, los enteros, los racionales, los reales, los
complejos, etc.
Conceptos básicos de la Teoría de Conjuntos
Son dos los conceptos básicos de la Teoría de Conjuntos:
Conjunto: Colección de cualquier tipo de objetos considerada como un todo, una
multiplicidad vista como unidad; entidad completa bien determinada.
Los objetos que forman al conjunto son nombrados elementos del conjunto o
miembros del conjunto.
Por colección entenderemos a una agrupación que está determinada por una
propiedad enunciada por medio de un lenguaje preciso.
Todo conjunto es una colección de objetos, pero no toda colección de objetos es
un conjunto. Esta afirmación será demostrada más adelante.
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Relación de Pertenencia: El ser elemento de es una relación binaria o de dos
argumentos entre dos objetos de la Teoría de Conjuntos.
Esta relación va de un objeto a otro, donde el segundo objeto es necesariamente un
conjunto y el primero puede ser o no un conjunto.
Colecciones: Clases y Conjuntos.
Como se mencionó anteriormente, una colección está determinada por una
propiedad P formulada en un lenguaje preciso. Una clase es una colección, cuyos
objetos son los objetos de la Teoría de Conjuntos que cumplen la propiedad P que
caracteriza a la colección.
Las colecciones llamadas clases, son colecciones de objetos de la Teoría de
Conjuntos, y pueden ser o no conjuntos en el siguiente sentido: Todo conjunto es una
clase, pero no toda clase es un conjunto.
Proposición.
La clase de todos los objetos x tales que cumplen la propiedad "x no pertenece a x",
no es un conjunto.
Prueba.
Supongamos que dicha clase sí fuera un conjunto y llamémosle R. Entonces:
Si R no pertenece a R, R cumple la propiedad que caracteriza a la clase y tenemos
que R pertenece a R.
Si R pertenece a R, entonces R no cumple la propiedad que caracteriza a la clase y
tenemos que R no pertenece a R.
Así pues, hemos mostrado que: si R no pertenece a R, entonces R pertenece a R; y si
R pertenece a R, entonces R no pertenece a R. Pero como R pertenece a R o R no
pertenece a R, entonces necesariamente se cumple que R pertenece a R y que R
no pertenece a R, lo cual es absurdo.
En conclusión, no es posible que dicha clase sea un conjunto.
Alan Turing
Matemático y Lógico pionero en Teoría de la Computación que contribuye a
importantes análisis lógicos de los procesos computacionales. Las especificaciones
para la computadora abstracta que él idea -conocida como Máquina de Turing-,
resulta ser una de sus más importantes contribuciones a la Teoría de la Computación.
Turing además prueba que es posible construir una máquina universal con una
programación adecuada capaz de hacer el trabajo de cualquier máquina
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diseñada para resolver problemas específicos. La Máquina de Turing es un intento
para determinar si la matemática se puede reducir a algún tipo simple de
computación. Su objetivo fué desarrollar la máquina más simple posible capaz de
realizar computación. La máquina propuesta por Turing es un dispositivo
relativamente simple, pero capaz de realizar cualquier operación matemática.
Turing se ilusionó con la idea de que su máquina podía realizar cualquier proceso del
cerebro humano, inclusive la capacidad de producir conciencia de uno mismo.
Ejemplos de aplicación
1.-Sistemas expertos para la representación de los conocimientos.
Los sistemas de razonamiento basados en la lógica de predicados son sistemas de
razonamiento monotónico ("monotónico" significa "moverse en una sola dirección")
ya que las deducciones realizadas nunca generan contradicciones.
Un sistema de razonamiento no monotónico es aquel que sigue la trayectoria de un
conjunto de creencias tentativas y revisa aquellas creencias cuando se observa o se
deduce nuevo conocimiento.
El razonamiento que seguiría un experto humano en la materia a fin de poder
codificarlo mediante el empleo de un determinado lenguaje informático; por otra, la
síntesis artificial, de tipo mecánico, de los razonamientos de manera que éstos serán
semejantes a los empleados por el experto humano en la resolución de la cuestión
planteada.
Los sistemas expertos son, por lo tanto, intermediarios entre el experto humano, que
transmite sus conocimientos al sistema, y el usuario de dicho sistema, que lo emplea
para resolver los problemas que se le plantean con la competencia de un
especialista en la materia y que, además, puede adquirir una destreza semejante a
la del experto gracias a la observación del modo de actuar de la máquina.
Finalmente, el nivel cognoscitivo corresponde al conjunto de los conocimientos que
el experto humano pone en práctica para la resolución del problema planteado.
Este conjunto de conocimientos debe poder traducirse al lenguaje definido
mediante el formalismo de representación del conocimiento adoptado. En cuanto
al desarrollo actual de la investigación en el campo de los sistemas expertos, la
primera fase corresponde al desarrollo de sistemas y programas que traten
directamente el lenguaje natural, si bien persisten todavía dos escollos importantes.
Por un lado, el problema de cómo emplear de un modo eficaz una gran cantidad
de información sin necesidad de echar mano de la combinatoria; Es decir, cómo
conseguir un sistema dotado de conocimientos (Meta conocimientos), que le
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permitan utilizar los conocimientos del sistema y que, a su vez, le permitan deducir
automáticamente nuevos conocimientos, ya que no cabe pensar en la reunión de
todos los conocimientos necesarios en casos de campos tan sumamente vastos
como el del diagnóstico en la medicina.
2.- Teoría de las bases de datos
El área de base de datos es un área importante de la ciencia de la computación
concerniente con la historia, consultando y actualizando una gran cantidad de
datos. La lógica y las bases de datos están íntimamente conectadas desde los
nacimientos del sistema de base de datos a principios de los ‘70s. Aquellas
relaciones en un suceso incompetente de la historia. En efecto la lógica de primer
orden (FO) tiende hacia los sistemas de base de datos modernos, y los lenguajes de
consulta estructurados (SQL) y Consulta Por Ejemplo (QBE) son variantes sintácticas
de (FO). El lenguaje de consulta más poderos está basado en extensiones de FO con
recursión y son evocados con el bien conocido punto fijo consultado y estudiado en
un modelo de teoría finita. El impacto de la lógica en base de datos es notable en la
mayoría de los ejemplos de la eficacia de la lógica en ciencias computacionales.
En conclusión, la lógica provee una herramienta espectacularmente efectiva en el
área de base de datos. FO provee las bases para el lenguaje de consulta estándar,
porque la comodidad del uso de la implementación eficiente vía álgebra relacional.
FO puede lograr escalas lineales, consiguiendo fuentes de procesos paralelos. Así, se
llena el potencial como un lenguaje de consulta permaneciendo aun para ser
realizado.
3.- Tecnología Orientada a Objetos.
La mayoría de los lenguajes experimentales que se han producido en los últimos 10
años son orientados a objetos. Al igual que los frames, se asocia a un objeto tanto
datos como procedimientos en estructuras organizadas en jerarquías. Los datos al
igual que los procedimientos pueden ser heredados. Los objetos se comunican entre
ellos a través de un protocolo especial de pasar mensajes. Cada objeto es una
instancia de una clase y puede mandar su propio mensaje y hacer acciones
independientes. Las clases se relacionan en una jerarquía.
El objeto puede ser objeto físico, un concepto, o lo que sea que queremos describir
(ejemplo; un coche, un curso, un programa, etc.) Un objeto tiene un estado, exhibe
un comportamiento bien definido y tiene una identidad única.
El código privado que tiene el objeto puede ser accesado solo por medio de
mensajes. El mensaje dice a qué objeto se dirige, que procedimiento ejecutar y
cuáles son los argumentos.
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Los métodos que se utilizan se refieren a un procedimiento privado de un objeto que
dice que hacer con un mensaje y cómo hacerlo. Como cada objeto tiene sus
propios métodos, los objetos pueden responder diferente al mismo mensaje.
Normalmente los mensajes se mandan a instancias, que heredan sus métodos de
clases. Cuando se manda un mensaje a un objeto, éste checa sus datos y métodos
particulares para ver si se puede manejar el mensaje. Si no puede, busca la forma de
hacerlo en su objeto padre.
Los procedimientos pueden ser polimórficos (i.e., aceptar diferentes tipos o clases da
datos y de todos modos saber que hacer) Se tiene que programar en términos de
operaciones genéricas. Las propiedades relevantes dependen de cómo se persigue
el objeto, ejemplo., un piano a un músico (como suena) a un cargador (cuánto
pesa). De nuevo puede existir herencia múltiple (ejemplo., combinar ventanas).
La filosofía de representar el conocimiento en términos de objetos y agentes es
adecuada para muchos problemas (en especial los que tienen un componente de
simulación.) El tener datos y procedimientos, obliga a pensar en el tipo de objetos y
el comportamiento que es relevante para el problema.
4.- La demostración automática de teoremas
De siglas ATP, por el término en inglés: Automated theorem proving, que también
puede ser denominada Deducción automatizada, es actualmente el subcampo
más desarrollado del razonamiento automático, y se encarga de la demostración
de teoremas matemáticos mediante programas de ordenador.
Las técnicas de demostración automática de teoremas consisten en aplicar
métodos computacionales para demostrar teoremas. Es decir, demostración de
teoremas con un ordenador. Estas técnicas son especialmente viables como
herramienta para demostrar teoremas de geometría plana.
Usos industriales
La demostración automática de teoremas se utiliza principalmente en el diseño y la
verificación de circuitos integrados, por la industria electrónica. Desde el bug FDIV
del Pentium, la sofisticada y complicada unidad de punto flotante de los
microprocesadores modernos se han diseñado utilizando pasos de escrutinio
adicional. En los más modernos procesadores de AMD, Intel, y otros, se ha utilizado el
demostrador automatizado de teoremas para verificar que las operaciones
matemáticas de división y otras han sido diseñadas correctamente. Una de las vías
para demostrar teoremas es el principio de resolución, que funciona nada más y
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nada menos que como una regla de inferencia más y basado principalmente en la
regla más vieja (Modus Ponens). Este método consiste en demostrar un conjunto de
axiomas mediante la refutación de los mismos y en ocasiones contando con
premisas.
5.-Aplicación a la vida real
Sea el siguiente enunciado “El coche enciende cuando tiene gasolina en el tanque
y tiene corriente la batería”
Sean:
p: El coche enciende.
q: Tiene gasolina el tanque.
r: Tiene corriente la batería.
De tal manera que la representación del enunciado anterior usando simbología
lógica es como sigue: p = q Ù r
Su tabla de verdad es como sigue:
q r p = q Ù r
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
Donde.
1 = verdadero
0 = falso
En la tabla anterior el valor de q=1 significa que el tanque tiene gasolina, r=1 significa
que la batería tiene corriente y p = q Ù r=1 significa que el coche puede encender.
Se puede notar que si q o r valen cero implica que el auto no tiene gasolina y que
por lo tanto no puede encender.
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Conclusión
La lógica matemática se convirtió en una herramienta muy extendida una vez
desarrollados sus algoritmos algebraicos, simbólicos y Con la llegada de los actuales
computadores de alto rendimiento, ahora se usa para problemas de una talla y
dificultad sencillamente inimaginables hace solo unos pocos años: problemas que
quedaban fuera de las posibilidades computacionales de los sistemas anteriores hoy
día se pueden resolver bien automáticamente o bien de modo interactivo. Podemos
hacer una aproximación semejante
En un futuro próximo, implementaciones se van adaptando rápidamente. Este
extraordinario desarrollo ha permitido que algunas aplicaciones de nuestro entorno
hayan ampliado su horizonte de aplicaciones en áreas tales como el razonamiento
sobre programas, razonamiento sobre agentes, y planificación; actualmente existen
((asistentes maten áticos)) que usan e incrementan conjuntos de lemas,
demostraciones, tácticas y estrategias basadas en la lógica matemática.
Referencias
http://www.monografias.com/trabajos4/logica/logica.shtml
http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_matem%C3%A1tica
K. Appel and W. Haken. Every planar map is four colorable. Illinois
J. Mathematics, 21:429–567, 1977
Henri Poincaré. University of St. Andrews.
www-history.mcs.st-andrews.ac.uk
Cfr. Escohotado. El Pensamiento Precientífico. Tema 1.
www.escohotado.com
Cfr. Las trivialidades del rigor, Escohotado, Caos y Orden, 1999.
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