19 de abr de 2023 wenceslao.com.mx/matematicas 1
SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA
SUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN E INVESTIGACIÓN TECNOLÓGICAS
DIRECCIÓN GENERAL DE EDUCACIÓN TECNOLÓGICA INDUSTRIAL
CBTis 165 DE COATEPEC, VER.
Software educativo elaborado por:
Wenceslao Vargas Márquez
Junio de 2013.
MATEMÁTICAS V
CÁLCULO INTEGRAL
19 de abr de 2023 wenceslao.com.mx/matematicas 2
1.1.- LA INTEGRACIÓN COMO OPERACIÓN INVERSA A LA DERIVACION
El material contenido en este disco tiene el objetivo de complementar las clases que recibes en tu salón y ayudarte a comprender mejor el proceso algebraico de la operación
matemática conocida como integración.
Por el lado izquierdo y de manera automática aparecen la integral, su número consecutivo y la página donde la puedes hallar en el libro oficial (Cálculo Integral, Fausto Morales Lizama, SEP-FCE-
DGETI,2002). Enseguida aparece paso a paso el proceso de integrar usando imágenes en movimiento. Lee detenidamente cada paso y avanza hasta que lo hayas comprendido fijando cuidadosamente tu atención en toda expresión remarcada con rojo. Mientras aparezca en cada paso el signo de igual (=), la computadora espera a que des click en el botón izquierdo del ratón o enter en el teclado. También
puedes avanzar oprimiendo la tecla S y retroceder los pasos que quieras con la tecla A. Puedes abandonar en cualquier momento oprimiendo ESC.
Si oyes el sonido de una máquina registradora significa que el proceso concluyó y un nuevo click hará aparecer un nuevo ejercicio.
Ojalá el material te sea de utilidad.
19 de abr de 2023 wenceslao.com.mx/matematicas 3
54x dx Pág. 34 Ejercicio 4.-
4
(4)4
xC
4
1c
x
Se cancelan los 4 y x-4 pasa al denominador. La
fracción es negativa:
Al –5 se le suma 1:Se excluye el 4: 54 x dx
Página 34. Ejercicio 5.- 2
dx
x Excluimos el denominador 2 y colocamos la raíz en el numerador:
12
1
2x dx
a (–1/2) le sumamos 1:
1
21.
122
xc
Se cancelan los (1/2) y el exponente fraccionario se convierte en raíz: x c
3
3
xcAl 2 se le suma 1 y resulta 3:2x dx Pág. 34. Ejercicio 3.-
( 1)K x c ( 1)K dx Excluimos la constante (K+1): 1K dx Pág.34. Ejercicio 2.-
5x c5 dx Separamos el 5:5dx Pág.34. Ejercicio 1.-
1.2 FORMAS ORDINARIAS DE INTEGRACIÓN.
19 de abr de 2023 wenceslao.com.mx/matematicas 4
Pág.34 ejercicio 6.- axdx Tomemos u = ax y n = ½. La diferencial debe ser du=adx y sólo tenemos dx. Falta a y su compensación 1/a.
12
1( )( )a ax dx
a
321 ( )
32
axc
a A ½ le sumamos 1:
32
2( )
3ax c
a
Otra forma: Separamos en dos raíces el integrando para que quede así:
a xdx 1
2a x dx 31 2
2
32
xa c Separamos la
raíz de a:
A (1/2) le sumamos 1
1 1
2 22
3
a x xc
1 1
2 22
3
xa xc
2
3x ax c
2
3x ax c
Aplicamos exponentes fraccionarios:
Pág. 35. Ejercicio 7.- 2( 3 1)x x dx Separamos los tres términos del integrando y excluimos las constantes:
2 3 1x dx xdx dx 3 2
33 2
x xx c Se suma 1 a cada exponente:
19 de abr de 2023 wenceslao.com.mx/matematicas 5
Pág. 35. Ejercicio 8.- 3( )x b dx Fórmula 3. Tomamos u = x+b, n = 3, du = dx
4( ).
4
x bc
Pág. 35. Ejercicio 9:3( 3)
dx
x
Fórmula 3. Colocamos el integrando en el numerador. El exponente cambia de signo y se le sumará 1:
3( 3)x dx 3 1( 3)
3 1
xc
2( 3)
2
xc
El exponente –2 pasa positivo al denominador 2
1.
2( 3)c
x
Pág. 35. Ejercicio 10: 3 3x dx Para usar la fórmula 3, convertimos la raíz cuadrada a exponente fraccionario (1/2) :
1
23 3x dx
Tomamos u = 3x + 3. De esta forma du debe ser du=3dx. Sólo tenemos dx. Falta la constante 3 que añadimos y compensamos con (1/3):
1
21
(3)(3 3)3
x dx
11
21 (3 3)13 12
xc
321 (3 3)
332
xc
Se multiplica los extremos 2 por 1 y los medios 3 por 3, resultando (2/9):3
22(3 3).
9
xc
19 de abr de 2023 wenceslao.com.mx/matematicas 6
Ejercicio 11. Pág. 35: 1x x dx Usaremos las fórmulas 2 y 3. Multipliquemos la raíz de x por x y por 1:
1 112 2x x dx x dx
3 12 2x dx x dx
5 32 2
5 32 2
x xc
5 32 22 2
.5 3
x xc
Ejercicio 12. Pág. 35 2
dx
x
Fórmula 4. Usamos u = x –2; y du = dx. ln( 2) .x c
Ejercicio 13. Pág. 353 1
dx
x
Fórmula 4. Si usamos u=3x+1, entonces du=3dx. Falta 3 que añadimos y compensamos con 1/3:
1 3
3 3 1
dx
x
1ln 3 1
3x c
Por propiedades de logaritmos el coeficiente fraccionario (1/3) se convierte en exponente y luego en raíz cúbica:
1
3ln 3 1x c 3ln 3 1x c
Ejercicio 14. Pág. 35. 2( 1)
xdx
x
2
1 2
2 ( 1)
xdx
x
21ln( 1)
2x c 2ln 1x c
19 de abr de 2023 wenceslao.com.mx/matematicas 7
Ejercicio 15. Pág. 35.-2
(2 1)
xdx
x
Si tomamos u=2x o si tomamos u=2x+1 no obtenemos la diferencial. Por tanto procedamos a hacer la división de 2x entre 2x+1 para que resulte:
2 1 2x x
1(1 )
2 1dx
x
Hemos usado la fórmula 2. La primera integral se resuelve con la fórmula 1. La segunda con la 4 donde u=2x-1 y du=2dx. Falta 2 y su compensación (1/2).
2 1
dxdx
x
1 2
2 2 1
dxdx
x
1ln(2 1)
2x x c 1
2ln ln(2 1)xe x c Usando propiedades de logaritmos: ln2 1
xec
x
Ejercicio 16. Pág. 35.- 2
( 1)
2 1
x dx
x x
Ninguna de las dos funciones tomada como u nos proporciona una du útil para usar la fórmula 3. Debemos factorizar del denominador y cancelar (x+1):
( 1)
( 1)( 1)
x dx
x x
1
dx
x
Con la fórmula 4 la respuesta es: ln( 1)x c
Ejercicio 17. Pág. 35.- 1 1
x a x b
Separemos usando la fórmula 2 y luego aplicaremos la 4 en dos ocasiones:
dx dx
x a x b
ln( ) ln( )x a x b c Usando la propiedad de logaritmos que se suman: ln( )( )x a x b c
19 de abr de 2023 wenceslao.com.mx/matematicas 8
Ejercicio 18. Pág. 35. 2 1 2 1
dx dx
x x
Integraremos término a término con la fórmula 2. Cada integral será del modelo de la fórmula 4. En ambos casos du=2dx. Añadimos 2 y compensamos con ½.
1 (2) 1 (2)
2 2 1 2 2 1
dx dx
x x
1 1ln(2 1) ln(2 1)
2 2x x c Con propiedades de logaritmos
que se restan:
12
12
(2 1)ln
(2 1)
xc
x
122 1
ln2 1
xc
x
2 1ln .
2 1
xc
x
Ejercicio 19. Pág. 35.dx
a bx
Hagamos u=a-bx por lo que du= -bdx. Falta (-b) y su compensación (-1/b).
1 ( )b dx
b a bx
1
ln( )a bx cb
Por propiedades de logaritmos, el cambio de signo de un coeficiente de logaritmos invierte la fracción afectada por el logaritmo:
1 1
ln .cb a bx
Ejercicio 20. Pág. 35.2xa dx Fórmula 6 con u=2x y además du=2dx.
Falta un 2 y su compensación (1/2).21
(2)2
xa dx 21
2 ln
xac
a
2
2.
ln
xac
a
Ejercicio 21. Pág. 35.xa dx Fórmula 6 con u=-x y dx= -dx.
Sólo falta el signo negativo (-)( ) ( ) xa dx ( )
ln
xac
a
El exponente negativo de la a-x en el numerador se hace positivo si la pasamos al denominador. Arriba queda un 1 negativo:
1.
lnxc
a a
19 de abr de 2023 wenceslao.com.mx/matematicas 9
Ejercicio 22. Pág. 35. 5xe dx Usemos la fórmula 5 con u = 5x. Así tendremos dx = 5dx. Falta 5 y su compensación (1/5):
51(5)
5xe dx 51
5xe c
Ejercicio 23. Pág. 35. ln
2x dx
ex
Usemos la fórmula 5 tomando u = lnx. Así du=(dx/x). Tenemos (1/2) sobrante que excluimos como una K en la fórmula 1:
ln1
2x dx
ex
ln1.
2xe c
Ejercicio 24. Pág. 35.2
3x x
e dx El 3 en el denominador es (1/3) que excluimos como una K en la fórmula 1. Usemos la fórmula 5 con u=x² por lo que du=2xdx. Anotemos el faltante 2 y su compensación (1/2).
21 1(2)
3 2xe xdx
21.
6xe c
Ejercicio 25. Pág. 36.
4cossenxe xdx El 4 tomado como factor se excluye como una K. Usemos la fórmula 5 con u=senx y diferencial completo du=cosxdx:
4 cossenxe xdx 4 .senxe c
Ejercicio 26. Pág. 36. 3 2 3xsenx dx Es más frecuente hallar la integral con la 3x² al principio para no confundir el ángulo (x³). Se tomará u=x³ Usaremos la fórmula 7. La diferencial se halla completa con du=3x²dx.
2 3(3 )x senx dx 3cos .x c
19 de abr de 2023 wenceslao.com.mx/matematicas 10
Ejercicio 27. Pág. 36. cos2
xdx
La función trigonométrica es el coseno, fórmula 8. Tomemos el ángulo u=x/2. Entonces du=dx/2. Falta (1/2) y su compensación 2.
12 ( )cos
2 2
xdx 2 .
2
xsen c
Ejercicio 28. Pág. 36.2
2cos
dx
x x
La función trigonométrica es el coseno y la fórmula de integración es la 8. El ángulo u=2/x= 2x-1 por lo que usando la fórmula 7 de diferenciación du= -2x-2dx . Falta –2 que se añade y se compensa con (-1/2).
2
1 22 cos
2
dx
x x
1 2( ) .
2sen c
x
Ejercicio 29. Pág. 36. ( )x xtan e e dx El ángulo es u=ex por lo que du=exdx, que representa a una diferencial completa. El signo simplemente se excluye como si fuese un (-1). La función es una tangente, fórmula 9.
tan ( )x xe e dx
()lncos.x
ec Ejercicio 30. Pág. 36. 2tan ( )x x dx Tomando u = x² tendremos du=2xdx. Falta un 2 que añadimos y compensamos con (1/2).
Fórmula 9:
21tan (2)
2x xdx 21
ln cos2
x c El coeficiente fraccionario del logaritmo se hace exponente y luego raíz cuadrada:
122ln(cos )x c 2ln cos .x c
Ejercicio 31. Pág. 36. cot( )x b dx Notamos una función cotangente. Si tomamos u=x+b tendremos du=dx, que es la diferencial completa. La fórmula es la 10:
ln ( ) .sen x b c
ln cos .xe c
19 de abr de 2023 wenceslao.com.mx/matematicas 11
Ejercicio 32. Pág. 36. cot lndx
xx
Notamos una función cotangente afectando a un logaritmo natural. Tomemos u = ln x La diferencial du es: ( )
dxdu
x
La diferencial está completa. Queda escribir el resultado siguiendo símbolo a símbolo la fórmula 10: ln (ln ) .sen x c
Ejercicio 33. Pág. 36. 3 2sec (3 )x x dx El cubo afecta sólo al ángulo (x³) no a la secante. Al tomar u=x³ tendremos du=3x² que es la diferencial completa. Se usará la fórmula 11 ( sec u du) escribiendo símbolo a símbolo la respuesta:
3 3ln sec tanx x c
Ejercicio 34. Pág. 36.2sec axdx
La fórmula que usaremos es la 13 ( sec² u du). En el análisis del ángulo hallamos que u=ax por lo que du=adx. Falta (a) y su recíproco (1/a).
21sec ( )ax a dx
a
1tan .ax c
a
Ejercicio 35. Pág. 36. 2
2 3
x dx
sen x Escribamos en un solo renglón el integrando.
El seno pasa al numerador como cosecante:2 2 3cscx x dx
Nuestra función es una csc² u du, que es la fórmula 14. Tenemos a u=x³ y su diferencial du=3x². Falta un 3 y su recíproco (1/3):
2 2 31(3) csc
3x x dx 31
cot .3
x c
19 de abr de 2023 wenceslao.com.mx/matematicas 12
Ejercicio 36. Pág. 36. sec tan2
dxx x Separemos el 2 en el denominador como factor K=1/2:
1sec tan
2x xdx
La fórmula es la 15 (sec u tan u du) donde u=x y además la diferencial du=dx está completa:1
sec .2
x c
Ejercicio 37. Pág. 36. sec tanx x
dxa a
Comparando con la integral anterior es notorio que el modelo es nuevamente el de la fórmula 15. Ahora u=(x/a) y du=dx/a. Debemos añadir (1/a) y compensar con (a):
1( ) ( ) sec tan
x xa dx
a a a sec .
xa c
a
Ejercicio 38. Pág. 36.
2csc cotx x dx
Desarrollamos el binomio al cuadrado e integramos término a término según la fórmula 2:
2 2csc 2csc cot cotx x xdx x dx
La cot² x = csc² x - 1 por lo que transformamos el tercer término: 2 2csc 2csc cot csc 1x x x x dx
Separemos términos teniendo en cuenta que hay dos csc²x que se sumarán: 22csc 2csc cotxdx x xdx dx Las intregrales se resuelven con las fórmulas 14, 16 y 1, respectivamente: 2cot 2csc ( )x x x c
Teniendo en cuenta signos, factorizamos con el número (-2) que se repite: 2(cot csc ) .2
xx x c
19 de abr de 2023 wenceslao.com.mx/matematicas 13
Ejercicio 39. Pág. 36. 2 16
dx
x
2 2( ) (4)
dx
x
Nota como en el denominador hay una x al cuadrado y un 4 al cuadrado:
Usemos la fórmula 17, haciendo u=x y haciendo a=4. La respuesta con la fórmula :1
arctanu
ca a
1
arctan .4 4
xc
Ejercicio 40. Pág. 36.2
6 4
x dx
x
El término x6 es el cuadrado de x³ además de que 4 es el cuadrado de 2. Usemos la misma fórmula 17 haciendo u=x³ y también a=2.
En el numerador debemos tener du=3x²dx. Falta un 3 que anotamos y compensamos como (1/3).
31arctan .
6 2
xc
2
3 2 2
1 (3)
3 ( ) (2)
xdx
x
31
( )arctan .2 2
xc
1( )3
será
Ejercicio 41. Pág. 36.43
xdx
x
La diferencial de 3-x4 no genera xdx. Se usará la fórmula 18 donde la respuesta es
uarcsen + c
a
Como a²=3, entonces a=3. Como u²=x4, entonces u=x² con lo que du=2xdx. En el numerador de la integral falta un 2 que escribimos compensándolo con (1/2).
2 2 2
1 (2)
2 ( 3) ( )
xdx
x
21.
2 3
xarcsen c
Ejercicio 42. Pág. 36.2 1
dx
x
Usaremos la fórmula 19 donde u=x y además du=dx.
También a=1.
2 2ln u u a c 2ln 1 .x x c
19 de abr de 2023 wenceslao.com.mx/matematicas 14
Ejercicio 43. Pág. 36.2
2
4 1
dx
x
Usemos la fórmula 20 donde 2 2
1ln
2
du u ac
u a a u a
Por comparación en la integral hallamos que u² = 4x², por ello u=2x y entonces du = 2dx lo que significa que la diferencial está completa y la respuesta será:
1 2 1ln
2(1) 2 1
xc
x
Y como el coeficiente (1/2) de un logaritmo se puede hacer exponente y luego raíz cuadrada:
2 1ln .
2 1
xc
x
Ejercicio 44. Pág. 36. 21x x
dx
e e
Esta integral es del modelo de la fórmula 17:2 2(1) ( )
x
x
e dx
e
Transformando:
Por comparación: a=1. También u=e-x por lo que du=(-)e-xdx. Falta sólo el signo negativo.1
arctan .x
ce
Ejercicio 45. Pág. 36. 24 x dx Con la fórmula 23, a=2 y u=x la respuesta es: 24 2 .2 2
x xx arcsen c
Ejercicio 46. Pág. 36. sec tan 2x x dx Se desarrolla el binomio al cuadrado, se separan términos y aplicando igualdades:
2 2sec 2 sec tan tanxdx x xdx xdx 2 tan 2sec .x x x c
F I N
Top Related