• Toda regla de derivación tiene una regla de integración correspondiente.
• La regla que corresponde a la regla del
producto en la derivación es la regla de integración por partes.
Por regla se sabe que:
Por lo tanto, la diferencial del producto entre dos funciones es:
Así que al integrar ambos lados de la ecuación obtenemos lo siguiente:
Pero como en la parte izquierda de la ecuación, el operador integral y diferencial son operaciones contrarias nos llevan al término original .
De esta manera la ecuación quedaría como la siguiente:
Si en esta nueva ecuación se toma a como una integral problema que hay que resolver, entonces podemos despejarla y reordenando la ecuación nos quedaría de la siguiente manera :
A esta fórmula se le conoce como “la fórmula de integración por partes”.
Al momento de decidir sobre que valores asignar a y se intenta elegir a como una función que se simplifique al derivar o que al menos no se vuelva mas complicada y a como una función que se simplifique o mantenga el mismo grado de complejidad al integrar.
EVALUAR Se propone que ; Al sustituir términos, se obtiene
∫ ln𝑥 𝑑𝑥=¿¿𝑥ln 𝑥−∫𝑥𝑑𝑥𝑥
¿𝑥 ln𝑥−∫𝑑𝑥¿𝑥 ln𝑥−𝑥
DETERMINAR
Se propone que u= dv=
∫𝑡 2𝑒𝑡 𝑑𝑡=¿¿ 𝑡 2𝑒𝑡−∫𝑒𝑡 2 𝑡𝑑𝑡
¿𝑡 2𝑒𝑡−2∫𝑡𝑒𝑡 𝑑𝑡 …(1)
Volviendo a integrar por partes la integral de la ecuación (1) se propone:
…(2) Se sustituye la ecuación (2) en la ecuación (1) se obtiene la siguiente ecuación:
coloración
2 (𝒕 𝒆𝒕−𝒆𝒕 )
Se vuelve a integrar por partes le integral de la ecuación (a)
Tomando en cuenta se propone
por lo tanto
∫𝐜𝐨𝒔 𝐥𝐧 𝒙 𝒅𝒙 …(b)
De esta manera al sustituir la ecuación (b) en el segundo término del segundo miembro de la ecuación (a), obtenemos:
Acción
𝑥 122∫cos ln𝑥 𝑑𝑥=¿
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