Integración de Funciones Racionales por Fracciones

Parciales

Lic. MUNAYCO SOTO, José Carlos.

UNIVERSIDAD LOS ANGELES DE CHIMBOTESede Cañete

Conceptos Previos:

De acuerdo con la definición de una función racional, H es racional cunado , siendo P(x) y Q(x) polinomios.

)(

)()(

xQ

xPxH

Si el grado de P(x) es menor que el grado de Q(x), entonces a la fracción se le llama propia.

Es impropia cuando el grado del numerador es de igual o mayor grado que el denominador.

42 x

x23

12 xx

122

3

xx

x

65

22

2

xx

x

Cuando se tiene una fracción impropia, podemos dividir el numerador entre denominador hasta obtener una función propia.

4

13102

24

x

xxx4

2336

22

x

xx

De manera que si queremos integrar:

dxx

xxx

4

13102

24

El problema se reduce a integrar:

dxx

xx

4

2336

22

En general, entonces , nos interesa la integración de expresiones de la forma , donde el grado de P(x) es menor que el grado de Q(x).

dxxQ

xP

)(

)(

Para hacer esto, suele ser necesario escribir P(x)/Q(x) como una suma de fracciones parciales. Los denominadores de tales fracciones se obtienen al factorizar Q(x) como producto de factores lineales y cuadráticos.

Consideramos varios casos por separado. Los resultados del algebra avanzada, que no demostramos aquí, nos proporcionan la forma de las fracciones parciales en cada caso:

Integración por Fracciones Integración por Fracciones Parciales.Parciales.

Caso1:

Los factores de Q(x) son todos lineales y ninguno se repite, es decir:

))...()(()( 2211 nn bxabxabxaxQ

nn

n

bxaA

bxaA

bxaA

xQxP

...

)()(

22

2

11

1

En este caso escribimos:

Ejemplo:Ejemplo:

Calcular: 162x

dx

Solución:Solución:

En este ejemplo: Q(x) = x2 – 16 = (x – 4) ( x + 4)

4416

12

x

B

x

A

x

En la que bastara determinar las dos constantes A y B para poder encontrar nuestra integral.

)4)(4(

)44()(

)4)(4(

)4()4(

16

12

xx

ABBAx

xx

xBxA

x

Como las expresiones tienen el mismo denominador entonces podemos decir:

)44()(10 ABBAxx

Donde obtenemos el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas:

0 BA

144 AB

Resolviendo tenemos: A = 1/8 y B = -1/8

Una vez obtenidas nuestras constantes A y B, la sustituimos en la descomposición inicial:

48

1

48

1

4416

12

xxx

B

x

A

x

Quedando finalmente la integración:

dx

xdx

xx

dx

4

8/1

4

8/1

162

/4ln/8

1/4ln/

8

1

4

8/1

4

8/1

xxdxx

dxx

Utilizando las propiedades de los logaritmos:

Cxx

xdx

44

ln81

162