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CURVAS EQUIPOTENCIALES
I. OBJETIVOS
Graficar las curvas equipotenciales de varias configuraciones de
carga eléctrica dentro de una solución conductora
II. EQUIPO Y MATERIALES
Una bandeja de plástico
Bandeja de forma cuadrada en donde se vertió la solución iónica
en la cual se medirá la intensidad de corriente con el
galvanómetro.
Una fuente de poder D.C. (2V)
Esta fuente de poder sirve para
cargar los electrodos usados en
el experimento.
Un galvanómetro
Permite medir niveles bajos de
intensidades de corriente eléctrica,
muy útil para ubicar puntos
equipotenciales.
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Electrodos
Un electrodo es una placa de membrana rugosa de metal, un
conductor utilizado para hacer contacto con una parte no metálica de
un circuito (electrolito, semiconductor, vacío).
Usamos un par de electrodos de contacto con la superficie de punta
que lo llamamos de punto, otro par de contacto a la superficie de
forma de línea que llamamos placa, y otro último par adicional que
serán de anillo de contacto con la superficie de círculo.
Solución de sulfato de cobre
La solución de sulfato de
cobre se coloca en el
recipiente, es
recomendable agitarla de
vez en cuando para que
se vuelva homogénea
para medir bien la diferencia de potenciales.
Tres láminas de papel milimetrado
El uso de papel milimetrado es para hallar de forma aproximada
los puntos en donde la diferencia de potenciales al poner los
electrodos son ceros. El papel se pone debajo del recipiente y su
centro de coordenadas dibujado se encuentra aproximadamente
en el centro del recipiente.
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III. FUNDAMENTO TEÓRICO
Potencial Eléctrico.
El potencial eléctrico en un punto es el trabajo que debe realizar
un campo electrostático para mover una carga positiva q desde el punto
de referencia, dividido por unidad de carga de prueba. Dicho de otra
forma, es el trabajo que debe realizar una fuerza externa para traer una
carga unitaria q desde la referencia hasta el punto considerado en contra
de la fuerza eléctrica. Analicemos si el campo electrostático E⃗ es un
campo conservativo. Es decir, para una fuerza F⃗ existe una función
escalar U tal que cumple con la siguiente condición:
F⃗=−∇U
Entonces: ∇×(∇U )=0⃗ ∴ ∇×F⃗=0⃗
Para el caso más general:
E⃗( r⃗ )qi ρ(r )=∑i
kqi( r⃗− r⃗ ' )|r⃗− r⃗ '|3
+∫ kρ( r⃗ ' )( r⃗− r⃗ ' )|r⃗− r⃗ '|3
E⃗ es una función vectorial, esto es:
E⃗( r⃗ )→( r⃗− r⃗ ' )|r⃗− r⃗ '|3
≡Func
Func={ 1|⃗r− r⃗ '|}( r⃗− r⃗ ' )=f F=Η⃗
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Aplicando el operador rotor:
∇× Η⃗=∇×( f F⃗ )= f (∇×F⃗ )+∇ f×F⃗ ...(α)
Para F⃗=( r⃗− r⃗ ' )=(x−x ', y− y ', z−z ' )
⇒∇×F⃗=|i j k
∂/∂ x ∂/∂ y ∂/∂ z( x−x ' ) ( y− y ' ) (z−z ' )
|=0⃗
Para ∇ f=∂/∂ x ( f )i+∂/∂ y ( f ) j+∂/∂ z ( f )k
f= 1
|⃗r− r⃗ '|3= 1
{( x−x ' )2+( y− y ' )2+( z−z ' )2 }3/2= {g }−3 /2
∇ f=− 3
{g }5/2( r⃗− r⃗ ' ) ⇒∇ f×F⃗= 0⃗
Y ahora éstos resultados demuestran la expresión (α), con lo que se
demuestra también que el campo E⃗ es conservativo, ya queF⃗=q E⃗ , es
decir justificamos la existencia de una función escalar U=V tal que E⃗ =
−∇ V .
Por lo tanto la propiedad conservativa de E⃗ nos proporciona una función
escalar V para evaluar los efectos de ρ( r⃗ ' ).
La pregunta es inmediata, ¿qué interpretación toma V?. Si hacemos el
producto escalar con un d r e integramos obtendremos:
E⃗ = −∇ V
⇒∫⃗r 0
r⃗
E⃗⋅d r⃗=−∫⃗r 0
r⃗
∇ V⋅d r⃗ =∫⃗r 0
r⃗
dV
⇒V ( r⃗ )=V ( r⃗ 0 )−∫⃗r 0
r⃗
E⃗⋅d r⃗
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De acuerdo con lo anterior, como existen infinitas soluciones de V ( r⃗ )
debido a V ( r⃗ 0 ), lo que será importante a la postre serán los ΔV
Analizando el V(r⃗ ) para una carga puntual en el origen:
∫⃗r 0
r⃗
−E⃗⋅d r⃗=∫⃗r 0
r⃗
−{ F⃗ eq }¿d r⃗=∫r⃗ 0
r⃗−F⃗ e¿d r⃗
q=∫r⃗ o
r⃗F⃗ ext¿ d r⃗
q=W r⃗ 0→r⃗
E⃗ext
q
Aquí se ha encontrado una relación entre la diferencia de potencial y el
trabajo realizado por una fuerza externa. Ahora si podemos realizar los
siguientes análisis:
Líneas de Fuerza
Una línea de fuerza o línea de flujo, normalmente en el contexto
del electromagnetismo, es la curva cuya tangente proporciona la
dirección del campo en ese punto. Como resultado, también
es perpendicular a las líneas equipotenciales en la dirección
convencional de mayor a
menor potencial. Suponen
una forma útil de
∫⃗r 0
r⃗
−F⃗ext⋅d r⃗=∫⃗r 0
r⃗
F⃗e¿d r⃗
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esquematizar gráficamente un campo, aunque son imaginarias y no
tienen presencia física.
Las líneas de fuerza presentan las siguientes características:
Las líneas de fuerza comienzan en las cargas positivas y terminan
en las negativas.
La densidad de líneas es proporcional al valor del campo.
No existe intersección entre las líneas de fuerza resultantes.
La tangente a la línea en cualquier punto es paralela a la dirección
del campo eléctrico en ese punto.
La forma de las líneas de fuerza depende exclusivamente de la
distribución de carga.
Curvas Equipotenciales
Los conceptos mencionados anteriormente son muy importantes para
reconocer las superficies equipotenciales. La distribución del potencial
eléctrico en una cierta región donde existe un campo eléctrico puede
representarse de manera grafica mediante superficies equipotenciales.
Una curva o superficie equipotencial es el lugar geométrico de los puntos
de igual potencial, donde se cumple que el potencial eléctrico generado
por alguna distribución de carga o carga puntual es constante.
Si el potencial eléctrico es constante, la diferencia de potencial se define
de la siguiente manera.
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Si ∆V=VB-VA pero VB = VA, entonces VB-VA = VB-VB = 0
Como es cero, el producto escalar de los vectores F y dr es cero:
F.dr=0, en otras palabras se puede afirmar lo siguiente:
VAB = = 0
Como dr pertenece a la superficie equipotencial, por álgebra vectorial se
concluye F es ortogonal a dr, de aquí se puede determinar que las líneas
de fuerza siempre son perpendiculares a las superficies equipotenciales
y como el campo eléctrico E es paralelo a la fuerza eléctrica, se puede
concluir también que el campo eléctrico también es perpendicular a una
superficie equipotencial, también se puede concluir que el trabajo
requerido para llevar a una carga de un punto cualesquiera de una
superficie equipotencial a otro punto
de la misma superficie equipotencial
es cero.
Por otra parte se puede afirmar que la
superficie equipotencial que pasa por
cualquier punto es perpendicular a la dirección del campo eléctrico en
ese punto. Esta conclusión es muy lógica puesto que si se afirma lo
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contrario, entonces el campo tendría una componente a lo largo de la
superficie y como consecuencia se tendría que realizar trabajo contra las
fuerzas eléctricas con la finalidad de mover una carga en la dirección de
dicha componente.
Finalmente las líneas de fuerzas y las superficies equipotenciales forman
una red de líneas y superficies perpendiculares entre sí. En general las
líneas de fuerzas de un campo son curvas y las equipotenciales son
superficies curvas. Podemos afirmar asimismo, que todas las cargas que
están en reposo e un conductor, entonces la superficie del conductor
siempre será una superficie equipotencial.
IV. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL
Colocamos debajo de la cubeta, un papel milimetrado en el que
previamente se había trazado un sistema de coordenadas cartesianas,
hicimos coincidir el origen con el centro de la cubeta; posteriormente
vertimos desde el centro de la cubeta la solución de sulfato de cobre
(elemento conductor de
cargas) tratando de que se
expanda de manera
uniforme, de tal manera
que la altura del líquido no
fue mayor a un centímetro;
entonces establecimos el
circuito que se muestra.
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Los elementos de la figura anterior son:
Electrodos.
Fuente de poder.
Galvanómetro.
Batea de plástico.
Estos circuitos estaban comprendidos por un par de alambres que
medían la diferencia de potencial entre los puntos de la solución, y
también por varios pares de electrodos de diferentes formas colocados
simétricamente respecto del eje de coordenadas, con los cuales
estableceríamos el respectivo voltaje a la solución. Para obtener
resultados óptimos en nuestra experiencia, hicimos que las diferencias
de voltaje empleadas tomaran distintos valores para cada par de
electrodos.
Para establecer las curvas equipotenciales encontramos siete puntos
equipotenciales pertenecientes a dicha curva estando tres de ellos en los
cuadrantes del semieje “Y” positivo y cuatro en los cuadrantes del
semieje “Y” negativo. Esto lo hicimos con los electrodos en forma de
punto, los de forma plana, los de forma anillo, y finalmente combinamos
uno de forma de punto con otro de forma plana.
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V. CALCULOS Y RESULTADOS
A continuación se mostrara los datos obtenidos medidos (I = 0) de
distintas configuraciones de carga eléctrica. Además todas las
configuraciones se midieron, teniendo en cuenta que los electrodos se
ubicaron en las posiciones (0, 5) y (0, -5). Sus gráficos respectivos se
mostraran adjuntos y en papel milimetrado al final del informe
CUADRO PLACA - PLACACURVA 1 CURVA 2 CURVA 3 CURVA 4 CURVA 5 CURVA 6 CURVA 7
X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y0 0 -7.7 1.5 -7.7 3.7 6.4 4.7 -8.7 -1.3 -6 -2.8 -6.7 -4.6-2 0 -6.8 1.4 -6.4 3.2 5.2 4.25 -5.7 -1.1 -5 -2.6 -4.9 -4-4 0 -5.5 1.3 -5.3 2.7 3.9 4.1 -4.5 -1 -3.1 -2.6 -3.5 -4-6 0 -2 1 -2.7 2.6 2.6 4.1 -3.2 -1 -1.7 -2.6 0 -42 0 0 1 0 2.5 0 4 0 -1 0 -2.5 2.5 -44 0 2.3 1 6 2.9 -1.5 4 3.9 -1 3.3 -2.5 3.9 -4.16 0 5.7 1.2 7.3 3.3 -2.7 4.1 5.7 -1.1 5.4 -2.7 5.4 -4.2
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
Placa-Placa
CURVA 1CURVA 2CURVA 3CURVA 4CURVA 5CURVA 6Logarithmic (CURVA 6)CURVA 7
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CUADRO PUNTO - PUNTOCURVA 1 CURVA 2 CURVA 3 CURVA 4 CURVA 5 CURVA 6 CURVA 7
X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y-5 0 -8.2 2.8 -5.6 7.5 -2.3 6.3 -5.1 -1.8 -4 -5 -1.8 -7-4 0 -6.5 2.4 -4.4 5.6 -2 4.7 -3.2 -1.3 -2.5 -3.5 -1.5 -6.4-2 0 -2.8 1.4 -2.7 3.7 -1.4 4.1 -1.6 -1 -1.3 -2.7 -1.1 -50 0 0 1 0 2.5 0 3.5 0 -1 0 -2.5 0 -3.53 0 4 1.7 3.6 4.3 2 4.5 2.8 -1.1 2.7 -3.4 1.6 -4.75 0 5.7 2.2 4.3 5.2 2.3 5 4 -1.3 4.8 -5.3 1.8 -5.66 0 7.7 2.7 5.8 7.9 2.4 6.7 6.5 -1.9 6.3 -8.2 1.9 -6.3
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
Punto-Punto
CURVA 1CURVA 2CURVA 3CURVA 4CURVA 5CURVA 6CURVA 7
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CUADRO ARO - AROCURVA 1 CURVA 2 CURVA 3 CURVA 4 CURVA 5 CURVA 6 CURVA 7
X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y-6 0 -4.6 -1.4 -5.7 -4.4 -4.4 -6 -7.1 1.9 -4.8 4 -6.7 9-4 0 -2.7 -1.1 -4.5 -3.7 -3.4 -4.9 -4.7 1.6 -3 3.3 -5 6.8-2 0 -2.1 -1 -2 -2.7 -2 -3.8 -2.2 1.3 -1.8 2.8 -4 5.60 0 0 -1 0 -2.5 0 -3.5 0 1 0 2.5 -2.3 4.33 0 2.5 -1 2.8 -2.6 2.2 -4 2.5 1.3 2.1 2.9 0 3.55 0 3.6 -1.2 4.3 -3.4 3.2 -5 5.6 1.6 4.7 4.05 4.1 56 0 7.4 -1.7 6.9 -5.4 5 -7.7 7.7 2 7.1 5.4 6.2 8.3
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
Aro-Aro
CURVA 1CURVA 2CURVA 3CURVA 4CURVA 5CURVA 6CURVA 7
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VI. CONCLUSIONES
Por las gráficas obtenidas en el laboratorio respecto de las curvas
equipotenciales en cada caso podremos llegar a la conclusión que
las curvas poseen una forma parecida a la del electrodo, así
cuando los electrodos fueron puntos las curvas se asemejaron a
hipérbolas con ejes focales en los electrodos; en el caso de las
placas las curvas tuvieron forma de líneas paralelas a las placas;
y en el caso de los anillos tuvieron formas muy parecidas a las
producidas por los puntos.
Un dato bastante curioso que se puede resaltar en el gráfico de
las curvas de las placas viene dado por que en las curvas, una
vez que exceden la longitud de la placa, se puede ver como la
curva se tiende a abrir hacia los lados, así esto sería explicado
por el hecho que pasado estas alturas, el campo eléctrico de las
placas cambia de forma y deja de ser perpendicular a las mismas,
y adquiere la forma correspondiente a una carga puntual.
Se pudo distinguir en forma clara que las líneas de campo son
perpendiculares a las curvas equipotenciales, y de este modo
hallar una aproximación de las líneas de campo a través de las
curvas.
En los tres casos se pudo distinguir la simetría de las curvas,
respecto al eje X como al Y; así ello facilita en el momento de
suavizar las diferentes curvas.
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VII. RECOMENDACIONES
Se recomienda disolver en forma continua la solución de sulfato
de cobre, ya que de lo contrario dicha solución se concentraría en
algunas partes y en otras estaría disuelto, lo cual generaría unas
molestias al momento de la extracción de las curvas. Así también
recomendar que la bandeja a usar debe encontrarse sobre una
superficie que sea horizontal para que la transmisión de cargas se
haga en forma más óptima.
Cabe recomendar también que hay que tener sumo cuidado con
los cables ya que no es deseable trabajar con una telaraña de
cables que en lugar de reducir el trabajo, aumentaran el tiempo a
invertir en ellas.
No caer en la idea vaga de que los puntos definirán a las curvas
con un alto parecido, ya que en muchos casos habrá que ajustar
las curvas a dichos puntos.
Una recomendación valiosa es revisar el buen estado tanto del
fluido como de los cables, los cuales podrían incomodar en el
momento de la instalación.
VIII. BIBLIOGRAFIA
Fisica General III Humberto Asmat
FISICA para ciencias e ingenierías, Raymond A. Serway; 9ªNA
EDICION Volumen II, Capitulo I y II.
Fisica Universitaria vol 2 . Sears Zemansky. Ed 12. 2009
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