Estadística
Material de Apoyo didáctico
UNAM FCPyS SUA Educación a Distancia.
Profesora Aura Mélida De la Selva Menéndez Vol.
Variables aleatorias
Una variable aleatoria es un valor numérico determinado por el resultado de un experimento.
EJEMPLO 1: considere un experimento aleatorio en el que se lanza tres veces una moneda. Sea X el número de caras. Sea H el resultado de obtener una cara y T el de obtener una cruz.
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EJEMPLO 1 continuación
El espacio muestral es el conjunto de resultados de un experimento, para éste: TTT, TTH, THT, THH, HTT, HTH, HHT, HHH.
Entonces, los valores posibles de X (número de caras) son x = 0, 1, 2, 3.
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EJEMPLO 1 continución
El resultado “cero caras” ocurrió una vez. El resultado “una cara” ocurrió tres veces. El resultado “dos caras” ocurrió tres veces. El resultado “tres caras” ocurrió una vez. De la definición de variable aleatoria, la X
definida en este experimento, es una variable aleatoria.
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Distribuciones probabilísticas
Una distribución probabilística es la enumeración de todos los resultados de un experimento junto con las probabilidades asociadas. Para el EJEMPLO 1
Número de caras Probabilidad de los resultados
0 1/8 = .125
1 3/8 = .375
2 3/8 = .375
3 1/8 = .125
Total 8/8 = 1
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Características de una distribución porbabilística
La probabilidad de un resultado siempre debe estar entre 0 y 1.
La suma de todos los resultados mutuamente excluyentes siempre es 1.
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Variable aleatoria discreta
Una variable aleatoria discreta es una variable que puede tomar sólo ciertos valores diferentes que son el resultado de la cuenta de alguna característica de interés.
EJEMPLO 2: sea X el número de caras obtenidas al lanzar 3 veces una moneda.Aquí los valores de X son x = 0, 1, 2, 3.
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Variable aleatoria continua
Una variable aleatoria continua es una variable que puede tomar un número infinito de valores.
Ejemplos: la altura de un jugador de básquetbol o el tiempo que dura una siesta.
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Media de una distribución probabilística discreta
La media: – indica la ubicación central de los datos.– es el promedio, a la larga, del valor de la
variable aleatoria.– también se conoce como el valor
esperado, E(x), en una distribución de probabilidad.
– es un promedio ponderado.
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Media de una distribución probabilística discreta
La media se calcula con la fórmula:
donde d representa la media y P(x) es la probabilidad de los diferentes resultados x.
)](*[=)(= xPxxE
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Variancia de una distribución probabilística discreta
La varianza mide la cantidad de dispersión (variación) de una distribución.
La varianza de una distribución discreta se denota por la letra griega (sigma cuadrada).
La desviación estándar se obtiene tomando la raíz cuadrada de .
σ 2
σ2
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Variancia de una distribución probabilística discreta
La varianza de una distribución de probabilidad discreta se calcula a partir de la fórmula
σ µ2 2= −Σ[( ) * ( )]x P x
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EJEMPLO 2
Daniel Desner, propieatario de empres de pintura, estudió sus registros de las últimas 20 semanas y obtuvo los siguientes números de casas pintadas por semana:
# de casas pintadas Semanas
10 5
11 6
12 7
13 2
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EJEMPLO 2 continuación
Distribución probabilística:
Número de casaspintadas, X
Probabilidad, P(X)
10 .25
11 .30
12 .35
13 .10
Total 1
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EJUEMPLO 2 continuación
Calcule el número medio de casas pintadas por semana:
µ = == + + +=
E x xP x( ) [ ( )]
( )(. ) ( )(. ) ( )(. ) ( )(. )
.
Σ
10 25 11 30 12 35 13 10
113
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EJEMPLO 2 continuación
Calcule la variancia del número de casas pintadas por semana:
σ µ2 2
4225 0270 1715 2890
91
= −= + + +=
Σ[( ) ( )]
. . . .
.
x P x
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Distribución probabilística binomial
La distribución binomial tiene las siguientes características:– un resultado de un experimento se clasifica en una
de dos categorías mutuamente excluyentes -éxito o fracaso.
– los datos recolectados son resultados de contar.– la probabilidad de éxito es la misma para cada
ensayo.– los ensayos son independientes.
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Distribución probabilística binomial
Para elaborar una distribución binomial, sea– n el número de ensayos– x el número de éxitos observados– la probabilidad de éxito en cada ensayo
π
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Distribución probabilística binomial
La fórmula para la distribución de probabilidad binomial es:
P xn
x n xx n x( )
!
!( )!( )=
−− −π π1
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EJEMPLO 3
La Secretaría del Trabajo del estado de Alabama reporta que 20% de la fuerza de trabajo en Mobile está desempleada. De una muestra de 14 trabajadores, calcule las siguientes probabilidades con la fórmula de la distribución binomial (n=14, =.2, ):– tres están desempleados: P(x=3)=.250
π
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EJEMPLO 3 continuación
Nota: éstos también son ejemplos de distributions probabilísticas acumulativas:– tres o más están desempleados:
P(x ≥ 3)=.250 +.172 +.086 +.032 +.009 +.002=.551
– al menos un trabajador está desempleado: P(x ≥ 1) = 1 - P(x=0) =1 - .044 = .956
– a lo más dos trabajadores están desem-pleados: P(x ≤ 2)=.044 +.154 +.250 =.448
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Media y variancia de la distribución binomial
La media está dada por:
La variancia está dada por:
µ π= n
σ π π2 1= −n ( )
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EJEMPLO 4
Del EJEMPLO 3, recuerde que π =.2 y n=14.
Así, la media = n π = 14(.2) = 2.8. La variancia = n π (1 - π ) = (14)(.2)(.8)
=2.24.
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Población finita
Una población finita es una población que consiste en un número fijo de individuos, objetos o medidas conocidos.
Los ejemplos incluyen: el número de estudiantes en esta clase, el número de automóviles en el estacionamiento.
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Distribución hipergeométrica
Fórmula:
donde N es el tamaño de la población, S es el número de éxitos en la población, x es el número de éxitos de interés, n es el tamaño de la muestra, y C es una combinación.
P xC C
CS x N S n x
N n
( )( )( )
= − −
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Distribución hipergeométrica
Use la distribución hipergeométrica para encontrar la probabilidad de un número específico de éxitos o fracasos si:– la muestra se selecciona de una población finita sin
reemplazo (recuerde que un criterio para la distribución binomial es que la probabilidad de éxito es la misma de un ensayo a otro).
– el tamaño de la muestra n es mayor que 5% del tamaño de la población N.
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EJEMPLO 5
La National Air Safety Board tiene una lista de 10 violaciones a la seguridad reportadas por ValueJet. Suponga que sólo 4 de ellas son en realidad violaciones y que el Safety Board sólo podrá investigar cinco de las violaciones. ¿Cuál es la probabilidad de que tres de las cinco violaciones seleccionadas al azar para investigarlas sean en realidad violaciones?
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EJEMPLO 5 continuación
PC C
C( )
* *.3
4 15
2522384 3 6 2
10 5
= = =
N=10S=4x=3n=5
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Distribución de Poisson
La distribución de probabilidades binomial se hace cada vez más sesgada a la derecha conforme la probabilidad de éxitos disminuye.
La forma límite de la distribución binomial donde la probabilidad de éxito π es muy pequeña y n es grande se llama distribución de probabilidades de Poisson.
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Distribución de Poisson
La distribución de Poisson se puede describir matemáticamente por la fórmula:
donde µ es la media aritmética del número de ocurrencias en un intervalo específico de tiempo, e es la constante 2.71828 y x es el número de ocurrencias.
P xe
x
x u
( )!
=−µ
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Distribución de Poisson
El número medio de éxitos µ se puede determinar en situaciones binomiales por n π, donde n es el número de ensayos y π la probabilidad de éxito.
La varianza de la distribución de Poisson también es igual a n π.
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EJEMPLO 6
La Sylvania Urgent Care se especializa en el cuidado de lesiones menores, resfriados y gripe. En las horas de la tarde de 6-10 PM el número medio de llegadas es 4.0 por hora.
¿Cuál es la probabilidad de 4 llegadas en una hora? P(4) = (4^4)(e^-4)/4!=.1954.
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