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Inecuaciones / Mat-021 Página 1Eleazar Madariaga - UTFSM
Universidad Técnica Federico Santa MaríaDepartamento de Matemática
Matemática I (Mat-021)
Problemas Resueltos de Inecuaciones
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Dificultad:
: Simple
: Intermedio
: Desafiante
: Nivel Certamen UTFSM
____________________________________
Problema nº 1:
Solución:
Nuestra primera restricción debe ser que
Implicando así que el dominio sea
Con este paso previo importantísimo procedemos a analizar en detalle lainecuación, deduciendo que ambos miembros son positivos, por lo que
estamos en condiciones de elevar al cuadrado sin tener problemas.
La cual tiene como puntos críticos:
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Si analizamos su coeficiente principal, y su discriminante, , podemos decir que los intervalos que cumplen con son
Los que al intersectarse con el dominio, se obtiene como solución final
Problema nº 2:
Solución:
Primero, necesitamos que la cantidad subradical sea no negativa, esto es
Tomando los puntos críticos: y
Y utilizando nuestra tabla
- - + - + + + - +
La cual nos dice que la ultima desigualdad se cumple para
Con esta restricción en mente tenemos que la inecuación es equivalente a
Y vemos que el lado derecho es un polinomio cuadrático siempre positivo
(pues su coeficiente principal es y su discriminante ), mientras que el lado izquierdo es siempre negativo. Esto es,
la desigualdad se cumple siempre (en tanto se pueda calcular la raíz
cuadrada)
Por lo tanto, la solución final es
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Problema nº 3:
Resolver en los números naturales
la siguiente inecuación
Solución:
Al analizar detalladamente la inecuación debemos darnos cuenta que el
denominador es un polinomio cuadrático siempre positivo ya que su
coeficiente principal es y su discriminante es .
También en el numerador tenemos a
el cual es siempre positivo,de modo que, la inecuación se puede escribir como
Para que existan las raíces, se debe cumplir
No olvidar que también
Ahora, elevamos al cuadrado
Probemos
para los tres casos posibles.
Caso 1:
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Lo anterior es verdadero, así que,
es solución.
Caso 2:
Lo anterior es verdadero, así que, es solución.
Caso 3:
Lo anterior es verdadero, así que, es solución.
Por lo tanto, la solución final es
Problema nº 4:
Dada la constante , encuentre el conjunto solución de la inecuación
Indicación: exprese la solución en función de los valores que puede tomar
la constante .
Solución:
Resolviendo
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Notar que , así, lo anterior es equivalente a
Separemos ahora por casos:
Si
Si
Para este caso debemos tener especial cuidado ya que se podría creer que la
solución
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Es la correcta, pero no lo es, pues las cantidades subradicales son negativas,fijémonos que en el lado derecho es negativo y , de modo que la
solución es R.
Si
Lo que es cierto para todo real, entonces, el conjunto solución en este caso
es R.
Problema nº 5:
Resuelva la inecuación
Solución:
Podemos reescribirla como
Trabajando la inecuación (1)
Que tiene por solución
Trabajando la inecuación (2)
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Que tiene por solución
Sabemos que la solución final es la intersección de las dos soluciones
obtenidas, pero vemos que estas no son ubicables con facilidad en la recta
numérica, así que, para estos casos debemos aproximar muy bien los
números irracionales que nos salgan, pero en este caso solo debemos
fijarnos en que claramente , por lo tanto, la solución final es
Problema nº 6:
Para , encuentre el conjunto solución de la siguiente inecuación
Solución:
Inmediatamente debemos notar que para esta inecuación existen dos
posibilidades para que
sea positivo. La primera es que tanto el
numerador como el denominador sean positivos y la segunda es que el
numerador y el denominador sean negativos.
Posibilidad nº1:
nos impone:
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Y para vemos que tiene como puntos críticos: y , dándonos tres casos para analizar
CASO I: con
Entonces se puede reescribir como
Lo cual es verdadero, de modo que el intervalo es solución para
este caso.
CASO II: con
Entonces se puede reescribir como
Que al intersectarse con , obtenemos el cual es el intervalo
solución para el CASO II.
CASO III: con
Entonces se puede reescribir como
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Lo cual es falso, de modo que no hay conjunto solución para este caso:
Ahora, las soluciones obtenidas en los intervalos debemos intersectarlas
con la condición impuesta al inicio; lo cual nos da
como solución para la primera posibilidad, el intervalo:
Solo nos queda analizar la segunda posibilidad.
Posibilidad nº2:
nos impone:
Y para vemos que tiene como puntos críticos: y
, dándonos tres casos para analizar
CASO I: con
Entonces se puede reescribir como
Lo cual es falso, de modo que no hay solución para este caso:
CASO II: con
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Entonces se puede reescribir como
Que al intersectarse con , obtenemos el cual es el intervalo
solución para el CASO II.
CASO III: con
Entonces se puede reescribir como
Lo cual es verdadero, de modo que el intervalo es solución para estecaso.
Ahora, las soluciones obtenidas en los intervalos debemos intersectarlas
con la condición impuesta al inicio; lo cual nos da como
solución para la segunda posibilidad, el intervalo:
La solución final será la unión de las soluciones obtenidas en ambasposibilidades, es decir:
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Problema nº 7:
Determine, si existen los valores de de modo que la solución de
la inecuación:
Sea el intervalo .Solución:
Como tiene discriminante
Y su coeficiente principal es
Entonces es siempre negativa, independientemente del
valor de .
De modo que, la inecuación es equivalente a
Con , esto indica que Así siempre, por lo tanto, se reduce a
Esta última inecuación tiene como puntos críticos:
y
- + + - - + + - +
Entonces la solución es
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Que intersectada con la restricción de la raíz , la solución final esta
dada por
Ello implica que (condición del problema para el intervalo solución)
Problema nº 8:
Determine el(los) valor(es) de
, tales que
, se cumple:
Solución:
Lo propuesto es equivalente a:
Ahora, el lado izquierdo es una función cuadrática en , por lo tanto, para
que se cumpla que es positivo
, debemos exigir que su coeficiente
principal se positivo y que su discrimínate sea negativo, de esta manera:
Tenemos que y son ambas funciones
cuadráticas en , por lo tanto, para que se cumpla que ambas sean positivas
, debemos volver exigir que, a la vez se cumpla (intersección) que
sus discriminantes sean negativos, ya que el coeficiente de ambas sonpositivos:
Por lo tanto
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