Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
GUÍA Nº3 GEODESIA I
1) De la figura deduzca analíticamente el efecto de curvatura y refracción en la observación de un ángulo de elevación.
B
A
Rα Rα N.m.m γ
2) Demuestre que
Si: ; Si:
3) Demuestre analíticamente la reducción de una distancia inclinada a una geodésica
4) Calcular la distancia geodésica entre las estaciones A y B.Elipsoide de referencia: Elipsoide internacionala = 6378388; f = 1/297; e = 0.006722670022 Línea A-BEstación A Estación BHa = 4686,19m Hb = 4230,83mIa = 1,40m Ib = 1,45mDistancia inclinada (Di) = 21916,98mAzimut de línea (α) = 325º 37’ 43’’ : latitud media (φm) = -31º 40’ 20’’
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1) Solución:
EFECTO DE CURVATURA
B
α’ β’
A γ/2 s E HLínea tangente Al geoide Rα Rα N.m.m γ
De la figura se obtiene lo siguiente:
Además obtenemos que:
; Si consideramos que γ es un ángulo muy
pequeño entonces: ; tras lo cual obtendremos lo siguiente:
Como es un ángulo muy pequeño
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S De esta figura se tiene:
Rα γ
por lo tanto
EFECTO COMBINADO DE CURVATURA Y REFRACCIÓN
B’
δ/2 B
α
α’ β’
A γ/2 s E HLínea tangente Al geoide Rα Rα N.m.m γ R’
K = Refracción de la línea AB; por lo tanto R’=
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El producto de ; tiende a cero debido al ángulo muy pequeño
Por lo tanto se tiene que:
; al ser muy pequeño , en radianes
; pero K corresponde a la refracción que afecta en su conjunto a
la línea, por lo que se puede decir que K = 2·m, quedando finalmente:
; por lo tanto
2) Solución:
; Si
Reemplazando en se tiene:
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Considerando que el producto , es muy pequeño, consideraremos
que:
Quedando finalmente:
3) Solución:
Reducción al horizonte:
B Di A
HbHaS
∆h
dh
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N.m.m
Dela figura se tiene que:
Desarrollando por medio de la serie
; Si
Por lo tanto la corrección al horizonte es:
Reducción al nivel del mar:
dh
RαN.m.m
RαRα
hm
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Desarrollando por medio de la serie 0
Por lo tanto la corrección al nivel del mar es:
Paso de la cuerda al arco:
Dnmm A1 B1
Rα
θ
Desarrollando por medio de la serie
pero
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Por lo tanto la corrección del paso de la cuerda al arco es:
En resumen
4) Elipsoide de referencia: Elipsoide internacionala = 6378388; f = 1/297; e = 0.006722670022 Línea A-BEstación A Estación BHa = 4686,19m Hb = 4230,83mIa = 1,40m Ib = 1,45mDistancia inclinada (Di) = 21916,98mAzimut de línea (α) = 325º 37’ 43’’ : latitud media (φm) = -31º 40’ 20’’
Solución:Reducción a la horizontal:
Reducción al nivel del mar:
Reducción de la cuerda al arco:
Corrección
Por lo tanto la distancia geodésica es:
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GUÍA Nº4 GEODESIA I
64
66 65
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94
Estación Punto Angulo horizontal Angulo vertical Altura de señal65
hi = 1,44m 9466
00º 00’ 00’’46º 26’ 22,1’’
-----92º 19’ 36,2’’
-----2,00m
66hi = 1,40m
65 ----- 87º 45’ 23,5’’ 2,00m
-Calcular las coordenadas geográficas de 66 y su cotaDistancia inclinada = 10667,98mElipsoide de referencia: Internacional 1924; a = 6.378.388m; e2 = 0,00672267m; f = 1/297.
Solución:Calculo de azimut inverso
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
; Por lo tanto
; Por lo tanto la distancia geodésica es:
Calculo de cota preliminar 65 66
Corrección de los ángulos zenitales:
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
Por lo tanto La cota preliminar de 66 es igual a:
Calculo de distancia geodésica preliminar
Si
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
Calculo de cota definitiva
65 66
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
Calculo de distancia geodésica definitiva
Calculo de posición por el problema directo
Calculo de latitud
Iteración 1
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
por lo tanto se cumple la convergencia
Calculo de longitud
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
Por lo tanto la longitud es:
Por lo tanto las coordenadas geográficas de 65y su cota son:
GUÍA Nº5 GEODESIA I
68
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
67
66 65
Estación Punto Angulo horizontal Angulo vertical Distancia inclinada Altura de
señal67
hi = 1,46m6866
00º 00’ 00’’94º 36’ 41,59’’
-------------89º 27’ 16’’
-------------17893,074m
-------------0,00m
66hi = 1,40m
6765
00º 00’ 00’’93º 30’ 03’’
90º 41’ 30,02’’87º 45’ 23,5’’
------------10667,978m
1,25m2,00m
65hi = 1,44m
66 ------------- 92º 19’ 36,2’’ ------------ 2,00m
-Calcular las coordenadas geográficas de 65 y su cota.Elipsoide de referencia: SAD-69 Chua; a = 6.378.160m; f = 1/298,25.
Solución:Calculo de azimut inverso
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
Por lo tanto
68
180º
67 α
Sur
; Por lo tanto la distancia geodésica es:
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
Calculo de altura preliminar 67 66
Corrección de los ángulos zenitales:
Por lo tanto La cota preliminar de 66 es igual a:
Calculo de distancia geodésica preliminar
67 66
Sí
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
Calculo de altura definitiva
67 66
Corrección de los ángulos zenitales:
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
Por lo tanto
Calculo de distancia geodésica definitiva
67 66
Sí
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
Calculo de posición por problema directo
Calculo de latitud de 67 a 66
Ite
ración 1
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
Iteración 2
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
Iteración 3
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
Por lo tanto se cumple la convergencia
Calculo de longitud
Por lo tanto la longitud es:
Calculo de azimut inverso
Por lo tanto
Calculo de altura preliminar 66 65
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
Corrección de los ángulos zenitales:
Por lo tanto La cota preliminar de 65 es igual a:
Calculo de distancia geodésica preliminar
66 65
Sí
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
Calculo de altura definitiva
66 65
Corrección de los ángulos zenitales:
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
Por lo tanto
Calculo de distancia geodésica definitiva
66 65
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
Sí
Calculo de posición por problema directo
Calculo de latitud de 66 a 65
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
Ite
ración 1
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
Iteración 2
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
Por lo tanto se cumple la convergencia
Calculo de longitud
Por lo tanto la longitud es:
Por lo tanto las coordenadas geográficas de 65 y su cota respectiva son:
GUÍA Nº6 GEODESIA I
PROBLEMA DE INTERSECCIÓN INVERSA
Este problema también denominado como pothenot o problema de la carta, tiene como finalidad poder dar posición a un punto en terreno mediante la observación angular
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desde este punto en dirección a vértices con coordenadas ya establecidas, es necesario observar tres vértices o puntos trigonométricos como mínimo, es aconsejable cuando se va a ocupar esta solución para determinar posición a un punto, observar mas de tres vértices, con la finalidad de poder efectuar un control al trabajo realizado.
M
γ m1 m2
a b
A X Y B
S
Sa Sb
α β
P
En la figura podemos ver que los vértices A, B y M son puntos trigonométricos con coordenadas establecidas, luego la distancia a, b y el ángulo γ se pueden deducir. Los ángulos α y β son medidos en terreno.
Se deberá calcular la distancia S y los ángulos x e y, con lo cual se tendrá resuelto el problema y posteriormente se trasladara las posiciones al punto P desde A, B y M.
Solución:
1) 2)
3)
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4)
5) Igualando 3) y 4) se obtiene:
6) Si 7)8) Dividiendo por senY la expresión anterior:
9) , pero por lo tanto se tiene que:
, dividiendo por, tendremos:
10)
,además
EJERCICIO
Determinar las coordenadas geográficas del punto P.
Vértice Latitud LongitudA -20º 20’ 41.30’’ -68º 36’ 3.08’’B -20º 22’ 6.90’’ -68º 44’ 31.02’’M -20º 32’ 16.93’’ -68º 49’ 24.87’’
Estación Punto Angulo horizontalP A 00º 00’ 00’’
M 100º 35’ 20.70’’B 122º 35’ 30.80’’
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
Elipsoide de referencia Internacional 1924,
Solución:
P
Sb Sa β
A B X
Y
Sb
a
m2
m1
M
Calculo de azimut inverso y distancia geodésica
γ
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
Por lo tanto
; Por lo tanto la distancia geodésica es:
Calculo de azimut inverso y distancia geodésica
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
Por lo tanto
; Por lo tanto la distancia geodésica es:
Por lo tanto:
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
Por lo tanto
Calculo de posición de P por el problema directo (Desde M a P)
Calculo de latitud
Iteración 1
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
por lo tanto se cumple la convergencia
Calculo de longitud
Por lo tanto la longitud es:
Calculo de posición de P por el problema directo (Desde A hacia P)
Calculo de azimut inverso
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
Calculo de latitud
Iteración 1
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
por lo tanto se cumple la convergencia
Calculo de longitud
Por lo tanto la longitud es:
Calculo de posición de P por el problema directo (Desde B hacia P)
Calculo de azimut inverso
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
Calculo de latitud
Iteración 1
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
por lo tanto se cumple la convergencia
Calculo de longitud
Por lo tanto la longitud es:
Por lo tanto las coordenadas geográficas de P son:
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
GUÍA Nº 7 GEODESIA I
Calcular las coordenadas geograficas y cota del punto C.
Estación Punto visado Angulo horizontal Angulo vertical Altura de la señalA
hi = 1,58mCB
00º 00’ 00’’299º 31’ 57,50’’
89º 53’ 15,80’’89º 44’ 19,50’’
2,00m2,00m
Bhi = 1,56m
CA
00º 00’ 00’’31º 34’ 4,70’’
90º 16’ 59,80’’90º 19’ 3,40’’
2,00m2,00m
Chi = 1,50m
AB
00º 00’ 00’’87º 57’ 51,30’’
90º 8’ 3,00’’89º 45’ 49,20’’
2,00m2,00m
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
Sistema geodésico: PSAD-56
Elipsoide de referencia: Internacional 1924,
Nota: Las distancias calculadas son geodésicas.
Solución:Dibujo de la poligonal
B
C
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
A
Cierre angular de la poligonal
El error de cierre angular se encuentra dentro la tolerancia por lo tanto se puede compensar.
Calculo de la superficie de la poligonal
Del se tiene:
Calculo de
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
Por lo tanto
; Por lo tanto la distancia geodésica es:
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
Calculo de exceso esférico
Cierre angular del polígono quedando los ángulos compensados y esféricos
Calculo de posición por el problema directo ( A C)
Calculo de latitud
Iteración 1
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
Iteración 2
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
; Por lo tanto se cumple la convergencia
Calculo de longitud
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
Por lo tanto la longitud es:
Calculo de azimut inverso
Calculo de posición por el problema directo( C B)
Calculo de latitud
Iteración 1
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
Iteración 2
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
; Por lo tanto se cumple la convergencia.
Calculo de longitud
Por lo tanto la longitud es:
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
Calculo de alturas A C
Corrección de los ángulos cenitales:
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
C B
Corrección de los ángulos cenitales:
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
HB fijo = 4503,70mHB calculado = 4503,86mError de cierre = -0,16m
Tolerancia para el error de cierre de una nivelación trigonométrica.
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
El error de cierre de altura se encuentra dentro la tolerancia por lo tanto se puede compensar.
El factor de compensación será:
Compensación de las cotas:
Por lo tanto la cota corregida seria:
Por lo tanto las coordenadas geográficas de C y su cota es:
GUÍA Nº 8 GEODESIA I
Estación Punto visado
Angulo horizontal Angulo vertical Altura de la señal
Distanciainclinada
A hi =
1,40m
CB
00º 00’ 00’’37º 34’ 53,10’’
90º 41’ 30,20’’------------
1,25m------------
17893,074m------------
B A 00º 00’ 00’’ ------------ ---------- -----------
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
hi = 1,45m
C 47º 48’ 24,00’’ 89º 53’ 37,00’’ 1,34m -----------
C hi =
1,46m
B A
00º 00’ 00’’94º 36’ 42,00’’
90º 13’ 51,00’’90º 41’ 30,20’’
1,34m0,00m
14728,70m------------
Calcule las coordenadas geográficas de C y su cota.
Elipsoide de referencia : Internacional 1924,
Solución:Dibujo de la poligonal
B
C
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
A
Cierre angular de la poligonal
El error de cierre angular se encuentra dentro la tolerancia por lo tanto se puede compensar.
Calculo de la superficie de la poligonal
Para el calculo de la superficie de la poligonal en este caso un triangulo, utilizaremos la
siguiente expresión: ; siendo , distancias horizontales, las
cuales serán calculadas con la siguiente expresión:
Calculo de
A C
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
Corrección de los ángulos cenitales:
Por lo tanto
C B
Corrección de los ángulos cenitales:
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
Por lo tanto
HB fijo = 3720,89mHB calculado = 3720,91mError de cierre = -0,02m
Tolerancia para el error de cierre de una nivelación trigonométrica.
El error de cierre de altura se encuentra dentro la tolerancia por lo tanto se puede compensar.
El factor de compensación será:
Compensación de las cotas:
Por lo tanto la cota corregida seria:
Por lo tanto los son:
Calculo de distancia horizontal:
Calculo de la superficie:
calculo del exceso esférico:
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
Cierre angular de la poligonal quedando los ángulos compensados y esféricos
Calculo de azimut inverso
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
Por lo tanto
; Por lo tanto la distancia geodésica es:
Calculo de las distancias geodésicas preliminaresCalculo de distancia geodésica
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
Calculo de distancia geodésica
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
Calculo de posición por el problema directo (preliminar)( A C)
Calculo de latitud
Iteración 1
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
Iteración 2
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
; Por lo tanto se cumple la convergencia
Calculo de longitud
Por lo tanto la longitud es:
Calculo de azimut inverso
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
Calculo de posición por el problema directo( C B)
Calculo de latitud
Iteración 1
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
Iteración 2
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
; Por lo tanto se cumple la convergencia.Calculo de longitud
Por lo tanto la longitud es:
Error en posición =
Arco de paralelo = Arco de meridiano =
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
Arco de paralelo =
Arco de meridiano =
Error lineal =
Error de posición =
Error en posición = ; para que el error de posición se encuentre dentro
de la tolerancia de I orden.
Error en posición =
El error en posición se encuentra dentro de esta tolerancia (I orden) por lo tanto se puede compensar.
Factor de compensación;
Corrección n corrección
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
CALCULO DEFINITIVO
Calculo del exceso esférico
Reducción de los ángulos horizontales al elipsoideCorrección por efecto de la altura de la estación observada.
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
Ángulos observados en terreno
Estación Punto visado Angulo leído X’’ Angulo corregido Angulo reducidoA C 00º 00’ 00’’ -0,186’’ 359º 59’ 59,81’’ 00º 00’ 00’’
B 37º 34’ 53,1’’ 1,178’’ 37º 34’ 54,28’’ 37º 34’ 54,47’’
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
Ángulos observados en terreno
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
Estación Punto visado Angulo leído X’’ Angulo corregido Angulo reducidoC B 00º 00’ 00’’ 0,219’’ 00º 00’ 0,22’’ 00º 00’ 00’’
A 94º 36’ 42,00’’ -0,195’’ 94º 36’ 41,80’’ 94º 36’ 41,58’’
Ángulos observados en terreno
Estación Punto visado Angulo leído X’’ Angulo corregido Angulo reducidoB A 00º 00’ 00’’ 0,188’’ 00º 00’ 0,19’’ 00º 00’ 00’’
C 47º 48’ 24,00’’ 0,222’’ 47º 48’ 24,22’’ 47º 48’ 24,03’’
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
Estación Punto visado Angulo leído X’’ Angulo corregido Angulo reducidoA C 00º 00’ 00’’ -0,186’’ 359º 59’ 59,81’’ 00º 00’ 00’’
B 37º 34’ 53,1’’ 1,178’’ 37º 34’ 54,28’’ 37º 34’ 54,47’’B A 00º 00’ 00’’ 0,188’’ 00º 00’ 0,19’’ 00º 00’ 00’’
C 47º 48’ 24,00’’ 0,222’’ 47º 48’ 24,22’’ 47º 48’ 24,03’’C B 00º 00’ 00’’ 0,219’’ 00º 00’ 0,22’’ 00º 00’ 00’’
A 94º 36’ 42,00’’ -0,195’’ 94º 36’ 41,80’’ 94º 36’ 41,58’’
Ángulos interiores reducidos
El error de cierre angular se encuentra dentro la tolerancia por lo tanto se puede compensar.
Cierre angular de la poligonal quedando los ángulos compensados y esféricos.
Calculo de alturas definitivas A C
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Corrección de los ángulos cenitales:
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
C B
Corrección de los ángulos cenitales:
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
HB fijo = 3720,89mHB calculado = 3720,91mError de cierre = -0,02m
Tolerancia para el error de cierre de una nivelación trigonométrica.
El error de cierre de altura se encuentra dentro la tolerancia por lo tanto se puede compensar.
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
El factor de compensación será:
Compensación de las cotas:
Por lo tanto la cota corregida seria:
Calculo de distancias geodésicas definitivasCalculo de distancia geodésica
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Calculo de distancia geodésica
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
Calculo de posición por el problema directo (definitivo)( A C)
Calculo de latitud
Iteración 1
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
Iteración 2
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
; Por lo tanto se cumple la convergencia
Calculo de longitud
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
Por lo tanto la longitud es:
Calculo de azimut inverso
Calculo de posición por el problema directo( C B)
Calculo de latitud
Iteración 1
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
Iteración 2
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
; por lo tanto se cumple la convergencia.Calculo de longitud
Por lo tanto la longitud es:
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
Error en posición =
Arco de paralelo = Arco de meridiano =
Arco de paralelo =
Arco de meridiano =
Error lineal =
Error de posición =
Error en posición = ; para que el error de posición se encuentre dentro
de la tolerancia de I orden.
Error en posición =
El error en posición se encuentra dentro de esta tolerancia (I orden) por lo tanto se puede compensar.
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
Factor de compensación;
Corrección n corrección
Por lo tanto las coordenadas geográficas C y su cota es:
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