Curso Propedéutico
Álgebra y Cálculo
Diplomado en Administración de Riesgos
Expositor: Juan Francisco Islas
Monterrey, N.L. Julio 2013
Cálculo Diferencial
Sumatoria
Fuente de los datos: Murray R. Spiegel y Larry J. Stephen (2009) Estadística, 4ª. ed. p.70, Problema 3.4
clearinput x y2 -3-5 -84 10-8 6endlist, sumgen xy=x*ygen x2=x*xgen y2=y*ygen xy2=x*y2gen bsbd=(x+y)*(x-y)list, sum
Sean dos variables y que toman los valoresX Y21 =X 52 −=X 43 =X 84 −=X
31 −=Y 82 −=Y 103 =Y 64 =Y
∑=
4
1iiX ∑
=
4
1iiY ∑
=
4
1iiiYX ∑
=
4
1
2
iiX ∑
=
4
1
2
iiY ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ∑∑==
4
1
4
1 ii
ii YX ∑
=
4
1
2
iiiYX ( )( )∑
=
−+4
1iiiii YXYX
Calcular
74
1−=∑
=iiX 5
4
1=∑
=iiY 26
4
1=∑
=iiiYX 109
4
1
2 =∑=i
iX 2094
1
2 =∑=i
iY
( )( ) 35574
1
4
1
−=−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ∑∑== i
ii
i YX 1904
1
2 −=∑=i
iiYX
( )( ) 1002091094
1
24
1
24
1−=−=−=−+ ∑∑∑
=== ii
ii
iiiii YXYXYX
0 11 12 23 64 245 1206 7207 5,0408 40,3209 362,88010 3,628,80011 39,916,80012 479,001,600
Factorial
display exp(lnfactorial(7))for num 0/12: display %9.0f = exp(lnfactorial(X))
Fuente: Sánchez, Octavio (2004) Probabilidad y estadística McGraw Hill, México. Pág. 20
( ) ( ) nnnn ×−×−××××= 12321! L
( ) ( ) 12321! ××××−×−×= Lnnnn
El factorial de esn
n !n
El factorial de es7
...
Factoriales de algunos números
Binomio de Newton
for num 0/12: display comb(12,X)
Fuente: Sánchez, Octavio (2004) Probabilidad y estadística McGraw Hill, México. Pág. 256
Triángulo de
Pascal
( ) ∑=
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=+
n
i
iinn bain
ba0 ( ) !!
!iin
nin
−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
( ) 222 2 bababa ++=+
( ) 32233 33 babbaaba +++=+
( ) 4322344 464 babbabaaba ++++=+
Clasificación de sistemas de ecuaciones lineales
11 bxmy +=
22 bxmy +=
r
-6-5
-4-3
-2-1
0y
-1 0 1 2x
-10
12
34
56
7y
-3 -2 -1 0 1 2 3x
Solución única
Sin solución
21 mm =
-4-3
-2-1
01
23
45
6y
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5x
Número infinito de soluciones
21 mm =
21 bb =
21 mm ≠
21 bb ≠
Solución de ecuaciones de segundo grado
02 =++ cbxax
02 =++acx
abx
acx
abx −=+2
222
21
21
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛++
ab
ac
abx
abx
2
22
44
2 aacb
abx −
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
Demostración
Solución de ecuaciones de segundo grado
2
2
44
2 aacb
abx −
±=+
2
2
44
2 aacb
abx −
±=+
aacb
abx
24
2
2 −±−=
aacbbx
242 −±−
=
Exceso de
OfertaExceso
de Demanda
Equilibrio de Mercado. Modelo Lineal. Generalidades
Función de Oferta
Función de Demanda
do QQ =bPaQd −=
dPcQo +−=
Condición de EquilibriodPc +− bPa −=
cadPbP +=+( ) caPdb +=+
dbcaP
++
=*Precio de Equilibrio
Cantidad de Equilibrio
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
++
+−=+−=dbcadcdPcQo
dbbcadQQQ do +
−===*
*Q
*P
d
o
QQ od QQ >
do QQ >
Exceso de
OfertaExceso
de Demanda
Equilibrio de Mercado. Ejemplo 1 : Modelo Lineal
Función de Oferta
Función de Demanda
do QQ =PQd 223−=
PQo 75+−=
Condición de EquilibrioP75+− P223−=
52327 +=+ PP289 =P
928* =PPrecio de Equilibrio
Cantidad de Equilibrio
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+−=+−=
9287575 PQo
9151* === do QQQ
*Q
*P
d
o
QQ od QQ >
do QQ >
Función de Oferta
Función de Demanda
do QQ =
24 PQd −=
14 −= PQo
Condición de Equilibrio
Equilibrio de Mercado. Ejemplo 2 : Modelo No Lineal
Hay una solución económicamente admisible: la correspondiente a precios y cantidades positivos.En economía, las variables dependiente e independiente sólo pueden tomar valores dentro del primer cuadrante cartesiano.
lineal en
cuadrática en
P
Pd
o
Exceso de
OfertaExceso
de Demanda
Equilibrio de Mercado. Ejemplo 2 : Modelo No Lineal
Función de Oferta
Función de Demanda
do QQ =
24 PQd −=14 −= PQo
Condición de Equilibrio24 P−=14 −P
54 2 =+ PP0542 =−+ PP
1* =∴ P31)1(4140 =−=−= PQ 3* =∴ Q
Solución económica factible para el precio
*P
*Q
Cantidad de equilibrio
321
322
642
3642
)5(4164±−=
±−=
±−=
±−=
−−±−=P
Equilibrio de Mercado. Ejemplo 3 : Modelo No Lineal
Función de Oferta
Función de Demanda
( ) ( )pDpS =
( ) ppD −= 410( ) 7032 −+= pppS
Condición de Equilibrio
( )( )pDpS
cuadrática
lineal
Hay una solución económicamente admisible, la que se encuentra en el primer cuadrante y correspondiente a precio y cantidad positivos.
340
360
380
400
420
440
19 19.25 19.5 19.75 20 20.25 20.5 20.75 21p
Exceso de
OfertaExceso
de Demanda
Equilibrio de Mercado. Ejemplo 3 : Modelo No Lineal
Función de Oferta
Función de Demanda
( ) ( )pDpS =
( ) ppD −= 410( ) 7032 −+= pppS
Condición de Equilibrio
ppp −=−+ 4107032
048042 =−+ pp( )( ) 02024 =−+ pp
20* =∴ P( ) 39020410 =−=pD ( ) 390* =∴ pD
Solución económica factible para el precio
*P
*Q
Cantidad de equilibrio
cuadrática
lineal
020024 =−=+ PP
Funciones Compuestas. Aplicaciones
Función de Costos
)()( xCCxC VF +=El costo total de producción es una función del costo fijo y del costo variable
Función de Beneficio)()()( xCxRx −=π El beneficio o utilidad neta es una
función del ingreso total y del costo total
Función de IngresoxpxR ⋅=)( El ingreso total es función de las
unidades de producto vendidas al precio unitario dado
( ) ( ) ( ) ( ) 500,45002040020302020 23 =++−=C( ) ( ) ( ) ( ) 129,45001940019301919 23 =++−=C
( ) ( ) 371129,4500,41920 =−=−CC
)a
)b
)a
)b
( ) cxCFpxxU −−= función de utilidades = ingresos - costos
( ) xxxU 125500,1275 −−=En equilibrio, no hay ganancias ni pérdidas, es decir, las utilidades son cero, por lo tanto los ingresos son iguales a los costos
( ) 0125500,1275 =−−= xxxUxx 125500,1275 +=
10150500,1
==x
( ) 000,1125500,1275 =−−= xxxU500,2150 =x
177.16150500,2
≈==x
utilidad
( ) xxR 275=
17=x
( ) xxC 125500,1 +=
pérdida
Funciónde
IngresoFunciónde
Costos
punto de equilibrio
( ) ( )
500,2150000,1125500,1275
000,1
==−−
=−
xxx
xCxR
1767.16150500,2
≈==x
( ) 5003.0' 2 +−== qqdqdCqC
( ) ( ) ( ) ( ) 2.698,1200350035.031.03 23 =++−=C( ) ( ) ( ) ( ) 4.198,2200450045.041.04 23 =++−=C
2.5001
2.698,14.198,234
)3()4(34
)3()4(=
−=
−−
=−−
=∆∆ CCCC
qC
( ) 7.499500)3()3(3.03' 2 =+−=C
)a
)b
0.5
11.
52
CM
g
0 20 40 60 80 100x
510
1520
25C
0 20 40 60 80 100x
( )
( ) 21
2525
'
−+=
==
x
CMgdqdCqC
derivando por regla de la cadena
( ) ( ) 325325 21++=++= xxqC
Funciónde Costo
Total
Función de Costo
Marginal
El costo marginal disminuye con el aumento de la
producción
( ) ( ) ( ) ( ) ( )100120271860960100
3106310''222
2
+−=+−+−=
−−−=+=
xxxxxxxxxxxpxpxR
( ) ( ) ( ) xxxxxxxxxxpxR 100609960100310 23322 +−=+−=−==
( ) ( )2310 xxp −=
( ) 010012027' 2 =+−= xxxR
( ) ( )( )( ) 9
102054
60120272
100274120120 2 ±=
±=
−±=x
33.33
10930
===cx 11.19
10==cx
0601203
10543
10'' >=−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ =cxR 33.3=∴ cx es un mínimo
0601209
10549
10'' <−=−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ =cxR 11.1=∴ cx es un máximo
( ) 12054'' −= xxR
( ) 012054'' =−= xxR 22.2920
54120
===⇒ Ix es un punto de inflexión
función de preciofunción de ingreso
ingreso marginal
criterio de la primera derivadaigual a cero para determinarpuntos críticos
criterio de la segundaderivada paracaracterizarlos puntoscríticos
Funciónde
Ingreso
Funciónde
IngresoMarginal
IngresoMáximo
38.4981
40009
101009
10609
1099
10 23
==⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ =cxR
( ) ( )38.49,11.181000,4,
910, =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=cc yx
Exceso de
OfertaExceso
de Demanda
Equilibrio de Mercado. Modelo Lineal. Generalidades
Función de Oferta
Función de Demanda
do QQ =( )PfQd =
( )PfQo =
Condición de Equilibrio
( )**,QPPrecio de EquilibrioCantidad de Equilibrio
*Q
*P
d
o
QQ od QQ >
do QQ >
-50
-40
-30
-20
-10
010
2030
4050
6070
8090
100
-5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -.5 0 .5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
Regla de los 4 pasos para calcular la derivada de una función
( ) 20152 23 −−+= xxxxf
Obtener la derivada mediante la regla de los cuatro pasos.
)(xfy =
( ) ( ) ( ) 20152 23 −∆+−∆++∆+=∆+ xxxxxxyy
1) Incrementando en x∆x
2) Restando la función original( ) ( ) ( ) ( )2015220152 2323 −−+−−∆+−∆++∆+=−∆+ xxxxxxxxxyyy
2015220151524233 23223223 ++−−−∆−−∆+∆++∆+∆+∆+=∆ xxxxxxxxxxxxxxxy
xxxxxxxxxy ∆−∆+∆+∆+∆+∆=∆ 152433 2322
Sea la función
Regla de los 4 pasos para calcular la derivada de una función-5
0-4
0-3
0-2
0-1
00
1020
3040
5060
7080
9010
0
-5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -.5 0 .5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
3) Dividiendo entre x∆
xxxxxxxxxx
xy
∆∆−∆+∆+∆+∆+∆
=∆∆ 152433 2322
152433 22 −∆++∆+∆+=∆∆ xxxxxx
xy
4) Tomando el límite cuando 0→∆x
152433limlim 22
00−∆++∆+∆+=
∆∆
→∆→∆xxxxxx
xy
xx
1543 2 −+=∴ xxdxdy
Regla de los 4 pasos para calcular la derivada de una función
Regla de los 4 pasos para calcular la derivada de una función-5
0-4
0-3
0-2
0-1
00
1020
3040
5060
7080
9010
0
-5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -.5 0 .5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
Gráfica de una función mediante el cálculo diferencial( ) 20152 23 −−+= xxxxfConsiderando la función
1543 2 −+= xxdxdyA partir de
( ) 0' =xfAl resolver se obtienen los puntos críticos de
01543 2 =−+ xxse resuelve
aacbbx
242 −±−
=
( )( )( ) 3
726
14432
153444 2 ±−=
±−=
−−±−=x 3
51 =cx
32 −=cx
mediante
Criterio de la primera derivada (para obtener puntos críticos)( )xf
-50
-40
-30
-20
-10
010
2030
4050
6070
8090
100
-5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -.5 0 .5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
Gráfica de una función mediante el cálculo diferencial
( ) 0'' <cxf( )xfSi entonces es un decx( ) 0'' >cxf
máximomínimo
Criterio de la segunda derivada (para determinar si un punto crítico es máximo o mínimo)
Al resolver se obtienen los puntos de inflexión de ( )xf( ) 0'' =xf
( ) 461543 22
2
+=−+= xxxdxd
dxyd
A partir de
046 =+xse resuelve32
−=∴ Ix
-50
-40
-30
-20
-10
010
2030
4050
6070
8090
100
-5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -.5 0 .5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
Gráfica de una función mediante el cálculo diferencial
Evaluando en la función original las correspondientes abscisas de los puntos críticos y del punto de inflexión se obtienen los puntos respectivos que facilitarán el trazado de la gráfica de la función ( ) 20152 23 −−+= xxxxf
35
1 =cx
32 −=cx
32
−=Ix
Para ( ) 8.342794020
3515
352
35
35 23
1 −=−=−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ === xfxxf c
Para ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 16203153233 232 =−−−−+−=−=== xfxxf c
Para ( ) 4.92725420
3215
322
32
32 23
−=−=−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=== xfxxf I
( )8.34,67.127940,
35
11 −=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −∴ cc PP
( )16,32 −∴ cP
( )4.9,67.027254,
32
−−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−∴ II PP
-50
-40
-30
-20
-10
010
2030
4050
6070
8090
100
y
-5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -.5 0 .5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5x
Análisis gráfico de una función mediante el cálculo diferencial
( ) 20152 23 −−+= xxxxf
cóncava
convexa
( )( ) 0''
0'<>
xfxf
( )( ) 0''
0'<<
xfxf
( )( ) 0''
0'<
=c
c
xfxf
( )( ) 0''
0'>
=c
c
xfxf
( )( ) 0''
0'><
xfxf
( )( ) 0''
0'>>
xfxf
( )( ) 0''
0'=
<I
I
xfxf
( ) 1543' 2 −+= xxxf( ) 46'' += xxf
Los puntos de intersección de con el eje se obtienen al resolver ( ) 0=xfxLos puntos de intersección de con el eje se obtienen al resolver ( )0=xfy
( )xf( )xf
-30
-25
-20
-15
-10
-50
510
1520
2530
-1 0 1 2 3 4 5
Análisis gráfico de función cúbica mediante cálculo diferencial
Fuente: Dowling, Edward T. (1992) Teoría y Problemas de Cálculo para la Administración, Economía y Ciencias Sociales, McGraw Hill. Sección 6.5, Ejemplo 4, pág. 162-163
( ) 30122 23 +−= xxxf
( ) xxxf 246' 2 −=
( ) 0' =xf 0246 2 =− xx( ) 046 =−xx
06 =x 04 =−x01 =cx 42 =cx
( ) 2412'' −= xxf( ) 0'' =xf 02412 =−x
( ) 0212 =−x0=Ix
( ) 024)0(12'' 1 <−=cxf
( ) 024)4(12'' 2 >−=cxf2cx
1cx es máximo
es mínimo
punto de inflexión
Criterio de la segunda derivada
Criterio de la primera derivada
( ) 0' >xf ( ) 0' <xf
( ) 0' >xf( ) 0' <xf
( ) 0' =xf
( ) 0' =xf
( ) 0' <xf( ) 0'' =xf
11.
21.
41.
61.
82
S
0 5 10 15 20 25 30
.5.6
.7.8
.91
S
0 5 10 15 20 25 30
050
100
150
200
S
0 5 10 15 20 25 30
-10
-50
510
S
0 5 10 15 20 25 30
Serie geométrica (convergente y divergente)
Fuente: Sydsaeter, Knut, Arne Strom y Peter Berck (2005) Economists’ Mathematical Manual, 4ª. ed. Springer, pág. 49,
121 −++++= nn aaaS L
nnn aaaaaaS +++++= −132 L
( ) nn aSa −=− 11
aaS
n
n −−
=11
10 << aaa
aSn
nnn −=
−−
=∞→∞→ 1
111limlim
Sea
multiplicando por a
restando la segunda expresión a la primera
despejando nS
Si y ∞→n , converge anS
1>aSi , divergenS
010
2030
S
0 5 10 15 20 25 30
5.0=a
1=a
5.0−=a
1.1=a1.1−=a
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