UMSNHFacultad de Ing. Elctrica
Carrera: Ingeniera en ComputacinMateria: Graficacin
Dr. Jos Antonio Camarena Ibarrola
Septiembre de 2010
Introduccin
Aplicaciones: Simulacin
Introduccin
Video-juegos
http://www.acclaim.com/games/crazytaxi/
Introduccin
Animacin por computadora
http://www.pixar.com
Introduccin
Diseo (recorridos virtuales 3D)
The William gates Buildinghttp://www3.arct.cam.ac.uk/westC/cl/cl.html
Introduccin
Visualizacin de grficas 3D
Convective modelling group, AOS, UnivIllinois at Urbana-Champaignhttp://redrock.ncsa.uiuc.edu/AOS/home.html(NCSA storm model)
Introduccin
Interfaces en la medicina
The Sonic Flashlight, MRT Center, The Robotics Institute,Carnegie Mellon University, http://www.ri.cmu.edu/projects/project_438.html
Primitivas de Grficacin
Algoritmos de trazado de lneas. Algoritmo DDA (Digital Diferential Analizer), Algoritmo de Bresenham.
Algoritmo de Bresenham para trazado de circunferencias, Algoritmo del punto medio para trazado de circunferencias
Algoritmo del punto medio para generacin de elipses Polilneas Curvas Splines cbicas naturales, Splines de Hermite,
Curvas de Bezier. Estructura de un Programa OpenGL Despliege de lineas, tringulos, cuadrados,
circunferencias, etc mediante OpenGL
Primitivas de GraficacinTrazado de lneas
Algoritmo DDA (Digital Diferential Analizer)
Primitivas de GraficacinTrazado de lneas
Algoritmo de Bresenham
Con el signo de d1-d2 podemos decidir cual pixelEst mas cerca de la lnea ideal
Primitivas de GraficacinTrazado de lneas
Algoritmo de Bresenham
Problema: Requiere modificarse para evitar aritmtica de flotantes
Primitivas de GraficacinTrazado de lneas
Algoritmo de Bresenham
Esta versin usa solo aritmtica entera
Primitivas de GraficacinTrazado de circunferenciasAlgoritmo de Bresenham
La idea bsica es usar solo el signo del error en que se incurre para decidir cual pixel encender
y=r;d= -r; pixel(0,r); for(x=1;x=0) {
y--; d -= 2y;
} pixel(x,y);
}
Primitivas de GraficacinTrazado de circunferenciasAlgoritmo del punto medio
Primitivas de GraficacinAlgoritmo del punto medio para trazado de elipses
-Usamos la ecuacin de la elipse paradecidir si el punto medio est dentro o fuera de la elipse
-Como no tenemos simetra a nivel octante, tenemos que generar todo un cuadrante
Primitivas de GraficacinPolilneas
Abierta
Autointersectada
Cerrada
Primitivas de GraficacinSplines
De interpolacin De aproximacin
Primitivas de GraficacinSplines
(a) Continuidad de orden cero. (b) de primer orden c) de segundo orden
Primitivas de GraficacinCurvas Splines cbicas naturales
Cada segmento se representa por un polinomio de tercer grado (cbico)
Por cada polinomio cbico hay 4 incgnitas
Hay que resolver un sistema de 4n ecuaciones con 4n incgnitas
Si un punto de control se modifica hay que volver a solucionar el sistema de ecuaciones
En estas splines no hay control local
Tienen continuidad de segundo orden
Primitivas de GraficacinSplines de Hermite
Tienen continuidad de primer orden
Permiten control local
Restricciones
Por cada segmento hay que resolver un sistema de 4x4
Primitivas de GraficacinSplines de Hermite
Como la matriz de coeficientes no cambiaen realidad solo se requiere de una simple multiplicacinmatricial por cada segmento
Primitivas de GraficacinSplines de Hermite
Reagrupando:
Funciones de ponderacin
Primitivas de GraficacinSplines cardinales
Problema: las Splines de Hermite requieren que el usuario especifique la pendienteEn cada punto de control
Solucin: Estimar las pendientes usando las formulas
Donde t es el parmetro de tensin t>0
t
Primitivas de GraficacinCurvas de Bezier
Pierre Bzier trabajaba para la Renault diseando carroceras
Donde:
Primitivas de GraficacinCurvas de Bzier
Por ejemplo, para n=4 (nmero de puntos de control)
Primitivas de GraficacinEstructura de un programa en OpenGL
Primitivas de GraficacinDespliegue de lneas, tringulos y cuadrados en
OpenGL
Despliega dos lneas
Despliega polilnea
Primitivas de GraficacinDespliegue de lneas, tringulos y cuadrados en
OpenGL
Despliega polilnea cerrada
Despliega dos tringulos
Primitivas de GraficacinDespliegue de lneas, tringulos y cuadrados en
OpenGL
Despliega polgono
Algoritmos de relleno de reas
Relleno mediante ordenamiento de aristas
Relleno mediante complementacin
Relleno mediante complementacin usando una cerca
Algoritmo simple de siembra de semilla
Siembra de semilla por lnea de rastreo
Funciones de OpenGL para manejo del color de las figuras y del fondo
Algoritmos de relleno de reasRelleno mediante ordenamiento de aristas
-Procesar por cada lnea de rastreo -ordenar aristas respecto a y y luego respecto a x-Rellenar de la primera arista a la segunda, luego de la tercera a la cuarta, etc
Algoritmos de relleno de reasRelleno mediante ordenamiento de aristas
Mantener la lista de aristas ordenada en lugar de ordenarla al final
Algoritmos de relleno de reasRelleno mediante ordenamiento de aristas
Eliminar duplicados correspondientes a los vrtices que no sonMximos ni mnimos (Ej vrtice 4 y 12)
Algoritmos de relleno de reasRelleno mediante complementacin
En este ejemplo se procesaron las aristas en el sig. orden: d,b,e,c,aCualquier orden funcionaNo se procesan las aristas horizontales
Algoritmos de relleno de reasRelleno mediante complementacin
Modificacin usando una cerca
En este ejemplo se procesaron las aristas en el sig. orden: d,b,e,c,aCualquier orden funcionaNo se procesan las aristas horizontales
Algoritmos de relleno de reasAlgoritmo simple de siembra de semilla
Conectividad 4
Conectividad 8
Algoritmos de relleno de reasAlgoritmo simple de siembra de semilla
Semilla inicial
Se detiene porque se asumi conectividad 4
Algoritmos de relleno de reasAlgoritmo simple de siembra de semilla
Algoritmos de relleno de reasAlgoritmo de siembra de semilla por lnea de rastreo
Algoritmos de relleno de reaFunciones de OpenGL para manejo del color de las
figuras y del fondo
void glColor3f( GLfoat red, GLfoat green, GLfoat blue)
Una vez ejecutada esta instruccin las figuras que se dibujen tendrn este color
void glColor4f( GLfoat red, GLfoat green, GLfoat blue, GLfoat alpha)
Igual que la anterior pero tiene un parametro de transparencia
void glClearColor3f( GLfoat red, GLfoat green, GLfoatblue)
Para especificar el color del fondo
Algoritmos de recorte
Cdigos de regin para determinar la visibilidad de lneas
Algoritmo de recorte explcito en 2D
Algoritmo de Sutherland-Cohen
Algoritmo de la subdivisin del punto medio
Algoritmo de Cyrus-Beck para recorte de regiones convexas
El concepto de recorte
Antes del recorteDespus del recorte
Algoritmos de recorteCdigos de Regin para
determinar la visibilidad de lneas
0110
1010
0101
1001
Bit 0 IzquierdaBit 1 DerechaBit 2 ArribaBit 3 Abajo
Algoritmos de recorteCdigos de Regin para
determinar la visibilidad de lneas
Algoritmos de recorteAlgoritmo de recorte explcito en 2D
Deduciendo la ec de larecta que va de(x1,y2) a (x2,y2)
Algoritmos de recorteAlgoritmo de recorte explcito en 2D
De manera Similar
Algoritmos de recorteAlgoritmo de recorte explcito en 2D
La interseccin con el extremo superior ocurre en:
Algoritmos de recorteAlgoritmo de recorte explcito en 2D.
Ejemplo
Recorte la lnea que va de(-3/2,1/6) a (1/2,3/2)
Algoritmos de recorteAlgoritmo de recorte explcito en 2D. Ejemplo
Algoritmos de recorteAlgoritmo de recorte explcito en 2D. Ejemplo
Algoritmos de recorteAlgoritmo de Sutherland-Cohen
Algoritmos de recorteAlgoritmo de la subdivisin del punto medio
Ideal para implementar en hardware
Algoritmos de recorteAlgoritmo de Cyrus-Beck para recorte de
regiones convexas
El Algoritmo de Cyrus-Beck hace uso del hecho de que un punto a est dentrode un rea de recorte convexa respecto a cierta rea que define un borde si se cumple la desigualdad:
donde n es un vector normal a la lnea que define el borde y b es cualquierpunto en ese borde
El Algoritmo de Cyrus-Beck hace uso de la ecuacin paramtrica de unalnea recta que va de P1 a P2
Algoritmos de recorteAlgoritmo de Cyrus-Beck para recorte de
regiones convexas
podemos obtener el valor de t para el cual la lnea coincide con la fronteradel rea de recorte despejndolo de:
Donde f es cualquir punto de esa frontera
Algoritmos de recorteAlgoritmo de Cyrus-Beck para recorte de
regiones convexas. Ejemplo
Recortar la lnea que va de (-1,1) a (3,3)
Algoritmos de recorteAlgoritmo de Cyrus-Beck para recorte de
regiones convexas. Ejemplo
La directrz es:
Para la arista V5V6 la normal es:
Algoritmos de recorteAlgoritmo de Cyrus-Beck para recorte de
regiones convexas. Ejemplo
Algoritmos de recorteAlgoritmo de Cyrus-Beck para recorte de regiones
convexas. Ejemplo
Para terminar el ejemplo solo resta decir que la lnea recortada comienzaen t = 1=4 y termina en t = 5=6, lo cual corresponde a una nueva lnea queva de (0,3/2) a (7/3,8/3)
Repitiendo para el Resto de las aristasCompletamos la tabla
Pipeline de visualizacin bidimensional
Coordenadas locales
Coordenadas mundiales
Puerto de visin
Funciones OpenGL para visualizacin 2D
Pipeline de visualizacin bidimensionalCoordenadas locales
Tambin se llaman coordenadas de modelado
Una figura se define en coordenadas relativas a un punto de la misma figura, por ejemplo el centro de la misma
Por ejemplo los vrtices de un rectngulo pudieran establecerse relativos a la esquina inferior e izquierda del mismo
Pipeline de visualizacin bidimensionalCoordenadas mundiales
Todas las figuras que forman un dibujo deben transformarse a un nico sistema de coordenadas.
Pipeline de visualizacin bidimensionalpuerto de visin
La parte de una grfica que se desea desplegar se denomina ventana
La ventana se especifica en coordenadas mundiales El puerto de visin especifica donde se desplegar el contenido de
la ventana El puerto de visin se especifica en coordenadas de dispositivo
Pipeline de visualizacin bidimensionalpuerto de visin
Manteniendo fijo el tamao de la ventana y aumentando el tamao del puerto de visin se obtiene un efecto de zoom in (acercamiento)
Manteniendo fijo el puerto de visin y cambiando la ventana de posicin se obtiene un efecto de paneo de diferentes partes de una grfica
Se requiere una transformacin de ventana a puerto de visin
Pipeline de visualizacin bidimensional
Pipeline de visualizacin bidimensionalFunciones OpenGL de visualizacin bidimensional
Para especificar la ubicacin y tamao del puerto de visin en OpenGL usamos la funcin
glViewport(int x, int y, int ancho, int alto)
La funcin gluOrtho2D sirve para poder especificar directamente en coordenadas mundiales al dibujar, por ejemplo:
gluOrtho2D(0.0,450.0,0.0,375.0)
Nos permite especificar vrtices (x,y) tales que
x est en el rango [0,450] y y en [0,375]
Transformaciones geomtricas
Transformaciones afines Transformaciones geomtricas bidimensionales bsicas:
Traslacin, escalamiento, rotacin Coordenadas homogneas Transformaciones compuestas: Escalamiento respecto a un
punto fijo; Rotacin respecto a un punto arbitrario Reflexiones Transformaciones geomtricas en 3D simples: Escalamiento,
traslacin, rotacin respecto a los ejes X, Y y Z Rotacin respecto a un eje arbitrario por: (a) Composicin de
matrices, (b) Cjto de vectores ortogonales, (c) cuaternios Transformaciones geomtricas con OpenGL Manejo de Pilas de matrices con OpenGL
Transformaciones geomtricasTransformaciones afines
Una transformacin afn es aquella que puede expresarse de la siguiente manera:
xyxx tPbPaQ ..
yyxy tPdPcQ ..
y
x
y
x
y
x
t
t
P
P
dc
ba
Q
Q
O bien:
Transformaciones geomtricasTransformaciones afines
Las transformaciones afines son lineales si se aplica la transformacin a todos los puntos
que forman una lnea se obtiene otra lnea que tambin se puede obtener aplicando la transformacin solo a los extremos de la lnea y se generan los puntos intermedios mediante algn algoritmo de trazado de lneas como el de Bresenham
si se transforma un punto que est a la mitad de la lnea, este punto de ubicarla justamente a la mitad de la lnea transformada
Transformaciones geomtricasTransformaciones afines
Ejemplos de transformaciones afines:
Traslacin
Escalamiento
Rotacin
Reflexin
Cizallamiento
Transformaciones geomtricastransformaciones geomtricas bidimensionales bsicas
Traslacin
Trasladamos un punto (x,y) mediante:
Transformaciones geomtricastransformaciones geomtricas bidimensionales bsicas
Traslacin
Toda transformacin geomtrica tiene dos interpretaciones:
x
y
(2,3)v
x
y
(1,2)
u
v
u
u=x-1
v=y-1
x=u+1
y=v+1
x
y
(2,3)
(1,2)
x
y
x=x-1
y=y-1
x=x+1
y=y+1
Pasar de un sistema de Coordenadas a otro
Modificar la forma o posicin de objetosen un sistema decoordenadas
Transformaciones geomtricastransformaciones geomtricas bidimensionales bsicas
Traslacin
Transformaciones geomtricastransformaciones geomtricas bidimensionales bsicas
Traslacin
El escalamiento simple tiene implcita una traslacin. En el ejemplo se us un factor de escalamiento de 2 tanto en x como en y
Transformaciones geomtricastransformaciones geomtricas bidimensionales bsicas
Rotacin
Obtenemos:
De la figura:
Finalmente!
Transformaciones geomtricastransformaciones geomtricas bidimensionales bsicas
Rotacin
Se puede expresar matricialmente como:
La rotacin tambin implica una traslacin
Transformaciones geomtricasCoordenadas homogneas
Las coordenadas (x,y) tiene un nmero infinito de maneras de representarse en coordenadas homogneas (xh,yh,h)
La forma estndar h=1, es decir (x,y,1) Ventajas:1. Todas las transformaciones se pueden hacer
como productos matriciales, incluso la traslacin2. Facilita la composicin de transformaciones.
Muchas transformaciones sucesivas se convierten en una sola (gran ahorro!)
Transformaciones geomtricasCoordenadas homogneas
Todas las transformaciones como productos matriciales:
Transformaciones geomtricasTransformaciones compuestas
Escalamiento respecto a un punto fijo
Traslacin de manera que el punto fijo coincida con el origen
Escalamiento simple
Traslacin de manera que el punto fijo regrese a su posicin
Transformaciones geomtricasTransformaciones compuestas
Escalamiento respecto a un punto fijo
Ahora se aprecia la ventaja de trabajar en coordenadas homogneas
Transformaciones geomtricasTransformaciones compuestas
Rotacin respecto a un punto arbitrario
Trasladar de manera que el punto de rotacin coincida con el origen
Rotar y luego Trasladar de manera que el punto de rotacin regrese a su posicin original
Transformaciones geomtricasTransformaciones compuestas
Rotacin respecto a un punto arbitrario
De nuevo se aprecia la ventaja de trabajar en coordenadas homogneas
Transformaciones geomtricasReflexiones
Reflexin respecto al eje x Reflexin respecto al eje y
Transformaciones geomtricasReflexiones
Reflexin respecto al origenReflexin respecto a la recta x=y
Transformaciones geomtricas Transformaciones geomtricas en 3D simples
Escalamiento
Transformaciones geomtricas Transformaciones geomtricas en 3D simples
Traslacin
Transformaciones geomtricas en 3D simplesRotacin alrededor del eje X, Y o Z
Rotacin alrededor del eje X
Rotacin alrededor del eje Y
Rotacin alrededor del eje Z
Transformaciones geomtricas en 3D simplesEjemplos
1000
0100
0010
0001
1000
05.100
005.10
0005.1
1000
05.100
00866.05.0
005.0866.0
1000
0100
0010
0002
1000
0100
500010
500001
1000
0100
3.600866.05.0
7.43005.0866.0
Transformaciones geomtricasRotacin respecto a un eje arbitrario
Si el eje es paralelo a unoDe los ejes del sistema deCoordenadas:1) Trasladar de manera queUn punto que pasa por elEje de rotacin coincidaCon el origen2) Rotar alrededor del eje3) Traslacin inversa respectoAl paso 1
Rotacin respecto a un eje arbitrarioDeterminacin de la matriz de transformacin
por composicin de matrices
Rotacin respecto a un eje arbitrarioDeterminacin de la matriz de transformacin por
composicin de matrices
Rotacin respecto a un eje arbitrarioDeterminacin de la matriz de transformacin por
composicin de matrices
Rotacin respecto a un eje arbitrarioDeterminacin de la matriz de transformacin por
composicin de matrices
Rotacin respecto a un eje arbitrarioDeterminacin de la matriz de transformacin por
composicin de matrices
Adems:
Para rotar un punto p alrededor de un eje arbitrario usamos:
Rotacin alrededor de un eje arbitrariobsqueda de un conjunto de vectores
ortogonales
u es el vector alrededor del cual se desea rotar
Rotacin alrededor de un eje arbitrariousando cuaterniones
Un cuaternio es un nmero con una parte real y tres partes imaginarias
Se cumple que
Adems
Rotacin alrededor de un eje arbitrariousando cuaterniones
Un cuaternio es tambin un par formado por un escalar y un vector de 3 componentes
El producto se calcula como:
Rotacin alrededor de un eje arbitrariousando cuaterniones
Para rotar un punto p alrededor de un vector u un cierto ngulo tetaRealizamos el producto de cuaternios:
Como q es un cuaternio unitario se cumple que su inverso multiplicativo es:
Transformaciones geomtricas con OpenGL
Para traslacin usamos glTranslatef(tx,ty,tz) Para el escalamientoglScalef(Sx,Sy,Sz) Para la rotacinglRotatef(teta,x,y,z)donde teta es el ngulo en grados que deseamos rotar
alrededor de un vector especificado por x,y y z, por ejemplo para rotar 30 grados alrededor del eje y usariamos:
glRotatef(30,0,1,0)
Transformaciones geomtricas Manejo de Pilas de Matrices con OpenGL
La funcin glPushMatrix() realiza una copia de la matriz superiory la pone encima de la pila, de tal forma que las dos matrices superioresson iguales.glPopMatrix() desecha la matriz que est en el tope de la pila.
Visualizacin 3D
Proyeccin en paralelo
Proyeccin en perspectiva
Pipeline de visualizacin tridimensional
Volumen de visin
Funciones de visualizacin 3D en OpenGL
Visualizacin 3Dproyeccin en paralelo
En z=0:
Visualizacin 3Dproyeccin en paralelo
En forma matricial, en coordenadas homogneas
Visualizacin 3Dproyeccin en perspectiva
(xc,yc,yc)
En z=0:
Visualizacin 3Dproyeccin en perspectiva
Visualizacin 3DPipeline de visualizacin tridimensional
Pipeline de visualizacin 3DCoordenadas locales
Tambin se llaman coordenadas de modelado
Un objeto se define en coordenadas relativas a un punto del mismo objeto, por ejemplo el centro del objeto
Ej podemos definir un cubo como
x
z
y
(-0.5,0.5,-0.5)
(-0.5,-0.5,-0.5)
(0.5,-0.5,0.5) (-0.5,-0.5,0.5)
(0.5,-0.5,-0.5)
(0.5,0.5,-0.5)
(-0.5,0.5,0.5) (0.5,0.5,0.5)
Pipeline de visualizacin 3DCoordenadas mundiales
Al definir una escena, transformamos las coordenadas de todos los objetos que la componen a un referente nico, porejemplo una de las esquinas de la habitacin.
Visualizacin 3DVolumen de visin
Visualizacin 3DVolumen de visin
Visualizacin 3DFunciones de visualizacin 3D en OpenGL
Para definir el volumen de visin usamos:
glFrustum(left, right, bottom, top, near, far) Si el volumen de visin es simtrico podemos usar:
gluPerspective(fovy, aspect, near, far) donde fovy es el ngulo del campo de visin en el plano yz el
cual debe estar en el rango de 0 a 180 grados, aspect es la relacin ancho/alto del frustum, se recomienda hacer que coincida con la relacin ancho/alto de la ventana de despliegue, near y far deben ser valores positivos, por ejemplo:
JGlu.gluPerspective(60.0, 1.0, 1.0, 20.0);
Supresin de lneas y superficies ocultas
Supresin de segmentos de lnea ocultos
Algoritmo del horizonte flotante
Determinacin de la ecuacin de un plano
Determinacin del vector Normal a un plano
Deteccin de caras posteriores. Algoritmo de Roberts
Algoritmo del Buffer Z o buffer de profundidad
Algoritmo del buffer A para superficies transparentes
Algoritmo del buffer Z por lnea de rastreo
Mtodo de proyeccin de rayos
Mtodo del rbol BSP
Funciones OpenGL para suprimir superficies ocultas
Supresin de lneas y superficies ocultas
Al suprimir las lneas ocultas se elimina la ambigedad
Supresin de lneas y superficies ocultasSupresin de segmentos de lnea ocultos
Algoritmo del horizonte flotante
22 )()(
)exp()4/7cos()2/3(cos)5/1(
zxa
aazsenxy
Supresin de lneas y superficies ocultasSupresin de segmentos de lnea ocultos
Algoritmo del horizonte flotante
Si para cada valor dado de x, el valor y de la curva en el plano actual es mayor que el valor y para todas las curvas anteriores, entonces la curva es visible para ese valor especfico de x, en caso contrario ser invisible.
Supresin de lneas y superficies ocultasSupresin de segmentos de lnea ocultos
Algoritmo del horizonte flotante
Para implementar este algoritmo simplemente hay que mantener un arreglo del mismo tamao que la resolucin de la imagen en el eje x. Los valores de este arreglo representan el horizonte y este horizonte flota" a medida que cada curva esdibujada.
Supresin de lneas y superficies ocultasSupresin de segmentos de lnea ocultos
Algoritmo del horizonte flotante
Si para algn valor dado de x, el valor y correspondiente de la curvaen el plano actual es superior al mximo valor o inferior al mnimo valorentre todas las curvas anteriores, entonces la curva actual en dicho valor x es visible, si no se cumple ninguna de las dos cosas, entonces es invisible.
Supresin de lneas y superficies ocultasSupresin de segmentos de lnea ocultos
Algoritmo del horizonte flotante
Para implementar el algoritmo del horizonte flotante se requieren entonces dos arreglos uno para almacenar los valores mximos y el otro para almacenar los mnimos, a estos arreglos se les denominan horizontes flotantes superior e inferior respectvamente.
Supresin de lneas y superficies ocultasSupresin de segmentos de lnea ocultos
Algoritmo del horizonte flotante
Supresin de lneas y superficies ocultasSupresin de segmentos de lnea ocultos
Algoritmo del horizonte flotante
Supresin de lneas y superficies ocultasSupresin de segmentos de lnea ocultos
Algoritmo del horizonte flotante
Supresin de lneas y superficies ocultasDeterminacin de la ecuacin de un plano
La ecuacin de un plano es:
O en su forma normalizada (d=1)
Supresin de lneas y superficies ocultasDeterminacin del vector normal a un plano
Si tenemos la ecuacin del plano:
Supresin de lneas y superficies ocultasDeteccin de caras posteriores
Algoritmo de Roberts
La cara es posterior si no se cumple:
Las lneas compartidas entre dos caras que son posteriores deben suprimirse
Supresin de Lneas y superficies ocultasAlgoritmo del buffer Z o buffer de profundidad
Eliminacin de caras posteriores
Eliminacin de superficies ocultas
Supresin de Lneas y superficies ocultasAlgoritmo del buffer Z o buffer de profundidad
Las partes visibles de una escena se pueden descubrir haciendo algo similar al algoritmo del horizonte flotante, es decir, podemos mantener un arreglo con las distancias desde el observador hasta la superficie mas cercana por cada pixel del plano de visin
A diferencia del algoritmo del horizonte flotante, el arreglo que necesitamos es un arreglo bidimensional del tamao de la resolucin de la imagen deseada. La profundidad se mide la coordenada z, por esta razn, a este arreglo le llamamos buffer de profundidad o buffer Z.
Supresin de Lneas y superficies ocultasAlgoritmo del buffer Z o buffer de profundidad
Los valores de profundidad de una cara se pueden obtener a partir de la ecuacin del plano correspondiente a esa cara mediante
Por cada objeto que forma parte de una escena, por cada cara que forma parte del objeto y por cada punto (x,y,z) de la cara , calcular su profundidad z y compararla con la almacenada en el buffer Z para el correspondiente (x,y), si la profundidad del punto es menor, reemplaza a la del buffer Z.
Supresin de Lneas y superficies ocultasAlgoritmo del buffer Z o buffer de profundidad
La principal ventaja de este mtodo es su simplicidad, las desventajas son:
Demasiados clculos innecesarios puesto que en demasiadas ocasiones los pixelssobreescriben pixels anteriores
Posibles errores de cuantizacin
No soporta objetos transparentes
Supresin de Lneas y superficies ocultas Algoritmo del buffer A para superficies transparentes
El algoritmo del buffer A es una modificacin del algoritmo del buffer Z para soportar objetos translcidos, la nica razn por la que recibe ese nombre es por que la A est en el extremo opuesto a la Z
En el buffer A, en lugar de almacenar simplemente un valor de profundidad se almacena un apuntador a una lista ligada. Si el primer elemento de la lista es un objeto opaco, entonces la lista termina ah
si se trata de un objeto translcido, entonces la lista contina con el siguiente objeto mas cercano en la misma direccin, el cual tambin pudiera ser otro objeto translcido, la lista contina de manera que el ltimo objeto es opaco
Para saber el color de un pixel se debe recorrer la lista asociada a ese pixel
Supresin de Lneas y superficies ocultas Algoritmo del buffer Z por lnea de rastreo
Para acelerar el mtodo del buffer Z, se puede proceder por lnea de rastreo, las posiciones horizontales adyacentes a lo largo de la lneadifferen tan solo una unidad, si se ha determinado que la profundidad en la posicin (x,y) es z, entonces la profundidad de la siguiente posicin (x+1,y) en la misma lnea de rastreo ser:
El valor a/c permanece constante mientras no noscambiemos de polgono
Supresin de Lneas y superficies ocultas Mtodo de proyeccin de rayos
Consiste en trazar una lnea perpendicular al plano de visin, determinar a cuales polgonos intersecta esta lnea y elegir la interseccin mas cercana al plano de visin, esto se hace por cada pixel del plano de visin.
En el mtodo del buffer de profundidad se sigue el rden de los polgonos de la escena para determinar el mas cercano para cada pixel
En este mtodo se sigue el orden de los pixels y se sigue un rayo por cada pixel, este mtodo ahorra clculos.
Supresin de Lneas y superficies ocultas Mtodo del rbol BSP
El algoritmo del pintor es probablemente la mas simple de las tcnicas para resolver el problema de HSR, se trata de ordenar los polgonos en orden ascendente de profundidad y desplegarloscompletos comenzando por los de mayor profundidad, los de menor profundidad cubrirn a los de mayor profundidad de la misma manera que en un lienzo al pintar un rbol, este cubre la parte del paisaje que queda detrs de el.
Ejemplo en el que el Algoritmo del pintor falla
Supresin de Lneas y superficies ocultas Mtodo del rbol BSP
Para solucionar el problema de los polgonos traslapados, se puede dividir el espacio sucesivamente hasta que las diferentes regiones en las que el espacio se haya dividido sean lo suficientemente pequeas para que en su interior ningn polgono se traslape en profundidad con ningn otro polgono.
Un rbol BSP (por Binary Space Partitioning) sirve para representar la manera en que el espacio ha sido dividido.
Supresin de Lneas y superficies ocultas Mtodo del rbol BSP
El espacio es particionado estableciendo planos que dividen a los polgonos en aquellos que quedan de un lado y aquellos que quedan del otro lado
Un rbol BSP tiene tantos niveles como planos divisorios, cada plano divisoriodivide el espacio en dos (de ah lo de binario).
Supresin de Lneas y superficies ocultas Funciones OpenGL para suprimir superficies ocultas
La eliminacin de caras posteriores se lleva a efecto usando:
glEnable(GL_CULL_FACE);glCullFace(modo);donde modo puede tomar el valor de GL_FRONT, GL_BACK o
GL_FRONT_AND_BACK. Utilizamos GL_BACK para eliminar caras posteriores, si
usamos GL_FRONT se eliminan las caras frontales. Si utilizamos GL_FRONT_AND_BACK se eliminan tanto las
caras frontales como las posteriores, quedando solamente los puntos y lneas que no forman polgonos.
La eliminacin de caras se desactiva mediante:glDisable(GL_CULL_FACE);
Supresin de Lneas y superficies ocultas Funciones OpenGL para suprimir superficies ocultas
Para usar las rutinas de deteccin de visibilidad mediante buffer de profundidad debemos solicitar que configure un buffer de profundidad y un buffer de refresco (el buffer del color), esto lo hacemos de la siguiente manera:
glutInitDisplayMode(GLUT_SINGLE|GLUT_RGB|GLUT_DEPTH);
Para inicializar el buffer de profundidad y el buffer del color hacemos:
glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT|GL_DEPTH_BUFFER_BIT);
Como los valores de profundidad en el sistema de coordenadas de pantalla 3D estn normalizados y quedan en el rango de cero a uno, esta instruccin asigna puros valores de 1.0 al buffer de profundidad.
La deteccin de la visibilidad se activa mediante:
glEnable(GL_DEPTH_TEST);
Y se desactiva mediante:
glDisable(GL_DEPTH_TEST);
Iluminacin
Reflexin difusa Ecuacin de Lambert Reflexin especular Modelado de la iluminacin Determinacin del vector Normal a un vrtice Sombreado de Gourad Sombreado de Phong Funciones de OpenGL para manejo de
Iluminacin Radiosidad Funciones OpenGL para Iluminacin
Reflexin difusa
(a)Reflexin especular perfecta
(b)Reflexin especular imperfecta
(c)Reflexin difusa
Reflexin difusa
Cuando la luz incide en un objeto opaco, la luz reflejada en su superficie lo har en todas direcciones de manera uniforme
L es el vector que indica la direccin de la fuente de luzN es el vector Normal (perpendicular) a la superficieV es el vector que indica la posicin del observador
Reflexin difusa
La brillantez de una superficie donde la luz es reflejada de forma difusa no depende de la posicin del observador sino de la inclinacin de dicha superficie respecto a la fuente de luz
A la reflexin difusa tambin se le conoce como reflexin Lambertiana
Ecuacin de Lambert
Para mltiples fuentes de luz se convierte en:
n
nni,d.NLII
N
Reflexin especular
Is= I
icosn = I
i(R.V)n
donde Ii
es la intensidad de luz incidente
es el ngulo entre la direccin del
observador V y la direccin espejo R.
n es un ndice que indica el grado de
perfeccin de la superficie
Modelado de la iluminacin
Modelo local. Es aquel que solo toma en cuenta la luz que llega
directamente de la fuente de luzEj Modelo de Iluminacin de Phong Modelo Global.Es el que considera no solo la luz que llega de
manera directa sino aquella que llega de manera indirecta (reflejada de otros objetos)
Ej Iluminacin por proyeccin de rayosEj Radiosidad
Modelado de la iluminacin
Iluminacin directa solamente(Modelo de iluminacin local
Iluminacin directa e indirecta(Modelo de iluminacin global)
Modelado de la iluminacin
I = kaIa+ I
i(k
d(L.N) + k
s(R.V)n)
El modelo de iluminacin de Phong (1975) toma en cuenta que en una superficie ocurre en cierto grado la reflexin difusa, en cierto grado la reflexin especular y un trmino denominado luz ambiental donde se trivializa la iluminacin indirecta
Modelado de la iluminacin
I = kaIa+ I
i(k
d(L.N) + k
s(R.V)n)
El modelo de iluminacin de Phong (1975) toma en cuenta que en una superficie ocurre en cierto grado la reflexin difusa, en cierto grado la reflexin especular y un trmino denominado luz ambiental donde se trivializa la iluminacin indirecta
Modelado de la iluminacin
Ka es el coeficiente de reflexin de la
superficie para la luz ambiental; kd es el
coeficiente de reflexin difusa y ks es el
coeficiente de reflexin especular
Un coeficiente de reflexin es la proporcin de luz incidente que es reflejada por una superficie.
I = kaIa+ f
attIi(k
d(L.N) + k
s(R.V)n) donde f
att=1/(d2)
I = kaIa+ I
i(k
d(L.N) + k
s(R.V)n)
Al modelo de iluminacin de Phong se le puede incluir un factor de atenuacin de la luz que dependa de la distancia a la fuente de luz d
Modelado de la iluminacin
1.El costo de la iluminacin de Phong se puede reducir si se hacen las sig.
consideraciones:
o La fuente de luz est muy lejos (en infinito), entonces L es constante
o El observador est muy lejos, entonces V es constante
Para transformaciones geomtricas
consideramos un observador muy lejano y para
clculo de iluminacin consideramos una fuente de
luz muy lejana.
El vector H
El vector R es muy costoso de detrerminar, entonces definimos el vector H:
H = (L+V)/2
Ahora,I = k
aIa+ I
i(k
d(L.N) + k
s(N.H)n)
El trmino (N.H) vara de la misma forma que (R.V)Estas simplificaciones implcan que I = f(N)
Modelado de la iluminacin
Iluminacin de Phong para diferentes valores de Ks y Kd variando desde 0.0 a 1.0 con incrementos de 0.2 (Ka=0.7 y n=10.0 en todas las imgenes)
Modelado de la iluminacin
Iluminacin para diferentes valores de Ksy de n (Ka=0.7, Kd=1.0 para todas las imgenes)
Determinacin del vector Normal a un vrtice
NA= (N
1+ N
2+ N
3+ N
4)/4
La normal a un vrtice se define como el promedio de las normales a los polgonos de los que forma parte el vrtice en cuestin
Ejemplo:
Determinacin del vector Normal a un vrtice
Por supuesto, primero debemos determinar la normal en cada plano
(x1,y1,z1)
W
V
(x2,y2,z2)
(x0,y0,z0)
N V = (x1,y1,z1)(x0,y0,z0)
W = (x2,y
2,z
2)(x
0,y
0,z
0)
N = V x W
= (vx,v
y,v
z)x(w
x,w
y,w
z)
= ((vywz- v
zwy),
(vzwx- v
xwz),
(vxwy- v
ywx))
Cada N debe ser normalizada:N = (N
x/|N|, N
y/|N|, N
z/|N|)
donde
|N| = sqrt(Nx2 + N
y2 + N
z2)
Sombreado de Gourad
El proceso de sombreado de Gourad de cada polgono de que est hecho el objeto consiste en:
1. Determinar el vector normal en cada uno de los vrtices del polgono
2. Aplicar el modelo de iluminacin de Phong o alguna variante para determinar la intensidad en cada vrtice
3. Interpolar linealmente las intensidades de los vrtices para determinar
Sombreado de Gourad
Sombreado de Gourad
El sombreado de Gourad evita que se vean las divisiones entre los polgonos que forman un objeto
Como la reflexin especular solo es calculada en los vrtices, la interpolacin de Gourad no maneja de manera adecuada la reflexin especular
Sombreado de Phong
Las normales a los vrtices se interpolan a travs de los polgonos
La intensidad de luz se calcula en cada pixel usando la normal interpolada
La luz especular en cada pixel se determina de manera adecuada
El costo de la interpolacin de Phong es mucho mayor que el de Gourad porque en el de Gouradla intensidad de luz solo se calcula en los vrtices
Sombreado de Phong
Sombreado de Phong
Funciones de OpenGL para manejo de Iluminacin
Para definir una fuente de luz, debemos establecer sus parmetros.
La siguientes dos lneas establecen una fuente de luz en la posicin (-2,2,2), el cuarto elemento del arreglo light_pos indica si los tres elementos anteriores del arreglo se deben interpretar como una posicin (uno) o como una direccin (cero) lo cual implica que la luz se considera local o muy lejana respectivamente.
GLFloat light_pos[]=(-2.0,2.0,2.0,1.0); glLightfv(GL_LIGHT0,GL_POSITION,light_pos);
Funciones de OpenGL para manejo de Iluminacin
Las siguientes dos lneas sirven para especificar la luz ambiental como blanca (primeros tres valores del arreglo light_Ka)
GLFloat light_Ka[]=(1.0,1.0,1.0,1.0); glLightfv(GL_LIGHT0,GL_AMBIENT,light_Ka); Las siguientes dos lneas sirven para especificar la
luz difusa como blanca (primeros tres valores del arreglo light_Kd)
GLFloat light_Kd[]=(1.0,1.0,1.0,1.0); glLightfv(GL_LIGHT0,GL_DIFFUSE,light_Kd);
Funciones de OpenGL para manejo de Iluminacin
Las siguientes dos lneas sirven para especificar la luz especular como blanca (primeros tres valores del arreglo light_Ks)
GLFloat light_Ks[]=(1.0,1.0,1.0,1.0);
glLightfv(GL_LIGHT0,GL_SPECULAR,light_Ks);
Funciones de OpenGL para manejo de Iluminacin
Los coeficientes de reflexin dependen del material del que estn hechos los objetos.
Las siguientes dos lneas sirven para especificar una superficie que al incidir luz ambiental blanca la reflejar roja
GLFloat material_Ka[]=(1.0,0.0,0.0,1.0); glMaterialfv(GL_FRONT,GL_AMBIENT,material_Ka); Las siguientes dos lneas sirven para especificar los
coeficientes de reflexin difusa para cada uno de los tres colores bsicos.
GLFloat material_Ka[]=(1.0,1.0,1.0,1.0); glMaterialfv(GL_FRONT,GL_DIFFUSE,material_Kd);
Funciones de OpenGL para manejo de Iluminacin
Las siguientes dos lneas sirven para especificar los coecientes de reflexin especular para cada uno de los tres colores bsicos.
GLFloat material_Ka[]=(1.0,1.0,1.0,1.0);
glMaterialfv(GL_FRONT,GL_SPECULAR,material_Kd);
Las siguientes dos lneas sirven para especificar que un objeto tiene luz propia y el color de esta.
GLFloat material_Ke[]=(1.0,1.0,1.0,1.0);
glMaterialfv(GL_FRONT,GL_EMISSION,material_Ke);
Funciones de OpenGL para manejo de Iluminacin
La siguiente lnea sirve para especificar que tan perfecta es la reflexin especular, es decir, el exponente n del modelo de iluminacin de Phong
Por ejemplo, para asignar el valor de 10.
glMaterialfv(GL_FRONT,GL_SHININESS,10);
Iluminacin por proyeccin de rayos
Es un mtodo de iluminacin global(toma en cuenta la iluminacin indirecta)
Este mtodo modelala reflexin especularpero no la difusa
El mtodo es dependiente de laposicin del observador
Iluminacin por proyeccin de rayos
La proyeccin recursiva de rayos es un mtodo que resuelve simultneamente los siguientesproblemas:
Deteccin de superficies visibles
Sombreado por iluminacin directa
Agregar efectos de reflexin especular global
Determinacin de la geometra de las sombras
Iluminacin por proyeccin de rayos
El primer trmino es la contribucin local proviene directamente de la fuente de luz y se calcula con el Modelo de iluminacin de Phong
El segundo es la cantidad de luz reflejada que proviene de la direccin de reflexin de otro punto Pr (iluminacin indirecta)
El tercero es la cantidad de luz reflejada que proviene del punto Pt en la direccin de refraccin (iluminacin indirecta)
Este es un modelo recursivo pues I(Pr) e I(Pt) tambin se determinan usando la misma frmula
Iluminacin por proyeccin de rayos
Para implementar este mtodo conviene construir un rbol donde se van guardando las diferentes contribuciones de luz
Las hojas de este rbol son las primeras en tener completa su informacin
La raz es la ltima en completarla, entonces se puede decir cual es la intensidad de luz que corresponde a un pixel.
La altura del rbol es un parmetro que se interpreta como el nmero de intersecciones que se desea encontrar cuando se le da seguimiento al rayo,
Un rbol de mayor altura corresponde con una mejor renderizacin pero evidentemente mas costosa
Iluminacin por proyeccin de rayos
Iluminacin por proyeccin de rayos
Para encontrar la direccin de refraccin T usamos la ley de Snell
NLT 12
12
2
1 cos
cos
Iluminacin por proyeccin de rayosEjemplo
Iluminacin por proyeccin de rayosEjemplo
Profundidad cero Profundidad uno
Iluminacin por proyeccin de rayosEjemplo
Iluminacin por proyeccin de rayos
El mtodo tambin es til para determinar la forma de las sombras
Radiosidad
Modelo global (Luz directa a indirecta)
Modela la interaccin de la reflexin difusa
Mtodo independiente de la posicin del observador
Cada superficie es dividida en parches
Se basa en la ley de conservacin de la energa
Se asume que todas las superficies son difusores perfectos
Cada parche refleja luz recibida por cada uno de los dems parches
Las fuentes de luz se modelan como parches que emiten luz propia
Radiosidad
La interaccin entre parches depende su relacin geomtrica
Complejidad O(n^2) por lo que se procura hacer parches grandes
Las sombras se calculan correctamente Es un algoritmo que trabaja en el espacio de
definicin de objetos ya que es independiente del observador
Requiere de una etapa posterior de interpolacin similar a la de Gourad para que no se noten los parches
Radiosidad
Aiij
Aj 2
ji
i
ijAiAj dAdAr
coscos
A
1FF
Una vez que la escena se ha dividido en parches, se calcula la relacin entre cada par de parches para calcular los Factores de forma
Si r es razonablemente grande
Ajj2
ji
dAiAjij dAr
coscosFF
Radiosidad
La analoga de Nusseltdice que podemos considerar la proyeccin del parche j sobre la superficie de una semi-esfera centrada en el rea elemental dAi como equivalente a considerar el parche mismo
Radiosidad
Si usamos un semi-cubo es menos costoso calcular las proyecciones
RadiosidadEjemplo
RadiosidadEjemplo
Funciones OpenGL para Iluminacin
La Librera grfica OpenGl no tiene implementada ninguna tcnica de modelado global de iluminacin
Las funciones de iluminacin de OpenGL que presentamos anteriormente son una modificacin del modelo local de iluminacin de Phong
Recordar que un modelo local no contempla la luz indirecta
Sin embargo, podemos implementar las tcnicas de Radiosidad o de proyeccin de rayos y usar OpenGLpara desplegar los resultados