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Índice
Esquema 3
Ideas clave 4
1.1. Introducción y objetivos 4
1.2. Nociones matemáticas básicas 5
1.3. Álgebra lineal 14
1.4. Sistemas de ecuaciones lineales 23
1.5. Actividades resueltas para practicar 24
1.6. Referencias bibliográficas 30
A fondo 31
Test 33
Tema 1. Esquema 3
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Esquema
FUNDAMEN
TOS DE ÁLG
EBRA LINEA
L
ÁLGEBRA LIN
EAL
NOCIO
NES M
ATEMÁTIC
AS
BÁSIC
AS
▶Notación matemática
▶Números reales
▶Teoría de conjuntos
Sistem
a de ecuaciones lineales:
▶Compatibles
▶Incompatibles: determ
inados e
indeterminados
Vectores:
▶Operativa: suma, diferencia,
productor por un escalar, etc.
▶Propiedades: distancia y
ortogonalidad
Tema 1. Ideas clave 4
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Ideas clave
1.1. Introducción y objetivos
ste primer tema aprovecharemos para revisar unas nociones básicas
matemáticas que serán de utilidad, no solo en la asignatura de Matemáticas
Empresariales, sino en diferentes asignaturas que se cursarán en este
grado.
Lo primero que debes saber de las matemáticas es que estas tienen su propio
lenguaje, es a lo que nos referimos con notación matemática, y aprenderlo te será
útil para poder simplificar cálculos y enunciados de los problemas a resolver. Por otro
lado, debes recordar que lo números con los que trabajamos forman parte de un
conjunto al que denominamos conjunto de los números reales. Al comprender esto
estarás preparado para comenzar a operar y, por tanto, a trabajar con este conjunto
de números.
Los números en la esfera empresarial se relacionarán con datos, posiblemente el
registro de observaciones sobre tu propia empresa (unidades vendidas, registros de
salarios…). Es fundamental que relaciones ambos conceptos: el cálculo numérico con
el tipo de números (datos) que vas utilizar en tu día a día y, para ello, trataremos de
mostrarte ejemplos de datos o valores numéricos que te serán familiares.
En este tema, comprendidas las nociones básicas de matemáticas que acabamos de
comentar, vamos a utilizar una parte concreta de la denominada álgebra para
ayudarte a ordenar y operar con dichos valores numéricos. Nos referimos a los
vectores, matrices y sistemas de ecuaciones, los cuales te servirán no solo para
ordenar la información numérica de la que dispones, sino también para poder operar
con dicha información, pudiendo así resolver de modo sencillo determinados
problemas de relaciones de datos.
E
Tema 1. Ideas clave 5
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Así, utilizando terminología matemática, estructuramos el tema del siguiente modo:
Nociones matemáticas básicas.
Álgebra lineal. Vectores.
Sistemas de ecuaciones.
Los objetivos que se pretenden conseguir en este tema son:
Entender los símbolos matemáticos.
Trabajar con los conjuntos y los elementos que pertenecen a un conjunto.
Saber operar con los vectores.
Conocer las propiedades de los vectores.
1.2. Nociones matemáticas básicas
n estas nociones trataremos la notación matemática, el conjunto de los
números reales y una revisión de la teoría de conjuntos.
En este apartado se revisarán algunos conceptos matemáticos básicos y necesarios,
aunque no suficientes, para una asimilación adecuada de los diferentes conceptos
matemáticos que se tratarán en los diferentes temas de esta asignatura.
E
Tema 1. Ideas clave 6
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Notación matemática
Las matemáticas poseen un lenguaje específico propio para determinar de forma
exacta su información para evitar ambigüedades que lleven a error y/o confusión. El
lenguaje matemático tiene como objetivo simplificar y clarificar la comunicación
mediante una notación y estructura precisa y determinada para evitar así posibles
errores y/o equívocos.
Cuando hablamos de lenguaje matemático no sólo nos referimos a los símbolos, sino
también a su estructura y metodología de representación de sus contenidos.
Los símbolos se representan por caracteres gráficos únicos (∃, ∈, ∅, ∞, ≈, ∀, ∄, ∆,
R, Q, N, ∪, ∧, ∪, ∩, ≠, ≱, ∉, ⊂, ⊃, ∑, ∫, ∏, ∘, …) denominados logogramas. Estos
símbolos poseen un significado único y concreto careciendo de sinónimos, salvo
en muy contadas excepciones.
Los contenidos matemáticos se representan mediante expresiones formales
denominadas Definición, Proposición, Teorema, Corolario, Lema, Demostración…
Entre los logogramas básicos utilizados durante al desarrollo de la presente
asignatura tenemos las siguientes:
LOGOGRAMA SIGNIFICADO
Conjunto de los números naturales
Conjunto de los números enteros
ℚ Conjunto de los números racionales
Conjunto de los números reales
Conjunto de los números complejos
Tema 1. Ideas clave 7
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Igual a…
Mayor que…
Mayor o igual que…
Menor que…
Menor o igual que…
Aproximado a…
Distinto de…
∞ Infinito
∅ Conjunto vacío
| | Valor absoluto de
Conjunto de elementos…
, Intervalo abierto entre y : excluye ambos extremos
, Intervalo cerrado entre y : incluye ambos
extremos
∈ Pertenece a…, es miembro de…
∉ No pertenece a…, no es miembro de…
∪ Unión de…
∩ Intersección de…
∖ Diferencia de conjuntos
⊂ Subconjunto de…
⊃ Supraconjunto de…
⟹ Implicación: por lo tanto…
⟺ Doble implicación: si, y sólo si…
∧ Y lógico
Tema 1. Ideas clave 8
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∨ O lógico
∀ Para todo…
∃ Existe al menos uno…
∃! Existe y es único…
∄ No existe
| Tal que…
: Tal que…
Función de una variable real: ∈
, Función de dos variables reales: , ∈
, , … , Función de variables reales: , , … , ∈
! Factorial
Sumatorio
Productorio
⟶ Tiende a…
→ Límite de una función , cuando tiende a
∆ Incremento
Derivada de la función real
Derivada segunda de la función real
Derivada de una función real
, , … Derivada parcial de la función real , , …
∙ Integral de la función real con respecto a la
variable
Épsilon: valor infinitesimal independiente
Delta: valor infinitesimal dependiente
Tema 1. Ideas clave 9
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⋮ Vector columna de dimensiones
, , … , Vector fila de dimensiones
…
…
…
… ……
…
…
Matriz de elementos: filas por columnas
…
…
…
… ……
…
…
Determinante de elementos
… Elipsis horizontal
⋮ Elipsis vertical
Nota: en el vídeo sobre operadores matemáticos encontrarás ejemplos de la simbología
del lenguaje matemático que te ayudarán a entender los operadores.
Accede al vídeo a través del aula virtual
Sistemas de los números reales
Durante la presente asignatura, nos centraremos en el desarrollo de operaciones
matemáticas, cálculo y álgebra, dentro de lo que denominamos conjunto de los
números reales .
Tema 1. Ideas clave 10
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Simplificando su concepto, podríamos decir que los números reales son todos
aquellos que se pueden representar físicamente sobre un espacio unidimensional,
o lo que es lo mismo, a lo largo de una línea recta, que denominaremos Recta Real.
Figura 1. Recta Real
En la figura anterior comprobamos cómo se representar valores numéricos sobre la
Recta Real.
Como subconjuntos de los números reales , nos encontramos con los siguientes
conjuntos:
Números naturales : conjunto de los números enteros positivos:
, , , , …
Números enteros : conjunto de los números enteros:
… , , , , , , , , …
Números racionales ℚ : conjunto de los números que pueden representarte
mediante un cociente de números enteros :
ℚ … , , … , , … , , … , , … , , , … , , …
Adicionalmente a los conjuntos anteriores, los números reales incluyen todas
aquellas fracciones decimales arbitrarias existentes entre dos números racionales
ℚ cualesquiera, por ejemplo, los números , , √ , o cualquier otro que
pudiéramos definir según nuestro libre albedrío.
Tema 1. Ideas clave 11
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Al conjunto de los números reales positivos lo representaremos como .
Igualmente, el conjunto de los números reales negativos lo representaremos
como .
Teoría de conjuntos
Denominamos conjunto matemático a un grupo y/o colección de elementos
perfectamente definidos y que representan una o varias propiedades en común.
Entender la teoría de conjuntos es fundamental para el desarrollo de las aplicaciones
matemáticas. De manera intuitiva es fácilmente representable cuando manejamos
espacios de hasta tres variables. Sin embargo, la teoría matemática los estudia
multidimensionalmente, siendo n el número de variables teórico habitual. En este
apartado trataremos únicamente las principales características de pertenencia y
operatividad de conjuntos.
Pertenencia a un conjunto
Supongamos el conjunto de los ingresos y gastos de una empresa, , y definamos sus
ingresos como y sus gastos como , en donde definimos y como números
naturales que representan el orden de los distintos tipos de ingresos y gastos
respectivamente. El conjunto de ingresos y gastos de la empresa se define como:
, , . . , , , . .
O lo que es lo mismo:
, ∶ , ∈
Tema 1. Ideas clave 12
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Para definir los elementos de un conjunto se utiliza la notación y para indicar la
pertenencia de un elemento al conjunto utilizaremos la siguiente expresión:
∈
En el caso que un elemento no pertenezca al conjunto se notará como:
∉
En el ejemplo anterior, definiremos dos nuevos conjuntos en función de su
característica como ingreso o gasto, de la siguiente forma:
∶ ∈ y ∶ ∈
De donde podemos deducir las siguientes relaciones de pertenencia:
∈
∈
∉
∉
Subconjuntos
Siguiendo con el ejemplo del apartado anterior, podemos identificar a y a
como subconjuntos de que representaremos como:
⊂ y ⊂
Tema 1. Ideas clave 13
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Como regla general, diremos que un conjunto A es subconjunto de otro B si se verifica
que cualquier elemento del conjunto A es también elemento del conjunto B. Lo que
representaremos como:
⊂ ⇔ ∀ ∈ ⇒ ∈
Podemos verificar fácilmente como en nuestro ejemplo particular cualquier
elemento de y de están incluidos en , con lo que ambos conjuntos
cumplen con la condición de ser subconjuntos de .
Operaciones con conjuntos
Aunque se podrían combinar diferentes conjuntos de maneras muy variadas,
plantearemos solo tres operaciones básicas: la unión, la intersección y la diferencia.
Estas operaciones se definen respectivamente como:
∪ ∶ ∈ ∨ ∈
∩ ∶ ∈ ∧ ∈
∖ ∶ ∈ ∧ ∉
Aplicando dichas definiciones a nuestro ejemplo obtenemos los siguientes
resultados:
∪ y ∩ ∅
La intersección de nuestros conjuntos da como resultado el conjunto vacío debido a
la definición de ambos que hicimos inicialmente.
Ejemplo
Dados los conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, B = {2, 4, 6, 8, 10}, C = {1, 2, 3, 4,5}
y D = {1, 3, 5, 7, 9}.
Tema 1. Ideas clave 14
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∪ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10
∩ 2, 4
∖ 6, 7, 8, 9, 10
∪ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
1.3. Álgebra lineal
a mayoría de los modelos matemáticos se fundamentan en ecuaciones
lineales, a veces muy complejas, que habrá que resolver para extraer
conclusiones y decisiones. Los fundamentos matemáticos para estos cálculos
son tratados en una parte del álgebra matemática. Es por eso que en este apartado
trataremos algunas nociones básicas del álgebra lineal. En particular nos centraremos
en el estudio de los vectores, las matrices y los determinantes.
Nota: en el recurso titulado Álgebra lineal y sus aplicaciones encontrarás explicadas
las aplicaciones del álgebra lineal a la economía y la empresa.
Vectores
Denominaremos vector a un conjunto ordenado de elementos reales y lo
representaremos con una flecha sobre el nombre del vector:
Los vectores los podremos representar indistintamente en forma de fila; vector fila:
, , , … ,
L
Tema 1. Ideas clave 15
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También se puede representar en forma de columna; vector columna:
⋮
Los elementos de un vector se denominan componentes o coordenadas y
denominaremos dimensión al número de componentes del vector. Como ejemplo,
los términos independientes del sistema de ecuaciones lineales anterior constituyen
un vector de dimensión .
⋮
Ejemplo
Dado el vector 1, 2, 3, 1 es un vector fila de dimensión 4. También podemos
expresarlo en forma de columna:
1231
Operaciones con vectores
Igualdad:
Diremos que dos vectores y son iguales si poseen idéntica dimensión y los
valores cada uno de sus componentes son idénticos para las mismas posiciones:
⟺ ∀ ∈ ∧ ∀ ∈ ,
Tema 1. Ideas clave 16
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⋮ ⋮⟺ , ∀ …
Suma:
La suma de vectores se realiza sumando los valores de sus componentes, o
coordenadas, para cada posición correspondiente:
⟺ ∀ ∈ ∧ ∀ ∈ ∃ ∈ | ∀ …
⋮ ⋮ ⋮
Ejemplo
Sean dos vectores 1, 2, 3, 1 1, 4, 0, 3 la suma resulta:
1, 2, 3, 1 1, 4, 0, 3 0, 2, 3, 2
Diferencia:
De forma análoga a la suma, la sustracción de vectores se realiza restando los
valores de sus componentes, o coordenadas, para cada posición correspondiente:
⟺ ∀ ∈ ∧ ∀ ∈ ∃ ∈ | ∀ …
⋮ ⋮ ⋮
Tema 1. Ideas clave 17
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La diferencia de dos vectores idénticos nos dará como resultado el vector nulo:
⟺ ∀ ∈ ∧ ∀ ∈ , ∀ …
⋮ ⋮ ⋮⟺ , ∀ ,… ,
Ejemplo
Sean dos vectores 1, 2, 3, 1 1, 4, 0, 3 la diferencia resulta:
1, 2, 3, 1 1, 4, 0, 3 2, 6, 3, 4
Producto por un escalar:
El producto de un número real por un vector se realiza multiplicando cada
componente del vector por dicho número real:
∙ ⟺ ∀ ∈ ∧ ∈ ∃ ∈ | ∙ ∀ …
∙⋮
∙∙∙⋮∙
Se denomina producto por un escalar debido a que el vector se redimensiona o
escala en función del factor señalado por el número real.
Tema 1. Ideas clave 18
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Ejemplo
Sean un escalar 3 el vector 1, 2, 3, 1 el producto del vector por
un escalar resulta:
3 1, 2, 3, 1 3,6, 9, 3
Producto escalar:
La suma, la diferencia y el producto por un escalar de vectores nos proporciona un
nuevo vector de la misma dimensión. Sin embargo, el producto escalar de vectores
de idéntica dimensión nos va a proporcionar un número real, no un nuevo vector.
Definimos el producto escalar de vectores de la misma dimensión como la suma de
los productos de cada uno de los componentes de una misma posición:
∙ ⟺ ∀ ∈ ∧ ∀ ∈ ∃ ∈ | ∙ , ∀ …
⋮∙
⋮∙
Ejemplo
Sean dos vectores 1, 2, 3, 1 1, 4, 0, 3 el producto escalar de
los vectores es:
1, 2, 3, 1 1, 4, 0, 3
1 1 2 4 3 0 1 3 1 8 0 3 12
Tema 1. Ideas clave 19
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Propiedades de los vectores
Norma de un vector:
Se define norma o longitud de un vector , y lo representamos por ‖ ‖, a la raíz
cuadrada de su propio producto escalar:
‖ ‖ ∙ ∙
Ejemplo
Sea el vector 1, 2, 3, 1 la norma del vector es:
‖ ‖ ∙ 1, 2, 3, 1 1, 2, 3, 1 √1 4 9 1 √15
Distancia euclídea:
El valor de la distancia entre dos vectores, también llamada distancia euclídea, se
define por la norma de su diferencia:
∙
Tema 1. Ideas clave 20
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Ejemplo
Sean dos vectores 1, 2, 3, 1 1, 4, 0, 3 calculamos la distancia
euclídea:
1, 2, 3, 1 1, 4, 0, 3 2, 6,3, 4
√4 36 9 16 √65
Ortogonalidad:
Dos vectores son ortogonales, forman un ángulo de 90° entre sí, cuando su
producto escalar es nulo:
⟺ ∙
Ejemplo
Sean dos vectores 1, 2, 1 2, 1, 0 vamos a comprobar la
ortogonalidad:
1, 2, 1 2, 1, 0 2 2 0 0
Los vectores son ortogonales.
Vector unitario:
Un determinado vector será unitario si su norma vale 1:
⟺ ‖ ‖
Tema 1. Ideas clave 21
© Universidad Internacional de La Rioja (U
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Cualquier vector de norma no nula podrá convertirse en unitario si lo dividimos
por su norma:
⟹‖ ‖
Ejemplo
Sea el vector 1, 2, 3, 1 la norma del vector es:
‖ ‖ ∙ 1, 2, 3, 1 1, 2, 3, 1 √1 4 9 1 √15
Para obtener el vector unitario del vector a hacemos:
‖ ‖1, 2, 3, 1
√15
1
√15,
2
√15,√15
,1
√15
Comprobamos que se trata de un vector unitario:
‖ ‖ ‖ ‖∙‖ ‖
1
√15,
2
√15,3
√15,
1
√15
1
√15,
2
√15,3
√15,
1
√15
115
415
915
115
1515
1
Desigualdad de Cauchy‐Schwartz:
Se puede verificar que para cada par de vectores y se cumple:
∙ ‖ ‖ ∙
Tema 1. Ideas clave 22
© Universidad Internacional de La Rioja (U
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Ejemplo
Sean dos vectores 1, 2, 1 2, 1, 0 vamos a comprobar la
desigualdad de Cauchy‐Schwartz:
∙ ‖ ‖ ∙ ⇒ | 1, 2, 1 2, 1, 0 | ‖ 1, 2, 1 ‖ ∙ ‖ 2, 1, 0 ‖ ⇒
0 √6 √5 √30
Se cumple la desigualdad.
Triángulo de Minkowsky:
Como consecuencia de la desigualdad de Cauchy‐Schwartz se puede verificar que
para cada par de vectores y se cumple:
‖ ‖
Ejemplo
Con los mismos vectores del ejercicio anterior vamos a comprobar la desigualdad
del Triángulo de Minkowsky:
‖ ‖
⇒ ‖ 1, 2, 1 2, 1, 0 ‖ ‖ 1, 2, 1 ‖ ‖ 2, 1, 0 ‖ ⇒
‖ 3, 3,1 ‖ ‖ 1, 2, 1 ‖ ‖ 2, 1, 0 ‖
√19 √6 √5 √30
Se cumple la desigualdad.
Nota: en el recurso titulado Operaciones con vectores encontrarás varios ejercicios
resueltos de las operaciones con vectores que hemos desarrollado en este apartado.
Tema 1. Ideas clave 23
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1.4. Sistemas de ecuaciones lineales
enominaremos ecuación lineal con incógnitas a una expresión
matemática del tipo:
∙ ∙ ∙ ⋯ ∙ ∙
En donde los valores , con , representan los coeficientes de las incógnitas
y al valor representa el término independiente de la ecuación lineal.
Diremos que una colección de términos , , , … , , es solución de la
ecuación lineal anterior si se verifica la igualdad: ∙ ∙ ∙ ⋯
∙ ∙
Si el término independiente es nulo, se dice que la ecuación lineal es homogénea.
En caso contrario se dirá que es no homogénea.
Un sistema de ecuaciones lineales se suele expresar como un conjunto de
ecuaciones con incógnitas cada una, que implica la existencia de
coeficientes reales y de términos independientes :
∙ ∙ ∙ ⋯ ∙ ∙
∙ ∙ ∙ ⋯ ∙ ∙
∙ ∙ ∙ ⋯ ∙ ∙
⋮
∙ ∙ ∙ ⋯ ∙ ∙
∙ ∙ ∙ ⋯ ∙ ∙
Todos y cada uno de los coeficientes está perfectamente ordenado, ya que
pertenece exclusivamente a la ‐ésima incógnita ( ) de la ‐ésima ecuación.
D
Tema 1. Ideas clave 24
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Se dice que un conjunto ordenado , , , … , , es una solución al sistema
si se verifica que sustituyendo , , , … , ∧
en todas las ecuaciones simultáneamente, se verifican todas las igualdades del
sistema. Si el sistema posee solución se le denomina sistema compatible. En caso
contrario, se le denomina sistema incompatible.
A los sistemas compatibles con solución única les denominaremos sistemas
compatibles determinados mientras que a los que posean infinitas soluciones les
denominaremos sistemas compatibles indeterminados.
Un sistema de ecuaciones lineales se denominará homogéneo si todos sus términos
independientes son nulos , ∀ … . En caso contrario el sistema será no
homogéneo.
Una vez se hayan estudiado matrices y determinantes, analizaremos algunos
métodos para resolver los sistemas de ecuaciones lineales.
Nota: en el recurso titulado Sistemas de ecuaciones. Aplicación empresarial y
financiera encontrarás muchos ejemplos prácticos de la resolución de sistemas de
ecuaciones en modelos empresariales y financieros.
1.5. Actividades resueltas para practicar
Actividad 1
Sean los vectores:
3, 1 , 2, 2
Tema 1. Ideas clave 25
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12,32,
√52,√63
Calcular las siguientes sumas y restas:
, 2
,
La suma se calcula sumando coordenada a coordenada:
3, 1 2, 2
3 2, 1 2
1, 3
En la siguiente suma tenemos el producto de un vector por un escalar. El escalar pasa
multiplicando a las dos coordenadas del vector:
2 3, 1 212,32
3, 1 212, 2
32
3, 1 1,3
3 1, 1 3
4,2
La siguiente suma es:
3, 1√52,√63
3√52,√63
1
Tema 1. Ideas clave 26
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Finalmente, tenemos que calcular una resta, pero podemos verla como una suma de
una vector y un vector multiplicado por el escalar ‐1:
1
12,32
2, 2
12,32
2,2
12
2,32
2
12,42,32,42
52,72
Actividad 2
Sean los vectores:
2, 5
1, 3
0, 1
1, 0
Calcular los siguientes productos escalares:
, ,
, ,
Recordamos que podemos calcular el producto escalar de dos vectores multiplicando
sus coordenadas:
, ,
Tema 1. Ideas clave 27
© Universidad Internacional de La Rioja (U
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El primer producto es:
2, 5 1, 3
2 1 5 3
2 15 13
El segundo producto es:
2, 5 0, 1
2 0 5 1
5
El tercer producto es:
2, 5 1,0
2 1 5 0
2
El cuarto producto es:
1, 3 1, 3
1 1 3 3
2
El quinto producto es:
0, 1 1,0
0 1 1 0
0
Tema 1. Ideas clave 28
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Por último, el sexto producto es:
0
Aquí hemos aplicado la propiedad conmutativa del producto escalar de vectores.
Actividad 3
Calcular el módulo de los siguientes vectores del plano:
0, 2 , 2, 0
2,0 , 0, 2
√2, √2
¿Un vector queda determinado por su módulo? Es decir, si dos vectores tienen el
mismo módulo, ¿son el mismo vector?
Calculamos el módulo del primer vector:
0, 2
| | 0 2
√4 2
Calculamos el módulo del segundo vector:
2, 0
| | 2 0
√4 2
Tema 1. Ideas clave 29
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Calculamos el módulo del tercer vector:
2, 0
| | 2 0
√4 2
Calculamos el módulo del cuarto vector:
0, 2
0 2
√4 2
Calculamos el módulo del quinto vector:
√2, √2
| | √2 √2
√2 2
√4 2
Tema 1. Ideas clave 30
© Universidad Internacional de La Rioja (U
NIR)
1.6. Referencias bibliográficas
Barbolla R. y Sanz P. (1998). Álgebra lineal y teoría de matrices. Madrid: Prentice Hall.
Ecobar, D. Introducción a la economía matemática. Bogotá: Universidad de los Andes.
Fraleigh, J. B. y Beauregard. (1995). Linear algebra. Boston: Addison Wesley.
Grossman, S. (1992). Álgebra lineal. Madrid: McGraw‐Hill.
Grossman, S. (2008). Álgebra lineal y aplicaciones. Madrid: McGraw‐Hill.
Haeussler, E. F. (2008). Matemáticas para administración y economía. México D. F.:
Pearson Prentice Hall.
Hill, R. (1997). Álgebra lineal elemental. México D. F.: Pearson Prentice Hall.
Kolman, B. (2005). Álgebra lineal con aplicaciones y Matlab. México D. F.: Prentice
Hall.
Weber, J. (1982). Matemáticas para administración y economía. México D. F.:
Ediciones Harla.
Tema 1. A fondo 31
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A fondo
Álgebra lineal y sus aplicaciones
Lay, D.C. (2007). Álgebra lineal y sus aplicaciones. México D.F.: Pearson Educación.
Lee el primer capítulo (1‐104) que trata de los fundamentos
teóricos y aplicación de los conceptos estudiados en el tema a
situaciones reales en el ámbito de la economía, la empresa y la
ingeniería.
Operaciones con vectores
Apuntes sobre álgebra lineal del profesor Alfredo Bautista Santa‐Cruz en la
Universidad Autónoma de Madrid.
Accede al documento a través del aula virtual o desde la siguiente dirección web:
https://www.vitutor.com/geo/vec/b_2.html
Tema 1. A fondo 32
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Sistemas de ecuaciones. Aplicación empresarial y financiera
Canós, M. J., Ivorra, C. & Liern, V. (2001). Matemáticas para la economía y la empresa.
Universidad de Valencia.
Apuntes sobre modelos matemáticos asociados al planteamiento de sistemas en
modelos de economía y empresa. También encontrarás información sobre el álgebra
de matrices y determinantes, así como la resolución de sistemas matriciales que
veremos en los temas siguientes.
Accede al documento a través del aula virtual o desde la siguiente dirección web:
https://www.uv.es/vbolos/docencia/mi/matematicas_para_la_economia_y_la_em
presa.pdf
Tema 1. Test 33
© Universidad Internacional de La Rioja (U
NIR)
Test
1. Indicar la expresión correcta para la expresión “para cualquier valor infinitesimal
positivo existe algún valor infinitesimal positivo tal que el valor absoluto de la
diferencia de dos puntos e del dominio de definición de una función es
menor que implica que el valor absoluto de la diferencia de sus imágenes es
inferior a ”:
A. ∀ 0 ∧ ∃ 0: | | ⟺ | | .
B. ∀ 0∃ 0: | | ⟹ | | .
C. ∀ 0∃ 0: | | ⟹ | | .
D. ∀ 0∃ 0: | | ⟺ | | .
2. Determinar qué conjunto números no son números racionales: ∃ ∈
,… | ∉ ℚ:
A. √9, 2, 1,1,2,3, √16 .
B. 2,4,6,8,10,12, … .
C. 5,0, 1 3 , 6, 3 .
D. 1, , 3,5,7,9 .
3. Dados tres conjuntos A, B y C definidos en el conjunto , determinar cuál de las
siguientes afirmaciones es falsa:
A. ⊂ ⟺ ∩ .
B. ∖ ∖ .
C. ∖ ∖ ∖ ∖ .
D. ∪ ∩ ∪ ∩ ∪ .
Tema 1. Test 34
© Universidad Internacional de La Rioja (U
NIR)
4. En un sistema de ecuaciones lineales con incógnitas, el término
representa:
A. El coeficiente de la incógnita en la ecuación .
B. El coeficiente de la ecuación en la incógnita .
C. El término independiente de la incógnita en la ecuación .
D. El término independiente del coeficiente en la ecuación .
5. Indicar cuál de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera:
A. Los sistemas de ecuaciones lineales no homogéneos son incompatibles.
B. Los sistemas de ecuaciones lineales determinados poseen infinitas
soluciones.
C. Los sistemas de ecuaciones lineales compatibles poseen solución única.
D. Los sistemas de ecuaciones lineales indeterminados son compatibles.
6. Indicar cuál de los siguientes conjuntos no representa un vector:
A. Incógnitas de un sistema de ecuaciones con incógnitas.
B. Términos independientes de un sistema de ecuaciones con incógnitas.
C. Coeficientes de un sistema de ecuaciones con incógnitas.
D. Conjunto ordenado de elementos reales.
7. Señala cuál de las siguientes afirmaciones es falsa:
A. Los elementos de los vectores unitarios son todos unitarios.
B. Los elementos de los vectores nulos son todos nulos.
C. Los vectores unitarios tienen longitud unitaria.
D. Cualquier vector no nulo puede convertirse en unitario.
Tema 1. Test 35
© Universidad Internacional de La Rioja (U
NIR)
8. Dados los vectores 2,1 , 1, 2 y 4, 3 , resolver el sistema de
ecuaciones lineales definido por ∙ ∙ :
A. 1 ∧ 2.
B. 2 ∧ 1.
C. 1 ∧ 2.
D. 1 ∧ 2.
9. Dados los vectores 1,2,5,3 y 2,1, 2, determinar cuál ha de ser el
valor del componente para que ambos vectores sean ortogonales:
A. 3.
B. 2.
C. 0.
D. 1.
10. Considerando los vectores y del ejercicio anterior, y asumiendo que el valor
del componente del vector es nulo, ¿cuál sería su distancia euclídea?
A. √52.
B. 8.
C. 2√15.
D. 7√2.