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UNIDAD 2CONCEPTOS Y FUNDAMENTOS DELGICA DIFUSA.
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CONCEPTOS Y
FUNDAMENTOS DELGICA DIFUSA.2.2 Conjuntos Difusos, Operadores yPropiedades de Conjuntos Difusos
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2.2 CONJUNTOSDIFUSOS,
OPERADORES YPROPIEDADES DE
CONJUNTOSDIFUSOS2.2.1 Conjunto Clsicos.
2.2.2 Conjuntos Difusos.
2.2.3 Operaciones de conjuntos difusos.
2.2.4 Propiedades de conjuntos difusos.
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2.2.1 Conjunto Clsicos.
Un conjunto se puede definir de dos formasdistintas: (1) al enumerar sus elementos, o (2) aldescribir las propiedades comunes de sus
elementos. La segunda es mas utilizada que la primera por
tres razones: (a) Es ms consistente que laprimera; (b) Expresa explcitamente elsignificado de un conjunto; (c) Puede serutilizada para reconocer nuevos elementos deun conjunto cuando las propiedades de los
elementos cambian o cuando las propiedadesque los definen cambian.
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Operaciones en conjuntos Clsicos
Las tres operaciones bsicas en conjuntosclsicos son: unin, interseccin, ycomplemento
BxyAxxBADIFERENCIAXxAxxAOCOMPLEMENT
BxyAxxBANINTERSECCI
BxoAxxBAUNION
,
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Propiedades de las operaciones
bsicas en clsicosLas propiedades ms apropiadas
para definir a los conjuntos clsicos
y al mismo tiempo mostrar sussimilitudes con los conjuntosdifusos son las siguientes:
Ley Conmutativa A B B A
A B B A
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Propiedades de los conjuntos clsicos
Ley Asociativa
Ley Distributiva
A B C A B C
A B C A B C
CABACBACABACBA
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Propiedades de los conjuntos clsicos
Idempotencia
(Ley de tautologa)
Identidad = AX = A
= X = X
AAA
AAA
A
A
AA
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Propiedades de los conjuntos clsicos
Transitividad, si
Involucin ley de doblecomplementacin:
CAEntoncesCBA ,
AA
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Propiedades especiales en laoperacin de conjuntos
Las leyes de De-Morgan:
Las leyes del medio excluido. Existen dos leyes del medio excluido estas
son:
La ley del tercero excluido
(La ley del medio excluido)
La ley de contradiccin XAA
AA
BABA
BABA
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TODAS LAS PROPIEDADES DE LOS
CONJUNTOS CLSICOS LAS CUMPLENLOS CONJUNTOS DIFUSOS, SALVO LASLEYES DE CONTRADICCIN Y DELTERCERO EXCLUIDO.
Un conjunto clsico se convertir endifuso, justamente cuando se comiencen
a violar dichas leyes.
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2.2.2 Conjuntos Difusos
2.2.2.1 Tipos de funciones de membresa
Existen varios tipos de funciones demembresa, las ms utilizadas en la practicason: triangular, trapezoidal, forma decampana, Gaussiana y funcin sigmoidal.
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Funcin de Membresa Triangular
Se especifica mediantetres parmetros {a,b,c}:
cx
cxbbcxc
bxaabax ax
cbaxtriangular
0
0
,,:
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Funcin de Membresa Trapezoidal
Se especifica mediantecuatro parmetros
{a,b,c,d}:
dx
dxcbcxc
cxb
bxaabax
ax
dcbaxtriangular
0
1
0
,,,:
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Funcin de Membresa Gaussiana
Se especifica mediante dosparmetros {m,}, denotan el centro y
el ancho de la funcin,respectivamente:
2
2
exp,:
mx
mxgussiana
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Funcin de Membresa Forma deCampana
Se especificamediante tres
parmetros{a,b,c}: b
a
cxcbaxCampana
2
1
1,,:
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Cuatro tipos de funciones
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Funcin de MembresaSigmoidal Esta funcin aproxima una
funcin escaln (positivo infinito).
cxecxSigm
a1
1,a:
aa
c
1
0.5
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Funcin de Membresa S
bx
bxba
ab
bx
baxa
ab
axax
baxS
1
221
22
0
,:2
2
Esta funcin es una funcin de membresa suave con dosparmetros: ayb . El valor de membresa ser 0 para los
puntos por debajo de a, 1 para puntos arriba de b, y 0.5
para los puntos intermedios entre a y b.
a b(a+b)/2c
1
0.5
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Funcin de Membresa 1 y 2 La primera funcin se define con dos
parmetros: ay b. La funcin tiene un valor demembresa de 1 en el punto a, un valor de
membresa de 0.5 en a-b y a+b,respectivamente. A diferencia de una funcin S,la funcin decrece hacia cero asinttica mentesi se mueven sus valores desde el punto a.
211
1,:
b
axbax
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La otra funcin 2 , tiene cuatro parmetros yesta dada por:
rpx
rwrpx
rw
rpxlp
lpxxlwlp
lw
rwrplplwx 1,,,:2
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Funcin de Membresa 1 y 2
a-b a a+b lp-lw lp rp rp+rw
lw rw
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Hedges
Un hedgees un modificador de un conjuntodifuso . Al modificar el significado del conjuntooriginal se crea un conjunto difuso compuesto.
Los modificadores ms comnmente utilizadosson: Muy y Mas o menos (Very; More orLess):
)()()(
)()(
)()(2
xxx
xx
xx
AMoreOrLessAAvery
AAMoreOrLess
AAvery
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2.2.3 Operaciones de conjuntosdifusos
Vacuidad: Un conjunto difuso esta vaco sitodos los candidatos tienen MEMBRESA 0
(VACO), por ejemplo: El conjunto deocanos que comienzan con X
Complemento: El complemento de un
conjunto difuso es la cantidad que lamembresanecesita para alcanzar 1.
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Operaciones Bsicas Difusas
Contenimiento: en conjuntos difusoscada elemento debe pertenecer ms
al subconjunto que al conjunto msgrande.
Sea U un conjunto no difuso y M = [0,1], suconjunto asociado de membresa.
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Se dice que un conjunto difuso AU, estincluido en otro conjunto difuso BU, s:
A Bu u u U
A
U
B
U
uu
uu
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Operaciones Bsicas Difusas
Igualdad difusa: Sea U un conjunto nodifuso y M = [0,1], su conjunto asociado demembresa. Se dice que dos conjuntos difusos
AU y BU, son iguales s y solamente s:
A Bu u u U ,
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Operaciones Especiales Realizadas a
Los Conjuntos Difusos. Escalamiento difuso.- Si es unnmero real no negativo y Arepresenta un conjunto difuso,
entonces se define el escalamientodifuso como:
A =
AU
u u
0 1,
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Esta operacin, sirve para poder
escalar un conjunto difuso, y seutiliza en algunos mtodos deinferencia (producto-suma
algebraica) para realizar lostruncamientos de los conjuntosdifusos de salida a partir de un
nivel y en algunos mtodos dedefusificacin para sustituir a lasoperaciones de multiplicacin.
C
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Interseccin y Unin en ConjuntosDifusos
Se sabe que existen varias maneras derealizar las operaciones de conjuncin ydisyuncin difusas.
Adems de utilizar la conjuncin difusas min,
la disyuncin difusa max, se puede utilizar otrapareja de operadores para la conjuncin y
disyuncin difusas: el producto y la sumaalgebraicos, respectivamente. Y existe unnmero infinito de otras opciones.
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El conjunto de candidatos de operadores deconjuncin difusa, conocido como normatriangular o norma-tse define por una serie de
axiomas. Asimismo, el conjunto de operadoresde disyuncin difusas, llamados conormastriangulares, conormas-t, o normas-s estadefinido por un conjunto de axiomas dual. Se
definirn las normas-t y conormas-t utilizandolos axiomas siguientes:
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Operadores Tipo Normas-t
Las normas-t se utilizan para calcular losvalores de membresa de la interseccindedos o ms conjuntos difusos.
Los operadores que son clasificados dentrode las normas-t deben satisfacer ciertascondiciones, y no necesariamente cumplir
todas las propiedades mencionadas paralas operaciones bsicas de los conjuntosdifusos,
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las cuales fueron establecidasconsiderando a los operadores
min, max y complemento difuso,como operadores representativosde la conjuncin, disyuncin y
negacin difusa, respectivamente.Toda norma-t debe satisfacer las
siguientes condiciones:
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Las normas-t, definen una clasegeneral de operadores para losconjuntos difusos.
1 0 0 0 1 1
2
3
4
. , ; , , ,
. , , ;
. , , ;
. , , , , .
t t u t u u u U
t u u t u u si u u y u u
t u u t u u
t u t u u t t u u u
A A A
A B C D A C B D
A B B A
A B C A B C
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Definicin 1
Un operador norma-t, denotado como t(x,y) esuna funcin proyectada desde [0,1]x[0,1] a[0,1] que satisface las siguientes condiciones
para cualquier w, x, y, z, [0,1]:
1. (0,0)=0, t(x,1)= x
2. t(x,y) t(z,w) if xz and yw (monotonicity)3. t(x,y)= t(y,x) (commutativity)
4. t(x, t(y,z))= t(t(x,y),z) (associativity)
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Los operadores pertenecientes aesta clase de normas son, enparticular, asociativos y por lo tanto
es posible calcular los valores demembresa para la interseccindems de dos conjuntos difusos
mediante la aplicacin recursiva dealgn operador de norma-t.
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Las propiedades que estassatisfacen estn formuladasbajo las siguientes condiciones:
1 1 1 1 0 0
2
3
4
. , ; , , ,
. , , ;
. , , ;
. , , , , .
s s u s u u u U
s u u s u u si u u y u u
s u u s u u
s u s u u s s u u u
A A A
A B C D A C B D
A B B A
A B C A B C
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Definicin 2
Un operador norma-t, denotado como s(x,y) esuna funcin proyectada desde [0,1]x[0,1] a[0,1] que satisface las siguientes condiciones
para cualquier w, x, y, z, [0,1]:1. (1,1)=1, t(x,0)= x
2. s(x,y) s(z,w) if xz and yw (monotonicity)3. s(x,y)= s(y,x) (commutativity)
4. s(x, s(y,z))= s(s(x,y),z) (associativity)
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Las normas-t y las conormas-t serelacionan en un sentido dedualidad lgica, es decir:
uusuut BABA 1,11,
De tal manera que cualquier norma-t
puede ser generada a partir de una
conorma-t mediante la utilizacin de esta
transformacin.
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Tambin, las leyes de De Morganpueden ser aplicadas a las normas-ty conormas-t por medio de lautilizacin de algn operadoradecuado para la complementacin,
como: A Au u u U 1 ,
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De esta manera las leyes de DeMorgan para los conjuntos difusos,pueden quedar expresadas como:
ununsnuut
ununtnuus
BABA
BABA
,,
,,
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Lista De Parejas De Operadores
Normas-t Y Conormas-tSe presenta una serie de operadoresclasificados como operadores noparamtricos y que representan auna familia de operadores duales quese utilizan con frecuencia en los
sistemas difusos orientados haciacontrol, inteligencia, automatizacin,e informacin.
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Producto Y Suma Drstica
maneraotrade
uumaxsiuuminuut
BABABA
0
1,,
,1
maneraotradeuuminsiuumaxuus BABABA
1
0,,,1
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Producto Y Suma Acotada
1,0,2 uumaxuut BABA
uuminuus BABA ,1,2
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Producto Y Suma Einsteana
)(2,
3uuuu
uuuut
BABA
BABA
uu
uu
uus BA
BA
BA
1,3
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Producto Y Suma Algebraica
uuuut BABA ,4
uuuuuus BABABA ,4
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Producto Y Suma de Hamacher
)(,5
uuuu
uuuut
BABA
BABA
)(1 2,5 uu uuuuuus BABABABA
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Operador Mnimo Y Mximo
uuminuut BABA ,,6
uumaxuus BABA ,,6
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Los operadores producto - suma
acotada, producto - suma algebraicay los operadores mnimo - mximo,son los operadores ms utilizados
dentro de las aplicaciones de lalgica difusa en el rea de control,considerando su viabilidad de
implementacin en los sistemasbasados en microcontroladoresdigitales.
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Una propiedad importante de las normas-t esque todas las normas-t estn limitadas porarriba por el min y limitadas por abajo por el
producto drstico. Similarmente todas las conormas-t estn
limitadas por arriba por la suma drstica ylimitadas por abajo por el max.
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Teoremas 1 y 2
1. Todos los operadores norma-t, denotadopor t, son limitados por el producto drstico t1 ypor arriba por el min:
t1(x,y)t(x,y)min(x,y) 2. Todos los operadores conorma-t, denotado
por s, son limitados por el suma drstico s1 ypor arriba por el max:
max(x,y)s(x,y)s1(x,y)
2 2 4 P i d d d l j t
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2.2.4 Propiedades de los conjuntos
difusos
Los conjuntos difusos observan las propiedadesbsicas de los conjuntos clsicos, excepto las leyesdel medio excluido.
Considerando tres conjuntos difusos A, B y C, loscuales tienen como conjunto referencial al conjunto
U:
5
6.
4
8.
3
3.
2
5.
1
1
5
8.
4
7.
3
5.
2
0
1
1
5
4.
4
2.
3
7.
2
5.
1
0
5
2.
4
3.
3
5.
2
1
1
0
ByA
ByA
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Propiedades de los conjuntos difusos
Para que el conjunto A seapropiamente difuso se debe decumplir que:
Ley de contradiccinAA (0 0 .5 .3 .2)
Ley del Tercero excluidoAA U (1 1 .5 .7 .8)
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Representacin de las leyes del
medio excluido en conjuntos difusos
1
XTercero excluido
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1
X
La ley de contradiccin
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Propiedades Especiales
Cortes-.- Cuando se requiereindicar a un elemento u de A, quetpicamente pertenezca a l, sepuede condicionar que su valor demembresa sea mayor que ciertoumbral establecido (0,1]. Estodefine un conjunto difuso de nivel-que se representa como: A u u U u u UA , ,
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Tambin se define el corte- estrictocomo:
La funcin de membresa de un
conjunto difuso A, puede serexpresada en trminos de lasfunciones caractersticas de sus
cortes- (teorema de ladescomposicin), de acuerdo a lafrmula:
A u u U u u UA , ,
A Au min u u U sup , ,
,0 1
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Dado un conjunto difusocualquiera, se pueden discriminaralgunos de sus elementos menossignificativos mediante el uso delos cortes-. El nivel de recorte o
de inters queda determinadosegn el contexto donde seaplique.
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Elementos particulares dentro de los
conjuntos difusos Soporte.- El soporte de un
conjunto difuso A, es el conjunto
de los puntos para los cuales:
Segn la siguiente Tabla la
expresin que define al soportefinito del conjunto jovenes:
sop(joven) = {5, 10, 20, 30, 40}
Sop A u U u u U A , , 0
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Conjuntos Difusos Como ElementosDel Conjunto PotencialElementos
(edades)
Infante Adulto Joven Viejo
5 0 0 1 0
10 0 0 1 0
20 0 .8 .8 .1
30 0 1 .5 .2
40 0 1 .2 .4
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Considerando que xi es unelemento del soporte del conjuntodifuso A y que i es su grado demembresa en A.A = 1 /x1 + 2 /x2 +....+ n /xn.
Donde./ Se emplea para unir los elementos del
soporte con sus grados de membresa en A,y.+ Indica que los pares de elementos y grados de
membresa listados forman colectivamente la
definicin del conjunto A, en vez de cualquier
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Cardinalidad de conjuntos difusos
La cardinalidad de un conjunto es el nmerototal de elementos en el conjunto.
La cardinalidad de conjuntos difusos se utilizapara responder preguntas como por ejemplo:Cuntas personas son realmente viejas enun universo Edad?.
Por lo tanto, la cardinalidad juega un papel
importante en los sistemas de informacin yen las bases de datos difusas.
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La cardinalidad escalarde un conjunto
difuso A definido sobre un conjuntouniversal finito X, es la suma de losgrados de membresa de todos los
elementos de X en A.
Por ejemplo.
Para el conjunto viejo se tiene:
Xx
A xA
1.4118.6.4.2.1.00 viejo
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Tambin, La cardinalidad de un conjuntodifuso es utilizada al definir otraspropiedades, por lo que sirve como un factorde normalizacin.
De hecho el denominador (factor denormalizacin) de la ecuacin que define al
mtodo de defusificacin por centroide es lacardinalidad del conjunto difuso al serdefusificado.
El t ti l d t d l
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Elementos particulares dentro de los
conjuntos difusos
Altura.- La altura de un conjuntodifuso es el grado de membresams alto alcanzado por cualquierelemento en el conjunto. Es decir,el elemento que posee el mayorgrado de pertenencia. Se dice que
A es normal si su altura es 1, deotra forma es subnormal.
Alt A uu U
A
sup
El t ti l d t d l
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Elementos particulares dentro de los
conjuntos difusos
Punto de cruce.- Un punto decruce de A, es aquel punto u en
U cuyo grado de membresa en Avale A (u) = 0.5 (idealmente). Impulso difuso.- Un conjunto
difuso cuyo soporte est constituidopor un nico elemento uo, conA (uo) = 1; es referido como un
impulso difuso Elementos particulares dentro de los
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Elementos particulares dentro de los
conjuntos difusos
Un corte - de un conjunto difusoes un conjunto certero A , el cualcontiene todos los elementos delconjunto universal X que tienen ungrado de membresa en A mayorque o igual al valor especificado de:
xXxA A
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Por ejemplo, en el conjunto difuso"joven" y tomando en cuenta que=0.5, se tendr la expresin:
Al conjunto de todos los niveles (0,1 que representan distintoscortes- de un conjunto difuso
dado A se le denomina conjuntonivel de A.
30,20,10,55.0 Joven
XxnaparaxaA _lg__
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En un conjunto difuso cualquiera,se pueden discriminar algunos desus elementos menos significativosmediante el uso de los cortes-. Elnivel de recorte o de inters quedadeterminado segn el contextodonde se aplique.
P i i i d Id tid d R l i
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Principio de Identidad Resolucin
Basado en la notacin de cortes , unconjunto difuso puede ser descompuesto enmltiples conjuntos crip (conjuntos nivel-)utilizando diferentes valores . Intuitivamente,
cada nivel- especifica una rebanada de lafuncin de membresa.
Por lo tanto, se puede reconstruir una funcinde membresa original al apilar dichasrebanadas en orden.
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El fundamento para reconstruir una funcin demembresa de sus cortes- es el principio deidentidad resolucinde la teora de conjuntosdifusos.
Si A es un conjunto difuso discreto. Se puedenordenar los valores de membresa no igualesa cero de los elementos en el conjunto soporteen una lista de orden ascendente (sinduplicar): (0, 1, , n).
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El principio de identidad resolucinen la teora deconjuntos difusos establece que
A = 0 x A0 + 1 x A1 + + n x An
Donde + representa al operador de disyuncindifusa y,i x Ai representa un conjunto difuso tal como el
que se muestra a continuacin:
maneraotrade
xsi iAiA
ii 0
)(
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En otras palabras, el conjunto difuso original Apuede ser visto como la unin de todos esosconjuntos difusos construidos de un i en la
lista (
0 ,
1 , ,
n ) tal que: (1) su soporte esel corte nivel i de A, y (2) su funcin demembresa es plana en el valor alfa i . Laforma de la funcin de membresa i x Ai por
lo tanto es rectangular con una altura de icomo se ilustra en la siguiente figura:
Identidad Resolucin de un
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de t dad eso uc de uConjunto Difuso
A0.2 x A0.2
A0.1
A0.2
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Convexidad.- Una caracterstica
muy importante que deben deposeer los conjuntos difusos en lasaplicaciones de la lgica difusa es
la propiedad de convexidad.Un conjunto difuso es convexo si yslo si cada uno de sus cortes-
son conjuntos convexos. Por loanterior se puede decir que unconjunto difuso A es convexo s y
slo s:
1 i
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Esta condicin establece que el valor demembresa de cualquier elemento dado en elintervalo [u1, u2] no debera ser menor que elvalor de membresa de cualquiera de lospuntos entremos.
Intuitivamente, un conjunto difuso es convexosi su funcin de membresa no tiene un valle.
,1,0,,
.,1
21
2121
conyUuUu
uuminuu AAA
Ej l
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Si =0.3; u1=3; y u2=7 entonces: A[5.8]min[A(3), A(7)]
u u
A (u)
1
A (u)
1
u1=3 5.8 u2=7
A[u1+(1-)u2]
A(u1)
A(u2)
a
Ejemplo:
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Se puede demostrar que si A y B sonconjuntos convexos tambin lo es AB.
Un conjunto difuso se puede llamar "nmerodifuso" si es convexo y si al menos uno de suselementos posee un grado de membresa total,es decir, si es normal.
2.2.5 Interpretacin Geomtrica
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pde Conjuntos Difusos
Bart Kosko desarrollo una interpretacingeomtrica completa de un conjunto difuso enla cual un conjunto difuso es un punto en unespacio*. Por ejemplo: Si se considera ununiverso de discurso Ucon dos elementos u1yu2, U = {u1 , u2}, y si A es un conjunto difusoen Ucon las siguientes funciones de
membresa: A (u1) = a
B(u2) = b
Donde a y b estn en [0, 1]. Como se muestra
en la si uiente fi ura:
*L. A. Zadeh fue el primero en introducir el concepto de que un conjunto fifuso puede ser
visto comom un punto en un hipercubo
Dos vistas de un conjunto difuso (a) Vista normal de sufuncin de membresa y (b) una forma alternativa basada
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funcin de membresa, y (b) una forma alternativa basadaen una Interpretacin Geomtricadel conjunto difuso.
Una forma alternativa de visualizacin de una funcin de
membresa es considerar un cuadrado unidad de dosdimensiones, en el cual los ejes horizontal y verticalcorrespondan a los valores de membresa posibles de u1y u2 , respectivamente. Un sub-conjunto difuso de Ucorresponde a un punto en el cuadrado. En la figura (b)anterior, el conjunto difuso A esta representado por elpunto (a,b).
0 u1 u2
1
b
a
(a)
(u2)1
b
(1, 1)
0 a 1(u1)
(b)
(a,b)
Observaciones de la interpretacin geomtrica
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Observaciones de la interpretacin geomtricade un conjunto difuso:A un conjunto clsico sera interpretado como un
vrtice en el cuadrado. Por ejemplo, los vrticesde la figura (b) anterior; [(0,0), (0,1), (1,0), y(1,1)].
Un conjunto difuso normal corresponde a unpunto en la frontera del cuadrado.Un conjunto difuso subnormal corresponde a un
punto al interior del cuadrado.
La cardinalidad de un conjunto difuso A es ladistancia de Hamming entre el punto A y el origendel cubo. La distancia de Hamming entre dosvectores x= (x1, , xn) y y= (y1, , yn) es:
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),(
),(
AdA
obtenerpuedeSe
yxyxd
H
i
iiH
Esta representacin geomtrica puede ser extendida a
cualquier universo de discurso finito U. Un conjunto
difuso en dicho universo corresponde a un punto en unhipercubo N -dimensional, donde Nes el nmero de
elementos en U.
2 2 6 Teora de la posibilidad
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2.2.6 Teora de la posibilidad
Aun que la idea de distribucin de posibilidades paralela a la distribucin de probabilidad enmatemticas convencionales, realmente no
existe una diferencia significativa. Enparticular, la distribucin de posibilidad nonecesita satisfacer la propiedad aditiva delaxioma de probabilidad.
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Mientras una distribucin de probabilidadestablece la probabilidad de que una variabledada tome un cierto valor, una distribucin deposibilidad establece el valor posiblede la
variable o la posibilidad de que la variabletome un cierto valor.
Una distribucin de posibilidad, , relaciona elsoporte de un conjunto dado con el intervalo
[0, 1].
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Se puede ver a una distribucin de posibilidadcomo un mecanismo para interpretar unadeclaracin que involucra conjuntos difusos.
La declaracin, La Temperatura es Alta,
donde Alta se define como, Alta: T[0,1], seilustra como una distribucin de posibilidad, dela siguiente forma: (T)=Alta(T).
Declaraciones complejas involucran ms de un
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p jconjunto difuso trasladado a una distribucin deposibilidad, de hecho es precisamente como
interpretamos las declaraciones lingsticas,dando a priori un proceso de inferencia.
Por ejemplo: La declaracin, La Temperatura es
Alta pero no demaciada Alta, interpretada comouna distribusin de posibilidad en termino deconjuncin de los terminos Alta y NO MUY Alta,se expresa de la siguiente forma:
(T) = min(Alta(T), NO MUY Alta(T)).= min[Alta(T), 1-(Alta(T))2]
Distribucin de posibilidad de Alta y NO MUY
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Distribucin de posibilidad de Alta y NO MUYAlta
NOT MUY Alta Alta
Muy Alta
T
Medida de la Posibilidad y Medida
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yde la Necesidad
En general, el relacionar (matching) unadistribucin de posibilidad de una variable xcon una condicin x es A involucra hacer las
siguientes dos preguntas relacionadas: (1) Dada la distribucin de posibilidad de x
(denotada por (x) ), es posible que x este enA?
(2) Dada la distribucin de posibilidad (x),es necesaria para que x este en A?
Suponiendo que se conoce lo siguiente:
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p q g La edad de Juan es entre 20 y 25 aos.
Y considerando la siguiente condicin:Si la edad de una persona excede los 22 aos.
Cul es La distribucin de posibilidad de quela edad de Juan cumpla con la condicin
planteada?. En lgica clsica, la respuesta para laspreguntas (1) y (2) son o SI o NO ya que nila edad de Juan ni la condicin acerca de la
edad de la persona es difusa.
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Sin embargo, en general, la respuesta a cadapregunta es una materia de grado.
La respuesta a la pregunta (1) es una
posibilidad, y la respuesta a la pregunta (2)es una necesidad.
Se utilizar a Pos(A|X) para denotar laposibilidad de la condicin X es A dada ladistribucin de posibilidad X.
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Y Nec(A|X) para denotar la necesidad de lacondicin X es A dada la distribucin deposibilidad X.
Una ilustracin de la Relacin entre Necesidady Posibilidad es:
AB1
B2NOT A
La posibilidad y la necesidad son dos medidas
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p yrelacionadas.
Existen varias relaciones entre los valoresextremos (0 1) de stas dos medidas.
Primero, la total necesidad implica la totalposibilidad. Si una variable es necesariamente
A, entonces es posiblemente A. Segundo,Ninguna posibilidad implica ningunanecesidad. Tercero, una variable no es posibleque sea NOT A si y solo si es necesariamente
A. Para ilustrar lo anterior se puede observarel diagrama de Venn de la figura anterior.
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Si una variable no tiene la posibilidad de serNOT A, su distribucin de posibilidad nodebe tener ninguna interseccin con NOTA.
Por lo tanto, debe estar enteramentecontenida en A. B1 es un ejemplo de esto,pero B2 no.
Es posible que una variable sea NOT A si ysolo si no es necesariamente A.
Cuatro Relaciones
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Cuatro Relaciones
(1a) Nec(A|X) = 1 Pos(A|X) = 1 (1b) Pos(A|X) = 0 Nec(A|X) = 0 (2a) 1-Pos(A|X) = 1 Nec(A|X) = 1 (2b) Pos(A|X) = 1 1-Nec(A|X) = 1 Las expresiones 2a y 2b interpretan la NOT
mediante el operador de negacin difusa. Se
puede reescribir la expresin 2b como: (2b) 1-Pos(A|X) = 0 Nec(A|X) = 0
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Si se generalizan las expresiones 1a y 1b setiene:Nec(A|X) Pos(A|X)
La relacin 2a y 2b se pueden generalizar a: 1-Pos(A|X) = Nec(A|X)
La expresin anterior se puede utilizar paradefinir una medida de necesidad medianteuna medida de posibilidad.
Definicin de la medida de
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posibilidad La medida de posibilidadpara una variable X
satisface la condicin X es A dada unadistribucin de posibilidad X se definemediante:
Donde denota un operador de interseccindifusa, y U denota el universo de discurso de lavariable X.
Un operador de interseccin difusa utilizadocomnmente para calcular la medida deposibilidad es el operador min:
XAUXX i
APos
sup
)(),(minsup iXiAUX
X xxAPosi
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La medida de posibilidad de A dado X sedefine a ser la altura de su interseccin.
A
X
0.5
1
0 2 4 6 8 10
Resumen
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Resumen
Se definieron: Varios tipos de funciones de membresa. La ley de medio excluido y la ley de
contradiccin de la teora de conjuntosclsicos no se cumplen en la teora deconjuntos difusos.
Hedges son modificadores de conjuntos
difusos. Se plantearon los axiomas que observan los
operadores de conjuncin difusa y losoperadores de disyuncin difusa.
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La Cardinalidad de conjuntos difusos. La altura, corte alfa, principio de identidad
resolucin de conjuntos difusos. Convexidad de conjuntos difusos y nmero
difuso. Una interpretacin geomtrica de conjuntos
difusos. Medida de posibilidad y medida de necesidad
para determinar que tan bien una distribucinde posibilidad de una variable relaciona unacondicin difusa a una variable.
,DIFUSAS Y
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,DIFUSAS Y
ARITMTICA DIFUSA(PRINCIPIO DE
EXTENSIN)2.3.1 Relaciones Difusas.
2.3.2 Composicin de relaciones difusas.