F.T. de ángulos compuestos: MATEMÁTICA 5
F.T. de ángulos múltiples:
F.T. de la suma de dos ángulos: F.T. de la diferencia de dos ángulos:
Sen (α + β) = Sen α.Cos β + Cos α.Sen β
Cos (α + β) = Cos α.Cos β - Sen α.Sen β
Tg α + Tg βTg (α + β) =
1 - Tg α .Tg β
Cotg α. Cot β - 1Ctg (α + β) =
Cotg β + Cotg α
Sen (α - β) = Sen α.Cos β - Cos α.Sen β
Cos (α - β) = Cos α.Cos β + Sen α.Sen β
Tg α - Tg βTg (α - β) =
1 + Tg α .Tg β
Cotg α. Cot β + 1Ctg (α - β) =
Cotg β - Cotg α
F.T. de ángulo doble:
2 2
2
2
2
2
Sen 2α = 2.Sen α.Cos α
Cos α - Sen α
Cos 2α 1- 2.Sen α
2.Cos α - 1
2Tg αTg 2α =
1 - Tg α
Cotg α - 1Ctg 2α =
2.Cotg α
2α
2Tg α 1 + Tg2α
1 - Tg2α
2
2
2
2Tg αSen 2α =
1 + Tg α
1 - Tg αCos 2α =
1 + Tg α
F.T. de ángulo triple
3
3
3
2
3
2
Sen 3α = 3.Sen α - 4.Sen α
Cos 3α = 4.Cos α - 3.Cos α
3.Tg α - Tg αTg 3α =
1 - 3.Tg α
3.Cotg α - Cotg αCtg 3α =
1 - 3.Cotg α
Sen 3α = 4.Sen α - Sen (60° - α).Sen (60° + α)
Cos 3α = 4.Cos α - Cos (60° - α).Cos(60° + α)
Tg 3α = Tg α - Tg (60° - α).Tg (60° + α)
Sen 3α = 2.Cos 2α + 1
Sen α
Cos 3α = 2.Cos 2α - 1
Cos α
Tg 3α 2.C =
Tg α
os 2α + 1
2.Cos 2α - 1
F.T. de ángulos múltiples: MATEMÁTICA 5
F.T. del ángulo mitad
α 1 - Cos αSen =
2 2
α 1 + Cos αCos =
2 2
α 1 - Cos αTg =
2 1 + Cos α
α 1 + Cos αCtg =
2 1 - Cos α
± :se elige de acuerdo al signo
que tenga la F.T. en el cuadrante
αen el cual se ubica
2
2
2
α2Sen = 1 - Cos α
2
α2Cos = 1 + Cos α
2
α Tg = Cosec α - Cotg α
2
α Ctg = Cosec α + Cotg α
2
3
2
α2 Sen = 2 - 2 + 2 +...+ 2 + 2 Cos α
2
α2 Cos = 2 + 2 + 2 +...+ 2 + 2 Cos α
2
Ejemplos aplicativos:
16 α2 - 2 + 2 + 2 Cos 16 α 2 Sen 2 Sen 2α
2
4 α2 + 2 + 2 Cos 4 α 2 Cos 2 Cos α
2
2
n
n
6
6 radicales
8
8 radicales
8α α - 2 +...+ 2 + 2 Cos 8α 2 Sen 2 Sen
2 8
64α α2 + 2 +... + 2 + 2 Cos 64α = 2 Sen 2 Cos
2 4
Observaciones
"Aprendamos a discrepar, a tolerarnos mutuamente, sin complicidades ni claudicaciones."
HAYA DE LA TORRE, VICTOR RAUL
Transformaciones trigonométricas MATEMÁTICA 5
Transforma a producto las siguientes
expresiones:
A) Sen 42° + Sen 24°
B) Sen 5α - Sen α
C) Cos 8α + Cos α
D) Cos 40° + Cos 60°
Simplificar:
J = Cos 20° + Cos 100° + Cos 140°
U = 2.Sen 40°.Cos 20° - Sen 20°
A = Cos 10° + Cos 110° + Cos 130°
N = Sen 18°. Cos 4° - Cos 12° . Sen 10°
Ejercicios de aplicación:
Expresar como suma o
diferencia, según convenga,
las siguientes expresiones:
A) 2.Sen 40° . Cos 12°
B) 2.Cos 8 . Sen 2
C) 2.Cos 20° . Cos 8°
D) 2.Sen 5 . Sen 3
2n - 1π 3π 5π 1Cos + Cos + Cos + ... + Cos =
2n + 1 2n + 1 2n + 1 2n + 1 2
2n2π 4π 6π 1Cos + Cos + Cos + ... + Cos = -
2n + 1 2n + 1 2n + 1 2n + 1 2
Donde: n
Propiedad:
π 3π 5π 7 1 Cos + Cos + Cos + Cos =
9 9 9 9 2
π 3π 5π 29 1 Cos + Cos + Cos + ... + Cos =
31 31 31 31 2
2π 4π 6π 1 Cos + Cos + Cos = -
7 7 7 2
2π 4π 6π 26π 1 Cos + Cos + Cos + ... + Cos = -
27 27 27 27 2
α + β α - βSen α + Sen β = 2.Sen . Cos Siendo : α > β
2 2
α + β α - βSen α - Sen β = 2.Cos . Sen Siendo : α > β
2 2
α + β α - βCos α + Cos β = 2.Cos . Cos Sien
2 2do : α > β
α + β α - βCos β - Cos α = 2.Sen . Sen Siendo : α > β
2 2
Transformaciones de suma o diferencia a producto (factorización trigonométrica )
Transformaciones de producto a suma o diferencia ( α > β )
2.Sen α.Cos β = Sen (α + β) + Sen (α - β)
2.Cos α.Sen β = Sen (α + β) - Sen (α - β)
2.Cos α.Cos β = Cos (α + β) + Cos (α - β)
2.Sen α.Sen β = Cos (α - β) - Sen (α + β)
Ejemplos:
Propiedad: Si: α + β + = 180°; entonces:
α βSen α + Sen β + Sen = 4.Cos . Cos . Cos
2 2 2
α βCos α + Cos β + Cos = 4.Sen . Sen . Sen
2 2 2
Tg α + Tg β + Tag = Tg α . Tg β . Tag
"Jamás tienes una cosa, hasta que la das."
HEMINGWAY, ERNEST
Aplico lo aprendido MATEMÁTICA 5
"La felicidad está en nosotros mismos. Somos felices porque amamos, no porque nos amen."
MADRE TERESA DE CALCUTA
Ejercicio N°:1 Transforma a producto las siguientes expresiones:
A) Sen 32° + Sen 20°
B) Sen 9α - Sen 3α
C) Cos 24° + Cos 16°
D) Cos 10° - Cos 40°
2.Sen 6α.Cos 4α =
2.Cos 40°.Sen 18° =
2.Cos 74°.Cos 12° =
2.Sen 5α.Sen α =
Ejercicio N°:2 Escribe como suma o diferencia las siguientes expresiones:
G = Sen 10° + Sen 50° - Sen 70° =
Ejercicio N°:3 Simplifica:
Sen 6 .Cos 2 + Cos 5 .Sen 2
= Sen .Cos ,
Calcula: " + " 0
Ejercicio N°:4 Si sabemos que:
= 2 + 2.Cos 25°
Ejercicio N°:6 Transforma a producto:
Ejercicio N°:7 Si sabemos que:2 2Sen 7 - Sen 3 = Sen .Sen ,
Calcula: " - " 0
Sen (3 20 ) + Sen ( 10 )U =
Cos 3 20 + Cos 10
= Si : = 19°
Ejercicio N°:5 Halla el valor de:
Ejercicio N°:8 Simplifica:
= Sen 3 .Cos 2
+ Cos 6 .Sen 2 - Sen 4 .Cos 3
Ejercicio N°:12 Reduce:
= 1 + Cos20° - 1- Cos20°
Sen 6Si = ,
Cos γ 5
Calcula:
χ + γ χ - γTg .Ctg
2 2
Ejercicio N°:14
Ejercicio N°:13 Si sabemos que:
Sen + Sen = P
Cos + Cos = Q
Halla: "Sen "
Ejercicio N°:11 Transforma a producto:
2 2 = Cos 5 - Sen 3
Sen + Sen 3 + Sen 5 =
Cos + Cos 3 + Cos 5
= Si : = 10°
Ejercicio N°:9 Halla el valor de:Sec 40° + Sec 80°
= 4.Sen 40°
Ejercicio N°:10 Reduce:
Top Related