3
AÑO
Funciones I
Par ordenado
Es un conjunto formado por dos objetos matemáticos cualesquiera "a" y "b" denotado por (a; b) que se consideran ordenados con el criterio de uno antecede al otro.
Notación:
(a; b) se lee: "par ordenado a; b"
2
da componente
1ra
componente
Ejemplos:
(2; 5); (-1; -2); (5; 0); (verde; rojo); (hoy; mañana); (vida;
muerte); (subida; bajada) etc.
Observaciones
1. Un par ordenado no es conmutativo
Así: (a; b) (b; a)
2. Igualdad de pares ordenados
Si: (x; y) = (a; b) entonces: x = a y = b
Ejemplo:
• Hallar "x" e "y" si:
Igualando los componentes:
x + 9 = 11 y + 10 = 14 x= 2 y = 4
Luego: x2 + y2 = 22 + 42 = 20
Resuelve los siguientes problemas:
1. Hallar "x" e "y", si (x + 6; 9) = (10; y - 4)
Indicar "x + y"
a) 15 b) 16 c) 17
d) 18 e) 19
2. Hallar "xy", si (2x + y; 2x - y) = (20; 12)
a) 32 b) 31 c) 30 d) 29 e) 28
3. Hallar "x - y", si (2; 3) + (x; -y) = (5; 1)
a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0
Resolución:
(x + 3; 9) = (7; y + 4)
4. Calcular el valor de "x + y" si se cumple:
(x+3; 9) = (7; y+4) x + 3 = 7
x = 4
Ejemplo:
y + 4 = 9
y = 5
(2; 4) + (7; 6) - (5; 2) = (x - 2; y - 2) a) 14 b) 15 c) 16 d) 17 e) 18
• Hallar "x2 + y2" en la siguiente igualdad:
(x + 2; 6) + (7; 8) = (11; y + 10)
Resolución:
5. Dado:
(3x + 2y; 11) = (22; 4x - y)
(x + 2; 6) + (7; 8) = (11; y + 10)
Sumando los pares ordenados
(x + 2 + 7; 6 + 8) = (11; y + 10)
(x + 9; 14) = (11; y + 10)
Calcular "xy"
a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20
Producto Cartesiano
Dados los conjuntos A y B; A x B es el producto cartesiano que esta formado por el conjunto de pares ordenados (a; b); tales que la primera componente pertenece a "A" y la segunda componente a "B".
Es decir:
A x B = {(a; b) / a A y b B}
En caso que: A = B se define por:
2
Hallar el número de elementos del producto cartesiano A x B
Resolución:
Número de elementos de A: n(A) = 5
Número de elementos de B: n(B) = 3
Número de elementos de AxB: n(AxB) = n(A) x n(B)
= 5 x 3
= 15
Métodos para calcular el producto cartesiano Sea: A = {1; 2; 3} y B = {a; b}
A x A = A
Ejemplo:
= {(a; b) / a A b A} Hallar A x B y graficar:
A. Diagrama del árbol lógico
• Sea: A = {1; 2; 5}
B = {p; q}
Hallar:
a) A x B b)
B x A
Resolución:
a) A x B = {(1; p) (1; q) (2; p) (2; q) (5; p) (5; q)}
b) B x A = {(p; 1) (p; 2) (p; 5) (q; 1) (q; 2) (q; 5)}
Podemos afirmar: A x B B x A
• Sea: A = {1; 2; 3}
Hallar: A x A
a (1; a)
b (1; b)
1
a (2; a) 2
b (2; b)
3 a (3; a)
b (3; b)
Siguiendo el recorrido de las ramas se obtiene:
A x B = {(1; a) (1; b) (2; a) (2; b) (3; a) (3; b)}
B. Diagrama sagital
Resolución: A B
A x A = {1; 2; 3} x {1; 2; 3} 1 a
2 A x A = {(1; 1) (1; 2) (1; 3) (2; 1) (2; 2) (2; 3) (3; 1) b
(3; 2) (3; 3)} 3
Conclusiones: 1. El producto cartesiano no es conmutativo en el caso
que: A B o sea:
A x B B x A
Siguiendo el recorrido de las flechas:
A x B = {(1; a) (1; b) (2; a) (2; b) (3; a) (3; b)}
C. Diagrama cartesiano
2. n(A x B) = n(A) x n(B)
Fórmula para calcular el número de elementos del producto cartesiano.
Ejemplo:
B
b (1; b)
(1; a) a
(2; b)
(2; a)
(3; b)
(3; a)
AxB
• Sea: A = {1; 2; 3; 4; 9}
B = {a; b; c}
1 2 3 A
Del plano cartesiano se tiene:
A x B = {(1; a) (1; b) (2; a) (2; b) (3; a) (3; b)}
Ejemplo:
• Dados los conjuntos:
A = {x / x es par 3 x < 9} B = {x / x es impar 6 < x 11}
Hallar el producto cartesiano A x B
Resolución:
A = {4; 6; 8} y B = {7; 9; 11}
Para nuestro ejemplo utilizo el diagrama del árbol
7
9
11
4 7
6 9
11
8 7
9
11
Luego:
A x B = {(4; 7) (4; 9) (4; 11) (6; 7) (6; 9) (6; 11) (8; 7)
(8; 9) (8; 11)}
Dados los siguientes conjuntos halla los productos cartesianos correspondientes graficándolos además, por todas las formas posibles.
1. A = {x/x IN 1 < x < 4}
B = {x/x IN 3 x 5}
2. A = {x/x es una vocal}
B = {x/x ZZZ -1 x 2}
3. A = {x/x ZZZ -1 x 1}
B = {x/x IN 2 < x < 4}
4. A = {x/x es un día de la semana}
B = {x/x ZZZ 7 x 10}
5. A = {x/x es par 2 x 10}
B = {x/x es impar 6 x 11}
6. A = {y/y IN; y = x + 2 1 < x 4}
B = {y/y IN; y = 2x 6 < x < 10}
7. A = {y/y IN; y = 3x + 1 2 < x < 7}
B = {x/x ZZZ ; x = y - 3 -1 < y 1}
Relación binaria
Dados dos conjuntos no vacios A y B. "R" es una relación de A en B, si "R" es un subconjunto del producto cartesiano A x B y cumple una regla de correspondencia.
R: A B R A x B
* Ejemplo: • Sea: A = {1; 2; 3}
B = {1; 2; 4}
Encontrar la siguiente relación:
R = {(x; y) A x B / x > y}
Regla de correspondencia
Resolución:
A x B = {(1; 1) (1; 2) (1; 4) (2; 1) (2; 2) (2; 4) (3; 1)
(3; 2) (3; 4)}
x > y: Indica que debemos buscar en A x B los pares
ordenados donde la primera componente es mayor que la segunda.
Luego la relación pedida es:
R = {(2; 1) (3; 1) (3; 2)}
* Ejemplo: • Dado A = {1; 2; 3}
Hallar: R = {(x; y) A x A / x + y 4}
Resolución:
A x A = {(1; 1) (1; 2) (1; 3) (2; 1) (2; 2) (2; 3) (3; 1)
(3; 2) (3; 3)}
Luego la relación pedida es:
R = {(1; 1) (1; 2) (1; 3) (2; 1) (2; 2) (3; 1)}
Dominio y rango de una relación - Llamamos dominio de una relación, al conjunto formado
por las primeras componentes de los pares ordenados de dicha relación.
- Llamamos rango de una relación, al conjunto formado
por las segundas componentes de los pares ordenados de dicha relación.
* Ejemplo:
A f B
1 0
1 3
7
9 10
Ejemplo: • Dada la relación: R = {(0; 3) (-1; 2) (-2; 1)}
Establecemos luego:
Dominio de la relación: D(R) = {0; -1; -2} Rango de la relación: R(R) = {3; 2; 1}
Función
Una función "f" de A en B, es un conjunto de pares ordenados donde no existen dos pares ordenados con la misma primera componente.
* Ejemplo:
• R
1 = {(2; 0) (2; 6) (3; 1)} no es una función pues
existe 2 pares ordenados con la misma primera componente
• R
2 = {(3; 6) (5; -1) (2; 4)} es una función
Expresado de otro modo:
Una función "f" es una correspondencia entre dos conjuntos A y B tales que a cada elemento x A se le asocia un único elemento y B tal que y = f(x)
Ejemplo:
No es función pues al elemento 1 se le asocia dos elementos a la vez
f = { (1; 0) (1; 1) (3; 10) (9; 7)}
Propiedad
Si (a; b) f y (a; c) f entonces b = c * Ejemplo: • Hallar "a" para que el conjunto de pares ordenados:
f = {(2;3) (-1; -3) (2; a+5)}
Sea una función
Resolución:
Buscando dos pares ordenados que tienen la misma componente:
(2; 3) f y (2; a + 5) f
Igualando las segundas componentes:
3 = a + 5 luego a = -2
Propiedad
Si el par ordenado (a; b) "f" entonces podemos
A f
2
4
6
conjunto
de partida
B
1
7
6 conjunto
de llegada
escribirlo así: b = f(a) y diremos que "b" es imagen de "a" vía la función "f"
* Ejemplo:
Sea la función:
f = {(2; 3) (3; 4) (7; 3) (-2; 6) (4; 1)}
Hallar:
Es una función pues cumple con la definición, luego:
f = {(2; 7) (4; 1) (6; 6)}
f(7) f(3) f(2)
K f(2) f(4)
Resolución:
(2; 3) f 3 = f(2)
(3; 4) f 4 = f(3)
(7; 3) f 3 = f(7)
(-2; 6) f 6 = f(-2)
(4; 1) f 1 = f(4)
Reemplazando en "K":
* Ejemplo:
Calcular la regla de correspondencia del gráfico mostrado.
A f B
5 4
4 16
2 25
K 3 4 3
6 1
10 2
5
Resolución: Del gráfico
K = 2
Dominio de una función
Se designa "Df " y se define como el conjunto:
Df = {x A / ! y; tal que (x; y) f}
Es decir son las primeras componentes de los pares ordenados.
* Ejemplo:
Dada la función:
f = {(3; 1) (4; -1) (6; 2) (1/2; -2)}
Entonces el dominio de la función es:
Df = { 3; 4; 6; 1/2}
Rango de una función (o imagen)
Se designa "Rf" y se define como el conjunto:
Rf = {y B / x ; tal que (x; y) f}
Es decir son las segundas componentes de los pares ordenados
* Ejemplo:
Dada la función:
f = {(6; 4) (7; 3) (9; 4) (-7; 3) (4; 1/2)}
Entonces el rango de la función es:
Rf = {4; 3; 1/2}
f(5) = 25 = 52
f(4) = 16 = 42
f(2) = 4 = 22
Entonces la regla de correspondencia es:
f(x) = x2
* Ejemplo: Determinar la regla de correspondencia de la
función "f" tal que:
f = {(1; 2) (2; 5) (3; 8) (4; 11) (5; 14) (6; 17)}
Resolución:
f(1) = 2 f(1) = 3(1) - 1
f(2) = 5 f(2) = 3(2) - 1
f(3) = 8 f(3) = 3(3) - 1
f(4) = 11 f(4) = 3(4) - 1
f(5) = 14 f(5) = 3(5) - 1
f(6) = 17 f(6) = 3(6) - 1
Luego: f(x) = 3x - 1, es la regla de correspondencia.
Gráfica de una función
La gráfica de una función "f" está formada por un
conjunto de puntos (x; y) en el plano donde los pares ordenados correspondientes a estos puntos los obtenemos asignando a "x" cualquier número real, lo que reemplazamos en la regla de correspondencia para obtener los respectivos valores de "y", esto lo anotamos en una tabla como la siguiente: Graficar: y = x + 1
Dando valores a "x" obtenemos:
Regla de correspondencia
x -4 -3 -2 -1 1 2 3
La regla de correspondencia de una función es la relación
que se establece entre la variable independiente ("x") y la
y -3 -2 -1 0 2 3 4
variable dependiente ("y")
Ubicamos los puntos en el plano cartesiano
Luego la gráfica de: y = f(x) = x + 1 será un trazo continuo de infinitos puntos generando una recta.
Nivel I
Problemas para la clase
1. Si se cumple: (2x - 1 ; 8) = (5 ; y + 5)
y Indicar "x2 + y2 "
-4 -3 -2
4
3
2
1 2 3 x -1
-2
-3
a) 12 b) 36 c) 18 d) 24 e) 6
2. Dados los conjuntos:
A = {1; 5}
B = {4; 6}
Calcular "A x B"
a) {(1; 4) (1; 6) (5; 4) (5; 6)} b) {(1; 4) (5;6)}
Propiedad de las funciones
Una gráfica cualquiera será función; si y solo si, al trazar una paralela al eje "y" corta a la gráfica en un sólo punto.
y
f
x
"f "; si es función
y
"h"
x
"h" no es función pues la recta corta a la gráfica en más de un punto.
c) {(4; 1) (4; 5) (6; 1) (6; 5)}
d) {(4; 1) (6; 5)}
e) {(1; 4) (4; 5) (5; 4) (5; 6)}
3. Dado el conjunto: A = {2; 3}
Hallar A x A y señale la suma de los elementos de los pares ordenados.
a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20
4. Dados los conjuntos:
A = {1; 2; 3; 4}
B = {a; b}
Hallar "A x B" y señale el número de elementos.
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
5. Siendo:
A ={x/x IN 1 < x < 4} B ={x/x IN 3 < x < 5}
Determinar "A x B" y señalar el número de elementos.
a) 4 b) 2 c) 6
d) 8 e) 9 6. Dados: A = {1 ; 2}
B = {1 ; 2}
Hallar: M = {(x ; y) A x B / y = 2x}
Señalar la suma de los elementos de los pares ordenados de "M".
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
7. Sea: A = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5} y las relaciones en "A". 10.¿Cuál de las siguientes gráficas representa una función?
F = {(x; y) A x A / x < y} G = {(x; y) A2 / x + y = 5} y y
¿Cuántos elementos tiene F G? a) b)
x x a) 8 b) 9 c) 10
d) 11 e) 12
8. ¿Cuántas de las relaciones siguientes son funciones? y y
c) d)
R1
= {(2 ; 2) , (3 ; 2) , (4 ; 2)} x
R2
= {(1 ; 0) , (1 ; 2) , (3 ; 3)}
R3
= {(-1 ; 0) , (-1 ; 1) , (2 ; 3)} y
R4 = {(1 ; 0) , (1 ; 1) , (1 ; 2)}
R = {(-1 ; 1) , (1 ; 2) , (2 ; 1)} e)
5
a) 1 b) 3 c) 4 d) 5 e) 2
9. ¿Cuál de los diagramas sagitales no representa una función?
f g
1 4 1 2
2 5 3 4
3 6 5 6
h
Nivel II 1. Si:
F = {(2 ; a+3) , (2 ; 2a - 1) , (4 ; b+3) , (a ; 3b - 1)};
es función, calcular "ab"
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
2. Sea la función:
f = {(1; 5) (2; 4) (3; -1) (6; 9)}
3 1 Hallar:
4 5
f (6)
f (1) f (2)
f (3)
a) 0 b) 1 c) 2 2 6 d) 3 e) 4
a) Solo f b) Solo g c) Solo h d) f y g e) f y h
3. Dada la función: f(x) = x - 3a
Además: f = {(12; b) (4a; 6) (c; 12)}
Hallar "a + b + c"
a) -1 b) 0 c) 6 d) 29 e) 30
4. Si se cumple:
( x
y ; 12) = (6 ; x - y)
Hallar "xy"
a) 8 b) 16 c) 32 d) 64 e) 128
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
7 ,
5. Dada la función:
F = {(5 ; 3) , (2m+3 ; 1) , (6 ; 3m-1) , (6 ; 8)}
Señalar la suma de los elementos del dominio.
a) 18 b) 25 c) 20 d) 30 e) 26
6. Hallar el rango de la función:
G = {(1 ; b) , (1 ; b2 - 2) , (b ; - 2) , (-1 ; 3)}
a) {3} b) {-1 ; 2 ; 3} c) {-1 ; 3} d) {-2 ; 2; 3} e) {-1 ; 2 ; -2 ; 3}
7. Hallar el dominio D
f y el rango R
f de la función:
F = {(b ; a-1) , (9 ; b+3) , (a+1 ; 2a-7) , (2a-1 ; a) , (a+1 ; 3)}
Luego, indicar "D
f Rf".
a) {3} b) c) {2}
d) {2 ; -1} e) {2 ; 3}
8. Calcular la función lineal que tenga: f(1) = 3 además f(2) = 2f(3). Hallar f(100)
a) -100 b) -96 c) -92 d) -91 e) -94
9. Sea la función:
H = {(6 ; b) , (3a ; 9) , (c ; 12)}
Con regla de correspondencia: H(x)
= x - 2a
Hallar "a + b + c"
a) 47 b) 27 c) 20 d) 26 e) 19
10.Sea:
Nivel III 1. Dada la función "H", tal que: H
(x) = ax +b.
Hallar "a - b", conociendo la siguiente tabla para esta:
x 3 5 y 2 1
a) -3 b) -2 c) -4 d) -1 e) 6
2. Sea: A = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 }; y "F" una función definida en
"A por A".
F = {(1 ; 3) , (2 ; m) , (m+1 ; 2) , (1 ; n - 1)}
Calcular "F(1)
- F(2)
+ F(4)
"
3. Sean las funciones:
F = {(x ; y) R2/f(x)
= 3x+2} G = {(4 ; n) , (7 ; n+1) , (n+1 ; 5)}
Si: F(4) + G(G(a) )
=19, hallar "a"
a) 4 b) 7 c) 11 d) 5 e) 9
4. Sea la función: f
(x) = mx + n, tal que:
f(5)
= 17 f(2) = 6 + f
(0)
Calcular "f(7)
"
a) 12 b) 38 c) 23 d) 42 e) 28
5. Si el par ordenado (3 ; 26) pertenece a la función:
f(x) = 2x + x + m
x 2 5, Si : x 4
Hallar el par ordenado de abcisa dos que pertenece a f .
f( x ) 2x 2,
Si : x 4 (x)
Si : x 4
Calcular "f
(5) + f( f(3) )
"
a) 12 b) 25 c) 24 d) 27 e) 28
a) 12 b) 18 c) 15
d) 24 e) 23
6. Si las funciones:
f(x)
= - x + 3 g(x) = x2 + 2x - 7
Se intersecan en los puntos (m ; n) y (p ; q). Hallar "mp + nq"
a) 4 b) 10 c) -2 d) -8 e) 6
7. Señale la suma de los elementos del rango de la función:
f(x)
= 2x + 3; siendo: x = {1 ; 2 ; 3}
9. Encontrar la función lineal f(x) = ax + b, tal que se
cumple:
a) 21 b) 18 c) 14 d) 10 e) 6
8. Sea la función F: A B
Siendo: F = {(1; 2), (3;4), (6; 7), (8; 9), (10; 6)}
Hallar: F(1) + F(3) - F(6) - F(8) - F(10)
a) -15 b) -16 c) -14 d) -13 e) -12
f(2) = 3 ........ (1)
f(3) = 2f(4) ..... (2)
a) f(x) = -2x + 1 b) f(x) = -x + 4 c) f(x) = -x + 5 d) f(x) = -3x - 4 e) f(x) = -x
10.Hallar la suma de los elementos del rango de la función F = {(2; 5), (-1; -3), (2; 2a - b), (-1; b - a), (a + b2; a)}
a) 6 b) 5 c) 4 d) 8 e) 7
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
Autoevaluación
1. Calcular "x + y", si:
(2x - 1; 3y + 1) = (7; 10)
a) 1 b) 3 c) 4 d) 7 e) 12
2. Cuántos elementos tiene A x B, si:
A = {x IN / 99 x < 101} B = {x IN / 2 000 < x 2 002}
a) 2 b) 4 c) 6 d) 2 000 e) 2 008
3. Si:
A = {x/x IN 11 < x < 15}
B = {x/x IN 1 x 2}
Indicar el número de elementos de A x B
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
4. Hallar el valor de "a - b" si la siguiente relación es una
función real:
R = {(3; -7) (2; a + b) (5; 7) (2; 3-a) (2; 2)}
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4 5. Si A = {x ZZ/ 4 x 7}
B = {x ZZ/ 2 x 5} C = {x ZZ/ 10 x 14} D = {x ZZ/ 13 x 16}
Calcular (A B) x (C D) Dar como respuesta el número de elementos del producto
cartesiano.
Claves
1. d
2. b
3. c
4. a
5. b
3 AÑO
Funciones II
Cálculo del Dominio y Rango de Funciones
Recordando que el dominio de una función "f" es el conjunto de las primeras componentes de los pares ordenados de la función.
Asi:
Df = {x A / ! y; tal que (x; y) "f"}
También el rango de una función "f" es el conjunto de las segundas componentes de los pares ordenados de la función.
Asi:
Rf = {y B / x; tal que (x; y) "f"}
* Ejemplo:
1. Dominio y Rango de la función lineal
y = f(x) = ax + b / a IR b IR
Como a cada valor de "x" le corresponde un valor de "y" entonces si a "x" le asignamos valores reales obtendremos para "y" también valores reales.
Luego el Dominio y Rango de la función lineal será:
Df = IR y Rf = IR
* Ejemplo:
La función f(x)
= 2x - 5 por ser lineal, su dominio y rango será: Df = IR y Rf = IR.
* Ejemplo:
Sean los conjuntos: A = {1; 2; 3; 4; 5} y B = {4; 9; 16} La f un ci ón
f 1
x
La relación: f = {(2; 4) (3; 9) (4; 16)} es una función
1
( x )
1
5 3 es l in e al p ue s
f( x ) x , luego su Dominio y Rango será f: A B con dominio D
f = {2; 3; 4} y Rango R
f = {4; 9; 16} 3 5
Para que se pueda definir bien una función es suficiente conocer su dominio (D
f) y una regla que
permita asignar para cualquier x Df
y pueda encontrarse su imagen f
(x).
Df = IR y Rf = IR. 2. Dominio y Rango de la función racional
* Ejemplo: Dada la función: f
(x) = 2x2 + x - 3
y = f (x) =
ax + b cx + d
Donde x {-1; 2; 4} Hallar el rango de la función
Resolución:
Como x {-1; 2; 4} D
f = {-1; 2; 4}
Ahora para cada "x" obtenemos su imagen f(x) ó simplemente el rango de la función.
• El Dominio de la función (Todos los valores de "x") es el conjunto de los números reales IR menos el conjunto de valores de "x" que anulen al denominador.
Df: IR - {cx + d = 0}
* Ejemplo:
x = -1 f(-1) = 2(-1)2 + (-1) - 3 = 2 - 1 - 3 f(-1) = -2
Hallar el dominio de la función: f(x) 2x 1
4x 8
x = 2 f(2)
= 2(2)2 + 2 - 3 = 8 + 2 - 3 f(2)
= 7
x = 4 f(4)
= 2(4)2 + 4 - 3 = 32 + 4 - 3 f(4)
= 33
Finalmente la imagen o rango de la función será:
Rf = {-2; 7; 33}
Resolución:
El dominio de la función se obtendrá así:
Df: x IR - {4x - 8 = 0}
Resolviendo la ecuación: x = 2 x IR - {2}
Observación: el dominio de la función:
y f(x)
2x 1
4x 8 x
6y 4 3y 1
lo podemos encontrar de la siguiente manera:
y IR 4x - 8 0 4x 8
x 2
Df: x IR - {2}
Como: x IR 3y - 1 0
3y 1
y 1 3
* Ejemplo:
Hallar el Dominio de la siguiente función
el rango de la función será:
1
Rf: y IR
y f(x)
4x 1
x 2
6
3x 9
3
Método práctico: Sólo para hallar el rango de la función
Resolución:
y IR x - 2 0 3x + 9 0 x 2 3x -9
f(x)
x 4
3x 6
x 2 x -3
Df: x IR - {-3; 2}
Dividiendo los términos lineales del numerador
y denominador.
x 1 Así: R f : y IR y IR
Para hallar el rango de la función racional: y
se despeja "x" en función de "y"
ax b
cx d
* Ejemplo:
3x 3
Hallar el Dominio y Rango de la función:
* Ejemplo:
Hallar el rango de la función: f(x)
Resolución:
x 4
3x 6
Resolución:
f(x)
10x 1
5x 1
Como: y = f
(x) entonces
y x 4 3x 6
Cálculo del Dominio: 5x + 1 0 5x -1
x 1 5
y(3x - 6) = x + 4
Efectuando la multiplicación:
D
f:
x IR
1
5
3yx - 6y = x + 4 Cálculo del Rango: (Utilizo el método práctico)
R : y IR 10x
Despejando "x"
3yx x 6y 4 común: x
f 5x
y IR - {2}
x(3y - 1) = 6y + 4
f
3. Dominio y Rango de la función cuadrática
y = f(x)
= ax2 + bx + c; a 0
• El Dominio de la función está representado por todos los números reales es decir D
f = IR
• Los valores de "y"; es decir el rango de la función
cuadrática se obtiene despejando "x" en función de "y"
Ejemplo:
Hallar el Dominio y Rango de la función cuadrática:
f(x)
= 2x2 + 3x + 2
Ejemplo: Calcular el rango de la función cuadrática
f(x) = 3x2 - 5x + 1; x IR
Resolución: Como y = f(x) entonces y = 3x2 - 5x + 1 la ecuación de 2do grado será:
3x2 - 5x + (1 - y) = 0 Así como el problema anterior para encontrar el rango de la función, resolveremos:
Resolución:
Cálculo del Dominio: x IR
Cálculo del Rango: y = 2x2 + 3x + 2
Formando una ecuación de 2do grado
2x2 + 3x + (2 - y) = 0
Usando la fórmula general para despejar "x" en función de "y"
ax2 + bx + c = 0 (a 0)
b2 4ac 0
discriminante de la ecuación de 2do. grado
a = 3 ; b = -5 ; c = 1 - y
(-5)2 - 4(3)(1 - y) 0
25 - 12(1 - y) 0
Despejando "y"
25 - 12 + 12y 0
13 + 12y 0
x b
b2 4ac
12y -13
2a
b2 4ac
discriminante
y 13 12
de la ecuación R f
13 ;
12
3 x
9 4(2)(2 y)
2(2)
4. Dominio y Rango de la función Raíz cuadrada
Para que x IR lo que esta dentro de la raíz cuadrada o sea la discriminante () deberá ser una cantidad no negativa, es decir:
= 9 - 4(2)(2 - y) 0
Resolviendo:
9 - 8(2 - y) 0 +9 - 16 + 8y 0
-7 + 8y 0 8y 7
y = f(x)
• Al resolver la inecuación f
(x) 0 obtendremos el Dominio
de la función. • El rango de la función se obtiene construyendo la función
a partir del dominio.
Ejemplo:
Hallar el Dominio y Rango de la función:
y 7
Resolución:
f(x) x 5
7 R =
8
8
;
Cálculo del Dominio:
x - 5 0
x 5
Df = [5; +
C ál cu lo d el R an go : Co ns tr uy en do l a fu nc ió n Resolviendo las inecuaciones:
y f (x)
x 5 , partiendo del Dominio. x -4 6 x
Dominio: x 5
Resto 5: x - 5 5 - 5
x - 5 0
Graficando:
x -4 x 6
Dominio
Extraemos : x 5 0
-4 6
como: y x 5 x [-4 ; 6]
y 0 Rf = [0; +
Ejemplo:
Hallar el Rango de la función: f(x)
x 2 6
Los valores enteros son: -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6
Número de elementos = 11 Ejemplo:
Calcule el Dominio y Rango de la función:
Resolución:
Cálculo del Dominio:
x + 2 0
Resolución:
f (x) x 2 10 x 21
Cálculo del Rango:
x -2 D
f = [-2; +
Cálculo del Dominio: -x2 + 10x - 21 0 Multiplicando por (-1):
x2 - 10x + 21 0 x -7
Dominio: x - 2 x + 2 0
x -3 (x - 3)(x - 7) 0
extraemos : x 2 0
Restando 6: x 2
6 0 6
3 7 como: y x 2 6
Df: 3 x 7 ó [3; 7]
Luego: y -6 R
f = [-6; +
Ejemplo:
Cálculo del Rango:
f (x)
x 2
10 x 21
Calcular el Dominio de la función: Completando cuadrados:
f(x)
x 4
4 6 x
f (x)
x 2 10 x 25 4
Indicar el número de elementos enteros.
Resolución:
Cuando el radical es de índice par lo que esta dentro de la raíz debe ser una cantidad no negativa, es decir:
Luego:
-x2 + 10x - 25 = -(x2 - 10x +25)
= -(x - 5)2
x + 4 0 6 - x 0
f (x)
(x 5)2 4
2
Recordamos que para hallar el Rango de la función
debemos partir del Dominio para construir la función f(x):
Df: 3 x 7
Restando 5:
3 - 5 x - 5 7 - 5 -2 x - 5 2
Al cuadrado:
Sumando 4:
- 4 + 4 -(x - 5)2 + 4 0 + 4
0 -(x - 5)2 + 4 4
Extraemos :
0 - (x - 5)2 4 4
0 (x - 5) 22
0 - (x - 5)2 4 2
0 (x - 5)2 4
Multiplicando por - 1:
Como: y f(x)
- (x - 5)2
4
- 4 -(x - 5)2 0 entonces: 0 y 2
Rf = [0; 2]
Dominio y Rango
la
función
Lineal Racional
(x)
Cuadrática
2
Raíz cuadrada
f = ax + b a 0
f(x) = ax + b cx + d
f(x) = ax + bx + c
a 0 y = f(x)
Dominio Dominio Dominio Dominio
x IR x IR - {cx + d = 0} x IR
Se resuelve
la inecuación
f(x) 0
Rango Rango Rango Rango
y IR
y IR a
c
Se resuelve
la inecuación
0
Se debe construir la función a partir
del dominio
: discriminante
a) [3 ;+ [ b) [2 ; + [ c) ] ; 2] d) IR e)
a) 9 b) 10 c) 14 d) 16 e) 18
a) IR -
b)
c) 4 d) IR+ e) IR
Problemas para la clase 9. Hallar el rango de la función: G
(x)= 3x + 2
Nivel I
1. Señale la suma de los elementos del rango de la función:
f(x) = x2 + 2, siendo: x = {-2; -1; 1; 2}
10.Hallar el rango de la función: H( x )
x 2
a) [2 ; + [ b) [0 ; + [ c) ] ; 2] d) IR e)
2. Hallar el dominio de la función: f(x) = 4x - 1 Nivel II
1. Calcular el rango de la función: G(x) x 2
3. Hallar el rango de la función: f(x) = 4x - 1
a) IR - b) c) 4
d) IR+ e) IR
a) [-2 ; 2] b) [0 ; +[ c) [2 ; +[ d) ]- ; -2] e) [-2 ; +[
2. Calcular el rango de:
4. Hallar el dominio de:
F(x)
7x 3
F(x)
2x 5
x 3
x 7
a) IR b) IR - {8} c) IR - {7}
d) IR - {1} e) IR - {-7}
5. Hallar el rango de:
a) [3 ; +[ b) IR - {3} c) IR - {2} d) ]- ; 2] e)
3. Hallar el dominio: y = 2001x + 2002
a) 2001 b) 2002 G(x)
5x 3
x 6 c) [2001; +[ d) [2002; +[ e) IR
a) IR - {5} b) IR - {-6} c) IR - {-5}
d) IR - {1} e) IR - {-7}
6. Hallar el dominio de la función:
4. Hallar el dominio:
h : R R; h
(x)
2
x 2 4
F(x)
x 4 a) IR - {-2 ; 2} b) -2; 2
c) [-2 ; 2] d) IR - {2}
a) IR+ b) IR c) 4 ; e) IR
d) [ _ 4 ; e) 5. Hallar el dominio:
G : R R ; G
1 (x)
7. Hallar el dominio de la función: F(x) x 6 3 x
a) IR+ b) IR - {1} c) [0;
a) [6;+ [ b) [-6 ; + [ c) [0 ; + [ d) IR e)
8. Hallar el rango de la función: F(x) = x2 + 3x + 1
d) ;0] e) IR - {0}
6. Hallar el dominio:
5 5 G : R R ; G( x ) x 1 4 x 3
a) ; b) ;
4
5 c) ;
4
4 d) IR
a) [1; + b) [3; + c) ; 1
d) ; 1] e) [1 ; 3]
e)
a) - ; 6] b) [6; + c) -; -6]
d) -; 10] e) -; -4]
a) IR b) [5; + c) [4; +
d) ; 5] e) d) 0; 4 e)
a) IR b) IR - {1} c) [5; +
d) [-5; + e) IR - {5}
4 4
7. Hallar el dominio: 4. Hallar "", si el dominio de la función:
F : R R ; F(x)
x 1
4 6 _ x
f (x)
(x 2
1)
4x 2 1
a) [1 ; 6] b) 1 ; 6
c) IR - {1 ; 6}
es: x [;] [; ]
d) IR+ e) IR
8. Hallar el rango:
a) 1 b) 1 c) 3
2 2
1
f( x ) x
d) 2 e) 1 3 6
a) IR b) IR - {1} c) IR - {0}
5. Obtener el número de elementos enteros del dominio de:
d) IR+ e) IR - F(x) x 3 3 x
9. Hallar el rango de la función:
F(x) = -x2 + 2x - 5; x IR
x 2 1
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
6. Calcular el rango de la función:
10.Hallar el rango de la función:
F(x)
0 ;
1
x 2 4
1
F(x)
= x2 - 4x + 9 a)
0 ;
1
b)
c) -1; 0
Nivel III
1. Hallar el rango de: g
(x) = |x + 7| + 5
_1 ; 0 4
7. Hallar el dominio y rango de la función:
y
10
8
2. Hallar el dominio de la función:
x 2
g(x)
x
x 2 1
-5 6
-3
a) IR b) IR - {1} c) IR - {1 ; -1} a) x [-5 ; 6 ; y 8 ; 10] d) e) [-1 ; 1] b) x -5 ; 6 ; y [8 ; 10
3. Hallar el dominio de la función: c) x [-5 ; 6 ; y [-3 ; 10
d) x -5 ; 6 ; y [-3 ; 8]
f (x)
(x 2)(x 5) 3
x 3
e) x IR{-5 ; 6} ; y [-3 ; 10
8. Hallar el rango de la función:
a) -; -5] [2 ; + - {3}
b) -; -4 [4 ; + - {5}
c) -; -5] 3 ; +
d) -; -5] [2 ; +
F(x)
x 2
5x 2 64
e) IR 1 a) 0 ; b) ;
1
c) [0; 5
5 5
1 d)
5
; e) IR
a) IR - {4} b) IR - {2} c) IR - {-2} d) IR e) IR - {1/2}
5
9. Hallar el valor mínimo de la siguiente función:
3. Calcular el dominio de la función:
F(x)
= 2x2 - 4x + 7
a) 0 b) 1 c) 5
g(x) 4x 1
x 2
8
x 5
d) -1 e) -5 10.Dada la función:
F(x)
Calcular "Df Rf"
2 x 3
a) IR - {-5; 2} b) IR - {5; 2} c) IR
d) IR - {2} e) IR - {-5}
a) -3; 2] b) [-3 ; 2 c)
d) [-3 ; 2] e) IR
Autoevaluación
1. Si el conjunto de pares ordenados representa una
función. Calcular "xy"
F = {(2; 4), (3; x+y), (5; 6), (3; 8) (2; x - y)}
4. Calcular el rango de la función:
h(x) 8x 1 4x 2
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14
2. Calcular el dominio de la función: f (x) 5
x 2 4
5. Calcular el rango de la función: f(x) = 5x2 + 2x + 1
a) IR - { 2} b) IR - {-2; 2} c) IR
d) -2; 2 e) IR - {-2} a) ;
4
4 b)
5
;
c) IR
d) ; 1] e) [-1; +
Claves
1. c
2. b
3. a
4. b
5. b
f
3
AÑO
k
0 1 2 3
Funciones III
Problemas resueltos
Ejemplo:
• Graficar la siguiente función:
F = {(1; 3) (2; 5) (3; 4) (5; 2)}
Resolución:
Ubicando los pares ordenados en el plano cartesiano.
Funciones especiales 1. Función Identidad: f = {(x; y) IR2 / y = x}
Significa que todos los pares ordenados de la función tienen componentes iguales.
Así: f = { ... (0; 0) (1; 1) (2; 2) (3; 3) ... }
La gráfica es una recta:
y y
5 3
4 2
3 1
2 45°
0 1 2 3 x 1
1 2 3 4 5 x
Del gráfico: Df = IR Rf = IR
• Ejemplo:
Si: f: IR IR graficar la función: f(x) = 2x + 1
2. Función constante: f = {(x; y) IR2
/ y = k ; k IR}
Resolución:
Se trata de una relación en IR2 y que los pares ordenados que se logren darán lugar a puntos que al graficarlos quedarán ubicados unos a continuación de otros constituyendo una línea que en este caso es una línea recta, dando valores a "x" mediante la regla de correspondencia y = 2x + 1 llenamos la siguiente tabla.
x -2 -1 0 1 2 3 4 ...
y -3 -1 1 3 5 7 9 ...
Ubicando los puntos correspondientes a cada par ordenado en el plano cartesiano se obtiene:
y
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Esto significa que todos los pares ordenados tienen segunda componente igual a "k".
Así: f = { ... (0; k) (1; k) (2; k) ...}
La gráfica en este caso será una recta horizontal paralela al eje x.
y
x
Del gráfico: Df = IR R
f = {k}
* Ejemplo:
Graficar: f(x) = 3
Resolución:
En el plano cartesiano: y = 3 ó f(x) = 3
y
3
-4 -3 -2 -1
1 2 3 4 x
-1
-2
-3
x
Luego: Df = IR R = {3}
3. IR
* Ejemplo:
Graficar: f(x) = -6
Resolución:
En el plano cartesiano
y
x
-6 y = -6 ó f(x) = -6
Luego: Df = IR Rf = {-6}
* Ejemplo: Calcular la función lineal que tenga las
ecuaciones.
f(1) = 3 ............ (1)
f(2) = 2f(3) ......... (2)
Resolución:
Definamos la función lineal como: f(x) = ax + b como: f(1) = 3 f(1) = a + b = 3 ...... ()
Además:
f(2) = 2f(3) 2a + b = 2(3a + b)
Reduciendo:
b = -4a ...... ()
2
F u n c i ó n l i n e a l : f = { (x ; y ) / y = ax + b} De y :
a b 3
Es una función con dominio y rango en todos los reales y la regla de correspondencia es y = f(x) = ax + b, donde "a" y "b" son constantes cualesquiera (a 0), su gráfica es una recta.
* Ejemplo:
Graficar la función: f(x) = 3x + 6
Resolución:
b 4a
se tiene: a - 4a = 3
a = -1 b = 4
f(x) = -x + 4
4. Función valor absoluto: f = {(x; y) IR2 / y = |x|}
Definiendo el valor absoluto de un número real "x":
f(x) = 3x + 6 y = 3x + 6
| x |
x, si : x 0
si: x = 0 entonces:
y = 3(0) + 6
x, si : x 0
y = 6 luego un punto de la recta es (0; 6)
si: y = 0 entonces:
0 = 3x + 6
x = -2 luego el otro punto de la recta es (-2; 0)
Con estos dos puntos pertenecientes a la recta ya podemos trazar su gráfica.
Esto significa que: f = {... (-2; |-2|) (-1; |-1|) (0; |0|) (1; |1|) (2; |2|) ...} f = {...(-2; 2) (-1; 1) (0; 0) (1; 1) (2; 2) ...} La gráfica son dos rectas con un punto común formando la letra "V"
y y
(0; 6)
(-2; 0) x
45° x
-2 -1 0 1 2
Del gráfico: Df = IR R
f = IR
Del gráfico: Df = IR Rf = IR+ {0}
2 2
2 2
5. Función raíz cuadrada: f = {(x; y) IR2 / y = x }
Significa que:
f = {(0; 0) (1; 1) (2; 2 ) (3; 3 ) ... }
La gráfica es una semiparábola:
b2
2b2 4ac
y 4a
4ac b2 y ó
4a
y
b2 4ac
4a
....(1)
pero "b2 - 4ac" se llama discriminante y lo podemos
y reemplazar por: D = b2 - 4ac
3 Luego en (1): y D
2 4a 1
0 1 2 3 x
el vértice de la parábola, tiene las siguientes
coordenadas: V
b ; D
Del gráfico: Df = IR+ {0} 2a 4a
Rf = IR+ {0} 6. Función cuadrática:
f = {(x; y) IR2 / y = ax2 + bx + c ; a, b, c IR ; a 0}
* Ejemplo: Graficar la función f(x)
Resolución:
= 2x2 + 4x - 1
Es una función con dominio en el conjunto de los números reales, su gráfica es una línea curva llamada parábola.
Identificando: a = 2 ; b = 4 y c = -1 Calculamos la abscisa del vértice:
La parábola es abierta hacia arriba, si: a>0 y hacia abajo si: a<0.
x b
2a x
4
2(2) x 1
y
a>0
y vértice de la
parábola
Calculando la ordenada del vértice:
y D 4a
x 1 x 2
x
x
1
a<0
x2 x
y b
y = -3
4ac
4a
4
4(2)(1)
4(2)
Los puntos x1 x2 lo obtenemos cuando la ordenada "y" es cero: 0 = ax2 + bx + c
Resolviendo la ecuación se obtiene los valores de "x"
Observación: Si x = -1 lo reemplazamos en la regla
de correspondencia y = 2x2 + 4x - 1 obtendremos el valor de "y":
que son "x1" y "x2". Así: y = 2(-1)2 + 4(-1) - 1 y = -3
Coordenadas del vértice de la parábola
b La abscisa del vértice esta dada por: x
2a
Luego el vértice de la parábola es V(-1; -3) Como a = 2 ("a" es positivo) la parábola se abre hacia arriba, la gráfica aproximada es:
Si reemplazamos este valor de "x" en la regla de y correspondencia: y = ax2 + bx + c obtenemos la ordenada del vértice.
y = ax2 + bx + c -1
2 x
y a
b
2a
b
b c
2a -3
y b
b c
4a 2a
0b
* Ejemplo:
Graficar la función: f(x) = x2
Resolución:
la gráfica aproximada es:
y
3 4
a 1 (la parábola se abrehaciaarriba)
y 1x2 0x
0
c 0
x1 x2 x
-25 8
la abscisa del vértice será: Los puntos "x
1" y "x
2" los obtenemos cuando la ordenada
"y" es cero.
x b
0
0 x 0 0 = 2x2 - 3x - 2
2a 2(1)
x = 0 lo reemplazamos en la regla de correspondencia para hallar la ordenada.
2x +1
x -2
Resolviendo: 2x + 1 = 0 x - 2 = 0
y = x2 y = (0)2 y = 0
La gráfica será la parábola que se abre hacia arriba cuyo vértice es (0; 0)
x 1
2 x1
Finalmente la gráfica será:
x 2 x2
y
V (0; 0) x
y -1 2
-25
8
3 4
2 x
* Ejemplo:
Graficar: f(x) = 2x2 - 3x - 2
Resolución:
Identificando los coeficientes:
Desplazamiento de funciones a. Desplazamiento horizontal (siendo: h > 0)
y 2x 2 3x 2
a 2
(la parábola se abre
hacia arriba)
f(x+h) f(x) f(x-h)
b 3 c 2
h: unidades hacia
la izquierda
h: unidades a
la derecha
Abscisa: x b 2a
Ordenada:
2
x
2
3
2(2) x
3 4
* Ejemplo:
Graficar: f(x) = |x - 3|
Resolución: 3 unidades a la derecha se tendrá:
y
y b 4ac
4a
(3) 4(2)(2)
4(2)
y = |x| y = |x - 3|
25
8 y
25 8
x
1 2 3
* Ejemplo:
Graficar: f(x) = (x + 2)2
* Ejemplo:
Graficar: f(x) = |x| - 2
Resolución: 2 unidades a la izquierda se tendrá: Resolución:
Graficando: y = x 2
y = (x+2)2
Graficando: y = |x| 2 unidades hacia abajo
se tendrá
y = |x| - 2
-2 -1
b. Desplazamiento vertical (siendo: h > 0)
y
f(x) + h
Reflejo de funciones
a. Reflejo en el eje "x"
"h" unidades hacia arriba
x
-f(x)
y
f(x)
x
f(x)
b. Reflejo en el eje "y"
y y
y f(x) f(-x)
x
f(x) - h
x x
"h" unidades hacia abajo
* Ejemplo:
Graficar:
f(x)
x 2
c. Con valor absoluto
y
f(x)
y
|f(x)|
Resolución: x x
Graficando: y= x 2 unidades hacia arriba se tendrá
y y y= x + 2
2
1
x x
x x
y
x
Nivel I
Problemas para la clase 4. G r a f i c a r : g
(x)= -2x + 3
y y
1. Graficar: f(x)
= 3x - 2
y y
a) x
b) x
a) x b) x y y
c) d)
y y
c) x d) x
y e)
x
e) x
5. Graficar: y = | x | + 5
2. Graficar: f(x)
= 6
y
6
a) x
y
b) x
y y
5
a) b) x x
y y
y y
c) d) x 6 x
c) d) x x
-5
y
y e) x
x
e) -6
6. Graficar: y = | x - 2 | + 3
3. Graficar: f(x)
= -2
y y
y y
3 3
a) b) 2 x -2 x
a) -2 x b)
2 x y y
3
y y c) 2
2
3
d) -2 x
c) x d) x y
e)
y x
e) x -2
x
y
x
7. Graficar: y = x2 - 2 10.Graficar: y
x 3
y y
a) b)
x x
-2
y y
a) x b) x
y y
2
c) d) 2 x x
y y
c) x d) x
y
e)
-2 x
y
e) x
8. Graficar: y = x2 + 4
Nivel II
y y
a) b)
x x -4
1. Graficar: y 5
4
; x 10
; x 10
y y
y
c) -4
y
4
d) x
a) x b) x
y y
c) x d) x
y
4
e) x
9. Graficar: y
x 3
e) x
y y
a) b)
x x
2. Hallar el área de la región formada por la función: g: R R; g
(x) = -2x + 3; con los ejes de coordenadas
cartesianas.
a) 3 u2 b) 6 c) 1 9
y y
c)
x
-3
d) 3
d) 9 e) 9 4
3. Hallar el área de la región formada por la función lineal:
f: R R; f(x) = -2x - 5; y los ejes de coordenadas. y
e) -3 x
a) 25 u2 b) 2
25 c) 10 4
d) 5 e) 30
8. = x
2
4. Hallar el área de la región formada por las funciones: f
(x) = 8 ; g
(x) = x y el eje "y".
a) 8 u2 b) 16 c) 32 d) 64 e) 30
5. Sea la función:
7. Graficar: f(x) = |x - 2|
y
a)
x
y
b)
x -2
y
f(x)
x
Graficar: f(x - 2)
y y
y y
c)
x d)
x
y
e)
-2 x
a) b) 2 x 2 x
2 S i : b < 0 ; l a g r á f i c a d e : F
(x)
y
+ 2bx + b2; es:
y
y y
a) x b) x
c) d)
2 x -2 x y y
y
c) x d) x
e) 2
x
y
6. Sea la función:
y
e) x
Graficar: g(x) + 2
y
g(x)
x
y
9. Graficar:
y
f (x)
1,
0,
1,
si:
si:
si:
x > 1
x = 1
x < 1
y
1
a) b) 2 x x
-2
1
a) b) 0 1 x 0 x
-1 -1
y y
y y
2 2
c) d) x x
1
c) d) 0 1 x 1 x
-1 -1
y
y
e) e)
x
1
0 1 x
-1
x
2
x
x
10.Graficar: f(x) = |x| + 2
3. Graficar: f (x) x
y y
a) 2
b) x x
-2
y y
2
c) d) x x
y y
a) b)
x x
y y
y
e)
-2 x
c) d) x x
y
Nivel III e)
x
1. Graficar: f(x) = x2 + 1
y
1
a) b) x
y
-1 x
4. Hallar el área del triángulo mostrado:
y
f(x) = -x2+9
y
1 c)
x
y
1
d) x
y
a) 1 8 u
e)
b) 32 c) 27
x d) 24 e) 25 -1
5. Hallar el área del triángulo sombreado, si "L" es una recta de pendiente -3.
2. Graficar: f(x) = x2 + 12x + 36
y y y
a) b)
-6 x
y
c)
6
y
e)
x
-6
y
6
d) x
x
L
a) 12 u2 b) 32 c) 18 d) 24 e) 16
6. Hallar el área de la región limitada por las rectas:
f(x) = x + 3 ; g(x) = -4 y el eje "y"
a) 51 u2 b) 2
32 c) 49
3 2
d) 23 e) 25 2
2
7. Sea la función lineal: f : R R; f(x)
= 2x - 3; y la función
9. Graficar: f
= | x 2 3 |
c u a d r á t i c a : g
(x) = 6x
puntos (a;b) y (c;d).
Indique "
db "
ac
+ x - 4; se interceptan en los (x)
y
a)
y
x b) x
a) -22 b) -44 c) 11
d) -11 e) -33
8. Graficar: f ( x ) | x |
x
y y
c) x d) x
y
1
a) x -1
y
y
b) x
e) x
y
1 1
c) d) x
-1
10.Graficar: f ( x ) x 2 2 | x | 1
y y
1
e) -1
a) b) x
y
-1 1 x
1
c) -1 d) x
e)
5. = x2
Autoevaluación 4. Graficar: f ( x )
x 1
1. Graficar: f (x) x 2 y y
y y
2
a) b) x x
-2
a) b)
x x -1
y y
y y
c) d)
x 2 x
1
c) d) x x
y
y
e) 1 x
e) -2
x
2. Graficar: f(x) = 2x + 3
y y
G r a f i c a r : f (x)
y
+ 10x + 25
y
a) b) x x
a) b) x x
-5
y y
c) d)
x x
y y
c)
5 d)
x 5 x
y
y e)
-5 x
x
3. Graficar: f(x) = -3
y y
3
a) x
b) x
-3
y y
c) 3 x
y
e) 3 x
d) -3 x Claves 1. e
2. c
3. b
4. c
5. e
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