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Funciones Inversas

FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

Ejercicios de Repaso III

Ma del Carmen Torres Alonso

IES Laguna de Tollon

7 de marzo de 2011

Ma del Carmen Torres Alonso FUNCION REAL DE VARIABLE REAL

Funciones Inversas

Ejercicio

Dadas las siguientes funciones halla f−1(x) y g−1(x), calculando en cada caso

el dominio de la funcion resultante:

(a) f(x) =x− 1

x+ 1(b) g(x) =

√x+ 1


Funciones Inversas

f(x) =x− 1

x+ 1


Funciones Inversas

f(x) =x− 1

x+ 1

1. Primero comprobamos si f(x) =x− 1

x+ 1es inyectiva.


Funciones Inversas

f(x) =x− 1

x+ 1


x+ 1es inyectiva. Es decir, ha de

cumplirse que f(a) = f(b) ⇒ a = b.


Funciones Inversas

f(x) =x− 1

x+ 1




f(a) = f(b)


Funciones Inversas

f(x) =x− 1

x+ 1




f(a) = f(b) ⇒a− 1

a+ 1=

b− 1

b+ 1


Funciones Inversas

f(x) =x− 1

x+ 1




f(a) = f(b) ⇒a− 1

a+ 1=

b− 1

b+ 1

⇒ (a− 1) · (b+ 1) = (a+ 1) · (b− 1)


Funciones Inversas

f(x) =x− 1

x+ 1




f(a) = f(b) ⇒a− 1

a+ 1=

b− 1

b+ 1

⇒ (a− 1) · (b+ 1) = (a+ 1) · (b− 1)

⇒ ab+ a− b− 1 = ab− a+ b− 1


Funciones Inversas

f(x) =x− 1

x+ 1




f(a) = f(b) ⇒a− 1

a+ 1=

b− 1

b+ 1

⇒ (a− 1) · (b+ 1) = (a+ 1) · (b− 1)

⇒ ab+ a− b− 1 = ab− a+ b− 1

⇒ 2a = 2b


Funciones Inversas

f(x) =x− 1

x+ 1




f(a) = f(b) ⇒a− 1

a+ 1=

b− 1

b+ 1

⇒ (a− 1) · (b+ 1) = (a+ 1) · (b− 1)

⇒ ab+ a− b− 1 = ab− a+ b− 1

⇒ 2a = 2b ⇒ a = b

Por tanto, f(x) es inyectiva y existe f−1(x).


Funciones Inversas

2. Calculamos la funcion inversa:


Funciones Inversas


Hacemos f(x) = y


Funciones Inversas


Hacemos f(x) = y ⇒ y =x− 1

x+ 1.


Funciones Inversas



x+ 1.

Se intercambia x por y


Funciones Inversas



x+ 1.

Se intercambia x por y ⇒ x =y − 1

y + 1.


Funciones Inversas



x+ 1.


y + 1.

Se despeja la expresion obtenida en funcion de x.


Funciones Inversas



x+ 1.


y + 1.


x · (y − 1) = y − 1


Funciones Inversas



x+ 1.


y + 1.


x · (y − 1) = y − 1 ⇒ xy + x = y − 1


Funciones Inversas



x+ 1.


y + 1.


x · (y − 1) = y − 1 ⇒ xy + x = y − 1

⇒ x+ 1 = y − xy


Funciones Inversas



x+ 1.


y + 1.


x · (y − 1) = y − 1 ⇒ xy + x = y − 1

⇒ x+ 1 = y − xy

⇒ x+ 1 = y · (1 − x)


Funciones Inversas



x+ 1.


y + 1.


x · (y − 1) = y − 1 ⇒ xy + x = y − 1

⇒ x+ 1 = y − xy

⇒ x+ 1 = y · (1 − x) ⇒ y =x+ 1

1− x


Funciones Inversas



x+ 1.


y + 1.


x · (y − 1) = y − 1 ⇒ xy + x = y − 1

⇒ x+ 1 = y − xy

⇒ x+ 1 = y · (1 − x) ⇒ y =x+ 1

1− x

Luego la inversa es f−1(x) =x+ 1

1− x.


Funciones Inversas

3. Vamos a comprobar que la funcion obtenida es la inversa de f .


Funciones Inversas


(f ◦ f−1)(x)


Funciones Inversas


(f ◦ f−1)(x) = f(f−1(x))


Funciones Inversas


(f ◦ f−1)(x) = f(f−1(x)) = f

(

x+ 1

1− x

)


Funciones Inversas


(f ◦ f−1)(x) = f(f−1(x)) = f

(

x+ 1

1− x

)

=

x+ 1

1− x− 1

x+ 1

1− x+ 1


Funciones Inversas


(f ◦ f−1)(x) = f(f−1(x)) = f

(

x+ 1

1− x

)

=

x+ 1

1− x− 1

x+ 1

1− x+ 1

=2x

2


Funciones Inversas


(f ◦ f−1)(x) = f(f−1(x)) = f

(

x+ 1

1− x

)

=

x+ 1

1− x− 1

x+ 1

1− x+ 1

=2x

2= x


Funciones Inversas


(f ◦ f−1)(x) = f(f−1(x)) = f

(

x+ 1

1− x

)

=

x+ 1

1− x− 1

x+ 1

1− x+ 1

=2x

2= x

(f−1 ◦ f)(x)


Funciones Inversas


(f ◦ f−1)(x) = f(f−1(x)) = f

(

x+ 1

1− x

)

=

x+ 1

1− x− 1

x+ 1

1− x+ 1

=2x

2= x

(f−1 ◦ f)(x) = f−1(f(x))


Funciones Inversas


(f ◦ f−1)(x) = f(f−1(x)) = f

(

x+ 1

1− x

)

=

x+ 1

1− x− 1

x+ 1

1− x+ 1

=2x

2= x

(f−1 ◦ f)(x) = f−1(f(x)) = f−1

(

x− 1

x+ 1

)


Funciones Inversas


(f ◦ f−1)(x) = f(f−1(x)) = f

(

x+ 1

1− x

)

=

x+ 1

1− x− 1

x+ 1

1− x+ 1

=2x

2= x

(f−1 ◦ f)(x) = f−1(f(x)) = f−1

(

x− 1

x+ 1

)

=

x− 1

x+ 1+ 1

1−x− 1

x+ 1


Funciones Inversas


(f ◦ f−1)(x) = f(f−1(x)) = f

(

x+ 1

1− x

)

=

x+ 1

1− x− 1

x+ 1

1− x+ 1

=2x

2= x

(f−1 ◦ f)(x) = f−1(f(x)) = f−1

(

x− 1

x+ 1

)

=

x− 1

x+ 1+ 1

1−x− 1

x+ 1

=2x

2


Funciones Inversas


(f ◦ f−1)(x) = f(f−1(x)) = f

(

x+ 1

1− x

)

=

x+ 1

1− x− 1

x+ 1

1− x+ 1

=2x

2= x

(f−1 ◦ f)(x) = f−1(f(x)) = f−1

(

x− 1

x+ 1

)

=

x− 1

x+ 1+ 1

1−x− 1

x+ 1

=2x

2= x


Funciones Inversas

Sabemos que las graficas de una funcion y su inversa son simetricas respecto a

la bisectriz del primer cuadrante.


Funciones Inversas



x

y

f(x)

f−1(x)

y = xDom f−1(x) = R − {1}


Funciones Inversas

g(x) =√x+ 1


Funciones Inversas

g(x) =√x+ 1

1. Primero comprobamos si g(x) =√x+ 1 es inyectiva.


Funciones Inversas

g(x) =√x+ 1

1. Primero comprobamos si g(x) =√x+ 1 es inyectiva. Es decir, ha de

cumplirse que g(a) = g(b) ⇒ a = b.


Funciones Inversas

g(x) =√x+ 1



g(a) = g(b)


Funciones Inversas

g(x) =√x+ 1



g(a) = g(b) ⇒√a+ 1 =

√b+ 1


Funciones Inversas

g(x) =√x+ 1



g(a) = g(b) ⇒√a+ 1 =

√b+ 1

⇒ (a+ 1) = (b+ 1)


Funciones Inversas

g(x) =√x+ 1



g(a) = g(b) ⇒√a+ 1 =

√b+ 1

⇒ (a+ 1) = (b+ 1)

⇒ a = b

Por tanto, g(x) es inyectiva y existe g−1(x).


Funciones Inversas



Funciones Inversas


Hacemos g(x) = y


Funciones Inversas


Hacemos g(x) = y ⇒ y =√x+ 1.


Funciones Inversas



Se intercambia x por y


Funciones Inversas



Se intercambia x por y ⇒ x =√y + 1


Funciones Inversas



Se intercambia x por y ⇒ x =√y + 1 ⇒ x2 = y + 1.


Funciones Inversas






Funciones Inversas





y = x2 − 1


Funciones Inversas





y = x2 − 1

Luego la inversa es g−1(x) = x2 − 1, x ∈ [0,+∞).


Funciones Inversas

3. Vamos a comprobar que la funcion obtenida es la inversa de g.


Funciones Inversas


(g ◦ g−1)(x)


Funciones Inversas


(g ◦ g−1)(x) = g(g−1(x))


Funciones Inversas


(g ◦ g−1)(x) = g(g−1(x)) =√x2 − 1 + 1


Funciones Inversas


(g ◦ g−1)(x) = g(g−1(x)) =√x2 − 1 + 1 = x


Funciones Inversas


(g ◦ g−1)(x) = g(g−1(x)) =√x2 − 1 + 1 = x

(g−1 ◦ g)(x)


Funciones Inversas


(g ◦ g−1)(x) = g(g−1(x)) =√x2 − 1 + 1 = x

(g−1 ◦ g)(x) = g−1(g(x))


Funciones Inversas


(g ◦ g−1)(x) = g(g−1(x)) =√x2 − 1 + 1 = x

(g−1 ◦ g)(x) = g−1(g(x)) =(√

x+ 1)2

− 1


Funciones Inversas


(g ◦ g−1)(x) = g(g−1(x)) =√x2 − 1 + 1 = x

(g−1 ◦ g)(x) = g−1(g(x)) =(√

x+ 1)2

− 1 = x


Funciones Inversas




Funciones Inversas



x

y

g(x)

g−1(x)

y = x

Dom g−1(x) = [0,+∞)
