Clculo diferencial e integral de una variable
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Funciones Reales de
Varias Variables
Clculo diferencial e integral de una variable
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Funciones de Varias Variables.
Definicin: Una funcin f de dos variables es una regla que asigna a cada par ordenado de nmeros reales (x,y) de un
conjunto D, un nmero real nico denotado por f(x,y).
El conjunto D es el Dominio de f y su imagen es el conjunto de
valores que toma f, es decir Dyxyxf ),/(),(
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Ejemplos.
1. Halle los dominios de las siguientes funciones y grafquelos.
2a) f (x,y) y x
2 2 4b) f x,y ln x y
1Ln( x y)c) f (x,y)
y x
2. Evalu la funcin del inciso (a) en f(0,0) ,f(1,1) y f(2,-1), en caso sea posible. Justifique su respuesta.
inicio
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Grfica de una funcin de dos variables.
Definicin: Si f es una funcin de dos variables con dominio D, entonces la grfica de f es el conjunto de los puntos (x, y, z)
de R3 tales que z = f(x,y) y (x,y) est en D.
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Ejemplo
inicio
2. Grafique las siguientes funciones y determine el dominio y la imagen.
2 24a) f (x,y) y x
2 29b) z x y
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Curvas de nivel.
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x
O
Definicin: Las curvas de nivel de una funcin f de dos variables, son las curvas con ecuaciones f(x,y)=k, donde k es
una constante (que pertenece a la imagen de f).
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1. Se selecciona la zona cuyo relieve se quiere representar y se toman los
datos a partir de la interpretacin de fotografas areas y de otras medidas
obtenidas de los satlites. Antiguamente, se tomaban los datos
directamente del terreno.
ASI SE HACE UN MAPA TOPOGRAFICO
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2. Se determinan las curvas de nivel y se representan sobre una
superficie a escala.
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3. El resultado es el mapa topogrfico .
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Ejemplos
2 2a) f (x,y) x y
2 2b) f (x,y) x y
3. Trace la grfica y las curvas de nivel de:
4. Una lamina de metal plana est situada en un plano XY y la temperatura T (en grados centgrados) en el punto (x, y) es inversamente proporcional a la distancia del punto (x, y) al origen. a) Describa las isotermas b) Suponiendo que la temperatura en el punto P(4 ; 3) es 40 grados centgrados, encuentre una ecuacin de la isoterma correspondiente a la temperatura de 20 grados centgrados.
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Ejemplos
5. Describa y trace las superficies de nivel de la funcin:
2 22f (x,y,z) x y z
inicio
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-1,0 -0,5 -0,2 0 0,2 0,5 1
-1 0,455 0,759 0,829 0,842 0,829 0,759 0,455
-0,5 0,759 0,959 0,986 0,990 0,986 0,959 0,759
-0,2 0,829 0,989 0,999 1,000 0,999 0,986 0,829
0 0,841 0,990 1,000 1,000 0,990 0,841
0,2 0,829 0,986 0,999 1,000 0,999 0,986 0,829
0,5 0,876 0,959 0,986 0,990 0,986 0,959 0,759
1 0,455 0,759 0,829 0,841 0,829 0,759 0,455
TABLA1 Valores de f(x,y)
-1,0 -0,5 -0,2 0 0,2 0,5 1
-1 0,000 0,600 0,923 1,000 0,923 0,600 0,000
-0,5 -0,600 0,000 0,724 1,000 0,724 0,000 -0,600
-0,2 -0,923 -0,724 0,000 1,000 0,000 -0,724 -0,923
0 -1,000 -1,000 -1,000 -1,000 -1,000 -1,000
0,2 -0,923 -0,724 0,000 1,000 0,000 -0,724 -0,923
0,5 -0,600 0,000 0,724 1,000 0,724 0,000 -0,600
1 0,000 0,600 0,923 1,000 0,923 0,600 0,000
TABLA 2 Valores de f (x ,y )
Lmites
2 22 2
1sen x y
f (x,y)x y
2 2
2 22
x yg(x,y)
x y
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Lmites
Definicin: Sea f una funcin de dos variables cuyo dominio D incluye puntos arbitrariamente cercanos a (a,b). Entonces
decimos que el lmite de f(x,y) cuando (x,y) se aproxima a (a,b)
es L y escribimos
tal que siempre que
y
0,0 f x,y L
x,y D 2 2
0 x a y b
x ,y a,blim f x,y L
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Interpretacin geomtrica de los lmites
X
Z
L
L L
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Determina la no existencia del lmite de una funcin real.
Definicin: Si cuando por una trayectoria C1 y cuando por
otra trayectoria C2,, donde , entonces
no existe.
1f x,y L
1 2L L
x ,y a,blim f x,y
x,y a,b 2f x,y L x,y a,b
a
b
y
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Ejemplos
inicio
6. Muestre que no existe 2 40 0x ,y ,
xylim
x y
7. Muestre que no existe 2 20 0x ,y ,
xylim
x y
5. Muestre que no existe
2 2
2 20 0x ,y ,
x ylim
x y
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Continuidad
Definicin: Una funcin f de dos variables, se denomina continua en (a,b) si
Decimos que f es continua en D si f es continua en todo punto
(a,b) de D
bayxf
bayx,,lim
,,
Nota:
Las funciones polinomicas y racionales son continuas en su dominio
2 2
1 2
2 2
2 21 0
x ,y ,
x ,y ,
lim x xy y
x ylim
x y
inicio
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Derivadas parciales.
Sea z=f(x,y), definida en el dominio D del plano XY y sea (x0 ,y0) un punto de D. La funcin f(x, y0) depende solamente de x y est definida alrededor de x0.
Si la derivada existe, el valor de la derivada es llamado derivada parcial de f(x,y),con respecto a x en el punto (x0,y0) y se denota por
00 ,
00 ,yxx
zyx
x
f
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Definicin de derivada parcial con respecto a x.
0 0 0 00 0
0x
f x x,y f x ,yfx ,y lim
x x
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Del mismo modo, la derivada de f con respecto a
y en (a,b) , denotada por fy(x0 ,y0), se obtiene
dejando x fija (x=x0).
0 0 0 0
0 0 0 00
yy
f x ,y y f x ,yff x ,y x ,y lim
y y
Definicin de derivada parcial con respecto a y.
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Ejemplos
1. Si f(x,y)=4-x2-2y2, encuentre fx(1,1), fy (1,1), e interprete estos nmeros como pendientes.
3 2 2a) f (x,y) (x y )
2yb) f (x,y) xe ysenx
3 2xc) f (x,y,z) xe z xz ln(yz)
2. Obtenga las primeras derivadas parciales de f
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Derivadas parciales respecto a x y a y.
Fin
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