Es un proceso mediante el cual los insumos son convertidos en producto.
Por ejemplo, el trabajo, un proyector, un computador, la electricidad y el software, se combinan para producir ésta clase.
Generalmente diversas tecnologías producirán el mismo producto. Una pizarra y tiza pueden ser empleados en lugar del proyector y el computador.
¿Cuál es la “mejor” tecnología?¿Cómo podemos comparar
tecnologías?
Conjunto de insumos
xi denota la cantidad empleada del insumo i;
Un conjunto de insumos es el vector de cantidades de los insumos;(x1, x2, … , xn).
Por ejemplo: (x1, x2, x3) = (6, 0, 93).
Función de Producción
y denota el nivel de producción.La función de producción determina
la cantidad máxima de producción posible a partir del conjunto de insumos.
y f x xn ( , , )1
y = f(x) es la función de producción.
x’ xCantidad de insumo
producción
y’y’ = f(x’) es el máximo nivel de producción que se puede obtener de x’ unidades del insumo.
Un insumo, un producto
Conjunto de tecnologías Un plan de producción es un conjunto de
insumos y un nivel de producción; (x1, … , xn, y).
Un plan de producción es factible si
El conjunto de todos los planes factibles de
producción es el conjunto de tecnologías.
y f x xn ( , , )1
x’ x
y’
y”y” = f(x’) es un nivel de producción factible con x’ unidades del insumo.
y = f(x) es la función de producción.
Cantidad de insumo
producción
Un insumo, un producto
y’ = f(x’) es el máximo nivel de producción que se puede obtener de x’ unidades del insumo.
x’ x
y’
y” Planestecnológicamenteineficientes
Planes tecnológicamenteefecientes
Conjunto detecnologías
Cantidad de insumo
producción
Un insumo, un producto
Tecnologías con múltiples insumos¿Cómo se presenta el problema
cuando tenemos más de un insumo?El caso de dos insumos: las
cantidades de los insumos son x1 y x2. El nivel de producción es y.
Supongamos la siguiente función de producción
y f x x x x ( , ) .1 2 11/3
21/32
Por ejemplo, el máximo nivel de producción factible con el conjunto de insumos (x1, x2) = (1, 8) es
Y el máximo nivel de producción factible con el conjunto de insumos (x1,x2) = (8,8) es
y x x 2 2 1 8 2 1 2 411/3
21/3 1/3 1/3 .
y x x 2 2 8 8 2 2 2 811/3
21/3 1/3 1/3 .
Una isocuanta es el conjunto de todos los insumos que generan como máximo el mismo nivel de producción y.
Las isocuantas se pueden graficar añadiendo el eje de producción y mostrando cada una de las isocuantas a una cierta altura correspondiente al nivel de producción.
El conjunto de isocuantas es el mapa de isocuantas.
El mapa de isocuantas es equivalente a la función de producción
Por ejemplo3/1
23/1
121 2),( xxxxfy
Tecnologías a laCobb-Douglas
Una función de producción a la Cobb-Douglas es de la forma
y Ax x xa anan 1 2
1 2 .
y x x 11/3
21/3
.3
1,
3
1,1,2 21 aaAn
x2
x1
Todas las isocuantas sonhipérbolas, son asintóticasa los ejes y nunca se tocancon ellos.
y x xa a 1 21 2
x2
x1
x x ya a1 21 2 "
y x xa a 1 21 2
Todas las isocuantas sonhipérbolas, son asintóticasa los ejes y nunca se tocancon ellos.
x2
x1
x x ya a1 21 2 '
x x ya a1 21 2 "
y x xa a 1 21 2
Todas las isocuantas sonhipérbolas, son asintóticasa los ejes y nunca se tocancon ellos.
x2
x1
x x ya a1 21 2 '
x x ya a1 21 2 "
y" y'>y x xa a 1 2
1 2
Todas las isocuantas sonhipérbolas, son asintóticasa los ejes y nunca se tocancon ellos.
Tecnología de proporciones fijas
Una función de producción de proporciones fijas es de la forma
y a x a x a xn nmin{ , , , }.1 1 2 2
y x xmin{ , }1 22
.2,1,2 21 aan
Tecnología de insumos sustitutos perfectos
Una función de producción con insumos sustitutos perfectos es de la forma
y a x a x a xn n 1 1 2 2 .
y x x 1 23
.3,1,2 21 aan
9
3
18
6
24
8
x1
x2
x1 + 3x2 = 18
x1 + 3x2 = 36
x1 + 3x2 = 48
Todas son lineales y paralelas
y x x 1 23
Producto Marginal
El producto marginal del insumo I es la tasa de cambio del nivel de producción cuando cambia el nivel de empleo del insumo, manteniendo constantes el nivel de empleo de los otros insumos.
Es decir,
y f x xn ( , , )1
ii x
yPMg
En general, el producto marginal de uno de los insumos depende de la cantidad empleada de los otros insumos. Por ejemplo, si
3/22
3/211 3
1xxPMg
3/2
13/23/2
11 3
48
3
1 xxPMg
Y si x2 = 27
si x2 = 8,
.3273
1 3/21
3/23/211
xxPMg
El producto marginal del insumo I es decreciente si se hace más pequeño a medida que se incrementa el empleo del insumo i. Es decir, si
.02
2
iiii
i
x
y
x
y
xx
PMg
Retornos a Escala
El producto marginal describe el cambio en el nivel de producción como resultado del cambio en el empleo de uno de los insumos.
Los retornos a escala describen cómo cambia el nivel de producción como resultado del cambio en las cantidades de todos los insumos en la misma proporción.
Si, para el conjunto de insumos (x1,…,xn),
f kx kx kx kf x x xn n( , , , ) ( , , , )1 2 1 2
Entonces la tecnología descrita por la función de producción presenta retornosconstantes a escala.Por ejemplo (k = 2); al duplicar el empleode todos los factores se duplica el nivelde producción.
y = f(x)
x’ x
y’
2x’
2y’
Retornos constantesa escala
Cantidad de insumo
producción
Un insumo, un producto
f kx kx kx kf x x xn n( , , , ) ( , , , )1 2 1 2
Entonces la tecnología descrita por lafunción de producción presenta retornosa escala decrecientes.Por ejemplo, (k = 2): duplicando el empleode todos los insumos, se obtiene menos del doble de producción.
Si, para el conjunto de insumos (x1,…,xn),
y = f(x)
x’ x
f(x’)
2x’
f(2x’)
2f(x’)
Retornos aescaladecrecientes
Cantidad de insumo
producción
Un insumo, un producto
f kx kx kx kf x x xn n( , , , ) ( , , , )1 2 1 2
Entonces la tecnología descrita por lafunción de producción presenta retornosa escala crecientes.Por ejemplo, (k = 2): duplicando el empleode todos los insumos, la producción crecemás del doble.
Si, para el conjunto de insumos (x1,…,xn),
y = f(x)
x’ x
f(x’)
2x’
f(2x’)
2f(x’)
Retornosa escalacrecientes
Cantidad de insumo
producción
Un insumo, un producto
y = f(x)
x
Retornos a escaladecrecientes
Retornos a escalacrecientes
Cantidad de insumo
producción
Un insumo, un producto
Ejemplos de retornos a escala
y a x a x a xn n 1 1 2 2 .
La función de producción de insumossustitutos perfectos es
Si se incrementa el empleo de todos losinsumos proporcionalmente en el factor k,El nivel de producción cambia a:
a kx a kx a kxn n1 1 2 2( ) ( ) ( )
a kx a kx a kx
k a x a x a x
ky
n n
n n
1 1 2 2
1 1 2 2
( ) ( ) ( )
( )
.
La función de producción de insumossustitutos perfectos presenta retornosa escala constantes.
y a x a x a xn nmin{ , , , }.1 1 2 2
La función de producción de insumoscomplementarios perfectos es
min{ ( ), ( ), , ( )}a kx a kx a kxn n1 1 2 2
Si se incrementa el empleo de todos losinsumos proporcionalmente en el factor k,El nivel de producción cambia a:
min{ ( ), ( ), , ( )}
(min{ , , , })
.
a kx a kx a kx
k a x a x a x
ky
n n
n n
1 1 2 2
1 1 2 2
La función de producción de insumossustitutos perfectos presenta retornosa escala constantes.
y x x xa anan 1 2
1 2 .
La función de producción a la Cobb-Douglas es
( ) ( ) ( )kx kx kxa an
an1 2
1 2
Si se incrementa el empleo de todos losinsumos proporcionalmente en el factor k,El nivel de producción cambia a:
( ) ( ) ( )kx kx kx
k k k x x x
k x x x
a an
a
a a a a a a
a a a a ana
n
n n
n n
1 2
1 2
1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
( ) ( ) ( )
.
kx kx kx
k k k x x x
k x x x
k y
a an
a
a a a a a a
a a a a ana
a a
n
n n
n n
n
1 2
1 2
1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1
( ) ( ) ( ) .kx kx kx k ya an
a a an n1 2
1 2 1
Los retornos a escala de la función deproducción a la Cobb Douglas sonconstantes si a1+ … + an = 1
( ) ( ) ( ) .kx kx kx k ya an
a a an n1 2
1 2 1
crecientes si a1+ … + an > 1
Los retornos a escala de la función deproducción a la Cobb Douglas sonconstantes si a1+ … + an = 1
( ) ( ) ( ) .kx kx kx k ya an
a a an n1 2
1 2 1
decrecientes si a1+ … + an < 1.
Los retornos a escala de la función deproducción a la Cobb Douglas sonconstantes si a1+ … + an = 1crecientes si a1+ … + an > 1
Pregunta: ¿Una tecnología puede presentar retornos a escala crecientes incluso si todos sus productos marginales son decrecientes?
y x x x xa a 12 3
22 3
1 21 2/ /
a a1 2431 en consecuencia esta
tecnología presenta retornosa escala crecientes.
En consecuencia, una tecnología puede presentar retornos a escala crecientes incluso si sus productos marginales son decrecientes. ¿Por qué?
El producto marginal es la tasa de cambio de la producción cuando el nivel de uno de los insumos se incrementa, manteniendo todos los otros insumos fijos.
El producto marginal es decreciente debido a que el nivel de empleo de los otros insumos es fijo, en consecuencia las unidades adicionales del insumo tienen cada vez menos y menos de los otros insumos con los cuales trabajar.
Cuando los niveles de todos los insumos se incrementan proporcionalmente, no es necesario que el productomarginal disminuya porque cada insumo siempre tendrá la misma cantidad de los otros insumos para trabajar. La productividad de los insumos no tiene por qué caer y, en consecuencia, los retornos a escala pueden ser constantes o crecientes.
La tasa marginal de sustitución de factores
¿A qué tasa se puede sustituir un insumo por otro sin modificar el nivel de producción?
x2
x1
y
La pendiente es la tasa a la cual se sacrifican unidades del insumo 2 para incrementar una unidad del insumo 1 sin cambiar el nivel de producción. La pendiente de la isocuanta se conoce como la tasa marginal de sustitución de factores.x2
'
x1'
La función de producción esUn pequeño cambio (dx1, dx2) en el
conjunto de insumos genera un cambio en el nivel de producción igual a
y f x x ( , ).1 2
dyyx
dxy
xdx
1
12
2 .
dyyx
dxy
xdx
1
12
2 .
Pero dy = 0 porque no debe haber ningúncambio en el nivel de producción, en consecuenciaLos cambios dx1 y dx2 deben satisfacer
01
12
2
yx
dxy
xdx .
dxdx
y xy x
2
1
1
2
//
Es la tasa a la cual se sustituyen unidadesdel insumo 2 para incrementar en una unidadel insumo 1 manteniendo el nivel deproducción constante. Es la pendiente dela isocuanta.
Ejemplo con la función de producción a la Cobb Douglas
y f x x x xa b ( , )1 2 1 2
yx
ax xa b
1112
y
xbx xa b
21 2
1 .
dxdx
y xy x
ax x
bx x
axbx
a b
a b2
1
1
2
112
1 21
2
1
//
.
Convexidad: si el conjunto de insumos x’ y x” generan y unidades de producto, entonces la combinación tx’ + (1-t)x” proporciona al menos y unidades deproducto, para cualquier 0 < t < 1.
Corto y Largo Plazo
El largo plazo es el período de tiempo en el cual la empresa no tiene restricciones para escoger todos los niveles de empleo de todos los insumos.
Existen muchos “cortos plazos” posibles. El corto plazo es el período de tiempo en
el cual la empresa está restringida ,en alguna forma, para escoger el nivel de empleo de al menos uno de los insumos.
Ejemplo de restricciones en el corto plazo:Temporalmente es incapaz de instalar
o remover maquinariaEstá requerido por la ley a mantener
niveles positivos de empleo de algunos insumos
Sometido a regulaciones para contratar insumos locales.
¿Qué implican las restricciones de corto plazo en términos de la tecnología de producción?
Supongamos que la restricción de corto plazo es fijar el nivel del insumo 2.
El insumo 2 es, en consecuencia, un insumo fijo en el corto plazo. El insumo 1 se mantiene como un insumo variable.
y x x 11/3
21/3
es la función de producción de largo plazo (x1 y x2 son variables).
La función de producción de corto plazocuando x2 1 es
.x1xy 3/11
3/13/11
La función de producción de corto plazocuando x2 10 es
.15210 3/11
3/13/11 xxy