Funcionales lineales
22/09/2014 Kenyer Aguiar
Dual de un espacio normado
Sea X espacio vectorial sobre K(K = R oC)
Definicion
Un funcional lineal en X es una funcion f : X K que es lineal.El dual algebraico de X es
X = {f : X K tal que f es funcional lineal }
El dual topologico de X es
X = L(X ,K) = {f : X K tales que f es funcional lineal continuo }
Proposicion
Sea X un espacio normado entonces X es un espacio de Banach.
Dual de un espacio normado
Sea X espacio vectorial sobre K(K = R oC)
Definicion
Un funcional lineal en X es una funcion f : X K que es lineal.El dual algebraico de X es
X = {f : X K tal que f es funcional lineal }
El dual topologico de X es
X = L(X ,K) = {f : X K tales que f es funcional lineal continuo }
Proposicion
Sea X un espacio normado entonces X es un espacio de Banach.
Dual de un espacio normado
Sea X espacio vectorial sobre K(K = R oC)
Definicion
Un funcional lineal en X es una funcion f : X K que es lineal.
El dual algebraico de X es
X = {f : X K tal que f es funcional lineal }
El dual topologico de X es
X = L(X ,K) = {f : X K tales que f es funcional lineal continuo }
Proposicion
Sea X un espacio normado entonces X es un espacio de Banach.
Dual de un espacio normado
Sea X espacio vectorial sobre K(K = R oC)
Definicion
Un funcional lineal en X es una funcion f : X K que es lineal.El dual algebraico de X es
X = {f : X K tal que f es funcional lineal }
El dual topologico de X es
X = L(X ,K) = {f : X K tales que f es funcional lineal continuo }
Proposicion
Sea X un espacio normado entonces X es un espacio de Banach.
Dual de un espacio normado
Sea X espacio vectorial sobre K(K = R oC)
Definicion
Un funcional lineal en X es una funcion f : X K que es lineal.El dual algebraico de X es
X = {f : X K tal que f es funcional lineal }
El dual topologico de X es
X = L(X ,K) = {f : X K tales que f es funcional lineal continuo }
Proposicion
Sea X un espacio normado entonces X es un espacio de Banach.
Funcionales lineales continuos
Definicion (Nucleo de un funcional lineal)
Dado un funcional lineal f el nucleo de f es :
ker(f ) = {x X : f (x) = 0}.
Teorema
Sean X un espacio normado y f un funcional lineal en X , entoncesf es continuo si y solo si ker(f ) es cerrado.
El teorema de Hanh- Banach
Definicion (Funcional sublineal)
Sea X un espacio vectorial real. Un funcional sublineal en X es unafuncion p : X R que satisface
(i) p(x + y) p(x) + p(y) para todo x , y X .(ii) p(x) = p(x) para todo x X y 0.
Ejemplo
Sea b = {bn} una sucesion de numeros reales, entonces
f (b) = lmn bn
es un funcional lineal. Ademas el lmite superior
p(b) = lmnbn
es un funcional sublineal.
El teorema de Hanh- Banach
Lema
Sean X un espacio vectorial real y V una variedad lineal propia deX , xo X \ V y
V1 = V + {xo : R}.
Sean p : X R un funcional sublineal y f : V R tales que
f (x) p(x) para todo x V .
Entonces existe f1 : V1 R funcional lineal extension de f tal que
f1(x) p(x) para todox V1.
El teorema de Hanh- Banach
Lema
Sean X un espacio vectorial real y V una variedad lineal propia deX , xo X \ V y
V1 = V + {xo : R}.
Sean p : X R un funcional sublineal y f : V R tales que
f (x) p(x) para todo x V .
Entonces existe f1 : V1 R funcional lineal extension de f tal que
f1(x) p(x) para todox V1.
Teorema de Hanh-Banach caso espacio vectorial real
Teorema (Hanh- Banach, espacio vectorial real)
Sea X un espacio vectorial real y p : X R un funcional sublineal.Sean M una variedad lineal propia de X y f un funcional linealdefinido en M. Si f (x) p(x) para todo x M entonces existe unfuncional lineal F : X R tal que
(i) F (x) = f (x) para todo x M.(ii) F (x) p(x) para todo x X .
Teorema de Hanh-Banach caso esp vect complejo
Sea X espacio vectorial complejo.
Proposicion
Sea f funcional lineal complejo en X , entonces existen u y vfuncionales R-lineales a valores reales tales que f = u + iv .
Proposicion
Sea f una funcional lineal compleja en X y sea u = Re f entoncesf (x) = u(x) iv(x), es decir
Im f (x) = Re f (ix).
Teorema de Hanh-Banach caso esp vect complejo
Sea X espacio vectorial complejo.
Proposicion
Sea f funcional lineal complejo en X , entonces existen u y vfuncionales R-lineales a valores reales tales que f = u + iv .
Proposicion
Sea f una funcional lineal compleja en X y sea u = Re f entoncesf (x) = u(x) iv(x), es decir
Im f (x) = Re f (ix).
Teorema de Hanh-Banach caso esp vect complejo
Sea X espacio vectorial complejo.
Proposicion
Sea f funcional lineal complejo en X , entonces existen u y vfuncionales R-lineales a valores reales tales que f = u + iv .
Proposicion
Sea f una funcional lineal compleja en X y sea u = Re f entoncesf (x) = u(x) iv(x), es decir
Im f (x) = Re f (ix).
Teorema de Hanh-Banach caso esp vect complejo
Sea X espacio vectorial complejo.
Proposicion
Sea f funcional lineal complejo en X , entonces existen u y vfuncionales R-lineales a valores reales tales que f = u + iv .
Proposicion
Sea f una funcional lineal compleja en X y sea u = Re f entoncesf (x) = u(x) iv(x), es decir
Im f (x) = Re f (ix).
Teorema de Hanh-Banach caso esp vect complejo
Proposicion
Hay una correspondencia biunvoca entre los funcionales linealesreales y los funcionales lineales complejos.
Proposicion
Sea X un espacio vectorial complejo. Dado u : X R un funcionalreal, consideremos el funcional complejo f (x) = u(x) iu(ix).Entonces para cada x X existe (x) R tal que
|f (x)| = u(ei(x)).
Teorema de Hanh-Banach caso esp vect complejo
Proposicion
Hay una correspondencia biunvoca entre los funcionales linealesreales y los funcionales lineales complejos.
Proposicion
Sea X un espacio vectorial complejo. Dado u : X R un funcionalreal, consideremos el funcional complejo f (x) = u(x) iu(ix).Entonces para cada x X existe (x) R tal que
|f (x)| = u(ei(x)).
Teorema de Hanh-Banach caso esp vect complejo
Proposicion
Hay una correspondencia biunvoca entre los funcionales linealesreales y los funcionales lineales complejos.
Proposicion
Sea X un espacio vectorial complejo. Dado u : X R un funcionalreal, consideremos el funcional complejo f (x) = u(x) iu(ix).Entonces para cada x X existe (x) R tal que
|f (x)| = u(ei(x)).
Teorema de Hanh-Banach caso esp vect complejo
Definicion (Seminorma)
Sea X un espacio vectorial complejo. Una seminorma en X es unafuncion p : X R tal que
(i) p(x + y) p(x) + p(y) para x , y X .(ii) p(x) = ||p(x) para x X y C.
Teorema (Hanh-Banach caso esp vect complejo)
Sea X espacio vectorial complejo y sea p : X R una seminorma.Sea M un a variedad lineal propia de X y sea f : M C unfuncional lineal tal que |f (x)| p(x) para todo x M. Entoncesexiste un funcional lineal F : X C tal que
(i) F (x) = f (x) para x M.(ii) |F (x)| p(x) para x X .
Teorema de Hanh-Banach caso esp vect complejo
Definicion (Seminorma)
Sea X un espacio vectorial complejo. Una seminorma en X es unafuncion p : X R tal que
(i) p(x + y) p(x) + p(y) para x , y X .(ii) p(x) = ||p(x) para x X y C.
Teorema (Hanh-Banach caso esp vect complejo)
Sea X espacio vectorial complejo y sea p : X R una seminorma.Sea M un a variedad lineal propia de X y sea f : M C unfuncional lineal tal que |f (x)| p(x) para todo x M. Entoncesexiste un funcional lineal F : X C tal que
(i) F (x) = f (x) para x M.(ii) |F (x)| p(x) para x X .
Teorema de Hanh-Banach caso esp vect complejo
Definicion (Seminorma)
Sea X un espacio vectorial complejo. Una seminorma en X es unafuncion p : X R tal que
(i) p(x + y) p(x) + p(y) para x , y X .(ii) p(x) = ||p(x) para x X y C.
Teorema (Hanh-Banach caso esp vect complejo)
Sea X espacio vectorial complejo y sea p : X R una seminorma.Sea M un a variedad lineal propia de X y sea f : M C unfuncional lineal tal que |f (x)| p(x) para todo x M. Entoncesexiste un funcional lineal F : X C tal que
(i) F (x) = f (x) para x M.(ii) |F (x)| p(x) para x X .
Teorema de Hanh-Banach caso esp normado
Proposicion
Sea X un espacio vectorial complejo y normado. Dado u : X Run funcional lineal real y continua, consideremos el funcional linealcomplejo f (x) = u(x) iu(ix). Entonces f es continuo yf = u.
Teorema (Hanh-Banach caso esp vect normados)
Sea X un K - espacio vectorial normado, M un subespacio propiode X y f : M K un funcional lineal continuo. Entonces existe unfuncional lienal continuo F : X K tal que
(i) F (x) = f (x) para x M(ii) F = f .
Corolarios del teorema de Hanh-Banch
Corolario
Sea (X , ) un espacio normado y sea xo X , xo 6= 0, entoncesexiste F X tal que F (xo) = xo 6= 0 y F = 1.
Corolario
Sea (X , ) es pacio normado y sea xo X . Si F (xo) = 0 paratodo F X entonces xo = 0.
Corolario
Sea (X , ) espacio normado, sea M un subespacio (cerrado) de Xy sea xo X tal que d = dist(xo ,M) > 0, entonces existe F X tal que
F (M) = {0}, F (xo) = 1, F = 1/d .
Corolarios del teorema de Hanh-Banch
Corolario
Sea (X , ) un espacio normado y sea xo X , xo 6= 0, entoncesexiste F X tal que F (xo) = xo 6= 0 y F = 1.
Corolario
Sea (X , ) es pacio normado y sea xo X . Si F (xo) = 0 paratodo F X entonces xo = 0.
Corolario
Sea (X , ) espacio normado, sea M un subespacio (cerrado) de Xy sea xo X tal que d = dist(xo ,M) > 0, entonces existe F X tal que
F (M) = {0}, F (xo) = 1, F = 1/d .
Corolarios del teorema de Hanh-Banch
Corolario
Sea (X , ) un espacio normado y sea xo X , xo 6= 0, entoncesexiste F X tal que F (xo) = xo 6= 0 y F = 1.
Corolario
Sea (X , ) es pacio normado y sea xo X . Si F (xo) = 0 paratodo F X entonces xo = 0.
Corolario
Sea (X , ) espacio normado, sea M un subespacio (cerrado) de Xy sea xo X tal que d = dist(xo ,M) > 0, entonces existe F X tal que
F (M) = {0}, F (xo) = 1, F = 1/d .
Corolarios del teorema de Hanh-Banch
Corolario
Sea (X , ) un espacio normado y sea xo X , xo 6= 0, entoncesexiste F X tal que F (xo) = xo 6= 0 y F = 1.
Corolario
Sea (X , ) es pacio normado y sea xo X . Si F (xo) = 0 paratodo F X entonces xo = 0.
Corolario
Sea (X , ) espacio normado, sea M un subespacio (cerrado) de Xy sea xo X tal que d = dist(xo ,M) > 0, entonces existe F X tal que
F (M) = {0}, F (xo) = 1, F = 1/d .
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